Изучение спектров развитой турбулентности квантово-полевыми методами тема автореферата и диссертации по физике, 01.04.02 ВАК РФ

САНКТ-ПЕТЕРБУРГСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ УНИВЕРСИТЕТ

На правах рукописи

^ Борисенок Сергей Владимирович

ИЗУЧЕНИЕ оПЕКТРиН-

РАЗВИТОЙ ТУРБУЛЕНТНОСТИ КВАНТОВО-ПОЛЕВЫМИ МЕТОДАМИ

Специальность 01.04.02 — теоретическая физика

Автореферат диссертации на соискание ученой степени кандидата физико-математических наук

Санкт-Петербург 190в

Работа выполнена на кафедре статистической физики

физического факультета Санкт-Петербургского Государственного Университета

Научный руководитель: доктор физико-математических наук, доцент Л .Ц.Аджемян,

Официальные оппоненты; доктор физико-математических наук,

профессор Кузьмин В.Л.,

кандидат физико-математических наук, Панасюк Г.Ю.

Ведущая организация: Петербургское отделение Математического

института, им. В.А. Стеклова-РАН

/(-50

Защита состоится ЗОмаЛ 199бг. в М часов на заседании диссертационного совета К063.57.17 по защите диссертаций на соискание ученой степени кандидата физико-математических наук в Санкт-Петербургском Государственном Университете по адресу.

199034, Санкт-Петербург, Университетская набережная, 7/9.

С диссертацией можно ознакомиться в библиотеке СПбГУ. Автореферат разослан 26М/М/А. 1996г.

Ученый секретарь диссертационного Совета:

С.Н.Манида

ОБЩАЯ ХАРАКТЕРИСТИКА РАБОТЫ.

Актуальность темы исследования.

Описание систем с сильно развитой турбулентностью все еще остается одной из актуальных задач теоретической физики. В настоящее время надежда на решение этой проблемы связывается с использованием хорошо развитого математического аппарата квантовой теории поля. Задача допускает формулировку в виде некоторой квантово-полевой модели. Это позволяет использовать квантово-полевой аппарат ультрафиолетовой ре-нормировкии ренормализадионной группы (РГ) для изучения инфракрасного поведения теории, что дает возможность обосновать колмогоровский скейлинг и проанализировать более тонкие детали теории.

РГ-анализ выявил осповное отличие проблемы турбулентности от родственных задач критической динамики — наличие в ней "опасных" составных операторов, значение которых может быть очёнь велико. Задача теории заключается в нахождении подобных операторов и в учете их влияния. Исследование проблемы составных операторов требует привлечения помимо РГ и других инструментов квантовой теории поля — операторного разложения, инфракрасной теории возмущений и т.д..

Использование РГ-подхода позволяет также решить проблему замыкания уравнения спектрального баланса энергии, играющего центральную роль в описании спектров развитой турбулентности. Численное решение этого уравнения и сравнение полученных результатов с экспериментом может служить хорошей проверкой адекватности использованного подхода к описанию турбулентности.

Цель работы:

— исследование возможных ИК-существенных поправок к уравнению Навье - Стокса,

— поиск "опасных" галилеево-инвариантных составных операторов,

— изучение асимптотического поведения тройной корреляционной функции методами РГ и операторного разложения Вильсона,

— анализ одновременных корреляционных функций и расчет на его основе

полного спектра анергии развитой турбулентности.

Научная новизна работы определяется эффективностью используемых методов, позволивших получить существенно новые результаты.

Основные результаты диссертации.

1) В рамках ренормгруппового подхода к стохастической теории развитой турбулентности рассмотрена проблема возможных инфракрасно-существенных поправок к уравнению Навье - Стокса. Показано, что ренормировка увеличивает роль поправок, но для трехмерной турбулентности они остаются малыми как по числу Маха, так и по числу Рейнольдса.

2) С помощью уравнения Швингера в классе составных операторов канонической размерности (1+ 4 найден оператор, критическая размерность которого вычислена точно, т.е. доказано, что она не содержит поправок более высокого порядка по параметру разложения е.

3) Исследована ренормировка семейства составных операторов канонической размерности восемь, включающего оператор - квадрат диссипации внергии. При физических значениях £ опасных операторов среди них не обнаружено.

4) В классе скалярных составных операторов канонической размерности восемь с помощью уравнений Швингера построены три составных оператора, критические размерности которых точно определяются и не содержат поправок по е. —

Т ряШаи

5) Исследовано асимптотическое поведение одновременной корреляционной функции в области сильно разнесенных волновых чисел, что обосновывает сходимость интеграла в функции переноса анергии.

6) В рамках модели максимальной хаотичности поля скорости получено численное решение нелинейного интегро-дифференциального уравнения спектрального баланса анергии. Найдена константа Колмогорова, хорошо согласующаяся с экспериментом.

7) В рамках той же модели рассчитан полный спектр пульсационной внергии, его продольная составляющая и одномерный спектр функции пе-

ч

реноса. Полученный нормированный спектр энергии универсален в энер-госодержащей и инерционной областях и хорошо согласуется с экспериментом.

Теоретическое и практическое значение.

1) Формулировка проблем теории турбулентности на последовательном квантово-полевом языке позволила решить многие из них. Полученные результаты позволяют судить о корректности использования уравнения Навье-Стокса для описания развитой турбулентности; дают обоснование некоторым постулатам, лежащим в основе феноменологической теории турбулентности, в частности, предположению о возможности использования масштабно-инвариантного представления тройной корреляционной функции для вычисления функции переноса энергии, а также постулата об отсутствии зависимости корреляционных' функций от внешнего масштаба турбулентности в инерционном интервале волновых чисел.

2) Знание критических размерностей ряда составных операторов, найденных в диссертации, стимулирует экспериментальные исследования, позволившие бы опытным путем проверить предсказанные свойства соответствующих функций Грина.

3) Статистическое описание одновременных корреляционных функций в модели развитой турбулентности на основе принципа максимальной хаотичности поля скорости привело к хорошему согласию с экспериментальными данными о спектрах затухающей турбулентности в энергосо-держащей области и инерционном интервале и продемонстрировало их универсальный вид.

Апробация работы.

Материалы диссертации докладывались на семинарах кафедры статистической физики Научно-исследовательского института физики Санкт-Петербургского Государственного университета и на научном семинаре в Санкт-Петербургском отделении Математического института РАН.

Публикации.

До теме диссертации опубликовано пять статей. Они указаны в конце автореферата.

Структура и объем.

Диссертация состоит из введения и пяти глав. Список литературы включает 52 наименования. Объем работы — 124 страницы.

СОДЕРЖАНИЕ РАБОТЫ.

Во введении приводится обзор литературы по теме диссертации и кратко излагаются основные результаты.

Глава I носит вспомогательный характер. В пп.1.1-1.2 сформулированы основные постулаты феноменологической теории Колмогорова. Описание систем с сильно развитой турбулентностью все еще остается одной из нерешенных задач теоретической физики. Одной из первых успешных попыток ее решения стала феноменологическая теория Колмогорова. Согласно этой теории, энергия поступает в систему в области малых волновых чисел к порядка обратного внешнего масштаба турбулентности т = I'1 (область накачки), а область диссипации приходится на масштабы к¡1 = т-(Ле)3/,<, где Ле — число Рейнольдса. (Физически это соответствует зарождению крупных вихрей, их дроблению и последующему затуханию под действием вязкости.) Развитость турбулентности (большие Яе ~ 107) требует сильной разнесенности масштабов накачки и диссипации, что позволяет ввести понятие лежащего между этими областями инерционного интервала. В нем реализуется единственный процесс — перенос энергии по спектру.

Задача статистической теории заключается в обосновании колмого-ровского скейлинга и нахождении явного вида скейлинговых функций. В настоящее время надежда на решение етой проблемы связывается с использованием хорошо развитого математического аппарата квантовой те-

орин поля: ренормалиэационной группой (РГ), уравнениями Швингера, тождествами Уорда, операторным разложением Вильсона и т.п.

В п.1.3 приведена традиционная постановка стохастической задачи гидродинамики — модель Уайлда, использующая внешнюю гауссово-рас-пределенную силу J,, моделирующую случайность векторного поля скорости y>i(x,t) несжимаемой вязкой жидкости, описываемого уравнением Навье-Стокса

р

и условием несжимаемости (9, у; = 0). Здесь р — плотность жидкости, Р — давление, Va — коэффициент кинематической вязкости, А = З2 — лапласиан. На примере этой модели вводятся основные понятия кваитово-полевого анализа. В п.1.4 обсуждается квантово-папевая формулировка стохастической задачи, приведены канонические размерности основных параметров теории, уравнения РГ для корреляционных функций, проде-' монстрирована связь инвариантных переменных с затравочными. П.1.5 посвящен составным операторам. Описывается их смешивание, требующее изучения матриц ренормировок семейств составных операторов определенных размерностей.

Модель Уайлда является основой для исследования корреляционных функций в теории развитой турбулентности (главы II-IV). Тем не менее, в п.1.6 изложены причины, ограничивающие применение этой модели. Наличие в разновременных функциях Грина опасных галилеево-неинвариантных составных операторов (о галилеевой инвариантности подробнее см. п.2.3) делает изучение одновременных функций проще. Это наводит на мысль о построении соответствующей функции распределения р((р) на основе независимого статистического постулата. Таковым является принцип максимальной хаотичности мгновенного поля пульсационной скорости, впервые предложенный в [1] для стационарного случая и в [2] для случая затухающей турбулентности. Эта модель изложена в п.1.7, в п.1.8 - 1.9 она приводится к квантово-полевому виду и ренормируется аналогично модели Уайлда. РГ-анализ корреляционных функций (п.1.10) позволяет написать замкнутое уравнение спектрального баланса энергии.

Оно приведено в п.1.11, там же продемонстрировано, что модель максимальной хаотичности доставляет правильное поведение по времени для основных параметров теории — внешнего масштаба турбулентности I и полной энергии пульсаций е. Однако, уравнение спектрального баланса энергии, полученное в таком виде, непригодно для численного решения, поскольку не фиксировано определение внешнего масштаба I. Эта проблема обсуждается в главе V.

В главе II в рамках ренормгруппового подходак стохастической теории развитой турбулентности рассматривается проблема возможных инфракрасно- (ИК-) существенных поправок к уравнению Навье-Стокса, отброшенных при его феноменологическом выводе (высшие нелинейности и градиенты скорости). Эти поправочные члены, вообще говоря, содержат малые амплитудные множители, однако соответствующие слагаемые за счет нелинейности перенормируются, а в турбулентности эффект таких перенормировок может быть очень большим, и, таким образом, эффективная малость рассматриваемых добавок может быть поставлена под вопрос. Сформулирован точный критерий "реальной ИК-существенности" поправок. В соответствии с ним выполнена проверка ИК-существенности для некоторых семейств составных операторов. Все они оказались реально ИК-несущественными при любых значениях РГ-параметра разложения с, что подтверждает отсутствие кроссовера и возможность экстраполяции результатов РГ-анализа, справедливых при асимптотически малых е, в область физических значений с > 2.

П.2.1 содержит краткую историю вопроса. В п.2.2 проблема ИК-су-щественных параметров в теории турбулентности рассмотрена в общем виде. Показано, что наличие в задаче нескольких существенно различных характерных масштабов (внешний и внутренний масштаб турбулентности, межмолекулярное расстояние) приводом к специфическому для теории турбулентности механизму "подавления" ИК-существенности параметров: формально существенный параметр может тем не менее не порождать в корреляционных функциях растущего аргумента. Получено в общем виде условие "реальной ИК-существенности" параметров, которое оказывается менее жестким, чем условие "формальной ИК-существен-

ности" (Да < 0): реально существенный параметр обязательно является и формально существенным, но не наоборот.

В п.2.3 рассмотрены поправки к уравнению Навье-Стокса со случайной силой, порождаемые всевозможными составными операторами .К = У"(£>т (с произвольным размещением производных V, — 8, + (¡р ■ д) на полях у>), включая семейство Д = работы [3]. Связанные с ними критические

размерности удается найти точно, используя галилееву инвариантность задачи. Все такие поправки становятся формально ИК-существенными в интервале 9/4 < е < 3, но остаются реально несущественными при любых конечных б.

В п.2.4 исследовано семейство векторных галилеево-инвариантных операторов канонической размерности 5. Имеется 8 независимых операторов нужного типа:

Д3¥>; , А<рк -д^ , Ащ ■ Д <Рк , д,<рт ■ д,дт<р, ,

, ^¡р, , ■ д,1рк , ■ дм . (2)

Они порождают добавки в действии

5"(Ф) == <р'0У/2 + 4>'1-д,ч> - (<рд)</> + и>Лр] ,

где — коррелятор случайной силы ^

Согласно результатам п.2.3, критические размерности скалярных операторов с ¿г = ¿+4 определяют ИК-существенность поправок (2) к уравнению Навье-Стокса (1) со случайной силой. Использование галилеевой инвариантности и уравнений Швингера позволяет из 8 связанных с ними размерностей Д„ найти точно 4; остальные найдены в первом порядке ¿-разложения путем прямых вычислений в однопетлевом приближении.

Рассматриваемые поправки к уравнению Навье-Стокса приводят к поправочным множителям в функциях Грина вида:

В = 1 + А,{Ы1с)\к1кёу- ,

где с — скорость звука в системе. Сумма ведется по всем собственным значениям матрицы аномальных размерностей -у. Коэффициент Ai ~ 1; (&1>ь/с) есть ответ без перенормировки и отражает малость множителей при градиентах, сопровождающих поправки.

Вычисления показали, что, хотя один из рассмотренных операторов, представляемый в виде становится формалто суще-

ственным еще до достижения границы (. ~ 2 области ИК-накачки, все они являются реал то несущественными при любых значениях с.

Полученные результаты позволяют надеяться, что в области ИК-накачки существует некоторый, пусть конечный, интервал 2 < е < ес, в котором реально ИК-существенных операторов нет и предложенная статистическая модель тем самым является пригодной для описания ИК-асимптотик развитой турбулентности на основе метода РГ, а результаты РГ-анализа при асимптотически малых £ тем самым можно экстраполировать в область конечных е ~ 1, е < сс.

Глава III посвящена анализу ренормировки семейства составных операторов канонической размерности восемь. Эта задача интересна тем, что в указанное семейство входит составной оператор — квадрат диссипации энергии который, согласно некоторым предварительным результатам, приведенным в литературе [4], [5], является столь же опасным, как и сам оператор диссипации энергии

Для проверки гипотез Колмогорова о независимости корреляционных функций скорости в инерционном интервале от обратного внешнего масштаба т = I'1 и вязкости 1>о, как отмечено в п.3.1, необходимо вычислить критические размерности составных операторов, входящих в операторные разложения различных корреляционных функций, в частности, парного коррелятора скорости (эти критические размерности представляют и самостоятельный интерес, поскольку некоторые из них измеряются экспериментально). Использование функциональных уравнений Швингера и тождеств Уорда, выражающих галилееву инвариантность теории, существенно облегчает эту задачу и позволяет получить ряд точных результатов. Так, оказывается возможным точно определить критическую размерность поля скорости [3], скорости локальной диссипации энергии [6] и других операторов, входящих в законы сохранения импульса и энергии, степеней поля <рп [4] и всех операторов, построенных из поля скорости и его производных по времени, а также найти точные соотношения между

их коэффициентами в операторном разложении произведения <ptp [7].

ИК-асимптотика одновременного парного коррелятора скорости (и, тем самым, спектра пульсационной энергии), определяется критическими размерностями галилеево-инвариантных скалярных составных операторов. Ранее были детально изучены лишь такие операторы с канонической размерностью четыре и шесть, см. (6] [7), имеются также некоторые недоказанные гипотезы относительно старших операторов [5]. В качестве следующего шага в главе III изучены инвариантные скалярные операторы следующего семейства с канонической размерностью восемь. Также в вводном п.3.1 обсуждается асимптотика т -* 0.

В пп. 3.1 и 3.2 с помощью РГ и операторного разложения Вильсона ((SDE, от англ. short distance expansion) проанализирована ИК-асимптотика одновременного парного коррелятора поля скорости G(k) в импульсном представлении. РГ-анализ доставляет следующее представление этого коррелятора в ИК-области т, к « kj:

Инерционному интервалу отвечает дополнительное условие и н гп/к « 1. Асимптотика скейлинговой функции f(u) при « —► 0 находится с помощью операторного разложения Вильсона и имеет вид (см. [4])

c(«) = £o(«v (з)

р

с аналитичными по и3 коэффициентами Ср. Суммирование в (3) идет по всем совместным с симметрией задачи (точнее см. ниже) ренормирован-ным локальным составным операторам, Аг— их критические размерности. Ар — dp + О(е), поэтому при асимптотически малых £ нетривиальные операторы с dp, Ар > 0 определяют лишь исчезающие при и —»■ О ИК-поправки к главному члену, порождаемому простейшим оператором Ду = 0. С ростом £ в теории появляются "опасные" операторы с Ар < 0, порождающие в (3) сингулярности при и —► 0. В разложение (3) для одновременного коррелятора дают вклад только галилеево-инвариантные скалярные операторы с ненулевым средним. Ранее был выявлен лишь один такой оператор — оператор диссипации энергии. В [5] высказывалось предположение, что опасными являются все его степени.

Для проверки втого утверждения в п.3.2 рассмотрена ренормировка семейства составных операторов, включающих оператор квадрата диссипации энергии Ejts(i). Это скалярные операторы с dp = 8, имеющих вид dip ■ dip • dip ■ dip. Независимых (с точностью до вкладов производных) среди них шесть. Результаты ренормировки этого семейства демонстрируют, что, в отличие от самого оператора диссипации Edis(x), составной оператор квадрата скорости диссипации Ejti(x) не является ультрафиолетово-конечным и не обладает определенной критической размерностью

Д[£й5] = 2Д[ад = 2(4-2£),

как ранее предполагалось в [4], [5], из-за примеси других операторов.

В п.3.3 с помощью уравнений Швингера явно построены три составных оператора, обладающих определенными критическими размерностями, причем сами размерности найдены точно.

В результате приведенного в гл. III исследования операторы канонической размерности df = 8, которые становились бы опасными при физических е > 2 вместе с Ел,(х), не обнаружены.

В главе IV исследуется асимптотическое поведение одновременной тройной корреляционной функции, определяющей функцию переноса в области сильно разнесенных волновых чисел. Ренормированный одновременной тройной коррелятор в импульсном представлении с учетом трансляционной инвариантности имеет вид

< w(ki)v>j(k3)w(kj) > = (2т)^(к1 + ка + к8)2>ц|(к),

к = {kikjks}. (4)

Асимптотическое поведение этого коррелятора исследовалось ранее в [8] методом уравнений самосогласования.

В п.4.1 асимптотика одновременной тройной коррелятора (4) в области сильно разнесенных значений волновых векторов проанализирована с помощью совместного использования метода ренормгруппы и операторного разложения Вильсона.

В п.4.2 рассмотрен вопрос о наиболее существенных составных операторах, дающих главный вклад в SDB-разложение и определяющих иско-

мую асимптотику. С этой целью проанализирована возможная конкуренция простого градиента скорости д,<р} и семейства тензорных составных операторов, квадратичных по градиенту скорости. Вычисление критических размерностей последних в п.4.3 показало, что их вклад оказывается менее существенным, хотя и незначительно, чем вклад линейного слагаемого.

Соответствующий вклад в искомую асимптотику ¿1 к] = кз в (4) ниглядит следующим образом:

"Д„(к) = • Р,л(к1){а1А1т[Лгп(к3)Я,п(к2) +

+Лт(ка)«„(к2)1 + в,Л,(к2)Мк,кг)/А|} , Р,,(к) = - *.А,/АЯ . (5)

Эта асимптотика совпадает по форме с приведенной ранее в [9] асимптотикой, предсказываемой ЕВфКМ-приближением.

В рамках РГ-подхода удается также вычислить коэффициенты <11, О]. В однопетлевом приближении они имеют значение

01 = —1, аг — 2 — Л .

Глава V посвящена приближенному решению уравнения спектрального баланса энергии развитой затухающей однородной изотропной турбулентности

< доор >= -ък2 < Ик)|' > - < ?1(к)(^,)(-к) >,

замкнутому в рамках статистической модели, основанной на принципе максимальной хаотичности [1].

В п.5.2 использование определения Кармана ("энергетического") для внешнего масштаба турбулентности I позволяет придать этому уравнению универсальный вид, не зависящий от конкретных параметров потока.-Затем оно было представлено в виде, пригодном для численных расчетов. Оно превратилось в нелинейное интегро-дифференциальное уравнение на скейлинговую функцию парного коррелятора скорости, определяющую одномерный спектром энергии

Е{к) = СК1,/3к->':>Р(к1) ,

где С g —константа Колмогорова, с — энергия, накачиваемая в систему в единицу времени на единицу массы. В п.5.3 выбрана простейшая пробная модель этой функции (при d = 3)

пт (Ц)п/3

близкая к предложенной Карманом (в которой уа = 1). Единственный параметр модели уа определяется из уравнения спектрального баланса. Полученное значение t/o = 1,33 используется в п.5.4 для нахождения константы Колмогорова. Результат С к — 1,44 хорошо соответствует эксперименту. Более сложная модель для F(kl) лишь улучшает результат.

В п.5.5 на основе полученного решения уравнения найден продольный спектр энергии и проведено его сравнение с экспериментом. Выраженный в специальной нормировке, он оказывается универсальным не только в инерционном интервале, но и в области малых волновых чисел (что предсказывалось ранее феноменологически в [10]) и хорошо совпадает с экспериментом. В п.5.б найден также одномерный спектр функции переноса.

Заключение содержит основные результаты, полученные в диссертации.

В приложении приведены графики вычисленных в гл.У спектров.

Основные результаты диссертации опубликованы в следующих работах:

X. Борисенок C.B.

Расчет спектра затухающей турбулентности в модели максимальной хаотичности поля скорости // Вестник СПбГУ. Сер.4, 1994, вып.2 (N 11).

2. Аджемян Л.Ц., Борисенок C.B., Гирина В.И.

Метода ренормгруппы и операторного разложения в теории развитой турбулентности: асимптотика тройной одновременной корреляционной функции. // ТМФ, 1995, Т.105, N3, С.450-461.

3. Антонов Н.В., Борисенок C.B., Гирина В.И.

Ренормализационная группа в теории развитой турбулентности. Составные операторы канонической размерности восемь. // ТМФ, 1996,

Т.106, N1, С.92-101.

4. Аджемян Л.II., Ворисенок С.В., Налимов М.Ю.

Расчет спектра развитой затухающей турбулентности в энергосодер-жащей области и инерционном интервале// ТМФ, 1996, Т.106, N3, С.416-424.

5. Антонов Н.В., Ворисенок С.В., Гирина В.И.

Ренормализационная группа в теории развитой турбулентности. Проблема инфракрасно-существенных поправок к уравнению Навье-Стокса. // ТМФ, 1996, Т.107, N1, С.47-63.

Цитируемая литература:

[1J Аджемлн Л.П., Налимов М.Ю.// ТМФ. 1992. T.91.N2. С.294-308.

[2] Аджемян Л.П., Налимов М.Ю.// ТМФ. 1993. T.96,N1. С.150-159.

[3] De Dominicis С., Martin Р.С.// Phys.Rev. 1979. V.A29. N1. Р.419-422.

[4] Аджемян Л.Ц., Антонов Н.В., Васильев А.Н.// ЖЭТФ. 1989. Т.95. Вып.4. С.1272-1288.

[5] Yakhot V., She Z.-S., Orszag S.A.// Phys.Fluids. 1989. V.A1(2). P.289-293.

[6] Аджемян Л.П., Васильев А.II., Письмак Ю.М.// ТМФ. 1983. Т.57. N2. С.268-281.

[7] Аджемян Л.Ц., Антонов Н.В., Ким Т.Л.// ТМФ. 1994. Т.100. N3. С.382-401.

[8] Белиничер В.И., Львов B.C.// ЖЭТФ. 1987. Т. 93. № 2(8). С.533-551.

[9] Orszag S.A. Lectures on the statistical theory of turbulence. In: Fluid Dynamics (Les Houches, 1973). Ed. by R.Balian.

[10] George W.K.// Phys. Fluids. 1992. V.A4, N7. P.1492-1509.