Исследования по теории стохастических дифференциальных уравнений в частных производных тема автореферата и диссертации по математике, 01.01.05 ВАК РФ

СПИСОК ОСНОВНЫХ ОБОЗНАЧЕНИЙ

ВВЕДЕНИЕ.

Л. "Проблематика и основные результаты.

0,2. Структура работы

0,3. Содержание главы I.

0.4. Библиографические комментарии к главе I

0.5. Содержание главы 2.£

0.6. Библиографические комментарии к главе

0.7. Содержание главы 3.

0.8. Библиографические комментарии к главе 3.

0.9. Содержание главы 4.

0.10, Библиографические комментарии к главе

ГЛАВА I. ЭВОЛЮЦИОННЫЕ СТОХАСТИЧЕСКИЕ УРАВНЕНИЯ

В БАНАХОВЫХ ПРОСТРАНСТВАХ.

§ I. Мартингалы и стохастические интегралы в гильбертовых пространствах

1.1. Введение

1.2. Случайные процессы со значениями в сепара-белышх банаховых пространствах

1.3. Мартингалы и локальные мартингалы в гильбертовых пространствах

1.4. Стохастический интеграл по локальному непрерывному H -мартингалу

1.5. Формула Ито для квадрата нормы семимартин-гала в оснащенном гильбертовом пространстве

§ 2. Нелинейные уравнения монотонного, коэрцитивного типа

Л. Введение.

2.2. 6 существовании и единственности решения.

3. Априорные оценки

2.4. Конечномерный случай.

2.5. Проекции и предельный переход.

§ 3. Линейные уравнения в гильбертовых пространствах

3.1. Введение.

3.2. Повышение "качества" решения

3*3. Гильбертова шкала

3.4. Уравнения диссипативного типа.

ГЛАВА 2. СТОХАСТИЧЕСКИЕ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ

В ЧАСТНЫХ ПРОИЗВОДНЫХ ПАРАБОЛИЧЕСКОГО ТИПА.

§ I. Первая краевая задача и задача Коши для нелинейных уравнений произвольного порядка.

1.1. Введение

1.2. Пространства Соболева

1.3. Разрешимость первой краевой задачи и задачи Коши для параболического уравнения

1.4. Алгебраическое условие сильной параболич-ности.

§ 2. Задача Коши для линейных вырождающихся параболических уравнений второго порядка

2.1. Введение.

2.2. Основные результаты

2.3. Вспомогательные оценки

2.4. Гильбертов случай.

2.5. Оценки в \л/ р.

6. Разрешимость прямой и обратной задачи

Коши в пространствах Соболева с весом.

§ 3. Метод полугрупп и потенциалов.

3.1. Введение.

3.2. " ^/-потенциалы и о>-потенциалы,

3.3. Существование, единственность и гладкость решений.

ГЛАВА 3. СТОХАСТИЧЕСКИЕ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ В

ЧАСТНЫХ ПРОИЗВОДНЫХ й ДИФФУЗИОННЫЕ ПРОЦЕССЫ.

§ I. Метод случайных характеристик. Представление решений прямой и обратной 8адач Коши

1.1. Введение

1.2. Вспомогательные результаты

1.3. Доказательство теоремы I.I.

§ 2. Метод случайных характеристик. Представление мерозначных решений сопряженной задачи Коши

2.1. Введение.

2.,2. Вспомогательные результаты.

2*3. Доказательство теоремы 2.1 при гладких коэффициентах

2«4. Доказательство теоремы 2.1 (общий случай)

2„5. Доказательство следствия 2.

§ 3. Обращение диффузионных процессов, уравнения

Лиувилля, метод вариации постоянных

3Л. Введение.

3«2. Уравнения обращенной диффузии.

3»3. Метод вариации постоянных.

ГЛАВА 4. ФИЛЬТРАЦИЯ, ИНТЕРПОЛЯЦИЯ И ЭКСТРАПОЛЯЦИЯ

ДИФФУЗИОННЫХ ПРОЦЕССОВ. . • V.

§ X. Проблема оценивания траекторий диффузионных процессов и формулы Байеса

1.1. Введение. £

1.2, Формула Байеса для диффузионных процессов 240 Х.З. Формула Байеса и условно марковское свойство.

§ 2. Прямые уравнения фильтрации.

2.1. Введение

2.2. Структура фильтрационной меры

2.3. Уравнения для фильтрационной плотности.

§ 3. Обратные уравнения фильтрации. Интерполяция и экстраполяция

3.1. Введение.

3.2. Обратные уравнения фильтрации.

3.3. Интерполяция и экстраполяция диффузионных процессов.

ОД. Проблематика и основные результаты. Основы теории стохастических дифференциальных уравнений были заложены в работах И.Й.Гихмана L 13, ЛЧ- 3 и К.Ито 30 ,90 3 . В дальнейшем эта теория интенсивно развивалась усилиями многих математиков на базе интегро-дифференциального исчисления йто. В настоящее время она является одной из наиболее глубоко разработанных ветвей теории случайных процессов, имеет большое теоретическое и практическое значение.

Современное состояние теории отражено в монографиях: A.B.Скорохода

L6T] , К.Ито и Г.Маккина L 3i3 , Р.Ш.Липцера и Ä.H.Ширяева [¿Г?3 , И.Й.Гихмана и А.В.Скорохода [.-(9 3 * Н.В.Крылова [3^3, Д.В.Струка и С.Р.С.Варадана [ 1193, А.Д.Вент-целя и М.И.Фрейдлина [83 , Н.йкеда иШ.Ватанабе [833 . И.И. Гихмана и A.B.Скорохода гоЗ.

Вплоть до начала 70-х годов основным предметом изучения в теории стохастических дифференциальных уравнений были "обыкновенные" уравнения. Впоследствии возникло и быстро развивалось новое направление - стохастические дифференциальные уравнения в частных производных.

Данная диссертация посвящена систематическому развитию теории стохастических дифференциальных уравнений в частных производных и ее приложениям к теории диффузионных процессов.

Важность этого направления определяется тем, что к исследованию стохастических дифференциальных уравнений в частных производных приводят многие прикладные и теоретические задачи статистической физики, популяционной генетики, гидромеханики, теории управления, теории диффузионных процессов и др.

Стохастическим дифференциальным уравнением в частных производных (СДЧП - уравнением) мы называем уравнение вида с1 1Л, С-1, эс, со) = Ас^эс^ , + Со) где А и £> - дифференциальные операторы (по ос ), а М -мартингал со значениями в некотором гильбертовом пространстве.

Это уравнение понимается в смысле стохастического интегро-дифференциального исчисления мартингалов.

Приведем три примера СДЧП-уравнений, возникающих в теории диффузионных процессов.

Обратное уравнение д-и ф ф у з и и Крылова. Пусть

X с! , ь*) - диффузионный процесс, являющийся решением следующего стохастического интегрального уравнения:

Xd = ОС + I I о.г)

5 ^Ct.Xct ,oc,s)) JibSir L^tH где IS M - винеровский процесс.

Sto уравнение описывает динамику диффундирующей частицы по 4: при фиксированном s . Значительный интерес представляет также описание динамики X^t^s^ nos при фиксированном t . Хорошо известно, что такое описание (в среднем) дается обратным уравнением Колмогорова.

Переменная со здесь и далее символизирует зависимость от "случая".

Как показал Н.В.Крылов возможно и потраекторное описание динамики Хс^ос^ по ^ , а именно: при естественных предположениях о гладкости коэффициентов &С£,зО и бТ^х) процесс Хс^х^ь) имеет модификацию, которая при любом фиксированном 4: является единственным решением С$1П-урав-нения

I -I 2 с)г -С(1ГС8>!)ЭО= [ -о & СЦХ) —-к- + УэГ Д о! Ь + + -^ о1 Со.а) с) ос > * >

1Г (17х) = ос .

Знак * перед стохастическим дифференциалом означает, что стохастический интеграл в соответствующем (0.3) интегральном уравнении понимается как обратный интеграл Ито Р *

Обратное уравнение Колмогорова получается из уравнения (0.3) с помощью очевидных преобразований.

Обратный интеграл Ито определяется равенством г):- 5 ^(Т-'ЫъУ-г.СГ) и,1] [т-1,т-з] 1 с«о-.= исТ)-мсТ-О.

Ясно, что ЦуС^) также является винеровским процессом и обратный интеграл Ито определен для всех Случайных процессов для которых определен интеграл в правой части последнего равенства. Легко показать, что это определение не зависит от выбора I .

Уравнение обращенной диффузии. Пусть Xd ,£,S>)- тот же диффузионный процесс, что и в предыдущей примере. Рассмотрим семейство отображений фазового пространства в себя ОС -> (роль параметров играют t , со). Тогда, как показано в гл.З, при не слишком обременительных предположениях о гладкости коэффициентов £ и 6- это отображение является диффеоморфизмом класса С.2" ( V-t и п.в. OJ ), причем обратное отображение X С I ?эс,о) является единственным решением следующего СДЧП-уравнения: с)"2" 7)

- j —ис{х)] ol-t0

- tfcLa.) ~— act x)dud) -te]oT], (ол) a cc 5 > 7

Ы Co5oc) = oc .

Уравнения фильтрации диффузионных процессов. Пусть наблюдается смесь: " сигнал" (ЭСС-Ы плюс "шум" . Задачей фильтрации называют задачу, состоящую в оценке ненаблюдаемого сигнала oc(t) или некоторой функции от него по наблюденной траектории ljcs):=occs)+ -+• £CS) при $> s "t (см., например, монографию Р.Ш.Липцера и А.Н.Ширяева [47] ).

Уравнения (0.3), (0.4) были впервые опубликованы в работе 140]. Первое из них принадлежит Н.В.Крылову, а второе автору.

- 13

Если динамика "сигнала" -xct) описывается обыкновенным стохастическим дифференциальным уравнением d occ-L} = кзссЬ)сИ: ö-clvc-l) 5 ос со) =ос0 5 vet)- винеровский процесс, а" шум" td):=y0 + ЪГС-1:) , где ucb - винеровский процесс, независимый от VC"t), то пара (occt), "сигнал" - "наблюдения" образует диффузионный процесс.

Пусть задана такая функция |сэс) , что Elf(OccT)) Задача фильтрации состоит в вычислении наилучшей в среднем квадратичном оценки f сэссТ)) по наблюдениям при -ЫТ. Хорошо известно, что такой оценкой является условное математическое ожидание Е [ ^ СзссТ) ) | ^ el) ? "t 2 .

В гл.4 будет показано, что при широких предположениях ^ \ сэо асТ^х) Jx / ^ Ы,сТ,*^о1зс , где Ы(А,Сс) является единственным решением следующего СДЧП -уравнения: (М + ИГЧ fccxwt,*)-^^ nct,oc))ol(jct), -tOo^T],

II (о, DC) = jl0(x) y a ^l^cdc) - плотность условного распределения эс0 » относительно ЭС0 , по мере Лебега. \

Существует множество других важных примеров СДЧП-уравнений; возникающих в различных областях знания. С некоторыми из них можно ознакомиться по работам Ц'И ? 38 ,66 ,76, 83, в^З^см. также гл,4 данной работы.

Перечислим кратко основные результаты диссертации.

СДЧП-уравнения типа (0.1) можно трактовать как "обыкновенные" стохастические уравнения в бесконечномерных пространствах с (вообще говоря, неограниченними) операторными коэффициентами "сноса" А и "диффузии" В . Уравнения такого типа именуются далее эволюционными стохастическими уравнениями (9СУ). Исследованию этих уравнений с неограниченными нелинейными операторами -"сноса" и "диффузии" в сепарабелышх рефлексивных банаховых ^пространствах посвящена первая глава диссертации.

В этой главе решена проблема (сильной) однозначной разрешимости ЭСУ со случайными операторами А и В , обладающими (в совокупности) свойствами монотонности и коэрцитивности (см. п.п.0.3 или 1.2.1). Кроме того, аналогичная проблема решена для случая линейных неограниченных случайных операторов А^В, не обладающих свойством коэрцитивности, но образующих диссипа-тивную пару (см.п.п.0.3 или 1.3.1).

Отправляясь от упомянутых результатов., во второй главе диссертации построена теория параболических СДЧП-уравнений^ (понятие параболичности для СДЧП-уравнений естественным образом обобщает соответствующее понятие для детерминированных уравнений в частных производных (см.п.п.0.5 или 2.1.3, 2.1.4 и 2.2.2) ).

В этой главе изучены начально-краевые задачи для линейных и нелинейных, в том числе существенно нелинейных, параболических СДЧП-уравнений произвольного порядка в пространствах Соболева.

Особое внимание уделяется задаче Коши для вырождающихся линейных параболических СДЧП-уравнений второго порядка,(отметим, что к таковым относятся приведенные выше примеры). Эта задача исследована в диссертации не только в пространствах Соболева, но также в пространстве дифференцируемых функций, а в невырожденном случае и в пространствах Гельдера.

В третьей главе диссертации получены вероятностные представления решений прямой и обратной задач Коши для вырождающихся линейных параболических СДЧП-уравнений второго порядка, обобщающие классические вероятностные представления решений соответствующих задач для детерминированных параболических уравнений второго порядка.

Полученные в первых трех главах результаты и развитые там методы позволили достигнуть существенных продвижений в таких областях статистики случайных процессов как фильтрация, интерполяция и экстраполяция траекторий диффузионных процессов. Эти задачи помимо общего теоретико-вероятностного интереса имеют важные технические приложения»

В четвертой главе диссертация построена замкнутая теория фильтрации, интерполяции и экстраполяции компонент общих многомерных вырождающихся диффузионных процессов.

Применение теории параболических СДЧП-уравнений позволило также получить ряд новых результатов* относящихся к качественной теории обыкновенных стохастических дифференциальных уравнений (см.§ 3 гл.З), а именно для таких уравнений: а) доказана диффеоморфность задаваемого решением отображения фазового пространства; б) получены и исследованы уравнения для обратного отображения и предсказуемого первого интеграла (уравнение Лиувилля); в) развит "метод вариации постоянных".

0^2^^)дкт^ра^работ^ Диссертация состоит из введения, четырех глав основного текста, списка литературы и списка основных

1. Баклан В.В. Про юнування розв'язк1в стохастичных р1внянь у г±льбертовому npocTopi . Допов1д1 АН УССР, 1963,№ 10, с.1299-1303.

2. Баклан В.В. Об одном классе стохастических уравнений в частных производных.- В кн. Поведение систем в случайных средах. К., 1977, с.17-19.

3. Белопольская Я.И., Далецкий Ю.Л. Диффузионные процессы вгладких банаховых пространствах и многообразиях. Тр.Моск. мат.о-ва, 1978, т.37, с.107-141.

4. Белопольская Я.И., Наголкина З.й. О мультипликативных представлениях решений стохастических уравнений.- ДАН УССР, 1977, т.П, с.966-970.

5. Ваййберг М.М. Вариационный метод и метод монотонных операторов в теории нелинейных уравнений. М.: Наука, 1972, с.415.

6. ВентцельА.Д. Об уравнениях теории условных марковских процессов.- Теория вероятностей и примен., 1965, т.10, № 2, с.390-393.

7. Гихман И.И. К теории дифференциальных уравнений случайных процессов. 4.1. Укр.матем.журн., 1950, т.2, К? 4, с.37-63. Ч.П.- Укр.матем.журн., X95I, т.З, № 3, с.317-339.

8. Гихман И.И, Граничная задача для стохастического уравнения параболического типа.- "Украинский математический журнал", 1979, т.81, №5, с.483-489.

9. Гихман Й.И. О первой начально-краевой задаче для стохастического гиперболического уравнения. Сб."Теория случайных процессов". Киев : Наукова думка, 1980, № 8, с.20-31.

10. Гихман И.И. Стохастические дифференциальные уравнения с частными производными.- Сб."Качественные методы исследования нелинейных уравнений и нелинейных колебаний". Институт математики АН УССР, Киев, 1981, с.25-59.

11. Гихман И.И., Пясецкая Т.Е. Об одном классе стохастических дифференциальных уравнений с частными производными, содержащими двупараметрический белый шум.- Сб."Предельные теоремы для случайных процессов". Институт математики АН УССР, Киев, 1977, с.71-97.

12. Гихман И.И., Скороход A.B. Теория случайных процессов, т.Ш, М.: Наука, IS75, с.496.

13. Гихман Й.И., Скороход A.B. Стохастические дифференциальные уравнения и их приложения.- Киев : Наукова думка, 1982, C.6II.21Д Гихман Й.И., Скороход A.B. Стохастические дифференциальные уравнения.- Киев : Наукова думка, 1968, с.354.

14. ДанфордН., Шварц Дж.Т. Линейные операторы. Общая теорияПер.с англ.под ред.А.Г.Костюченко.- М.: ЙЛ, 1962, с.895.

15. Дуб Дж.Л. Вероятностные процессы / Пер.с англ. под ред. А.М.Яглома. М.: ЙЛ, 1956, с.605.

16. Ито К», Миккин Г, Диффузионные процессы и их траектории / Пер.с англ.под ред.Е.Б.Дшшина. М.: Мир, 1968, с.384.

17. Колмогоров А.Н. Об аналитических методах в теории вероятностей.- Успехи матем.наук, 1938, т.5, с.5-41.

18. Крейн С.Г., Петунии Ю.И., Семенов Е.М. Интерполяция линейных операторов.- М.: Наука, 1978, с.400.

19. Крылов Н.В. Управляемые процессы диффузионного типа.- М.: Наука, 1977, с.399.

20. Крылов Н.В. Некоторые новые результаты из теории управляемых диффузионных процессов.- Мат.сборник, 1979, тД09(151)^-с?*"1(5), с. 146-164.

21. Крылов Н.В.,"Розовский Б.Л. О задаче Коши для линейных стохастических дифференциальных уравнений с частными производными.- Изв.АН СССР, Сер.мат., 1977 , 41, Л? 5, с.1329-1347.

22. Крылов Н.В., Розовский Б.Л. Об условных распределениях диффузионных процессов.- Изв.АН СССР. Сер.мат., 1978, т.42, К? 2, с.356-378.

23. Крылов Н.В., Розовский Б.Л. Об эволюционных стохастических уравнениях.- В кн. Итоги науки и техники. Сер."Современные проблемы математики". М.: ВИНИТИ, 1979, с.71-146.

24. Н.В.Крылов, Б.Л.Розовский. Уравнения'Ито в банаховых пространствах и сильно параболические стохастические уравнения в частных производных.- ДАН СССР, 1979, т.249, № 2, с. 285-290.

25. Крылов Н.В., Розовский Б.Л. О полных интегралах уравнения Ито.- 1980, УМН, т.35, вып.4, с.147.

26. Крылов H.B., Розовский Б.Л. О характеристиках вырождающихся1 ' . . "К. ,параболических уравнений Ито второго порядка.- В сб.Труды семинара им.й.Г,Петровского. М.:'Изд-во МГУ, 1982, вып.8, с.153-168.

27. Крылов Н.В., Розовский Б.Л. Стохастические дифференциальные уравнения в частных производных и диффузионные процессы.-Успехи мат.наук, 1982, т.37, № 6, с.75-95.

28. Куратовский К. Топология. T.I / Пёр.с англ.под ред. П.С.Александрова.- М.: Мир, 1966, с.594.

29. Ладыженская O.A., Солонников В.А., Уральцева H.H. Линейные и квазилинейные уравнения параболического типа.- М.: Наука, 1967, с.736.

30. Лионе К.-Л. Некоторые методы решения нелинейных краевых задач / Пер.с франц.под ред.О.А.Олейник М.: Мир, 1972, с.587.4бУЛионс К.-Л., Мадженес Э. Неоднородные граничные задачи и их приложения / Пер.с франц.под ред.В.В.Грушина.- М.: Мир, 1971, с.371.

31. Липцер Р.Ш., Ширяев А.Н. Статистика слувайных процессов.-М.: Наука, 1974, с.696.

32. Лоэв М. Теория вероятностей / Пер.с англ.под ред. Ю.В.Прохорова.- Н.: ИЛ, 1962, с.719.

33. Маргулис Л.Г., Розовский Б.Л. Фундаментальные решения стохастических уравнений в частных производных и фильтрация диффузионных процессов.- УМН, 1978, т.33, № 2, с.197.

34. Маргулис Л.Г. Нелинейная фильтрация ограниченных диффузионных процессов и краевые задачи для стохастических дифференциальных уравнений с частными производными.- В ^."Марковские случайные процессы и их приложения, выпЛгСаратов: Изд. СГУ 1980, с.50-63.

35. Мейер П.-А. Вероятность и потенциалы / Пер. с англ.под ред. А.Н.Ширяева. М.: Мир, 1973, с.324.

36. Никольский С.М. Приближение функций многих переменных и теоремы вложения.- М., Наука, 1969, с.480.

37. Ниренберг Л. Лекции по нелинейному функциональному анализу. М.: Мир, 1977, с.232.

38. Олейник O.A., Радкевич Е.В. Уравнения второго порядка с неотрицательной характеристической формой.- Математический анализ. 1969, Итоги науки, М.: ВИНИТИ, 1971, с.7 220.

39. Прохоров Ю.В. Сходимость случайных процессов и предельные теоремы теории вероятностей.- Теор.вероятн. и прим., 1956, т.1, № 2, с.177-238.

40. Розанов Ю.А. Марковские случайные поля. М.: Наука, 1981, с. 256.

41. Розовский Б.Л. О стохастических уравнениях фильтрации марковских процессов.- Автореферат диссертации на соискание ученой степени кандидата физико-математических наук. М.: Изд-во МГУ, 1972, с.6.

42. Розовский Б.Л. О существовании и единственности решения уравнения фильтрации для диффузионных процессов.- Теория вероятн. и прим., 1972, т.17, Ш 4, с.806-807.

43. Розовский Б.Л. Стохастические дифференциальные уравнения в частных производных, возникающие в задачах нелинейной фильтрации.- УМН, т.27, й 3 (165), с.213-214.

44. Розовский Б.Л. 0 стохастических дифференциальных уравнениях в частных производных. Труды международной конференции по теории вероятностей и математической статистике, Вильнюс, 1973, с.185-188.

45. Розовский Б.Л. 0 формуле Ито Вентцеля.- Вестник Московского университета, I973t № I, с.26-32.

46. Розовский Б,Л, 0 стохастических дифференциальных уравненияхв частных производных,-Матем.сб., 1975, т.96, fö 2, с.314-341.

47. Розовский Б.Л. Стохастические дифференциальные уравнения в бесконечномерных пространствах и проблемы фильтрации.-Труды школы-семинара по теории случайных процессов (Друски-нинкай, 1974), ч.П, Вильнюс, 1975, с.147-194.

48. Розовский Б.Л. Об условных распределениях вырождающихся диффузионных процессов.- Теория вероятн.и прим. 1980, К? I, с. 149-154.

49. Розовский Б.Л. Уравнения Лиувилля для диффузионного марковского процесса.- В сб.Х1У всесоюзная школа коллоквиум по теории вероятностей и математической статистике. Бакуриани. 1980. Тезисы докладов.- Тбилиси - Мецниераба, 1980, с.26-28.

50. Розовский Б.ЗЬ Эволюционные стохастические системы. Линейная теория и приложения к статистике случайных процессов.-М.: Наука, 1983, с.208.

51. Скороход A.B. Исследования по теории случайных процессов.-К.: Изд-во ¿невского университета, 1961, с.209.

52. Скороход A.B. Случайные линейные операторы.- Киев : Наукова думка, 1978, с.200.

53. Скороход A.B. Линейные стохастические дифференциальные уравнения и стохастические полугруппы.- УШ, 1982, т.37, № 6,с. 157-184.

54. Соболев С.Л. Некоторые применения функционального анализа в математической физике.- ЛГУ, 1950, с.255.

55. Тинфявичюс Э.С. Нелинейные стохастические дифференциальные уравнения в некоторых банаховых пространствах. Автореф. диссертации на соискание ученой степени кандидата физико-математических наук.- Вильнюс, 1979, C.I3.

56. Фридман А. Уравнения с частными производными параболического типа / пер,с англ. под ред.В.А.Илыша.- М.; Мир, 1988, с.427.

57. Чантладзе Т.Л. О стохастическом дифференциальном уравнении в гильбертовом пространстве.- Сообщ.АН Груз.ССР, 1964,т.33, № 3, с.529-534.

58. Шубин М.А. Псевдодифференциальные операторы и спектральная теория.- М.: Наука, 1978, с.279.

59. Эйдельман С.Д. Параболические системы.- М.: Наука, 1964, с. 444.

60. Bensoussan A. Filtrage optimale des systemes lineaires. -Paris: Dunod, 1971, p.282.

61. Bismut J.M., Michel D. Diffusions conditionelles, I. J. Funct. Anal., 1981, v.44, p.174-211.

62. Bismut J.M., Michel D. Diffusion conditionelles II. J. Punct. Anal., 1982, v.45, p.274-292.

63. Browder F.E. Nonlinear elliptic boundary value problems. Bull. Amer. Math. Soc., 1963, v.69, N 6, p.862-874.

64. Curtain R.F., Falb P.L. Stochastic differential equations in Hilbert space. J. Differ. Equat., 1971, v.10, I 3, p.412-430.

65. Curtain R.F. , Pritchard A.J. Infinite dimensional linear systems theory. Lect. Hotes in Contr. and Inf. Sc., 1978, v.8, p.297

66. Gyongy I., Krylov N.V. On stochastic equations with respect to semimartingales II. Stochastics, 1980, v.4, N 1, p.1-21.

67. Fleming V7.H. Distributed parameter stochastic systems in population biology. Lect. Notes Econ. and Math. Syst., 1975, v.107, p.179-191.

68. Hida T. Stationary stochastic processes. Prinston, N.Y.: Prinston Univ. Press, 1970, p.161.

69. Ikeda N. Watanabe S. Stochastic differential equations and diffusion processes. Amsterdam: North Holland, Tokyo: Kodasha, 1981, p.464.

70. Ito K. On a stochastic integral equation. Proc. Japan Acad., 1946, v.22, p.32-35.

71. Kallianpur G. Stochastic filtering theory. New York, Heidelberg, Berlin: Springer-Verlag, 1980, p.316.

72. Krylov N.V., Rozovskii B.L. On the first integrals and Liouville equations for diffusion processes. Lect. Notes in Contr. and Inf. Sci., 1981, v.36, p. 117-125.

73. Kunita H. On Backward stochastic differential equations. Stochastics, 1982, v.6, p.293-313.

74. Kunita H. Stochastic partial differential equations connected with non-linear filtering. Proc. of CIME session on "Nonlinear filt. and stoch. contr.", 1981, Cortona, preprint p.71.

75. Mahno S.Ya. Limit theorems for stochastic equations with partial derivatives. International symposium on stochastic differential equations. Abstracts of Communications, Vilnius, 1978, p.73-77.

76. Meyer P.A. Notes sur les intégrales stochastiques I. Intégrales Hilbertiennes. Séminaire de Prob. XI. Lecture Notes in Math., 19Y7, v.t>81, p.446-4b3.

77. Michel D. Régularité des lois conditionnelles en théorie du filtrage non-linéaire et calcul des variations stochastiques. J. Funct. Anal., 1981, v.40, H 1,

78. Minty G. Monotone (nonlinear) operators in Hilbert spaces. Duke Math. J., 1962, v.29, N 3, p.341-346.

79. Pardoux E. Equations aux dérivées partielles stochastiques non linéaries monotones. Etude de solutions fortes de type Ito. Thèse doct. sci. math. Univ. Paris Sud, 1975,i p.280.

80. Pardoux E. Intégrales stochastiques hilbertiennes. -Univ. Paris-Dauphine, Cahiers de math, de la decis. H 7617, 1976, p.107.

81. Pardoux E. Filtrage de diffusions conditiones frontières: caracterisation de la densite conditionelle. Journées de Statistique des Processus Stochastiques Proceedings. Grenoble, Lecture Notes in Mathematics, 1977, v.636, p.163-188.

82. Pardoux E. Stochastic partial differential equations and filtering of diffusion processes. Stochastics, 1979, v.3, p.127-167.

83. Pardoux E. Equations du filtrage non lineaire de la prediction et du lissage. Prepublication de l'Université de Provence. 1980.

84. Rozovskii B.L. , Shirjaev A.N. Reduced form of non-linear filtering equations. Supplementary to preprints of IFAC Symp. on stochastic control, Budapest, 1974, p.59-61.

85. Rozovskii B.L. On Ito equations in Hilbert spaces. Te-зисы докладов второй Вильнюсской конференции по теории вероятностей и математической статистике, Вильнюс, 1977, т.З, с.196-197.

86. Rozovskii B.L. A note on strong solutions of stochastic differential equations with random coefficients. Lecture Notes on Contr. and Inf. Sci., 1980, v.25, p.287--297.

87. Rozovskii B.L. Backward diffusion. Тезисы докладов Ш-й Международной Вильнюсской конференции по теории вероятностей и математической статистике. Вильнюс, 1981, т.Ш, с.291-292.

88. Shimizu A. Construction of a solution of a certain evolution equation II. ITagoya Math. J., 1979, v.b8, II 1, p.37-41.

89. Stroock D.Y/. , Yaradhan S.R. S. Multidimensional diffusion processes. New York, Heidelberg, Berlin: Springer-Verlag, 1979, p.340.

90. Viot M. Solutions faibles d'équations aux dérivées partielles stochastiques non linéaires. Thèse doct. sci. Univ. Pierre et Marie Curie, Paris, 1976, p.152

91. Zakai M. On the optimal filtering of diffusion processes. Z. Wahrschein. verw. Geb., 1969, 11, 230-243.