Аппроксимативные методы решения слабо сингулярных интегральных уравнений первого рода тема автореферата и диссертации по математике, 01.01.01 ВАК РФ

На правах рукописи

1 8 ДЕК 7ПП0

Аюпова Елена Фаизовна

АППРОКСИМАТИВНЫЕ МЕТОДЫ РЕШЕНИЯ СЛАБО СИНГУЛЯРНЫХ ИНТЕГРАЛЬНЫХ УРАВНЕНИЙ

ПЕРВОГО РОДА

Специальность 01.01.01 — «Математический анализ»

Автореферат диссертации на соискание ученой степени кандидата физико-математических наук

Казань — 2000

Диссертация выполнена на кафедре теории функций и приближений Казанского государственного университета.

Научный руководитель: доктор физико-математических наук,

профессор Габдулхаев Б.Г.

Официальные оппоненты: доктор физико-математических наук,

профессор Мухлисов Ф.Г. кандидат физико-математических наук, дои,ент Хайруллипа A.M.

Ведущая организация: Государственный университет Молдовы

Защита состоится » декабря 2000 г. в часов на заседании

диссертационного совета по математике К 053.29.05 в Казанском государственном университете по адресу:

420008, г.Казань, ул.Кремлевская, 18, корпус 2, ауд. 217.

С диссертацией можно ознакомиться в научной библиотеке университета (г.Казань, ул.Кремлевская, 18).

Автореферат разослан «¿S» ноября 2000 г.

ВГ9Л,

Ученый секретарь '

диссертационного совета,

профессор к ¡fifi ШурыгинВ.В.

ОБЩАЯ ХАРАКТЕРИСТИКА РАБОТЫ

Актуальность темы. Реферируемая работа посвящена теоретико-функциональному обоснованию приближенных методов решения слабо сингулярных интегральных уравнений (с.с.и.у.) первого рода с разностными логарифмическими ядрами в главной части интегрального оператора.

Как известно, необходимость решения указанных уравнений возникает при решении многочисленных теоретических и прикладных задач математики, механики, физики, химии и техники. Из теории таких уравнений следует, что они относятся к классу некорректно поставленных задач и решаются точно лишь в весьма редких частных случаях, но даже в этих случаях для доведения результата до числа необходимо вычислять различные регулярные, сингулярные и слабо сингулярные интегралы со сложными плотностями. В связи с этим для теории, и в особенности для приложений, проблема разработки приближенных методов решения с.с.и.у. первого рода с соответствующим теоретическим обоснованием представляется важной актуальной задачей.

Подробный обзор полученных в этой области отечественными математиками и механиками, а также рядом зарубежных авторов результатов и обширную библиографию можно найти в специальных обзорных работах Б.Г.Габдулхаева (1980 г.). В.А.Золотаревского (1991 г.), В.В.Иванова (1965 г.), И.К.Лифанова и Е.Е.Тыртышникова (1990 г.), В.А.Цецохо (1983 г.), в монографиях С.М.Белоцерковского и И.К.Лифанова (1985 г.), Г.М.Вайникко, А.Педас и П.Уба (1984 г.), И.И.Воровича, В.М.Александрова и В.А.Бабешко (1974 г.), Б.Г.Габдулхаева (1980 г., 1994 г., 1995 г.), Т.НГалишниковой и А.С.Ильинского (1987 г.), В.И.Дмитриева и Е.В.Захарова (1987), В.В.Иванова (1968 г.), Д.Колтона и Р.Кресса (1987 г.), И.К.Лифанова (1995 г.), З.Т.Назарчука (1989 г.), В.В.Панасюка, М.П.Саврука и З.Т.Назарчука (1984 г.), а также в диссертациях Л.А.Апайчевой (1986 г.), Р.Т.Валеевой (1995 г.), С.Р.Еникеевой (1998 г.), С.В.Еременко (1990 г.),

Л.Б.Ермолаевой (1987 г.), А.В.Ожеговой (1996 г.), Л.А.Сурай (1994 г.), А.М.Хайруллиной (1987 г.).

Систематическому и целенаправленному исследованию приближенных методов решения различных классов с.с.и.у. первого рода с теоретико-функциональным обоснованием посвяшено большое число результатов группы казанских математиков. Тем не менее, в рассматриваемой области все еще остается большое число нерешенных задач.

Цель работы — теоретико-функциональное обоснование приближенных методов решения с.с.и.у. первого рода с разностными логарифмическими ядрами в главной части интегрального оператора и получение оценок скорости сходимости приближенных решений к точным. При этом под теоретическим обоснованием приближенных методов, следуя Л.В.Канторовичу, в работе понимается следующий круг вопросов:

1) доказательство теорем существования и единственности решения аппроксимирующих уравнений;

2) доказательство сходимости приближенных решений к точному решению и определение скорости сходимости;

3) установление эффективных оценок погрешности приближенного решения, учитывающих структурные свойства исходных данных.

Методика исследований. При выводе и обосновании результатов диссертации используются известные результаты из теории функций и приближений, из общей теории приближенных методов функционального анализа и теории интегральных уравнений; при этом мы полностью следуем методике исследования аппроксимативных методов решения с.с.и.у. первого рода, специально разработанной Б.Г.Габдулхаевым.

Научная новизна. Установлено теоретическое обоснование полиномиальных прямых, проекционных и аппроксимативно-итерационных

методов решения одномерных и двумерных с.с.и.у. первого рода с разностными логарифмическими ядрами в главной части интегрального оператора в парах функциональных пространств IV1и IV] |.

Теоретическая и практическая ценность. Диссертация носит теоретический характер. Полученные в ней результаты могут быть применены в теории функций и интегральных уравнений, в частности, при дальнейшем развитии аппроксимативных методов решения с.с.и.у. первого рода. Они также могут быть применены при решении конкретных прикладных задач физики, механики, химии и математической физики, математические модели которых приводят к указанным выше уравнениям.

Апробация работы. Основные результаты диссертации докладывались и обсуждались: на Итоговых научных конференциях Казанского государственного университета за 1997 — 1999 гг.; на Международной научной конференции «Алгебра и анализ», посвященной 100-летию со дня рождения Б.М.Гагаева (г.Казань, КГУ, июнь 1997 г.); на Всероссийской научной конференции «Теория функций, ее приложения и смежные вопросы», посвященной 130-летию со дня рождения Д.Ф.Егорова (г.Казань, КГУ, сентябрь 1999 г.); на Международной научной конференции «Актуальные проблемы математики и механики», посвященной 40-летию механико-математического факультета КГУ (г.Казань, КГУ, октябрь 2000 г.); на научно-практических конференциях соискателей именной стипендии Главы администрации г.Казани по физико-математическим наукам (г.Казань, сентябрь 1999 г., апрель 2000 г.); а также представлялись на Международной научной конференции «Дифференциальные и интегральные уравнения» (г.Одесса, ОГУ, сентябрь 2000 г.). Кроме того, результаты диссертации, по мере их получения, неоднократно докладывались и обсуждались на городском научном семинаре «Теория аппроксимации и ее приложения в

вычислительных методах», работающем при кафедре теории функций и приближений Казанского государственного университета.

Публикации. По теме диссертации автором опубликовано десять работ, список которых приведен в конце автореферата.

Структура и объём работы. Диссертация объёмом в 113 страниц состоит из введения, двух глав и библиографического списка использованной литературы из 112 наименований.

КРАТКОЕ СОДЕРЖАНИЕ РАБОТЫ

Во введении обосновывается актуальность темы исследования, дается обзор литературы по теме диссертации и излагается краткое содержание полученных автором результатов.

Первая глава (§§1.1 — 1.6) посвящена приближенным методам решения с.с.и.у. первого рода вида

j 2х _ j 2я

--J In sin-x(<j)da + — j h(s,a)x(a)d<j = y(s); (1)

27Г 0 1 2z 0

здесь h{s,a), y(s) — известные непрерывные 2я-периодические функции, х(а) — искомая функция, слабо сингулярный интеграл понимается как несобственный.

Параграф 1.1 носит вспомогательный характер. В нем приведены некоторые необходимые для дальнейшего изложения результаты из теории функций и приближений и функционального анализа.

В §1.2 в рассмотрение вводятся пространства Зигмунда. Через Z" (0 < а < 2) обозначается множество всех непрерывных 2л:-периодических функций cp{s), удовлетворяющих условию Зигмунда: Z{cp, а) < со, где

Z{<p, а) = sup i-—-la-,

h> о h

а через \У2а (0 < а < 2, г > О целое) — множество непрерывных 2л-периодических функций, имеющих г - ю производную из 2а (О < а < 2).

Доказано, что эти пространства являются полными несепарабельными пространствами относительно норм

В §1.3 установлены аппроксимативные свойства операторов Фурье и Лагранжа в пространствах 2а и IV7а (0 < а < 2, г > 0 целое).

Как известно, основная трудность решения уравнения (1) связана в первую очередь с его некорректностью, а именно: слабо сингулярный интегральный оператор Я: X X,

является вполне непрерывным в известных функциональных пространствах X, что влечет за собой полную непрерывность оператора А: X -» X,

1 2я

Ах^ £г + Нх, Юс = — [ сг) лг(<т) с/сг. В §1.4 дано обоснование корректности указанного уравнения в паре

В §1.5 (пп. 1.5.1 — 1.5.4) проводится теоретическое обоснование приближенных методов решения с.с.и.у. (1) в паре пространств IV1с

использованием полученных в предыдущем параграфе результатов по аппроксимации в этих пространствах.

Пункт 1.5.1 посвящен методу Гачеркина. Доказана

Иг» =И=о +г((р,а);

1 г

пространств

Теорема 5.1. Пусть ядро h(s,a) таково, что оператор R:Z —> IV1 Z

В п.1.5.2 обоснован метод коллокаций (теорема 5.2).

В п. 1.5.3 дано теоретическое обоснование метода вырожденных ядер (теорема 5.3). А также установлена скорость сходимости метода для конкретных аппроксимирующих ядер (следствия 1 — 3).

В пункте 1.5.4 установлена скорость сходимости метода механических квадратур, построенного с помощью квадратурной формулы прямоугольников по сетке из N = |2п +1,2п} узлов:

Теорема 5.4. Пусть ядро //(.5,ст) по каждой переменной

равномерно относительно другой и правая часть _у(л) е 1Уг+12а О < а < 2, г> 0. Тогда при всех п >я0 приближенное уравнение метода механических квадратур имеет единственное решение х*(ст), которое сходится к точному решению х'(а) с.с.и.у. (1) со скоростью

В п. 1.6.1 параграфа 1.6 проведено теоретическое обоснование вычислительной схемы метода механических квадратур в различных функциональных пространствах, которая без обоснования предложена в [78]. В случае нечетного числа узлов квадратурной формулы указанная схема исследована в монографии Б.Г.Габдулхаева.

В основу исследований положено доказательство сходимости метода в пространстве квадратично-суммируемых функций, а равномерная сходимость и сходимость в пространстве гельдеровых функций выводятся как следствие сходимости в среднем.

вполне непрерывен, а точное решение исходного с.с.и.у. х' е2а (1<а <2). Тогда метод Галеркина сходится со скоростью

Следует отметить, что обоснование указанной схемы в случае четного числа узлов было проведено Р.С.Храпко. В основе его исследования лежит теория компактной аппроксимации Г.М.Вайникко. Мы предлагаем другой способ обоснования, который позволяет получить все результаты Р.С.Храпко как простое следствие при минимальных требованиях на исходные функции.

Пункт 1.6.2, состоящий из двух частей, посвящен итерационным методам решения уравнения (1). Здесь дано теоретическое обоснование двух итерационных схем, применение которых становится возможным в рамках корректной постановки задачи решения уравнения (1), что делает его приводящимся к уравнению второго рода.

Результаты, приведенные в §7 второй главы монографии Б.Г.Габдулхаева (1980 г.), позволяют сделать вывод о том, что рассмотренные выше прямые и итерационные методы решения уравнения (1) являются важнейшими. Однако, несмотря на ряд достоинств, эти методы, как известно, обладают определенными недостатками. Например, при применении прямых методов для получения результата с требуемой точностью очень часто приходится решать алгебраические системы довольно высоких порядков, причем на каждом последующем этапе результаты счета из предыдущего этапа, вообще говоря, не используются. К недостаткам итерационных методов можно отнести то, что они (особенно метод простой итерации) применимы, как правило, лишь к ограниченному классу задач. От этих недостатков свободны смешанные методы, основанные на аппроксимативных и итерационных подходах и обладающие положительными сторонами первоначальных методов. В пункте 1.6.3 рассмотрен один из них — квадратурно-итерационный метод решения уравнения (1). Автором получены общие теоремы для оценки погрешности к-го приближения некоторого квадратурно-итерационного метода, а также рассмотрены два случая, учитывающие конкретный вид исходного уравнения и особенности построения метода механических квадратур.

Пункт 1.6.4 посвящен исследованию еще одного аппроксимативно-итерационного метода. В пространстве 2я-периодических квадратично-суммируемых функций рассмотрен частный случай уравнения (1) в виде

J 2л- | 2я

--í ln sin-х(сг)da + — í h(s-a)x(a)da = y(s), (2)

2п • ? J

2лг 0

2

где /¡(<т) — известная непрерывная 2л-периодическая функция.

Указанное уравнение решается приближенно с помощью проекционно-итеративного метода, построенного на базе универсального итерационного метода. Остановимся на вычислительной схеме метода.

Приближенное решение рассматриваемого с.с.и.у. будем искать как тригонометрический полином степени п вида

к=-п

неизвестные коэффициенты которого будем определять как решение СЛАУ порядка N, эквивалентной следующему операторному уравнению:

+ (х„,Р„уеХп),

где Рп:Х Хп — некоторый проекционный оператор. Будем решать его с помощью универсального итерационного метода

хкп+'=хк„+т{Рпу-Ахк„) {к = 0,1,...), где х° — произвольное начальное приближение из подпространства Хп. Параметр г > 0 выберем так, что скорость сходимости применяемого универсального итерационного метода максимально возможная.

Вторая глава (§§2.1 — 2.6) посвящена точным и приближенным методам решения двумерного с.с.и.у. первого рода с логарифмическими ядрами вида

j | In sin a^ 5 In sin -—- x(a,r)dadv +

+ Ks,t,a,r)x(a,T)dadT = y(s,t), (3)

Л rr~ J J

здесь h(s,t,a,r), y(s,t) — известные непрерывные 2я-периодические функции по каждой из переменных, х(а,/) — искомая функция, причем слабо сингулярные интегралы понимаются как несобственные.

Как и в одномерном случае, уравнение (3), как правило, является некорректным в обычном смысле. Однако специальная структура ядра позволяет ставить эту задач}' корректно в паре функциональных пространств.

Следует отметить, что рассмотренные в первой главе пространства Зигмунда можно обобщить и на двумерный случай. Тогда задача решения уравнения (3) в паре таких пространств также была бы корректной. Однако ввиду громоздкости выкладок и получаемых оценок автор посчитал целесообразным остановиться на паре пространств квадратично суммируемых функций, которые являются гильбертовыми, что дает дополнительные преимущества.

Корректной постановке задачи посвящен §2.1, где в качестве пространства искомых элементов рассмотрено пространство Lj = 2лг]2 суммируемых с квадратом 2л-периодических функций от двух переменных с обычной нормой

а в качестве пространства правых частей — пространство = Й^О, 2/г]2 2я-периодических функций от двух переменных, которые вместе со своими первыми у[, у'2 и вторыми смешанными производными у"2, у^ являются

квадратично суммируемыми 2л-периодическими функциями от двух

Кроме того, в этом параграфе приведена структура обратных к исходным операторов, сформулированы достаточные условия их существования, а также получены соответствующие оценки норм в зависимости от структурных свойств заданных функций.

В §2.2 установлена связь между интерполяционной и интегральной нормами тригонометрического полинома в двумерном случае, дана оценка нормы двумерного оператора Лагранжа.

В §2.3 обоснованы две итерационные схемы решения с.с.и.у. (3), применение которых становится возможным в рамках корректной постановки задачи его решения.

В §2.4 приведено теоретическое обоснование метода механических кубатур, вычислительная схема которого часто используется в ряде приложений. Доказана сходимость приближенного решения к точному и установлена оценка погрешности.

В §2.5 рассматривается кубатурно-итерационный метод решения уравнения (3). Получены общие теоремы оценки погрешности к-то приближения некоторого кубатурно-итерационного метода, а также рассмотрены три случая, учитывающие конкретный вид исходного уравнения и особенности построения метода механических кубатур.

Вычислительная схема общего проекционного метода, предложенная и обоснованная в §2.6, в зависимости от выбранного линейного проекционного оператора включает в себя все полиномиальные проекционные методы решения двумерного уравнения вида

переменных. В пространстве 1Уг введена норма

, 2л2я

¿JJb

о О

2я2л

р-т t — Т

In sin—г— x(a,r)dadr +

. s-a sin-

2

+ I [ h{s- a,t - z)x{a,z)dadz = y(s,t), (4) чл 0 0

здесь как и выше h{s,t), y(s,t) —известные непрерывные 2я-периодические функции по каждой из переменных, x{a,t) — искомая функция, причем слабо сингулярный интеграл понимается как несобственный.

Отметим, что обоснование приближенных методов решения п -мерного (п> 2) с.с.и.у. не отличается принципиально от соответствующего обоснования в двумерном случае. Такой переход лишь усложняет вычисления. В связи с этим полученные во второй главе результаты могут быть обобщены на случай приближенного решения п-мерного (п > 2) с.с.и.у. с логарифмическими ядрами.

Сформулируем основные результаты диссертации, выносящиеся на защиту:

1. Доказаны полнота и несепарабельность пространств Зигмунда Za и V/]Za (0 < а < 2). Установлены аппроксимативные свойства операторов Фурье и Лагранжа в этих пространствах.

2. Для одномерного слабо сингулярного интегрального уравнения первого рода с логарифмическим ядром дано обоснование полиномиальных методов Галеркина, коллокаций, вырожденных ядер и механических квадратур в паре пространств Зигмунда jz, J^zj.

3. Для одномерного слабо сингулярного интехрального уравнения первого рода с логарифмическим ядром обоснованы квадратурные и аппроксимативно-итерационные методы решения в паре функциональных пространств , Щ' j •

4. Для двумерного слабо сингулярного интегрального уравнения первого рода с логарифмическими ядрами предложены и обоснованы кубатурные и аппроксимативно-итерационные методы решения в паре функциональных пространств , IV]1 • Для указанного уравнения с

разностными ядрами сформулированы достаточные условия обратимости исходного оператора и обоснован общий проекционный метод решения.

В заключение автор выражает глубокую благодарность и признательность своему научному руководителю профессору Билсуру Габдулхаевичу Габдулхаеву за постановку задач, постоянное внимание к работе и неоценимый опыт научного общения.

РАБОТЫ АВТОРА ПО ТЕМЕ ДИССЕРТАЦИИ

1. Мифтахова Е.Ф. Некоторые квадратурные методы решения слабо сингулярных интегральных уравнений // Алгебра и анализ. Материалы научной школы-конференции, посвященной 100-летию Б.М.Гагаева. — Казань: Изд-во Казанского математического общества, 1997. — С. 151.

2. Мифтахова Е.Ф. Решение слабо сингулярных интегральных уравнений методом механических-квадратур / Казанский ун-т. — Казань, 1998. — 20 с. — Деп. в ВИНИТИ 10.02.98, № 395-В98.

3. Мифтахова Е.Ф. Итерационные методы решения слабо сингулярного интегрального уравнения / Казанский ун-т. — Казань, 1998. — 18 с. — Деп. в ВИНИТИ 26.10.98, № 3087-В98.

4. Мифтахова Е.Ф. Аппроксимативные методы решения многомерного слабо сингулярного интегрального уравнения / Казанский ун-т. — Казань, 1999. — 24 с. — Деп. в ВИНИТИ 22.01.99, № 191-В99.

5. Аюпова Е.Ф. Квадратурно-итерационный метод решения слабосингулярного интегрального уравнения // Теория функций, ее

приложения и смежные вопросы. Материалы школы-конференции, посвященной 130-летию со дня рождения Д.Ф.Егорова. Казань, 13-18 сентября 1999 г. — Казань: Казанское математическое общество, 1999. — С. 31 —33.

6. Аюпова (Мифтахова) Е.Ф. Приближенное решение слабо сингулярных интегральных уравнений первого рода // Материалы научно-практической конференции студентов и аспирантов. Казань, 16-17 сентября 1999 г. — Казань, 1999. — С. 43 — 45.

7. Аюпова Е.Ф. Об итерационных методах решения двумерного слабо сингулярного интегрального уравнения первого рода // Материалы научно-практической конференции студентов и аспирантов. Казань, 27 -28 апреля 2ООО года. — Казань, 2000. — С. 43.

8. Аюпова (Мифтахова) Е.Ф. О решении одного двумерного слабо сингулярного интегрального уравнения первого рода // Изв. вузов. Матем. — 2000, —№8.— С. 72-75.

9. Аюпова (Мифтахова) Е.Ф. Двумерное слабо сингулярное интегральное уравнение первого рода и общий проекционный метод решения // Дифференциальные и интегральные уравнения. Тезисы докладов Международной научной конференции, 12 - 14 сентября 2000 г.— Одесса: Изд-во «АстроПринт», 2000. — С. 18 -19.

10. Аюпова Е.Ф. Методы решения двумерного слабо сингулярного интегрального уравнения первого рода // Труды математического центра имени Н.И.Лобачевского. Том 5. Актуальные проблемы математики и механики. — Казань: УНИПРЕСС, 2000. — С. 28 - 30.

ВВЕДЕНИЕ.

ГЛАВА 1. Приближенные методы решения одномерного слабо сингулярного интегрального уравнения первого рода с логарифмическим ядром.

§1.1. Некоторые вспомогательные результаты.

§ 1.2. Пространства Зигмунда и их свойства.

§1.3. Элементы теории приближения функций в пространствах

Зигмунда.

§1.4. Корректная постановка задачи.

§1.5. Приближенные методы решения.

1.5.1. Метод Галеркина.

1.5.2. Метод коллокаций.

1.5.3. Метод вырожденных ядер.

1.5.4. Метод механических квадратур.

§1.6. Приближенные методы решения. Продолжение.

1.6.1. Метод механических квадратур.

1.6.2. Итерационные методы.

1.6.3. Квадратурно-итерационные методы.

1.6.4. Проекционно-итеративный метод.

ГЛАВА 2. Приближенные методы решения двумерного слабо сингулярного интегрального уравнения первого рода с логарифмическими ядрами.

§2.1. Постановка задачи и структура обратного оператора.

§2.2. Вспомогательные результаты.

§2.3. Итерационные методы.

§2.4. Метод механических кубатур.

§2.5. Кубатурно-итерационные методы.

§2.6. Общий проекционный метод.

В процессе решения большого числа теоретических и прикладных задач математики, механики, физики, химии и техники (см., например, работы [12, 31, 34, 40, 44, 51, 55, 60, 68, 71, 78 - 80, 84, 92, 97, 99] и библиографию в них) возникают слабо сингулярные интегральные уравнения (с.с.и.у.) первого рода с логарифмическими ядрами в главной части интегрального оператора вида

1 2я 1 2я

I Г S — СУ 1 г

--In sin-x(<j)dcr-\--h(s,cr)x(cr)da - y(s); (0.1)

2я- * 2 2к {

In 0 л 2я2я

4 n о о су-s sin

In т-t sinx(a, r)d(j d-r + 2я2я ч--7г \ \ h{s,t,cr,T)x{cy,T)dadT = y{s,t), (0.2)

4 к J J о о здесь h{s,<j), X^j h{s^,<J,r), y(s,t) — известные непрерывные 2%-периодические функции по каждой из переменных, х(а), x(cr,t) — искомые функции, причем слабо сингулярные интегралы понимаются как несобственные.

Из теории таких уравнений (см., например, [9 - 10, 12, 32, 50, 67, 70, 78, 82 - 83, 88] и библиографию в них) следует, что они решаются точно лишь в весьма редких частных случаях, но даже в этих случаях для доведения результата до числа необходимо вычислять регулярные, сингулярные и слабо сингулярные интегралы со сложными плотностями. В связи с этим для теории, и в особенности для приложений, проблема разработки приближенных методов решения слабо сингулярных интегральных уравнений первого рода с соответствующим теоретическим обоснованием представляется важной актуальной задачей.

О результатах, полученных в этой области отечественными математиками и механиками, а также рядом зарубежных авторов, достаточно полную информацию можно найти, например, в монографиях [7, 10, 12, 26 -27, 31, 40, 55, 71, 78, 99], работах обзорного характера [22, 94], а также в диссертациях [3 - 4, 11, 33, 41 - 42, 44 - 45, 77, 86, 90]. В последующем обзоре затронем только те работы, которые имеют непосредственное отношение к теме диссертации.

Особенностью слабо сингулярных интегральных уравнений первого рода является их принадлежность к классу некорректных задач, в связи с этим основную трудность при решении таких уравнений представляет не разработка приближенных методов, а их теоретическое обоснование.

Существует несколько подходов к решению указанных уравнений. Первый из них основан на методах решения некорректно поставленных задач, разработанных выдающимися математиками А.Н.Тихоновым, М.М.Лаврентьевым, В.К.Ивановым и получивших дальнейшее развитие в работах В.Я.Арсенина, Г.М.Вайникко, В.В.Васина, В.Г.Романова, В.А.Морозова, и ряда других авторов (см., например, [8 - 10, 49 - 50, 60, 69, 88]). Особенно широко используются хорошо разработанные методы регуляризации, однако их применение при решении с.с.и.у. первого рода сопряжено с определенными трудностями, вызванными специфической структурой ядер этих интегральных уравнений, что приводит к очень трудоемким алгоритмам.

В работах М.М.Хапаева (мл.) (см., например, [91 - 92]) предлагается другой подход к решению интегральных уравнений первого рода с логарифмической особенностью, основанный на обращении интегрального оператора с логарифмическим ядром. В этом случае теоретическое обоснование численных методов не представляет принципиальных трудностей, так как использование такого подхода приводит к интегральным уравнениям Фредгольма второго рода, которые решаются прямыми численными методами. Однако для практической реализации эти методы не удобны в связи с трудоемкостью алгоритмов.

В следующих подходах к решению обсуждаемых с.с.и.у. используется тот факт, что наличие в ядре уравнения логарифмической особенности позволяет непосредственно решать его прямыми численными методами, что является более эффективным со многих точек зрения. В то же время обоснование этих методов представляет существенную трудность, которая в ряде случаев до сих пор не преодолена.

Применение прямого численного метода коллокационного типа для решения с.с.и.у. первого рода с логарифмической особенностью в ядре было предложено А.Н.Тихоновым, В.И.Дмитриевым, Е.В.Захаровым (см., например, [39]). Этот метод впоследствии был назван методом саморегуляризации Тихонова. Дальнейшее развитие он получил в работах Т.Н.Галишниковой, А.С.Ильинского, В.В.Воронина, В.А.Цецохо (см., например, [13 - 14, 31, 39 - 40, 94]). В то же время несмотря на многочисленные приложения полного теоретического обоснования этот метод не получил.

Наиболее перспективным, на наш взгляд, является подход, основанный на корректной постановке задачи решения исходных уравнений с последующим применением аппроксимативных методов решения. Корректная постановка задачи возможна при подходящем выборе пары функциональных пространств: пространства искомых элементов и пространства правых частей. Тем самым решенной оказывается проблема академика А.Н.Тихонова саморегуляризации (в том числе оптимальной конечномерной саморегуляризации) некорректно поставленных задач, описываемых различными классами интегральных и интегро-дифференциальных уравнений. Исследованию приближенных методов решения указанных классов уравнений в условиях корректной постановки задачи посвящено большое число результатов группы казанских математиков под руководством автора указанной методики Б.Г.Габдулхаева (см., например, работы, в том числе монографии и диссертации, [3 - 4, 11, 15

- 30, 33, 41, 42 - 43, 45 - 46, 74 - 77, 86, 90] и библиографию в них). Остановимся на некоторых результатах.

Для одномерного слабо сингулярного интегрального уравнения первого рода с логарифмическим ядром в главной части интегрального оператора (0.1) в I главе [26] дана корректная постановка задачи его решения в пространствах квадратично суммируемых функций, приведены вычислительные схемы различных аппроксимативных методов и дано их теоретическое обоснование. Обоснование некоторых приближенных методов решения (0.1) дано также в диссертации Р.Т.Валеевой [11]. В основу исследований в этих работах было положено доказательство сходимости в пространстве квадратично суммируемых функций, равномерная сходимость и сходимость в пространстве гельдеровых функций получены как следствие сходимости в среднем. Диссертация А.В.Ожеговой [77] посвящена обоснованию приближенных методов решения указанных уравнений непосредственно в равномерной метрике. В работе построена пара функциональных пространств, полученных в результате сужения пространства непрерывных функций, в которых задача решения исходного уравнения ставится корректно.

Отметим, что при обосновании приближенных методов в указанных работах используется специально разработанный Б.Г.Габдулхаевым вариант общей теории приближенных методов функционального анализа, включающий в себя теорию академика Л.В.Канторовича и развивающий ее в различных направлениях, обусловленных приложениями к широким классам приближенных методов решения общих линейных уравнений, задача решения которых может быть поставлена как корректно, так и некорректно (см. в [23], гл. I).

Вопросы приближенного решения одномерных слабо сингулярных интегральных уравнений первого рода с логарифмическим ядром рассматривались также в работах [13 - 14, 23, 27, 34, 42, 45, 53, 74 -76, 86, 93].

Многомерные, в частности двумерные, слабо сингулярные интегральные уравнения первого рода часто встречаются в прикладных задачах, однако вопросы их приближенного решения исследованы гораздо в меньшей степени по сравнению с аналогичными для одномерных с.с.и.у. Во многих работах, посвященных приближенному решению многомерных с.с.и.у. первого рода, вычислительные схемы прямых методов рассматриваются в различных классах функций (аналогично одномерному случаю), в то время как теоретическое обоснование, как правило, не проводится.

Вопросы единственности решения многомерных интегральных уравнений рассмотрены в работах Ю.Е.Аниконова [1 - 2] и Л.А.Сурай [86]. В диссертации [86] изложены также результаты по приближенному решению двумерного уравнения вида (0.2) методами наименьших квадратов, Галеркина, подобластей и методом механических кубатур. Кроме того, некоторые вопросы решения многомерных с.с.и.у., были рассмотрены в работах [16, 21, 27, 30, 44, 75, 77, 83, 90].

Численные методы решения интегральных уравнений первого рода с логарифмической особенностью рассматривались и рядом зарубежных авторов (см., например, [96 - 102]).

Тем не менее, в рассматриваемой области все еще остается много нерешенных задач. Решению некоторых из них посвящена данная диссертационная работа.

Во-первых, автором предложена новая пара функциональных пространств Зигмунда, в которых обоснована корректность задачи решения рассматриваемых уравнений.

Во-вторых, доказаны полнота и несепарабельность этих пространств.

В-третьих, с помощью полученных результатов по теории приближения функций исследованы приближенные методы решения исходных уравнений в новой паре пространств.

В-четвертых, восполнены пробелы в обосновании известных приближенных методов решения указанных уравнений в ставших почти стандартными функциональных пространствах.

Основное внимание при этом уделяется теоретическому обоснованию приближенных методов, под которым, следуя Л.В.Канторовичу [52], гл. XIV, будем понимать следующий круг вопросов:

1) доказательство теорем существования и единственности решения аппроксимирующих уравнений;

2) доказательство сходимости приближенных решений к точному решению и определение скорости сходимости;

3) установление эффективных оценок погрешности приближенного решения, учитывающих структурные свойства исходных данных.

При выводе и обосновании результатов диссертации используются известные результаты из теории функций и приближений, из общей теории приближенных методов функционального анализа и теории интегральных уравнений; при этом мы полностью следуем методике исследования аппроксимативных методов решения слабо сингулярных уравнений первого рода, специально разработанной в работах [15 - 30] Б.Г.Габдулхаева.

Диссертация носит теоретический характер. Полученные в ней результаты могут быть применены в теории функций и интегральных уравнений, в частности, при дальнейшем развитии аппроксимативных методов решения слабо сингулярных интегральных уравнений первого рода. Они также могут быть применены при решении конкретных прикладных задач физики, механики, химии и математической физики, математические модели которых приводят к указанным выше уравнениям.

Диссертация состоит из введения, двух глав и библиографического списка использованной литературы, состоящего из 112 наименований.

1. Аниконов Ю.Е. О единственности решения многомерных интегральных уравнений первого рода // Неклассические задачи уравнений математической физики. —Новосибирск: Наука, 1982. — С. 10 - 12.

2. Аниконов Ю.Е. О многомерных интегральных уравнениях первого рода // Некорректные задачи математической физики и анализа. — Новосибирск: Наука, 1984. — С. 8 12.

3. Апайчева J1.A. Приближенное вычисление сингулярных интегралов и прямые методы решения интегральных уравнений: Дисс.канд. физ.-мат. наук. — Казань, 1986. — 119 с.

4. Ахметов С.М. О прямых методах решения регулярных и сингулярных интегральных и интегро-дифференциальных уравнений: Дисс.канд. физ.-мат. наук. — Казань, 1974. — 128 с.

5. Бари Н.К. Тригонометрические ряды. — М.: Физматгиз, 1961. — 936 с.

6. Бахвалов Н.С., Жидков Н.П., Кобельков Г.М. Численные методы. — М.: Наука, 1987. —600 с.

7. Белоцерковский С.М., Лифанов И.К. Численные методы в сингулярных интегральных уравнениях. — М.: Наука, 1985. — 256 с.

8. Вайникко Г.М. Компактная аппроксимация операторов и приближенное решение уравнений. — Тарту: Изд-во Тартуск. ун-та, 1970. — 192 с.

9. Вайникко Г.М. Методы решения некорректно поставленных задач. — Тарту: Изд-во Тартуск. ун-та, 1982. — 109 с.

10. Вайникко Г.М., Педас А., Уба П. Методы решения слабо сингулярных интегральных уравнений. — Тарту: Изд-во Тартуск. ун-та, 1984. — 94 с.

11. Валеева Р.Т. Аппроксимативные методы решения слабо сингулярных интегральных уравнений первого рода: Дисс. канд. физ.-мат. наук. — Казань, 1995, — 108 с.

12. Ворович И.И., Александров В.М., Бабешко В.А. Неклассические смешанные задачи теории упругости. — М.: Наука, 1974. — 455 с.

13. Воронин В.В., Цецохо В.А. Численное решение интегральных уравнений первого рода с логарифмической особенностью // Математические проблемы геофизики. — Новосибирск: ВЦ СО АН СССР, 1973. — Вып. 4. —С. 212-228.

14. Воронин В.В., Цецохо В.А. Интерполяционный метод решения интегрального уравнения первого рода с логарифмической особенностью // Докл. АН СССР. — 1974. — Т. 216, №3. — С. 533 537.

15. Габдулхаев Б.Г. Об одном общем квадратурном процессе и его применении к приближенному решению сингулярных интегральных уравнений // Докл. АН СССР. — 1968. — Т. 179, №3. — С. 515 517.

16. Габдулхаев Б.Г. Кубатурные формулы для многомерных сингулярных интегралов, I и II // Труды Матем. ин-та АН Болгарии. — 1970, т. 11, с. 181-196; Изв. вузов Матем. — 1975, №4, с. 3 13.

17. Габдулхаев Б.Г. Прямые методы решения некоторых операторных уравнений, I IV // Изв. вузов. Матем. — 1971, №11, с. 33 - 44; 1971, №12, с. 28 -38; 1972, №4, с. 32 - 43; — 1974, №3, с. 18-31.

18. Габдулхаев Б.Г. Квадратурные формулы для сингулярных интегралов и метод механических квадратур для сингулярных интегральных уравнений // Труды Междун. конф. по конструктивной теории функций. Варна, 1970. — София: Изд-во Болг. АН, 1972. — С. 35 49.

19. Габдулхаев Б.Г. К численному решению интегральных уравнений методом механических квадратур // Изв. вузов. Матем. — 1972. — №12. — С. 21 -39.

20. Габдулхаев Б.Г. Аппроксимация в Н-пространствах и приложения // Докл. АН СССР. — 1975. — Т. 223, №6. — С. 1293 1296.

21. Габдулхаев Б.Г. Приближенное решение многомерных сингулярных интегральных уравнений, I и II // Изв. вузов. Матем. — 1975, №7, С. 30 -41; 1976, №1, с. 30-41.

22. Габдулхаев Б.Г. Аппроксимация полиномами и сплайнами решений слабо сингулярных интегральных уравнений // Труды Междун. конф. по теории приближения функций. Калуга, 1975. — М.: Наука, 1977. — С. 89 93.

23. Габдулхаев Б.Г. Оптимальные аппроксимации решений линейных задач.Казань: Изд-во Казанского ун-та, 1980. — 232 с.

24. Габдулхаев Б.Г. Конечномерные аппроксимации сингулярных интегралов и прямые методы решения особых интегральных и интегро-дифференциальных уравнений // Итоги науки и техники. Матем. анализ.М.: Изд-во ВИНИТИ АН СССР, 1980. —Вып. 18. —С. 251 307.

25. Габдулхаев Б.Г. Сходимость и устойчивость общего проекционного метода решения слабо сингулярных интегральных уравнений 1-рода // Докл. Всесоюзн. симп. По методу дискретных особенностей в задачах матем. физики. — Харьков: Изд-во ХГУ, 1989. — С. 59 62.

26. Габдулхаев Б.Г. Прямые методы решения сингулярных интегральных уравнений первого рода. — Казань: Изд-во Казанского ун-та,1994. —288 с.

27. Габдулхаев Б.Г. Численный анализ сингулярных интегральных уравнений. Избранные главы. — Казань: Изд-во Казанского ун-та,1995, —230 с.

28. Габдулхаев Б.Г., Ермолаева Л.Б. Интерполяционные полиномы Лагранжа в пространствах Соболева // Изв. вузов. Матем. — 1997. — №5. — С. 7-19.

29. Габдулхаев Б.Г., Сухов Р.Н. К обоснованию методов квадратур и кубатур для сингулярных интегральных уравнений // Конструктивная теория функций и функц. анализ, вып. 8. — Казань: Изд-во Казанск. ун-та, 1992.С. 33-51.

30. Галишникова Т.Н., Ильинский А.С. Численные методы в задачах дифракции. — М.: Изд-во Моск. ун-та, 1987. — 208 с.

31. Гахов Ф.Д. Краевые задачи. — М.: Наука, 1977. — 638 с.

32. Горлов В.Е. О прямых методах решения линейных и нелинейных интегральных уравнений: Дисс. канд. физ.-мат. наук. — Казань, 1977. — 132 с.

33. Гусейнов Э.А., Ильинский А.С. Интегральные уравнения I-рода с логарифмической особенностью в ядре и их применение в задачах дифракции на тонких экранах // Журн. вычисл. матем. и матем. физики.1987. — Том 27, №7. — С. 1050 1057.

34. Данфорд Н., Шварц Дж.Т. Линейные операторы (общая теория). — М.: ИЛ, 1962. —896 с.

35. Данфорд Н., Шварц Дж.Т. Линейные операторы (спектральная теория).М.-.ИЛ, 1966. —1064 с.

36. Даугавет И.К. Введение в теорию приближения функций. — Л.: Изд-во ЛГУ, 1977. —184 с.

37. Дзядык В.К. Введение в теорию равномерного приближения функций полиномами. — М.: Наука, 1977. — 490 с.

38. Дмитриев В.И., Захаров Е.В. О численном решении некоторых интегральных уравнений первого рода // Вычислительные методы и программирование. — М.: Изд-во Моск. ун-та, 1968. — Вып. 10. — С. 49 54.

39. Дмитриев В.И., Захаров Е.В. Интегральные уравнения в краевых задачах электродинамики. —М.: Изд-во МГУ, 1987. — 167 с.

40. Душков П.Н. Прямые методы решения сингулярных интегральных уравнений: Дисс. канд. физ.-мат. наук. — Казань, 1973. — 160 с.

41. Еникеева С.Р. Прямые методы решения слабо сингулярных интегральных уравнений: Дисс. канд. физ.-мат. наук. — Казань, 1998. — 107 с.

42. Еременко С.В. Исследование интегральных уравнений некоторых двумерных краевых задач и их численное решение: Дисс. канд. физ.-мат. наук. — Тбилиси, 1990. — 117 с.

43. Ермолаева Л.Б. Аппроксимативные свойства полиномиальных операторов и решение интегральных и интегро-дифференциальных уравнений методом подобластей: Дисс. канд. физ.-мат. наук. — Казань, 1987, — 154 с.

44. Ермолаева Л.Б. Об одной квадратурной формуле // Изв. вузов. Матем. — 2000, —№3. —С. 25 -28.

45. Зигмунд А. Тригонометрические ряды. Том 2. — М.: Мир, 1965. — 538 с.

46. Золотаревский В.А. Конечномерные методы решения сингулярных интегральных уравнений на замкнутых контурах интегрирования. — Кишинев: Штиинца, 1991. — 134 с.

47. Иванов В.В. Теория приближенных методов и ее применение к численному решению сингулярных интегральных уравнений. — Киев: Наук, думка, 1968. — 288 с.

48. Иванов В.К., Васин В.В., Танана В.П. Теория линейных некорректных задач и ее приложения. — М.: Наука, 1978. — 206 с.

49. Каландия А.И. Математические методы двумерной упругости. — М.: Наука, 1973. —303 с.

50. Канторович JI.B., Акилов Т.П. Функциональный анализ. — М.: Наука, 1977, —742 с.

51. Килбас А.А. Интегральные уравнения первого рода с логарифмическими ядрами // Научные труды юбил. семинара по краевым задачам, посвящ. 75-летию АН БССР Ф.Д.Гахова. — Минск: Изд-во АН БССР, 1985. — С. 57 64.

52. Колмогоров А.Н., Фомин С.В. Элементы теории функций и функционального анализа. — М.: Наука, 1989. — 624 с.

53. Колтон Д., Кресс Р. Методы интегральных уравнений в теории рассеяния. —М.: Мир, 1987. — 311 с.

54. Корнейчук Н.П. Точные константы в теории приближения. — М.: Наука, 1987. —424 с.

55. Красносельский М.А., Вайникко Г.М. и др. Приближенное решение операторных уравнений. — М.: Наука, 1969. — 456 с.

56. Красносельский М.А., Забрейко П.П. и др. Интегральные операторы в пространствах суммируемых функций. — М.: Наука, 1966. — 500 с.

57. Курпель Н.С. Проекционно-итеративные методы решения операторных уравнений. — Киев: Наук, думка, 1968.

58. Лаврентьев М.М., Романов В.Г., Шишатский С.П. Некорректные задачи математической физики и анализа. —М.: Наука, 1980. — 286 с.

59. Лифанов И.К. Метод сингулярных интегральных уравнений и численный эксперимент. — М.: Янус, 1995. — 520 с.

60. Лифанов И.К., Тыртышников Е.Е. Теплицевы матрицы и интегральные уравнения // Вычисл. процессы и системы. — 1990, вып. 7. — С. 94 278.

61. Лучка А.Ю. Аппроксимативно-итеративные методы решения дифференциальных и интегральных уравнений. — Киев: Наук, думка, 1980. —264 с.

62. Лучка А.Ю. Проекционно-итеративные методы. — Киев: Наук, думка, 1993. —288 с.

63. Лучка А.Ю., Лучка Т.Ф. Возникновение и развитие прямых методов математической физики. —Киев: Наук, думка, 1985. — 240 с.

64. Люстерник Л.А., Соболев В.И. Элементы функционального анализа. — М.: Наука, 1965. —520 с.

65. Михлин С.Г. Многомерные сингулярные интегралы и интегральные уравнения. —М.: Физматгиз, 1962. — 254 с.

66. Михлин С.Г. Вариационные методы в математической физике. — М.: Наука, 1970. —512 с.

67. Морозов В.А. Регулярные методы решения некорректных задач. — М.: Изд-во МГУ, 1987. — 239 с.

68. Мусхелишвили Н.И. Сингулярные интегральные уравнения. — М.: Наука, 1968, —512 с.

69. Назарчук З.Т. Численное исследование дифракции волн на цилиндрических структурах. — Киев: Наук, думка, 1989. — 256 с.

70. Натансон И.П. Конструктивная теория функций. — М.: Гостехиздат, 1949. —688 с.

71. Никольский С.Н. Квадратурные формулы. — М.: Наука, 1974. — 224 с.

72. Ожегова А.В. О приближенном решении интегрального уравнения первого рода с логарифмической особенностью // Исследования по краевым задачам и их приложения: Межвуз. сб. науч. тр. — Чебоксары: Изд-во Чуваш, ун-та, 1992. — С. 114 121.

73. Ожегова А.В. Приближенное решение двумерного интегрального уравнения 1 рода с логарифмической особенностью // Лобачевский исоврем, геом.: Междунар. науч. конф., Казань, 18-22 августа, 1992: Тез. Докл. 4.2. — Казань, 1992. — С. 93.

74. Ожегова А.В. Приближенные методы решения интегрального уравнения первого рода с логарифмической особенностью / Казанский ун-т. — Казань, 1994. — 13 с. — Деп. в ВИНИТИ 08.07.94, № 1730-В94.

75. Ожегова А.В. Равномерные приближения решений слабо сингулярных интегральных уравнений первого рода: Дисс. канд. физ.-мат. наук. — Казань, 1996.— 92 с.

76. Панасюк В.В., Саврук М.П., Назарчук З.Т. Метод сингулярных интегральных уравнений в двумерных задачах дифракции. — Киев: Наукова думка, 1984. — 344 с.

77. Партон Б.З., Перлин П.И. Интегральные уравнения теории упругости. — М.: Наука, 1977. —312 с.

78. Плещинский Н.Б. Приложения теории интегральных уравнений с логарифмическими и степенными ядрами. — Казань: Изд-во Казанск. унта, 1987. — 158 с.

79. Привалов А.А. Теория интерполирования функций. В 2-х книгах. — Саратов: Изд-во Сарат. ун-та, кн. 1, 1990, с. 1 229; кн. 2, 1990, с. 231 -422.

80. Самко С.Г. Интегральные уравнения первого рода с логарифмическим ядром // Методы отображений. — Грозный, 1976. — С. 41 69.

81. Самко С.Г. Одномерные и многомерные интегральные уравнения первого рода со слабой особенностью в ядре // Науч. тр. Юбил. семинара по краевым задачам, посвящ. 75-летию акад. АН БССР Ф.Д. Гахова. — Минск: Изд-во АН БССР, 1985. — С. 103 115.

82. Смагин С.И. Интегральные уравнения задач дифракции. — Владивосток: Даль-наука, 1995. — 203 с.

83. Стечкин С.Б. О порядке наилучших приближений непрерывных функций // Избранные труды: Математика. — М.: Наука. Физматлит, 1998, — 384 с.

84. Сурай JI.A. Прямые методы решения интегральных уравнений с логарифмической особенностью: Дисс. канд. физ.-мат. наук. — Казань, 1994, — 131 с.

85. Тиман А.Ф. Теория приближения функций действительного переменного. —М.: Физматгиз, 1960. — 624 с.

86. Тихонов А.Н., Арсенин В.Я. Методы решения некорректных задач. — М.: Наука, 1979. —286 с.

87. Функциональный анализ (сер. «Справочная математическая библиотека»). — М.: Наука, 1972. — 544 с.

88. Хайруллина A.M. Приближенное решение многомерных сингулярных интегральных уравнений: Дисс. канд. физ.-мат. наук. — Казань, 1987. — 127 с.

89. Хапаев М.М.(мл.) О некоторых методах регуляризации и численного решения интегральных уравнений первого рода // Изв. вузов. Матем. — 1983. —№7. —С. 81-85.

90. Хапаев М.М.(мл.) Численное решение одномерных интегральных уравнений скин-эффекта и теория потенциала: Дисс. канд. физ.-мат. наук.—М., 1983. — 120 с.

91. Храпко Р.С. Метод квадратур для интегральных уравнений I рода с логарифмической особенностью в ядре // Докл. АН Украины. — 1993, — №5. — С.36 40.

92. Цецохо В.А. Некоторые вопросы обоснования численных методов решения интегральных уравнений первого рода со слабыми особенностями // Актуальные проблемы вычислительной и прикладной математики. — Новосибирск: Наука, 1983. — С. 137 142.

93. Шерстнев А.Н. Конспект лекций по математическому анализу. — Казань: УНИПРЕСС, 1998. — 488 с.

94. Christiansen, S. Modification of some first kind integral equations with logarithmic kernel to improve numerical conditioning // Computing. — 1985. — v.34,№3. — P. 221 -242.

95. Estrada, R., Kanval, P. Integral equations with logarithmic kernels // IMA J. Appl. Math. — 1989. —v. 53, №2. —P. 133 155.

96. Frenkel, A. A Chebyshev expansion of singular integral equation with a logarithmic kernel // J. Comput. Phys. — 1983/ — v. 51, №2. — P. 326 334.

97. Kabir H., Madenci E., Ortega A. Numerical solution of integral equations with logarithmic- Cauchy- and Hadamard-type singularities // Int. J. Numer. Meth. Eng. — 1998. — v. 41, №4. — P. 617 638.

98. Мифтахова Е.Ф. Решение слабо сингулярных интегральных уравнений методом механических квадратур / Казанский ун-т. — Казань, 1998. — 20 с. — Деп. в ВИНИТИ 10.02.98, № 395-В98.

99. Аюпова Е.Ф. Методы решения двумерного слабо сингулярного интегрального уравнения первого рода // Труды математического центра имени Н.И.Лобачевского. Том 5. Актуальные проблемы математики и механики. — Казань: УНИПРЕСС, 2000. — С. 28 30.