Исследование по стохастическим уравнениям и их приложения тема автореферата и диссертации по математике, 01.01.05 ВАК РФ

Академия наук Украинской ССР Ордена Трудового Красного Знамени Институт математшш о

На правах рукописи

ШМАН Илья Иосифович

УДК 519.2

ИССЛЕДОВАНИЕ ПО СТОХАСТИЧЕСКИМ УРАВНЕНИЯМ И ИХ ПРИЛОЖЕНИЯ

01.01.05 - теория вероятностей и

математическая статистика

Автореферат

диссертации на соискание ученой степени ' доктора физико-математических наук

Киев - 1989

Работа выполнена в отделе математических проблем упругости и пластичности и в отделе теории вероятностей и математической статистики Института прикладной математики и мзханпки АН УССР,

Официальные оппоненты: академик АН 'ЛитССР ГРИШШОНИС Б.Й.,

доктор физико-математических наук, профессор ХАСШШСКИЙ Р.З.,

доктор физико-математических' наук, профессор ПОРТЕНКО Н.И.

Ведущая организация: Математический институт .

им. В.А.Стевдова АН СССР

Защита диссертации сотоптсл " " ±9 г. в

_ часов на заседании специализированного совета Д 016.50.01

при Институте математики АН УССР по адресу: 252601 Киев 4, ГСП, ул. Репина, 3.

С диссертацией можно ознакомиться в библиотеке института.

Автореферат разослан "_"_" 19 г.

Ученый секретарь специализированного совета

ЛУЧКА А.Ю.

ОБЩАЯ ХАРАКТЕРИСТИКА РАБОТЫ

Актуальность теш.Диссертация посвящена исследованию стохастических дифференциальных уравнений Ито и их приложений к стохастическим уравнениям с частными производными. В 40 -х годах К.Ито заложил основы теории стохастических дифференциальных уравнений (СДУ), которая в настоящее время служит мощным аппаратом, позволяющим решать широкий круг задач,таких как проблемы теории детерминированных уравнений с частными производными, задачи статистики случайных процессов, физические задачи динамических систем с флуктуирующими параметрами и др. Современное состояние теории СДУ связано с работами И.И.Гихмана и А.В.Скорохода, Н.В.Крылова, Р.З.Хасьминского, А.Д.Вентцеля, Б.И.Григелио-ниса, Н.Икеда, Ш.Ватанебе, Д.Струка, С.Варадана, П.Малявена, Ю.А.Розанова, А.Н.Ширяева, Ю.Л.Далецкого, М.Метивье и многих других советских и зарубежных математиков.

Благодаря возможностям методов СМ стало актуальным ослабление классических условий Ито,налагаемых на коэффициенты,при которых уравнение,с одной стороннике уходило на "бесконечность" за конечный промежуток времени, с другой стороны,-это ослабление условия Липшица по фазовой переменной. Развитие второго направления привело к понятию слабого решения и слабой единственности решения. Здесь наиболее существенные результаты получили А.В,Скороход, Н.В.Крылов, Д.Струк и С.Варвдан, Х.Танака, Н.И.Портенко, Отметим такке работы И.В.Гирсвнова,являющиеся ключевыми для широкого клаоса задач,решаемых в рамках слабых решений СДУ. Зада-чя^связанные с отсутствием "взрыва" у решений С,ЦУ, рассматривали В.Феллер, Р.З.ХасьмЕнский. В связи с задачами устойчивости решений СДУ Р.З.Хасьминским строились примеры уравнений,коэффициенты которых удовлетворяли условиям типа коэрнитивности и для которых возможно построение функции Ляпунова,гарантирующей отсутствие "взрыва" у решения. Дальнейшие успехи в этом направлении шли одновременно с построением теории СДУ в бесконечномерном фазовом пространстве. Первые результаты в этом направлении с условиями типа Ито были получены В.В.Бакланом, Т.Л.Чантладзе, Ю.Л.Далеиким. в дальнейшем исследования в этом направлении интенсивно велись в разных странах,и их результаты в настоящее время имеют не только теоретическое, но и прикладное значение. В 80-х годах гз работах Э.Парду, М.Вяо, Н.В.Кгылова и Б.Л.Розовского быди поручены результату относящиеся к СДУ с неограничен-

ними операторными коэффициентами и к СДУ с частными производными параболического типа. В работах Э.Парду использовалось ко-эриитивности,позволяющее "априорно" утверждать об отсутствии "взрыва" у решения. Отметим, что в применении к задачам СДУ с частными производными разрабатываемые ими функциональные методы удобны для построения "обобщенных решений, гладкость которых мокко повысить,используя технику,опирающуюся на теоремы вложения. Другой подход к детерминированным нелинейным задачам с частными производными параболического типа связан с работами Ю.М.Благовещенского, М.И.Фрейдлина, Х.Танаки, Я.И.Белопольской и Ю.Л.Да-леокого. При этом в сравнении с функциональными методами не требуется невырожденность главной части уравнений. Однако, в этом случае условия гладкости коэффициентов . . более несткие.

Линейные классы СДУ с частными производными,используюцих в качестве характеристик решения обыкновенных СДУ рассматривались Н.В.Крыловым, Б.Л.Розовским, Х.Кунтой, П.Малявеном. Как уже отмечалось, методы СДУ могут быть использована в задачах статистики случайных процессов. В этой связи рассматривались в работах стохао!ические уравнения с частными производными А.Н.Ширяева, Р.Ш.Литоера, Б.И.Григелиониса, Лионса и других.

С начала 70-х годов получило развитие многопараметрическое стохастическое исчисление. Первые результаты в этом направлении получили Ж.Уолш, И.И.Гихман, Т.И.Царенко, Л.Л.Пономаренко, Р.Каире ти. В настоящее время интенсивно развивается многопараметрическая теория мартингалов* В атом направлении ряд существенных результатов получен П.Мейером, Э.Вонгом, М.Закаи, Ж.Мапиотто, МДеду, Д.Нуалартом,

Ряд важных результатов по теории стохастических уравнений с частными производными с многопараметрическими^белым шумом был получен Ю.А.Розановым. Цель работы. Изучение некоторых новых условий на коэффициенты СДУ, которые гарантируют отсутствие "взрыва" у решения уравнений. Построение методов решения задачи Когои для нелинейных стохастических уравнений о частными производными параболического типа с вырождающейся главной частью.

Методика исследования. В работе применяется современнее ме-тодн теории вероятностей, теории случайных процессов, стохастических дифференциальных уравнений,

Для эгузяч,в которлх главным результатом является определение условий на коэффициенты,при которых решение уравнения не ухорит на "бесконечность" ислояьзуютсн методы СДУ Ито, техника

слабых решений и "априорных" оценок. Для задач^связанных с двупараметрическим винеровским полем,развиваются методы Ито для исследования стохастических интегралов и уравнений. Для линейных стохастических уравнений с частными производными параболического типа с коэффициентами 'типа "белого шума" применяется техника преобразования фурье л СДУ, Нелинейная задача Кошд для стохастических параболических Еырондаицихся уравнений изучается нй основе лркиеннения методов обыкновенных СДУ, дифференцирования решений эволюционных систем по начальном данным , и некоторые дискретные схемы суммирования стохастических процессов,приводящих в пределе к уравнениям с частными производными. Для механических приложений с помощью корреляционной теории изучается предельное поведение решения задачи колебаний механической системы для быстропеременного внешнего воздействия.

Научная новизна. Основными научными результатами являются следующие:

1. Установлены ноше условия на коэффициенты при которых решение СДУ не уходит на бесконечность за конечный промежуток времени. Этот результат доказан для конечномерных и бесконечномерных пространств, а такае а случае силышх или слабых решений СДУ.

2. Получена формула Ито для двумерного стохастического дифу ференцвзлэ.

3. Доказана разрешимость задачи Кося для стохастических уравнений параболического типа второго порядка с Еыроаданзейся "главной" частью. Для дияейпых уравнений в случае. иоГда коэффициенты уравнения не зависят о? фазовой переменной,рассмотрев случай, когда коэффициентом при вторых производных от неизвестней функции мох-у. слуни-ть функции типа "белого" вума. Для полулинейных уравнений доказана "классическая" разрешимость и единственность решения задачи Коши, получены оценки производных решения. Для квазилинейных уравнений доказано существование и единственность непрерывного, а.следовательно, обобщенного решения в полуполосе. Получены "априорные" оценки производных решения. Показана связь между "классическими" решениями стохастических уравнений о частными производными и эволюционной система вдоль характеристик, являющимися решениями обыкновенных СДУ,

4. Исследовано асимптотическое поведение колебаний систем

с распределенными параметрами, когда внешнее воздействие является бнетрепеременнкм случайным полем.

5йстоверность„Е|эультато8. Все результаты диссертвп^к сфер«

мулированы в виде лемм и теорем и полностью доказаны. В последней главе диссертации теоретические еыводы проиллюстрированы примерами.

Теоретическая и практическая значимость.. Работа носит теорг тический характер. Результаты диссерташи^сформуяированные в виде общих теорем^могут быть использованы для анализа ряда приклад них задач, где необходимо учитывать многопараметричкость шумов. Стохастические уравнения с частными производными возникают при исследовании случайных вибраций механических систем, в задачах статистической физики и популяиионной генетики.

Апробация работы и публикации. Основные результаты диссерта нии докладывались на Ш,1У Международных Вильнюсских конференция? по теория вероятностей и математической статистика (Вильнюс,IS8£, 1985), 1У Советско-японском симпозиуме по теории вероятностей и математической стамстике, (Тбилиси,I9SI г.) ХШ Всесоюзной шкояр; коллоквиуме по теории вероятностей и математической статистике • (ВакурианкД979), I Всемирном конгрессе общества Я.Бернулли (Ташкент, 1985), Республиканских конференциях по теории стохастических дифференциальных уравнений (Донецк,1902,1988), на семинарах по ; теории вероятностей и математической статистике при Математическом институте 51\!.В.А.Стеклова All СССР, МХУ, Институте математику АН УССР, Институте проблем передачи информации АН СССР, Институт те математики и кибернетики АН Лит ССР, институте прикладной натс-матпш и механики All УССР.

Основные результаты опубликованы в работах Cl-бЗ .

Структура и объем работы. Диссертация состоит из введения, шести глав и списка литературы, содержащего 84 наименования. Общий объем диссертации - 265 страниц, объем без описка литература, - 257 страниц.

СОДЕРЖАНИЕ РАБОТЫ

В введении диссертации дана краткая историческая справка вопросов,обсувдаемых в диссертации,и краткое описание результа-тов,выносимых на защиту.

Глава I посвящена ослабления "классических" условий существования решений СДУ о неслучайными коэффициентами.

Так, s первом параграфе, для стохастического уравнения Ито ■fc t ^ + ) + (I)

" 'о

в конечномерном евклидовом пространстве условия

1Ы,х)и + ,

т

д

У 2**4? <с>о (2)

1,1 ОС, д

<* |х"Ч<5 д с

шых положительних постоянных Ь и э

о

при фиксированных положительных постоянных С и ® ^гарантируют существование конечного первого момента у решения уравнения (I) на любом конечном интервале времени. Этот результат получен здесь для сялышх решений СДУ.

Второй параграф посвящен построению слабых решений конечномерных уравнений Ито в случае коэрцитивных коэффициентов. Сильные решения уравнений с локальным условием Липшица или монотонности изучали Э.Парду, Н.В.Крылов и Б.Л.Розовский. Условия,которые гарантируют конечность второго момента у слабого решения уравнения (I),имеют вид

|Ы,сс>и I С1+ ¡ал'-1), (з)

здесь: 1x1 - норма вектора в К- ,11С Ц - норма-след матрицы С- , р~>4.а - фиксированные полоаи-

тельныэ постоянные. Этот результат получен для непрерывных функций » СсЬ.Х) • а затем с помощью абсолютной замены меры переносится для измеримого коэффициента сноса. В этом ге параграфе построено слабое решения уравнения (I), когда коэффициенты непрерывны и удовлетворяют условиям (2). Доказательство теорем этого параграфа используют методы и некоторые результаты работ Д.Струна и С.Варадана, А.В.Скорохода и Н.В.Крылова.

Третий параграф обобщает излояенные выше результаты на случай гильбертовых пространств,

В четвертом параграфе строился слабое решение стохастического уравнения в гильбертовом пространстве с непрерывными■и коэрцитивными коэффициентами, Пусть }-[ и К. действительные сепарв-бельные гильбертовы пространства, - ядерный снмосопрякенннй с:тратор в простр-ктсве 1С , ~ гильбертово пространство

операторов Гильберта-Ш?«ад?о,действукхцих из £ в Н • Теорема I. Допусти,», что для неслучайных операторов Ш .'^определенных ня Ц0( + °о) * Н и оо зпичениямя в И

н ЬрСХ,И) соответственно, существует вполне непрерывный, положительно определенный, самосопряженный в пространстве Н оператор , для которого

у11ЭГж/+ «ЗС С-1.0С1 Ир + *

с неотрицательными постоянными , % , ^ и р "2 4 .

Тогда для произвольного неслучайного элемента %о , принадлежащего области определения оператора X"1, существует вероятностное пространство, на нем винеровский процесс чК/С"Ь) со значениями в гильбертовом пространстве К и ядерным ковариационным оператором С) , случайный процесс ) , удовлетворяющие стохастическому уравнению с коэффициентом сноса Ь с^х):; оператором диффузии • Отметим, что первый результат о построении сла-

бого решения СЛУ в гильбертовом пространстве принадлежит А.В.Скороходу, который рассматривал случай непрерывных линейно ограниченных коэффициентов. Следующий параграф посвящен построению слабого решения СДУ в гильбертовом пространстве, не имеющего конечного момента 2- го порядка. Здесь получены два результата. Первый, состоит в обобщении конечномерного результата первого параграфа. Второй посвящен построению слабого решения для уравнениями котором оператор диффузии может быть неограниченным в гильбертовом пространстве |-{ . Приведем второй результат. Пусть V оепа-рабельное банахово простраство и "V * ему сопряженное относительно скалярного произведения в Н . для которых вложения Ус Ц С У* плотны и непрерывны.

Теорема 2. Допустим, что неслучайные операторы , СД*)

определенные на СО , + х V , принимающие значения в || и ¿.дСК, Н1) соответственно, непрерывны по ^ и слабо непрерывна по VI У , удовлетворяют условиям

Й7'1 < Ьсь !Х'у 1у) ,

т м 1 -1а

5 21, ^Р НО2СксЬ}си<-о о 1-< к ' ■ .

где и соответственно вполне непрерывный и лдорныИ

пер агор з Н , ^ $1 , §;>о , 1->0 . Тогда

а некотором вероятностном пространстве существуют винеровский роаесс со значениями в гильбертовом пространстве К. и ядерным овариационным оператором С1 , случайный процесс со значениями банаховом пространстве У , являющиеся слабым решением СДУ о сносом 8>(Л,у) и диффузией С.

Вторая глава посвящена стохастическому .¡исчислений с двупа-1аметрическим "белым шумом" В первом параграфе дано определение [ простейшие свойства стохастического интеграла по двумерному шнеровскому полю. Далее приводятся разложения стохастических ин-■егралов в ортогональные ряды. Причем задача для определения соб-¡твенкых функций ковариации является спектральной задачей Штур-!а - Лиувиля и её двумерным обобщением. Так, если.соответствую-щм образом измеримая случайная функция £(ос,1р , определенная з квадрате ±1 х [.0,1] , такова, что 1 1

0<р.4 И М ^сх,^) Ых^

го двумерный стохастический интеграл

разлагается в ортогональный ряд Л? ¿„^^ ср„ (, сходящийся в среднем квадратическом равномерно по ее и у на ЗД'Го,!] . Здесь, и 1уг ( собственные

функции и собствешше числа задачи

с краевыми условиями

л, ^нСЭС,*) _

чио^ФДос.о)- =0|

= (Х.^У' • ^ € [0,13*1°,О •

Второй параграф второй главк посвящен еыводу формулы Ито для двумерных случайных полей диффузионного типа, имеющих регулярную и "обобщенную" компоненты типа двумерного "белого шума£ Формула Ито для двумерного случая принципиально отличается пт счоего о«?«-.

лога для обыкновенных стохастических дифференциалов. Это связано с тем, что в двумерном случае в формуле Ито появляются прои водные третьего и четвертого порядков и, кроме этого, возникаю так называемые стохастические интегралы 2-го рода.

Теорема 3. Пусть - четырежды непрерывно дифференци-

руемая функция и

¿чссс.и)- ЧЧХ) + Ф(У) - Н>(0) 4

оо ос'

где ср(-х) , фф .«¿(ж,» с вероятностью I ограничу

ные, измеримые относительно соответствующих потоков <5 -алгеб] случайные функции. Тогда

+ 41^)1-41:4(0)14 С г. ,

где

эдеоь, интегралы берутся по прямоугольнику [о,ос]х [о, ;

Ыя.ч)-\\а^Ъсми^^* ЪЧ1^^;

СО О °

винеровские процессы У/^сх) , и винеровское поле у)

взаимно независимы и

стохастический интеграл с дифференциалом понимается

как сумма двух соответствущих поддайте гр&шшм заражениям

Стохастические интегралы второго рода по вмнеровской пере рассматривались независимо также 8 работе Вочга и Закак, Гнхман

Пясецкая, Каироли и Уолш, Шевалье изучали аналогичные вопросы ля двупараметричеокях мартингалов. Формула Ито для двумерных роцессов получена в работах Аллаина, Броссарда, Шевалье, Вонга Закаи.

В третьем параграфе доказывается существование и единствен-ость решения стохастической задачи Itypca

z 1

■+ OU-X.u.u.) —- + feci.tf.u) —= C.l«,4,iO«S(* 'о* ~е>зс о '3' '

! заданными условиями на характеристиках асх,о")=цчч0 , u.cc^)_ ( . (5)

|яя задачи (4), (5) найдено интегральное представление, в кото-зом решение в точке 6 [о.тео)* представляется в виде

штегралз ло контуру и двумерных интегралов по прямоугольнику toxi * t-0,^3 • Исходя из этого представления, доказывается существование и единственность сильного решения уравнения, хог.да коэффициенты удовлетворяют условию линейной ограниченности я условию Липшица по фазовой переменной. В следующем параграфе три естественных предположениях доказывается непрерывная зависимость решения от коэффициентов, а также непрерывная дифференци-руемость в смысле Гято в среднем квадратичном функционалов от решения по фу шагай, задающей краевые условия (5). Отметим, что в презпгтствующих работах Каироли,. Царенко, Пономаренко рассматривался случай, когда в уравнения (4) отсутствовали члены, содержите первые производные от неизвестной функции.

В третьей главе рассматривается линейное параболическое утонение с коэффициентами типа "белого шума" п не зависящими от фазовой переменной. Отличие рассматриваемой задачи от более ранних забот по линПнш стохастическим уравнениям с частными производными состоит в том, что функция типа "белого шума" могут стоять яри старших производных. При этом, вообще говоря, решение не имеет конечного момента второго поря ¡Уса. Рассмотрим задачу Ноши, Которую в дифференциальной записи формально mof.no представить в виде

Dt • (gj

-t ¿aid>) + cd) x) ,

u^.ol) = cpex) ( i>s ос e йЛ

H

?JLu)

Здесь для двух матриц одинаковой размерности А = lift^il fo -- по определению положено -1Qy II '. Мат-

ричный векторный wlUd) и скалярный vnt) винеровские

процессы предполагаются взаимонезависимыми. Под решением задачи (6) на интервале 0>,Т1 понимается измеримая по совокупности аргументов случайная функция U(tfoe,ii>) , непрерывная по t дважды непрерывно дифференцируемая по х в норме

Wvl\\l- M Wf \ad,x)\ ,

■fc xeR"

удовлетворятся проинтегрированному на промежутке tS, \ 1 равенству (6) с вероятностью I для всех Л: t. 1<=>7П .

' Теорема 4. Предположим, что коэффициенты уравнения (6) -неслучайные функции;

«р компоненты матрицы , вектора Ьс4;> , функция е(Ъ абсолютно суммируемы на Оь Д 1 ;

компоненты матрицы dUi), вектора fi-A), функция cil суммируемы с квадратом на СS Tl »

«,) матрица Ad,SI компоненты которой .

Ct '

5sat)| (г) Аг t при к ,

'w я

......при

s

строго пояснительно определена.

Тогда для произвольной неслучайной абсолютно суммируемой функции Ц>(Х) существует решение задвчи (0.6) и

и I ^ьсс+.а) , *

tt-i

В дополнении к этому приведены усяовия^гарантирукдае. огрзничон-ность решения в норме

А А.

Далее ослаблено условие строгой полокительной определенности матрицы у\л1,$) . В условиях теоремы 4 при достаточной гладкости к абсолютной суммируемости производных начальной функции (■((Х) при неотрицательной определенности матрицы >,(£$) имеем

.Для задачи (6) вводится класс функций, в котором решение её едитственно. Если выполнены условия теоремы 4, а функция !<^(ос)| убывает на бесконечности быстрее при

любом «1=1/1.- , то решение принадлежит классу единственности для задачи (6).

Четвертая глава посвящена задаче Коши для полулинейных стохастических уравнений параболического типа. Линейные и нелинейные системы подробно изучались Крыловым и Розовским, Гихманом, Григелионисоы и Микулявичусом, Висмутом и Мишелем, Малявзном, Купитой, Вио, Парду и др., которые при построении решения нелинейных уравнений использовали прямые методы математической физики. В этом случае существенную роль играет условие коэрцитив» ности, обобщающее строгую положительную определенность главной части для линейных уравнений. С другой стороны, хорошо известны и достаточно широко используются вероятностные методы построения непрерывных решений детерминированных квазипнейной задачи Коши,не требующих невырожденности матрицы при вторых производных. Этим вопросам посвящены работы Благовещенского, Танакн, Фрейдлина, Белопольской и Далепного, Нисио и др. Развитию этого направления для стохастических уравнений посвящены четвертая и пятая главы. Отметим заметку Баклана, который рассмотре: одну модель полулинейного стохастического уравнения. Кроме з'.'ого, следует сказать, что стохастическим уравнениям с частными производными в последние годы уделяется большое внимание. Это объясняется и теоретическим интересом к важностью с точки'*зрения возможных приложений. Пусть <£,<$) = €,(5; - решение СДУ

с* *

= X + $ &Сг,£,<ч;»сЬ + £,(*>)с&(г) (?) * * -

где стохастический интеграл з правой части понимается как обратный интеграл Иго. Рассмотрим эволюцию функции К-С"Ь,0С) вдоль траектории,определяемой решением уравнения (7)

фсгдО'Л.Х)) +

где стохастический интеграл в правой части - обычный интеграл йто. Отметим, что с физической точки зрения и_(Д ос.) может играть роль локального параметра среда, например, энергии или импульса частицы из которых состоит физическая среда. Обычный

методом снатнх отображений устанавливается существование и един-ственноотв решения уравнения (8) в случае, когда неслучайные функпиа Ц>(0С) , ^(Л.х.и) I измеримы линейно ог-

раничены и удовлетворяют условию Липшица по переменной и . Затем, предполагая дополнительную гладкость системы (7),(8)адоказывается, -»то у решения соответствующим образом повышается гладкость. Далее доказывается непрерывная зависимость решения от коэффициентов и существование производных первого и второго порядков у функции ИЙ.СС) по переменной ее , а также устанавливаются условия, обеспечивающие стохастическую непрерывность или гельдеровость указанных производных.

Одной из причин^сишулирующих изучение систем вида (7),(8)> является возможность использования "стандартных" вероятностных методов для получения общих резельтатов о разрешимости стохастических параболических уравнений с вырождающейся главной частью. Пусть функция И-С^.ОС) является решением уравнения

Л

ил*,«)- ^(о-Д.Я)) 4 усг.^^ос);^,^;!,«)) ск + (9) 1 $ ад* со

о 3

где ¿.СЪ'Д.'Х) - решение уравнения (7).

Теорема 5. Предположим, что коэффициенты уравнения (7) непрерывны по и при любом -к & [о ГП произво л ные первого и второго порядков от коэффициентов (7), (9) удовлетворяют условию Гельдера с показателем ^ б (о, ¿1 по переменным<х и а . Тогда ф^щеция, VI /X) является классическим решением уравнения

^ ч I "Зай,«) л

А ^ и.($Х) Д

Волее общий результат получается при рассмотрении эволюционной йист

Ъ I £

^СьуЬ.х)^ х + Ц х» ок- 2:

5 + 5 (10) и.С+,3:)= ^(¿/о-ДосУ) + ^^.«ЛИ^МС*,«*;* х»)с!г +

Здесь, \л/^с"^") , I ~ независимые между собою винеровс-

кие процессы со значениями.в И ; , йУЦ. \ыа)со.^ гед)>

V ' '' 1

Теорема 6. В условиях теоремы 5 функция УсЬ/*-) является решением задачи ^

Vft.xis УС$рС) +

+ VCs,<X)+&S,X,\/(s,X))}cJs + (П)

+ (с4(л,х)сЦа) ^ ^.х) ОЦС*) ,

Г5е 17 - С |Х1»• • • , С-СЪ/ОС^Х) - ^ с Е С5.Х)с* С V*>.

Заметим, что по каждому решению задачи Коши (II) можно восстановить соответствующую эволюционную систему (10), имеющую при рассматриваемых предположениях единственное решение. Изменим теперь вип эволюционной системы (В). Пусть фунгщия V (Чх) - реш-эние уравнения

•Ь

ус4,г)= НС^СРЛХ)) +

.(12)

гдз - решение уравнения (?). При аналг тачных теоре-

ме 5 предложениях относительно коэффициентов уравнения (12) можно показать ее разрешимость и установить те же свойства у решения, что и в случае уравнения (8). Более точно, если выполнены условия теорем« 5, то существует и единственно "классическое" рошеняе зпяэч'л Коши

14

** "dv (sX) VC.ÍXU С^ССС) + So ^¿r- +

ves,0c") А _ (13)

^TTv. CÍKCS,X)C:K(S,X)l-csa VCS,X)^S-

- S ves.oc^dwes)

где функция V ) является одновременно решением уравнения (12).

Пятая глава посвящена задаче Коши для квазилинейных стохастических уравнений параболического типа. В отличие от полулинейных уравненийунеизвестная функция Vit,'!.) может входить в уравнение характеристик (7). В соответствии с детерминированным случаем оказывается, что в отсутствии достаточно большой диссипации решение носит локальный по времени характер.

Пусть \Х/. (i) . J-V*- - независимые винеровские процессы со значениями в (T<i и См?! оИ > di) .Рассмотрим квазилинейную эволюционную систему .

-t

я + S ÜCWV.t сс), vOi.^ív.taWoh

t

* ^ у ал^^Я))^] CIWTÍD^

(14)

•fc

"о

■с ч

где осé , о í. ^ с i ¿T , vcs.x) - М {a(S ,х) I3Í', ) ,

аь - минимальная Со - алгебра, порожденная приращениями динеровского процесса \HL et) , i - d-,2 на интервале д Под решением система (14) на полуинтервале Со,Т> » Т >о понимаем пору случайных функций U.,0t) и ¿^(s-Дз:) опреде-

ленных при О б $ 4 4 ¿Т измеримых по совокупности

переменах, согласованных с потоком О - алгебр V%%" у = < : 11 Удовлетворяющих ра-

венству (14) для всех с вероятностью I.

Теорема 7. Пусть неслучайные борелевские функции ч?(ж) , I(А,Т,и.) 00 значениями в й.г" , функция ои4,9С,ц) со значениями в ЙЛ , матричные функции $ (.4,ос,и.) размерности с!1 « п. и функции &(4./х,ии СЬ^^.х.ц), ,1,4)) ,

где имеют размерность с^ * лг , , равномерно

ограничены и удовлетворяют условию Липшица по переменным ос. и

и. . Тогда существует интервал времени Со ) , "Т ■> О на котором система (14) тлел единственное решение.

В условиях теоремы стохастические интегралы в правой части системы (14) определены и измеримы по совокупности переменных. Прежде чем установить связь мекду решением системы (14) и соответствующей задачей Кош,следует выяснить характер гладкости полученного решения. Заметим, что для полулинейной системы этот вопрос мояно было решить с помощью обычных методов СДУ. Система для определения выражений Д - ~Ри.с4,х) > \

= " ' * >9*

' получаемая формальным дифференцирование?.; угавне-

ний (14) по переменной £ » имеет более слоаный вид, ч. и (14), и доказать её разрешимость обычными методами не удается. Поэтому, говоря о производных,будем подразумевать, что они носят априорный характер. Если все же существование произзЬдных

ис1) (Л Л) ялй доказано каким-либо способом,

то доказательство существования производных высших порядков не составляет существенных затруднений а соответствуйте эволюционные системы для их определения аналогичны (14), к гсэто-. му все доказательства сводятся, в принципе, к теореме о непрерывной зависимости решения от коэффициентов. ^

Априорные оценки для функций и(1>(•) и «£,(•) моа-но получить.используя теореад 7. Однако для получения априорных оценок старших производных необходимо ввести в рассмотрение уразнения,которым функции ас1) и удовлетворяют. Допустим, что существует такая функция и1П(4,ЭС) , что

р о-■ , ( исЛ,**^«) - ис4;х> <<ь \

^Р ---Чг^--—— ~ и( и,Ц=о (15)

й* -9 0 3- < дсс >

при любом 4 из некоторого подинтервалаСо.Т) , определенно-

го в теореме 7. Далее, с помощью теоремы о непрерыв\ий зависимости решения (14) от коэффициентов (теорема 5.2) и щедполоцения (15) в случае непрерывной . дифференцируемости коэффициент ова с! а, ц) и доказывается существование среднеквадратической про-

изводной (лемма 5.1), При этом выводятся уравнения,ко-

торым функции аи)с{,х) и е,а1$'Д,з:) удовлетворяют. В лемме 5.2 доказывается, что если производные коэффициентов системы (14) непрерывны по Гельдеру' по переменным <х и и. с показателем ^е СО, 11 . тс при любом р 1

ш . и) , ^

М\

Ьа-чГ*-

а>, р а Сх,х) - и. с*,^)

а

¿. РО

Далее иссяе,дуются вопросы,связанные с существованием производных высших порядков. Пусть существуют непрерывные в среднем функции

иЯ-'Ск.Х!

¿ГЬ-,! х) ,

для которых при любом

р^ 2.

а -коэффициенты системы (14) обладают непрерывными и ограниченными производными второго порядка по а: и и . Тогда существуют случайные функции 4 , ,

^ ' -а** 1 "ьх.1

удовлетворяющие соответствующей системе уравнений, получаемой из

(14) формальным дифференцированием по параметру х , при этом

Если гладкость коэффициентов повышается, то соответствующим образом повышается и гладкость у решения. Установим теперь связь мевду решением системы (14) и квазилинейной задачей Кош. Рассмотрим систему,отличающуюся от (14) тем, чтд у неё коэффициент ^ ае зависит от Я , а стохастический интеграл по мересЬх/^ заменён на обратный стохастический интеграл Ито. Для системы такого вида при достаточной гладкости функций а(41<£') и X) и коэф-

фициентов системы (14) доказывается, что функция Vti.il) являете;' "классическим" решением задачи Коши

^а.ос)- Ф(сс) + $ [^-—г'акъ^съ.«^

О О л*

„-----1 .

I ix ks^.vts,«) Ъ cs,x,vt$,xrt

i * t

О й )C о

где г *

u<> k.v) ?>*с$,х ,v) = 21» ^cs.osviftjcs.x.v) , v- i

RTx^-HUcsx.vcs.«» } = H&KX.vcs*)) .

Для получения еще одного результата рассмотрим,наряду с уравнением харак'геристики(входяишм в систему (14) уравнение эволюции вида ^

mix)-- и + S Mtfu^uito:\\nr¿toixm^

о

t

4 [ iH^CT^Ct-.tx), t

При достаточной гладкости коэффициентов эволшиоап ift системы и функций uti.a:) я Д^х) функция uct,x> является решением квазилинейной задачи Коши

■fc m

о V-.I "DCCt ' '

о

В качестве примерагиллюстрирующего общие методы, в конце главы рассмотрена эволюционная система, соответствующая задаче Кош для детерминированного уравнения Бюргерса. Для этой часто встречающейся в приложениях задачи получена-оценка длины интервала времени, па котором эволюционная система имеет единственное Липасш-«епрерияное решение. Более точно, в случае всюду конечных внешних

сил и начальных условий величина полуинтервала, на -.;оторсм существует непрерывное по Липшицу решение,зависит от постоянных Липшица, начальных условий и внешних сил. Для решения задачи приведены априорные оценки решений.

В шестой главе рассмотрена корреляционная теория случайных колебаний упругих сред,находящихся под воздействием быстроизменя-ющихся внешних воздействий.

Пу с .'ь функция и.с1,Х) , "Ь^о , СС^б^Я* определяющая состояние среды}удовкетворяет уравнению

^ ^ и 4 ^С^Л* ^ (16)

где I-« - линейный неслучайный оператор 2~ го порядка дивергентного вида с невырожденной квадратической формой, с измеримыми и ограниченными коэффициентами; «Е^ох.-Ь) - фушшияа характеризующая воздействие внешних факторов на среду. Предполоким, что область (у - конечна, а на её грашгао "ой заданы однородные

граничные и начальные условия

; = {17)

Решение задачи строится методом Фурье в виде ряда по обобщенным собственным функциям оператора Ь . Доказывается, что решение явяляотся при фиксированном 4 сходящимся рядом в пространстве ( (у ) с нормой

б т J

если внешнее воздействие таково, что ¿.о».

Затеи исследуется поведение решенияИ(ссД) в случае, когда случайное поле является быстропеременным пр времена с ос ,Ь ) = = '¿(ж/^) , где Н - большой параметр, а ^(тД.) ~ стационарная по времени случайная функция со средним О и корре^ ляционной функцией

Оо

Далььайщие исследования предельного поведения решения опираются

на следующий результат. ¡

Лемма. Пусть функции £с<х) , Д(х) , í-cее) , - абсолютно суммируемы и на каждом конечном интервале имеют ограниченную вариацию, функция непрерывна в точке х = о . Тогда

m. ^ 5-TTjf (o^gco) .

С помощью этой леммы доказывается сленующая теорема. Теорема 8. Корреляционная функция поля ^

где асиД "> решение задачи (16), (17), в котором внешнее возцейевие является высокочастотным по времени полем, сходится к функции

^Z, KkIO-> --j- Ce** Ct-S) .

Здесь CfitC'X^ , - собственныэ функцп и собственные

числа оператора а

й Д-^Л» •• • .В дальнейшем аналогичные метода иршзняются к конкретным механическим системам с распределенными параметрами, в которых оператор L имеет четвертый порядок. Во втором

параграфе разбирается вогтрос об асимпготичеоком поведении функции , описывающей поперечные колебания точек стержня

при воздействии быстропеременных по времени или по пространствен- ■ ной переменной внешних сил.

Теорема 9. При высокочастотных воздействиях на стержень внешней силой вида ^(.тс, W-fc) , гае - стационар-

ный по времени случайный процесс, обладающий интегрируемой и не-, прерывной в 0 спектральной плотностью, поперечине колебания имеют порядок . При этом корреляционная функция поля

\ÍA/ u,j<X,"t) асимптотически близка при л/>>4 к корреляционной функции случайного поля

£ w ~г г^Л),

где ^(ít. t) - случайные функции с известными корреляциенними зависимостями, a t - длина стержня. Аналогичный анализ праеоден

для прямоугольной в плане оболочки с постоянными ;ривизнами и о условиями свободного опирания на краях.

Основные положения диссертации опубликованы в следующих работах:

1. Пгаган ь.И. Колебания стержня при случайных высокочастотных воздействиях// Изв. АН СССР. Механика твердого тела.- 1974.-Выл. 7,- С. 145-153.

2. Гихман И.И. О формуле Ито для двупараметрических стохастических интегралов // Теория случайных процессов.- 1976.- Вып.4,-С.40-49.

3. Зйхмар И.И. Некоторые разложения стохастических интегралов // Поведение систем в "случайных средах.- Киев: Ия-т кибернетики АН УССР. 1976.- С.16-22.

4. Подан И.И. Асимптотическое поведение решений смешанной задач? описывающих случайные вынуЕденные колебания // Прикл. механика.- 1977.- 13, К II.- С.18-24.

5. 1йхман И.И. Об одной квазилинейном стохастическом цифферен-• циальном уравнении в частных производных // Теория случайн.

процессов.- 1977.- Вып. 5.- С.21-27.

6. Гихман И.И., Местечкина Т.М. Задача Ковш для параболического уравнения с коэффициентами типа "белого шума" // Там же.-1987.- Вып. 15.- С. 19-28,

7. Гихман И.И. Квазилинейные эволюционные системы с усреднением // Теория вероятностей и ее применения.- 1989.- 34, вып. 3.-С, 465-478.

(3. Гихман И.И. Стохастические уравнения и связанные с нрми полулинейные системы.- Донецк, 1989.- 50 е.- (Препр./АН УССР. Ин-т прикл. математики и механихш; 89.11).