Асимптотическое поведение неустойчивых решений стохастических дифференциальных уравнений со случайным коэффициентом сноса тема автореферата и диссертации по математике, 01.01.05 ВАК РФ

ВВЕДЕНИЕ.

Глава I. АСИМПТОТИЧЕСКОЕ ПОВЕДЕНИЕ РЕШЕНИИ СТОХАСТИЧЕСКИХ ДШФЕЕЕНЦИАЛЬНЫХ УРАВНЕНИЙ С КОЭФФИЦИЕНТОМ

СНОСА ВИДА (И*) + Ш).

§ I, Асимптотическое поведение % (£) в случае, когда 1У[ 10 является винеровским процессом

§ 2. Поведение решений (А) в случае»когда М является диффузионным процессом

§ 3. Примеры.

Глава 2. АСИМПТОТИЧЕСКОЕ ПОВЕДЕНИЕ 'РЕШЕНИЙ СТОХАСТИЧЕСКИХ ДИШФЕ1ЕНЦИАЛЬНЫХ УРАВНЕНИЙ С КОЭФФИЦИЕНТОМ

СНОСА ВИДА СЦХ)(^1Ц(Л))

§ I. Асимптотическое поведение (.-Ь) в случае, когда является диффузионным процессом.

§ 2. Асимптотическое поведение

К и) в случае неотрицательного коэффициента сноса

§ 3. Асимптотическое поведение |

§ 4. Асимптотическое поведение в случае эргодичности решения

Предельные теоремы дяя случайных функций являются одной из основных частей теории вероятностей и математической статистики. В настоящее время с увеличением интереса к теории случайных процессов важную роль играет решение задачи о поведении процесса при t-^л. Одним из наиболее эффективных приемов исследования в современной теории случайных процессов являются стохастический интегралы и основанные на них стохастические дифференциальные уравнения.

Теория стохастических дифференциальных уравнений была создана в конце 40-х годов Ито К. [бэ], [70][7ll и Гихманом И.И. [8],[э] независимо друг от друга, на основе идей Берштейна [23 и Винера [84], [85].

Основные результаты исследования стохастических дифференциальных уравнений изложены в ряде монографий [l3], [l4], [l7] , [l8], [20], [22], [41], [48], [49] и работ [б], [71, [37], [44~1 , [45]. [50], [51].

Основными элементами теории стохастических дифференциальных уравнений являются вопросы о существовании и единственности слабых и сильных решений в конечномерном эвклидовом пространстве [19], [54],

58], [83], [88], а также в банаховом и гильбертовом пространствах

59], [бб] , [68]; о единственности по траекториям [56], [72], [73] , [?б], [8l]j о продолжении и сравнении решений [72], [78], [87].

Процесс исследования этих вопросов закономерно привел к применению мартингальных подходов, ставших действительным средством изучения стохастических дифференциальных уравнений [б], [зо], [бз], [75] • Не менее важным методом является изучение стохастических дифференциа г льных уравнений с помощью обыкновенных уравнений в частных производных [i], [4] , [ю], [2l], [5l], [60], [во], которые встречаются во многих разделах теоретической физики, задачах автоматического управ

-k ления, радиотехники и механики [46], [55], [57], [61], [62], [74], [79], [89] • Существуют и другие методы исследования, но спектр их применения значительно уже: методы Метивье и Рунге Кутта, используемые только для численного построения решений стохастических дифференциальных уравнений [67], [82] »

Вопросы об асимптотическом поведении решения стохастического дифференциального уравнения, имеющие в настоящее время важное значение, возникли при доказательстве теорем об ограниченности и нео«» граниченности решений уравнений данного вида [12] • В связи с этими предложениями появился интерес к задачам об устойчивости [42], [53], [64], эргодичности [12], [52] и о точном росте решений стохастических дифференциальных уравнений [65] •

Последовательная разработка вопроса об асимптотическом цри 00 поведении неустойчивых решений одномерных стохастических дифференциальных уравнений оусуществлена Кулиничем Г.Л* во второй половине 60-х годов [23], [24], [25], [27] , [28] . В дальнейшем им были разработаны вопросы об асимптотическом поведении распределений функционалов от диффузионного процесса [29], [31], [33] , об асимптотическом поведении модуля решения стохастического дифференциального уравнения в одномерном [Зб] и в многомерном пространствах [32], [35] , [38] , а также для уравнений со случайными коэффициентами [34] • Однако условия в терминах коэффициентов уравнения данного вида предопределяют, в конечном счете, исчезновение случайности в коэффициентах для предельного процесса при соответствующей нормировке.

Целью нашего исследования является изучение асимптотического при öo поведения решения одномерного стохастического дифференциального уравнения со случайным коэффициентом сноса при сохранении в цределе случайности в коэффициентах.

Настоящая диссертационная работа состоит из введения и двух

1. Белопольская Я.И., Наголькина З.И. Об одном классе стохастических уравнений с частными производными. - Теория вероятн. и ее прим., 1982, 27, вып.З, с.551-559«

2. БерштейН С.Н. Principes desequations différentielles so-chastiquesr Труды физ.мат. института АН СССР, 5, 1934, с.95-124.

3. Веретенников А.Ю. О сильных решениях стохастических дифференциальных уравнений. Теория вероятн. и ее прим», 1979, 24, вып.2, с.348-360.

4. Веретенников А.Ю. Параболические уравнения и стохастические уравнения Ито с коэффициентами разрывными по времени. -Мат.заметки., 1982, № 4, с.547-557.

5. Веретенников А.Ю. 0 стохастических уравнениях с вырождающейся по части переменных диффузией. Из-во АН СССР Сер.Мат., 1983, 47, № I, с.189-196.

6. Гальчук Л.И. 0 существовании и единственности решения для стохастических уравнений по полумартингалам. Теория вероят. и ее прим., 1978, 23, вып. 4, с.782-795.

7. Гирсанов И.В. и Фрейдлин М.И. Стохастические уравнения Ито и некоторые их обобщения. Труды У1 Всесоюзн.Совещания по теории вероятн. и мат.статистике, Вильнюс, 1962, с.133-173.

8. Гихман И.И. 0 некоторых дифференциальных уравнениях со случайными функциями. Укр.Maт.Журнал, 1950, 2, 3, с.45-69.

9. Гихман И.И. К теории дифференциальных уравнений случайных процессов. Укр.Мат.Журнал, 1950, 2, 4, с.37-63.

10. Гихман И.И. Стохастические дифференциальные уравнения с частными производными. Качеств.методы исслед.нелинейн.дифферен. уравн. и нелинейн.колебаний. Киев, 1981, с.25-59.-MO

11. Гихман И.Й., Скороход A.B. Введение в теорию случайных процессов. М.: Наука, 1965, 654 с.

12. Гихман И.И., Скороход A.B. Стохастические дифференциальные уравнения. Киев; Наукова думка, 1968, 354 с.

13. Гихман И.И., Скороход A.B. Теория случайных процессов. -т.Ш, М.¡Наука, 1975, 496 с.

14. Гихман И.И., Скороход A.B. Стохастические дифференциальные уравнения и их приложения. Киев: Наукова думка, 1982, 610 с.

15. Диалло М.А. 0 предельном поведении решения стохастического дифференциального уравнения. Теория вероятн.и мат.стат. К., 1985, вып.34.

16. Диалло М.А. 0 предельном поведении решения стохастического дифференциального уравнения со случайным коэффициентом сноса. Киев, 1985 г. (Рукопись деп.в УкрНИИНТИ, 31.07. В5г.,№1бЗа),2>7с,

17. Дуб Дж. Вероятностные процессы. М.: Мир, 1956, 605 с.

18. Дынкин Е.Б. Марковские процессы. М.: физ.мат.гиз., 1963, 859 с.

19. Исакова Т.И. 0 существовании решения стохастического дифференциального уравнения с нерегулярными коэффициентами. -Докл.АН УССР, 1982, № II, с.10-13.

20. Ито К., Маккин Г. Диффузионные процессы и их траектории.-М.: Мир, 1968, 394 с.

21. Клепцина М.Л., Веретенников А.Ю. Об одном классе стохастических уравнений с частными производными. Теория вероятн. и ее прим., 1984, № I, с.154-158.

22. Крылов Н.В. Управляемые процессы диффузионного типа. -М.: Наука, 1977, 400 с.

23. Кулинич Г.Л. Предельное поведение решения стохастичесА Л 9кого диффузионного уравнения. Укр.Мат.Дурнал, 1967, 19, 2, с.119-125.

24. Кулинич Г.Л. О предельном поведении распределения решения стохастического диффузионного уравнения. Теория вероятн.и ее прим., 1967, 12, вып.З, с.548-551.

25. Кулинич Г.Л. Асимптотическая нормальность распределения решения стохастического диффузионного уравнения. Укр.Мат.Журнал, 1968, 20, 3, с.396-400.

26. Кулинич Г.Л. Предельные распределения решения стохастического диффузионного уравнения. Теория вероятн.и ее прим., 1968, 13, вып.З, с.502-506.

27. Кулинич Г.Л. Об асимптотическом поведении распределения решения стохастического одномерного диффузионного уравнения. -Теория вероятн.и мат.стат., 1971, вып.4, с.95-102.

28. Кулинич Г.Л. Асимптотическое поведение неустойчивого решения стохастического одномерного диффузионного уравнения. -Теория вероятн.и мат.стат., 1971, вып.5, с.81-87.

29. Кулинич Г.Л. Об асимптотическом поведении распределений функционалов типа от диффузионных процессов. Теория вероятн.и мат.стат., 1973, вып.8, с.99-103.

30. Кулинич Г.Л. 0 существовании и единственности решения стохастического дифференциального уравнения с дифференциалом по мартингалу. Теория вероятн.и ее прим., 1974, 19, вып.1, с.169-173.

31. Кулинич Г.Л. Предельные распределения для функционалов интегрального типа от неустойчивых диффузионных процессов. Теория вероятн.и мат.стат., 1974, II, с.81-85.

32. Кулинич Г.Л. Асимптотическое поведение неустойчивых ре-тшений систем стохастических дифференциальных уравнений. Труды школы семинара по теории случайных процессов (Друскининкай, 25-30 ноября 1974 г., о.169-201,

33. Кулинич Г.Л. Предельные теоремы для одномерных стохастических дифференциальных уравнений при нерегулярной зависимости коэффициентов от параметра. Теория вероятн.и мат. стат., 1976, 15, с.99-113.

34. Кулинич Г.Л. 0 предельном поведении решений стохастических дифференциальных уравнений диффузионного типа со случайными коэффициентами. В кн.предельные теоремы для случайных процессов АН УССР, 1977, с.137-151.

35. Кулинич Г.Л. 0 предельном поведении неустойчивых решений стохастических дифференциальных уравнений со случайными коэффициентами. Теория вероятн.и ее прим., 1978, 23, вып.1, с.224-226.

36. Кулинич Г.Л. 0 сходимости решения одномерного стохастического дифференциального уравнения к бесселовскому диффузионному процессу. В кн. Аналитические методы в теории вероятн. Сб.научных трудов. Институт математики АН УССР, 1981, с.106-113.

37. Кулинич Г.Л. 0 необходимых и достаточных уравнениях сходимости решений одномерных стохастических диффузионных уравнений при нерегулярной зависимости коэффициентов от параметра. Теория вероятн.и ее прим., 1982, 27, вып.4, с.795-802.

38. Кулинич Г.Л., Петров И.Б. 0 предельном поведении модуля части компонент системы стохастических диффузионных уравнений Ито. Теория вероят.и мат.стат., Киев, 1983, вып.28, с.70-78.

39. Липцер Р.Ш., Ширяев А.Н. Статистика случайных процессов. М.: Наука, 1974, 696 с.

40. Лоэв М. Теория вероятностей. М.: Мир, 1962, 685 с.

41. Маккин Г. Стохастические интегралы. М.: Мир, 1972, 181 с.

42. Мацкявичюс В. Устойчивость решений симметрических стохастических дифференциальных уравнений. Лит.мат.сб., 1982, 22, 3, с.128-134.

43. Новиков A.A. Мартингальные неравенства. Труды школы семинара по теории случайных процессов (Друскининкай, 25-30 ноября, 1974 г.) Вильнюс, 1975, с.89-126.

44. Писанец С.И. Предельные теоремы для процессов диффузионного типа в . Теория вероятн.и ее прим., 1981, 26, вып.З, с.597-606.

45. Портенко Н.И. Стохастические дифференциальные уравненияс обобщенным вектором переноса. Теория вероятн.и ее прим., 1979, 24, вып.2, с.332-347.

46. Пугачев B.C. Условно оптимальная фильтрация и экстраполяция непрерывных процессов. Автомат.и телемех., 1984, № 2,с.82-89.

47. Скороход A.B. Исследования по теории случайных процес-сов.-Киев: Из-во Киевского университета, 1961, 215 с.

48. Скороход A.B., Слободенюк Н.П. Предельные теоремы для случайных блужданий. Киев: Наукова думка, 1968, с.

49. Скороход A.B. Стохастические уравнения для сложных систем. М.; Наука, 1983, 190 с.

50. Тараскин А.Ф. Об асимптотической нормальности векторных асимптотических интегралов и оценках параметров переноса многомерного диффузионного процесса. Теория вероятн.и мат.стат. К.: 1970, вып.2, с.205-220.

51. Турчин В.Н. Об асимптотическом распределении систем линейных стохастических дифференциальных уравнений. Теория вероятн.и мат.стат. К., 1982, вып.27, с.139-146.

52. Цирельсон Б.С. Один пример стохастического дифференциального уравнения не имеющего сильного решения. Теория вероят. и ее прим., 1975, 20, вып.2, с.427-430.

53. Albevelites S., Blanchard Ph., Moegh Krohn R. A Stochastic model for the orbits о f planets and satellites and interpretation of Titus-Bode law. Expos.math., 1983, 1, N 4,p.365-373.

54. Allinger Deborah. A note on strong non anticipating solutions for stochastic differential equations: When is path-wise uniqueness necessary?. Lect.Wots.math., 1982, 937,p.1-5*

55. Arato M. On parameter estimation in the presense of noise. Теория вер.и ее применен. , 1984, 29, 3,с.99-604.

56. Barao John S., Blankenship Gilmer L., Hoprins William E.Jr. Existence uniqueness and asymptotic behavior of solution to a class ofZakai equuations with unboundrd coefficients. IEEE Trans.Automat.Contr., 1983,28, N 2, p.203-214.

57. Barth Т., Kussmaul A.U. The banach fixed method for Ito stochastic differential equations. Ann.Sci.Univ.ClermontFerrand (ex Ann.Sci.Univ.Clermcnt Maht.), 1981, N 19, p.1-8.

58. Bensoussan A. Systems of partial differential equatios and stochastic control.- Mathematiche. 19B1, 36, N 1, p.13-32.

59. Biler P. Stochastic interpretation of potential scattering in quantum mechanics. Lect.Math.Phys., 1984, 8, N 1,p.1-6.

60. Da Prato G. Stochastic differential equations witn non continuous coefficients in Hilb ert spaces. Rend.Gemin.math. Univ.e polytech.Torino .-j- 1982, 39,fasc.spec.conf.stochasticprobi.mech., Torino May 28-30 1981, p.73-85.

61. Emery M. Equations differentiells stochastiqus: la methode Metivier et Pellaumail. Lect.Nots math., 1980, 784,p.118-124.

62. Gorni Gianluca. Synthiesis of stochastic optimal control for a convex optimization problems in Hilbert spaces. Atti. Accad.naz.lincei Rend.cl.sci.fis.mat e natur, 1983, 74, N 3,p.143-148.

63. Ito K. On stochastic differential equations. Pro Jap.Acad., 1946, 1, 4, p.32-35

64. Ito K. On the stochastic differential equations ina differential! manifold. Nagoya Math.J., 1950, 1, p.35-47.

65. Ito K. On stochastic differential equations. Mem. Am.Math.Soc., 1951, 4, p.1-51.

66. Komatsu Takashi. On the pathwise uniqueness of solution of one dimensional stochastic differential equations of Jump type. Proc.Jap.Acad., 1982 A., 58, N 8, p.353-356.

67. Ze Gall J.P. Applications du temp local aux equations différentielles stochastiqus unidimensionnelles. Lect.Nots., 1983, 986, p.15-31.

68. Nakao S. On the pathwise uniqueness of solutions of one dimensional stochastic differential equations. Osaka J. Math., 1972, 9, p.513-518.

69. Na^ita Kiyomasa. No explosion for stochastic differential equations. J.Math.Soc.Jap., 1982, 34, N 2, p.191-203.

70. Padoux E. Equations aux derivees partielles associees a un problème de filtrage non lineaire. Ann.Sci.Univ.Clermont Ferrand, (ex Ann.Sci.Univ.Clermont Math.), 1981, N 19, p.141-147

71. Perkins Edwin. Local time and pathwise uniqueness for stochastic differential equations. Lect.Nots Math., 1981, 920, p.201-208.

72. Rumelin W. Numeral treatment of stochatic differential equations. SIAM J.Numer.Anal., 1982, 19, N 3, p.604-613-:

73. Watanabe S. a nd Yamada T. On the uniqueness of solutions of stochastic differential equations. J.Math.Kyoto, 1971, 11, 1, p.155-167.

74. Wiener N. Differential space. JfMath.Phys., 1923, N 2, p.131-174.85« Wiener N. The homogeneous chaos. Amer.J.Math., 1930, 30, p.897-936.

75. Yamada T. and Watanabe S. On the uniqueness of solutions stochastic differential equations. J.Math.Kyoto, 1971, 11, p.155-167.

76. Yamada T., Ogura Y. On the strong comparison theore -mes for solutions of st ochastic differential equation. Z. Wahrscheinlichkeitstheorie und Verw.Geb., 1981, 56, N 1, p.3-39«