Исследование волновых процессов в сильно флуктурирумых средах методами ренормализационной группы и виконала тема автореферата и диссертации по физике, 01.04.02 ВАК РФ

САНКТ-ПЕТЕРБУРГСКИИ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ УНИВЕРСИТЕТ

На правах рукописи

Степанова Маргарита Михайловна

ИССЛЕДОВАНИЕ ВОЛНОВЫХ ПРОЦЕССОВ В СИЛЬНО ФЛУКТУИРУЩИХ СРЕДАХ МЕТОДАМИ РЕНОРМАЛИЗАЩОННОЙ ГРУППЫ И ЭЙКОНАЛА

Специальность 01.04.02 - теоретическая фивика

Автореферат

диссертации на соискание ученой степени .кандидата физико-математических наук

Санкт-Петербург 1993

САНКТ-ПЕТЕРБУРГСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ УНИВЕРСИТЕТ

На правах рукописи

Степанова Маргарита Михайловна

ИССЛЕДОВАНИЕ ВОЛНОВЫХ ПРОЦЕССОВ В СИЛЬНО ФЛУКТУИРУЮЩИХ СРЕДАХ МЕТОДАМИ РЕНОРМАЛИЗАЦИОННОЙ ГРУППЫ И ЭЙКОНАЛА

Специальность 01.04.02 - теоретическая фивика

Автореферат

диссертации на соискание ученой степэни кандидата физико-математических наук

Санкт-Петербург 1893

Работа выполнена на кафедре статистической физики физического факультета Санкт-Петербургского университета

доктор физико-математических наук, профессор Куни Ф.М.,

кандидат физико-математических наук, доцэнт Адаемян Л.Ц.

доктор Физико-математических наук, профессор Кузьмин В.Л.,

кандидат физико-математических наук, Панасюк Г.Ю.

Петербургское отделе г.ле Математического института им. В.А. Стеклова РАН

Защита состоится ~ м^т»- 1994 г. в часов

на заседании специализированного совета K083.57.I7 по присуждению ученной степени кандидата физико-математических наук в Санкт-Петербургском государственном университете по адресу: 199034, Санкт-Петербург, Университетская набережная, 7/9.

С диссертацией можно ознакомиться в библиотеке СПбУ

Автореферат разослан ЬО 1994 г.

Ученый секретарь специализированного -

ученого совета: С.Н. Манвда

Научные руководители:

Официальные оппоненты:

Ведущая организация:

ОБЩАЯ ХАРАКТЕРИСТИКА РАБОТЫ.

Актуальность темы исследования. '

Теоретическое исследованию вслновых процессовв средах с сильно развитыми флуктуациями посвящено в последнее время значительное количество научных публикация. К задачам такого рода сводятся, в частности, изучение распространения и рассеяния света в нематических жидких кристаллах, в системах, близких к фазовому переходу второго рода, распространение звуковых волн в средах с развитой гидродинамической турбулентностью и другие. В диссертации рассматривается задача распространения и рассеяния акустической волны в турбулентных средах, характеризуемых чрезвычайно сингулярным стактром пульсаций. Ее успешное решение связано с использованием эйконального приближения, допускающего в этом случае точное решение.

Для ряда физических задач актуальным является обобщение эйконального приближения на случай нескольких взаимодействующих между собой мод. Общего метода решения такиг задач пока не разработано, хотя отдельные примеры их решения известны. В диссертации показано, что определенный класс задач такого рода может быть успешно решен с помощью метода ренормализационной группы.

Метод ренормализационной группы был применен также в диссертации гри решении актуальной проблемы статистического описания спэктров развитой гидродинамической турбулентности.

Цель работы:

- применение методов эйконала и ренормализационной группы к классу задач, описывающих взаимодействующие флуктуационные моды;

- расчет закона затухания и интенсивности малоуглового рассеяния звуковой волны в сильно флуктуирующая среде в эйкональном приближении;

- учет влияния сжимаемости среда на спектры турбулентных пульсаций.

Научная новизна работы определяется эффективностью

используемЫх методов, позволивших получить существенно новые результаты.

Основные результаты диссертации.

1) Исследована асимптотика больших расстояния фермионного пропагатора в простоя неабелевой ¡модели фермионов и безмассовых бозонов, обобщающей рассмотренную в си модель с изоспином на случая, произвольной компактной полупростой группы Ли и размерности пространства й £ 4. С- помощью метода ревормализационной группы, примененного к эффективной одномерноя безмассовой модели, описывающей эйкональное приближение к исходной теории поля, получено ведущее инфракрасное приближение для асимптотики.

2) Получен сверхэкспоненциальныя закон затухания когерентной составляющей звуковой волны в сильно флуктуирующей среде. Исследована угловая зависимость интенсивности рассеяния звуковой волны на турбулентных пульсациях, показано, что донна расплывзния звукового луча существенно превышает длину когерентности.

3) Получено обобщение квантовополевого описания стохастических систем на случая взаимодействий, содержащих временные производные.

4) Решена задача ренормировки семейства нелокальных составных операторов.

5) Вычислена степенная поправка к колмэгоровскому спектру, обусловленная конечностью скорости звука в среде.

Теоретическое и практическое значение. Полученные результаты имеют непосредственное практическое значение дня описания распространения и рассеяния звуковых волн в турбулентной атмосфере. Они могут быть также использованы при измерении спектров турбулентных пульсации с помощью изучения угловой зависимости рассеяния звуковой волны.

Изучение техники ренсрлировки нелокальных составных операторов и расширение квантовополевого описания на случай

взаимодействий с производными по времени может быть использовано для решения широкого класса других теоретических задач.

Апробация работы.

Материалы диссертации докладывались на научном семинаре в Санкт-Петербургском отдалении Математического института РАН и на семинарах кафедры статистической физики ШШ СШУ.

Публикации.

По теме дисссертации опубликовано две статьи. Они указаны в конце автореферата.

Структура и объем.

Диссертация состоит из введения и трех глав. Список литературы включает 42 наименования. Объем работы 72 страницы,

СОДЕРЖАНИЕ РАБОТЫ.

Во введении приводится обзор литературы по теме диссертации и кратко излагаются основные результаты.

Глава 1 посвящена изучению простой неабелевой модели,

описывающей взаимодействие массивного спинорного поля и безмассового скалярного- шля с произвольной компактной полупростой группой Ли в пространстве с размерностью а $ 4.

Исходным объектом рассмотрения является модель спинорного V, 5» и склярного полай с функционалом действия:

Б = - («Ч>)*/2 - у + п + у>. (1)

где - набор генераторов некоторого представления

полупростой компактной группы Ли, подразумевается интегрирование по (1-мерному пространству и суммирование по лоренцэвым и изотопическим индексам гюлэа.

Для получения ведущего ИК-приближения поле *> представляется в виде суммы р = *>4+ *>ж жесткого и мягкого вкладов, фермионные петли отбрасываются, а пропагатор фермиона факгоризуется:

G(x) = G^i) Ga(x) (2)

Здесь Gl(x) - пропагатор фермиона в жестком поле *> , влияющий лишь на нормировку асимптотики, все ИК.-особенности содержатся

в мягком множителе Gx(x), представляемом в эйкональном виде:

н

X

G2(x) = «î - exp [g J t° ) da]» (3)

о

Выражение (3) совпадает с пропагатором в эффективной одномерной модели с функционалом действия

S = - р D"V /2 - у (a/at + g ta *>Q) v, (4 )

где D(t) - црспагатор поля *>(t), совпадающий с пропагатором мягкого поля <Рг в исходной а-мерной модели (1 ).

Далее проводится анализ тенормируемости модели, показано, что дая устранения расходимостей в интересующем нас пропагаторе <w v> требуются контрчлены, воспроизводимые ренормировкой действия вида:

А» А» —

SB = - *> D"V /2 - у (ZÎ â/ôt +Z2 ^ и ta *>а)у (5)

Здесь g^ - ренормировочная константа связи, нормировочная

масса ¡л - произвольный параметр ренормированной теории SR в используемой схеме минимальных вычитаний.

Двухпетлевой расчет ренормировочных констант Zi2 дает:

иС и2С (С - С ) и2С С

Я Я s Я А ' Н А

Z = 1 - - + -;- + - + 0(и3),

2* Ос2 Se

и С/2) U2 (CR- Са/2)(Ся- ЗСа/2)

1 -, _ - + -- +

2 2* ôc*

(б)

и2Сл (CR- Са/2)

+ -+ 0(иэ),

8с

где и s /4"2, а константы СИ и СА являются инвариантами

полупростой компактной группы Ли.

В приближении (6) получается выражения для РГ-функций:

f?(u) = -2ui + uzCA (1 - u Ca/2) + 0(u4) (7)

Ни) = u Ся(1 - u Сд/2) + 0(u9) (8)

В случае d<4 (c>0) /^-функция (7) имеет ЙН-устоачивую

неподвижную точку = 2«(1+е)/СА + 0(с3). Соответствующая ей

аномальная размерность г(и(1)=2« Ся/СА + 0(«9).

Показано, что ренормгруппа успешно работает и при «=0:

-С/С

GB =. (1 + u СА ln(Mt)> " А (9)

Переход от GR к исходному G и учет жесткого множителя С4 в (2) не изменяет сингулярного вклада, а сводится лишь к замене v ■* т, где ш - масса фермиона в (1>. Окончательный результат состоит в том, что для модели (I) в асимтотике больших расстояний справедливо представлюниэ типа

G(x) = G0(x) f(r), (10)

в котором при d<4

~г*

Цг) = const • (шг) , (11)

а при d=4:

г S2 сА -,-с/с 1(г) = 1 + ——А 1п(шг) * А (12)

L 4л* -1 ■

В главе 2 рассматривается задача о рассеянии и

ослаблении ультразвуковой волны в турбулентной среде. Исходами являются уравнение Нэвье-Стокса и уравненш неразрывности:

p(dtv. + (,vd)vi) = -а.р + Г) Au.+ (? + Г)/3) + f. (13)

Э^р + a. (pv. ) = О (.4)

Процессы считаются адиабатическими, поэтому связь давления и плотности определяется соотношением

<5р = с*<5 р, где • с1 = (*Р/Ор)е. (15)

В несжимаемой жидкости уравнение неразрывности сводится к условию потеречности поля скорости, учет же конечности сжимаемости приводит к появлению продольной составляющей

(и я VI + и»), где V» можно считать малой добавкой. Безразмерным параметром, отвечающим за эту малость, является число Маха К = ^/с, где «т - характерная скорость

турбулентных вихрей. Рассматривается случай таких ит, что одновременно Н«1, а число Рейнольдса йе»1.

Дяя решения с заданной частотой, учитывая только линейный по V вклад, имеем уравнение на звуковую компоненту:

2 1 К

(- Д + ]£)Р ---° (гА к в и/О (16)

С

V-»- считается случайным шлем с гауссовым распределении, для его коррелятора используется модель фон Кармана:

(17)

(2*)' Ск Р^ И*"

<«Мк) *(-к)> - —т———, 1 ' («* + к*)"'"

где « - Ь"\ - Р^, - 61Г к^Ук*.

Из-за' относительной малости *<<к0 коррелятор сильно растет при к-«0 и это может нарушать кажущееся возможным (малость К) борновское приближенна. а именно, приближением Борна можно ограничиться, если И* 0^,,/»«>а«1. если же М*(к0/«)*г1. то нужно суммировать ряд теории возмущений.

Дяя суммирования главных вкладов используется приближение эйконала. Усредненное с гауссовским весом решение имеет вир:

К

<Р' (в)> - Р0 ехр{1к0й--В Г(*г)) (18)

4с

где В - константа, а

, 31П кг Г(х) = J бк а" (к"+1 у*/а (1--) (19)

В случае x»1 f(x) ~ ^х - ^ с известными коэффициентами at и с«2, что физически соответствует затуханию при прохождении многих гихрей (Н/т<<1) и совпадает с расчетом в борновском приближении. В случае x«1 f(x) .. ^х*- p2j?", что соответствует затуханию на одном большом вихре <М/т»1). Для промежуточной области проведен численный расчет зависимости длины затухания от параметров системы.

В згкональном приближении была также исследована угловая зависимость интенсивности рассеяния звуковой волны при различной глубине z ее проникновения в турбулентную среду. Для асимптотических значений параметров получен явный вид угловой зависимости от угла рассеяния е:

1(0) =, Се-" zkoe«1 1(e) =» С,©"1*-" zkoe»1 (20)

Промежуточные случаи проанализированы числэнно.

Рассеяние звуковой волны турбулентной средой демонстрирует те же основные качественные особенности, что и рассеяние света в тематиках - сверхэкспоненциальный характер затухания когерентной составляющей и существенно большую длину расплывания луча по сравнению с длиной когерентности.

Глава 3 посвящена изучению влияния сжимаемости на спектр

турбулентных пульсаций развитой турбулентности, описываемой в рамках стохастической модели Уайльда, когда в уравнении (13) f. считается гауссовой случайной силой с заданным коррелятором. Случай несжимаемой жвдкости, формально соответствующий пределу бесконечной скорости звука с^Ч), рассмотрен квантовополевым методом в работе с ai. Задача учета в уравнениях движения поправок ~ с"1 осложняется тем, что соответствующее нелинейное слагаемое содержит производные по времени. Это потребовало обобщения теоремы о переходе от стохастической к квантовополевой задаче. Было показано, что данная стохастическая задача эквивалентна полевой с действием

«г ^ + + ^ - <»*>\ -

- + «I - С"2 ¿р + с"*р0бр Ли.] (21)

Здесь поля давления ар и продольной составляющая скорости и"

выражаются через поеречное поле

= *к „к

- - с~* Л"ЧР (22)

Учет добавочных (порядка с"*) слагаемых в действии (21) сводится к решению задачи о ренормиров*.', семейства нелокальных составных операторов канонической размерности (1 = 7. Для этого оказалось достаточно рассмотреть ренормировку их локальных подблоков

-V.« °4 = и;

- ад К

Выполнение , этой программы позволило найти методом ренормгруппы соответствующие аномальные размерности, определяющие искомые поправки к спектрам развитой турбулентности. В частности, поправка к энергетическому спектру Колмогорова имеет вид:

1 + ВМ* (—] + . (24)

В приложении приводятся графики для главы 2, справочные формулы и некоторые примеры вычислений.

Основные результаты диссертации опубликованы в следующих работах:

1. Антонов Н.В., Васильев А.Н.. Степанова М.М. Инфракрасная асимптотика фермионного пропагатора в простой неабелевой модели // ТМФ, 1983, т. 86, * 2, с. 313.

2. Антонов. Н.В., Адаемян Л.Ц., Степанова М.М. Распространение и рассеяние ультразвуковых вода в средах с сильно развитой гидродинамической турбулентностью. // Вестник С.-Петербургского ун-та. Сер. 4: физика, химия. 1993, вып. 4, (Л 25) с. 3.

Цитируемая литература

II] ророу У.Ы., дай 1.Т. // РЬуз.Ье«., 1979, 7. 85В, р. 395 121 Адаемян Л.Ц., Васильев А.Н., Письмак Ю.Н. // ТМФ, 1983, т. 57, * 2. '

а