Исследование распределения стохастических функционалов тема автореферата и диссертации по математике, 01.01.05 ВАК РФ

Pf 8 OD

- a 11AR ¡053

САНКТ-ПЕТЕРБУРГСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ УНИВЕРСИТЕТ

На правах рукописи

ЛИФШИЦ Михаил Анатольевич

УЖ 519.21

ИССЛЕДОВАНИЕ РАСПРЕДЕЛЕНИЙ СТОХАСТИЧЕСКИХ ФУНКЦИОНАЛОВ

(01.01.05 - Теория вероятностей и математическая статистика )

АВТОРЕФЕРАТ диссертации на соискание ученой степени доктора физико-математических наук

Санкт-Петербург 1992

Работа экономики и

выполнена финансов.

в Санкт-Петербургском университете

ОФИЦИАЛЬНЫЕ ОППОНЕНТЫ

ВЕДУЩАЯ ОРГАНИЗАЦИЯ

доктор физико-математических наук, профессор В.Н. Судаков доктор физико-математических наук, профессор Б.П. Харламов доктор физико-математических наук, профессор А.Н. Ширяев Московский Государственный Университет имени М.В. Ломоносова

Зашита состоится ".)/" и^^М'-'АА- 1993 г. в "11" часов на заседании специализированного совета Д 063.57.29 по защите диссертаций на соискание ученой степени доктора физико-математических наук при Санкт-Петербургском государственном университете по адресу » 191011, Санкт-Петербург, наб.р. Фонтанки, д.27, ПОНИ, к.301.

ЩоШщ

С диссертацией можно ознакомиться в научной библиотеке им. М.Горькогй С-ПбГУ (Санкт-Петербург, Университетская наб., д.7/9).

Ученый секретарь специализированного созета доцент С.М. ннаньевский

ОБЩАЯ ХАРАКТЕРИСТИКА РАБОТЫ АКТУАЛЬНОСТЬ ТЕШ. Изучение структуры распределений функционалов, заданных на траекториях случайных функций (короче, стохастических функщюнамв ) является одним из интересных и Еажных вопросов теории вероятностей. Потребность в разнообразной информации о распределениях стохастических функционалов ощущается во многих ее разделах: в области предельных теорем , математической статистике и других. До недавнего времении в этом направлении существовали лишь разрозненные результаты, относящиеся, как правило, к функционалам специального вида. Такое положение объяснялось тем, что традиционный метод характеристических функций в данном круге задач далеко не всегда оказывается эффективным. Заметный прогресс, произошедший за последние 15 лет, стал возможен благодаря появлению и развитию новых методов, некоторые из которых рассматриваются в этой диссертации. С их помощью удалось достаточно подробно исследовать такие фундаментальные свойства распределений функционалов, как абсолютная непрервность, существование плотности с определенными свойствами ' (ограниченность, фиксированная степень гладкости ), поведение больших уклонений. В данной работе внимание сосредоточено на таких методах анализа распределений, которые предъявляют лшимаммие требования к изучаемым функционалам и тем не менее позволяют делать достаточные для многих' приложений выводы об их свойствах. (Разумеется, наряду с такими существуют и более мощный методы,например,- исчисление Малля-?,ена или метод дифференциальных операторов , дакхцие более сильные следствия при более ограничительных предположениях).

ЦЕЛЬ РАБОТЫ. Цель работы состоит :

a) в нахождении общих достаточных условий абсолютной лепрерывкости распределений стохастических функционалов ;

б) б построении оценок плотностей распределений стохастических функционалов, в том числе нахождении достаточных условий для ограниченности плотности;

b) в исследовании локальных и асимптотических свойств распределения максимума гауссовской случайной функции общего вида , в том числе изучение соответствующих малых и большие уклонений ;

г) в распространении функционального закона повторного логарифма и его обобщений на возможно более широкий класс топологий.

МЕТОДИКА ИССЛЕДОВАНИЯ. В основе проводимого в главе I изучения локальных свойств распределения стохастического функционала лежит метод расслоений. Расслоение

вероятностной меры - это конструкция, предназначенная для изучения распределений функционалов от случайной функции (или бесконечномерного случайного вектора) с помощью формулы полной вероятности. . Общая схема построений такова. Распределение случайной функции рассматривается как борелевская мера р. заданная на топологическом пространстве ж . элементами которого являются выборочные функции (реализации) с.ф. Пусть <р < —» <Кт,-2т) - измеримый

функционал со значениями в евклидовом пространстве Я"". Изучение его распределения - меры Р<р~* . определенной на 0-алгебре проводится в три этапа.

На первом этапе подбирается такое разбиение Г пространства я» чтобы можно было легко изучать условные

меры (Ру.уеЯ/П. Для этого элементы разбиения выбираются >4 виде множеств простой геометрической структуры ~ прямых линий, лучей, отрезков, гладких кривых, многомерных плоскостей и т.д. Будем называть эти элементы с.ю.ями. Их всегда подбирают таким образом, чтобы вдоль каждого слоя функционал Ф -был гладкой функцией, и его производная не вырождалась.

На втором этапе изучается отображение условных мер Ру функционалом ф. Соответствующая конечномерная задача хороню изучена • Итог второго этапа - информация об условных распределениях р^Р"' , которые являются образами мер при отображении <р -

На третьем этапе оценивается фактормера Рр . и с помощью формулы полюй вероятности

Рф'Ч ) = / Р^ф_1С > Рр(с1у)

информация, добытая на втором этапе, перерабатывается в информацию о мере Рф"'-

Основная идея метода расслоений - использование для анализа распределения функционала разбиения вероятностного пространства на конечномерные множества - впервые появилась й работе Ю.А.Давыдова в сеязи с его исследованиями по сильной сходимости в принципе инвариантности. Постепенно стало ясно, что основным свойством, которое эксплуатируется в методе, является наличие допустимых преобразований у распределения . исследуемого процесса. Это наблюдение позволило расширить круг изучаемых процессов, вовлекая к него сначала гауссовские процессы сравнительно общего вида (в том числе - в работах автора п.з]), затнм невырожденные

диффузионные процессы ( Н.В. Смородина ) и процессы с независимыми приращениями ( , см. W-'-з ). В последнем

классе приложений фундаментальную роль играют полученные ранее А.В.Скороходом результаты об абсолютной

непрерывности мер , отвечающих этим процессам. С другой стороны, работа с такими процессами, в общем случае не имеющими допустимых направлений, потребовала от автора разработки обобщенной концепции метода расслоений в терминах допустимых полугрупп, излагаемой в § 1.

Ключевым инструментом исследования во второй и третьей главах оказывается свойство выпуклости гауссовской меры, выраженное, в частности, неравенством Эрхарда. Безвременная смерть А.Эрхарда, вероятно, задержала осознание математическим сообществом замечательной силы его результата. Настоящая работа призвана отчасти восполнить это упущение. Наряду с выпуклостью, важную методологическую роль в исследовании свойств гауссовских распределений и соответствующих функционалов играет изоперилетрическое неравенство К.Бсрелля, В.Н.Судакова и Б.С. Цирельсона.

НАУЧНАЯ НОВИЗНА В главе i развит новый метод изучения свойств распределений стохастических функционалов на базе имеющейся информации о запасе допустимых преобразований распределения исходной случайной функции. При помощи этого метода получены достаточные условия аосолютной непрерывности и ограниченности плотности для широкого класса функционалов от процессов с независимыми приращениями и бесконечномерных устойчивых векторов.

Глава 11 содержит анализ локальных свойств распределения максимума гауссовской с.ф. общего вида .

В ней устанавливается связь между осцилляцией с.ф. и такими характеристиками максимума, как точка отрыва и большие уклонения, найдены необходимые и достаточные условия абсолютной непрерывности распределения максимума, получены, ощзнки плотности и достаточные условия ее ограниченности, найдено простое соотношение между плотностью и вероятностями больших уклонений максимума. Для исследования малых уклонений введена новая геометрическая характеристика случайной функции - прогностическая емкость - и изучена ее взаимосвязь с классическими колмогоровскими поперечниками. Глава 111 включает вопросы , связанные с исследованием вероятностей больших уклонений . гауссовской "случайной функции. В ней развиты два новых подхода к этой задаче. Первый из них основан на применении обобщенного преобразования Лапласа, в терминах которого удается выразить точную асимптотику больших уклонений. С его помощью найдены точные асимптотики больших уклонений для достаточно широкого класса гауссовских мер и процессов. Некоторые из этих асимптотик обнаруживают неизвестный ранее тип поведения С в частности, содержат периодические компоненты ). Другой подход предназначен для исследования больших уклонений для'случая, когда изучаемый функционал является гладким и критическое направление, "ответственное" за большие уклонения, единственно. Для этого случая получена универсальная формула асимптотики больших уклонений, содержащая в качестве частных случаев целый ряд ранее полученных результатов других авторов. Наконец, в этой главе рассматриваются топологические аспекты функционального закона повторного логарифма, в форме Штрассена. Получены

- а -

новые версии этого закона и некоторых его обобщений, справедливые для целого класса топологий, более сильных, чем традиционно используемая равномерная топология.

ПРАКТИЧЕСКАЯ ЦЕННОСТЬ. Полученные в диссертации результаты дают информацию о локальных и асимптотических характеристиках Еесьма широкого класса стохастических функционалов. Они могут быть использованы для оценки скорости сходимости в предельных теоремах теории вероятностей, в статистических методах, основанных на гауссов$кой аппроксимации и оценках больших уклонений, а также для обоснования функциональных законов типа повторного логарифма при анализе эмпирических функций распределения.

АПРОБАЦИЯ РАБОТЫ. Результаты диссертации докладывались . на семинарах по теории вероятностей и математической статистике в ЛОМИ АН СССР (ПОМИ РАН), Ленинградском (Санкт-Петербургском), Московском, Вильнюсском , йенском (Германия) университетах , в университетах Париж-5 и Париж-11 (Франция), на их, IV, V международных Вильнюсских конференциях (1981, 1985, 1989) , на IV и VI советско-японских симпозиумах по теории вероятности (Тбилиси, 1982; Киев,1990), на XVIп школе - коллоквиуме по теории вероятностей и математической статистике (Бакуриани, 1985), ш Европейском' коллоквиуме по анализу и теории вероятностей (Париж, 1992),

ПУБЛИКАЦИИ. По теме диссертации опубликовано 22 работы автора, список основных 18 работ приводится в конце автореферата.

СТРУКТУРА ДИССЕРТАЦИИ. Диссертация состоит из введения и трех глав . Список литературы содержит 271 наименование. Общий объем работы 327 машинописных страниц.

СОДЕРЖАНИЕ РАБОТЫ

г

Основная цель § 1 - построить широкий класс разбиений, отвечающих требованиям намеченной трехэтапнсй схемы рассуждений, и изучить возникающие условные меры.

Пусть (Я.Л'^.Р) - топологическое пространство с борелевской мерой. Измеримое отображение в ■■ я —» будем называть допустимым, если рб~1 « р .

Семейство отображений © • назовем

допустимой полугруппой, ест

и - тождественное отображение ;

2) б °

Б = Б ;

с с +с

1 г 1г

3) При всех <= « й™ отображение Бс взаимно однозначно ;

4) Для каждого * « « отображение ]заимно однозначно-.

Будем говорить, что точки *,»*, с ^

писать х.

, если при некоторых

Б (X ) = Б < х ) с I с г

допустимо и

с —» Б (х)

эквивалентны и

г>т

<3 к^ верно

Пусть Г - разбиение ^ эквивалентности, я -: я

порожденное этим отношением #/Г каноническая проекция.

Множества вида, я'1 (у), у <~ к/Г", состоящие из эквивалента»* точек, назовем орбитами полугруппы На каждой орбита удается ввести естественную ^"-сначную параметризацию зависящую от выбора точки отсчета <, лежащей на орбите, и

с

>

переводящую действие группы © в действие группы сдвигов К1"-В дальнейшем предполагается выполненным дополнительное условие

5> ¿х является гомеоморфизмом между орбитой ,

снабженной топологией, унаследованной из « » и некоторым множеством сх с Я'", снабженным евклидовой топологией.

Напомним,-что X'" обозначает меру Лебега в (1" • Определим меру на й-алгебре ^ соотношением

}ув) = хт<ах<в ^ )). Предположим теперь дополнительно, что пространство к мстризуемо, полно и сепарабельно, а разбиение « на орбиты полугруппы ® измерило. В этом случае определена и единственна система условных мер • Положим

рс = рб"1. в силу допустимости отображения вс имеем рс« р. Пусть рс = <1Рс/йР - соответствующая плотность.

Следующая теорема является основным результатом §1• Она позволяет вычислять условные меры, возникающие при разбиении вероятностного пространства на орбиты допустимой полугруппы.

ТЕОРЕМА 1.1. Пусть Г - измеримое разбиение полного сепарабельного метрического пространства ж на орбиты допустимой полугруппы, с = |ес . Тогда при рг

-почти всех у условная мера р^ абсолютно непрерывна

относительно инвариантной меры Ху , и соответствующая

? в

плотность вычисляется по формуле

для Ру - почти каждого х. Нормирующий множитель к^ постоянен на у.

В качестве иллюстрации применения метода расслоений в

показа!.. , как он позволяет доказывать абсолютную непрерывность распределения стохастического функционала.

Для этого определен специальный класс мер на . к, имеющих <в,н>-достаточный класс допустимых преобразований, в который включены меры, имеющие для каждой точки ь множества в<=к и каждого направления и из множества направлений н <ь и допустимую полугруппу, с касательнымии, близкими к ь в окрестностии ь.

Вводится также специальный класс (в.ю-гладких функционалов, имеющих для каждой точки ьев невырожден1{ук> (и в определенном смысле непрерывную ) производную вдоль некоторого направления н <= н.

ТЕОРЕМА 1.4. Пусть (», т^ > - топологическое пространство, н - борелевская мера на к, II II - полунорма на я. Пусть вцн- подмножества я , снабженные

топологиями и тн соответственно. Предположим, что

1) мера р имеет <в,н>-достаточный класс допустимых преобразований •,

2) функционал ф удовлетворяет локальному ус.ювию Липшица на в относительно || || ;

3) ф является <в,н у-сладким функционалом ;

4) топология т^ имеет счетную базу или является радоновой мерой.

Тогда г^'1 « .

В рл-интг^я теория применяется для исследования распродн-йлшй функционалов от процессов с независимыми прирашчилми. Дчл г.гт\-> нужно было подобрать полугруппы допустим: зс и;.(^образований пространства траекторий , удов-

летворягацие требованиям Оказалось, что в качестве

элементов таких полугрупп могут выступать т.н. преобразования скачков.

ПРЕОБРАЗОВАНИЯ СКАЧКОВ. & начинается с изучения свойств одного класса полугрупп, действующих в пространстве Скорохода н> = »[0,13 . В основе построения каждой ¡юлугруппы лежит некоторая функция * •• К1 х с0,1] —♦ К* , называемая скоростью преобразования скачков, удовлетворяющая некоторым условиям непрерывности и отличная от нуля лишь ка некотором множестве г , отделенном от множества (О) х со,13.

Назовем ядром полугруппы преобразований скачков со скоростью V функцию я со,») х г —> К*, которая является при его , (*,и е г решением уравнения

д(с,зг, и г ае

Назовем полугруппой преобразований с ядром д семейство отображений Ф=.сбс, с>о>, определяемых формулами

1

^с4^'](5Х(,:) + { / [ 1г(*.5) Vx(dx,cls),.

-со О

где - мера скачков функции

Содержательное описание действия полугруппы © таково. Величина каждого скачка изменяется (по параметру с) таким, образом, что скорость ее изменения равна ь) в тот

момент, когда величина скачка равна х-

ПРЕОБРАЗОВАНИЯ ПРОЦЕССОВ С НЕЗАВИСИМЫМИ ПРИРАЩЕНИЯМИ.

С

Пусть 5 - стохастически непрерывный процесс с независимыми

приращениями, а р - соответствуюдая ему мера в П

мера Леей- Следующая теорема описывает условные

распределения для распределения процесса с независимыми

приращениями , порожденные разбиением © на орбиты

полугруппы преобразований скачков.

ТЕОРЕМА 2.2. Пусть на множестве г мера Лева процесса

5 имеет условные распределения вдоль оси скачков,

абсолютно непрерывные относительно однолернной меры Лебега и

n<dX, t)

соответствующую плотность iptx.t) =--.

dX1

Тогда полугруппа с с ядром , д, порожденным функцией v , является допустимой для распределения р процесса Условные распределения р^ на орбитах полугруппы существуют, и их плотности относительно инвариантных ^ Ху вычисляется по формуле

dP* dPV - (ЧР-vi fecc.e^t^.^ll

зг-ISJy)) = эт-(у)ехр. > log---1--U ,

^ c ut^z

где у - произвольная точка отсчета на орбите у , а е* , t* - величины и моменты скачков функции у.

Эта теорема открывает возможность применения общих •результатов метода расслоений к изучению свойств распределений функционалов от процессов .с независимми приращениями.

ТЕОРЕМА 2.3. Пусть z с R* х [о,п - такое открытое множ-сства, что дмч .аоби.х [¡азжчных t , t2 « [о, i j верна

11

¿п =

к' \

и П «,Хг на г. Предположим, что функционал ф является ; г>, > -гладким функционалом д.ля некоторого множества в полной мери, Р(В)=1. Пусть <р удовлетворяет локальному условию Липшица относительно равномерной нормы:. Тогда

Рф"1 « х1.

В заключение параграфа формулируются одно общее достаточное условие ограниченности плотности распределения функционала в терминах расслоений и вытекающее из него условие, обеспечивающее ограниченность плотности распределения интегрального функционала от устойчивого процесса.

ПЛОТНОСТЬ РАСПРЕДЕЛЕНИЯ НОРМЫ УСТОЙЧИВОГО ВЕКТОРА .

Параллельно с изучением функционалов от случайных процессов аналогичные задачи были рассмотрены для функционалов от бесконечномерных случайных векторов. Это направление исследований было прежде всего стимулировано рядом вопросов, поставленных В.Паулаускасом и В.Бенткусом в связи с оценкой скорости сходимости в предельной теореме для банаховозначных случайных векторов . В частности, ограниченность плотности распределения нормы оказывается одним из важнейших достаточных условий для получения оценок скорости сходимости. Пусть £ - устойчивый случайный вектор со значениями в банаховом пространстве <«,1Н0- В §з изучается следующий вопрос: когда распределение с.в. 1£П имеет ограниченную плотность ? Близкие задачи, но совсем другими методами решались в работах Т.Бычковского, Т.Жака,- М.Левандовского,М.Рызнара,Д.Папа.

ПРИМЕР УСТОЙЧИВОГО ВЕКТОРА С НЕОГРАНИЧЕННОЙ ПЛОТНОСТЬЮ РАСПРЕДЕЛЕНИЯ НОРМЫ. Пусть I г { 1к,кеН ) - разбиение натурального ряда N на конечные блоки : I, = [1,т(], 1г = Гт1+1,тг], ... ,1ь = Ст1с_1»тьз> ... Для последовательности чисел X 3 {х.} ПОЛОЖИМ ' (И^ э вир ^ |к | .

Введем в рассмотрение пространство с* , состоящее из таких

последовательностей * , для которых Ни У |х.| = о.

к—ко 1

ТЕОРЕМА 3.1. Лля каждого ае(1,2) существуют такое пространство с^ и с^-значный симметричный устойчивый вектор 5 , что

а) координаты вектора £, независимы, а в пределах каждого блока I к - одинаково распределены ; <5) плотность распределения с.в. 1151^ неограничсна. ДОСТАТОЧНЬЕ УСЛОШЯ ' ОГРАНИЧЕННОСТИ ПЛОТНОСТИ РАСПРЕДЕЛЕНИЯ НОРМЫ. В отличие от случая осей,2) , при «и(о,1> удается получить весьма' общие условия ограниченности плотности распределения нормы. Пусть («»НЮ сепарабельное банахово пространство. Рассмотрим пространство Скорохода ® н а>^со, 1 ], состоящее из ^-значных функций без разрывов второго рода. Пусть р мера в ® . являющаяся распределением такой однородной ¡я-значной случайной функции с независимыми приращениями С з > что случайные векторы и $

равнораспределены. Для применения метода расслоений удобно в качестве основного вероятностного пространства рассматривать (Ш>,р) и изучать распределение функционала (р : п> —♦ Я1 .

фГ X ( ■) ) ||< I 1 ) || .

ТЕОРЕМА 3.2. , Пусть a^(o.i), а распределение л-значного вектора ? строго устойчиво и не сосредоточено в нуле. Тогда распределение рсf1 с.в. Ißll имеет

огратченнуа плотность относительно меры Лебега.

ГЛАДКОСТЬ РАСПРЕДЕЛЕНИЯ НОРМЫ. Для пространств с гладкой нормой о распределении с.в. II?II можно найти существенно йо'лее точную информацию. Результат такого рода, полученный Н,В.Смородиной и автором в с 123, приведен ü конке § з.

' ПЛОТНОСТЬ СУММЫ НЕЗАВИСИМЫХ СЛУЧАЙНЫХ ВЕЛИЧИН. В качестве иллюстрации развитых методов в рассмотрена

одна классическая задача теории суммирования независимых случайных величин . Пусть (^.^N) - последовательность независимых одинаково распределенных с.в. Положим s^ =.•

п

2 Если распределение с.в. sri имеет плотность, будем

обозначать ее рп(•)• Следующая локальная предельная теорема принадлежит Б.В. Гнеденко.

ТЕОРЕМА . Если Е£ = о, D? = о2> о, то

соотношение

lim sup On p (гбп ) - 1г*V exp{-r ^2) = О 1 n 1

n+e) reR1

справедливо в том и только в том случае, когда для некоторого n плотность р ' ограничена.

В отличие от большинства предельных теорем, ' условие теоремы Гнеденко накладывается не . на распределение отдельного слагаемого, а на распределение суммы некоторого числа слагаемых. Поэтому сразу возникает вопрос - нельзя ли найти соответствующее. условие в терминах распределения

отдельного слагаемого.Частичный ответ содержится в следующем результате.

ТЕОРЕМА 4.2. Если Оля некоторого г > о верно Ер6(£ ) - Г ¿V < т ,

1 '1 J I

то плотность р^ ограничена при п > (1+е> !.

Хотя эта теорема не является новым результатом, по мнению автора, представляет интерес и приведенное в § ч "прямое" доказательство , не апеллирующее к аппарату характеристических функций.

ГАУССОВСКИЕ. СЛУЧАЯНЬЁ ФУНКЦИИ. Вторая и третья главы диссертации посвящены изучению функционалов от гдусоовскиу случайных функций. Как известно, именно теория гауссовсккх случайных функций яиляетсл самым "продвинутым" направлением, в которой получены наиболее законченные результаты. Различные аспекты этой теории, борущей начало в работах Н.Зинера, П-Левн и А.Н.Колмогорова, - представлены в монографиях Р.Адлера, А.Бадрикяна и С.Шеве, Н.Н.Вахания,

B.И.Тариаладзе и С.А.Чобаняна , Х.-С. Го, Ю.Л.Далецкого и

C.В.Фомина, И.А.Ибрагимова и Ю.А.Розанова , Дж.Ие Г.Крамера и Н.Лидбеттера, П.Леки, М.Леду и М.Талаграна, В.И.Питсрбарга, Ю.А.Розанова, А.В.Скорохода, В.Н.Судакова а также обзорных статьях Р.Дадли, В.И.Питербарга, К.Ферника ■

V 5 не содержит новых результатов, но служит основой для дальнейшего изложения. В нем собраны основные определения, обозначения и факты теории гауссовскмх случайных функций и гауссовских мер. которые потребуются в следующих параграфах • Особое внимание уделяется понятиям осцилляции, и энтропии гауссовской с.ф., а также выпуклости и

изопериметрическому свойству гауссовской меры. Приводится обзор результатов о распределении максимума гауссовской с.ф.

ОСЦИЛЛЯЦИЯ И БОЛЬШИЕ УКЛОНЕНИЯ. Пусть <Çt, -ограниченная гауссовская случайная функция . Положим

Ог 2 sup Di.; Ç, S su p Ç ; F(r)=P{^ËrJ; F ( r ) =ф~1 (F ( r > ) . (1) T r

Пусть p(b,t) = [E<Çs~Çt>2J1/2 ~ естественная полуметрика, a 'о - осцилляция с.ф. Ç в точке t.

Важную роль в анализе распределения с.в. Ç играет

число

d = lira [ r - О F( r) ]. (2)

Цель § & - выразить через осцилляционные характеристики с.ф. 4 важнейшие параметры распределения с.в. s - В первой части % <ь эта задача решается для константы о.

Для формулировки результата потребуются два рабочих понятия. С.в. Т) назовем экстремалью, если Dr)=az и при

некоторых t.eT верно E(Çt -i))2 —» о. Множество всех

j

экстремалей обозначим

Для любой случайной величины q определим обобщенную осцилляцию соотношением

= urn sup ( E(Ç -4)2<e,E(Çu-T3)2<e >.

e-»o

Обобщенная осцилляция является числом и связана с обычной соотношением **tÇt> = a(t) . Введем в рассмотрение еще два числа

dt н 1 im lim %>jp | E|t+<E -Çfc)/2 ) ptB.tXe, IHt>C*-ô }, б-»о e-»o v )

d2 s sup | ET) +j*(TJ)/z j.

Следующий результат увязывает большие уклонения с.в. ч с осцилляционными характеристиками.

ТЕОРЕМА 6.2. Пусть {it, t<=r> - ограниченная гауссовская с.ф. Тогда а = с^ =

СЛЕДСТВИЕ. (В. А. Дмитровский). Если пространство <т,р) полно или, что то же самое, множество <5t. toT) Замкнуто в LZ(Q,P) , и с.в. ? центрирована, то с!

sup { <Х( t) | t: = 0г }/г.

ОСЦИЛЛЯЦИЯ И ТОЧКА ОТРЫВА. Во второй части § ¿> через осцилляционные характеристики удается выразить точку отрыва r0 = >nf (r[ F<r)>0>.

Обозначим Е = {?t,t<=T> - множество в пространстве LZ(Q,P). Символом 1 обозначим с.в., тождественно равную единице. По аналогии с определениями констант d, и положим

г ~ lim sup , Г- = sup a1)/2}.

1 £-»о 2 О aeR1

ТЕОРЕМА 6.3. Пусть множество Е выпукло, и int к

т

- о. Тогда <■ г •-- г

О t 2

Если с.ф. 5 центрирована, то по определению обобщенной ОСЦИЛЛЯЦИИ ДЛЯ любого . afO имеем ^(а1) = -00.

Следовательно, r0 = rz г *(<о)/г. Близкие утверждения содержались в работах Ю.Ч.Кокаева, Б.С.Цирельсона.

АНАЛИЗ РАСПРЕДЕЛЕНИЯ МАКСИМУМА ГАУССОВСКОИ СЛУЧАЙНОЙ ФУНКЦИИ. Пусть <?t.teT> - ограниченная гауссовская с.ф. В % 7 продолжается изучение общих свойств распределения с.в.

£ s ьирЕ. • В центре внимания находится следующие полрс-еы, г

которые■имеют важное ^шчыше е приложениях :

- когда .распределение С, абсолютно непрерывно

- когда распределение С имеет ограниченную плотность?

- как ведут себя малые уклонения, т.е. РсС.5>о+е> при е -» о ?

как быстро убывает плотность р'(г) при г ® ? как. оценить сверху максимальное значение плотности ' р' ?

АБСОЛЮТНАЯ НЕПРЕРЫВНОСТЬ РАСПРЕДЕЛЕНИЯ МАКСИМУМА. Как показывает теорема з.ь, распределение с.в. С абсолютно непрерывно на множестве К1ч-£г0> . однако в точке отрыва оно может иметь атом. При решении -ряда задач бывает зажю знат-ь, существует ли этот атом или нет. Например, для доказательства сильной сходимости распределений в принципе инвариантности нужно гарантировать отсутствие атома , Сначала рассматривается случай, когда средние значения ке способствуют появлению атома, и он возникаеет в силу определенных свойств корреляционной структуры с.ф. ? Этот случай удается свести (теорема 7.1) к хорошо изученной задаче об ограниченности выборочных функций гауссовской с.ф. (задаче о рв-множествах, если следовать геометрической терминологии Р.Дадли и В.Н.Судакова). Затем рассмотрен более сложный случай появления атома в результате взаимодействия корреляций и средних значений. В этом случае задача о существовании • атома сведена (теорема 7 ■2) к изучению некоторых локальных свойств выборочных функций с.фг К > что само по себе является хотя и трудной, но гораздо более изученной задачей.

ОГРАНИЧЕННОСТЬ ПЛОТНОСТИ РАСПРЕДЕЛЕНИЯ. Как известно, плотность распределения с.в. £ может быть неограниченной

только в правой окрестности точки отрыва. Этот эффект, весьма неприятный для оценивания скорости сходимости, в бесконечномерной центральной предельной теореме , действительно может иметь место - правда в ситуациях если не патологических , то исключительных. скачала

мы рассматриваем посм'.Оовитпемноапи независимых

гауссовских с.в. В теореме 7-3 построен пример такой последовательности с неограниченной плотностью распределения максимума модулей.

Е теореме 7-ч- указаны условия энтропийного типа, обеспечивающие ограниченность плотности распределения максимума, а в теореме' 7.5 показано, что эти условия не могут быть сушественно ослаблены.

МАЛКЕ УКЛОНЕНИЯ. Далее в §7 рассматривается трудная и до конца не изученная проблема исследования малых уклонений, т.е. вероятностей вида PiС-е>» е-.»о , £ = sup||t|

S - ограниченная гауссовская случайная функция.

Ряд глубоких результатов в этом направлении получен для случайных процессовf обладающих марковским свойством s. работах A.A. Боровкова и А.А.Могулъского, З.А.Гасаненко, А.А.Новикова, Упомянем также работы . В.Н.Золотарева, И.А.Ибрагимова, В.Ли, Г.Н. Сытой , в которых рассматривается близкая задача оценки гауссовской меры шара малого радиуса в гильбертовом пространстве. Мы опишем другой» не столь точный, но простой и весьма об'диЯ подход к оценке малых уклонений, который годится' для случайных функций с произвольным параметрическим множеством. В его основе лежит следующее понятие.

Пусть - гауссовская с.ф. Назовем

прогностической емкостью Эт(е> наибольшее возможное

количество элементов в такой цепочке моментов времени

, что 05,. • а ег, и при любом j г 2 дисперсия 1

ошибки прогноза с.в. 5Ь по известным > •-• .

1 » 1-*

не меньше е2- Из этого определения легко следует такая оценка малых уклонений: для любых а- > о к е > о

• Э1( £>

Р | зир|54;| < а | < ^2ф(а/6)-1]

Представляетя полезным установить связь вновь введенного понятия прогностической емкости с классическими понятиями теории аппроксимации , в частности , Колмогоров-сколи поперечниками. Соответствующие двусторонние оценки доказаны в теореме 7.ь.

В качестве примера рассмотрены малые уклонения двупараметрического поля Винера-Йе, для которых в теореме 7.7 получена довольно точная оценка снизу, хотя и не совпадающая по порядку с верхней оценкой, принадлежащей Чаки и Ли , и независимо полученной автором,

ПЛОТНОСТЬ И ВЕРОЯТНОСТЬ БОЛЬШИХ УКЛОНЕНИЙ. Хорошо известны соотношения, связывающие плотность нормального распределения и хвост соответствующей ф.р.

(гя)""1"'7' ехрС-и2^2) = ф'(и) = и [ 1-фС и ) ]/Б ( и ) ,

где функция

00

Б(и) = ^ /г) сЫ

о

удовлетворяет неравенствам 1 - ^ г б(и) < д ц

близка к единице при'больших значениях и. В теореме 7.в устанавливаются аналогичные соотношения для распределения

максимума гауссовской с.ф. Они могут быть полезны в тех нередких случаях, когда большие уклонения максимума достаточно подробно изучены, и необходимо обосновать аналогичные свойства плотности при больших значениях аргумента.

Сохраним обозначения (i) и <2 >■ Пусть f . т - соответственно плотность распределения и медиана с.в. sup § .

т

ТЕОРЕМА 7.8. Для любого г > m справедливы оценки

F<r)[l-F(r)]

fir) <

б S(F(r))

Особенно хорошо работают эти оценки при больших г. В частности, из них следует асимптотическое соотношение между плотностью f и вероятностью больших уклонений

lim 0г1 (г )/ ( r[ 1-F( г ) 3 ) = 1 , г-»оо

хорошо известное для -плотности, и ф.р. нормального

закона. Комбинируя теорему 7-в с различными оценками

больших уклонений, можно эффективно оценивать плотность f-

Например, ее комбинация с неравенством В.А.Дмитровского

приводит к следующему результату.

ТЕОРЕМА 7.9. Пусть. £ - центщрованная гауссовская

с.ф. с конечный интегралом. Дадж Т( ■). Тогда при г

настолько больших, что г1'2) < а и г г

max{20Y(ö/*) ;зо>, плотность распределения с.в. sup $ / f допускает оценку

ftr) < 7 б"2 Г exp {6.S б"2 г } [ 1-ф( г/0)1 ■

*

ОГРАНИЧЕННОСТЬ ПЛОТНОСТИ РАСПРЕДЕЛЕНИЯ МАКСИЧУМА (ПРОДОЛЖЕНИЕ). С помощью понятия прогностической емкости

б (r-m) S(F(r))

удается получить достаточные условия ограниченности плотности распределения максимума не только для случайных последовательностей, но и для гауссовских с.ф. общего вида.

TE0PEMA7.il. Пусть центрированная гауссовскаи с.ф. с конечным интегралом Мадли ■) , удовлетворяющим соотношению

lim sup HVei/e8 < 00 е—»o

с некоторым Ъ > о и прогностической емкостью ж • >, подчиняющейся для любого у > о условию регулярности

lim (logjrtce)) / we?) -- о .

е—»о

Тогда плотность распределения с.в. С н sup|£ j

т

ограничена.

Следующая теорема предъявляет больше требований к энтропийным характеристикам, но практически освобождает от необходимости следить за поведением прогностической емкости.

ТЕОРЕМА 7.12. Пусть £ - центрированная гиуссовская

с.ф., ее метрическая энтропия удовлетворяет соотношению

lim sup HI 6J / |logel < со , e—»o

а для прогностической емкости вето

lim зг<е) = со . е-»о

Тогда плотность распределения с.в. С -н sup|i, j

т

ограничена.

Условие этой теоремы выполнено, в частности, для такого широкого класса случайных функций, как случайные поля с корреляцией, подчиняющейся условию Гельдера со сколь угодно малым показателем.

ГАУСООВСКИЕ БОЛЬШЕ УКЛОНЕНИЯ . Пусть { ^«т }

ограниченная гауссовская случайная фуннкция с произвольным параметрическим множеством т. Будем использовать обозначения (1) и (2). в §§ е-' изучается поведение вероятностей больших уклонений, Т.О. Р | £ 2: г | , г -> 00.

В силу той важной роли, которую большие уклонения играют как в теории вероятностей , так и в статистике, эта задача многократно изучалась в работах Р.Адлера, Ю.К.Беляева, К.Борелля, М.Вебера, Р.Дадли, В.А.Дмитровского, Г.Ландау, и Л.Шеппа, В.И.Питербарга, Г.Самороднйцкого, В.Н.Судакова и Б.С.Цирельсона, М.Талаграна, В.Р.Фаталова, А.Эрхарда и многих других авторов.

ПРЕОБРАЗОВАНИЕ ЛАПЛАСА И БОЛЬШИЕ УКЛОНЕНИЯ. . Пусть ' р«С1,2). Определим обобщенное про:.': •.•«•••гзние Лапласа с.в. С . ПОЛОЖИВ ЧМХ) = Е е:<рС ДЛЯ X 2 О.

связывая асимптотику больших уклонений с преобразованием Лапласа..

ТЕОРЕМА 8.1. Пусть р, г и Гр - функция распределения, плотность и преобразование Лапласа с- в. Г, - ьир . Тогда

т

1--2

<2- р ) f(г) „ -

2-р . 1-р

— тГ 1 "I „Й* J

^ рО

г-р» ш р-и а * г—

---—Г + ~7--Г~ } •

грО2 Р02 гОг гОг )

г-р , 1-р

^ 1

--- х

Рог }

{-<2-Р> й<р-и <5% . г-а -

-' * [1"ф4—>3-

2сЗ оО 20 ; к

Следующая теорема является ьст.ъ.результатом §8,

х

МЕРЫ БОЛЬШИХ ШАРОВ В ПРОСТРАНСТВЕ 1р . В этом разделе ~

теорема e.i применяется к задаче асимптотической оценки

м,-;п больших шаров в пространстве 1р . i < р < 2 ,

относительно гауссовской-меры с независимыми координатами.

Пусть p«[i,2) , а (а.) и {öt> , 1=1,2... - такие

последовательности вещественных чисел, что о и

№

2 UJP <оо, 2 ÖVP < 00 • Пусть t?L)

последовательность ' независимых стандартных нормальных случайных величин. Мы будем изучать вероятности больших

уклонений с.в. С определенной формулой

00

г „ -ч "Р

c-(2leA-Jp} •

i = 1

т-е- С. является нормой случайного гауссовского 1р-значного вектора с независимыми координатами.

Положим q н p/(p-l), V s (2-Р)"1 , m ä 2р/(2-р),

да со

г л l/T.i

öi i HmJ •d ^ ki-

i-l i=l

Также нам потребуется функция

S(X,a) = Е ехр с A|£t+a|p J, ■ ( X > О, а e Rl ) и ее нормализованная модификация

а) з SiX.a) ехр | F'ppV X*V - pV|a| XV| .

ТЕОРЕМА 8.2. Пусть öt>о для всех ui.2... . Тогда

д.щ больших уклонений, с.в. С, , порожденной noc.iedo-

битпельностями {¿о и с а> , верно соотношение 1 ар(r2~p-dri"p) а

(V г оо А . i i < 1 - р > d -v^ г - d ..

[п . (—------ibt^) -Ф'-в-' ]

БОЛЬШИЕ ОКТАЭДРОНЫ • В конце §0 мы применяем теорему в-2 к некоторым конкретным последовательностям , чтобы продемонстрировать , насколько разнообразным может быть поведение больших уклонений. В частности, оказывается, что асимптотика вероятностей больших уклонений может содержать периодическую компоненту.

ПРИМЕР 8.1. Пусть в>1,а>о - некоторое константы и а = в"1, а. = ав"\р=1 . Обозначим

СЗ(Х,а) = ф(Х+а) + ехр{-2аХ) Ф(Х-а) .

Тогда р{ 5 > г } - Х(^) (^Фс1^)) ,

причем функция Х(Х) = | | аГ Хв1 , а 1 имеет мзгарифми-

ческий период в, т.е. для любого X верно Х(Хв> = Х(Х>.

Выясняется также, что найденные асимптотики гауссовских мер больших шаров ыЬжно трактовать как асимптотики больших уклонений некоторого класса гауссовских процессов, обладающих определенным свойством стационарности. Это позволяет сравнить полученные оценки с результатами, известными для классических стационарных процессов.

ГАУССОВСКИЕ БОЛЬШИЕ УКЛОНЕНИЯ ГЛАДКОЙ ПОЛУНОРМЫ. Пусть я - локально-выпуклое пространство ; | - «-зкачный случайный вектор с распределением р. Предполагается , что р ~ центрированная радонова гауссовская мера , заданная на борелевской 0-алгебре Пусть я ■■ и —» й1

непрерывная полунорма. Естественным образом возникает задача изучения точной асимптотики больших уклонений р( х е Ж | ч (х) > Л = р / > Л , г 00 .

В § рассматривается частный случай этой задачи. а именно - ситуация, когда асимптотика уклонений определяется поведением полунормы в одном - единственном направлении , и в соответствующей экстремальной точке полунорма q дважды дифференцируема. Наша цель - установить соотношение вида

Р | q(£) > г j ~ С (1 - Ф(г/б) ) , (3)

где с 'л с - некоторые постоянные, зависящие от q и

р ; Ф - ф.р. стандартного гауссовского закона лчо.п, а

запись Еида ь ~ g означает , что функции h и я ПОДЧИНЯЮТСЯ соотношению Пл h(rl/g(r| = 1 .

I -»00 -

Асимптотика вида <з> появляется в целом ряде работ, начиная со статьи В.М.Золотарева, написанной около тридцати лет назад. В несколько иной постановке подобная асимптотика для распределений функционалов от многомерного винеровского процесса получена в работе М.Шильдера. Р.Эллис и Дж.Розен кашли асимптотические разложения для интегральных функционалов с бесконечно гладким ядром, весьма близкие по постановке к рассматриваемой задаче. М.Талагран предложил необходимые.и достаточные условия для того, чтобы асимптотика больших уклонений имела вид <з> с с = 2. Недавно В.Линде сформулировал для конечномерного случая условия, объясняющие происхождение асимптотики (з). В § получен бесконечномерный аналог результата Линде, формулировка которого объемлет ряд результатов Золотарева, Линде, Добрича, Маркуса.и Вебера.

Сформулируем два условия , определяющих рассматриваемую ситуацию. Фигурирующий в них функционал действия <?(*) определен в § 5.

УСЛОВИЕ (А). Существует такой вектор -<и ж , что экстремальное значение

О = max {<?(х)~1/'2 I q ( к ) = 1 } (л )

положительно и достигается только в точках *0 и ~■<0 .

УСЛОВИЕ (Б). Полунорма q дважды дифференцируема б точке *0 . т.е. существует • такой линейный функционал и такая билинейная форма . что

q ( х) 1 + ¿D(x-x ) + j^(x-x ,х-х )/z + n(qZ(x-x )).

4 ' o o o a

Положим

'с = 2 e <?xp 0z> . (5)

ТЕОРЕМА 9.1. Пусть £ - гауссовскиО. вектор и его щепределение р удовлетворяет условиям (А> u (S) . Если с < ш , то асимптотика больших уклонений подчиняется соотношению < з >, причем константы, о и с определяются соотношениями (4 > и (5) .

ФУНКЦИОНАЛЬНЫЕ ЗАКОНЫ ПОВТОРИТ" ЛОГАРИФМ ТИПА ШТРАС-СЕНА И РЕВЕСА. Пусть w - винеровский процесс. Определим семейство функций

v (s) =w(ts)/(2t 1 og 1одт )1x2, т>е

Знаменитый функциональный закон повторного логарифма в форме Штрассена утверждает, что с вероятностью единица множество |yt ,zekt<co j- относительно компактно в пространстве

ссо.1], ск&бтшоы равномерной топологией, порожденной нормой |х| з sup ¡x(t)|, и множество предельных (в равномерной

С О , 1 ]

топологии ) точек всевозможных подпоследовательностей jYT . тп - совпадает с так называемым "шаром Штрассена"

к г jhr-tC[о, i:, n(o)=o, h абсолютно непрерывна . J h'z- 1 ^ •

В этом утверждении не совсем естественным выглядит присутствие равномерной топологии, которая никак не связана со структурой винеровского процесса. В § ю установлен аналогичный функциональнй закон для целого класса топологий , вообще говоря, более сильных, чем равномерная, и тесно связанных с винеровским процессом. Пусть I I'11 некоторая измеримая норма, определенная на Ссо,i], принимающая значения в со.®! • Пусть г - топология, порожденная этой нормой. Назовем эту норму согласованной (с винеровским процессом), если вполнены следующие условия

(С1) Р с | |w| | <со } = 1 .

<С2) Множество к компактно в топологии ? ■ Иногда требуются некоторые из следующих дополнительных условий согласованности ••

(СЗ) Р с lim sup I |W< (1-6) ■ )-W( • ) I'.I - 0 > = t . e-o o<e<e

<C4) p { lim sup ||W<e +(1-S )-)-W<8 )-w( -) I I = 0)*U.

e-o o<«i,0j<e 1

(C5) P { lim I |W(min( ■ ,6) ) I I = О > = 1 . e-»o

Будем называть, например, норму <з,5)-согласованной, если

ВЫПОЛНёНЫ УСЛОВИЯ <С1) , <С2> , (СЗ) , <С5) .

Нетрудно проверить, что почти все "разумные" нормы , в том числе интегральные, гельдеровские, sup-нормы с весом, являются согласованными. -

Тшшч}шй результат § ю выглядит следующим образом. Пусть >-т - неубывающая функция т , стремящаяся к' бесконечности при' , пусть; *т . = т'^Чкт-)/l и '

Ь = lim sup ^ 2 loglog Т Т—*а

| 2 loglog Т /

ТЕОРЕМА 10.2. Пусть норма || || явмктся

(3,5)-согласованной . г - соответствующая ей топология. Пусть ь < о». Тогда с вероятностью единица множество значений каждой последовательности ^ yt , т^ —>

относительно г-компактно , и множество всех предельных точек для | yt , т —> о» | совпадает с множеством ь к.

Подобная формулировка с произвольным видом нормирующего множителя была впервые предложена А.В.Булинским.

Помимо этого результата, §ю содержит обобщения функционального закона П.Ревеса для приращений винеровского процесса и теоремы М.Бебера о предельных множествах

подпоследовательностей |ут>тетг, т —» оо|, тг с R1, для соответствующих классов согласованных норм. Кроме того, установлен функциональный закон повторного логарифма для схемы серий винеровских процессов , которая используется в статистике при изучении эмпирических и квантильных процессов (Д.Мэсон)- Ряд результатов §к> получен автором совместно с П.Деевелсом.

Основные результаты диссертации опубликованы в работах

1. Лифшиц М.А. Об абсолютной непрерывности распределений функционалов от случайных процессов. - Теория вероятн. и ее примен., 1982| т.27, №3, с.559-566.

2. Лифшиц М.А. Абсолютная непрерывность функционалов типа "супремум" от гауссовских процессов. Зап.научн.сьмин.ЛОМИ, 1982, г.119, с.154-165.

3. Лифшиц H.A. Метод расслоений и его применение к изучению функционалов от.случайных процессов. - Теория вероятн. и ее примен., 1382, т.27, №1, с.67-80.

*. Лифшяц М.А. Метод расслоений для процессов с независимыми приращениями. - Зап. научн. семин. ЛОМИ, 1983, т.130, с.109-121.

•5. Лифшиц М.А. Применение метода расслоений к изучению функционалов от процессов с независимыми приращениями. - Теория вероятн. и ее примен., 1984, т.29, №4, с.723-734.

ь. Давыдов Ю.А., Лифшиц М.А. Метод расслоений в ■ некоторых вероятностных задачах. - Итоги науки и техники. Сер. "Теория вероятностей. Матем.' статистика. Теоретич. кибернетика" , т.22, М.= ВИНИТИ, 1984, с.61-158.

7. Лифшяц М.А. Плотность распределения максимума гаус-совского процесса. - Теория вероятн. и ее примен., 1984, т.29, №4, с.814-815.

э. Лифшиц М.А. 0 распределении максимума . гауссовского процесса. - Теория вероятн. и ее примен., 1986, т.31, №1, с.134-142.

9. Лифшиц М.А., Цирельсон Б.С. Малые уклонения гауссовских полей. - Теория вероятн. и ее примен., 1986, т.31, №3. с.632-633.

ю. Лифшиц М.А. О плотности распределения нормы устойчивого вектора. - Зап.научн.семин.ЛОМИ, 1987, т.158, с.1.05-114.

11. Лифшиц М.А. Осцилляция и нижняя граница распределения максимума гауссовского поля. - Зап.научн.семин. ЛОМИ , 1989, т.177, с.78-82.

12. Смородина Н.В., Лифшиц М.А. О распределении нормы устойчивого вектора. - Теория вероятн. и ее . примен., 1989, т.34, №2, с.304-313.

13. Лифшиц М.А. Вычисление точной асимптотики некоторых гауссовских больших уклонений. - Зап. научн. семин.ЛОМИ, 1991, т.184, с.189-199.

14. Лифшиц М.А. Гауссовские большие уклонения гладкой полунормы. - Зап. научн. семин. П0МИ, 1992, т.194,с.106-113/

15! Lifshits М.Д. Unexpected limit behavior of the Gaussian tail probabi1ities, - In: New Trends in Probability and Statistics, VSP/Mofcslas, Vilnius, 1991, p.233-240.

16. Lifshits M.A. On the norm distribution of Gaussian and other stable vectors. - In: Probab. Theory and

Math.Stat- Proc. V Vilnius Conference, Vilnius, Mokslas, VSP, 1990, v.2, p.97-104.

17. Lifshitt; tl.A. Functional for strong topologies. -

Tn : Statistique des processus au milieu medical , Université Paris,V , 1992, 9 p. 10. Lifshits M.A. On the inves tigation of Gaussian large deviations by means of LdpKjcp transform. - Prepubl. de 1'Université Paris-Sud, 1992, №2, 26 p.