Обобщенные характеристики, симметрии и точные решения интегродифференциальных уравнений теории длинных волн тема автореферата и диссертации по механике, 01.02.05 ВАК РФ

004608232

На правах рукописи

Чесноков Александр Александрович

Обобщенные характеристики, симметрии и точные решения интегродифференциальных уравнений теории длинных волн

01.02.05 — механика жидкости, газа и плазмы

АВТОРЕФЕРАТ диссертации на соискание ученой степени доктора физико-математических наук

1 АПР 2010

Новосибирск - 2010

004600232

Работа выполнена в Учреждении Российской академии наук Институте гидродинамики им. М. А. Лаврентьева СО РАН

Защита состоится « Об » Си«р<?А я 2010 года в ¡С-" часов на заседании диссертационного совета Д 003.054.01 при Институте гидродинамики им. М. А. Лаврентьева СО РАН по адресу: проспект акад. Лаврентьева, 15, г. Новосибирск, 630090.

С диссертацией можно ознакомиться в библиотеке ИГиЛ СО РАН.

Автореферат разослан « 01» ^ 2010 г.

Официальные оппоненты:

доктор физико-математических наук, чл.-корр. РАН В. В. Пухначев

доктор физико-математических наук, профессор В. К. Андреев

доктор физико-математических наук Г. А. Хабахпашев

Математический институт им. В. А. Стеклова РАН

Ведущая организация:

Ученый секретарь

диссертационного совета

доктор физико-математических наук

С. А. Ждан

ОБЩАЯ ХАРАКТЕРИСТИКА РАБОТЫ

Актуальность исследований. Теория распространения нелинейных длинноволновых возмущений в неоднородных средах является важным и активно развивающимся разделом механики жидкости и газа. Актуальность этой тематики связана с многочисленными приложениями теории длинных волн при моделировании крупномасштабных явлений в атмосфере и океане, имеющим практические приложения в метеорологии и геофизике. Приближенные длинноволновые модели играют важную роль в задачах гидродинамики открытых русел, гидродинамических проблемах транспортировки нефти и природного газа, в задачах гидроаэроупругости, связанных с конструированием судов и плавающих платформ. Широкое применение длинноволнового приближения в теоретическом анализе волновых процессов обусловлено тем, что длинные волны затухают медленнее коротких и именно они определяют асимптотику решения при больших временах. Кроме того, в этом случае упрощаются математические постановки задач, что позволяет более детально изучить нелинейные волновые процессы численными и особенно аналитическими методами. При этом гидродинамические модели теории длинных волн позволяют учитывать ряд важных физических факторов, такие как нелинейность, пространственная неоднородность (сдвиговой характер движения), стратификация, эффекты коллективного взаимодействия пузырьков, геофизический эффект вращения, оказывающих существенное влияние на распространение волн в жидкости.

Длинноволновые модели, описывающие пространственно-неоднородные движения жидкости, являются интегродифференциальными, что существенно осложняет их качественный анализ и требует применения самых современных подходов. Важнейшими элементами исследования гидродинамических моделей является вычисление скоростей распространения возмущений в жидкости, определение типа системы и изучение корректности постановки задачи Коши, построение классов точных решений уравнений, дающих представление о характерных режимах движения. Таким образом, изучение распространения волновых возмущений в неоднородной жидкости и развитие новых элементов теории нелинейных интегродифференциальных уравнений является актуальной задачей теоретической гидромеханики. Научные исследования по данной тематике, применительно к различным нелинейным длинноволновым моделям механики сплошной среды, ведутся в России и за рубежом.

Целью работы является развитие новых элементов теории гиперболических систем интегродифференциальных уравнений, построение и физическая интерпретация точных решений пространственных уравнений теории длинных волн, а также изучение распространения нелинейных длинноволновых возмущений в неоднородных потоках жидкости и анализ устойчивости волновых процессов.

На защиту выносятся:

• Математические модели распространения нелинейных длинноволновых возмущений в неоднородной жидкости и результаты их теоретического анализа (обобщенные характеристики и условия гиперболичности интегродифференциальных моделей, точные решения, доказательство существования решений в классе простых волн, решение линеаризованных уравнений);

• Метод построения решений нелинейных интегродифференциальных уравнений, основанный на функциональной зависимости между интегральными инвариантами Римана;

• Новые элементы теории разрывных решений интегродифференциальных моделей и анализ сильных разрывов, не имеющих аналогов в классической теории гиперболических систем;

• Симметрии и новые точные решения пространственных уравнений теории длинных волн, полученные на основе систематического применения теоретико-группового подхода.

Научная новизна. Рассмотренные в диссертационной работе гидродинамические задачи теории длинных волн являются развитием классических постановок, связанным с более полным учетом реальных физических факторов, таких как нелинейность, пространственная неоднородность, стратификация и др. Основное отличие рассматриваемых математических моделей от обычных уравнений теории мелкой воды связано с необходимостью исследования нестандартных систем интегродифференциальных уравнений. До недавнего времени аналитические результаты для интегродифференциальных моделей механики были преимущественно связаны с линейной теорией и поиском законов сохранения. Развитый В. М. Тешуковым новый теоретический подход к исследованию уравнений с операторными коэффициентами, основанный на обобщении понятий гиперболичности и характеристик, позволил продвинуться в понимании основных закономерностей протекания нелинейных волновых

процессов. Тем не менее, теория нелинейных интегродифференциальных уравнений не является завершенной и выполненные в диссертации исследования вносят существенный вклад в ее развитие и обобщение, а также содержат решение ряда важных гидродинамических задач.

В диссертации получено решение спектральных задач для определенного класса операторов и построены обобщенные характеристики систем интегродифференциальных уравнений механики сплошных сред. Предложен и впервые применен метод построения решений нелинейных интегродифференциальных уравнений, основанный на функциональной зависимости между инвариантами Римана. Разработаны новые элементы теории разрывных решений для интегродифференциальных моделей. Впервые проведено систематическое исследование симметрийных свойств и классов точных решений пространственных уравнений длинных волн, учитывающих сдвиговой характер движения, неровность дна и геофизический эффект вращения. Результаты работы являются новыми, их достоверность устанавливается математическими доказательствами, иллюстрируется примерами точных и численных решений.

Теоретическая и практическая ценность. Выполненный в диссертации анализ обобщенных характеристик интегродифференциальных моделей пространственно-неоднородного движения идеальной однородной и стратифицированной жидкости в открытых каналах и упругих трубках позволил установить конечность скоростей распространения возмущений, выяснить влияние завихренности (потенциальной завихренности) на протекание нелинейных волновых процессов и исследовать их устойчивость. Теоретические подходы, разработанные для уравнений сдвигового движения жидкости, применены к кинетическим моделям разреженной пузырьковой жидкости, описывающим распространение волн концентрации с учетом эффекта коллективного взаимодействия пузырьков. Разработанный метод построения решений для обобщенно-гиперболических интегродифференциальных уравнений позволил существенно расширить запас точных решений уравнений вихревой мелкой воды и кинетической модели пузырьковой жидкости. При этом их интегрирование сведено к решению гиперболических систем дифференциальных уравнений. Большое значение имеет развитие теории разрывных решений интегродифференциальных уравнений, а предложенная специальная дискретизация, приводящая к "многослойным" гиперболическим системам дифференциальных уравнений, полезна для практики, поскольку позволяет применить известные численные методы и получить коли-

чественные результаты. Анализ симметрийных свойств пространственных моделей теории длинных волн позволил получить важный теоретический результат, имеющий прикладное значение: установлена эквивалентность обычных уравнений мелкой воды и уравнений, описывающих пространственные колебания вращающейся жидкости в круговом параболоиде (указанные модели связаны точечной заменой переменных). Результаты работы, разработанные теоретические методы, численные и полуаналитические алгоритмы используются при выполнении научно-исследовательских работ в ИГиЛ СО РАН, а также применяются в курсах лекций, читаемых в Новосибирском госуниверситете.

Апробация работы. Результаты диссертации докладывались на научных конференциях по механике и математике, среди которых

— VIII и IX Всероссийский съезд по теоретической и прикладной механике (Пермь, 2001; Нижний Новгород, 2006);

— Всероссийская конференция «Аналитические методы и оптимизация процессов в механике жидкости и газа» (Пермь, 2000; Снежинск, 2002; Абрау-Дюрсо, 2004; Санкт-Петербург, 2006);

— Всероссийская конференция «Проблемы механики сплошных сред и физики взрыва» (Новосибирск, 2007);

— Всероссийская конференция «Новые математические модели в механике сплошных сред: построение и изучение» (Новосибирск, 2004, 2009);

— Всероссийская конференция «Задачи со свободными границами: теория, эксперимент и приложения» (Бийск, 2008);

— IV Международный конгресс по математике (Стокгольм, 2004);

— XI Международная конференция «Гиперболические уравнения: теория и приложения» (Лион, 2006);

— Международная конференция, посвященная 100-летию И. Н. Векуа «Дифференциальные уравнения, теория функций и приложения» (Новосибирск, 2007);

— Международная конференция, посвященная 100-летию С. Л. Соболева «Дифференциальные уравнения. Функциональные пространства. Теория приближений» (Новосибирск, 2008);

— Международная конференция «Математические методы в геофизике» (Новосибирск, 2008);

— Международная конференция «Симметрии в нелинейной математической физике» (Киев, 2007, 2009);

— Международная конференция «Современный групповой анализ дифференциальных уравнений» (Уфа, 2009).

Результаты работы были представлены на научных семинарах под руководством академика Л. В. Овсянникова (ИГиЛ СО РАН), академика А. Г. Куликовского, д.ф.-м.н. А. А. Бармина и д.ф.-м.н. В. П. Карликова (ИМех МГУ), академиков А.В.Гуревича и В.Е.Захарова (ФИАН), чл.-корр. РАН В.М.Тешукова и д.ф.-м.н. В.Ю.Ляпидевского (ИГиЛ СО РАН), чл.-корр. РАН В. В. Пухначева (ИГиЛ СО РАН), чл.-корр. РАН И. А. Тайманова (ИМ СО РАН), д.ф.-м.н. В. К. Андреева (ИВМ СО РАН), д.ф.-м.н. Ю.А.Маркова (ИДСТУ СО РАН), д.ф.-м.н. Ю.Д.Чашечкина (ИПМех РАН).

Публикации. Полученные результаты опубликованы в 12 статьях в рецензируемых научных журналах [1]-[12], а также в трудах конференций [13]-[1б]. Работы [4, 5] и [8, 9], выполненные совместно, получены в процессе неразделимой творческой деятельности авторов.

Структура работы. Диссертация состоит из введения, четырех глав, заключения и списка литературы. Работа изложена на 308 страницах текста, включая 57 рисунков и 6 таблиц, библиография содержит 163 наименований.

Научная тематика диссертации в значительной мере сформирована под влиянием чл.-корр. РАН В. М. Тешукова, который заинтересовал автора теорией нелинейных длинных волн в неоднородной жидкости и оказывал всестороннюю поддержку в работе.

СОДЕРЖАНИЕ РАБОТЫ

Во введении обоснована актуальность диссертации, дан обзор литературы, изложено краткое содержание работы. Существенное внимание уделено моделям теории длинных волн и, в частности, уравнениям вихревой мелкой воды. Именно на этой модели оттачивалась техника теоретического анализа интегродифференциальных уравнений на основе предложенного В. М. Тешуковым обобщения понятий характеристик и гиперболичности для систем с операторными коэффициентами вида

и, + А{их) = в. (1)

Здесь и(£, х, А) — вектор искомых величин, С(£, ж, А, и) — заданная функция, А(иж) — результат действия матричного оператора А на функцию Це. Характеристическая кривая системы уравнений (1) определяется дифференциальным уравнением х'{Ь) = х), где скорость распространения характеристики к{Ь,х) является собственным значением

спектральной задачи (F, (А - kl)(<p)) = 0. Решение этого уравнения относительно функционала^ ищется в классе локально интегрируемых либо обобщенных функций. Функционал F действует по переменной Л, переменные t их рассматриваются как параметры; I — тождественное отображение; ip — пробная гладкая вектор-функция. В результате действия функционала F на уравнение (1) получаем соотношение на, характеристике (F, Ut + k\Jx) = (F, G).

Система уравнений (1) является обобщенно-гиперболической, если все собственные значения к вещественные и совокупность соотношений на характеристиках эквивалентна исходным уравнениям (1).

При решении рассматриваемых задач широко применялась теория гиперболических уравнений и численные методы их решения, а также приведенное выше определение обобщенной гиперболичности для систем с операторными коэффициентами. Выяснение вопроса о гиперболичности интегродифференциальной модели является нетривиальным и требует привлечения теории сингулярных интегральных уравнений и обобщенных функций. Для построения точных решений моделей применялись методы группового анализа. Для проведения аналитических выкладок и получения графических результатов использовались системы компьютерной алгебры. Во введении также перечислены вопросы, представляющие интерес для развития теории нелинейных интегродифференциаль-ных уравнений, решению которых посвящена диссертация.

В первой главе рассматриваются интегродифференциальные модели, обобщающие классические уравнения мелкой воды и приближенные модели двухфазных сред. Для более точного моделирования распространения возмущений в жидкостях и газах необходимо привлекать гидродинамические модели, учитывающие пространственно-неоднородный характер движения и эффекты коллективного взаимодействия в жидкости с пузырьками. Уравнения движения жидкости в приближении длинных волн, учитывающие эти эффекты, являются интегродифференциальны-ми и попадают в класс систем с операторными коэффициентами (1).

В первом разделе главы выведена модель горизонтально-сдвигового движения идеальной несжимаемой жидкости в протяженном открытом канале переменного сечения с ровным дном в поле силы тяжести [8, 9]

ut + иих + vuy + ghx = 0, hy = 0,

ht + [uh)x + {vh)y = 0, uY?(x) -v\y=Yi = 0. ^

Здесь t — время, x, у и г — пространственные переменные, и, v — ro-

ризонтальные компоненты вектора скорости, уравнениями г; = х), у = У\(х) и у = Уг(а;) заданы свободная граница и боковые стенки канала. Следствием модели является сохранение потенциальной завихренности П = иу/к вдоль траекторий. Исследовать уравнения (2) удобно в полулагранжевых координатах, переход к которым осуществляется заменой переменной у = Ф(£, х, А), где функция Ф — решение задачи Коши

Ф* + и(г,х,Ф)Фх = и(4,х,Ф), Ф|,=0 = АВД + (1 - А)^)

Лагранжева переменная А £ [0,1]; значения А = 0 и А = 1 соответствуют боковым границам канала у — Уг(х) и у — У2(ж). Замена переменной обратима при условии > 0. Для определения функций и((., х, А), #(£, х, А) = ДФд получаем интегродифференциальную модель

1

щ + иих + дИх — 0, Щ + {иН)х = 0, к = (3)

о

где У(х) = ^(х) — У\{х) > 0 — заданная ширина канала. По структуре модель (3) близка к уравнениям вихревой мелкой воды, описывающей плоскопараллельные вертикально-сдвиговые движения жидкости (В.Е.Захаров, 1980; В.М.Тешуков, 1985). Далее предполагается монотонность изменения скорости по ширине канала (и\ > 0). Если удовлетворить этому условию в начальный момент Ь = 0, то в силу системы (3) оно будет выполнено при всех £ > 0.

Спектральная задача для уравнений (3) имеет нетривиальные решения при выполнении характеристического уравнения

о

определяющего скорости распространения возмущений в жидкости. Это уравнение имеет два корня к = №{1,х) ф х,А), которым отвечают собственные функционалы Р7 = из класса локально интегриру-

емых функций:

(V <р) = Ц I Н(р1<1Х -

1У\] {и-уу У и-кз)-

о о

Имеется непрерывный характеристический спектр кх = к,(£, х, А), которому соответствуют два собственных функционала Р-,А = Е.^)

(действующих по переменной и) из класса обобщенных функций: {Fn, ф)) = -pu(A) + u\H~lipi{\)\

о 0

Здесь / = f(t,x, А), /' = f(t,x,u); ip = (^ь^)- Действие собственных функционалов FJ, FjA на систему уравнений (3) приводит ее к характеристической форме (соотношениям на характеристиках)

Rt + uRx = F(u), П( + иПх = О, rj +к>г{ = F(kj)-, i

д f H'du их

R = u~v I --' ^ ~ U >

Y J и' — и H

о

rj-ki_9_[Ji^L. F(z]- fu'H'du

Y J и — У 1 Y*{x) J u'-z '

о 0

Условия обобщенной гиперболичности уравнений (3) формулируются в терминах предельных значений комплексной характеристической функции x(z) из верхней х+ и нижней х~ полуплоскостей на отрезке [iio,Ui] (индексы 0 и 1 соответствуют значениям функций при А = 0; 1).

Лемма 1. Пусть u(t,x, A), H(t,x, А) удовлетворяют условиям

Aarg^M = 0, х± Ф 0 (5)

X (и)

(Aargx*1 — приращение аргумента комплексной функции х± при изменении А от нуля до единицы при фиксированных t, х). Тогда характеристическое уравнение (4) имеет только вещественные корни.

Лемма 2. Пусть функции Si, Six, S2 удовлетворяют условию Гёлъ-дера по переменной А и для вектор-функции S с компонентами S\, S2 выполнены соотношения (FjA, S) = 0, (FJ, S) = 0, (j = 1,2). При этом для функций u(t, х, A), H(t, х, А) выполнены условия (5). Тогда S = 0.

Леммы 1, 2 и определение обобщенной гиперболичности позволяют сформулировать следующий результат.

Теорема 1. Для течений с монотонным по ширине канала профилем скорости условия (5) являются необходимыми и достаточными для гиперболичности уравнений (3), если функции и, Н, Q дифференцируемы, и\, Пд удовлетворяют условию Гёльдера по переменной А.

Теорема 1 использована для выяснения устойчивости решений уравнений (3). Установлено, что на классе решений и — (x + C(X))t~1, Н = (Y = const) при определенном задании функции С(А), отвечающей за сдвиг скорости, в процессе эволюции течения от непрерывного характеристического спектра отделяются комплексные корни, соответствующие возникновению длинноволновой неустойчивости.

Для анализа стационарных решений в качестве лагранжевой координаты А выберем функцию тока, вследствие чего Я = hy\ = h/\y = I/и. Рассмотрим течения, в которых и > 0. Интегрирование уравнений (3)

дает ___

u=^2(C(\)-gh), H = l/y/2{C(\)-gh). (6)

Здесь С(А) > 0 — произвольная возрастающая функция, а глубина слоя жидкости h(x) находится из замыкающего соотношения:

Функция K(h) > 0 определена на интервале h G [0,/i¿), Кь — С(0)/д

— максимальная глубина потока. Существуют единственные значения h — h* < hb и Y = Ym > 0, определяемые из условий K(h*) = Ymh*, K'(h,) = Ym. На интервале h € (0, /i¡,) уравнение (7) при Y е (Ym, Yb) имеет два корня h = hi < h* и h = > ht; при Y > Yb — K(hb)/hb

— один корень h — h\ < h* (см. рис. 1). Течение, на котором выполнено неравенство

K'(h) , д [Hd\ п Y= Y j ~¡T< <»>

о

будем называть докритическим, а течение, на котором выполнено обратное неравенство — сверхкритическим. Критическому течению соответствует достижение знака равенства в (8). Согласно определению, решение h\ уравнения (7) является сверхкритическим, а решение — Докритическим. В случае Y = const и отсутствия сдвига скорости получаем классические условия докритичности |и| < л/gh и сверхкритичности |u| > \fgh потока. В силу (7), (8) в докритическом режиме течения глубина слоя жидкости h(x) возрастает (убывает) при возрастании (убывании) поперечного сечения канала Y(x), а в сверхкритическом режиме h{х) убывает (возрастает) при возрастании (убывании) Y(x).

2.0 К

j.о

у

0.4 0.8

Рис. 1: Сплошная линия — характерный вид зависимости /Г = -К"(/г); пунктир и штрих-пунктир — прямые с угловым коэффициентом Ут и Уб, соответственно.

Рис. 2: Линии тока в докритическом стационарном течении с рециркуляционной зоной. Пунктир — линия торможения.

Исследованы стационарные течения, возникающие при локальном изменении поперечного сечения канала. Остановимся на докритическом обтекании локального расширения канала: Y(x) — Y0 = const для \х\ > d\ Y'(x) > 0 для x 6 (—d, 0) и Y'(x) < 0 для x <= (0, d). Продолжение решения в область, где Y(x) > Кь/hb становится невозможным, так как уравнение (7) не имеет докритической ветви решения. При Y(x) —> Кь/hb происходит замедление потока, а в слое А = 0 его остановка. Построим стационарное течение другой структуры, включающее рециркуляционные зоны с замкнутыми линиями тока. Пусть в точках х = xi и х = Х2 {—d < xi < хг < d) выполняются равенства Y{xi) = У(хг) = K(hb)/hb-На интервалах х € (—d,xi) иже {x2,d) решение задается формулами (6), где h(x) — до критический корень уравнения (7). Существует продолжение решения в область х > х\, такое что при х\ < х < хг часть канала по ширине Yi(x) < у < Yr{x) занимает рециркуляционная зона, а в области Yr(x) <у < Y}{x) решение по прежнему задается соотношениями (6). В рециркуляционной зоне функция и обращается в нуль на линии у = Yc(x), при этом горизонтальная компонента скорости отрицательна для у € (Уь Yc) и положительна для у € (Ус, Yr). Для решения в рециркуляционной зоне имеем представление

u = *y/2{G{\)-gh), H = ?l/y/2{G{\)-gh).

Непрерывность скорости при переходе через границу у — Yr(x) влечет равенство С(0) = G(Q). Функция G'(A) определена для А е (Ас, 0), где Ac(h) < 0 — корень уравнения G(А) — gh = 0. Линия А = Ac(h) задает слой торможения, в котором скорость равна нулю. Граница рециркуля-

ционного течения у = Yr(x) и линия торможения задаются уравнениями

Ас(Л)

Глубина слоя жидкости к(х), на интервале течения с рециркуляционной зоной, связана с функциями С(А), С(А) и У(х) соотношением

/ 1 0 Y\J y/2(C(X) - gh) J

dX

........ „ч лад^

Множество решений задачи о течении в рециркуляционной зоне имеет произвол в одну функцию одной переменной. Для построения решения необходимо задать функцию /i(x), либо G(A). При этом функция G(А) (либо /г(х)) определяется в ходе построения решения задачи. Линии тока в точном решении с зоной возвратного течения показаны на рис. 2.

Во втором разделе главы выведена и исследована нелинейная модель сдвигового осесимметричного течения идеальной несжимаемой жидкости в протяженной цилиндрической трубке с упругими изотропными стенками [1, 13]. Преобразованиями эта модель сводится к уравнениям, описывающим плоскопараллельные вертикально-сдвиговые движения тонкого слоя жидкости в канале с твердым дном у — 0 и упругой верхней границей у = h(t, х)

Щ

h у

+ иих + vuy + (p(h))x = 0, ht+^Judyj = О, v = -Juxdy,

где р{К) заданная функция, определяющая эластичные свойства канала (Т. Педли, 1983). В полулагранжевых переменных модель сводится к интегродифференциальной системе уравнений сдвигового движения тонкого слоя баротропной жидкости со свободной границей

1

Щ + иих+(р{Ъ))х = 0, Нь + {иН)х = 0, Н = JнdX, (9)

о

условия гиперболичности которой уже известны (В. М. Тешуков, 1995). Здесь у = Ф(£, х, А), Н = Фа > 0 — якобиан перехода к полулагранжевым

переменным. Следствием уравнений является сохранение завихренности и) = иу = u\/H вдоль траекторий. Рассматриваемая задача имеет непрерывный кх — и и дискретный к\ < щ — u(t, х, 0) и ki > щ = u(t, х, 1) характеристический спектр, определяемый уравнением

MI-i-PQB*)/^-О (10)

0 О

(предполагается, что и\ > 0; P(h) — p'h(h)). Для гладкого решения u(t,x, A), H(t,x, А) условия обобщенной гиперболичности уравнений (9) имеют вид (5) с функцией х, определенной в (10).

Простыми волнами будем называть решения системы уравнений (9) вида и — u(a(t,x), А), H — H(a(t,x), А). Согласно (9) функции и(а, А), H (а, А) определяются из уравнений

i i

{u-k)ua + p(^J Hd^jJ HadX = 0, (п)

о о

(и — к)На + Ниа = 0, к = —at/ax.

Нетривиальные решения (11) существуют когда к совпадает с одним из корней характеристического уравнения (10) (к = ki(a), к = к2(а)) или принадлежит отрезку [uo(a), tt^a)]. Пусть к = к2(а) > и; в качестве переменной a(t,x) возьмем функцию h{t,x). Рассмотрим задачу о примыкании простой волны к заданному сдвиговому потоку и — и0(\), H = Яо(А) по характеристике h = ho- Из системы уравнений простых волн (11) и уравнения (10) получаем задачу Коши для определения четырех функций u(h, A), H (h, A), ux(h,X) и k(h)\

„ _ -Ш jj - pwg „ _ p(h)ux

"Л ,) tl h — ¡ » \o ) uXh / i \9 )

и — к (и — ky (и — k)¿

_ /3P(h) } HdX РЛ( } Hd\ у1 (12)

kh- \ 2 J (и-ку + pijyj (и-т) '

о о

u\h=h0 = uo(A), H\h=hQ = Я0(А), ux\h=ho = u'Q{\), k\h=ho = k°.

Здесь к^ > tio (A) — корень уравнения

о о

Отметим свойство простых волн: если и(/го, Л1) = и(/г0Д2), то всюду в области определения решения и(1г, Ах) = и(1г. Х2). Если при 1г = /го выполняется неравенство и'0(Х) ф 0, то и\(к, А) Ф 0 в области волны.

Теорема 2. Пусть ио(А) — непрерывно дифференцируемая, Н0(А) — непрерывная на отрезке [0,1] функции такие, что

и'0{\) > О, #0(А) > 5 > 0, и<>(1) + <5, Я0(А)/и'0(А) > а > О,

и выполнены условия (5). Тогда система уравнений (12) имеет единственное решение на любом интервале И € (0,6] (/го 6 (0,6]), причем и{1г, А) — дифференцируемая, Н(1г, А) — непрерывная функции.

В случае замыкания модели по закону р[Н) = С\Ю + С2 вычислена 5-параметрическая группа допускаемых преобразований, состоящая из двух переносов, галилеева переноса и двух растяжений (при 7 = 2 имеется проективное преобразование). С использованием одномерных представителей оптимальной системы подалгебр выписаны подмодели и некоторые из них проинтегрированы. Построены автомодельные решения, выражаемые через неполные бета-функции.

В третьем разделе исследованы характеристические свойства уравнений длинных волн, описывающих плоскопараллельные сдвиговые движения двухслойной стратифицированной идеальной жидкости над ровным дном со свободной границей в поле силы тяжести [3]. В полулагранжевых переменных интегродифференциальные уравнения движения имеют вид

1 1

/9Р1 Г

Н\х (1\-\--/ Н-1х ¿А = 0,

о о

Нц 4- Н{щх + щЩх = 0, (г = 1,2) (13)

1 1 и2г + и2и2х + д ^ Н1х ¿Х + д J Н2х ¿А = 0 о о

(индекс 1 относится к нижнему слою, 2 — к верхнему; р2 < рх). В предположении МОНОТОННОСТИ профиля скорости (и;„\ > 0, и2о = и2\\=о > и а = ¡л=1) определены скорости распространения возмущений (имеется непрерывный и дискретный характеристический спектр), вычислена характеристическая форма системы и сформулированы необходимые условия гиперболичности модели (13).

В отличие от предыдущих моделей в данном случае характеристиче-

ское уравнение имеет достаточно сложный вид

[ Нх ¿X } Н2йХ ,

1 0 (14)

2 [ Нк1Х [ Н2с1Х ( л Р2\

о о

В безвихревом случае уравнения двухслойной мелкой воды являются гиперболическими, если на решении существует четыре вещественных корня характеристического уравнения (Л.В.Овсянников, 1979). Для обобщенной гиперболичности системы (13) также необходимо существование четырех вещественных корней уравнения (14).

Лемма 3. Если на заданном решении щ, Нг (г = 1,2) выполняется одно из следующих условий:

1) 91 <у/Ц, Р1> -у/Ц\ 2) > у/Ц, Р1 > -у/Ц;

3) 91 < л/Д, р2 < — л/Д; 4) ф > %/м, р2 < -у/р, р2{К) + я2{К) < д;

5) Ак.) >1 +Ж > 1 + Ж (*. =

у Р1 V /°1 4 2 )

то уравнение (14) имеет четыре вещественных корня. Условие отсутствия комплексных характеристик имеет вид (5) с функцией х, определенной формулой (14). Приращение аргумента вычисляется при изменении и от ию до щ\ и от и2о до щх.

Получение достаточных условий гиперболичности уравнений движения оказалось сопряжено с принципиальными трудностями, связанными с анализом однозначной разрешимости сингулярных интегральных уравнений на разомкнутых контурах, содержащих как характеристическую часть, так фредгольмов оператор первого рода.

В четвертом разделе главы проведен теоретический анализ одномерного кинетического уравнения пузырьковой жидкости [2, 14]

Ь + {р-1)и+\р-1)иР = о, 1 = {1 + р)~1э (15)

(Б. Пертам и др., 1999). Здесь — плотность распределения пу-

зырьков по декартовой координате х и импульсам пузырьков р в момент времени t > 0; р{Ь,х), ¿(Ь,х) — нулевой и первый моменты функции распределения. Уравнения (15) преобразованы к виду (1) и подвергнуты

Рис. 3: Характеристики уравнения (16) (кривые г] = const).

Р -2 0 2 4 6 8 р

Рис. 4: Заданный фон (кривая 1), бегущая волна (кривая 2).

характеристическому анализу. Имеется только непрерывный вещественный характеристический спектр к = р — I в области, где / > 0.

Теорема 3. Пусть функция / дифференцируема по всем переменным, /р гёлъдерова по переменной р, функции / и /р обращаются в нуль при |р| -4 оо. Тогда условия

Aargx± = 0, х* = 1 +

ОО

с-"7

f,y(t,x,p')dp' pl -Р

±Ш(р-1)2/рф 0

являются необходимыми и достаточными для обобщенной гиперболичности системы уравнений (15). Приращение аргумента вычисляется при изменении р от —оо до оо для фиксированных значений £, х.

Остановимся на алгоритме построения решений модели (15) в классе бегущих волн / = /(С,£>)> I = ¿(0; С = х — Кинетическое уравнение

(р - I - D)fi + (р - l)fp = 0.

(16)

интегрируется в явном виде / = Ф[rj), г) = p2J2 — (D + l)p + l2/2, а зависимость /(£) ф const задается произвольно. Рассмотрим задачу Коши

ОО _J оо

/(io,p) = /o(p), *о= + f /о(р)ф) J pMp)dp (17)

—оо —оо

для уравнения (16). Условия (17) обеспечивают непрерывное примыкание бегущей волны к заданному стационарному однородному по пространству решению / = fo(p)- Как видно из рис. 3, для I > Iq решение задачи Коши однозначно определяется по начальным данным в областях fii и Пг- В области SI3 (куда не приходят характеристики пересекающие

прямую I = ¿о), ограниченной кривой ту = во = — £>2/2 — решение находится из дополнительного интегрального уравнения. Для построения решения в области Пз преобразуем соотношение

(18)

— 00 — ОС

в интегральное уравнение для определения функции Ф(г]) на интервале 77 € (в, 5о), где з = —Б2/2—01. Для этого в (18) перейдем к переменной г/. В результате получаем интегральное уравнение Абеля для определения функции Ф(г]) в области Пз. В бегущей волне концентрация пузырьков возрастает (рис. 4). Особенностью решения является возможность произвольно задать гладкую функцию I = 1(0.

Во второй главе предложен новый подход к построению решений обобщенно-гиперболических систем с операторными коэффициентами, которые приводятся к интегральным инвариантам Римана. Метод основан на функциональной зависимости между инвариантами Римана и позволяет свести решение исходной интегродифференциальной модели к интегрированию системы дифференциальных уравнений. Метод использован для построения решений уравнений вихревой мелкой воды и одномерного кинетического уравнения Руссо — Смереки.

В первом разделе второй главы построен специальный класс решений уравнений вихревой мелкой воды

н у

щ + иих + уиу + дНх = 0, /1( + Г У и (¿у^ =0, v = -Juxdy' (19)

ох о

(Д. Бенни, 1973), а также выполнены численные расчеты непрерывных и разрывных сдвиговых движений тонкого слоя тяжелой идеальной жидкости со свободной границей [4]. Уравнения (19) удобно преобразовать к "кинетическому" виду

+ и\¥х - дкх\¥и = 0, к = J У/ сЬ', (20)

«о

ии + щи1х + дНх = 0, и01 + и0Щх + д!1х = 0. (21)

Здесь — ш-1 (аналог функции распределения, и = иу) является искомой функцией переменных а; и и. Функции щ(1,х) и х) — горизонтальные скорости на дне и свободной границе. Уравнения (20), (21)

формируют замкнутую систему интегродифференциальных уравнений для определения искомых функций :,и), и

Введем новую функцию

щ

х,и) = и — д у -^-.

щ

На решениях уравнений (20), (21) величина Я удовлетворяет такому же уравнению, как и IV. Действительно, ^ + иНх — дИхКи = 0. Величины IV(£, х, и) и х, и) будем называть интегральными инвариантами Ри-мана. Рассмотрим решения с функциональной зависимостью между V/ и Я. Пусть = ф{Н), где ф произвольная гладкая функция. Выражение

Ш = = (22)

По

представляет нелинейное интегральное уравнение для определения неизвестной функции = \У(ио,щ,и). Предположим, что это интегральное уравнение решено и функция \У(щ,щ,и) известна. Используя второе уравнение (20), определяем зависимость /г.(¿, х) = Ть{щ,щ), подстановка которой в уравнения (21) дает замкнутую систему дифференциальных уравнений

ии + щи1Х+д(Цио,щ))х = 0, и01 + и0и0х +д(Цщ,и1))х = 0. (23)

для функций но и и\. Предположим, что система (23) также решена и функции х), гц^,х) определены. В этом случае, при выполнении условий обобщенной гиперболичности модели, функция х, и) = х),и), найденная из уравнения (22), удовлетворяет кинетическому уравнению (20).

Пусть зависимость между инвариантами Римана И^ и Я линейная:

\У = ф(К) = а(Л-6), а-1 = д1гсЬё(ц1г),

Ь и ¡1 — произвольные постоянные (/1 £ (0,1), ц ф 1/2). Тогда (22) является линейным сингулярным интегральным уравнением, решение которого (в классе функций ограниченных при и = щ к неограниченных при и = щ) находится в явном виде

ЙЧио, «г,«) = ^ (и - Ъ - 1л(щ (24)

дтт \ / — и/

Рис. 5: Свободная граница у = и вектор скорости (и(£, у) — г/(£, у)) в автомодельной простой волне.

Рис. 6: Глубина слоя жидкости: сплошная линия — многослойная модель (28), пунктир — специальный класс (27).

Подстановка (24) в (20) позволяет выразить глубину слоя жидкости х) в терминах щ и щ:

Цио,щ) = 1 ~и0)(2~1(1 - ц)(щ -щ)+и0-Ь).

В результате этого исходная интегродифференциальная модель сведена к решению системы из двух дифференциальных уравнений (23), допускающих формулировку в инвариантах Римана

Получены точные решения уравнений (25), соответствующие автомодельным простым волнам: r2{uo,ui) = r2o = const, Ci(uo,Uj) = £ = x/t. Пример такого решения при следующих значениях параметров (ц = 0,6; Ъ = —3; г2о = —10; д = 9,8) приведен на рис. 5.

Для моделирования разрывных решений уравнений вихревой мелкой воды использованы интегродифференциальные законы сохранения

щ + иих - uot - и0и0х = 0, Ht + (иН)х = 0,

ь - (а-Ь-nim- и0)) f^ii-fA " (25)

\Ul Ci J

м

Гц + сгггх — 0; П =

(г = 1,2), где

1(/"ЯЙЛ) + 1(/"2Я<,А + 5(/Я'!Л)2)=0

(26)

0

О

0

записанные в полулагранжевых переменных (В.М.Тешуков, 1995), где у = Ф{Ь,х, А), Я = Фа > 0 — якобиан перехода к лагранжевой переменной А. Если перед разрывом имеется решения из специального класса (с линейно-зависимыми инвариантами Римана), то за скачком решение не принадлежит этому классу Но поскольку величина на разрыве сохраняется, а инвариант К имеет второй порядок малости по сравнению с амплитудой скачка 6 = [Л], то с точностью до 0(52) за скачком решение также из специального класса. Описание разрывных решений в специальном классе основывается на законах сохранения массы и импульса

Ы + тх = 0, тг+ (п(Н,тп)+дк2/2)х = О, (27)

где тип первый и второй моменты функции ИЛ

Для применения стандартных численных подходов, основанных на различных модификациях метода С. К. Годунова, уравнения (26) необходимо преобразовать к системе дифференциальных законов сохранения. Это достигается разбиением по лагранжевой переменной А на М слоев и осреднением уравнений в предположении линейности профиля скорости в каждом из слоев. В результате получена дифференциальная система законов сохранения для полной модели вихревой мелкой воды

+ = 0. щ{инЫ) + =

От з/Л/2 и д(^Л2\ п (28)

Здесь я), Ы((Ь,х) = иу иид- глубина, вихрь и средняя скорость в г-ом слое; т(£, х) — полный горизонтальный импульс жидкости;

г ^ /М\~1/ М / ' \ 1 М \

и* = "Л- - ^ + I] ь) ~ I] X] + £ Е^у ■

Для вычислений использована центральная схема второго порядка точности (X. Нессьяху, Э.Тэдмор, 1990), не требующая решения задачи Римана и поэтому эффективная в случае большого числа уравнений в системе. Результаты расчета распада начального разрыва, полученные по моделям (27) и (28), представлены на рис. 6. Как видно из графиков, имеется достаточно хорошее совпадение даже в случае значительной амплитуды разрыва. Рис. 7, 8 иллюстрируют влияние завихренности на распространение волн. Пусть 6 = —12, а параметр ц меняется в интервале [ОД;0,7]. Как видно из рис. 8, сдвиг скорости увеличивается при

Рис. 7: Глубина к при í = 0 (линия 0) и 4 = 0,5 (линия 1 — модель мелкой воды, 2 и 3 — многослойная модель (28)).

Рис. 8: Начальный профиль скорости при разных значениях параметра сдвига (1.

уменьшении ¡л. Если параметр ц > 1/2, то глубина Л, вычисленная по многослойной модели, близка к результатам, полученным по классическим уравнениям мелкой воды (рис. 7, сплошная линия 1). Значительное расхождение в вычислениях по полной и осредненной моделям наблюдается при ц = 0,25 и д = 0,1 (пунктирные линии 2 и 3 на рис. 7). Разрывы, распространяющиеся влево и вправо, симметричны относительно оси х = 0 в случае использования классических уравнений мелкой воды. При расчете по многослойной модели (28) прерывные волны, двигающиеся в противоположных направления, свойством симметрии не обладают, что обусловлено влиянием неоднородности потока.

Во втором разделе главы аналогичные результаты получены для одномерной кинетической модели пузырьковой жидкости [5]

Ь + {Р~ 3)}х+РЗх}р = 0, рй + {рг - ])Ргх ~ РОх = 0. (29)

(Дж. Руссо, П. Смерека, 1996). Здесь /(^ х, р) — функция распределения пузырьков, t — время, х — пространственная переменная, р — импульс пузырьков, ¿{Ь, х) — первый момент функции распределения. Предполагается, что / отлична от нуля только на интервале р € (рърг)- Установлено, что система (29) приводится к интегральным инвариантам Римана (В. М.Тешуков, 1999). Поиск решений с линейно-связанными инвариантами Римана приводит к представлению

При этом интегрирование исходной кинетической модели (29) сводится к решению системы дифференциальных уравнений для функций P\{t,x), P2(t,x) с известной зависимостью j = j(pi,p2)- Другие решения модели Руссо — Смереки получены в [12].

В третьей главе рассматривается задача о распаде произвольного разрыва для уравнений длинных волн под крышкой, а также задача о распространении бора на сдвиговом потоке со свободной границей. Построены новые типы разрывов, сочетающие свойства прерывной волны и контактного разрыва.

В первом разделе третьей главы исследована задача о распаде произвольного разрыва для нелинейных уравнений, описывающих плоскопараллельное вертикально-сдвиговое движение идеальной несжимаемой жидкости, полностью занимающей протяженный канал [6]

щ + иих + vuy + р* = 0, v

Здесь и, v — проекции вектора скорости на оси хну, направленные вдоль и по глубине канала, р* — давление на верхней стенке у = ho = const, нижняя стенка — у = 0. Без ограничения общности полагаем, что расход жидкости Q ~ 0. Для уравнений (30) рассмотрим задачу Коши

■ _ f иг(у) = шх(у- Ло/2), х > 0 U|f=0~ \ ul(y)=LO2(y-h0/2), х<0

Уравнения (30) для двухслойного движение жидкости с кусочно-постоянной завихренностью (щ = const) преобразуются к виду

§ + М = О!)

где h(t, х) — граница раздела потоков с завихренностями шi и o>2. По известной функции h однозначно восстанавливается непрерывный кусочно-линейный профиль скорости u(t,x,y). Условие сильной нелинейности уравнения (31) имеет вид 1/2 < ы1(/ш2 < 2. При выполнении этого условия решение задачи Римана дается простой волной (рис. 9)

h(b)= )h0 (2u>2-ui )2hl hQ(2k + uj2ho) x

[ ' 3(Wl-W2) + \j 9(Ш1-Ш2)2 + 3(Wl-W2) ' f

У По

- juxdy, JI

,dy = 0. (30)

Вдоль линии раздела потоков формируется струйное течение, направленное к верхней границе канала (0 < шг < ь^).

При нарушении условий сильной нелинейности характеристик решение задачи включает сильный разрыв и примыкающую к нему автомодельную простую волну. Скорость И и амплитуда /1» разрыва определяются из системы <£>(/1») = .О/г*, — V. Получение разрывного решения основано на построении "выпуклого" расширения для закона сохранения (31) с учетом условий устойчивости (О. А. Олейник, 1958).

в у\ С

з и1 гУР Ху* 0,4 Ч- 5 о,2 ' иг К ^—6 _

Рис. 9: Траектории частиц в волне взаимодействия сдвиговых потоков.

Рис. 10: Траектории частиц в разрывном решении (0 < и>2 <Щ, 0^1/^2 > 2).

Траектории движения частиц в построенном разрывном решении показаны на рис. 10, полученном при и>1 = 10, и>2 = 1, ^о = 1- Сдвиговой поток с завихренностью и>2, занимающий перед разрывом к = Б — 0 всю глубину канала 0 < у < Ло, за разрывом занимает лишь его часть /¿* < у < Ио (траектории 1-3 на рис. 10). В области к > Б, 0 < у < Н частицы совершают возвратное относительно волны движение, т.е. величина и — к меняет знак (траектории на рис. 10). Построенное решение содержит особенность, в которой частицы приходят на линию разрыва из области к > Б и. изменив на разрыве эйлерову координату у и вектор скорости, возвращаются в область к > И. Таким образом, разрывное решение сочетает свойства прерывной волны (имеются частицы, которые пересекают фронт разрыва) и контактного разрыва (имеются частицы, которые скользят вдоль фронта). Для определения соответствия частиц жидкости перед и за разрывом использовано соотношение [(и — О)¿у] = 0, вытекающее из локального закона сохранения массы. На построенном решении выполнены соотношения [и] = 0 и [<5] = 0, выражающие сохранения вихря и расхода, формирующие вместе с предыдущим равенством соотношения Гюгонио для модели (30). При переходе через разрыв энергия слоя жидкости убывает.

Во втором разделе главы получена последовательность гладких реше-

ний уравнений вихревой мелкой воды (19) сходящаяся к разрывному решению, моделирующему распространение бора [15]. Для построения решений в классе бегущих волн использована кинетическая формулировка модели и метод, изложенный в четвертом разделе первой главы. Проанализировано поведение жидких частиц в окрестности резкого изменения глубины и показано, что новый тип разрыва является характерным для длинноволновых моделей сдвигового движения жидкости.

В четвертой главе рассматриваются уравнения пространственного движения тонкого слоя идеальной тяжелой жидкости с учетом сдвига скорости по глубине, геофизического вращения и неровности дна.

В первом разделе главы исследованы симметрии и классы точных решений уравнений длинных волн на пространственном сдвиговом потоке со свободной границей [7]

щ + иих + ьиу + гпи2 + дкх = 0, vt + иух + ту + -шух + дку = 0,

их + уу + гиг = 0; ¡гг + икх + ьку-ю |г=Л = 0, ш[г=0 = 0.

Найдены допускаемые операторы, формирующие 9-и мерную алгебру Ли Ьд, изоморфную алгебре Ли операторов уравнений обычной мелкой воды (Л. В. Овсянников, 1958), для которой известна оптимальная система подалгебр (А. С. Павленко, 2005). С использованием двумерных представителей оптимальной системы подалгебр построены и интерпретированы новые классы точных решений. Получены стационарные вращательно-симметричные решения, описывающие движение жидкости с зонами возвратного течения. Найдены устойчивые нестационарные решения, описывающие растекание (схлопывание) параболической полости.

Во втором разделе методы группового анализа применены к геофизической модели вращающейся мелкой воды [10, 11]

щ + иих + уиу — /у + дкх = 0, + шх + ууу + /и + дку = О, 1ц + (ик)х + {уЬ)у = 0.

(А. Гилл, 1986; А. Майда, 2003; Дж. Педлоски, 1987). Вычислена 9-и мерная алгебра Ли допускаемых операторов Ьд и установлен ее изоморфизм с предыдущей алгеброй Ли Ьд. С использованием симметрии выполнено групповое размножение решений, а также построение и физическая интерпретация вращательно-симметричных решений. Принципиальным результатом раздела является нахождение точечного преобразования, связывающего эту модель с обычными уравнениями мелкой воды.

Третий раздел главы, на котором остановимся более подробно, обобщает предыдущие результаты [10,16]. Рассмотрим нелинейные пространственные колебания тонкого слоя идеальной жидкости в круговом параболическом бассейне, вращающемся с постоянной угловой скоростью //2 относительно вертикальной оси г. В цилиндрической системе координат (г, б, г) движение жидкости описывается системой уравнений

дк \djrUh) 1 д(УК) _

дг+ г дг + г 89 ' 2 "

Здесь и, V — радиальная и окружная компоненты вектора скорости; И — глубина жидкости; положительные постоянные д, / и к > /2/(4д) — ускорение свободного падения, параметры Кориолиса и рельефа дна.

Алгебра Ли Ьд симметрий уравнений (32) изоморфна алгебре Ли симметрий обычных уравнений мелкой воды, которая разлагается в прямую сумму 6-мерного радикала и простой алгебры Ли з1(2). Известно, что простая алгебра Ли 2) для уравнений мелкой воды состоит из оператора переноса по времени, проективного оператора и растяжения:

Х7 = ди = г2д1 + Ьгдг + (г - Ш)ди - Жду - 2Лдн,

= 2Ьдь + гдг - иди - Уду - 2Пдк.

Соответствующая простая алгебра Ли э1{2) симметрий уравнений (32) формируется следующими нетривиальными операторами

Р7 = 2и>~% - ¡ш-1дв - Я, (ы = 2удк)

Г8 = (1 + - 2"1Г8Ш(Ш4)^ - /(2ш)~1 (1 + со8(ьй))дв+

+2~1(иап(иЛ) - шгсоз{шг))ди + 2~Л(У + /г) вш(и1)ду+

¿9 = —2ы-1зт(ш£)дг - г соз(ш£)Зг + fu>~1 зт(ьЛ)дд+

+ {и со^шЬ) + иг ът(и1))ди + (V + /г) соз(и^)5у+

которые будут использованы ниже для генерации решений. Анализ сим-метрийных свойств модели (32) позволяет сформулировать теорему.

Теорема 4. Уравнения (32), описывающие в приближении мелкой воды движение идеальной жидкости во вращающемся круговом параболическом бассейне, и обычные уравнения мелкой воды (уравнения (32) при / = О, к = 0) связаны точечным преобразованием

, 2 Lüt , , Wt ft '

, = г = г/cos —, ff^L + в,

U' = U cosf + fsinf, (у+ (33)

h! — hcos2 (и) = 2у/дк,у

¿i

Действительно, если функции L/(í, г, 0), V(f, г, б) и /i(£, г, 0) удовлетворяют уравнениям (32), то функции U'(t', г', в'), V'(t', г', в') и h'(t',r', в'), определяемые формулами (33), являются решением обычных уравнений мелкой воды.

Замечание. В осесимметричном случае при любой функции Z = Z(r) замена переменной V = V — /г/2 исключает из уравнений (32) слагаемые, отвечающие за силу Кориолиса и центробежную силу. Этого можно добиться и в пространственном случае с произвольной функцией Z = Z(r, в) с помощью преобразования (33) при ш = /, дополненного соотношением Z' = (Z - f2r2/(8g)) cos2(ft/2).

Конечные преобразования, соответствующие операторам F7, Fs и Fg использованы для группового размножения решений.

Теорема 5. Если совокупность функций

U = Ü(t,r,e), V = V(t,r,e), h = h(t,r,d)

удовлетворяет системе уравнений (32), то той же системе уравнений удовлетворяет совокупность функций

где величины t, г ив определены формулами

- 2 , . , , _ /а(1 + т2) í = -axctg(ar) + X(í), ? = 1 + а2Т2>

e = e~¿¡ (arctg(ar) - arctg(r)^; т = tg~.

Рис. 11: Деформация материального контура при движении жидкости по формулам (35): а — контуры 0 — 4 соответствуют < = Зпж/и, п = 0 — 4; 6 — окружности 1, 2 — Ь = 0; спирали 3, 4 — 4 = 2Ъп/и.

Здесь а = ехр(—2а) > 0; а — групповой параметр; х(£) = 2пп/и: где п — целое число, такое что t = ¿]а=о € ((2п — (2п + 1)7г/а;).

Применим теорему к стационарным вращательно-симметричным решениям и = О = 0, V — У (г) (глубина слоя жидкости восстанавливается по заданной функции У{г) с использованием третьего уравнения системы (32)). Преобразование (34) приводит к классу осесимметричных периодических по времени решений системы уравнений (32)

Нелинейные колебания жидкости, описываемые классом решений (35), обладают свойством изохронности. Период решения

определяется только кривизной параболоида в полюсе и не зависит от амплитуды колебания. Аналогичные решения были получены и экспериментально подтверждены при анализе осесемметричных решений уравнений (32) (П. Н. Свиркунов, 1996; М. В. Калашник и др., 2004).

к = тг = ™ (*2 - ^

(35)

и у/дк

Траектории движения частиц на решении (35) имеют вид

r(t) = го/1*;2!2, Щ = <?0 + ^(arctg(ат) - arctg(г)) +

где x(t) определенная выше функция; постоянные го, во задают начальное положение частицы. Траектории частиц являются эргодическими (для любого е > 0 существует te > 0, что при t = te частица находится на расстоянии не более е от начального положения при t = 0).

Деформация материального контура в процессе эволюции течения (35) показана на рис. 11. Графики получены при V(r) — lr2\ g = / = 1; w = %/5; l « 0,27; a = 3/2. На рис. И, a материальный контур показан при t = Зпп/и (п принимает значения 0—4, что соответствует линиям 0 — 4). Пунктир — траектория движения частицы. С ростом времени рассматриваемый контур закручивается в спираль (рис. 11,6). Здесь окружности 1 и 2 — материальные контуры при t = 0; спирали 3 и 4 — соответствующие материальные контуры при t = 2Ъж/и « 35,12.

Полученные результаты, в частности, теоремы 4 и 5 обобщены на случай пространственных вертикально-сдвиговых нелинейных колебаний тонкого слоя вращающейся жидкости в круговом параболоиде, описываемых интегродифференциальными уравнениями движения.

Основные научные результаты диссертации.

• Определены скорости распространения нелинейных длинноволновых возмущений в неоднородной жидкости на основе применения теории обобщенных характеристик к интегродифференциальным системам уравнений движения. Построены обобщенные характеристики и сформулированы условия гиперболичности для:

- модели горизонтально-сдвигового движения тонкого слоя идеальной жидкости в открытом канале переменного сечения;

- уравнений сдвигового осесимметричного движения жидкости в протяженной упругой трубке;

- модели завихренного плоскопараллельного движения двухслойной стратифицированной жидкости со свободной границей;

- одномерного кинетического уравнения разреженной пузырьковой жидкости.

Для рассмотренных интегродифференциальных моделей построены классы точных решений и исследована их устойчивость; доказано существование решений в классе простых волн, непрерывно примыкающих к заданному сдвиговому потоку; дано решение линеаризованных уравнений.

Предложен метод построения решений нелинейных интегродифференциальных уравнений, основанный на функциональной зависимости между инвариантами Римана. Применение метода к уравнениям вихревой мелкой воды и кинетическому уравнению Руссо — Смереки разреженной пузырьковой жидкости позволило получить следующие результаты:

- построен специальный класс решений моделей, характеризующийся линейной зависимостью между интегральными инвариантами Римана и описываемый гиперболической системой двух дифференциальных уравнений с двумя параметрами;

— выполнено численное моделирование распространения непрерывных и разрывных длинноволновых возмущений, продемонстрировано влияние пространственной неоднородности потока на распространение волн.

Выполнен анализ разрывных решений интегродифференциальных моделей сдвигового движения жидкости, в том числе:

- решена задача о распаде произвольного разрыва для уравнений вертикально-сдвигового движения жидкости под крышкой в классе течений с постоянной завихренностью;

— построены последовательности гладких решений уравнений вихревой мелкой воды, сходящиеся к разрывным решениям.

При этом установлено, что сильный разрыв в рамках моделей мелкой воды для сдвиговых движений сочетает свойства ударной (прерывной) волны и контактного разрыва.

Найдены симметрии и классы точных решений пространственных длинноволновых моделей с учетом эффектов вращения, сдвига скорости и рельефа дна:

- получено точечное преобразование, приводящее уравнения, описывающие пространственные колебания тонкого слоя вращающейся жидкости в круговом параболоиде, к обычным уравнениям мелкой воды;

- построены классы точных решений пространственных уравнений теории длинных волн (периодические по времени решения, стационарные решения с рециркуляционными зонами, а также вращательно-симметричные решения, описывающие различные режимы растекания и схлопывания жидкого кольца).

Основные публикации по теме диссертации

[1] Чесноков A.A. Осесимметричные вихревые движения жидкости в длинной эластичной трубе /'/ ПМТФ. 2001. Т. 42, №4. С. 76-87.

[2] Чесноков A.A. Характеристические свойства и точные решения кинетического уравнения пузырьковой жидкости // ПМТФ. 2003. Т. 44, №3. С. 41-50.

[3] Чесноков A.A. О распространении длинноволновых возмущений в двухслойной завихренной жидкости со свободной границей // ПМТФ. 2004. Т.45, №2. С. 99-110.

[4] Teshukov V., Russo G., Chesnokov A. Analytical and Numerical Solutions of the Shallow Water Equations for 2-D Rotational Flows // Math. Models Methods Appl. Sei. 2004. V. 14, №10. P. 1451-1479.

[5] Руссо Дж., Тешуков B.M., Чесноков A.A. Специальный класс решений кинетического уравнения пузырьковой жидкости // ПМТФ. 2005. Т. 46, №2. С. 33-43.

[6] Чесноков A.A. О взаимодействии сдвиговых потоков идеальной несжимаемой жидкости в канале // ПМТФ. 2006. Т. 47, №6. С. 3447.

[7] Чесноков A.A. Симметрии и точные решения уравнений мелкой воды на пространственном сдвиговом потоке // ПМТФ. 2008. Т. 49, №5. С. 41-54.

[8] Чесноков A.A., Ляпидевский В. Ю. Волновые движения жидкости в узком открытом канале // ПМТФ. 2009. Т. 50, №2. С. 61-71.

[9] Ляпидевский В. Ю., Чесноков А. А. Докритические и сверхкритические горизонтально-сдвиговые течения в открытом канале переменного сечения // Изв. РАН. МЖГ. 2009. №6. С. 123-138.

[10] Chesnokov A. A. Symmetries and exact solutions of the rotating shallow-water equations // Europ. J. Appl. Math. 2009. V.20. P. 461-477.

[11] Чесноков А. А. Симметрии уравнений теории мелкой воды на вращающейся плоскости // СибЖИМ. 2008. Т. 11, №3. С. 135-146.

[12] Чесноков А. А. Распространение волн концентрации в пузырьковой жидкости // Вычислительные технологии. 2001. Т. 6, 4.2. Спец. вып. С. 680-685.

[13] Чесноков А. А. Простые волны на сдвиговом потоке идеальной жидкости в удлиненном эластичном канале / / Проблемы теоретической и прикладной математики: Труды 32-й Региональной молодежной конференции. Екатеринбург: УрО РАН, 2001. С. 172-177.

[14] Чесноков А. А. Характеристики, точные и численные решения одномерного кинетического уравнения пузырьковой жидкости // Сб. трудов IX Всероссийской конференции "Современные проблемы математического моделирования", Дюрсо: ЮГИНФО, 2001. С. 397-404.

[15] Чесноков А. А. Бегущие волны на сдвиговом потоке идеальной жид-кости II Проблемы теоретической и прикладной математики: Труды 37-й Региональной молодежной школы-конференции. Екатеринбург: УрО РАН, 2006. С. 322-327.

[16] Чесноков А: А. Волновые движения жидкости во вращающемся параболическом бассейне // Сб. трудов XIII Всероссийской конференции "Современные проблемы математического моделирования", Дюрсо: ЮГИНФО, ЮФУ, 2009. С. 442-449.

Подписано в печать « 25 » января 2010 г. Заказ № 27

Формат бумаги 60 х 84 1/16 Объем 2 п. л.

Тираж 100 экз". Бесплатно

Отпечатано в полиграфическом участке ИГиЛ СО РАН 630090 Новосибирск, просп. акад. Лаврентьева, 15

Введение

1 Распространение возмущений в неоднородной и завихренной жидкости: применение теории обобщенных характеристик

1.1 Горизонтально-сдвиговые движения тонкого слоя жидкости в протяженном открытом канале.

1.1.1 Вывод длинноволновой модели.

1.1.2 Обобщенные характеристики уравнений движения

1.1.3 Изменение типа системы уравнений в процессе эволюции течения.

1.1.4 Класс решений с постоянной потенциальной завихренностью

1.1.5 Стационарные течения.

1.1.6 Течение в локальном сужении или расширении канала

1.1.7 Течения с рециркуляционными зонами.

1.2 Осесимметричные сдвиговые движения жидкости в длинной упругой трубке.

1.2.1 Математическая модель.

1.2.2 Условия обобщенной гиперболичности уравнений движения

1.2.3 Существование простых волн.

1.2.4 Симметрии и инвариантные решения модели

1.3 Распространение длинных волн в двухслойной завихренной жидкости со свободной границей

1.3.1 Уравнения движения двухслойной жидкости

1.3.2 Характеристические свойства модели.

1.3.3 Случаи слабого и сильного скачка плотности

1.4 Характеристические свойства и точные решения кинетической модели пузырьковой жидкости.

1.4.1 Краткий обзор кинетических моделей пузырьковой жидкости.

1.4.2 Обобщенные характеристики и условия гиперболичности кинетического уравнения.

1.4.3 Бегущие волны.

1.4.4 Решение линеаризованной задачи

1.5 Основные результаты главы 1.

2 Решения интегродифференциальных уравнений с линейносвязанными инвариантами Римана

2.1 Специальный класс решений уравнений вихревой мелкой воды.

2.1.1 Различные формулировки уравнений вихревой мелкой воды.

2.1.2 Интегральные инварианты Римана.

2.1.3 Решения с функционально-связанными интегральными инвариантами Римана

2.1.4 Специальный класс решений с линейно связанными инвариантами Римана.

2.1.5 Простые волны.

2.1.6 Законы сохранения и условия на разрыве.

2.1.7 Центральные схемы для законов сохранения

2.1.8 Сведение уравнений вихревой мелкой воды к дифференциальным законам сохранения.

2.1.9 Численные результаты.

Тест #1: гладкие решения модели.

Тест ф2\ разрывные решения модели

Тест #3: сравнение результатов, полученных по полной и осредненной моделям

2.2 Специальный класс решений кинетического уравнения пузырьковой жидкости.

2.2.1 Кинетическая модель Руссо — Смереки.

2.2.2 Интегральные инварианты Римана.

2.2.3 Класс решений с функционально-зависимыми инвариантами Римана.

2.2.4 Решения с линейно-зависимыми инвариантами Римана

2.2.5 Простые волны.

2.2.6 Законы сохранения и сведение к многослойной системе дифференциальных уравнений.

2.2.7 Численный эксперимент.

2.3 Основные результаты главы 2.

3 Взаимодействие сдвиговых потоков и распространение бора

3.1 Задача о взаимодействии завихренных потоков в канале

3.1.1 Постановка задачи.

3.1.2 Уравнение двухслойного движения с кусочно-постоянной завихренностью.

3.1.3 Простая волна взаимодействия потоков.

3.1.4 Траектории движения частиц.

3.1.5 Дифференциальные законы сохранения.

3.1.6 Решение с сильным разрывом.

3.2 Бегущие волны на сдвиговом потоке со свободной границей

3.2.1 Математическая модель.

3.2.2 Бегущие волны на сдвиговом потоке.

3.2.3 Последовательность гладких решений модели, сходящаяся к разрывному решению

3.2.4 Анализ соотношений Гюгонио для предельного разрывного решения.

3.3 Основные результаты главы 3.

4 Симметрии и точные решения пространственных уравнений теории длинных волн

4.1 Симметрии и классы решений уравнений мелкой воды на пространственном сдвиговом потоке.

4.1.1 Математическая модель и допускаемые преобразования

4.1.2 Вращательно-симметричные подмодели.

4.1.3 Растекание параболической полости.

4.1.4 Течения с рециркуляционными зонами.

4.2 Групповые свойства и точные решения уравнений вращающейся мелкой воды.

4.2.1 Симметрии модели вращающейся мелкой воды

4.2.2 Свойства алгебры Ли допускаемых операторов

4.2.3 Преобразование модели к уравнениям мелкой воды

4.2.4 Групповое размножение решений.

4.2.5 Стационарные вращательно-симметричные решения

4.2.6 Коллапс жидкого кольца. Режим #1.

4.2.7 Коллапс жидкого кольца. Режим #2.

4.2.8 Обобщение на сдвиговой случай

4.3 Колебания тонкого слоя жидкости во вращающемся параболическом бассейне

4.3.1 Симметрии и элементы групповой классификации

4.3.2 Преобразование модели к уравнениям мелкой воды

4.3.3 Групповое размножение решений.

4.3.4 Периодические по времени решения.

4.3.5 Обобщение на случай вертикально-сдвиговых движений жидкости.

4.4 Основные результаты главы 4.

Теория распространения нелинейных длинноволновых возмущений в неоднородных средах является важным и активно развивающимся разделом механики жидкости и газа. Актуальность этой тематики связана с многочисленными приложениями теории длинных волн при моделировании крупномасштабных явлений в атмосфере и океане, имеющим практические приложения в метеорологии и геофизике. Приближенные длинноволновые модели играют важную роль в задачах гидродинамики открытых русел, гидродинамических проблемах транспортировки нефти и природного газа, в задачах гидроаэроу пру гости, связанных с конструированием судов и плавающих платформ.

Рассмотренные в диссертационной работе гидродинамические задачи теории длинных волн являются развитием классических постановок, в которых более полно учтены реальные физические факторы, такие как нелинейность, завихренность, стратификация, пространственная неоднородность и др. Отличие рассматриваемых в работе математических моделей от классических дифференциальных уравнений теории мелкой воды связано с необходимостью исследования нестандартных систем ин-тегродифференциальных уравнений. Аналитические подходы, использованные при решении поставленных задач, основаны на применении современных методов исследования и дают возможность находить качественные зависимости параметров задачи, приводящие к тем или иным особенностям описываемого волнового процесса.

Изложение классических результатов механики жидкости содержится в известных монографиях Г. Ламба [38], Н.Е.Кочина, И.А.Кибеля, Н.В.Розе [31], Л.И.Седова [69], Дж.Лайтхилла [37], Дж.Стокера [73], Дж. Уизема [91], а также в ряде других фундаментальных работ. В механике жидкости различают точные, основанные на точном выполнении законов сохранения, и приближенные гидродинамические модели. Результаты, относящиеся к точным пространственным постановкам задач, составляют меньшую часть из всех полученных в теории волновых движений жидкости, что объясняется сложностью и нелинейностью математических моделей. Большая часть исследований по волновым движениям жидкости основывается на различных приближениях. Из всех аппроксимаций наиболее развита линейная теория. Важными нелинейными приближениями являются теории длинных и коротких волн. Широкое применение длинноволнового приближения в теоретическом анализе волновых процессов связано с тем, что длинные волны в вязкой жидкости затухают медленнее коротких и именно они определяют асимптотику решения при больших временах. Кроме того, в этом случае упрощаются математические постановки задач, что позволяет продвинуться в изучении нелинейных волновых процессов численными и особенно аналитическими методами.

Важнейшими элементами теоретического исследования моделей движения жидкости и газа является выяснение вопросов конечности скорости распространения возмущений (гиперболичность уравнений движения), изучение корректности постановки задачи Коши (доказательство существования и единственности решения), построение классов точных решений, дающих представление о характерных режимах движения. Уравнения газовой динамики, а также многие модели теории длинных волн и, в частности, классические уравнения мелкой воды, являются гиперболическими системами дифференциальных уравнений. Общие методы аналитического исследования и численного решения нелинейных гиперболических моделей (преимущественно с приложением к уравнениям газовой динамики) изложены в монографиях Р. Куранта и К. Фридрихса

36], Б.Л.Рождественского и Н. Н.Яненко [65], Л.В.Овсянникова [52], П. Лакса [141], А. Г. Куликовского, Н. В. Погорелова, А. Ю. Семенова [32],

A. Г. Куликовского, Е. И. Свешниковой [33] и других работах.

При построении точных решений уравнений движения жидкости и газа эффективно применяются современные методы группового анализа дифференциальных уравнений, развитые Л. В. Овсянниковым [50] и П. Олвером [146]. Этот метод дает возможность получать более простые подмодели, определяющие классы инвариантных и частично инвариантных частных решений. Построению и физической интерпретации точных решений гидродинамических моделей на основе методов группового анализа посвящены монографии К.Роджерса и В.Эймса [150],

B. К. Андреева, О. В. Капцова, В. В. Пухначева и А. А. Родионова [117], В.К.Андреева, В. В. Бублика и В.В.Бытева [1]. Симметрии различных моделей математической физики и их точные решения приведены в справочнике Н.Х.Ибрагимова [139]. В. В. Пухначевым [64] дан современный обзор по точным решениям уравнений Навье — Стокса. Работа по описанию всех классов решений уравнений газовой динамики, имеющих групповую природу, ведется коллективом исследователей в ИГиЛ СО РАН по программе ПОДМОДЕЛИ [55, 56]. Существуют и другие подходы к построению точных решений, например, метод подобия и размерности [68], метод дифференциальных связей [70].

В классической теории мелкой воды [73, 53] рассматривается задача о распространении длинных волн по поверхности жидкого слоя в предположении о потенциальности течения. В длинноволновых моделях отсутствие завихренности (потенциальной завихренности) означает, что проекция вектора скорости на соответствующее "выделенное" направление (вдоль которого распространяются возмущения) не зависит от вертикальной или поперечной координаты (для вертикально-сдвиговых и горизонтально-сдвиговых течений, соответственно). Поэтому в рамках классической теории описывается эволюция осредненных параметров потока. Однако реальные течения жидкости являются сдвиговыми, что обусловлено влиянием вязкости вблизи границ. Впервые расширение классической теории мелкой воды на случай завихренных движений жидкости было предложено Дж. Бернсом [127], в работе которого исследовано распространение малых возмущений на вертикально-сдвиговом плоскопараллельном потоке идеальной жидкости. При этом скорости распространения возмущений определялись из специального соотношения, включающего интеграл по глубине слоя жидкости. Модель длинных волн, получаемая из уравнений Эйлера и граничных условий путем разложения по параметру дисперсии и учетом членов только при нулевой степени параметра разложения, рассмотрена Д. Бенни [122] щ + иих + уиу + дНх = 0, их + ьу = 0;

0.0.1) х, К)НХ = х, К), у{Ь, х, 0) = 0 здесь £ — время, х, у — пространственные переменные, и, у — компоненты вектора скорости, д — ускорение свободного падения, уравнениями у = 0 и у = /?,(£, ж) задаются ровное дно и свободная граница). Эта система получила название полных нелинейных уравнений длинных волн или уравнений вихревой мелкой воды. В случае отсутствия завихренности (и = иу = 0) модель (0.0.1) переходит в классические уравнения мелкой воды. Многие длинноволновые модели и их исторический обзор приведены в [24], где также показано, что большую роль при выводе этих уравнений играют параметр нелинейности (отношение амплитуды волны к средней глубине потока) и параметр дисперсии (квадрат отношения средней глубины потока к длине волны). Вопросам обоснования теории мелкой воды посвящены работы Л.В.Овсянникова, В.И.Налимова и Н. И. Макаренко [49, 53].

Уравнения вихревой мелкой воды (0.0.1) рассматривались в работах Н. Фримана [132], П. Сачдева [152, 153, 154], Е. Варлея [161], В. М. Тешу-кова [80], А. А.Чеснокова [100], где построены классы точных решений модели (бегущие волны, простые волны, решения с рециркуляционными областями и другие решения). Бесконечные серии законов сохранения обнаружены Д. Бенни [122], Р. Миурой [144], В.Е.Захаровым [23], Б. А. Купершмидтом и Ю. И. Маниным [34]. Гамильтонова структура модели установлена в [35]. Дискретные уравнения вихревой мелкой воды (жидкий слой разбивается на N подслоев, в каждом из которых горизонтальная компонента вектора скорости не зависит от вертикальной координаты) рассмотрены в [60, 61], где найден полный набор законов сохранения и производящая функция. В работе [133] указанная система была приведена к диагональному виду (инвариантам Римана). Изучению вытекающей из уравнений (0.0.1) бесконечной цепочки для моментов к дАп дАп+1 дА0 [

Ж дх п~1~дх Ап= и ¿У (0.0.2) о и иных гидродинамических цепочек) посвящены работы Дж. Гиббонса, С.П.Царева [134, 135], М.В.Павлова [148] и др. Однако получить условия гиперболичности уравнений (0.0.2) затруднительно в виду отсутствия общей теории исследования таких систем. В. Е. Захаровым [23] модель (0.0.1) приведена к квазилинейной интегродифференциальной системе уравнений 1 щ + иих + д ! Нх (¿Л = 0, Щ + (иН)х = 0 (0.0.3) о здесь #(£, х, Л) — Фа — якобиан замены у — Ф(£, х, А), Л — лагранжевая переменная).

Уравнения (0.0.3), а также ряд других интегродифференциальных гидродинамических моделей представимы в виде и, + А(иж) = С, (0.0.4) где и(£, х) Л) — вектор искомых величин, С(£, х, А, и) — заданная функция, А(иж) — результат действия матричного оператора А на вектор-функцию иж. Теоретический анализ моделей из класса (0.0.4) стал возможен благодаря предложенному В. М. Тешуковым [75] методу, основанном на обобщении понятий характеристик и гиперболичности для систем уравнений с операторными коэффициентами. Согласно [75] характеристическая кривая системы уравнений (0.0.4) определяется дифференциальным уравнением а/(£) = х), где скорость распространения характеристики &(£, х) является собственным значением спектральной задачи

Решение уравнения (0.0.5) относительно функционала Р ищется в классе локально интегрируемых либо обобщенных функций. Функционал Е действует по переменной Л, переменные Ьжх рассматриваются как параметры; I — тождественное отображение; — пробная гладкая вектор-функция. В результате действия функционала Г на уравнение (0.0.4) получаем соотношение на характеристике

Система уравнений (0.0.4) является обобщенно-гиперболической [75], если все собственные значения к вещественные и совокупность соотношений на характеристиках (0.0.6) эквивалентна исходным уравнениям (0.0.4), т.е. система собственных функционалов является полной в рассматриваемом пространстве. Отметим, что выяснение вопроса о гиперболичности интегродифференциальной модели является нетривиальным и требует привлечения теории сингулярных интегральных уравнений [10, 45] и обобщенных функций [5, 30].

В [75] метод обобщенных характеристик применен к уравнениям вихревой мелкой воды (0.0.3). Установлено, что при выполнении определенных условий на индекс комплексной характеристической функции модель (0.0.3) является обобщенно-гиперболической. Принципиальным отличием от дифференциальных гиперболических моделей является наличие непрерывного спектра характеристических скоростей и необходимость находить собственные функционалы вместо собственных векторов. Скорости распространения возмущений /с(£,ж) в сдвиговом потоке, опи

Г, (А — к1){ф)) = 0.

0.0.5)

Е,и* + ШЖ) = (Е,С).

0.0.6) сываемом системой (0.0.3), находятся из уравнения о которое совпадает с полученным в [127] для линейной задачи. Условия обобщенной гиперболичности интегродифференциальных моделей, как правило, соответствуют критериям устойчивости стационарных сдвиговых потоков, полученных в рамках линейной теории [19, 21]. Кроме того, в [75] уравнения (0.0.3) приведены к интегральным инвариантам Ри-мана, в терминах которых система принимает симметрический вид. В отличие от уравнений мелкой воды, интегродифференциальные модели могут быть не обладать свойством гиперболичести в некоторой области параметров. В работах [157, 41] доказана локальная корректность задачи Коши в области гиперболичности уравнений (0.0.3). В [79] рассмотрены вихревые течения с немонотонным по глубине профилем скорости и сформулированы условия гиперболичности уравнений движения.

Хорошо известно, что в процессе эволюции гладкого решения гиперболической системы квазилинейный дифференциальных уравнений может возникнуть градиентная катастрофа и дальнейшее описание решения возможно лишь в классе разрывных функций. Аналогичная ситуация имеет место и для интегродифференциальных обобщенно-гиперболических моделей, что приводит к необходимости корректной формулировки законов сохранения и анализу соотношений на разрыве. Модель гидравлического прыжка в рамках модели вихревой мелкой воды предложена в [77]. Задача о распаде произвольного разрыва (задача Римана) для вихревой мелкой воды рассмотрена в [82] для частного класса решений, соответствующего течениям с постоянной завихренностью. В этом классе при определенных ограничениях на начальные данные задачи построено автомодельное решение, описывающее конфигурации нестационарных волн, возникающих в результате нелинейного взаимодействия заданных стационарных сдвиговых потоков.

Численный эксперимент стал неотъемлемой часть современного исследования математических моделей механики жидкости и газа. К настоящему времени накоплен большой опыт численного решения гиперболических систем дифференциальных уравнений [32]. Широкое распространение получили численные схемы, основанные на идеях С.К.Годунова [12, 13], а также их различные модификации, в частности, центральные схемы [145]. Обобщенно-гиперболические интегродифференциаль-ные уравнения не попадают в класс систем, для которых применимы разработанные численные методы. Тем не менее, после специальной дискретизации по лагранжевой переменной рассматриваемые модели приводятся к системам дифференциальных законов сохранения. При этом важно использовать физически корректно сформулированные исходные интегродифференциальных законы сохранения. Характерной особенностью возникающих дифференциальных гиперболических моделей является большое количество искомых величин, количество которых зависит от разбиения по лагранжевой переменной. Например, для модели вихревой мелкой воды (0.0.3) разбиение на М слоев по "вертикальной" переменной Л приводит к необходимости решать систему из 2М +1 дифференциальных уравнений, решение задачи Римана для которой, очевидно, представляет серьезные трудности в случае М > 2. В силу этого обстоятельства центральные схемы сквозного счета, являющиеся модификацией классической схемы Лакса — Фридрихса, по всей вероятности, наиболее эффективны для численного моделирования сдвиговых движений жидкости на основе "многослойных" уравнений.

Метод обобщенных характеристик, отточенный на модели вихревой мелкой воды (0.0.3), применялся и к другим интегродифференциаль-ным моделям теории длинных волн. В частности, характеристические свойства, простые волны и гидравлические прыжки на плоскопараллельном сдвиговом потоке баротропной жидкости изучены В. М. Тешуковым и Б. Н. Елемесовой [76, 78, 22]. Модель длинноволновой аппроксимации для сдвигового движения газа в канале переменного сечения рассмотрена В. М. Тешуковым [81]. Исследование волновых возмущений на сдвиговом потоке однородной и двухслойной жидкости в протяженном канале выполнено А. А. Чесноковым [101, 102]. Успешным применением указанной техники к модели, учитывающей вязкие эффекты, является работа И.И.Липатова и В. М. Тешукова [40], в которой изучены процессы распространения волновых возмущений в сверхзвуковом пограничном слое с самоиндуцированным давлением. Многие из перечисленных выше результатов по применению метода обобщенных характеристик к гидродинамическим интегродифференциальным моделям, описывающим распространение длинных волн в неоднородной жидкости, входят в монографию В. Ю. Ляпидевского и В. М. Тешукова [41], наиболее полно отражающую состояние дел в этой области на данный момент.

Важно отметить аналогию, имеющуюся между уравнениями сдвигового движения идеальной жидкости и одномерными кинетическими уравнениями типа А. А. Власова встречающимися в физике плазмы [6, 17], а также при моделировании течений пузырьковой жидкости с учетом эффекта коллективного взаимодействия [151, 138]. Действительно, при и = иу ф 0 уравнения (0.0.1) принимают вид [160] здесь \У ~ 1 /иу — аналог функции распределения, щ, щ — горизонтальная скорость жидкости на дне и свободной границе). Кинетическая аналогия позволяет использовать методы, разработанные при анализе уравнений длинных волн, для исследования качественных свойств и точных решений кинетических моделей пузырьковой жидкости. Анализ характеристических свойств, симметрий и точных решений одномерной кинетической модели Руссо — Смереки, описывающей распространение волн концентрации в разреженной пузырьковой жидкости, выполнен в

УУь + иШх - дкЖ = 0, /г = УУ йи

0.0.7) щь + щщх + дНх = 0, ии + и1Щх + дкх = 0

83, 158].

В меньшей степени изучены пространственные уравнения длинных волн, учитывающие сдвиговой характер течения и являющиеся естественным расширением классической теории мелкой воды. Использование более точной модели сдвигового движения жидкости представляет особый интерес с точки зрения гидродинамической теории устойчивости [19, 21]. Как отмечалось выше, важную роль при исследовании моделей со сдвигом скорости по глубине, сводящихся к системам интегродиф-ференциальных уравнений, играет теория обобщенных характеристик [75, 41], позволяющая формулировать условия гиперболичности инте-гродифференциальных моделей, необходимые для устойчивости соответствующего движения жидкости. Кроме того, наличие сдвига скорости по глубине позволяет моделировать движение жидкости с рециркуляционными зонами [161, 87], которые невозможно описать в рамках классических уравнений мелкой воды. Интегродифференциальные уравнения длинных волн на пространственном сдвиговом потоке рассмотрены В. М. Тешуковым и А. К. Хе [85, 86, 90, 96, 97], где установлено существование простых волн, построено обобщение волн Прандтля — Мейера, сформулированы условия обобщенной гиперболичности стационарных уравнений, предложены и проанализированы соотношения на сильном разрыве. Эволюционные интегродифференциальные уравнения, описывающие в длинноволновом приближении возмущения свободной границы (или границы раздела двухслойной жидкости) с учетом слабой нелинейности, поверхностного натяжения и вязкости, выведены и теоретически исследованы в работах Г. А. Хабахпашева [93, 94], Д. Г. Архипова и Г. А. Хабахпашева [2, 3].

Существенный интерес представляют длинноволновые модели с учетом геофизического эффекта вращения и рельефа дна. Анализ нелинейных волновых движений жидкости во вращающихся бассейнах различной формы в рамках модели мелкой воды имеет разнообразные геофизические и технические приложения. Важным примером геофизического приложения является моделирование крупномасштабных атмосферных и океанических течений в средних широтах на основе уравнений вращающейся мелкой воды. Современное изложение результатов в этой области содержится в известных монографиях А.Гилла [11], А. Майды [143], Дж. Педлоски [149]. Первые общие результаты о волновом движении жидкости, находящейся во вращающемся параболоиде, в рамках нелинейной модели мелкой воды получены Ф.Боллом [120, 121]. В этих работах выведены уравнения для центра масс, момента инерции и полной энергии движущейся жидкости, а также описаны некоторые классы точных решений модели с линейным полем скоростей. В последующих работах К. Роджерса [150], П. Сачдева [155] получены новые точные решения на основе методов группового анализа [50, 146], численно установлено существование периодических по времени решений. Нелинейные осесим-метричные колебания жидкости в параболоиде вращения изучались в работах Л. X. Ингеля [26], С. Ф. Доценко и А. Рубино [20], П. Н. Свиркунова [67], М. В. Калашника [28], где построены и интерпретированы классы точных решений уравнений движения, в том числе периодические по времени, существование которых подтверждено экспериментально [28].

Как следует из приведенного обзора в теоретическом изучении распространения длинноволновых возмущений в сдвиговых потоках жидкости и газа достигнут определенный прогресс. Тем не менее, теория волновых интегродифференциальных уравнений не является завершенной и следующие вопросы представляют существенный интерес:

• решение спектральных задач для определенного класса операторов и построение обобщенных характеристик систем интегродифференциальных уравнений механики сплошных сред;

• применение теории сингулярных интегральных уравнений и интегральных инвариантов Римана для построения решений волновых интегродифференциальных уравнений;

• разработка теории разрывных решений для интегродифференциальных моделей, анализ новых типов разрывов, не имеющих аналогов в классической теории гиперболических систем;

• обобщение математического аппарата группового анализа в применении к интегродифференциальным уравнениям и построение с использованием симметрий классов точных решений пространственных длинноволновых моделей.

Целью диссертации является изучение распространения нелинейных длинноволновых возмущений в неоднородных потоках жидкости, анализ устойчивости волновых процессов, развитие новых элементов теории гиперболических систем интегродифференциальных уравнений, а также построение и физическая интерпретация новых классов решений пространственных уравнений теории длинных волн.

Работа состоит из введения, четырех глав и заключения.

В первой главе метод обобщенных характеристик применен к ряду интегродифференциальных моделей гидродинамики, что позволило установить конечность распространения длинноволновых возмущений в неоднородной жидкости, сформулировать условия устойчивости волновых процессов, решить задачу о распространении малых возмущений, доказать существование простых волн на сдвиговом потоке и получить точные решения уравнений движения.

В первом разделе главы предложена и исследована новая интегро-дифференциальная модель горизонтально-сдвигового движения жидкости в протяженном открытом канале переменного сечения. Определены дискретные и непрерывные характеристические скорости и соответствующие им собственные функционалы из класса локально интегрируемых и обобщенных функций. Сформулированы необходимые и достаточные условия обобщенной гиперболичности интегродифференциальной модели. Показано, что в процессе эволюции горизонтально-сдвигового движения возможно возникновение длинноволновой неустойчивости. Введены понятия докритических и сверхкритических стационарных сдвиговых течений. Изучены стационарные течения слоя жидкости в окрестности локального сужения или расширения канала. Построены непрерывные и разрывные точные решения, описывающие различные режимы течения жидкости, в том числе с образованием рециркуляционных областей.

Изучены осесимметричные сдвиговые движения идеальной жидкости в протяженной упругой трубке. Установлена аналогия рассматриваемой модели с уравнениями длинных волн на плоскопараллельном сдвиговом потоке баротропной жидкости со свободной границей, что позволило воспользоваться известными результатами для решения спектральной задачи и формулировки условий обобщенной гиперболичности. Доказана теорема существования и единственности решения в классе простых волн, непрерывно примыкающих к заданному сдвиговому потоку. На основе теоретико-группового подхода выписаны более простые подмодели, построены и интерпретированы точные решения уравнений движения.

Получена интегродифференциальная модель распространения длинных волн на плоскопараллельном сдвиговом потоке двухслойной стратифицированной жидкости со свободной границей, которая обобщает известные уравнения двухслойной мелкой воды. Приведены необходимые условия гиперболичности уравнений движения, состоящие в отсутствие комплексных характеристических корней. Показано, что вопрос о полноте системы собственных функционалов сводится к анализу однозначной разрешимости сингулярного интегрального уравнения на разомкнутых контурах. В случае сильного и слабого скачка плотности сформулированы необходимые и достаточные условия гиперболичности модели.

В заключительном разделе главы рассмотрено одномерное кинетическое уравнение Херреро — Ликуин-Десре — Пертама, описывающее распространение волн концентрации в разреженной пузырьковой жидкости. По свой структуре эта модель близка к интегродифференциальным уравнениям пространственно-неоднородного движения идеальной жидкости. В результате теоретического анализа модели получены условия обобщенной гиперболичности и дано решение линеаризованных уравнений. С использованием теории сингулярных интегральных уравнений построены бегущие волны, распространяющиеся на заданном стационарном однородном по пространству фоне и вызывающие повышение концентрации пузырьков.

Во второй главе предложен метод построения решений нелинейных интегродифференциальных уравнений, основанный на функциональной зависимости между интегральными инвариантами Римана и сводящий решение исходной модели к интегрированию системы дифференциальных уравнений. Этот подход применен для построения классов решений уравнений вихревой мелкой воды и кинетической модели пузырьковой жидкости Руссо — Смереки. Для обеих интегродифференциальных моделей построены и исследованы обширные классы решений, характеризующиеся линейной связью между инвариантами Римана и описываемые гиперболическими системами дифференциальных уравнений, которые содержат две произвольные постоянные. Аналитически получены и физически интерпретированы точные решения в виде простых волн из специального класса решений рассматриваемых моделей.

Предложены многослойные аппроксимации интегродифференциальных моделей, приводящие к системам дифференциальных законов сохранения, для решения которых применимы широко распространенные численные схемы. Выполнены расчеты сдвиговых непрерывных и разрывных движений жидкости, как для многослойной модели вихревой мелкой воды, так и с использованием уравнений, описывающих новый класс частных решений. Исследованы различные конфигурации распада начального разрыва, проведено сравнение результатов полученных аналитическими и численными методами. Аналогичные расчеты выполнены для многослойной аппроксимации кинетической модели пузырьковой жидкости и в рамках уравнений специального класса решений.

В третьей главе рассмотрена задача о распаде произвольного разрыва для нелинейных уравнений вертикально-сдвигового движения идеальной жидкости с кусочно-постоянной завихренностью в протяженном канале. Получено автомодельное решение задачи, описывающее всевозможные нестационарные конфигурации волн, возникающих при нелинейном взаимодействии заданных стационарных сдвиговых потоков. Показано, что при определенных условиях, связанных с нарушением условий сильной нелинейности характеристик, решение включает сильный разрыв, примыкающий к автомодельной простой волне. Анализ поведения жидких частиц на фронте разрыва показал, что разрывные решения в рамках рассматриваемой длинноволновой модели сочетают свойства ударной (прерывной) волны и контактного разрыва. Это выражается в наличии жидких частиц двух типов, которые пересекают и которые не пересекают фронт сильного разрыва.

Аналогичное поведение частиц жидкости на фронте разрыва имеет место и для модели вихревой мелкой воды со свободной границей. С использованием кинетической аналогии и методов сингулярных интегральных уравнений построены гладкие решения модели в классе бегущих волн, обладающие функциональным произволом. Это позволило рассмотреть последовательность гладких решений уравнений движения, сходящуюся к разрывному решению, и детально проанализировать поведение жидких частиц в области резкого изменения глубины слоя жидкости.

В четвертой главе проведено систематическое изучение классов точных решений пространственных уравнений теории длинных волн на основе методов группового анализа. Вычислена 9-мерная группа симметрии уравнений длинных волн, описывающих пространственное движение тонкого слоя жидкости со свободной границей с учетом сдвига скорости по глубине. При этом использована дифференциальная формулировка модели, включающая граничные условия на дне и свободной границе. Полностью исследованы вращательно-симметричные решения с нетривиальным распределением профиля скорости по глубине, проверено выполнение условий обобщенной гиперболичности уравнений на некоторых классах решений. Построены точные решения с включением рециркуляционных областей.

Исследованы симметрийные свойства дифференциальных моделей, описывающих движений жидкости в приближении мелкой воды с учетом геофизического эффекта вращения и рельефа дна. Показано, что наиболее широкая, 9-мерная группа симметрий, допускается в том и только в том случае, когда рельеф дна является параболоидом вращения. Установлено, что в этом случае имеется точечная замена переменных, преобразующая уравнения вращающейся мелкой воды к обычным уравнениям мелкой воды над ровным дном, т.е. заменой переменных можно исключить слагаемые, отвечающие за силу Кориолиса, центробежную силу и параболический рельеф дна. Это основной результат главы. Кроме того, наличие нетривиальных симметрий уравнений движения позволило провести групповое размножение решений и, в частности, получить классы периодических по времени решений с замкнутыми или эргодическими траекториями движения частиц. Результаты, полученные для модели мелкой воды с вращением, перенесены на более сложные интегродиф-ференциальные уравнения, учитывающие как эффект вращения, так и сдвиговой характер движения жидкости.

На защиту выносятся следующие основные положения.

• Определены скорости распространение нелинейных длинноволновых возмущений в неоднородной жидкости на основе применения теории обобщенных характеристик к интегродифференциальным уравнениям движения. Построены обобщенные характеристики и сформулированы условия гиперболичности для:

- модели горизонтально-сдвигового движения тонкого слоя идеальной жидкости в открытом канале переменного сечения;

- уравнений сдвигового осесимметричного движения жидкости в протяженной упругой трубке;

- модели завихренного плоскопараллельного движения двухслойной стратифицированной жидкости со свободной границей;

- одномерного кинетического уравнения разреженной пузырьковой жидкости.

Для рассмотренных интегродифференциальных моделей построены классы точных решений и исследована их устойчивость; доказано существование решений в классе простых волн, непрерывно примыкающих к заданному сдвиговому потоку; дано решение линеаризованных уравнений.

• Предложен метод построения решений нелинейных интегродифференциальных уравнений, основанный на функциональной зависимости между инвариантами Римана. Применение метода к уравнениям вихревой мелкой воды и кинетическому уравнению Руссо — Смереки разреженной пузырьковой жидкости позволило получить следующие результаты:

- построен специальный класс решений моделей, характеризующийся линейной зависимостью между интегральными инвариантами Римана и описываемый гиперболической системой двух дифференциальных уравнений с двумя параметрами;

- выполнено численное моделирование распространения непрерывных и разрывных длинноволновых возмущений, продемонстрировано влияние пространственной неоднородности потока на распространение волн.

• Исследована задача о взаимодействии сдвиговых потоков и выполнен анализ разрывных решений волновых интегродифференциальных моделей, в том числе:

- решена задача о распаде произвольного разрыва для уравнений вертикально-сдвигового движения жидкости под крышкой в классе течений с постоянной завихренностью; построены последовательности гладких решений уравнений вихревой мелкой воды, сходящиеся к разрывным решениям.

При этом установлено, что сильный разрыв в рамках моделей мелкой воды для сдвиговых движений сочетает свойства ударной (прерывной) волны и контактного разрыва.

• Построены симметрии и классы точных решений пространственных длинноволновых моделей с учетом эффектов вращения, сдвига скорости и рельефа дна: найдено точечное преобразование, приводящее уравнения, описывающие пространственные колебания тонкого слоя вращающейся жидкости в круговом параболоиде, к обычным уравнениям мелкой воды; получены классы точных решений пространственных уравнений теории длинных волн (периодические по времени решения; стационарные решения с рециркуляционными зонами; вращательно-симметричные решения, описывающие различные режимы растекания и схлопывания жидкого кольца).

Апробация работы. Диссертация выполнена в 2000-09 гг. в теоретическом отделе Института гидродинамики им. М. А. Лаврентьева СО РАН. Научная тематика диссертации в значительной мере сформирована под влиянием чл.-корр. РАН В. М. Тешукова, который заинтересовал автора теорией нелинейных длинных волн в неоднородной жидкости и оказывал всестороннюю поддержку в работе.

Полученные результаты опубликованы в 12 статьях в рецензируемых научных журналах [104, 106, 108, 160, 109, 66, 110, 112, 113, 114, 42, 129], а также в трудах конференций [105, 107, 111, 115]. Основные результаты докладывались на научных семинарах под руководством академика

JI. В. Овсянникова (ИГиЛ СО РАН), академика А. Г. Куликовского, д.ф.-м.н. А. А. Бармина и д.ф.-м.н. В. П. Карликова (ИМех МГУ), академиков А. В. Гуревича и В. Е. Захарова (ФИАН), чл.-корр. РАН В. М. Тешукова и д.ф.-м.н. В. Ю. Ляпидевского (ИГиЛ СО РАН), чл.-корр. РАН В. В. Пух-начева (ИГиЛ СО РАН), чл.-корр. РАН И. А. Тайманова (ИМ СО РАН), д.ф.-м.н. В.К.Андреева (ИВМ СО РАН), д.ф.-м.н. Ю.А.Маркова (ИД-СТУ СО РАН), д.ф.-м.н. Ю. Д. Чашечкина (ИПМех РАН), а также на научных конференциях по механике и математике, среди которых

• VIII и IX Всероссийский съезд по теоретической и прикладной механике (Пермь, 2001; Нижний Новгород, 2006);

• Всероссийская конференция «Аналитические методы и оптимизация процессов в механике жидкости и газа» (Пермь, 2000; Снежинок, 2002; Абрау-Дюрсо, 2004; Санкт-Петербург, 2006);

• Всероссийская конференция «Проблемы механики сплошных сред и физики взрыва» (Новосибирск, 2007);

• Всероссийская конференция «Новые математические модели в механике сплошных сред: построение и изучение» (Новосибирск, 2004, 2009);

• Всероссийская конференция «Задачи со свободными границами: теория, эксперимент и приложения» (Бийск, 2008);

• IV Международный конгресс по математике (Стокгольм, Швеция, 2004);

• XI Международная конференция «Гиперболические уравнения: теория и приложения» (Лион, Франция, 2006);

• Международная конференция, посвященная 100-летию И. Н. Векуа «Дифференциальные уравнения, теория функций и приложения» (Новосибирск, 2007).

• Международная конференция, посвященная 100-летию С. Л. Соболева «Дифференциальные уравнения. Функциональные пространства. Теория приближений» (Новосибирск, 2008);

• Международная конференция «Математические методы в геофизике» (Новосибирск, 2008);

• Международная конференция «Симметрии в нелинейной математической физике» (Киев, Украина, 2007, 2009);

• Международная конференция «Современный групповой анализ» (Уфа, 2009).

Автор благодарен коллективу лаборатории дифференциальных уравнений ИГиЛ СО РАН за внимание к работе и многочисленные полезные обсуждения.

4.4 Основные результаты главы 4

В этой главе выполнен симметрийный анализ уравнений вращающейся мелкой воды, а также более общей длинноволновой модели, учитывающий сдвиговых характер движения жидкости. Имеется ряд особенностей, которые отличают данное исследование от стандартной техники применения теоретико-группового подхода [50, 146].

В разделе 4.1 рассмотрены пространственные уравнения длинных волн на сдвиговом потоке. При этом методы группового анализа применялись к дифференциальной модели (4.1.4) с граничными условиями (4.1.5). Для анализа и физической интерпретации вращательно симметричных движений жидкости в рамках используемой длинноволновой модели применялась теория обобщенных характеристик В. М.Тешукова [75, 76, 41], а также другие подходы [161, 87, 100], разработанные при исследовании уравнений вихревой мелкой воды. Это позволило построить решения уравнений движения с нетривиальным распределением профиля скорости по глубине и исследовать их устойчивость. Найдены точные решения, описывающие процесс растекания или схлопывания параболической полости; получен класс стационарных решений, моделирующих течения с рециркуляционными областями.

Принципиальным результатом раздела 4.2 является сведение геофизической модели вращающейся мелкой воды (4.2.1) к обычным уравнениям мелкой воды (4.2.7). Отметим, что эти дифференциальные уравнения всегда рассматривались в литературе как различные модели теории мелкой воды [143, 11, 149]. Точечное преобразование (4.2.9), устанавливающее соответствие между рассматриваемыми моделями, получено на основе симметрийного анализа уравнений (4.2.1) и сопоставления с имеющимся опытом группового анализа уравнений двумерной изэнтропи-ческой газовой динамики [59]. Действительно, замеченный изоморфизм между 9-мерными алгебрами Ли симметрий и Ьд, возникший в этой связи вопрос об эквивалентности реализации допускаемых операторов, привел к ключевому результату раздела. С использованием найденных симметрий и представителей известно оптимальной системы подалгебр <ЭЬд проведено построение инвариантных вращательно-симметричных решений геофизической модели вращающейся мелкой воды. Дана их физическая интерпретация, заключающаяся в различных режимах схлопывания жидкого кольца или цилиндра под действием поршня. Наличие нетривиальных симметрий уравнений движения (4.2.1), таких как (4.2.3) и (4.2.4), позволило провести групповое размножение решений и, в частности, построить периодические по времени решения.

Раздел 4.3 обобщает полученные ранее результаты. В нем найдено точечное преобразование (4.3.6), с помощью которого нелинейная система уравнений (4.3.5), описывающая пространственные колебания тонкого слоя жидкости во вращающемся круговом параболическом бассейне, сведена к обычным уравнениям мелкой воды. На основе исследования сим-метрийных свойств модели (4.3.1) и выполненных элементов групповой классификации показано, что преобразовать точечной заменой переменных рассматриваемые уравнения к обычным уравнениям мелкой воды (4.2.7) можно только в том случае, когда рельеф дна является параболоидом вращения. С использованием нетривиальных симметрий уравнений движения (4.3.5) сформулирована теорема о групповом размножении решений. В качестве примера выполнено групповое размножение класса стационарных вращательно-симметричных решений. В результате этого получен класс периодических по времени решений (4.3.11), описывающий нелинейные колебания жидкости с эргодическими траекториями движения частиц. Аналогичные решения, период которых определяется только геометрий параболического бассейна, были получены и экспериментально подтверждены в [20, 28, 67]. Отметим, что в цитируемых работах рассматривались только осесимметричные движения жидкости, а сформулированная теорема о размножении решений и формулы (4.3.9) дают возможность строить существенно неодномерные решения. Результаты, полученные для дифференциальной модели вращающейся мелкой воды (4.3.5), переносятся на случай "сдвиговой" случай. В частности, интегродифференциальная система уравнений (4.0.1) (при Z — кг2/2) сводится к уравнениям длинных волн на сдвиговом потоке (4.3.16), рассмотренным в разделе 4.1.

Заключение

В заключении еще раз сформулируем все основные результаты, полученные в диссертационной работе.

1. Исследованы вопросы распространения длинноволновых возмущений в завихренной и неоднородной жидкости на основе применения теории обобщенных характеристик.

• Выведена новая интегродифференциальная модель, описывающая пространственно неоднородное движение тонкого слоя идеальной жидкости в протяженном канале переменного сечения. Установлена конечность скоростей распространения возмущений (имеется непрерывный и дискретный спектр характеристических скоростей). Сформулированы необходимые и достаточные условия обобщенной гиперболичности модели. В случае канала постоянной ширины уравнения движения приведены к интегральным инвариантам Римана. Показано, что в процессе эволюции течения возможно возникновение длинноволновой неустойчивости. В рамках рассматриваемой модели дано полное описание стационарных течений, возникающих при обтекании локального сужения или расширения канала. Построен класс точных решений, описывающий течения жидкости с образованием рециркуляционных областей.

• Предложена интегродифференциальная модель осесимметричного сдвигового (завихренного) движения идеальной жидкости в протяженной упругой трубке. Вычислена характеристическая форма системы и сформулированы условия обобщенной гиперболичности уравнений движения. Доказано существование решений в классе простых волн, непрерывно примыкающих к заданному сдвиговому потоку. Найдена группа допускаемых симметрий и построены классы точных решений модели.

• Выполнен анализ характеристических свойств интегродифферен-циальной модели, описывающей распространение длинных волн на плоскопараллельном сдвиговом потоке двухслойной стратифицированной жидкости. Найдены непрерывные и дискретные скорости распространения возмущений. Сформулированы условия отсутствия комплексных характеристик, необходимые для обобщенной гиперболичности модели. Получение достаточных условий сведено к анализу однозначной разрешимости системы сингулярных интегральных уравнений.

• Метод обобщенных характеристик применен к кинетическому уравнению пузырьковой жидкости. Модель приведена к характеристическому виду, сформулированы необходимые и достаточные условия обобщенной гиперболичности. Построены точные решения кинетического уравнения с функциональным произволом в классе бегущих волн. Данные решения описывают процесс проникновения порции пузырьков в невозмущенную область при распространении бегущей волны по заданному стационарному однородному по пространству фону. Получено аналитическое решение задачи о распространении малых возмущений в пузырьковой жидкости.

2. Развит и продемонстрирован метод построения специальных классов решений нелинейных волновых интегродифференциальных уравнений, основанный на функциональной зависимости между интегральными инвариантами Римана. Получение решений в специальных классах возможно при выполнении условий обобщенной гиперболичности интегродиф-ференциальной модели.

• Построен специальный класс решений интегродифференциальных уравнений вихревой мелкой воды характеризующийся линейной связью между инвариантами Римана и описываемый системой двух дифференциальных уравнений с двумя параметрами. Аналитически построены решения в виде простых волн в рамках специального класса решений модели. Показано, что дифференциальные уравнения специального класса решений могут быть использованы для моделирования разрывов небольшой амплитуды. Предложена система "многослойных" дифференциальных законов сохранения, аппроксимирующая полные уравнения вихревой мелкой воды. Выполнены численные расчеты на основе "многослойных" уравнений и в рамках специального класса решений; показано влияние сдвига скорости по глубине на распространение волн.

• Аналогичный метод применен к одномерной кинетической модели Руссо — Смереки, описывающей распространение волн концентрации в разреженной пузырьковой жидкости. Выведены дифференциальные уравнения специального класса решений в случае линейной зависимости между интегральными инвариантами Римана. Аналитически построены решения в виде простых волн, описывающие пузырьковое течение с критическим слоем. Для верификации результатов выполнены численные расчеты по полной кинетической модели и в рамках уравнений специального класса решений.

3. Выполнен анализ новых типов разрывов интегродифференциальных моделей, не имеющих аналогов в классической теории гиперболических систем.

• Решена задача о взаимодействии сдвиговых потоков с постоянной завихренностью, полностью занимающих протяженный канал. В области взаимодействия сдвиговых потоков движение жидкости имеет существенно двумерный нестационарный характер, что выражается в формировании струйного течения вдоль линии раздела потоков. При определенных условиях на завихренности потоков, совпадающие с условиями сильной нелинейности характеристик, решение задачи дается простой волной, в противном случае решение включает простую волну и примыкающий к ней сильный разрыв. Решения с сильным разрывом отличаются от классических разрывов теории мелкой воды (прерывных волн). Отличие состоит в том, что построенный разрыв сочетает свойства ударной волны и контактного разрыва: часть жидких частиц приходят на разрыв с одной стороны фронта и выходят с другой (аналог ударной волны), остальные частицы, приходящие на линию разрыва и претерпевающие скачок вертикальной эйлеровой координаты, выходят с той же стороны фронта разрыва, с которой пришли на него (аналог контактного разрыва).

• Построены решения уравнений вихревой мелкой воды в классе бегущих волн с функциональным произволом. Рассмотрены последовательности гладких решений, сходящиеся к разрывному решению и проанализированы траектории движения частиц. Показано, что установленное выше поведение частиц на сильном разрыве, наследующее признаки ударной волны и контактного разрыва, является характерным для интегродифференциальных моделей пространственно-неоднородного движения жидкости.

4. Исследованы симметрийные свойства и классы точных решений пространственных уравнений длинных волн с учетом геофизического эффекта вращения, сдвига скорости по глубине и рельефа дна.

• Вычислены 9-мерные группы допускаемых точечных преобразований для рассматриваемых пространственных уравнений длинных волн в случае, когда рельеф дна плоский или имеет форму параболоида вращения. Установлен изоморфизм найденных алгебр Ли с известной алгеброй Ли симметрий обычных уравнений мелкой воды. Показана эквивалентность реализации допускаемых операторов, т. е. существование замены переменных, сводящей симметрии рассматриваемых моделей к симметриям уравнений мелкой воды.

• На основе анализа симметрийных свойств уравнений, описывающих пространственные колебания вращающейся жидкости в круговом параболоиде в приближении мелкой воды, найдена точечная замена переменных, преобразующая эту модель к обычным уравнениям мелкой воды. Результат обобщен на уравнения длинных волн, учитывающих сдвиг скорости по глубине.

• Построены обширные классы точных решений пространственных уравнений длинных волн, в том числе: вращательно-симметричные решения с рециркуляционными зонами; точные решения, описывающие различные режимы растекания или схлопывания вращающегося жидкого кольца под действием поршней; периодические по времени решения с замкнутыми и эргодическими траекториями движения частиц и др.

1. Андреев В. К., Бублик В. В., Бытев В. В. Симметрии неклассических моделей гидродинамики. Новосибирск: Наука, 2003.

2. Архипов Д. Г., Хабахпашев Г. А. Моделирование длинных нелинейных волн на границе раздела горизонтального потока двухслойной вязкой жидкости в канале // Изв. РАН. МЖГ. 2005. №1. С. 143-158.

3. Архипов Д. Г., Хабахпашев Г. А. Новый подход к описанию пространственных нелинейных волн в диспергирующих средах // ДАН. 2006. Т. 409, №4. С. 476-480.

4. Бэтчелор Дж. Введение в динамику жидкости. М.: Мир, 1973.

5. Владимиров В. С. Уравнения математической физики. М.: Наука, 1988.

6. Власов A.A. Теория многих частиц. М.— Л.: Гостехиздат., 1950.

7. Волобуев А. Н. Течение жидкости в трубках с эластичными стенками // Успехи физ. наук. 1995. Т. 165, №2. С. 177-186.

8. Воробьев Е.М. Введение в систему "МАТЕМАТИКА". М.: Финансы и статистика. 1998.

9. Гарипов Р. М. Замкнутые уравнения движения жидкости с пузырьками // ПМТФ. 1973. №6. С. 3-24.

10. Гахов Ф. Д. Краевые задачи. М.: Наука, 1977.

11. Гилл А. Динамика атмосферы и океана. Т. 1. М.: Мир, 1986.

12. Годунов С. К. Разностный метод расчета ударных волн // Успехи мат. наук. 1957. Т. 12, № 1. С. 176-177.

13. Годунов С. К. Разностный метод численного расчета разрывных решений гидродинамики // Мат. сборник 1959. Т. 47, №3. С.271-306.

14. Годунов С. К., Роменский Е. И. Элементы механики сплошных сред и законы сохранения. Новосибирск: Науч. книга, 1998.

15. Градштейн И. С., Рыжик И. М. Таблицы интегралов, сумм, рядов и произведений. М.: Физматгиз, 1963.

16. Грекова Т. В. Характеристические свойства уравнений теории длинных волн в стратифицированной жидкости // Динамика сплошной среды: Сб. науч. тр. / АН СССР. Сиб. отд-ние. Ин-т гидродинамики. 1990. Вып. 95. С. 56-69.

17. Гуревич А. В., Питаевский Л. П. Нелинейная динамика разреженной плазмы и ионосферная аэродинамика. В сб. Вопросы теории плазмы. Вып. 10. М.: Атомиздат, 1980.

18. Далецкий Ю. Л., Крейн М. Г. Устойчивость решений дифференциальных уравнений в банаховом пространстве. М.: Наука, 1970.

19. Дикий Л. А. Гидродинамическая устойчивость и динамика атмосферы. М.: Госметеоиздат, 1976.

20. Доценко С. Ф., Рубино А. Точные аналитические решения нелинейных уравнений длинных волн в случае осесимметричныхколебаний жидкости во вращающемся параболическом бассейне // Изв. РАН. МЖГ. 2003. №2. С. 158-164.

21. Дразин Ф. Введение в теорию гидродинамической устойчивости. М.: ФИЗМАТЛИТ, 2005.

22. Елемесова Б. Н. Простые волны в слое баротропной завихренной жидкости // ПМТФ. 1997. Т.38, №5. С.56-64.

23. Захаров В. Е. Уравнения Бенни и квазиклассическое приближение в методе обратной задачи // Функцион. анализ и его прил. 1980. Т. 14, вып. 2. С. 15-24.

24. Зейтунян P. X. Нелинейные длинные волны на поверхности воды и солитоны // УФН. 1995. Т. 165, №12. С. 1403-1456.

25. Ибрагимов H. X. Группы преобразований в математической физике. М.: Наука, 1983.

26. Ингель Л. X. Класс точных нестационарных решений уравнений мелкой воды с вращением // Изв. РАН. Физика атмосферы и океана. 1994. Т. 30. №5. С. 718-720.

27. Иорданский C.B. Об уравнениях движения жидкости, содержащих пузырьки газа // ПМТФ. 1960. №3. С. 102-110.

28. Калашник М. В., Кахиани В. О., Ломинадзе Д. Г., Патара-швили К. И., Свиркунов П. Н., Цакадзе С. Д. Нелинейные изохронные колебания жидкости в параболоиде: теория и эксперимент // Изв. РАН. МЖГ. 2004. №5. С. 131-142.

29. Когарко B.C. Об одной модели кавитирующей жидкости / / Докл. АН СССР. 1961. Т. 137, №6. С. 1331-1333.

30. Колмогоров А. Н., Фомин C.B. Элементы теории функции и функционального анализа. М.: Наука, 1989.

31. Кочин Н.Е., Кибель И. А., Розе Н. В. Теоретическая гидромеханика. М.: Физматгиз, 1963.

32. Куликовский А. Г., Погорелов Н. В., Семенов А. Ю. Математические вопросы численного решения гиперболических систем уравнений // ФИЗМАТЛИТ, 2001.

33. Куликовский А. Г., Свешникова Е. И. Нелинейные волны в упругих средах. Изд. "Московский Лицей", М., 1998.

34. Купершмит Б. А., Манин Ю.И. Уравнения длинных волн со свободной поверхностью. I. Законы сохранения и решения // Функц. анализ и его прил. 1977. Т. 11, вып. 3. С. 31-42.

35. Купершмит Б. А., Манин Ю.И. Уравнения длинных волн со свободной поверхностью. II. Гамильтонова структура и высшие уравнения // Функц. анализ и его прил. 1978. Т. 12, вып. 1. С. 25-37.

36. Курант Р., Фридрихе К. Сверхзвуковое течение и ударные волны. М.: Изд. иностр. лит-ры, 1950.

37. Лайтхилл Дж. Волны в жидкостях. М.: Мир, 1981.

38. Ламб Г. Гидродинамика. М.—Л.: Гостехиздат., 1947.

39. Либов Р. Введение в теорию кинетических уравнений. М.: Мир, 1974.

40. Липатов И. И., Тешуков В. М. Нелинейные возмущения и слабые разрывы в сверхзвуковом пограничном слое // Изв. РАН. МЖГ. 2004. №1. С. 110-125.

41. Ляпидевский В. Ю., Тешуков В. М. Математические модели распространения длинных волн в неоднородной жидкости. ИСО РАН, Новосибирск, 2000.

42. Ляпидевский В.Ю., Чесноков A.A. Докритические и сверхкритические горизонтально-сдвиговые течения в открытом канале переменного сечения // Изв. РАН. МЖГ. 2009. №6. С. 123138.

43. Макаренко Н. И. Обоснование трехмерной модели мелкой оды // Динамика сплошной среды. 1980. Вып. 44. С. 61-82.

44. Милн-Томсон Л. М. Теоретическая гидродинамика. М.: Мир, 1964.

45. Мусхелишвили Н. И. Сингулярные интегральные уравнения. М.: Наука, 1968.

46. Накоряков В. Е., Покусаев Б. Г., Шрейбер И. Р. Распространение волн в газо- и парожидкостных средах // Новосибирск, 1983.

47. Нигматулин Р. И. Динамика многофазных сред. Часть 1, 2. Наука, 1987.

48. Никольский А. А. Инвариантное преобразование уравнений двиидеального одноатомного газа и новые классы их точных решений И ПММ. 1963. Т.27. №3. С.496-508.

49. Овсянников Л. В. К обоснованию теории мелкой воды // Динамика сплошной среды. 1973. Вып. 15. С. 104-125.

50. Овсянников Л. В. Групповой анализ дифференциальных уравнений. М.: Наука, 1978.

51. Овсянников Л. В. Модели двухслойной «мелкой воды» // ПМТФ. 1979. №2. С. 3-14.

52. Овсянников Л. В. Лекции по основам газовой динамики. М.: Наука. 1981.

53. Овсянников JT. В., Макаренко Н. И., Налимов В. И. Нелинейные проблемы теории поверхностных и внутренних волн. Новосибирск: Наука. Сиб. отд-ние, 1985.

54. Овсянников JI. В. Об оптимальных системах подалгебр // ДАН РАН. 1993. Т. 333, №6. С. 702-704.

55. Овсянников JI. В. Программа ПОДМОДЕЛИ. Газовая динамика // ПММ. 1994. Т. 58, вып. 4. С. 30-55.

56. Овсянников JI. В. Некоторые итоги выполнения программы «ПОДМОДЕЛИ» для уравнений газовой динамики // ПММ. 1999. Т. 63, вып. 3. С. 362-372.

57. Олейник O.A. Об одном классе разрывных решений квазилинейных уравнений первого порядка // Науч. докл. высш. шк. Сер. Физ.-мат. науки. 1958. №3. С. 91-98.

58. Остапенко В. В. Гиперболические системы законов сохранения и их приложение к теории мелкой воды. Курс лекций / Новосиб. гос. ун-т. Новосибирск, 2004. 180 с.

59. Павленко А. С. Симметрии и решения уравнений двумерных движений политропного газа // Сиб. электр. матем. изв. 2005. Т. 2. С. 291-307. http://semr.math.nsc.ru

60. Павлов М. В., Царев С. П. О законах сохранения уравнений Бенни // УМН. 1991. Т. 46, вып. 4. С. 169-170.

61. Павлов М. В. Точная интегрируемость системы уравнений Бенни // Докл. акад. наук. 1994. Т. 339, №3. С. 311-313.

62. Педли Т. Гидродинамика крупных кровеносных сосудов. М.: Мир, 1983.

63. Прёсдорф 3. Некоторые классы сингулярных интегральных уравнений. М.: Мир, 1979.

64. Пухначев В. В. Симметрии в уравнениях Навье — Стокса // Успехи механики. 2006. Т. 4, №1. С. 3-69.

65. Рождественский Б.Л., Яненко H.H. Системы квазилинейных уравнений и их приложения к газовой динамике. М.: Наука. 1978.

66. Руссо Дж., Тешуков В.М., Чесноков A.A. Специальный класс решений кинетического уравнения пузырьковой жидкости // ПМТФ. 2005. Т. 46, №2. С. 33-43.

67. Свиркунов П. Н. Неустановившиеся осесимметричные течения в приближении теории мелкой воды // ПММ. 1996. Т. 60. №3. С. 520-522.

68. Седов Л. И. Методы подобия и размерности в механике. М.: Наука, 1965.

69. Седов Л. И. Механика сплошной среды. М.: Наука, 1973.

70. Сидоров А. Ф., Шапеев В.П., Яненко H.H. Метод дифференциальных связей и его приложения в газовой динамике. Новосибирск: Наука, 1984.

71. Сретенский Л. Н. Теория волновых движений жидкости. М.: Наука, 1977.

72. Степанова Е. В., Чашечкин Ю.Д. Анизотропный перенос примеси в составном вихре //ДАН РАН. 2008. Т. 423. №4. С. 474478.

73. Стокер Дж.Дж. Волны на воде. Математическая теория и приложения. М., ИЛ, 1959.

74. Тернер Дж. Эффекты плавучести в жидкостях. М.: Мир, 1977.

75. Тешуков В. М. О гиперболичности уравнений длинных волн // Докл. АН СССР. 1985. Т. 284, №3. С. 555-559.

76. Тешуков В. М. Длинные волны в завихренной баротропной жидкости // ПМТФ. 1994. Т. 35, №6. С. 17-26.

77. Тешуков В.М. Гидравлический прыжок на сдвиговом потоке идеальной несжимаемой жидкости // ПМТФ. 1995. Т. 36, № 1. С.11-20.

78. Тешуков В.М. Гидравлический прыжок на сдвиговом течении баротропной жидкости // ПМТФ. 1996. Т. 37, № 5. С. 73-81.

79. Тешуков В.М., Стерхова М. М. Характеристические свойства системы уравнений сдвигового течения с немонотонным профилем скорости // ПМТФ. 1995. Т. 36, №3. С. 53-59.

80. Тешуков В. М. Простые волны на сдвиговом потоке идеальной несжимаемой жидкости со свободной границей // ПМТФ. 1997. Т. 38, №2. С. 48-57.

81. Тешуков В.М. Модель длинноволновой аппроксимации для сдвигового течения газа в канале переменного сечения // ПМТФ. 1998. Т. 39, №1. С. 15-27.

82. Тешуков В. М. Нестационарное взаимодействие равномерно завихренных потоков // ПМТФ. 1998. Т. 39, №5. С. 55-66.

83. Тешуков В. М. Характеристики, законы сохранения и симметрии кинетических уравнений движения пузырьков в жидкости // ПМТФ. 1999. Т. 40, №2. С. 86-100.

84. Тешуков В.М. Кинетическая модель пузырькового течения // ПМТФ. 2000. Т.41, №5. С. 130-139.

85. Тешуков В. M. Пространственные простые волны на сдвиговом течении // ПМТФ. 2002. Т. 43. №5. С. 28-40.

86. Тешуков В. М. Пространственные стационарные длинные волны на сдвиговом потоке // ПМТФ. 2004. Т.45. №2. С.28-39.

87. Тешуков В. М., Будлал А. Докритические и сверхкритические сдвиговые течения над неровным дном // ПМТФ. 2006. Т. 47, №4. С. 26-38.

88. Тешуков В. М. Газодинамическая аналогия для вихревых течений со свободной границей .// ПМТФ. 2007. Т. 48, №3. С. 8-15.

89. Тешуков В. М. Газодинамическая аналогия в теории течений стратифицированной жидкости со свободной границей // Изв. РАН. МЖГ. 2007. № 5. С. 143-153.

90. Тешуков В.М., Хе А. К. Модель сильного разрыва для уравнений пространственных длинных волн, распространяющихся на сдвиговом течении со свободной границей // ПМТФ. 2008. Т. 49, №4. С. 206-213.

91. Уизем Дж. Линейные и нелинейные волны. М.:Мир, 1977.

92. Хабиров C.B. Одно инвариантное решение уравнений мелкой воды // Динамика сплошной среды / АН СССР. Сиб. отд-ние. Инт гидродинамики. 1969. Вып. 3. С. 82-90.

93. Хабахпашев Г. А. Нелинейное эволюционное уравнение для достаточно длинных двумерных волн на свободной поверхности вязкой жидкости // Вычислит, технологии. 1997. Т. 2, №2. С. 94102.

94. Хабахпашев Г. А. Трансформация длинных нелинейных волн в двухслойной вязкой жидкости между пологими дном и крышкой // ПМТФ. 2005. Т. 46. №6. С. 45-57.

95. Хе А. К. Стационарные простые волны на сдвиговом течении баротропной жидкости // ПМТФ. 2003. Т. 44, №2. С. 34-41.

96. Хе А. К. Гиперболичность уравнений стационарных сдвиговых течений газа в тонком слое // ПМТФ. 2004. Т.45, №2. С.40-46.

97. Хе А. К. Сильные разрывы в стационарных пространственных длинноволновых течениях идеальной несжимаемой жидкости // ПМТФ. 2009. Т. 50, №2. С. 37-45.

98. Черевко A.A., Чупахин А.П. Уравнения мелкой воды на вращающейся притягивающей сфере 1. Вывод и общие свойства // ПМТФ. 2009. Т. 50, №2. С. 24-36.

99. Черевко A.A., Чупахин А. П. Уравнения мелкой воды на вращающейся притягивающей сфере Простые стационарные волны и звуковые характеристики // ПМТФ. 2009. Т. 50, №3. С. 8296.

100. Чесноков А. А. Точные решения уравнений вихревой мелкой воды // ПМТФ. 1997. Т. 38, №5. С. 44-55.

101. Чесноков А. А. Вихревые движения жидкости в узком канале // ПМТФ. 1998. Т. 39, №4. С. 38-47.

102. Чесноков А. А. Длинные волны в двухслойной вихревой жидкости под крышкой // ПМТФ. 1999. Т. 40, №3. С. 68-80.

103. Чесноков А. А. Точные решения одномерного кинетического уравнения Руссо Смереки // ПМТФ. 2000. Т. 41, №4. С. 21-32.

104. Чесноков А. А. Осесимметричные вихревые движения жидкости в длинной эластичной трубе // ПМТФ. 2001. Т. 42, № 4. С. 7687.

105. Чесноков А. А. Простые волны на сдвиговом потоке идеальной жидкости в удлиненном эластичном канале // Проблемы теоретической и прикладной математики: Труды 32-й Региональной молодежной конференции. Екатеринбург: УрО РАН, 2001. С. 172-177.

106. Чесноков А. А. Распространение волн концентрации в пузырьковой жидкости // Вычислительные технологии. 2001. Т. 6, 4.2. Спец. вып. С. 680-685.

107. Чесноков А. А. Характеристические свойства и точные решения кинетического уравнения пузырьковой жидкости // ПМТФ. 2003. Т. 44, №3. С. 41-50.

108. Чесноков А. А. О распространении длинноволновых возмущений в двухслойной завихренной жидкости со свободной границей // ПМТФ. 2004. Т. 45, №2. С. 99-110.

109. Чесноков A.A. О взаимодействии сдвиговых потоков идеальной несжимаемой жидкости в канале // ПМТФ. 2006. Т. 47, №6. С. 34-47.

110. Чесноков A.A. Бегущие волны на сдвиговом потоке идеальной жидкости // Проблемы теоретической и прикладной математики: Труды 37-й Региональной молодежной школы-конференции. Екатеринбург: УрО РАН, 2006. С. 322-327.

111. Чесноков A.A. Симметрии и точные решения уравнений мелкой воды на пространственном сдвиговом потоке // ПМТФ. 2008. Т. 49, № 5. С. 41-54.

112. Чесноков А. А. Симметрии уравнений теории мелкой воды на вращающейся плоскости // СибЖИМ. 2008. Т. И, №3. С. 135-146.

113. Чесноков А. А., Ляпидевский В.Ю. Волновые движения жидкости в узком открытом канале // ПМТФ. 2009. Т. 50, №2. С. 61-71.

114. Чесноков А. А. Волновые движения жидкости во вращающемся параболическом бассейне // Сб. трудов XIII Всероссийской конференции "Современные проблемы математического моделирования", Дюрсо: ЮГИНФО, ЮФУ, 2009. С. 442-449.

115. Abramovitz М., Stegun I. A. Handbook of Mathematical functions. Dover, 1965.

116. Andreev V. K., Kaptsov О. V., Puckhnachov V. V., Rodionov

117. A. A. Applications of Group-Theoretical Methods in Hydrodynamics. Netherlands: Kluwer Academic Publishers, 1998.

118. Baines P. G. Topographic effects in stratified flows. Cambridge: Cambridge Univ. Press, 1997.

119. Baines P. G. On multiple states in single-layer flows // Phys. Fluids. 2003. V.15. № 2. P. 298-307.

120. Ball F. K. Some general theorems concerning the finite motion of a shallow rotating liquid lying on a paraboloid //J. Fluid Mech. 1963. V. 17. P. 240-256.

121. Ball F. K. The effect of rotation on the simpler modes of motion of a liquid in an elliptic paraboloid //J. Fluid Mech. 1965. V. 22. P. 529545.

122. Benney D. J. Some properties of long nonlinear waves // Stud. Appl. Math. 1973. V. 52 P. 45-50.

123. Bila N., Mansfield E., Clarkson P. Symmetry group analysis of the shallow water and semi-geostrophic equations // Q. J. Mech. Appl. Math. 2006. V. 59, №1. P. 95-123.

124. Biesheuvel A., Wijangaarden L. Two-phase flow equations for a dilute dispersion of gas bubbles in liquid // J. Fluid Mech. 1984. V. 148. P. 301-318.

125. Biesheuvel A., Gorissen W. C.M. Void fraction disturbance in a uniform bubble liquid // J. Multiphase Flow. 1990. V. 16. P. 211-231.

126. Bressan A. Hyperbolic Systems of Conservation Laws. The One-Dimebsional Cauchy Problem. Oxford University Press. 2002.

127. Burns J. C. Long waves in running water // Proc.Cambridge Philos. Soc. 1953. V. 49. P. 695-706.

128. Carminati J., Vu K. Symbolic computation and differential equations: Lie symmetries //J. Symb. Comp. 2000. V. 29. P. 95-116.

129. Chesnokov A. A. Symmetries and exact solutions of the rotating shallow water equations // Europ. J. Appl. Math. 2009. V. 20. P. 461477.

130. Clarkson P. A., Kruskal M. D. New similarity solutions of the Boussinesq equation // J. Math. Phys. 1989. V. 30. P. 2201-2213.

131. Drew D.A., Passman S.L. Theory of multicomponent fluids. // Springer-Verlag, Berlin, 1999.

132. Freeman N. C. Simple waves on on shear flow: similarity solutions // J. Fluid Mech. 1972. V. 56. P. 257-263.

133. Gibbons J. Collisionless Boltzmann equations and integrable moment equations // Physica. D. 1981. V.3. P. 503-511.

134. Gibbons J., Tsarev S. P. Reduction of the Benney equations // Phys. Lett. A. 1996. V. 211. P. 19-24.

135. Gibbons J., Tsarev S.P. Comformal maps and of the Benney equations // Phys. Lett. A. 1999. V.258. P. 263-271.

136. Harten A., Engquist B., Osher S., Chakravarthy S. Uniformly High Order Accurate Essentially Non- oscillatory Schemes III //J. Comput. Phys. 1987. V.71. P. 231-303.

137. Hereman W. Review of symbolic software for Lie symmetry analysis // Math. Comp. Model. 1997. V.25 P. 115-132.

138. Herrero H., Lucquin-Desreux B., Perthame B. On the motion of dispersed bubbles in a potential flow // SIAM J. Appl. Math. 1999. V.60, №1. P. 61-83.

139. Ibragimov N. H. (ed.) CRC handbook of Lie group analysis of differential equations. Vol. 2: Applications in engineering and physical sciences. Boca Raton, FL: CRC Press, xix, 1995.

140. Kok J.B. The Fokker — Plank equation for bublle flows and the motion of gas bublle pairs // Appl. Sci. Res. 1997. V. 58. P. 319-335.

141. Lax P. Hyperbolic systems of conservation laws, // // Comm. Pure Appl. Math. 1957. V. 10. P. 537-566.

142. LeVeque R. J. Numerical Methods for Conservation Laws. Lectures in Mathematics, Birkhauser Verlag, 1992.

143. Majda A. Introduction to PDEs and waves for the Atmosphere and Ocean. Courant Institute of Mathematical Sciences, New York. 2003. Lecture Notes. V. 9.

144. Miura R. M. Conservation laws for the fully nonlinear long wave equation // Stud. Appl. Math. 1974. V.53. P. 45-56.

145. Nessyahu H., Tadmor E. Non-oscillatory central differencing schemes for hyperbolic conservation laws //J. Comp. Phys. 1990. V. 87, P. 408-463.

146. Olver P. J. Applications of Lie groups to differential equations. Springer, New York, 1993.

147. Patera J., Sharp R. T., Winternitz P., Zassenhaus H.

148. Continuous subgroups of the fundamental groups of physics. III. The De Sitter groups // J. Math. Phys. 1977. V. 18. P. 2259-2288.

149. Pavlov M. V. Classification of integrable hydrodynamic chains and generating functions of conservation laws //J. Phys. A: Math. Gen. 2006. 39 10803-10819.

150. Pedlosky J. Geophysical Fluid Dynamics. Berlin: Springer, 1987.

151. Rogers C., Ames W. F. Nonlinear boundary value problems in science and engineering. New York: Academic Press, 1989.

152. Russo G., Smereka P. Kinetic theory for bubble flow I: collisionless case // SIAM J. Appl. Math. 1996. V.56, №2. P. 327-357.

153. Sachdev P. L. Exact self-similar time-dependent free surface flow under gravity // J. Fluid Mech. 1980. V. 96. P. 797-802.

154. Sachdev P. L., Varugheze Ph. Invariance group properties and exact solutions of equations describing time-dependent free surface flows under gravity // Quart. Appl. Math. 1986. V.43. P. 463-480.

155. Sachdev P. L., Vaganan B. M. Exact free surface flows for shallow water equations. I. Incompressible case // Stud. Appl. Math. 1994. V. 93. 251-274.

156. Sachdev P. L., Palaniappan D., Sarathy R. Regular and Chaotic Flows in Paraboloid Basin and Eddies // Chaos, Solutions & Fractals. 1996. V.7. №3. P. 383-408.

157. Smereka P. On the dynamics of bubbles in a periodic box // J. Fluid Mech. 1993. V. 254. P. 79-112.

158. Teshukov V. M. On Cauchy problem for long wave equation // Free boundary problems in continuum mechanics: Intern, conf., 1991. Basel. Birkhauser Verl, 1992. P. 331-338.

159. Teshukov V. M. On the kinetic modelling of the concentration waves in dilute bubbly flows // Proc. of the Second intern, symposium on two-phase flow modelling and experimentation, Italy, 23-26 May, 1999, Pisa: Edizioni ETS, 1999, P. 1101-1107.

160. Teshukov V. M., Gavrilyuk S.L. Kinetic model for the motion of compressible bubbles in perfect fluid // Europ. J. Mech. B. Fluids. 2002. V. 21. P. 469-491.

161. Teshukov V., Russo G., Chesnokov A. Analytical and Numerical Solutions of the Shallow Water Equations for 2-D Rotational Flows // Math. Models Methods Appl. Sci. 2004. V. 14, №10. P. 1451-1481.

162. Varley E., Blythe P. A. Long eddies in sheared flows // Stud. Appl. Math. 1983. V. 68. P. 103-187.

163. Wijngaarden L. On the equations of motion for mixtures of liquid and gas bubbles // J. Fluid Mech. 1968. V. 33. P. 465-474.

164. Wijngaarden L., Kapteyn C. Concentration waves in dilute bubble/liquid mixtures // J. Fluid Mech. 1990. V.212. P. 111-137.