Нелинейные когерентные волновые процессы в системах взаимодействующих фермионов и бозонов тема автореферата и диссертации по физике, 01.04.07 ВАК РФ

На правах рукописи

Богданов Евгений Иванович

Нелинейные когерентные волновые процессы в системах взаимодействующих фермионов и бозонов

01.04.07 - Физика конденсированного состояния

АВТОРЕФЕРАТ диссертации на соискание ученой степени доктора физико-математических наук

Ульяновск - 2004

Работа выполнена на кафедре теоретической физики Елабужского государственного педагогического университета.

Официальные оппоненты: Доктор физико-математических наук,

Защита состоится 10 июня 2004 года в 9.00 на заседании диссертационного совета ДМ.212.278.01 при Ульяновском государственном университете в аудитории 703 корпуса на набережной реки Свияги.

Отзывы по данной работе просим направлять по адресу: 432700 Ульяновск, ул. Л. Н. Толстого, 42, УлГУ, научная часть.

С диссертацией можно ознакомиться в библиотеке Ульяновского государственного университета.

Автореферат разослан 5 мая 2004 года

профессор

Гадомский Олег Николаевич.

Доктор физико-математических наук,

профессор

Шелепин Леонид Александрович. Доктор физико-математических наук, профессор

Самарцев Виталий Владимирович

Ведущая организация: Казанский государственный

университет

Ученый секретарь диссертационного совета

Общая характеристика работы

Актуальность темы.

Идея о колебательной или волновой общности кажущихся непохожими на первый взгляд явлений самой различной природы (механических, электромагнитных, химических, биологических и т.д.) в наше время представляется совершенно естественной. Но тем не менее и сегодня колебательные и волновые процессы, наблюдаемые в различных областях физики, не всегда легко связать с какой-либо одной математической моделью; особенно это относится к нелинейным явлениям. Поэтому, и сейчас остается актуальной потребность в построении моделей, системы понятий и представлений, позволяющих ориентироваться в чрезвычайном разнообразии колебательных и волновых процессов, которые встречаются в природе и технике.

На современном этапе исследований колебательные процессы описываются конечномерными динамическими системами (или гамильто-новыми системами), а волновые процессы - бесконечномерными динамическими системами (или нелинейными эволюционными уравнениями). С дальнейшим развитием теории динамических систем пришло понимание, что конечномерные гамильтоновы системы могут быть обобщены до бесконечномерных гамильтоновых систем, уравнениями эволюции которых могут быть нелинейные дифференциалные уравнения в частных производных.

Наиболее общее описание эволюции произвольной физической системы проводится либо в рамках формализма Лагранжа, когда движение системы определяется на конфигурационном пространстве с помощью функции Лагранжа, либо в рамках гамильтонова формализма, когда эволюция физической системы определяется как геометрией фазового пространства, так и заданной на фазовом пространстве функцией Гамильтона. И в том, и в другом представлении решение проблемы описания эволюции физической системы сводится к решению или линейных, или нелинейных дифференциальных уравнений. Но при

этом обращение к гамильтонову фс: рйШт^^й^^^й^ сет преимуще-

ство, так как именно на его основе теория интегрируемых нелинейных дифференциальных уравнений получила наиболее элегантную и продуктивную формулировку. Кроме того, в рамках гамильтонова формализма наиболее прозрачно и корректно осуществляется связь между классическими и квантовыми системами.

Успехи, достигнутые в последние десятилетия в разработке теории нелинейных дифференциальных уравнений, выдвинули на передний план физических исследований нелинейные эволюционные процессы. Тем более, что большое количество физически значимых уравнений - уравнения теории тяготения Эйнштейна, гидродинамические уравнения Эйлера и Навье - Стокса, уравнения нелинейной оптики и т.д. -являются нелинейными уравнениями и могут быть записаны как уравнения движения либо в лагранжевой, либо в гамильтоновой механике.

Многие из интегрируемых нелинейных уравнений имеют большую степень универсальности и встречаются в самых разнообразных областях физики. В целом, нелинейные интегрируемые уравнения имеют широкий диапазон применения7 : от теории гравитации и квантовой теории поля, физики плазмы и нелинейной оптики до гидродинамики, теории движения твёрдого тела и физики конденсированного состояния вещества.

Среди множества исследований нелинейных явлений особенное место занимает направление, которое изучает когерентные образования и сложные детерменированные структуры. Когерентные нелинейные процессы и образования исследуются в физике плазмы (ленгмюровские солитоны), в нелинейной оптике (сверхкороткие импульсы), в физике высоких энергий (ударные волны), в физике конденсированного состояния вещества (бозе - и ферми - конденсаты). Явления сверхпроводимости и сверхтекучести, одномодовые лазеры и бозе - эйнштейновский конденсат (совокупность полностью скоординированных атомов) имеют различную природу и обнаруживают себя в средах с различными

ХР. Додд, Дж. Эйлбек, Дж. Гиббон, X. Моррис. Солитоны и нелинейные волновые уравпешм:--"М:;:Мир, 1988.,- 694 с.

свойствами, но, с другой стороны, они все проявляют макроскопическое квантовое поведение, которое характеризуется согласованностью или когерентностью протекающих процессов. Описание этих явлений осуществляется на базе разных представлений и с помощью разных уравнений, и для того, чтобы учесть их одинаковое качество - когерентность - необходимо разработать единообразный подход, основанный на единых представлениях и моделях нелинейных эволюционных процессов.

Целью диссертационной работы является осуществление единообразного описания нелинейных когерентных колебательных и волновых процессов, возникающих в различных системах взаимодействующих фермионов и бозонов, па базе теории интегрируемых нелинейных эволюционных уравнений. На первом этапе строятся механические модели нелинейных колебательных и волновых систем. Затем определяются основные типы квантовых моделей, формализующих различные случаи систем взаимодействующих фермионов и бозонов. На следующем этапе с помощью теории когерентных состояний и процедуры квантования устанавливается точное соответствие между механическими и квантовыми моделями. Дифференциально - геометрические свойства фазовых пространств созданных моделей являются вполне достаточными для того, чтобы определить эволюционные системы и доказать их интегрируемость. Трехмерная (пространственная) форма эволюционных уравнений позволяет записать нелинейные эволюционные системы как систему гидродинамических уравнений и применить их к единообразному описанию нелинейных когерентных процессов, возникающих в системах взаимодействующих фермионов и бозонов.

Научная новизна диссертационной работы.

В диссертации был разработан новый подход в исследовании объектов классической и квантовой физики, основанный на том, что процессы, протекающие в классических и квантовых системах, моделируются с помощью эволюции конечномерных и бесконечномерных динамических систем. Построение базовых моделей - динамических систем -

б

основывается на гамильтоновом формализме и на методах дифференциальной и симплектической геометрий; а соответствие между классическими и квантовыми объектами устанавливается с помощью теории когерентных состояний и процедуры квантования.

Конечномерная динамическая система задается четиомерным многообразием М (фазовым пространством), симплектической структурой (формой и) и функцией Гамильтона И на М.

В качестве базовой механической модели, с помощью которой осуществляется описание нелинейных колебательных, а затем и волновых процессов, выбирается система из двух заряженных волчков, совершающих вращательное движение в евклидовом (псевдоевклидовом) пространстве [17] - [19]. Фазовое пространство конечномерной динамической системы, соответствующей данной модели, имеет неплоскую метрику и представляет собой или прямое произведение двух сфер (двух псевдгсфер), или прямое произведение сферы и плоскости (псевдосферы и плоскости). В нашем исследовании для параметризации фазовых пространств привлекаются восемь наборов локальных координат

пять из которых -являются канонически сопряженными переменными.

Симплектическая структура и скобка Пуассона на фазовом пространстве определялись нами с помощью матриц | (и) 11, | ¡о;1*1 (и) 11, элементы которых являются соответственно ковариантными и контрвариантными компонентами дискриминантного тензора фазовой поверхности. В качестве функции Гамильтона использовались квадратичные функции от фазовых переменных.

Уравнения движения волчков, представленные в векторном виде, содержат как частный случай так называемую гироскопическую модель, активно используемую в теории, спектроскопических переходов ядерного и электронного магнитного резонанса, а также в теории оптического резонанса.

Было показано, что обобщенные уравнения Эйлера, соответствую-

щие конечномерным системам, могут быть переопределены через систему линейных дифференциальных уравнений [10].

Квантование определенных нами механичеких моделей по схеме Березина приводит к уже известным квантовым моделям [9], [13], которые используются в описании явлений в системах взаимодействующих фермионов и бозонов: в оптическом и магнитном резонансах, в сверхпроводимости и сверхтекучести, в системах спин - фононного взаимодействия, а также в полупроводниках, взаимодействующих с электромагнитным полем [1] - [16].

Процедура квантования по схеме Березина, позволяет установить взаимооднозначное соответствие между функциями, определенными на фазовых пространствах, и символами операторов, действующих в гильбертовом пространстве состояний квантовой системы.

Однозначное соответствие между классическими и квантовыми механиками позволяет также векторную модель, характеризующую движение классического объекта, перенести в квантовую область и использовать ее для описания эволюции квантового объекта.

При описании квантовых систем весьма полезным и плодотворным является использование когерентных состояний [9], так как с их помощью можно свести ряд вопросов сложной операторной техники к более простым вопросам, относящимся к функциям. В нашем исследовании для параметризаций когерентных состояний квантовых систем использовались те же наборы переменных, что и для параметризаций фазовых пространств соответствующих механических моделей. Такой метод позволил выделить особый тип когерентных состяний - канонических когерентных состояний, которые параметризуются канонически сопряженными переменными, а операторы, соответствующие этим переменным, удовлетворяют каноническим коммутационным соотношениям.

Переход от конечномерных динамических систем к бесконечномерным в нашем подходе [17] - [19] осуществляется следующим образом. Гамильтоновы операторы для бесконечномерных систем выражаются

нами через структурные матрицы ||а>1,:[и(а:)]||, гамильтоновы функционалы выбираются в виде функционалов, определенных с помощью метрического тензора фазового пространства, и, наконец, функционал действия выражается через форму связности фазового пространства. Тогда нелинейные эволюционные системы генерируются действием га-мильтонова оператора на вариацию линии, лежащей на фазовой поверхности. Стационарные решения гамильтоновых уравнений при этом являются геодезическими линиями фазовых пространств.

Дифференциально - геометричекий метод генерации систем нелинейных эволюционных уравнений, предложенный нами, позволяет проблему интегрируемости уравнений оформить как проблему включения гамильтониана системы в бесконечное множество сохраняющихся величин [19], существование которых вытекает из условия совместимости двух систем уравнений движения для реперов Дарбу фазовой поверхности.

Другой формой интегрируемости уравнений является возможность бигамильтонова представления уравнений движения. В нашем методе гамильтоновы функционалы, обеспечивающие бигамильтоново представление, задаются [17] - [19] с помощью фундаментальных геометрических объектов: метрической формы и формы объема фазового пространства.

Использование формализма когерентных состояний позволяет операторные уравнения движения заменить уравнениями для символов соответствующих операторов, что дает возможность описать эффекты распространения когерентных возмущений в квантовых средах [11], [14], [15] - в системах взаимодействующих фермионов и. бозонов - с помощью нелинейных волновых уравнений относительно фазовых переменных, параметризующих когерентные состояния.

Введение новых наборов переменных, параметризующих фазовые пространства, приводит к появлению множества новых интегрируемых систем нелинейных уравнений, которые при переходе в квантовую область получают определенный физический смысл, в частности, не-

которые из них идентифицируются с такими известными уравнениями как уравнения магнетика Гейзенберга, Ландау - Лифшица, Гинзбурга - Ландау, уравнения Максвелла - Блоха нелинейной оптики [1] - [19].

Обобщение нелинейных эволюционных уравнений к трехмерной (пространственной) форме позволяет все нелинейные эволюционные уравнения записать как уравнения непрерывности, а затем - все эффекты распространения когерентных возмущений в системах взаимодействующих фермионов и бозонов, то есть в системах оптического и магнитного резонанса, в сверхтекучих и сверхпроводящих средах, в системах спин-фононного взаимодействия и в полупроводниках, взаимодействующих с электромагнитным полем, описать с помощью одной (общей для всех) системы гидродинамических уравнений.

Практическая значимость результатов работы состоит в следующем.

Полученные системы нелинейных эволюционных уравнений относительно фазовых переменнныхв,п},(р; £,£*"> а+,о; А+,А; ф, ф*, для каждой из которых установлен конкретный физический смысл, могут быть использованы в достаточно широком диапазоне: в теории движения твердого тела, нелинейной оптике, физике звезд, квантовой теории магнетизма, сверхпроводимости и сверхтекучести и т.д.

Разработанные методы генерации новых интегрируемых нелинейных уравнений могут быть использованы для детального описания тех физических систем, метрические свойства фазовых пространств которых уже известны.

Применение апробированных методов дифференциальной геометрии и гамильтонова формализма к решению проблемы интегрируемости нелинейных уравнений может значительно расширить круг интегрируемых нелинейных уравнений во многих областях прикладной и теоретической физики.

Научные положения, выносимые на защиту.

1. Определено несколько типов механических моделей (ММ), которые представляют собой варианты вращательного движения в евкли-

довом (псевдоевклидовом) пространстве двух заряженных волчков. Каждая модель характеризуется своим фазовым пространством N структурной матрицей ||ь>'*||, задающей на N скобку Пуассона, и функцией Гамильтона Н. Фазовые пространства N являются или прямым произведением двух сфер (двух псевдосфер), или прямым произведением сферы и плоскости (псевдосферы и плоскости). Для параметризации N привлекается восемь наборов локальных координат: 9, <р; ю, <р; ;

Показано, что элементы структурной матрицы Цшг*|| являются компонентами контрвариантного тензора фазовой поверхности. Функция Гамильтона определена как квадратичная функция от фазовых переменнных.

2. Определены четыре типа квантовых моделей (КМ) для систем взаимодействующих фермионов и бозонов. Показано, что квантование по Березину определенных нами механических моделей (ММ) приводит к квантовым моделям (КМ), которые реализуются в теории оптического и магнитного резонансов, сверхпроводимости и сверхтекучести.

3. Для динамических групп SO(3), 80(2.1) квантовых моделей (КМ), реализующих различные варианты систем взаимодействующих фермионов и бозонов, получен явный вид когерентных состояний, параметризованных фазовыми переменными механических моделей:

Разработана методика получения ковариантных и контрвариантных символов генераторов представления соответствующих групп для всех типов параметризаций когерентных состояний.

4. Построена векторная модель (гироскопическая модель) для всех вариантов систем взаимодействующих фермионов и бозонов.

5. Показано, что бесконечномерные динамические системы, соответствующие квантовым моделям, могут быть вполне определены с помощью дифференциально - геометрических характеристик фазовых пространств механических моделей; а именно, доказана справедливость следующего утверждения. Эволюционные системы определяются действием гамильтонова оператора, представляющего собой контрвариан-

тый дискриминантный тензор фазовой поверхности, на вариацию линии, лежащей на этой фазовой поверхности. Доказано, что все найденные нелинейные эволюционные уравнения вполне интегрируемы, а их стационарные решения являются геодезическими линиями фазовых поверхностей.

6. Найден функционал действия для классических и квантовых систем, условие стационарности которого приводит к рассматриваемым нами гамилътоновым уравнениям. Показано, что функционал действия задается компонентами метрического тензора и формой связности, определенными на фазовом пространстве.

7. Найдена трехмерная форма нелинейных эволюцонных уравнений для величин, параметризующих фазовые пространства механических моделей и когерентные состояния квантовых моделей, доказана их интегрируемость. Показано, что все эффекты распространения когерентных возмущений в системах взаимодействующих фермионов и бозонов, то есть в системах оптического и магнитного резонанса, в сверхтекучих и сверхпроводящих средах, в системах спин-фононного взаимодействия и в полупроводниках, взаимодействующих с электромагнитным полем, можно описать с помощью одной (общей для всех) системы гидродинамических уравнений.

8. Показано, что известные уравнения нелинейной оптики, уравнения Ландау - Лифшица, уравнения магнетика Гейзенберга, уравнение Гинзбурга - Ландау включаются в круг эволюционных нелинейных уравнений, генерация которых связана с дифференциально - геометрическими свойствами фазовых пространств классических (квантовых) систем. Доказана калибровочная эквивалентность моделей Дикке и Гейзенберга.

9. Показано, что распространение возмущений по непрерывной цепочке взаимодействующих шаровых волчков может выступать в качестве модели распространения нелинейных волн.

10. Найден явный вид стационарных решений всех нелинейных эволюционных уравнений, полученных для фазовых переменных:

Найден явный вид уравнений, определяющих кривые, которые реализуют солитоннные решения нелинейных эволюционных уравнений.

Описаны фазовые портреты нелинейных эволюционных систем для стационарных и солитонных решений.

Апробация работы. Все результаты, представленные в диссертации, на момент их публикации являлись актуальными и новыми. Результаты опубликованы в ведущих отечественных и зарубежных журналах, докладывались на II, III, IV Всесоюзных симпозиумах "Световое эхо" (1981-1988 г.), на IX Всесоюзной конференции "Когерентная и нелинейная оптика" (Ленинград, 1978 г.), на XII Международной конференции по кристаллографии (XII ЕСМ, Москва, 1989 г.), в Международной школе "Nonliimear Danamics & Complex Systems" (ND&SC 2000, Минск,2000 г.), цитировались в работах других авторов, работающих в близких областях физики. Результаты, лежащие в основе диссертации, были опубликованы в 1976-2001 годах в работах [1]-[19] (см. список публикаций в конце автореферата).

Научная работа по теме диссертации поддерживалась фондом ISSEP (Международный фонд Сороса - два гранта).

Некоторые результаты, приведенные в диссертации, нашли практическое применение в исследованиях, проведенных по заказам научно-производственных предпритятий (п/я Р -6324; НПО " Спектр" г.Москва; Научно - исследовательские отчёты: Инв-N. ГОС. per. 02840013181.1986. - 40 С, Инв-N. Гос. Per. 02850043160.-1987. - 44 С. Личный вклад. Автору принадлежит постановка задачи исследования, обоснование методов исследования, непосредственное выполнение вычислений, систематизация и анализ результатов. Ряд результатов, вошедших в диссертацию, получен в соавторстве с Нагибаровым В.Р. и Нагибаровой И.А., которым автор благодарен за плодотворное сотрудничество.

Публикации. В ходе выполнения исследования по теме диссертации опубликовано 26' научных работ, из которых 19 статей в центральных

отечественных и зарубежных журналах. Список публикаций приведен в конце реферата.

Струкутура и объем диссертации. Диссертация состоит из введения, восьми глав и заключения. Она содержит 293 страницы, включает шесть рисунков и список литературы из 229 наименований.

Обзор содержания диссертации

Во введении (первая глава) дана общая характеристика диссертационной работы, обоснована актуальность темы, определены цели и задачи исследования, изложены научная новизна и практическая значимость работы, сформулированы основные положения, выносимые на защиту.

Вторая глава носит вспомогательный характер. В ней изложены основные методы и понятия теории интегрируемых систем, процессы квантования и теории когерентных состояний, которые используются при исследовании свойств гамильтоновых систем классической и квантовой физики в остальных главах диссертации.

В третьей главе (в первых пяти пунктах) диссертации создаются механические модели, которые затем выступают в качестве механических аналогов для квантовых моделей, реализующих различные варианты систем взаимодействующих фермионов и бозонов: сверхпроводящие и сверхтекучие среды, системы спин - фононного взаимодействия, полупроводники, взаимодействующие с электромагнитным полем, ферромагнетики, оптический и магнитный резонанс.

В качестве базовой механической модели выбираются два образца тяжелого твердого тела с одной закрепленной точкой - система из двух заряженных шаровых волчков, совершающих вращательное движение. Находится, что уравнения движения системы из двух шаровых волчков имеют следующий вид:

где Н.!, Из - векторы моментов импульсов волчков, Зхе^ т ь электрические поля, которые создаются заряженными волчками. Причем,

вектор зависит от параметров второго волчка, а П2 - от параметров первого. Данная векторная модель содержит, как частный случай, гироскопическую модель явлений ядерного и электронного магнитного резонанса.

Вращательное движение твердого тела, в современном варианте теории 2, соотносится с конечномерными динамическими системами на алгебрах Ли. Наша базовая модель представляется в нескольких вариантах: мы рассматриваем конечномерные динамические системы, возникающие на алгебрах Ли вида где (к - алгебра Гейзенберга - Вейля)) с квадратичным гамильтонианом по переменным параметризующим алгебры Ли. С помощью структурных констант алгебр Ли задаются структурные матрицы П:

(2)

где - структурные константы для алгебр соответственно,

а - величины, параметризующие- пространства, дуальные к д1. На пространстве F(<7*) гладких функций на дI определяется скобка Пуассона:

а,0

Г, С € Г(д').

(3)

где

Рассматриваются пять случаев структуры алгебры g:

(4)

На пространствах определяются конечномерные динамические системы

<1£а ...

(5)

° _ - ¡и еа\

2 А.Т.Фоменко. Симплекгпическая геометрия.-М: Изд-во МГУ, 1988.413 с.

где функция Гамильтона Щ е ^ (<?'*) выбирается в виде многочлена второй степени со следующей структурой:

(б)

где иид - константы, Щ = ±(^)2 ± (£2)2 + (£3)2, Щ = ±(£4)2 ± (£5)2 +

- константы,

(Г) , 9

Так как постоянный ранг матрицы П; (равный четырем) на д*1 меньше размерности самого пространства {¿гтпд*1 = 6), то д*х расщепляется на четномерные (четырехмерные) симплектические подмногообразия , являющиеся орбитами коприсоединенного представления групп (7*. На многообразиях ^ существуют невырожденные матрицы П7{, являющиеся редукцией структурных матриц ^ на ^. С помощью тз^ определяются скобки Пуассона и динамические системы

Система (7) является естественным ограничением гамильтоновой системы (5) на фазовое пространство Щ. Явный вид матрицы х&г зависит от выбора локальных координат на Л^. Фазовое пространство N и структурная матрица ет определяют классическую механику (ЛГ, ш). В нашей ситуации возникают пять типов классических механик Классическая механика Эйлера I (М£ 1) - имеет фазовым пространством N произведение двух сфер, для классической механики Эйлера ЩМ£ 2) фазовым пространством N2 служит прямое произведение двух псевдосфер; классическая механика Лагранжа I {МС1) имеет фазовым пространством N прямое произведение плоскости и сферы, классическая механика Лагранжа II (МС 2) имеет фазовым пространством N4 прямое произведение плоскости и псевдосферы, и, наконец, для классической механики Пуассона {МТ) фазовым пространством N5 служит

прямое произведение двух плоскостей. Каждой паре сопоста-

вляется конкретная механическая модель: взаимодействующие посредством электрического поля шаровые волчки с теми или иными значениями И.!, Пр Уравнения движения (Эйлера) (5), соответствующие классическим механикам, с гамильтонианами (6) в переменных £а имеют следующий вид. Для классической механики Эйлера I:

(8)

Здесь мы выполнили переопределение:

е=Р, s5=v,

Система (8) имеет следующие интегралы движения:

Для классической механики Эйлера П:

(10)

Система (10) имеет следующие интегралы движения:

Для классической механики Лагранжа I:

Система уравнений (12) имеет интегралы движения:

Для классической механики Лагранжа II:

Система уравнений (14) имеет интегралы движения:

И, наконец, для классической механики Пуассона :

Система уравнений(1б) имеет интегралы движения:

(13)

(14)

(16)

(17)

Для каждой классической механики рассмотрено до восьми случаев параметризаций фазовых пространств:

, большинство из которых имеет дело с канонически сопряжёнными переменными: а+,а; А+,А; ф,^; и показано, что переход от одного набора переменных к другому не имеет особенностей, то есть, якобианы преобразований невырождены.

Для каждого типа параметризаций записаны структурные матрицы го* и обратные к ним матрицы задающие на ^ симплектическую структуру. Матрицы ъах и -сст» для всех Щ имеют следующую форму:

( О Е1\ 1_( О ЕЛ Е2 0 ) ' ^ " и2 0 ) ;

ст,- =

Здесь - детерминанты метрических тензоров сомножителей фазового пространства N. Другими словами, делается вывод : скобка Пуассона на Л^ определяется контрвариэнтыми компонентами го^ дискрими-нантного тензора фазовой поверхности ЛТ,, а симплек1ическая форма ковариантыми компонентами дискриминантного тензора фазовой поверхности Л^

Для каждого типа параметризации записаны уравнения Эйлера в гамильтоновой форме. Показывается, что уравнения Эйлера каждой классической механики переопределяются через систему линейных дифференциальных уравнений.

В седьмом пункте третьей главы дается лагранжево представление системы конечномерных динамических систем. Записывается в явном виде функционал действия 5, условие стационарности которого приводит к рассматриваемым нами уравнениям Эйлера:

(19)

где - форма связности, согласованная с метрикой сомножителя пространства

В следующем пункте показывается, что каноническая форма уравнений Гамильтона для физических систем с неплоским фазовым пространством может содержать структурную матрицу недиагональные элементы которой для некоторых переменных могут быть отличны от ± 1.

В последнем пункте третьей главы рассматриваются несколько вариантов механической модели (в виде двух взаимодействующих диполей) для различных вариантов взаимодействия фермионов и бозонов.

В четвертой главе рассмотрены модельные гамильтонианы, которые, с одной стороны, формализуют типы взаимодействия фермионов и бозонов, а, с другой стороны, могут быть привлечены для описания широкого круга квантовых явлений: сверхпроводимости, сверхте-

кучести, явления оптического и магнитного резонанса, ферромагнетизма, спин-фононного взаимодействия, полупроводников, взаимодействующих с электромагнитным полем. Показано, что уравнения движения квантовых систем могут быть приведены к такому виду, что они по форме совпадают с уравнениями Гамильтона классических систем из третьей главы.

Для большей формализации соответствия между классическими и квантовыми объектами наряду с определением классических механик дается определение и квантовых механик (квантовых моделей). Каждая квантовая механика задается набором, состоящим из гамильтониана, уравнения движения Гейзенберга и интегралов движения. Исходя из конкретной формы данного набора, определены квантовые механики Эйлера I и II (fCM£ 1,2), квантовая механика Лагранжа I (¡CMC 1) и квантовая механика Пуассона . Квантовая механика Лагран-

жа описывает явления оптического и магнитного резонансов, ферромагнетизма, акустического магнитного резонанса, описывает полупроводник, взаимодействующий с резонансным электромагнитным полем; квантовая механика Пуассона описывает взаимодействие оптических фононов с фотонами или взаимодействие поляризаций решетки с фотонами; квантовые механики Эйлера I, II описывают явления сверхпроводимости и сверхтекучести соответственно.

Квантовая механика Лагранжа характеризуется гамильтонианом и уравнениями движения следующего вида.

Н - hua+a + Hu}R3 + h(g"a+R_ + gaR+), (20)

где а+,а - бозонные операторы, R±, R3 - операторы углового момента.

Если ввести по определению операторы

то будут очевидны коммутационные соотношения

То есть, операторы Р, ф, ^ образуют базис алгебры Гейзенберга - Вейля, a и, V, Ж - базис алгебры so(3). Уравнения Гейзенберга с гамильтонианом (20) задают систему уравнений

(22)

Система (22) имеет интегралы движения

(23)

Таким образом, уравнения движения и интегралы движения квантовой механики Лагранжа формально совпадают с уравнениями движения и интегралами движения классической механики Лагранжа I.

Квантовая механика Пуассона характеризуется гамильтонианом и уравнениями движения следующего вида:

Н = ]Г + Пика£ак + ]Г П{дЪ+ак + д*а+Ьъ). (24)

где а (а),b (Ь) - бозе-операторы. Если ввести по определению следующие величины:

Р = 9*ак + 9Як, Ч = Ча'Ок ~ 5ак); и = Ъ£+Ьь, и = г(б£ - Ьь), (25)

то квантовые уравнения движения для вновь введенных величин будут иметь вид:

Здесь операторы р, q; ^ V являются генераторами группы Гейзенберга - Вейля, и^ — = |<7|2. Система уравнений (26) имеет интегралы движения

Таким образом, уравнения движения и интегралы движения квантовой механики Пуассона формально совпадают с уравнениями движения и интегралами движения классической механики Пуассона. В микроскопической теории сверхпроводящий тунельный контакт (квантовая механика Эйлера I) описывается гамильтонианом следующего вида:

Н = а£ок + + П ^"Мк + ак). (27)

Здесь а+(а) - оператор рождения (уничтожения) электрона в левом сверхпроводнике, Ъ+(Ь) - в правом. Образуем по определению следующие параметры:

Коммутационные соотношения операторов (28), как показывают прямые вычисления, подчиняются коммутационным соотношениям генераторов группы 50(3).

Тогда уравнения Гейзенбсрга для операторов (28) приводят к следующей системе уравнений:

Здесь в = |з|2. Система (29) имеет интегралы движения:

Я21=Р2+(Э2+112, К = иР+ЯУ-(и аЯ+ыгИО.

(30)

В теории сверхтекучести (квантовая механика Эйлера II) используют гамильтониан следующего вида:

Я = £ ок + Ндао ац аоао + АЬда^ао ^ а£ак+

Здесь ак - бозонныс операторы, g - константа взаимодействия. Если ввести по определению следующие величины:

то гейзенберговские уравнения движения приводят к следующей системе уравнений:

Прямые расчеты показывают, что операторы Р, р, Я; и, V, Ж являются генераторами группы БЩ1.1).

Система (32) имеет следующие интегралы движения:

(33)

Таким образом, уравнения движения и интегралы движения квантовых механик Эйлера I, II формально совпадают с уравнениями движения и интегралами движения классических механик Эйлера I, II.

Во втором пункте четвертой главы изучаются свойства когерентных состояний для группы БО(3). При этом восемь случаев параметризаций фазового пространства непосредственно переходят и в параметризацию когерентных состояний. С помощью полученных производящих функций найдены выражения для ковариантных и контрвари-

антных символов инфинитеземальиых операторов представлений соответствующих групп для всех типов когерентных состояний; доказывается справедливость следующего утверждения: при больших квантовых числах ковариантный символ произведения операторов переходит в произведение символов сомножителей. Ковариантный символ от коммутатора операторов равен скобке Пуассона от ковариантных символов этих операторов. Для каждого типа когерентных состояний найден соответствующий вид операторов представления.

В третьем пункте рассмотрены когерентные состояния для группы 50(2.1). Для них проводятся те же операции и вычисления, что и для группы 50(3), но с учётом особенностей некомпактной группы 50(2.1).

В четвёртом пункте все модельные гамильтонианы и гейзенберговские уравнения движения квантовых систем, ранее полученные в первом пункте, записываются для ковариантных символов. При этом доказывается справедливость следующих результатов: усреднение уравнений Гейзенберга для операторов квантовых механик по когерентным состояниям приводит к уравнениям Гамиль-

тона для ковариантных символов, тождественных уравнениям Гамильтона для классических механик (Ai£ 1,2; .MCI; AiV) соответственно.

В пятой главе рассматривается квантование классических механик, согласно схеме квантования, предложенной в работах Березина 3; доказывается справедливость следующих положений: результатом квантования классических механик являются квантовые механики соответственно. В качестве пространства состояний (фазового пространства) квантовой системы выбирается гильбертово пространство, элементами которого служат когерентные состояния. В случае групп 50(3), 50(2.1) когерентные состояния параметризуются двумя переменными, которые одноврмен-но являются и фазовыми координатами соответствующей классической системы. Другими словами, динамика и квантового, и классического объекта определяется одними и теми же уравнениями движения, запи-

3Ф.А.Березия.МетоЭ вторичного квантования. - М.¡Наука, 1986. - 319с.

санными относительно одних и тех же величин, поэтому дальнейшие методы исследования динамических систем относятся в равной мере и к классическим, и к квантовым объектам.

В шестой главе определяются бесконечномерные динамические системы на фазовых пространствах классических и квантовых систем, которые затем применяются для исследования когерентных волновых процессов.

В первом пункте шестой главы определяются бесконечномерные динамические системы на фазовом пространстве механики Эйлера I, которая реализует систему взаимодействующих фермионов.

1 Su1

(34)

Здесь гамильтонов функционал Я задается нами в следующем виде:

Н = J [gik (и)44 - У (u)] dx, (35)

а оператор К определяется так: К^ = и'^[и(х)], где w,J[u(x)] - структурная матрица классической механики MS 1, в которой координаты и1 фазового пространства становятся зависимыми от непрерывного параметра х/ и1 — и*(х); потенциал V(u) - произвольная функция от и. Затем выписываются эволюционные системы в явном виде для пяти случаев параметризации фазового пространства. Для сферических координат :

вх

Ot = -<Рхх sin в - 2 (fxex COS в, tpt = -п — COS 9ipx.

cos в

(36)

Для цилиндрических координат:

Для координат комплексного цилиндра:

= -гфхх ~ ь>ф1, wt = -iwxx - 2г&шхфх + (1 - ы2)фхх.

(37)

(38)

2о

Для переменных tp,P = Arthur

4>t = -Рхх 4- Pl^P - ^th/3, Pt = - 2tpxfixthp.

Для коордипат стереографической проекции:

(39)

(40)

11- р-

где рл = и2 +и2- Эволюционные системы (36-40) были нами получены для произвольного параметра х. Если же перейти к натуральному параметру 5 - длине дуги кривой на фазовой поверхности, то эволюционная система переопределяется следующим образом:

(41)

Здесь Г'д. - коэффициенты Кристофеля связности, согласованной с ри-мановой метрикой на N.

Выражение + Г^и^и* представляет собой вариацию геодезической линии на N с метрикой ds2 = д^и'в.и*, а выражение и^ +

„2 _

—V* есть вариация геодезической линии на N с метрикой dp2 = (Е - V)gikduiduk,Е — const.

Таким образом, доказывается, что эволюционная система (34) с га-мильтоновым функционалом

Я = J gikuiukxdx (42)

определяется действием оператора на вариацию линии,

лежащей на фазовой поверхности. Отсюда вытекает, что, во-первых, стационарные решения нелинейной эволюционной системы (34) являются геодезическими линиями фазового пространства; и во-вторых, -система стандартных нелинейных уравнений Шрёдингера определяется действием оператора на вариацию геодезической линии, лежащей на поверхности с метрикой ds2 = (Е — V)Sikdutduk. Здесь

Показывается также, что уравнения Ландау - Лифшица

{2и*(и1Г + Ач\\ч1 - '¿и2(и1Г + 2и"[(и1)2 + (и2)2]},

{-2и\и1гГ - 4и\1и1 + 2и1(и2)2 - ги1^1)2 + (и2)2]} (43)

можно назвать нелинейными уравнениями Шрёдингера на фазовом пространстве с неплоской метрикой (метрикой сферы).

Далее показывается, что если линейную систему дифференциальных уравнений, которые переопределяют уравнения Эйлера классических механик

совместить с линейной системой дифференциальных уравнений по этим же переменным

то бесконечномерные динамические системы вытекают из условия

Во втором пункте на основе тех же методов определяются нелинейные эволюционные уравнения на фазовом пространстве механики Эйлера II, которая реализует системы взаимодействующих бозонов, в третьем - на фазовом пространстве механики Пуассона, реализующей системы бозон-бозонного взаимодействия, и в четвёртом — для систем оптического и магнитного резонанса. Доказываются аналогичные теоремы и следствия из них.

В пятом пункте шестой главы полученный метод генерации бесконечномерных гамильтоновых систем распространяется и на те ситуации, когда фазовая поверхность является двухмерной поверхностью: тором, катеноидом, геликоидом и параболоидом вращения.

В шестом и седьмом пунктах шестой главы на базе дифференциально - геометрических свойств фазовых пространств доказывается интегрируемость эволюционных систем, определённых на фазовых пространствах механик Эйлера /, II. Интегрируемость эволюционных систем обусловливается наличием бесконечного набора сохраняющихся величин, выполнением бесконечного числа локальных законов сохранения, а также возможностью записать нелинейные уравнения как условие интегрируемости пары дифференциальных линейных систем, или же возможностью бигамильтонова представления эволюционных систем.

Для доказательства интегрируемости рассматриваются уравнения движения реперов Дарбу на фазовой поверхности по двум переменным « и V.

_ и>? (1е2 _ и>2

йв с1зе2^ ¿18^' с/я С?в1 ш2 ш3

ИГ ~ 1ье2+ лез' ИГ <И

где - орты репера, - формы связности.

На основании техники вычислений, разработанной в работе Дж.Л. Лэма 4, показывается, что данную систему можно переопределить через совместную систему линейных дифференциальных уравнений

г»х,£ = Avl + = Сих - Ау2\ (46)

где величины выражаются через формы связности

Далее доказывается, что гамильтонов функционал Н, генерирующий наши эволюционные системы, включается в бесконечное число сохраняющихся величин, характеризующих линейную систему (46).

Доказывается, что нелинейная эволюционная система, определённая на фазовых поверхностях механик Эйлера I, II, вполне интегрируема, так как обладает бесконечным набором законов сохранения, бесконечным набором сохраняющихся величин и может быть ассоциирована с системой линейных дифференциальных уравнений (46) .

= —в! + £15

Ь)\ -т-ез, аз ¿е3 ds шз (1з

Тьез' с1е3 dí и! <и'

вз. (44)

е2- (45)

4Дж.Л. Лэм Введение в теорию солитонов. - М.: Мир. 1983. - 294с.

В следующих двух пунктах показывается, что все эволюционные системы, соответствующие различным параметризациям фазовых пространств механик Эйлера I, II, механик Лагранжа и Пуассона, имеют бигамильтоново представление. Вторая форма гамильтоновой системы задается гамильтоновым оператором и гамильтоновым функционалом следующего вида:

4 =

1 5иЗ '

йк=<?Ч-ди 1%4, Н2 = I

Здесь Ь4 - оператор гидродинамического типа5, дгк - метрический тензор фазового пространства, - форма связности, согласованная с Г*, - коэффициенты связности; С - оператор дифференцирования по х. Например, в случае параметризаций фазовой поверхности сферическими и цилиндрическими координатами будем иметь соответственно для Н2 и Ь следующие выражения:

(47)

(48)

В десятом пункте пункте шестой главы дается лагранжево представление системы нелинейных уравнений. Записывается в явном виде функционал действия 5, условие стационарности которого приводит к рассматриваемым нами гамильтоновым уравнениям.

(49)

&Б. А. Дубровин, С.П. Новиков. Гидродинамика слабодеформированных со-

литонных решеток. Дифференциальная геометрия и гамилътонова теория. //УМН. - 1989. - Т.44. - Вып.6. - С.29-98.

В последнем пункте шестой главы предложен механизм для трехмерного обобщения всех полученных уравнений. Переход от одномерных (по пространственным координатам) эволюционных уравнений к трехмерным можно осуществить следующим образом. Заменим производные по одной пространственной координате от произвольной функции на градиент от этой функции, то есть: /х —> V/. Затем гамильтониан Н = Jgii.ui.Uzdx заменяем на функционал следующего вида:

где скалярное произведение за-

писывается как произведение в пространстве

Далее показывается, что все трехмерные эволюционные системы, соответствующие различным параметризациям фазовых пространств механик Эйлера, Лагранжа и Пуассона, имеют бигамильтоново представление и вполне интегрируемы. Так, например, для сферических и цилиндрических координат функционал Н и трехмерные эволюционные уравнения имеют соответственно вид:

Далее показывается, что трехмерные эволюционные уравнения имеют бигамильтоново представление и, следоваельно, вполне интегрируемы. Для доказательства бигамильтоновости определяется вторая гамильто-нова форма в следующем виде:

Здесь в качестве векторного оператора выбирается вектор-оператор гидродинамического типа

В качестве второго гамильтонова функционала выбирается вектор функционал, который является обобщением одномерного выражения

= J а,и].с1х1 + J а,и1у(1у} + J о,и* (¿гк.

(52)

Здесь ахйиг{х,у.г) = ш2. Например, в случае сферической системы координат для Р будем иметь:

Р = У ссю + ¥Ус1у} + <р£с1г к),

а выражение для одной из компонент оператора Г/* запишется так

(53)

В седьмой главе осуществляется применение эволюционных уравнений, полученных в шестой главе, для описания нелинейных когерентных процессов в системах взаимодействующих фермионов и бозопов.

В первом пункте нелинейные эволюционные уравнения применяются для описания процесса взаимодействия электромагнитного поля с двухуровневой средой, взаимодействия поля с ферромагнетиком, взаимодействия звуковых волн со спиновой системой, взаимодействия электромагнитного поля с полупроводником, взаимодействия оптических фононов или поляризаций решётки с фотонами. Гамильтониан такой модели записывается:

Н = —(р2 4- 72) + \hjjw + К{ри + ди), 45 2

(54)

где - ковариантные символы операторов рождения (уничто-

жения) фотонов моды поля и угловых моментов соответственно. Уравнения Гейзенберга приводят к следующей системе уравнений:

Переопределяя величины р,д,г;и,у,ы : приходим к уравнениям для :

Условие совместности систем (57), и (58) записывается:

Набор бесконечномерных систем, возникающих как условие совместимости двух линейных систем дифференциальных уравнений (60), полученных на базе уравнений Эйлера для механики Лагранжа, включает в себя все стандартные уравнения нелинейной оптики, описывающие явления самоиндуцированной прозрачности, сверхизлучение, бозонную лавину и т.п., в том числе и уравнение синус - Гордон для площади электромагнитного импульса

и уравнения Максвелла - Блоха

(Здесь а+(а) - фотонные операторы, Н+- - операторы углового момента). Доказывается также, что координата в, параметризующая фазовую поверхность механики Лагранжа, является мерой площади под огибающей электромагнитного импульса.

Кроме уже известных уравнений нелинейной оптики приводится список эволюционных уравнений и для остальных фазовых переменных в, (р,<р, ф . Например, для <р, ¡3 записывается следующая система:

4>х = Хк(3рн ~ (М2/? - *есК2(3)01 + ^ - 2ъес}х2{3, /Зх = Чщ^ - сИфРи

В рамках квантовой механики Лагранжа I отдельно рассматривается (второй пункт седьмой главы) магнетик Гейзенберга. Для этой модели, имеющей широкое применение в изучении квантовых явлений, в качестве гамильтонова функционала выбирается выражение

Здесь ^ - ковариантные символы магнитных моментов; Б - диагональная матрица: Бц — = 0, и - обменные интегралы. Механической моделью, которая описывается гамильтонианом подобного вида, выступает непрерывно распределенная цепочка связанных волчков.

Эволюционная система, соответствующая функционалу (64), в векторном виде записывается

Механическая модель позволяет рассматривать распространение нелинейных волн уравнений (65) как распространение возмущений по непрерывной цепочке связанных волчков.

Гамильтонов функционал (64) учитывает неоднородность намагниченности тела, если к тому же учесть и нестационарность свойств среды, то приходим к функционалу

(63)

(64)

(65)

который приводит к эволюционной системе

8« = [3,(8х,-8«)] + [8,П]. (67)

Для изотропного магнетика, когда эволюционная система принимает

вид

Б, — [Э, 8г1],

(68)

нелинейные уравнения, возникающие в случае пяти параметризаций фазового пространства, запишутся:

Шесть способов параметризации фазового пространства привлекаются и в исследовании свойств анизотропного магнетика Гейзенберга. Шесть систем эволюционных уравнений, подобных (68)-(73), содержат уравнение Ландау - Лифшица, описывающего эту модель

н* = [Я, Я XX

(74)

Показывается также, что в макроскопическом пределе (Д оо) уравнения для изотропного магнетика Гейзенберга редуцируются к нелинейному уравнению Шрёдингера.

В третьем пункте седьмой главы показывается, что модель Дикке (то есть уравнения нелинейной оптики) и модель Гейзенберга (то есть, уравнения Гейзенберга, Ландау-Лифшица ны.

библиотека

С. Петербург 03 300 жп I

Сверхпроводящий тунельный контакт (четвертый пункт седьмой главы), реализующий системы взаимодействующих фермионов, описывается набором эволюционных уравнений для переменных (в,ф), (£,£*)> (ги,9з),....(а+,а), которые включают в себя, например, нестационарные уравнения Гинзбурга - Ландау

(75)

Явление сверхтекучести (пятый пункт седьмой главы) реализуется в системах взаимодействующих бозонов. Набор уравнений, который определён на фазовом пространстве механики Эйлера II, включает в себя известные уравнения: нелинейное уравнение Шрёдингера (ф - параметр порядка в теории сверхтекучести)

= -фхх + 2сф{Ъ+\фУ);

(76)

уравнение, задающее соотношение между плотностью числа частиц и токов

\ф\\=г{ф*фх-фф1)х\ (77)

гидродинамическое уравнение, определяющее связь между плотностью импульса и плотностью потока импульса

{РФ, - = ¿над4 - Цфх|2 + \ф?хх)х. (78)

Причём гамильтонов функционал

Н = \1[51кф\фкх-У(ф)]йх

формирующий данные эволюционные уравнения, в теории сверхтекучести играет роль свободной энергии системы.

Величины, которые параметризуют фазовые пространства 0,</?; ъо^ф-,

, в квантовой области в тех или иных

физических процессах имеют определенный физический смысл. Например, в нелинейной оптике параметр в определяет площадь под оптическим импульсом, величина И) определяет разность населснностей уровней частиц, (р - коллективная фаза, канонически сопряженная с ю ; /? играет роль обратной температуры; величины ч1),ф* играют роль параметров порядка; а+, а и А+, А являются операторами рождения (уничтожения) частиц бозе-конденсата.

Обобщение нелинейных эволюционных уравнений к трехмерной (пространственной) форме позволяет все эволюционные уравнения записать как уравнения непрерывности (шестой пункт). Например, в случае явления сверхтекучести будем иметь для фазовых переменных следующее уравнение

Здесь V} - плотность числа частиц конденсата, (Я2 — га2) - плотность квадрата числа взаимодействующих частиц конденсата, - ско-

В седьмом пункте седьмой главы показывается, что все эффекты распространения когерентных возмущений в системах взаимодействующих фермионов и бозонов, то есть в системах оптического и магнитного резонанса, в сверхтекучих и сверхпроводящих средах, в системах спин-фононного взаимодействия и в полупроводниках, взаимодействующих с электромагнитным полем, описать с помощью одной (общей для всех) системы гидродинамических уравнений. Например для фазовых переменных получаем гидродинамическую систему следующего вида:

— (1Ьу ~ 0.

(79)

рость сверхтекучей компоненты,

дю

где к - плотность энергии,

5р = 1п(Я2 -и!2), 5 = 1пш, Б = У5.

В восьмой главе диссертации приводится явный вид стационарных решений всех эволюционных уравнений, полученных на фазовых пространствах тех классических и квантовых механик, которые были нами определены. Стационарными решениями мы называем решения, которые явно не зависят от времени. Солитонные же решения мы относим к решениям со стационарным профилем.

В первом пункте находятся стационарные решения нелинейных эволюционных уравнений, соответсвующих системам взаимодействующих фермионов. Стационарные решения находятся как параметрическое задание геодезических линий фазового пространства со сферической метрикой.

Для сферических координат будем иметь {0,<р):

Здесь а - интеграл теоремы Клеро, 5 - натуральный параметр кривой (длина её дуги), с - постоянная интегрирования. Для цилиндрических координат:

(82)

(83)

(84)

Здесь а,Ь,г - константы; - интеграл теоремы Клеро.

Во втором пункте восьмой главы находятся стационарные решения нелинейных эволюционных уравнений, соответствующих системам

ы

= \Лг2 - а2 бщ ч> = 1 к =

Для переменных решения записываются в следующем виде:

Для переменных стереографической проекции получаем

взаимодействующих бозонов. Стационарные решения ищутся как параметрическое задание геодезических линий фазового пространства с метрикой псевдосферы. Решения уравнений в этом случае записываются: для псевдосферичсских координат

'«-О8?).4

>/Н+Т

для цилиндрических координат

для переменных решения принимают вид

(85)

(86)

(87)

и для переменных стереографической проекции

(88)

В третьем пункте восьмой главы исследуются геометрические свойства кривых (кривизна и кручение), реализующих солитонные решения нелинейных уравнений в том случае, когда фазовой поверхностью физической системы является сфера (фермионные системы). Записаны выражения для солитонных решений при различных параметризациях поверхности. Если стационарные решения (геодезические линии) изображаются на фазовой поверхности большими окружностями, то со-литонные линии в параметрах репера Френе будут иметь следующие характеристики. Уравнение движения репера Френе, отнесенного к со-литонной линии, имеет вид:

сГг , _ <И> , _ - <1(3

где - единичные векторы: касательный вектор, главная нормаль, бинормаль соответственно; к - кривизна кривой, х - её кручение. Вычисления показывают, что кривизна и кручение принимают следующую функциональную зависимость от натурального параметра:

(90)

где

То есть, можно сказать, что кривизна кд зависит от скорости движения V солитона.

Переменные их,и2 (координаты стереографической проекции сферы на плоскость) наиболее удобны для изображения решений эволюционных уравнений на плоскости. Стационарные решения в этих координатах изображаются в виде замкнутых линий (окружностей). Солитон-ные же линии определяются следующими выражениями для :

(91)

где

Вычисления показывают, что кривизна солитонной линии на плоскости определяется следующим выражением:

г.

к =

иу

-созесЬ—, и1 + V* 2

(92)

а сама кривая имеет спиралевидную форму.

В заключении кратко сформулированы основные результаты диссертации.

Основные выводы

В диссертации был разработан новый подход в исследовании объектов классической и квантовой физики, основанный на том, что процессы, протекающие в классических и квантовых системах, моделируются с помощью эволюции конечномерных и бесконечномерных динамических систем. Построение базовых моделей - динамических систем - основывается па гамильтоновом формализме и на методах дифференциальной и симплектической геометрий; а соответствие между классическими и квантовыми объектами устанавливается с помощью теории когерентных состояний и процедуры квантования.

В процессе исследования было показано, что выбор механической модели в виде двух заряженных волчков, совершающих вращательное движение в евклидовом (псевдоевклидовом) пространстве является адекватным поставленной задаче моделирования нелинейных колебательных и волновых процессов как в классических, так и в квантовых системах.

Фазовые пространства и классических, и квантовых моделей могут быть параметризованы с помощью одних и тех же наборов локальных координат.

Методика генерации динамических систем с помощью фундаментальных геометрических объектов фазовых пространств - метрического тензора, форм связности и объема - приводит к интегрируемым системам нелинейных уравнений относительно фазовых переменных.

Полученные нелинейные эволюционные системы позволяют совершить единообразный подход ко всем колебательным и волновым процессам, возникающим в системах взаимодействующих фермионов и бозонов.

Показано, что генерация динамических систем как в рамках га-мильтонова формализма, так и в рамках формализма Лагранжа приводит к однми и тем же эволюционным системам.

Трехмерная форма интегрируемых эволюционных уравнений позволяет описать распространение коегерентных возмущений в системах

оптического и магнитного резонансов, в сверхпроводящих и сверхтекучих средах, в системах спин-фононного взаимодействия и в полупроводниках, взаимодействующих с элетромагнитным полем, с помощью одной (общей для всех) системы гидродинамических уравнений.

Множество нелинейных эволюционных уравнений, полученное в рамках нашего метода, включает в себя уже известные уравнения, в частности, оно прямым образом содержит: уравнение Гинзбурга - Ландау, Ландау - Лифшица, уравнение магнетика Гейзенберга, нелинейного уравнения Шрёдингера, уравнение 8т-Гордона.

Показано, что распространение возмущений по непрерывной цепочке взаимодействующих шаровых волчков может выступать в качестве модели распространения нелинейных волн.

Как естественное следствие предложенного метода генерации нелинейных эволюционных уравнений обнаруживается, что стационарные решения уравнений являются геодезическими линиями фазовой поверхности, а предложенный способ параметризации фазового пространства позволяет строить фазовые портреты динамических систем.

Публикации по теме диссертации

[1] Богданов Е.И. Использование бозонного представления углового момента для анализа процессов сверхизлучения // Учёные записки Казанского госпединститута. - 1976. - Вып. 163. - С.113 - 136.

[2] Богданов Е.И., Нагибарова И. А. Суперфлюоресцептная кинетика самоиндуцироваиной прозрачности // Доклады АН БССР. - 1979. -Т.23. - 5. - С.438 - 440.

[3] Богданов Е.И., Нагибарова И.А Бозонное представление самоиндуцированной прозрачности // Доклады АН БССР. - 1979. - Т.23. -8. - С.695 - 697.

[4] Богданов Е.И., Нагибаров В.Р., Нагибарова И.А. Квантовая теория самоиндуцированной прозрачности // ЖЭТФ. - 1979. - Т.77. -Вып.8. - С.498 - 504.

[5] Богданов Е.И. Классический аналог сверхизлучательного перехода // УФЖ. - 1980. - Т.25. - 10. - С.17 - 25.

[6] Богданов Б.И., Нагибарова И А. К теории безрезонаторных квантовых генераторов // Деп.ЖПС. -1980. - Вып.4. - 33.- Per. 25441-81. -22 с.

[7] Богданов Е.И., Нагибарова И.А. Квантовая теория кооперативных явлений - стационарный случай. // Известия АН БССР. Серия физмат, наук. - 1981. - 5. - С.93 - 98.

[8] Богданов Е.И., Нагибарова И:А. Квантовая теория оптической нутации // Доклады АН БССР. -1982. - Т.26. - 2. - С.121 -123.

[9] Нагибарова И.А., Богданов Е.И., Дерюгин И.А Динамика квантовых систем. - Минск: Наука и техника, 1986. - 280 с.

[10] Богданов Е.И. Система Максвелла - Лагранжа в теории оптического и магнитного резонансов // ТМФ. - 1987. - Т.72. - 2. - С.244 -255.

[11] Богданов Е.И., Нагибарова И.А., Синюк А.И. Нелинейные волновые процессы в протяженных сверхпроводящих и сверхтекучих средах. // Доклады АН БССР. - 1988. - Т.32. - 11. - С.980-982.

[12] Богданов Е.И.', Дерюгин И.А., Нагибарова И.А., Синюк А.И. Система Максвелла-Лагранжа в теории твердого тела. // Известия АН БССР. Серия физмат, наук. - 1989.- 5. - С.56-63.

[13] Богданов Е.И.' Квантование классической механики Лагранжа // ТМФ. - 1992. - Т.91. - 3. - С.433 - 440.

[14] Богданов Е.И. Нелинейная эволюция квантовых систем // ФТТ.-1992. - Т.36.- 2.- С.1723-1734.

[15] Богданов Е.И. Пространственно - распределённая классическая механика Лагранжа // ТМФ. - 1994. - Т.101.- 1. - С.369 - 373.

[16] Богданов Е.И. Переменные действие - угол в теории явлений сверхпроводимости и сверхтекучести // Известия вузов. Физика. -1997. - 5. - С. 70 - 79.

[17] Богданов Е.И. Schrodinger nonlinear equations on phase space with a nonflat metrics// Nonlinear phenomena in complex system. - 2000.

- V.3. - 3. - Р.286 - 290.

[18] Богданов Е.И. Функционалы действия и импульса на фазовых пространствах физических систем // Изв. Вузов Физика. - 2000.- 10.

- С.82 -86.

[19] Богданов Е.И. Интегрируемые системы на фазовых пространствах с неплоской метрикой // ТМФ. - 2001. - Т.129.- 3. - С.373-387.

[20] Богданов Е.И., Нагибаров В.Р. Особенности самоиндуцированной прозрачности для ультракоротких импульсов. Тезисы доклада // IX Всесоюзная конференция "Когерентная и нелинейная оптика" Ленинград. - 1978. - С. 144.

[21] Богданов Е.И., Нагибарова И.А., Дерюгин И.А. Квантовая теория кооперативных процессов. Тезисы доклада // II Всесоюзный симпозиум "Световое эхо" Казань. - 1981. - 23 с.

[22] Богданов Е.И., Нагибарова И.А., Дерюгин И.А. Динамика квантовых систем // III Всесоюзный симпозиум "Световое эхо". Харьков.

- 1985. - 38 с.

[23] Богданов Е.И., Нагибарова И.А. Нелинейность в эволюции квантовых систем. Тезисы доклада // IV Всесоюзный симпозиум " Световое эхо" Куйбышев. - 1989. - С.39-40.

[24] Богданов Е.И. Взаимодействие электромагнитных полей с проводящими телами, заданной формы // Научно - исследовательский отчёт. HHB.N. ГОС. per. 02840013181.-1986. - 40 с.

[25] Богданов Е.И. Метод обратной задачи рассеяния в исследовании взаимодействия электромагнитных полей с проводящими телами // Научно - исслед. отчёт HHB.N. ГОС. Per. 02850043160.-1987. - 44 с.

[26] Богданов Е.И. Метод обратной задачи рассеяния в исследовании распространения электромагнитных волн в различных средах // Научно - исслед. отчёт N 3/86, п/я,Р -6324. -1988. -73 с.

Лицензия на полиграфическую деятельность №0317 от 20.10.2000г. выдана Министерством информации и печати Республики Татарстан Подписано в печать 05.04.2004 г. Форм. бум.60х84 1/16. Печ. л. 1,75. Тираж 150. Заказ 231

Издательство Елабужского госпедуниверситета 423600, Елабуга, ул. Казанская, 89.

in-98 oí

1 Введение

1.1 Актуальность темы и цель работы

1.2 Обзор содержания диссертации.

1.3 Научная новизна и практическая значимость диссертационной работы

1.4 Научные положения, выносимые на защиту, апробация и публикации

2 Интегрируемые динамические системы

2.1 Конечномерные гамильтоновы системы в классической и квантовой физике

2.2 Бесконечномерные гамильтоновы системы в класической и квантовой физике

2.3 Интегрируемые нелинейные эволюционные уравнения.

2.4 Квантование.

2.4.1 Квантование на плоскости Лобачевского

2.4.2 Квантование на сфере. 2.5 Когерентные состояния.

3 Конечномерные динамические системы на фазовых пространствах механических систем

3.1 Классификация конечномерных систем.

3.2 Конечномерные системы для двух связанных шаровых волчков

3.3 Конечномерные системы для двух связанных волчков (псевдоевклидово пространство)

3.4 Конечномерные системы для волчка и осциллятора

3.5 Конечномерные системы для волчка и осциллятора (псевдоевклидово пространство) а б Конечномерные системы для двух связанных осцилляторов.

3.7 Принцип стационарного действия для конечномерных динамических систем

3.8 Каноническая форма уравнений Гамильтона для физических систем с неплоским фазовым пространством.

3 9 Механическая модель для систем взаимодействующих фермионов и бозонов. if 4 Конечномерные динамические системы для взаимодействующих фермионов и бозонов

4.1 Модельные гамильтонианы квантовых систем

4.1.1 Модельные гамильтонианы в теории оптического и магнитного резонансов.

4.1.2 Модельные гамильтонианы в теории фотон-фононного взаимодействия

4.1.3 Модельные гамильтонианы в теории сверхпроводимости.

4.1.4 Модельные гамильтонианы в теории сверхтекучести. 4.2 Канонические когерентные состояния для квантовых систем с динамической группой SO(3).

4.3 Канонические когерентные состояния для квантовых систем с динамической группой SO(2.1).

4.4 Гамильтонова форма уравнений движения для квантовых систем

5 Квантование классических систем

5.1 Квантование системы, состоящей из двух связанных волчков.

5.2 Квантование системы, состоящей из двух связанных волчков (псевдоевклидово пространство)

Ф 5.3 Когерентные процессы в системах взаимодействующих фермионов и бозонов

6 Бесконечномерные динамические системы для взаимодействующих фермионов и бозонов

6.1 Нелинейные эволюционные уравнения для системы взаимодействующих фермионов.

6.2 Нелинейные эволюционные уравнения для системы взаимодействующих бозонов.

6.3 Нелинейные эволюционные уравнения для систем бозон - бозонного взаимодействия

6.4 Нелинейные эволюционные уравнения для систем оптического (магнитного) резонанса.

6.5 Нелинейные эволюционные уравнения на двухмерных фазовых поверхностях

6.6 Интегрируемость эволюционных уравнений (фермионные системы)

6.7 Интегрируемость эволюционных уравнений (бозонные системы)

6.8 Бигамильтоновость эволюционной системы взаимодействующих ферми онов.

6.9 Бигамильтоновость эволюционной системы взаимодействующих бозонов

6.10 Принцип стационарного действия для бесконечномерных динамических систем.

6.11 Трехмерная форма нелинейных эволюционных уравнений.

7 Нелинейные когерентные волновые процессы в системах взаимодействующих фермионов и бозонов

7.1 Динамические квантовые системы в теории явлений оптического резо

V нанса

7.2 Нелинейные эволюционные уравнения в теории магнетизма. Магнетик Гейзенберга.

7.3 Калибровочная эквивалентность модели Дикке и модели Гейзенберга

7.4 Динамические квантовые системы в теории сверхпроводимости.

7.5 Нелинейные эволюционные уравнения в теории сверхтекучести.

7.6 Уравнение непрерывности для физических систем, участвующих в когерентных процессах

7.7 Система гидродинамических уравнений ф 8 Частные случаи решений интегрируемых нелинейных эволюционных уравнений

8.1 Стационарные решения нелинейных эволюционных уравнений для фер-мионных систем.

8.2 Стационарные решения нелинейных эволюционных уравнений для бо-зонных систем.

8.3 Солитонные решения эволюционных уравнений.

8.4 Фазовые портреты нелинейных эволюционных систем.

Идея о колебательной или волновой общности кажущихся непохожими на первый взгляд явлений самой различной природы (механических, электромагнитных, химических, биологических и т.д.) в наше время представляется совершенно естественной. Но тем не менее и сегодня колебательные и волновые процессы, наблюдаемые в различных областях физики, не всегда легко связать с какой-либо одной математической моделью; особенно это относится к нелинейным явлениям. Поэтому и сейчас остается актуальной потребность в построении моделей, системы понятий и представлений, позволяющих ориентироваться в чрезвычайном разнообразии колебательных и волновых процессов, которые встречаются в природе и технике.

На современном этапе исследований колебательные процессы описываются конечномерными динамическими системами (или гамильтоновыми системами), а волновые процессы - бесконечномерными динамическими системами (или нелинейными эволюционными уравнениями). С дальнейшим развитием теории динамических систем пришло понимание, что конечномерные гамильтоновы системы могут быть обобщены до бесконечномерных гамильтоновых систем, уравнениями эволюции которых могут быть нелинейные дифференциальные уравнения в частных производных.

Наиболее общее описание эволюции произвольной физической системы проводится либо в рамках формализма Лагранжа, когда движение системы определяется на конфигурационном пространстве с помощью функции Лагранжа, либо в рамках га-мильтонова формализма, когда эволюция физической системы определяется как геометрией фазового пространства, так и заданной на фазовом пространстве функцией Гамильтона. И в том, и в другом представлении решение проблемы описания эволюции физической системы сводится к решению или линейных, или нелинейных дифференциальных уравнений. Но при этом обращение к гамильтонову формализму предоставляет преимущество, так как именно на его основе теория интегрируемых нелинейных дифференциальных уравнений получила наиболее элегантную и продуктивную формулировку. Кроме того, в рамках гамильтонова формализма наиболее прозрачно и корректно осуществляется связь между классическими и квантовыми системами.

Успехи, достигнутые в последние десятилетия в разработке теории нелинейных дифференциальных уравнений, выдвинули на передний план физических исследований нелинейные эволюционные процессы. Тем более, что большое количество физически значимых уравнений - уравнения теории тяготения Эйнштейна, гидродинамические уравнения Эйлера и Навье - Стокса, уравнения нелинейной оптики и т.д. -являются нелинейными уравнениями и могут быть записаны как уравнения движения либо в лагранжевой, либо в гамильтоновой механике.

Многие из интегрируемых нелинейных уравнений имеют большую степень универсальности и встречаются в самых разнообразных областях физики. В целом, нелинейные интегрируемые уравнения имеют широкий диапазон применения: от теории гравитации и квантовой теории ноля, физики плазмы и нелинейной оптики до гидродинамики, теории движения твёрдого тела и физики конденсированного состояния вещества.

Среди множества исследований нелинейных явлений особенное место занимает направление, которое изучает когерентные образования и сложные детерменированные структуры. Когерентные нелинейные процессы и образования исследуются в физике плазмы (ленгмюровские солитоны), в нелинейной оптике (сверхкороткие импульсы), в физике высоких энергий (ударные волны), в физике конденсированного состояния вещества ( бозе - и ферми - конденсаты). Явления сверхпроводимости и сверхтекучести, одномодопые лазеры и бозе - эйнштейновский конденсат (совокупность полностью скоординированных атомов) имеют различную природу и обнаруживают себя в средах с различными свойствами, но, с другой стороны, они все проявляют макроскопическое квантовое поведение, которое характеризуется согласованностью или когерентностью протекающих процессов. Описание этих явлений осуществляется на базе разных представлений и с помощью разных уравнений, и для того, чтобы учесть их одинаковое качество - когерентность - необходимо разработать единообразный подход, основанный на единых представлениях и моделях нелинейных эволюционных процессов.

Заключение

В диссертации был разработан новый подход в исследовании объектов классической и квантовой физики, основанный на том, что процессы, протекающие в классических и квантовых системах, моделируются с помощью эволюций конечномерных и бесконечномерных динамических систем, определенных на алгебрах Ли. Построение базовых моделей - динамических систем - основывается на гамильтоновом формализме и на методах дифференциальной и симплектических геометрий; а соответствие между классическими и квантовыми объектами устанавливается с помощью теории когерентных состояний и процедуры квантования.

В случае конечномерных динамических систем их гамильтоново представление осуществлялось на орбитах коприсоединенного представления следующих групп:С = 50(3) (8)50(3), в = 50(2.1) (8) 50(2.1), в = 50(3) ® Я, О = 50(2.1)0 Я, О = Я (8) Я, когда в качестве гамильтониана использовались квадратичные функции от переменных, параметризующих алгебры д.

Каждому прямому произведению групп О соответствует определенная классическая механика (М,ш), симплектические свойства которой задаются кососимметриче-ской матрицей и>, образованной с помощью структурных констант алгебр д. Показано, что и сами скобки Пуассона, и симплектическая форма и> определяются с помощью контрвариантных и ковариантных компонент одного и того же тензора - дискрими-нантного тензора фазовой поверхности.

Каждой классической механике сопоставляется конкретная модель в виде системы из двух шаровых волчков, взаимодействующих посредством электрического (гравитационного, магнитного) пол я. Векторная форма уравнений движения системы из двух шаровых волчков содержит, как частный случай, хорошо известную гироскопическую модель, которая используется в ядерном и электронном магнитном резонансе.

Показано, что на фазовых пространствах (орбитах коприсоединенного представления групп С) можно ввести восемь наборов локальных координат: в, <р\ го, го, ф\ <р, /5; С) С*! Щ Л+,А (имеющих тот или иной физический смысл), пять из которых

- го, ги, ф] ф,^] а+,а; А+, А являются канонически сопряженными переменными.

Доказано, что нелинейные уравнения Эйлера, определяющие динамические системы как в классической, так и в квантовой области, переопределяются через систему линейных дифференциальных уравнений. Причем переменные вспомогательной линейной задачи имеют определенный физический смысл.Например, в квантовой области они имеют смысл параметров порядка соответствующей квантовой модели.

Квантование классических механик по схеме Березина приводит к известным квантовым моделям, которые используются в описании явлений оптического и магнитного резонансов, ферромагнетизма, сверхпроводимости и сверхтекучести, спин-фононного взаимодействия, а также полупроводников, взаимодействующих с электромагнитным полем.

Когерентные состояния квантовых моделей параметризуются теми же переменными, что и фазовые пространства классических механик, а уравнения движения и для фазовых переменных, и для ковариантных символов операторов соответствующих квантовых механик имеют одну и ту же форму - форму уравнений Гамильтона.

Симплектическая структура фазового пространства (форма со) позволяет перейти от конечномерных динамических систем к бесконечномерным, причем свойства бесконечномерных динамических систем вполне детерминируются двумя фундаментальными геометрическими объектами фазовых пространств - метрическим тензором и формой объема. Другими словами, если гамильтоновы функционалы выбираются в виде функционалов, определенных с помощью метрического тензора или формы объема фазового пространства, то нелинейные эволюционные системы генерируются действием гамильтонова оператора на вариацию геодезических линий фазового пространства.

Множество нелинейных эволюционных уравнений, полученное в рамках нашего метода, включает в себя уже известные уравнения, в частности, оно прямым образом содержит: уравнение Гинзбурга - Ландау, Ландау - Лифшица, уравнение магнетика Гейзенберга, нелинейного уравнения Шрёдингера, уравнение вт-Гордона.

Показано, что распространение возмущений по непрерывной цепочке взаимодействующих шаровых волчков может выступать в качестве модели распространения нелинейных волн.

Как естественное следствие предложенного метода генерации нелинейных эволюционных уравнений обнаруживается, что стационарные решения уравнений являются геодезическими линиями фазовой поверхности, а предложенный способ параметризации фазового пространства позволяет строить фазовые портреты динамических систем.

Глава 10 Приложения