О предельном поведении неустойчивых решений стохастических диффузионных уравнений тема автореферата и диссертации по математике, 01.01.05 ВАК РФ

Петров, Иван Борисович АВТОР
кандидата физико-математических наук УЧЕНАЯ СТЕПЕНЬ
Киев МЕСТО ЗАЩИТЫ
1984 ГОД ЗАЩИТЫ
   
01.01.05 КОД ВАК РФ
Диссертация по математике на тему «О предельном поведении неустойчивых решений стохастических диффузионных уравнений»
 
 
Содержание диссертации автор исследовательской работы: кандидата физико-математических наук, Петров, Иван Борисович

ВВЕДЕНИЕ

ГЛАВА I. ПРЕДЕЛЬНОЕ ПОВЕДЕНИЕ МОДУЛЯ ЧАСТИ КОМПОНЕНТ

СИСТЕМЫ СТОХАСТИЧЕСКИХ ДИФФУЗИОННЫХ УРАВНЕНИИ . II

§ I. Неограниченность и устойчивость модуля решения системы СДУ

§ 2. Теоремы о точном порядке роста

§ 3. Закон повторного логарифма.

§4.0 усиленном законе больших чисел

ГЛАВА 2. ПРЕДЕЛЬНОЕ ПОВЕДЕНИЕ МОДУЛЯ И АРГУМЕНТА РЕШЕНИИ

СИСТЕМЫ СТОХАСТИЧЕСКИХ ДИФФУЗИОННЫХ УРАВНЕНИИ

§ I. Поведение модуля решений системы СДУ со случайными коэффициентами сноса. Сходимость к бесселевскому диффузионному процессу

§ 2. Поведение аргумента решений системы сду литература

 
Введение диссертация по математике, на тему "О предельном поведении неустойчивых решений стохастических диффузионных уравнений"

Асимптотические задачи всегда занимали важное место в вероятностных исследованиях. Так, значительную часть теории вероятностей составляют теоремы типа законов больших чисел и центральной предельной теоремы. В последнее время основные интересы переместились на изучение случайных процессов. В стохастических дифференциальных уравнениях - одном из наиболее важных разделов теории случайных процессов - изучаются вопросы существования сильных и слабых решений в конечномерном евклидовом пространстве [13], [з], [**]» [б2] , [б9] , в гильбертовом и банаховом пространствах [3l], [i], [55], [5б], а также на многообразиях [5б], [бЗ] , [б5] . Рассмотрение этих же вопросов с несколько других позиций - с мартингальной точки зрения - проведено в работах [64], [б8 . Все увеличивающимися запросами многих разделов теоретической физики, задачами автоматического управления, радиотехники и механики много работ посвящено изучению стохастических дифференциальных уравнений в частных производных [32], [V], [57]„ [74], [бб] и другие. Однако асимптотические задачи продолжают играть ведущую роль». В стохастических дифференциальных уравнениях они возникают в связи с изучением ограниченности или неограниченности решений [ll|,

6l], устойчивости [1б], [ 7], [ 9], [54] , [зб] , [37] , [29], [70], [71] и эргодичности < [52] , [14], [вч] , [73], [75] , [и] решений , в связи с изучением предельного при t поведения решений стохастических дифференциальных уравнений и другие [б1].

Систематическим изучением предельного поведения решения т одномерного стохастического дифференциального уравнения в середине 60-х годов занялся Г.Л.Кулинич. Он доказал, что при /•»« решение ЖО уравнения dM°a{W)dt + cMf) неограниченно по вероятности и в пределе распределения случайт vffl ных величин -?==" и -7=- совпадают, если ft (т о о a(oc)da> = о

17]. Далее эта задача обобщалась в различных направлениях: <я(сс) - функция колебательного характера [l9], [20] ; ftix)*"^ ПРИ [22] ; находились условия, когда решение £(/) неоднородного уравнения при /-»«» ведет себя как решение однородного [2l] и другие.

Этапным в развитии предельного поведения решения одномерного стохастического дифференциального уравнения был выход монографии И.И.Гихмана и А.В.Скорохода [п].

Однако переход к многомерному случаю был связан с определенными трудностями. Впервые их удалось преодолеть А.Фридману в работе [59]. Затем в 1975 году вышла работа [22], где исследовалось предельное при ° поведение, неустойчивых компонент iy(/) решения £(/) = (^-(/J, i-^ol) уравнения dm °a(tMW + 1д (/, m)dwk{t) (/) ы и была толчком дальнейших многочисленных исследований в R^ : этот вопрос изучался для систем со случайными коэффициентами [25], рассматривалось предельное поведение функционалов интегрального типа от таких компонент [24], исследовалось асимптотическое поведение решений стохастических дифференциальных уравнений, коэффициенты которых нерегулярным образом зависят от параметра [23] и другие.

Совсем недавно в работе [2б] для одномерного случая были найдены необходимые и достаточные условия сходимости решения стохастического уравнения к обобщенному процессу. Понятие обобщенного диффузионного процесса введено Н.И.Портенко в работе М

Настоящая диссертационная работа состоит из введения и двух глав.

 
Список источников диссертации и автореферата по математике, кандидата физико-математических наук, Петров, Иван Борисович, Киев

1. Белопольская Я.И., Наголкина З.И. Об одном классе стохастических уравнений с частными производными.- Теория вероятн. и её применен., 1982, ХХУП, 3,0.551-559.

2. Веретенников А.Ю. О сильных решениях стохастических дифференциальных уравнений.- Теория вероятн. и её применен.,1979, XXIУ, с.348-360.

3. Веретенников А.Ю. О сильных решениях и явных формулах для решений стохастических интегральных уравнений.- Матем. сб.,1980, III, 3, с.434-452.

4. Веретенников А.Ю. О критериях существования сильного решения стохастического уравнения.- Теория вероятн. и её применен., 1982, ХХУП, 3, с.417-427.

5. Веретенников А.Ю, Параболические уравнения и стохастические уравнения Ито с коэффициентами разрывными по времени.- Мат. заметки, 1982, 31, 4, с,549-557.

6. Гихман И.И. Дифференциальные уравнения со случайными функциями.- В кн.: Зимняя.школа по теории вероятностей и математической статистике.- Киев.: Наукова думка, 1964, с.41-85.

7. Гихман И.И. Об устойчивости решений стохастических дифференциальных уравнений.- В кн.: Предельные теоремы и ста -тистические выводы.- Ташкент: ФАН, 1966, с.14-£5.

8. Гихман И.И. Стохастические дифференциальные уравнения и предельные теоремы,- В кн.: Шестая летняя математическая школа по теории вероятностей и математической статистике.- Киев : Институт математики АН УССР, 1969, с.5-58.

9. Гихман И.И., Дороговцев А.Я. Об устойчивости решений стохастических дифференциальных уравнений.- Укр. мат. журн., 1965, ХУП, 6, с.3-21.

10. Гихман И.И., Скороход А.В. Введение в теорию случайных процессов,- М.: Наука, 1965, -656с.

11. Гихман И.И., Скороход А.В. Стохастические дифференциальные уравнения,- Киев: Наукова думка, 1968,- 354с.

12. Гихман И.И., Скороход А.В. Теория случайных процессов. Т.З.-М.: Наука, 1975.- 496с. .

13. Звонкин А.К., Крылов Н.В., 0 сильных решениях стохастических дифференциальных уравнений.- В кн.: Труды школы-семинара по теории случайных процессов ( Друскининкай, 1974г. ), Вильнюс, 1975, с,9-88.

14. Ильин A.M., Хасьминский Р.З. Асимптотическое поведение решений параболических уравнений и эргодическое свойство неоднородных диффузионных процессов,- Матем. сборн., 1963, 60, 3, с.366-392.

15. Ито К,, Маккин Г. Диффузионные процессы и их траектории.-М.: Мир, 1968.- 394с.

16. Кац И.Я., Красовский Н.Н. Об устойчивости систем со случайными параметрами.- Прикладн. матем. и механ., I960, 27, 5, с. 809-823.

17. Кулинич Г.Л, Предельное.поведение решения стохастического диффузионного уравнения.- Укр. мат. журн., 1967, XIX, 3,с.119-125,

18. Кулинич Г.Л. О предельном поведении распределения решения стохастического диффузионного уравнения.- Теория вероятн. и её применен., 1967, XII, 3, с.548-551.

19. Кулинич Г.Л. Асимптотическая нормальность распределения решения стохастического диффузионного уравнения,- Укр. мат. журн., 1968, XX, 3, с.396-400.

20. Кулинич Г.Л. Предельные распределения решения стохастического диффузионного уравнения.- Теория вероятн. и её применен. 1968, XIII, , с.502-506.

21. Кулинич Г.Л. Об асимптотическом поведении распределения решения неоднородного стохастического диффузионного уравнения. Теория вероятн. и матем. статистика, Киев, 1971, вып. 4, с.95-102.

22. Кулинич Г.Л. Асимптотическое поведение неустойчивых решений систем стохастических диффузионных уравнений.- В кн.: Труды школы-семинара по теории случайных процессов ( Друс-кининка", 1974г. ) , Вильнюс, 1975, с.168-201.

23. Кулинич Г.Л. Предельные теоремы для одномерных стохастических дифференциальных уравнений при нерегурярной зависимости коэффициентов от параметра.- Теория вероятн. и матем.статистика, Киев, 1976, вып. 15, с.99-114.

24. Кулинич Г.Л. О предельном поведении решений стохастических дифференциальных уравнений диффузионного типа со случайными коэффициентами. В кн.: Предельные теоремы для случайных процессов, изд. Ин-та математики АН УССР, Киев, 1977, с.137-151.

25. Кулинич Г.Л. О предельном поведении неустойчивых решений стохастических.дифференциальных.уравнений со случайными коэффициентами.- Теория вероятн. и её применен. 1978, XXIII,1. с.222-227.

26. Кулинич ГЛ. О необходимых и достаточных условиях сходимости решений одномерных диффузионных уравнений к обобщённому процессу.- Теория вероятн. и её применен. 1981, XXУ1, I, с.212-213.

27. Кулинич ГЛ., Петров И.Б. Асимптотическое поведение модуля части компонент системы стохастических диффузионных уравнений.- Тезисы докладов республиканской конференции по теории стохастических дифференциальных уравнений, Донецк, 1982, с.60-61.

28. Кулинич ГЛ., Петров И.Б. О предельном поведении модуля части компонент системы стохастических диффузионных уравнений Ито.- Теория вероятн. и математ. статистика, Киев,1983, вып. 28, с.70-78.

29. Кушнер Г. Дж. Стохастическая устойчивость и управление.-М.: Мир, 1969.- 200с.

30. Крылов Н.В. Управляемые процессы диффузионного типа,- М.: . Наука, 1977.- 400с.

31. Крылов Н.В., Розовский Б Л. Итоги науки и техники. ВИНИТИ. Соврем, пробл. мат. 1979, 14, с.71-146.

32. Крылов Н.В., Розовский Б Л. Стохастические дифференциальные уравнения в частных производных и диффузионные процессы.- Успехи мат. наук, 1982, 37, 6, с.75-95.

33. Лоэв М. Теория вероятностей.- М.: Иностранная литература, 1962.- 719с.

34. Ляшко И.И. и др. Математический анализ в примерах и задачах. T.I.- Киев: Выща школа, 1974, 678с.

35. Маккин Г. Стохастические интегралы.- М.: Мир, 1972.- 184с.

36. Невельсон М.Б. Об устойчивости в целом траекторий Марковских процессов диффузионного типа,- Дифференциальные уравнения, 1966, 2, 8, с.1052-1060.

37. Невельсон М.Б., Хасьминский Р.З. Об устойчивости стохастических систем.- Проблемы передачи информации. 1966, 2, 3, с.76-81.

38. Петров И.Б. О предельном поведении решений стохастических дифференциальных уравнений диффузионного типа в трехмер -ном пространстве,- В кн.: Вероятностный бесконечномерный анализ. Киев: изд. ИМ АН УССР, 1981, с.84-92.

39. Петров И.Б. Предельное поведение решений стохастических диффузионных уравнений в трехмерном пространстве.- В кн.: Некоторые вопросы математики и механики.- Изд. Московского университета, 1983, с.62-63.

40. Портенко Н.И. Диффузионные процессы с нерегулярным сносом.-В кн.: Труды школы-семинара по теории случайных процессовДрускининкай, 1974г. ) , Вильнюс, 1975, с.127-146.

41. Портенко Н.И. Диффузионные процессы с обобщённым коэффициентом переноса.- Теория вероятн. и её применен. 1979, ХХ1У, I, с.62-77':

42. Портенко Н.И. Стохастические.дифференциальные уравнения с обобщённым вектором переноса.- Теория вероятн. и её применения. 1979, ХХ1У, 2, с.332-347.

43. Розовский Б.Л. Стохастические дифференциальные уравнения в частных производных, возникаюшие в задачах нелинейнойфильтрации.- Успехи мат. наук, 1972, 27, 3, с.213-214.

44. Розовский Б.Л. О стохастических дифференциальных уравнениях в частных производных.- Мат. сборник, 1975, 96, 2, с. 314-341.

45. Скороход А.В. Предельные теоремы для случайных процессов.-Теория вероятн. и её применен. 1956, 1,3, с.289-319.

46. Скороход А.В. Исследования по теории случайных процессов.-Киев: Изд-во Киевского университета, I96I.-2I6c.

47. Скороход А.В. Стохастические уравнения для процессов диффузии с границами.- Теория вероятн. и её применен. 1961, 6, 3, с.287-298.

48. Скороход А.В. Стохастические уравнения для процессов диффузии с границами.- Теория вероятн. и её применен. 1962, 7,I, с.5-25.

49. Струк Д.В., Варадан С.Р.С. Диффузионные процессы с непрерывными коэффициентами.- Сб. перев. "Математика", 1971, 15:6, с.66-113; 1972, 16:1, с.ЮО-142.

50. Тараскин А.Ф. Об асимптотической нормальности векторных стохастических интегралов и оценках параметров переноса многомерного диффузионного процесса,- Теория вероятн и ма-г тематическая статистика, Киев, 1970, вып.2, с.205-220.

51. Фридман А. Уравнения с частными производными параболического типа.- М.: Мир, 1968.- 424с.

52. Хасьминский Р.З. Эргодические свойства возвратных диффузионных процессов и стабилизация решений задачи Коши для параболических уравнений.- Теория вероятн. и её применен., I960, У, 2, с.196-214.

53. Хасьминский Р.З. Об устойчивости траекторий марковских процессов.- Приклад, математ. и механ., 1962, 26, 6, с.1025-1032.

54. Elworthy K.D. Stochastic differential equations on manifolds.- London Math. Soc. Lect. Note Ser., 1982, 170, 326 pp.

55. Friedman A. Limit behaviour of solutions of stochastio differential equations.- Frans. Amer. Math. Soc., 1972, 170, 359-384-.

56. Friedman A., Pinsky M.A. Asymptotic stability and spira-ling properties of solutions of stochastic equations.-Trans,-Amer. Math. Soc., 1973, 186, 331-358.

57. Friedman A. Stochastic Differential Equations and Applications.- Academic Press, New York, vol. 1, 1975, 227 p.; vol. 2, 1976, p. 229-307.

58. Ieh J. Existence of strong solutions for stochastic differential equations in the plane.- Pasif. J. Math., 1981,97, №1, 217-24-7. * • •

59. Mahno S. Ja. Limit theorems for stochastic equations with• • • *partial derivatives.- Lect. Notes Contr. and Inform. Sci.,1980, 25, 320-330. • * . •

60. Maruyama G., Tanaka H. Some properties of one-dimensional diffusion processes.- Mem. Рас. Sci. Kyushu Univ., 1957,A-11, 2, 117-141. • • •

61. Melnikov A.V. On strong solutions of stochastic equations•with respect to semimartingales.- Lect. Notes Contr. and • • » «1.f. Sci., 1982, 43, 122-127.

62. Metivier Michel. Strong solutions of stochastic equations• » • ♦ * •a review).- Rend Semin. mat. Univ. e politech. Torino, 1982, 39, fasc. spec.; Conf. Stochastic Prob. Mech., Torino, May, 28-30, 1971, 151-171.

63. Sasagawa P. A note on the exponential asymptotic properties of linear stochastic systems.- Int. J. Contr., 1981, 33, 6, 1155-1163.

64. Sasagawa P. On the exponential stability and instability of linear stochastic systems.- Int. J. Contr., 1981, 33,2, 363-370. • • * »

65. Shiga Т., Watanabe S. Bessel diffusions as a one-parameter family of diffusion processes.- Z. Wahrscheinlich=# « • > *keitstheor. und verw. Geb., 1973, 27, 1, 37-46. • • •

66. Szelely G.J. On the asymptotic properties of diffusion* »• ► » » • *processes.- Ann. Univ. Sci. Budapest. Sec. math., 1974, 17, 69-71.

67. Ugowski Henryk. On weak solutions of random linear parabolic equations.- Demonstr. Math., 1980, 13, 1, 103-146.• * • •75» Watanabe J,, Mooto M. Ergodic property of reinrerrent dif-effusion processes.- Z. of the Math. Soo. of Japan, 1958, X, 3, 272-286.