Асимптотика вероятностей малых уклонений гауссовских процессов в гильбертовой норме тема автореферата и диссертации по математике, 01.01.05 ВАК РФ

ц

! /

На правах рукописи 4ВЭ о'1" (Ж/У

ПУСЕВ РУСЛАН СЕРГЕЕВИЧ

АСИМПТОТИКА ВЕРОЯТНОСТЕЙ МАЛЫХ УКЛОНЕНИЙ ГАУССОВСКИХ ПРОЦЕССОВ В ГИЛЬБЕРТОВОЙ НОРМЕ

01.01.05 — теория вероятностей и математическая статистика

АВТОРЕФЕРАТ диссертации на соискание ученой степени кандидата физико-математических наук

О 3 ОЕЗ ¿0)1

Санкт-Петербург — 2011

4853776

Работа выполнена на кафедре теории вероятностей и математической статистики математико-механического факультета Санкт-Петербургского государственного университета.

Научные руководители

Официальные оппоненты

Ведущая организация

доктор физико-математических наук, профессор

Никитин Яков Юрьевич

доктор физико-математических наук, доцент

Назаров Александр Ильич

доктор физико-математических наук, профессор

Розовский Леонид Викторович

доктор физико-математических наук, профессор

Смородина Наталия Васильевна

Московский государственный университет имени М. В. Ломоносова

Защита состоится

2011 года в

Д'

часов на заседании

диссертационного совета Д 002.202.01 в Санкт-Петербургском отделении Математического института им. В. А. Стеклова РАН по адресу 191023, Санкт-Петербург, наб. р. Фонтанки, д.,27, к. 311.

С диссертацией можно ознакомиться в библиотеке Санкт-Петербургского отделения Математического института им. В. А. Стеклова РАН по адресу 191023, Санкт-Петербург, наб. р. Фонтанки, д. 27.

Автореферат разослан'

. 2011 года.

Ученый секретарь

диссертационного совета Д 002.202.01 доктор физико-математических наук

А. Ю. Зайцев

Общая характеристика работы

Актуальность темы. Теория малых уклонений гауссовских процессов в различных нормах интенсивно развивается в последние годы (см., например, обзоры [12] и [13], практически полная библиография по малым уклонениям представлена в [14]). Этому развитию способствовало обнаружение связей малых уклонений с другими важными математическими задачами, такими как оценка точности дискретной аппроксимации случайных процессов, вычисление метрической энтропии функциональных множеств, закон повторного логарифма в форме Чжуна и в форме Вичуры, нахождение скорости ухода на бесконечность бесконечномерного винерсв-ского процесса. Недавно была также установлена связь малых уклонений с задачами математической статистики: функциональным анализом данных [10] и непараметрическим байесовским оцениванием [1], [18].

Задача о малых уклонениях случайного процесса X в норме || • || представляет собой описание поведения при е 0 вероятности Р{{|А'|| < е}. Результат, подобный

|| ^ е} ~ Се* ехрС-йгГ01), е —> О,

с некоторыми вещественными константами С, /3, ¿па называется точной асимптотикой. Если же доказано меньше, а именно

1пР{рГКе}~-ЛГа, е-0,

то такой результат называется логарифмической асимптотикой.

В известной монографии М. А. Лифшица [2, §18] отмечается: "Поведение малых уклонений, в отличие от больших, нельзя описать единообразно для всего класса гауссовских мер даже на логарифмическом уровне. Формализм оценивания значений малых уклонений, сравнимый по простоте с применением функционала действия для больших уклонений, еще не найден. Известны лишь частные результаты для нескольких важных специальных ситуаций..."

Как правило, в работах по малым уклонениям речь шла о нижних и верхних оценках вероятностей Р{||Х|| < е}, а точную и даже логарифмическую асимптотику с явно выписываемыми константами удавалось найти лишь для очень небольшого числа случайных процессов [12], [6].

Цель работы. Диссертация посвящена изучению асимптотики малых уклонений гауссовских случайных функций в Ьг-норме. Наша основная цель — получение точной асимптотики вероятностей малых уклонений вплоть до константы для ряда конкретных гауссовских процессов. Особое внимание мы уделяем весовой норме в для ряда случайных процессов, связанных с броуновским движением, где точная асимптотика малых уклонений была ранее известна лишь для немногих простейших весов. Методы исследований. В диссертационной работе применяются методы теории случайных процессов, теории краевых задач, спектральной теории операторов и теории функций комплексной переменной. Важную роль играет подход, предложенный в работах А. И. Назарова и Я. Ю. Никитина [17, 3,16] и позволяющий получать точную асимптотику малых уклонений в ¿2-норме ДДЯ гауссовских процессов, ковариационная функция которых является функцией Грина самосопряженного дифференциального оператора из широкого класса. Основные результаты.

1. Найдена асимптотика вероятностей малых уклонений в ¿2-норме с точностью до константы для широкого класса взвешенных гауссовских процессов.

2. Вычислена точная асимптотика малых уклонений для ряда конкретных гауссовских случайных процессов в весовой ¿2-норме, в том числе для процесса Боголюбова и семейства процессов Матерна.

3. Получена логарифмическая асимптотика малых уклонений в ¿2-норме для ряда случайных полей.

4. Найдена точная асимптотика малых уклонений для ряда броуновских функционалов, в том числе для весовой Ьг-нормы броуновской экскурсии и броуновского меандра.

Научная новизна. Все основные результаты диссертации являются новыми. В ней впервые получены окончательные результаты о точной асимптотике малых уклонений в гильбертовой норме для ряда известных и употребительных случайных процессов.

Теоретическая и практическая ценность. Диссертация носит теоретический характер. Разработанные в ней методы и подходы могут использоваться для решения близких задач теории малых уклонений. В перспективе полученные результаты могут быть использованы в других разделах теории

вероятностей и математической статистики, атакже статистической физики. Апробация работы. Результаты диссертации докладывались автором на международной конференции "Вероятности малых уклонений и смежные вопросы" (Санкт-Петербург, 12-19 сентября 2005 г.), на семинаре Института математической стохастики Геттингенского университета под руководством проф.М.Денкера (виюне2007г.), на семинаре по теории вероятностей и математической статистике Билефельдского университета под руководством проф. Ф.Гётце (в июле 2008г.), на Первом Северном трехстороннем (финско-шведско-российском) семинаре (Эспоо, 9-11 марта 2009 г.), на 16-й Всероссийской школе-коллоквиуме по стохастическим методам (Санкт-Петербург, 19-24 мая 2009 г.), на 33-й Конференции по случайным процессам и их приложениям (Берлин, 27-31 июля 2009 г.), на 10-й Международной вильнюсской конференции по теории вероятностей и математической статистике (Вильнюс, 28 июня - 2 июля 2010 г.) и на санкт-петербургском городском семинаре по теории вероятностей и математической статистике под руководством академика РАН И. А. Ибрагимова (в октябре 2010 г.). Публикации. Основные результаты диссертации опубликованы в работах [П1]-[П8]. Из них пять работ [П1]-[П5] опубликованы в журналах, рекомендованных ВАК (работа [П5] опубликована в журнале, удовлетворяющем достаточному условию включения в перечень ВАК: его переводная версия "Journal of Mathematical Sciences" входит в систему цитирования SCOPUS). Работы [П5]-[П7] написаны в соавторстве. В работе [П5] научному руководителю А.И.Назаровупринадлежитпостановказадачииобщее руководство работой, адиссертанту—доказательство основных теорем. Работы [П6,П7] —это тезисы совместных докладов на международных конференциях на общую тему, где представлены как результаты автора, так и его научных руководителей. Структура и объем диссертации. Диссертация состоит из восьми параграфов и списка литературы, содержащего 102 наименования. Общий объем работы составляет 101 страницу.

Содержание работы

Во введении (параграф 1) излагается история вопроса, описывается структура и содержание диссертации.

В параграфе 2 решается вопрос о нахождении асимптотики малых уклонений для взвешенных случайных процессов. Для процессов, ковариационная функция которых является функцией Грина дифференциального оператора из довольно широкого класса, и достаточно гладких невырожденных весовых функций явно выписывается асимптотика малых уклонений с точностью до константы. Условиям основной теоремы §2 удовлетворяют многие известные процессы, например, винеровский процесс, броуновский мост, процесс Орнштейна-Уленбека, их многократно проинтегрированные аналоги. В последующих параграфах обсуждаются случаи, когда возможно провести до конца все вычисления и получить явное выражение для всех констант, входящих в асимптотику.

В параграфе 3 рассматриваются гауссовские случайные процессы, у которых собственные функции ковариации выражаются через тригонометрические функции.

Рассмотрим случайный процесс = -и1\¥(1) при 0 < < < 1,

и ^ 1. Это гауссовский процесс с нулевым средним и ковариационной функцией = вЛг -(2и — то есть при и € (0,1] процесс

совпадает по распределению с рассматриваемым на отрезке [0,1] броуновским мостом из нуля в нуль длины (2и - и2)-1. При и — 1 этот процесс совпадает со стандартным броуновским мостом, а при и = 0 со стандарт^ ным винеровским процессом. Асимптотика малых уклонений для процесса со степенным и экспоненциальным весом изучалась в работе [3], частичные результаты для винеровского процесса и броуновского моста со степенным весом были независимо получены в [9].

В параграфе 3 вычисляется точная асимптотика малых уклонений процесса У/^ с четырьмя конкретными дробно-рациональными весами: ■ф{Ь) .= (а2 + Ь2)~2 при а > 0, ф{Ь) = (а2 - *2)~2 при а > 1, = (г + а)~2 при а > 0 и ф(Ь) = (Ь + а)-4 при а > 0.

Примером может служить Теорема 3.4. Пусть о > 0.

1. Для стандартного броуновского моста И^) = В при е —> 0 имеем

' -{Г

2. Пусть и < 1. Тогда для "укороченного" броуновского моста W\u) при е —» 0 имеем

Р í Г УШ л < еЛ ~ 4а1|/2(а + 1)3//2 f (а(а+ I))"2 £_2 U (t + o)4^6 J (1 - tOvrV^ £expV 8 £

В параграфах 4 и 5 рассматриваются процессы, собственные функции которых выражаются через функции Бесселя.

В параграфе 4 вычисляется точная асимптотика для ряда процессов, порождающих краевые задачи второго порядка. Получены следующие результаты для для стационарного процесса Орнштейна-Уленбека U(a) и процесса Орнштейна-Уленбека выходящего из нуля, на отрезке и на полуоси с экспоненциальным весом:

Теорема 4.2. Пусть а £ R и q ф 0. Тогда при е —> 0 имеем Теорема 4.3. Пусть а > 0 и q ф 0. Тогда при е —> 0 имеем

a¡2 ( Ч У7' (С-1)4-2

а е"

^iTÍTlyl 8^2

Теорема 4.4. Пусть q > 0. 1. Пусть абК. Го г ¿а при е —» 0 имеем

P{f

я-iri (l+ifl)

2. Пусть а > 0. Тогда при е —> 0 имеем

2 Mi-^.expf-W2

„„„ I 2

-I—Г/ — Т ' (23е)2_ ' • ехР т*Г* (l + f)

Также в параграфе 4 получена асимптотика для броуновского моста со степенным весом и для так называемого онлайн-центрированного вине-ровского процесса W(t) — t_1 /0' W(s) ds со степенным весом.

В параграфе 5 вычисляется точная асимптотика малых уклонений для процессов, порождающих краевые задачи четвертого и более высокого порядка. Для гауссовского процесса X(t), t € [0,1], рассмотрим его т раз проинтегрированный аналог Хт1'""'3™1^),

= (_1)A+-+A- Л. Г X(s)dsdt1...dtm^.

J 0т J 01

Здесь Pj, j = 1,..., m, равны 0 или 1. Положим при п ^ 1

/ • тг \ -г, 2га -1 (iiг

ewnsin — , X>„ = -—:—— z - ехр — V 2п) 2га sin \ ra

через V(...) обозначим матрицу Вандермонда.

Получены следующие результаты для различных многократно проинтегрированных случайных процессов со степенным весом: Теорема 5.3. Пусть и < 1. Тогда при е —> 0 имеет место соотношение

2п/2 . . п(п+2)/4

(0!1!2!... (га - 1)! • | det V(l, z^)\f'2 '

Sn~^ ( Vn

Теорема 5.4. При e —> О имеет место соотношение

Р {lo Г" 01^)2 dí ^ £2}

2п/2 . 7r(n-2)/4 . п(п+2)/4

(1!1!2!... (га - 1)! • I det V(«-i, г,..., г""1)!)172'

„2

£п 2 /"А»

жехр

Аналогичные результаты получены для процесса "условного"

проинтегрированного винеровского процесса (так называемого процесса Лашаля) Вт,

®m(i) = wf '°"-01(1) = 0, 0 ^ з < т),

и многократно проинтегрированного центрированного винеровского процесса W(t) = W(t) —/0 Ty(s) ds. Найдена также точная асимптотика малых уклонений для однократно проинтегрированного онлайн-центрированного винеровского процесса с квадратичным весом.

В параграфах 6 и 7 изучаются малые уклонения случайных процессов, имеющих важное значение для физических, и статистических приложений.

Определим процесс Боголюбова У(£), £ € [0,1], как гауссовский процесс с нулевым средним и ковариационной функцией

Мерой Боголюбова /хв называется распределение процесса Y(t) в пространстве С0 [0,1], снабженном равномерной метрикой.

Мера Боголюбова была детально рассмотрена в [4, 5]. Она играет важную роль в теории статистического равновесия квантовых систем. Мера Боголюбова возникает в представлении гиббсовских равновесных средних от бозе-операторов в виде функциональных интегралов с помощью метода Г-произведений Боголюбова. Свойства меры Боголюбова, функциональных интегралов по этой мере и траекторий процесса Боголюбова изучались в последние годы в работах Д. П. Санковича и В. Р. Фаталова.

В параграфе 6 вычисляется точная асимптотика для процессов Боголюбова с единичным и экспоненциальным весом: Теорема 6.2. При г —► О верно соотношение

Р{ЦУЦ <е} S мв : /д1 At)dt < е2} ~ 4^"/2>е<яф .

Теорема 6.3. При q ф 0 и е -+ 0 верно соотношение

1Уо / ,ЛЩд/Щ(е?-1) V W )

Кроме того, в параграфе 6 получена точная асимптотика для многократно проинтегрированных процессов Боголюбова.

Для V > 1/2 определим процесс Матерна Z<^vЦt), I € [0,1], как гауссов-ский процесс с нулевым средним и ковариационной функцией

оЗ/2-1/

= Г(„,1/2)1« " ~ ¿1), М € [0,1],

где Ка — модифицированная функция Бесселя с индексом а. Эти процессы были, по-видимому, впервые рассмотрены известным шведским статистиком Б. Матерном в задачах геостатистики [15]. Они появляются во многих прикладных вероятностных моделях статистической гидромеханики, теории электрических шумов, см., например, [7]. Процессы Матерна также Связаны с одним классом дробных случайных полей, недавно изученным в работе [11].

В параграфе 7 вычисляется логарифмическая асимптотика малых уклонений с произвольным суммируемым весом для процесса Матерна с любым индексом и точная асимптотика для процессов Матерна с произвольным натуральным индексом:

Теорема. 7.1. Пусть ф — суммируемая неотрицательная функция па

Ите2^2"-1) • 1п Р{|[2М||^ < г} =

1/(21/—1) 2у/(2У-1)

Теорема 7А. Пусть п € N. При е —> 0 имеет место соотношение

1

[0,1]. Положим Л = ¡ф^^Ш. Тогда

о

2(пЧп+1)/2п(п+1)/2еп/2 £п2+\

1<1е^(1,г.....г«-1)|

ехр

Здесь

2^/?Г (п) Г(п — 1/2)'

о У(...) обозначает матрицу Вандермонда.

Далее в параграфе 7 получена логарифмическая асимптотика для полей Матерна, т.е. тензорных произведений процессов Матерна.

В параграфе 8 изучаются малые уклонения гильбертовой нормы броуновской экскурсии, броуновского меандра на отрезке [0,1] и ряда других броуновских функционалов в тесной связи с малыми уклонениями броуновского локального времени и бесселевскими процессами. Ключевую роль в нахождении асимптотики малых уклонений упомянутых процессов играет их связь с некоторыми хорошо изученными гауссовскими процессами.

Опираясь на тождество Уильямса, связывающее броуновскую экскурсию с трехмерным бесселевским мостом, мы находим точную асимптотику малых уклонений для броуновской экскурсии е в Х^-норме с различными весами:

Теорема 8.3. При е —> О верно соотношение

Теорема 8.4. Пусть в > —2. Тогда при е —> 0 верно соотношение

Кроме того, вычислена асимптотика малых уклонений броуновской экскурсии с весами Андерсона-Дарлинга = (¿(1 - ¿))-1 и Родригеса-Виолласа ф{1) = (¿(2 - г))-1.

Аналогичные результаты получены для малых уклонений броуновского меандра то с различными весами:

Теорема 8.10. При е —> 0 справедлива точная асимптотика

Р

Теорема 8.11. Пусть 9 > — 2. Тогда при z —> 0 верно соотношение

х ((0 + 2)£)Ä exp ^((0 + 2)s)-2^ .

Также найдена точная асимптотика малых уклонений броуновского меандра тг с концом в точке z > 0:

Теорема 8.9. Яри е —» 0 и фиксированном z ^ 0 справедлива асимптотика:

. 2у/2(г2 + 3) _2 / (22 + 3)2 _2 , г2\

Используя связь между распределениями функционалов от локального времени броуновского моста Ц(В) и функционалов от броуновской экскурсии, мы получаем точную асимптотику малых уклонений для некоторых функционалов от процесса Lf(B) за время 1 в точке х: Теорема 8.7. При е —» 0 справедливо соотношение

Р{/~ (Lmfdx < е} ~ ^^«ф (—е-1) , Теорема 8.8. При е —► 0

Р {/Jif(ß))2 cfc < *} ~ j^V2exp (-Ц) ,

где а\ и 2.3381 — абсолютное значение первого нуля функции Эйри.

Эти результаты уточняют полученную в работе [8] логарифмическую асимптотику малых уклонений рассмотренных функционалов от локального времени броуновского моста.

Также в параграфе 8 найдена точная асимптотика малых уклонений для супремума броуновской экскурсии m(e) = sup0^u^1 е(и) и для интегрального функционала

Л(е)= fds/tis). J о

Теорема 8.12. При е —> 0 справедлива точная асимптотика

ог . . ^ , ТТ2\/2П ( 7г2 Л Р{тп(е) < £}--ехр ( —-е М .

Следствие 8.13. При е —>■ 0 справедлива асимптотика

\ 8ТГ2\/27Г / 2тг2\ Р{Л(е) < е}--— ехр J .

Список литературы

[1] Аурзада Ф., Ибрагимов И. А., Лифшиц М. А., ван Зантен X. Малые уклонения гладких стационарных гауссовских процессов. // Теория вероятн. и ее примен. — 2008. — Т. 53, № 4. — С. 788-798.

[2] Лифшиц М. А. Гауссовские случайные функции. — Киев: ТВ1МС, 1995.

[3] Назаров А. И. О точной константе в асимптотике малых уклонений в ¿2-норме некоторых гауссовских процессов. — Нелинейные уравнения и математический анализ. Новосибирск: Т. Рожковская, 2003, с. 179— 214. (Проблемы матем. анализа, в. 26).

[4] Санкович Д. П. Гауссовы функциональные интегралы и гиббсовские равновесные средние. // Теор. и мат. физика. — 1999. — Т. 119, № 2.

- С. 345-352.

[5] Санкович Д. П. О некоторых свойствах функциональных интегралов по мере Боголюбова. // Теор. и мат. физика. — 2001. — Т. 126, № 1. — С. 149-163.

[6] Фаталов В. Р. Константы в асимптотиках вероятностей малых уклонений для гауссовских процессов и полей. // Успехи мат. наук. — 2003.

- Т. 58, № 4. - С. 89-134.

[7] Яглом А. М. Корреляционная теория стационарных случайных функций с примерами из метеорологии. — Л.: Гидрометеоиздат, 1981.

[8] Csorgo M., Shi Z., Yor M. Some asymptotic properties of the local time of the uniform empirical process. // Bernoulli. — 1999. — V. 5. — P. 10351058.

[9] Deheuvels P., Martynov G. Karhunen-Loeve expansions for weighted Wiener processes and Brownian bridges via Bessel functions. // Proc. of the conference "High dimensional probability IIP, Sandjberg, 2002. / ed. J. Hoffmann-J0rgensen et al. Basel: Birkhauser, 2003. P. 57-93.

[10] Ferraty F., Vieu Ph. Nonparametric functional data analysis. — Berlin: Springer, 2006.

[11] Kelbert M. Ya., Leonenko N. N., Ruiz-Medina M. D. Fractional random fields associated with stochastic fractional heat equations. // Adv. Appl. Prob. - 2005. - V. 37. - P. 108-133.

[12] Li W.: V., Shao Q. M. Gaussian processes: inequalities, small ball probabilities and applications. — Stochastic Processes: Theory and Methods. Amsterdam: North-Holland, 2001, p. 533-597 (Handbook Statist., v. 19).

[13] Lifshits M. A. Asymptotic behavior of small ball probabilities. // Probability Theory and Mathematical Statistics: Proceedings of the Seventh International Vilnius Conference. / ed. B. Grigelionis et al. Vilnius: TEV, 1999. P. 453-468.

[14] Lifshits M. A. Bibliography on small deviation probabilities. Режим доступа: http://www.proba.jussieu.fr/pageperso/smalldev/biblio.pdf.

[15] Mat6rn В. Spatial variation. — Berlin: Springer-Verlag, 1986.

[16] Nazarov A. I. Exact I^-small ball asymptotics of Gaussian processes and the spectrum of boundary-value problems. //J. Theoret. Probab. — 2009. - V. 22. - P. 640-665.

[17] Nazarov A. I., Nikitin Ya. Yu. Exact L2-small ball behavior of integrated Gaussian processes and spectral asymptotics of boundary value problems. // Probab. Theory Relat. Fields. - 2004. - V. 129, № 4. - P. 469-494.

[18] van der Vaart A. W., van Zanten H. Rates of contraction of posterior distributions based on Gaussian process priors. // Ann. Statist. — 2008.

- V. 36, № 3. - P. 1435-1463.

Публикации автора по теме диссертации

Статьи в журналах, рекомендованных ВАК:

[П1] Пусев Р. С. Малые уклонения полей и процессов Матерна в гильбертовой норме. // Доклады РАН. - 2008. — Т. 422, № 6. - С. 741-743.

[П2] Пусев Р. С. Асимптотика малых уклонений процессов Матерна в 1,2-норме с весом. // Обозрение прикл. и промышл. матем. — 2009. — Т. 16, № 2. - С. 271.

[ПЗ] Пусев Р. С. Асимптотика малых уклонений в весовой квадратичной норме для полей и процессов Матерна. // Теория вероятн. и ее при-мен. - 2010. - Т. 55, № 1. - С. 187-195.

[П4] Пусев Р. С. Асимптотика малых уклонений процессов Боголюбова в квадратичной норме. // Теор. и мат. физика. — 2010. — Т. 165, № 1.

- С. 134-144.

[П5] Назаров А. И., Пусев Р. С. Точная асимптотика малых уклонений в ¿2-норме с весом для некоторых гауссовских процессов. // Зап. научн. семин. ПОМП. - 2009. - Т. 364. - С. 166-199.

Другие публикации:

[П6] Nazarov A. I., Nikitin Ya. Yu., Pusev R. S. Small deviations of Gaussian processes in Z/2-norm: exact asymptotics. Transactions of the XXVI International Seminar on Stability Problems for Stochastic Models (Nahariya, Israel, October 22-26, 2007), ed. Z. Volkovich, Ort Braude College, Karmiel, Israel, 2007, p. 153-156.

[П7] Nikitin Ya. Yu., Pusev R. S. Small deviation probabilities for Matto processes under weighted L2-norm. — SPA 2009, Abstract book of 33rd

Conference on Stochastic Processes and Their Applications, Berlin, 27th July - 31st July, 2009, p. 185-186.

[118] Pusev R. Small deviations for the Bogoliubov process. — Abstracts of the 10th International Vilnius Conference on Probability Theory and Mathematical Statistics, 2010, p. 241-242.

Подписано в печать 11.01.2011. Формат 60x84/16 Отпечатано с готового оригинал-макета в типографии ЗАО «КопиСервис». Печать ризографическая. Заказ № 1/0111. П. д. 1.00. Уч.-изд. д. 1.00. Тираж 100 экз.

ЗАО «КопиСервис» Адрес: 197376, Санкт-Петербург, ул. Проф. Попова, д. 3. тел.: (812) 327 5098

§ 1. Введение

§ 2. Асимптотика с точностью до константы для взвешенных процессов

§ 3. Процессы, связанные с тригонометрическими функциями

§ 4. Процессы второго порядка, связанные с функциями Бесселя

§ 5. Интегрированные процессы, связанные с функциями Бесселя

§ 6. Процессы Боголюбова

§ 7. Процессы Матерна

§ 8. Малые уклонения ряда броуновских функционалов

Краткая история вопроса

Теория малых уклонений гауссовских процессов в различных нормах интенсивно развивается в последние годы (см., например, обзоры [69] и [71], практически полная библиография по малым уклонениям представлена в [72]). Этому развитию способствовало обнаружение связей малых уклонений с другими важными математическими задачами, такими как оценка точности дискретной аппроксимации случайных процессов, вычисление метрической энтропии функциональных множеств, закон повторного логарифма в форме Чжуна и в форме Вичуры, нахождение скорости ухода (rate of escape) бесконечномерного вине-ровского процесса. Недавно была также установлена связь малых уклонений с задачами математической статистики: функциональным анализом данных [52] и непараметрическим байесовским оцениванием [1], [89], [90].

Задача о малых уклонениях случайного процесса X в норме || • || представляет собой описание поведения при е —> 0 вероятности Р{||Х|| ^ е}. Результат, подобный

Р{||Х|| ^ е} ~ C^expt-dO, ^ 0, с некоторыми вещественными константами С, (3, d и а называется точной асимптотикой. Если же доказано меньше, а именно

1пР{||Х|| ^ e}~-d£~a, е-*0, то такой результат называется логарифмической асимптотикой.

В известной монографии Лифшица [14, §18] отмечается: "Поведение малых уклонений, в отличие от больших, нельзя описать единообразно для всего класса гауссовских мер даже на логарифмическом уровне. Формализм оценивания значений малых уклонений, сравнимый по простоте с применением функционала действия для больших уклонений, еще не найден. Известны лишь частные результаты для нескольких важных специальных ситуаций."

Как правило, в работах по малым уклонениям речь шла о нижних и верхних оценках вероятностей Р{||Х|| ^ £■}, а точную и даже логарифмическую асимптотику с явно выписываемыми константами удавалось найти лишь для небольшого числа случайных процессов [69], [32].

Настоящая диссертация посвящена изучению асимптотики малых уклонений гауссовских случайных функций в Ьч-норме. Наша основная цель — получение точной асимптотики вероятностей малых уклонений вплоть до констант для ряда конкретных гауссовских процессов. Особое внимание мы уделяем весовой норме в Ьч, где точная асимптотика была ранее известна лишь для немногих простейших весов.

Пусть дан гауссовский процесс Х(1;), а ^ £ < Ь, с нулевым математическим ожиданием и ковариационной функцией й), а ^ ¿, я ^ Ь, и неотрицательная, функция ф(£) на [а, 6]. Положим Гь \1/2 ми = Ц Х2№№) ■

Если конечен интеграл /пЬ ¿)^(£)гй, процесс Х{р)у/ф{€) допускает разложение Карунена-Лоэва (см., например, [38]): оо (1.1) где к е М, независимые стандартные гауссовские случайные величины, а 0 и Д(£), к € М, являются собственными значениями и ортонормирован-ными собственными функциями интегрального уравнения

А/(0 = С в)£ € [а, 6]. (1.2)

• 'а

Из разложения Карунена-Лоэва получаем следующее равенство по распределению рЪ °° ми = / а к=1

Таким образом, исходная задача сводится к описанию поведения при е —> О вероятности Р {X^fcLi ^fcCjfc ^ £2}- Первые решения этой задачи были основаны на вычислении преобразования Лапласа, использовании формулы обращения для преобразования Лапласа с выходом в комплексную область и применении асимптотического метода перевала.

Легко видеть, что производящая функция кумулянтов случайной величины XX1 равна оо \ оо

-u I] ) = - о ÜC ln(x+(L4) к= 1 / к=1

В работе Сытой [30] было получено следующее решение задачи о малых уклонениях:

Теорема 1.1. Пусть А^ > 0 и YlkLi^k < оо, тогда при е —> 0 справедливо соотношение

Р [ркй ^ - {2-kL"{u))~1^2u~1 exp(L(u) - uL'(u)), где и = и(е) является решением уравнения

Ь'(и)+е2 = 0. Замечание 1. Согласно формуле (1-4), оо . к= 1

ОО Х2

Этот результат трудно использовать для конкретных вычислений и приложений, поскольку асимптотика задается неявным выражением. Кроме того, явные формулы для собственных значений известны лишь для немногих процессов (см. [51, 67, 81]).

Поэтому многие авторы, начиная с работ [11, 50, 93], занимались упрощением выражения для вероятности малых уклонений при различных предположениях.

В результате был получен ряд точных и логарифмических асимптотик малых уклонений для гауссовских процессов и полей в гильбертовой норме.

Примерами результатов о логарифмической асимптотике в £2 могут служить работы [47], [45], [19], [61] и другие.

Вопрос о точной асимптотике малых уклонений оказывается существенно более сложным. В работе [9] была впервые получена точная асимптотика малых уклонений в случае Л^ = к~Л, А > 1. В статье [70] результаты [30] были обобщены на случай рядов в которых случайные величины Z¡: имеют распределение из довольно широкого класса (на еще более широкий класс распределений эти результаты обобщены в недавних работах [44], [40], [23] и [85]).

На основе результатов из [70] в работе [51] была найдена точная асимптотика в случае А& = /(к), где / — положительная, логарифмически выпуклая, дважды дифференцируемая и суммируемая функция. В работе [42] были конкретизированы результаты [51] и вычислена точная асимптотика малых уклонений в случае проинтегрированного и центрированного (по времени) броуновского движения и броуновского моста. Более общие результаты для проинтегрированных процессов были затем доказаны в [57] и особенно в [79].

В работе [21] были описаны малые уклонения процессов Слепяна, а в [22] была получена точная асимптотика малых уклонений в часто встречающемся случае, когда числа А/с являются частными от степеней двух полиномов, то есть

Если числа Л^ устроены сложнее, то точную асимптотику, как правило, найти не удается. В работе [61] была получена логарифмическая асимптотика малых уклонений случае А& ~ ^рг, где р > 1, а (р — медленно меняющаяся на бесконечности дважды дифференцируемая функция, удовлетворяющая некоторым дополнительным условиям (в статье [39] была вычислена логарифмическая асимптотика малых уклонений в случае А& ~ 1 + 1п/с)г/, где ¡1 > 1, и € М, для более широкого класса случайных величин В статье [6] найдена логарифмическая асимптотика малых уклонений в случае, когда коэффициенты близки к геометрической прогрессии, то есть А& = + о(1))&, где 0 < д < 1.

При вычислении асимптотики малых уклонений в 1/2 очень полезна теорема сравнения, полученная в [67].

Теорема 1.2. Пусть Лк ^ 1, — положительные числа, такие, что Хк < оо, Ак < оо и 111 ~ Ч/^кI < оо. Тогда при £ ^ О

00 /со \г/2(оо ^

Е } ~ (П ) р {Е « } •

В статье [56] (см. также [58]) условие — < оо было ослаблено и заменено условием сходимости бесконечного произведения Пь=1 ^к/^к

А. И. Назаровым и Я. Ю. Никитиным в работах [79], [78] был разработан новый подход, позволяющий получать асимптотику собственных чисел и асимптотику малых уклонений в 1,2-норме с точностью до константы для гауссовских процессов, ковариационная функция которых является функцией Грина самосопряженного дифференциального оператора из довольно широкого класса. В статье [17] был предложен способ вычисления константы расхождения, основанный на методах комплексного анализа (близкие результаты были получены в работах [55], [56]).

Кроме асимптотики вероятностей малых уклонений для случайных процессов в диссертации получено несколько результатов о малых уклонениях гауссовских случайных полей. О малых уклонениях в многопараметрическом случае известно гораздо меньше, чем в однопараметрическом. Первые результаты о малых уклонениях случайных полей — логарифмическая асимптотика для дву-параметрического поля Винера-Ченцова — были получены в работах [15], [47]. В статье [19] была установлена логарифмическая асимптотика малых уклонений для обычного и дробного броуновского движения Леви, а также дробного поля Орнштейна-Уленбека. В работе [61] изучались малые уклонения для случайных полей, имеющих структуру тензорного произведения, то есть таких полей Х(Ь\,. ковариационная функция которых распадается в произведение маргинальных ковариационных функций:

• • •, вь ., = Са(*1, в1) ■ • - С?^, ва).

Точная асимптотика малых уклонений в многопараметрическом случае известна лишь для проинтегрированного и обычного броуновского листа [53].

Упомянем и о малых уклонениях в более общих нормах Ьр. Один из первых результатов о точной асимптотике здесь был получен для малых уклонений винеровского-процесса в Ьр-норме [5]. В статье [73] была получена логарифмическая асимптотика для симметричных ск-устойчивых процессов Римана-Лиувилля в нормах из широкого класса, включающего £р-нормы. В последние годы асимптотика малых уклонений винеровского процесса и связанных с ним процессов в Ьр, р > О, изучалась в серии работ Фаталова [33, 34, 36], в которых разработан новый оригинальный метод исследования, основанный на сведении малых уклонений гауссовских процессов к большим уклонениям времен пребывания.

Существует немало результатов о малых уклонениях гауссовских процессов в иных нормах, например, в гёльдеровских, соболевских нормах и супремум-норме, см. [72], но их рассмотрение находится за рамками настоящей работы.

Результаты диссертации

Переходим к описанию основных результатов работы. Она состоит, помимо Введения, из семи параграфов и списка литературы.

В параграфе 2 решается вопрос о нахождении асимптотики малых уклонений для взвешенных случайных процессов. Для процессов, ковариационная функция которых является функцией Грина дифференциального оператора из довольно широкого класса, и достаточно гладких невырожденных весовых функций явно выписывается асимптотика малых уклонений с точностью до константы. Условиям основной теоремы §2 удовлетворяют многие известные процессы, например, винеровский процесс, броуновский мост, процесс Орнштейна-Уленбека, их многократно проинтегрированные аналоги. В последующих параграфах обсуждаются случаи, когда возможно провести до конца все вычисления и получить явное выражение для константы расхождения.

В параграфе 3 рассматриваются гауссовские случайные процессы, у которых собственные функции ковариации выражаются через тригонометрические функции. Вычисляется точная асимптотика малых уклонений процессов, являющихся обобщением винеровского процесса и броуновского моста, с четырьмя конкретными дробно-рациональными весами.

В параграфах 4 и 5 рассматриваются процессы, собственные функции которых выражаются через функции Бесселя.

В §4 вычисляется точная асимптотика для ряда процессов, порождающих краевые задачи второго порядка: для броуновского моста со степенным весом, для процесса Орнштейна-Уленбека на отрезке и на полуоси с экспоненциальным весом, а также для так называемого онлайн-центрированного винеровского процесса со степенным весом. В §5 вычисляется точная асимптотика малых уклонений для процессов, порождающих краевые задачи четвертого и более высокого порядка: для однократно проинтегрированного онлайн-центрированного винеровского процесса с квадратичным весом, а также для различных многократно проинтегрированных случайных процессов со степенным весом.

В параграфах 6 и 7 изучаются малые уклонения случайных процессов, имеющих важное значение для физических и статистических приложений.

В §6 рассматриваются процессы Боголюбова. Вычисляется точная асимптотика для процессов Боголюбова с единичным и экспоненциальным весом, а также для многократно проинтегрированных процессов Боголюбова.

В §7 вычисляется логарифмическая асимптотика малых уклонений с произвольным суммируемым весом для процесса Матерна с любым индексом, точная асимптотика для процессов Матерна с произвольным натуральным индексом, а также логарифмическая асимптотика для полей Матерна.

В параграфе 8 изучаются малые уклонения броуновской экскурсии, броуновского меандра и ряда других броуновских функционалов в тесной связи с малыми уклонениями броуновского локального времени и бесселевскими процессами.

Результаты диссертации докладывались автором на международной конференции "Вероятности малых уклонений и смежные вопросы" (Санкт-Петербург, 12-19 сентября 2005 г.), на семинаре Института математической стохастики Гет-тингенского университета под руководством проф. М. Денкера (в июне 2007 г.), на семинаре по теории вероятностей и математической статистике Билефельд-ского университета под руководством проф. Ф. Гётце (в июле 2008 г.), на Первом Северном трехстороннем (финско-шведско-российском) семинаре (Эспоо, 9-11 марта 2009 г.), на Шестнадцатой Всероссийской школе-коллоквиуме по стохастическим методам (Санкт-Петербург, 19-24 мая 2009 г.), на 33-й Конференции по случайным процессам и их приложениям (Берлин, 27-31 июля 2009 г.), на Десятой международной вильнюсской конференции по теории вероятностей и математической статистике (Вильнюс, 28 июня - 2 июля 2010 г.) и на санкт-петербургском городском семинаре по теории вероятностей и математической статистике под руководством академика РАН И. А. Ибрагимова (в октябре 2010 г.) Они опубликованы в восьми работах [95]—[102].

Структура диссертации

Диссертация состоит из введения и семи параграфов.

1. Камке Э. Справочник по обыкновенным дифференциальным уравнениям.- СПб.: Лань, 2003.

2. Леви П. Стохастические процессы и броуновское движение. — Пер. с франц.- М.: Наука, Физматлит, 1972.

3. Лифшиц М. А. Гауссовские случайные функции. — Киев: ТЕНМС, 1995.

4. Лифшиц М. А., Цирельсон Б. С. Малые уклонения гауссовских полей. // Теория вероятн. и ее примен. — 1986. — Т. 31, № 3. — С. 632-633.

5. Михайлова Е. М. Асимптотические распределения для броуновского движения со сносом. // Успехи матем. наук. — 1994. — Т. 49, № 4. — С. 173-174.

6. Назаров А. И. О точной константе в асимптотике малых уклонений в Ь2-норме некоторых гауссовских процессов. — Нелинейные уравнения и математический анализ. Новосибирск: Т. Рожковская, 2003, с. 179-214. (Проблемы матем. анализа, в. 26).

7. Назаров А. И. Об одном семействе преобразований гауссовских случайных функций. // Теория вероятн. и ее примен. — 2009. — Т. 54, № 2. — С. 209225.

8. Назаров А. И., Никитин Я. Ю. Логарифмическая асимптотика малых уклонений в 1/2-норме для некоторых дробных гауссовских процессов. /./ Теория вероятн. и ее примен. — 2004. — Т. 49, № 4. С. 695-711.

9. Наймарк М. А. Линейные дифференциальные операторы. — М.: Наука, 1969.

10. Никитин Я. Ю., Орсингер Э. Точная асимптотика малых уклонений процессов Слепяна и Ватсона в гильбертовой норме. // Зап. научн. семин. ПОМИ.- 2004. Т. 320. - С. 120-128.

11. Никитин Я. Ю., Харинский П. А. Точная асимптотика малых уклонений в 1/2-норме для одного класса гауссовских процессов. // Зап. научн. семин. ПОМИ. 2004. - Т. 311. - С. 214-221.

12. Csorgo M., Shi Z., Yor M. Some asymptotic properties of the local time of the uniform empirical process. // Bernoulli. — 1999. — V. 5. — P. 1035-1058.

13. Janson S. Brownian excursion area, Wright's constants in graph enumeration, and other Brownian areas. // Probability Surveys. — 2007. — V. 4. — P. 80-145.

14. KaroP A., Nazarov A., Nikitin Y. Small ball probabilities for Gaussian random fields and tensor products of compact operators. // Trans. Amer. Math. Soc. — 2008. V. 360, № 3. - P. 1443-1474.

15. Kelbert M. Ya., Leonenko N. N., Ruiz-Medina M. D. Fractional random fields associated with stochastic fractional heat equations. // Adv. Appl. Prob. — 2005. V. 37. - P. 108-133.

16. Kiefer J. k-sample analogues of the Kolmogorov-Smirnov and Cramer-von Mises tests.// Ann. Math. Stat. 1959. - V. 30. - P. 420-447.

17. Kleptsyna M. L., Le Breton A. A Cameron-Martin type formula for general Gaussian processes — a filtering approach. // Stochast. Stochast. Rep. — 2002. V. 72, № 3-4. - P. 229-250.

18. Lachal A. Study of some new integrated statistics: computation of Bahadur efficiency, relation with non-standard boundary value problems. // Math. Meth. Statist. 2001. - V. 10, № 1. - P. 73-104.

19. Li W. V. Comparison results for the lower tail of Gaussian seminorms. // J. Theoret. Probab. 1992. - V. 5, № 1. - P. 1-31.

20. Li W. V. Small ball probabilities for Gaussian Markov processes under the Lp-norm. // Stoch. Processes and Their Appl. — 2001. — V. 92. — P. 87-102.

21. Пусев Р. С. Малые уклонения полей и процессов Матерна в гильбертовой норме. // Доклады РАН. 2008. - Т. 422, № 6. - С. 741-743.

22. Пусев Р. С. Асимптотика малых уклонений процессов Матерна в 1,2-норме с весом. // Обозрение прикл. и промышл. матем. — 2009. — Т. 16, № 2. — С. 271.

23. Пусев Р. С. Асимптотика малых уклонений в весовой квадратичной норме для полей и процессов Матерна. // Теория вероятн. и ее примен. — 2010. Т. 55, № 1. - С. 187-195.

24. Пусев Р. С. Асимптотика малых уклонений процессов Боголюбова в квадратичной норме. // Теор. и мат. физика. — 2010. — Т. 165, № 1. — С. 134-144.

25. Назаров А. И., Пусев Р. С. Точная асимптотика малых уклонений в Ь2-норме с весом для некоторых гауссовских процессов. // Зап. научн. семин. ПОМИ. 2009. - Т. 364. - С. 166-199.

26. Nikitin Ya. Yu., Pusev R. S. Small deviation probabilities for Matern processes under weighted L2-norm. — SPA 2009, Abstract book of 33rd Conference on Stochastic Processes and Their Applications, Berlin, 27th July 31st July, 2009, p. 185-186.

27. Pusev R. Small deviations for the Bogoliubov process. — Abstracts of the 10th International Vilnius Conference on Probability Theory and Mathematical Statistics, 2010, p. 241-242.