Некоторые задачи асимптотического анализа вероятностей высоких выбросов гауссовских процессов тема автореферата и диссертации по математике, 01.01.05 ВАК РФ

Московский Государственный Университет им. М.В.Ломоносова Механико-математический факультет

На правах рукописи УДК 519.21

Кобельков Сергей Георгиевич

Некоторые задачи асимптотического анализа вероятностей высоких выбросов гауссовских

процессов

специальность 01.01.05 — теория вероятностей и математическая

статистика

Автореферат

диссертации на соискание ученой степени кандидата физико-математических наук

Москва, 2006

Работа выполнена на кафедре теории вероятностей Механико-математического факультета Московского Государственного Университета им. М.В. Ломоносова

Научный руководитель: доктор физико-математических наук,

профессор В.И. Питербарг Официальные оппоненты: доктор физико-математических наук,

профессор М.А. Лифшиц доктор физико-математических наук, гл.н.с. В.Д. Конаков Ведущая организация: Институт проблем управления им.

В.А. Трапезникова РАН

Защита диссертации состоится 1 декабря 2006 г. в 16 часов 15 минут на заседании диссертационного совета Д.501.001.85 в Московском государственном университете им. М.В. Ломоносова по адресу: 119992, ГСП-2, Москва, Ленинские горы, МГУ, Механико-математический факультет, аудитория 16-24.

С диссертацией можно ознакомиться в библиотеке Механико-математического факультета (Главное здание, 14 этаж).

Автореферат разослан 1 ноября 2006 г.

Ученый секретарь диссертационного совета Д.501.001.85.В МГУ, доктор физико-математических наук, профессор .

Т.П. Лукашенко

ОБЩАЯ ХАРАКТЕРИСТИКА РАБОТЫ

Актуальность темы.

Задача асимптотического анализа вероятностей высоких выбросов гаус-совских процессов является актуальной уже в течение длительного промежутка времени. Разработан ряд общих методов ее решения в дискретном и непрерывном случаях. К ним относятся метод сравнений, метод моментов1, основанный на формуле Райса, и метод двойных сумм2, базирующийся на лемме Пикандса и идее подсчета вероятности на измельчении параметрического множества. Многие задачи асимптотического анализа вероятностей могут быть сведены к задаче о разорении.

Пусть скорость поступлений доходов некоторой компании с > 0 а суммарные расходы представляют собой случайный процесс Xt,t > 0, Xq = 0. Пусть также и — начальный капитал компании. Тогда в момент времени t капитал составляет величину и + ct — Xt- Разорение происходит, если в какой-либо момент выполняется соотношение u + ct — Xt < 0. Таким образом, вероятность разорения есть

■ф(и) = P(inf(u + ct - Xt) < 0) = P(sup(A"t - ct) > и).

Классическим примером задачи о разорении является модель страхования Крамера-Лундберга3, в которой с > 0 — скорость поступления взносов, Xt — г}}, Nt — пуассоновский процесс интенсивности А > 0, а щ — независимые одинаково распределенные случайные величины, представляющие индивидуальные страховые выплаты такие, что Ее"41 < оо для любого v > 0

'Питербарг В.И. Метод Райса для гауссовских случайных полей. Фунд. и прикл. матем. 1996. 2. 187-204

'Питербарг В.И. Асимптотические методы в теории гауссовских случайных процессов и полей. М.: Изд-во МГУ, 1988

3Cramer Н. Collective Risk Theory, Esselte, Stockholm (1955)

и с > АЕ771. Тогда для вероятности разорения выполняется оценка

Р (sup Xt - Ct > и) < е-""0, t> о

где vo > 0 — (единственный) корень уравнения А^е*"71 — 1) = vc.

Ряд вопросов, связанных со случайным блужданием с отрицательным сносом допускает интерпретацию в рамках задачи о разорении4. Также важными для приложений оказываются случаи зависимых выплат, выплат с тяжелыми хвостами распределений5.

В теории очередей рассматривается величина

Q(t) = sup (Q(0) + f(i) - fd, £(*) - £(«) - *t(i - s)), 0 <«<t

называемая загруженностью очереди, где £(t) — суммарный объем входящего трафика на интервале [0, f], a (i — скорость обработки данных." Q(0) — загруженность в начальный момент времени. Задача нахождения вероятности переполнения Р(Q(T) > и) также сводится к задаче о разорении6.

Результаты исследований процесса передачи данных в сети интернет показали, что для процесса £(i) характерна автомодельность7. Данное предположение было реализовано в модели £(t) = Вц{Ь), где В и it) — дробное броуновское движение с показателем Харста Н. Точная асимптотика для вероятности (разорения) переполнения "ф{и) при и —> оо была получена в работе Ю.Хюслера и В.Питербарга8.

Для f (f) = Jq Z{s)ds, где Z(s) — стационарный центрированный гауссов-ский процесс с ковариационной функцией R(t), различают два случая:

'Mikosch Т., Samorodnitsky G. The supremum of a negative drift random walk with dependent heavy-tailed steps. Ann. Appl. Probab. 2000, V. 10., pp. 1025-1064

'Embrechts P., Veraverbeke N. Estimates for the probability of ruin with special emphasis on the possibility of large claims. Insurance: Mathematics and Economics, 1, 55-72, 1982

'Gaussian fluid models; a survey. Symposium on Performance Models for Information Communication Networks. Sendai, 23-25.01.2000

TNorros I. A storage model with self-similar input. Queueing Systems. 1994. 16. 387-396

'Husler J., Piterbarg V. Extremes of a certain class of Gaussian processes. Stochast. Proc. and Appl. 1999. 83. 257-271

• длинной памяти /д° |i?(i)|cíí = оо,

• короткой памяти Jq° |ñ(í)|cft < оо.

Модель с непрерывной, медленно меняющейся (случай длинной памяти) на бесконечности R(t) с показателем а = 2Н — 2, Н £ (1/2,1), рассмотрена Ю.Хюслером и В.Питербаргом9, а также Т.Дьекером10. Для нее получена асимптотика вероятности разорения в следующем виде:

ф(и) = (а*(1 - о)(2 - eW^wfeaffix

VBg(u)

где д = д(х) — минимальный корень уравнения g2R{gx) = R2{x),

al = sup íTy(s) ='(2/(1 + es)2) /0'(e - t»)ü(ui;)/r(w)cíü, 2 _ r 2 _ (2 ~ д)г~°аа „ _ cV

Ф(ы) — хвост функции распределения стандартной гауссовской случайной величины.

Пусть C(í) — центрированный гауссовский процесс со стационарными приращениями. Определим обобщенную константу Пикандса как

w(c.r)

где

7í(C)= lim _

W(C, Т) = Еехр{тах у/2ф) - EÇ2(t)}.

'Husler J., Piterbarg V. On the ruin probability For physical fractional Brownian motion. Stochast. Proc. and Appl. 2004. 113. 315-332

l0Dieker T. Extremes of Gaussian processes oyer an infinite horizon. Stochastic Processes and their

Applications, 115, p. 207-248, 2005

К.Дебицки11 показал, что константа определена и положительна, если дисперсия процесса С(£) непрерывно дифференцируема на [0, оо), строго возрастает, правильно меняется в нуле с показателем а?о € (0,2] и на бесконечности с показателем а«, 6 (0,2). Кроме того, требуется, чтобы

0(bEÇa(Q) < СгХ dt

при t —»• оо для некоторого С > 0. Пусть для непрерывной ковариационной функции R[t) процесса Xt выполнены условия

limt-юо t R(t) = 0,

/0°° |Л(4)|Л < оо,

/0°° t2R{t) < оо, /0°° R(t)dt > 0.

Тогда12

где G — f§° R(t)dt, В — Jq° tR{t)dt. К сожалению, точное значение обобщенной константы Пикандса известно для очень немногих процессов.

Д.Пикандс13 предложил способ вычисления асимптотики вероятности

P(maxX(i) > и)

для стационарного процесса X(t) при и —> оо, а именно, если X(t) — стационарный центрированный гауссовский процесс с ковариационной функцией R(t), такой что R(t) < 1, t > 0 и R(t) = 1 - |i|Q + o(|t|a) при t 0, то

P(max X{t) >u)= Пари2/аЯ>(и)(1 + o( 1)), u oo.

"Debicki, K. (2001), Generalized Pickands constants, CWI Report PNA-R0105

"Debicki K. Ruin probabilities for Gaussian integrated processes. Stochast. Proc. and Appl. 2002. 98. 151-174

13 J. Pickands, Asymptotic properties of the maximum in a stationary Gaussian process, Trans. Amer. Math.

Soc. 145 (1969) 75-86

Здесь Ф(и) — хвост функции распределения стандартной гауссовской случайной величины, На — константа Пикандса, определяемая следующим образом.

Пусть Ba(t) — дробное броуновское движение (т.е. гауссовский действительнозначный процесс с. нулевым средним и ковариационной функцией r{t, s) = -(|i|° + \s\a - \t - s|a), a G (0,2]). Тогда существует предел

о/ г К. СО

На = limr^oo-

Па(Т) = Eexp(maxo<t<r V^Ba{t) - |i|a). H = a/2 называют параметром Харста и иногда используется обозначение для дробного броуновского движения с показателем Харста Н. Для H = 1/2 мы получаем обычный винеровский процесс.

Данный метод нахождения асимптотики был обобщен на широкий класс гауссовских полей и процессов и получил название метода двойных сумм14. Во второй главе настоящей работы предложено обобщение данного метода, которое применяется для решения задачи о пересечении движущегося барьера. Данной задачей, т.е. задачей нахождения вероятности P(sup[0>rj Xt — f(t) > и), занимались M. Лидбеттер15, Дж. Крайер, и др. Важной работой является статья С. Бермана16, где показано, что

Р( max X{t) - fit) > и) = F'(0)(U/«;)(27r)-1/2u-1e-",/2(1 + o(1))

при и —y со для стационарного центрированного гауссовского процесса X(£) с единичной дисперсией и ковариационной функцией r(t). Здесь предполагается, что r{t) ф 1 для i > 0 и правильно меняется в нуле с показате-

14Питербарг В.И. Асимптотические методы в теории гауссовских случайных процессов и полей. М.: Изд-во МГУ, 1988

"Leadbetter R. On crossings of arbitrary curves by certain Gaussian processes. Proc. Amer. Math. Soc.

16, 60-68, 1965

1вС. Берман. Выбросы стационарного гауссовского процесса за высокий движущийся барьер. Случайные процессы. Выборочные функции и пересечения. Изд. "Мир", 133-164, 1978

лем 2 > а > 0, кроме того, существует предел р = Дт /(¿)/(1 — /(£) строго положительна при < > 0 и 1 - правильно меняется в нуле с показателем 0 > а/2; V и ги суть наибольшие решения уравнений и2(1 — г(1/к)) = 1, и/(1/ги) = 1. Г(х) — некоторая функция, которая выражается в явном виде через а, /3,р. Цель работы.

Целью настоящей работы является получение точной асимптотики вероятности разорения в модели, где убытки описываются проинтегрированным гауссовским стационарным процессом, а доходы - детерминированной неотрицательной функцией (и в частности, линейной), получение асимптотического распределения момента разорения, а также обобщение метода двойных сумм для семейства гауссовских процессов с плоским максимумом дисперсии.

Научная новизна.

Результаты работы являются новыми и состоят в следующем:

1. Получена точная асимптотика вероятности разорения в модели, где убытки описываются проинтегрированным гауссовским стационарным процессом, а доходы - неотрицательной линейной, степенной, или правильно меняющейся на бесконечности функцией.

2. Доказана предельная теорема для момента разорения в данной модели.

3. Найдена обобщенная константа Пикандса для некоторого класса гауссовских процессов.

4. Найдена асимптотика вероятности превышения уровня семейством гауссовских процессов с плоским максимумом дисперсии (т.е. дисперсией, зависящей от уровня, и сходящейся к константе).

5. Найдена асимптотика вероятности пересечения движущегося барьера

для барьеров, нелинейно зависящих от уровня.

Методы исследования.

В диссертации используются современные методы теории максимумов случайных процессов (метод сравнений, метод моментов, метод двойных сумм), методы асимптотического анализа (метод Лапласа).

Теоретическая и практическая ценность.

Работа носит теоретический характер. Результаты и методы работы могут получить применение собственно в теории вероятностей, теории случайных процессов, а также в теории очередей.

Апробация работы.

Результаты диссертации докладывались на международной конференции "Extreme value analysis", Гетебург, Швеция, 2005, на семинаре под руководством Булинского A.B., Питербарга В.И., Шашкина А.П. в 2004, 2005, 2006 гг., Большом Кафедральном Семинаре в 2006 г. и на семинаре "Статистика экстремальных событий" под руководством Маркович Н.М. в ИПУ РАН, 2006 г. Тематика работы была поддержана грантом РФФИ 04-0100700.

Публикации.

Результаты диссертации опубликованы в 3 работах, список которых приведен в конце автореферата. Работ, написанных в соавторстве, нет.

Структура и объем работы.

Диссертация состоит из введения, двух глав и списка литературы. Объем диссертации 85 страниц, список литературы включает 41 наименование.

СОДЕРЖАНИЕ ДИССЕРТАЦИИ.

Во введении приводится обзор литературы на тему результатов дис-

сертации и мотивируется актуальность выбранной темы по главам. Кроме того, во введении сформулированы основные результаты диссертации, а также описана ее структура.

В первой главе диссертации рассматривается задача о разорении для гауссовского стационарного центрированного процесса X(t):

V{u) = P(sup{[* X,ds - et") > и), t>o ■'0

где в > 1/2, с > 0.

Предположим, что R(t) — действительная, дважды дифференцируемая ковариационная функция процесса X(t), удовлетворяющая условиям:

(i)G = JQ°°R(s)ds> 0;

/•oo

(ii) интеграл Я = J sR(s) ds конечен;

(iii) иг~У9 JJ„sR{s) ds 0, u oo.

(Если R(s) =• s7(l 4- o(l)) при s —У со, то последнее условие означает, что 7 < —29.) Тогда справедлива

Теорема 1. В вышеприведенных условиях

1) функция

„М - (1 + Л20-1)-1)2 К } ~ 4G{29 - 1)-Ч»сгЧ'т - 4Яи-1/в-

имеет единственную точку минимума Tmjn = rmin(«) в окрестности т— 1 для достаточно больших и;

2)

X ехр 1-гА' (l + ^CSg-D-1)2_1 (1 + 0(1))

X ехр | u 4G{20 _ i)-!/^-!/^ _ 4Hu-l/9 ) I1 + при и —> oo.

Для 1/2 < 9 < 1 получены следствия, в которых указанный минимум найден.

Следствие 1. Пусть 1/2 < в < 1. Тогда при и —у оо

Р(и) = _ 1)1/2-1 /вс-1/вх

х exp (20 - i)(-2+i/s) ci/eG-i} (i + о(1)).

Следствие 2. Пусть в = 1. Тогда при и —»• оо

P(U) = expí~^> е*Р {-WO (1 + о(1)).

Проводя аналогию с теоремой К.Дебицкого17 в случае 9 = 1, находим,

С ft

что обобщенная константа Пикандса процесса r¡(t) = —I Xt dt в случае

G\2'О

непрерывно дифференцируемой ñ(í) (и удовлетворяющей условиям интегрируемости) равна (yfí(0)c)/(\/27rGr).

Теорема доказывается применением метода Райса и методов асимптотического анализа. Это позволяет не только установить точную асимптотику вероятности разорения, но и получить предельную теорему для момента разорения.

Введем момент разорения следующей формулой

тц = inf{í > 0 : и - {fiXtds - et9) < 0}.

Обозначим

«(Х) = ímax + Ы3/(2«)-1с-3/(2«)(20 _ 1/2-3/(2*)

где ímax = (и(29 — l)_1/c)1/,fl rmin, rmin определено в теореме 1. Теорема 3. В условиях теоремы 1

Р (т„ < к(х)| т„ < оо) -»■ Ф(х)

"Debicki К. Ruin probabilities for Gaussian integrated processes. Stochast. Рюс. and Appl. 2002. 98. 151-174

при и оо, где Ф(х) — функция распределения стандартной гауссовской случайной величины.

Рассмотрим обобщение теоремы 1 на случай, когда доходы представлены правильно меняющейся функцией в смысле Карамата. Заметим, что такое обобщение не полностью включает в себя уже доказанное утверждение — например, важный случай 0 = 1.

Определение. Положительная измеримая функция f(x) называется правильно меняющейся в смысле Карамата на бесконечности, если Нтх-юо /(Лх)//(х) = Хр для любого А > 0.

Пусть для некоторого îq > 0

m-и™**

где L(t) — правильно меняющаяся измеримая локально ограниченная функция порядка р, р > -1, т.е. L(r) = rpl (г), где 1{г) — медленно меняющаяся функция, или

где L(r) — правильно меняющаяся измеримая локально ограниченная функция порядка —1 > р > —3/2 (при р = 1 требуется, чтобы интеграл J™ L(r) сходился). Обозначим в = 2 + р и рассмотрим модель Y( = Jq X,ds — /(t), где ковариационная функция R(t) стационарного гаус-совского центрированного процесса X, по-прежнему действительная, дважды дифференцируемая, удовлетворяющая условиям (i), (И).

Теорема 2. В вышеприведенных условиях 1) для достаточно больших и существует единственное решение ul^eq{u) уравнения

Gu + Gf(t) - 2tf(t)G + 2f'(t)H = 0.

10

Если ковариационная функция удовлетворяет модифицированному условию (иг'):

то

2) функция

3{ } 4Ся{и)т - 4Ни-1/» имеет единственную точку минимума тт;п = гт,п(г£) в окрестности т = 1 для достаточно больших и;

3).

Т{и) = - 1)Щ-1д{и) ехр{-53(гт;п)}(1 + о(1))

при и —»• со.

Рассмотрим обобщение теоремы 3 на случай медленно меняющихся функций. Пусть выполнены условия теоремы 2. Обозначим

*(*) = *тах + ^и3/<М>-у'2(«)(20 - 1)1/20-Ч

где ¿шах = и1/9гт¡п, гты определено в теореме 2. Теорема 4. В условиях теоремы 2

Р(ги < /с(г)|т„ < со) Ф(х)

при и со, где Ф(х) — функция распределения стандартной гауссовской случайной величины, а

ти = тф > 0 : и - (/¿X, ¿э - /"(*)) < 0}

— момент разорения.

Во второй главе изучается асимптотика вероятности превышения высокого уровня семейством гауссовских процессов с плоским максимумом дисперсии.

Лемма. Пусть X(t),t S [0,Т] — гауссовский центрированный стационарный процесс с ковариационной функцией r(t), удовлетворяющей условиям r(t) — 1 — |i|7 + o(|£|7),f -> 0 для некоторого у > 0 и r(t) < 1 для всех t > 0. Тогда

Р( max X(t) > и) = Ф(и)Я„(Т)(1 + о(1)),и оо,

где Ф(ы) — функция распределения стандартной гауссовской случайной величины;

для любой р(и) < Т, и'2!"* — о(р(и)) выполнено

Р( max X(t) > и) = Яар(и)и2/7Ф(и)(1 + о(1)), и оо; te[0ji(u)I

для любой к(и) = о(и~2/7)

Р( max X(t) > и) = Ф(г*)(1 + о(1)),и оо; «е[о,к(и)1

если /в(и) > 0, причем и2 fg{u)u~2B^ с > 0 при и оо, то для любого S > 0

P((e[_sTnax.s^h]X(tWl - Mu)t* >«) = H*(S)V(u)( 1 + 0(1)),

где

H9(S) = Eexp(_maxs(v^x(í) - |*Р ~ c\t\9/2)), (1)

x(t) — дробное броуновское движение с показателем Харста -у. Существует Н* = lims^oo H*{S).

Пусть £u(t),t 6 [0, T],u S [0,oo) — семейство действительнозначных гауссовских процессов с нулевым средним и п.н. непрерывными траекториями, такое что дисперсия

ЕШ2 = <&*) = 1 - /(«. 0(1 + о(1))

при u оо равномерно по t G [0,Т], где функция /(i,и) > 0 определена для и > О, 0 < i < Т и непрерывна на этом множестве; f(t, и) ч 0 при и —> оо равномерно по t. Пусть существует единственное £о = *о(«)> такое что /(¿о, и) = 0, fo 6 (0,Т) для всех и, и для некоторого в > 0 и t tg

/(«, t) - h{u)\t - fol9 = o(|i - iol9), Mu) > 0

при t —> to равномерно по и (т.е. для любого е > 0 существует

5(s) > 0, такое что для всех и, для всех |i — i0| < ¿(е) выполне-

| f(u,t)-fe(u)\t-t0\e\ но -—---—-— < е). Пусть также корреляционная функция

Efu(t)£u(s)/(cru(i)<7u(5)) = ru(t,s) < 1 при t ф s, непрерывна, и для любого положительного е существуют <5(е) > 0,^о(е) > 0 такие, что для всех и > щ, |i — s| < 5 и некоторого j S (0,2] выполнено

Предположим также, что существует lim«-»«, ^(и)(и2/9(и))У9 = i», t«, 6 [О, оо].

Теорема 1. Пусть выполнены вышеприведенные условия. Тогда 1) если для некоторого Di > 0 выполнено min (1 — <r2(t))u2 -+■ оо, u2fe{u) —¥ оо (и -> оо), то при и —»• оо для u2fe{u)u-2eh 0:

Р(шах Ut) > и) — - .ÔU"ovf!! i \м/я ехР I — Tri X

для v?fe(u)u-2eh с > 0 (если t оо = 0, то в правой части следует добавить множитель 1/2):

Р(тах Ш > «) - J^xp [-Щ (1 + о(1)).

для ч2Ми)и-2в'-< оо:

Р( тах^) > «) = ^ехр (1 + о(1)); 2) если u2f(u,t) /o(t) при и оо равномерно not& [0,Т], пи Р(тах Ш > «) = (//expWoW/2^) х

хехР|-у| (1 + о(1));

если u2f(u, t) —> 0, при и оо равномерно по t € [О, Г], то

ТН ( и2)

Р(тахШ > и) = -^^expj—j (1 + о(1)).

Доказанная теорема применяется для решения задачи о движущемся барьере.

Следствие 2. (задача о движущемся барьере)

Пусть ft>£ ё [О, Т] — гауссовский центрированный стационарный процесс с единичной дисперсией, п.н. непрерывными траекториями и ковариационной функцией R{t), R(t) = 1 - Ci7 + о(Р) при t О, С > 0,7 € (0,2] и |Л(*)| < 1 при t > 0. Функция f(t,u) определена для и > О, 0 < t < Т и непрерывна на этом множестве. Обозначим m(u) = хтп f(t,u), т{и) = о{и) при и —у оо. Пусть выполнено одно из условий:

1) для каждого и существует единственная точка <о = ¿о (u), io S (Oj^1) минимума функции f(u,t) по t, причем для некоторого, не зависящего

14

от to, D\ > О выполняются соотношения min u(f(u,t) — т(и)) —> оо,

|i-io|>fi

f(t, и)/и —> 0 при и —► оо равномерно по t, и

- ^ - foW* - io|i = о(1( -<0Iе)' /вМ > 0

при i —> to равномерно по и (т.е. для любого е > 0 существует

S(e) > 0, такое что для всех и, для всех 11 — io| < i(e) выполнено \f(u,t)/u-fe{u)\t-t0\9\ . . 2trs . ,

[¿- ¿рУ- < £)> где u Mu) со (и оо), и существует предел i«, = limu-+00(u2/e(u))1/iio(u); ¿^ uf{t,u) —> fo(t) при и —оо равномерно по t;

3) uf(t,u) —» 0 при и —»■ оо равномерно по t. Тогда в случае 1) для

ад - - /(«.>«)

если u2fe(u)u~2e/J —> 0, то

р,ч__Я7С1/7_ ( (и + т(и))2]

W - (и + т(„))1+2/в-2/7(2/,(„))1/в ехр \ 2 J *

если v?fs{v)vTwf't с > 0, то (если tx = 0, то в правую часть следует добавить множитель 1/2J

Я»С1/7 f (и + т(и))2,| „

р'(и)=ехр {- W-21-) +

если и2 /е(и)и~2в^ оо, то

™ - VTTTT»а + .(!));

у2я-(и + т(и)) I 2 J

в случае 2)

хехр{_(^М!}(1 + 0(1));

в случае 3)

Р}{и) =

ехр

{

(и + т(«))2 2

|(1 + о(1))

ч/2тг(и -)- т(и))1-2/т

Автор выражает глубокую благодарность своему научному руководителю профессору Питербаргу В.И. за постановки задач, ценные советы и обсуждения.

Публикации автора по теме диссертации:

1. Кобельков С.Г. О задаче разорения для гауссовского стационарного процесса. Теория вероятн. и ее примен. 2004. 49. 171-178.

2. Кобельков С.Г. О задаче разорения со степенными убытками для гауссовского стационарного процесса. Вестник МГУ. Сер. матем. 2005. 6.

3, Кобельков С.Г. О выходах гауссовского процесса с переменной дисперсией за неограниченно растущий барьер. Математические заметки. 80,

23-29.

вып. 3. 2006. 386-394.

Подписано в печать 30. /й 06 Формат 60x84/16. Усл.псч.л. О Тираж ¡СО экз. Заказ . И Отпечатано в Отделе печати МГУ

1 Введение

2 Задача о разорении для гауссовского стационарного процесса.

2.1 Выделение промежутка основного вклада.

2.2 Оценка первого факториального момента.

2.3 Оценка второго факториального момента.

3 Асимптотики больших экстремумов гауссовского гладкого процесса с плоским максимумом дисперсии

Задача асимптотического анализа вероятностей высоких выбросов гауссов-ских процессов является актуальной уже в течение длительного промежутка времени. Разработан ряд общих методов ее решения в дискретном и непрерывном случаях. К ним относятся метод сравнений, метод моментов [4], основанный на формуле Райса, и метод двойных сумм [3], базирующийся на лемме Пикандса и идее подсчета вероятности на измельчении параметрического множества. Последние два метода развиваются в настоящей работе и применяются для решения задачи о разорении и задачи о движущемся барьере.

Метод моментов основан на вычислении моментов числа пересечений гауссовским процессом высокого уровня. Формула для среднего числа пересечений уровня гауссовским процессом, полученная М.Кацем и С.Райсом, стала началом новой ветви теории гауссовских процессов. В ней установлены удобные формулы вычисления моментов числа пересечений, изучаются вопросы конечности этих моментов, обобщаются идеи и методы с одномерных на многомерные задачи, применяются полученные теоремы для оценки распределений различных функционалов, доказательства предельных теорем. Основы данной теории представлены в книге [14]. Гауссовские поля рассмотрены с этой точки зрения в книге [8].

Для получения оценки вероятности превышения некоторого неслучайного уровня гауссовским процессом можно воспользоваться первыми двумя моментами числа пересечений. По-видимому, Райе был первым, кто применил эту идею, которая в течение долго времени была единственным методом оценки распределения максимума случайного сигнала в статистической радио-инженерии. Этот метод достаточно прост, и тем не менее, достаточно точен. Состоит он в следующем: пусть имеется случайный процесс с достаточно гладкими траекториями, про который известно, что его траектории не касаются прямой у = и, тогда множество траекторий, которые превышают в какой-нибудь точке значение и, можно разбить на непересекающиеся подмножества: траектории, графики которых пересекают прямую у = и снизу вверх ровно один раз, пересекает ровно два раза и так далее. Если добавить еще предположение, что уровень и достаточно высок в том смысле, что траекторий с двумя и более пересечениями снизу вверх много меньше, чем траекторий, пересекающих снизу вверх ровно один раз, то мы приходим к идее Райса, как можно хорошо приблизить вероятность выхода случайного процесса за уровень при помощи первых двух моментов числа пересечений. Опишем этот подход более точно.

Пусть случайный процесс X(t),t G [0,Т] почти наверное непрерывно дифференцируем, и все его одномерные плотности распределения ограничены. Тогда имеет место теорема Булипской [2], в силу которой с вероятностью единица отсутствуют касания любого неслучайного уровня. Обозначим через Nu[0,T] число точек t £ [О, Т] таких, что X(t) = u,X'(t) > 0. Случайные величины iVu[0,T] назовем числом выходов за уровень и. При некоторых дополнительных ограничениях эта величина конечна, конечны ее математическое ожидание и дисперсия. Точные утверждения можно найти, например, в [3]. Поскольку касания уровня траекториями отсутствуют с вероятностью единица, то можно выполнить следующие преобразования:

Р(Х(0) < w,max<6[0T]X(i) > и) = Р(Х(0) < и, N„[0, Т] = 1) + Р(Х(0) < и, Nu[0, Т] > 2) = P(iVu[0,T] = 1) - P(iVu[0,T] - 1,Х(0) > u)+

P(X(0)<u,Nu[0,T]>2) = P(iVu[0,T] = 1) + P(iVu[0,T] > 2)

-P(iVw[0,T] = 1,X(0) > и) - P(Nu[0,T] > 2,X(0) > u) = P(JVu[0, T} = 1) + P(JVu[0, T] > 2) - P(NU[0, T] > 1, X(0) > u).

Отсюда видно, что простой путь формализации вышеприведенной идеи о малости вероятности двух и более пересечений снизу вверх уровня — оценить второе слагаемое в правой части половиной второго факториалыюго момента числа Nu[0,T], для которого существует относительно простое интегральное представление. Что же касается третьего слагаемого в правой части, то событие под знаком вероятности может произойти лишь в случае, когда либо одновременно Х(0) > и,Х(Т) > и, либо имеется более одного входа, то есть, следует также оценить второй факториальный момент числа входов (числа точек, таких что Х(<) = u,X'(t) < 0). Таким образом, если обозначить число входов через Lu[0, Г], то можно получить следующее простое комбинаторное двустороннее неравенство:

0 < ЕАЦ0,Т] + Р(Х(0) > и) - P(maxt6[0)T] X(t) >и)< < \ (EiVu[0, T](iVu[0, Т] - 1) + ELu[0, T](LU{0,Т] - 1)) + +Р(Х(0 )>и,Х{Т)>и).

Это неравенство можно использовать всегда, когда есть возможность работать с совместными плотностями распределений процесса X и его первой производной в одной или двух точках, через которые выражаются первый и второй факториальные моменты случайных величин N и L.

В [35] Дж.Пикандс предложил способ вычисления асимптотики вероятности

Р(тахХ(г) > и) для стационарного процесса X(t) при и -> оо, а именно, если X(t) — стационарный центрированный гауссовский процесс с ковариационной функцией R(t), такой что R(t) < l,t > 0 и R(t) = 1 - \t\a + o(|*|Q) при t -> 0, то

P(max X(t) > и) = Пари2/аЯ>{и){ 1 + o( 1)), и —^ оо.

Здесь Ф(и) — хвост функции распределения стандартной гауссовской случайной величины, 7ia — константа Пикандса, определяемая следующим образом.

Пусть Ba(t) — дробное броуновское движение (т.е. гауссовский действительнозначный процесс с нулевым средним и ковариационной функцией r(t, s) = + № s|a)>а £ (0) 2]). Тогда существует предел

Па = limr^oo ,

На(Т) = Еехр(тахо<г<г у/2Ba(t) - |*|a).

Я = а/2 называют параметром Харста и иногда используется обозначение Bn(t) для дробного броуновского движения с показателем Харста Я. Для Я = 1/2 мы получаем обычный винеровский процесс.

Данный метод нахождения асимптотики был обобщен на широкий класс гауссовских полей и процессов и получил название метода двойных сумм [3]. В процессе развития и уточнения оказалось, что в определенном смысле он аналогичен методу Лапласа, а именно: во-первых для траекторий, составляющих событие под знаком вероятности траектория находится выше уровня и с вероятностью почти единица па множестве, диаметр которого стремится к нулю. И во-вторых, для стационарных процессов данные множества распределены по всей области изменения параметра, а для нестационарных — около множества точек максимума дисперсии случайного процесса X.

В первой главе диссертации рассматривается задача о разорении для модели проинтегрированного стационарного гауссовского процесса, используя метод Райса для получения точной асимптотики.

Пусть скорость поступлений доходов некоторой компании с > 0 а суммарные расходы представляют собой случайный процесс Xt,t >0,Xq = 0. Пусть также и — начальный капитал компании. Тогда в момент времени t капитал составляет величину и + ct — Xt. Разорение происходит, если в какой-либо момент выполняется соотношение и + ct — Xt < 0. Таким образом, вероятность разорения есть ф(и) = P(inf(u + ct - Xt) < 0) = P(sup(Xt - ct) > и). (1) t>о

Классическим примером задачи о разорении является модель страхования Крамера-Лундберга (см. [13]), в которой с > 0 — скорость поступления взносов, Xt = T,f=iT)j, Nt — пуассоновский процесс интенсивности Л > 0, a rjj — независимые одинаково распределенные случайные величины, представляющие индивидуальные страховые выплаты такие, что Ее1"'1 < оо для любого v > 0 и с > АЕ771. Тогда для вероятности разорения (1) выполняется оценка

P(supX* - ct > и) < e~UVo, t> о где vq > 0 — (единственный) корень уравнения A(EeV7?1 — 1) = vc.

Данная модель и ее модификации остается актуальной и продолжает исследоваться с различных точек зрения. Так, в случае, когда выплаты имеют распределение фазового типа (т.е. вероятностные распределения матрично-экспоненциальиого вида, которые можно рассматривать как времена перехода однородного марковского процесса с конечным числом состояний в особое абсорбирующее состояние) для преобразования Лапласа вероятности разорения можно выписать явное выражение через параметры модели [10, И]. Ряд вопросов, связанных со случайным блужданием с отрицательным сносом допускает интерпретацию в рамках задачи о разорении [30]. Также важными для приложений оказываются случаи зависимых выплат, выплат с тяжелыми хвостами распределений [21].

В теории очередей рассматривается величина

Q(t) = sup (Q(0) + № - ^ £(t) - ф) - n(t - *)),

0 <s<t называемая загруженностью очереди, где £(£) — суммарный объем входящего трафика на интервале [0,£], а ц — скорость обработки данных. Q(0) — загруженность в начальный момент времени.

В литературе в качестве £(£) рассматриваются следующие процессы:

• €{t) = tiZ(s)ds, где Z(s) — марковская цепь с непрерывным временем [26, 7];

• — /о Z(s)ds, где Z(s) — суперпозиция он-офф процессов [33];

• £(0 — IoZ(s)ds, где Z(s) — гауссовский процесс [38, 27].

Процесс Z(t) — это скорость, с которой приходит в систему информация. Если Z(t) — суперпозиция большого числа он-офф процессов (или процессов, моделирующих скорость потока информации из одного источника), то центральная предельная теорема позволяет использовать гауссовскую аппроксимацию для Z(t). Следовательно, процесс £(t) также будет гауссовским, и мы можем описывать входной поток в терминах кумулятивного процесса. Данный подход также позволяет рассматривать входные потоки с нигде не дифференцируемыми траекториями.

Предположим, что £(£) может быть представлен в виде суммы ((t)+d(t), где ((t) — процесс со стационарными приращениями, a d(t) — неслучайная непрерывная функция (и ((0) = 0). Тогда процесс ф) = СМ - Ф - V) так же распределен, как и C(v)>v £ Следовательно, если Q(T) = sup (С(Т) - СМ + d(T) - d(s) - /i(T - s))

0 <s<T загруженность очереди, то для вероятности переполнения фт{и) выполнено равенство фт(и) = Р(Q{T) > и) = Р( sup f (v) - dr(v) > и),

0<v<T где dT(s) = —(d(T) - d(T - s)) + lis. Если dT(s) = At, то dT(s) = (fi- A)s. Таким образом, мы снова приходим к задаче о разорении.

Часто исследователей интересует не кратковременное поведение системы, а долгосрочное. Для этого необходимо сделать еще несколько предположений: £(t) = ((t) + At, где £(t) — центрированный гауссовский процесс с непрерывными траекториями и £(0) = 0 ii.ii. Тогда, вводя с = \i — А и предполагая с > 0, получим

Q(t) = sup(C(t)-C(s)-c(t-s)). s<t

Результаты исследований процесса передачи данных в сети интернет показали, что для процесса £(£) характерна автомодельность [32]. Данное предположение было реализовано в модели £(t) = где Bu(t) — дробное броуновское движение с показателем Харста Я. Точная асимптотика для вероятности (разорения) переполнения ф^(и) при и оо была получена в [24].

Случай Z(t) = £j=i Xj(t), где (Xi(t),Xn(t)) — стационарный гауссовский марковский процесс, рассмотрен в [27].

Для £(£) = /ц Z(s)ds, где Z(s) — стационарный центрированный гауссовский процесс с ковариационной функцией R(t), различают два случая:

• длинной памяти /0°° \R(t)\dt = оо,

• короткой памяти /0°° \R(t)\dt < оо.

Модель с непрерывной, медленно меняющейся на бесконечности R(t) с показателем а = 2Я — 2, Я G (1/2,1), рассмотрена в [25] (случай длинной памяти, см. также [20]). Для нее получена асимптотика вероятности разорения в следующем виде: ф(и) = И1 - а)(2 - .)4/.')-VM^fWx

П7Щк)(1+0(1))' где д = д{х) — минимальный корень уравнения g2R(gx) = R2{x), а2и = sup a2u(s) = (2/(1 + cs)2) fi(s - v)R(uv)/r(v)dv, 2 . 2 (2 -ay-'a* c2a3

Ф(и) — хвост функции распределения стандартной гауссовской случайной величины.

Пусть £(£) — центрированный гауссовский процесс со стационарными приращениями. Определим обобщенную константу Пикандса как що = lim щй1 где

П(СТ) = Еехр{тах %/2CW - EC\t)}.

В [16] показано, что константа определена и положительна, если дисперсия процесса £(t) непрерывно дифференцируема на [0,оо), строго возрастает, правильно меняется в нуле с показателем с*о 6 (0,2] и на бесконечности с показателем Е (0,2). Кроме того, требуется, чтобы

0(ЬЕС2(*)) < cri dt ~ при t оо для некоторого С > 0. Пусть для непрерывной ковариационной функции R(t) процесса Zt выполнены условия где G = /д° R(t)dt, В = Jq° tR(t)dt. К сожалению, точное значение обобщенной константы Пикандса известно для очень немногих процессов.

В первой главе настоящей диссертации доказывается теорема, позволяющая избежать данного недостатка. А именно, вычислена точная асимптотика вероятности разорения для гауссовского проинтегрированного процесса в случае короткой памяти при условии существования второй производной ковариационной функции. Таким образом, для процессов, удовлетворяющих условиям обеих теорем, установлено значение обобщенной константы Пикандса.

Итак, в первой главе получены следующие результаты.

Рассмотрим вероятность разорения для гауссовского стационарного центрированного процесса X(t): где в > 1/2, с> 0.

Предположим, что R(t) — действительная, дважды дифференцируемая ковариационная функция процесса X(t), удовлетворяющая условиям: lim^oo tR(t) = О,

0°°|ДЙ|сЙ<оо,

0°° t2R{t) < оо, /0°° R(t)dt > 0.

Тогда в [15] показано, что i) G = /°°ад da > 0;

00 ii) интеграл Н = sR(s) ds конечен; гоо iii) и2~2!в sR(s) ds 0, и оо.

Jul

Если R(s) = s7(l + о(1)) при s 00, то последнее условие означает, что 7 < —29.) Тогда справедлива

Теорема 1. В вышеприведенных условиях 1) функция у[т) (1 -f тв(29 — I)-1))2

4G(29 — 1)~119с~11вт — Ши~1!в' имеет единственную точку минимума ттjn = тт[п(и) в окрестности т = 1 для достаточно больших и; 2)

V{u) = )Ш.и~м1\2в-1)'Чг-11,с-Увв-1х

X ехр [ Д (Х + гКг^-!)-1))2 ) при и -> 00.

Проводя аналогию с теоремой из [15] в случае 9 = 1, находим, что обоб

С ft щенная константа Пикандса процесса r](t) = —/ Xt dt в случае непре

G y2J® рывно дифференцируемой R(t) равна (y/i?(0)c)/(\/27rGr).

Применение метода Райса позволяет не только установить точную асимптотику вероятности разорения, но и получить предельную теорему для момента разорения.

Введем момент разорения следующей формулой ти = inf{£ > 0 : и - {J* Xsds - ct9) < 0}.

Обозначим

Ф) = *шх + и^-1с-^29\2в - iy/2-3/^V2G9-\ где tmax = (и(29 — I)'1 /с)1^в тт\п, rmin определено в теореме 1.

Теорема 3. В вышеприведенных условиях

Р (ти < к(х)\ти < оо) Ф(ж) при и —> оо, где Ф(я) — функция распределения стандартной гауссовской случайной величины.

Рассмотрим обобщение теоремы 1 на случай, когда доходы представлены правильно меняющейся функцией в смысле Карамата. Заметим, что такое обобщение не полностью включает в себя уже доказанное утверждение — например, важный случай 9 = 1.

Пусть для некоторого to > О где L(r) — правильно меняющаяся измеримая локально ограниченная функция порядка р, р > —1, т.е. L(r) = rpl(r), где l(r) — медленно меняющаяся функция, или где L(r) — правильно меняющаяся измеримая локально ограниченная функция порядка -1 > р > —3/2 (при р = 1 требуется, чтобы интеграл J™ L(r) сходился).

Тогда f(t) имеет строго положительную первую производную для больших t. Кроме того, по теореме Карамата для р ф — 1 при t -ь оо выполняются соотношения f(t) = JttJtXL(r)drdx, f(t) = t2L(t)/(\p + 1\(р + 2))(1 + о(1)), m=tf>(t)/(p+2)(i+o(i)), f'(t) = tL(t)/\p+l\(l + o(l)y,

Обозначим в = 2 + р и рассмотрим модель Yt = JoXsds — f(t), где ковариационная функция R(t) стационарного гауссовского центрированного процесса Xs по-прежнему действительная, дважды дифференцируемая, удовлетворяющая условиям (i), (ii) и модифицированному условию (iii): (iii') u2~2/eq(u)~2Ji/9 ^ ^sR(s)ds -» 0, и оо, где q(u) определено в (36).

Теорема 2. В вышеприведенных условиях 1) для достаточно больших и существует единственное решение ul!®q{u) уравнения

Gu + Gf(t) - 2tf'(t)G + 2f'(t)H = 0.

Если ковариационная функция удовлетворяет модифицированному условию (iii'): то

2) функция u2~2/9q(u)~2 [ „ sR(s) ds 0, u оо,

Julleq{u) , . u2^\ 1 + f(u^q(u)r)/u)2 Ьз{т) =

4Gq(u)r - 4Ни-1/6 имеет единственную точку минимума rmin = тт;п(и) в окрестности т = 1 для достаточно больших и;

3)

V(u) = - 1)^0-\,(и) ехр{-53(гт1п)}(1 + о( 1)) при и -> 00. Обозначим ф) = tmax + V2Gu^~Y2(u)(2e - 1)1!2в~1х, гДе £тах = и1/втт-т, rmin определено в теореме 2.

14

Теорема 4. Пусть выполнены условия теоремы 2. Тогда

Р (ти < к(х)\ти < со) Ф(я) при и —> оо, где Ф(:с) — функция распределения стандартной гауссовской случайной величины, а ти = inf{* > 0 :и- (J*X. ds - /(f)) < 0} момент разорения.

Рассмотрим теперь применение метода двойных сумм для вычисления асимптотики вероятности P(max<6[o)r]X(f) > и) при и -> оо на примере доказательства теоремы D2 из [3]. Пусть гауссовский центрированный процесс X(t) на [0,1] имеет непрерывные траектории и его дисперсия a2(t) достигает максимума в единственной (для простоты внутренней) точке to. Пусть также a(t) = l-a\t- t0\P(l + о(1)), 11 - to\ -> 0, r{t, s) = = 1-|t- S|a(l + o(l)), t^to,8-+ to,

E(X(t)-X(s))2 <G\t-s\-y, где a > 0, a > 0, P > 0,7 > 0.

Рассмотрим случай a < (3. Тогда можно выделить окрестность точки to радиуса 5 = и и, такую что

Р( max X(t) > u) = Р( max X(t) > u)(l + o(l)),u 00. ie[0,T] te[i0-<Mo+<5]

Далее, задачу оценки вероятности с помощью неравенства Слепяна можно свести к задаче нахождения аналогичной вероятности для процесса где £(t) — стационарный гауссовский центрированный процесс с ковариационной функцией r(t) = e~d^a,d > 0, а (3 — некоторый параметр. Для нахождения вероятности превышения уровня и процессом Yb{t) разобьем промежуток [—<5, <5] на отрезки длины А = Su~2!a, где S > 0, и введем события f {maxteAk ф) > и(1 + Ъ\(к + 1)Др)} к < О, Лк 1 {тах*еД, £(t) > «(1 + b\kAf)} к>0] I {тах^д, {(t) > и( 1 + 6|(fc + 1)А^)} к > О, к \ {тах^д, £(t) > и{ 1 + b\kAf)} к< 0.

Очевидно, что

Р(4ь) > Р(тахПМ > и) > ЕРШ - ££Р(Л4). к НЛ к к I

При помощи леммы Пикандса можно показать, что суммы по одному индексу в левой и правой частях неравенства являются "почти интегральными" с шагом 1/5. Затем выводится оценка для двойной суммы при и -» оо и устремляется 5 —> оо. В результате получаем асимптотику вероятности [3]

P(max X(t) > и) = + oW) при и -» оо, где = —f e~t2l2dt.

V27T Ju В случае, когда (3 = а

Р(тжХ(Ь)>ч) = 2НааЧ>(ч)(1 + о(1)), где

Наа = Jim Hi(S) = Jim Eexp(maxs(V2Ba/2(i) - a\t\°)). Если же [3 < а, то

Р(шХМ>и) = Ф(«)(1 + 0(1)) 16 при u —> 00.

Схематично описанный метод допускает обобщение данной теоремы на случай семейства гауссовских процессов, которое получено во второй главе настоящей диссертации. А именно, доказана следующая теорема.

Пусть £u{t),t € [0,T],u G [0, сю) — семейство действительнозначных гауссовских процессов с нулевым средним и п.н. непрерывными траекториями, такое что дисперсия при и —оо равномерно по t € [0,Т], где функция f(t,u) > 0 определена для и > О, 0 < f < Т и непрерывна на этом множестве; f(t,u) —> 0 при и -> оо равномерно по t. Пусть существует единственное io — h(u), такое что /(£о, и) = 0, to £ (О, Т) для всех и, и для некоторого 9 > 0 и t —> io

0 - /fl(u)|f - = o(|f - t0f), fe(u) > О равномерно по и (т.е. для любого е > 0 существует 5(e) > 0, такое что для f(u,t)-fe(u)\t-t0\e

It-to? также корреляционная функция E^u(i)^u(s)/((ju(t)(7u(s)) = ru(t,s) < 1 при t ф s, непрерывна, и для любого положительного е существуют 8(e) > 0,«о(£) > 0 такие, что для всех и > щ, \t — s\ <5 и некоторого 7 € (0,2] выполнено 1

- 11- s|T

Предположим также, что существует limu>ooio(w)(w2/0(w))1/0 = t^, t^ G [О, оо].

Теорема 1. Пустъ выполнены вышеприведенные условия. Тогда 1) если для некоторого D\ > 0 выполнено min (1 — al(t))u2 —> 00, t~to\>D! u2fe(u) ->00 (и оо), то при и —> оо всех и, для всех \t—to\ < 8(e) выполнено--—^—-< е). Пусть для u2fe(u)u~29h 0:

P(max<6[0,t]^M > и) = exp j-y j x для и2fe(u)u~29/J —^ с > 0 (если ^ = О, то в правой части следует добавить мпооюителъ 1/2): где Н9 определено в (45). для и2/б(и)гГ20/7 ->• оо:

Р(тахШ>н) = 7^ехр{4}(1 + 0(1));

2) если u2f(u,t) ->■ /o(i) при и оо равномерно по t £ [0,Т], то

Н ( т \

Р(тах,6[0|Г> «) = v^1-2/7 (/о ехр{-/о(0/2}Л] X хехр|-у| (1 + о(1));

3) если u2f(u,t) 0, при и —> оо равномерно по t 6 [0,Т], то

ТЕ (и2)

Р(max fuM > u) = t70/ ехр -— (1 + о(1)).

Доказанная теорема применяется для решения задачи о движущемся барьере.

Задачей о пересечении движущегося барьера, т.е. задачей нахождения вероятности P(sup[0jT] Xt—f(t) > и), занимались М. Лидбеттер, Дж. Крайер

28], и др. Важной работой является статья С. Бермапа [1], где показано, что

Р( max X(f) - f(t) > и) = F'(0)(v/w)(2^'2u-le-^ + 41)) при и —> оо для стационарного центрированного гауссовского процесса X(t) с единичной дисперсией и ковариационной функцией r(t). Здесь предполагается, что r(t) ф 1 для t > 0 и правильно меняется в нуле с показателем 2 > а > 0, кроме того, существует предел р = ^lim f{t)/(l — r(t))1/'2; f{t) строго положительна при t > 0 и правильно меняется в нуле с показателем (3 > q/2; v и w суть наибольшие решения уравнений и2( 1 — r(l/v)) = 1, uf(l/w) = 1. F(x) — некоторая функция, которая выражается в явном виде через а,/3,р.

Следующее следствие из доказанной теоремы обобщает работы С. Бер-мана, В. Питербарга и В. Присяжшока [5].

Следствие 2. (задача о двилсущемся барьере)

Пусть £ [О, Г] — гауссовский центрированный стационарный процесс с единичной дисперсией, п.н. непрерывными траекториями и ковариационной функцией R(t), R(t) — \ — Ct7 + o(V) при t —> О, С > 0, j € (0,2] и |Я(£)| < 1 при t > 0. Функция f(t,u) определена для u>0,0<t<Tu непрерывна па этом множестве. Обозначим т{и) = mm^f(t,u), т(и) = о(и) при и —^ оо. Пусть выполнено одно из условий: 1) для каэюдого и существует единственная точка to = to{u), to 6 (0,T) минимума функции f(u,t) по t, причем для некоторого, не зависящего от to, D\ > 0 выполняются соотношения min u(f(u,t) — т(и)) —> оо, t-to\>Dx f(t,u)/u —> 0 при и Ч- оо равномерно по t, и - ^ - /.(«)|t - tof = o{\t - kf), Л(«) > о при t —> to равномерно no и ( т.е. для любого е > 0 существует

8(e) > О, такое что для всех и, для всех 11 — io| < 5(e) выполнено f(u,t)/u-fe(u)\t-t0\e\ . . , 2,,л , ч

11 t \в - < и Jв{и) ->оо (и оо), и существует предел = Yimu^^u2 fe(u))l!eto(u);

2) uf(t,u) —> fo(t) при и -> оо равномерно по t;

3) uf(t,u) -» 0 при и —У оо равномерно по t. Тогда в случае 1) для pAu) = p(™lTZt-f(u,t)>u) если u2fg(u)u~2e/7 0, то р м Я.С1^ [ (ц + т(ц))21

7 W ~ (и + m(u)Y+2ie-2h(2fe(u)yie 6ХР \ 2 J Х если u2fe{u)u~26/7 с > О, то (если ^ = 0, то в правую часть следует добавить множитель 1/2) ЛГ( ■ f и ехр--9 - 1 + 0 1 ;

V27r(w + m(u)J ( 2 J если и2fg(u)u~29^ -)• оо, то

М = /ГГ л. ^ еХР -1 + ° 1 5 у/2тг{и + тп(и)) [ 2 J в случае 2) = ^Д))'-^ (/„""'"-Pl-VoW}^) X (и + m(w))2, ^ х ехр -(1 + о(1)); в случае 3)

W = + (--2->(1 + °(1))'

Автор выражает глубокую благодарность своему научному руководителю профессору Питербаргу В.И. за постановки задач, ценные советы и обсуждения.

Основные результаты диссертации опубликованы в [39, 40, 41].

1. Берман С. Выбросы стационарного гауссовского процесса за высокий движущийся барьер. Случайные процессы. Выборочные функции и пересечения. Изд. "Мир", 133-164, 1978

2. Булинская Е.В. О среднем числе пересечений некоторого уровня стационарным гауссовским процессом. Теория вероятностей и ее применения 4(1961), т.6

3. Питербарг В.И. Асимптотические методы в теории гауссовских случайных процессов и полей. М.: Изд-во МГУ, 1988.

4. Питербарг В.И. Метод Райса для гауссовских случайных полей. Фунд. и прикл. матем. 1996. 2. 187-204.

5. В.И. Питербарг, В. Присяжнюк. Асимптотическое поведение вероятности большого выброса для нестационарного гауссовского процесса. Теория вер. и мат. статист., 18, 121-133, 1978.

6. Федорюк М.В. Метод перевала. М.: Наука, 1977.

7. Anick D., Mitra D., Sondhi M. Stochastic theory of a data-handling system with multiple sources. Bell System Technical Journal, 61(8):1871-1894,1982.

8. Adler R., (1990), , An Introduction to Continuity, Extrerna, and Related • Topics for General Gaussian Processes, IMS Lecture Notes-MonographSeries, Vol 12

9. Asmussen S. Ruin probabilities. Singapore: World Sci. Publ. Co. 2000.

10. Asmussen S., Hfijgaard B. Ruin probability approximations for Markov-modulated risk processes with heavy tails. Theory Random Proc. 1996, v.2, pp. 96-107.

11. Asmussen S. Risk theory in a Markovian environment. Scand. Act. J. 1989, 69-100.

12. Bingham N., Goldie C., Teugels J. Regular variation. Cambridge university press, 1987.

13. Cramer H. Collective Risk Theory, Esselte, Stockholm (1955).

14. Cramer H. and Leadbetter M., Stationary and related stochastic processes. J. Wiley, New York, 1967

15. Debicki K. Ruin probabilities for Gaussian integrated processes. Stochast. Proc. and Appl. 2002. 98. 151-174.

16. Debicki, K. (2001), Generalized Pickands constants, CWI Report PNA-R0105

17. Debicki K., Palmowski Z. Heavy traffic asymptotics of on-off fluid model. Queuing Systems, 33, 327-338.

18. Debicki K., Michna Z., Rolski T. On the supremum from Gaussian processes over infinite horizon. Probability and Mathematical Statistics, v. 18, pp. 83100

19. Dickson D., Willmot G. The density of the time to ruin in the classical Poisson risk model. Astin Bulletin, 2002, v. 32, N. 2

20. Dieker T. Extremes of Gaussian processes over an infinite horizon. Stochastic Processes and their Applications, 115, p. 207-248, 2005.

21. Embrechts P., Veraverbeke N. Estimates for the probability of ruin with special emphasis on the possibility of large claims. Insurance: Mathematics and Economics, 1, 55-72, 1982.

22. E. Hashorva, J. Husler. Extremes of Gaussian processes with maximal variance near the boundary points. Methodology and computing in applied probability, 2:3, 255-269, 2000.

23. J. Husler, V. Piterbarg, 0. Seleznev. On convergence of the uniform norms for Gaussian processes and linear approximation problems, Ann. Appl. Probab. 13 (2003), no. 4, 1615-1653.

24. Husler J., Piterbarg V. Extremes of a certain class of Gaussian processes. Stochast. Proc. and Appl. 1999. 83. 257-271.

25. Husler J., Piterbarg V. On the ruin probability for physical fractional Brownian motion. Stochast. Proc. and Appl. 2004. 113. 315-332.

26. Kosten, L. (1986). Liquid models for a type of information buffer problem. Delft Progress Report 11, 71-86.

27. Kulkarni V., Rolski T. Fluid model driven by an Ornstein-Uhlenbeck process. Prob. Eng. Inf. Sci. 1994. 8. 403-417.

28. Leadbetter R. On crossings of arbitrary curves by certain Gaussian processes. Proc. Amer. Math. Soc. 16, 60-68, 1965.

29. Leadbetter R., Rootzen H., Lindgren G. Extremes and Related Properties of Random Sequences and Processes, Springer-Verlag, N.Y., 1983

30. Mikosch Т., Samorodnitsky G. The supremum of a negative drift random walk with dependent heavy-tailed steps. Ann. Appl. Probab. 2000, V. 10., pp. 1025-1064.

31. Narayan O. Exact asymptotic queue length distribution for fractional Brownian traffic. Advances in Performance Analysis. 1998. 1. 39-63

32. Norros I. A storage model with self-similar input. Queueing Systems. 1994. 16. 387-396.

33. Palmowski Z., Rolski T. The superposition of alternating on-off flows and a fluid model. The Annals of Applied Probability, 1998, V. 8, No. 2, pp. 524-540.

34. J. Pickands, III, Upcrossing probabilities for stationary Gaussian processes. Trans. Amer. Math. Soc., 145, 51-73, 1969.

35. J. Pickands, Asymptotic properties of the maximum in a stationary Gaussian process, Trans. Amer. Math. Soc. 145 (1969) 75-86.

36. Pickands J., Upcrossing probabilities for stationary Gaussian processes, Trans. Amer. Math. Soc. 145 (1969) 51-73

37. V. Piterbarg, 0. Seleznjev. Linear interpolation of random processes and extremes of a sequence of Gaussian non-stationary processes. North Carolina University, Chapel Hill, Center Stoch. Proc. Tech. Rep. ,1994, 1994:446

38. Simonian A., Stationary analysis of a fluid queue with input rate variying as an Ornstein-Uhlenbeck process. SIAM J. Appl. Math., 51, pp. 823-842.Публикации автора по теме диссертации:

39. Кобельков С.Г. О задаче разорения для гауссовского стационарного процесса. Теория вероятн. и ее примен. 2004. 49. 171-178.

40. Кобельков С.Г. О задаче разорения со степенными убытками для гауссовского стационарного процесса. Вестник МГУ. Сер. матем. 2005. 6. 23-29.

41. Кобельков С.Г. О выходах гауссовского процесса с переменной дисперсией за неограниченно растущий барьер. Математические заметки. 80, вып. 3. 2006. 386-394.