Стохастические уравнения Вольтерра на плоскости тема автореферата и диссертации по математике, 01.01.05 ВАК РФ

Федеральное агентство по образованию ГОУ ВПО «Волгоградский государственный университет» Факультет математики и информационных технологий

На правах рукописи

UU3461781

КОЛОДИЙ Наталья Александровна

СТОХАСТИЧЕСКИЕ УРАВНЕНИЯ ВОЛЬТЕРРА НА ПЛОСКОСТИ

01.01.05 — Теория вероятностей и математическая статистика

АВТОРЕФЕРАТ диссертации на соискание ученой степени кандидата физико-математических наук

< О ^

Волгоград 2009 ^а

003461781

Работа выполнена в Волгоградском государственном университете на кафедре фундаментальной информатики и оптимального управления факультета математики и информационных технологий.

Научные руководители:

Ведущая организация:

академик РАН,

доктор физико-математических наук, профессор Прохоров Юрий Васильевич;

доктор физико-математических наук, профессор Линьков Юрий Николаевич .

Официальные оппоненты:

доктор физико-математических наук, ведущий научный сотрудник МИАН Гущин Александр Александрович;

доктор физико-математических наук, профессор Павлов Игорь Викторович.

Киевский национальный университет имени Тараса Шевченко, механико-математический факультет.

Защита диссертации состоится 6 марта 2009 года в 11 часов 00 минут на заседании диссертационного совета ДЛЮ 1.001.44 при Московском государственном университете имени М. В. Ломоносова по адресу: 119991, ГСП-1, Москва, Ленинские горы, 2-й корпус МГУ, факультет вычислительной математики и кибернетики, аудитория 685.

С диссертацией можно ознакомиться в библиотеке факультета ВМиК МГУ. Текст автореферата в электронном виде размещен на официальном сайте ВМиК МГУ http://www.crnc.msu.ru/ в разделе "Наука" — "Работа диссертационных советов" — "Д 501.001.44".

Автореферат разослан Л/ января 2009 года.

Ученый секретарь диссертационного совета профессор

ЗЦ—^ Н. П. Трифонов

1. Общая характеристика работы Актуальность темы

Теория стохастических интегральных уравнений Вольтерра на плоскости начала формироваться сравнительно недавно. Она тесно связана с теорией многопараметрических мартингалов и теорией стохастических уравнений Вольтерра на действительной прямой.

Теория стохастических интегральных уравнений Вольтерра на R+ активно развивается последние 30 лет. Например, в работе М. JI. Клепцыной и А. Ю. Веретенникова1 получены условия существования и единственности сильного решения и условия существования слабого решения уравнения Вольтерра по винеровскому процессу с неслучайными коэффициентами. В работе Э. Парду и Ф. Проттера2 получены условия существования и единственности решения уравнения Вольтерра с упреждающими коэффициентами. В работах А. М. Колодий3 4 были получены условия существования и единственности сильных решений и условия существования слабых решений уравнений Вольтерра, содержащих стохастические интегралы по компонентам семимартингалов и криволинейные стохастические интегралы.

Теория многопараметрических мартингалов формируется с 70-х годов прошлого века. В работах Ж. Уолша5, И. И. Гихмана6 и М. Доззи7 даны определения и приведены результаты исследования двупараметрической винеровской меры, линии и множества остановки на плоскости, различных типов многопараметрических мартингалов и стохастических интегралов. В работе А. А. Гущина8 исследованы различные типы разложений двупараметрических субмартингалов, доказаны теоремы о разложении сильных субмартингалов и о разложении квадрата сильного мартингала на мартингал и слабо предсказуемое поле. В работе А. А. Гущина и Ю. С. Мишуры9 доказано существование квадратической вариации двупараметрического сильного мартингала.

1 А. Ю. Веретенников, М. Л. Клепцина, «О сильных решениях стохастических уравнений Ито-Вольтерра». — Теория вероятностей и ее применение, 12 (1984), 32-40.

2Е. Pardoux, P. Protter, «Stochastic Volterra equations with anticipating coefficients». — The Annals of Probability, 18(1990), 1635-1655.

3A. M. Kolodii, «On conditions for existence of strong and weak solutions of stochastic Volterra equations». — Theory of Stochastic Processes, 2(18) (1996), 67-78.

4 A. M. Kolodii, «On conditions for existence of solutions of integral equations with stochastic line integrals». — Probability Theory and Math. Statist. (1994), 405-422.

5J. B. Walsh, «Martingales with a multidimensional parameter and stochastic integrals in the plane». — Lecture Notes Math. 1215(1986), 329-491.

бИ. И. Гихман, Т. Е. Пясецкая, «Два типа стохастических интегралов по мартингальным мерам на плоскости». — Доклады АН УССР. Серия /4,11 (1975), 963-965.

7М. Dozzi, «Twoparameter stochastic processes». — Math. Research, 61 (1991), 17-43.

8A. А. Гущин, «К общей теории случайных полей на плоскости». — Успехи мат. наук. 37, вып. 6 (1982), 53-74.

9А. А. Гущин, Ю. С. Мишура, «Неравенства Девиса и разложение Ганди для двупараметрических сильных мартингалов». — Теория вероятностей и шт. статистика, №42 (1990), 27-35.

Диссертация посвящена исследованию стохастических интегральных уравнений Вольтерра

£{г)=ф)+ / а(г,х,£)у{г,<1х) + / Ь{г,х^)ф,йх), ге^,

[О,г] [0,2]

содержащих интегралы по таким случайным интегрирующим ядрам (7(2,0;); г,х £ и (ц(г,х)-, г,х £ что для любого фиксированного г € поле 7(2;, •) является полем локально ограниченной вариации, а поле ц(г, •) является сильным квадратично интегрируемым мартингалом.

Развитие теории стохастических уравнений Вольтерра на плоскости является актуальным, что подтверждается вниманием к этой теме исследователей, развивающих стохастический анализ, и возможностью применения теории многопараметрических мартингалов и уравнений Вольтерра к построению и исследованию математических моделей в некоторых областях приложений стохастических интегральных уравнений.

Цель работы

Главными целями диссертации являются:

1) доказательство измеримости по параметру квадратической вариации сильного двупараметрического мартингала и стохастического интеграла по сильному двупаметрическому мартингалу;

2) построение и исследование стохастических, интегралов, управляемых двупараметрическими сильными мартингальными ядрами;

3) доказательство неравенств для моментов равномерных норм и модулей непрерывности стохастических интегралов и полей, управляемых мартингальными ядрами;

4) поиск условий и доказательство существования, единственности и непрерывной зависимости от параметра решений стохастических уравнений Вольтерра с локально интегрируемыми траекториями;

5) поиск условий и доказательство существования и единственности непрерывного решения стохастического уравнения Вольтерра на плоскости, управляемого стандартным двупараметрическим винеровским процессом.

Научная новизна

Основные результаты диссертации являются новыми и состоят в следующем:

1) доказана измеримость по параметру квадратической вариации сильного двупараметрического мартингала и стохастического интеграла по сильному двупаметрическому мартингалу;

2) даны определения нескольких типов стохастических интегралов по сильным мартингальным ядрам и исследованы их свойства;

3) получены неравенства для моментов равномерных норм и модулей непрерывности случайных полей, определяемых стохастическими интегралами по сильным мартингальным ядрам;

4) доказаны теоремы существования и единственности решения стохастического уравнения Вольтерра на плоскости с локально интегрируемыми траекториями и с траекториями в пространстве 1У ; доказана теорема о непрерывной зависимости от параметра решения стохастического уравнения Вольтерра на плоскости с локально интегрируемыми траекториями;

5) доказаны теоремы существования и единственности непрерывного решения стохастического уравнения Вольтерра на плоскости, управляемого стандартным двупараметрическим винеровским процессом.

Методы исследования

Методы доказательств утверждений, представленных в данной работе, опираются на применение общих методов стохастического анализа; аппарата теории многопараметрических мартингалов и, в частности, результатов А. А. Гущина и Ю. С. Мишуры10 о существовании и свойствах квадратической вариации сильного мартингала; неулучшаемых достаточных условий И. А. Ибрагимова" существования непрерывных модификаций случайных процессов; общих идей построения измеримых по параметру модификаций од-нопараметрических семимартингалов и стохастических интегралов, содержащихся в работах К. Долеан12 и К. Стрикера и М. Йора13; общих методов доказательств существования и единственности решений однопараметрических стохастических дифференциальных уравнений и стохастических интегральных уравнений Вольтерра, содержащихся во многих работах, например, С. Ватанабэ и Н. Икэда14, И. И. Гихмана и А. В. Скорохода15, М. Я. Клеп-цыной и А. Ю. Веретенникова16, А. М. Колодий17.

Для исследования стохастических уравнений Вольтерра на плоскости в диссертации применяются неравенства для моментов равномерных норм и мо-

|0А. А. Гущин, Ю. С. Мишура, «Неравенства Девиса и разложение Ганди для двупараметрических сильных мартингалов». — Теория вероятностей и мат. статистика, №42 (1990), 27-35.

"И. А. Ибрагимов, «Об условиях гладкости траекторий случайных функций». — Теория вероятностей и ее применение, 28, вып. 2 ( 1983), 229-250,

|2С. Doleans, «Integrales stochastiques dependant d'un paramétré». — Publ. Inst, statist. Univ. Paris, 16 (1967), 23-33.

]3C. Strieker, M. Yor, «Calcul stochastique d'ependant d'un paramétré». — Ztchr. Wahrscheinlichkeits theorie verw. Gebiete, 45(1978), 109-133.

UC. Ватанабэ, H. Икэда, «Стохастические дифференциальные уравнения и диффузионные процессы». — М,: Наука, 1986.

|5И. И. Гихман, А. В. Скороход, «Стохастические дифференциальные уравнения и их приложения». — Нау-кова думка, Киев, 1982.

16А. Ю. Веретенников, М. Л. Клепцина, «О сильных решениях стохастических уравнений Ито-Вольтерра». — Теория вероятностей и ее применение, 12 ( 1984), 32-40.

17A. M. Koiodii, «On conditions for existence of strong and weak solutions of stochastic Volterra equations». — Theory of Stochastic Processes, 2(18) (1996), 67-78.

дулей непрерывности случайных полей, определяемых несколькими типами стохастических интегралов по сильным мартингальным ядрам. Эти неравенства получены автором и опубликованы в работе [9]. Их доказательства приведены в §2.2 главы 2. Перевод работы [9] опубликован на английском языке в Journal of Mathematical Sciences18.

Теоретическая и практическая значимость

Работа имеет теоретический характер. Ее результаты и методы их получения могут быть применены для дальнейшего развития теории стохастических интегро-дифференциальных уравнений, например, для поиска условий и доказательства существования слабых решений и сходимости дискретных аппроксимаций стохастических интегральных уравнений на плоскости. Практическая значимость диссертации заключается в возможности применения ее результатов для построения и исследования математических моделей в некоторых областях естествознания, например, в стохастической биометрике.

Апробация работы

Автор выступала с докладами на следующих конференциях, где излагались результаты, относящиеся к диссертации:

1) XXIII Конференция молодых ученых механико-математического факультета МГУ имени М. В. Ломоносова (апрель 2001, Москва, МГУ) [3];

2) Международная конференция: Колмогоров и современная математика (июнь 2003, Москва, МГУ) [17];

3) International Conference Functional Methods in Approximation Theory, Operator Theory, Stochastic Analysis and Statistics II (октябрь 2004, Киев, Киевский национальный университет имени Тараса Шевченко) [20];

4) XI Всероссийская Школа-Коллоквиум по Стохастическим Методам (октябрь 2004, Сочи) [7];

5) Всероссийская Школа-Коллоквиум по Стохастическим Методам (октябрь 2005, Сочи) [10];

6) International Conference Modern Stochastic: Theory and Application (июнь 2006, Киев, Киевский национальный университет имени Тараса Шевченко) [22];

7) Всероссийская Школа-Коллоквиум по Стохастическим Методам (октябрь 2008, Волгоград) [12].

Публикации

По теме диссертации опубликована 21 работа, список которых приведен в конце автореферата [ 1 ] — [21].

I8N. A. Kolodii, «Some properties of random fields related to stochastic integrals with respect to strong martingales». — Journal of Mathematical Sciences, 137, №1 (2006), 4531-4540.

Структура диссертации

Диссертация состоит из введения, трех глав, заключения, списка литературы, насчитывающего 49 наименований и организованного в алфавитном порядке, и указателя символов. Все результаты, представленные в диссертации, получены автором самостоятельно, за исключением формулировок нескольких утверждений, цитируемых с приведением источников. Нумерация лемм, теорем и формул начинается в каждой главе заново и состоит из двух чисел. Первое число относится к номеру главы, второе — к номеру утверждения (леммы, теоремы или формулы). Общий объем работы составляет 101 страницу.

2. Краткое содержание диссертации

В следующем описании используется нумерация лемм и теорем из текста диссертации.

Глава 1. Измеримость по параметру квадратических вариаций

сильных мартингалов и стохастических интегралов § 1.1. Элементы теории двупараметрических сильных мартингалов

Данный параграф содержит определения используемых в дальнейшем объектов и вспомогательные результаты, среди которых — лемма 1.2 и теорема 1.1 о свойствах сильных квадратично интегрируемых мартингалов и их взаимных квадратических вариаций.

Пусть R+ = [0, оо[х[0, оо[ — первый квадрант плоскости. Для обозначения элементов R+ будем использовать буквы х, у, г, u, v, причем, если в одном и том же выражении присутствует буква г и присутствует z\ и (или) z2, то всегда полагаем, что z\ — первая координата, а z2 — вторая координата вектора г (аналогично для х, у, и, и). Неравенства х < у, х < у, х ^ у, х > у и структурные операции х V у, х Л у определены поэлементно. Например, х Ау = (zi Л у\, х2 Л у2), неравенство х < у эквивалентно системе неравенств Xi < yi и х% < у2. Соотношение х ^ г (аналогично, соотношение х ^ z) означает, что ¡п. < z\ и х2 ^ ¿2 (соответственно, х\ ^ zi и х2 < -г2). Далее, ]х,у] обозначает прямоугольник ]х, у] = {u : х < и < у} (пустой, если не выполнено условие х < у), [х, у] = {u : х < и < у}.

Пусть В* обозначает пространство всех таких функций g(-) : R+ R*, что:

1) д непрерывна справа, т.е. lim д(х) - g(z) для каждого г е R+;

2) для каждого г е R2+ \ (R+ х {0}) существует предел lim д(х);

3) для каждого г € R+ \ ({0} х R+) существует предел lim #(х);

х0г,х—*z

4) для каждого z > 0 существует предел lim д(х).

z>x—*z

Для д еВе определим: ||р||г = sup |5(i)|, z G R+. Введем обозначения:

ze[o,z]

Rg = {z G Rij.: zi = 0 или z2 = 0}, Шi = {ge B*: g(z) = 0 для z G Rg}.

Если X — метрическое пространство, то 38 (X) обозначает сг-алгебру боре-левских подмножеств пространства X; 38z — &([0, z}).

Функцию </(•) : R+ ь» R* будем называть непрерывной слева, если lim д(х) = g(z) для каждого z G Rl \ {0}.

z^x—*z

Приращение функции д(-) : R+ i-> R на непустом прямоугольнике }х,у] определяем равенством: д(]х,у]) = д(у) - д{хиу2) - g{yi,x2) + д{х). Если }х,у] = 0, то д{]х,у}) полагаем равным нулю.

Пусть Р) — полное вероятностное пространство. Двупараметриче-ское семейство сг-алгебр F = z € R+) подмножеств пространства Ü будем называть фильтрацией на вероятностном пространстве (ft, Р), удовлетворяющей «обычным» условиям, если: lj^C^C^ для любых у < z;

2) содержит все элементы & нулевой вероятности;

3) = П Д^151 любого z;

¡¡<у

4) выполнено условие Каироли-Уолша: для любых у uz с-алгебры и &z условно независимы относительно cr-алгебры

Определим: «F* = ( V V ( V Для z G R^.. Класс множеств

s>0 ' t> о

sr = |a|a С X ft, ([0,2] X ft) П A G 38z ® Vz G R^j называется

ст-алгеброй F-прогрессивно измеримых подмножеств пространства R+ х ft. с-алгеброй F-предсказуемых подмножеств пространства R+ х ft называют минимальную сг-алгебру 0s, относительно которой измеримы все непрерывные слева F-согласованные поля с действительными значениями.

Далее, обозначает пространство всех квадратично интегрируемых сильных F-мартингалов:

= {м | ß € FПК E\ß{z)\2 < оо, E{/i(]z,z'}) | &*z} = 0 Vz < z'}.

Всегда в дальнейшем ^ обозначает класс всех разбиений R+ семействами прямоугольников

5 = {¿¿J =\Чз>ui+i,j+i) 4i = (u'i>u'j)> hj e (°> !> -}; "o,o = (0,0),

Uij < щ+ij+i, lim u'i = +oo, lim u'- = +00

¿-»00 j-юо J J

Пусть |<J| = sup IUij - tii+ij+il, = ¿»¿П]и,v\. ij

Для произвольных случайных полей ц G и v G определим

Из результатов работы А. А. Гущина и Ю. С. Мишуры19 следует, что существует такое случайное поле ((р, v)z, z е R+) со значениями в что

элементы матрицы (р, v) принадлежат F Л D¿ и = P-Hm{/i, v)\ для

о

каждого z € R+.

Поле (р, и) называют совместной (или взаимной) квадратической вариацией сильных квадратично интегрируемых мартингалов р и и, (р) = {ß, ß) называют квадратической вариацией сильного квадратично интегрируемого мартингала ß. В дальнейшем будем также использовать обозначение: ß = tt(p).

Если р б Jt2sp р > 1, ЕßpJ2 < оо, то E||/í||5 < CPiiEßpJ2.

§ 1.2 и § 1.3 посвящены проблемам существования измеримых по параметру модификаций взаимных квадратических вариаций сильных квадратично интегрируемых мартингалов и стохастических интегралов по двупарамет-рическим сильным мартингалам. Измеримость по параметру однопараметри-ческих случайных процессов исследовалась многими авторами. Например, в работах К. Долеан20 и К. Стрикера и М. Йора21 содержится ряд результатов о существовании измеримых по параметру модификаций случайных процессов, квадратических вариаций семимартингалов и управляемых ими стохастических интегралов. В двупараметрическом случае решение вопроса об измеримости по параметру имеет свои существенные особенности, не позволяющие воспользоваться известными результатами для однопараметрическо-го случая.

§1.2. Измеримость по параметру взаимных квадратических вариаций сильных мартингалов

Пусть (9, — произвольное измеримое пространство.

Теорема 1.2. Предположим, что выполнены следующие условия:

1) — такая а-алгебра подмножеств пространства 0 х R+ х fi, что С "It ® ¿§{R\) ® & и U X R% х fi <= tf для каждого U G

2) (£n(0> z, w))neN — такая последовательность Чр\3§{Щ-измеримых функций, что £п(0, -, из) G D1 для любых в£@,шей,пеЫи

lim P{||£r(M - ¿(МП* > £} = 0 для любых £> 0, в е 0,2 е RL

rj—» 00

7Ьгда существует такая Чр\£)(К)-измеримая функция Ç(6,z,uj), что

"А. А. Гущин, Ю. С. Мишура, «Неравенства Девиса и разложение Ганди для двулараметрических сильных мартингалов». — Теория вероятностей и мат. статистика, №42 (1990), 27-35.

20С. Doleans, «Integrales stochastiques dependant d'un paramétré». — РиЫ. Inst, statist. Univ. Paris, 16 (1967), 23-33.

21C. Strieker, M. Yor, «Calcul stochastique dépendant d'un paramétré». — Ztchr. Wahrscheinlichkeits theorie verw. Gebiete, 45(1978), 109-133.

для каждого 0 £ © траектории случайного поля £(в, •) п.н. принадлежат®1 и lim Р{||&(0,-)-£(0, *)11г > е} = 0 для любых е > 0,0 £ 0,z £ Ri.

г—»oo

Определим и-алгебру ¥= {с| С С © х R% х Ü, С П (© х [0, г] х Ü) £ ® SB, ® Vz £

Теорема 1.3. Предположим, что р(9,х,и), v{0,x,lo) б 3?\&)(R) и ¡i(9,-),v(9,-) £ для каждого в £ ©. Тогда существует 3F\38(R)-измеримая функция (в,х,ш) (¿¿(0),i/(ö))(:r,w) такая, что для каждого фиксированного в £ © траектории случайного поля (р(0),г/(0))(-) п.н. принадлежат DJ а (p{9),v(9))(-) является взаимной квадратиче-ской вариацией квадратично интегрируемых сильных мартингалов ц(д,-)ии(9, ■).

§1.3. Измеримость по параметру стохастических интегралов по сильным мартингалам

В § 1.3 основными результатами являются: теорема 1.5, содержащая доказательство плотности пространства измеримых по параметру ступенчатых случайных полей в пространстве измеримо зависящих от параметра предсказуемых случайных полей, и теорема 1.6 об измеримости по параметру стохастического интеграла, управляемого двупараметрическим сильным мартингалом.

Пусть Во обозначает пространство всех случайных полей вида

0(7,5; в, z, и) = 7(0, (0,0), W)I« 0)} + £ l{9, (и[(9), 0), ш)lg

i~ 0

00 ^ 00 ( \ j—0

где (0,(z,w)) (9,z,üj) £ и 6{в) — ^-измеримое разбиение

R+, т.е. такое семейство прямоугольников

6(9) = {<5у(0) ^]uij(9),ui+hj+i(9)l ЬЗ е {0,1,...}},

что «о, о = (0,0), Uij(9) < 1л+и+1(0), uitj{9) = = +оо,

lim <(в) = +оо, uij(-) £ j—»00 J

Если ^ e ^I^F, P), то Вг(/ц) обозначает класс всех таких случайных полей (г,ш) i-f jSfow) £ что 1/31, 4 (е j ß2(x)'Jl{dx)sj112 < оодля

00 Г

каждого z е R2+. Для ßß" € В2(м) пусть Qfi(ß', ß") = £ 2"* [l A\ß'-ß\,k) .

Теорема 1.5. Предположим, что (0, (х,ш)) i-> ß(0,x,u>) £ % ® ^¡ЩИ); (9,х,и) ц(в,х,ш) £ &\¿S(R); ц(0,-) € ug.) € В2(^(6>, •)) для каждого в £ 0.

7ог<За существует такая последовательность случайных полей (ßn)n<zN С Во, что lim д (в .)(ßn(9,•),ß(9, •)) - 0 для каждого В £ Q.

п—+оо гч ' '

Теорема 1.6. Предположим, что выполнены следующие условия: (i9, (x,u))i->ß(0,x,u)€&<9&l&(R), {9,x,w) ß{9,x,u>) £ ^i^(R), ¿¿(0, •) € для каждого в £ Э, Е f ß2{9, u)ji(9, du) < oo (Зля любых в £ 0, z G R+.

]0,х]

Тогда существует такая функция i(9,x,w) : © х R+ х П R, что:

1) (9,х,и) ^ J(&,х,ш) £ £ГЩК);

2) J(9,x) является модификацией стохастического интеграла на прямоугольнике ]0,а;] от предсказуемого поля ß(9,-) по квадратично интегрируемому сильному мартингалу ß(9, •):

J(0,a;)= f ß(9,u)ß(9,du) п.н. для любых х £ R+, в £ 0;

]0,х]

3) для каждого фиксированного 9 £ 0 случайное поле J(9, •) является элементом пространства квадратическая вариация J(0, •) на прямоугольнике]0,х) равна f ß2(9,u)Ji(9,du);

lo,*]

4) если для каждого 9 £ 0 траектории ц{9, ■) п.н. непрерывны, то J(0, ■) также п.н. непрерывен.

Глава 2. Стохастические интегралы по сильным мартингальным ядрам

Пусть

[с\с с R5.xR2.xfi, Cn(R+x[0,z]xfi) е Vz £ Rfj.}.

Главной целью этой главы работы является исследование случайного поля

Ф)= J ß(z,xMz,dx), z£ R2+, (2.1)

lo,»]

где (г, я, и) ^ ß(z,x,oj) £ ■) £ для каждого z € R+,

(s.fow)) ^ ß(z,x,u) £ @{R2+)®&\@{Rexd), Е f \ß(z,u)\2ß(zM < оодля

Ю,*]

каждого z £ R^., ß(z, и) = tr(ß(zl •))„.

Отметим, что согласно теореме 1.6 стохастический интеграл (2.1) имеет Р-прогрессивно измеримую модификацию. Так как в интеграле (2.1) подынтегральная функция и мартингальное ядро зависят от пределов интегрирования, то, в общем случае, поле г] не обладает мартингальными свойствами. В дальнейшем, с целью поиска условий существования модификации поля г/ с траекториями вВ){и доказательства неравенств для моментов равномерной нормы г), рассматривается представление г] в виде суммы случайных полей

#(*)= J Р{х,х)ц(х,ёх), (2.2)

£(г) = J Р(г,х)/л(г,<1х) + ! ¡3{х)х)1л{х,йх)-

]0,г] ¡0,г]

J Р({г1,х2),х)ц{(г1,х2),йх) - ^ ¡3({х1,г2),х)11{(хъ г2),йх), (2.3)

С1(г)= / ха), х)д((лг1, жа), ¿аг) — j ¡3(х,х)ц(х,<1х)> (2.4)

)0,г] ]0,*]

Сг(«)= J Р((хиг2),х)11((х1,г2),<Ь) - J 0{х,х)ц(х^х). (2.5)

]0,2] ]0,г]

Очевидно, что необходимо пояснить смысл стохастических интегралов в правых частях равенств, определяющих поля (2.2) — (2.5). Этому посвящен параграф 2.1 диссертации.

§2.1. Интегрирование по сильным мартингальным ядрам

Пусть (г,х,ш) н-> € ^ЩН); •) € для каждого г £

А*'(«.У|®) = -ц(у,х).

Согласно теореме 1.3 существуют такие функции

(г,х,и) н-> ]1(г,х,ш) € и (г, у,х,ш) *-* р(г,у,х,ш) е ^^(И),

что р(г, х) и у, х) — квадратические вариации ц(г, ■) и у, •) на [0, ¡с] для любых фиксированных г, у е Р^.

В данном разделе определяются стохастические интегралы вида

/ а(х)(х(х,с1х), / а(х)ц{(х\,Ь),<1х), / а(х)р'((х1,Ь),х,с1х), ]0,у] ]0 ,у] ]0,у]

/ а(х)(1'(г,(хиг2),(1х), / с^сф'^ъ (а^в),^) 10,»] )0,у]

от предсказуемых случайных полей (а(ж), х е Р+). Стохастические интегралы в правых частях равенств, определяющих поля (2.2) — (2.5), и стохастиче-

ские интегралы в доказательстве теоремы 2.4 сводятся к этим типам интегралов. Рассмотрим условие:

(М) существует такая возрастающая функция (g(t))t^o и такая функция Л(z, х, ш) € @{R%) <3 ® &\£8{R+), что: lim g{t) = 0;

0 < Л(у, ]u, и]) ^ A{z, ]u, и]) для любых и < v, у < z\ EA(z,]0,z]) < оо для любого z 6 R+; ß{z,}u,v}) < A(z,]u,v]);

ß(z,y,}u,v}) < A(zVy,]u,v])g(\z - y\) для любыхu < v.

Для функций h(z,y,x) : R+ х R+ х R+ R, g(z,x) : R^. X R^. и R и разбиения 5 6 3> определим

S$(h,t,]v,xj S!(h,z,]v,x] S$(h,t,s,]v,x]

EaWJMf),

M

»J ij

Теорема 2.1. Если условие (M) выполнено, то существуют такие функции АA^{t,B,u), А%(t,B,uj), А$(z,B,w) и Аf(i,s,5,w) аргументов В <Е @(R+), z е R+, t, s е R+, ш € Ü, что:

1) функции множеств Af(-,u), Аf(i,Ag(i,-,w), А%(z,-,uj) и Ag(i,s,-,w) являются а-конечными мерами для любых фиксированных t, s е R+, z € R+, w 6 Г2;

2) с вероятностью 1 для любых t,s 6 R+, z, и, я, е R+

А?(]«,х]) = lim Si(/Z>,x]), A?(i,]u,a;]) = lim Slfct,)v,x\),

|J|—>0 |oj—»0

A${t,]v,x}) = lim S^fti,]«,®]), A${z,]vtx]) = lim Sftft«,]«,®]),

15]—»0 |i|-+0

Af(i(s,]u,x]) = lim |d|—»0

3) случайное поле (х,ш) ь-> Af(]0,x],oi) является SF-измеримым; поля (¿, х, ш) >-> Аf(t, ]0, х], ш) и (i, х, и) ь-> А§(t,]0, ж], ш) являются ^-измеримыми; поля (z,x,u) 1—► A4(2,]0, х],ш) и (t,s,x,uj) t-» Ag(t, s,]0,ar],oj) являются «^2-измеримыми; как функции от х они являются элементами пространства BJ.

В дальнейшем применяются следующие естественные обозначения для интегралов от ^(R^.^"-измеримых случайных полей (а(х), х G R+) по мерам А?(-). A?(i, 0. Af(¿, -). А?(г, ■) и Аg(t,s,-):

f a(x)p(x,dx) = f a(x)A^(dx), № M

J a(x)~ß{{xi,t),dx) = f a(x)N£{t,dx), lo,y] ]0,«1

f a(x)p{{xht),x,dx)= f a(x)A$(t,dx), ]o,v] 10,vi

f a(x)ß(z, (xi,z2),dx) = / a(x)A^(z,dx),

10,y] ]0,y]

f a(x)ß((xi,t), (xi, s), dx) = / a(x)A${t,s,dx). 10, vi lo, vi

Теорема 2.2. Если выполнено условие (М), то существуют такие функции G ^Mf(R), M^i.z.u) G ^(^(R), Mf(i,x,w) G

M${z,x,w) G M{f(i,e,a:,w) 6 что для

любых фиксированных t,s G R+, z G R+ случайные поля M^-), M£(i, ■), M3 (t, •), M4 (z, •) и M5 (t, s, •) являются элементами с квадратиче-скими вариациями А£(]0,-]), A^(i,]0,-]), Af(i,]0, •]), A§(z, ](),■]) и A5 (i, s, ]0, •]) соответственно и

M?(.) - lim •]), Ma(i, •) = lim •]),

[ö I—»0 |o|~>0

Mg'(t,.)=ümS«3(M')i,]0)-]), Mf(2,.)= limS^^jO,.]),

JoJ—»0 И-*0

|<5|->0

в пространстве

В дальнейшем применяются следующие обозначения для интегралов от предсказуемых случайных полей (а(ж), х G R+) по сильным мартингалам М?(•), м.), M^f,.), м{{z, ■) и Mg'(i, 5,.):

f a(x)p(x,dx)= J a(x)Ml(dx), 10, vi ¡0,5/]

f a(x)p({x\,t),dx) — f a(x)M$(t,dx), lo,»] lo,y]

/ a(x)p'((xi,t),x,dx) = / a(x)M%'(t,dx),

10,2/1 м

f a(x)ß'(z,(xi,z2),dx) = f a(x)M%'(z,dx), 10,vi 10, vi

f a(x)p'((xi, t), (xu s),dx) = / a(a:)Mif(i,M:r). 10,vi 10,y]

§2.2. Неравенства для моментов равномерных норм

и модулей непрерывности стохастических интегралов

Рассмотрим случайные поля г), д, Ci. С2. определенные равенствами (2.1) — (2.5). Для произвольной функции д(-) : R+ R и для е > 0, а е R+ определим: А(а,д,е) - sup{|3(a') - д{а")\ : а',а" е [0,а]; |а'-а"|<гг}.

Теорема 2.4. Предположим, что существует такое число р > 1, возрастающая положительная функция (<p(t))t^о и измеримые случайные поля A(z, х) и f3(z, х) со значениями в R+, что:

для z<z';

о

О < A(y,]u,ti]) < A(z,]u, и]) дляу^г; EA(z,]0, z]) < оо;

Hz, ju, г;]) ^ Л (z, ]u, и]); £(z, z', ]х, г/]) ^ A(z V z', }х, y))^{\z - z'|);

|(3{z, x)\ ^ ftz, x); |P(zt x) - P(y, z)| ^ P{z V y, x)<p{\z - y]); / — \ p/2

E( f (32(z,x)A(z,dx)) <00.

Vl '

Тогда:

1) случайное поле г? является элементом пространства и

2) случайное поле £ имеет непрерывную модификацию, поля ц, Ci и (2 имеют модификации (далее обозначаемые теми же буквами) с траекториями в Bq,'

3) для любого фиксированного ¿2^0 процесс (Ci(zhz2))^o имеет непрерывные траектории; для любого фиксированного z\ > 0 процесс (CiC^i) ■гг2))г2>о является однопараметрическим квадратично интегрируемым ^-мартингалом;

4) для любого фиксированного z\ ^ 0 процесс (СгЙъЗг))^^) имеет непрерывные траектории; для любого фиксированного z2 ^ 0 процесс (62(21, г2))г1г-о является однопараметрическим квадратично интегрируемым (с?^2))^-мартингалом;

5) справедливы неравенства:

t — „ \ Р/2

/ p*(z,x)A(z,dx)) , EAP(z,Ç, e) + EAp(zi, Ci(-, z2),e) + EAP(z2l C2(«i, •).e) <

<CWE( j p\z,x)A{z,dx))P'\

где Ср^е —► 0 при е —> 0.

§2.3. Интегрирование по полям ограниченной вариации

§2.3 содержит теорему 2.5 о свойствах траекторий интеграла по интегрирующему ядру локально ограниченной вариации.

Глава 3. Стохастические уравнения Вольтерра на плоскости

§3.1. Существование и единственность решений с локально интегрируемыми траекториями

Пусть А — локально конечная мера на ((?+, — пополнение

по мере А; Хд — пространство таких функций д е что

|| № г = ( / \д\2<1\) < оо для каждого Для д 6 Хд и х € опреде-

ЧМ '

лим элемент дх е Хд равенством дх(у) = д(у) Отметим, что отображение х |-> дх : ^ 1-> Хд непрерывно слева для каждого д 6 Хд.

Пусть 5д — пространство таких «^-измеримых полей £ = (£(г), г € Рф, что £(•, и) е Хд для каждого ие(2.

В данном параграфе работы рассматривается стохастическое интегральное уравнение

= + / а{г,х,¥Ыг,<1х) + ] Ъ{г,х,?)ц{г,йх), г 6 1*3., (3.1) М [о,^

коэффициенты которого удовлетворяют условиям:

1) леЕу,

2) {{г, ш),х, д) ^ а(г, и>,х,д)€?® ® ^(Хд)|^(^хт);

3) ■ (я, (яг, о;)) н» ф,х,ш) е 38(К\) ® &\ЩИт);

4) (■у(г, х), х £ е £?т для каждого фиксированного г\

5) (г,(х,и),д) ^ Ь(г,х,и,д) € ® & ®

6)

7) [ц(г, х), х € <= для каждого фиксированного г. Решением уравнения (3.1) будем называть такой элемент £ пространства Нд, что для каждого ге ^ с вероятностью 1 выполнено равенство (3.1). Решение £ уравнения (3.1) будем называть единственным, если любое другое решение уравнения (3.1) является модификацией

ш

Пусть ■р{я,х)=Ъг{ц{гг))*, 7(*»®) = Е /

3=Щх]

Лемма 3.2.1. Предположим, что ш г](ш) е у < г. Тогда

2. Если £ G 5л, то

((г,ы),х) G & ® &(Rl)\@(Re*m).

Теорема 3.1. Предположим, что существует такое случайное поле B(z,x,lj) G 38{R\) <8 ®{R\) ® что 0 < B(z,x) < B(z',x) для

z < z' и

|a(z, x,g)|< z)(l + |||5[||г), |Ь(г, г,5)| < х)(1 + |||5|У, (3.2)

\a{z,x,g)-a{z,x,g')\ ^ B(z,x)\\g - g'\\z,

Ib{z,x,g) - b(z,x,g')\ ^ B{z,x)\\g - g>|||г,

f B(z,x)y(z,dx) + J B2(z, x)ß(z, dx) < T(z), [0,2] [0,2]

где (r(z), z G R+) — неслучайная функция, 0 ^ Г(г) ^ Г(г') для z ^ z'. Тогда существует единственное решение £ g Sa уравнения (3.1). Теорема 3.2. Предположим, что выполнено условие (3.2) и существуют такие ЩЯ+) ® <g> ЩИ+уизмеримые случайные поля Bn(z, х, ш), п G N, что

1) если Ig¡1 z V Is7!, «S п, то \a{z,x,g) - a(z,x,tf)\ < Bn(z,x)l\g - g'\\2,

2) если ¡IlsrliU V \W\\X < п, то \b{z,x,g) - < Bn(z,x)\\g - g'\\x,

3) f Bn(z,x)%z,dx) + f B%(z,x)ß(z,dx) ^ rn(z), [0,2] [0,2]

где (rn(z), z e

— неслучайные функции, 0 < rn(z) ^ Г„(г') для z < z'. Тогда существует единственное решение £ g На уравнения (3.1). Пусть

т

p(z,y,x) = tr(ß(z,') -ß(y,-))x, 7= £ / -Tj(j/>du)l-

J=1 [0,i]

Теорема 3.3. Предположим, что выполнены условия теоремы 3.2, траектории поля rj лежат вИ)г и существуют такие возрастающие функции ip(-) : R+ i-> R+ и g(-) : R+ R+, число р > 1 и положительные измеримые случайные поля B(z, х, ш) и Л(z, х, ш), что

1

/ ip(s)s-1~2/Pds < оо; lim g[t) = 0, о

EA(z,j0, z]) < оо; 0 < A(y,]u,v]) < Л(г, ]u, v]) для u^v,y^z,

7(z, }u, и]) < A{z,]u, v]); 7(z, y, \u, v]) < A(z V у,]«, v])e{\z - y\), ^{z^v}) < A(z,]u,u]); /2(z,y,]u,v]) < A(z V2/,]u,u])<p2(|z - 2/1),

О ^ B(y,x) ^ B(z,x) для y^z-, E(f B2(z,x)A(z,dx))P/ <00,

V*] y

Ia(z, x, g) - a(y, x, p)| < V y, x)q(\z - y|)(l + |||i?fiU), Ib(z, x, g) - b(y, x,g)\^ B(z V y, x)<p(\z - y|)(l + Mx)-Тогда существует единственное в смысле неотличимости решение £ уравнения (3.1) с траекториями вШ1.

§3.2, Предельная теорема для уравнений Вольтерра на плоскости

Рассмотрим семейство стохастических интегральных уравнений Вольтерра на плоскости:

&(*) = Vs(z) + J a3(z>x,Cahs(z,dx) + J b3(z,x,^)p3(z,dx), (3.3)

M [0,г]

s > 0, коэффициенты которых удовлетворяют условиям:

1) Пв б 2Л;

2) ((*,и), х,g) » a,(z,и,х,д)еЗГ® <%{R\) ® ^(XA)|^(Rixm);

4) (7s(2)^)> г е R+) е Для каждого фиксированного z\

5) (z, (х,ш),д) ^ bs(z,x,w,g) Е ® ^ ® #(XA)|#(R'x<i);

6) (г, w)) ^ /is(z, w) G ^(R+) ® ^^(R*);

7) (/Lis(z, х), а; € R+) Е для каждого фиксированного z. Введем следующие обозначения: 7„,о = %- 70, ps,o = Р* - /"о- Пусть

m . Л , тл ,

= £ I bP(z,dy)l, %flM = Z I 17ЙСМ!/)|,

¿¡Д^ж) = tr(ps{z, •))*, ~Psfi{z,x) = tv(psfi{z, -))x.

Теорема 3.4. Предположим, что для каждого s ^ 0 уравнения (3.3) имеют единственные решения с траекториями вХх и пусть:

1) P-lim |rjs - 770IU = 0 для каждого х <Е R+;

s—»0

2) существуют такие +)-измеримые случайные поля Bs(z) х), что 0 < Bs(z, х) < B3(z', х) для z < z',

\as{z,x>g)\ ^ Bs{z,x){l + Mz), \bt{z,x,g)\^B,{z,x)0. + lglx), Ia0(z,x,g) - оо(г, x,g')\ ^ B0{z,- fif'|||z, \b0{z,x,g) -b0{z,x,g')\ < B0{z,x)l\g - д'Цх,

/ B,(z,x)it(z,dx)+ J B2s{z>x)p,s{z,dx) < Г,(г), [0,2] _ [0,z]

f Bs(z,x)%fi(z,dx) + f B2(z,x)ji3i0(z,dx) < Tsfi(z),

[0,*] [0,zj

где и rSio(z) — неслучайные функции, удовлетворяющие условиям:

0 ^ Г, (г) < Г5(У) и 0 ^ Г8,0(г) < Г,о(г') для z ^ z', Iímrs,0(z) = 0 для

в—• о

любого z.

3) существуют такие Зё(К2+) ®¿§{R2+)®^\S§{R+)-u3MepuMbie случайные поля BSin(z,x), п € N/что О ^ B3,n(z,x) ^ BSiTl(z',x) для z < z',

sup \as{z,x,g)-a0{z,xlg)\^ Bs¡n{z,x),

9- l9b<™

sup \b3(z,x,g) -bf¡(z,x,g)\ < Bs¡n(z,x), rfsK"

J Bs>n(z,x)%(z,dx)+ f Bln(z,x)Ji0(z,dx) ^ ra¡n(z), M [0,z]

где r3t„(z) — неслучайные функции, О ^ I\„(z) ^ I\n(<z') для z ^ z', limIY „(z) = 0 для любых z и п.

8—> О

Тогда P-lim |]]£s - Colli = 0 для каждого х е R%.

s—>0

§3,3, Существование и единственность решений с непрерывными траекториями

Пусть C¿ обозначает пространство непрерывных функций g : R+ R¿, ||д||г = sup (<7(я)|, 1fz = обозначает минимальную а-алгебру, со-

16 [0,г]

держащую цилиндрические подмножества пространства Се с координатами из [О, z],T.e. %{Се) = a[{g\g е С*, g{v) е B}\v е [0,z], В е

Если поле (C(z),z € R+) — € R+)-согласовано и траектории поля С п.н. принадлежат то будем писать: £ е F ПС*. Через Hp, р > 2, обозначим пространство таких полей (£(х),а: £ R+) £ F П С1, что ICU = (E||C|lz)1|/p < °°

оо

для каждого z. Для С и г? е Нр пусть £Н(С> V) - Т, 2_fc(1 А 1С -

__4=1

Пусть á2 обозначает минимальную ст-алгебру подмножеств пространства R+ х Ü х порожденную классом

/ = {]x,z\ х А х С\ x,z £ R+, х < z, A € Св&х} U

и {{0}x]s,í] X Л X C\s,t е R+, s < í, А е С е %,)} и

U {]s,í] X {0} х Л х C|s,í G R+, s < t, Л е С € U

U {{0} х А х С| А е ^(0,0), с € tf(o,o)}.

Рассмотрим стохастическое уравнение Вольтерра на плоскости:

t(z) = r]{z) + J a(z,x,£)dx + J b(z,x,{)dW(x), z <= R*, (3.4)

]0,z] ]0,z]

коэффициенты которого удовлетворяют условиям:

1)т? ё FnC*; _

2) (z,(x,u,g)) » a(z,x,u,g) е ® (z, (х, w, д)) ^ b(z, х, tu, д) е ®(R%) ®

3) (W(x),x е R+) — m-мерный стандартный двупараметрическийF-вине-ровский процесс.

Решением уравнения (3.4) будем называть такое случайное поле £ € F П

Се, что с вероятностью 1 равенство (3.4) выполнено для всех z е R|. Если

уравнение (3.4) имеет решение, то будем называть его единственным, если оно

неотличимо от любого другого решения уравнения (3.4).

Теорема 3.7. Предположим, что г] & Бр и существует такое число

р > 1, возрастающая положительная функция (y(i))t>о и такие кон-

1

станты С ^ 0 и К ^ 0 что; / tp(s)s~1~^pds < оо;

о

|в(г,г,<7)| + |Ь(^®,<7)|<С(1 + Ш; (3.5)

|b(z,x,g) - b(z',x,g)| < C<p{\z - /¡)(1 + \\gh); (3.6)

Ia(z, x, g) - a(z, x, s')| + \b(z, ж, g) - b{z, x, g>')| < K\\9 ~ g'h) Ib(z,x,g)~ b(z\ x,g)~ b(z, x, g') + b(z\ x, g') | < ^Kip(\z-J\)\\g-g%.

Тогда существует единственное решение £ е Ер уравнения (3.4).

Теорема 3.8. Предположим, что коэффициенты уравнения (3.4) удовлетворяют условиям (3.5), (3.6) и условию: для каждого я £ N существует такая константа что

■\a(z,x>g)-a(z,x,g')\ + \b(z,x,g) - b(z,x,g')\ < Kn\\g - g'\\x, Ib(z,x,g) - b(z', x, g) - b(z,x,g') + b(z',x,g')| < Kn<pQz - z'\)\\g - g'\\x

для всех таких g, g' e Ce, что Ц^Ц^ V ||р'||г < п.

Тогда уравнение (3.4) имеет единственное решение £ е F П С1.

Благодарность

Автор выражает глубокую благодарность академику РАН, профессору Юрию Васильевичу Прохорову за поддержку и внимание к ее научной работе.

3. Список публикаций автора по теме диссертации

1. H.A. Колодий, «Стохастические интегральные уравнения на плоскости». — Обозрение прикладной и пром. мат. 7, вып. 2 (2000), 500—501.

2. Н. А. Колодий, «Теоремы существования решений и предельные теоремы для двупараметрических стохастических уравнений Вольтерра». — Обозрение прикладной и пром. мат. 8, вып. 2 (2001), 775.

3. Н. А. Колодий, «Непрерывные модификации и неравенства для стохастических интегралов типа Вольтерра на плоскости». — Современные исслед. в мат. и мех., Материалы 23 Конф. молодых ученых мех.-мат фак. МГУ, Вып. 2, с. 172-174. Изд-во МГУ, Москва, 2001.

4. Н. А. Колодий, «О свойствах стохастических интегралов по непрерывному двупараметрическому сильному мартингалу». — Обозрение прикладной и пром. мат. 9, вып. 2 (2002), 399—400 .

5. Н. А. Колодий, «О сходимости дискретных аппроксимаций стохастических уравнений Вольтерра на плоскости». — Обозрение прикладной и пром. мат, 10, вып. 3(2003), 671-672.

6. Н. А. Колодий, «Интегралы по двупараметрическим сильным мартинга-льным интегрирующим ядрам и их применения». — Обозрение прикладной и пром. мат 11, вып. 1 (2004), 120—121.

7. Н. А. Колодий, «Об условиях существования непрерывных справа модификаций стохастических интегралов на плоскости». — Обозрение прикладной и пром. мат, 11, вып. 4 (2004), 840-841.

8. Н. А. Колодий, «Неравенства для стохастических интегралов по непрерывному сильному мартингалу». — Вестник ВолГУ. Сер. Мат, Физ. Вып. 8 (2003-2004), 35-47.

9. Н. А. Колодий, «Некоторые свойства случайных полей, связанных со стохастическими интегралами по сильным мартингалам». — Зап. Науч. Сем. ПОМИ, Вып. 320 (2004), 80-96.

10. Н. А. Колодий, «Уравнения Вольтерра на плоскости со стохастическими интегралами по сильным мартингалам». — Обозрение прикл. и пром. матем. 10, вып. 3 (2005), 659-661.

11. Н. А. Колодий, «Непрерывность по параметру решения стохастического уравнения Вольтерра на плоскости». — Обозрение прикладной и пром. мат, 14, вып. 4 (2007), 659-660.

12. Н. А. Колодий, «Измеримость по параметру двупараметрического стохастического интеграла по сильному мартингалу». — Обозрение прикладной и пром. мат. 15, вып. 4 (2008), 639-640 .

13. N. A. Kolodii, « Some properties of stochastic integrals on the plane». — Abstracts of Communic. of Inter. Conf. on Stock, and Global Analysis, p. 31. Voronezh, 1996.

14. N. A. Kolodii, «On Volterra type stochastic integral with respect to a continuous strong martingale». — Theory of Stochastic Processes, 6(22), №1-2 (2000), 58-61.

15. N. A. Kolodii, «Inequalities for moments of Volterra type stochastic integrals on the plain». — Abstr. of Communication of Intern. Conf. "Stochastic Analysis and, its Applications", p. 62. Lviv, 2001.

16. N. A. Kolodii, «On Volterra type stochastic integral equations on the plane » Abstr. of Communication of Intern. Conf. "Functional Methods in Approximation Theory, Operator Theory, Stochastic Analysis and Statist." p. 31. Kyiv University, Kyiv, 2001.

17. N. A. Kolodii, «Existence theorems and limit theorems for stochastic Volterra equations on the plane». — Abstr. of Communication of Conf. "Kol-mogorov and Contemporary Mathematics" pp. 473-474. Moscow, 2003.

18. N. A. Kolodii, «Stochastic integrals with respect to strong martingale integral kernels». — Тез. докл. международной шк.-конф. "Геометрический анализ и его прил." с. 85-87. Изд-во ВолГУ, Волгоград, 2004.

19. N. A. Kolodii, «Inequalities for moments of right continuous modifications of integrals with respect to strong martingale kernels». — Abstr. of Communication of Intern. Conf. "Functional Methods in Approximation Theory, Operator Theory, Stochastic Analysis and Statist. 2" p. 62. Kyiv University, Kyiv, 2004.

20. N. A. Kolodii, «Volterra equations on the plane driven by strong martingale kernels». — Abstr. of 12 gen. meet. "Europ. women in math." pp. 52-53. Volgograd, 2005.

21. N. A. Kolodii, «Volterra equations driven by strong martingale kernels». — Abstr. of the Intern. Conf. Modern Stochastic: Theory and Application, pp. 165-166. Kyiv University, Kyiv, 2006.

Напечатано с готового оригинал-макета

Издательство ООО "МАКС Пресс" Лицензия ИД N 00510 от 01.12.99 г. Подписано к печати 26.01.2009 г. Формат 60x90 1/16. Усл.печ.л. 1,25. Тираж 100 экз. Заказ 030. Тел. 939-3890, ТелУФакс 939-3891. 119992, ГСП-2, Москва, Ленинские горы, МГУ им. М.В. Ломоносова, 2-й учебный корпус, 627 к.

Введение

Глава 1. Измеримость по параметру квадратических вариаций сильных мартингалов и стохастических интегралов.

1.1. Элементы теории двупараметрических сильных мартингалов.

1.2. Измеримость по параметру взаимных квадратических вариаций сильных мартингалов.

1.3. Измеримость по параметру стохастических интегралов по сильным мартингалам.;.

Глава 2. Стохастические интегралы по сильным, мартингальным ядрам

2.1. Интегрирование по сильным мартингальным ядрам.

2.2. Неравенства для моментов равномерных норм и модулей непрерывности стохастических интегралов.

2.3. Интегрирование по полям ограниченной вариации.

Глава 3. Стохастические уравнения Вольтерра на плоскости.

3.1. Существование и единственность решений с локально интегрируемыми траекториями.

3.2. Предельная теорема для уравнений Вольтерра на плоскости.

3.3. Существование и единственность решений с непрерывными траекториями.

Теория стохастических интегральных уравнений Вольтерра на плоскости тесно связана с теорией многопараметрических мартингалов, теорией стохастических дифференциальных уравнений, управляемых однопараметрически-ми и двупараметрическими мартингалами, и теорией стохастических уравнений Вольтерра на действительной прямой.

Теория стохастических интегральных уравнений Вольтерра на активно развивается последние 30 лет. Например, в работе [5] М. Л. Клепцы-ной и А. Ю. Веретенникова получены условия существования и единственности сильного решения и условия существования слабого решения уравнения Вольтерра по винеровскому процессу с неслучайными коэффициентами. В работе Э. Парду, Ф. Проттера [47] получены условия существования и единственности решения уравнения Вольтерра с упреждающими коэффициентами. В работах А. М. Колодий [41] и [42] приведены теоремы существования и единственности сильных решений и существования слабых решений уравнений Вольтерра, содержащих стохастические интегралы по компонентам семи-мартингалов и криволинейные стохастические интегралы.

Теория многопараметрических мартингалов формируется с 70-х годов прошлого века. В работах Ж. Уолша [49], И. И. Гихмана [7], М. Доззи [29] даны определения и приведены результаты исследования двупараметрической винеровской меры, линии и множества остановки на плоскости, различных типов многопараметрических мартингалов и стохастических интегралов. В работе [9] А. А. Гущин исследовал различные типы разложений двупараметри-ческих субмартингалов, доказал теоремы о разложении сильных субмартингалов и о разложении квадрата сильного мартингала на мартингал и слабо предсказуемое поле. В работах [10] и [11] А. А. Гущин и Ю. С. Мишура доказали существование и исследовали свойства квадратической вариации двупараметрического сильного мартингала. В работе [3] В. М. Бородихина исследована двупараметрическая проблема мартингалов.

Значительное количество работ посвящено теории стохастических дифференциальных уравнений на плоскости, среди которых, наиболее значительными являются работы Ю. С. Мишуры [26] и [27], работы Ж- Ли [43], Я. Тюро [48] и Н. Ланжризади и Д. Нуаларта [44].

Диссертация посвящена исследованию стохастических интегральных уравнений Вольтерра

Ф)+ У J Ъ(г,х:£)ф,с1х), геЯ2+, (1)

О,я] [0,г] содержащих интегралы по таким случайным интегрирующим ядрам (7(2,2;); г,х е 13+) и (/¿(2,2); г,х е И+), что для любого фиксированного г е Щ. поле 7(2, •) является полем локально ограниченной вариации, а поле •) является сильным квадратично интегрируемым мартингалом.

В настоящее время развитие теории стохастических уравнений Вольтерра на плоскости представляется актуальным, что подтверждается вниманием к этой теме исследователей, развивающих стохастический анализ, и возможностью приложений теории многопараметрических мартингалов и многопараметрических стохастических интегральных уравнений к построению и исследованию математических моделей в некоторых областях естествознания. Например, в работе [45] М. Санз-Соле и К. Ровира доказали принцип больших уклонений для семейств решений стохастических уравнений Вольтерра на плоскости. Авторы исследуют стохастическое уравнение Вольтерра на плоскости управляемое /¿-мерным двупараметрическим винеровским полем IV:

Х{г) = Н(г) + I [/(2, ж, Х(х))Ш{(1х) + к{г, х, Х{х))(Ы\, х е Т = [О, I]2, (2) М где функция / : Т2 х н-> х ^ удовлетворяет требованию существования производных ММЬе^ о/(Ш),х,у) и ? сверХ того? эти производные и функции Я : Т ь-» ^ и /г : Т2 х ^ н->• ^ удовлетворяют условию Липшица. Отметим, что при таких условиях, стохастическое интегральное уравнение (2) может быть преобразовано в стохастическое дифференциальное уравнение для которого существование единственного решения с непрерывными траекториями легко может быть доказано применением стандартных методов исследования стохастических дифференциальных уравнений.

Во всех утверждениях диссертации среди условий, налагаемых на коэффициенты а{г: х, д) и Ь(г, х, д) уравнения (1), нет предположений дифференцируемое™ или условия Липшица по первому аргументу. В тех теоремах, где доказывается существование и единственность решений с непрерывными справа траекториями или непрерывных решений уравнения (1), условия на а(г,х,д) и Ь(г,х,д) по первому аргументу ограничиваются предположениями равномерной непрерывности функции а(г,х,д) и предположением гельдеровости Ь(г,х,д). Условия на а(г,х,д) и Ь(г,х,д) по функциональному аргументу д в теоремах существования и единственности решений уравнения (1) включают условие линейной ограниченности и локальное условие Липшица. В диссертации доказаны теоремы существования и единственности решения стохастического уравнения Вольтерра на плоскости (1) при таких условиях на коэффициенты, которые потребовали применения как известных общих методов исследования стохастических дифференциальных и интегральных уравнений, так и создания и использования новых результатов о свойствах стохастических интегралов, в которых подынтегральные функции и интеграторы зависят от пределов интегрирования.

Основными целями диссертации являются: 1) доказательство измеримости по параметру квадратической вариации сильного двупараметрического мартингала и стохастического интеграла по сильному двупараметрическому мартингалу; 2) построение стохастических интегралов, управляемых мартин-гальными ядрами; 3) доказательство неравенств для моментов равномерных норм и модулей непрерывности стохастических интегралов и полей, управляемых мартингальными ядрами; 4) поиск условий существования, единственности и непрерывной зависимости от параметра решений стохастических уравнений Вольтерра вида (1) с локально интегрируемыми траекториями; доказательство непрерывности справа траекторий решения уравнения (1) при дополнительных предположениях равномерной непрерывности функции а(г, х, д) и гельдеровости Ь(г, х, д) по первому аргументу; 5) поиск условий существования и единственности непрерывного решения стохастического уравнения Вольтерра на плоскости, управляемого стандартным двупараметриче-ским винеровским процессом.

Методы доказательств утверждений, представленных в данной работе, опираются на применение: общих методов стохастического анализа; аппарата теории многопараметрических мартингалов и, в частности, результатов А. А. Гущина и Ю. С. Мишуры [9], [ 10], [ 11 ] о существовании и свойствах квад-ратической вариации сильного мартингала; неулучшаемых достаточных условий И. А. Ибрагимова [12] существования непрерывных модификаций случайных процессов; общих идей построения измеримых по параметру модификаций однопараметрических семимартингалов и стохастических интегралов, о содержащихся в работах К. Долеан [28] и К. Стрикера и М. Иора [46]; общих методов доказательств существования и единственности решений однопараметрических стохастических дифференциальных уравнений и стохастических интегральных уравнений Вольтерра, содержащихся в работах [4], [6], [5] и [41].

Методы исследования стохастических уравнений Вольтерра на плоскости в диссертации основаны на применении неравенств для моментов равномерных норм и модулей непрерывности случайных полей, определяемых несколькими типами стохастических интегралов по сильным мартингальным ядрам. Эти неравенства получены автором и опубликованы в работе [21]. Их доказательства приведены в §2.2 главы 2.

Основные результаты диссертации, выносимые на защиту, состоят в следующем:

1) измеримость по параметру квадратической вариации сильного двупара-метрического мартингала и стохастического интеграла по сильному двупара-метрическому мартингалу;

2) построение стохастических интегралов по сильным мартингальным ядрам и неравенства для моментов равномерных норм и модулей непрерывности случайных полей, определяемых стохастическими интегралами по сильным мартингальным ядрам;

3) теоремы существования и единственности решения стохастического уравнения Вольтерра на плоскости с локально интегрируемыми траекториями и с непрерывными справа траекториями, теорема о непрерывной зависимости от параметра решения стохастического уравнения Вольтерра с локально интегрируемыми траекториями;

4) теоремы существования и единственности непрерывного решения стохастического уравнения Вольтерра на плоскости, управляемого стандартным двупараметрическим винеровским процессом.

Работа имеет теоретический характер. Все результаты, представленные в диссертации, получены автором самостоятельно, за исключением формулировок нескольких утверждений, цитируемых с приведением источников. Ее результаты могут быть применены для дальнейшего развития теории стохастических интегро-дифференциальных уравнений и для построения математических моделей в некоторых областях приложений теории стохастических интегральных уравнений.

Диссертация состоит из введения, трех глав, разделенных на параграфы, заключения, списка литературы, насчитывающего 49 библиографических источников, и указателя символов. Анонсируем содержание диссертации по главам.

Заключение

В данной работе исследованы стохастические уравнения Вольтерра на плоскости, содержащие интегралы по случайному интегрирующему ядру локально ограниченной вариации и сильному мартингальному интегрирующему ядру. Доказаны теоремы существования и единственности решений с локально интегрируемыми траекториями, с траекториями в пространстве ЕУ и с непрерывными траекториями. Кроме того, доказана теорема о непрерывной зависимости от параметра решения уравнения Вольтерра с локально интегрируемыми траекториями.

Доказательства теорем существования и единственности решений с траекториями в пространстве и с непрерывными траекториями опираются на применение доказанных в главе 2 данной работы результатов о существовании непрерывных модификаций и модификаций с траекториями в ПУ стохастических интегралов по сильным мартингальным интегрирующим ядрам и неравенств для моментов равномерных норм и модулей непрерывности таких интегралов. Эти результаты имеют самостоятельное значение и могут быть применены для доказательства теорем о существовании слабых решений стохастических уравнений Вольтерра на плоскости, для доказательств предельных теорем и теорем о сходимости дискретных аппроксимаций для таких уравнений.

Результатам глав 2 и 3 данной работы предшествуют доказанные в главе 1 теоремы об измеримости по параметру взаимных квадратических вариаций двупараметрических сильных квадратично интегрируемых мартингалов и стохастических интегралов по таким мартингалам. Эти результаты об измеримости по параметру имеют важное значение для строгого обоснования всех тех построений, которые осуществляются в главах 2 и 3 данной работы.

Результаты данной работы могут быть применены в исследованиях по другим направлениям развития стохастического анализа, среди которых можно выделить, например, такие: построение оптимальных и е -оптимальных управлений стохастическими системами, описываемыми многопараметрическими стохастическими интегральными уравнениями; исследование устойчивости и больших уклонений для стохастических интегральных уравнений на плоскости. Практическая значимость диссертации заключается в возможности применения ее результатов для построения и исследования математических моделей в некоторых областях естествознания.

1. Баласанов, Ю. Г. Неулучшаемое достаточное условие непрерывности с вероятностью 1 траекторий случайного процесса/Ю. Г. Баласанов, И. Г. Журбенко// Доклады АН СССР. - 1982. - Т. 263, №2. - С. 270-274.

2. Булинский, А. В. Теория случайных процессов/ А. В. Булинский, А. Н. Ширяев. М.: ФИЗМАТЛИТ, 2003. - 400 с.

3. Бородихин, В. М. Доказательство теорем существования в двупарамет-рической проблеме мартингалов/ В. М. Бородихин// Сибирский математический журнал. 1995.- Т. 36, №2. - С. 248-265.

4. Ватанабэ, С. Стохастические дифференциальные уравнения и диффузионные процессы /С. Ватанабэ, Н. Икэда; под. общ. ред. А. Н. Ширяева. М.: Наука, Гл. ред. физ.-мат. лит. - 1986. - 448 с.

5. Веретенников, А. Ю. О сильных решениях стохастических уравнений Ито-Вольтерра/А. Ю. Веретенников, М. Л. Клепцина// Теория вероятностей и ее применение. 1984. - №12. - С. 32—40.

6. Гихман, И. И. Стохастические дифференциальные уравнения и их приложения/ И. И. Гихман, А. В. Скороход. Киев: Наукова думка, 1982. -612 с.

7. Гихман, И. И. Два типа стохастических интегралов по мартингальным мерам на плоскости/ И. И. Гихман, Т. Е. Пясецкая// Доклады АН УССР. Серия А. 1975. - №11. - С. 963-965.

8. Гихман, И. И. Управляемые случайные процессы/ И. И. Гихман, А. В. Скороход. Киев: Наукова думка, 1977. - 250 с.

9. Гущин, А. А. К общей теории случайных полей на плоскости/ А. А. Гущин// Успехи мат. наук. 1982. - Т. 37, вып. 6. - С. 53—74.

10. Гущин, А. А. Неравенства Девиса и разложение Ганди для двупарамет-рических сильных мартингалов. I/ А. А. Гущин, Ю. С. Мишура// Теория вероятностей и мат. статистика. 1990. - №42. - С. 27—35.

11. Гущин, А. А. Неравенства Девиса и разложение Ганди для двупарамет-рических сильных мартингалов. II/ А. А. Гущин, Ю. С. Мишура// Теория вероятностей и мат. статистика. 1990. - №43. - С. 59—69.

12. Ибрагимов, И. А. Об условиях гладкости траекторий случайных функций/И. А. Ибрагимов // -Теория вероятностей и ее применение. 1983. -Т. 28, вып. 2. - С. 229-250.

13. Колодий, Н. А. Стохастические интегральные уравнения на плоскости/ Н. А. Колодий // Обозрение прикладной и пром. мат. 2000. - Т. 7, вып. 2.-С. 500-501.

14. Колодий, Н. А. Теоремы существования решений и предельные теоремы для двупараметрических стохастических уравнений Вольтерра/ Н. А. Колодий// Обозрение прикладной и пром. мат. 2001. - Т. 8, вып. 2. - 775 с.

15. Колодий, Н. А. О свойствах стохастических интегралов по непрерывному двупараметрическому сильному мартингалу/ Н. А. Колодий// Обозрение прикладной и пром. мат. 2002. - Т. 9, вып. 2. - С. 399—400.

16. Колодий, Н. А. О сходимости дискретных аппроксимаций стохастических уравнений Вольтерра на плоскости/ Н. А. Колодий// Обозрение прикладной и пром. мат. 2003. - Т. 10, вып. 3. - С. 671—672.

17. Колодий, Н. А. Интегралы по двупараметрическим сильным мартингаль-ным интегрирующим ядрам и их применения / Н. А. Колодий// Обозрение прикладной и пром. мат. 2004. - Т. 11, вып. 1. - С. 120—121.

18. Колодий, Н. А. Об условиях существования непрерывных справа модификаций стохастических интегралов на плоскости/ Н. А. Колодий// Обозрение прикладной и пром. мат. 2004. - Т. 11, вып. 4. - С. 840—841.

19. Колодий, Н. А. Неравенства для стохастических интегралов по непрерывному сильному мартингалу/ Н. А. Колодий// Вестник ВолГУ. Сер. Мат. Физ. 2003-2004. - Вып. 8. - С. 35-47.

20. Колодий, Н. А. Некоторые свойства случайных полей, связанных со стохастическими интегралами по сильным мартингалам/ Н. А. Колодий// Зап. Науч. Сем. ПОМИ. 2004. - Вып. 320. - С. 80-96.

21. Колодий, Н. А. Уравнения Вольтерра на плоскости со стохастическими интегралами по сильным мартингалам/ Н. А. Колодий// Обозрение при-кл. и пром. матем. 2005. - Т. 10, вып. 3. - С. 659—661.

22. Колодий, Н. А. Непрерывность по параметру решения стохастического уравнения Вольтерра на плоскости/ Н. А. Колодий// Обозрение прикладной и пром. мат. 2007. - Т. 14, вып. 4. - С. 659—660.

23. Колодий, Н. А. Измеримость по параметру двупараметрического стохастического интеграла по сильному мартингалу/ Н. А. Колодий// Обозрение прикладной и пром. мат. 2008. - Т. 15, вып. 4. - С. 639—640.

24. Липцер, Р. Ш. Теория мартингалов/ Р. Ш. Липцер, А. Н. Ширяев. М.: «Наука», 1986. -512 с.

25. Мишура, Ю. С. Стохастические дифференциальные уравнения на плоскости, содержащие сильные семимартингалы/ Ю. С. Мишура// Теория вероятностей и мат. статистика. 1991. - №45. - С. 79—88.

26. Miiuypa, Ю. С. Стохастичш штеграли та стохастичш диференщальш piB-няння, що мютять дробове броушвське поле/ Ю. С. Mimypa// Теор1я flMOBip. та матем. статист. 2006. - №75. - С. 80—94.

27. Doleans, С. Intégrales stochastiques dependant d'un paramétré/ С. Doleans// Publ. Inst, statist. Univ. Paris. 1967. - Vol. 16, - №1. - P. 23-33.

28. Dozzi, M. Twoparameter stochastic processes/ M. Dozzi// Math. Research 1991,-Vol. 61.-P. 17-43.

29. Horvath, L. Gronwall-Bellman type integral inequalities in measure spaces/ L. Horvath// J. Math. Analysis and Application. 1996. - Vol. 202, №1. -P. 183-193.

30. Kolodii, N. A. Some properties of stochastic integrals on the plane/ N. A. Kolodii// Abstracts of Communie, of Inter. Conf. on Stoch. and Global Analysis./ Voronezh, January 13—19, 1997. Voronezh, 1996. - 31 p.

31. Kolodii, N. A. On Volterra type stochastic integral with respect to a continuous strong martingale/ N. A. Kolodii// Theory of Stochastic Processes. 2000. - Vol. 6(22). №1-2. - P. 58-61.

32. Kolodii, N. A. Inequalities for moments of Volterra type stochastic integrals on the plain/ N. A. Kolodii// Abstr. of Communication of Intern. Conf. "Stochastic Analysis and its Applications." Lviv. - 2001. - P 62.

33. Kolodii, N. A. Existence theorems and limit theorems for stochastic Volterra equations on the plane/ N. A. Kolodii// Abstr. of Communication of Conf.

34. Kolmogorov and Contemporary Mathematics", Moscow, June 16—21 2003 y. Moscow. - 2003. - P. 473-474.

35. Kolodii, N. A. Some properties of random fields related to stochastic integrals with respect to strong martingales/ N. A. Kolodii// J. of Math. Sciences. 2006. - Vol. 137, №1. - P. 4531-4540.

36. Kolodii, N. A. Stochastic integrals with- respect to strong martingale integral kernels/ N. A. Kolodii// Тез. докл. международной шк.-конф. "Геометрический анализ и его прил." Волгоград. - 2004. - С. 85—87.

37. Kolodii, N. A. Volterra equations on the plane driven by strong martingale kernels/ N. A. Kolodii// Abstr. of 12 gen. meet. "Europ. women in math.", Volgograd, September 18-24, 2005 y. Volgograd. - 2005. - P. 52-53.

38. Kolodii, N. A. Volterra equations driven by strong martingale kernels/ N. A. Kolodii// Abstr. of the Intern. Conf. Modern Stochastic: Theory and Application, Kyiv, June 19-23, 2006 y. Kyiv. - 2006. - P. 165-166.

39. Kolodii, A. M. On conditions for existence of strong and weak solutions of stochastic Volterra equations/A. M. Kolodii// Theory of Stochastic Processes 1996. Vol. 2(18). №3-4. - P. 67-78.

40. Kolodii, A. M. On conditions for existence of solutions of integral equations with stohastic line integrals/ A. M. Kolodii // Probability Theory and Math. Statist. 1994.-P. 405-422.

41. Liu, J. On the existence and uniqueness of solutions to stochastic differential equations of mixed Brownian and Poissonian sheet type/ J. Liu// Stochastic processes and their applications. 2001. - Vol. 94. - P. 339—354.

42. Lanjrizaïdi, N. Backward stochastic differential equations in the plane/ N. Lanjrizaïdi, D. Nualart// Potential analysis. 2002. - Vol. 16. - P. 373386.

43. Sanz-Sole, M. Large deviations for stochastic Volterra equations in the plane/M. Sanz-Sole, C. Rovira//Potential Analysis. 2000. - Vol. 12. №4. - P. 359-383.

44. Strieker, C. Calcul stochastique d'ependant d'un paramétré/ C. Strieker, M. Yor// Ztchr. Wahrscheinlichkeits theorie verw. Gebiete. 1978. - Vol. 45. - P. 109-133.

45. Pardoux, E. Stochastic Volterra equations with anticipating coeffi-cients/E. Pardoux, P. Protter// The Annals of Probabability. 1990. - Vol. 18, №4.-P. 1635-1655.

46. Turo, J. Nonlinear stochastic functional integral equation in the plane/ J. Turo// Journal of applied mathematics and stochastic analysis. 1995. -Vol.8, №4.-P. 371-379.