Устойчивость в системах с последействием, описываемых интегродифференциальными уравнениями типа Вольтерра тема автореферата и диссертации по механике, 01.02.01 ВАК РФ

Московский государственный университет

им. М.В. Ломоносова г - 7 - ■

Механико-математический факультет , ., л

На правах рукописи

Сергеев Всеволод Сергеевич

УСТОЙЧИВОСТЬ В СИСТЕМАХ С ПОСЛЕДЕЙСТВИЕМ, ОПИСЫВАЕМЫХ ИНТЕГРОДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫМИ УРАВНЕНИЯМИ ТИПА ВОЛЬТЕРРА

01.02.01 - теоретическая механика

АВТОРЕФЕРАТ

диссертации на соискание ученой степени доктора физико-математических наук

Москва - 2000

Работа выполнена в отделе механики Вычислительного центра Российской академии наук.

Официальные оппоненты: Доктор физико-математических наук, профессор Колмановский В.Б.

Доктор физико-математических наук, профессор Андреев A.C.

Доктор физико-математических наук, профессор Самсонов В.А.

Ведущая организация Институт динамики систем и теории управления СО РАН

Защита диссертации состоится 15 декабря 2000 г. в 16 час. на заседании диссертационного совета Д 053.0 5.01 при Московском государственном университете им. М.В. Ломоносова по адресу: 119899, ГСП, Москва, Воробьевы горы, МГУ, механико-математический факультет, ауд. 16-10.

С диссертацией можно ознакомиться в библиотеке механико-математического факультета МГУ (14 этаж).

Автореферат разослан « » ^¿ОРгХ-у^ 2000 г.

Ученый секретарь диссертационного совета Д 053.05.01 при МГУ, доктор физико-математических наук профессор

м

Д.В. Трещев

ОБЩАЯ ХАРАКТЕРИСТИКА РАБОТЫ

Ряд процессов в природе, как было установлено в середине 19-го века из анализа электромагнитных явлений, изучения изменения механических свойств материалов со временем и др., не укладывается в классическую схему физических моделей, основа которой состоит в том, что характеристики процесса (такие, как скорость, ускорение) в данный момент времени зависят только от состояния процесса в этот же момент. Особенность таких процессов заключается в том. что на характеристики процесса оказывает влияние его предыстория, то есть имеет место последействие. Так, в механике деформируемого тела последействие проявляется в таких реологических процессах, как релаксация. ползучесть, старение материалов.

Систематическое изучение последействия началось в конце 19-го века с работ Вольтерра, который предложил для описания данного явления использовать аппарат интегродифференциаль-ных уравнений, базирующийся на созданных им теории интегральных уравнений (типа Волы°рра) и общей теории функционалов. В частности, в наследственной механике деформируемого тела Вольтерра использовал линейную интегральную зависимость меяду напряжением и деформацией, которую затем обобщил на нелинейный случай, введя в рассмотрение зависимость в форме нелинейного непрерывного функционала, представимого рядом Вольтерра-Фреше из кратных интегралов (аналога ряда Тейлора для функций). Вольтерра дал общую постановку задачи эредитарной упругости и указал способ решения ряда конкретных задач.

Актуальность темы

В настоящее время область применения интегродифференци-апьных уравнений типа Вольтерра весьма многогранна. Кроме отмеченных явлений, этими уравнениями описываются процес-

сы в ядерных реакторах, различные диффузионные процессы, межвидовое взаимодействие биологических популяций, движение тела (твердого или деформируемого) в нестационарном потоке и др.

Модели, учитывающие нестационарность обтекания тела воздушным потоком (модели аэроупругости), которые базируются на интегродифференциальных уравнениях типа Вольтерра, были предложены в работах С.М.Белоцерковского. При движении тела (крыла) на его поверхности возникает система распределенных вихрей, которые сносятся потоком с задней кромки крыла, образуя вихревую пелену из свободных вихрей. Возмущения от вихревой пелены передаются по потоку, оказывая влияние на движение крыла. В линейной постановке учет воздействия возмущений осуществляется на основе интеграла Дюаме-ля. Некоторые нелинейные модели аэроупругости предложены В.И.Морозовым. Таким образом, задача приводится к изучению движения тела, на которое действуют аэродинамические силы с аэродинамическими коэффициентами, содержащими интегральные члены. Интегральные ядра (разностного типа) при таком подходе определяются экспериментально и на многих режимах дозвуковых скоростей хорошо аппроксимируются экспоненциально убывающими функциями. Математическая модель движения твердого тела задается обыкновенными интегродиф-ференциальными уравнениями типа Вольтерра.

В качестве приложений в диссертации основное внимание уделяется этой последней задаче, а также задаче о движении тела с учетом реологических свойств материала (в частности, вязко-унругости). К интегральному соотношению между напряжением и деформацией с убывающим интегральным ядром общего вида приводит логическое обобщение известной классической модели Кельвина для вязкоупругого тела.

Общая постановка задачи

В диссертации исследуется устойчивость в системах с последействием, состояние которых в каждый момент времени описывается интегродифференциальным уравнением типа Вольтерра

dx 1

~^ = A{t)x + j K(t, s)x(s)ds -f F(x, y, t), (1)

to

где x - л-мерный вектор, -A(í), K(t,s)~ определенные в соответствующих областях непрерывные ограниченные матрицы, F(x,y,t) - нелинейная голоморфная по х, у (или непрерывно дифференцируемая) в окрестности 0 функция, непрерывная ограниченная по t > to, обращающаяся в 0 вместе с первыми производными при .г = О, у = 0. В (1) у - нелинейный непрерывный функционал в интегральной форме, например вида

t

у = Jk(1,s)<f(x(s),s)ds. (2)

to

с интегральным ядром k(t,s) и функцией ip(x(t),t), обращающейся в 0 при х = О и со свойствами по своим переменным того же типа, что и у функции F в (1). Устойчивость по Ляпунову невозмущенного движения х = 0 для уравнения (1) рассматривается по отношению к возмущениям начальных данных xq = x(tо).

Уравнение вида (1) относится к классу функционально-дифференциальных уравнений, теория которых интенсивно развивается в последние десятилетия. Существенный вклад в теорию функционально-дифференциальных уравнений и особенно уравнений с запаздывающим аргументом внесли Л.Э. Эль-сгольц, Я.В. Быков, В.А. Азбелев, А.Д. Мышкис, В.Б. Колманов-ский, В.Р. Носов, Л.М. Березанский, В.П. Максимов, Л.Ф. Рах-матуллина, С.Н. Шиманов, R. Bellman, A. Halanay, J.K. Hale, Т.A. Burton, V. Lakshmikatham, R.K. Miller и др. В их работах исследовались общие свойства как линейных, так и нелинейных уравнений некоторых классов, в том числе вопросы существования решений, ограниченности, устойчивости по начальным зна-

чениям из некоторого функционального пространства. Для этих целей был развит, в частности, метод функционалов и функций Ляпунова.

Обладая общими чертами, присущими функционально-дифференциальным уравнениям, интегродифференциальные уравнения типа (1), (2) имеют специфические особенности, которые позволяют сделать исследование устойчивости их решений более конкретным и получить результаты, существенные для приложений.

В изучение свойств решений интегродифференциальных урав-нешшй важный вклад внесли Я.В. Быков, B.C. Владимиров. М.И. Иманалиев, А.Н. Филатов, Ю.А. Ведь, Т.A. Burton. S.I. Grossman, G.S. Jordan, V. Lakslimikatham, R.K. Miller, R.L. Wheeler и др. Для интегродифференциальных уравнений типа Вольтерра, не разрешенных относительно производной, которыми описывается движение твердого тела в нестационарном потоке (в рамках моделей аэроупругости), свойство асимптотической устойчивости изучалось методом преобразования Лапласа в работах U.C. Астапова.

Методы исследования устойчивости, применяемые в диссертации, базируются на основополагающих идеях A.M. Ляпунова, Н.Г. Четаева, Г.В. Каменкова, И.Г. Малкина, H.H. Красовского, В.И. Зубова, Ю.А. Рябова, и др. ученых.

Цель и методы исследования, основные результаты

Цель проводимого исследования заключается в анализе устойчивости по Ляпунову движений, описываемых интегродиффе-ренциальными уравнениями типа Вольтерра, т.е. в анализе первым методом Ляпунова окрестности асимптотически устойчивого движения и построении оценок области притяжения, в исследовании устойчивости в критических случаях одного нулевого и двух нулевых характеристических показателей и получении условий неустойчивости, а также асимптотической устойчивости (для случая ядер экспоненциально-полиномиального вида).

При исследовании использовались следующие методы: первый метод Ляпунова, адаптированный для интегродифферен-цпальных уравнений, метод мажорирующих уравнений, метод мажорирующих функций Ляпунова, метод преобразавания ин-тегродифферепциальных уравнений в критических случаях к простейшей форме (некоторый аналог нормальной формы для дифференциальных уравнений), развитый для уравнений типа Вольгерра, метод функций Ляпунова и Четаева, метотод преобразования Лапласа, метод рядов Фурье и др.

Основные результаты диссертации состоят в следующем.

1. Первый метод Ляпунова распространен на интегродиффе-ренциальные уравнения тина Вольтерра с голоморфно!! нелинейностью и на уравнения с постоянно действующими возмущениями: э тим методом построено общее решение таких уравнений в окрестности асимптотически устойчивого невозмущенного движения.

2. Дан способ оценки области притяжения асимптотически устойчивого нулевого решения интегродифференциалыюго уравнения с нелинейностью, голоморфной или непрерывно дифференцируемой по переменной и функционалу в интегральной форме.

3. Предложен метод исследования устойчивости в критических случаях одного нулевого и нары чисто мнимых корней характеристического уравнения, а также одного нулевого характеристического показателя, приводящий к определению постоянных Ляпунова либо некоторой непрерывной функции времени; доказана неустойчивость при определенных свойствах этих величин.

4. На примерах задач о кручении вязкоупругого стержня и вязкоупругого крыла (при нестационарном обтекании) первый метод Ляпунова применен к исследованию систем с распределенными параметрами; дано представление общего решения для соответствующих нелинейных интегродифференциальных уравнений в частных производных в окрестности асимптотически

устойчивого положения равновесия в форме абсолютно сходящихся рядов Фурье по продольной координате с экспоненциально стремящимися к нулю при неограниченном возрастании времени коэффициентами, зависящими от коэффициентов Фурье начальных функций.

5. На основе развитых методов проведено исследование устойчивости при постоянно действующих возмущениях, устойчивости в критических случаях в модельных задачах о вращательных движениях твердого тела и крыла с вязкоупругой опорой, твердого тела с плоскостью симметрии при учете нестационарности обтекания.

Научная новизна

В работе предложен новый метод исследования устойчивости в критических случаях одного нулевого и двух нулевых характеристических показателей для интегродифференцнального уравнения типа Вольтерра, базирующийся на приведении линейной части уравнения к форме автономного дифференциального уравнения с последующим выделением постоянной (пли функции). с которой связано решение задачи устойчивости.

Получены новые результаты в исследовании окрестности асимптотически устойчивого невозмущенного движения рассматриваемого класса систем с последействием, включающие способы получения оценок областей притяжения и построение общего решения в некоторых нелинейных системах с распределенными параметрами в форме абсолютно сходящихся рядов - аналогов рядов первого метода Ляпунова. На основе развитых методов указаны новые условия устойчивости в критических случаях для некоторых механических систем.

Апробация

Результаты диссертации докладывались, в частности, на семинарах:

под рук. В.В. Румянцева, В.В. Белецкого, A.B. Карапетяна в МГУ им. М.В. Ломоносова;

под рук. В.Б. Колмановского, В.Р.Носова в МИЭМ;

под рук. С.М. Белодерковского в ЦАГИ;

под рук. Ю.М. Свирежева в МОИП (секц. общая биология); на конференциях:

VI Всесоюзный съезд по теоретической и прикладной механике (Ташкент, 1986 г.); VI Всесоюзная конференция "Качественная теория дифференциальных уравнений" (Иркутск, 1986 г.); V Всесоюзная Четаевская конференция "Аналитическая механика, устойчивость и управление движением" (Казань, 1987 г.); II Уральская региональная конференция "Функ-ционалыю-дифференциальные уравнения" (Челябинск. 1987 г.); Всесоюзная научная конференция "Нелинейные колебания механических систем" (Горький, 1987 г.); Всесоюзная конференция по устойчивости движения, колебаниям механических систем и аэродинамике (Москва, МАИ, 1988 г.); IV "Уральская региональная конференция "Функционально-дифференциальные уравнения и их приложения" (Уфа, 1989 г.); Всесоюзная конференция "Интегральные уравнения и краевые задачи математической физики" (Владивосток, 1990 г.); Международная математическая конференция ''Ляпуиовскпе чтения", посвященная 100-летию создания A.M. Ляпуновым теории устойчивости движения (Харьков, 1992 г.); I, II, IV Крымская международная математическая школа "Метод функций Ляпунова и его приложения" (Алушта, 1993, 1995, 1998 гг.); IV, VI международный семинар "Устойчивость и колебания нелинейных систем управления" (Москва, ЦПУ РАН, 1996, 2000 гг.); VII Четаевская конференция "Аналитическая механика, устойчивость и управление движением" (Казань, 1997 г.); III Международный симпозиум по классической и небесной механике (Великие Луки, 1998 г.); Международный конгресс "Нелинейный анализ и его приложения" (Москва, 1998 г.); VII Международная конференция "Устойчивость, управление и динамика твердого тела" (Донецк, 1999 г.); 5-ая Международная конференция "Системный анализ и управление космическими комплексами" (Евпатория, 2000 г.).

ОСНОВНОЕ СОДЕРЖАНИЕ ДИССЕРТАЦИИ

Диссертация состоит из введения, 6 глав, заключения и списка литературы, содержащего 1С2 наименования, - всего 252 стр.

Во Введении дан краткий обзор литературы, относящейся к теме диссертации, и перечислены основные полученные результаты.

В первой главе исследуется устойчивость по первому приближению невозмущеиного движения, отвечающего решению х = О (х 6 R") интегродифференциального уравнения вида (1), (2) с непрерывными ограниченными матрицами A[t), K(t, s), заданы-ми соответственно при t > ¿о и t.ç> < s < t < +oo и голоморфными функциями F(x,y,t), ip(x,t), описанными в (1), (2). Интегральное ядро k(t,b) в (1) для широкого круга задач является экспоненциально убывающим и по предположению удовлетворяет оценке

\\Ht,s)\\ < Cexp[-/3(i- s)], С, ¡3 = const > 0. (3)

Исследование асимптотической устойчивости для дифференциального уравнения, как известно, может быть проведено на основе первого метода Ляпунова. Этот метод может быть распространен па шггегродифференциальные уравнения вида (1). Общее решение данного уравнения в окрестности нуля можно представить в форме степенного ряда по начальным значениям хо¡(i — 1, ...,/t) вектора х, если имеет место асимптотическая устойчивость в линейном приближении и фундаментальная матрица X(t,s) линеаризованного уравнения (1) с нижним пределом интегрирования s удовлетворяет экспоненциальной оценке типа (3). В разд. 1.1 доказывается соответствующее утверждение (теорема 1.1) для решения х = 0 уравнения (1), (2), (3) о представлении на основе первого метода Ляпунова общего решения в окрестности 0 в фирме абсолютно сходящегося ряда с экспоненциально стремящимися к iij'.no при неограниченном возрастании времени коэффициентами. Тривиальное решение нели-

нейного уравнения асимптотически (экспоненциально) устойчиво. и область сходимости ряда принадлежит области притяжения. Доказательство проводится с использованием интегральной формулы Коши для уравнения (1).

В разд. 1.2 исследуется уравнение (1) - (3), в правой части которого добавлена аддитивно функция цФ(ц,х,у^), рассматриваемая как постоянно действующее возмущение. Функция Ф(/(. .г, у,/) считается голоморфной по ¡i,x.y (у, - малый параметр) в окрестности точки /г = 0. .г = 0, у = 0. непрерывной ограниченной по t > /о- При этом функция Ф(/х,0,0,?) стремится к нулю при t —> +оо по экспоненциальному закону. При сохранении (3) и условия теоремы 1.1 на матрицу X(t,s) для невозмущенного линеаризованного уравнения доказывается теорема о возможности представления общего решения нелинейного возмущенного уравнения в виде ряда, аналогичного ряду для x(t) в теореме 1.1, по степеням хщ и Всякое решение с начальным значением из области сходимости ряда экспоненциально стремится к 0 при t —> +оо, и точка х = 0 устойчива при постоянно действующих возмущениях (в смысле Малкина).

В разд. 1.3 приводится обобщение теоремы 1.1 на случай интегральных ядер K(t,s), обладающих особенностями при t = s типа особенностей ядер Абеля. Такие интегральные ядра используются в моделях вязкоупругосги и аэроупругостп.

Другое обобщение относится к уравнению (1), в котором нелинейность задана голоморфной по х, с функцией F = F(x, z, t), зависящей от функционала представимого рядом Фреше.

Доказательство всех теорем данной главы проводится методом мажорантных функций с постороенпем мажорирующего уравнения для ряда, который мажорирует общее решение ин-тегроднфференциального уравнения. На основе мажорирующих уравнений в гл.II строятся оценки области притяжения асимптотически устойчивого невозмущенного движения.

В разд. 1.4 приводятся два примера исследования устойчивости.

Рассматривается задача о движении твердого тела в форме

пластины (крыла), прикрепленного к опоре с помощью материала с вязкоупругими свойствами и находящегося в потоке, совершающем нестационарное обтекание. Нестационарность обтекания учитывается в рамках модели аэроупругости. Вязкоупру-гие свойства материала описываются интегральным оператором, связывающим напряжение и деформацию и представимым рядом Вольтерра-Фреше из кратных интегралов. На поток могут накладываться малые возмущения. Исследуется устойчивость равновесия, в котором крыло занимает положение, близкое к горизонтальному. и на основании теоремы 1.2 показывается устойчивость равновесия при постоянно действующих возмущениях, если имеет место устойчивость в линейном приближении для невозмущенной задачи.

Второй пример относится к устойчивости равновесия биологического сообщества, состоящего из п видов, оспаривающих одну пищу, при учете всей предыстории процесса межвидового взаимодействия.

Модель, предложенная Вольтерра, описывается интегродиф-ференциальным уравнением, имеющим для вектора численности видов N > 0 стационарное решение Л^. Если во все моменты времени — оо < £ < ¿о численности видов изменялись мало (могут рассматриваться как малые возмущения для интервала времени / > ¿о)> то в предположениях теоремы 1.2 доказывается, что имеет место свойство притяжения и N —> Лго по экспоненциальному закон у при неограниченном возрастании времени.

Глава II посвящена способам получения оценок области притяжения асимптотически устойчивого нулевого решения инте-гродифференциалыгого и дифференциального уравнения.

Для интегродифференциального уравнения типа Вольтерра оценки строятся либо с использованием мажорант Коши для нелинейных членов уравнения как оценки радиуса сходимости рядов первого метода Ляпунова (разд. 2.1), либо с использованием мажорант Ляпунова (разд. 2.2) на основе развитого Ю.А.Рябовым метода построения оценок области сходимости рядов и последовательных приближений, представляющих реше-

ние мажорирующего уравнения.

Оценки разд. 2.1 базируются на мажорирующих рядах и мажорирующих уравнениях, введенных в гл.1 при доказательстве теорем об асимптотической устойчивости и устойчивости при постоянно действующих возмущениях.

Оценки, получаемые согласно теоремам разд. 2.2 с использованием мажорант Ляпунова, являются более широкими, чем те, которые базируются не. классических мажорантах Коши в виде абсолютно сходящихся степенных рядов с неотрицательными коэффициентами. Однако в ряде случаев мажоранты Коши проще построить. Отметим также, что теоремы 2.2 и 2.3 формулируются для функций F{x, у, непрерывно

дифференцируемых по х,у,:. что расширяет класс рассматриваемых уравнений и обобщает соответствующие теоремы гл.1 об экспоненциальной устойчивости по первому приближению.

В разд. 2.3 предложен способ построения оценок областей притяжения для автономных дифференциальных уравнений

'^ = Ax + F(. г), (4)

где х — »-мерный вектор, F(x) - голоморфная в окрестности нуля функция, разложение которой начинается с членов не ниже второго порядка. Способ, базируется на теореме В.И.Зубова о существовании функции Ляпунова \'[х), определенной во всей области притяжения асимптотически устойчивого нулевого решения и удовлетворяющей уравнению в частных производных

^ = -Ф(.г)(1 -Г), (5)

в котором Ф(.г) - определенно положительная функция и производная берется в силу уравнения (4).

Граница области притяжения задается равенством V(x) = 1. Для матрицы .4 с простыми элементарными делителями и функции Ф(.г) в виде однородной формы степени 2т строится ряд И''(.г) >> V"(x), позволяющий оценку области притяжения определять неравенством TV(.r*) < 1 (символ * внизу означает, что

компоненты вектора взяты по модулю). Указывается несколько видов мажорант И7(х).

Предложен численно-аналитический способ построения оценок области притяжения, основанный на численном определении отрезков степенного ряда V(x) согласно уравнению (5) и

оцениванию остатка ряда мажорантой

С помощью разработанной программы построены оценки ирп различных к для некоторых уравнений, в частности, для одной системы автоматического регулирования.

Главы III-V содержат исследование устойчивости в критических по Ляпунову случаях для систем, описываемых интегро-дифференциальными уравнениями с голоморфной по х, у функцией F(x,yJ).

В гл.III рассматривается критический случай одного нулевого характеристического показателя линеаризованного уравнения при прочих отрицательных показателях и доказывается ряд утверждений о неустойчивости. Чтобы сделать более прозрачной методику проводимых преобразований с целыо определения постоянной Ляпунова либо функции, фигурирующей в теореме о неустойчивости, сначала рассматривается класс систем (1) с постоянной матрицей А, интегральным ядром K(t — s) разностного типа экспоненциально-полиномиального вида и функцией F(.v,t), коэффициенты разложения которой в степенной ряд в окрестности нуля являются постоянными или функциями, экспоненциально стремящимися к постоянным при t —> +00.

Как известно, в этом случае характеристическое уравнение приводится к полиномиальному виду, и структура решений линеаризованного уравнения может быть указана в явной форме и аналогична структуре решения дифференциального уравнения с постоянными коэффициентами.

С помощью базиса, сопряженного нормальному в смысле Ляпунова базису пространства решений линеаризированного уравнения, проводится преобразование, выделяющее критическую переменную и приводящее линейную часть уравнения (при соответствующих предположениях) к вид}' дифференциального

уравнения с постоянной диагональной матрицей. Далее серией преобразований, сохраняющих свойство нелинейного интегрального оператора в правой части уравнения иметь только убывающие интегральные ядра, допускающие экспоненциальную оценку. н коэффициенты неинтегральных членов того же типа, что и в F(x.t), проводится выделение в уравнении для критической переменной члена m-ой степени с постоянной Ляпунова у,,,. Строится сектор, который содержит траекторию, покидающую некоторую окрестность нуля, и па основании теоремы Четаева доказывается неустойчивость нулевого решения при четном т, если дт ф 0. и при т нечетном, если дт > 0.

В разд. 3.2 аналогичный результат устанавливается для уравнений вида (1) с постоянной матрицей А, функцией F(x,t) как в разд. 3.1, и произвольным непрерывным разностным убывающим интегральным ядром, допускающим экспоненциальную оценку

||А'(/)|| < Cexp(-/Jf), С, d = const > 0. (6)

Соответствующее характеристическое уравнение Ф(А) = 0, определенное в полуплоскости Re А > — ¡3 комплексной плоскости, должно иметь конечное число корней (занумерованных в порядке возрастания вещественных частей), среди которых имеется один нулевой и п — 1 "старших" корней являются простыми и обладают отрицательными вещественными частями. В этом случае известна структура главной части решения линеаризованного уравнения, которая аналогична структуре решения линейного дифференциального уравнения с постоянными коэффициентами.

Если же структура общего решения линеаризованного уравнения не известна (например, выполнено (G), но в полуплоскости Re А > — 3 характеристическое уравнение имеет только нулевой корень), то для правильного уравнения (1), (G) с постоянно!} матрицей .4. функцией F(x,t), обладающей непрерывными по i ограниченными коэффициентами разложения по х, и фундаментальной матрицей, удовлетворяющей определенным услови-

ям, справедливо утверждение (теорема 3.3) о неустойчивости, которое накладывает ограничение на функцию gm(t) - коэффициент при ?71-ой степени критической переменной в уравнении для этой переменной (все аналогичные функции gk{t) = 0 при к < т). Функция gm{t) определена с точностью до аддитивной непрерывной функции удовлетворяющей неравенству

I J Q(s)ds I < const.

'и

Доказывается, что если выбором функции <j>{t) можно добиться того, чтобы функция g'm{t) = gm(t)+<j>(t) сохраняла знак и при / > /о удовлетворяла неравенствам

9т < lffm(*)l < (JnU От, Um = COnSt > 0'

при четном m, либо g'm(t) > д*т для нечетного т, то нулевое решение уравнения неустойчиво.

Утверждения теорем 3.3 и 3.4 остаются справедливыми и для уравнения (1), (6) предыдущего типа с функцией F(x, y,t), где у дается выражением (2) с условием (3).

Разд. 3.3 содержит общую формулу для вычисления постоянной Ляпунова у2 для уравнений с ядрами K(t) экспоненциально-полиномиального вида.

В гл.IV рассматривается уравнение (1) с линейной частью, как в гл.III, и функцией F(x,y,t), голоморфной в окрестности нуля по х, у, где у дается формулой (2) с неравенством (3) и разложения функций F и ip в.степен-ные ряды имеют постоянные коэффициенты либо экспоненциально стремящиеся к таким при t —> +dg. Исследу ется устойчивость в критическом случае пары чисто мнимых корней характеристического уравнения. Методом гл.III при предположениях, сходных с условиями теоремы 3.4, осуществляется выделение двух уравнений, отвечающих критическим переменным, и матрица линейной части подсистемы для некритических переменных приводится к диагональному виду с постоянными элементами. Так же, как в гл.III, находится постоянная Ляпунова д2к+1 и доказывается утверждение о неустойчивости нулевого решения, если д-2к+1 > 0.

В разд. 4.2 в качестве примера приложения результатов данной главы исследуется устойчивость равновесия тяжелого твердого тела, которое может вращаться вокруг горизонтальной оси и опорами которого являются два коротких вязкоупругих стержня. прикрепленных к телу и к неподвижным опорам. Ось вращения проходит через оба стержня, скручивающихся при движениях тела. На тело со стороны стержней действуют силы, момент которых зависит от угла поворота тела и содержит два интегральных члена 1-го и 3-го порядков из ряда Вольтерра-Фреше. При условиях, что имеет место критический случай пары чисто мнимых корней, проводится вычисление постоянной Ляпунова д^.

Гл.У посвящена вопросу асимптотической устойчивости в исследуемых критических случаях, возможной при условии, что постоянная д-2к+\ < 0. Данный вопрос рассматривается для уравнений с интегральными ядрами экспоненциалыю-полино-мпалыюго типа. В разд. 5.1 анализируется случай одного нулевого корня и в разд. 5.2 - случай пары чисто мнимых корней па основе общего подхода. Интегродифференциальные уравнения преоброзуются, как описано соответственно в гл.III и IV, с целью выделения постоянной Ляпунова ди-+\ • Все интегральные ядра преобразованных уравнений при этом остаются ядрами экспоненциально-полиномиального типа. Введение дополнительных переменных позволяет привести критическую и некритическую подсистемы для рассматриваемого ннтегродифферен-циального уравнения к системе дифференциальных уравнений большей размерности. Далее показывается, что при условии 9'2к+1 < 0 имеет место асимптотическая устойчивость.

Гл.VI содержит несколько примеров исследования устойчивости в механических системах, описываемых интегродифферен-циальными уравнениями типа Вольтерра.

В разд. 6.1 рассматривается задача о движении твердого тела с плоскостью симметрии на постоянной высоте с постоянной скоростью при нестационарном обтекании воздушным потоком. Исследуется критический случай одного нулевого корня, отве-

чающего подсистеме бокового движения для линеаризованных уравнений. Определена постоянная д2, выраженная общей формулой через фундаментальные решения линейной части и квадратичные члены уравнений.

В разд. 6.2 приводится пример вычисления через коэффициенты уравнений постоянных д2, Ц:\ в критическом случае одного нулевого корня. Здесь исследуется устойчивость равновесия жесткого крыла при его вращательных движениях вокруг продольной оси - частный случай задачи, рассмотренной в разд. 1.3.

В разд. 6.3 и 6.4 исследуется устойчивость равновесия в двух системах с распределенными параметрами. Так же, как в гл.1 и II, доказательство асимптотической устойчивости базируется на построении общего решения в окрестности равновесия в форме рядов, которые можно рассматривать как аналог рядов первого метода Ляпунова для рассматриваемых нелинейных интегро-дифференциальных уравнений в частных производных. Эти ряды представляют собой ряды Фурье по продольной координате х с экспонециалыю стремящимися к 0 при I —> +оо коэффициентами - функциями времени, зависящими от коэффициентов Фурье начальных функций.

В разд. 6.3 рассматривается задача о кручении вязкоупругого стержня с закрепленными концами или с одним свободным концом в предположениях гипотезы плоских сечений. Движение стержня происходит иод действием массовых сил, момент которых относительно оси стержня является нечетной голоморфной функцией но углу закручивания в (это может быть, например. сила тяжести, если центр масс сечения смещен относительно оси кручения). Зависимость напряжения от деформации представляется в виде линейного интегрального оператора Вольтерра. Показывается (теоремы 6.1, 6.2) с использованием диссипативных свойств линеаризованного уравнения, что ряд для в(х,1) сходится абсолютно и равномерно и представляет общее решение нелинейного уравнения, если начальные функции >р[х) = $(х\0), чр(х) = дв(х^)/дЦ1=0 имеют непрерывные третьи производные с ограниченным изменением. В каждом сечении х

угол 0 (x.t) —► 0 экспоненциально с возрастанием времени и положение равновесия стержня в(х, t) = О асимптотически устойчиво.

В разд. 6.4 методом, развитым в разд. 6.2 и 6.3, решается аналогичная задача об асимптотической устойчивости положения равновесия вязкоупругого крыла (постоянного сечения), находящегося в нестационарном потоке и испытывающего лишь деформацию кручения.

В Заключении кратко сформулированы основные результаты диссертации.

Основные результаты диссертации опубликованы в следующих статьях.

1. Сергеев B.C. Об одной оценке области асимптотической устойчивости для автономных систем уравнений // Дифферент уравнения. Т.П. 1975. N 10. С.1832-1837.

2. Сергеев B.C. Об одном способе получения оценок областей притяжения с помощью функций Ляпунова, построенных численным методом // ЖВМ и МФ. Т. 18. 1978. N 5. С.1154-1161.

3. Сергеев B.C. Об оценке области притяжения для одного класса интегро-дифференциальных уравнений // Устойчивость движения. Новосибирск: Наука, 1985. С.88-93.

4. Сергеев B.C. Об устойчивости стационарных состояний для одной математической модели взаимодействия популяций при учете последействия // Доклады МОИП за 1983 г. Общая биология. М.: Изд-во МГУ, 1985.

5. Сергеев B.C. О неустойчивости решений одного класса интегроднфференциальных уравнений в критическом случае нулевого корня / / Задачи исследования устойчивости и стабилизации движения. М.: ВЦ АН СССР, 1985. С.54-84.

6. Сергеев B.C. К вопросу о неустойчивости в критическом случае нулевого корня для интегродифферепциаль-

ных уравнений Вольтерра // Задачи исследования устойчивости и стабилизации движения. М.: ВЦ АН СССР, 1986. С.86-92.

7. Сергеев B.C. Об устойчивости положения равновесия в одной задаче динамики твердого тела // Задачи исследования устойчивости и стабилизации движения. М.: ВЦ АН СССР, 1986. С.35-46.

8. Сергеев B.C. Об устойчивости решений для одного класса интегро-дифференциальных уравнений // Дифференц. уравнения. Т.22. 1986. N 3. С.518-523.

9. Сергеев B.C. О неустойчивости решений интегродиф-ференциальных уравнений типа Вольтерра в критическом случае пары чисто мнимых корней // Задачи исследования устойчивости и стабилизации движения. М.: ВЦ АН СССР, 1987. С.38-56.

10. Сергеев B.C. Об устойчивости решений интегро-дифференциальных уравнений в некоторых случаях // Метод функций Ляпунова в анализе динамики систем. Новосибирск: Наука, 1987. С.98-105.

11. Сергеев B.C. О неустойчивости нулевого решения одного класса интегро-дифференциальных уравнений // Дифференц. уравнения. Т.24. 1988. N 8. С.1443-1454.

12. Сергеев B.C. О неустойчивости решений интегродиффе-ренциальных уравнений в одном случае // Задачи исследования устойчивости и стабилизации движения. М.: ВЦ АН СССР, 1988. С.67-81.

13. Сергеев B.C. Об устойчивости движения твердого тела в нестационарном потоке // Изв. АН СССР МЖГ. 1989. N 3. С.18-22.

14. Сергеев B.C. Об устойчивости решений интегродиф-ференциальных уравнений в критических случаях // Проблемы аналитической механики, устойчивости и управления движением. Новосибирск: Наука, 1991. С.110-115.

15. Сергеев B.C. Об устойчивости решений одного класса функционально-дифференциальных уравнений // Задачи исследования устойчивости и стабилизации движения. М.: ВЦ АН СССР, 1991. С.38-47.

16. Сергеев B.C. Об устойчивости решений одного класса интегродифференциальных уравнений // Интегральные уравнения и краевые задачи математической физики. Труды Всесоюзной конференции. Владивосток 22-26 окт. 1990 г. Т.1. Владивосток: 1992. С.106-111.

17. Сергеев B.C. Об асимптотической устойчивости движения в некоторых системах с последействием // ПММ. 1993. Т.57. Вып.5. С.166-174.

18. Сергеев B.C. О кручении вязкоупругого стержня // Задачи исследования устойчивости и стабилизации движения. М.: ВЦ РАН, 1993. С.45-60.

19. Сергеев B.C. Об оценке области притяжения для интегродифференциальных уравнений Вольтерра // Задачи исследования устойчивости и стабилизации движения. М.: ВЦ РАН, 1995.' С.61-78.

20. Sergeyеv V.S. On the torsion of a viscoelastic rod // Cahier du SERMA. 1996. N 14. P.92-102.

21. Сергеев B.C. Об асимптотической устойчивости и оценке области притяжения в некоторых системах с последействием // ПММ. 1996. Т.60. Вып.5. С.744-751.

22. Сергеев B.C. О неустойчивости в критическом случае пары чисто мнимых корней для одного класса систем с последействием // ПММ. 1998. Т.62. Вып.1. С.79-86.

23. Сергеев B.C. О кручении крыла // Задачи исследования устойчивости и стабилизации движения. М.: ВЦ РАН, 1998. С.18-28.

24. Сергеев B.C. Об устойчивости равновесия вращающегося твердого тела с вязкоупругими опорами // Задачи иссле-

дования устойчивости и стабилизации движения. М.: ВЦ РАН, 1998. С.29-44.

25. Сергеев B.C. Об устойчивости в некоторых критических случаях для интегродифференциальных уравнений типа Вольтерра // Актуатьные проблемы классической и небесной механики. М.: Эльф, 1998. С.128-137.

26. Сергеев B.C. Об асимптотической устойчивости в критических случаях для одного класса интегродифференциальных уравнений // Задачи исследования устойчивости и стабилизации движения. М.: ВЦ РАН, 1999. С.11-32.

27. Сергеев B.C. Об устойчивости равновесия крыла в нестационарном потоке // ПММ. 2000. Т.64. Вып.2. С.227-236

B.C. Сергеев

Устойчивость в системах с последействием, описываемых интегродифференциальными уравнениями типа Вольтерра

Подписано в печать 16,10.00 Формат бумаги 60x84 1/16 Уч.-изд.л.1,1 Усл.-печ.л. 1,4 Тираж 100 экз. Заказ 44. Бесплатно

Отпечатано на ротапринтах в ВЦ РАН 117333, Москва, ул. Вавилова 40

ВВЕДЕНИЕ.

ГЛАВА I УСТОЙЧИВОСТЬ ПО ПЕРВОМУ ПРИБЛИЖЕНИЮ

1.1. Построение общего решения в окрестности асимптотически устойчивого положения равновесия

1.2. Устойчивость при постоянно действующих возмущениях

1.3. Некоторые обобщения

1.4. Примеры исследования устойчивости. Модельная задача о движении жесткого крыла в нестационарном потоке. Межвидовое взаимодействие биологических популяций

ГЛАВА II ОЦЕНКА ОБЛАСТЕЙ ПРИТЯЖЕНИЯ

2.1. Оценка радиуса сходимости рядов первого метода Ляпунова

2.2. Оценка области притяжения для интегродифференци-ального уравнения типа Вольтерра.

2.3. Оценка области притяжения для автономного дифференциального уравнения

ГЛАВА III НЕУСТОЙЧИВОСТЬ В КРИТИЧЕСКОМ СЛУЧАЕ ОДНОГО НУЛЕВОГО ХАРАКТЕРИСТИЧЕСКОГО ПОКАЗАТЕЛЯ

3.1. Неустойчивость в системах с интегральными ядрами экспоненциально-полиномиального вида.

3.2. Неустойчивость в общих системах с разностными убывающими интегральными ядрами

3.3. Неустойчивость, устанавливаемая по квадратичным членам

ГЛАВА IV НЕУСТОЙЧИВОСТЬ В КРИТИЧЕСКОМ СЛУЧАЕ ДВУХ НУЛЕВЫХ ХАРАКТЕРИСТИЧЕСКИХ ПОКАЗАТЕЛЕЙ (ПАРА ЧИСТО МНИМЫХ КОРНЕЙ)

4.1. Системы с убывающими интегральными ядрами разностного типа

4.2. Устойчивость равновесия твердого тела с вязкоу пру гимн опорами

ГЛАВА V АСИМПТОТИЧЕСКАЯ УСТОЙЧИВОСТЬ В КРИТИЧЕСКИХ СЛУЧАЯХ ДЛЯ УРАВНЕНИЙ С ИНТЕГРАЛЬНЫМИ ЯДРАМИ ЭКСПОНЕНЦИАЛЬНО- ПОЛИНОМИА

ЛЬНОГО ВИДА

5.1. Один нулевой корень

5.2. Пара чисто мнимых корней

ГЛАВА VI НЕКОТОРЫЕ ПРИЛОЖЕНИЯ

6.1. Движение твердого тела с плоскостью симметрии в воздушном потоке при нестационарном обтекании.

6.2. Устойчивость положения равновесия жесткого крыла в нестационарном потоке (критический случай)

6.3. Кручение вязкоупругого стержня

6.4. Кручение крыла.

В классических представлениях о природных процессах, их характеристиках, считается, что состояние процесса в данный момент времени I не зависит от его состояния (от характеристик) в какие-либо другие моменты времени. Если рассматривать математическую модель такого процесса, обозначая через х{{) вектор состояния, описывающий процесс, то приходим к стандартному дифференциальному уравнению = ЯхШ), (0.1) в котором /(#(£), £) - функция, обладающая теми или иными свойствами.

Однако в середине 19-го века рядом ученых, среди которых можно выделить Больцмана и Томсона (Кельвина), было установлено, что некоторые процессы, такие, как, например, электромагнитное взаимодействие, деформация твердого тела, не поддаютя описанию в рамках указанного классического подхода, поскольку зависят от предыстории процесса, т.е. от моментов времени т < В этом случае вектор состояния ж(^) должен удовлетворять (в современной терминологии) уже функционально-дифференциальному уравнению = (*>)((), (0.2) где (Гх)^) - оператор, определенный на некотором банаховом пространстве, например, на пространстве непрерывно дифференцируемых функций. Обычно рассматривают уравнения типа (0.2) с Вольтерровым оператором [114]. Пусть функции х^) определены на отрезке [а, Ь]. Оператор (Гх)^) называется Вольтерровым, если для любого т Е [а, Ь] и любых х^) из области его определения таких, что если х\(1) = ^(О на [а-> т], то на [а,г] выполняется (Гхх)^) = Уравнение (0.2) с Вольтерровым оператором называется уравнением с последействием.

Формула (0.2) объединяет различные классы уравнений: дифференциальные (0.1), интегродифференциальные (как обыкновенные, так и в частных производных), уравнения с запаздыванием. Значительный интерес исследователей к уравнениям последнего типа связан с важностью задач автоматического регулирования. Теория функционально-дифференциальных уравнений интенсивно развивается в последние десятилетия. С единых позиций удалось проанализиповать ряд общих вопросов: существование решения задачи Коши и краевой задачи (в разных смыслах), единственность, непрерывную зависимость решения от параметра, некоторые свойства решений. Наибольшее продвижение здесь отмечается для линейных уравнений и для уравнений с запаздыванием. Основные полученные в этом направлении результаты нашли отражения в монографиях и обзорах [1, 2, 3, 14, 17, 123, 119, 61, 142, 143, 144, 73, 74, 82, 137].

Обладая общими свойствами, присущими функционально-дифференциальным уравнениям, интегродифференциальные уравнения имеют специфические особенности, что делает актуальным исследование поведения их решений. Интегродифференциальные уравнения имеют многочисленные приложения, связанные с реологическими свойствами деформируемых тел [157, 76], межвидовым взаимодействием в брюлогии [37], процессами в ядерных реакторах [35, 131, 150], электромагнетизмом [80], движением тела в нестационарном потоке [18] и др.

Систематическое изучение теории интегродифференциальных уравнений, а также в связи с этим общей теории функционалов началось в начале 20-го века с фундаментальных исследований В. Вольтерра [157]-[161]. В.Вольтерра предложил вариант сведения интегродифференциальных уравнений к интегральным и применил к их исследованию развитую к тому времени в его работах теорию интегральных уравнений. Им была предложена математическая модель конкурентного межвидового взаимодействия [37] на основе интегродифференцмальных уравнений с переменным верхним пределом интегрирования, названных в дальнейщем уравнениями типа Вольтерра. Существенное внимание в его работах было уделено развитию реологической модели деформируемого тела с использованием интегральной зависимости между напряжением и деформацией [157]. Предложенная таким образом модель ''наследственного твердого тела" описывается системой интегродифференциальных уравнений в частных производных. Первоначально использованная линейная интегральная зависимость была обобщена и заменена на нелинейную в форме ряда Фреше [133] из кратных интегралов - аналога ряда Тейлора для непрерывного функционала. Обзор результатов по теории интегродифференциальных уравнений и их приложениям, полученных как самим В.Вольтерра, так и его современниками, содержится в монографии [36], где имеется также подготовленная М.К.Керимовым к изданию книги обширная библиография последующих работ. Публикации, относящиеся к первой четверти 20-го века, отражены, кроме того, в обзоре [129] и в [146]. Обзоры литературы последних десятилетий по интегродифференциальным уравнениям и непосредственно связанным с ними интегральным уравнениям содержатся в [29, 51, 120, 122, 123, 124, 128]. Отметим, что объем литературы по темам, примыкающим к теме диссертации, весьма велик, поэтому приводимый здесь обзор затрагивает в основном лишь минимально необходимую часть публикаций.

Диссертация посвящена исследованию устойчивости в системах с последействием, которые описываются интегродифферен-циальными уравнениями тина Вольтерра, т.е. уравнениями вида г х = А{г)х +1 8)х(з)(18 + /(ж, у, г), (о.з) 0 где х Е И/1, - (п х п) - матрицы-функции, заданные соответственно на множествах I = Е И1,/ > ¿о} и

Л — з) : з) Е Г^2, to < я < t < +оо}, /(ж, ?/, I) - нелинейная часть уравнения, представимая голоморфной по ж, у в некоторой окрестности нуля функцией, разложение которой в степенной ряд имеет коэффициентами непрерывные при t £ I ограниченные функции времени. В уравнении (0.3) у Е Як - некоторый непрерывный функционал, который будет детализирован ниже.

Теоретические исследования, относящиеся к уравнению (0.3), были продолжены в работах [38, 43, 44], где установлены теоремы существования и единственности решения для некоторых классов уравнений с различными свойствами входящих в них функций. Существенное развитие теория интегродифференци-альных уравнений получила в работах Я.В.Быкова [25, 26] и его научной школы в Киргизии [51, 49, 50, 116, 117]. В монографии [25] дан общий анализ задачи Коши для интегродифференциаль-ного уравнения типа (0.3) как операторного уравнения в банаховом пространстве, для различных классов уравнений рассмотрены вопросы существования решений, ограниченноси, асимптотическом поведении на бесконечноси, устойчивости. Для уравнения (0.3) с функцией f(t) в правой части дается формула Коши, разрешающая задачу Коши x(t0) — %0 для этого уравнения, t х = X(t, t0)x0 + J X(t, s)f(s)ds, (0.4) to где X (t, s) - фундаментальная матрица уравнения t x = A(t)x + j K(t, t)x(t)<1t s такая, что X(t,t) = En (En - единичная матрица порядка n).

В [25] методом интегральных неравенств доказывается, в частности, утверждение об асимптотической устойчивости (теорема 4.3.5) для уравнения вида (0.3) с нелинейностью в форме t f{x(t), t) +J F(t, s, x(t),x(s))ds, (0.5) t0 где / и F непрерывны и удовлетворяют определенным неравенствам типа локальных условий Липшица (с дополнительными условиями) и, кроме того, для всех t > s > tо s)ll ^ bexp[—a(t — s)], a, b = const > 0.

Эта теорема в части свойства асимптотической устойчивости близка к некоторым утверждениям гл.1 и II, целью которых является выяснение структуры общего решения в окрестности нуля для интегродифференциального уравнения с голоморфной правой частью на основе рядов первого метода Ляпунова и построению мажорирующих уравнений для получения оценки области притяжения асимптотически устойчивого нулевого решения.

В случае, когда \\X(t, .s)|| < b, для уравнения вида (0.3), (0.5) с условиями на f и F такого же типа, как в теореме 4.3.5 (в частности, u(*), t) - f(v(t), t)\\ < - v(t)\\ (0.6) для всех t > s > tç, и ||u(i)||, ||f(i)|| < <5) здесь же методом последовательных приближений доказывается утверждение (теорема 4.3.6) об устойчивости нулевого решения.

Отметим, что теорема 4.3.6, охватывающая критические случаи одного и двух нулевых характеристических показателей, которые рассматриваются в главах III - V диссертации, накладывает существенное ограничение на нелинейные члены уравнения (0.3). (0.5), предполагая, что в (0.6) функция ip\(t,è) 0 при t —> +оо. Для типов уравнений, исследуемых в гл. III - V, где последнее условие не выполняется, имеет место либо неустойчивость, либо асимптотическая устойчивость.

В работе [26] подробно изучаются свойства асимптотической устойчивости, устойчивости, а также скорость убывания и ограниченность решений (и их производных) для нелинейного интегродифференциального уравнения с интегральным ядром линейной части экспоненциально-полиномиального вида.

Как известно, задача об устойчивости в критических случаях одного нулевого корня и пары чисто мнимых корней для дифференциального уравнения с голоморфной правой частью была поставлена и решена Ляпуновым [66]. Для интегродифференциального уравнения в общей постановке такая задача не рассматривалась.

Монографии М.И.Иманалиева [49, 50] посвящены исследованию интегродифференциальных уравнений с особенностью при старшей производной. Применение методов усреднения для анализа решений интегродифференциальных уравнений было проведено А.Н.Филатовым [116, 117].

Свойства ограниченности, устойчивости, стремления к определенному пределу при t —> +оо для некоторых видов линейных и нелинейных интегродифференциальных уравнений исследовались методом интегральных неравенств в работах Ю. А.Ведя [31]-[34], С.Искандарова [52, 53], Г.Ражапова [78] и других авторов, входящих в киргизскую школу по интегродифференциальным уравнениям и публикующих работы в сериальном издании [54]. Обзор значительной части этих работ содержится в [51]. Некоторые условия экспоненциальной устойчивости для линейных уравнений получены в [23], асимптотика решений нелинейных уравнений рассматривалась в [6].

Среди зарубежных исследователей последних десятилетий в области интегродифференциальных уравнений типа Вольтерра следует отметить таких математиков, как Т.A.Burton, S.I.Grossman, G.S.Jordan, R.K.Miller, R.L.Wheeler. Были проведены исследования свойств линейных уравнений (асимптотическая и равномерная асимптотическая устойчивость, свойство принадлежности резольвенты уравнения пространствам Lp(0,+oo), ВС(0, +оо) П Lp(0, +оо) (р > 1) и др.) [123, 139, 138, 145, 147, 149, 151, 152, 130]. Установлена с применением преобразования Лапласа структура резольвенты для линейного уравнения с интегральным ядром разностного типа [124, 140, 141]. Было показано, что в резольвенте можно выделить часть, определяемую конечным числом корней характеристического уравнения и имеющую структуру общего решения линейного дифференциального уравнения с постоянными коэффициентами.

Таким образом, некоторые классы линейных интегродифференциальных уравнений по структуре своих решений близки к дифференциальным уравнениям. Более того, интегродифферен-циальные уравнения с интегральными ядрами разностного типа приводятся к системе дифференциальных уравнений большей размерности [25]. Однако одно из существенных различий состоит в том, что определитель Вронского фундаментальной матрицы линейного интегродифференциального уравнения может обращаться в 0 в некоторых точках [25], что невозможно для дифференциальных уравнений.

В работах [135, 136] для нелинейного интегродифференциального уравнения и уравнения специального вида, содержащего также аддитивную функцию времени с запаздыванием, методом интегральных неравенств устанавливается свойство, близкое устойчивости при постоянно действующих возмущениях, рассматриваемой ниже в гл.1 в связи с представлением общего решения в окрестности нуля рядами по степеням произвольных постоянных и малому параметру. В [136] доказана также важная теорема о принадлежности резольвенты линейного интегродифференциального уравнения типа Вольтерра с локально интегрируемым ядром и постоянной матрицей неинтегральных членов пространству интегрируемых функций Ь1(К+) (К+ = {I Е Н,1 : t > 0}). Показано, что это свойство имеет место тогда и только тогда, когда соответствующее характеристическое уравнение Ф(А) = 0 определено в полуплоскости Ие А > 0 и не имеет в ней корней. Показано также, что если резольвента и интегральное ядро уравнения принадлежат Ь1(К+), то нулевое решение равномерно асимптотически устойчиво. Исследование базируется на результатах работы [153], посвященной интегральным уравнениям.

Свойства ограниченности решений, стремления к нулю на бесконечности для нелинейного функционально-дифференциального уравнения с бесконечным запаздыванием исследовались в работе [134] с использованием функций Ляпунова. Здесь же подробно изучались равномерная асимптотическая устойчивость, ограниченность решений, другие свойства резольвенты для линейного неоднородного интегродифференциального уравнения с неоднородностью, принадлежащей различным функциональным пространствам, а также для почти линейного уравнения (в некотором смысле). Метод функционалов и функций Ляпунова применялся для анализа свойства асимптотической устойчивости (и его различных модификаций), ограниченности решений нелинейных интегродифференциальных уравнений различного вида в работах [125, 126, 154, 155]. Вопросу существования функционала Ляпунова для асисптотически устойчивого нулевого решения линейного интегродифференциального уравнения типа Вольтерра посвящена работа [127]; указан явный вид квадратичного функционала, зависящего от переменной и интегральных членов, содержащих переменную. В [63] рассматривалась устойчивость решений функционально-дифференциальных уравнений на всей оси и полуоси с обратимым вольтерровым оператором; введено для данного класса уравнений понятие устойчивости при постоянно действующих возмущениях и показано, что это свойство определяется обратимостью вольтеррова оператора.

Интегродифференциальные уравнения типа Вольтерра, как уже отмечалось, находят применение в механике деформируемого тела, связанное с учетом реологических свойств материала (наследственная упругость, вязкоупругость, старение материала) [157, 48, 76, 77, 7, 8, 9].

Остановимся подробнее на моделях вязкоупругости [55, 76]. Простейшая модель Фойхта, объединяющая упругое тело Гука и вязкую жидкость Ньютона, состоит из соединенных параллельно упругого и вязкоупругого элементов, которые и составляют элементарный элемент вязкоупругого тела. Зависимость напряжения а от деформации е дается соотношением (одномерный случай) сг = Е\е + г)е

Ех - модуль упругости, г/ - коэффициент вязкости). В следующей по сложности модели, называемой телом Кельвина, к модели Фойхта с упругим и вязким элементами присоединен последовательно еще один упругий элемент с коэффициентом упругости Е'2,. Напряжение ст, возникающее при растяжении всей этой конструкции, описывается зависимостью + \сг = Е(е + (0.7)

А + Е2 где Л — -и = — и положено Е = Ет. Интегрирование

Г) 71 уравнения (0.7) при условии, что в начальный момент времени деформация е(0) = 0, дает зависимость t а = Е[е- I ехр[-Л(* - г)](Л - ц)е(т)(1т] (0.8) о с экспоненциально убывающим интегральным ядром. Усложнение модели добавлением новых упругих и вязких элементов приводит к формуле вида (0.8) с более общим интегральным ядром убывающего типа. Эксперименты подтверждают правомочность такого усложнения. Это побудило Вольтерра ввести для описания релаксационных процессов зависимость а = Е[е- IЩ - т)е(т)с?г] (0.9) о и затем вместо интеграла в (0.9) ввести произвольный непрерывный функционал, представимый рядом Вольтерра-Фреше из кратных интегралов типа (1.5.2). Здесь и далее всюду в тексте римская цифра, добавленная к номеру формулы, находящейся в другой главе, обозначает номер главы.

Вольтерра дал общую постановку задачи эредитарной упругости, предложил способ решения линейной задачи и решил ряд конкретных задач [162, 157, 160]. Исследования по вязко-упругости, наследственной теории упругости были продолжены в работах М.И.Розовского, А.Ю.Ишлинского, Ю.Н.Работнова, А.А.Ильюшина, Н.Х.Арутюняна, А.Д.Дроздова, В.Б.Колманов-ского, В.Г.Громова, М.А.Колтунова и др. [79, 76, 77, 47, 48, 7, 8, 40, 55, 59, 60]. В работе [81] методом представления решения формальным рядом Фурье в линейной постановке решается, в частности, интегродифференциальное уравнение задачи о свободных и вынужденных поперечных колебаниях стержня при наличии последействия. Эта задача схожа с рассматриваемой в го.VI нелинейной задачей о построении общего решения в окрестности асимптотически устойчивого равновесия для вяз-коупругого стержня, совершающего вращательные движения вокруг своей оси. Абсолютно и равномерно сходящийся ряд, которым представляется в разд. 6.1, 6.2 общее решение, зависит от коэффициентов Фурье начальных функций задачи. Его можно рассматривать как аналог рядов первого метода Ляпунова в теории устойчивости обыкновенных дифференциальных уравнений. Отметим в связи с этим, что идейно близкому методу построения для заданного стационарного состояния термовязкоупру-гой системы возмущенного движения в форме степенных рядов по параметрам, характеризующим приложенные возмущающие силы, а также получению спектральных условий асимптотической устойчивости по отношению к указанным возмущениям, посвящены работы [40, 41]. Вопросам доказательства существования решения нелинейных интегродифференциальных уравнений вязкоупругости на конечном интервале времени методом последовательных приближений, доказательству единственности задачи Коши и построению приближенного решения посвящены работы [59, 60]. Периодические решения интегродифференциальных уравнений, связанных с задачей о поперечных колебаниях стержня, изучались в работах [86, 115].

Вторым важным приложением теории интегродифференциальных уравнений типа Вольтерра к механике является задача о движении твердого (или деформируемого) тела в воздушном потоке при нестационарном обтекании. С.М.Белоцерковским предложен метод [18]-[22] учета (в линейной постановке) нестационарности обтекания на основе интеграла Дюамеля путем введения в выражения для действующих на тело аэродинамических сил и их моментов интегральных членов, которые зависят от скоростей изменения угла атаки и угла скольжения. При движении тела (крыла) на его поверхности возникает система распределенных вихрей, которые сходят с задней кромки крыла, создавая вихревую пелену. Эти вихри, возмущая поток, оказывают воздействие на крыло и создают последействие. Интегральные ядра (разностного типа) при данном подходе определяются экспериментальным путем и для многих режимов движения описываются экспоненциально убывающими функциями. Таким способом достигается выделение из общей весьма сложной задачи о взаимодействии тела и потока более частной задачи о движении тела под воздействием аэродинамических сил эредитарного типа. Уравнения, которыми описывается движение, относятся к типу интегродифференциальных уравнений Вольтерра (обыкновенных для твердого тела и в частных производных для деформируемого). Применение наряду с аналитическими численных методов [20] для решения указанной задачи приводит к хорошим практическим результатам. В работе [72] предложена модель, учитывающая нелинейные интегральные члены. Библиография работ по данному направлению (называемому аэроупругостью или аэроавтоупругостью) в значительной мере отражена в [18, 19, 21, 22]. Уравнения, которыми описывается движение тела на основе метода, предложенного С.М.Белоцерковским, являются, вообще говоря, не разрешенными относительно производных. Они могут быть разрешены в предположении, что интегральные ядра представляются дифференцируемыми функциями.

Исследование устойчивости по Ляпунову для обыкновенных интегродифференциальных уравнений типа Вольтерра, не разрешенных относительно производных, проводилось И.С.Астаповым [10]-[13]. Для линейных систем была применена теория преобразования Лапласа с целью построения характеристического уравнения, и предложен численный способ выявления условий принадлежности корней характеристического уравнения левой полуплоскости на основе критерия Михайлова. Методом интегральных неравенств для определенного класса нелинейных интегродифференциальных уравнений задачи (с линейными интегральными членами) исследована асимптотическая устойчивость по первому приближению и свойство сохранения асимптотической устойчивости при малом возмущении интегральных ядер. В диссертации задача об устойчивости движения или равновесия тела в нестационарном потоке решается для интегральных ядер, обладающих непрерывной первой производной, т.е. для интегродифференциальных уравнений в стандартной форме, разрешенной относительно производной.

Диссертация содержит б глав.

В первой главе рассматривается устойчивость по первому приближению для интегродифференциального уравнения вида (0.3), в котором ограниченные матрицы А{Ь) Е С, я) Е С заданы соответственно на множествах I, 3 и г у = - (0.10) и

Функции ^(х, ?/,£), ср(х^)^) являются голоморфными соответственно по х, у и х и непрерывными ограниченными по I в соответствующих областях В = {(х,у^) Е Б1п+к+1 : ¡|ж|| < Я, \\у\\ < НЛ> ¿о} И В' = {(ж, г) Е Ып+1 : ||:г|| < Я, t > ¿0} для некоторого Я > 0. Разложение в степенной ряд в окрестности нуля для Г(х.у1{) начинается с квадратичных членов, а для - с членов первой степени.

Для уравнения (0.3) ставится задача Коши с начальным значением = ^(¿о) = Со1(жю, ., хпо).

Как известно [66], для дифференциального уравнения исследование асимптотической устойчивости нулевого решения может быть проведено на основе первого метода Ляпунова. Этот метод может быть распространен на интегродифференциаль-ные уравнения вида (0.3). Общее решение данного уравнения в окрестности нуля можно представить в форме степенных рядов по начальным значениям жог (г = 1 ,.,п). Имеет место следующее утверждение.

Теорема 1.1

Пусть для уравнения (0.3), (0.10) с указанными выше свойствами входящих в него функций, кроме того, матрицы £(¿,5),

X(t,s) на множестве J удовлетворяют условиям:

1.1|k(t, s)|| < С ехр[—/3(i - s)], C,f3 = const > 0, (0.11)

2. \\X(t, s)|| < С exp[—a(i - s)j. a = const > 0, (0.12)

Пусть число 7 таково, что 0 < 7 < min(a, (3). Тогда

1) Зе > 0 (е < 7), 36 > 0 такие, что общее решение уравнения (0.3), (0.9) в окрестности нуля представляется рядом

ОС x(t) = ехр[—(7 - £)(t - to)} £ £ St-'H^o11-4п (0-13) т= 1 li + .+ln—m с непрерывными ограниченными коэффициентами "'/n(i), который сходится абсолютно и равномерно в области G = {^о Е

Rn ■ 1Ы1 < «5},

2) нулевое решение асимптотически (экспоненциально) устойчиво, и область G принадлежит области притяжения.

Далее в разд. 1.2 исследуется уравнение (0.3), в правой части которого добавлена аддитивно функция цФ(/j,,x,y,t), рассматриваемая как постоянно действующее возмущение. Функция Ф(//, ж, у, t) считается голоморфной по fi} х,у (ц - малый параметр) в окрестности точки ¡л = 0, х = 0, у = 0, непрерывной ограниченной по t Е I и такой, что коэффициенты разложения функции Ф(/1,0,0,£) экспоненциально стремятся к нулю при t —» +00. При сохранении условий (0.11), (0.12) доказывается теорема о возможности представления общего решения данного уравнения в виде ряда, аналогичного ряду (0.13), по степеням .х'оi и ¡1. При этом всякое решение с начальным значением из области сходимости ряда экспоненциально стремится к 0 при t —+00, и точка х = 0 устойчива при постоянно действующих возмущениях [67].

В разд. 1.3 приводится обобщение теоремы 1.1 на случай интегральных ядер K(t, 5), обладающих особенностями при t — s типа особенностей ядер Абеля. Такие интегральные ядра с особенностями используются в моделях вязкоупругости и аэроупругости.

Следующее обобщение относится к уравнению (0.3), в котором нелинейность задана голоморфной по х, г функцией F = ^(.х,^,/), зависящей от функционала 2, представимого рядом Фреше.

Доказательство всех теорем проводится методом мажорантных функций с постороением мажорирующего уравнения для ряда, который мажорирует общее решение интегродифференци-ального уравнения. На основе мажорирующих уравнений в гл.II строятся оценки области притяжения асимптотически устойчивого нулевого решения.

В разд. 1.4 приводятся два примера исследования устойчивости.

Рассмотрена задача о движении твердого тела (крыла), прикрепленного к опоре посредством материала с вязкоупругими свойствами и находящегося в потоке, совершающем нестационарное обтекание. Нестационарность обтекания учитывается в рамках модели аэроупругости [18, 21, 22]. Вязкоупругие свойства материала описываются интегральным оператором, пред-сгавимым рядом Вольтерра-Фреше. На поток могут накладываться малые возмущения. Исследуется устойчивость положения равновесия крыла, близкого к горизонтальному, и на основании теоремы 1.2 показывается устойчивость при постоянно действующих возмущениях, если имеет место устойчивость в линейном приближении для невозмущенной задачи.

Второй пример относится к устойчивости равновесия биологического сообщества, состоящего из п видов, оспаривающих одну пищу, при учете всей предыстории межвидового взаимодействия.

Модель, предложенная Вольтерра [37], описывается интегро-дифференциальным уравнением, имеющим для вектора численности видов ТУ > 0 стационарное решение А^о- Если во все моменты времени —оо < t < ¿о численности видов изменялись мало (могут рассматриваться как малые возмущения для интервала времени £ > ¿о)> то в предположениях теоремы 1.2 доказывается, что имеет место свойство притяжения и N —> ]У0 по экспоненциальному закону при £ —+ос.

Основные результаты диссертации:

1. Дано развитие первого метода Ляпунова для исследования устойчивости движений в системах, описываемых интегродиф-ференциальными уравнениями типа Вольтерра; построено общего решения таких уравнений в окрестности асимптотически устойчивого нулевого решения в форме рядов первого метода Ляпунова,

2. Разработан на основе метода мажорантных уравнений и метода мажорант Ляпунова способ оценивания области притяжения асимптотически устойчивого нулевого решения интегродиф-ференциального уравнения типа Вольтерра и на основе метода В.И.Зубова численно-аналитический способ оценивания области притяжения для автономного дифференциального уравнения.

3. Разработан метод определения постоянных Ляпунова, решающих задачу устойчивости, в критических случаях одного нулевого и пары чисто мнимых корней для интегродифференци-альных уравнений типа Вольтерра, и способ вычисления функции, дающей достаточные условия неустойчивости в критическом случае одного нулевого характеристического показателя.

4. На примере задачи о кручении вязкоупругого стержня первый метод Ляпунова прменен к исследованию систем с распределенными параметрами. Дано представление общего решения нелинейного интегродифференциального уравнения в частных производных в окрестности асимптотически устойчивого положения равновесия в форме абсолютно сходящегося ряда Фурье по продольной координате с экспоненциально стремящимися к нулю при возрастании времени коэффициентами, зависящими от коэффициентов Фурье начальных функций.

5. Проведено исследование устойчивости при постоянно действующих возмущениях, устойчивости в критических случаях в модельных задачах о вращательных движениях твердого тела и крыла с вязкоупругой опорой, самолета на горизонтальном курсе при учете нестационарности обтекания.

заключение

1. Азбелев Н.В., Максимов В.П. Уравнения с запаздывающим аргументом. // Дифференц. уравнения. Т.18. N 12. 1982. С. 2027-2050.

2. Азбелев Н.В., Вахматуллина Л.Ф. Функционально-дифференциальные уравнения. // Дифференц. уравнения. Т. 14. N 5. 1978. С. 771-797.

3. Азбелев Н.В., Максимов В.П., Рахматуллина Л.Ф. Введение в теорию функционально-дифференциальных уравнений. М.: Наука, 1991. 277 с.

4. Анапольский Л.Ю., Иртегов В.Д., Матросов В.М. Способы построения функций Ляпунова. // Общая механика. (Итоги науки и техники) Т.2. М.: Изд-во ВИНИТИ, 1975. С. 52-112.

5. Анапольский Л.Ю.,Маликов А.И. Исследование устойчивости электроэнергетических систем. // Прямой метод в теории устойчивости и его приложения. Новосибирск: Наука, 1981. 247-257.

6. Антонишин И.О. К вопросу об асимптотике нелинейного интегро-дифференциальных уравнений Вольтерра. // Асимптотич. методы в задачах мат. физ. Киев: 1988. С. 915.

7. Арут Н.Х., Дроздов А.Д., Колмановский В.Б. Устойчивость вязкоупругих тел и элементов конструкций. // Итоги науки и техники, сер. Механика деформируемого твердого тела. Т. 19. М.: Изд-во ВИНИТИ, 1987, с. 3-77.

8. Арутюнян Н.Х., Дроздов АД., Наумов В.Э. Механика растущих вязкоупругопластических тел. М.: Наука. 1987. 471 с.

9. Арутюнян Н.Х., Колмановский В. Б. Теория ползучести неоднородных тел. М.: Наука, 1983. 336 с.

10. Астапов И.С. Об устойчивости решений интегро-дифференциальных уравнений аэроупругости // Вестн. МГУ. сер. матем. механ. 1981. N 6. С. 89-95.

11. Астапов И. С. Об устойчивости решений линейных интегро-дифференциальных уравнений аэроавтоупругости // Научно-методические материалы по аэроупругости летательных аппаратов. ВВИА им. Н.Е. Жуковского. 1980. С. 42-52.

12. Астапов И.С., Белоцерковский С.М., Качапов Б.О. Кочетков Ю.А. О системах интегро-дифференциальных уравнений, описывающих неустановившееся движение тел в сплошной среде. // Дифференц. уравнения. 1982. Т. 18. N 9. с.1628-1637.

13. Астапов И.С., Белоцерковский A.C., Морозов В.И. Нелинейные тнтегро-дифференциальные уравнения аэроупругости // Изв. АН СССР. МТТ. 1985. N 6. С. 61-70.

14. Ахмаров Р.Р., Каменский М.И., Потапов A.C. и др. Теория уравнений нейтрального типа. // Итоги науки и техники, сер. математический анализ. Т. 19. М.: Изд-во ВИНИТИ, 1981. С. 55-126.

15. Ахметгалеев И.И. Устойчивость и оценка области притяжения систем, не содержащих линейной части. // Устойчивость движения. Новосибирск: Наука, 1985, С.95-100.

16. Бара Н.К. Тригонометрические ряды. М.:, Физматгиз. 1961. 936 с.

17. Беллман Р., Кук К. Дифференциально-разностные уравнения. М.: Мир, 1967. 548 с.

18. Белоцерковский С.М. Тонкая несущая поверхность в дозвуковом потоке газа. М.: Наука, 1965. 242 с.

19. Белоцерковский С.М., Волъмир A.C., Пономарев А.Т. Исследование поведения пластинок и оболочек на основе интегро-дифференциальных уравнений в нестационарной аэроупругости. // Изв. АН СССР МТТ. 1974. N 6. С. 8594.

20. Белоцерковский С.М., Лифанов И. К. Чиспенные методы в сингулярных интегральных уравнениях и их применение в аэродинамике, теории упругости, электродинамике. М.: Наука, 1985. 253 с.

21. Белоцерковский С.М., Скрипач Б.К., Табачников В.Г. Крыло в нестационарном потоке газа. М.: Наука, 1971. 767 с.

22. Белоцерковский С.М., Кочет,ков Ю.А., Красовский A.A., Новицкий В.В. Введение в аэроавтоупругость. М.: Наука, 1980. 384 с.

23. Березанский К. Б. Признаки экспоненциальной устойчивости линейных интегро-дифференциальных уравнений. // Функционально-дифференциальные уравнения. Пермь: Пермский политехи, инст. 1988. С. 66-69.

24. Букенбаев К. Б. Исследование устойчивости регулируемых систем с нелинейностью вида <р(сг) — а2. // Изв. АН Казах. ССР. сер. физ.-мат. 10 г. изд. N 1. 1972. С. 14-18.

25. Быков Я. В. О некоторых задачах теории интегро-дифференциальных уравнений. Фрунзе: Изд-во Киргиз, гос. ун-та, 1957. 327 с.

26. Быков Я. В. О некоторых вопросах качественной теории интегро-дифференциальных уравнений // Исследования по интегро-дифференциальным уравнениям в Киргизии. Фрунзе: Изд-во АН Кирг.ССР. Вып. 1. 1961. С. 3-54.

27. Былое Б.Ф., Виноград Р. Э., Гробман Д.М., Немыцкий В.В. Теория показателей Ляпунова и ее применения к вопросам устойчивости. М.: Наука, 1966. -576 с.

28. Бюшгенс Г.С., Студнев Р.В. Динамика самолета: Пространственное движение. М.: Машиностроение, 1983. 320 с.

29. Вайнберг М.М. Интегро-дифференциальные уравнения. // Итоги науки. Матем. анализ. Теор. вероятностей. Регулирование. ВИНИТИ. 1962. М.: Изд-во ВИНИТИ, 1964. С. 537.

30. Вахонина Г.С., Козлов Р.И., Маликов А.И. Алгоритмы исследования нелинейных управляемых систем методом вектор-функций Ляпунова. // Теория устойчивости и ее приложения. Новосибирск: Наука, 1979. С. 14-24.

31. Ведь Ю.А. Об асимптотических свойствах решений уравнений с последействием. // Дифференц. уравнения. Т.12. N 9. 1976. С. 1669-1682.

32. Ведь Ю.А., Искандаров С. О достаточных условиях ограниченности и устойчивости решений слабо нелинейных интегро-дифференциальных уравнений первого порядка типа Вольтерра. // Исслед. по интегро-дифференц. уравнениям. Вып. 19. 1986. С.100-112.

33. Ведь Ю.А.; Пахыров 3. Об ограниченности и устойчивости решений интегро-дифференциальных уравнений. // Дифференц. уравнения. Т.5. N 11. 1969. С. 2050-2061.

34. Ведь Ю.А., Ражапов Г. Оценки, ограниченность, стремление к нулю и устойчивость решений нелинейных интегро-дифференциальных уравнений. // Исслед. по интегро-дифференц. уравнениям в Киргтзии. Вып. 5. 1968. С.141-155.

35. Владимиров B.C. Об одном интегро-дифференциальном уравнении. // Изв. АН СССР. сер. матем. Т. 21. N 1. 1957. С. 3-32.

36. Волътерра В. Теория функционалов, интегральных и интегродифференциальных уравнений. М.: Наука, 1982. 304 с.

37. Волътерра В. Математическая теория борьбы за существование. М.: Наука, 1976. 286 с.

38. Гагаев В. Теорема существования решений интегродифференциальных уравнений. // ДАН СССР. Т.85. N 3. 1952. С. 469-472.

39. Гребеников Е.А., Рябов Ю.А. Конструктивные методы анализа нелинейных систем. И.: Наука, 1979. 431 с.

40. Громов В. Г. Динамический критерий устойчивости и за-критическое поведение гибких вязкоупругих тел при термосиловом загружении. // ДАН СССР. Т.220. N 4. 1975. С. 805-808.

41. Громов В. Г. Первый метод Ляпунова в динамической устойчивости гибких вязкоупругих тел. // ДАН СССР. Т.223. N 4. 1975. С. 819-822.

42. Громов В. Г. Об одном способе описания вязкоупругого поведения полимерных тел. // ДАН СССР Т. 173. N 2. 1967. С. 288-290.

43. Женхен О. О существовании и единственности решений интегро-дифференциальных уравнений. // ДАН СССР. Т.86. N 2, 1952. С. 229-230.

44. Женхен О. О существовании решений интегро-дифферен-циальных уравнений. // ДАН СССР. Т.91. N 6, 1953. С. 1261-1262.

45. Зубов В. И. Методы Ляпунова и их применение. Л.: Изд-во ЛГУ. 1957. 241 с.

46. Зубов В. И. Вопросы теории второго метода Ляпунова, построение общего решения в области асимптотической устойчивости. // ПММ. Т. 19. Вып. 2. 1955. С. 179-210.

47. Ильюшин A.A., Мовлянкулов X., Сунчалиев P.M., Филатов А.Н.О некоторых методах исследования нелинейных задач теории вязко-упругости. // ДАН СССР. Т. 206. N 1. 1972. С. 59-61.

48. Ильюшин A.A., Победря В.Е. Основы математической теории термовязкоупругости. М.: Наука, 1970. 280 е.; 1979. 431 с.

49. Иманалиев М.И. Колебания и устойчивость решений сингулярно-возмущенных интегро-дифференциальных систем. // Фрунзе: Илим, 1974. 352 с.

50. Иманалиев М.И. Асимптотические методы в теории сингулярно-возмущенных интегро-дифференциальных урвнений. // Фрунзе: Илим, 1972. 356 с.

51. Иманалиев М.И., Хведелидзе Б.В., Гегелия Т.Г., Бабиев A.A., Боташ.ев А.И. Интегральные уравнения // Дифферент уравнения. 1982. Т. 18. N 12. С.2050-2069.

52. Искандаров С. Асимптотическая эквивалентность систем интегро-дифференциальных уравнений типа Вольтерра. // Исслед. по интегро-дифференциальным уравнениям. Фрунзе: Вып. 12. 1979. С. 76-84.

53. Искандаров С. О методе срезывающих функций для линейного вольтеррового интегро-дифференциального уравнения второго порядка. // Исслед. по интегро-дифферен-циальным уравнениям. Вып. 24. 1992. С. 78-84.

54. Исследования по интегро-дифференциальным уравнениям в Киргтзии.// Фрунзе: Илим, Вып. 1. 1961. . Исслед. по интегро-дифференциальным уравнениям. Вып. 24. 1992. и послед, выпуски.

55. Ишлинский А.Ю. Продольные колебания стержня при наличии линейного закона последействия и релаксации. // ПММ. Т.4. Вып. 1. 1940. С.79-92.

56. Кирин Н.Е., Нелепин P.A., Байдаев В.Н. Построение области притяжения по методу Зубова. // Дифференц. уравнения. Т. 17. N 8. 1981. С. 1347-1361.

57. Кириченко Н.Ф. Некоторые задачи устойчивости и управляемости движения. Киев: Изд-во КГУ, 1972.

58. Козлов Р. И. Оценки решений и устойчивость систем сравнения. // Теория устойчивости и ее приложения. Новосибирск: Наука, 1979. С.38-49.

59. Колтунов М.А., Моргунов Б.И., Трояновский И.Е. Решение задачи Коши для системы нелинейных интегродиффе-ренциальных уравнений вязкоупругости. // Механика полимеров. N.6. 1975. С. 969-975.

60. Колтунов М.А., Моргунов Б.И., Трояновский И.Е. Постановка задачи геометрически нелинейной теории вязкоупругости. // Механика полимеров. N.2. 1975. С. 234-240.

61. Колмановский В.Б., Носов В.Р. Системы с последействием нейтрального типа. // Авт. и телемехан. N 1. 1984. С. 5-35. Колмановский В.Б., Носов В.Р. Устойчивость и периодические режимы регулируемых систем с последействием. М.: Наука, 1981. 448 с.

62. Косое A.A. Получение оценок области притяжения. // Некоторые вопросы качественной теории дифференциальных уравнений и теории управления движением. Саранск, 1983. С.139-145.

63. Курбатов В. Г. Об устойчивости функционально-дифференциальных уравнений на оси и полуоси. // Дифференц. уравнения. Т.22. N 6. 1986. С. 923-928.

64. Лика Д.К., Рябов Ю.А. Методы итераций и мажорирующее уравнение Ляпунова в теории нелинейных колебаний. Кишинев: Штиинца, 1974. 291 с.

65. Лурье А.И. Аналитическая механика. М.: Физматгиз. 1961. 824 с.

66. Ляпунов A.M. Общая задача об устойчивости движения. Собр. соч. Т.2. М.-Л.: Изд-во АН СССР, 1956. 473 с.

67. Малкин И.Г. Теория устойчивости движения. М.: Наука, 1966. 530 с.

68. Малкин И. Г. Об устойчивости систем автоматического регулирования. // ПММ. Т. 16. Вып. 4. 1952. С. 495-499.

69. Матросов В.М., Анапольский Л.Ю., Васильев С.Н. Метод сравнения в математической теории систем. Новосибирск: Наука Сиб. отд-ние., 1980. 481 с.

70. Михлин С.Г. Интегральные уравнения. М.-Л.: Гостехиздат. 1947. 304 с.

71. Моисеев H.H., Румянцев В.В. Динамика тела с полостями, содерхащими жидкость. М.: Наука, 1965. 440 с.

72. Морозов В. И. Математические модели динамики аэроупругого летательного аппарата. // Исследование авиационной техники с помощью ЭВМ. Тр. ВВИА им. Н.Е. Жуковского. 1981. Вып. 1310. С.39-57.

73. Мыш.кис А.Д. Линейные дифференциальные уравнения с запаздывающим аргументом. М.: Наука, 1972. 352 с.

74. Работное Ю.Н. Элементы наследственной механики твердых тел. М.: Наука, 1977. 383 с.

75. Работное Ю.Н. Механика деформируемого твердого тела. М.: Наука, 1988. 712 с.

76. Ражапов Г. Об асимптотических свойствах решений одного класса нелинейных интегро-дифференциальных уравнений. // Исслед. по интегро-дифференциальным уравнениям в Киргизии. Фрунзе: Вып. 4. 1967. С. 118-128.

77. Розовский М.И. Механика упруго-наследственных сред. // Итоги науки. Упругость и пластичность. 1965. М.: ВИНИТИ, 1967. С. 165-250.

78. Розовский М.И. Об интегродифференциальном уравнении распространения электромагнитных волн в среде с диэлектрической и магнитной вязкостью. // ДАН СССР. Т. ЫН. N 7. С. 605-608.

79. Розовский М.И. Приложение теории интегро-дифференци-альных уравнений к некоторым динамическим задачам теории упругости при наличии последействия. // ПММ. Т.П. Вып. 3. 1947. С. 229-338.

80. Рубаник В. П. Колебания квазилинейных систем с запаздыванием. М.: Наука, 1969. 287 с.

81. Руш Н., Абетс П., Лалуа М. Прямой метод Ляпунова в теории устойчивости. М.: Мир, 1980. 300 с.

82. Рябов Ю.А. Об оценке области применимости метода малого параметра в задачах теории нелинейных колебаний. // Инженерный журнал. Т.1 Вып. 3. 1961. С. 3-21.

83. Рябов Ю.А. Оценка области сходимости периодических рядов решений дифференциальных уравнений с малым параметром. // Докл. АН СССР. 1958. Т. 118. N 4. С. 642-645.

84. Рябов Ю.А., Хусанов Д.Х. Периодические решения интегро-дифференциального уравнения второго порядка в нерезонансном случае. // Укр. математ. журнал. 1982. Т.34. N 5. С. 644-647.

85. Сергеев B.C. Об одной оценке области асимптотической устойчивости для автономных систем уравнений. // Дифферент уравнения. Т.П. 1975. N 10. С.1832-1837.

86. Сергеев B.C. Об одном способе получения оценок областей притяжения с помощью функций Ляпунова, построенных численным методом. // ЖВМ и МФ. Т.18. 1978. N 5. С.1154-1161.

87. Сергеев B.C. Об оценке области притяжения для одного класса интегро-дифференциальных уравнений. // Устойчивость движения. Новосибирск: Наука, 1985. С.88-93.

88. Сергеев B.C. Об устойчивости стационарных состояний для одной математической модели взаимодействия популяций при учете последействия. // Доклады МОИП за 1983 г. Общая биология. М.: Изд-во МГУ, 1985.

89. Сергеев B.C. О неустойчивости решений одного класса ин-тегродифференциальных уравнений в критическом случае нулевого корня. // Задачи исследования устойчивости и стабилизации движения. М.: ВЦ АН СССР, 1985. С.54-84.

90. Сергеев B.C. К вопросу о неустойчивости в критическом случае нулевого корня для интегродифференциальных уравнений Вольтерра. // Задачи исследования устойчивости и стабилизации движения. М.: ВЦ АН СССР, 1986. С. 8692.

91. Сергеев B.C. Об устойчивости положения равновесия в одной задаче динамики твердого тела.// Задачи исследования устойчивости и стабилизации движения. М.: ВЦ АН СССР, 1986. С.35-46.

92. Сергеев B.C. Об устойчивости решений для одного класса ннтегро-дифференциальных уравнений. // Дифференц. уравнения. Т.22. 1986. N 3. С.518-523.

93. Сергеев В. С. О неустойчивости решений интегродифферен-циальных уравнений типа Волвтерра в критическом случае пары чисто мнимых корней. // Задачи исследования устойчивости и стабилизации движения. М.: ВЦ АН СССР, 1987. С.38-56.

94. Сергеев B.C. Об устойчивости решений интегро-дифферен-циальных уравнений в некоторых случаях. // Метод функций Ляпунова в анализе динамики систем. Новосибирск: Наука, 1987. С.98-105.

95. Сергеев B.C. О неустойчивости нулевого решения одного класса интегро-дифференциалвных уравнений. // Дифференц. уравнения. Т.24. 1988. N 8. С. 1443-1454.

96. Сергеев В. С. О неустойчивости решений интегродифферен-циальных уравнений в одном случае. // Задачи исследования устойчивости и стабилизации движения. М.: ВЦ АН СССР, 1988. С.67-81.

97. Сергеев B.C. Об устойчивости движения твердого тела в нестационарном потоке. // Изв. АН СССР МЖГ. 1989. N 3. С.18-22.

98. Сергеев B.C. Об устойчивости решений интегродифферен-циальных уравнений в критических случаях. // Проблемы аналитической механики, устойчивости и управления движением. Новосибирск: Наука, 1991. С.110-115.

99. Сергеев B.C. Об устойчивости решений одного класса функционально-дифференциальных уравнений. // Задачи исследования устойчивости и стабилизации движения. М.: ВЦ АН СССР, 1991. С.38-47.

100. Сергеев B.C. Об устойчивости решений одного класса инте-гродифференциальных уравнений. // Интегральные уравнения и краевые задачи математической физики. Труды Всесоюзной конференции. Владивосток 22-26 окт. 1990 г. Т.1. Владивосток: 1992. С.106-111.

101. Сергеев B.C. Об асимптотической устойчивости движения в некоторых системах с последействием. // ПММ. 1993. Т.57. Вып.5. С.166-174.

102. Сергеев B.C. О кручении вязкоупругого стержня. // Задачи исследования устойчивости и стабилизации движения. М.: ВЦ РАН, 1993. С.45-60.

103. Сергеев B.C. Об оценке области притяжения для интегро-дифференциальных уравнений Вольтерра. // Задачи исследования устойчивости и стабилизации движения. М.: ВЦ РАН, 1995. С.61-78.

104. Сергеев B.C. Об асимптотической устойчивости и оценке области притяжения в некоторых системах с последействием. // ПММ. 1996. Т.60. Вып.5. С.744-751.

105. Сергеев B.C. О неустойчивости в критическом случае пары чисто мнимых корней для одного класса систем с последействием // ПММ. 1998. Т.62. Вып.1. С.79-86.

106. Сергеев B.C. О кручении крыла. // Задачи исследования устойчивости и стабилизации движения. М.: ВЦ РАН, 1998. С.18-28.

107. Сергеев B.C. Об устойчивости равновесия вращающегося твердого тела с вязкоупругими опорами. // Задачи исследования устойчивости и стабилизации движения. М.: ВЦ РАН, 1998. С.29-44.

108. Сергеев B.C. Об асимптотической устойчивости в критических случаях для одного класса интегродифференциаль-ных уравнений. // Задачи исследования устойчивости и стабилизации движения. М.: ВЦ РАН, 1999. С.11-32.

109. Сергеев B.C. Об устойчивости в некоторых критических случаях для интегродифференциальных уравнений типа Вольтерра. // Актуальные проблемы классической и небесной механики. М.: Эльф, 1998. С. 128-137.

110. Сергеев B.C. Об устойчивости равновесия крыла в нестационарном потоке. // ПММ. 2000. Т.64. Вып.2. С. 227-236

111. Табачников В.Г. Стационарные характеристики крыльев на малых скоростях во всем диапазоне углов атаки. // Тр. ЦАГИ им. Н.Е.Жуковского. 1974. Вып. 1621. С. 79-93.

112. Тихонов А.Н. О функциональных уравнениях типа Вольтерра и их применениях к некоторым задачам математической физики. // Бюл. Московск. ун-та. Секция А. 1938. Т.71. Вып. 8. С. 1-25.

113. Трояновский И.Е. О построении периодических решений интегро-дифференциальных уравнений вязкоупругости. // Механика полимеров. N 3. 1974. 529-531.

114. Филатов А.Н. Методы усреднения в дифференциальных и интегро-дифференциальных уравнениях. Ташкент: Фан, 1971. 180 с.

115. Филатов А.Н. Асимптотические методы в теории дифференциальных и интегро-дифференциальных уравнениях. Ташкент: Фан, 1974. 216 с.

116. Фихтенгольц V.M. Курс дифференциального и интегрального исчисления. Т.З. M.-JI.: Физматгиз, 1960. 656 с.

117. Хейл Дэю. Теория функционально-дифференциальных уравнений. М.: Мир, 1984. 421 с.

118. Цалюк З.Б. Интегральные уравнения Вольтерра. // Итоги науки и техники. ВИНИТИ, сер. Матем. анализ. Т.15. М.: Изд-во ВИНИТИ, 1977.

119. Четаев Н.Г. Устойчивость движения. Работы по аналитической механике. М.: Изд-во АН СССР, 1962. 535 с.

120. Burton T.A. Volterra integral and differential equations. N.-Y.: Acad. Press. 1983.

121. Burton T.A. Stability and periodic solutions of ordinary and functional differential equations. Orlando: Acad. Press. 1985.

122. Burton T.A. Structure of solutions of Volterra equations. // SIAM Review. V. 25. N 3. 1983. P. 343-364.

123. Burton T.A. Boundedness of solutions of integrodifferential equations. // Annals of Diff. Eq. V.9. 1993. P. 395-408.

124. Burton T.A. Construction of Liapunov Fonctionals for Volterra equations. //J. Math. Anal. Applic. V. 85. 1982. P. 90-105.

125. Burton T.A., Mahfoud W.E. Stability by decompositions for Volterra equations. // Tohoku Math. J. ser.2 V. 37. N 4. 1985. P. 489-511.

126. Corduneanu C. Integral equations and stability of feedback systems. New York; London: Acad. Press. 1973. 238 p.

127. Davis H. T. The present status of integral equations. // Indiana. University stadies. V.13. N 70. 1926. P. 1-55.

128. Desch W. Miller R.K. Exponential stabilization of Volterra integrodifferential equations in Hilbert spase. //J. Diff. Eq. V.70. N.3 1987. P.457-474. P.366-389.

129. Ergen W.K. Kinetics of the circilating fuel nuclear reactor. // J. Appl. Phys. V.25. 1954. P. 702-711.

130. Fallside F., Patel M.R., Etherton M., Margolis S.G., Vogt W.G. Control Engineering Applications of V.I.Zubov's Construction Procedure for Lyapunov Functions. // JEEE Transactions on Automatic control. AC-10. N 2. 1965. P. 220222.

131. Fréchet M. Sur les fonctionnelles continues // Ann. de l'École Normale Sup. 1910. Sér. 3. T. 97. P. 193-216.

132. Grimmer R., Seifert G. Stabiliti properties of Volt erra integrodifferential equations. // J. Diff. Eq. V.19. 1975. P. 142166.

133. Grossman S.I., Miller R.K. Perturbation theory for Volterra integrodifferential systems. // J. Diff. Eq. V.8. N.3 1970. P.457-474.

134. Grossman S.I., Miller R.K. Nonlinear Volterra integrodifferential systems with L1 kernels. // J. Diff. Eq. V.13. N.3 1973. P.551-566.

135. Halanay A. Differential equations: stability, oscilations, time lags. New York; London: Akad. Press. 1966.

136. Ha,nnsgen K.B. An L1 remainder theorem for anintegrodifferential equation with asymptotically periodic solution. // Proc. Amer. Math. Soc. V.73. 1979. P. 331-337.

137. Jordan G.S. Asymptotic stability of a class of integrodifferenial system.

138. J. Diff. Eq. V. 31. 1979. P. 359-365.

139. Jordan G.S., Wheeler R.L. Structure of rezolvents of Volterra integral and integrodifferential systems // SIAM J. Math. Anal. Vol. 11. N 1. 1980. P. 119-132.

140. Jordan G.S., Wheeler R.L. Weighted L1 remainder theorems for resolvents of Volterra equations.

141. SIAM J. Math. Anal. V.ll. N 5. 1980. P. 885-900.

142. Kolmanovskii V.B., Myshkis A.D. Applied theory of functional differential equations. Dordrecht; Boston; London: Kluwer Acad. Publ., 1992. 234 p.

143. Kolmanovskii V.B., Myshkis A.D. Introduction to the theory and applications of functional differential equations. Dordrecht; Boston: Kluwer Acad. Publ., 1999. 641 p.

144. Kolmanovskii V.B., Nosov V.R. Stability of functional equations. New York; London: Acad. Press., 1986. 277 p.

145. Levin J.J. Boundedness and oscilation of some Volterra and delay equations. // J. Dif. Equations. 1969. T.5. N 2. P.369-398.

146. Lichtenstein L. Vorlesungen über einige keassen nichteinearer Integralgleichungen und integro-differentialgleichungen. Berlin. 1931.

147. Londen S. A Volterra equation with L2 solutions. // SIAM J. Math. Anal. V.18. N 1. 1987. P.168-171.

148. Margolis S.G., Vogt W.G. Control Engineering Applications of V.I.Zubov's Construction Procedure for Lyapunov Functions. // JEEE Transactions on Automatic control. AC-8. N 2. 1963. P. 104-113.

149. Miller R.K. Asymptotic stability properties of linear Volterra integro- differential equations. // J. Diff. Eq. 1971. V.10. P.485-505.

150. Miller R.K. On the linearization of Volterra integral equations. // J. Math. Anal. Appl. V.23. 1968. P. 198-208.

151. Miller R.K. Nonlinear Volterra integral equations. // Menlo Park, California: W.A.Benjamin. 1971.

152. Morchalo J. Qualitative behavior of integrodifferential systems. 11 Publ. Math. Debrecen. V. 41. N 3-4. P. 231-241.

153. Paley R.E.A.C., Wiener R.K. Fourier Transforms in the Complex Domain. // Amer. Math. Soc. Colloquium Publication. Providens. RI. 1934.

154. Seifert G. Liapunov-Rasumikhin conditions for stability and boundeness of funktional differential equations of Volterra type. // J. Diff. Eq. V.14. N 3. 1973. P.424-430.

155. Seifert G. Liapunov-Rasumikhin conditions for asymptotic stability in funktional differential equations of Volterra type. //J. Diff. Eq. V.16. 1974. P.289-297.

156. Sergeyev V.S. On the torsion of a viscoelastic rod. // Cahier du SERMA. 1996. N 14. P.92-102.

157. Volterra V. Sur les équations integro-différentielles et leurs applications// Acta Math. 1912. T.35. N 4. P. 295-354.

158. Volterra V. Leconcs sur les équations integrales et les équations integro-differentielles, professes à la faculté des sciences de Rome en 1910. Paris: Gauthier-Villars, 1913.

159. Volterra V. Theorie of functionals and of integral and integro-differential equations. London. 1931.

160. Volterra V. Leconcs sur les fonctions de lignes. Paris: Gauthier-Villar. 1913. 230 p.

161. Volterra V. Sur la theorié mathématique des phénomènes héréditaires. // J. Math. Pures Appl. ser. 9 T.7. 1928. P. 249298.

162. Volterra V. Sulle equazioni integro-differenziale délia teoria elastisitâ; Equazioni integro-differenziali délia elasticitâ nel casso dello isotropia. // Rend.Lincei. T.XVIII. 2 semestre. 1909. P.295 et 577.