Исследование волновых процессов в сильно флуктуирующих средах методами ренормализационной группы и эиконала тема автореферата и диссертации по физике, 01.04.02 ВАК РФ

САНКТ-ПЕХЕРБУРГСКШ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ УНИВЕРСИТЕТ

На правах рукописи

Степанова Маргарита Михайловна

ИССЛЕДОВАНИЕ ВОЛНОВЫХ ПРОЦЕССОВ В СИЛЬНО ФЛУКТУИРУЮцИХ СРЕДАХ МЕТОДАМИ РЕНОРМАЛИЗАЩОННОЙ ГРУППЫ Н "ШОНАЛА

Специальность 01.04.02 - теоретическая фиаика

Автореферат

диссертации на соисканюэ ученой степени .кандидата физико-математических наук

Санкт-Петербург 1983

Работа выполнена на кафедре статистической физики физического факультета Санкт-Петербургского университета

доктор физико-математических наук, профессор Куни Ф.М.,

кандидат физико-математических наук, доиэнт Адаемян Л.Ц.

доктор Физико-математических наук, профессор Кузьмин В.Л.,

кандидат физико-математических наук, Панасюк Г.Ю.

Петербургское отделе:: ~ле Математического института ' им. В.А. Стеклова РАН

Защита состоится Ф мо. |>та хЭ94 г. в ¡5" часов на заседании специализированного совета K063.57.I7 по присуждению ученной степени кандидата физико-математических наук в Санкт-Петербургском государственном университете по адресу: 199034, Санкт-Петербург, Университетская набережная, 7/9.

С диссертацией можно ознакомиться в библиотеке СШУ

Автореферат разослан ^>0 199 ^г.

Ученьи секретарь специализированного

ученого совета: С.Н. Манвда

Научные руководители:

Официальные оппонента:

Ведущая организация:

ОБЩАЯ ХАРАКТЕРИСТИКА РАБОТЫ.

Актуальность темы исследования. '

Теоретическое исследованию волновых процессов а средах с сильно развитыми флуктуациями посвящено в последнее время значительное количество научных публикация. К задачам такого рода сводятся, в частности, изучение распространения и рассеяния света в нематических жидких кристаллах, в системах, близких к фазовому переходу второго рода, распространение звуковых волн в средах с развитой гидродинамической турбулентностью и другие. В диссертации рассматривается задача распространения и рассеяния акустической волны в турбулентных средах, характеризуемых чрезвычайно сингулярным спектром пульсаций. Ее успешное решение связано с использованием эйэсонального приближения, допускающего в этом случае точное решение.

Для ряда физических задач актуальным является обобщение эйконального приближения на случай нескольких взаимодействующих между собой мод. Общего метода решения тагагс задач пока не разработано, хотя отдельные примеры их решения известны. В диссертации показано, что определенный класс задач такого рода может быть успешно решен с помощью метода ренормализационной 1руппы.

Метод ренормализационной группы был применен также в диссертации гри решении актуальной проблемы статистического описания спектров развитой гидродинамической турбулентности.

Цэль работы:

- примененш методов эйконала и ренормализационной группы к классу задач, описывающих взаимодействующие флуктуационные мода;

- расчет закона затухания и интенсивности малоуглового рассеяния звуковой волны в сильно флуктуирующей среде в эякональном приближении;

- учет влияния сжимаемости среда на спектры турбулентных пульсаций.

Научная новизна работа определяется эффективностью

используемых методов, позволивших получить существенно ноше результаты.

Основные результаты диссертации.

1) Исследована асимптотика больших расстояний фермионного цропагатора в простоя неаболевой ¡модели фермионов и безмассовых бозонов, обобщающей рассмотренную в из модель с изоспином на случай- произвольной компактной полупростой группы Ли и размерности пространства й < 4. С- помощью метода ренормализащонной группы, примененного к эффективной одномерной безмассовой модели, описывавшей эйкональное приближение к исходной теории поля, получено ведущее инфракрасное приближение для асимптотики.

2) Получен сверх экспоненциальный закон затухания когерентной составляющей звуковой волны в сильно флуктуирующей среде. Исследована угловая зависимость интенсивности рассеяния звуковой волны на турбулентных пульсациях, показано, что длина расшывания звукового луча существенно превышает длину когерентности.

3) Получено обобшонюэ квантовополевого описания стохастических систем на случай взаимодействий, содержащих временные производные.

4) Решена задача ренормировки семейства нелокальных составных операторов.

5) Вычислена степенная поправка к колмэгоровскому спектру, обусловленная конечностью скорости звука в среде.

Теоретическое и практическое значение. Полученные результаты имеют непосредственное практическое значение для описания распространения и рассеяния звуковых волн в турбулентной атмосфере. Они могут быть также использованы при измерении спектров турбулентных пульсаций с помощью изучения угловой зависимости рассеяния звуковой волны.

Изучение техники ренормировки нелокальных составных операторов и расширение квантовополевого описания на случай

• взаимодействий с производными по времени может быть использовано для решения широкого класса других теоретических задач.

Апробация работы.

Материалы диссертации докладывались на научном семинаре в Санкт-Петербургском отделении Математического института РАН и на семинарах кафедры статистической физики НИИФ СШУ.

Публикации.

По теме дасссертации опубликовано две статьи. Они указаны в конце автореферата.

Структура и объем.

Диссертация состоит из введения и трех глав. Список литературы включает 42 наименования. Объем работы 72 страницы.

СОДЕРЖАНИЕ РАБОТЫ.

Во введении приводится обзор литературы по теме диссертации и кратко излагаются основные результата.

Глава 1 посвящена изучение простой неабелевой модели,

описывающая взаимодействие массивного спинорного поля и безмассового скалярного- поля с произвольной компактное полупростой группой Ж в пространстве с размерностью <1*4.

Исходным объектом рассмотрения является модель спинорного у, г и солярного полей с функционалом действия:

Б = -(**>)'/2 - у Сг^ + щ + (1)

где г" - набор генераторов некоторого представления полупростой компактной группы Ли. подразумевается интегрирование по 4-мерному пространству и суммирование по лоренцзвым и изотопическим индексам полей.

Для получения ведущего ИН-приближения пола р представляется в виде суммы *> = ч>г жесткого и мягкого вкладов, фермионные петли отбрасываются, а пропагатор фермиона факторизуется:

С(х) = С^х) Сг(х) (2)

Здесь С^х) - пропагатор фермиона в жестком поде *>1, влияющий лишь на нормировку асимптотики, все ИК-особенности содержатся

в мягком множителе С2(х), представляемом в эйкональном ввде:

^ к

G2(x) = «ï - exp [g J t° *£(х) da]»

(3)

Выражение (3) совпадает с пропагатором в эффективной одномерной модели с функционалом действия

S = - »> Ï"V /2 - v (à/ât + g ta *>") v, (4)

где D(t) - пропагатор поля *>(t), совпадающий с пропагатором мягкого поля <р2 в исходной d-мерной модели (1 ).

Далее проводится анализ тенормируемости модели, показано, тго для устранения расходимостей в интересующем нас пропагатор© <v у> требуется контрчлэны, воспроизводимые ренормировкой действия ввда:

S„ = - »> 5"V /2 - ? (Zt â/at +Z2 g,, a/ ta *>a)v (5)

Здесь g^ - ренормировочная константа связи, нормировочная

масса м - произвольный параметр ренормированной теории SR в используемой схеме минимальных вычитаний.

Двухпвтлевой расчет ренормировочных констант Zi2 дает:

uC» иЧ<с»~ СА) u2CbGa

Z = 1 - - + -;- + - + 0(u9),

1 2с 8с2 8*

U (Сж- Сд/2) и2 (Ся- Са/2)(Сн- ЗСа/2)

Z -, - + -^- +

(6)

+-:-+ 0(и3),

где u = g^ /4"2, а константы Св и Сд являются инвариантами

о

полупростой компактной группы Ли.

В приближении (в) получаются выражения для РГ-функций:

/?(и) = - 2 U « + и2Сд(1 - и С/2) + О(и') (7)

Ни) = и Ск(1 - и Сд/2) -I- 0(и3) (8)

В случае d<4 («>0> /э-функция (?) имеет ИК-устойчивую

неподвижную точку ч, = 2«(1+«)/Сд + 0(«*). Соответствующая ей

аномальная размерность г(ищ)=2е Ся/Сл + 0(«э).

Показано, что ренормгруппа успешно работает и при с=0:

-с./С.

Gr =» (1 + и Сд ln(^t)) " л (9)

Переход от Ge к исходному G и учет жесткого множителя С4 в (2) не изменяет сингулярного вклада, а сводится лишь к замене м -> ш, где m - масса фермиона в (I). Окончательный результат состоит в том, что для модели (I) в асимтотике больших расстояний справедливо представление типа

G(x) = 0о(х) f(T), (10)

в котором при d<4

Г(г) = const • (mr) , (11 )

а при d=4:

Г S2 СЛ TCR/CA

Г(г) = [1 + —А Ш(шг)] " А (12)

В главе 2 рассматривается задача о рассеянии и

ослаблении ультразвуковой волны в турбулентной среде. Исходными являются уравнение Навье-Стокса и уравнение неразрывности:

+ = + + в^Эи) + £. (13)

atP + <». (ри. ) = 0 (.4)

Процессы считаются адиабатическими, поэтому связь давления и плотности определяется соотношением

<5р = с*бр, где -с* = (¿р/эр (15)

В несжимаемой вдцкости уравнение неразрывности сводится к условию поперечности шля скорости, учет же конечности сжимаемости приводит к появлению продольной составляющей

(V = гА + и»), где можно считать малой добавкой. Безразмерным параметром, отвечающим за эту малость, является число Маха М » у,/с, где - характерная скорость

турбулентных вихрей. Рассматривг лтся случай таких vr, что одновременно И«1, а число Рейнольдса Ве»1.

Для решения с заданной частотой, учитывая только линейный по V вклад, имеем уравнение на звуковую компоненту:

2 1 К

+ фр ---(V-1 К » "/с (16)

с

«А считается случайным полем с гауссовым распределением, для его коррелятора используется модель фон Кармана: -

<2*}* С„ Р^ где * • 1Г\ IГ'-^/Ь"". -

Из-за- относительной малости *«к0 коррелятор сильно растет при к-Ю и это может нарушать кажущееся возможным (малость 11) борновское приближение, а именно, приближением Борна можно ограничиться, если М* (1^/»«)а«1, если н© 1Р{к0/«)*!в1, то нужно суммировать ряд теории возмущений.

Для суммирования главных вкладов используется приближение заковала. Усредненное с гауссовским весом решен® имеет вид:

<Р'(8)> - Р„ ехр{1коа--® В £(*г)> (18)

4С

где В - константа, а

sin kx

i(x) = J dk k"2 (k"+l T*ya (1--) (19)

В случае z»1 Их) ~ atx - a( с известными коэффициентами и что физически соответствует затуханию при прохождении многих гихрея (М/т«1 ) и совпадает с расчетом в борновском приближении. В случав х<<1 ï(x) „ pjf- fijf'*, что соответствует затуханию на одном большом вихре <М/ш»1 ). Для промежуточной области проведен численный расчет зависимости длины затухания от параметров системы.

В эйкональном приближении была также исследована угловая зависимость интенсивности рассеяния звуковой волны при различной глубине z ее проникновения в турбулентную среду. Для асимптотических значений параметров получен явный вид угловой зависимости от угла рассеяния в:

Не) с^-*'* zkae«1

1(е) С,*"11-" 2koe»1 (20)

Промежуточные случаи проанализированы численно.

Рассеяние звуковой волны турбулентной средой демонстрирует те же основные качественные особенности, что и рассеяние света в нематиках - сверхэкспонендаальный характер затухания когерентной составляющей и существенно большую длину расплывания луча по сравнению с дойной когерентности.

Глава 3 посвящена изучению влияния сжимаемости на спектр

турбулентных пульсаций развитой турбулентности, описываемой в рамках стохастической модели Уайльда, когда в уравнении <13) 1 считается гауссовой случайной силой с заданным коррелятором. Случай несжимаемой жидкости, формально соответствующий пределу бесконечной скорости звука с~*-*0, рассмотрен квантовополевым методом в работе газ. Задача учета в уравнениях движения поправок ~ с'1 осложняется тем, что соответствующее нелинейное слагаемое содержит производные по времени. Это потребовало обобщения теоремы о шреходг от стохастической к квантовополевой задаче. Было показано, что данная стохастическая задача эквивалентна голевой с действием

Б = 5 й и" и' в, ^ V,' + V* 1-д V. + V Дг>. - (иЛ)Х1 -2 Чэг О I 1к к »11 О 1 л ' I

- + V* ) ~ С"2 бр ^К. + С~\*р Ли. ] (21 )

Здесь поля давления «р и продольной составляющей скорости V1 выражаются через повречное поле

= vk

= - о- а. Д"1Б1 р (22)

Учет добавочных (порядка с~*) слагаемых в действии (21) сводится к решению задачи о ренормировок семейства нелокальных составных операторов канонической размерности <1 = 7. Для этого оказалось достаточно рассмотреть ренормировку их локальных подблоков

О, = (23)

в.-«VIК

Вшюлнениэ этой программы. позволило найти методом ренормгруппы соответствующие аномальные размерности, определяющие искомые поправки к спектрам развитой турбулентности. В частности, поправка к энергетическому спектру Колмогорова имеет вид:

I/ Ш -.»'а т •

1 + ВМ* (—] + . (24)

В прилоиении приводятся графики для главы 2. справочные формулы и некоторые примеры вычислений.

Основные результаты диссертации опубликованы в следующих работах:

1. Антонов Н.В., Васильев А.Н., Степанова М.М. Инфракрасная асимптотика фермионного пропэгатора в простой неабелэвой модели // ТМФ, 1993, т. 96, я 2, с. 313.

2. Антонов Н.В., Адаемян Л.П., Степанова М.М. Распространение и рассеяние ультразвуковых волн в средах с сильно развитой гидродинамической турбулентностью. // Вестник С.-Петербургского ун-та. Сер. 4: физика, химия. 1993, вып. 4, (№ 25) с. 3.

Цитируемая литература .

[13 ророт У.!*., Ш.Т. // КЬуэ.ЬеП., 1979, у. 85В, р. 395 сгз Адаемян Л.Ц., Васильев А.Н., Письмак Ю.Н. // ТМФ, 19ВЗ, т. 57, « 2.

а