Исследование асимптотического поведения вероятностей больших отклонений траекторий гауссовских нестационарных процессов и полей тема автореферата и диссертации по математике, 01.01.05 ВАК РФ

Введение. 4

Глава I. Асимптотика распределения функционала максимума для гауссовского нестационарного про цесса.14

§ I. Вспомогательные утверждения.15

§ 2. Леммы сравнения.17

§ 3. Асимптотика вероятности больших выбросов.20

§ 4. Асимптотика вероятности больших выбросов.

Общий случай. 32

Глава П. Исследование вероятности больших размахов траекторий гауссовских стационарных процессов. 38

§ 5. Фора/улировка основных результатов.38

§ 6. Свойства корреляционной функции поля приращений . <,. 40

§ 7. Леммы сравнения. 43

§ 8. Доказательство основных теорем 5:1, 5.2. 48

§ 9. Оценка двойной суммы. 62

Глава Ш. Выбросы за высокий уровень гауссовских случайных полей. 70

§10. Основные определения. 70

§11. Условные поля. 72

§12. Слабая сходимость. 78

§13. функционал выхода за уровень гауссовского поля. 83

§14. Связь мевд максимумами и функционалом превышения уровня. 89

§15. Хвост распределения максимума. 92

Изучение распределений функционалов типа супремума, от случайных процессов и полей является важной задачей теории случайных процессов. Представляет интерес применение к решению этой задачи развитых в последнее время асимптотических методов в теории гауссовских процессов.

Целью работы является изучение асимптотического поведения распределения функционалов супремума, размаха и времени пребывания реализаций гауссовских процессов и полей. Получение точных асимптотик для распределения упомянутых функционалов, и методы их вывода могут быть использованы в математической статистике, теории надёжности, теории шероховатых поверхностей, при оценивании неровностей после обработки высокоточных поверхностей, а также для дальнейшего развития асимптотических методов в теории гауссовских процессов. В работе впервые получены точные асимптотики для вероятностей больших уклонений широкого класса гауссовских нестационарных процессов, найдена точная асимптотика для вероятностей большого размаха, реализаций гауссовских стационарных процессов, исследовано распределение времени пребывания за высоким уровнем гауссовского локально стационарного поля. Для этих целей разработана методика исследования больших выбросов гауссовских нестационарных процессов и полей.

Перейдем к краткому изложению основных результатов настоящей работы и близких результатов, полученных ранее.

Работа состоит из 3 глав, включающих в себя 15 параграфов. Нумерация теорем, лемм и формул ведется по параграфам.

В 1-й главе выводятся точные асимптотики для распределения функционала супремума нестационарного гауссовского процесса.

П-я глава содержит вывод точных асимптотик для функционала размаха гауссовского стационарного процесса.

Ш-я глава посвящена аналогичной задаче для супремума локально-стационарного гауссовского поля.

В 70-х годах появились работы о нахождении точных асимптотик распределения максимума гауссовского процесса с правильно меняющейся корреляционной функцией в нуле. В основе методов в этих работах лежит идея о том, что для гауссовских процессов с корреляционной функцией вида где C>fyoL>o? L - медленно меняющаяся в нуле функция, существует такая функция V~(0l?cL) при LL-<х=>, что случайные процессы на отрезках, разделенных интервалом, много большим, чем V'1 , асимптотически независимы при условии, что они пересекают уровень Ц, или находятся вблизи него.

Приведем здесь один из таких результатов, который используется в диссертации.

Теорема 0.1 (Кволс, Ватанабе £46 ] ; Беляев, Питербарг £Зб] ). №я вектора

-fc-C-fc положим

1 pli é

Пусть для однородного сепарабельного гауссовского поля Ъе Rn со средним 0 и ковариацией *ZXi) существуют невырожденное линейное преобразование С пространства R и числа tj , fcffiJM-ltU^oCitLO, i + o. n

Тогда для любого измеримого по Жордану множества А С R .

СХЭ > } СА ) >0 р <) - мера Лебега , ^ где Не*. — ¿1т Нос (Т)/ТП; 0< ос 9

- гауссовское поле, Е УбО^ I

Впервые подобный результат был опубликован в работе Пиканд-са [45] , но его доказательство содержит ряд существенных опщ -бок, которые в последствии были исправлены рядом авторов (Питер-барг [ю], Кволс ,Ватанабе [4б]).

Кволс и Ватанабе доказали эту теорему для изотронного случая К=Н , но в условиях, аналогичных соотношению (0.1); их работа [47] и работа Беляева и Питербарга [зб] появились црактически одновременно.

В главе I изучается гауссовский сепарабельный процесс ковариационная и корреляционная функции соответственно; причем выполнены следующие условия: (I ) б^ имеет единственный абсолютный максимум в точке £ [Д и б^=- А | ^ - ^ о с I-ь -»

-ьм, <=><= , А, б*м > о;

I) ч(-ь,%)= ^а.зт-зм-от-зО,^^, непрерывна в точке (■£ ) (локальная стационарность в точке

Ьн

Ш) существуютЫ4>о и to>0 такие, что для всем ~t,S такта, 4Toli-S|<t0 имеет место неравенствоH-2ft,S)UсIt-sf*"* Далее ~ стандартная нормальная плотность,

Ч/Ос)« ufVcu.).

Теорема 0.2. Пусть "¿бТ^-Г] гауссовский сепарабельный процессорно > Дисперсия и корреляционная функция которого удовлетворяет условиям (I), (П) и (Ш). Тогда еслиß>°L » т0 г- = iFrij)J) 4 6in Hol 9 если

Jpijri^ ^ б^ Нл > еели или 4 .

ЕСЛИ = cL f ТО или!;

K-A/r6ftM)3>).

Если ,

Зде q jj

Щ' = Ujv т,т)г = fe/77 иЛ(0т)<с metoe

K>0, Hl{A,B)=n + B)"iM eoepfr^ßj^x

- 7

ХШ - гауооовокш процесс, Ь £ С-, <=-®)

Случай^ рассмотрен в [зб] , приведен здесь для полноты изложения. Доказательство теоремы в этом случае приводить не будем.

Б случае, когда, математическое ожидание не равно тождест -венно 0 , справедлива следующая теорема.

Теорема 0.3. Пусть гауссовскш процесс -6 €10,4] , удовлетворяет условиям (I) - (Ш) и условию: (ГУ) Е — М С£) - ограниченная йункция и для всех t из некоторой окрестности Гм , некоторых .

Тогда

Рассмотрим гауссовский сепарабелъный процесс со средним О , корреляционная функция которого удовлетворяет условию (Ш), дисперсия которого достигает своего абсолютного максимума б в конечном числе точек ~Ьп и в каждой из этих точек кор -реляционная функция и дисперсия удовлетворяют условиям (I) и (П).

Тогда (теорема 4.1 диссертации) р! таза &>£б1 где функция определяется в каждой точке ~ЬК из теоремы 0.2. Пусть Тм - точка абсолютного максимума процесса ^ , а л = ^ (—)

Выберем те , для которых - = и пронумеруем их : ^ рк

Ь^ ; положим

М^/ГЦ», 1=4,«., т.

- 8

Введем в сшл) семейство мер

Тогда распределение 60)} слабо сходится к распределению случайной величины ^ такой, что

Р^^Ьр*'^'-' т■

В главе П рассмотрен функционал размаха.

Пусть ^ }~Ьб 110,4] - гауссовский стационарный случайный процесс со . средним 0 , дисперсией I, ковариационной функцией Е -Б ) и непрерывными траекториями.

Размахом процесса ^ называется функционал у таос £ - теп Е, ш,*!?* -ЪбГо,и7Ь '

Пусть корреляционная функция Z (~Ь) гауссовского стационарного процесса удовлетворяет еле,дующим условиям: (X) дважды непрерывно дифференцируема на интервале (ОД); (П) Существуют оС>0 и >0 такие, что £(т£)= (Ш) В единственной точке достигает абсолютного минимума и для некоторых С О

Заметим, что условие (П) гарантирует существование версии процесса ^ с непрерывными траекториями, и что не равна тождественно единице.

Из (I) - (Ш) следует также, что и если ~Ь/г)€-(0) 1) , Кроме того из положительной определенности функции 2 (-6) следует, что ^ ^ .

Введем ^ „ ^ .

- гауссовское поле, для которого

ШСХ.«), XСй)) = 1-Ьи + 1Б и-\-Ь-ги.

Здесь Ь=(-Ъ,,-Ь£)г (-¿и =1-^1*4 КI* известно, что 0< Не*, ос^ ^ и Цг, о (¡3?], см. лемму

1,3 ниже).

Теорема 0.4. Если выполнены условия (I) - (III) ,^¡^€(0/) ^ то при

I V S/Z-Ш+З/л , <. + '/&,.,, . ,

4-tm)l A(i-Z(-tm)) ГР//!)Ц*,<* jz ЯР С при вС

Q--U) ¿ ^ О- Р (Vfi) n\o)\ fi -Jf-З/А. с 1/Ji

Теорема 0.5. Если выполняются условия (I) - (III), tm = Ï, то при , î* YOK

X 0-г(1)) ГС*//) H

JB^P С ^ 2>'г/оС р при 7 oL—ZL ^ ь. и. ' (¡¿^ Hxcf)>"-h /nfW l'z"Co)i

---jZjj-s/j. «t/^ • при

Последнее соотношение теоремы 0.5 означает, что прибб-^сх?

РЩ 1>«-1,.е по™ все траектории с размахом большими (Л, асимптотически имеют максимальный размах в крайних точках отрезка. Этот вырожденный на первый взгляд случай встречается довольно часто, например, если процесс ^ дифференцируем в среднем квадратичном (оС-^О и на рассматриваемом отрезке производная корреляционной функции обращается в нуль лишь при £-О

Заметим, что в случаях о4=^ точные асимптотики также можно найти предлагаемыми здесь методами.

Используемые в главах I, П, методы можно обобщить на многомерный случай. Такое обобщение необходимо для нахождения асимптотики распределения (хотя бы предельного) статистики Колмогорова в случае, когда предварительно оцениваются некоторые параметры. В одномерном случае эта задача решена Г.А.Несененко и Ю.Н.Тюриным [в] методами дифференциальных уравнений, исходя из марковости предела эмпирического процесса.

Вышеприведенные точные асимптотики и методы их получения интенсивно применяются Ю.К.Беляевым и его учениками в задаче приближения траекторий гауссовских процессов с непрерывным временем функциями из заданных конечномерных пространств.

В обзоре |32] упомянуты работы Ю.К.Беляева и А.Х.Симоняна, в которых исследован случай приближения ломаными.См. также ¡28, 1з] . О.В.Селезнев [12, 27] исследовал равномерное приближение траекторий гауссовского процесса сплайнами и тригонометрическими рядами.

В главе Ш исследован вопрос об асимптотике вероятности большого выброса для гауссовского поляЗ(У^,со средним и постоянной дисперсией. Введем обозначения

Определим свойство локальной стационарности. Предположим, что существует непрерывная функция

0 при всех

-Ьб £ = С^-^) и непрерывная монотонная функция

КСв), К(о) = 0 и КС$)>0 при такие, что равномерно по

Тогда поле X называется локально стационарным. В дальнейшем будем предполагать, что функция К (-к) - правильно меняющаяся порядка для некоторого о-^сЛ*: £ т.е.

Ьит КСБ-О/КСбЫ:* 0,

Но

Для Ц,^ 4 и фиксированного 1:^1:6 Жп (С) 0 построил поле

Хс?)= и. (Ш ¿еггСХ.Га-Т), \Г>ол и будем рассматривать его при условии фиксированного X (о).

Пусть 1 - некоторое ограниченное множество из Одним из основных результатов главы Ш является слабая компактность семейства условных полей.

Теорема 0.6. Если~X(-L) - локально стационарное поле, то семейство мер(£?. )>LL>LL0>i:£ JC* (t) индуцированное условными полямиX^s)» S6" I при условии л.(о)-О слабо компактно в<Г(1)

Для поля ^(-ij-Ur (X(i)-U-), t £ Jth (с) и не отрицательной измеримой функции с=^=>) определим интег рал „ ->

ЭСп(1) г

Будем предполагать, что функция Ь- удовлетворяет условию с1уг.<=>о для любого С >0 , а такие, что кусочно непрерывна и для всех у из некоторого невырожденного интервала ( 0}Х ). Тогда для локально стационарного поляХ (теорема 14.1 диссертации) где ¿Я- - наименьшее решение уравнения Пусть

Такой предел существует для почти всех Пусть далее

- гауссовское локально стационарное поле, тогда если

0 , то предел еипус'стсо^тсэс)),

У ХА/О существует, положителен и конечен, кроме того

Р{ УаЖХ(7)>и-Ъ . -г -я

Методами, развитыми в диссертации, В.у.(Баталовым получены аналогичные результаты для некоторых классов гауссовских неоднородных полей. Некоторые результаты, получены другими методами для винеровского поля, содержатся-в ^40] .

Результаты настоящей работы докладывались на П Вильнюсской конференции по теории вероятностей и математической статистике в 1977 году, на семинарах в МГУ. Основные результаты диссертации изложены в работах [51-54].

Автор выражает глубокую благодарность научным руководителям профессору Ю.К.Беляеву, старшему научному сотруднику 33.И.Питер-баргу за постоянную поддер&ку и внимание к работе.

ГШ I. АСШПТОТЙКА РАСГВДЕЖНШ ОТКЦИ0НА1А МАКСИМУМА ДЛЯ ГАУССОВСКОГО НЕСТАЦИОНАРНОГО ПРОЦЕССА

В настоящей главе рассмотрен случай нестационарного процесса, у которого дисперсия достигает абсолютного максимума в конечном числе точек.

В §1 приведены вспомогательные утверждения.

§2 посвящен леммам сравнения, связанным с переходом от нестационарного процесса к стационарному.

В §3 изучается асимптотика вероятности большого выброса в предположении, что математическое ожидание процесса равно 0, а дисперсия достигает абсолютного максимума в единственной точке.

В §4 рассмотрен случай, когда дисперсия достигает абсолютного максимума в нескольких точках, и когда математическое ожида. -ние процесса не равно нулю.

В дальнейшем, если не будет отмечено специальноJ:6 [0,i]-гауссовский сепарабельный процесс,ЕR(Ъ>$), 2 (Ь,S) -ковариационная и корреляционная функции соответственно причем выполнены следующие условия: (I) имеет единственный абсолютный максимум в точке tMety(! и

А, 6fcM>o ^ ^

Ш z(-t,s)= s)|i-s| +o(it-§i tM o непрерывна в точке (м Л м ) (локальная стационарность в точке

Ьн);

III) существуете/^ и ío>0 такие, что для всext,S таких, что li-suto, сl-fc-si0^; с •

- 15

1. Биллингсли П. Сходимость вероятностных мер, - М.: "Наука" 1977, 352 с.

2. Володина Л.Н. Неравенства дважды экспоненциального типа для распределения максимума гауссовского процесса на левой полуоси. Докл.АН УзССР, с.6-7.

3. Конаков В.Д. Оценка скорости сходимости распределения максимума для одного класса гауссовских процессов. Теория вероятн. и ее примен., 1979, ХХ1У, Щ, с.226-228.

4. Конаков В.Д., Питербарг В.И. Большие выбросы гауссовских процессов и эмпирических плотностей, Теория вероятн. и ее примен. , 1979, в.З, с.658-659.

5. Крамер Г., Лидбеттер М.Р. Стационарные случайные процессы. 4/1.: "Мир", 1969.

6. Линдгрен Г. Длина волны и амплитуда стационарного гаус-совского процесса после высокого максимума. В кн.: Случайные процессы.Выборочные функции и пересечения. М.: Мир, 1981,с.204-248.

7. Малевич Т. Л., Тошов Н. О границах макет/ума однородного гауссовского поля. Теория вероятн. и матем.статистика, Киев, 1979, 20, с.76-90.

8. Несененко Г.А., Тюрин Ю.Н. Асимптотика статистик Колвого< рова для непараметрического семейства. Докл.АН СССР, 1978, 239, 6, с.1292-1294.

9. Носко В.П. Исследования выбросов случайных процессов и полей. Диссертация к.ф.чм.н., Москва, МГУ, 1969.

10. Питербарг В.И. О работе Д.Пшсандса "Вероятности пересечения для стационарного гауссовского процесса". Вестник МУ, сер. матем., мех., 1972, }Б5, с. 25-30.

11. Питербарг В.И. Гауссовские случайные процессы. "Теория вероятностей. Математическая статистика. Теоретическая кибернетика". т. 19 (Итоги науки и те ж. ВИНИТИ АН СССР), М., 1981, с.155-199, библ.144.

12. Селезнев О.В. Приближение периодических гауссовских процессов тригонометрическим! полиномами, Докл.АН СССР, 1980, 250, ЖЕ, 35-38.

13. Беляев Ю.К., Симонян А.Х. Асимптотические свойства уклонений реализации гауссовского процесса от ашроксимирувдей ломаной при уменьшении шага квантований. Случ.процессы и поля. М., 1979, 9-21.

14. Берман С., Времена пребывания и экстремумы гауссовских процессов. Случайн.процессы. М.,1978, 164-203.

15. Вентцель А.Д., Фрейдлин М.й. Флуктуации в динамических системах под действием малых случайных возмущений. М., Наука,1979, 424 с.

16. Дмитровский В.А. Оценка распределения максимума гаус -совского поля. Случ.процессы и поля. М., 1979, 23-31.

17. Дмитровский В.А. Условие ограниченности и оценка распределения максимума случайных полей на произвольных множествах. Докл.АН СССР, 1980, 253, 152, 271-274.

18. Конаков В.Д. Оценка скорости сходимости распределения максимума модуля недифференцируемого гауссовского процесса. Многомерн.стат.анализ. Мат.обеспеч., М., 1979, 101-115.

19. Малышев В.А. Кластерные разложения в решетчатых моделях статистической физики и квантовой теории поля. Успехи мат.наук,1980, 35, №2, 3-53.

20. Молчанов С.А., Степанов А.К. Всплески гауссовского поля над высоким уровнем. Докл.АН СССР, 1979, 249, 152, 294-297.

21. Молчанов С.Л. »Степанов А.К., Оценка В.А.Малышева для моментов полиномов Вика и некоторые ее приложения. Случ.процессы и поля, М., 1979, 39-48.

22. Питербарг В.И. Некоторые направления в исследовании свойств траекторий гауссовских случайных функций. Дополнение -обзоров сб.Случайн.процессы. М., 1978, 258-280.

23. Питербарг В.И. Асимптотические разложения для вероятностей больших выбросов гауссовских процессов. Докл.АН СССР,1978, 242, №, I248-I25I.

24. Питербарг В.И. Уточнение предельной теоремы для максимума гауссовского стационарного процесса. Случ.процессы и поля.М., 1979, 62-70.

25. Пликунас А. Оценка семи инвариантов и большие уклонения для некоторых нелинейных преобразований стационарного гауссовского процесса. Лит.мат.сб.,1980, 20, $2, II9-I28.

26. Русаков A.A. Асимптотические оценки вероятности уклонения интегралов от слабо коррелированных гауссовских процессов. Случ.процессы и поля. М., 1979, 78-83.

27. Селезнев О.В. О приближении непрерывных периодических гауссовских процессов случайными тригонометрическими полиномами. Случ.процессы и поля, М., 1979, 84-94.

28. Симонян А.Х. О вероятности уклонения гауссовского случайного процесса от апроксимирущей случайной кривой.Докл.АНАрм.СССР, 1978, 66, №2, 84-90.

29. Ферник В. Регулярность траекторий гауссовских случайных функций. Случайные процессы. М., 1978, 63-122.

30. Цирельсон B.C. Плотность распределения максимума гауссовского процесса. Теория вероятностей и ее применение. 1975, 20, М, 865-873.

31. Питербарг В.И. Асимптотические разложения вероятностей больших выбросов гауссовских процессов, Докл.АН СССР, 1978, 242, т, с.1248-1251.

32. Питербарг В.И. Некоторые направления в исследовании свойств траекторий гауссовских случайных функций, В сб. "Случайные процессы. Выборочные функции и пересечения", М., "Мир", 1978, с. 258-280.

33. Питербарг В.И. Сравнение функции распределения максимумов гауссовских процессов, Теория вероятностей и ее применение, 1981, Т.ХХУ1, вып.4, с.702-719.

34. Питербарг в.и. Limit ihe^zems 40Г &Х.ОиШЬОГ)*> 0<£ G-CUC U ЬОЖ. OuVLci ПЛОЛ-- GrOUiAZLcUbръо-ама.Ш международная Вильнюсская конф. по теории вероятности и мат. статистике. Тезисы докладов. Т.Ш. Вильнюс, 1981, с.261-262.

35. Беляев 10.К., Питербарг В.И. Асимптотика среднего числа А-точек выбросов гауссовского поля за высокий уровень, "Выбросы случайных полей". Изд-во МГУ, 29, 62-89, ДАН СССР, 203, 9-12.

36. Питербарг В.И. Об асимптотике вероятности большого выброса для гауссовского нестационарного процесса,-Теория вероятностей и мат.статистика, 1983, вып.28.

37. Носко В.П. Характеристики выбросов гауссовских однородных полей за высокий уровень. В кн.Советско-Японский симпозиум по теории вероятностей в г.Хабаровске (ав1уст 1969 г.). Новосибирск: АН СССР, 1969, с.209-215.

38. G-оосЫсиг V.ViAtniUctuon utltocdu ¿OZjmÀcàLonoM Q+the -two-ропьп-еЫл Wirwi рюш*. -Am. o( ц,б7р. 9ÏÏ-9/5.

39. Plcio^HI UpVimUva рхоЬаЛ'ьШм ftbatationojui &CLUM IciYl p%C Soc.jws, ,ruwtmivi 4969,о<МШ rñ.ctM.i\mw¿oow Maíkp.50. ол% .). ТЬ-е оИ€ ЫсЬисЛ Ьсиьчшь рЧо&С&т с(э-симМ'ооип. посл-е.- %еМ

40. Питербарг В.И., Присяжнюк В.П. Асшлптотика вероятности большого выброса для гауссовского нестационарного процесса. Теория вероятностей и мат.стат.Респ.межвед.науч.сб., 1978, М8,с.121-134.

41. Питербарг В.И., Присяжнюк В.П. Точная асшлптотика вероятности большого размаха, гауссовской случайной функции. П Вильнюсская конференция по теории вероятностей и мат.статистике. Тезисы докладов, т.2, 1977, с.109-110.

42. Питербарг В.И., Присяжнюк В.П. Точная асимптотика вероятности большого размаха гауссовского стационарного процесса. Теория вероятностей и ее применение. 1981, т.ХХУ1, вып.З,с.480-495.

43. Присяжнюк В.П. Выбросы за высокий уровень гауссовских случайных полей. Рукопись деп. в ВИНИТИ 26 адр.1984 г., 152657-84 ДЕП.