Геометрия и гамильтонов формализм интегригуемых цепочек тема автореферата и диссертации по математике, 01.01.04 ВАК РФ

Московский государственный университет имени М.В. Ломоносова

Механико-математический факультет

На правах рукописи УДК 517.93

Пенской Алексей Викторович

Геометрия и гамильтонов формализм интегрируемых цепочек

01.01.04 — геометрия и топология

Диссертация

на соискание учёной степени кандидата физико-математических наук

Научный руководитель —

доктор физико-математических наук,

профессор А. П. Веселов

А

---_ (А. В. Пенской)

Москва 1998

Содержание

Введение................................................3

1. Канонически сопряженные переменные для системы Вольтерра с периодическими граничными условиями 10

§1.1. Система Вольтерра, оператор Якоби и гиперэллиптические кривые............. 10

§1.2. Канонически сопряженные переменные для

квадратичной скобки Пуассона........ 16

§1.3. Канонически сопряженные переменные для

кубической скобки Пуассона.......... 22

§1.4. Схема Ленарда-Магри и явный вид интегралов. 28 §1.5. Серия интегралов и голоморфные дифференциалы ..................... 35

2. Алгебро-геометрические ско6здф#:Пуассона для разностных операторов й ?йастема Вольтерра 38

§2.1. Алгебро-геометрические скобки Пуассона . . 38 §2.2. Высшие потоки Вольтерра и алгебро-геометрические скобки на пространтсве операторов 40

3. Система Вольтерра как градиентный поток 43

4. Дискретные лагранжевы системы на группе Вирасоро 47

§4.1. Конструкция симметричных и правоинвари-

антных лагранжианов ............. 47

§4.2. Лагранжианы, зависящие только от первой

производной диффеоморфизма........ 49

§4.3. Лагранжианы, зависящие от нескольких производных диффеоморфизма.......... 53

Литература............................................57

Введение

Одним из замечательнейших достижений математики XIX века является теория классических интегрируемых систем. В работах Якоби, Вейерштрасса, Ковалевской, Неймана и других в результате синтеза идей алгебраической и дифференциальной геометрии и теории аналитических функций были достигнуты значительные результаты в интегрировании динамических систем классической механики. Однако после работ Пуанкаре в начале XX века интересы сместились от точного интегрирования к качественным методам исследования динамических систем.

Новый период в теории интегрируемых систем начался в шестидесятых годах нашего столетия с открытием метода обратной задачи рассеяния. Созданный для интегрирования уравнения Кортевега - де Фриза, этот метод скоро нашел гораздо более широкие приложения.

Вскоре после этого в работах С. П. Новикова, Б. А. Дубровина, В. Б. Матвеева, А. Р. Итса, И. М. Кричевера и других [3], [4], [5], [6], [15], [16], [17], [20] в результате синтеза идей алгебраической геометрии, спектральной теории и гамильтоновой геометрии появился метод ко-нечнозонного (алгебро-геометрического) интегрирования. Для конечномерных систем этот метод позволил не только проинтегрировать их, но и выписать их решения явно в ^-функциях.

Одним из популярных приложений методов обратной задачи и конечнозонного интегрирования являются интегрируемые цепочки, такие как цепочки Тоды, система Воль-терра и другие (см., например, [4], [5], [17]). Система Воль-терра находится в центре внимания в первых трех главах

настоящей работы.

Система Вольтерра

¿г = сг'(сг'+1 — сг- \ )

возникла впервые в работах В. Вольтерра в математической теории борьбы за существование [38] и описывает динамику популяций видов в иерархической структуре «хищник-жертва», где особи ¿-го вида суть хищники для г + 1-го и жертвы для % — 1-го. Также система Вольтерра возникает в физике, где описывает тонкую структуру спектров ленгмюровских колебаний в плазме [14], [19], поэтому иногда называется «Ленгмюровской цепочкой». В континуальном пределе система Вольтерра переходит в уравнение КдФ (см., например, [23]), поэтому иногда называется еще «дискретным КдФ».

С. В. Манаков [19] и независимо М. Кац и П. ван Мер-беке [29] доказали интегрируемость системы Вольтерра.

Исследованию системы Вольтерра посвящены многие работы, см., например, [1], [5], [7], [18], [19], [23], [26], [29], [32], различные ее обобщения рассмотрены в [1], детальное обсуждение можно найти в [22].

Новый период теории интегрируемых систем характеризуется повышением интереса к гамильтонову формализму и симплектической геометрии. С одной стороны, отметим работы И. М. Гельфанда и И. Я. Дорфман [2], Ф. Магри [30], в которых введено и исследовано важное понятие согласованных скобок Пуассона. С другой стороны, в теории интегрируемых систем имеется следующее замечательное явление: переменные, естественные с точки зрения спектральной теории и алгебраической геометрии, обладают «хорошими» симплектическими свойствами.

Впервые это было отмечено, по-видимому, Г. Флаш-кой и Д. Маклафлином на частных примерах уравнения КдФ и цепочки Тоды [27]. Попытка сформулировать это явление в математически аккуратной форме привела С. П. Новикова и А. П. Веселова [11], [12], [35], к понятию алгебро-геометрической (аналитической) скобки Пуассона

на универсальном пространстве расслоения гиперэллиптических кривых (или пространстве конечнозонных потенциалов Шредингера).

Целью первых двух глав настоящей работы является обобщение результатов работ [11], [12], [27], [35] на случай системы Вольтерра.

Интерес к подобному обобщению был вызван, в частности, тем, что соответствующие спектральные кривые обладают дополнительной симметрией. Это приводит к тому, что число полюсов собственной функции (разностного аналога функции Бейкера-Ахиезера) вдвое превосходит число угловых переменных. Тем самым, общий рецепт, сформулированный впервые, по-видимому, Е. К. Скляниным [36] о том, что координаты этих полюсов являются координатами разделения переменных, оказывается неприменимым (по крайней мере, буквально).

В нашем случае оказывается, что можно выделить (неоднозначно) ровно половину полюсов, в координатах которых каноническая 1-форма имеет «разделенный» вид.

Отметим, что в аналогичном, но гораздо более сложном случае обобщенного волчка Ковалевской, где спектральная кривая также обладает симметрией [25] подобный вопрос до сих пор, насколько известно автору, не исследован.

Известно, что система Вольтерра является гамильто-новой относительно двух согласованных скобок Пуассона (см., например, [22], [26]): квадратичной

{Сг,С^1 = СзСД^+х^- -

и кубической

{сг-, С]}2 = сг-сДсг- + с?-)(5г-+1^- - 5г-_1)?')+

Первая глава диссертации посвящена построению при периодических граничных условиях (то есть при условии С{+т = С{) для обеих упомянутых скобок канонически со-

пряженных переменных, то есть таких координат б/г-, что

\PhPj} = {РьЧз} = {<И,Яз} = 0.

Рассмотрим связанный с системой Вольтерра оператор Якоби

(1у)(п) = ап+\у(п + 1) + а„у(п - 1), щ = (0.1)

и соответствующую спектральную задачу

(1у)(п) = Ху(п)

с периодическим условием аг-+г = щ. Рассмотрим такие собственные значения 7г-, что существует такое решение спектральной задачи

(1у)(п) =7 ¿у(п),

что ?/(0) = у(Т) = 0. Как и в случае цепочки Тоды и уравнения КдФ, рассмотренном Г. Флашкой и Д. Маклафли-ном [27], 7г- оказываются в инволюции относительно обеих скобок. Теоремы 1.1 и 1.5 содержат точную формулировку данного результата и явный вид сопряженных к ним величин. Теорема 1.12 и следствие 1.13 дают также полное описание аннуляторов для обеих скобок, таким образом глава 1 содержит полное описание квадратичной и кубической скобок в периодическом случае.

В главе 2 с помощью результатов главы 1 вводится обобщение рассмотренных скобок в случае нечетного периода. В четном случае спектральные кривые имеют другую геометрию симметрий, что приводит к заметным отличиям и дополнительным трудностям в соответствующей теории. Для этого вводится специальное расслоение, база которого состоит из параметров, определяющих спектральные кривые, а слой состоит из дивизоров, инвариатных относительно специальной инволюции. Универсальное пространство такого расслоения изоморфно пространству пе-

риодических операторов Якоби вида (0.1) и, таким образом, фазовому пространству системы Вольтерра. Структура этого расслоения согласована как с динамикой системы Вольтерра (гиперэллиптические якобианы суть интегральные уровни системы Вольтерра), так и со структурой рассмотренных скобок Пуассона. Это позволяет ввести целый класс алгебро-геометрических скобок Пуассона на пространстве операторов вида (0.1). Такие скобки согласованы со структурой расслоения. Они задаются аннулятором А(Г), который зависит лишь от проекции точки на базу расслоения и некоторой мероморфной формой Q(T: A) d\, которая удовлетворяет некоторым дополнительным условиям. На симплектических листах А(Г) = const алгебро-геометрическая скобка задается своей пред-симплектической формой а — pdq, равной

Далее в главе 2 рассматривается естественное обобщение потоков Вольтерра — высшие потоки Вольтерра, после чего вводится понятие согласованности: алгебро-геометрическая скобка Пуассона назывется согласованной с высшими потоками Вольтерра, если все они гамильто-новы в данной скобке. Теорема 2.2 дает описание таких скобок, а именно:

a) Если алгебро-геометрическая скобка Пуассона согласована с высшими потоками Вольтерра, то с точностью до членов с коэффициентами из аннулятора имеет место разложение в одной из бесконечно удаленных точек

Q(r, A) =J22hk\~2k-1 (mod A-2jV-2),

где hk — гамильтониан &-того потока Вольтерра.

b) Скобка согласована с потоками Вольтерра тогда и только тогда, когда производные Q(T, X)d\ вдоль базисных векторных полей, касательных к поверхности уровня аннулятора, образуют базис в пространстве сг-инвариантных голоморфных дифференциалов на Г, где а — каноническая инволюция на спектральных кривых.

Таким образом, глава 2 довольно подробно описывает алгебро-геометрические скобки, согласованные с высшими потоками Вольтерра. Данные результаты являются обобщениями на случай Вольтерра результатов работ С. П. Новикова и А. П. Веселова [11], [12], [35].

Глава 3 посвящена градиентной интерпретации системы Вольтерра с нулевыми граничными условиями. Интерес к градиентным интерпретациям восходит к работе Ю. Мо-зера [31], в которой предложена неявная градиентная интерпретация цепочки Тоды. Двадцать лет спустя А. Блох, Р. Брокетт и Т. Рэтью [24] предложили отличное от мозе-ровского градиентное описание цепочки Тоды. Наше представление цепочки Вольтерра в градиентном виде основано на той же идее двойного скобочного представления (см. [24]). Отметим, что также как и в случае цепочки Тоды получающаяся градиентная интерпретация не является единственно возможной: известный изоморфизм между этими двумя задачами (см., например, [7]) и результаты [24] позволяют дать еще одно градиентное представление для цепочки Вольтерра. Наша интерпретация, содержащаяся в теореме 3.1, представляется более естественной. Отметим, что градиентное описание цепочки Тоды использовалось для исследования нетривиальной геометрии изоспектрального многообразия в работах К. Томен [37] и Д. Фрида [28].

В главе 4 исследуются лагранжевы системы с дискретным временем [10]. Лагранжевыми системами с дискретным временем описываются стационарные точки функционалов вида

S(x) = J2 L(xk,xk+i),

kzZ

где х = (хь),к G Z, — последовательность точек на многообразии М, L — функция на М х М, называемая лагранжианом. При изучении таких систем на группах Ли особый интерес представляют такие лагранжианы, которые являются симметричными и лево- или правоинвариант-

ными (мы будем рассматривать последние):

Цх,у) = Цу,х), 1(хд,уд) = Ь(х,у) Уд Е С,

где (7 — данная группа [8].

Такие системы рассматривались в [8], [9], [33] на конечномерных многообразиях и в [34] на бесконечномерной группе ББЩМ2). В главе 4 настоящей работы построен второй пример подобных систем на бесконечномерном многообразии — группе Вирасоро.

Группа Вирасоро является единственным нетривиальным центральным расширением группы диффеоморфизмов окружности, сохраняющих ориентацию. В известной степени интерес к таким системам вызван тем, что уравнение Эйлера на группе Вирасоро эквивалентно уравнению КдФ с периодическим граничным условием [21].

В данной работе построен пример лагранжевой дискретной системы на группе Вирасоро, которая определяется симметричным правоинвариантным лагранжианом и в непрерывном пределе переходит в уравнение КдФ с периодическим граничным условием. К сожалению, как и в работе Ю. Мозера и А. П. Веселова [34], вопрос об интегрируемости данной системы остается пока открытым.

Содержащиеся в диссертации результаты докладывались на конференции им. П. С. Александрова (МГУ) в 1997 году и на XX конференции молодых ученых МГУ в 1998 году. Результаты диссертации также неоднократно обсуждались на семинаре "Геометрия и приложения" кафедры Высшей геометрии и топологии Механико-математического факультета МГУ, проходящем под руководством проф. А. П. Веселова, проф. А. Б. Шабата и доц. О. А. Чалых.

Основные результаты диссертации изложены в работах автора [39], [40], [41].

Автор хотел бы выразить свою глубокую благодарность своему научному руководителю доктору физ.-мат. наук проф. А. П. Веселову за постановку задач и полезные обсуждения.

Глава 1

Канонически сопряженные переменные для системы Вольтерра с периодическими граничными условиями

§1.1. Система Вольтерра, оператор Якоби и гиперэллиптические кривые

В этом параграфе мы приводим необходимые в дальнейшем сведения из теории уравнения Вольтерра, алгебраической геометрии и теории оператора Якоби (в основном по [5], [18]).

Система Вольтерра задается уравнениями

¿г — сг(сг+1 — сг-1)5

где г Е сг(£) > 0. Всюду в данной главе данная система будет рассматриваться с периодическими граничными условиями: ст+г = сг-, Т Е N.

С. В. Манаков [19] и независимо от него годом позже М. Кац и П. ван Мербеке [29] доказали интегрируемость системы Вольтерра.

Известно (см. [22], [26]), что данная система является гамильтоновой для двух согласованных скобок Пуассона: квадратичной и кубической. Квадратичная скобка Пуассона выглядит так:

или, проще говоря,

{сг'5сг-ы}1 — ~{сг'-|-Ьсг}1 = сгсг+1,

а остальные {сг-,с^} 1 равны нулю. Соответствующий гамильтониан имеет вид

щ = £ С,-.

1=1

Кубическая скобка Пуассона выглядит так:

{сг,^}2 = сг-сДсг- + и - 6^) +

или, проще говоря,

{сг-,Сг-+1}2 = -{Сг+1,Сг-}2 = Сг-Сг-+1(сг- + Cj.fl), {Сг-, Сг+2}2 = — {сг+2,сг}2 = Сг-Сг-+1Сг-+2,

а остальные {сг-, с^}2 равны нулю. Соответствующий гамильтониан имеет вид

Н2 = \\и\{Сг.

Теория системы Вольтерра тесно связана со спектральной теорией оператора Якоби с нулевой диагональю. В дальнейшем везде речь будет идти об операторе Якоби только с нулевой диагональю. Оператор Якоби I определен на пространстве комплекснозначных последовательностей {у(п),п £ Z} следующим образом:

(,1у)(п) = ап+1у(п + 1) + апу(п - 1). (1.1)

Пусть коэффициенты аг- £ С периодичны: = аг-. Рассмотрим соответствующую спектральную задачу

(1у)(п) = Ху(п). (1.2)

Рассуждения в дальнейшем часто зависят от четности периода Т. Введем натуральное число N следующим образом: будем считать, что в нечетном случае Т = 2Ы + 1, в четном случае Т = 2И + 2.

Для любого Л пространство решений уравнения (1.2) двумерно.

Рассмотрим фундаментальные решения у\(п,Х) и У2(п,Х) уравнения 1у = \у, нормированные следующим образом:

yiHV,A) = l, yi(-N + l,\) = О, y2(-N, А) = 0, y2(-N + 1,Л) = 1-

Из рекуррентной процедуры вычисления yi и следует, что они являются многочленами от Л.

На пространстве решений уравнения (1.2) определен линейный оператор монодромии Т(А),

(Т(\)у)(п)=у(п + Т),

в базисе yi, его матрица имеет вид

ТК\)=( PiH^ + ^A) yz(~N + Т, Л) ^ ; \yi(-N+ 1 + Т,А) y2(—N + 1 + Т,Л)

Такие решения уравнения (1.2), что

у(п + Т) = ру(п),

называются решениями Флоке, р — множителем Флоке. Множитель Флоке является собственным числом оператора монодромии и поэтому определяется из уравнения

det (U(\) - р) = 0.

Для произвольных решений ф{ уравнения 1фг = Aiфi, i = 1,2, обозначим через Wk(ip 1,^2) разностный вронскиан

Ф\ И

Wk(i¡>i, ф2) = ak+1[t¡>i(k)ih(k + 1) - Vi (к + 1)ф2(к)}.

Если Ai = А2, то легко показать, что

Wktyuth) = \¥к+1{ф1,ф2),

поэтому

áetu{x) = W-N+T(ih,tn) = w.N(m,y2) =

a-N+l+T a-N+1

откуда следует, что р определяется из уравнения

^-Д(А)р + 1 = 0, (1.3)

где

Д(А) =ъи = у^-И + Т) + у2(-ЛГ + 1 + Т).

Полином А (А) имеет степень Т. Рассмотрим периодическую

(1у)(п) = \у(п) у(п + Т,Х) = у(п,Х)

и антипериодическую

{1у){п) = А у(п) у(п + Т, Х) = -у{п,Х)

задачи. Соответствующие спектры определяются из

уравнений —= ±1, так как при этом множитель Флоке р = ±1.

Обозначим через р,{ простые точки спектра периодической и антипериодической задач, то есть простые корни

уравнения ) ' = 1. Пусть Я(Х) = П(А -/¿¡),аГ — гиперэллиптическая кривая, заданная уравнением у2 = Я(Х).

Отметим, что если у уравнения = 1 нет кратных

корней, то

и кривая у2 = Я(Х) есть кривая (1.3), записанная в стандартном гиперэллиптическом виде.

Любому значению А соответствуют два решения уравнения (1.3): р+ и р~ причем р+р~ — 1. Рассмотрим решение системы уравнений

(й/,±)(п) = Х,ф±(п) ф±(п-\-Т) = р^ф^п),

нормированное условием ф±(—М) = 1. Две функции ф±(п,Х) на самом деле являются однозначной мероморф-ной функцией на гиперэллиптической кривой Г.

При этом у ф(п, Л) вне бесконечноудаленных точек при любом п одни и те же полюса Р{, их проекции на А—плоскость будут обозначать�