Исследование некоторых классов интегродифференциальных уравнений, возникающих в теплофизике и акустике тема автореферата и диссертации по математике, 01.01.02 ВАК РФ

МОСКОВСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ УНИВЕРСИТЕТ имени М. В. ЛОМОНОСОВА МЕХАНИКО-МАТЕМАТИЧЕСКИЙ ФАКУЛЬТЕТ

На правах рукописи УДК 517.929+517.95

4854906

Раутиан Надежда Александровна

ИССЛЕДОВАНИЕ НЕКОТОРЫХ КЛАССОВ ИНТЕГРОДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫХ УРАВНЕНИЙ, ВОЗНИКАЮЩИХ В ТЕПЛОФИЗИКЕ И АКУСТИКЕ

01.01.02 - Дифференциальные уравнения, динамические системы и оптимальное управление

АВТОРЕФЕРАТ

диссертации на соискание ученой степени кандидата физико-математических наук

Москва 2011

2 9 СЕН 2011

4854906

Работа выполнена на кафедре дифференциальных уравнений механико -математического факультета Московского Государственного Университета имени М. В. Ломоносова

Научные руководители:

Официальные оппоненты:

Ведущая организация:

доктор физико-математических наук, профессор Власов Виктор Валентинович, доктор физико-математических наук, профессор Шамаев Алексей Станиславович

доктор физико-математических наук, профессор Исмагилов Раис Сальманович, доктор физико-математических наук, профессор Шкаликов Андрей Андреевич

Владимирский Государственный Гуманитарный Университет

Защита состоится 14 октября 2011 года в 1С часов 40 минут на заседании диссертационного совета Д 501.001.85 при Московском Государственном Университете имени М. В. Ломоносова по адресу: 119991, ГСП-1, Москва, Ленинские горы, МГУ имени М. В. Ломоносова, механико-математический факультет, аудитория 16-24.

С диссертацией можно ознакомиться в библиотеке Механико-математического факультета МГУ (Главное здание, 14 этаж).

Автореферат разослан 13 сентября 2011 года.

Ученый секретарь диссертационного совета Д 501.001.85 при МГУ, доктор физико-математических наук, профессор С-Г'/^ В. Н. Сорокин

Общая характеристика работы Актуальность темы.

Широкий класс: задач, возникающих в приложениях, приводит к необходимости изучения начально-краевых задач для интегродифферснциальных уравнений.

Укажем ряд задач, которые естественно приводят к необходимости исследования упомянутых интегродифферснциальных уравнений. 1. Задачи распространения тепла в средах с памятью.

В работе М. Е. Гуртина, А. С. Пипкина 1 было выведено пнтегродиф-ференцналыюе уравнение, описывающее процесс распространения тепла в средах с памятью с конечной скоростью, которое имеет вид

ии(х, t) = aAxu(t, х) + / K'(t - s)Axu{s. x)ds + f(x. t). Jo

По-видимому, после этой работы п зарубежной литературе уравнения указанного вида стали называться уравнениями Гуртина-Пипкина. Наряду с уравнениями второго порядка по временной переменной t рассматриваются и уравнения первого порядка вида

ut(x, t) = [ K(t - т)Ахи(х, т)(1т + }{х, t). J о

Уравнение такого вида изучалось в работе JI. Пандолфи 2. Уравнения указанною вида также называют уравнениями Гуртнпа-Пиикина.

В книге А. В. Лыкова 3 исследуются различные модели теплопроводности с памятью, среди которых при определенных значениях параметров возникает и модель, соответствующая уравнению Гуртина-Пипкина. В работе С. А. Иванова, Л. Пандолфи 4 изучаются вопросы управления решениями уравнения Гуртина-Пипкина с помощью граничных и распределенных воздействий.

2. Теория вязкоупругости, задачи наследственной механики.

'Gurtin М. Е., Pipkin А. С. Theory of heat, conduction with finite wave speed// Alch. Rat. Mech. Anal., 19C8, 31, p. 113-12G.

-Pandolfi L. The controllability of the Gurtin-Pipkin equations: a cosine operator approach. // Appl. Math. Optim., 2005, 32, p. 143-1G5.

3А.В.Лыков Проблема тепло- и ыассообмена — Минск,,.Наука и техника", 1970.

4Ivanov S., Pandolfi L. Heat equations with memory: lark of controllability to the rest. // Jornal of

Mathematical analysis and applications, 2009, 355. p. 1-11.

В теории вязкоупругости ядро свертки K(t) определяется в результате эксперимента. Полученные кривые нередко приближают функцией

/■00 -tr

K(t) ~ / -dn(r),

Jo Т

где положительная мера dfi с компактным носителем определяется возрастающей, непрерывной справа функцией распределения ц. Интеграл понимается в смысле Стильтьсса. Динамика одномерной вязкоупругости среды описывается следующим уравнением второго порядка по временной переменной t

putt = ки хх + РЩхх "Ь I К (t т)ихх(х. т)йт + f(x, t). Jo

Последнее уравнение интегрированием по t может быть преобразовано в уравнение, аналогичное уравнению Гуртина-Пипкипа с дополнительным слагаемым ¡5ихх. Это слагаемое соответствует в исходной модели мгновенному трению Кельвипа-Фойгхта.

3. Теория силыюнеоднородных сред. Теория усреднения.

В теории силыюнеоднородпых сред уравнение Гуртина-Пипкипа возникает в результате процедуры усреднения двухфазной среды, состоящей из двух жидкостей. Предполагается, что смесь имеет периодическую структуру (модельный случай) и линейные размеры одной ячейки периодичности равны по величине е, где г - малый параметр. Предельный переход при ечОв краевых задачах для описанной выше двухфазной среды исследован в книге Э. Санчес. Паленсия 0 (см. также работы В. В. Жикова с и Г. В. Сандракова '). В результате предельного перехода при £ —> 0 в решении указанной краевой задачи для двухфазной среды получается уравнение на предельное звуковое давление. Это уравнение имеет вид

Pt= d\vD(t)Vxp(x,T)dT, х = (х1,х2,хз),

Jo

где D{t) - так называемая „динамическая матрица Дарси", коэффициенты которой dij(t) - функции времени, представляющие собой сходящиеся ряды

"'Санчес. Паленсия Э. Неоднородные среда и теория колебаний. — М., ,.Мнр", 1984. •Жиков D. В. Об одном расширении и применении метода двухмасштабпой сходимости// Математический сборник., 2000, 191:7, с. 31-72.

7С'андраков Г. В. Многофазные осреднеиные модели диффузии дта задач с несколькими параметрами// Известия РАН. Серия математическая, 2007, 71:0, с. 119-172.

экспонент с положительными коэффициентами

ос к=1

Если включение одной фазы в другую в пределах одной ячейки периодичности обладает полной симметрией (т.е. оно симметрично относительно трех взаимно-перпендикулярных плоскостей симметрии в трехмерном случае), то матрица £)(£) является диагональной матрицей и определяется одним диагональным элементом с/(£), для которого имеет место представление

ос

и*

Если рассматривать только однородные движения для усредненной (эффективной) среды (все неизвестные функции зависят от одной пространственной переменной £1), то уравнение для звукового давления примет вид уравнения Гуртина-Пипкина, причем

оо

т^-е^ + со,

где (а это имеет существенное значение для анализа собственных колебаний рассматриваемой е[х\цы)

00 30

Ес* = °°- (!)

А=1 к=1

Последние два условия означают, что величина К{0) конечна, но производная К'{Ь) имеет особенность в точке £ = 0 (/£"'(<) £ 1х(К+)). Эти условия могут быть доказаны строго, с помощью методов теории усреднения (см., например, книгу Э. Санчее. Палснсия 5).

Если бы микроструктура смеси жидкостей имела бы непрерывную плотность из пространства И7/ (т.е. смесь не имела бы резких границ между фазами), то были бы выполнены условия

00 оо

£5<00' £с*<00' (2)

*=1 т к=1

что соответствует конечности величин К{0) и ЛГ'(0)(т.е. К'{{) 6 И/11(К+)). Подробное изложение этого круга вопросов содержится в работе Д. А. Космодемьянского и А. С. Шамасва 8. В диссертации показано, какое значение имеет выполнение условий конечности (или бесконечности) [¡ели-чины К'(0) для качественного анализа спектральных свойств уравнения Гуртина-Пипкина.

Здесь необходимо отмстить работы В. В. Жикова. 6' в которых проведено подробное исследование близких задач для интегродифференциаль-пых уравнений, главная часть которых представляет собой параболическое уравнение.

4. Кинетическая теория газов.

Уравнения, по структуре и свойствам напоминающие исследуемое в настоящей работе уравнение Гуртина-Пнпкнна, возникают в кинетической теории газов. В кинетической теории газов уравнения сплошной среды выводятся нз законов попарного взаимодействия молекул. Из уравнения Больцмана с помощью метода Грэди можно вывести цепочку уравнений для моментов. Моменты - это усреднения функции распределения молекул по координатам и скоростям по переменным скорости с определенными весами. В частности, обычные компоненты системы Навьс-Стокса - скорость, давление, плотность (как функции пространственных переменных и времени) - могут быть представлены как моменты в цепочке моментпых уравнений.

Уравнение Навье-Стокса может быть получено из моментной системы с помощью процедуры, описанной в работе В. В. Палина, Е. В. Радкевича 10. Применение указанной процедуры приводит к системе типа Навье-Стокса с интегральными членами тина свертки. В качестве модельного примера приведем уравнение

^ + ие (ие)'х = е Г \ • е-^ац&Ог, т)с1т.

от Jo £

При отбрасывании нелинейного члена последнее уравнение совпадает с исследуемым в данной работе уравнением Гуртина-Пипкина. В более общих случаях аналогичная система для консервативных переменных будет

'Космодемьянский Д. А., Шамаев А. С. О некоторых гпекральпых задачах в пористых средах,

насыщенных жидкостью // Современная математика. Фундаментальные направления, 2006, 17, с. 88-

109.

9Жиков В. В. О двухмасштабной сходимости // Труды семинара им. И. Г. Петровского, 2003, вып. 23. М., „МГУ, с. 149-187.

'"Палил В. В., Радкевич Е. В. Законы сохранения и их гиперболическое регуляризации // Современные проблемы математики и механики, 2009, 5:1, Дифференциальные уравнения, с. 88-115.

сложнее, однако по своим свойствам она напомииаст уравнение Гуртипа-Пиикина.

Основное внимание в диссертации уделено вопросам корректной разрешимости ннтегродифференциальных уравнений, а также спектральным вопросам, включающим в себя исследование оператор-функций, являющихся символами (аналогами характеристических многочленов), рассматриваемых иитегродифференциальпых уравнений. В связи с этим, естественней и удобнее рассматривать иптегродифференциальные уравнения с операторными коэффициентами в гильбертовом пространстве (абстрактные иптегродифференциальные уравнения), которые при необходимости могут быть реализованы как иптегродифференциальные уравнения с частными производными но пространственным переменным. Самосопряженный положительный оператор А, фигурирующий в дальнейшем, может быть реализован, в частности, как А2у = -у"(х), где х 6 (0,тг), у(0) = у(ж) = О, либо как А2у — -Ау с условиями Дирихле в ограниченной области с гладкой границей. Также, возможен случай Ау = —у"(х), где х € (0,7г), !/(0) = У(п) = или Ау = —Ау с условиями Дирихле в ограниченной области с гладкой границей.

В настоящее время имеется множество работ, посвященных изучению вопросов разрешимости и асимптотического поведения решений ннтегродифференциальных уравнений в банаховых и, в частности, и гильбертовых пространствах. Отмстим, что изучение интегродифференциаль-ных уравнений с операторными коэффициентами в этих пространствах является естественным развитием теории операторпо-дифференциальпых уравнений и тесно связано с теорией полугрупп, берущих свое начало с работ Т. Като, Э. Хилле, Р. Филлипса, С. Г. Крейпа, а также нашедших отражение в недавней монографии К. Енгела и Р. Г. Найгела.

В дальнейшем, исследования дифференциальных уравнений с неограниченными операторными коэффициентами были продолжены в работах ряда авторов. Ограничимся здесь упоминанием работ С.Агмона и Л. НирСпберга 11 и А. А. Шпаликова 12 (см. также указанную в них библиографию).

Изучение иитегродифференциальпых уравнений с операторными коэффициентами естественно приводит к исследованию оператор-функций, яв-

"Agmon S., Nirenberg L. Properties of solutions of ordinary differential equations in Banaeh Space// Pure and Appl. Math, 19G3, 16, p. 121-239.

'-'Шкаликов А. А. Эллиптические уравнения в гильбертовом пространстве и спектральные задачи, связанные с ггнми// Тр. семиа. им. И. Г. Петровского, 1989, 14, с. 140-224.

ляющихся символами (аналогами характеристических многочленов) указанных уравнений.

Изучением иптегродифференциальных уравнений, главной частью которых является абстрактное параболическое уравнение, занимались многие авторы. Ограничимся здесь упоминанием наиболее близких к предмету рассмотрения работ В. В. Власова 13 14, Я. Прюсса 15, Дж. By 15(см., также указанную в них библиографию).

Значительно меньше работ, посвященных интегродифференциальным уравнениям, главной частью которых является абстрактное волновое уравнение. Наиболее близкими к предмету рассмотрения являются работы В. Дэша и Р. К. Миллера 17, Н. Д. Копачевского и С. Г. Крейна 18, А. И. Милославского 19, В. В. Власова и Дж. By20.

Цель работы.

- Получить результаты о корректной разрешимости начально-краевых задач для некоторых классов интегродифференциальных уравнений с неограниченными операторными коэффициентами в гильбертовом пространстве, возникающих в приложениях.

- Провести спектральный анализ оператор-функций, являющихся символами рассматриваемых уравнений. Исследовать асимптотику комплексной части спектра, в зависимости от свойств ядер рассматриваемых интегродифференциальных уравнений.

- Получить результаты о представлении сильных решений интегродифференциальных уравнений в виде сумм рядов по экспонентам, отвеча-

"Власов В. В. О разрешимости и свойствах решений функционально-дифференциальных уравнений в гильбертовом пространство // .Математический сборник, 1995, 180:8, с. 07-92.

14Власов В. В., Медведев Д. А. Фуикщюшлшо-дифферешщальныс уравнения в пространствах Соболева и связанные с ними вопросы спектральной теории // Современная математика. Фундаментальные направления. 2008, 30, с. 3-173.

'•'Priiss J. Evolutionary Integral Equations amd Applications// Monographs in Mathematics. 1993, 87, Birkhauser Verlag. Basnl-Baston-Berlin.

16 Wu J. Theory and applications of partial functional differential equations, Xeu' York: Springer, 199G. (Appl. Math. Sci"; 119).

"Desch VV\, Miller R. K. Exponential stabilization of Volterra Intcgrodiffercntial equations in Hilbert space ,// J. Differential Equations, 1987, 70, p. 300-389.

18Копачевский H. Д., Крейн С. Г. Operator approach to Linear // Problems of Hydrodynamics. Vol. 2. Nonself adjoint Problems for Viscous Fluids, Berlin: Basel-Boston, 2003.

"Мнлославский A. II. Спектральные свойства операторного пучка, возникающего в вязкоупругости // Депонировано в Укр. Н1ШНТН. 13.07.87., № 1229-УК87. Харьков, 1987, С. 53.

20Власов В. В., By Дж. Спектральный анализ и разрешимость абстрактных гиперболических .уравнений с последействием // Дифференциальные уравнения, 2009, 45(4), с. 524-533.

ющим точкам спектра указанных оператор-функций. На этой основе получить результаты о структуре и асимптотических свойствах решений изучаемых интегродифференцналышх уравнений.

Методика исследования.

В работе применяются методы функционального и комплексного анализа, а также методы теории дифференциальных уравнений в частных производных.

Научная новизна.

В диссертации получены новые результаты, основные из них состоят в следующем:

1) Получены новые результаты о корректной разрешимости начально-краевых задач в пространствах Соболева вектор-функций на положительной полуоси для интегродифференциальпых уравнений первого и второго порядка, по временной переменной, включающих в себя задачи с трением Кельвина-Фойгхта.

2) Проведен спектральный анализ оператор-функций, являющихся символами интегродифферепциальных уравнений: установлена общая структура спектра, получены асимптотики вещественной и комплексной частей спектра указанных оператор-функций. Изучена зависимость локализации спектра от свойств ядер интегральных операторов, входящих в изучаемые уравнения.

3) Получены результаты о представлении решений в виде сумм рядов по экспонентам, отвечающим точкам спектра оператор-функций, являющихся символами изучаемых уравнений. На основе этого изучены асимптотические свойства решений упомянутых уравнений.

Теоретическая и практическая ценность.

Работа носит теоретический характер. Результаты работы могут быть полезны как специалистам, работающим в области дифференциальных уравнений в частных производных и функционального анализа, так и в исследованиях прикладного характера.

Апробация работы.

Результаты диссертации были доложены па следующих научных семинарах:

• семинар "Асимптотические методы для уравнений математической физики" кафедры дифференциальных уравнений механико-математического факультета МГУ под руководством проф. В. В. Жи-кова, проф. Е. В. Радкевича, проф. А. С. Шамаева, проф. Т. А. Шапошниковой (2009-2011 гг., неоднократно);

• семинар "Интегродифферепциальпые и функциопальио-днфферепциальные уравнения и их спектральный анализ" кафедры математического анализа механико-математического факультета МГУ под руководством проф. В. В. Власова, проф. А. С. Шамаева (2009-2011 гг., неоднократно);

• семинар "Операторные модели в задачах математической физики" кафедры теории функций и функционального анализа механпко-математичесжого факультета МГУ под руководством проф. А. А. Шкаликова (2009-2011 гг., неоднократно);

• семинар по теории функций кафедры теории функций и функционального анализа механико-математического факультета МГУ под руководством проф., чл.-корр. РАН Б. С. Кашина, проф. Б. И. Голубова, проф. М. И. Дьяченко, проф. С. В. Конягшт (2011 г.);

• семинар "Негармонический анализ" кафедры математического анализа механико-математического факультета МГУ под руководством проф. А. М. Ссдлецкого (2011 г.).

• семинар по дифференциальным уравнениям в частных производных МИРАН им. В. А. Стеклова под руководством проф. В. П. Михайлова и проф. А. К. Гущина (2011 г.).

Результаты диссертации были доложены также на следующих научных конференциях:

• Международная конференция по дифференциальным уравнениям и динамическим системам (Суздаль, 2010);

• Международная конференция „Качественная теория дифференциальных уравнений и приложения" (Москва, МЭСИ, 2010);

• Международная конференция „Актуальные направления развития прикладной математики в энергетике, энергоэффективности и информационно-коммуннкацшлшых технологиях", посвященная 180-летию МГТУ им. Н. Э. Баумана (Москва, МГТУ);

• Воронежская зимняя математическая школа „Современные методы теории функций и смежные проблемы" (Воронеж, 2011);

• Международная конференция „Дифференциальные уравнения и смежные вопросы", посвященная памяти И. Г. Петровского (Москва, МГУ, 2011).

Публикации.

Результаты диссертации опубликованы в 9 работах автора, 3 из которых опубликованы в изданиях, рекомендованных ВАК.

Структура и объем диссертации.

Диссертация состоит из сведения и трех глав, разделенных в общей сложности на 9 параграфов и списка литературы. Объем диссертации составляет 121 страницу. Список цитированной литературы включает 62 наименования.

Определения и обозначения. Постановка задач.

Пусть Я - сепарабслыюе гильбертово пространство, А - самосопряженный положительный оператор, действующий в пространстве Н, имеющий компактный обратный. Превратим область определения Dom(A^) оператора А*3, Р > 0 в гильбертово пространство Нц. введя на Dom{AB) норму II ' 11/3 = 1И" " IL эквивалентную норме графика оператора А8.

Обозначим {еп}^=1 - ортонормированпый базис, составленный из собственных векторов оператора А, отвечающих собственным значениям ап: Аеп = апеп, п € N . Собственные значения ап упорядочены по возрастанию с учетом кратности: 0 < ai ^ а2 ^ ...; а„ +оо при п +оо. В дальнейшем будет использоваться следующее обозначение:

«<"'(') »EN.

Через (R+, Л") обозначим пространство Соболева вектор-функций на полуоси R+ = (0, оо) со значениями в Н, снабженное нормой

IMI= (||и(п)^||1 + 1ИП«(«)Пя) dty\ 7 > 0.

При п = 0 полагаем W2°7 (R+, = £2)7 (R+, Н), при 7 = 0 будем писать Що = И?.

Обозначим С ([о, Ь], Л»3), 0 < а < Ь < +оо, пространство непрерывных вектор-функций па сегменте [о, 6] со значениями в Hi), снабженное нормой

иоНссм.а") = sup \ш\н,,

t£{a.b]

если b = -foo, то С ([а, Ь], обозначает пространство непрерывных ограниченных на полуоси [а. +оо) вектор-функций со значениями в IIд. При В = 0 полагаем

Подробнее о пространствах W2"7 (R+, Ап) н С ([а, 6], А0) см. гл. I монографии Ж. П. Лионса и Э. Мадженееа 21.

На полуоси R+ = (0, оо) рассмотрим следующую задачу для интегро-дифференциального уравнения первого порядка:

-С K{t - s)A2v{s)ds = q{t), t e R+, (3)

at Jo

w(+0) = ifa. (4)

При этом предполагается, что скалярная функция K(t) допускает представление

ос

т = (5)

.7=1 Ъ

где числа с,- > 0, 7y+i > 7j > 0, j € N, 7j -> +00 (j -¥ +00) и выполнено условие

К( 0) = f^<oo. (6)

Наряду с задачей (3), (4) рассмотрим следующую задачу для интегро диффоренциалыюго уравнения вто1Юго порядка:

+ K(0)A2u{t) + f K^{t-s)A2u{s)ds = f[t), te R+, (7) dtг Jo

21 Лионе Ж. П., Маджеисс Э. Неоднородные граничные задачи и их приложения. М., 1971.

и(+0) = 1ро, и(1>(+0) = р,. (8)

Если /(£) = = 1р0 и = ?(0), то задача (7), (8) получается из

задачи (3), (4) дифференцированием по переменной

Из условия (0), в рассматриваемом случае, вытекает, что функция К'{Ь) е Если к условию (б) добавить условие

00

£С><+оо, (9)

3=1

то функция К'{Ь) будет принадлежать пространству 1У11(К+).

Определение 1 Вектор - функцию у назовем сильным решением .задачи (3). (4), если она принадлежит пространству Ж,17(К+,Л2) для некоторого 7 ^ 0, удовлетворяет уравнению (3) почти всюду на полуоси а также начальному условию (4).

Определение 2 Вектор - функцию и назовем сильным решением задачи (7), (8), пели она принадлежит пространству 1У227(Е+, А2) для некоторого 7 ^ 0, удовлетворяет уравнению (7) почти ваоду на полуоси К+, а также начальным условиям (8).

Рассмотрим оператор-фуикцию

¿(Л) := Л2/ + ХК(Х)А2, (Ю)

где

оо

^ 7а(А + Ъ)

преобразование Лапласа функции К({), I - единичный оператор, действующий в пространстве Н. Заметим, что оператор-функция ЦА) является символом (аналогом характеристического полинома) уравнения (7), а оператор-функция А_1£(А) является символом уравнения (3).

На полуоси К+ = (0, оо) рассмотрим также следующую задачу для ин-тегроднфференциалыюго уравнения первого порядка:

(1у(£) Р*

-^- + аА2уЦ) + у X{Ь - = <?(*), Ь е М+ (11)

v(+0) = ф0 (12)

где параметр а > 0. Предполагается, что скалярная функция Ж{1) допускает представление

Г—ф(г), (13)

7о Т

где ¿(1 - положительная мера, которой соответствует возрастающая, непрерывная справа функция распределения ¡1. Интеграл понимается в смысле Стильтьсса. Мы предполагаем, что выполнено следующее условие:

«1><00, (14)

/

Jo

где носитель ¡1 принадлежит интервалу (¿о,+оо), (¿о > 0.

Наряду с задачей (11), (12) рассмотрим следующую задачу для интс-гродифферсициального уравнения второго порядка:

+ + )А2и{1)+ Г - з)А2и(з)с1з = т, í € К+

<и1 ш.

(15)

и(+0) = щ, и^{+0) = ч>и (16)

где параметр а > 0. Слагаемое ссЛ2«'1^) соответствует мгновенному трению Ксльвина-Фойгхта.

Символом уравнения (15) является оператор-функция

Краткое содержание диссертации.

Диссертация состоит из трех глав. Первая глава посвящена вопросам корректной разрешимости задач (3), (4) и (7), (8), а также (11), (12) и (15), (16) в весовых пространствах Соболева. Доказаны следующие результаты. Теорема 1 Пусть вектор-функция Aq^(t) € ¿2,71 (К+, Я) при некотором 71 > 0, д(0) = 0 и выполнено условие (6). Тогда, 1) если выполнено условие (9) и ^о £ Я2, то для любого 7 > 71 задача (3), (4) однозначно разрешима в пространстве И^ (К+, А2) и для ее решения справедлива оценка

1Мкт(«+,^> ^ (|И'С + ИМОНя) л):1/2 <

с постоянной <1, не. зависящей от вектор-функции ц и вектора фа; 2) если условие (9) не выполнено и ■фа £ Яз, то для любого 7 > 71 задача (3), (4) однозначно разрешима в пространстве. (К+.Л2) и для ее решения сщшнсдлиоп оценка

(И^Ц^+п^Ч (18)

с постоянной (I, не зависящей от вс.ктор-фуикции </ и вектора ф0.

Для задачи (7), (8) справедлив следующий результат о корректной разрешимости.

Теорема 2 Пусть вектор-функция А/(£) ё ¿2.72 (®+> Н) или

/(1)(*) е

¿2Л2(К+,Я), /(0) = 0 при некотором 72 > 0 и выполнено условие (6). Тогда.

1) сели выполнено условие (9) и ц>о € Н2, !~р\ € Н\, то для любого 7 > 72 задача (7). (8) однозначно разрешима в пространстве И/227 (Е+, Л2) и для ее решения справедлива оценка

(19)

с постоянной (I, не зависящей от вектор-функции / и векторов фа и

2) если условие (9) не выполнено и фо € Яз. £ Я2, то для любого 7 > 72 задача (7). (8) однозначно разрешима в пространстве И^ (К+, А2) и для е.е решения справедлива оценка

1М1»?л(к+,л') < <* (|И/1кт(К+!я, + \\А3'М\Н + \\А^\\И) (20)

с постоянной ¿, не зависящей от вектор-функции / и векторов ф0 и

Если 6 ¿2.72 (®-н Н) пРи некотором 72 ^ 0 и /(0) = 0. то оцен-

ки (19) и (20) остаются справедливыми, если величину щ

заменить па ||/(1)(<)||^ 1(к+,я)-

Перейдем к задаче (11), (12).

Теорема 3 Пусть вектор-функция д(£) 6 ¿2.71 (К+. Я) при некотором 71 ^ 0, 1/>о € Я1 и выполнено условие (14). Гогс)а для любого 7 > 71 существует единственная вектор-функция и({) £ (К+, Л2), которая

удовлетворяет уравнению (11) почти всюду на полуоси и начальному условию (12). Кроме того, справедлива оценка

Мъм - (Ге~27' (1ИС + 1ММ<) л)1/2 <

^ л (||?(011£2,1(к+,Я) + иМн). (21)

с постоянной <1, не зависящей от вектор-функции г/ и вектора ф0.

В свою очередь, для задачи (15), (16) справедлива следующая теорема.

Теорема 4 Пусть вектор-функция /(£) е ¿2,72 (К+, #) при некотором 72 > 0, ;р0 6 Нз, :.р1 е III и выполнено условие (14). Тогда для любого 7 > 72 существует единственная вектор-функция и(£) б 1У227 (М+, А2), такая, что € Ьг,-, Н), которая удовлетворяет уравнению

(15) почти всюду па полуоси К+ и начальному условию (16). Кроме того, справедлива оценка

< Л (|1/(«)11^(К+,я) + ||А*|1я + ||А^||я) , (22)

с постоянной й, не .зависящей от вектор-функции / и векторов щ и 1р\.

Следует обратить внимание на то, что наш метод доказательства теорем о корректной разрешимости начально-краевых задач для абстрактного уравнения Гуртина-Пипкина (теоремы 1, 2), существенно отличается от подхода, использованного Л. Пандолфи в работе2. Л. Пандолфи изучает разрешимость в функциональных пространствах непрерывных функций, заданных на конечном интервале (0. Т) по временной переменной £, в то время как в диссертации разрешимость изучается в весовых пространствах Соболева Ап) на полуоси К+. Кроме того, ядро свертки в работах

Л. Пандолфи предполагается гладким. В диссертации рассмотрен также случай, когда ядро свертки имеет особенность в пуле, что существенно для приложений к задачам механики.

Отметим, что результаты, близкие к утверждению теоремы 3, приведены в работах13,14.

Исследованием задач для дифференциальных и ннтогродифференци-альных уравнений с неограниченными операторными коэффициентами (со

слагаемым, соответствующим мгновенному трению Кельвнна-Фойгхта) занимались многие авторы. Ограничимся здесь упоминанием работ А. И. Милосласского22, а также Р. О. Гршшва и А. А. Шкаликова23, в которых исследовались указанные задачи (без интегральных слагаемых) для абстрактных дифференциальных уравнений, и работы А. И. Милославского 24, в которой рассмотрены иитсгродифферснциальпые уравнения.

При доказательстве теорем 1-4 о разрешимости существенно используются полученные в работе оценки оператор-функций ¿_1(А), а также структура пространств W2"7(R+, Л"), Ю и теорема Пэли-Випера.

Вторая глава посвящена спектральному анализу иитегродифференци-альных уравнений вида (3) и (7), в предположении, что выполнено условие

supЫЫ+i ~Ъ)} = +оо, (23)

fee N

При этом предполагается, что собственные значения оператора А удовлетворяют строгим неравенствам 0 < «i < ft2 < ... < ап...\ ап —» +оо при п —» +00.

Рассмотрим сужение /П(А) := (L(X)en, еп) = А2 + а\ХК[Х) оператор-функции ¿(А) на одномерное подпространство, натянутое на вектор е„, где Аеп = апеп, п € N, ап —> +оо при п —» +оо. Таким образом, получаем счетный набор мероморфпых функций 1п (А), п в N.

Доказаны следующие результаты.

Теорема 5 Пусть выполнены условия (6) и (23). Тогда спектр оператор-функции L(А) совпадает с замыканием объединения множества нулей функций. {in(A)}^Li, т. е. представим в виде

(ос ос \ / ^с \

ииЧи и^ > (24)

n=lfc=0 / \п=1 /

где Ао.п = О, {А*п | к 6 N, п 6 N} - счетная серия действительных нулей, a AjJ, Aj = А^ - пара комплексно-сопряженных нулей мезоморфной

22Милославский А. И. Об устойчивости некоторых классов эволюционных уравнений// Сиб. матем. журнал, 19S5, 20, с. 118-132.

23Гршшв Р. О., Шкаликов А. А. О пучке операторов, возникающем в задаче о колебаниях стержня с внутренним трением/'/Матем. заметки, 1994, 56(2), с. 114-131

2,.\1нлославский А. И. О спектре неустойчивости операторного пучка // Математические заыеткп, 1991, 49(4), с.88-94

функции /П(А). Кроме того, действительные нули Хк.п удовлетворяют неравенствам

- 7k+i < Хк,п <%к< -7к < - < -7i < 0, к € N,

(25)

гс?е Хк - действительные, нули функции К(А), причем , \k n = Xk+O . ап +оо и Re А* < О.

Следующие теоремы представляют асимптотику комплексной части спектра оператор-функции L(А), в зависимости от свойств ядра. K(t). Рассмотрим сначала случай, когда K'(t) S W{(R+).

Теорема 6 Пусть выполнеиыусловия (б), (9) и (23). Тогда комплексно-сопряженные нули А*, А+ = мероморфной функции 1п(А) асимптотически представимы в следующем oxide:

Ai = ±,-(V^(0).an + O(i))_-J_gC|t+o^I ап —> +оо. (26)

Распределение точек спектра оператор-функции L(А) на комплексной плоскости А, подставленное формулами (25) (26), приведено на Рис.1., где ¡3 = -Щ.

1 к ImA,

/ I* 1

1 • R 1

ГТ, ...i2 V •

Vм / к. 1 • 1 1 • 1 1 • 1 1 0 ReX,

Рис. 1: Спектральная структура в случае, когда K'(t) е H'^R+J.

Приведем результат о распределении нулей функции /П(А) в случае, когда ядро K(t) представимо в виде конечного числа экспонент. Рассмотрим функцию

U-(A):=A2 + a2AÄ-A-(A), (27)

где

Этот результат представляет интерес, так как в случае выполнения условий (6) и (9) асимптотика нулей функции ¿„(А) может быть получена из асимптотики нулей функции i„,jv(A) предельным переходом при N —> +оо.

Лемма 1 Нули мероморфпой функции Zn,J\r(А) представляют собой серию действительных нулей {цо<п = 0, Цк.п |fc = 1,2,..., N,n€ N}, удовлетворяющих неравенствам

■ ■■-Ik+i < MJt.n < Vk < ~lk < - < -7i < 0, k = l,2,...,N, (28)

где yk - действительные нули функции Kn(\), причем р^п = ук+О >

а также пару комплексно-сопряженных нулей ßn = Рп> асимптотически представимых в виде

1 Л / 1 \ = ±1 (y/KN(0) ■ ап + 0(1)) - + а» ">+«>,

(29)

где Reßn <

Теперь рассмотрим более сложный случай, когда K'(t) 6 ¿i(E+), по

K'(t) i И?(И4

Теорема 7 Пусть выполнены, условия (С) и (23), а условие (9) не выполнено. Тогда комплскспо-сопряжснных нули А*, AJ = А~ мероморфпой функции 1п(Х) асимптотически предепшвимы в следующем виде:

\± = ±1Щск}.,Ш)ап + Ф{ап,ск,1к), к£ N (30)

где 9(Ы,Ы) ~ некоторая положлипельная постоянная, зависящая от последовательностей {ct}^=1, {fkjkLi, 11еФ(аП; ck, jk) = 0(ап), 1тФ(ап. ck,jk) = о(ап) при ап —► +оо, причем lim НеФ(а„, ck.^k) = —оо.

ап—

При наличии дополнительной информации о последовательностях {с*} и ы можно получить асимптотические формулы для комплексной части спектра оператор-функции L{\). Следующая теорема представляет асимптотику А* при ап +оо, в случае, когда не выполнено условие (9), а последовательности {с^}^ и {-7fc}fcli имеют следующее представление

7* = тв + о (к0-1),

при к ->■ +00, где ск > 0, -ук+1 > > 0. к е N, константы л/ > 0, Зё > О, О < а < 1, а + /3 > 1. Заметим, что при сделанных предположениях выполнено условие (6).

Теорема 8 Пусть выполнено 'условие (23). Тогда комплскспо-сопряокенпыс пули А+ = Л~ функции ЦХ) асимптотически предстаоимы в виде

(32)

А± = ±гу/Ш ■ ап - ——^——oi-r + 0(1), \ <r < 1,

1 ^ (33) = + если г = 1, (34)

при п +00, где. г := а —i, константа D зависит от г и определяется следующим образом:

Замечание. В случае ck = jk = к0, ап - п асимптотика комплексных нулей А* получена в работе 23.

Расп{)еделепие точек спектра оператор-функции ¿(А) на комплексной плоскости А, представленное формулами (25) (30), приведено на Рис.2.

2jIwmov S. A. 'Wave type' spectrum of the Gurtm-Pipkin equation of the second order //

arXiv;http://arxiv.org/abs/1002.283l.

• • • A± • • —oo <_ X2 • . ImA

• • t • • • 0 Re A

Рис. 2: Спектральная структура п случае, когда K'(t) е Li(R+), но K'(i) $ И/11(Е+).

Спектральный анализ оператор-функций, являющихся символами рассматриваемых интегродифференциальных уравнений, проводился в работах19,20, в случае, когда ядро K(t) является линейной комбинацией (конечной суммой) убывающих экспонент с положительными коэффициентами.

Замечание. Для меры d/i с компактным носителем и ядра вида

rd 1 e-tT

Jf(i)=/ -с1ц{т), 0 < do < di < +00.

Jdg Т

А. И. Еременко и С. А. Ивановым в работе20 показано, что спектр оператор-функции Jz?(A) содержит лишь конечное число комплексных собственных значений.

Третья глава диссертации посвящена представлению решения задачи (7), (8) в виде рядов и изучению сходимости этих рядов в весовых пространствах Соболева. Доказаны следующие {жзультаты.

Теорема 9 Пусть f(t) = 0 при t £ R+, вектор-функция u(t) € W27 (R+, Л2), 7 > 0 является сильным решением задачи (7). (8) и выполнены условия (б), (23). Тогда, для любого t € М+ решение u(t) .задачи

A. Ero.incnko, S.Ivanov. Spectra of the Gurtm-Pipkin type equations /7 SIAM. Journal on Mathematical Analysis, (accepted)

(7), (8) представимо в виде суммы ряда u(t) = -i- V + Л"'^ еЛ"<6га 4- —L V^ + КУОть) eKten

л.) r<3e)

сходящегося по норме пространства Я, где Ak.n - действительные нули меролюрфной функции ln(А), удовлетворяющие неравенствам (25), А^ -пара комплексио-сопряоюенпых нулей, А+ = А~, асимптотически пред-ставимых в виде (26), если выполнено условие (9), или в виде (30), если условие (9) не выполнено.

Теорема 10 Пусть выполнены условия теоремы 9 и (fio 6 Н2, <pi € Ну. Тогда ряд, полученный из (36) р-кратным почленным дифферсицироваии-ш по t при р = 0,1,2, сходится в пространстве Яг-Р равномерно по t на любом отрезке [t0, Т), где 0 < t0 < Т < +оо. При этом, для всех t € [í0, Т] справедливы оценки

2

£«#>(«)«» ^(lIMf+IHVoll2), Р = 0,1,2,

с константой d, не зависящей от вектор-функций ipi и ipo-

Кроме того, в случае конечного числа слагаемых в (5) (т.е. Cj — 0 для j > N, N 6 Nj, можно положить to — 0.

Теорема 11 Пусть вектор-функция f(t) е С([0,Т),#) для любого Т > О, вектор-функция u(t) € W22л (К+, Á2) при некотором 7 > 0 является сильным решением задачи (7), (8) и выполнены условия (6), (23), ср0 = <Pi = 0. Тогда для любого t G R+ решение u(t) задачи (7), (8) представимо в виде суммы ряда

^ ос ^ ос / ос \

= ^ Е л»£ "»вл"£ (Е ) еп.

(37)

сходящегося по норме пространства Я, гЛ?

Jfn{T)e^dr ujn(t, А) = —

dn(A)

Теорема 12 Пусть вектор- функция /(«) 6 И^. (К+,А) при некотором 7* > 0, вектор-функция и(Ь) € Л2), 7 > 7* является сильным

решением задачи (7), (8) м выполнены условия (6), (23), <ро = = О,

°° -3/2

< оо. Тогда ряд, полученный «а (37) р-кратпым почленным диф-

j=l ^

ференцированием по ¡5 при р = 0,1, 2, сходится о пространстве равномерно по Ь па любом отрезке [¿о, Т], где Ьо < Т < +оо = 0 при р — 0,1 и Ьо > 0 при р = 2), и для всех ( £ Т\ справедливы следующие оценки

П=1

Я2

(38)

1=1

< 11

#2-р

Ц2-р/мт +

1И2-7(0)|ГЯ + (Р-1)Ц/(1)(0)|П, Р=1,2. (39)

+

Автору не известны работы, п которых были бы получены представления решений интсгродифферсициальных уравнений (7) в виде рядов по экспонентам, отвечающим точкам спектра оператор-функций, являющихся символами указанных уравнений.

Автор глубоко благодарен своим научным руководителям профессору Виктору Валентиновичу Власову и профессору Алексею Станиславовичу Шамаеву за постановку задач, постоянное внимание к работе, за многочисленные обсуждения и ценные рекомендации.

Публикации по теме диссертации.

Работы 1-3 опубликованы в журналах из официального перечня ВАК.

1) Власов В. В., Раутиан Н. А., Шамасв А. С. Разрешимость и спектральный анализ иптегродифференциальиых уравнений, возникающих в теплофизике и акустике /'/ Доклады РАН. —2010. —434 — № 1. — С. 12-15.

(В данной работе постановка задачи и введение принадлежат А. С. Шамаеву, доказательства теорем 1 и 2 получены совместно Н. А. Раутиан н В. В. Власовым, доказательства теорем 3, 4, 5 принадлежат Н. А. Раутиан.)

2) Власов В. В., Раутиаи Н. А.. Шамаев А. С. Спектральный анализ и корректная разрешимость абстрактных интегродифференциальных уравнений, возникающих в теплофизике и акустике /,/ Современная математика. Фундаментальные направления. —2011. —39 — С. 36-65

(В данной работе постановка задачи и введение принадлежат А. С. Шамаеву, доказательства теорем 2.1 и 2.2 получены совместно с В. В. Власовым, доказательства теорем 2.3, 2.4, 2.5 принадлежат Н. А. Раутнан.)

3) Раутиаи Н. А. О структуре н свойствах решений интегродифференциальных уравнений, возникающих в теплофизике и акустике // Математические заметки. —2011. —90 -№ 3. —С. 474-477.

4) Власов В. В., Раутиаи Н. А. Корректная разрешимость и спектральный анализ абстрактных гиперболических интегродифференциальных уравнений /,/ Труды семинара им. И. Г. Петровского. —2011. — 29-С. 73-112.

(В данной работе В. В. Власову принадлежит введение и доказательство теоремы 2, доказательство теоремы 1 получено совместно Н. А. Раутнан и В. В. Власовым, доказательства теорем 3 и 4 принадлежат Н. А. Раутиаи.)

5) Раутиаи Н. А. О представлении решений интегродифференциальных уравнений с неограниченными операторными коэффициентами в гильбертовом пространстве // Сборник трудов международной конференции „Качественная теория дифференциальных уравнений и приложения" -МЭСИ —2011. -С. 110-134.

6) Раутиаи Н. А. О представлении решений интегродифференциальный уравнений, возникающих в теплофизике и акустике // Материмы Воронежской зимней математической школы „Современные методы теории функций и смежные проблемы". —Воронеж —2011. —С. 279-280.

7) Раутиаи Н. А., Власов В. В. Интегродифференциальные уравнения, возникающие в теплофизике, акустике, теории вязкоупругости и их спектральный анализ /7 Сборник трудов международной научной конференции, посвященной 180-летию МГТУ им. Н. Э. Баумана „Актуальные направления развития прикладной математики в энергетике,

эпергоэффективности и информационно-коммуникационных технологиях". -МГТУ -2011. -С. 228-231.

8) Vlnsov V. V., Shamaev A. S., Rautian N. А. Он asymptotic behavior of the solutions of an abstract mtcgro-diffcrential equations // Сборник тезисов международной конференции „Дифференциальные уравнения и смежные вопросы", посвященной памяти И. Г. Петровского. — Москва -МГУ -2011. -С. 120-121.

9) Vlasov V. V., Shamaev A. S., Rautian N. A. Intogrodiffercntial equations in a Hilbert space and its applications // Сборник тезисов шестой международной конференции „Дифференциальные и функционально-дифференциальные уравнения". —Москва —МИРАН им. В. А. Стек-лова -2011. -С. 73-74.

Подписано в печать 09.09.2011 Формат 60x88 1/16. Объем 1.0 п.л. Тираж 100 экз. Заказ № 1131 Отпечатано в ООО «Соцветие красок» 119991 г.Москва, Ленинские горы, д.1 Главное здание МГУ, к. А-102

Введение

1 Разрешимость интегродифференциальных уравнений в пространствах Соболева

1.1 Вектор-функции в гильбертовом пространстве и их свойства.

1.2 Пространства Соболева вектор-функций

1.3 Интегродифференциальные уравнения первого порядка.

1.4 Интегродифференциальные уравнения второго порядка.

2 Спектральный анализ интегродифференциальных уравнений.

2.1 Общая структура спектра оператор-функции Ь{А).

2.2 Асимптотика комплексной части спектра оператор-функции Ь{\) в случае, когда принадлежит пространству И/11(М+).

2.3 Асимптотика комплексной части спектра оператор-функции

Ь(Х) в случае, когда принадлежит пространству £і(М+).

3 Представления решений интегродифференциальных уравне

3.1 Представление в виде ряда решения задачи (0.7), (0.8) для однородного уравнения (/(£) = 0).

3.2 Представление в виде ряда решения задачи (0.7), (0.8) с однородными начальными условиями (</?о = <¿>1 = 0).

Актуальность темы.

Широкий класс задач, возникающих в приложениях, приводит к необходимости изучения начально-краевых задач для интегродифференциальных уравнений.

Укажем ряд задач, которые естественно приводят к необходимости исследования упомянутых интегродифференциальных уравнений. 1. Задачи распространения тепла в средах с памятью.

В работе [44] было выведено интегродифференциальное уравнение, описывающее процесс распространения тепла в средах с памятью с конечной скоростью, которое имеет вид аАхи(Ь, х) + / К'^ — з)Ахи(з,х)с1з/(х,£)

По видимому, после этой работы в зарубежной литературе уравнения указанного вида стали называться уравнениями Гуртина-Пипкина. Наряду с уравнениями второго порядка по временной переменной £ рассматриваются и уравнения первого порядка вида щ(х,г) = / К{Ь - т)Ахи(х,т)йт +

Уравнение такого вида изучалось в работе [56]. Уравнения указанного вида также называются уравнениями Гуртина-Пипкина.

В книге [20] исследуются различные модели теплопроводности с памятью, среди которых при определенных значениях параметров возникает и модель, соответствующая уравнению Гуртина-Пипкина. В работе [45] изучаются вопросы управления решением с помощью граничных и распределенных воздействий.

2. Теория вязкоупругости, задачи наследственной механики.

В теории вязкоупругости ядро свертки K(t) определяется в результате эксперимента. Полученные кривые часто приближаются функцией roo -tr

I<(t) ~ / -ф(т),

J о г где положительная мера d¡i с компактным носителем определяется возрастающей, непрерывной справа функцией распределения ¡л. Интеграл понимается в смысле Стильтьеса. Динамика одномерной вязкоупругости среды описывается следующим уравнением второго порядка по временной переменной t putt = кихх + (3utxx + K'(t — r)uxx(x, r)dr + f(x, t)

J 0

Последнее уравнение интегрированием no t может быть преобразовано в уравнение, аналогичное уравнению Гуртина-Пипкина с дополнительным слагаемым (Зихх. Это слагаемое соответствует в исходной модели мгновенному трению Кельвина-Фойгхта.

3. Теория сильнонеоднородных сред. Теория усреднения.

В теории сильнонеоднородных сред уравнение Гуртина-Пипкина возникает в результате процедуры усреднения двухфазной среды, состоящей из двух жидкостей. Предполагается, что смесь имеет периодическую структуру (модельный случай) и линейные размеры одной ячейки периодичности равны по величине е, где е - малый параметр. Предельный переход при е —> 0 в краевых задачах для описанной выше двухфазной среды исследован в книге

34] (см. также работы [14], [26] и [32]). В результате предельного перехода при е —> 0 в решении указанной краевой задачи для двухфазной среды получается уравнение на предельное звуковое давление. Это уравнение имеет вид

Pt= I divD(t)Vxp{x,r)dr, х = (XI,X2,X3), J о где Dit) - так называемая „динамическая матрица Дарси", коэффициенты которой dij{t) - функции времени, представляющие собой суммы экспонент оо dy(t) = £Çe"7fct + (7fe +оо). к=1

Если включение одной фазы в другую в пределах одной ячейки периодичности обладает полной симметрией (т.е. оно симметрично относительно трех взаимно-перпендикулярных плоскостей симметрии в трехмерном случае), то матрица Dit) является скалярной матрицей и определяется одним диагональным элементом d(t), для которого имеет место представление оо

Ск d(t) = £ — e~7fci + Со.

Если рассматривать только однородные движения для усредненной (эффективной) среды (все неизвестные функции зависят от одной пространственной переменной х\), то уравнение для звукового давления примет вид уравнения Гуртина-Пипкина, причем

00

Ск

Ы I7* где (а это имеет существенное значение для анализа собственных колебаний рассматриваемой среды) оо оо

Ск ОО, У^С/с = ОО- (0.1) к=1 7к к=1

Последние два условия означают, что величина ^(0) конечна, но производная К'{1) имеет особенность в точке £ = 0 {К'(Ь) € £].(]{&+)). Эти условия могут быть доказаны строго, с помощью методов теории усреднения (см., например, книгу [34]).

Если бы микроструктура смеси жидкостей имела бы непрерывную плотность из пространства И^1 (т.е. смесь не имела бы резких границ между фазами), то были бы выполнены условия что соответствует конечности величин К(0) и Х'(0)(т.е. К'{1) € И^М^.)). Более подробное изложение содержится в работе [18]. В диссертации показано, какое значение имеет выполнение условий конечности (или бесконечности) величины -КТ'(О) для качественного анализа спектральных свойств уравнения Гуртина-Пипкина.

Здесь необходимо упомянуть также работы [14], [15], в которых проведено подробное исследование близких задач параболического типа. 4. Кинетическая теория газов.

Уравнения, по структуре и свойствам напоминающие исследуемое в настоящей работе уравнение Гуртина-Пипкина возникают в кинетической теории газов. В кинетической теории газов уравнения сплошной среды выводятся из законов попарного взаимодействия молекул. Из уравнения Больцмана с помощью метода Грэди можно вывести цепочку уравнений для моментов. Моменты - это усреднения функции распределения молекул по координатам и скоростям по переменным скорости с определенными весами. В частности, обычные компоненты системы Навье-Стокса - скорость, давление, плотность (как функции пространственных переменных и времени) могут быть представлены как моменты в цепочке моментных уравнений. оо оо

0.2)

Уравнение Навье-Стокса может быть получено из моментной системы с помощью процедуры описанной в работе [27]. Применение указанной процедуры приводит к системе типа Навье-Стокса с интегральными членами типа свертки. В качестве модельного примера приведем уравнение

При отбрасывании нелинейного члена последнее уравнение совпадает с исследуемым в данной работе уравнением Гуртина-Пипкина. В более общих случаях аналогичная система для консервативных переменных будет сложнее, однако, по своим свойствам она напоминает уравнение Гуртина-Пипкина.

Основное внимание в диссертации уделено вопросам корректной разрешимости, спектральным вопросам, а также асимптотическому поведению решений характеристических уравнений (символов), возникающих в результате преобразования Лапласа по времени. В связи с этим, естественней и удобнее рассматривать интегродифференциальные уравнения с неограниченными операторными коэффициентами (абстрактные интегродифференциальные уравнения), которые при необходимости могут быть реализованы как интегродифференциальные уравнения с частными производными по пространственным переменным. Самосопряженный положительный оператор А, фигурирующий в дальнейшем, может быть реализован, как А2у = —у"(х), где х Є (0,7г), 2/(0) = у{тт) = 0, либо как А2у — —Ду с условиями Дирихле в ограниченной области с гладкой границей. Также, возможен случай Ау = — у"(х), где х Є (0,7г), 7/(0) = у(7г) = 0, или Ау = —Ау с условиями Дирихле в ограниченной области с гладкой границей.

В настоящее время имеется значительное число работ, посвященных изучению вопросов разрешимости и асимптотического поведения решений интегродифференциальных уравнений в банаховых и, в частности, в гильл бертовых пространствах. Отметим, что изучение интегродифференциальных уравнений с операторными коэффициентами в этих пространствах является естественным развитием теории операторно-дифференциальных уравнений и тесно связано с теорией полугрупп, берущих свое начало с работ Т. Като, Э. Хилле, Р. Филлипса, С. Г. Крейна, С. Агмона и Л. Ниренберга, а также нашедших отражение в недавней монографии К. Енгела и Р. Г. Найгела.

В дальнейшем, исследования дифференнциальных уравнений с неограниченными операторными коэффициентами были продолжены в работах А. А. Шкаликова (см., например, работу [35] и указанную там библиографию).

Изучение интегродифференциальных уравнений с операторными коэффициентами естественно приводит к исследованию оператор-функций, являющихся символами (аналогами характеристических квазимногочленов) указанных уравнений.

Изучением интегродифференциальных уравнений, главной частью которых является абстрактное параболическое уравнение занимались многие авторы. Ограничимся здесь упоминанием наиболее близких к предмету рассмотрения работ [1], [2], [5], [57], [62].

Значительно меньше работ, посвященных интегродифференциальным уравнениям, главной частью которых является абстрактное волновое уравнение. Наиболее близкими являются работы [23] - [18].

Цель работы.

- Получить результаты о корректной разрешимости начально-краевых задач для некоторых классов интегродифференциальных уравнений с неограниченными операторными коэффициентами в гильбертовом пространстве, возникающих в приложениях.

- Провести спектральный анализ оператор-функций, являющихся символами рассматриваемых уравнений. Исследовать асимптотику комплексной части спектра, в зависимости от свойств ядер рассматриваемых ин-тегродифференциальных уравнений.

- Получить результаты о представлении сильных решений интегродиффе-ренциальных уравнений в виде сумм рядов по экспонентам, отвечающим точкам спектра, указанных оператор-функций. На этой основе, получить результаты о структуре и асимптотических свойствах решений изучаемых интегродифференциальных уравнений.

Методика исследования.

В работе применяются методы функционального и комплексного анализа, а также методы теории дифференциальных уравнений в частных производных.

Научная новизна.

В диссертации получены новые результаты, основные из них состоят в следующем:

1) Получены результаты о корректной разрешимости начально-краевых задач в пространствах Соболева вектор-функций на положительной полуоси для интегродифференциальных уравнений первого и второго порядка по временной переменной, включающих в себя задачи с трением Кельвина-Фойгхта.

2) Проведен спектральный анализ оператор-функций, являющихся символами интегродифференциальных уравнений: установлена общая структура спектра, получены асимптотики вещественной и комплексной частей спектра указанных оператор-функций. Изучена зависимость локализации спектра от свойств ядер интегральных операторов, входящих в изучаемые уравнения.

3) Получены результаты о представлении решений в виде сумм рядов по экспонентам, отвечающим точкам спектра оператор-функций, являющихся символами изучаемых уравнений. На основе этого изучены асимптотические свойства решений упомянутых уравнений.

Теоретическая и практическая ценность.

Работа носит теоретический характер. Результаты работы могут быть полезны как специалистам, работающим в области дифференциальных уравнений в частных производных и функционального анализа, так и в исследованиях прикладного характера.

Апробация работы.

Результаты диссертации докладывались на следующих научных семинарах:

• семинар "Асимптотические методы для уравнений математической физики" кафедры дифференциальных уравнений механико-математического факультета МГУ под руководством проф. В. В. Жикова, проф. Е. В. Радкевича, проф. А. С. Шамаева, проф. Т. А. Шапошниковой. (2009-2011 гг., неоднократно);

• семинар "Интегродифференциальные и функционально-дифференциальные уравнения и их спектральный анализ" кафедры математического анализа механико-математического факультета МГУ под руководством проф. В. В. Власова, проф. А. С. Шамаева (2009-2011 гг., неоднократно);

• семинар "Операторные модели в задачах математической физики" кафедры теории функций и функционального анализа механико-математического факультета МГУ под руководством проф. А. А. Шпаликова (2009-2011 гг., неоднократно);

• семинар по теории функций кафедры теории функций и функционального анализа механико-математического факультета МГУ под руководством проф., ч л .-корр. РАН Б. С. Кашина, проф. Б. И. Голубова, проф. М. И. Дьяченко, проф. С. В. Конягина (2011 г.);

• семинар "Негармонический анализ" кафедры математического анализа механико-математического факультета МГУ под руководством проф. А. М. Седлецкого (2011 г.).

• семинар по дифференциальным уравнениям в частных производных МИРАН им. В. А. Стеклова под руководством проф. В. П. Михайлова и проф. А. К. Гущина (2011 г.).

Результаты диссертации докладывались также на следующих научных конференциях:

• Международная конференция по дифференциальным уравнениям и динамическим системам. (Суздаль, 2010);

• Международная конференция „Качественная теория дифференциальных уравнений и приложения" (Москва, МЭСИ, 2010);

• Международная конференция „Актуальные направления развития прикладной математики в энергетике, энергоэффективности и информационно-коммуникационных технологиях", посвященная 180-летию МГТУ им. Н. Э. Баумана (Москва, МГТУ);

• Воронежская зимняя математическая школа „Современные методы теории функций и смежные проблемы" (Воронеж, 2011);

• Международная конференция „Дифференциальные уравнения и смежные вопросы", посвященная памяти И. Г. Петровского (Москва, МГУ, 2011).

Публикации.

Результаты диссертации опубликованы в 9 работах автора, 3 из которых опубликованы в изданиях, рекомендованных ВАК.

Структура и объем диссертации.

Диссертация состоит из введения и трех глав, подразделенных в общей сложности на 9 параграфов. Объем диссертации составляет 121 страницу. Список литературы включает 62 наименования.

1. Власов В. В. О разрешимости и свойствах решений функционально-дифференциальных уравнений в гильбертовом пространстве // Мат. сб. - 1995. - 186. N 8.- 0. 67-92.

2. Власов В. В. О разрешимости и оценках решений функционально-дмфференциальных уравнений в пространствах Соболева// Тр. Мат. инта им. В. А. Стеклова. 1999. - 227. - С. 109-121.

3. Власов В. В. О корректной разрешимости абстрактных параболических уравнений с последействием// Докл. РАН. — 2007. — 415. е 2. — С. 151152.

4. Власов В. В., Шматов К. И. Корректная разрешимость уравнений гиперболического типа с запаздыванием в гильбертовом пространстве// Тр. Мат. ин-та им. В. А. Стеклова. 2003. - 243. - С. 127-137.

5. Власов В. В., Медведев Д. А. Функционально-дифференциальные уравнения в пространствах Соболева и связанные с ними вопросы спектральной теории. // Современная математика. Фундаментальные направления. 2008. - 30. - С. 3-173.

6. Власов В. В., Ву Дж. Спектральный анализ и разрешимость абстрактных гиперболических уравнений с последействием.// Дифференциальные уравнения. -2009. -45 —N 4. -С. 524-533.

7. Власов В. В., Гавриков А. А., Иванов С. А., Князьков Д. Ю., СамарииB. А., Шамаев А. С. Спектральные свойства комбинированных сред. // Современные проблемы математики и механики. — 2009. — 5. — N 1. —C. 134-155.

8. Власов В. В., Ву Док,., Кабирова Г. Р. Корректная разрешимость и спектральные свойства абстрактных гиперболических уравнений с последействием. // Современная математика. Фундаментальные направления. — 2010. 35. - С. 44-59.

9. Власов В. В., Раутиан Н. А. Корректная разрешимость и спектральный анализ абстрактных гиперболических интегродифференциальных уравнений. // Труды семинара им. И. Г. Петровского. —2011. —29 — С. 73-112.

10. Власов В. В., Раутиан Н. А., Шамаев А. С. Разрешимость и спектральный анализ интегродифференциальных уравнений, возникающих в теплофизике и акустике. // Доклады РАН. —2010. 34 —№ 1. —С. 12-15.

11. Власов В. В., Раутиан Н. А., Шамаев А. С. Спектральный анализ и корректная разрешимость абстрактных интегродифференциальных уравнений, возникающих в теплофизике и акустике. // Современная математика. Фундаментальные направления. —2011. —39 —С. 36-65.

12. Гохберг И. Ц., Крейн М. Г. Введение в теорию линейных несамосопряженных операторов. — М. "Наука" 1967.

13. Гринив Р. О., Шкаликов А. А. О пучке операторов, возникающем в задаче о колебаниях стержня с внутренним трением//Матем. заметки, — 1994, 56 - №2, - с. 114-131

14. Жиков В. В. Об одном расширении и применении метода двухмасштаб-ной сходимости. // Математический сборник. —2000. —191 —N 7. —С. 31-72.

15. Жиков В. В. О двухмасштабной сходимости. // Труды семинара им. И. Г. Петровского. -2003. -Вып. 23 -М. „МГУ" -С. 149-187.

16. Иосида К. Функциональный анализ. — М. „Мир" 1967.

17. Копачевский Н. Д., Крейн С. Г. Operator approach to Linear // Problems of Hydrodynamics. Vol. 2. Nonself adjoint Problems for Viscous Fluids. — Berlin: Basel-Boston, 2003.

18. Космодемьянский Д. А., Шамаев А. С. О некоторых спекральных задачах в пористых средах, насыщенных жидкостью.// Современная математика. Фундаментальные направления. — 2006. —17. — С. 88-109.

19. Лионе Ж. П., Мадэюепес Э. Неоднородные граничные задачи и их приложения. — М. 1971.

20. А.В.Лыков Проблема тепло- и массообмена — Минск „Наука и техника" 1976.

21. Маркус А. С. Введение в спектральную теорию полиномиальных операторных пучков. — Кишинев. „Штиинца" 1986. — 260с.

22. Милославский А. И. Об устойчивости некоторых классов эволюционных уравнений// Сиб. матем. журнал, — 1985, — 26, — С. 118-132.

23. Милославский А. И. Спектральные свойства операторного пучка, возникающего в вязкоу пру гости. // Депонировано в Укр. НИИНТИ. 13.07.87. N 1229-УК87. Харьков. 1987. - С. 53.

24. Мило слав ский А. И. О спектре неустойчивости операторного пучка // Матем. заметки, — 1991, —49— №4, — с. 88-94.

25. Михайлов В. П. Дифференциальные уравнения в частных производных. — М. „Наука" 1976.

26. Михлин С. Г. Линейные уравнения в частных производных. — М. „Высшая школа" 1977.

27. Палин В. В., Радкевич Е. В. Законы сохранения и их гиперболические регуляризации. // Современные проблемы математики и механики. — 2009. —5 —И 1., Дифференциальные уравнения. —С. 88-115.

28. Раутиан Н. А. О структуре и свойствах решений интегродифференци-альных уравнений, возникающих в теплофизике и акустике. // Математические заметки. —2011. —90 —№ 3. —С. 474-477.

29. Раутиан Н. А. О представлении решений интегродифференциальный уравнений, возникающих в теплофизике и акустике. // Материалы Воронежской зимней математической школы „Современные методы теории функций и смежные проблемы". —Воронеж —2011. —С. 279-280.

30. Сандраков Г. В. Многофазные осредненные модели диффузии для задач с несколькими параметрами.// Известия РАН. Серия математическая. -2007. -71 —N 6. -С. 119-72.

31. Сандраков Г. В. Спектральные свойства однородных моделей диффузии в сильно неоднородных средах.// Доклады РАН. Серия математическая. -2006. —411 —N 2. -С. 167-170.

32. Санчес. Паленсия Э. Неоднородные среды и теория колебаний. — М. „Мир" 1984.

33. Шкаликов А. А. Эллиптические уравнения в гильбертовом пространстве и спектральные задачи, связанные с ними// Тр. семин. им. И. Г. Петровского, -1989. -14. С. 140-224.

34. Avdonin S. A., Ivanov S. A. Families of Exponentials. Method of Moments in Contrallability Problems for Distributed Parameter Systems. — Cambridge UK: Cambridge University Press, 1995.

35. Biot M. A. Generalized theory of acoustic propagation in porous dissipative media // J. Acoust. Soc. Amer. 1962. - 34. - P. 1254-1264.

36. Desch W., Miller R. K. Exponential stabilization of Volterra Integrodifferential equations in Hilbert space. //J. Differential Equations. — 1987. 70. - P. 366-389.

37. Di Blasio G. Parabolic Volterra equations of convolution type// J. Integral Equations Appl. — 1994. —6. -P. 479-508.

38. Di Blasio G., Kunisch K., Sinestari E. L2-regularity for parabolic partial integrodifferential equations with delays in the highest order derivatives// J. Math. Anal. Appl. 1984. -102. -P. 38-57.

39. Di Blasio G., Kunisch K., Sinestari E. Stability for abstract linear functional differential equations// Izrael. J. Mathematics. — 1985. — 50. e 3. — P. 231263.

40. Engel K-J., Nagel R. One-Parameter Semigroup for Linear Evolution Equations. —Springer, 1999.

41. A. Eremenko, S.Ivanov. Spectra of the Gurtin-Pipkin type equations // SIAM. Journal on Mathematical Analysis. (Accepted.)

42. Gurtin M. E., Pipkin A. C.Theory of heat conduction with finite wave speed// Arch. Rat. Mech. Anal. 1968. - 31. - P. 113-126.

43. Ivanov S., Pandolfi L. Heat equations with memory: lack of controllability to the rest. Jornal of Mathematical analysis and applications. — 2009. — 355. C. 1-11.

44. Ivanov S. A., Sheronova T. L. Spectrum of the heat equation with memory. — arXiv;http://arxiv.org/abs/0912.1818vl.

45. Ivanov S. A. 'Wave type' spectrum of the Gurtin-Pipkin equation of the second order. — arXiv;http://arxiv.org/abs/1002.2831.

46. Kunisch K., Mastinsek M. Dual semigroups and structual operators for partial differential equations with unbounded operators acting on the delays// Differ. Integral Equations. — 1990. — 3. e 4. — P. 733-756.

47. Kunisch K., Shappacher W. Necessary conditions for partial differential equations with delay to generate /o~semigroup// J. Differ. Equations. — 1983. 50. - P. 49-79.

48. Medvedev D. A., Vlasov V. V., Mi J. Solvability and structural properties of abstract neutral functional differential equations// J. Functional Differential Equations. 2008. - 15. e 3-4, - P. 249-272.

49. A. Meirmanov Acoustic and filtration properties of a thermoelastic porous medium: Biot's equations of thermo poroelasticity. // Sbornik Mathematics - 2008. — 3 — P. 1-24.

50. Miller R. K. Volterra Integral Equation in Banach Space // Funkcialaj Ekvac. 1975. - 18. - P. 163-194.

51. Miller R. K. An integrodifferential equation for rigid heat conductors with memory// J. Math. Anal. Appl. 1978. - 66. - P. 313-332.

52. Miller R. K., Wheeler R. i.Well-posedness and stability of linear Volterra interodifferential equations in abstract spaces// Funkcialaj Ekvac. — 1978. — 21. P. 279-305.

53. Nguetseng G. A general convergence result for a functional related to the theory of homogenezation// SIAM. Anal. 1990. -21.-N 6. - P. 13961414.

54. Pandolfi L.The controllability of the Gurtin-Pipkin equations: a cosine operator approach. // Appl. Math. Optim. — 2005. — 52. — P. 143-165.

55. Priiss J. Evolutionary Integral Equations amd Applications// Monographs in Mathematics. —1993. —87, Birkhauser Verlag. Basel-Baston-Berlin.

56. Vlasov V. V., Wu J. Solvability and Spectral Analysis of Abstract Hyperbolic equations with delay// J. Functional Differential Equations. — 2009. — 16. — N 4. P. 751-768.

57. Wu J. Semigroup and integral form of class of partial differential equations with infinite delay// Differ. Integr. Equations. — 1991. — 4. e 6. — P. 13251351.

58. Wu J. Theory and applications of partial functional differential equations. Appl. Math. Sci. — New York: Springer-Verlag, 1996. —119.