Учет сжимаемой жидкости в теории развитой турбулентности и в модели магнитной гидродинамики методом квантово-полевой ренормализационной группы тема автореферата и диссертации по физике, 01.04.02 ВАК РФ

^ 6 ОЙ

13 шл «*

САНКТ-ПЕТЕРБУРГСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ УНИВЕРСИТЕТ

На правах рукописи

Волченкоп Дмитрий Юрьевич

УЧЕТ СЖИМАЕМОСТИ ЖИДКОСТИ В ТЕОРИИ РАЗВИТОЙ ТУРБУЛЕНТНОСТИ И В МОДЕЛИ МАГНИТНОЙ ГИДРОДИНАМИКИ МЕТОДОМ КВАНТОВО-ПОЛЕВОЙ РЕНОРМАЛИЗАЦИОННОЙ ГРУППЫ

Специальность 01.04.02 — теоретическая физика

Автореферат диссертации на соискание ученой степени

Сан кт- Петербург 1096

Работа выполнена на кафедре статистической физики

физического факультета Санкт-Петербургского Государственного Университета

Научный руководитель: доктор физико-математических наук,

профессор Купи Ф.М.,

кандидат физико-математических наук, ст. н.с. Налимов М.Ю.

Официальные оппоненты:

доктор физико-математических наук, Корженевский А.Л.

кандидат физико-математических наук, Антонов Н.В. Ведущая организация: <&ГИ РАН им. А. Иоффе.

Защита состоится ^ 1996г. в часов на заседании диссертационного совета К063.57.17 по защите диссертаций на соискание ученой степени кандидата физико-математических наук в Санкт-Петербургском Государственном Университете по адресу:

199034, Санкт-Петербург, Университетская набережная, 7/9.

С диссертацией можно ознакомиться в библиотеке СПбГУ. Афтореферат разослан 1996г.

Ученый секретарь диссертационного Ученого Совета:

С.Н.Манида

ОБЩАЯ ХАРАКТЕРИСТИКА. РАБОТЫ.

Актуальность темы исследования

Использование методов квантовой теории поля - ренормализационной группы и операторного разложения - открывает новые возможности в исследовании проблем теории развитой турбулентности и позволяет глубже понять физику турбулентных явлений. Эти методы дают возможность, в частности, исследовать свойства составных операторов теории развитой турбулентности, недоступное для ранее использовавшегося математического аппарата и обосновать метод регулярного разложения в теории развитой турбулентности сжимаемой жидкости.

Детальное исследование скейлингового поведения в теории развитой турбулентности магнитной гидродинамики несжимаемой жидкости позволяет обобщить разработанный метод на модель магнитной гидродинамики сжимаемой жидкости и построить для нее квантово-полевую теорию развитой турбулентности.

Исследование составных операторов модели магнитной гидродинамики, при использовании метода операторного разложения, определяет инфракрасные поправки к спектрам теории турбулентности и позволяет судить о корректности модели в области малых импульсов и о возможности ее коррекции.

Кроме того, найденные критические размерности составных операторов в стохастических моделях гидродинамики и магиитиой гидродинамики, могут быть непосредственно измернены на опыте, что дает возможность проверки гонких деталей теории.

Цель работы:

— Построение квангово-полевой теории развитой турбулентности сжимаемой жидкости;

— Исследование составных операторов, определяющих поправки на сжимаемость к спектрам теории турбулентности несжимаемой жидкости;

— Исследование скейлингового поведения в теории развитой турбулентности магнитной гидродинамики несжимаемой жидкости;

— Исследование составных операторов модели магнитной гидродинамики, определяющих инфракрасные поправки к спектрам теории турбу-

лентности;

— Построение квантово-полевой теории развитой турбулентности магнитной гидродинамики сжимаемой жидкости;

— Исследование составных операторов, определяющих поправки на сжимаемость к спектрам теории турбулентности магнитной гидродинамики несжимаемой жидкости;

Научная новизна работы

В основу диссертации положены три задачи, каждая из которых представляет физический интерес. Задачи были поставлены и сформулированы в связи с работами, появившимися в печати сравнительно недавно. Для решения задач были развиты и использованы новые методы, ранее не обсуждавшиеся в литературе. Результаты, полученные при их помощи, являются новыми.

1. Построено регулярное разложение в теории развитой турбулентности изотропной однородной сжимаемой жидкости с функционалом действия MSR - типа. Параметром разложения является число Маха - Ма.

2. В инерционном интервале теории несжимаемой жидкости изучены инфракрасные сингулярности, определяемые поперечными полями, характерными для теории несжимаемой жидкости. Данные особенности связаны с составными опреаторами поперечных полей, которые исследуются методами квантово - полевой ренорм группы.

3. Показано, что поперечные поля индуцируют скейлинговое поведение в теории, яри этом скейлинговая размерность числа Ма равна 1/3 (т.е. Ма к'1/3 - есть скейлингово безразмерный параметр корреляционных функций теории в инерционном интервале).

4. Методом ренормгруппы изучено скейлинговое поведение корреляционных функций в развитой турбулентности стохастической магнитной гидродинамики в обоих критических режимах модели. Ранее известные результаты дополнены исследованием инфракрасных асимптотик функций Грина с произвольным числом внешних полей в кине-

тичсеком и магнитном режимах. Особо рассмотрен вопрос динамического скейлингового поведения в магнитном режиме.

5. Изучена ренормировка и вычислены критические размерности составных операторов семейств младших канонических размерностей <( = 2и^=3в модели магнитной гидродинамики.

6. С помощью оператороного разложения Вильсона изучен вопрос о зависимости корреляционных функций в инерционном интервале модели магнитной гидродинамики от интегрального масштаба турбулентности.

7. Развитый метод построения регулярного разложения по числу Маха для сжимаемой жидкости обобщен на случай модели, учитывающей проводимость среды. Построены регулярные разложения для случая слабой сжимаемости в теории развитой турбулентности в модели стохастической магнитной гидродинамики с функционалом действия MSR-типа с учетом различной интенсивности магнитной и гидродинамической ИК-накачек в кинетическом и магнитном режимах системы.

8. В инерционном интервале теории несжимаемой проводящей жидкости изучены инфракрасные сингулярности, определяемые поперечной компонентой поля скорости и магнитным полем, характерными для теории несжимаемой проводящей жидкости, связанные с составными операторами поперечных полей, которые исследуются методами квантово - полевой ренорм группы.

9. В приближении одной вставки составных операторов построено разложение в теории развитой турбулентности МГД сжимаемой жидкости с учетом главных ИК-поправочных индексов теории (иа).

10. Показано, что поперечные поля индуцируют скейлинговое поведение в теории, при этом в кинетическом режиме скейлинговая размерность числа Ма в случае слабой магнитной накачки равна 1/3 ( как и в теории турбулентности, не учититываклцей проводимость среды) и

2а+1/2ш2—1 -в случае, когда параметр относительной сингулярности магнитной накачки (а > 2/3 4-1/4шг).

11. Показано, что в магнитном режиме скейлинговая размерность числа Ма равна -1, а поправки на сжимаемость к спектрам развитой турбулентности в скейлинговой области несущественны:.

Теоретическое и практическое значение.

Диссертация детально раскрывает особенности применения метода кванто полевой ренормализационной группы в различных моделях теории развитой турбулентности.

Квантово-полевая теория развитой турбулентности сжимаемой жидкости, позволяет глубже понять физику турбулентных явлений.

Изученные особенности скейлингового поведения в модели магнитной гидродинамики несжимаемой жидкости и квантово-полевая теория магнитной гидродинамики сжимаемой жидкости способствуют развитию теоретических исследований в области физики плазмы.

Знание критических размерностей составных операторов, найденных в работе, стимулирует экспериментальные исследования в области теории турбулентности и физики плазмы по проверке предсказанных свойств соответствующих корреляционных функций.

Аппробацмл работы.

Материалы диссертации докладывались на семинарах кафедры статистической физики Научно-исследовательского института физики Санкт-Петербургского Государственного Университета.

Публикации.

По теме диссертации опубликовано пять статей. Ссылки - в конце автореферата.

Структура и объем.

Диссертация состоит из введения и грех глав. Список литературы включает 51 наименование. Объем работы - 132 страницы.

СОДЕРЖАНИЕ РАБОТЫ

Во введении приводится обзор литературы по теме диссертации и кратко изложены основные результаты работы.

1 Глава посвящена теории развитой турбулентности в сжимаемой жидкости.

При учете сжимаемости, начинал с некоторых чисел Маха Ма = ус/с (с - скорость звука, ьс - характерная скорость турбулентных пульсаций), в инерционном интервале Колмогорова появляется новый, связанный со сжимаемостью, массивный параметр. В этих условиях, с точки зрения теории скейлингового поведения, основная задача заключается в описании так называемых скейлинговых функций.

Квантово - полевой функционал действия, сопоставляемый стохастической задаче, описывающей поведение сжимаемой жидкости [1],

для полей - скорости, ¿>(х,г) - плотности жидкости и р(х,£) - да-

вления (т) - сдвиговая вязкость, т/ = (т;/3 + (), С - объемная вязкость), с коррелятором внешней случайной силы

не является ренормируемым, поэтому применение аппарата ренормгруп-пы к ней в целом не представляется возможным.

В случае несжимаемой жидкости поле скорости становится поперечным V, = Р,3<Р], Рх] — — к{к]/к2, а продольная компонента и, = ф,, =

¿^ — Р,] исключается из стохастического уравнения (1). Для полного устранения расходимостей в соответствующей такой модели квантово-полевой теории требуется лишь конечное число контрчленов. Ренормировка и скейлинговсе поведение в такой теории изучены в работе [2].

Здесь предложен общий метод построения разложения турбулентных спектров теории сжимаемой жидкости по числу Ма (нулевой член разложения - несжимаемая жидкость). Сущность предлагаемого метода заключается в следующем. Предъявлено квантово - полевое действие теории, в котором при вершинах взаимодействия новых полей (отсутствующих в теории турбулентности несжимаемой жидкости) стоят предполагаемые

д,!? = 1+ т/<э(д«р) - дР) - (уд)? + г,

= О

(1)

< ;,(х, 1') >= д;(г - -1').

(2)

малыми множители, пропорциональные с 2.

5(Ф) = + + v'.l-d.v, - vjdjv, - - +

l Л с с

~ + + " ¿("А5- + -

- Ьтщт^+к4')Aii" +¿гда9'91 -

-р'[3>«, + (3)

где

V=q-Ff=q\ 5 = c-2(« + Fn-F„23),- р'= с V ' (4)

(Fp = Д_1Э,J^I = dt&-xVib.-xdjdtbJvic и f„2 = Д~гЭ,23,), а для корреляторов D"v и ■О"" поперечных и продольных компонент случайной силы выбирается степенная модель:

D"ij(k) = P,igw3k<-d-2,l Vu,}(k)=^Q,J9oki-d-kl- (5)

где ¿-импульс, i'o = rj/pa - кинематическая вязкость, <i - размерность пространства. Множитель М)3 введен в выражение для Dv" для обезразмери-вания константы д0. Физическим значением параметра регулярного разложения РГ-функций в теории турбулентности несжимаемой жидкости е является е = 2.

В теории (3) предлагается сперва проводить усреднение по поперечным полям и воспользоваться результатами РГ для несжимаемой жидкости. Тогда в вершины взаимодействия новых полей входят составные операторы поперечных полей. Скейлииговые размерности ряда операторов были известны нам из работ [2], [5]. Размерности нелокальных составных операторов с произвольным числом вставок Fp ранее были неизвестны.

Анализ ренормировки таких операторов облегчается галилеевой инвариантностью теории (3): к рассматриваемым операторам не могут примешиваться галилеево неинвариантные операторы. Галилеево - инвариантные оператры, котроые могут примешиваться к. данным, содержат большое количество производных {dims = 1) - поэтому их логично считать несущественными. В этих условиях размерности нелокальных операторов с произвольным числом вставок Fp можно вычислять как сумму скейлин-

говых размерностей локальных фрагментов, производных и Д~1 - операторов.

Эти составные операторы и определяют ИК - поведение в теории турбулентности сжимаемой жидкости со скейлинговыми размерностями полей и параметров : Лс = —1/3, Др = —2/3, Д„ = -1, (« - продольная компонента скорости). Скейлинговая размерность времени равна Д( = —2/3, как и без учета сжимаемости [2].

Операторы поперечных полей, обладающие одинаковым порядком по с-2 можно сравнивать между собой по любым представителям указанных под определенными номерами семейств. Отбрасывая в духе идеологии Ландау ИК-несущественные операторы, переходим к эффетивному действию теории, определяющему главные ИК-асимптотики развитой турбулентности сжимаемой жидкости.

5(Ф) = + 4- — у,д}п, - -ъ^й, - '^й^у, +

-\гр'(~д,и, ~ -¡йДд - , (6)

ИК-существеиные вклады поправок на сжимаемость жидкости в рамках теории (6) представляются в виде рядов по переменной с~2к~2/3. В теории с учетом сжимаемости появляется новая соответствующая времени универсальная переменная ск1, в ведущем порядке по в диаграммах теории возмущений пропагаторы новых полей, связанных со сжимаемостью, дают <5(() - образный вклад в поперечные функции Грина.

Глава 2 содержит ренормгрупповое исследование корреляционных функций в модели стохастической магнитной гидродинамики несжимаемой проводящей жидкости [3].

[ 4-А1/Д0,4 {вд)ы 4 К> 1

Здесь поля скорости жидкости у(х, () и поля 0(х,() - поперечны, псевдовекторное поле в связано соотношением в = В/у^гг^ с поперечным полем

магнитной индукции В, £о - плотность среды), и - коэффициент кинематической вязкости, /" - гидродинамическая внешняя случайная сила, ]в -ротор случайного тока, р - давление, безразмерная константа А - обратное число Прандтля. Для случайных сил предполагается матрица корреляторов

Щ = д^Р',^'. К" = 920^Р,3<1<!<,, А? = йо^Ы* (8)

= = л«-'-2", =

где й - размерность пространства, а - произвольный параметр теории.

Задача (7-8) исследовалась в [4] методом квантово-полевой ренорм-группы, в частности, было показано, что в модели существуют две ИК-устойчивые фиксированные точки, соответствующие "кинетическому" и "магнитному" критическим режимам.

Для скейлинговых асимптотик корреляционных функций теории (7-8) развитой турбулентности возможно представление:

¿1, • • • Xy.tif) ~ (ххГ1,^1,- ■ ■ л О,

(9)

где Ыф - число внешних линий типа ф в функции Грина (корреляционной функции) в (ф - обозначает поля V, V1] в, О'), Д, - критическая размерность времени, « - безразмерный масштабный параметр, Дф -критические размерности полей.

Специфика рассматриваемой задачи заключается в том, что в связи с нулевыми значениями инвариантных зарядов в фиксированных точках, соответствующих обоим критическим режимам, коэффициенты при формально старших степенях скейлингового параметра б в (9) для многих функций Грина обращаются в ноль во всех порядках теории возмущений, поэтому скейлинговые соотношения (9) с вычисленными в [4] критическими размерностями становятся чисто формальными.

Для исследования этих особенностей скейлинговых функций в кинетическом режиме удобно избавиться от зануляющихся в фиксированной точке множителей в корреляционных функциях, перейдя к растянутым по-

л ям:

в' v' v'/y/O^M',

(10)

Полям и параметрам теории в форме записи (10) присущи критические размерности:

Д( = —2 + 2е/3, Д„ = 1 — 2г/3, Д„, =d- 1 + 2е/3, ,

Да = 1 — (а — 1/3)е, Дв- =d- 14-(а-1/3)е. ^

Отметим, что (11) справедливо при любой размерности пространства d > 2 и во всех порядках теории возмущений по е.

В магнитной фиксированной точке в ноль обращаются все исходные заряды теории (7-8). В магнитном критическом режиме скейлингового поведения в смысле (9) в рассматриваемой теории строго говоря нет, т.е. невозможно ввести критические размерности полей, описывающие ИК асимптотики одновременно всех корреляционных функций Грина.

Перечислены функции Грина, для которых скейлинговое соотношение (9) нарушается. Для функций Грина с несовпадающими временами, а, также функций -истинных тензоров с четным числом внешних полей 0 ив' в рассматриваемой теории с полями и временем

6'->0'/VX, t-*t/Л, Av, v'.-+v' (12)

реализуется скейлинговое поведение (9) с критическими размерностями полей и времени

Д, = -2, Д, =1, Д^ = 2 + 4ае, Д« = 1 - ае, А'в = 2 + ае, (13)

вычисленными при d = 3 в первом порядке г-разложения.

Скейлинговые представления для функций Грина нечетного числа полей thêta (псевдотензоров), а также для статических корреляционных функций имеют дополнительную малость, определяемую поправочными индексами квантово-полевой теории.

Далее, в Главе 2 обсуждается ренормировка и критические размерности составных операторов младших канонических размерностей d — 2 и d= 3.

Множество составных операторов канонической размерности 2 представлено тензором второго ранга ф,фк. Расчеты, проведенные в однопетле-вом приближении, сопоставляют им в кинетическом режиме размерности:

Д„2 = = 2- 4/Зе:; Дв2=2-2аЕг, Двл =2 — 2(а— 0.3)е, Д., = Д„А =2-(а+1/3)е,

(14)

а в магнитном -

Д„з = Д,^ = 2; Д^ = 2+12ае, = 2+Зае, Д„0 = = 2+ае. (15)

Рассмотрена ренормировка семейства скалярных и векторных составных операторов канонической размерности ё = 3. Операторы - типа - конечны, при этом = 3. В однопетлевом приближении получены результаты для критических размерностей операторов:

Критические размерности составных операторов

Операторы Кинетическая точка Магнитная точка

и, и2 3 - 2е 3

ив2 3 -2(а + 0.507)е 3 + 18ас

м2 3 -3(а4 1)е 3 + бОае

3 - (а+ 0.68)? 3 - 2ае

В рамках операторного разложения Вильсона справедливо < ф{тч,г)ф{х2,г) >~]Гс,(г)а,тд'.,

(16)

где т - ИК масса, г = Х1—Г?, Лг,- критические размерности составных операторов, а,- некоторые константы. При т —» 0 в инерционном интервале опасными являются операторы с отрицательной критической размерностью.

Рассмотренные операторы дают вклад в разложения (16) для динамических корреляционных функций, а галилеево-инвариантные - и для статических.

Полученные нами результаты свидетельствуют, что при исследовании скейлингового поведения в инерционном интервале модель необходимо уточнять, учитывая параметр т в структуре корреляторов шума (8).

Операторы д. — 3, оказываются в скейлинговой области, в целом, более существенными, чем операторы Л — '2. Можно предполагать, что

тенденция роста существенности операторов, демонстрируемая в модели магнитной гидродинамики операторами младших канонических размерностей, сохранится и для операторов более высоких размерностей.

В Главе 3 метод, предложений в Главе 1 для описания развитой турбулентности в сжимаемой жидкости, обобщается для модели магнитной гидродинамики сжимаемой жидкости

' д,1р= -(рд)р4 11р(т)А<р+т)'д(д<р)-др- 1/2дв2+ (9д)0) +

Э,<5 = + «/„Дб + (09)? - + <Л

' =0, <17> _ р = с2р.

Для случайных сил предполагается гауссово распределение с матрицей корреляторов (8) для поперечных случайных сил и коррелятором (5) - для продольной компоненты гидродинамической случайной силы.

Квантово-полевой функционал действия, соответствующий задаче (17), не ренормируется.

Формально в кинетической фиксированной точке выпадают вклады операторов, составленных из поля в, пропорциональные закуляющемуся п кинетической точке заряду Скейлинговое поведение в этих условиях определяется теми же составными операторами поперечных полей, которые задавали скейлинговое поведение в теории обыкновенной сжимаемой жидкости, а также операторами, содержащими пару полей в' и 0, не имеющими зануляющегося в кинетической точке множителя д2.

Размерности этих операторов ранее были неизвестны и найдены с помощью исследования свойств уравнения РГ теории несжимаемой проводящей жидкости, а также непосредственным однопетлевым расчетом.

Перечисленные операторы обуславливают ИК - поведение в теории турбулентности МГД сжимаемой проводящей жидкости в кинетическом режиме со скейлинговыми размерностями продольных и скалярных полей: Дс = —1/3, Ар = —2/3, Д„ = —1. Скейлинговая размерность времени равна Д( = —2/3.

Эффективный функционал, определяющий ИК асимпотики теории в ки-

нетическом режиме запишется в виде:

£(Ф) = 1/2«;^ + + + 1/2«;/?»"«; + тЯ-ю,*-

-1/с2 ((1/3)5, + (€9)«,-)] + в[[-ъ,вг + \»Ав, - + 1/с\{вд)й,+

+uAv, - 0,(5й))] +■ и;[-1/с2©,Й, - 4- ^'/с'Ди, + (йд)щ-

-1 /с21>'д,^ +- 1/с2А~1д,д2д - 1/с\йд)й, - д,р+

4-1/2(1 + ?/с2) -1 /с29,?2] - р' [(3„) + 1/с25,(дй,)].

(18)

При учете поправочных индексов полевой теории несжимаемой проводящей жидкости множество операторов, смешивающихся при ренормировке в кинетическом режиме, оказывается существенно более широким. Для строгого решения задачи необходимо знание размерностей всех локальных составных операторов в теории МГД, которым мы не обладаем. Поэтому, обсуждая критическое поведение в модели МГД сжимаемой жидкости с учетом главных поправочных индексов, мы ограничились приближением одной вставки операторов поперечных полей. В этом приближении разложение следует дополнить операторами, со вставками локального оператора д^в2/2, а также нелокального А~1д,дьв,вк.

Размерности этих операторов вычислены при использовании уравнений Швингера.

Эффективный функционал при этом совпадает по виду с (18), если формулировать его в терминах полей

9-> р + д^3в{а- 2/3-1 /4и>2)02/2, й, = и, + - (19)

где Рр = = =

а в(х) - тета-функция.

В случае сильной сингулярности магнитной накачки (а > 2/3 + 1/4ш?) в инерционном интервале спектра масштабов появляется новая переменная, пропорциональная Ма Размерности полей и параметров этом случае следует оценивать по вставке оператора д2в2 ¡2: Ар = Дсз = 2 + 1/2ш2-4а, Др- = 1 + 4а-а/2, Д„ = 1-| — + Аи> = | + 4а—ш2. Поправки к спектрам развитой турбулентности являются существенными в ИК-области спектра масштабов.

В магнитном режиме в модели МГД сжимаемой жидкости единого скей-лингового поведения нет, а связанные со сжимаемостью поправки к тур-

булвптным спектрам в скейлинговой области несущественны.

Скейлинговое поведение функций Грина - истиних тензоров с различающимися аргументами времени с размерностями скорости звука Лс = 1 и времени Af = —2 в теории возмущений с поперечными полями и временем (12) и

u -> -/Xи,, р \Др, и' \/1и', р' VXp', с'1 \/1с~г. (20)

определяется операторами в'дв и d(ö'ß). В диаграммной технике при этом отсутствуют все вершины взаимодействий, пропорциональные положительным степеням нулевого в магнитной точке заряда А, а в диаграммах отсутствуют линии < w >о и < v9 >о - типов.

Скейлинговые представления для функций, содержащих нечетное число полей в, а также для статических функций содержат дополнительную малость ).

В отличие от кинетического режима, здесь при любых значениях Ма, параметры, связанные со сжимаемостью жидкости, не проникают в инерционный интервал и а скейлингорой области существенно не влияют на турбулентное поведение в магнитной гидродинамике.

Основные результаты диссертации опубликованы в следующих работах:

1. Ворин В.Ф., Волченков Д.ГО. // Вестник СПбГУ, серия 4, Физика, химия, Вып. 2 (JV°11), с. 55-6.1.

2. Волченков Д.Ю., Налимов M.IO. // Теор. и мат. физика, т. 106, №3, стр. 375-389.

3. Аджемян Л.Ц., Волченков Д.Ю., Налимов М.Ю. // Теор. и мат. физика, т. 107, iV°l, стр. 142-154.

4. Волченков Д.Ю. // Препринт SPbU-IP-96-4, Санкт-Петрбург, СПб-ГУ, март 1996.

5. Волченков Д.Ю. // Препринт SPbU-lP-96-7, Санкт-Петрбург, СПб-ГУ, апрель 1996. '

Цитируемая литература

[1] Монин A.C., Яглом A.M. Статистическая гидромеханика. Т.2. М.: Наука, 1967.

[2] Аджемян Л.Ц., Васильев А.Н., Письмак Ю.М.// ТМФ. 1983. Т.57. N2. С.268-281.

[3] Ландау Л.Д., Лифшиц K.M. Теоретическая физика, т. VJII. Электродинамика сплощных сред, 1992, М. "Наука".

[4] Аджемян Л.II., Васильев А.Н., Гнатич М.// Теор. и мат. физика, 1985, т. 64, jV° 2, с. 196.

[5] Аджемян Л.II., Налимов М.Ю., Степанова М.М. // ТМФ. 1995. Т.104. N2., С. 260-270.

Подписано к печати 18.04.9fir. Заказ 052. Тираж 70 экз. Объем 1 п.л. Печ.-множ. лаб. НИИХ СПбГУ. 198904, Санкт-Петербург, Ст.Петергоф, Университетский пр.2.

if,