Асимптотика вероятностей больших выбросов гауссовских нестационарных процессов тема автореферата и диссертации по математике, 01.01.05 ВАК РФ

На правах рукописи УДК 519.214

Аншин Антон Борисович

АСИМПТОТИКА ВЕРОЯТНОСТЕЙ БОЛЬШИХ ВЫБРОСОВ ГАУССОВСКИХ НЕСТАЦИОНАРНЫХ ПРОЦЕССОВ

01.01.05 — теория вероятностей и математическая статистика

АВТОРЕФЕРАТ диссертации на соискание ученой степени кандидата физико-математических наук

Москва 2006

Работа выполнена на кафедре теории вероятностей Механико-математического факультета Московского государственного университета им. М.В. Ломоносова

Научный руководитель: доктор физико-математических наук,

профессор В.И. Питербарг

Официальные оппоненты:

доктор физико-математических наук В.Д. Конаков

кандидат физико-математических наук А.М.Козлов

Ведущая организация: Белорусский государственный

университет

Защита диссертации состоится 16 июня 2006 г. в 16.15 на заседании диссертационного совета Д. 501.001.85 в Московском государственном университете им. М.В. Ломоносова по адресу: 119992, ГСП-2, Москва, Ленинские горы, МГУ, Механико-математический факультет, аудитория 16-24.

С диссертацией можно ознакомиться в библиотеке Механико-математического факультета (Главное здание МГУ, 14 этаж).

Автореферат разослан 16 мая 2006г.

Ученый секретарь диссертационного совета Д.501.001.85 в МГУ, доктор физико-математических наук, профессор

Т.П. Лукашенко

-fSSW

ОБЩАЯ ХАРАКТЕРИСТИКА РАБОТЫ

Актуальность темы

Гауссовские случайные процессы представляют собой один из важнейших классов случайных процессов. Их привлекательность состоит в том, что результаты могут быть сформулированны в терминах естественных характеристик - среднего и ковариационной функции. В последние десятилетия значительнее успехи достигнуты в изучении распределения супремума траекторий, в предельных теоремах, в изучении свойств регулярности траекторий гауссовских функций и задачах пересечения уровня.

Настоящая работа посвящена изучению асимптотических свойств вероятностей больших уклонений для гауссовских нестационарных процессов и полей.

Это направление берет начало с работ Д.Пикандса1, 2, который первым предложил естественный и красивый способ вычисления точной асимптотики вероятности

при и —> оо для гауссовских стационарных процессов X[t). Этот способ основан на принципе локализации, то есть выделения малого подмножества параметрического множества Г, которое вносит доминирующий вклад в асимптотику. В процессе развития и уточнения этого метода оказалось, что в определенном смысле он является аналогом метода Лапласа и эта аналогия имеет два подтекста.

Первый состоит в том, что траектория гауссовского процесса превышает высокий уровень и как правило, на одном бесконечно малом множестве при и —► оо.

Второй подтекст заключается в том, что вышеописанные множества малого диаметра, распределенные по всему параметрическому множеству Т в случае стационарного или близкого к стационарному

ipicbands J. ГО. Asymptotic properties of the maximum in a stationary Gaussian processes // Trans. Amer. Math. Soc., 145, (1969) 75-86

'Pickands J. III. Upcrossing probabilities for stationary Gaussian processes.// TVans. Amer. Math. Soc., 145, (1969) 51-73

РОС. НАЦИОНАЛЬНАЯ

БИБЛИОТЕКА С.-Петербург ОЭ 200 ^кт

процесса, в нестационарном случае концентрируются вокруг множества точек, в которых достигается максимум дисперсии процесса X.

В работах Ю.К.Беляева и В.И.Питербарга? а также К.Кволса и Х.Ватанабе4, 5 метод Д.Пикандса был обобщен на случай гауссовских стационарных полей, включая процессы и поля, определенные на бесконечномерных параметрических множествах.

В многочисленных задачах математической статистики, теории надежности, теории приближения случайных процессов и других возникают гауссовские процессы и поля, не являющиеся стационарными, хотя в некотором смысле и близкие к ним. Речь идет о так называемых локально стационарных процессах и полях. Впервые локально стационарный процесс с постоянной дисперсией исследовал С.Берман®. В.И.Питербарг и А.П.Присяжнюк7 изучили вероятность больших выходов гауссовского нестационарного процесса, дисперсия которого достигает абсолютного максимума в конечном числе точек и регулярно ведет себя в окрестностях этих точек. Локальная стационарность в данном случае означает, что в этих окрестностях корреляционная функция процесса близка к корреляционной функции некоторого стационарного процесса (из изученного уже класса). В.Р.Фатало^ в своей работе нашел точные асимптотики для вероятностей больших уклонений локально стационарных гауссовских полей, дисперсия которых достигает своего максимума на произвольном компактном множестве в Я".

В работе Ю.Хюслера и В.И.Питербарга9 найдены асимптотики для экстремальных значений дробного броуновского движения и гауссовских процессов с трендом. В доказательствах использовались резуль-

' Беляев Ю.К., Питербарг В.И. Асимптотика среднего числа А-точек выбросов гауссовского поля за высокий уровень.// Выбросы случайных полей/ ред. Ю.К. Беляев. М.: Изд-во МГУ, 1972. 62-89

4 Qual la С., Watanabe H. Asymptotic properties of Gaussian processes.// Ann. Math. Statist. 43, (1972) 580-596

'Quails C., Watanabe H. Asymptotic properties of Gaussian random fields // Trans. Amer. Math. Soc. 177, (1973) 155-171

"Berman S.M. Limit theorems for the maximum term in the stationary sequences.// Ann. Math. Statist. 35, (1964) 502-516

'Питербарг В.И., Присяжнюк В.П. Точная асимптотика вероятности боль-шого размаха гауссовского стационарного процесса.// Теория вероятностей и ее применения. 28, 3 (1981) 480495

•Фаталов В.Р. Точные асимптотики вероятностей больших уклонений гауссовских случайных процессов и полей.// Канд. диссер., 1990

•Hufller J., Piterbarg V.l. Extremes of a certain class of Gaussian processes.// Stochastic Processes and their Applications. 83, 2 (1999) 257-271

таты, полученные в работе Х.Бракера10.

Все вышеописанные результаты для гауссовских процессов и полей имеют важное значение для прикладных исследований. Однако в некоторых задачах математической статистики, теории надежности и других областях возникает необходимость нахождения точной асимптотики одновременных экстремумов гауссовских процессов и полей, то есть вероятностей

при и —* оо, где Xi(t), X2(s) - два гауссовских процесса или поля, а

A, В - некоторые множества.

А.Н.Ладнева11 в своей работе решила задачу нахождения точной асимптотики такой вероятности для гауссовских стационарных процессов и полей. Также, в работе, А.Н.Ладневой В.Й.Питербарга и Ю.Хюс-лера12 решена задача о кластерах пересечений высокого уровня траекториями гауссовского стационарного процесса. В обоих работах основным инструментом служил метод двойной суммы, разработанный

B.И.Питербаргом13.

Вместе с тем, в вышеперечисленных работах асимптотика вероятности одновременных экстремумов была найдена лишь для стационарных процессов. Данная диссертация представляет собой исследование точной асимптотики вероятностей одновременных экстремумов для гауссовских нестационарных процессов. В ней также приведены примеры нахождения точной асимптотики вероятности одновременных экстремумов для нескольких нестационарных гауссовских процессов типа дробного броуновского движения.

'"Braker H.U. High boundary excursions of locally stationary Gaussian processes.// Proceedings of the Conference on the Extreme Value Theory and Applications. Gaitherburg, MA, 3, (1993) 69-74

"А.В.Ладвева Асимптотический анализ вероятностей редких событий при больших уклонениях гауссовских стационарных процессов и полей. Диссертация на соискание ученой степени кандидата физико-математических наук, 2001

"Ю.Хюопер, А.Н.Ладнева, В.И.Питербарг О кластерах высоких максимумов гауссовских стационарных процессов. В печати 2004

13Piterbarg V.l. Asymptotic Method« in tlx Theory of Gaussian Proceeeea and Fields Translations of Mathematical Monographs. V. 148 AMS: Providence, 1995

Цель работы

Работа посвящена нахождению точной асимптотики вероятности одновременного экстремума для гауссовских нестационарных процессов, а также асимптотики вероятности двойного экстремума траекторий гауссовского нестационарного поля.

Научная новизна

Основные результаты работы являются новыми и состоят в следующем.

1. Получена точная асимптотика вероятности одновременных экстремумов гауссовских нестационарных процессов, на которые наложен ряд условий, касающихся их вторых моментов, а также совместной корреляционной функции.

2. Найдена точная асимптотика вероятности двойного экстремума гауссовского нестационарного поля.

Методы исследования

При доказательстве результатов диссертации использовался метод двойной суммы, который был модифицирован на случай нестационарных процессов и полей, а также стандартные аналитические и вероятностные методы.

Теоретическая и практическая ценность

Диссертация носит теоретический характер. Ее методы и результаты могут найти применение при решении задач теории вероятностей и математической статистики, теории надежности.

Апробация работы

Основные результаты работы докладывались на Большом кафедральном семинаре кафедры теории вероятностей механико-математического факультета МГУ под руководством чл.-корр. РАН, проф. А.Н.Ширяева (2005 г.).

Публикации.

Результаты диссертации опубликованы в 2 работах, список которых приведен в конце автореферата.

Структура диссертации

Диссертация состоит из введения, списка обозначений, двух глав и списка литературы, насчитывающего 54 наименований. Общий объем диссертации - 79 страниц.

Во введении приводится обзор работ в которых изучаются большие уклонения гаусовских процессов, даются основные определения, а также излагаются основные результаты.

В первой главе найдены точные асимптотики вероятности достижения одновременного экстремума для двух гауссовских нестационарных процессов {I), í € [ТъТг], в € [Т3, Т4], то есть вероятности

Пусть (Xi(t), X2(s)), t, s € R - нестационарный векторный гауссовс-кий процесс с нулевым математическим ожиданием. Пусть при этом процессы Xi(t), Xî(s) i, 5 G R обладают ковариационными функциями T\{t, s) и s) соответственно и совместной ковариационной функцией r(t, s). Обозначим за af(t), rr|(s) - функции дисперсии процессов Xi(i), Х2 (s) соответственно. Пусть для этих процессов выполнены следующие условия:

Al Функции cri(t), crf(s), r(t, s) непрерывны и имеют первые и вторые производные (функция r(t,s) - по обоим аргументам). Кроме того, выполнены следующие ограничения: r(t, s) < <т|(f), r(t, s) <

КРАТКОЕ СОДЕРЖАНИЕ ДИССЕРТАЦИИ

Р = Р

( max Х\ (t)

\te[TuT2)

> и, max

в€[Г3,Г4]

X2(s) > и

(tm,sm) = argmax(ti„)e ,т2) ж (7-3 ,т4 ) -D ( i, s),

где

*Dïs(tm,sm) = 0.

s

А2'Точка (Ьт,зт) = (Т„7}), г = 1, 2, ] = 3, 4. является единственной точкой агдтах^^е[Г1,т^] х[г3^) и при этом: г = 1, < 0; г = 2, 1У&т,зт) >0; ^ = 3, 1Ув{Ьт,ат) < 0;

; = 4, >0.

А2" Пусть функция £>(£, з) имеет единственную точку максимума в точке (Ьт,8т), гт - Тг, г = 1, 2, ат € (Т3,Т4) и при этом г = 1, ОДт,*"») < 0; г = 2, зт) > 0; Д(*т,зт) =

0, П'^(1т>зт)< 0.

АЗ Для корреляционных функций в), г = 1, 2 процессов Хг(з) соответственно и некоторых с*1, «2 € (0,1) выполнено:

Л(4, в) = 1 - С<(*0) 1« ~ «Г (1 + о(1)), г = 1,2,

при Ь —* ¿0! для любой точки ¿01 лежащей в некоторой

окрестности точки Ьт, зт соответственно, где С^о) > 0 - гладкие функции.

А4 Уаг{Хг{Ь)—Хх{з)) ^ — г = 1,2, для любых 5, некоторого /3 е (0,2) и некоторого £ > 0.

Введем несколько дополнительных обозначений. Во-первых, обозначим через В л дробное броуновское движение с параметром Херста Н € (0,1), то есть гауссовский процесс, траектории которого почти наверное непрерывны и для которого выполнено: Вн{0) = 0 почти наверное, ЕВИ$) = 0, и Е(ВН(Ь) - Вн{з))2 = |г - з\2Н, V з € Я Кроме того, обозначим

Нса(Т) = Еехр^зиргМ^В^Ц) - Ща - с*))

для любого множества Т С К и любого неотрицательного с. Существует конечный положительный предел

Яв:=ШпА^Д2([0,Л])| называемый константой Пикандса.

Теорема 1.1 ]) Пусть -Х"^), Х2(з), Ь,з € К - нестационарные гауссовские процессы и пусть для них выполнены условия А1, А2,

A3, А4. Тогда верно следующее асимптотическое соотношение: 2щ4-2/с,1-2/а,((Т]2 _ r)l-2/a!(ff22 _ ^ 1 "

при и —+ оо.

Здесь ста2 = <r2(tm),cr22 = oi{sm),r - r(tm,sm), F(t,s) = F = « \Fl[{tm,sm),B = \F»g{tm,sm),

Ci = Ci(t„>ftO> c2 = C2(sm)<7§(sm).

ii) Пусть X\(t), Xz(s) t, a G К - нестационарные гауссовские процессы и пусть для них выполнены условия Al, А2', A3, А4. Тогда для вероятности Р будет выполнено:

2^6-2/^-2/^(^2 _ г)1-2М(£722 _ г)1-2/а17г|ВД| V1 + при и —У оо.

Здесь ах2 = cx\{tm),oi2 = crf(sm),r = r(im,sm), =

F = F(tm,Sm),Fl = F[{tm,sm\ F's = Fj(im,Sm), Ci = Ci^W^), C2 = C2(sm)cr|(sm).

iii) Пусть X\ (£), ^2(5) i, s € M - нестационарные гауссовские процессы и пусть для них выполнены условия Al, А2", A3, А4. Тогда для вероятности Р будет выполнено:

р » ~ г2)3/2'2/"' Cl'^H^ HUi

2/ijj —2/nrj(fjj2 _ r)l-2M(ff2! _ r)1"2/«» V^fi^'l V^

при и —► 00.

3(fect> О"!2 = <r?(tm),<T22 = = r(tm,3m), F(t,s) =

Сх = С1(*тИ(*т), Сг = С2(вт)^(зт).

Доказательство теоремы ведется с помощью метода двойной суммы. Важную роль в методе играет следующая лемма:

Лемма 1.1 Пусть Х\(1), Х2(в) - нестационарные гауссовские процессы с нулевым средним, удовлетворяющие условиям А1, АЗ, А4 и одному из условий А2, А2', А2". Пусть ЛьЛг - замкнутые, ограниченные множества в К и пусть, кроме того, для (¿т, 8т) выполнено: ¡4,-£т| —> 0, |вт-5т| —► 0. Тогда справедливо следующее соотношение:

р( и (Х1Ц)>и,Х2(з)>и)

^{{,»)е(1т,вт)+(и-2/«чл„и-2/<чл2)

= ~ г2)3/2(1 + о(1)) ( _ и2(а\ — 2г + сг%)\

2«%(<п2 - г)(<т22 - г) 6ХР V 2{а\о\-г*) Г

(Му/Ыъ2-0)2/°Л„ (шум - г))2'ал

а1 V {аг^-г^ ) а\ У

при и -* 00, где а? = <г1(£т),о-| = сг2(вт),г = г(4т,вт), С1 = <?1(*т)®?(*т), С2 = С2(*т)а|(вт).

Помимо теоремы и ее доказательства в первой главе приведены примеры ее использования, а именно найдена вероятность одновременного экстремума для следующих процессов:

1) Хг{г) = Ва^2(г) + х2(в) = + где В°*'2(а) - два независимых дробных броуновских движения, с параметрами Херста 0:1/2, аг/2 соответственно, £ - гауссовская случайная величина с нулевым математическим ожиданием и дисперсией а2, независимая с вышеупомянутыми дробными броуновскими движениями. Вероятность одновременного экстремума рассматривается на множествах Ръ Щ, [Т3, ТА] (Т\ > 0, Тз > 0),

2) Хх(Ь) = + Х2(в) - В«%) + « < Р, * €

[ГЬТ2], 5 € [ТЬТ2], Т\ > О, где В?(г), В$(з) - два независимых дробных броуновских движения, с параметрами Херста «х/2, а2/2

соответственно, £ - гауссовская случайная величина с нулевым матемаг тическим ожиданием и дисперсией а2, а2 < Л_0 независимая с вышеупомянутыми дробными броуновскими движениями.

3) Найдена точная асимптотика вероятности двойного экстремума для дробного броуновского движения на непересекающихся отрезках, то есть асимптотика вероятности

O<T3<T4<TX< Тг, где Х{€) - дробное броуновское движение.

Во второй главе найдена точная асимптотика вероятности двойного экстремума для гауссовского нестационарного поля.

Пусть X£ € К" - нестационарное гауссовское поле с нулевым математическим ожиданием, функцией дисперсии <т2(Ь) и ковариационной функцией г (£, з). Нас будет интересовать вероятность

при и—* оо, где А, В € К" - непересекающиеся, замкнутые жордановы множества.

Введем некоторые обозначения. Пусть дан набор положительных чисел а — {о^, ...ак} и набор целых положительных чисел Е = {еь ...вк}, к < п, таких, что = п и положим во = 0. Пару

(Е,а) назовем структурой. Для любого вектора £ = (¿ь ...,£„) € К" определим следующим образом структурный модуль

Р( вир ХЦ) > и, вир > и),

*6[ГЬГ2] ве[г3,г4]

где Е(г) = * ~ 1> ■■■> Также обозначим

= (<£(¿-1), € г = 1,

где I • I - обычная евклидова норма в пространстве соответствующей размерности. Таким образом, структура (Е, а) определяет разбиение пространства R" в прямое произведение ортогональных подпространств R6". Обозначим также за gut следующее преобразование пространства R" :

«7„Rn = xjLj(u-2/'a'Re<),

запись в скобках означает гомотетию с коэффициентом и~2/{ц пространства R®4 относительно 0. Очевидно, что для любого t € Rn

Ш\Е,а = u~2\t\E¡a.

Пусть для поля X(t) выполнены следующие условия:

В1 Функции a2(t) и r(t, s) непрерывны и имеет производные до второго порядка включительно (функция r(t, s) - по обоим аргументам). Кроме того, r(t,s) < <r2(t), r(t,s) < a2(s), V(í,s), t ф s.

B2 Существует и единственна точка (tm,sm) = argmax(ts)eAxBD(t,s), где

_ o*(t)o*(a)-f*{tt8)

<r*(t)-2r(t,s) + <T2(Sy и, кроме того, det Ges(D(tm, sm)) ф 0, где Ges(D(t,s)) - матрица размера 2п х 2п вторых производных функции D(t, s) по аргументам (ib...,ín,sb...,sn).

ВЗ Существует вектор а = (ai, ...,а„), 0 < а, < 1, i = 1, ...,п, такой, что для корреляционной функции поля p(t, s) выполнено: p(t, s) = 1 - C(ío)|í - <sU,a(l + o(l)), при t to, 8 to, ДЛЯ Любых í0 лежащих в некоторой окрестности точек tm,sm где C(to) > 0 -гладкая функция.

В4 Var(X(t) - X{s)) < L\t - s\E,ß, для некоторых ß = (ß,..., ß), 0 < ß < 2, L > 0 и для всех t,s € Rn.

Введем несколько дополнительных обозначений. Во-первых, обозначим через ВЕ,н дробное броуновское движение с параметром Херста Н, то есть гауссовское поле, траектории которого почти наверное непрерывны и для которого выполнено: Ве,н{£) — 0 почти наверное,

EBE,H(t) = 0, и E{BEtH{t)-BE,H{s))2 = \t-s\EW, Vi,s 6 Rn. Кроме того, обозначим

НЕ А0.^1") = Еехр (supt^yßBE^t) -для любого Т > 0. Существует конечный положительный предел

Не,а :=Ш~Не,ЖТП

называемый константой Пикандса. Наконец, для поля X(t) положим 012 = <r(im), ст22 = cr{sm),r = r(tm,sm).

Теорема 2.1 Пусть X(t), t £ 1" - гауссовское нестационарное центрированное поле и пусть для него выполнены условия В1 -В4. Пусть, кроме того, матрица вторых производных выражения F(t, s) = 2(^\t^fsy+r\tl)) 6 точке (¿т, sm) положительно определена. Тогда верно следующее асимптотическое соотношение:

р__(arW ~ г2)3/22пъп-1е-"2р««"а'Л_

" 2И2(п+1)(П«=1 u-2/e,)2^detGesF(tm> sm)(<n2 - r)(a22 - г) *

при и > оо. 3<?есъ CTi2 = (T(tm),<T22 = <r{sm),r = r(im,sm), Cj = C(imV2(im), Ci = C(sm)<r2(sm).

Доказательство этой теоремы базируется на следующей основной лемме:

Лемма 2.1 Пусть X(t) - нестационарное гауссовское поле с нулевым средним, удовлетворяющее условиям В1 — В4. Пусть Ai, Л2 - замыкаг ния двух ограниченных множеств в К" и пусть, кроме того, для (tm,sm) выполнено: |fTO - tm\ -> 0, |sm — sm| —+ 0 при и ос. Тогда справедливо следующее соотношение:

Р( max X(t) > и, тах X(s) > и

\tm€tm+<>uAi *т€'т+9иЛ.з

- г){<7? - г) Р\ 2{с\дЪ - г2) ;

(а^-г2)2^ ; (аг2^2 - г2)2/« ;

при и -юо, где ^ = г{гт,Ьт),а-1 = г{ёт,ёт),г = г(£т,1т), Са = С(<*>2(*та), С2 = С(5го)£г2(вт).

Автор выражает глубокую благодарность своему научному руководителю, профессору В.И.Питербаргу за постановку задач, полезные обсуждения и постоянное внимание к работе.

Работы автора по теме диссертации

[1] А.Б.Аншин О вероятности одновременных экстремумов дв}х гаусеовских нестационарных процессов. - Теория вероятностей и ее применения, 50 (2005) вып. 3, стр. 417-432.

[2] А.Б.Аншин Асимптотика вероятности двойного экстремума для гаусеовских нестационарных процессов. - Вестник Московского Университета, Сер.1 математика, механика. (2005), номер 6 стр. 55-57.

Издательство ЦПИ при механико-математическом факультете МГУ им. М.ВЛ1омоносова. Подписано в печать /0 OS.PS Формат 60x90 1/16. Усл. печ. л. 5

Тираж 100 экз. Заказ //

AOÙâA

№11508

i

К

Г,

ВВЕДЕНИЕ.

1 ГЛАВА. АСИМПТОТИКА ВЕРОЯТНОСТИ

ОДНОВРЕМЕННЫХ ЭКСТРЕМУМОВ ДВУХ ГАУССОВСКИХ НЕСТАЦИОНАРНЫХ ПРОЦЕССОВ.

1.1 Формулировка основных результатов.

1.2 Вспомогательные результаты.

1.3 Доказательство вспомогательных результатов.

1.4 Доказательство основных результатов.

1.5 Примеры.

• 2 ГЛАВА. АСИМПТОТИКА ВЕРОЯТНОСТИ ДВОЙНОГО

ЭКСТРЕМУМА ДЛЯ ГАУССОВСКОГО

НЕСТАЦИОНАРНОГО ПОЛЯ.

2.1 Формулировка основных результатов.

2.2 Вспомогательные результаты.

2.3 Доказательство вспомогательных результатов.

2.1 Доказательство основных результатов.бб

Гауссовские случайные процессы представляют собой один из важнейших классов случайных процессов. Их привлекательность состоит в том, что результаты могут быть сформулированы в терминах естественных характеристик -среднего и ковариационной функции. В последние десятилетия значительные успехи достигнуты в изучении распределения супремума траекторий, в предельных теоремах, в изучении свойств регулярности траекторий гауссовских функций и задачах пересечения уровня.

Настоящая работа посвящена изучению асимптотических свойств больших уклонений для гауссовских нестационарных процессов и полей.

Эти работы берут начало с работ Д.Пикандса [46], [47]. Д.Пикандс первым предложил естественный и красивый метод вычисления точной асимптотики вероятности при и —► оо для гауссовских стационарных процессов X(t). Этот метод основан на принципе локализации, то есть выделения малого подмножества параметрического множества Т, которое вносит доминирующий вклад в асимптотику. В процессе развития и уточнения этого метода оказалось, что в определенном смысле он является аналогом метода Лапласа и эта аналогия имеет два подтекста.

Первый состоит в том, что траектория гауссовского процесса превышает высокий уровень и, как правило, на одном бесконечно малом при it —► оо интервале.

Второй подтекст заключается в том, что вышеописанные множества малого диаметра, распределенные по всему параметрическому множеству Т в случае стационарного или близкого к стационарному процесса, в нестационарном случае концентрируются вокруг множества точек, в которых достигается максимум дисперсии процесса X.

Позже в работах Питербарга В.И. [20], Ю.К.Беляева и В.И.Питербарга [2],

К.Кволса и Х.Ватанабе [49], [50] метод Пикандса был обобщен на случай гаус-совских стационарных полей, включая процессы и поля, определенные на бесконечномерных параметрических множествах.

Вместе с тем, в многочисленных задачах математической статистики, теории надежности, теории приближения случайных процессов и многих других областях помимо стационарных гауссовских процессов возникают гауссовские процессы и поля, не являющиеся стационарными, хотя в некотором смысле и близкие к ним. Речь идет о так называемых локально стационарных процессах и полях. Впервые такой локально стационарный процесс с постоянной дисперсией исследовал С.Берман в [27]. В работе [18] В.И.Питербарг и А.П.Присяжнюк изучили вероятность больших выходов гауссовского нестационарного процесса, дисперсия которого достигает абсолютного максимума в конечном числе точек и регулярно ведет себя в окрестностях этих точек. Локальная стационарность в данном случае означает, что в этих окрестностях корреляционная функция процесса близка к корреляционной функции некоторого стационарного процесса (из уже изученного класса). В работе В.Р.Фаталова [22] найдены точные асимптотики для вероятностей больших уклонений локально стационарных гауссовских полей, дисперсия которых достигает своего максимума на произвольном компактном множестве в Rn.

Среди других результатов в этом направлении можно отметить пуассоновс-кую предельную теорему для числа выходов гауссвского стационарного процесса за высокий уровень, полученную Ю.К.Беляевым [1] и Г.Крамером [33] а также предельную теорему для максимума гауссовской стационарной последовательности (С.Берман, [26]). В дальнейшем изучению асимптотических свойств гауссовских процессов была посвящена обширная литература (работы [2], [3], [4], [7], [48]).

Далее, в работах [10], [45] и [51] авторами получены точные формулы для вероятности пересечения границы гауссовскими стационарными процессами, где границы представляют собой нелинейные функции. В работах [45] и [51] для этого использован прямой метод получения точной формулы для вероятности для некоторого t <Т для кусочно-линейных границ, а затем обобщен для нелинейных границ, которые можно представить в виде предела кусочно-линейных функций. В работе [45] обобщение проведено с использованием метода повторного интегрирования, а в работе [51] - с помощью метода Монте-Карло.

В ряде работ ([34], [35], [41], [43] и [44]) получено сначала асимптотическое распределение максимума элементов стационарной нормальной последовательности, которое зависит от корреляции между элементами последовательности, а на основе этого получены асимптотические оценки для стационарного гауссовс-кого процесса.

В работе Ю.Хюслера [36] вводится массив гауссовских стандартных случайных переменных (fnii, i > 0, п > 0), таких, что (fn,i> i > 0) - стационарная нормальная последовательность для каждого п > 0. При некоторых условиях на корреляцию между элементами массива найдены необходимые оценки для максимума элементов последовательности. Такие массивы из гауссовских последовательностей использовались далее для получения асимптотических оценок вероятностей достижения максимума непрерывного гауссовского процесса.

В работе Ю.Хюслера и В.И.Питербарга [37] найдены асимптотики для экстремальных значений дробного броуновского движения и гауссовских процессов с трендом. В доказательствах использовались результаты, полученные в работе X. Бракера [26].

Метод Пикандса развивается не только для гауссовских процессов. Работы С.Бермана [27], П.Албина [25] и других содержат результаты для диффузионных и некоторых других процессов.

В некоторых задачах математической статистики, теории надежности и других областях возникает необходимость нахождения точной асимптотики одновременных экстремумов гауссовских процессов и полей, то есть вероятностей

Q(c(t),T) = P(X(t)>c(t)) при и —► оо, где Х\(t), Хг(б') - два гауссовских процесса или поля, & А, В -некоторые множества.

Такого рода задачи уже рассматривались в прошлом. А.Н.Ладнева в своей работе [8] решила задачу нахождения точной асимптотики такой вероятности для гауссовских стационарных процессов и полей. Также, в работе, А.Н.Ладневой В.И.Питербарга и Ю.Хюслера [23] решена задача о кластерах для гауссовского стационарного процесса. В обоих работах основным инструментом служил "метод двойной суммы", разработанный В.И.Питербаргом в [20].

Вместе с тем, в вышеперечисленных работах асимптотика вероятности одновременных экстремумов была найдена лишь для стационарных процессов, в то время как данная диссертация представляет собой исследование точной асимптотики вероятностей одновременных экстремумов для гауссовских нестационарных процессов. В ней также приведены примеры нахождения точной асимптотики вероятности одновременных экстремумов для нескольких нестационарных гауссовских процессов, построенных на базе дробного броуновского движения.

Главным методом исследования асимптотик вероятостей является соответствующим образом модифицированный "метод двойной суммы".

В первой главе найдены точные асимптотики вероятности достижения одновременного экстремума для двух гауссовских нестационарных процессов Х\ (t), t € [Ti,T2], X2(s), s e [T3,T4], то есть вероятности

Пусть (Xi(f),X2(s)), t, s e R - нестационарный векторный гауссовский процесс с нулевым математическим ожиданием. Пусть при этом процессы Xi(t), t, s е R обладают ковариационными функциями r\(t,s) и r-i{t,s) соответственно и совместной ковариационной функцией r(f, s). Обозначим за cr\{t), crf(s) - функции дисперсии процессов Xi(t), X2(s) соответственно. Пусть для этих процессов выполнены следующие условия:

А1 Функции cr\(t), о"2 (s), r(t, s) непрерывны и имеют первые и вторые производные (функция r(t,s) - по обоим аргументам). Кроме того, выполнены еледующие ограничения: r(t, s) < crf(t), r(t,s) < 02(f), V(f,s).

A2 Существует и единственна точка (tm,sm) = argmax(t,t)e(TitT3)x(T3,T4)-D(t>s)> где a\{t)ol{s)-r\t,s) Щ " ol(t)-2r{t,s) + ol{s) и D't'3(tm,sm) = 0.

A2' Точка (£m,sm) = {TuTj), i = 1, 2, j = 3, 4. является единственной точкой argmax[ttS]e[TuT2]x[T3>T4]D(t,s) и при этом: г = 1, D't(tm,sm) < 0; г = 2, D't(tm,sm) > 0; j = 3, D'a(tm,sm) < 0; j = 4, D'3(tm,sm)>0.

A2" Пусть функция D(t, s) имеет единственную точку максимума в точке tm,sm), tm = Ти г = 1, 2, sm € (Гз,Т4) и при этом г = 1, D't(tm,sm) < 0; г = 2, D't(tm,sm) > 0; D's(tm,sm) - 0, ££(im,sm) < 0.

A3 Для корреляционных функций pi(t,s), г = 1, 2 процессов Xi(£), ^(s) соответственно и некоторых ai, 0:2 G (0,1) выполнено: = 1 - Ci(t0)\t - s|ai(l + o(l)), г = 1,2, при t —► <о> s —» для любой точки io> лежащей в некоторой окрестности точки tm, sm соответственно, где Ci(to) > 0 - гладкие функции.

А4 Var(Xi(t) — Xi(s)) < L\t — г = 1,2, для любых 5, некоторого (3 € (0,2) и некоторого L > 0.

Введем несколько дополнительных обозначений. Во-первых, обозначим через Вн дробное броуновское движение с параметром Херста Я € (0,1), то есть гауссовский процесс, траектории которого почти наверное непрерывны и для которого выполнено: Вц(0) = 0 почти наверное, EBH(t) = 0, и Е(Вн{Ь) — BH(s))2 = 11 — s|2H, V t,s e R. Кроме того, обозначим

Hea{T) = Eexp(supteT(S2Ba/2(t) - |i|a - ct)j для любого множества ГсКи любого неотрицательного с. Заметим, что согласно [46] существует конечный положительный предел

На:= Итл^^аО.А]), называемый константой Пикандса.

Теорема 1.1 i) Пусть Xi(t),X2(s), t,s€ R - нестационарные гауссовские процессы и пусть для них выполнены условия Al, А2, A3, А4. Тогда верно следующее асимптотическое соотношение:

2и4-2/аг-2/а2 (^2 г)1-2/а2 (^2 г)1-2/ах ^JB ° ' при U-* 00.

Здесь а^ = ol{tm)W = 4(sm),r = r(tm,sm),F(t,s) = фР^^у F = F(tm, sm), A = iFl't{tm,sm),B = \F"3(tm, sm), С, = С^оЦ^), C2 = C2(sm)al(sm). ii) Пусть X\ (t), ^(s) t, s € R - нестационарные гауссовские процессы и пусть для них выполнены условия Al, А2', A3, А4. Тогда для вероятности Р будет выполнено:

2^-2/^-2/^2 г)1-2/а2((Т22 г)1-а/«1тг|ВД| 1 1 }) при и —► оо.

Здесь о-!2 = al(tm),a22 = <т%Ы,г = r(tm,sm),F(t,s) = F — F(tm, sm),F't — F[(tm, sm), F's = Fg(tm,sm), C\ = Ci(tm)cr2(tm), C2 = C2(sm)(Tl(sm). iii) Пусть Xi(t), X2(s) t, s 6 R - нестационарные гауссовские процессы и пусть для них выполнены условия Al, А2", A3, А4. Тогда для вероятности Р будет выполнено:

Р = e~u2F(<nW ~ г2)3/2-2/"1-2/"2C\,aiC21/Q2Hai На2 при и —> oo.

Здесь аг2 = a2(tm),a22 = a2(sm),r = r(tm,Sm),F(t,S) = F = F(tm,sm), F[ = Fl(tm,sm), Fa" = F'J(tm,sm), Cx = Cx{tm)cj{{tm), C2 = C2(sm)a%(sm).

В первой главе приведены также примеры использования вышеприведенной теоремы. Найдены точные асимптотики вероятностей одновременного экстремума для следующих процессов:

1) Xx(t) = B<*'2{t) + = Ba*'2{s) + где Ba>'2(t), Ba*'2(s) - два независимых дробных броуновских движения, с параметрами Херста cti/2, а2/2 соответственно, £ - гауссовская случайная величина с нулевым математическим ожиданием и дисперсией а2, независимая с вышеупомянутыми дробными броуновскими движениями. Вероятность одновременного экстремума рассматривается на множествах [Ть Т2], [Т3, Г4] (Ц >0, Т3 > 0),

2) Xx(t) = B?/2(t) +Х2(з) = Ba2/2{s) + з'Ь а < {3, t € [TUT2], s в

Ti, Т2], Ti > 0, где B"(t), B%(s) - два независимых дробных броуновских движения, с параметрами Херста сц/2, а2/2 соответственно, £ - гауссовская случайная величина с нулевым математическим ожиданием и дисперсией сг2, а2 < 2 независимая с вышеупомянутыми дробными броуновскими движениями.

3) Найдена точная асимптотика вероятности двойного экстремума для дробного броуновского движения на непересекающихся отрезках, то есть асимптотика вероятности

Р( sup X(t) > и, sup X(s) > и), te\TltT2] ае[т3,т4]

Q<T3<T4<T1<T2, где X(t) - дробное броуновское движение.

Во второй главе найдена точная асимптотика вероятности двойного экстремума для гауссовского нестационарного поля.

Пусть X(t), t € Rn - нестационарное гауссовское поле с нулевым математическим ожиданием, функцией дисперсии cr2(t) и ковариационной функцией r(t, 5). Нас будет интересовать вероятность

Р = P^maxX(t) > u,max.X(s) > iij при и —► оо, где А, В € R" - непересекающиеся, замкнутые жордановы множества.

Введем некоторые обозначения. Пусть дан набор положительных чисел а = {ai, .а:*;} и набор целых положительных чисел Е = {ei, .е*}, к <п, таких, что 2i=i = п и положим во = 0. Пару (Е, а) назовем структурой. Для любого вектора t = (ti,., tn) б Rn определим следующим образом структурный модуль к , E{i) \ at/2 t\B,a = £ ( £ *?) .

1=1 j=E(i-l)+l ' где Е{%) = о ej> i = к. Также обозначим (ts«-i),.», fs«)) е Ке<, г = 1, .,к, тогда t\E,a=ir\tv, где | • | - обычная евклидова норма в пространстве соответствующей размерности. Таким образом, структура (Е, а) определяет разбиение пространства Rn в прямое произведение ортогональных подпространств Re<. Обозначим также за gut следующее преобразование пространства R™ :

5uRn = xf=1(4T2/a'Mei), запись в скобках означает гомотетию с коэффициентом и 2/а< пространства Re< относительно 0. Очевидно, что для любого t € Rn

Ыка = U~2\t\E,a.

Пусть для поля X(t) выполнены следующие условия:

В1 Функции cr2(t) и r(t, s) непрерывны и имеет производные до второго порядка включительно (функция r(t, s) - по обоим аргументам). Кроме того, r(t, s) < a\t), r{t,s)<a'2{s), Щз), t±s.

B2 Существует и единственна точка (tm,sm) = argraaX(t s)6AxBD(t,s), где nit * = °2(ty(s)-r2(t,s)

К ' > a*{t)-2r{tls) + a*{8y и, кроме того, det Ges(D(tm,sm)) ф 0, где Ges(D(t,s)) - матрица размера 2п х 2п вторых производных функции D(t, s) по аргументам (ti,., tn, Si,., sn).

ВЗ Существует вектор а = (ai,.,ап), 0 < < 1, г — 1 ,.,п, такой, что для корреляционной функции поля p(t,s) выполнено: p(t,s) = 1 — C(to)\t — + о(1)), при t —> to, s —► to, для любых to лежащих в некоторой окрестности точек tm,sm где С (to) > 0 - гладкая функция.

В4 Var{X{t)-X{s)) < L\t-s\E,0, для некоторых 13 = ((5, .,(3), 0<(3<2, L>0 и для всех t, s 6 R".

Введем несколько дополнительных обозначений. Во-первых, обозначим через Be,н дробное броуновское движение с параметром Херста Н, то есть гауссовское поле, траектории которого почти наверное непрерывны и для которого выполнено: BEiH(t) = 0 почти наверное, EBEiH(t) = 0, и E(BEiH(t) - Be,h(s))2 = It ~ s\e,2Hi V i, s € Rn. Кроме того, обозначим

HEia([0,T}n) = Я exр (supteT(V2BE>a/2(t) для любого Т > 0. Заметим, что согласно [46] существует конечный положительный предел

Не,а :=Шп^#£,а([0,ТП, называемый константой Пикандса. Наконец, для поля X(t) положим а\2 = cr(tm), а22 = cr(sm), г = r(tm, sm).

Теорема 2.1 Пусть X(t), t е R™ - гауссовское нестационарное центрированное поле и пусть для пего выполнены условия В1 — В4. Пусть, кроме того, матрица вторых производных выражения F(t,s) = 6 точке tm,sm) положительно определена. Тогда верно следующее асимптотическое соотношение: o-iW ~ г2)3/22п7гп-1е-и2^""*т> 2п2("+1)(ПГ=1 u~2/ai)2y/detGesF(tm, sm)(aJ - r)(a22 - r) * x при и -> 00. Здесь af = cr(tm), а22 = <r{sm), г = r(tm, sm), Сг = C(tm)a2(tm), C2 = C{sm)a2(sm).

1 ГЛАВА

АСИМПТОТИКА ВЕРОЯТНОСТИ ОДНОВРЕМЕННЫХ ЭКСТРЕМУМОВ ДВУХ ГАУССОВСКИХ НЕСТАЦИОНАРНЫХ ПРОЦЕССОВ

1. Беляев Ю.К. О числе пересечений уровня гауссовским случайным процессом. // Теория вероятностей и ее применения, 1. И. 11 1 (1966) 120-128; 12, 3 (1967) 444-457.

2. Беляев Ю.К., Питербарг В.И. Асимптотика среднего числа А-точек выбросов гауссовского поля за высокий уровень.// Выбросы случаных полей/ ред. Ю.К. Беляев. М.: Изд-во МГУ, 1972. 62-89.

3. Берман С. Выбросы стационарного гауссовского процесса за высокий движущийся барьер.// В сб. "Случайные процессы. Выборочные функции и пересечения". М.: "Мир", 1978, 133-164.

4. Берман С. Времена пребывания и экстремумы гауссовских процессов.// В сб. "Случайные процессы. Выборочные функции и пересечения". М., "Мир", 1978, 165-203.

5. Дмитровский В.А. Оценки распределения максимума гауссовского поля.// Случайные процессы и поля/ ред. Ю.К. Беляев. М.: Изд-во МГУ, 1979, 22-31.

6. Конаков В.Д. Оценка скорости сходимости распределения максимума модуля недифференцируемого гауссовского процесса.// В сб. "Многомерный стат. анализ. Матем. Обеспечение". М., 1979, 116-121.

7. Крамер Г., Литбеттер М.Р. Стационарные случайные процессы. М.: Мир, 1969.

8. Питербарг В.И. Асимптотические разложения вероятностей больших выбросов гауссовских процессов, ДАН СССР, 242, 6 (1978) 1248-1251.

9. Питербарг В.И. О существовании моментов числа пересечений уровня гауссовским стационарным процессом. ДАН СССР, 182,1 (1968) 46-48.

10. Питербарг В.И. Некоторые направления в исследовании свойств траекторий гауссовских случайных функций.// В сб. "Случайные процессы. Выборочные функции и пересечения". М.: "Мир", 1978, 258-280.

11. Питербарг В.И. Гауссовские случайные процессы.//"Итоги науки и техники Теор. вер. Матем. статистика."Теоретическая кибернетика. Т.19. М.: ВИНИТИ, 1982, 155-199.

12. Питербарг В.И. О работе Д.Пикандса "Вероятности пересечения для стационарного гауссовского процесса".// Вестник МГУ. Сер. Матем. и Мех. 5 (1972) 25-30.

13. Питербарг В.И. Асимптотические методы в теории гауссовских случайных процессов и полей. Докт. диссер. МГУ, 1982.

14. Питербарг В.И., Присяжнюк В.П. Асимптотика вероятности большого выброса гауссовского нестационарного процесса.// Теория вероятностей и математическая статистика. 18,(1978) 121-133.

15. Питербарг В.И., Присяжнюк В.П. Точная асимптотика вероятности большого размаха гауссовского стационарного процесса.// Теория вероятностей и ее применения. 26, 3 (1981) 480-495.

16. Фаталов B.P. Точные асимптотики вероятностей больших уклонений гауссовских случайных процессов и полей.// Канд. диссер., 1990.

17. Ферник К. Регулярность траекторий гауссовских случайных функций.// В сб. "Случайные процессы. Выборочные функции и пересечения". М.: "Мир", 1978, 63-132.

18. Хюслер 10., Ладнева А.Н., Питербарг В.И. О кластерах высоких максимумов гауссовских стационарных процессов. В печати, 2004

19. А.Н. Ширяев "Вероятность."Москва, "Наука", 1989г.

20. Albin J.M.P. Some properties of a normal process near a local maximum.// Ann. Math. Statist. 41, 1870-1883.

21. Braker H.U. High boundary excursions of locally stationary Gaussian processes./ / Proceedings of the Conference on the Extreme Value Theory and Applications. Gaitherburg, MA, 3, (1993) 69-74.

22. Berman S.M. Limit theorems for the maximum term in the stationary sequences.// Ann. Math. Statist. 35, (1964) 502-516.

23. Berman S.M. Maximum and high level excursion of a Gaussian process with stationary increments.// Ann. Math. Statist. 43 1247-1266.

24. Berman S.M. An Asymptotic formula for the distribution of the maximum of a Gaussian process with stationary increments.// J. Appl. Probab., 22, 454-460.

25. Berman S.M. Excursions above high level for stationary Gaussian processes.// Pacirc J. Math. 36, (1971) 63-79.

26. Cuzick J. Boundary crossing probabilities for stationary Gaussian process and Brownian motion.// Trans. Amer. Math. Soc., 263, 2 (1981) 469-492.

27. Cramer H. A limit theorem for the maximum values of certain stochastic process.// Theory of Probability and its applications. 10, 1 (1965) 137-139.

28. Cramer H. On the intersections between the trajectories of a normal stationary stochastic process and a high level.// Arkiv. Mat., 6, (1965) 1656-1663.

29. Ho H., McCormick W. Asymptotic distribution of sum and maximum for Gaussian processes.// J. Appl. Probab., 36, (1999), 1020-1046.

30. Ho H., Hsing T. On the asymptotic joint distribution of sum and maximum of stationary normal random variables.// J. Appl. Probab., 33, (1996).

31. Huesler J. Extremes of a Gaussian Processes and the Constant H a.// Extremes. 2, 1 (1999) 59-70.

32. Husler J., Piterbarg V.I. Extremes of a certain class of Gaussian processes.// Stochastic Processes and their Applications. 83, 2 (1999) 257-271.

33. Imhof J.P. On some equalities of laws for Brownian motion with drift.// J. Appl. Probab. 36, (1999).

34. Kasahara Y., Koho N., Ogawa T. On tail probability of local times of Gaussian processes.// Stochastic Processes and their Applications. 82, 1 (1999) 15-21.

35. Leadbetter M.R., Lindgren G., Rootzen H. Conditions for the convergence in distribution of maxima of stationary norma processes.// Stochastic Processes and their Applications. 8, (1978) 131-139.

36. Leadbetter M.R., Rootzen H. Extremal theory for stochastic processes.// Ann. Probab. 16, (1988) 431-478.

37. Leadbetter M.R., Lindgren G., Rootzen H. Extremes and Related Properties of Random Sequences and Processes, Springier, New York, 1983; M. Литбеттер, X. Ротсен, Г. Лингрен. Экстремумы случайных последовательностей и процессов.// М.: "Мир", 1989.

38. McCormick W.P., Qi Y. Asymptotic distribution for the sum and maximum of Gaussian processes.// J. Appl. Probab., 37, (2000).

39. Mittal Y., Ylvisaker D. Limit distributions for the maximum of stationary Gaussian processes.// Stochastic Processes and their Applications , 3, (1975) 1-18.

40. Novikov A., Frishing V., Kordzakhia N. Approximations of boundary crossing probabilities for s Bronian motion.// J. Appl. Probab., 36, (1999) 1014-1029.

41. Pickands J. III. Asymptotic properties of the maximum in a stationary Gaussian processes.// Trans. Amer. Math. Soc., 145, (1969) 75-86.

42. Pickands J. III. Upcrossing probabilities for stationary Gaussian processes.// Trans. Amer. Math. Soc., 145, (1969) 51-73.

43. Quails C. On a limit distribution of a high level crossing of a stationary Gaussian process.// Ann. Math. Statist., 39, 6 (1968) 2108-2113.

44. Quails C., Watanabe H. Asymptotic properties of Gaussian processes.// Ann.Math. Statist. 43, (1972) 580-596.

45. Quails C., Watanabe H. Asymptotic properties of Gaussian random fields.// Trans. Amer. Math. Soc. 177, (1973) 155-171.

46. Wang L., Potzelberger K. Boundary crossing probability for Brownian motion and general boundaries.// J. Appl. Probab., 34, (1997) 54-65.

47. Ylvisaker N.D. On a theorem of Cramer and Leadbetter.// Ann. Math. Statist., 37, 3 (1966) 682-685.

48. Yurinsky V.V. Some Asymptotic Formulae for Gaussian Distributions.// Journal of Multivariate Analysis., 56, 2 (1996) 303-332.

49. Kratz M.F., Rootzen H. On the rate of convergence for extremes of mean square differentiable stationary normal process.// J. Appl. Probab., 34, (1997) 908923.Работы автора по теме диссертации

50. А.Б.Аншин О вероятности одновременных экстремумов двух гауссовских нестационарных процессов. Теория вероятностей и ее применения, 50 (2005) вып. 3, стр. 417-432.

51. А.Б.Аншин Асимптотика вероятности двойного экстремума для гауссовских не-стационарных процессов. Вестник Московского Университета, Сер.1 математика, механика. (2005), №6 стр. 55-57.