Квантово-полевые методы в статистической теории развитой турбулентности тема автореферата и диссертации по физике, 01.04.02 ВАК РФ

САНКТ-ПЕТЕРБУРГСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫII УНИВЕРСИТЕТ

На правах рукописи

РГ6 ОД

АД1ЕНЯН Лоран Цолакович

- 5 ИЮН 1ЯЯ5

КВАНТОВО-ПОЛЕВЫЕ МЕТОДЫ В СТАТИСТИЧЕСКОЙ ТЕОРИИ РАЗВИТОЙ ТУРБУЛЕНТНОСТИ

Специальность.- 01.04.02 - теоретическая физика

Авторе фер а т

диссертации на соискание ученой степени доктора физико-матенатических наук

Санкт-Петербург 1995 г.

САНКТ-ПЕТЕРБУРГСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ УНИВЕРСИТЕТ

На правах рукописи

АД1ЕНЯН Лоран Цолакович

КВАНТОВО-ПОЛЕВЫЕ НЕТОЛЫ В СТАТИСТИЧЕСКОЙ ТЕОРИИ РАЗВИТОЙ ТУРБУЛЕНТНОСТИ

Специальность: 01.04.02 - теоретическая физика

Автореферат

диссертации на соискание ученой степени доктора Физико-математических наук

Санкт-Петербург 19Э5 г.

Работа випол/,е.ч1 кафедре статистической физики ■Санкт-Петербургского государственного университета.

Официальные оппоненти:

Доктор физико-математичоских наук,

ведущий научный сотрудник В.П.ПАВЛОВ Доктор физико-математичесих нау.с,

профессор А.И.СОКОЛОВ доктор физико-математических наук,

профессор Г.В.ДУБРОВСКИЙ

Ведущая организации - Санкт-Петербургское отделение Математического института им. В.А.Стеклова РАН.

Зашита состоится " И) к Я_1995 года,

в часов, на заседании Диссертэцлонного совета Д.063.57.15 по вапитв диссертаций на соискание ученой степени доктора физико-математических наук в Санкт-Петербургском государственном университете по адресу:

199034, Санкт-Петербург, Университетская наб.,7/9. •

С диссертацией можно ознакомиться в библиотеке Санкт-Петербургского государственного университета

Автореферат разослан " ¿3 Я_1.1995 г.

Учения секретарь Диссертационного совета

А.Н.Васильев

ОБЩАЯ ХАРАКТЕРИСТИКА РАБОТЫ

Акщ&лькос гь_Т8ИЫ. Описэнив систам с сильно развитой турбулентностью - одна из самых старых, но до сих пор с трудом поддающихся анализу нелинейных задач теоретичзскоя физики. Важнейшим направление«, с которым связывается в настоящее время надежда но ее решение, является использование математического аппарата квантовой теории поля. Эта чисто классическая задача в стохастической формулировке очень близка к кванI ово-половим, что хорошо видно ужо на примере известной диаграммной техники Уальдэ, фактичэски представляющей со1-оя варг.лнт фейпмановской, примененной к задаче стохастической гидродинамики [!]• С помощью формализма континуального интегрирования ее удалось непосредственно переформулировать на языка квантовой теории поля [1], [2], что позволяет воспользоваться хорошо развитым аппаратом этой теории: ренормализационной группой (РГ), уравнениями Швингера, тождествами Уорда, операторным разложением и т.д. Существенным успехом на атом пути стало доказательство методом РГ инфракрасного скейлинга с гсолмогоровскими размерностями [3]. Успех работы [3] открыл возможности обобщения на более слоакые задачи: турбулентноо перемешивание пассивной принес'и, магнитную гидродинамику, анизотропную турбулентность и т.д. Другим направлением стало изучение более тонких аспектов исходной теории, связанных с анализом составных с.,траторов. Обуслог- :енные некоторыми из них аномально сильные инфракрасные особенности в теории турбулентности столь волики ("опасные" операторы), что это поднимает ш.лый ряд новых вопросов, не свойственных родственным задачам критической динамики и, в частности, ставит под сомненио справедливость колмогоровсксго скейлинга в инерционном интервале волновых чисел. Исследование проолоии опасных операторов трбует привлечения помимо РГ так;не и других инструментов квантовой теории поли оперптсрно!г разложс ия. инфракрасной теории возмущений. Совнвтное использование всех указанных методов длг решения ^адач стохасги^оской гидродинамики и доставляв; соцорлшнио диссертации.

устоит в следующем-.

1. Методом ренормгруппы исследовать физически наиболее 1 ;|тврэсные семейства составных операторов в теории турбулентности, изучить их ренормировку, определить критические размерности и матрицу смешивания.

2. Методом операторного разложония вычислить инфракрасные поправ..« к колмс оровскому спектру энергии, связанные с наиболее сувшлвеннш . составными операторами. Просуммировать в таком разложении и.}ракрасно-сингулярные вклады, обусловленные опасными операторами.

3. Исслодовать методом ренормгруппы процесс турбулентного перемешиьания скалярной пассивной ггимэ'-ч.

4. Рассмотреть крэнтово-полевыми мот дами задачу стохастической магнитной гидродинамики, включая «влоние магнитного динэ"о.

£>, Изучить ме' эяом рено^чализационной группы влияние анизотропии на спектры развит.й турбулентности.

6. Принимая во внимание особие место одновременчых корреляционных функций в- тео,ли развит я турбулентности, рассмотреть возможность построения соответствующего ансамбля, исходя из независимого статистического постулата.

в диссертации получены следующие новые

результаты.

1. Проведено систематическое изучение составных one;лторов в теории развитой турбулентности методом ренормализационной группы. Расе итаны критические размерности ряда операторов, измеряемые э-сперимент&льно. Введено понятие "опасных" опорзторов, играющих исключительн; 4 роль в теории турбулентности.

2. Установлена связь задачи учет переноса мелких вихрей крупномасштабным движением с проблемой опасных составных операторов. Формулировка вопроса на языке квантовой теории поля позволила рпивлечь для его решения перспективные методы этой теории - операторное разложение и инфракрасную теорию возмущений.

3. Суммированием вкладе опасных операторов методом

инфракрасной тзории возмущения обоснована гипотеза Колмогорова о независимости одновременных корреляционных функций скорости в инерционном интервале от интегрального масштаба турбулентности.

4. Предлокена новая модель статистического описания мгновенного поля турбулентных пульсаций, основанная на принципе' максимальной хаотичности поля скорости с учетом условия' спектрального баланса энергии. Методом ренормгруппы доказано существование инфракрасного скейлинга с колмогировскими размерностями в такой модели. Показано, что критическая размерность оператора диссипации энергии имеет малс^ положительное значение, что согласуется с опытными данными.

5. Предложено объяснение экспериментально наблюдаемых небольших отклонений спектров одновременных корреляционных функций от теории Колмогорова. Оно основано на учете влияния инфракрасных поправок, связанных со вкладом оператора диссипации в операторное разложение.

G. Методом операторного разложения найдена асимптотика одновременной тройной корреляционной функции в области сильно различающихся волновых чисел. Полученный результат

обосновывает корректность использована масштабно-инвариантнои части этой функции при анализе спектрального переноса энергии.

7. С использованием модели • максимальной хаотичности рассчитан спектр энергии затухающей турбулентности в энергос держащей области и инерционном интервале волновых чисел. Результат, в том числе константа Колмогорова, хорошо согласуется с экспериментальными ¿¿иными.

8. Методом ренормализационноя группы изучено явление турбулентного перемешивания пассивной скалярной приноси. Обоснован феноменологический закон Ричардсона "четырех третей" для расплывания диффузного об.:ака. Рассчитаны предельнее значение числа Прандтля и константа Бэтчолора.

Э. Рассмотрено г^in-'DKirpynnoBL.a описание стохастической магнитной гидродинамики. Доказано суаествованкг; двух инфракрасно- устойчивых критических пен; .joe, один из которых приводит к скейлингу с к. лмогоровскими размерностями.

Показано, что возн:,г:новение спонтанного однородного магнитного полп в ыагнито!идродинамичаских системах с нарушенной »етностью (эффект магнитного динамо) монет бить объяснено известным в теории поля механизмом динамического нарушения симметри... Это позволяет описать конечный установившийся режим и оцвн>иь величину спонтанного магнитного поля.

Р. Изучено влияние анизотропии на критические режима развитой турбулентности в пространствах различной размерности. Рассмотрены случаи обычней гидродинамики, учета пассивной примеси, М3|нитн0й гидродинамики. Показано, что это влияние растет с умечьшением размерности пространс; ;а и может привести в двумергой системе к радикальной смене режима турбулентности. В трехмерной задаче анизотропия сильнее всего оказывается в нагнитогидродинамчес ::их системах благодаря пол ;нейной генерации анизотропных сил Лоренца. Сохранение колмогоровского скейлинга в таких системах воз:.!ожьа лишь при достаточно малых значениях анизотропии.

И. Методом ренормгруппы изучен;, стохастическая модель лэнгмвровской турбулентности плазмы. Доказано, чтч инфракрасно-устойчивым скейлинговым режимом в данной задаче может быть лишь диссипативный. Получен неаналитический закон дисперсии продольной диэлектрической принициемости вблизи ленгмвро'вской частоты.

1. Полученные в диссертации результаты ликвидируют идейный разрыв, существовавший я теории турбулентности между работами, выполненными в традиционном клвч'е и с использованием ренормгруппового повода. Формулировка проблем теории турбулентности на последовательном к^нтово-полевом языке позволила решить ш. которые из них и дала основу для последующих наследований.

2. Вычисленные критические размерности ряда физически важных составных операторов могут быть измерены опытным путем, что стимулирует соответствующие экспериментальные исследования.

Я. Рассмотренные в диссертации более реалистические модели стохастической гидродинамики позволили существенно

расширить класс изучаемых систем. В этом отношении важное значение имеет выполненный учет влияния анизотропии на спектры развитой турбулентности, а в задаче о зе^ухаюшей турбулентности - ликвидация произвола в спектральной форме накачки ..нергии в энергосодержашем интервале.

4. Использованный квантово-половоя подход открыл новые возможности в изучении конкретных физических задач, допускавших стохастическую постановку: он позволяет рассчитывать установившийся режим генерации крупномасштабного магнитного поля в задаче о магнитном динамо, описывать критические режимы в стохастической задача ленгмврпвской турбулентности плазмы.

5. Предложенное статистическое описание одновременных спектров турбулентности на основе экстремального принципа привело к хорошему согласию с экспериментальными данными о спектрах затухающей турбулентности в энергосодержатей области и инерционном интервале волновых чисел. Обобщение этого подхода на более сложные системы может составить основу описания развитых турбулентных потоков в реальной геометрии эксперимент," шшх установок, а также природных и технологических турбулентных систем.

Апробация__¡заботы. Материалы, вошедшие в диссертации,

докладывались на ' Второй международной конференции "Ренормализацк.нная группы 9Р (Дубна, 1991). Седьмом международном еемингрэ "Магнитогидродин.шическая

турбулентность" (веег-яьеуа, Израиль, 1993), Второй международной конференции "Перенос энергии в ыагнитогидро-динамических течениях" (Аийво^, Франция, 1994).

Публикации. Основные результаты диссертации опубликованы в 2Ь работа:', список которых приведен в конце автгоеферата.

^кв^Еасоты. Диссертация состоит из ввегзния", шости глав, заключения, 12 рисунков и библиографии, содержащей 138 наш-'эноь-ний. Полый збъен диссертации - 285 страниц.

СОДЕРЖАНИЕ РАБОТЫ -введении даетин обоснование актуальности, целей и задач диссертации, определяется круг рассматриваемых вопросов и поясняется структура диссертации с. указанием основных публикац,,й, отражающих ее содержание по главам.

Пе^аая_глава нс .и" отчасти вспомогательный характер. В ней иформутированы постулаты феноменологической теории Колмогорова, введены основные понятия, используемые при квантово-полевом подхода к стохастг'еской задаче туобулентносги. Оригинальными являются результаты п.п.1.6 -1.8, где нэ примере парного коррелятора продемонстрирована возможность вычисления методом РГ и с-разложения скейлингозых функций, а также доказано "ваморижизание" критических показателей в об.,астг е > ...

В качестве микроскопической модели развитой (однородной, изотропной) ту^булинтности несжигаемой вязкой жидкости или гена рассматривается стохастическое уравнение Навье-Стокса с внешней случайной силой

= Р^Др^ - д1 р + ¥'1 , в э + (рЗ). (р

Здесь ч>} - поперечное, (в ¿илу несжимаемости) векторное поле скорости, г и давление и поперечная внешняя случайная сила в pacчetв на единицу массы (асе эти величины зависят от х «

1>0 - кинематический коэффициент вязкости, галилаево-ковариантная производная. Задача (1.1) рассматриваете,! на всей оси времени г и доопределяется условием запаздывания, а также нулевым асимптотическим условием для р при 1: -» Для к предполе: аетси гауссово распределение с нулевым средиим и заданным коррелятором

ру.ч')> = <5и-1'М?.гс)""с'р£ ехр - х'>,

(2)

в котором ;{и) = кукк2- поперечный проектор, ^ (к) -некоторая функция к » 1*1 и параметров модели, а - размерность пространства ?..

Введение случайной силы йпксменологически моделирует стохс.стичнорть (которая в ре&^ьных условиях должна возникать

спонтанно как следствие неустойчивости ламинарного точения) и одновременно - "нгчачку" энергии в систему за счет взаимодействия с крупномасштабными пульсациями Мхрями). Средняя модность накачки энергии w связана с функцией ар в (2) соотношением

W = [{d - 1)/ 2<2n)d]J dt dp(k). (3)

Переход к стохастической задача позволяет отвлечься от конкретных начальных и граничных условий и рассматривать непосридственно однородную развитую турбулентность , при этом поле v в (1) соотвотствует лишь хаотической ("пульсаиионной") составляющей скорости.

Упрощенная физическая картина турбулентности состоит в следующем : энергия внешнего источника (у нас - случайной силы) поступает в систему от крупномасштабных движений (вихрей) с некоторым характерным размером i ■ t/m, затем пероносится по спектру ("дробление вихрей") за счет нелинейности в уравнении (1) и, наконец, начинает активно диссипировать на масштабах imJn", 1/л ("диссипативная длина"), где становится существенной роль вязкости. Нэзависимыми являются параметры w, ио к » • (последний будем называть "массой"), все прочие выражаются че;оз. них по соображениям размерности (ш „ «. pq „ l2t~) гдо l - длина, т -

время), для нижних границ споктров - через w, m, для верхних - через u, в частности, л = и1/4р~3/4. Развитая

турбулентность характеризуется больвии значением числа Гейнольдса Re = (л/т)4/3 и, как следствие, наличием широкого "инерционного интервала", опрздольлного неравенствами m « к « л ДЛИ импульсов (а ВОЛНОВЫХ чисел) И U . ■ W1/?roZ/3« и « .. • ■

min та х

1-'0л2 для частот.

Описанием физической картине соответствует функция накачки dp'K-) в (2), сосредоточенная ь импульсном пространстве на масштабах k w«. в работах по РГ-теории турбулентности дл- мее используются модели вк... а

d (VJ -- О к4' Jl ""dh(m/k/, h{0.' =1 (4)

с некоторой "l зтаточчо хорошей" Функцией htn./k?.

обеспечивавшей сходность интеграла (3) при «алых к и нормированной на единицу при к » т. .Условие его сходимости при -» « определяет область "физи^йских значений" параметра с. с >2. Часто в (4) рассматривает "безмассовую" модель с т = 0. что допустимо, если интересоваться инерционным интервалом. Физическим значением с в атом случае следует считато е = 2, т.к. функция

а (к) = 4<2-е)У(2л)<1 ^"<1(к/л)',"2';/(а-1 (5)

Р с!

при с '-» 2 - 0 представляет собой степени"«) модель ¿-функции «($), что отвечает накачке энергии "бесконечно большими" вихрями (в = 2тл,гп а/2) -площадь а-*шрной единичной сферы).

Уравнение ;П решаБ.ся итерациями по нелинейпети с последующим усреднением <...> по распределению случайной силы. Вычисляемыми ьэличинами являются; различные корреляционные функции <«><х >...,1(х )>, п также функции отклика

1 п

вариационные производные корреляционных функций по "неслучайной внешней силе" » вводимой как аддитивная добавка в правую часть уравнение (П. Пользуясь квэнтово-полевой терминологией, будэм .называть воа. эти объекты "функциями Грина".

Известно, что стохастическая задача (I), (2) эквивалентна квантовой-полевой теории удвоенного набора полей ф ■ {?>,?>•} с функционалом действия

3(ФГ = 1/2|рхйх'«)'<х>: ри.хЧеЧх') + + рх-рЧх). [-а{0(х> + *оД»>и) - (» х)Э)у(х)]. (6)

Зто зиачит, что статистические средние случайных величин

можно отождествить с Функциональными средними с весом ехр .поэтому производясь функционалы полных (с{а>) и

связных (ы<а)) функци* Грина задачи (6) представляются функциональным интегралом

. (ИА) = ехр У(А>' = |и> ех.1 [э(Ф) + аф] (7)

с произвольными источниками л * а^ , а^, в линейной форме

аф е [А?(х)р(х> + Ар,(х)(р,{х)). (8)

Источник Ар, имеет смысл неслучайной внешней силы, поэтому, в частности, функция Грина модели (1.13) совпадает с

простейшей функцией отклика 1А=о в исходной задаче

(1).

■ Кв^нтово-полевса теории с действпм (6) отвечает стандартная теория возмущений и фэйнмановская диаграммная техника. Роль константы взаимодействия играет величииа 9о я °о''оЭ' а безразмерным параметром разложения оказывается

Хо= дот"ге. С учетом (3), (4) Оо . ишгс, поэтому Хо .» к»~3П14 „

(л/т)4 .. Ие3. Параметр разложения, следовательно, очень велик и - возникает необходимость каким-либо образом пересуммировать теорию возмущений.

Такое суммирование в методе ренсрмгруппы связано с формальным расширением теории на нефизическую область О < с < 2 параметра с . Проблема большого параметра разложения „сохраняется и в этом случае, поскольку из (3), (4) имеем тогда

оо » ул2£-\ так что хо .. (л/т)26 Яе36'2. Из этой оценки видно, что обусловленные инфракрасной областью интегрирования особенности диаграмм теории возмущённа ослабляются при с - О и проблома суммирования исчезла бы совсем при -е = О, однако этому препятствуют вознш зюиио при с ч О УФ-рэсходимости диаграмм (полюса по е). Устранение этих полгсов есть классическая "УФ-проблема", обиео рошенио которой дается теорией УФ-ренормировки. В рамках этой . теории получаются и уравнения РГ, отражающие неоднозначность ренормировки. Сказанное выше относительно предела с -> 0 поясняет, почему метод РГ, генетически связанный" с проблемой УФ-расходимостей, оказывается полезным инструментом для решения на первый взгляд совершенно другой проблемы ИК-сингулярностей.

Благодаря галилеевой инвариантности модели (6), ней оказывается аномально чале расходимостей, ренормированное действие имеет вид

sh(4>) = gß2Ci>'Jip'k*"1'2th(m/k)il>' /2 * 9'[-а(*> + "z -

Око поручается из (В) мультипликативной ренормировкой параывков:

"o""z„- s0-gpaeze. zg = z-3. (10)

где р - ронормированнэя вяг::ость, g - безразмерный ренормироваглый заряд, ц - ронормировочная масса. Константа в (9) находится из условия сокращения поясов по с à рядах теории возмущений, в используемой схеме минимальных вычитаний (ms) она имеет вид

zi> - 1 * а,(9)/Е + a2<g>''eZ + ... - , (Ш

По константам ренормировки определяются РГ-Функции у(g) и D^Jnz и э(д) и о^ д, где о * цэ^ при фиксированных "затравочных'" параьйтрэх р0, д0. г учетом (10) имеем р(д) = -д(2е + г > = -д<2е - 3* ),

g Р

а функции у(g) в схеме ms выражаются через вычет е полюсе no е первого порядка, например, = -D a^tg); здесь и далее

°х " *дх для -^ого параметра х.

В однопетлевом приближении расчет дает

1 (g) = ад + 6((¡г) , а = (d-l)3 /Ч2я > ( d+2 ) , l> d

ßlcj) = - g(2r - 3Г„) -- - 2tg + 3aç;2 + 01 g3) . (12)

Положительность коэффициента a обеспечивает при малых г. о наличие в физической области g > 0 ИК-.усто«чивой фиксированной ТОЧКИ дж = 2;./За + Oit3) уравнения РГ (в(УА) = 0, Р'(ая) > О).

Из условия'- ) = 0 значение » >•* находится точно без

вычислоиия диаграмм: г: - Р.с/2 (без поправок ~ с2, s. и т.д.). Явный расчет константы гы нужон и данном случае . лииь для проверки положительности 'гоэ^икиенто а, v.o. для

доказательства существования дх в области д > 0.

Из уравнений РГ совместно' с масштабными уравнениями следует, что при наличии ИК-устойчивой нвподвианой точки ведущие члены ИК-асииптотики функций Грина и* удовлетворяют уравненг» критического ИК-скейлинга

[- + + - днЗ ^ «9 • <13>

гдв в операторах о^, о подразумевается суммирование по всем

аргументам функции V* , N ■ {п,а'} - числа полей »>, ч>' . а коэффициенты

\ = К ~ 2- Л„ = дм " п\ + "'V ' % = 1 - К>' : Л-=/ -1

имеют смысл соответствующих критических размерностей. Подстановка т* = 2с/3 дает

Л = 1 - 2е/3, Д , = с1 - 1 + 2с/3, Л = 2е/3 - 2. (14)

что для физичзского значения с = 2 приводит к скейлингу с колмогоровскиии размерностями

,4 =-1/3 , Дл =«1 + 1/3, Д. = - 2/3 '. (15) р г

Это и является основным результатом работы [1].

Помимо ' нахождения критических размерностей, метод РГ позволяет вычислять в виде е-разложений также и скейлинговые функции. В главе I расмотрен случай парного коррелятора

«р^Ъл^Рьг)> = о^к.и, ^ - ьг . (10) •

Из соображений размерности имеем о(к,а = м^'^я.д.г.и), где и - оазразнорная функция от безразмерных аргументов

Б ■ к/ц, д, х а икг1, и ■ ш/к. ФУНКЦИЯ Б уДОВЛОТВОрЯвТ

рг-уравнению

решение которого можно записан в виде

О = ¿2 k2"d R( 1 ,g,ï,G), (18)

г'.в "инвариантные переивнные" g, S, г = ¡7k2t, П = и = т/к -первые интегралы уравнения (18), нормированные при s = 1 на-у, i>, т, и соответственно. Инвариантная вязкость, î связана с инвариантным зарядом g соотношением

V - i> е>.;> [- jy,{x)rfx/p(x)] = (gu3/gs2£)1/3 , (là)

я

а для gis,g) в однопетлевом приближении получаем

g(s,g> = g g^fg^s" + g(l - s2£ ) ] . (20)

L ИИ-асимптотике - -» О из СО) следует, что инвариантный заряд стремится к постоянному значению gx, а Ъ имеет асимптотику

Ï * % = (gv3/a^>1/3s"2£/3 - (D0/gJ1/3 к"2£/э . (21)

Для функции d из (18) находим

D " lDo/g¿2'3 k2-d-"/3 ^ Ш0/дж> 1/31:''"2е '3t ,т/к]. (22)

Б первом порядке теории возмущений

R(s,g,T,u) = g hlu) exp[-\x\]/Z , (23)

откуда

D ■■- D2'3 g1/3 h(u) ехрН*УЧ,>1/Э k2'"/311.¡ ]/2.

(24)

Функция (24) являемся, очевидно, решением уравнения критического скейлинга (13).

В первой главе гассиотрен также fion-эс о критическом скейлинге в переменных w, и "гамораживании" критических индексов при с > 2 на колмогоровски,с значениях (15).

'ilERiûJL-JIMâ посвящена РГ-анализу составных операторов. Составные операторы - локальные произкедания по...зй и их производных. При сведении в одну точку пространственно-временных аргументов ползя, ' вхсд>лих о какую-либо Функцию

Грина, обычно возникают дополнительные УФ-расходимости и связанная с ними необходимость ренормировки. Размерность получарщихся при этом составных операторов отличвогся от простой суммы критических размерностей полей и производных на величину аномальной размерности, которая в теории турбулентности бывает весьма большой, например, оператор диссипации энергии = -ч^о^а^ + имел бы при

простом суммировании с учетом (15) критическую размерность 4/3, в то время как его экспериментально наблюдаемая размерность близка к нулю. Помимо коррелятора локальной диссипации' энергии имеются экспериментальные данные для функций Грина со старшими степенями скорости, что позволяет дополнительно проверять предсказания теории.

В обшем случае ренормировка составных операторов происходит со смешиванием ра = £ (гр),д , где -

Р ' и

семейство операторов заданной канонической размерности, г* -

соответствующие ренормированные операторы. Матрица констант ренормировки (2р)ар вычисляется по диаграммам с составными операторами в виде рядов по д, по ней находится матрица

аномальных размерностей = о^ 7.р. Ее значении ** = гр(д,) в неподвижной точке определяет порождаемый ренормировкой вклад в полную матрицу .критических - размерностей, входящую в уравнение критического сксллинга для составных операторов. Определенными критическими размерностями обладают не сами ^ , а те и„ линейные комбинации, которые диагоиализуют матрицу критических размерностей.

Информацию о ренормировке составных оператсров иногда можно получить без вычисления диаграмм с помощью различных уравнений Швингера и тождеств Уорда для галилеевых преобразований. Как показано в п.2.1, таким обризом удаотся покадэть в частности, что ассоциированные с операторами типа к)" критические размерности не имеют поправок г* . т.е.

сводятся к сумме критических размерностей сомножителей:

д[,)п] = п д = и (1 - 2с/о) . (25)

В п.2.2 рассмотрены составные операторы, входящие в законы сохранения энергии и импульса

+ 3Ау = + АТ • (26)

э,е + в/е, - Е,-,. + ^ з^ „; + ,, л*' , (27)

представляющие соби) частные случаи упомянутых выше уравнений Швингера модэ..и (Э). Здесь е ■ <р'г/?. - плотность энергии, п^ -тензор напряжений, - ае...тор плотности потока энергии. Полазано, что эти операторы УФ-конечны и имеют опра-зленные критические размерности

= Д[Е] = 2 - 4е/3, Д^] =3 - 2с,

а размерность оператора диссипации равна

= < 2с.

Вез эти величины найдены точн1. т.е. не имеют поправок ег, е3 и т.д. Критическая размерность ¿[е^] на границе физических значений е = 2 обращаетс-л в кр1ь, что удовлетворительно согласуется с экспериментальными данными, учитывая большое значение найденной аномальной размерности у* = - 4/3.

Особую роль играют , в теорчи турбулентности составные операторы с отрицательной критической размерностью ("опасные" операторы, см.главу, т). Из (25) видно, что все простые степени скорости становятся опасными операторами при с > 3/2. В области е > 2 таковым являэтея также оператор диссипации.

Будучи галилоево-инвариавтным, он имеет особое -значение для свойств одновременных корреляционных функций (п.3.1). В п.2.3 • предпринят поиск опасных -алил^во-инвариантных операторов, в следующей по канонической размерности семействе скалярных операторов. Оно включает в себя операторы

а1<1'к'д ¡"^к91 и * аг1>.. в'? 1 .

Одна из критических размерностей, ассоциированных с этими операторами, была определена с помощью уравнения Швингера точно, а; вторая - только в го.нопетяовбм прибликении •.

_ л] = 6 - 2е , д2 = 6 - 8с/7 + о{с?)

Обе они вблизи с = 2 положительны, таким образом опасные операторы в данном семействе не обнаружены.

В некоторых случаях (п.3.3) существенно знание критических размерностей тензорных составных операторов. В п.2.4 рассмотрено семейство галилеево-инвариаитных операторов канонической размерности 4. Кроме упомянутого выше скаляра

¿а1з оно включает два независимых неприводимых тензора и 1)(

второго ранга, а именно, '

Н.ч. [а1р]*дкр,],. _ II.ч. [э^-э^] (28)

и три независимых неприводимых тензора г(к]т четвертого ранга:

н.ч. [э^-эл ± »¡'г злз- ;:.

Знак Н.ч. обозначает здесь операции отбора "неприводимой части" - вычитание подходящих комбинаций с . ¿-символами, обеспечивающее Зесследовость получаемых выражений, т.е. равенство нулю свертки по любой паре значков, например,

Н.ч. = а1*Гак«1 -

Ассоциированные с тензорами (28) критические размерности в

однопетлевом приближении с произвольным а таковы:

+ /)6 - 16сТ2- 4с53+ 5с14 ] + оиг) , (30)

э для операторов . (29) получается

, . 8с (12-4с1+с1 ) ' г,

4 - 4Е/3 -,№гг-'01(а| (ЗП

"загетуга^п

4 - '¡1-/3 + 4с/3<1 + о< г.п).

для d = 3 имеем Lf ~ {4 - 32е/21, 4 - 1(к/9} для (28) И tF = {4 - 32е/21, 4 - 64£/63, 4 - 8t/9> для (29),

при е = 2 всв эти размерности строго положительны,

В п.2.5 обсуждается вопрос о возможной ИИ-существенности дополнительных слагаемых в уравнении Навье-Стокса, отброшенных при его феноменологическом выводе (высшие нелинейности и градиенты скорости). Показано, что вопрос в принципе решается нахождением критических размерностей соответствующих составных операторов, как это делается и в теории критических явлений. Однако имеется и существенное отличие. Минимальной длиной, характеризующей турбулентный процесс, является размер диссипирурпих вихрей - величина порядка миллиметров или их долей в обычных условиях. Масштаб же длины, характеризующий коэффициенты при дополнительных слагаемых в уравнении Навье-Стокса. имеет микроскопическую природу и на несколько порядков меньше, поскольку эти коэффициенты определяются лишь структурой жидкости (как, например, вязкость в исходном уравнении), а'не ее динамическим состоянием. Это существенно уменьшает роль поправочных членов, что дает основания рассматривать уравнение Навье-Стокса как "микроскопическую" модель.

В главе in полученные сведения о составных операторах ичпользуются для нахождения асимптотик скейлинговых функций. Эти функции (например, к в (22)) не определяются самими ИЧуравнениями, методом их вычисления может быть е-разложение (см.(24)). Однако в асимптотических областях, например, при т * о в (22), они могут иметь особенности, не улавливаемые в рамках e-разложения. Проблема решается с помошыс операторного разложения (сокращенно sde - от "short distance expansion"), хорошо извостного в теории критических явлений:

р(х1)».(х?) «Тса(г,(| F*(x.t> ,. (32

а

Здесь ?•'• xt- Ъг, i т tj-.t , х * (хч+ х,)/2, t ■ (tt+ t?)/;

- регулярные no ma коэффициенты,' f* - ренормировапнш •операторы с определенными критическими размерностями д .

В п.3.1 разложение (32) используется для анализа асимптотики парного коррелятора при ш -» 0. Она находится усреднением соотношения (32). Учитывая, что ведущий член такой асимптотики для среднего значения оператора f* имеет вид д

<Fa(x,t)> = const-m а, ДЛЯ ФУНКЦИИ R В (22) ПОЛУЧЭВТСЯ асимптотическое представление

д

R(u,.. .) = 1 Aa(u,...) u а (33)

а

с регулярными по т2 коэффициентами Аа, где многоточие обозначает прочие аргументы функции R. Слагаемые в (33) с да > 0 определяют неаналитические по ш2 поправки к спектру Колмогорова (22) в инерционном интервале. "Опасность" операторов с отрицательной размерностью &а < О проявляется в данном случав в том, что соответствующие вклады в (33) являются при m -» О сингулярными, как ..например^ ДЛЯ с > 3/2 все вклады операторов <р" с размерностями (25). Такие вклады необходимо суммировать.

В п.3.2 подобное суммирование выполнено с помощью одного из вариантои инфракрасной теории возмущений. В результате получено замкну .оо выражение для разновременного парного коррелятора. В отличие от первого слагаемого с-разложения скдйлинговой Функции (24), допускающего предельный переход1 .и -> 0, в нем сохраняется существенная зависимость от m в инерционном интервале, имеющая вид

R{kz/3t, m/k) » R(kt/m1/3> (34)

(здесь положено с = 2). При.переходе к одновременному пределу зависимость от ш исчезает. Это связано с тем, что одновременные функции Грина с ненулевыми импульсами являются галилеево-инвариантными объектами и в их sDE-разложении учтенные вклады галилеево-неинвариантпых операторов ?>" выпадают. В интервале 0 < с < 2 опасные галилеево-инвариаптные опораторы не обнаружены (глава п). Тем самым для таких с подтверждена гипотеза Колмогорова о независимости одновременных корреляционных функций в инерционном инториа^е от внешнего ааспгаба турбулонтности. При с •> 2 опасен«

становится оператор диссипации. Анализ показывает, что ограничиться учетом в (33) только его вклада нельзя, т.к. предположение о существовании единственного галилеево-инвариантного опасного оператора внутренне противоречиво. Однако поиск соответствующих операторов с более высокой канонической размерность» успехом пока не увенчался (п.2.3). Возможно« указанное противоречив в теории должно разрешаться одновременно с. проблемой сингулярностей, рассмотренной в п.3.6, и аналогичной . ей проблемой "замораживания" (п.1.8). Обсуждение;этого вопроса продолжается в главе VI.

Трудности, связанные с наличием в теории турбулентности опасных операторов, является на самом деде, проявлением обычно * обсуждаемых . проблем, обусловленных необходимостью учета эффекта кинематического переноса турбулентных вихрей как целого крупномасштабным движением. Соотношения вида (34) на таком пути были ранее получены в рамках уравнений самосогласования. Преимуществом используемого нами подхода является возможность систематического исследования проблемы на базе рвнормгруппового изучения составных операторов. Заметим, что в рамках техники уравнений согласования вопрос об определении критических размерностей составных операторов до последнего времени практически не ставился.

В п.3.3 ЗДБ-разлохениа (32) используется для решения другое асимптотической задачи - . исследования тройной одновременной корреляционной функции скорости в области сильно различающихся волновых чисел. Знание этой асимптотики существенно для выяснения вопроса об ИК- и УФ- сходимости так называемой функции переноса в уравнении спектрального баланса энергии (п.3.4), задача ее нахождения неоднократно обсуждаласг в литература. В диссертации она решается на основе обаегс рг-представлэния для тройной корреляционной функции, аналогичного (22), и результатов главы п <п*2.4), позволявши) определить' наиболее существенный в бие-разложении оператор дающий, главный вклад в искомую асимптотику. В получений! асимптотическом выражении; коэффиииэнти рассчитаны в перво! 'порядке с -разлоаения, а показатели найдены точно, т.к. он определяются, составным оператором с точно вычисление

критической- размерностью. При е = 2 асимптотика совпадает по форме с выведенной в Есхзым-приближении.

Результаты, полученные с использованием техники РГ и бое, позволяют обосновать основные постулаты, используемые обычно при рассмотрении уравнения спектрального баланса энергии, играющего центральную роль в феноменологическом описании турбулентности (п.3.4). В их" число входят: возможность пренебрежения внзкостью в инерционном интервале, соотношение обобщенной однородности для тройного коррелятора, определяющего функцию переноса энергии, и возможность снятия ИК- и УФ- обрезаний при вычислении этой функции. Полученное явное выражение для функции переноса позволяет также рассмотреть вопрос о неколмогоровских решениях уравнения баланса энергии (п.З.Б) . что существенно в связи с проблемой описания двумерной турбулентности.

Как следует из (5), амплитуда в степенной модели накачки, часто используемой при РГ-подходе, обращается в нуль для физического значения с = 2. Связанные с этим затруднения в определении амплитуд функций Грина обсуждаются в п.3.6. Проблема носат общий характер и проявляется в'любых теориях с реалистическими моделями накачки. Она состоит в противоречии между квазилокальным характером накачки (ее отсутствие в инерционном интервале) и степенными "хвостами" функций Грина в ¿той области. Решение ее пока ¡¡б найдено, оно сводится к доказательств определенных свойств скейлинговых функций. Наличие отмоченных трудностей надо во всяком случае осознавать при конкретных вычислениях амплитуд корреляционных функций, в частности, известной константы Колмогорова. В п.3.0 приведены два .варианта ее определения в рамках РГ-нолхода, отличающиеся способом раскрытия определенности в предельном переходе е 2 и потому дающие различны" результаты. Отметим также, что в рамках альтернативной статистической модели турбулентности, рассмотренном в главе VI, обсуждаемые трудности удалось проодалеть.

Глава_ IV посвякала обобщению ранорнгруппоаого описания гурбулиш !!Ы.\ ЗИ07СИ 113 ННОГОЗЯрЯЛНий ' случая. РЭССИ'!ТР')пЧ

гупоуломг.:ро пос-згюзивзнпс гипоксией лзссйыпй пг1И«'к-г:,

иагнитогидродинааическая турбулентность (вклгчая эффект магнитного динамо), ленгмюровская турбулентность плазмы.

Первая из перечисленных задач рассмотрена в п.п.4.1, 4.2. Для описания поля пассивной примеси е(х,а к (1) добавлено уравнение диффузии

7(6 = ^Н , > Э( + (<рд) . (35)

Стохастическая задача (1). (35) эквивалентна квантово-полевой двухзарядной (д0 и и0 ■ теории четырех полей <>, <р' . в,'

в< . Доказана ренормируемость этой теории и существование в ней ИК-устойчивой неподвижной точки, в которой при £ = 2 имеет место колмогоровский скейлинг. В первом порядке с-разложения вычислены предельные значения обратного числа Прандтля

и^ = (уу + ль/с! - 1)/2 и отношения константы Колмогорова ск к постоянной Бэтчелора ва: ск/ва = их. Полученные результаты обосновывают также феноменологический "закон четырех третей" Ричардсона для скорости расплывания облака примесных частиц в турбулентной атмосфере.

В п.п. 4.3 - 4.5 исследуются уравнения стохастической магнитной гидродинамики (НГД), описывающие турбулентные процессы в проводящей жидкой или газообразной среде:

= иоуой в1 + (0а)»'| + •

Первое из этих уравнений есть уравнение Навье-Стокса (I), в правую часть которого добавлена обусловленная магнитным полем е сила Лоренца,, а (37) следует из закона Ома для движущейся среды л уравнения Максвелла без учета тока смещения. Стохастическая задача (36). (37) была переформулирована в виде квантово-полевой модели с удвоенным числом поперечных векторных. полей 9, «>', в, е*. доказана ее мультипликативная ренормируемость, затем она была исследована РГ-ытодом. Модель трехзар.-;дна, в ней имеется 6 фиксированных точек, из которых :две ИК-устойчивы и соответствуют двум возможным критически« режимам, осуществляющимся в зависимости от загравочни>

значений параметров задачи. Найдены критические размерности полей в каждом из режимов. В одной из них магнитное поле играет роль пассивной примеси, в этом случае реализуется скейлинг с колмогоровскими размерностями. Исследование ИК-асимптотик в задаче МГД имело свою специфику, обусловленную нулевыми значениями некоторых из зарядов в неподвижной точке и необходимостью рассмотрения связанных с этим особенностей скейлинговых функций.

В 4.5 с учетом результатов РГ-анализа МГД рассмотрено явление турбулентного динамо в гиротропной жидкости. Проблему магнитного динамо (т.е. спонтанной генерации крупномасштабного магнитного поля турбулентностью) выдвинул Лармор в связи с необходимостью объяснить происхождение магнитных полей в космоса. С эффектом динамо связаны также попытки объяснения магнитного гюля Земли. В работах ряда авторов было доказано, что этот эффект возможен только в системах с ларушенной симметрией, в частности, в гиротропных турбулентных средах (то. при нарушении пространственной четности). В этих работах, однако, лишь фиксировалось наличие неустойчивости, ведущей к росту магнитного поля, и исследовалась начальная стадия процесса на основе линеаризованных уравнений МГД. Используемый нами полевей формализм, напротив, приспособлен для описания конечного установившегося режима. Переход от стохастической задачи к полевой . позволяет объяснить турбулентное динамо на осново хорошо известного в теории поля механизма спонтанного нарушения симметрии. В отсутствие спонтанного поля гиротропность ведет к неустойчивости, выражающейся'.в экспоненциальном росте со временем некоторых возмущений. Эта неустойчивость стабилизируется при спонтанном появлении однородного среднего магнитного поля, величина которого определяется из условия стабильности системы. Обсуждаемая неустойчивость не проявляется на уровне самого функционала действия и обнаруживается лишь в следующем (однопотлевои) приближении - в ■■ полевых моделях этот нетрадиционный механизм называют "динамическим нарушением симметрии". 8 режима динамо предсказан новый физический эффект суиествовоние специфических долгоживуших возмушоний

альфоновских воли, поляризованных ортогонально плоскости волнового вектора и спонтанного магнитного поля.

В п.4.6 рассмотрена ленгмюровская турбулентность плазмы. Как физическое явление она существенно отличается от обычной развитой турбулентности жидкости, однако это интересная стохастическая задача с нетривиальной ИК-асимптотикой, которую также удалось исследовать с помощью стандартной РГ-техники. Формальным аналогом восприимчивости здесь является величина £д1(ы.О), где е(|(и,к) - продольная диэлектрическая проницаемость. Роль критических играют точки обращения в нуль величины сц(и),0), т.о. и = ± ое в линейном приближении (ое -ленгмюровская частота), критическая область - их окрестность, " т.е. частоты и, близкие к о ,, и малые волновые числа к. В этой области линейный отклик системы становится аномально малым и поэтому существенны нелинейности, обусловленные взаимодействием высокочастотных ленгмюровских колебаний с низкочастотными ионно-звуковыми волнами. Соответствующие динамические уравнения получены Захаровым и исследовались во многих работах с целью, во-первых, поиска решений солитонного типа, во-вторых, анализа неустойчивости, известной к;:к "коллапс ленгмюровских волн", В обоих случаях речь идет о задаче типа Коши с определенными начальными данными.

В реальных условиях скстемч возбуждается за счет энергии вешнего источника : (например, резонансного внешнего поля), которая затем перераспределяется различными механизмами столкновений и в конечном итоге диссипирует. При стохастическом подходе эти сложные процессы моделируются феноменологически путем введения в уравнения Захарова гауссовых внешних случайных сил и одновременно диссипации. В такой постановке задача . аналогична - задачам критической динамики и стохастической теории турбулентности и может Сыть исследована с помощью развитой там техники, т.о. допускяст сведение к некоторой квантово-полаоой 'модели и ев обработку РГ-иетодрм. При наличии ПК-устойчивой фиксированной точяи этот йотог предсказывает для функций Грина критический скейлинг о нетривиальными показателями.', -Их не.«и о. вычислять г ' дан ноя ' глучре в форме ¿-разложений с с =4 ■ <з. гцэ о : размерноеп

пространства, как в обычной схеме Вильсона.

Выполнение этой программы показало существование диссипативного скейлннгового режима с- нетривиальными критическими показателями, которые были вычислены с точностью до включительно. Получено явное выражонио для скейлингозой асимптотики продольной диэлектрической проницаемости е„(и,к) в окрестности "критической точки" Ел(ив,0) = 0. Из него, в частности, следует, что для малйх к обычный закон дисперсии о - ые ~ V2 ленгмюровских волн заменяется на и - ы к2"7 с

Т 0,080*1 • с" + оСе-5).

посвяизна обобсению ренормгруппового подхода на случай анизотропной турбулентности. Такое обобщение весьма актуально, поскольку большинство реальных турбулентных потоков анизотропны. Рассмотрено также влияние анизотропии на перемешивание пассивной примеси и критические режимы магнитной гидродинамики.

Уравнения стохастической гидродинамики (П, (35) - (37),

описывающие указанные системы, сохраняют прежний вид.

Анизотропия сказывается только на форме корроляторов случайных

сил. 3 расчотроннон случав слабо анизотропных систем с

выделенным напг.авлениэм п величина Р.,<£>с3.{к) з (2)

1 ] н

заменялась, например, выражением

и™ = ар(к){[1 + Р^пЬ'г/-кг]Ри + р,,^^} (38)'

с Функцией <зр{к) из (5) и новыми константами р1 2 -параметрами анизотропии. Наличие выделенного направления позволило ввести, помимо р^ , новый • поперечный по обоим значкам тензор с поперечным вектором п(. я •

Новый момент использования РГ-техники в задачах с анизотропией состоит в том, что в ренормированной теории генерируются дополнительные заряды, отсутствующие в исходной модели. Поэтому для использования стандартной РГ-техники необходимо "расширить" модель, включив в норенормированноо действие все нужные вклады. В случае задачи (1), (38) это дает

■;и\чР,в,|)%'/2 + ч>'{-ч.9 + р [(О2 + и (Он) )Ч> + ( ь О 10

+ п(игоа2 + иза<ап)2(п<р))]} (ЗЭ)

с дополнительными затравочными зарядами и.н , имеющими смысл анизотропных вязкостей. Их "реальные значония" равны нулю, но это но мешает использовать РГ-технику, в которой они сначала считаются произвольными параметрами, а условно и10 = О учитывается только на этапе решения уравнений для инвариантных зарядов. Как показано в п.5.1, нулевым значениям и(о соответствуют отличные от нуля ренормированные параметры и., которые можно найти явно.

Конкретные расчеты проводились в однопетловом приближении при произвольном а с ограничением линейными по р1 , и вкладами. Для трехмерного случая неподвижная точка РГ в обычной гидродинамике и задаче перемешивания примеси оказалась устойчивой к анизотропии (п.5.1, 5.2), тем самым сохранило* ИК-скейлинг с колмогоровскими размерностями, апизотропш влияет только на вид скейлинговых функций. Изучение зависимости чувствительности к анизотропии от разморност! пространства показало ее усиление с уменьшением последней приводящее для а < 2,68 к разрушению колмогоровскоп скейлинга. Это означает, что при исследовании критически; режимов для реального случаи а = 2 вопросу устойчивости анизотропии следует уделять особое внимание (как известно двумерный случай имеет и другие особенности, в частности требуется дополнительная ренормировка и в изотропной системе)

Наиболее сильным оказалось влияние анизотропии и ыагнитогидродинамичоекую турбулентность. Это связано с том что в данном случае нелинейность генерирует не тольк анизотропные коэффициенты переноса, но и новые вершин взаимодействия, имеющие смысл анизотропных сил Лоренца ( обычной гидродинамика ганврцип анизотропных вершин запрещен требованием галилеевой инвариантности). Было показано, чт неполвиьная точка ренормгруппы неустойчива к соответствуют •дополнительным зарядам. Это означает. что Колмогоровой скейдинг сохраняется только при сильном ограничении I

величину анизотропии.

Глава_\/1_ посвящена изучению одновременных корреляционных функций. На их свойства мало влияет кинематический эффект переноса мелких вихрей крупными и, как следствие, именно для них выполняется гипотеза Колмогорова' о независимости от внешного масштаба турбулетности в инерционном интервале. В силу этой их относительной простоты можно полагать, что соответствующее статистическое описание может носить замкнутый характер, т.е. строиться каким-либо болев простым образом, чем интегрирование по траекториям в (7). Его основой могло бы служить известное уравнение Хопфа для одновременной функции распределения пульсаций р(р), являющееся непосредственным следствием уравнения (1) [1]. Это уравнение типа Фоккера-Планка в функциональных производных. Аналогичные уравнения в моделях критической динамики имеют явные решения, приводящие к обычным половым моделям критической отатики. В теории турбулентности, описывающей открытую систему, дело обстоит сложнее. Для уравнения Хопфа на удается получить замкнутого решения, соответствующая ему теория возмущений и диаграммная техника носят нестандартный характер, что очень затрудняв: использование обычных приемов теории-поля.

Убежденность в существовании относительно простого статистического описания одновременных корреляторов "зталкнвает на мысль о построении соответствующей функции распределения р(«>) на основе независимого статистического постулата. В главе VI рассмотрена модель, в которой в качестве такового выбран принцип максимальной хаотичности поля скорости.Мерой хаотичности служит информационная энтропия

5 = - <1п Р{р)> = - Р(<р> 1л р<(р) , (40)

Экстромальный'принпип сам по себе но отражает физического содержания задачи. Оно закладывается в теорию условиями контакта системы с "термостатом" (условный экстремум). В развитой турбулентности наиболее существенным является условие спектрального баланса энергии, . учитывавши специфику взаимодействия пульсаций с. "окружением" (роль которого в

реальности играет усреднепноб течение и взаимодействие с границами). Поэтому именно оно положено в основу использованного экстремального принципа. Фактически это простейшая попытка отразить в статистической теории основные идеи феноменологии Колмогорова.

В изотропной системе уравнение спектрального баланса энергии имеет вид

а,Е(к> = < Е(к) > + Ё (к) , (41)

I р. тар

Ё(к> В !>0к2 Ivitil^ + i>j. (ftx^.ci^H-S) , (42)

гдо Е(к) = <|«|(Й)|г>/2 • спектральная плотность энергии, Ё (к) - мощность внешней накачки энергии. В п.п.е.1 - 6.6

pump '

рассмотрен стационарный случай, тогда в (41) э Е<к) = О. Решение задачи на условный экстремум было получоно с помошью множителей Лагранжа х(к), которые в данном случае представляют собой некоторую функцию волнового вектора ("спектральная температура"):

РС<р) = Q_1exp [(2п.Гл Jc/t X(t) Ё(Г<)] . (43)

Функцию x(k) следует определить из условия (41) при заданной накачке Ё (к). Для последней в п.п.6.1 - 6.6 принята

pump f

степенная модель вида (5), переходящая в г функцию в пределе t . 2.

Модель (43) имеет вид некоторой квантовой теории поля, которая была исследована РГ-методом. Его применение в данной задаче потребовало выбора начальной точки t-разложения, смененной относительно физических значений не только по параметру накачки с в (5) (как в модели Уальда), но и по размерности пространства (как в теории Вильсона). Била доказана мультипликативная репормируеность подели. Б ней имоотся ИК-устойчивая неподвижная точка, в которой при физическом' значении t = 2 реализуется скейлинг с колиогорсвскиии размерностями. Как и в теории Уальда, ряд для критической размерности скорости обрывается, таким образом, полученный ответ яалнеюя точным (не содержит nonpair-к ~

е3 и т.д.).

Однако наряду с этими обними чертами ь модели Уальла и модели максимальной хаотичности обнаруживаются и существенные различия. Порвое из них касается вопроса о конечности корреляционных функций в пределе с -> 2. В обеих моделях амплитуда накачки пропорциональна 2-е, т.е. стремится к нулю при переходе к физическому значению с, что приводит к затруднениям при вычислении амплитуд корреляторов в модети Уальда (п.3.6). à модели максимальной хаотичности определяемая из уравнения баланса энергии спектральная температура х(к) остается в продела с -> 2 конечной благодаря известному свойству функции переноса энергии - ее обращению в нуль в инерционном интервале для колмогоровских значений индексов. Конечность спектральной температуры в функции распределения автоматически приводит к конечности амплитуд всех функций Грина.

Второе отличие касается размерностей составных операторов. Вычисление критической разырности оператора диссипации энергии в модоли максимальной хаотичности показало, что она принимает небольшие положительные значения (зависящие в рассмотрение однопатлввом приближении от выбора начальной точки е-раздоьания). Опаратор диссипации не является, следовательно, опасным, что согласуется с экспериментальными данными. Но были обнаружены опасные операторы и в следующем по-канонической размерности семействе галилеево-инвариантных составных гператороз. Отсутствие в теории таких операторов означает, что sde-разложение (3 3) определяет, как и положено, инфракрасные поправки к спектру энергии. Малость же критической ' размерности оператора диссипации показывает близость поправочной степени волнового числа к колмогоровскому значению. Зтим мог т объясняться наблюдаемые на опыте небольшие отклонения индексов спектра энергии и старших корреляторов от колмогоровских значений при обработке экспериментальных данных без учета поправочного слагаемого.

В п.п.6.7, 6.8 модель максимальной хаотичности использована для . описания затухающей турбулентности. Предполагается, что на начальной стадии затухания Функция

распределения сохраняет ту не форму (43), что и о -таииснариои случае, со спектральной температурой х(к,1) (плавно зависящей от времени), которую следует определить из уравнения баланса анергии (41) с ё (к) = 0. Аналогичный подход принят для

г ришр 1

описания затухающей за решеткой турбулентности. Условием его применимости в этом случае является малость изменения статистических характеристик пульсаций на расстояниях порядка интегрального масштаба турбулентности (квазилокальносгь). Оно хорошо выполняется достаточно далеко от решетки.

Решение уравнения баланса энергии искалось в автомодельном виде, когда спектральная температура параметрически зависит от времени через свою амплитуду и интегральный масштаб турбулентности. Для последних получены степенные законы зависимости от времени (или расстоянии от решотки), показатели которых определяются характером асимптотики спектра энергии е(к) при малых волновых числах. Естественное предположение о конечности величины Е(к=0) дает известные законы затухания, хорошо согласующиеся с экспериментом.

После исключения явной зависимости от времени из уравнения баланса энергии, входящие в ньго величины ео<) и -ё(к)> были рассчитаны РГ-методсм в первом порядке с-разложения, что определило их связь с х(к). Приближенное решение полученного нелинейного ингегро-дифференцичльного уравнения для спектра энергии было найдено методом пробных функций. Результаты сравнивались с опытными данными для продольных спектров затухающей за решеткой турбулентности [4], [5]. Теоретическая кривая неплохо описываот эксперимент в инерционной и энергосодержащей областях волновых чисел. Для константы Колмогорова получено значение ск = 1,55 , также хорошо совпадающее с экспериментом.

Результаты диссертации в целом суммируйся в Заключении.

Основные результаты диссертации опубликоэани в следуюши> работах:

1. Аал'оиян Л.ц., Богданов С.р., Сыщиков В.В.//Вестник Ленингр ун-та. !982.N10.С.70-73.

2. Лджомян Л.Ц., Васильев Л.П., Письмак Ю.М.//Теор.мат.физ. 1383-Т.57.С.268-281.

3. Лджомян Л.Ц., Васильев А.II., Гнатич М.//Теор.мат.физ.1984. Т .58.С.72-78.

4. Аджемпи Л,Ц., Васильев А.Н., Гнатич М.//Теор.мат.физ.1985. Т.64 .С. 196-207.

5. Аджамян Л.Ц., Васильев А.Н.. Гнатич И.//Теор.мат.физ.1987. т. 72.0.369-3^.

6. Аджомян Л.Ц., Васильев А.11., Гнатич М.//Теор.мат.физ.1388. Т.74 .С .180-191.

7. Аджемян Л. 11., Васильев А.Н.. Гнатич М., Письмак Ю.Н.// Теор.мат.физЛ 989.Т.78.С.368-383.

8. Аджемян Л.Ц., Антонов II.В., Васильев Л.!1.//!Нурн.эксп. и теор. физ.1Э8Э.Т.95.С.1272-1288.

Э. Adzhemya'n L.Ts., Nalimov M.Yu.//Renorma1izalion group 31:

Second international conference. Dubna . 1 991 . P.257-265 . 10. Adzhemyan L.Tb., Nalimov M.Yu. The principle of maximal randomness in the theory of fully developed turbulence.

1.Hie isotropic homogeneous case. Preprint HU-TFT-91-65. Helsinki.1ЭЭ1. 1 7 p.

11 . Adzhemyan 1 Ts. , N&limov M.Yu. The principle of maximal randomness in the theory of fully developed turbulence.

2. The inotropic inhomogeriaous case. Preprint HU-Tf-T-Sl -66'. Helsinki.19Э1 . Э p.

12. Аджомян Л.Ц., Гим Т.Л.//Вестник СПбУ.1Э92.сер.4.вип.З (N18). С.71-75.

¡3. Аджемян Л.Ц,, Борин В.Ф., Фазлыева В.И.//Вестник СПбУ. Сор.Физика,химия.1892.сер.4.вып.3.(18) С.75-79.

14. лджомян Л.Ц.. Налимов М.В.//Теор.мат.физ.1992 Л .9i. С.294-308.

15. Ail.'.lieniy.iri L.Tr,., Hnatio M.-, Horvath D., StehLik M. Inr.tabi II ties in MUD turbulence generated by ,-ч'зк anisot.ropy . Prepr in I. El 7-ЭЗ—42Э, JINR, Dubna, 1993.

' its. Ад;квмян Л.Ц., Налимов M.».//Теор.мат.аизЛЭЭЗ.Т.96. С. 150-153.

17. адг.Нотуап L.Ts., Ilnat.ic П., Horvath D. , Stehlik M.

On Ihc- theory of the decay I ny (iftvu i oped tiirbu 1 «пси with

spontaneous parity violation. Preprint IC/93/f. Miramaro-Trlcste. ¡933, 10 p.

18. Аджемян Л.Ц., (нагич M., Сгеглик М. Репорт рупновой расчет спектров затухающей турбулентности. Preprint-17r-:M~319. JINR. Dubna.1Э94.12р.

19. Аджемян Л. 11., Борисенок С.В., Гирина В.И. Методы ренорм-группы и операторного разложения в теории развитой турбулентности: асимптотика тройной одновременной корреляционной функции, Preprint SPblI-95-5, СПб ГУ, 1395.

20. Adiheiuyan I..Ts., Hnatic М. , ltorvath D. , Stehlik M. The maximal randomness principle in d-dimerisional

tui*tiu J otice. Pi-cpr int. Е-17-94 -320. J lNR.ОпЬпм . t 994 .11 p.

21. Adzhemyan L.Ts., Hnatich M. , Horvath D., Stehlik M. Proceeding of the Second International Conference of Energy transfer in MHO flows.Aussois (Franco).1934.P.541-550.

22. Аджемян Л.Ц., Антонов 1!.В.//Вестник СПСУ.Сор.физика.химия. 1994.сер.4.вып.2.(N11) С.53-55.

23. Аджемян Л.В., Аджемян Л,К.//Вестник С116У.Сор.физика,химия. 1394.сер.4.вып.3.С.3-11.

24. Adzhemyan L.Ts., liriatieM., Stelil ¡k M. //Progress in turbulence research. Edited by li.Bratiovor, Y.Unger. Л1ЛА. 1994 .V. 162.P.-189-199.

25. Аджемян Л.11., Антонов H.B., Ким Т.Л.//Тоор.мат.физ. 1994. Т.100.С.382-401.

1 Монин А.С., Яглом A.M. Статистическая гидромеханика.Г.2. М. Паута, 19G7, 720 с.

2. Do Domlnlcls С.//Journ.de Phys.Suppi.Cl ,!',?7М . V.37 -P./J47-2G5.

3. Ое Domlnlcls С., Martin Р.С. //Phy<-. Rev . 19i"j . V . Al9 . Р. 4 19-423 . 4 . Co.npto-B.il Lot G. , Carl-sin S.//J . V i и 1.0 Mm.-h.l97l -V.48.

P.273-280.

5. Georg W.K.//Phys. Fi u id^. 199? . V. A4 .N7 - P. 1 432-1503 .