Асимптотика решений дискретных уравнений восстановления тема автореферата и диссертации по математике, 01.01.02 ВАК РФ

ВВЕДЕНИЕ.

1JIABA I. Разностные системы с произвольным ядром.

§1.1. Некоторые вопросы теории разностных уравнений.

1.1.1. Основные пространства.

1.1.2. Разностные системы.

§1.2. Леммы, связанные с неравенствами. Устойчивость неотрицательных ядер.

§1.3. Вспомогательные утверждения.

1.3.1. Формулы суммирования и асимптотические равенства.

1.3.2. Вычисление различных сверток последовательностей.

ГЛАВА II. Асимптотика резольвенты разностного уравнения в свертках.

§2.1. Производящие функции. Устойчивый случай.

§2.2. Асимптотика резольвенты -^зностной системы в неустойчивом случае.

§2.3. Асимптотика резольвенты неустойчивого уравнения в одномерной ситуации.

§2.4. Асимптотика резольвенты разностного уравнения в случае не целой кратности нулей символа.

ГЛАВА III. Допустимость некоторых пар пространств для системы разностных уравнений типа свертки.

§3.1. Допустимость пары (ар,ар) в устойчивом случае.

§3.2. Критерий допустимости пары (оср,сср) для системы с положительным ядром.

§3.3. Допустимость пары (ар,Х) для системы в неустойчивом случае.

ГЛАВА IV. Асимптотика решений системы разностных уравнений с положительным ядром.

Уравнения в конечных разностях возникли почти одновременно с алгебраическими и также интенсивно изучались. При этом они изучались с разных позиций (и как самостоятельный объект, и как результат решения дифференциальных уравнений итерационными методами, как возвратные последовательности и т. д.). Исторически основные линии развития теории конечных разностей в действительной области были определены работами Л. Эйлера, П. Л. Чебышева, А. А. Маркова, позже -работами С. Н. Бернштейна и его школы. В комплексной области систематизация результатов впервые была проделана в книге Гельфонда [5], где также приведена библиография по этому вопросу. В последние годы уравнения в конечных разностях интенсивно изучались с точки зрения численных методов решения дифференциальных уравнений: как уравнения, получающиеся при замене производных разностными отношениями.

Если же в интегральных уравнениях Вольтерра интеграл заменить квадратурной формулой, то получится разностное уравнение, отличное от возникающих при аппроксимации дифференциальных уравнений. Например, в линейном случае получается уравнение вида Л„*** + /„> (О к= О правая часть которого зависит от всей предыстории. Теория таких уравнений развита сравнительно слабо, особенно если рассматривать их не как результат численного решения интегральных уравнений, а как самостоятельный объект, дающий дискретную математическую модель эволюционных процессов с предысторией. Модели различных процессов в автоматическом регулировании, механике, биологии и других отраслях могут быть описаны разностными уравнениями (см., например, [10], [23],

44], [50], [59]). Далеко не полный перечень математических моделей из различных естественных наук, описываемых дискретными уравнениями, можно найти в работе [1].

За последние десятилетия интерес к изучению разностных уравнений возрос, в связи с интенсивным развитием импульсной техники, радиолокации, автоматики, компьютерных систем. Об этом говорят книги Я. 3. Цыпкина [40], Э. Джури [10], Попова [24]. Появилось много работ по изучению разностных уравнений. Одной из основных рассматриваемых задач для таких уравнений является задача об устойчивости и асимптотической устойчивости их решений, исследованию которой посвящены многие работы (см., например, [2], [15], [21], [31], [43], [46], [49], [51], [60]). Не менее важным является и изучение асимптотических свойств этих решений. Данный вопрос исследован недостаточно, последние работы в л ом направлении ведутся, в основном, иностранными авторами (США) для чисто прикладных задач. В 1996 - 1997 гг. опубликованы работы [45], [47], [52], [55-58], [61]. Рассматриваемые уравнения, за исключением [56-57], нелинейные.

Настоящая работа посвящена исследованию разностных уравнений (1), у которых индексы кип входят в уравнение только в виде разности п-к. Такие уравнения называются уравнениями типа свертки и являются одним из важнейших математических средств решения практических задач. Математическая теория этих уравнений имеет тесную связь с различными приложениями. Первой теоретической работой по бесконечным системам линейных алгебраических уравнений с разностными индексами является статья И. М. Рапопорта [30]. Дискретное уравнение Винера-Хопфа с помощью преобразования Лорана (см. [4]) было сведено к краевой задаче Римана на единичной окружности и на этой основе решено.

Целью данной работы является изучение вопроса об асимптотическом поведении решений одного из классов разностных уравнений, встречающихся в теории восстановления п х„ = 1Лпкхк+/п . (2) к ~0

Такие уравнения называются линейными разностными уравнениями Вольтерра типа свертки. При этом изучаются асимптотические свойства последовательности, являющейся аналогом резольвенты в интегральных уравнениях, а также асимптотические разложения решений.

Асимптотическое поведение решений разностных уравнений типа свертки изучалось многими авторами (см., например, монографии [6], [25], [33]). Однако, в основном, ставился вопрос о разрешимости уравнения в банаховых или, по крайней мере, замкнутых пространствах. Случай нулей символа на границе круга |г| = 1 рассматривался мало. В число последних работ в области дискретных уравнений Вольтерра входят статьи В. Б. Колмановского [14-15], В. Б. Колмановского и А. М. Родионова [17], В. Б. Колмановского и Л. Ь. Шайхета [18], В. Р. Носова и И. И. Бузиной [22].

Исследование асимптотического поведения решений дискретных уравнений Вольтерра ведется методами функционального анализа и теории функций комплексного переменного. В частности, применяется преобразование, являющееся дискретным аналогом преобразования Лапласа.

Данная работа состоит из четырех глав. В первой главе, состоящей из трех параграфов, рассматриваются произвольные комплексные системы разностных уравнений вида (1) с ядром, зависящим от двух индексов. Предполагается, что при любом я>Оматрицы I - Апп обратимы. В параграфе 1.1 сформулированы вспомогательные утверждения, используемые в дальнейшем, доказательство которых приводится в работе [72]. Частный случай леммы 1.1.3 данного параграфа, а именно достаточное условие асимптотической устойчивости системы (2), был получен в работе В. Б. Колмановского [14] методом, предложенным в [16] для уравнений с непрерывным аргументом и использующим функции Ляпунова для вспомогательных разностных уравнений.

В параграфе 1.2 рассматривается система (1) с неотрицательным ядром \Апк}. Для данной системы в следствии 1.2.2 доказывается утверждение, являющееся дискретным аналогом теоремы об интегральном неравенстве (см., например, [37]). Далее в этом параграфе доказываются признаки устойчивости и асимптотической устойчивости ядра системы (1), а также некоторые свойства устойчивых ядер. Соответствующие леммы в непрерывном случае для линейных интегральных уравнений приводятся в пособии [37] и в работе [29]. В §1.3 вводится понятие обобщенной степени (см. [5]), играющей такую же роль в теории конечных разностей, как обычная степень в дифференциальном исчислении. Далее в терминах обобщенной степени доказываются формулы суммирования и вспомогательные леммы, используемые в §2.4 и главе III.

Вторая глава, состоящая из четырех параграфов, посвящена основному результату - получению определенного асимптотического представления резольвенты системы разностных уравнений типа свертки вида (2) при минимальных условиях на ядро. Уравнение рассматривается в пространстве всех последовательностей комплексных векторов. Предполагается, что матрица I-AQ обратима. Асимптотика резольвенты данного уравнения, а значит и его решения, существенно зависит от обратимости матрицы-символа / - в круге |z| < 1 и от особых точек

V1 п матрицы v "=° J

В параграфе 2.1 вводится понятие производящей функции л 00

А(г)-^Апг" (см., например, [33]). В одномерной ситуации случай,

1=0 когда производящая функция не обращается в нуль в единичном круге и разлагается в абсолютно сходящийся ряд Фурье, впервые был исследован М. Г. Крейном и обобщен И. Ц. Гохбергом и И. А. Фельдманом в [6]. Доказывалась обратимость и нетеровость оператора, определяемого разностным уравнением типа свертки. В §2.1 доказывается теорема 2.1.1, основанная на теореме Винера [25]: при наличии моментов у ядра {Л/;} до р-го порядка включительно, резольвента {Ип } будет иметь те же моменты тогда и только тогда, когда матрица 1 — А(г) обратима. В статье [48] сформулировано утверждение, являющееся частным случаем данной теоремы и леммы 1.1.2. А именно, оно получается применением достаточного условия теоремы 2.1.1 и достаточного условия леммы 1.1.2 к разностной системе с ограниченным последействием (частный случай системы (2)). Заметим также, что теорема 2.1.1 является дискретным аналогом теоремы, доказанной в работе [38] 3. Б. Цалюком для интегральных уравнений. В §2.2 рассматривается случай, когда матрица

А | .

I - А(г) обратима не во всех точках круга < 1. Тогда, в силу л обратимости матрицы /-Ап и аналитичности функции I - А(г) внутри единичного круга, функция (/-Л(г)) будет мероморфной.

Следовательно, и круге |г|<г<1 матрица I — А(г) может быть не обратимой лишь в конечном числе точек, причем каждая такая точка будет полюсом (/ - А(г)) . Будем предполагать, что функция (/ - Л(г)) имеет конечное число полюсов в круге \г\ < 1. При этом точка Я, такая, что |А| = 1, называется полюсом (/ - А(г)) порядка к, если в некоторой ее окрестности справедливо разложение где Н0(г) аналитична в каждой точке окрестности, лежащей внутри единичного круга и непрерывна в точках окрестности на его границе.

Пусть х = {хн},у = {у„}. Определим оператор А, действующий из пространства последовательностей т -мерных комплексных векторов в п себя, по формуле у = Ах, где уп = ЪАпкхк . При некоторых условиях на о оо ядро, включающих 1>/Я'н|Д,||<00 (р определяется порядками полюсов, а д - любое неотрицательное число), в теореме 2.2.1 получена асимптотическая структура резольвенты уравнения (2). Идея доказательства данной теоремы состоит в построении такой последовательности {Вп}, чтобы ядро {а,^}, определяемое уравнением - = (/ - А)(1 - В) , удовлетворяло условию Xпсп=О

Ап

0) оо, а матрица 1-А(1)(2) была бы обратимой в замкнутом единичном круге. Тогда резольвента уравнения (2) представима через ядро {#„} и резольвенту ядра {а^}, которая, в силу теоремы 2.1.1, также обладает свойством <°°. В конце параграфа 2.2 приведен 0 пример, показывающий, что условия этой теоремы, достаточные для указанного представления резольвенты, не слишком жесткие.

В §2.3 рассмотрена аналогичная одномерная ситуация для уравнения н хп = 1апкхк + /„, л = 0,1,2,., (3) к -0 где а0Ф1. В этом случае условия теоремы можно ослабить, и требовать, чтобы уравнение 1— а(г) = 0 в единичном круге имело конечное число нулей целой кратности. При этом доказательство теоремы также упрощается.

Вопрос о нетеровости и обратимости оператора, определяемого уравнением (2), для случая, когда символ имеет конечное число нулей целой кратности на единичной окружности, изучался в работах [11], [41-42]. В непрерывной ситуации для интегральных уравнений теоремы об асимптотическом поведении резольвенты были доказаны В. А. Дербеневым и 3. Б. Цалюком в работах [7] и [38], идеи которых использовались при доказательстве теорем 2.2.1 и 2.3.1, а для интегро-дифференциальных - Миллером и Похелом в статьях [53-54].

В параграфе 2.4 для уравнения (3) рассмотрен более общий случай, когда 1 —0 имеет конечное число корней, причем некоторые из них не целой кратности. Так как нули, лежащие внутри круга, могут иметь лишь целую кратность, в силу аналитичности функции а{г), то все корни с не целой кратностью будут находиться на единичной окружности. В теореме 2.4 получены два альтернативных асимптотических представления резольвенты уравнения (2) для этой ситуации.

Случай не целой кратности нулей символа, лежащих на единичной окружности, был рассмотрен в работах [13] и [25]. При этом изучался вопрос об обратимости оператора А , определяемого уравнением (2).

Заметим, что в монографии [25], наиболее полно изложившей теорию дискретных уравнений Винера-Хопфа, частным случаем которых является и уравнение (2), также рассматривается случай наличия конечного числа нулей у символа как целого, так и нецелого порядка. С помощью метода факторизации, в специально выбираемых банаховых пространствах доказывается обратимость оператора, задающего уравнение. Однако асимптотическая структура резольвенты при этом не выводится.

В параграфе 2.2 исследовались асимптотические свойства резольвенты системы (2). Так как решение данного уравнения выражается через резольвенту и свободный член, то результаты этого параграфа естественно применить к изучению асимптотических разложений решений уравнения (2).

Пусть Л", У-линейные пространства последовательностей векторов. Будем говорить, что пара пространств (У, X) называется допустимой относительно уравнения (2), если для любой последовательности |/;| }е У решение {хп }е X .

Третья глава, состоящая из трех параграфов, посвящена малоизученному вопросу допустимости некоторых не замкнутых пар пространств для системы разностных уравнений типа свертки (2). В этой главе методом, аналогичным методу работы [8], устанавливается дискретный аналог некоторых результатов из [8] относительно интегральных уравнений. А именно, определяются достаточные коэффициентные условия, при выполнении которых пара {рс ,х) (р >0-целое) допустима относительно данного уравнения.

Пространство ар является дискретным аналогом пространства Ар, т. е. {х„}еа если необходимом для применения теоремы 2.2.1, с помощью леммы 3.1.1

Допустимость пары {(Хр,оср) зависит от наличия особых точек обратимости матрицы I - А(г) при р|<1, при условии £«Р |А„ || < 00 > 0 показывается, что пара (а ) допустима. В §3.2 получены необходимые и достаточные условия допустимости данной пары относительно уравнения (2) с неотрицательным ядром При доказательстве соответствующей теоремы используется лемма 3.2.1.

Если матрица I - А{г) не обратима в некоторой точке единичного круга, то пара (ар,ар) уже не будет допустимой для уравнения (2) (даже пара (а0,а0) не будет допустимой). Следовательно, необходимо определить пространство X, для которого пара (а,,Х) допустима относительно (2). В случае, когда матрица (/ - А(г)) имеет конечное число полюсов А. порядков т- внутри единичного круга, а в остальных точках замкнутого круга / - Л(г) обратима, искомое пространство можно найти, подставляя полученное в теореме 2.2.1 представление резольвенты в формулу для решения. Таким пространством будет - |к }: л'„ - IРШ1 , (пЩа + у„, К > «„ |.

Соответствующий результат формулируется в теореме 3.3.1.

В непрерывном случае аналогичные результаты для интегральных уравнений были получены в работах [8] и [38]. Частный случай -допустимость пар (Л0,Л0) и (СП,С0) для интегральных уравнений, рассматривался в работах [26-29], [37] и [39]. Кроме того, получено необходимое и достаточное условие допустимости данных пар пространств.

В главе IV рассматривается случай, когда (/ - Л(г)) имеет существенно особую точку при условии, что ядро {А/;} системы (2) оо неотрицательно, собственные значения матрицы за к I) исключением одного, лежат внутри единичного круга, а одно из них равно единице. Ставится задача нахождения асимптотики решения системы (2) со при условии, что {/„}е а(]. Предполагается также, что ряд И,кАк к —О расходится, а ]Г при п —определенным образом стремится к нулю. к—и

Для интегральных уравнений подобная ситуация рассматривалась в работах [9], [34, с. 539], [36]. При этом результат получался из тауберовых теорем для преобразования Лапласа. В данной работе используется другой метод, основанный на лемме 4.1.1, являющейся дискретным аналогом соответствующей леммы из [36].

Содержание настоящей работы доложено на IV Северо-Кавказской региональной конференции по функционально-дифференциальным уравнениям и их приложениям в гор. Махачкале в 1997 г., на XXV научной конференции студентов и молодых ученых ВУЗов Юга России в 1998 г., на Воронежских весенних математических школах «Понтрягинские чтения -IX» и «Понтрягинские чтения-Х» в 1998 г., 1999 г., на VII Международной конференции «Математика. Экономика. Экология. Образование» в 1999 г., на научной конференции «Вопросы функционального анализа и математической физики», посвященной 80-летию Бакинского государственного университета, в 1999 г., на I Всесибирском Конгрессе женщин-математиков в г. Красноярске в 2000 г., на Воронежской зимней математической школе «Современный анализ и его приложения» в 2000 г. и неоднократно на семинарах кафедры дифференциальных уравнений КубГУ.

Основное содержание диссертации опубликовано в статьях [62-75]. Результаты работ [63], [66], [68], [71], [73], [75] получены совместно с научным руководителем 3. Б. Цалюком. Ему принадлежат постановки

14 задач и общие идеи, а вся техническая часть по их реализации с изложением подробных доказательств проделана автором.

Автор выражает глубокую благодарность своему научному руководителю, доктору физико-математических наук профессору ЗиновиюБорисовичу Цалюку, за постановку задачи, помощь и постоянное руководство при выполнении настоящей работы.

1. Антонюк П. Н. Разностные уравнения как метод математического моделирования // Тезисы докладов 4 Междунар. совещ.-семин. «Инж,-физ. пробл. нов. техн.». Москва, 1996. С. 192-193.

2. Бопаев К. Б. Устойчивость дискретных систем в критическом случае //Докл. РАН. 1996. Т. 349, №4. С. 442-445.

3. Гантмахер Ф. Р. Теория матриц. М.: Наука, 1966. 576 с.

4. Гахов Ф. Д., Черский Ю. И. Уравнения типа свертки. М.: Наука, 1978. 296 с.

5. Гельфонд А. О. Исчисление конечных разностей. М.-Л.: ГИТТЛ, 1952. 480 с.

6. Гохберг И. Ц., Фельдман И. А. Уравнения в свертках и проекционные методы их решения. М.: Наука, 1971. 352 с.

7. Дербенев В.А., Цалюк 3. Б. Асимптотика резольвенты неустойчивого уравнения Вольтерра с разностным ядром // Математические заметки. 1997. Т. 62, № 1. С. 88-94.

8. Дербенев В. А., Цалюк З.Б. К вопросу об асимптотическом разложении решений уравнения восстановления // Дифференц. уравнения. 1974. Т. XX, № 2. С.

9. Дербенев В. А., Цалюк 3. Б. К вопросу об асимптотике неустойчивого уравнения восстановления// Рук. деп. в ВИНИТИ. 1978. № 3089-78. 9 с.

10. Джури Э. Импульсные системы автоматического регулирования. М.: ГИФМЛ, 1963.

11. Дыбин В. Б., Карапетянц Н. К. Применение метода нормализации к одному классу бесконечных систем линейных алгебраических уравнений // Изв. вузов. Математика. 1967. №10. С. 39-49.

12. Зорин В. А. Математический анализ. Ч. I. М.: Наука, 1981. 544 с.

13. Карапетянц Н. К. Дискретное уравнение типа свертки в одном исключительном случае // Сиб. матем. ж. 1970. Т.11, вып. 1. С. 80-90.

14. Колмановский В. Б. Устойчивость дискретных уравнений Вольтерра // Докл. РАН. 1996. Т. 349, №5. С. 610-614.

15. Колмановский В. Б. Об экспоненциальной устойчивости некоторых разностных уравнений Вольтерра // Автомат, и телемех. 1997. №7. С. 185-194.

16. Колмановский В. Б. Об устойчивости некоторых систем с произвольным последействием // ДАН. 1993. Т. 331, №4. С. 421-424.

17. Колмановский В. Б., Родионов A.M.// Автомат, и телемех. 1994. №>12.

18. Колмановский В. Б., Шайхет JI. Е. // Автомат, и телемех. 1996. №12. С.58-66

19. Крейн М. Г. Интегральные уравнения на полупрямой с ядрами, зависящими от разности аргументов // УМН. 1958. Т. 13, вып. 5. С. 3-120.

20. Ланкастер П. Теория матриц. М.: Наука, 1978. 280 с.

21. О семинаре по проблемам нелинейной динамики и управления при МГУ им. Ломоносова // Дифференц. уравнения. 1997. Т. 33, №8. С. 1141-1146.

22. Попов Е. П. Динамика систем автоматического регулирования. Гостехиздат, 1964.

23. Прёсдорф 3. Некоторые классы сингулярных уравнений. М.: Мир, 1979.494 с.

24. Пуляев В. Ф. О допустимости некоторых пар пространств относительно линейных интегральных уравнений Вольтерра // Дифференц. уравнения. 1984. Т. 20, №10. С. 1800-1805.

25. Пуляев В. Ф. О спектре линейных операторов // Изв. СКНЦ ВШ. Естеств. науки. 1985. № 4. С. 25-28.

26. Пуляев В. Ф., Цалюк 3. Б. К вопросу о допустимости некоторых пар пространств для линейных операторов и уравнений Вольтерра // Дифференц. уравнения. 1983. Т. 19, №4. С. 684-692.

27. Пуляев В. Ф., Цалюк 3. Б. Об асимптотическом поведении решений ингегральных уравнений Вольтерра в банаховых пространствах // Изв. вузов. Математика. 1991. №12. С. 47-55.

28. Рапопорт И. М. Об одном классе бесконечных систем линейных алгебраических уравнений //ДАН УССР. 1948. №3. С. 6-10.

29. Слюсарчук В. Е. Нелинейные разностные уравнения с асимптотически устойчивыми решениями // Укр. мат. ж. 1997. Т. 49, №7. С. 970-980.

30. Треногин В. А. Функциональный анализ. М.: Наука, 1980. 496 с.

31. Феллер В. Введение в теорию вероятностей и её приложения. Т. 1. М.:Мир, 1967.498 с.

32. Феллер В. Введение в теорию вероятностей и её приложения. Т.2. М.: Мир, 1967. 752 с.

33. Фихтенгольц Г. М. Курс дифференциального и интегрального исчисления. Т. И. М.: Наука, 1969. 800 с.

34. Цалюк 3. Б. Об асимптотике решений уравнения восстановления // Дифференц. уравнения. 1970. Т.VI, № 6. С. 1112-1114.

35. Цалюк 3. Б. Линейные интегральные уравнения Вольтерра. Краснодар, 1970. 71 с.

36. Цалюк 3. Б. О допустимости пары (Y,X) и асимптотике резольвенты для системы интегральных уравнений Вольтерра // Дифференц. уравнения. 1998. Т. 34, №9. С. 1226-1230.

37. Цалюк 3. Б. О допустимости некоторых пар пространств для интегральных операторов и уравнений Вольтерра // Дифференц. уравнения. 1977. Т. XIII, № 11. С. 2096-2098.

38. Цыпкин Я. 3. Теория линейных импульсных систем. М.: ГИФМЛ, 1963.

39. Чеботарев Г. Н. Об одном особом случае уравнения Винера-Хопфа в пространстве ограниченных функций //Изв. вузов. Математика. 1967. №10. С. 92-101.

40. Чеботарев Т. Н. О нормальной разрешимости уравнений Винера-Хопфа в некоторых особых случаях//Изв. вузов. Математика. 1968. №3. С. 113-118.

41. Agarwal R. P. Difference Equations and Inequalities. N. Y.: MarcelDekker, 1992.

42. Franke John E., Yakubu Abdul-Aziz. Extinction and persistence of species in discrete competitive systems with a safe refuge // J. Math. Anal and Appl. 1996. V. 203, №3. P. 746-761.

43. Graet John R., Miciano Agnes, Spikes Paul W., Sundaram P., Thandapani E. // J. Austral. Math. Soc. B. 1996. V. 38, № 2. P. 163-171.

44. Gopalsamy K., Liu Pingzhou. Dynamics of a logistic map with eventually fading memory // Dyn. Syst. and Appl. 1997. V. 6, № 1. P. 1-10.

45. Huang Lihong, Yu Jianshe. Asymptotic behavior of solutions for a class of difference equations // J. Math. Anal and Appl. 1996. V. 204, № 3. P. 830 -839.

46. Jodar L., Navarro E., Ferrer M. V. A correction on the stability of implicit higher order difference systems // J. Appl. Math, and Comput. 1996. V. 74, №2-3. P. 299-304.

47. Lakshmikantham V., Trigiante D. Theory of Difference Equations: Numerical Methods and Applications. N. Y.: Acad. Press, 1988.

48. Lindstrom Torsten. Discrete predator prey relations//Prepr. Ser. Pure Math. Dep. Math. Univ. Oslo. 1997. № 14. P. 1-18.

49. Liu Biyu. The stability of time-varying linear discrete systems with delays //Zhongnan gongye daxue xuebao = J. Cent. S. Univ. Technol. 1996. V. 27, № 5. P. 605-608.

50. Medina Rigoberto, Pinto Manuel. Asymptotic constancy of solutions of systems of difference equations // Int. J. Math, and Math. Sci. 1996. V. 19, № 3. P. 501-506.

51. Miller R. K. Structure of solutions of unstable linear Volterra integro-differential equations // J. Differential Equations. 1974. № 15. P. 129-157.

52. Miller R. К., Nohel J. A. A stable manifold theorem for a system of Volterra integro-differential equations //J. Differential Equations. 1974. № . P. 506-522.

53. Morchalo J. Stabiluity and asymptotic behavior for centain systems of delay difference equations // Publ. Inst. math. 1997. № 62. P. 69-75.

54. Popenda Jerzy, Schmeidel Ewa. On the asymptotic behaviour of nonhomogeneous linear difference equations// Indian J. Pure and Appl. Math. 1997. V. 28, № 3. P. 319-327.

55. Schmeidel Ewa. On the asymptotic behaviour of solutions of difference equations // Demonstr. math. 1997. V. 30, № 1. P. 193-197.

56. Shi В., Wang Z. C., Yu S. S. Global asymptotic stability in a nonlinear nonautonomous difference equation with delays // Comput. and Math. Appl. 1997. V. 33, №8. P. 93-102.

57. Skrinjar M., Budincevic' M., Kapor D. The solution of the system of difference equations apprearing in the theory of surface magnetism // 11 Conf. Appl. Math., Budva, 1996: PRIM' 96. Novi Sad, 1997. P. 399-409.

58. Sun Zhengqi, Peng Xiaohong. Practical stability of delay discrete big system // Haerbin gongye daxue xuebao = J. Harbin Inst. Technol. 1995. V. 27, №3. P. 13-18.

59. Thandapani E., Sundaram P. On the asymptotic and oscillatory behaviour of solutions of second order nonlinear neutral difference equations // Indian J. Pure and Appl. Math. 1995. V. 26, № 12. P. 1149-1160.

60. Ойнас И. JI. Разностные уравнения типа свертки // Вестник СНО. Ч.Ш. Краснодар, 1996. С. 44 47.

61. Ойнас И. Л., Цалюк З.Б. Асимптотическое представление резольвенты разностного уравнения типа свертки // Тезисы докладов IV СевероКавказской региональной конференции «Функционально-дифференциальные уравнения и их приложения ». Махачкала, 1997. С. 72-73.

62. Ойнас И. Л. Асимптотическое представление резольвенты разностного уравнения типа свертки // Тезисы XXV научной конференции студентов и молодых ученых ВУЗов Юга России. Краснодар, 1998. С. 95.

63. Ойнас И. Л. Асимптотика решений разностного уравнения типа свертки // Тезисы докладов школы «Понтрягинские чтения IX». Воронеж, 1998. С. 152.

64. Ойнас И. Л., Цалюк 3. Б. Асимптотический характер резольвенты дискретного уравнения в свертках //Рук. деп. в ВИНИТИ 30.10.98, № 3127- В98. 13 с.

65. Ойнас И. Л. Допустимость пар (ат, X ) для разностного уравнения Вольтерра в свертках // Тезисы докладов школы «Понтрягинские чтения X». Воронеж, 1999. С. 183.

66. Ойнас И. Л., Цалюк 3. Б. Асимптотика решений одной системы разностных уравнений//Рук. деп. в ВИНИТИ 18.05. 99, № 1567-В99. Юс.

67. Ойнас И. Л. Асимптотическая структура резольвенты разностного уравнения типа свертки в неустойчивом случае // Тезисы докладов VII Международной конференции «Математика. Экономика. Экология. Образование». Ростов-на-Дону, 1999. С. 30-31.

68. Ойнас И. Л. Асимптотическое поведение резольвенты дискретного уравнения типа свертки в неустойчивом случае // Рук. деп. в ВИНИТИ 12.08. 99, № 2636-В99. 25 с.

69. Афанасьева Т. Н., Ойнас И. Л. О допустимости некоторых пар пространств для разностного уравнения Вольтерра и об устойчивости его решений // Рук. деп. в ВИНИТИ 19.01.00, № 94-В00. 18 с.

70. Ойнас И. Л., Цалюк 3. Б. Об асимптотической структуре резольвенты системы дискретных уравнений в свертках // Тезисы докладов школы «Современный анализ и его приложения». Воронеж, 2000. С. 125-126.

71. Ойнас И. Л. О допустимости некоторых пар пространств для систем дискретных уравнений типа свертки//Рук. деп. в ВИНИТИ 24.03.00, №746-В00

72. Ойнас И. Л., Цалюк 3. Б. Асимптотика решений одной системы разностных уравнений //Изв. вузов. Математика. 2000. № 4.