Точные асимптотики вероятностей больших уклонений гауссовских случайных процессов и полей тема автореферата и диссертации по математике, 01.01.05 ВАК РФ

ВВЕДЕНИЕ.

ГЛАВА I. ТОЧНЫЕ АСИМПТОТИКИ ВЕРОЯТНОСТЕЙ БОЛЬШИХ

УКЛОНЕНИЙ ГАУССОВСКИХ ПОЛЕЙ

§ I. Вспомогательные утверждения.

§ 2. Точные асимптотики распределения максимума гауссовского неоднородного поля I

§ 3. Точные асимптотики распределения максимума гауссовского неоднородного поля II

§ 4. Случай, когда дисперсия гауссовского поля достигает своего максимума на (П-1)-мерном компактном множестве в (<*

ГЛАВА II. ТОЧНЫЕ АСИМПТОТИКИ РАСПРЕДЕЛЕНИЙ СТАТИСТИК

КОЛМОГОРОВА-СМИРНОВА.

§ 5. Асимптотики предельных распределений статистик Колмогорова-Смирнова для параметрического семейства

§ 6. Асимптотики предельных распределений статистик Колмогорова-Смирнова в задачах проверки гипотезы о независимости

§ 7. Дальнейшие примеры. Многопараметрическое броуновское движение. Распределение экстремальных значений статистики Колмогорова

К настоящему времени теория гауссовских случайных процессов и полей представляет собой весьма обширную область теории случайных процессов. Значительные успехи достигнуты в исследовании свойств регулярности траекторий гауссовских функций, в изучении распределения супремума траекторий, предельных теоремах и задачах типа пересечения уровня. Эти и ряд других направлений в теории гауссовских процессов достаточно полно освещены в обзорах

МИ.

Настоящая работа посвящена изучению асимптотических свойств вероятностей больших уклонений гауссовских неоднородных случайных полей наиболее общего вида и исследование на этой основе асимптотического поведения статистик Колмогорова-Смирнова.

Проблематика, связанная с нахождением точной асимптотики вероятности j при Ц-~сю стала успешно разрабатываться с начала 70-х годов, после появления работы Д.Пиканд-са В этой работе автор предложил эффективный метод изучения указанной вероятности для гауссовского стационарного процесса с правильно меняющейся в нуле ковариацией, однако при этом им были допущены принципиальные ошибки. Устранению этих ошибок и дальнейшей разработке метода были посвящены работы В.И.Питербар-ra[ll]» С.Бермана , К.Кволса и Х.Ватанабе [tjgj*

Следующим естественным шагом стало обобщение этого метода на случай гауссовских однородных полей, выполненное Ю.К.Беляевым и В.И.Питербаргом, и К.Кволсом и Х.Ватанабе, [^Sj. Уже к тому моменту эти результаты для стационарных процессов и полей имели важное значение для прикладных исследований. Однако в многочисленных задачах математической статистики, теории надежности,теории приближения случайных процессов и других, возникают гауссовские процессы и поля, не являющиеся стационарными, хотя в некотором смысле и близкие к ним. Речь идет о так называемых локально стационарных процессах и полях. Впервые такой локально стационарный процесс с постоянной дисперсией исследовал С.Берман в [з]. В работе [1б] В.И.Питербарг и В.П.Присяжнгок изучили вероятность болыжх выходов гауссовского нестационарного процесса, дисперсия которого достигает абсолютного максимума в конечном числе точек и регулярно ведет себя в окрестностях этих точек. Локальная стационарность в данном случае означает, что в этих окрестностях корреляционная функция процесса близка к корреляционной функции некоторого стационарного гауссовского процесса (из изученного уже класса). Настоящая диссертация представляет собой продолжение исследований в этом направлении. В ней найдены точные асимптотики для вероятностей больших уклонений определяемых ниже локально стационарных гауссовских полей, дисперсия которых достигает своего максимума на произвольном компактном множестве в .В рассматриваемый класс гауссовских случайных полей входят помимо полей с дифференцируемыми траекториями также и поля, выборочные функции которых непрерывны, но недифференцируемы. К последним относятся, например, винеровские и связанные с ними процессы и поля, диффузионные гауссовские процессы и т.д. - их примеры будут даны ниже, в кратком обзоре диссертации.

Важное значение имеет задача нахождения поправочных членов к асимптотике вероятности j^jl^X^i)^! ,U-*oo . Для достаточно гладких в среднем квадратическом гауссовских полей В.И.Питербаргом разработан метод (метод сравнения), позволяющий получить асимптотические разложения для этой вероятности,], jJ.4]» В случае недифференцируемых процессов и полей вопрос отыскания поправочных членов остается открытым. Даже скорость сходимости к асимптотике здесь неизвестна. Она найдена В.Д.Конаковым, [?^лишь для гауссовского стационарного процесса с корреляционной функцией вида Г(Чг) « 1 - С 1+ -Ь О, С>0.

Продолжаются также исследования асимптотических свойств стационарных гауссовских процессов и полей. Так, в работе [30^J Дж. Кузик обобщил результаты из [2] »[Ч^"]* 0н изучил вероятность для стационарных гауссовских процессов с правильно меняющейся в нуле корреляционной функцией и семейства непрерывных функций {■СпСМ) , для которых, в частности, -f*00 . Полученные реи-» со -te | 1 зультаты Дж.Кузик применял для изучения указанной вероятности, когда ха) - процесс броуновского движения.

А.Хазофер [S5], Е.Кабана и М.Всчебор получили некоторые результаты в духе работ [ll

Отметим также работы В.А.Дмитровского и К.Ферника[£2], в которых содержатся одни из наиболее точных оценок для распределения максимума гауссовского поля, заданного на произвольном параметрическом множестве.

Изложим теперь содержание работы.

В первой главе получены основные результаты диссертации -найдены точные асимптотики распределения максимума для определяемого ниже класса Э£ гауссовских неоднородных случайных полей. Главный метод исследования - это "метод двойной суммы" в том виде, в каком он разработан В.И.Питербаргом в [l 5"]. Основные положения этого метода и другие необходимые вспомогательные утверждения приведены в § I.

Введем основные определения.

Пусть ОС . (OL^CU ,. э Ы*,^) в R,^,., -целые положительные числа, =П е - О о

Для вектора jt= обозначим величину к / е0 + . + \ liL-Z/ £ V

Аналогично вектор J3 = ^^., ^. ? J£>^. ^Q [P" J3i>0 .i-^i^-^.Sft-h ' определяет величину ftfjs. Векторы СУ будем записывать также следующим образом

Определим также = s^ ^ ^

- невырожденная матрица размера И * И »

В диссертации изучается следующий класс случайных полей. Пусть^(кJ - гауссовское сепарабельное случайное поле, заданное на компактном множестве , > с непрерывными траекториями, д) = Е~Х£к)Хб)"* его K0BaPHai^-онная функция, - (t -t^ ~ его дисперсия, s) ■= s^^ корреляционная функция Обозначим для J 7 (i - s j - обычное евклидово расстояние между точками ins.

Поле удовлетворяет для некоторого £о>0 и вышеопределенных векторов о* , J3 следующим условиям . (I) Дисперсия непрерывна на Г]~' и где |0 - множество достижения максимума, равного 6*2>0 , дисперсией - невырожденная матрица, причем 3 j* > О '

•^«{-teTo^-^^ мера Лебега«

Существует такое открытое в /\ множество Ц , что ТоСЦсгТ Ц - замыкание множества Ц ).

Для всех ЭТП^Х выполнено: i +где Н) ~ ПР™0® круговой конус с вершиной в начале координат , фиксированного раствора >о и высотой Н - ^ и с зависящим от -t вектором направления оси (условие конуса).

II) Условие локальной стационарности. Для всех i t (c "выполнено соотношение

М-о, матричная функция, заданная наТ*Т , ^ f-L-bW О яля i £ Т0&°, элементы enjCi,lJ - непрерывны на |0 х |о , причем для всех s "7^° либ° ^у А,» когда | "t - S | < €' для некоторого £'>0 , либо cfijdf'k)^ ^ •

III) Существуют константы£>0 , ^>0 , £г>0 такие, что для всех , |i - £;>. выполнено одно из следующих двух неравенств I ) • •

И ) V

L- -1

1У) Для любого Т> О имеет место 2

Класс гауссовских полей естественным образом включает в себя, с одной стороны, однородные гауссовские поля, изученные

Ю.К.Беляевым и В.И.Питербаргом в [tj , а с другой - локально стационарные гауссовские процессы, рассмотренные В.И.Питербаргом и В.П.Присяятоком в flC].

Асимптотики вероятностей для полей существенно зависят от соотношений между компонентами векторов с^ . Постоянные множите ли в этих асимптотиках зависят от величин » Н « • Даним их определение.

Пусть Xft ) » ~ гауссовское поле с непрерывными траекториями, для которого

--Г~) П ~~ 7 v

Записав к^ в виде прямого произведения ортогональных подпространств 4=1 . k |?«Х ь определим для вектора

5 ' У i =

K^C&i.,.:,^*) ' 1,.-J< слепящее преобразование пространства : запись в скобках означает гомотетию пространства R относительно нуля с коэффициентом .

Для невырожденной матрицы >п 0 постоянными коэффициентами и вектора — 5><Э , определим величину

Если таково, что £i> О , , то существует конечный и положительный предел

Обозначим , где Q =

- единичная матрица. Величины были введены в работе [ Ч ?] для П = 1 , а затем обобщены на П -мерный случай в работах , [ 4 З]. Там же было доказано существование предела

Константы типа |—|а , НсГ^ОЗ постоянно возникают при нахождении указанной асимптотики для полей из класса Э£ . В важных частных случаях известны численные значения этих констант. Так, в случае = С*п « Нос = i, в случае n, ot* ^ . = ОС„ - Z , Н * -тг'^ . Некоторые свойства этих величин приведены в § I.

Сформулируем теперь основные теоремы, доказанные в §§ 2,3. Обозначим через класс функций *о(ц) таких, что при и —*оо

S601O, и-ьМ-о,

Обозначим

Наиболее часто встречающийся на практике случай зависимости между векторами of и J3 рассмотрен в следующей теореме. Теорема 2.1.' Пусть поле X^t) принадлежит классу ас и выполнено одно из следующих двух условий: а) 4jп. б) , и для некоторого £г>0 матрицы^^ П " диагональные.

Тогда для любой функции УС верно асимптотическое равенство * Ze srx^-^etf ч-Й

Нумерация утверждений соответствует нумерации в основном тексте диссертации, в формулировках возможны некоторые изменения.

Основные идеи доказательства этой и последующих теорем заключаются в следующем. Прежде всего доказывается, что искомая вероятность имеет асимптотику, совпадающую с асимптотикой

Затем множество Тд- разбивается измельчающейся с ростом LL решеткой и применяется неравенство Бонферрони. Далее, используя теорему сравнения Слепяна[5о]и результаты работы [Ч] , находим асимптотики (одинаковые) сумм, возникающих при применении неравенства Бонферрони и доказываем, что двойная сумма в этом неравенстве является по отношению к найденной асимптотике бесконечно малой величиной более высокого порядка.

Разнообразные примеры применения теоремы 2.1 будут даны ниже, при изложении результатов второй главы. Как частный случай из теоремы 2.1 получаем известную формулу точной асимптотики вероятности больших максимумов гауссовского однородного поля (теорему I из ). В теореме 2.2 исследован случай, когда otcl)<

Xa)>fci) I'C при дополнительном ограничении на множество ^о , согласно которому Т должно лежать в подпространстве X а , причем здесь - I -ая ось пространства Р п , ]С \ Y\ \ ,CarJl 1= 9, d - некоторый вектор из f^ ; тя - cj -мерная мера Лебега.

При этом дополнительном условии удается вычислить явно асимптотику интеграла, появляющегося в ответе.

Наиболее полно в диссертации изучен важный случай достижения дисперсией поля^(Ч;) своего максимума в единственной точке. Различные возможные случаи зависимости векторов и 6 рассмотрены в следующих ниже двух теоремах.

Теорема 2.3. Пусть поле 2С0к) принадлежит классу Зс , причем I состоит из одной точки t о t которая является внутренней точкой множества rj~' . - л

Тогда справедливы следующие утверждения СС^ . i ) Предположим, что матрица^ - диагональная, jf\ = = dua^ (а *}. ? а „) ? а ^Ф О, а матрица удовлетворяет для некоторых £)>0, [^>0, £г>О неравенству

DJi-slJ^ID -1)1 « * U li-4

Пусть для некоторых целых , 1 ^m таких, что 1 ^ + -• > выполнено р,

Тогда «Д я и. 1 / \ а. \

1 и со .i

5*

2s" * т/^ П Qf| ii) Если векторы oi иудовлетворяют условиям теоремы 2.1, то • •• .-ffe ili) Если Ota)>y>G) то

PI £<тХ(±П - «е {■) и

Здесь обозначено: | ) - гамма-функция,

Х р \ l = - матрица размера f\ * р и ранга р , построенная по матрице Ц), есть сумма квадратов всех миноров р -го порядка матрицы поле определено ранее. Отметим своеобразие пункта (Hi ) теоремы. Он утверждает, что если для поля ЗС найдутся такие пары

Л/- «р&Де?. из условий (I), (II), что Oici)> j!>ci) , , то исследуемая вероятность имеет асимптотику, не зависящую от величин^ ,

D»д•^•

И, наконец, вазможные случаи равенства между координатагли векторов и J3 изучены в § 3.

Теорема 3.1. Пусть поле^^^ принадлежит классу , причем = {t, ^ -к G Ivi-t Т. g

Тогда справедливы следующие утверждения (константы )—(ID) определены выше, J) = ). i ) Если для векторов о^ и J3 выполнено

Ot г то ста

II ) Предположим, что для некоторого целого оё р^П матри-имеют такой вид о матрицы разл ' ю AJ'^ (О t>zj' где - матрицы размера р* р <f\z , J£)2 ~ мера (Ъ - р) к - р).

Пусть, далее, выполнено v+t , = «fw и одно из следующих двух условий: а) =

->■> г и матрицыж > являются диагональными. Тогда

D, I

Hei /, \ я s г .г

7Г П Г^Ох 'л г^в е где

OL

OLv .

Ok

C* • • . » Пусть в условиях пункта (II) вместо условий а), б) выполнено fa) < , ^ р.

Тогда при Ц->

Г/г Х6) >+

Везде здесь £ -,1)- элемент из евклидова пространства соответствующей размерности.

Завершает первую главу § 4. В нем доказана теорема 4.1,аналогичная теореме 2.1, в случае, когда множество достижения максимума дисперсией имеет вид: — 6 НГ: F£k} ~ °^, где функция F^fe) удовлетворяет условиям теоремы существования неявных функций. Там же приводится пример использования теоремы 4.1 для нахождения асимптотики вероятности большого размаха гауссовского стационарного процесса, впервые вычисленной в работе В.И.Питербарга и В.П.Присяжнюка [ .

Вторая глава диссертации посвящена исследованию точных асимптотик вероятностей больших уклонений гауссовских процессов и полей, встречающихся в математической статистике, которые входят в класс ЗС .

Критерий Колмогорова-Смирнова широко используется для проверки (простых) гипотез о том, что наблюдаемая одномерная случайная величина имеет данную функцию распределения. Однако применение этого критерия в случаях, когда выборка является многомерной или извлечена из параметрического семейства, затруднено тем, что предельные распределения статистик Колмогорова-Смирнова неизвестны. Дело в том, что функции распределения максимума возникающих здесь гауссовских процессов и полей не поддаются вычислению. Поэтому представляет интерес нахождение точной асимптотики вероятностей больших уклонений этих предельных полей и затем приближенное вычисление на этой основе процентных точек статистик Колмогорова-Смирнова.

В § 5 рассматривается задача проверки сложной гипотезы Но о принадлежности неизвестного непрерывного распределения данному параметрическому семейству функций распределения

34 F ё), е Че.,.аУ R! Г1

Обозначим: - неизвестное истинное значение параметра § ,

- оценку максимального правдоподобия, fN 0е} - эмпирическую функцию распределения, построенную по выборке объема /V , взятой из распределения Предположим, что класс распределений jF удовлетворяет условиям регулярности по 6 (см. [8] , глава 33).

Статистики Колмогорова-Смирнова Q)^ > D^ , как и целый ряд других статистик, строятся на основе эмпирического процесса именно

Предельное при /у^оо поведение процесса изучалось довольно давно в работах И.И.Гихмана^Ц] , Д.Дарлинга [-Si^, М.Каца, Дж.Кифера, Дж.Волфовитца/^/о], Ю.Н.Тюрина [ 19], Но лишь в 1973 году Дж.Дурбин [Зб] строго сформулировал и доказал слабую сходимость в пространствах i] и р)[°<процесса Ы = = к гауссовскому процессу i\ , с нулевым средним и ковариационной функцией вида г— c^'V^e?)

J J ■— OO и б) ^ ™ ■=Ц; - i-,7J Ь^

- мерный вектор-столбец, J = || J FT^) информационная матрица Фишера размера - обратная матрица.

Из недавних работ, посвяшенных проверке параметрических гипотез и изучению свойств эмпирического процесса, отметим статьи Э.В.Хмаладзе [£3], К.0.Джапаридзе, М.С.Никулина fsj , Д.Кемпбел-ла, С.Оприана [2 3]. В силу указанной слабой сходимости

Распределения этих вероятностей неизвестны. С другой стороны, для использования критериев, основанных на статистиках D^Ojy важно знать значения этих вероятностей для больших U . Тем самым становится актуальной задача нахождения точных асимптотик вероятностей (0.1). Впервые это проделано в работе Г.А.Несенен-ко и Ю.Н. Тюрина [^о] • в ней процесс интерпретировался как условный винеровский процесс и применялась техника дифференциальных уравнений. Однако изложенный там метод связан со сложными вычислениями, а его перенос на многомерный случай крайне затруднен.

В то же время, к процессу применимы результаты' первой главы настоящей работы и на этой основе в § 5 предложен более общий (и более простой) способ вычисления точных асимптотик вероятностей (0.1), пригодный и для многомерных выборок. При этом, оказывается oo

Три теоремы такого рода для нормального распределения также содержатся в § 5.

Приведем одну из них. х

Обозначим f<fx) ^ - плотность и функцию распределения стандартного нормального закона. Относительно неизвестной функции распределения рассматривается задача о проверке гипотезы

Нз- Rx^^-f^-ANH.

Пусть оценкой неизвестного среднего ОЕ выбрано выборочное среднее.

Теорема 5.3. Пусть Wj^-t) , -hc\pf i\ - предельный гауссов-ский процесс, возникающий при проверке гипотезы Нз» Е" ковариационная функция которого равна

Е иьбу^ь^^)--^ - ? Щ

Тогда

Ср. с теоремой I из^0]).

Надо сказать, что при использовании статистик Колмогорова-Смирнова для проверки тех или иных гипотез, гауссовские процессы и поля, получающиеся в пределе, как правило, содержатся в классе . Некоторые примеры таких полей даны в §§ 6,7. В § 6 рассматривается задача проверки гипотезы Но° независимости координат П -мерного случайного вектора с непрерывной функцией распределения р) :

Ho: F(x)= Ffo)- .-FnM, p непрерывные одномерные функции распределения.

Эта задача исследовалась в работах В.Гефдинга [3 3]. Н.Н.Ченцова И Дк.Кифера и Дж.Волфовитца [^l], Дж.Блюма, Дж.Кифера и М.Розенблатта [2?], Д.Дюге [35] и других авторов. В последнее время целую серию статей по этому вопросу опубликовал П.Девелс,[з23, з4

Применение различных критериев для проверки гипотезы ^ ^сновано на выявлении свойств случайного поля

60 где , - П-мерная и одномерные маргинальные эмпирические функции распределения, построенные по выборке объема Д/ , извлеченной из распределения р(к) .

Доказано, (см., например, [^З]), что при выполнении гипотезы [~|0 случайное поле W* (к) = fN(x\ ti = Ft* О, *fc = CK,., M слабо сходится в к гауссовскому полю (t) со средним нуль и ковариационной функцией

Е =-х—а.

• nVj+^rW.

J*1

Следовательно, удобная для проверки гипотезы Но статистика Колмогорова имеет предельное при Д/-* распределение, совпадающее с распределением j'NX/eo^t) \ * которое неизвестно. И здесь для применения критерия, основанного на статистике важное значение приобретает нахождение точных асимптотик вероятностей больших уклонений гауссовского поля которое также входит в класс полей ЭС . ^ Теорема 6,2. Пусть гауссовское поле w тлФлГ имеет среднее нуль и ковариационную функцию вида

Ewwa)w*b) - п (w-М'У-м ■ и = 1

Тогда

Df й" > U1 -2uIW>

Следствие 6.1. Справедливо соотношение (Jc C^i-^z))

PfcV =

Другой пример. В работе Р.М.Дадли[*ЗЦ] доказано (см. также » ^20*]), что при выполнении гипотезы (-(0 предельное при распределение статистики совпадает с распределением случайной величины ^^у» l- • Зяесь^Х/"62^), t G [of]гауссовское поле с нулевым средним и ковариационной функцией

EW %)w%)= rW т.н. многопараметрический броуновский мост). Дисперсия этого поля достигает своего максимума на ( W - 1 )-мерном многообразии.

Теорема 6.3. Справедливы соотношения

Р| Д-1 WaVi)> uH 2 uoCD), U-со.

Представление о скорости приближения вероятностей к асимптотикам в теоремах 6.2 и 6.3 при Y\-Z можно получить по расчету процентных точек статистик Р^ и , проведенному методом Монте-Карло для равномерного распределения на [p,t] . Приведенные в таблицах результаты показывают, что уже для 30-процентных точек эти приближения в обоих случаях достаточно хорошие.

В заключительном § 7 приведены асимптотики вероятностей больших уклонений двух гауссовских полей, также встречающихся в задачах математической статистики.

Один из результатов относится к многопараметрическому броуновскому движению и получен В.И.Питербаргом. Другой связан с распределением экстремальных значений статистики Колмогорова.Эти асимптотики выписаны при помощи теоремы 3.1. В работе использованы следующие обозначения. J^ - П -мерное евклидово пространство, элементы которого подчеркиваются снизу: "Ь-^Ь*,., ,, £ = Sn) ,» t- S - ^-tiSi,., -tn ,Шг\П" мера Лебега в пространстве R » Z ~ П-мерная целочисленная решетка.

Матрицы обозначаются жирными буквами:,^, символ означает диагональную матрицу, по диагонали которой стоят элементы Q< С(у\ единичная матрица, мА - определитель матрицы^^ .

Символ cov /XV/означает ковариацию случайных величин^и

Y.

Через [я 1 обозначена целая часть числа Q ,

Буквами di,^*,*,. обозначены константы, как правило, положительные, вид которых не важен. .

В работе изучается вероятность ^^ для гауссовского случайного поля ^С^,65) заданного на ^р* S2. , где основное вероятностное пространство, - кошактное рп ' множество в |\ .

1. Беляев Ю.К., Питербарг В.И. Асимптотика среднего числа А -точек выбросов гауссовского поля за высокий уровень. - В сб.Выбросы случайных полей", изд-во МГУ, 1972, с.62-89.

2. Берман С. Выбросы стационарного гауссовского процесса за высокий движущийся барьер. В сб. "Случайные процессы. Выборочные функции и пересечения", М., "Мир", 1978, с.133-164.

3. Берман С. Времена пребывания и экстремумы гауссовских процессов, там же, с.165-203.

4. Гихман И.И. Про одне питания з теори go -кр1тер1я, Матем. 36ipHiK KniBCbK. держ. ун-ту, 1954, 5, с.51-59.

5. Джапаридзе К.О., Никулин М.С. Распределения вероятностей статистик Колмогорова и омега-квадрат для непрерывных распределений с параметрами сдвига и масштаба. Записки научных семинаров ЛОМИ АН СССР, 1979, т.85, с.46-74.

6. Дмитровский В.А. Оценки распределения максимума гауссовского поля. В кн. "Случайные процессы и поля", изд-во МГУ, 1979, с.22-31.

7. Конаков В.Д. Оценка скорости сходимости распределения максимума модуля недифференцируемого гауссовского процесса. В сб. "Многомерный стат. анализ. Матем. обеспечение", М., 1979, с.116-121.

8. Крамер Г. Математические методы статистики. М., "Мир", 1975.

9. Питербарг В.И. Асимптотические разложения вероятностей больших выбросов гауссовских процессов, Докл. АН СССР, 1978,т.242, № 6, с.1248-1251.

10. Питербарг В.И. Некоторые направления в исследовании свойств траекторий гауссовских случайных функций, В сб. "Случайные процессы. Выборочные функции и пересечения", М., "Мир",1978, с.258-280.

11. Питербарг В.И. Гауссовские случайные процессы, В кн. "Теориявероятностей. Математическая статистика. Теоретическая кибернетика. Т.19 (Итоги науки и техники. ВИНИТИ АН СССР)".М., 1981, с.155-199.

12. Питербарг В.И. Асимптотические методы в теории гауссовских случайных процессов и полей. Докт. диссер., МГУ, 1982.

13. Питербарг В.И., Присяжнюк В.П. Асимптотика вероятности большого выброса гауссовского нестационарного процесса. Теория вероятностей и математическая статистика, Киев, 1978, вып.18, с.121-133.

14. Питербарг В.И., Присяжнюк В.П. Точная асимптотика большого размаха гауссовского стационарного процесса, Теория вероятностей и ее применения, 1981, т.ХХП, вып.З, с.480-495.

15. Питербарг В.И., Фаталов В.Р. Точные асимптотики для вероятностей больших уклонений некоторых используемых в статистике гауссовских полей, В сб. "Вероятностно-статистические методы исследования", изд-во МГУ, 1983, с.124-143.

16. Тюрин Ю.Н. 0 проверке параметрических гипотез непараметрическими критериями. Теория вероятностей и ее применения, 1970, т.ХУ, вып.4, с.745-749.

17. Тюрин Ю.Н. Линейная модель в многомерной непараметрическойстатистике, В сб. "Многомерный статистический анализ в социально-экономических исследования" , М., "Наука", 1974, с.7-24.

18. Фихтенгольц Г.М. Курс дифференциального и интегрального исчисления, т.Ill, М.,"Наука", 1970.

19. Ферник К. Регулярность траекторий гауссовских случайных функций, В сб. "Случайные процессы. Выборочные функции и пересечения", М., "Мир", 1978, с.63-132.

20. Хмаладзе Э.В. Применение критериев типа Coz для проверки параметрических гипотез. Теория вероятностей и ее применения, 1979, т.ХХ1У, вып.2, с.280-297.

21. Ченцов Н.Н. Винеровские случайные поля от нескольких параметров, Докл. АН СССР, 1956, T.I6&, с.155-161.

22. Ченцов Н.Н. Обоснование статистических критериев методами теории случайных процессов. Канд. диссер., МЙАН игл.В.А. Стек-лова АН СССР, М., 1958.

23. Шилов Г.Е. Математический анализ. Конечномерные линейные пространства. М., "Наука", 1969.

24. Blum J.E.,Kie£er J.,Rosenblatt M. Distribution free tests of independence based on the sample distribution function,Ann. Math. Statist.,1961,52,p.485-498.

25. Cabana E.M.,Wschebor M. An estimate for the tails of the distribution of the supremum for a class of stationary multiparameter Gaussian processes,J.Appl.Prob,1981,18,p.536-541.

26. Campbell D.B.,Oprian C.A.On the Kolmogorov-Smirnov test for the Poisson distribution with unknown mean,Biom.J.,1979,v.21,N:1, p.17-24.

27. Cuzick J.Boundary crossing probabilities for stationary Gaussian processes and Brownian motion,Trans.Amer.Math.Soc.,1981,v.265, N:2,p.469-492.

28. Darling D.A.The Cramer-Smirnov test in the parametric case,Ann. Math.Statist,1955,26,1-20.

29. Deheuvels P.A. Kolmogorov-Smirnov type test for independence and multivariate samples,Revue Bourn.math pures et appl.,1981, t.XXVI,H:2,p.213-226.

30. Deheuvels P. Multivariate tests of independence,Lect.Notes Math.,1981,p.42-50.

31. Dudly K.M.Weak convergence of probabilities on nonseparable metric spaces and empirical measures on Euclidean spaces,Illinois J.Math.,1966,10,p.109-126.

32. Dugue D.Sur des tests d'independance "independants de la loi", C.E.Acad.Sc.Paris,1975,t.281,Serie A,p.1103-1104.

33. Durbin J.Weak convergence of the sample distribution function ?/hen parameters are estimated,Ann.Statist.,1973»v.1,p.279-296.

34. Goodman V.Distribution estimates for functionals of the two-parameter Wiener process,Ann.of Probab.,1976,v.4,N:6,p.977-983.

35. Hasofer A.M. Upcrossings of random fields,Suppl.Adv.Appl.Prob., 1978,10,p.14-21.

36. Hoeffding W. A non-parametric test of independence,Ann.Math. Statist.,1948,19,p.546-557.

37. Kac.M., Kiefer J.,Wolfowitz J. On tests of normality and other tests of goodness-of-fit based on distance methods,Ann.Math. Statist.,1955,26,p.189-211.

38. Kiefer J.,Wolfowitz J. On the deviations of the empiric distribution function of vector chance variables,Trans.Amer.Math.Soc., 1958,87,p.173-186.

39. Neuhaus G.On weak convergence of stochastic processes with multidimensional time parameter,Ann.Math.Statist.,1971,v.42,N:4, p.1285-1295.43.0rey S.,Pruitt W. Sample functions of the N-parameter Wiener process,Ann,of Prob.,1973,v.1,N:1,p.138-163.

40. Paranjape S.R.,Park C.Distribution of the supremum of the two-parameter Yeh-Wiener process on the boundary,J.Applied Prob. 1972,v.10,N:4,p.875-880.

41. Park C.,Skoug D.L.,Distribution estimates of barrier-crossing probabilities of the Yeh-Wiener process,Pacific J.og Math., 1978,v.78,N:2,p.455-466.

42. Pearson E.,Hartley H.,Biometrica Tables for Statisticians,v.2, Cambridge,1972.

43. Pickands J.,Ill Uporossings probabilities for stationary Gaussian processes,Trans.Amer .Math.Soc., 1969,"V. 145,Nov,p.51-75.

44. Quails C.,Watanabe H. Asymptotic properties of Gaussian processes,Ann.of Math.Stat.,1972,v.3,N:2,p.580-596.

45. Quails C.,Watanabe H.,Asymptotic properties of Gaussian random f ields,Trans.Amer.Math.So с,1975,v.177,Mar ch,p.155-171*

46. Slepian D.The one-sided barrier problem for the Gaussian noise, Bell System Tech.J.,1962,v.41,N:2,p.463-501.Работы автора по теме диссертации:

47. Фаталов В.Р. Точная асимптотика функции распределения максимума гауссовского неоднородного случайного поля, ДАН Арм.ССР, 1983, т. ХХУП, № I, с.25-29.

48. Фаталов В.Р. Асимптотики вероятностей больших уклонений га-уссовских полей и их применения в теории статистик Коломого-рова-Смирнова, Теория вероятностей и ее применения, 1984,т.XXIX, вып.1, с.178-180.