Методы решения сингулярных интегродифференциальных уравнений на разомкнутых контурах тема автореферата и диссертации по математике, 01.01.01 ВАК РФ

Государственное образовательное учреждение

высшего профессионального образования «Казанский государственный университет им. В.И.Ульянова-Ленина»

На правах рукописи УДК 517.968:519.6

САМОЙЛОВА Эмма Николаевна

МЕТОДЫ РЕШЕНИЯ СИНГУЛЯРНЫХ ИНТЕГРОДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫХ УРАВНЕНИЙ НА РАЗОМКНУТЫХ КОНТУРАХ

01.01.01- математический анализ

Автореферат

диссертации на соискание ученой степени кандидата физико-математических наук

Казань - 2004

Диссертация выполнена на кафедре теории функций и приближений Казанского государственного университета.

Научный руководитель доктор физико-математических наук,

профессор Габдулхаев Билсур Габдулхаевич

Официальные оппоненты: доктор физико-математических наук,

профессор Мухлисов Фоат Габдуллович кандидат физико-математических наук, доцент Апайчева Любовь Алексеевна

Ведущая организация: Одесский государственный университет

имени И.И. Мечникова

Защита состоится 29 апреля 2004 г. в 14 час. 30 мин. на заседании диссертационного совета по математике К 212.081.07 в Казанском государственном университете по адресу:

420008, г. Казань, ул. Кремлевская, 18, корп.2, ауд.217

С диссертацией можно ознакомится в Научной библиотеке Казанского государственного университета.

Автореферат разослан марта 2004 г.

Ученый секретарь диссертационного совета кандидат физико-математических наук, доцент ^йЦ1<>Агачев Ю. Р.

Общая характеристика работы

Актуальность темы. Работа посвящена методам решения сингулярных интегродифференциальных уравнений (СИДУ) с интегралами Коши на разомкнутых контурах, понимаемыми в смысле главного значения по Коши - Лебегу. Такие уравнения точно решаются лишь в очень редких частных случаях. Поэтому как для теории, так и в особенности для приложений важное значение отводится разработке приближенных методов решения СИДУ с соответствующим теоретическим обоснованием.

За последние десятилетия в решении указанной проблемы достигнут значительный прогресс в основном благодаря работам отечественных математиков и механиков, а также ряда зарубежных авторов. Итоги исследований в этой области подведены в специальных обзорных работах В.В.Иванова (1965г.), D.Elliot (1979г.), Б.Г.Габдулхаева (1980г.), P.S.Theocaris(1981r.), М^оПзещ (1985г.), S.Prossdorf(1989г.), И.К. Лифанова и Е.Е. Тыртышникова (1990г.) и др.; в монографиях таких авторов как В.В.Иванов(1968г., 1975г.); В.В. Панасюк, М.П. Саврук, А.П. Дацышин (1976г.); S.G.Michlin, S.Prossdorf (1980г.); М.П.Саврук (1981г.); Б.Г. Габдулха-ев (1980г., 1994г., 1995г.); В.В. Панасюк, М.П.Саврук, З.Т.Назарчук (1984г.); С.М.Белоцерковский, И.К.Лифанов (1985г.); Н.Я.Тихоненко (1988г.,1994г.); З.Т.Назарчук(1989г.); S.Prossdorf, B.Silberman (1991г.); В.А.Золотаревский (1991г.); И.К.Лифанов (1995г.); кроме того, в значительном количестве диссертаций , среди которых отметим лишь наиболее близкие к теме данной работы (И.Шокамолов(1973г.), С.М.Ахметов(1974г.), В.Е.Горлов(1977г.), Л.А.Апайчева(1986г.), М.Г.Ахмадиев (1988г.), И.Н.Мелешко(1975 и 2003гг.)).

Однако, несмотря на сделанное, в данной области все еще остается

ЮС. НАЦИОНАЛЬНАЯ БМ&ЛМОТСКА

много нерешенных задач. Настоящая диссертация в некоторой степени восполняет этот пробел.

Цель работы - разработка сплайновых и полиномиальных приближений решений СИДУ первого и второго порядков на отрезке вещественной оси с теоретическим обоснованием, под которым, следуя академику Л.В.Канторовичу, понимается следующий круг вопросов:

1) доказательство теорем существования и единственности решения аппроксимирующих уравнений;

2) доказательство сходимости приближенных решений к точному решению и определение скорости сходимости;

3) установление эффективных оценок погрешности приближенного решения, учитывающих структурные свойства исходных данных.

Методика исследований. При выводе и обосновании результатов диссертации используются известные результаты из теории функций, и приближений, из общей теории приближенных методов функционального анализа и теории интегральных и интегродифференци-альных уравнений; при этом мы следуем методике исследования аппроксимативных методов решения операторных уравнений, изложенной в монографиях Б.Г.Габдулхаева (1980, 1994, 1995гг.).

Научная новизна. Предложено теоретическое обоснование сплайновых и полиномиальных проекционных методов решения СИДУ первого и второго порядков, а также установлены достаточные условия существования, единственности и устойчивости решения задачи Коти для СИДУ первого порядка в парах функциональных пространств

Теоретическая и практическая ценность. Диссертация носит теоретический характер. Полученные в ней результаты могут быть применены в теории приближения функций и интегральных уравне-

ний, в частности, при дальнейшем развитии аппроксимативных методов решения различных классов сингулярных интегродифференци-- альных уравнений. Они также могут быть применены при решении прикладных задач физики, химии, механики и математической физики, математические модели которых описываются указанными ниже уравнениями.

Апробация работы. Основные результаты диссертации докладывались и обсуждались: на Итоговых научных конференциях Казанского государственного университета за 1999 - 2003гг; на Всероссийской научной конференции "Теория функций, ее приложения и смежные вопросы", посвященной 130-летию со дня рождения Д.Ф.Егорова (г.Казань, КГУ, сентябрь 1999г.); на Международной молодежной научной конференции "Молодежь - науке будущего" (г.Наб.Челны, Кам-ПИ, апрель 2000г.); на Международной научной конференции "Дифференциальные и интегральные уравнения" (г.Одесса, ОГУ, сентябрь 2000г.); на Международной научной конференции "Актуальные проблемы математики и механики", посвященной 40-летию механико- математического факультета КГУ (г.Казань, КГУ, октябрь 2000г.); на Международной научной конференции "Теория функций, ее приложения и смежные вопросы " (г.Казань, КГУ, июнь 2001 г.); на Международной научно-практической конференции "Наука и практика. Диалоги нового века" (г.Наб.Челны, КамПИ, март 2003г.); на Международной научной конференции "Теория функций, ее приложения и смежные вопросы " (г.Казань, КГУ, июль 2003 г.). Кроме того, результаты работы неоднократно докладывались и обсуждались на городском научном семинаре "Теория аппроксимации и ее приложения в вычислительных методах" при Казанском государственном университете.

Публикации. По теме диссертации опубликовано 12 работ, список

которых приведен в конце автореферата.

Структура и объем работы. Диссертация объемом 114 страниц состоит из введения, трехтлав и библиографического списка литературы из 101 наименований.

Краткое содержание работы

Во введении обосновывается актуальность темы исследования, приводится краткий обзор литературы по теме диссертации и дается компактное изложение полученных автором результатов.

Первая глава (параграфы 1.1 - 1.2) носит вспомогательный характер. В ней приведены некоторые необходимые для дальнейшего изложения результаты из теории функций и приближений.

Вторая глава (параграфы 2.1 - 2.10) посвящена прямым проекционным методам решения задачи Коши для сингулярного интегро-дифференциального уравнения:

здесь - известные функции, функция, а

сингулярный интеграл

понимается в смысле главного значения по Коши - Лебегу.

В параграфе 2.1 приводится ряд полученных автором результатов (леммы 1.1- 1.7), необходимых для дальнейшего исследования. В частности:

а) для любой функции <р € И^1 доказано (лемма 1.1) представление

б) доказана полная непрерывность оператора В : И^1 —> £2 как оператора из в С и тем более как оператора из И^1 в (лемма

1.3), где В(ч>\1) = V 6 ^а1, -1 < t < 1;

в) доказана полная непрерывность оператора Т : ¿2 (лемма

1.4), где Г(*>;<) = <*(«)?(«) + 6(«)%>;*), -1 < « < 1,.

Здесь и далее И^1 = ^2 ^-множество тех непрерывных на [-1,1] функций, удовлетворяющих условию (2), первые обобщенные производные которых квадратично суммируемы по Лебегу, при этом норма определяется по формуле

непрерывных функций с нормой, определяемой обычным образом

всех функций, интегрируемых по Лебегу в промежутке [-1,1], с нормой

С^—1,1] = ^-пространство непрерывно дифференцируемых функций, удовлетворяющих условию (2) и норма в нем определяется следующим образом

В параграфе 2.2 устанавливаются достаточные условия существования и единственности решения вышеуказанной задачи (1)-(2) в парах функциональных пространств

и

М-мШ-М]).

В параграфе 2.3 установлены достаточные условия устойчивости решения задачи Коши (1)-(2) при малых возмущениях функций a(t) и b(t) в пространстве С[—1,1] и функции f(t) в пространстве 1,1].

В параграфе 2.4 разработаны итерационные методы решения задачи (1)-(2) в пространствах С1[—1,1] и [—1,1].

Параграф.2.5 посвящен специальному варианту метода сплайн-коллокации решения задачи (1)-(2), который можно трактовать как реализацию метода Боголюбова-Крылова для указанной задачи. Вводятся сетки узлов

где ^множество натуральных чисел. Приближенное решение задачи (1)-(2) ищется в виде сплайна

-фундаментальные сплайны первой степени для сетки узлов (3), причем при k = 0 и к = п пренебрегаем первыми двумя и соответственно последними двумя звеньями функций sq(í) и s„(t). Неизвестные постоянные û!o, cri, ...а„ определяются из системы линейных алгебраических уравнений (СЛАУ)

«о

7-1

*=1

Основное внимание в этом параграфе уделяется теоретическому обоснованию вычислительной схемы (1)-(6) в указанном выше смысле. В частности, доказаны следующие теоремы. Теорема БЛ.Пусть выполнены условия:

1)функции a(i), /(i) € C[-l, 1] и b(t) G Lip(3 (0 < 0 < 1), Ь(+1) = 0;

2) задача (1)-(2) имеет единственноерешение tp* £ Wj при любой правой части f 6 L2.

Тогда при всех il £ N,начиная с некоторого, СЛАУ (6) имеет единственное решение. Приближенные решения (5) сходятся при. п с» к точному решению ip*(t) задачи (1)-(2) в пространстве соскоростью

где i>i(î) = 6(i)ln(l — t), аш(т1);6) - модуль непрерывности функции ф 6 С[—1,1] с шагом S G (0,2].

Теорема 5.2.В условиях теоремы 5.1 погрешность приближенного решения может быть оценена неравенством

Если же коэффиииенты а(t).h(t)uf(t) уравнения (1) таковы, что </(*) = f(t) - a{t)ip*{t) - b{t)S{<p*-,t) е Lipa, 0 < а < 1,

то метод сходится t / 1 \

Теорема 5.4. Вусловиях теоремы 5.1 производные приближенного решения метод а сплайн-коллокации сходятся к производной точ-ногорешения вузлах коллокации (4) со скоростью

га« Iv'fà) - <p'n(tj)I = 0{Ы - Vnllirç} -+ 0, n -> оо.-

Теорема 5.5. В условиях теоремы 5.1 метод сплайн-коллокации сходится в том смысле, что

В параграфе 2.6 предлагается теоретическое обоснование (теоремы 6.1-6.3) метода сплайн - подобластей решения задачи (1)-(2). Приближенное решение снова ищется в виде сплайна (5), а его коэффициенты определяются из СЛАУ

В частности, доказны следующие теоремы:

Теорема 6.1. Пусть выполнены условия:

а)функции a{t), b(t) G С[-1,1], f(t) <= L2[-l, 1];

б)задача (1)-(2) имеет единственное решение ip* € прилюбой правой части f & Li.

Тогда при всех п 6 N, начиная с некоторого, СЛАУ (7) имеет единственное решение ао = 0, ai,...orn 6 R. 1 Приближенныере-

шения (5) сходятся к точному решению (р* в пространстве W^ со

'Здесь я далее под R - понимается множество чисел, вещественных или же комплексных (в зависимости от ситуации).

скоростью

где о|(/;<5)2 - модуль непрерывности функции / £ 1,1] в пространстве £-2 с шагом 6 € (0,2].

Теорема 6.2. Пусть функции а(1),Ь^) и ¡(Ь) таковы,что

Тогда метод (1)-(2), (3), (5), (7) сходится в пространстве И^ со скоростью

В параграфах 2.7-2.10 задача (1)-(2) решается различными полиномиальными проекционными методами.

Параграф 2.7 посвящен общему проекционному методу решения задачи (1)-(2). Введем пространства

где Нт- множество всех алгебраических многочленов степени не выше т{т + 1 € Л). Обозначим через ?п = {Рп} множество всех линейных операторов, отображающих пространство F в подпространство Приближенное решение задачи (1)-(2) будем искать в виде многочлена

который будем определять как точное решение операторного уравнения

Это уравнение эквивалентно СЛАУ порядка п € N относительно коэффициентов а\,0!2,..., ап € Л многочлена (9).

Для вычислительной схемы (1)-(2), (9)—(10) справедлива следующая

Теорема 7.1.Пусть выполнены условия:

3)задача (1)-(2) имеет единственное решение € Ф при любой

правой части / €

Тогда для всех Рп 6 Р^ и всехп € Г1!, хотя бы достаточно больших, уравнение (10) имеет единственное решение <рп 6 Ф„. Приближенные решения (9) сходятся к точному решению (р* £ Ф в пространстве Ф со скоростью, определяемой неравенствами

Еп-1{<Р*')р < \W-Vnh = = 0{Еп.1(Лр+Еп.1(Т^)р},

где оператор Т определен выше.

Здесь и далее Еп(и)щ-наилучшие приближения функции и 6 И^1 многочленами вида (9) в метрике пространства И^1, а Еп-^ч)^-наилучшие среднеквадратические приближения функции I» € ¿2 алгебраическими многочленами степени не выше п-1.

На практике встречаются и такие проекционные методы, у которых порождающие их операторы Рп ^ хоть и Рп Е 7п. В этом случае справедлива следующая

Теорема 7.2. Пусть выполнены условия:

3) задача (1)-(2) имеет единственное решение <р* £ И^1 при любой

Тогда для всех Рп 6 и при всех п 6 N, хотя бы начиная с некоторого, уравнение (10) имеет единственное решение и приближенные решения (9) сходятся к точному решению в пространстве W^ со скоростью, определяемой неравенствами

-Ы - <Pn\\w} = 0{£„_i(/)c} = o{3,-i(/)c + яисгуь), где Em(g)c - наилучшее равномерное приближение функции g G С[—1,1] алгебраическими многочленами степени не выше т.

Теоремы 7.1 и 7.2 сформулированы в универсальных терминах теории приближения функций. Поэтому они позволяют найти скорость сходимости полиномиальных проекционных методов в зависимости от структурных свойств исходных данных. Для иллюстрации сформулируем следующий результат.

Теорема 7.3.Пусть функции a(t), b(t) и f(t) таковы, что решение задачи (1)-(2) удовлетворяет условию

<p*€Wr+1Ha (г > 0,0 < а < 1).

Тогда в условиях теоремы 7.2 метод (1)-(2), (7)-(9) сходится со скоростью

В параграфах 2.8-2.10 рассматриваются конкретные реализации исследованного в теоремах 7.1-7.3 общего полиномиального проекционного метода. Так, в параграфе 2.8 изучаются методы моментов и Га-леркина; в параграфе 2.9 - метод наименьших квадратов, а в параграфе 2.10 - метод коллокации.

Третья глава (параграфы 3.1 - 3.4) посвящена исследованию сплайновых и полиномиальных проекционных методов решения общей двухточечной краевой задачи для СИДУ второго порядка:

Aifi = ip"{t) + a{t)ip'(t) + b(t)<p{t)+ 13

+

^»гйй+йй/й^./м. -,<«<!, (и)

7Г 1 Т — ^ 7Г Т — £ 1

''(+1)

/М-1) + = -0,70^+1) +

где а(4),Ь(4),с(4),й(4),/(4) - известные функции на сегменте [—1,1], - искомая функция, а /?0) 7о> 7Ь В, Г - вполне определенные постоянные, причем

/?0 + А2 >0, 7о2 + 71 >0.

В параграфе 3 1 доказываются некоторые предварительные результаты, сформулированные в виде лемм 1.1-1 6, например 2:

а) для любой функции <р € С2 и любых 6 Е (0,2] доказаны неравенства (лемма 1.2)

< %'Ис < ЩИсь < 8М&\

б) для любой функции доказаны представления (лемма 1.3)

*) г ± / = -- / 1п |г - <Ит) А-, -1 < * < 1;

я _1 т —I

7Г Д Т — I 7Г •'-

-1

+

*>'(+!) 1п(1 -¿)+у/(-1)1п(1 +1)

-1 <г < 1:

в) для любой функции и любых доказаны оценки

(леммы 1.4 и 1.5)

»¡ОПс^И^Цс^Ис,

Здесь и далее С2[—1,1]- пространство дважды непрерывно дифференцируемых на [-1,1] функций, удовлетворяющих условиям (12'); норма в С2 вводится по формуле

В параграфах 3.2 и 3.3 для задачи (11), (12*)! приводится вычислительная схема метода сплайн-коллокации с ее теоретическим обоснованием в паре пространств (С2,С). Приближенное решение ищется в виде кубического сплайна

где узлы 1, определены в (3). Неизвестные постоянные а^ (к = определяем из условий

Условия (14)—(16) представляют собой систему линейных алгебраических уравнений порядка 4n относительно 4n неизвестных коэффициентов сплайна (13).

Установлено теоретическое обоснование схемы в указанном выше смысле, в частности, доказана следующая Теорема 3.1.Пусть выполняются условия:

1) a(t), b(t), c(í), fit) € C[-l, 1], d{t) G Lipa (0 < a < 1), d(±l) = 0;

2) краевая задача (11), (12') имеет единственное решение <p* в С2

при любой правой части / 6 С[— 1,1].

Тогда СЛАУ (1^)-(16) однозначно разрешима относительно постоянных afc,(fc = l,n, i = 0,1,2,3). Приближенные решения (13)

15

сходятся к точному решению р* задачи (11), (1%') в пространстве С2 со скоростью

В параграфе 3.4 предложена вычислительная схема полиномиальных проекционных методов решения краевой-задачи (11), (12') на' отрезке вещественной оси, получено ее теоретическое обоснование в смысле общей теории приближенных методов функционального анализа и установлена ее практическая реализация через полиномиальные методы Галеркина, моментов, коллокации и наименьших квадратов.

Основные результаты, выносящиеся на защиту

1. Для начальной задачи для сингулярного интегродифференциаль-ного уравнения первого порядка с ядром Коши на отрезке вещественной оси:

а) доказаны теоремы существования, единственности и устойчивости решения в парах функциональных пространств и

(С\С).

б) предложены вычислительные схемы и установлено теоретическое обоснование методов сплайн - коллокации и сплайн - подобластей в паре.функциональных пространств (И^1,^)) что привело в конечном итоге к обоснованию метода Боголюбова - Крылова для указанной задачи;

в) установлено теоретическое обоснование общих полиномиальных проекционных методов, порождаемых как ограниченными, так и неограниченными полиномиальными проекционными операторами в пространствах квадратично-суммируемых функций;

также предложена практическая реализация общих методов через конкретные полиномиальные методы моментов, Галеркина, коллокации и наименьших квадратов.

2. Для краевой задачи для сингулярного интегродифференциально-го уравнения второго порядка с ядрами Коши на разомкнутых контурах:

а) проведено теоретическое обоснование сплайновых методов в паре функциональных пространств (С2, С);

б) предложена вычислительная схема полиномиальных проекционных методов решения указанной задачи и установлено ее теоретическое обоснование в смысле общей теории приближенных методов функционального анализа.

В заключение автор выражает глубокую благодарность и признательность своему научному руководителю Билсуру Габдулхаевичу Габдулхаеву за постановку задач и постоянное внимание к работе.

Публикации автора по теме диссертации

L Самойлова Э.Н. Прямой метод решения одного класса сингулярных интегро- дифференциальных уравнений /Э.Н.Самойлова // Теория функций, ее приложения и смежные вопросы. Материалы школы-конференции,посвященной 130-летию со дня рождения Д.Ф.Егорова. - Казань: Изд-во Казан, матем. общества, 1999. -С. 53 - 54.

2. Самойлова Э.Н. Метод сплайн-подобластей решения сингулярного интегро- дифференциального уравнения /Э.Н.Самойлова// Молодежь-науке будущего: Тезисы докладов Международной молодежной научной конференции (17-18 апреля 2000г.) - Набережные Челны: Изд-во Камского политехи, ин-та, 2000. - С. 10 - 11.

3. Самойлова Э.Н. Проекционный метод решения одного класса сингулярных интегро-дифференциальных уравнений /Э.Н.Самойлова// Труды матем. центра имени Н.И. Лобачевского. Т.5. Актуальные проблемы математики и механики. Казан, матем. общество. -Казань: УНИПРЕСС, 2000. -С. 189 - 190.

4. Самойлова Э.Н. Проекционный метод решения одного класса интегральных уравнений /Э.Н.Самойлова// Дифференциальные и интегральные уравнения. Тезисы докладов Международной конференции, 12-14 сентября 2000г. - Одесса: Астропринт, 2000. -С. 46 - 47.

5. Самойлова Э.Н. Сплайновые приближения решения сингулярного интегро-дифферен- шального уравнения /Э.Н.Самойлова// Изв.вузов.Математика. -2001. - N 11. - С. 35 - 45.

6. Самойлова Э.Н. Об одном сингулярном интегро-дифференциаль-ном уравнении /Э.Н. Самойлова// Труды матем центра имени Н.И.Лобачевского. Т. 8. Теория функций, ее приложения и смежные вопросы. Казан, матем. общество. -Казань: Изд-во ДАС, 2001. -С. 204 - 205.

7. Самойлова Э.Н. Общий проекционный метод решения сингулярного интегро-дифференциального уравнения/Э.Н.Самойлова// Труды матем. центра имени Н.И.Лобачевского. Т.8. Теория функций, ее приложения и смежные вопросы. Казан, матем. общество. -Казань: Изд-во ДАС, 2001. -С. 17 - 19.

8. Самойлова Э.Н. Теоремы существования и единственности решения для сингулярного интегродифференциального уравнения /Э.Н.Самойлова// Наука и практика. Диалоги нового века: Материалы Международной научно-практической конференции (17-19

марта 2003г.). - Набережные Челны: Изд-во Камского государственного политехи, ин-та, 2003. - С. 174 - 175.

9. Самойлова Э.Н. Проекционные методы решения одного класса сингулярных интегро- дифференциальных уравнений /Э.Н.Самойлова// Изв.вузов.Математика. -2003. - N 7. -С. 45 -50.

10. Самойлова Э.Н. Итерационные методы решения сингулярного интегро- дифференциального уравнения /Э.Н.Самойлова// Труды матем. центра имени Н.И.Лобачевского. Т. 19. Теория функций, ее приложения и смежные вопросы. -Казань: Изд-во Ка-зан.матем. общества, 2003. -С. 189 - 190.

11. Самойлова Э.Н. Об устойчивости решения задачи Коши для сингулярного интегро-дифферендиального уравнения /Э.Н. Самойлова// Труды матем. центра имени Н.И. Лобачевского. Т.19. Теория функций, ее приложения и смежные вопросы. -Казань: Изд-во Казан.матем. общества, 2003. -С. 191 - 192.

12. Самойлова Э.Н. Решение сингулярного интегро-дифференциаль-ного уравнения методом сплайн-коллокаций /Э.Н.Самойлова// Изв.вузов.Математика. -2003. - N 8. -С. 37 - 46.

Я-6559

Отпечатано с готового оригинал-макета в типографии Издательского центра Казанского государственного университета Тираж 100 экз. Заказ 3/80 420008, Казань, ул. Университетская, 17 Тел. 38-05-96

Глава I. Некоторые результаты из теории функций и приближений

§1.1. Об общей теории приближенных методов функционального анализа.

§1.2. О приближениях сплайнами минимальных степеней

Глава II. Задача Коши для сингулярного интегродифферен-циального уравнения первого порядка

§2.1. Предварительные результаты.

§2.2. Теоремы существования и единственности решения

§2.3. Об устойчивости решения.

§2.4. Итерационные методы.

§2.5. Метод сплайн-коллокации.

§2.6. Метод сплайн-подобластей.

§2.7. Общий проекционный метод.

§2.8. Методы моментов и Галеркина.

§2.9. Метод наименьших квадратов.

§2.10. Метод коллокации.

Глава III. Краевая задача для сингулярного интегродиф-ференциального уравнения второго порядка

§3.1. Предварительные результаты.

§3.2. Вычислительная схема метода сплайн-коллокации.

§3.3. Теоретическое обоснование метода.

§3.4. Полиномиальные проекционные методы.

Диссертация посвящена методам решения сингулярных интегро-дифференциальных уравнений (СИДУ) первого порядка

Ар = ^(г) + «(%(() + № [\ ^^ = т, -1 <«< 1, (0.1)

7г ■/1 т — £ с начальным условием у>(-1) = 0 (0.2) и второго порядка

А<р = <р"(Ь) + а(*У(*) + &(*)</>(*)+

7ГД Т — I ^ 1\ Т — I с краевыми условиями

М-1) + /%'(-!) = В, 7о¥>(+1) + 71^4+1) = Г, (0.4) где а(£),Ь(£),с(£),й(£), /(£) - известные функции на сегменте [—1,1], (р(Ь) - искомая функция, а /?о, /?1, 7о> 7ъ Г-вполне определенные постоянные, причем

00+01 >0, 7о+7? >0.

Сингулярные интегралы в (0.1) и (0.3) понимаются в смысле главного значения [29, 65, 86].

Такие уравнения возникают в процессе решения большого числа теоретических и прикладных задач математики, механики, физики, химии и техники (см., напр., работы [13, 18, 19, 20, 29, 33, 44, 45, 46, 52, 61, 63, 65, 68, 69, 70, 71, 72, 80, 84] и библиографию в них).

Вопросы теоретического исследования такого рода уравнений рассмотрены в работах [20, 29, 65, 81]. Из этих работ следует, что указанные уравнения точно (т.е. в замкнутом виде) решаются лишь в очень редких частных случаях. Поэтому как для теории, так и в особенности для приложений первостепенное значение приобретает проблема разработки приближенных методов решения СИДУ с соответствующим теоретическим обоснованием.

О результатах, полученных в этой области отечественными математиками и механиками, а также зарубежными авторами достаточно полную информацию можно найти, например, в монографиях [9, 18, 20, 21, 29, 35, 42, 44, 52, 53, 55, 54, 63, 64, 65, 66, 68, 69, 77, 78, 84, 86, 88], работах обзорного характера [19, 45, 83, 85, 89], кроме того, в значительном количестве диссертаций, среди которых отметим лишь наиболее близкие к теме данной работы: И.Ш.Шокамолов [82], С.М.Ахметов [6], В.Е.Горлов [32], Л.А.Апайчева [3], М.Г.Ахмадиев [5], И.Н.Мелешко[61].

Первые наиболее интересные результаты по точным и приближенным методам предложены Н. МиШюр'ом [87], А.И. Каландией [46], Л.Г. Магнарадзе [56] и В.В.Ивановым [44, 45]; их результаты и результаты других авторов, полученные до 1965 года, рассмотрены в обзорной работе В.В.Иванова [45]. В монографии [44] того же автора дается достаточно подробное изложение основных результатов, полученных до 1967 года. В указанных работах В.В.Иванова речь идет, в основном, о приближенных методах вычисления одномерных сингулярных интегралов и о проекционных и итерационных методах решения одномерных сингулярных интегральных уравнений (СИУ) и их систем в пространствах IV и ¿2.

В последующем обзоре затронем только те работы, которые имеют непосредственное отношение к теме данной диссертации.

К задаче Коши (0.1)—(0.2) сводится ряд задач гидромеханики, теории упругости и теории фильтрации, в первую очередь-теории струй и теплопроводности (см., напр.,[23, 57, 58, 59, 60, 70, 71, 72, 82]).

В работе [70] Г.Н.Пыхтеев получил уравнение вида (0.1) как математическую модель ряда важных прикладных задач из теории струй жидкости и газов. Кроме того, в его работах [70, 71, 72] приведены интересные исследования по точным и приближенным методам решения указанного уравнения и его нелинейного аналога.

Следуя Г.Н.Пыхтееву, И.Ш.Шокамолов [82] предлагает обоснование приближенного метода, основанного на аппроксимации производной искомой функции интерполяционными полиномами. Применяя, по существу, схему метода коллокации относительно производной искомой функции, обоснование своего метода [70, 71, 72, 82] указанные авторы дают в условиях применимости метода сжатых отображений.

В работе [22] обобщены некоторые результаты по полигональному методу решения операторных уравнений, а также исследован метод сплайн-коллокации для различных линейных и нелинейных уравнений; предложенная в работе [22] методика исследования значительно используется нами при приближенном решении СИДУ (0.1) и (0.3).

В работе [31] задача вида (0.1)-(0.2) сводится к слабо- сингулярному интегральному уравнению Фредгольма II рода относительно производной искомой функции. Последнее уравнение решается методом сплайн- коллокации и дается его теоретическое обоснование с помощью теории приближения функций и функционального анализа. Рассматривается также применение этого метода к решению одного нелинейного аналога СИДУ (0.1).

В параграфе 4 главы III диссертации Горлова В.Е. [32] обоснован метод Г.Н.Пыхтеева [70, 71, 72] решения задачи (0.1)-(0.2), но основанный на полигональной аппроксимации функций; результаты по этому методу обобщаются также на более общий класс уравнений.

В работе Б.Г. Габдулхаева [17], а также в пунктах 5.8 и 5.9 главы III [20], задача вида (0.1)—(0.2) решена методом алгебраической коллонации относительно производной искомой функции </?'(£); при этом, за основные взяты пространства С1 [—1,1] и С[—1,1] с обычными нормами, а обоснование метода проведено с помощью общей теории приближенных методов и компактной аппроксимации линейных операторов в указанных пространствах. В [28] рассмотрено численное решение задачи вида (0.1)-(0.2) с применением метода сплайн-квадратур.

В практически важном частном случае задача (0.1)-(0.2) эквивалентна задаче Коши для СИДУ с ядром Гильберта: я/(а) + а(в)®(в) + ^ /о27Г = у (а), (0.5) я(0) = 0, -оо < я < +оо, (0.6) где ж(з)-новая искомая функция, а а(в), /?(з), у (в)- новые известные функции, определяемые через исходные данные из (0.1). Отметим также, что задача (0.5)-(0.6) возникает как математическая модель ряда прикладных задач теории теплопроводности (см., напр., главы 4 и 5 диссертации [61]).

В работе [15] для решения нелинейного аналога задачи (0.5)-(0.6) предлагаются методы сплайн-квадратур, -коллокации и -подобластей и устанавливается их теоретическое обоснование в паре функциональных пространств (И^[0,2п], Ьр[0,2тг]), где 1 < р < оо.

В работе [23], а также в главе 2 диссертации С.М.Ахметова [6] предложены сплайновые и полиномиальные методы решения задачи (0.5)-(0.6). Предлагается и обосновывается общий проекционный метод для задачи (0.5)-(0.6) и ее нелинейного аналога. При этом выделяются два случая: а) проекционный оператор Рп : —>• 1/2 неограничен, а Рп : С ¿2 ограничен; б) проекционный оператор Рп : £2 —> ¿2 ограничен. В каждом из этих случаев доказывается сходимость метода и предлагаются эффективные оценки погрешности в пространствах ¿2, С, Нр, С1 ив узлах коллокации. Предлагаются вычислительные схемы полиномиальных методов ко л локации, подобластей, моментов и наименьших квадратов, сходимость которых выводится из общих теорем.

В работе Гильманова P.A. [30] задача (0.5)-(0.6) решается вариантом метода тригонометрической коллокации относительно производной искомой функции a/(s); за основные пространства в этой работе берутся X = С],,., Y = 02-к с обычными нормами, причем в основу исследований положена, как и в работе [17], теория компактной аппроксимации линейных операторов в банаховых пространствах.

В работе [16] предложены и теоретически обоснованы общие полиномиальные проекционные методы (используя аппроксимации по Дзядыку В.К. [36]) решения периодических сингулярных интегродиф-ференциальных уравнений произвольного конечного порядка, порождаемые как ограниченными, так и неограниченными полиномиальными проекционными операторами в пространствах квадратично-суммируемых по Лебегу функций.

В работе [12], следуя [16], для задачи (0.5)-(0.6) рассматривается общий проекционный метод и предлагается его теоретическое обоснование в паре пространств (Wp,Lp), где 1 < р < оо; рассматривается также реализация этого метода через методы Галеркина, коллокации, а также полиномиальные методы, порождаемые операторами Фейера и Бернштейна-Рогозинского. В [38] результаты работы [12] переносятся на нелинейный аналог задачи (0.5)-(0.6).

В работе [4] задача (0.5)-(0.6) решается тригонометрическими полиномиальными методами, основанными на аппроксимации суммами Фурье и Валле-Пуссена; причем, за основные взяты пространства и С21г с обычными нормами. Результаты работы [4] обобщены в диссертации Апайчевой JI.A. [3], в которой задача (0.5)-(0.6) решается как общим, так и конкретными полиномиальными проекционными методами в случае, когда коэффициенты уравнения (0.5) принадлежат пространству Стечкина Нк[<р], где уз-функция сравнения k-го порядка (к € tt) (см., напр., [74, 73]). Кроме того, в главе 3 этой диссертации аналогичные результаты получены также для задачи вида (0.1)—(0.2), где сингулярный интеграл рассматривается с ядром Ко-ши и с весом Чебышева.

В работе [26] периодическая краевая задача для общего линейного сингулярного интегродифференциального уравнения 1-го порядка, содержащего в себе, как частный случай, уравнение (0.5), решается прямыми и проекционными полиномиальными методами с соответствующим теоретическим обоснованием. В этой работе решена также задача оптимизации прямых методов решения указанного уравнения в различных функциональных пространствах.

Для уравнения, близкого к уравнению (0.1), в работе Ермолаевой Л.Б. [39] была предложена вычислительная схема полиномиального метода подобластей и установлено ее теоретическое обоснование.

Обоснование некоторых прямых методов решения задачи Коши для СИДУ теории крыла и краевой задачи для СИДУ теории дифракции дано в диссертации Ахмадиева М.Г. [5] и в главе III [20].

В работе [43] для решения периодической краевой задачи вида (0.3)- (0.4) предложены и обоснованы методы Галеркина и осреднения функциональных поправок.

Сплайновым методам решения интегральных и дифференциальных уравнений посвящена диссертация Агачева Ю.Р. [1]

В работах Мелешко И.Н. [58]—[61] задача теплопроводности сводится к задаче Коши для СИДУ с ядрами Гильберта и Коши на отрезке вещественной оси, а также к вычислению интегралов типа Коши и Шварца. Он построил и исследовал квадратурные формулы для указанных интегралов, содержащие производные их плотностей. В частности, в [58] проводятся аналитические исследования, основанные на аппроксимации сплайнами, в [57] на применении к сингулярному интегралу из (0.1) квадратурной формулы, содержащей значения производной искомой функции 1р{£) в точках отрезка [-1,1]. Указанные интегродифференциальные уравнения он решает вариантом метода коллокации, а именно, производные приближаются сплайнами, неизвестные коэффициенты определяются по методу коллокации. Также решаются первая, вторая, третья краевые задачи для круга, полуплоскостей и полосы, сводя их к СИДУ. Обоснование методов дано в условиях применимости метода сжатых отображений.

Во многих работах, посвященных приближенному решению СИДУ, вычислительные схемы прямых методов рассматриваются в различных классах функций, в то время как теоретическое обоснование, как правило, не проводится, или же проводится лишь в ряде из них при очень жестких ограничениях на исходные данные.

Отметим, что при обосновании приближенных методов в работах [1, 3, 4, 5, б, 10, 12, 11, 14, 16, 23, 24, 27] используется специально разработанный Б.Г.Габдулхаевым вариант общей теории приближенных методов функционального анализа, включающий в себя теорию академика Л.В.Канторовича и развивающий ее в различных направлениях, обусловленных приложениями к широким классам приближенных методов решения общих линейных уравнений (см. в [18], главы 1, 2 и 4).

Однако, несмотря на сделанное, в данной области все еще остается много нерешенных задач. Настоящая диссертация посвящена решению некоторых из таких задач.

Во-первых, доказаны теоремы существования, единственности и устойчивости решения задачи Коши для сингулярного интегродиф-ференциального уравнения первого порядка в парах функциональных пространств (И^1,-^) и (С1, С), а также рассмотрено их применение к исследованию итерационных методов.

Во-вторых, автором предложено теоретическое обоснование методов сплайн - коллокации и сплайн - подобластей решения задачи Ко-ши (0.1)-(0.2) в паре функциональных пространств (И^1, ¿2)? что привело к обоснованию метода Боголюбова-Крылова [48] для указанной задачи.

В третьих, установлено теоретическое обоснование общих полиномиальных проекционных методов решения задачи (0.1)-(0.2) в смысле общей теории приближенных методов функционального анализа, а также предложена их практическая реализация через полиномиальные методы моментов, Галеркина, коллокации и наименьших квадратов.

В четвертых, проведено теоретическое обоснование метода сплайн-коллокации решения краевой задачи (0.3)-(0.4) в паре функциональных пространств (С2, С) для СИДУ второго порядка с ядрами Коши на отрезке вещественной оси.

В пятых, предложена вычислительная схема полиномиальных проекционных методов решения задачи (0.3)-(0.4) и установлено ее теоретическое обоснование в смысле общей теории приближенных методов функционального анализа.

Основное внимание при этом уделяется теоретическому обоснованию приближенных методов решения СИДУ первого и второго порядков, под которым, следуя Л.В.Канторовичу [47], понимается следующий круг вопросов:

1) доказательство теорем существования и единственности решения аппроксимирующих уравнений;

2) доказательство сходимости приближенных решений к точному решению и определение скорости сходимости;

3) установление эффективных оценок погрешности приближенного решения, учитывающих структурные свойства исходных данных.

При выводе и обосновании результатов диссертации используются известные результаты из теории функций и приближений, из общей теории приближенных методов функционального анализа и теории интегральных и интегро- дифференциальных уравнений; при этом мы следуем методике исследования аппроксимативных методов решения операторных уравнений, изложенной в монографиях Б.Г.Габ-дулхаева [18, 20, 21].

Диссертация носит теоретический характер. Полученные в ней результаты могут быть применены в теории приближения функций и интегральных уравнений, в частности, при дальнейшем развитии аппроксимативных методов решения различных классов СИДУ. Они также могут быть применены при решении прикладных задач физики, химии, механики и математической физики, математические модели которых описываются вышеуказанными уравнениями.

Диссертация состоит из введения, трех глав и библиографического списка литературы, состоящего из 101 наименования.

Основные результаты диссертации докладывались и обсуждались: на Итоговых научных конференциях Казанского государственного университета за 1999 - 2002гг; на Всероссийской научной конференции "Теория функций, ее приложения и смежные вопросы ", посвященной 130-летию со дня рождения Д.Ф.Егорова (г.Казань, КГУ, сентябрь 1999г.); на Международной молодежной научной конференции "Молодежь - науке будущего" (г.Наб. Челны, КамПИ, апрель 2000г.); на Международной научной конференции "Дифференциальные и интегральные уравнения" (г.Одесса, ОГУ, сентябрь 2000г.); на Международной научной конференции "Актуальные проблемы математики и механики", посвященной 40-летию механико- математического факультета КГУ (г.Казань, КГУ, октябрь 2000г.); на Международной научной конференции "Теория функций, ее приложения и смежные вопросы " (г.Казань, КГУ, июнь 2001 г.); на Международной научно-практической конференции "Наука и практика. Диалоги нового века" (г.Наб.Челны, КамПИ, март 2003г.); на Международной научной конференции "Теория функций, ее приложения и смежные вопросы " (г.Казань, КГУ, июль 2003 г.). Кроме того, результаты работы неоднократно докладывались и обсуждались на городском научном семинаре "Теория аппроксимации и ее приложения в вычислительных методах" при Казанском государственном университете.

По теме диссертации опубликовано 12 работ автора [90]—[101].

В заключение автор выражает глубокую благодарность и признательность своему научному руководителю доктору физико-математических наук, профессору Билсуру Габдулхаевичу Габдулхаеву за постановку задач и постоянное внимание к работе.

ГЛАВА I

Некоторые результаты из теории функций и

1. Агачев Ю.Р. Сплайновые методы решения интегральных и дифференциальных уравнений: Дисс.канд.физ.-мат.наук. - Казань, 1987. - 144с.

2. Андриенко В.А. Теоремы вложения для функций одного переменного// Итоги науки и техники. Серия Матем. анализ, 1970. -М.: 1971. -С. 203 262.

3. Апайчева JI.A. Приближенное вычисление сингулярных интегралов и прямые методы решения интегральных уравнений: Дисс. канд. физ.-мат. наук. Казань, 1986. - 119 с.

4. Апайчева Л.А., Семенов И.П. Полиномиальная аппроксимация решений одного класса сингулярных интегро-дифференциальных уравнений// Дифференц. уравнения. -1983. -Т.19, N 9.-С. 1610 -1613.

5. Ахмадиев М.Г. Прямые методы решения сингулярных интегро-дифференциальных уравнений: Дисс. канд. физ.-мат. наук. — Казань, 1988. 112 с.

6. Ахметов С.М. О прямых методах решения регулярных и сингулярных интегральных и интегро-дифференциальных уравнений: Дисс. канд. физ.-мат. наук. — Казань, 1974. 128 с.

7. Бабенко К.И. Основы численного анализа. -М.: Наука, 1986. -744 с.

8. Бахвалов Н.С., Жидков Н.П., Кобельков Г.М. Численные методы. М.: Наука, 1987. - 600 с.

9. Белоцерковский С.М., Лифанов И.К. Численные методы в сингулярных интегральных уравнениях. М.: Наука, 1985. - 254 с.

10. Валеева Р.Т. Аппроксимативные методы решения слабосингулярных интегральных уравнений первого рода: Дисс. канд. физ.-мат. наук. — Казань, 1995. 108 с.

11. Велев Г.Д. О приближенных методах вычисления сингулярных интегралов: Дис. канд. физ.-мат. наук. Казань, 1981. - 162 с.

12. Велев Г.Д., Душков П.Н. О приближенном решении одного класса сингулярных интегро-дифференциальных уравнений // Изв. вузов. Математика. -1981. N 2.-С. 9 - 13.

13. Верлань А.Ф., Сизиков В.С. Интегральные уравнения: Методы, алгоритмы, программы. Киев: Наук.думка, 1986. - 543 с.

14. Габдулхаев Б.Г. Прямые методы решения некоторых операторных уравнений, I-IV // Изв. вузов. Матем. 1971, N 11, С. 33 -44; - 1971, N 12, С. 28 - 38; - 1972, N 4, С. 32 - 43; - 1974, N 3, С. 18 - 31.

15. Габдулхаев Б.Г. Сплайн-методы решения одного класса сингулярных интегро- дифференциальных уравнений// Изв. вузов. Математика. 1975. - N 6. - С. 14 - 24.

16. Габдулхаев Б. Г. Полиномиальные аппроксимации по В. К. Дзя-дыку решений сингулярных интегральных и интегро-дифференциальных уравнений// Изв. вузов. Матем. 1978, N 6. - С. 51 -62.

17. Габдулхаев Б.Г. Компактная аппроксимация одного класса сингулярных интегро- дифференциальных уравнений// В. сб. "Мат. анализ". -Казань: Изд-во Казанск. ун-та, 1978. С. 24 - 32.

18. Габдулхаев Б. Г. Оптимальные аппроксимации решений линейных задач. -Казань: Изд-во КГУ, 1980. -232 с.

19. Габдулхаев Б.Г. Конечномерные аппроксимации сингулярных интегралов и прямые методы решения особых интегральных и интегро-дифференциальных уравнений// Итоги науки и техники. Ма-тем.анализ. М.: Изд-во ВИНИТИ АН СССР, 1980. - Вып. 18.1. С. 251 307.

20. Габдулхаев Б.Г. Прямые методы решения сингулярных интегральных уравнений первого рода. Казань: Изд-во КГУ, 1994. -288 с.

21. Габдулхаев Б.Г. Численный анализ сингулярных интегральных уравнений. Избранные главы. Казань: Изд-во КГУ, 1995. -230 с.

22. Габдулхаев Б.Г., Ахметов С.М. О методе сплайн-коллокаций для интегральных уравнений// Приложения функционального анализа к приближенным вычислениям. Казань: Изд-во Казанск. ун-та, 1974. - С. 7 - 14.

23. Габдулхаев Б.Г., Ахметов С.М. Прямые методы решения уравнения теории струй// Дифф. уравнения. -1977. -Том 13, N 7. -С. 1299 1307.

24. Габдулхаев Б.Г., Гильманов Р.А., Велев Г.Д. Сплайн-метод решения одного класса сингулярных интегро-дифференциальных уравнений// Тез. докл. республ. науч.-техн. конф.: Интегральные уравнения в прикладном моделировании. Киев, 1983. -С. 72 - 73.

25. Габдулхаев Б.Г., Горлов В.Е. О сходимости полигонального метода решения слабо сингулярных интегральных уравнений// Функц. анализ и его приложения. -Казань: Изд-во Казанск. ун-та, 1975. -С. 60 - 72.

26. Габдулхаев Б.Г., Закиев М.И., Семенов И.П. Оптимальные проекционные методы решения одного класса интегродифференци-альных уравнений // Изв. вузов. Математика. 2001. - N 1. — С. 24 - 35.

27. Габдулхаев Б.Г., Горлов В.Е. Решение нелинейных сингулярных интегральных уравнений методом редукции// Изв. вузов. Математика. 1976. - N 2. - С. 3 - 13.

28. Галахов М.А., Заппаров К.И., Патраков А.Г. Численное решение сингулярных интегро-дифференциальных уравнений контактной гидродинамики// Ж. вычислит, математики и матем. физики. -1978. N 2. - С. 504 - 506.

29. Гахов Ф.Д. Краевые задачи. М.: Наука, 1977. - 638 с.

30. Гильманов Р.А. О компактной аппроксимации сингулярных интегро-дифференциальных уравнений с ядром Гильберта// Изв. вузов. Математика. 1979. - N 12. - С. 21 - 26.

31. Горлов В.Е. Сплайн-метод решения одного класса сингулярных интегро- дифференциальных уравнений// Сб. аспирантск. работ. Казан, ун-т. Точн. науки, Казань, изд-во Казан, ун-та.1976. С. 78 - 79.

32. Горлов В.Е. О прямых методах решения линейных и нелинейных интегральных уравнений: Дисс.канд. физ.-мат. наук. Казань:1977. 132 с.

33. Гребенников А.И. Сплайн-аппроксимационный метод и его приложения: Дисс. д-ра физ.-мат. наук. Новосибирск, 1988. - 283 с.

34. Даугавет И.К. Введение в теорию приближения функций. JL: Изд-во ЛГУ, 1977. - 184 с.

35. Дзядык В.К. Введение в теорию равномерного приближения функций полиномами. М.: Наука, 1977. - 490 с.

36. Дзядык В.К. Аппроксимативный метод решения дифференциальных уравнений// Теория приближения функций. М.: Наука, 1977. - С. 149 - 157.

37. Душков П.Н. Прямые методы решения сингулярных интегральных уравнений: Дисс. канд. физ.-мат. наук. Казань, 1973. -160 с.

38. Душков П.Н. Об одном способе приближенного решения нелинейных сингулярных интегро-дифференциальных уравнений:// Изв. вузов. Математика. 1981. - N 12. -С. 21 - 25.

39. Ермолаева Л.Б. Аппроксимативные свойства полиномиальных операторов и решение интегральных и интегро-дифферинциаль-ных уравнений методом подобластей: Дисс. канд. физ.-мат. наук. Казань, 1987. - 154 с.

40. Забрейко П.П., Кошелев А.И., Красносельский М.А., Михлин С.Г., Раковщик Л.С., Стеценко В.Я. Интегральные уравнения. -М.: Наука, 1968. 448 с.

41. Завьялов Ю.С., Квасов Б.И., Мирошниченко В.Л. Методы сплайн-функций. М.: Наука, 1980. - 352 с.

42. Золотаревский В.А. Конечномерные методы решения сингулярных интегральных уравнений на замкнутых контурах интегрирования. Кишинев: Штиинца, 1991. - 134 с.

43. Иваницкий В.Г. О приближенном решении сингулярных интегро-дифференциальных уравнений методом осреднения функциональных поправок. Диф. уравн., 1971. -N 2. -С. 357 - 358.

44. Иванов В.В. Теория приближенных методов и ее применение к численному решению сингулярных интегральных уравнений. -Киев: Наук, думка, 1968. 288 с.

45. Иванов В.В. Методы приближенного решения сингулярных интегральных уравнений// Итоги науки и техники. Матем. анализ. -М.: Изд-во ВИНИТИ АН СССР, 1965. С. 125 - 177.

46. Каландия А.И. Математические методы двумерной упругости. -М.: Наука, 1973. 303 с.

47. Канторович Л.В., Акилов Г.П. Функциональный анализ в нормированных пространствах. М.: Физматгиз, 1959. - 684 с.

48. Канторович Л.В., Крылов В.И. Приближенные методы высшего анализа. М.: Физматгиз, 1962. - 708 с.

49. Корнейчук Н.П. Сплайны в теории приближения. М.: Наука, 1984. - 352 с.

50. Корнейчук Н.П. Точные константы в теории приближения. М.: Наука, 1987. - 424 с.

51. Красносельский М.А., Забрейко П.П. и др. Интегральные операторы в пространствах суммируемых функций. М.: Наука, 1966. - 500 с.

52. Лифанов И.К. Метод сингулярных интегральных уравнений и численный эксперимент. М.: ТОО "Янус", 1995. - 520 с.

53. Лучка А.Ю. Аппроксимативно-итеративные методы решения дифференциальных и интегральных уравнений. Киев: Наук, думка, 1980. - 264 с.

54. Лучка А.Ю., Лучка Т.Ф. Возникновение и развитие прямых методов математической физики. Киев: Наук, думка, 1985. - 240 с.

55. Лучка А.Ю. Проекционно-итеративные методы. Киев: Наук, думка, 1993. - 288 с.

56. Магнарадзе Л.Г. Теория одного класса линейных сингулярных интегро- дифференциальных уравнений и ее применение к задаче колебания крыла аэроплана конечного размаха, удара о по

57. Ф верхность воды и аналогичным// Сообщения АН Груз.ССР.1943. -Т. 4, N 2. -С. 103 - 110.

58. Мелешко И.Н. Применение сплайнов первой степени к приближенному решению одного сингулярного интегродифференциаль-ного уравнения// Изв. вузов. Математика. 1988. - N 1. -С. 41 -50.

59. Мелешко И.Н. К приближенному решению одного сингулярного интегро- дифференциального уравнения// Дифф. уравнения. — 1989. -Т. 25, N 5. - С. 888 - 897.

60. Мелешко И.Н. Об одном способе обоснования вычислительных схем решения сингулярных интегро-дифференциальных уравнений// Тез. докл. VIII Бел. матем. международной конф. -Минск, 2000. -Ч. 1 С. 184.

61. Мелешко И.Н. Приближенные методы решения краевых задач теории теплопроводности на основе специальных формул для интегралов типа Коши: Диссд-ра физ.- мат. наук. -Минск, 2002.264 с.

62. Михлин С.Г. Сингулярные интегральные уравнения// Успехи матем. наук. 1948. -Т. 3, N 3. - С. 29 - 112.

63. Михлин С.Г. Интегральные уравнения. -М.: Гостехиздат, 1949. -286 с.

64. Михлин С.Г. Вариационные методы в математической физике. -М.: Наука, 1970. 512 с.

65. Мусхелишвили Н.И. Сингулярные интегральные уравнения. -М.: Наука, 1968. 512 с.

66. Назарчук З.Т. Численное исследование дифракции волн на цилиндрических структурах. Киев: Наук, думка, 1989. - 256 с.

67. Натансон И.П. Конструктивная теория функций. М.: Гостехиздат, 1949. - 688 с.

68. Панасюк В.В., Саврук М.Т., Дацышин А.П. Распределение напряжений около трещин в пластинах и оболочках. Киев: Наук, думка, 1976. - 444 с.

69. Панасюк В.В., Саврук М.Т., Назарчук З.Т. Метод сингулярныхинтегральных уравнений в двумерных задачах дифракции. Киев: Наук, думка, 1984. - 344 с.

70. Пыхтеев Г.Н. Некоторые методы решения одного интегро-диффе-ренциального уравнения теории струй идеальной жидкости // Прикл. механика и техн. физика, 1966, N 2. -С. 72- 86.

71. Пыхтеев Г.Н. О двух методах решения одной нелинейной краевой задачи теории струй идеальной жидкости // Динамика сплошной среды. 1969, N 2. -Новосибирск, "Наука".

72. Пыхтеев Г.Н. Общая и основная краевые задачи плоских струйных установившихся течений и соответствующие им нелинейные уравнения// Прикл. механика и техн. физика, 1966, N 1. -С. 3244.

73. Стечкин С.Б., Субботин Ю.Н. Сплайны в вычислительной математике. М.: Наука, 1976. - 248 с.

74. Стечкин С.Б. О порядке наилучших приближений непрерывных функций// Избранные труды: Математика. -М.: Наука. Физмат-лит, 1998. 384 с.

75. Суетин П.К. Классические ортогональные многочлены. М.: Наука, 1976. - 328 с.

76. Тиман А.Ф. Теория приближения функций действительного переменного. М.: Физматгиз, 1960. - 624 с.

77. Тихоненко Н.Я. Методы решения задач теории аналитических функций. -Киев: УМК ВО УССР, 1988. 88 с.

78. Тихоненко Н.Я. Приближенное решение краевых задач теории аналитических функций и их приложения: Диссд-ра физ.-мат.наук. Киев, 1994. - 327 с.

79. Турецкий А.Х. Теория интерполирования в задачах. В двух частях. Минск: Изд-во "Высшая школа". - Часть 1, 1968, 328 е.; часть 2, 1977, 256 с.

80. Хведелидзе Б.В. Метод интегралов типа Коши в разрывных граничных задачах теории голоморфных функций одной комплексной переменной // Итоги науки и техники. Соврем, проблемы математики. -М.: ВИНИТИ АН СССР, 1975. Вып.7. -С. 5 -162.

81. Цецохо В.А. Численное решение задач дифракции методом потенциалов: Дисс. д-ра физ.-мат. наук в форме научн. докл. -Новосибирск, 1987. 38 с.

82. Шокамолов И.Ш. Приближенные методы вычисления интегралов типа Коши специального вида и решение одного сингулярного интегро-дифференциального уравнения с приложениями к задачам теплопроводности: Дисс. канд. физ.-мат. наук. — Минск, 1973. -130 с.

83. Elliot D. The approximate solution of singular integral equations/ Solut. Meth. Integral Equations: Theory and Appl. -New York; London, 1979. -P. 83 107.

84. Fenyö S., Stolle H. Theorie und Praxis der linearen Integral-gleichungen. Bd.4. Berlin: VEB Deutsche Verlag der Wissenschaften, 1984. -708 S.

85. Golberg M.A. The numerical solution of Cauchy singular integral equations with constant coefficients// J. Integr. Equat. -1985. -V.9, N1. -P. 127 151.

86. Michlin S.G., Prössdorf S. Singulare Integraloperatoren. Berlin: Akademie-Verlag, 1980. - 514 S.

87. Multhopp H. Die Berechnung der Auftriebsverteilung von Tragflügeln// Luftfahrtforschung. -1938. Bd 15, N4. - S. 153 - 169.

88. Prössdorf S., Silbermann B. Numerical analysis for integral and related operator equations. Berlin: Akademie-Verlag, 1991. - 544 p.

89. Theocaris P.S. Numerical solution of singular integral equations: Methods, Applications// J. Eng. Mech. Div.: Proc. Amer. Soc. Civ. Eng. -1981. -V. 107, N5. -P. 733 771.

90. Самойлова Э.Н. Проекционный метод решения одного класса интегральных уравнений// Дифференциальные и интегральные уравнения. Тезисы докладов Международной конференции, 12-14 сентября 2000г. Одесса: Астропринт, 2000. - С. 46 - 47.

91. Самойлова Э.Н. Сплайновые приближения решения сингулярного интегро- дифференциального уравнения // Изв.вузов.Математика. -2001, N 11. С. 35 - 45.

92. Самойлова Э.Н. Об одном сингулярном интегро-дифференциальном уравнении// Труды матем. центра имени Н.И.Лобачевского. Т.8. Теория функций, ее приложения и смежные вопросы. Казан, матем. общество. -Казань: Изд-во ДАС, 2001. С. 204 - 205.

93. Самойлова Э.Н. Проекционные методы решения одного класса сингулярных интегро дифференциальных уравнений // Изв.вузов. Математика. -2003, N 7. -С. 48 53.

94. Самойлова Э.Н. Итерационные методы решения сингулярного интегро- дифференциального уравнения// Труды матем. центра имени Н.И.Лобачевского. Т. 19. Теория функций, ее приложенияи смежные вопросы. -Казань: Изд-во Казан.матем. общества, 2003. -С. 189 190.

95. Самойлова Э.Н. Решение сингулярного интегродифференциаль-ного уравнения методом сплайн-коллокаций // Изв.вузов.Матема-тика. -2003, N 8. -С. 37 45.