Асимптотика высоких порядков квантово-полевых разложений в модели Обухова-Крейчнана с "замороженным" полем скорости тема автореферата и диссертации по физике, 01.04.02 ВАК РФ

САНКТ-ПЕТЕРБУРГСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ УНИВЕРСИТЕТ и УЧРЕЖДЕНИЕ РОССИЙСКОЙ АКАДЕМИИ НАУК ИНСТИТУТ АНАЛИТИЧЕСКОГО ПРИБОРОСТРОЕНИЯ РАН

на правах рукописи

48488

КРЕМНЕВ Илья Сергеевич

АСИМПТОТИКА ВЫСОКИХ ПОРЯДКОВ КВАНТОВО-ПОЛЕВЫХ РАЗЛОЖЕНИЙ В МОДЕЛИ ОБУХОВА-КРЕЙЧНАНА С «ЗАМОРОЖЕННЫМ» ПОЛЕМ СКОРОСТИ

Специальность 01.04.02 —теоретическая физика

АВТОРЕФЕРАТ диссертации на соискание ученой степени кандидата физико-математических наук

Санкт-Петербург - 2011 ^ ЧЮН 2011

Работа выполнена на кафедре статистической физики физического факультета Санкт-Петербургского государственного университета и в Учреждении Российской академии наук Институте аналитического приборостроения РАН

Научный руководитель: д.ф.-м.н., проф. НАЛИМОВ Михаил Юрьевич

Официальные оппоненты:

д.ф.-м.н., проф., СПбГУ, Физический факультет, каф. Физики высоких энергий и элементарных частиц АНТОНОВ Николай Викторович

к.ф.-м.н., с.н.с., Физико-технический институт им. А.Ф. Иоффе РАН КТИТОРОВ Сергей Андреевич

Ведущая организация:

Учреждение Российской академии наук Сапкт - Петербургское отделение Математического института им. В.А. Стеклова РАН

Защита состоится " " Lff-ott~s 2011 г. в . часов на

заседании совета Д 212.232.24 по защите докторских и кандидатских диссертаций при Санкт-Петербургском государственном университете по адресу: 199034, Санкт-Петербург, Средний пр., д. 41/43, ауд. ^

С диссертацией можно ознакомиться в библиотеке Санкт-Петербургского государственного университета.

Автореферат разослан " ^ " _ллаМ_ 2011 г.

диссертационного совета д. ф.-м. н., профессор

Ученый секретарь

Щекин А. К.

ОБЩАЯ ХАРАКТЕРИСТИКА РАБОТЫ

Актуальность. Теоретическое описание развитой турбулентности часто называют последней нерешенной задачей классической физики. Большинство аналитических теорий турбулентности приходится рассматривать как полуфеноменологические модели в том смысле, что они не являются приближениями конечного порядка в некоторой регулярной теории возмущений по малому параметру для какой-либо последовательной микроскопической модели типа стохастического уравнения Навье-Стокса. В связи с этим изучаются упрощенные модели турбулентности, которые могут дать важную информацию о поведении реальных систем. Особую роль в этих исследованиях играют теории, описывающие перемешивание пассивного скалярного поля. Примерами таких моделей могут служить модели переноса пассивной скалярной величины случайным гауссово-распределенным полем скорости такие, как модель Крейчнана и исследуемая в диссертации модель Обухова-Крейчнана с «замороженным» полем скорости.

Методы квантовой теории поля могут применяться для различных физических систем, обычно с большим или бесконечным числом степеней свободы, например, они оказываются наиболее адекватными для описания критического поведения, развитой турбулентности, разнообразных моделей случайных блужданий и скейлинговых явлений в полимерах.

Квантово-полевые методы в большинстве своем основаны на теории возмущений по различным параметрам, например, по постоянной тонкой структуры а » 1/137 в квантовой электродинамике. Вычисленные к настоящему времени первые 3-4 порядка теории возмущений по а определяют физические наблюдаемые со все улучшающейся точностью. Установлено, что в большинстве случаев ряды квантово-полевой теории возмущений носят асимптотический характер. Одна из основных трудностей теории турбулентности состоит в том, что обычная теория возмущений - разложение по нелинейности для стохастического уравнения Навье-Стокса - является фактически разложением по числу Рейнольдса, т.е. параметру, стремящемуся к бесконечности для развитой турбулентности. В этой ситуации после-

дующие члены разложений оказываются порядка или даже больше предыдущих, и необходима общая информация о поведении рассматриваемых рядов. Такая информация может быть получена путем исследования асимптотики высоких порядков разложений (АВП). АВП может дать информацию о положении и характере особенности исследуемых функций: радиус сходимости, тип особенности. Для определения АВП квантово-полевых разложений используется инстантонный анализ, который сводится к исследованию асимптотики функционального интеграла методом перевала. Для асимптотических рядов развиты разнообразные схемы пересуммирования, в большинстве своем основанные на преобразовании Бореля.

Актуальность задачи обусловлена как практической значимостью, так и теоретическим интересом. Цели работы

1. Анализ типов полевых переменных в задачах динамики и выделение наиболее удобного для использования при исследовании методом ин-стантонного анализа асимптотик высоких порядков квантово-полевых разложений.

2. Изучение свойств рядов теории возмущений модели Обухова-Крейчна-на с «замороженным» полем скорости.

3. Развитие метода инстантонного анализа для исследования асимптотик высоких порядков констант ренормировки модели Обухова-Крейчнана с «замороженным» полем скорости.

4. Исследование предела сильной связи модели Обухова-Крейчнана с «замороженным» продольным полем скорости.

Научная новизна. В диссертации получены следующие новые результаты:

1. На примере простой динамической модели произведен анализ, позволяющий выбрать наиболее удобный тип полевых переменных для вычисления асимптотик высоких порядков динамических моделей.

2. Построено семейство инстантонов модели Обухова-Крейчнана с «замороженным» полем скорости и явно предъявлен один из них.

3. Опровергнуто широко распространенное утверждение о том, что тип сходимости ряда определяется числом диаграмм в высоких порядках теории возмущений. Показано, что тип сходимости зависит от выбранного представления и поведения коррелятора.

4. Вычислены асимптотики высоких порядков разложений констант ренормировки модели Обухова-Крейчнана.

5. Определена асимптотика сильной связи модели Обухова-Крейчнана с «замороженным» продольным полем скорости и вычислен «инвариантный» коэффициент диффузии.

Практическая и теоретическая ценность. На основе анализа простой динамической модели в диссертации приведен сравнительный анализ полевых переменных MSR и лагранжева формализмов в задачах динамики. Показано, что при возможности введения рационально использовать формализм Лагранжа.

В диссертации получил дальнейшее развитие инстантонный анализ. На примерах моделей Обухова-Крейчнана с пространственно однородным и «замороженным» полями скорости доказано, что подход к определению поведения асимптотик высоких порядков разложений по количеству диаграмм в данном порядке ряда теории возмущений является неверным и необходимо вычислять асимптотики в каждом конкретном случае.

Вычисленные в диссертации асимптотики высоких порядков функции отклика и констант ренормировки модели Обухова-Крейчнана могут быть использованы в процедуре пересуммирования рядов теории возмущений этих параметров модели.

Методом инстантонного анализа в диссертации определена асимптотика сильной связи константы ренормировки Zv. Полученный результат позволяет использовать уравнение ренормализационной группы для исследования ИК асимптотик корреляционных функций модели, в которой нет ИК устойчивой фиксированной точки.

Объем и структура диссертации. Диссертация состоит из введения, 4-х глав, выносимых на защиту положений, трех приложений. Диссерта-

ция содержит 112 страниц текста, в том числе список литературы из 119 названий.

Апробация работы. Основное содержание диссертации доложено на следующих российских и международных научных конференциях: International Conference on «Renormalization Group and Related Topics» (RG 2008), Dubna, Russia, September 1 - 5, 2008; Международный семинар «Фо-ковские чтения: современные проблемы физики», г. Санкт-Петербург, 2223 декабря 2008.

Личный вклад автора. Во всех совместных публикациях автор принимал участие в постановке задач и обсуждении результатов. Им лично проведены все расчеты исследуемых асимптотик.

Публикации. По теме диссертации опубликовано три статьи в реферируемых журналах. Список публикаций приведен в конце автореферата.

СОДЕРЖАНИЕ РАБОТЫ

Во введении сформулированы актуальность, цель и задачи работы, приведен обзор литературы по изучаемой проблеме, описаны методы, используемые при исследовании асимптотик высоких порядков квантово-полевых разложений, рассмотрена исследуемая в диссертации модель Обу-хова-Крейчнана с «замороженным» полем скорости.

В первой главе диссертации на основе простой динамической модели проведен анализ, позволяющий выбрать переменные наиболее удобные для расчетов методом инстантонного анализа в задачах динамики.

Была исследована АВП «нульмерной» стохастической динамической модели

dt<p{t) + gV(tMt) + Mt) = (1)

ip(t) - основное поле, - случайная сила, V(t) - случайное поле - аналог поля скорости и д - константа связи, v - аналог вязкости. В отличие от более реалистичных моделей, поля <p(t), £(£), V(t) в модели (1) не зависят от координат. Для случайных полей £ и V подразумеваются гауссовы распределения с J-образными по времени корреляторами Dy соответственно, уравнение (1) дополнено заданным нулевым начальным условием,

<+>\-оа — 0. Данная модель является точно-решаемой, ее функция отклика в произвольном внешнем поле V и АВП функции отклика, соответственно,

Gv(ti,t2) = e(T)exp[-g f dt'V(t')-uT], T = h-t2, (2)

•Ai

G(t! - t2)M = ^-(DyT^N-^e^e-^. (3)

y/TT

Показано, что в модели (1) инстантонный анализ приводит к ломаным экстремалям. Точки изломов зависят от исследуемых функций Грина модели.

Стандартный MSR формализм приводит к выражению для производящего функционала функции Грина G(ti —t2) = (ffi') модели (1) в виде

G(tut2) = (<p(tiW(t2 ))V=X~1 J DV J DipDip' ip(ti)ip' (t2)es,

S = —VD^V + <p'(dt<p + gV<p + vip) +

N - нормировочный множитель. N-ii член ряда квантово-полевой теории возмущений выделяется с помощью формулы Коши

G(u) = ±GlV, Gm = ^fmidu.

Интегрирование ведется по замкнутому контуру в комплексной плоскости, охватывающему ноль. Было показано, что в MSR переменных инстантон не существует. Включение предэкспоненциального фактора в действие дает N-й член разложения функции отклика

GW(ti,t2) = JovJ D<pD<p>eS-N^,

S — S + Inip(ti) + \ntp'(t2). Показано, что система уравнений стационарности для действия S — N In д дает АВП функции отклика, совпадающую с точностью до константы по N при больших N с точным ответом (3).

В соответствии с методом перевала рассмотрена зависимость от параметра N флуктуационного интеграла, т.е. интеграла по отклонениям переменных <р', <р, V, д от их стационарных значений:

/ D(6V)D(6tp)D(6y')d(6g)eAs

J DVDipD<p'es(9=o)

Разбив функциональный интеграл на произведение интегралов по функциям с носителями, сосредоточенными на интервалах t < t2, £2 < t < 11, t > t\ и рассмотрев каждый из интервалов независимо, нам удалось вычислить его точно - он оказывается константой по времени и, тем самым, определяет лишь независящую от N амплитуду АВП разложений. Таким образом, доказано, что окончательное выражение для асимптотики согласуется с результатом, полученным путем разложения точного решения.

В конце главы приведено вычисление АВП данной модели в лагран-жевых переменных. В выражении (2) Jt* dt'V(t') играет роль лагранжевой переменной. Выделение iV-ro порядка разложения функции отклика с помощью формулы Коши дает

GW{tlM) = Q{T)^:e-^ jdj- J DVes,

OO tl

s_ J _m£xnndT^jv(T)dT.mTLg.

— OO t2

Полученный решением уравнений стационарности инстантон с учетом тривиального вычисления флуктуационного интеграла дает асимптотику, совпадающую с полученной при использовании MSR-переменных.

В этой главе показано, что в задачах динамики расчеты целесообразно выполнять в лагранжевом формализме.

Во второй главе исследована АВП модели Обухова-Крейчнана с «замороженным» полем скорости. Эта модель описывает диффузию жидкости в стационарном случайном поле.

Распространение пассивной скалярной примеси в ci-мерной вязкой сжимаемой жидкости происходит посредством диффузии и турбулентного перемешивания случайным полем скорости и в рамках модели Обухова-Крей-чнана описывается стохастическим уравнением

dtv(x, t) + ffV(V(x, t)<p(x, t)) - i>AV(x, t) = £(x, t), (4)

здесь <p(x, t) - скалярное поле примеси, V(x, t) - случайное векторное поле скорости, £(х, t) - искусственно вводимая гауссово-распределенная с нулевым средним и произвольным коррелятором D$ случайная сила (шум, например, если tp - соответствует флуктуациям температуры, то £ представляет мощность нагревателей), v - коэффициент диффузии, д - константа связи. Стандартная теория возмущений приводит к рядам по константе взаимодействия д, свойства которых представляют интерес. Коррелятор поля скорости здесь, в отличие от стандартной модели Крейчна-на, не зависит от времени (Vj(x,i)Vj(x',t')) = Dij(x — x'), так что число диаграмм теории возмущений растет факториально. Рассмотрен случай анизотропного случайного поля скорости с дальнодействием с корреляциями, спадающими по степенному закону в импульсном пространстве 1 /q2a. В координатном представлении ■Djj(z) = aiSij/z2'3 + a,2ZiZj/z2l3+2, P = d/2 — a = 1 — e/2.

Для контроля результатов и апробации расчетов в этой главе рассмотрен случай пространственно однородного случайного поля скорости. Приведен расчет АВП функции отклика этой модели в пространственно-временном и импульсно-частотном представлениях. Доказано, что, не смотря на факториальный рост числа диаграмм с ростом порядка ряда теории возмущений, в пространственно-временном представлении ряд сходится с конечным радиусом сходимости. Сходимость ряда существенно зависит от выбранного представления. Описанный в этом разделе частный случай опровергает подход, в котором тип сходимости ряда оценивается числом диаграмм теории возмущений.

Стохастическое уравнение (4) с помощью MSR - формализма стандартным образом преобразуется к квантово-полевой модели со следующими

функцией отклика и действием:

/ЪуЪу' p(xi, t1)ip'{x2,t2)exp(5msr)

/D<piyexp(S™sr|s=o)

Smsr = + ip' [t%ч> + gZgV{Vv) ~ vZv Ду>].

Ренормировка модели осуществляется посредством введения ренормиро-вочных констант Zg и Zv. Объектом исследования теперь становятся корреляционные функции. В MSR представлении функция отклика имеет вид

fWGve"Vi(x)D«1(x"x')v,'(x')/2 Ся s< ^ЪМЖЪМ) >Я= J/We-viWDr.'(x-x,vj(x>)/2 • (5)

Перейдя к переменным Лагранжа и выполнив необходимые для использования метода перевала растяжения в действии, получим для TV-го порядка разложения функции отклика

c(ta)=0

= [ ScDc'e-

N 2тгг J и J

c(ti)=0

«2 t3 s = J dr( - 1/c'2 + ic'drC - £cj(r) J dTlDiJ(c(T) - c(r'))c;(r')) - lnu, tl tl К - нормировочный множитель, T = t2 —1\, и = g2. Основной вклад в действие при N —> оо дает область интегрирования в окрестности инстантона. Поскольку симметрия задачи нарушается только вектором х, считаем вектора с, с' и х коллинеарными. Тогда коррелятор скорости принимает вид -D(x) = Д)/|х|2^, Do = а\ + а2. Условие стационарности в данной модели - нелинейная система интегро-дифференциальных уравнений, из которой найден интеграл движения: -vd2 + ic'dTc = iF, где F - интеграл движения. Разным значениям F соответствуют различные граничные условия на поле с (различные х). Оказалось возможным решить обратную задачу: зафиксировав интеграл движения F — 0, мы построили частное решение

с граничным условием хо, соответствующее ему. Тогда асимптотика больших N величины G^(\/Nxo) определяется соотношением

gW(VNx0,T) ~ (6)

ust

где Nw возникает вследствие растяжений переменных интегрирования и флуктуационного интеграла. Для ненулевых значений интеграла движения F задача может быть решена только численно.

Функция отклика G(x, t) имеет существенно неравномерную асимптотику разложений рядов, поскольку из-за проведенного растяжения переменной х, определена лишь асимптотика больших N величины G'^V^Vx) (6). Иными словами, (6) означает, что величина G'N'(yo = VNxq, t) является функцией от yo/V~N, t и N. Поэтому полученная асимптотика может оказаться неприменимой в области очень больших или очень малых уо, где, вообще говоря, требуются специальные исследования.

Обсуждать сходимость рядов теории возмущений удобнее для числовых объектов или интегральных характеристик, в которых не проявляется указанная выше неравномерность. Примером такого объекта является функция S(T,7) = f dxG(x,T) ехр(—-ух2) - производящий функционал четных моментов функции отклика.

В конце главы произведен расчет АВП функции отклика модели Обухо-ва-Крейчнана с пространственно однородным случайным полем скорости. Точно решаемый частный случай иллюстрирует расчеты и подтверждает полученные результаты.

В третьей главе диссертации поведен инстантонный анализ констант ренормировки модели Обухова-Крейчнана.

Ренормировочные константы связаны с производными составных операторов следующим образом

тг;—^т = Zu д [ dxodtaGv д,

Cl(tl)=Xl, C2(t2)=X2,

G„0 =- 1 ==- I DcxDczDc'^Dco IVQes.

K^iVte-ioXfo-ti))" J

Cl(to)=C2(to)=X0

Действие S имеет вид

S = -iq(x2 - xi) - uZu(c'? + c'i) + ic^dci + ic'2dc2 + ZUSU, (7) нелинейная часть действия собрана в слагаемое

Su = - I (с'н (П ) А, (С! (п ) - С1 (гО)с'ц {т[ ) +

+ 4(^2)Aj(с2(т2) - C2(^))c'2j(т^) + 2с'н£^(с1 - c2)c'2j), и = 52.

На этапе поиска инстантона предэкспоненциальные факторы Iv>g несущественны, поэтому последующая часть анализа одинакова для обеих констант ренормировки.

Константа ренормировки содержит полюса по е при е —> 0, которые должны устранять расходимости модели. Мы используем схему минимальных вычитаний (MS). Корреляционная функция с составным оператором G содержит всю информацию о полюсах константы ренормировки Z.

Для использования метода перевала, был вынесен большой параметр из действия. Рассматриваемое действие теории сингулярно по е вследствие присутствия констант Zv, Zg в действии, а также степенного поведения коррелятора D. Известно, что соответствующие сингулярности могут корректно рассматриваться лишь в рамках теории возмущений и должны быть вынесены в предэкспоненту перед вычислением инстантонного вклада. Таким образом, экспоненциальный член составного оператора должен быть представлен в форме

оо 1

ехр(5) = exp(5Ves + SSing) = exp(Sreg) ^ — (Ssing)p, (8)

р=о Р'

где Sreg = S{ZV = 1, = 1), Ssing = -v{Z„ - l)(c'? + d\) + {Zu -1 )SU. Теперь только Sreg определяет инстантон. Решив спроецированные на вектор х уравнения стационарности по с^с^сг,^, мы аналогично результатам главы 2 получили первый интеграл движения

dcCli0==W) ~iuc'l{0' 1 = 1,2

Аналитически систему уравнений стационарности удается разрешить только для граничных условий на cj, С2 определенных соотношением F = 0. Исходная задача состоит в расчете F по граничным условиям, определяемыми переменной х(Т) = хг — xi и последующим построении инстантона. Нами же получен ответ в частном случае с конкретным значением |х|. Независимость констант ренормировки от импульса q позволяет выбором Я — % = выполнить расчеты аналитически для произвольного

F. Действие S (7) в точке стационарности _ . uD0x£st uD0x£st

b$t = —MJaXst--гт;-г =--о-j xst ~ стационарное значение х.

иге[1—£) Vz£

После перехода в импульсно-частотное представление и решения уравнения стационарности для константы связи получена АВП составного оператора

Множитель C{e)Np появляется из предэкспоненты и флуктуационного интеграла по константе связи, р - константа, Р(е) - известная функция. Простые полюса по с могут появиться при умножении высших полюсов пред-экспоненциального множителя Ssing на регулярные по Ns вклады экспо-ненциЕипьного члена exp(5reg(e)). Таким образом, в выбранной схеме минимальных вычитаний все члены суммы за исключением р = 0 дают такой же вклад в результат, как и все коэффициенты разложения констант ренормировки. Избавившись от этих членов с помощью конечной ренормировки и исследовав АВП lnG(u) методом реплик, получим

res In Z = ConstNConsiKn /N\, N -» oo, (9)

где Kq - числовая константа. Вычисление Const в этой формуле не может быть произведено без явного вычисления функционального интеграла, но эта задача выходит за рамки диссертации.

Таким образом, асимптотическая форма (9) доказывает, что исследуемые ряды имеют конечный радиус сходимости.

В принципе, функция In Z может содержать сингулярности, которые лежат внутри найденного радиуса сходимости, однако соответствующие вклады принципиально находятся вне рамок метода перевала в функциональном интеграле.

В четвертой главе была исследована асимптотика сильной связи модели Обухова-Крейчнана с «замороженным» полем случайной скорости.

Логарифмы констант ренормировки определяют 7-функции - коэффициенты уравнения РГ, а их значения в ИК-устойчивой фиксированной точке и» ~ г позволяет получить скейлинговые размерности параметров теории. Однако для рассматриваемой модели (4) с продольным коррелятором скорости известно, что независимо от порядка теории возмущений для /3-функции справедливо /3 = —ей (откуда 7„ = еиди \nZv). Следовательно, в модели отсутствует ИК устойчивая фиксированная точка, инвариантный заряд в ИК асимптотике стремится к бесконечности. Часто в таких случаях принято говорить, что в системе имеет место фазовый переход первого рода, и РГ подход неприменим. В рассматриваемом случае уравнение РГ определяет инвариантный коэффициент диффузии Р как

где й - инвариантный заряд, s = q/fi, ц - ренормировочная масса, t = Ins, t -» —00 в ИК области. Учитывая определение инвариантного заряда dtu = /3(й) и начальное условие u\t=o = и, данное выражение может быть приведено к виду

При q —»■ у (т.е. при |<| —> 0) инвариантный коэффициент диффузии совпадает с обычным, В диссертации исследуется область малых импульсов, когда й —» оо. Вследствие 7„(и) ~ и при малых и, подынтегральное выражение (10) не расходится, поведение Р определяется асимптотикой 7„ при больших и, т.е. так называемой асимптотикой сильной связи. Исследование асимптотики константы Zv при больших значениях константы связи и проведено методом инстантонного анализа и принципиально отличаются

(10)

от расчетов главы 3 только тем, что нужно в действии положить и = 1 и исключить интегрирование по и. Доказано, что исследуемый вычет resZ„ ведет себя как константа при и —> оо. Следовательно, (и) стремится к нулю в исследуемой асимптотике.

Таким образом, в ИК пределе выражение (10) демонстрирует следующее поведение

Итак, наблюдается конечный скачок коэффициента диффузии на величину Ай = v — г/|ч=о при стремлении импульса q —>• 0. Отметим здесь некоторое сходство с фазовым переходом первого рода, в котором величина и в некотором смысле играет роль параметра порядка, а точке фазового перехода соответствует ИК предел.

В заключении диссертации перечислены основные полученные результаты.

Основные результаты диссертации опубликованы в работах:

1. Кремнев И. С., Налимов М. Ю., Сергеев В. А. Инстантонный анализ в простой динамической модели: ломаные экстремали // Вестн. С.-Петерб. ун-та. Сер. 4: Физика, химия. - 2007. - Т. 4. - С. 30-37.

2. Комарова М. В., Кремнев И. С., Налимов М. Ю. Семейство инстантонов модели Крейчнана с замороженным полем скорости // ТМФ. - 2009. - Т. 158, № 2. - С. 200-213.

3. Комарова М. В., Кремнев И. С., Налимов М. Ю. Модель Крейчнана с «замороженным» полем скорости: инстантонный анализ констант ренормировки и предела сильной связи // Вестн. С.-Петерб. ун-та. Сер. 4: Физика, химия. - 2009. - Т. 4. - С. 362-372.

4. Komarova М. V., Kremnev I. S., Nalimov М. Yu. Convergence of perturbation series for renormalization constants in Kraichnan model with «frozen» velocity

v —> Const = v exp

(I

•oo

field 11 ArXiv e-prints. - 0911.4673 - 2009. - nov.

Подписано в печать 03.05.2011г. Формат 60x84 1/16. Бумага офсетная. Печать офсетная. Усл. печ. л. 1,0. Тираж 100 экз. Заказ № 2036.

Отпечатано в ООО «Издательство "JIEMA"» 199004, Россия, Санкт-Петербург, В.О., Средний пр., д. 24 тел.: 323-30-50, тел./факс: 323-67-74 e-mail: izd_lema@mail.ru http://www.lemaprint.ru

Введение

0.1. Турбулентность.

0.2. Метод ренормализационной группы.

0.3. Теория возмущений.

0.4. МЭИ формализм.

0.5. Инстантонный анализ.

0.6. Описание модели Обухова-Крейчнана с «замороженным» полем скорости.

0.7. Структура диссертации.

ГЛАВА 1. Выбор полевых переменных

1.1. Инстантонный анализ в простой динамической модели: ломаные экстремали.

1.1.1. Точное решение, МБЯ переменные.

1.1.2. Инстантонный анализ.

1.1.3. Флуктуационный интеграл.;.

1.2. Переменные Лагранжа

ГЛАВА 2. Семейство инстантонов модели Обухова-Крейчнана с «замороженным» полем случайной скорости

2.1. Модель Обухова-Крейчнана с постоянным полем скорости: точно решаемый частный случай.

2.2. МЗЯ-формализм.

2.3. Формализм Лагранжа.

2.4. Инстантонный анализ.

2.5. Существование и явный вид инстантона.

2.6. Иллюстрация метода в точно решаемом случае

ГЛАВА 3. Модель Обухова-Крейчнана с «замороженным» полем случайной скорости: инстантонный анализ констант ренормировки

3.1. Асимптотика высоких порядков констант ренормировки

3.2. Инстантонный анализ.

3.3. Частное решение.

3.4. Выделение простых полюсов по £.

3.5. Метод реплик.

ГЛАВА 4. Модель Обухова-Крейчнана с «замороженным» продольным полем случайной скорости: инстантонный анализ предела сильной связи

4.1. Асимптотика сильной связи в модели с продольным коррелятором скорости.

4.2. Выводы.

Выносимые на защиту основные положения диссертации

0.1. Турбулентность

Типичный пример турбулентности - течение жидкости по трубе с заданным перепадом давления Ар на ее концах: при малом Ар течение плавное («ламинарное»), с ростом же Ар при переходе через некоторое пороговое значение АрПор плавное течение теряет устойчивость и в жидкости появляются хаотические завихрения, интенсивность которых возрастает с ростом Ар. Одновременно усложняется структура потока жидкости: характерным размером впервые появляющихся вблизи порога вихрей является некоторый «внешний масштаб» системы Ьтах (в приводимом примере -диметр трубы), с ростом Ар эти первичные крупномасштабные вихри дробятся на все более мелкие. Режиму развитой турбулентности соответствует Ар > > А^пор • Тогда в системе одновременно присутствуют турбулентные и вихри всевозможных размеров от внешнего масштаба Ьтах до «диссипа-ционной длины» ЬтгП, для которой становится существенным затухание вихрей из-за вязкого трения. В стационарном режиме вся энергия, поступающая в систему от создающего градиент давления внешнего источника, в конечном счете, превращается в тепло из-за диссипации энергии для мелкомасштабных вихрей.

В общем случае роль Ар/АрПор играет безразмерный параметр - число Рейнольдса Ие = уЬтах/]у, где V - характерная средняя скорость течения, £/тах внешний масштаб, и - кинематическая вязкость среды.

При наличии турбулентности полное поле скорости х) представляется в виде суммы = г>(£, х) + х), где £ - время, х 6 - координата в ¿-мерном пространстве, х) - плавная ламинарная составляющая скорости, ф{Ь, х) - сравнительно малая стохастическая (пуль-сационная) составляющая. Предметом исследования теории турбулентности являются статистические характеристики случайного поля</?(£,х), т.е. его корреляционные функции и различные функции отклика. Вблизи порога, когда число Рейнольдса Re немного превышает пороговое значение Re пор? структура впервые появляющихся турбулентных вихрей с характерным размером Lmax определяется всей геометрией задачи (см. [1]), т.е. в этой ситуации турбулентность помнит детали глобального устройства системы. Задачи такого типа решаются индивидуально для каждой конкретной системы.

Существенно упростить задачу можно в случае развитой турбулентности, когда Re » Re пор и Lmax » Lmin. Тогда существует чётко выраженный инерционный интервал расстояний Lmax » L » Lmin, и можно говорить о корреляционных функциях поля cp(t, х) на таких масштабах. Поскольку характерным масштабом ламинарной составляющей скорости потока является Lmax, то на расстояниях L « Ьтах мы полагаем v(t: х) = const. Таким образом, при изучении структуры турбулентного потока на таких масштабах можно игнорировать нетривиальное глобальное устройство изучаемой системы, постоянную же скорость v(t, х) можно устранить переходом в соответствующую систему координат. Это приведет к задаче об однородной изотропной турбулентности, в которой все поле скорости V(t,x) отождествляется с его стохастической составляющей (p{t, х), а источником поступления энергии считаются первичные крупномасштабные вихри.

Развитая турбулентность экспериментально наблюдается как для жидкостей, так и для газов и подчиняется единым закономерностям. Поскольку характерная скорость турбулентных пульсаций в реальных условиях гораздо меньше скорости звука, при описании турбулентности можно пренебречь сжимаемостью среды и считать векторное поле скорости поперечным.

Обычно [2] в качестве микромодели однородной изотропной развитой т.е. большие числа Рейнольдса) турбулентности несжимаемой жидкости (газа) используют стохастическое уравнение Навье-Стокса

Vtf>i(x, t) = vA(pi(pc, t) - diP(y:, t) + &(x, t), Vt s= dt + (</?£), (1) где cp - поперечное (следствие несжимаемости) векторное поле скорости (dtp = dk^fk — 0), г/ - кинематический коэффициент вязкости, р(х, t) и £(х, i) - давление и поперечная внешняя случайная сила в расчете на единицу массы, Vi - галилеево-ковариантная производная. Для £ предполагается гауссово распределение с нулевым средним и заданным коррелятором < fi(x, ¿)£s(x'> >= Да(х, i; х', ¿') следующего вида

Дя(х, = |dq^s(q)iV(q)e^(x-x'), (2) где Pis(q) = dis — QiQs/Q2 ~ поперечный проектор, d- размерность пространства х (и q), N(q) - некоторая «функция накачки», зависящая от |q| и от параметров модели.

Случайная сила £ в уравнении (1) феноменологически моделирует сто-хастичность (которая в реальных условиях должна возникать спонтанно как следствие неустойчивости ламинарного течения) и одновременно накачку энергии в систему от взаимодействия с крупномасштабными вихрями. Средняя мощность накачки энергии (количество энергии, поступающее за единицу времени на единицу массы) связана с функцией N(q) в (2) соотношением

W = [(d - 1)/2(2тг)Ч J dqW(q). (3)

В критической динамике вид коррелятора случайной силы в уравнениях Ланжевена выбирается требованием взаимной согласованности динамики и статики. Стохастическое уравнение Навье-Стокса не относится к этому классу, поэтому здесь нет однозначного правила выбора этого коррелятора.

В РГ-теории турбулентности его выбирают, руководствуясь, с одной стороны, физическими соображениями, с другой, - чисто техническими. Физические соображения состоят в том, что реалистическая для данной задачи накачка должна быть инфракрасной, т.е. основной вклад в интеграл (3) должен порождаться областью малых импульсов д ~ т = 1/Ьтах (накачка энергии крупномасштабными вихрями). С другой стороны, для использования стандартной квантовополевой техники РГ важно, чтобы функция Л^д) в (2) имела степенную асимптотику при больших к. Последнему условию удовлетворяет в частности функция где е > 0 - независимый параметр модели.

В РГ теории критического поведения критические индексы представляются в виде рядов по параметру £ = 4 — й - отклонению размерности пространства (I от верхней критической размерности (1 = 4, выше которой критическое поведение тривиализуется. Важным отличием турбулентности (а точнее говоря, стохастического уравнения Навье-Стокса) является отсутствие верхней критической размерности, и параметр разложения £ в теоретико-полевом РГ-подходе имеет совершенно иной физический смысл - этот параметр никак не связан с размерностью пространства, а характеризует «степень отклонения от логарифмичности». Модель становится логарифмической при £ = 0, а реалистической при е > 2.

В большинстве работ по РГ-теории турбулентности используется более простая чисто степенная функция накачки соответствующая т = 0 в (4). Такой выбор допустим, если интересоваться лишь проблемой обоснования ИК-скейлинга и соответствующими критиче Ах?4-V + ш2)-£,

4)

N(q) = Д)?

4—2е

5) скими размерностями (которые при любой накачке не должны зависеть от т), а прочие объекты типа скейлинговых функций вычислять по диаграммам только в форме е - разложений. Тогда переход к задаче т — 0 непротиворечив, так как коэффициенты ^-разложений диаграмм имеют пределы при т —> 0.

Физическое значение е = 2 отвечает накачке вихрями бесконечно большого размера. При этом размерность пространства (I остается свободным параметром и может изменяться независимо от е. Общей чертой с моделями критического поведения является то, что предел е —> 0 соответствует логарифмической (точно ренормируемой) теоретико-полевой модели, а ультрафиолетовые (УФ) расходимости проявляются как полюса пое в диаграммах теории возмущений. По этой причине, мы используем тот же символ е и для стохастического уравнения Навье-Стокса; в литературе он иногда обозначается как £ — у/2 [3].

Результаты РГ-подхода к модели (5) внутренне непротиворечивы и надежны при асимптотически малых е, тогда как возможность их экстраполяции к физическому (не малому) значению £ = 2 далеко не очевидна. Разумеется, физическое значение £ = 4 — (1 = 1в теории критических явлений также отнюдь не мало. Но там нет конкретных оснований ожидать появления каких-либо качественных изменений в поведении системы при увеличении £ из области малых значений е « 1 к реальным конечным £ ~ 1, так что возможность такой экстраполяции обычно не подвергается сомнению.

Для стохастического уравнения Навье-Стокса с накачкой (5) ситуация заведомо более сложная. Новые качественные эффекты возникают с ростом 5, и они легко могут быть потеряны, если е-разложение используется некритично или неосторожно. Один из них, возникающий прие > 3/2, связан с известным явлением переноса турбулентных вихрей как целого вихрями существенно больших размеров. Это приводит к сильной зависимости корреляционных функций скорости от внешнего (интегрального) масштаба турбулентности Ьтах, исчезающей лишь в галилеево-инвариантных величинах (например, в одновременных структурных функциях). Другой ожидаемый эффект - переход (кроссовер) при некотором (пока неизвестном) значении е от колмогоровского скейлинга (теории «К41») к так называемому аномальному скейлингу (мультискейлингу) - сингулярной зависимости галилеево-инвариантных корреляционных функций от масштаба ЬтаХ1 характеризующейся бесконечным набором независимых показателей [4].

Подобные эффекты в РГ-подходе могут быть связаны с возникновением в соответствующих операторных разложениях так называемых опасных составных полей («составных операторов» в квантово-полевой терминологии), имеющих отрицательные критические размерности [5]. В модели (5) таковыми оказываются все операторы вида , степени поля скорости (р, при е > 3/2. Суммирование их вкладов в операторных разложениях, выполненное в [5], позволяет выйти за рамки простого е-разложения и дать адекватное описание вышеупомянутых эффектов переноса и связанных с ними сингулярностей при Ьтах —сю. Что касается аномального скейлинга в структурных функциях, то он, по-видимому, должен быть связан с существованием в модели (5) галилеево-инвариантных опасных операторов. Эта идея была успешно реализована в популярной модели Крейчнана, описывающей турбулентное перемешивание пассивного скалярного поля (температуры, концентрации примеси и т.п.) «синтетическим» гауссовым полем скорости с заданным коррелятором вида 5(Ь — ¿')/д^+е. Первоначально аномальные индексы в ней были вычислены в порядках 0( 1/с1) [6] и О(е) [7] в рамках так называемого метода нулевых мод (который можно рассматривать как некоторую разновидность метода уравнений самосогласования). В РГ-подходе к модели Крейчнана, развитом в работе

8], аномальные показатели были отождествлены с размерностями опасных галилеево-инвариантных операторов, а именно, степеней локальной скорости диссипации скалярных флуктуаций. Это позволило построить для них систематическое разложение по показателю е и выполнить практические вычисления в порядках е2 [8] и £3 [9].

Однако, реализовать подобную программу для стохастической модели с накачкой (5) пока оказалось невозможным. Дело в том, что в отличие от модели Крейчнана, критические размерности всех галилеево-инвариантных составных операторов при малых е в ней строго положительны. Если некоторые из них и становятся отрицательными при некоторых конечных значениях е ~ 1, этот факт нельзя надежно установить в рамках е-разложения, так как известны лишь один-два члена ряда по е и лишь для немногих операторов (несколько размерностей известно точно, но все они при £ <2 остаются положительными [10]).

Гораздо более многообещающей представляется идея построения теории возмущений по обратной размерности пространства 1 высказанная в различном контексте и в разной форме в ряде работ [11, 12, 13, 14, 15, 16]. Ожидается [12], что в пределе (I —оо задача упростится и, возможно, окажется точно решаемой (например, аномальный скейлинг исчезнет и теория «К41» станет справедливой), так что ее можно будет использовать как нулевое приближение систематической теории возмущений с малым параметром 1/с/ (добавим, что для реальной трехмерной турбулентности он действительно мал: 1/^ = 1/3).

Аргументы в пользу исчезновения аномального скейлинга при <1 = оо, основанные на некотором замыкании уравнений для корреляционных функций, были приведены в работе [13]. Ранее это было обнаружено для упоминавшейся выше модели Крейчнана [11], причем в ней удается найти и аномальные показатели в порядке 0{1/(£) [6] (хотя построить систематическое разложение по 1 /d или хотя бы выполнить вычисление аномальных показателей в порядке 0(l/d?) пока не удалось).

Физическая картина однородной изотропной развитой турбулентности состоит в следующем: энергия внешнего источника поступает в систему от крупномасштабных вихрей с характерным размером Lmax. Затем она переносится по спектру (дробление вихрей) из-за нелинейности в уравнении (1) и в итоге начинает диссипировать на масштабах Lmin, на которых становится существенной роль вязкости. Из соображений размерности получим

Область диссипации (размеры вихрей порядка была описана Колмогоровым [2].

Развитая турбулентность характеризуется большими числами Рей-нольдса 104 — Ю6), а, следовательно (6), и наличием широкого инерционного интервала, определяемого неравенствами Ьт{п « Ь « Ьтах.

Существование инерционного интервала было предсказано Колмогоровым в работе [17] в 1941 году (уточнения по поводу выдвинутых Колмогоровым гипотез см. [18]). Развитая турбулентность в инерционном интервале изучалась множеством авторов (см., например, ссылки в [18, 19]).

Теоретическое описание развитой турбулентности пока остается в значительной степени нерешенной задачей. Проводятся исследования упрощенных моделей. Одними из наиболее характерных проблем являются обоснование в рамках микроскопической модели классической феноменологической теории Колмогорова-Обухова и исследование отклонений от нее, если таковые имеются (см. [2, 4]).

Известны как экспериментальные, так и теоретические свидетельства в пользу некоторых отклонений от предсказаний теории Колмогорова-Обухова. Они проявляются в сингулярной зависимости корреляционных тгп

6) функций от внешнего масштаба Ьтах с некоторыми нетривиальными степенными показателями (аномальный скейлинг, аномальные показатели). В рамках многочисленных моделей эти показатели связываются со статистическими свойствами локальной диссипации или с фрактальной размерностью структур, образуемых мелкомасштабными турбулентными вихрями. Как правило, такие модели носят полуфеноменологический характер, слабо связаны с исходными уравнениями гидродинамики и включают произвольные подгоночные параметры, так что остаются серьезные сомнения в универсальности показателей, да и в самом существовании отклонений от колмогоровского скейлинга.

Как численные, так и натурные эксперименты подсказывают, что отклонения от предсказаний классической теории Колмогорова-Обухова для переносимой турбулентным потоком скалярной величины (температуры турбулентной среды, концентрации примеси в турбулеР1тной атмосфере) проявляются еще сильнее, чем для самого поля скорости. В то же время эта задача оказывается более доступной теоретическому анализу: даже сравнительно простые модели, описывающие перемешивание «пассивной» (не оказывающей воздействия на поведение турбулентной жидкости) скалярной величины полем скорости с заданной статистикой, обнаруживают некоторые аномальные черты, свойственные реальному турбулентному переносу.

Тем самым проблема перемешивания пассивной скалярной величины, важная сама по себе (например, распространение загрязнений в турбулентной атмосфере или океане), может рассматриваться и как отправная точка при описании аномального скейлинга для развитой турбулентности в целом.

0.2. Метод ренормализационной группы

В настоящее время теория критических явлений достигла значительных успехов благодаря использованию идей ренормализационной группы (РГ). РГ-подход не только подтвердил феноменологические гипотезы подобия и универсальности [20], но и предоставил возможность вычисления различных величин, характеризующих поведение систем в критической области. Основополагающими для применения РГ в задачах статистической физики явились работы Вильсона [21, 22], хотя в квантовой теории поля аналогичная техника была известна существенно раньше: впервые существование группы ренормировок в квантовой теории поля было отмечено в работе [23], затем в [24] были использованы функциональные уравнения типа РГ для анализа ультрафиолетовых (УФ) асимптотик в квантовой электродинамике. В работах [25, 26, 27, 28] была установлена связь между результатами [23] и [24], впервые получены полные дифференциальные уравнения РГ и указан рецепт их практического использования в комбинации с расчетом РГ-функций (коэффициентов уравнения РГ) по теории возмущений. Впоследствии, в [29] и независимо в [30, 31] был предложен еще один вариант уравнений РГ, сформулированных в виде одного уравнения в частных производных для функции многих переменных. Дифференциальные уравнения [25] играют роль характеристической системы для уравнения [29, 30, 31]. Эти уравнения являются основой стандартной квантово-полевой техники РГ, в настоящее время, вслед за [32, 33], они используется и в статистической физике в большинстве работ, относящихся к критической теории.

Позднее был развит РГ подход к описанию критических динамических явлений: сперва в духе идеологии вильсоновских рекурсионных соотношений [34], а затем и в полевом MSR (MSR = Martin-Siggia-Rose) формализме удвоенного числа полей [35, 36, 37] было описано скейлинговое поведение в стохастических уравнениях Ланжевена. Эти методы позволили исследовать также другие многочисленные стохастические процессы, такие как разнообразные модели случайных блужданий (смотри, например, [38, 39]), стохастическую теорию развитой турбулентности [40, 41, 18](модели которой мы исследуем) и т.д.

Другим важным достижением Вильсона является предложенное им 4 — е-разложение [42, 43, 44], позволившее теоретико-возмущенческое вычисление РГ-функций. В основу данного разложения легла развитая также в квантовой теории поля идея размерной регуляризации [45, 46]. Кратко напомним схему построения 4 — е разложения. Для теории с параметром порядка, описываемым полем ф в стандартном гамильтониане Гинзбурга-Ландау, - разложенном в ряд по степеням ф и градиентам поля эффективном гамильтониане Н, ограничимся инфракрасно (ИК) существенными для критического поведения членами [47] и получим теорию:

5 = \д,фд,ф + ±тф2 + дфА (7) интегрирование по координате полей х и суммирования по повторяющимся индексам подразумеваются) в трехмерном пространстве. Использование квантово-полевой РГ естественно сопровождается применением языка квантовой теории поля: S - действие теории, оно же, как принято в статистической физике - гамильтониан типа Гинзбурга-Ландау (с точностью до 1/(кТ): S = Н/(кТ)), или действие MSR - типа (для стохастических уравнений, см. п. 0.4.), в функциональных интегралах усреднение производится с весом ехр(—S). Удобным оказывается использование терминов «функция Грина» вместо «корреляционная функция», т - масса или массивный параметр, д - константа взаимодействия или «заряд», «импульс»-вместо «волновое число».

Неучтенные в (7) члены гамильтониана Гинзбурга-Ландау могут быть рассмотрены в качестве составных операторов, которые в соответствие со своей канонической размерностью являются ИК несущественными в 4 — е-разложении при малых е , определяя лишь поправки к ИК поведению теории (7) [32, 33, 48]. Реальным параметром разложения в теории возмущений при вычислении РГ-функций выступает значение заряда д в окрестности фиксированной точки уравнения РГ, малость параметра разложения однозначно связана с логарифмичностью теории, т.е. с безразмерно-стыо константы взаимодействия. Для того чтобы обезразмерить константу д, имеющую в реальном трехмерном пространстве размерность импульса, вводится «расширенная» теория, описываемая тем же действием (7), но уже при произвольной размерности пространства в, = 2/л. Каноническая размерность поля ф определяется кинетическим членом действия и равна: (1ф = ¡1 — 1 (размерность импульса считаем равной единице, координаты -минус единице). Поэтому размерность заряда с1д — 4 —2/х, теория логариф-мична при 2/х = 4. В четырехмерном пространстве теория (7) ренормиру-ема, для построения 4 — б -разложения рассматриваем (7) в пространстве размерности ц — 2 — е с малым положительным е. Ренормировав эту теорию так, чтобы зависящие от е функции Грина допускали предел е —» О, получим интересующие нас РГ-функции в виде рядов по е.

Помимо 4 — е разложения теории (7) известны другие варианты е - разложений: 6 — б - разложение для теории ф3, 2 + 6 - для нелинейной сг-модели [33] и ее обобщений. Еще одним регулярным методом расчета РГ-функций является 1/п разложение по обратному числу компонент параметра порядка (смотри, например, [49, 50, 51, 52, 53]), для которого применяется другой способ построения логарифмической теории (в нелинейной сг-модели) при любой размерности пространства 2 < й < 4.

Первоначально исследуемые РГ методом теории, как статические так и динамические, отличались локальностью соответствующих действий, что является обычным для квантовой теории поля. Для таких теорий и была сперва сформулирована теорема Боголюбова-Парасюка об УФ ренормиру-емости [54], служащая основой для применения РГ - метода. Однако кроме размерной регуляризации в квантовой теории поля была разработана очень похожая аналитическая регуляризация (смотри, например, [55]). Ее использование позволило существенно упростить применение РГ метода для расчетов РГ-функций в 1/п- разложении [56, 57, 58]. При этом пришлось исследовать ренормировку действия с нелокальными (неаналитическими по импульсам) членами. Однако введение в действие таких членов позволяет существенно расширить возможности применения РГ-подхода. Вслед за успехом 4 — е-разложения это привело к другим вариантам построения «расширенных» теорий: [59, 60], а также к рассмотрению теорий, присутствие нелокальных членов в которых обусловлено физическими причинами.

В настоящее время широко используются различные РГ - схемы для все более точного вычисления критических индексов. При этом, вычисляя как можно больше порядков е или любого другого разложения и используя вычисленную Липатовым асимптотику для /3 и 7 функций [61] для боррелевского пересуммирования, получают значения критических индексов при больших (порядка единицы) параметрах разложений, с большой степенью точности совпадающие с экспериментальными.

Теория ренормализационной группы в турбулентности развивалась более длительное время и, возможно, по этой причине менее успешно. Кол-могоровский скейлинг в теории турбулентности был открыт в начале 40х годов 20 века, а первые серьезные исследования с использованием метода РГ появились только в конце 70х, когда «золотой век» РГ теории критического поведения, в сущности, закончился.

0.3. Теория возмущений

Развитие мощного аппарата квантовой теории поля первоначально было обусловлено потребностями физики элементарных частиц. Вскоре было замечено, что сходные подходы могут с успехом применяться и при описании других физических систем, обычно с большим или бесконечным числом степеней свободы. Таковые, в частности, относятся к области исследования статистической физики. Например, квантово-полевые методы оказались наиболее адекватными для описания критического поведения (фазовых переходов второго рода), развитой турбулентности, разнообразных моделей случайных блужданий и скейлинговых явлений в полимерах.

Квантово-полевые методы в большинстве своем основаны на теории возмущений по различным параметрам, например, по постоянной тонкой структуры а « 1/137 в квантовой электродинамике. Вычисленные к настоящему времени первые 3-4 порядка теории возмущений по а определяют физические наблюдаемые со все улучшающейся точностью. Однако вопрос о сходимости получаемых рядов представляется, по крайней мере, интересным с теоретической точки зрения. Установлено, что в большинстве случаев ряды квантово-полевой теории возмущений носят асимптотический характер. Асимптотические ряды — вообще нередкое явление в теоретической физике, отсутствие сходимости ряда не мешает его практическому использованию при малом параметре разложения, с чем мы и сталкиваемся в квантовой электродинамике. Однако в статистической физике реальный параметр разложения часто оказывается порядка единицы (в качестве примера здесь можно вспомнить метод ренормализационной группы и е-разложение [62, 63]). В этой ситуации последующие члены разложений оказываются порядка или даже больше предыдущих, и необходима общая информация о поведении рассматриваемых рядов: сходятся они или расходятся, каков радиус сходимости.

Такая информация может быть получена путем исследования асимптотики высоких порядков (АВП). Пусть некоторая величина/(д) задана степенным рядом /(д) = асимптотика коэффициентов при N —У оо и называется асимптотикой высоких порядков для функции /. Например, рассмотрим АВП сходящегося ряда с конечным радиусом сходимости для функции /а(д) — 1/0? — 9о)а- Разложением в ряд Тейлора нетрудно найти

-1)а Г(ск + Л0 а. У 5 ^ п I N

АВП функции /а определяется пределом Г НЮ = (~1Г Ца + Ар , дга-1

Йо^Ж' (9)

Данный пример иллюстрирует, что АВП может дать информацию о положении и характере особенности исследуемых функций: и радиус сходимости (определяется до) и тип особенности (определяется числом а) однозначно задаются ее параметрами.

Для сходящихся степенных рядов знание АВП существенно дополняет информацию, которую мы можем получить из обычной теории возмущений. Пусть, например, для некоторой функции /(д) нам известен некоторый отрезок ряда теории возмущений /^¿Л а также положение и характер особенности на границе круга сходимости (например, 1/(д—9о)а)-Тогда можно утверждать, что представление функции в виде где коэффициенты легко определяются по известным приводят к большему радиусу сходимости нового ряда ^ дг и позволяют точнее восстановить величину f(g). Оказывается, и в случае рядов асимптотических АВП может дать рецепт получения хорошего численного ответа.

Для определения АВП квантово-полевых разложений используется ин-стантонный анализ (см. [61, 63]), который сводится к исследованию асимптотики функционального интеграла методом перевала. Для асимптотических рядов развиты разнообразные схемы пересуммирования, в большинстве своем основанные на преобразовании Бореля.

0.4. MSR формализм

Одним из возможных способов представления стохастической задачи в квантовополевой формулировке является введение MSR-переменных (далее, MSR-формализм, MSR = Martin-Siggia-Rose). Кратко опишем этот переход. В общем виде стандартная задача стохастической динамики формулируется следующим образом [62] dt<p(x) = U{x- <р) + ф), fflxffîa/)) = D(xt x'), (10) где ф(х) - искомое поле, U(x\ ф) - заданный i-локальный функционал, не содержащий производных ip по времени, rj{x) - случайная внешняя сила, г](х) в уравнении на с/? - любая ее реализация, для г}(х) предполагается гауссово распределение с нулевым средним {т](х)) = 0 и коррелятором D, х = t, х.

В общем случае функционал U в правой части (10) содержит вклад неслучайной силы /, линейную по ip «свободную часть» Lip с некоторой операцией L и вклад нелинейностей п((р):

U(ip) = lAp + n(<p) + f. (11)

Решение задачи (10) может быть записано в интегральной форме р = А12[/ + 77 + n(y>)], Ai2 = (dt - L)-\ (12) где Д12 = А12(х,х') - запаздывающая функция Грина линейной операции ф-Ь).

Пусть ф = ф(х,г)) - решение уравнения (10). Производящий функционал корреляционных функций поля (р обозначим С? (а), где а - источник. При фиксированном г) С(а;г/) = ехр(а</?). После усреднения по 77 получим /^ехрЬ^А + ау]

ОчехрЬ^Г»-^] ^ ;

Необходимые интегрирования по аргументам полей подразумеваются. Рассмотрим следующее равенство ехр(а</?) = J Б(р5{(р — ф) ехр(сир) (14) с функциональной «^-функцией 5((р — ф) = — ф(х))]. Из эквивалентности равенств

1р = ф<=$ г}) = -дЬ(р + и(<р) + 77 = 0 следует

5(<р -ф)=&е1М ■ 6[<2(<р,г})], М = М(х, х') = (15) с!е1М понимается как определитель линейной интегральной операции с ядром М(х,х'). Представим <5-функцию в правой части (15) функциональным интегралом по вспомогательному полю (рг адовое I я^ехр^/д^)], (16) нормировочные множители считаются включенными в Оср'. Воспользовавшись в (13) соотношениями (14, 15, 16), получим с точностью до номировки

2(а) = I ОцВ^рБ^ с^ М ехр^туХГ1?? + сир + <р'(-дь1р + и(ф) + г])} и, взяв гауссов интеграл по ту,

ЭД = J J £><рЯ<р' det М ехр[^'¿У + <//(-%> + *7(<р) + ауз)]. (17)

Рассмотрим detM = det[dQ/dyp]. Из (11) и Д12 в (12) имеем

М = М0 + Мь М0 = + Ь = — , Мх = (18)

Отсюда det М = det Мо det[l — Д12М1]. Первый множитель - не зависящая от полей константа и поэтому несущественен. Для второго получим

1п det[l - Д12М1] = -^[АиМг + Д12М1 А12Мг/2 + .]= (19) поскольку все многократные замкнутые циклы с запаздывающей линией Д12 (пропорциональной в(£ — ¿')) дают нулевые вклады. Однократному циклу в (19) соответствует выражение / J йхйх'А^х, х')М\(х', х) с ядром М\{х' ,х) = —1)М\(х', х)] 5(1?— Ь) появляется ввиду ¿-локальности функционала II. Отсюда следует, что в однократный цикл входит функционал А12(х,х') с совпадающими временами Ь = Это неопределенная величина, поскольку Д12 содержит разрывную функцию — £'). Принимается следующее соглашение [62, 40]

Щ - = 0.

Тогда определитель det М в интеграле (17) становится несущественной константой, которую можно отбросить.

Таким образом, любая стохастическая задача (10) полностью эквивалентна квантовополевой модели с удвоенным числом полей </?, </?' и функционалом действия у') = Ър'Вч! + ч*[-дьч> + £%)], (20) необходимые интегрирования по а; и суммирования по индексам подразумеваются.

0.5. Инстантонный анализ

Базовой теорией, с которой связан несомненный успех квантово-поле-вых методов в теории критического поведения, является модель ср4-, корреляционные функции которой выражаются через функциональные интегралы вида

Данная теория описывает разнообразные фазовые переходы второго рода: критическую точку в системе жидкость-пар, точку Кюри в магнетиках, точку расслаивания и т.д.

Функциональный интеграл по полю у>(х) (21) вычисляется в форме диаграммных разлооюений. При этом член, пропорциональный д в действии рассматривается как малое возмущение, по которому строится ряд. Все образовавшиеся интегралы фактически сводятся к гауссовым (т.к. 5 при д = 0 — квадратичный функционал поля ср) и могут быть вычислены, однако упомянутые вычисления весьма трудоемки; их сложность лавинообразно растет с ростом порядка теории возмущений, так что к настоящему моменту, несмотря на то, что развит мощный вычислительный формализм и используются современные компьютеры, найдено лишь 5-6 первых членов обсуждаемых разложений в теории (р4. Для получения достаточно точных числовых результатов в данном случае оказывается необходимой информация о АВП рядов теории возмущений, получаемая методом инстантонного анализа.

I г

Для выделения ЛГ-того члена ряда квантово-полевой теории возмущений в работе [61] было предложено пользоваться формулой Коши в(и) = ±С!^, ^ = (22)

N=0 7

Интегрирование ведется по замкнутому контуру в комплексной плоскости, охватывающему ноль.

Вычисление интегралов в от осуществляется методом стационарной фазы. Основной вклад в при N —>• оо дает область интегрирования в окрестности инстантона - значений переменных интегрирования, реализующих экстремум функционала действия, т.е. решений уравнений стационарности.

0.6. Описание модели Обухова-Крейчнана с «замороженным» полем скорости

Хотя теоретическое описание турбулентности, основанное на стохастическом уравнении Навье-Стокса (1) остается открытым вопросом, значительный прогресс был достигнут при изучении упрощенных моделей, которые дают важную информацию о реальных системах. Важную роль в этих исследованиях сыграли модели, описывающие перемешивание пассивного скалярного поля [64]. Одним из примеров таких моделей является модель переноса пассивной скалярной величины случайным гауссово-распределенным полем скорости, так называемая модель Крейчнана [65]. Аномальный скейлинг для этой модели впервые был показан на основе микроскопической модели [66], а соответствующие аномальные индексы были рассчитаны в [67, 68, 69].

Большой интерес также представляет изучение простых моделей пассивного переноса не только скалярных, но и векторных (например, слабых магнитных полей), поскольку такие модели описывают множество особенностей аномального поведения реального турбулентного переноса некоторых величин, наблюдаемых в эксперименте.

При рассмотрении турбулентного перемешивания пассивной скалярной примеси рассматривается пара полей (р ив, где <р - обычное поперечное векторное поле скорости, удовлетворяющее уравнению (1), ав - добавочное скалярное поле пассивной примеси, удовлетворяющее уравнению у'д2в, г/ = ш/, где Уг - ковариантная производная из (1). В простейшем случае собственный шум в уравнение для в не вводится. Примесь называют «пассивной», поскольку введение добавочного поля 0 никак не влияет на стохастическую задачу (1) для поля скорости (р.

Поле в может иметь различный физический смысл. Например, это может быть концентрация примесных частиц в турбулентной атмосфере, или поле температуры в задачах теплопереноса и т.п. В первом случае параметр г/ - молекулярный коэффициент диффузии, во втором - коэффициент температуропроводности.

В работах [64, 70, 65, 66] было показано, что физика уравнения переноса скалярной примеси также является интересной, если поле скорости из уравнения Навье-Стокса (1) заменить стохастическим полем со степенным коррелятором по пространственной (импульсной) переменной и ^-образной по временной. В настоящее время таким образом поставленная задача широко изучается (например, [71, 72]).

Итак, распространение пассивной скалярной примеси в в, - мерной вязкой сжимаемой жидкости происходит посредством диффузии и турбулентного перемешивания случайным полем скорости. Описание задачи в рамках модели Обухова-Крейчнана (см. [64, 65]) основывается на стохастическом уравнении dt<p(x, t) + <?V(V(x, t)<pfc t)) - i/Ap(x, t) - f (x, t), (23) здесь ^(х,^) - скалярное поле, описывающее примесь (например, поле плотности примеси), V(x,i) - случайное векторное поле скорости, £(х, t) -искусственно вводимая гауссово-распределенная с нулевым средним и произвольным коррелятором D£ случайная сила (шум, например, если ip -соответствует флуктуациям температуры, то £ представляет мощность нагревателей), и - коэффициент диффузии, д - константа связи. Стандартная теория возмущений приводит к рядам по константе взаимодействия д, свойствами которых мы и интересуемся.

В обычной модели Обухова-Крейчнана коррелятор скорости выбирается следующим образом [65]

Vi(x, i)Vi(x', t')) = 25{t - t')A,(x - x').

Были проведены исследования о влиянии случайного «замороженного» поля примеси на классические процессы переноса. Эти исследования проводились с помощью модели случайных блужданий в стационарном случайном поле скорости. Эта модель является обобщением обычной диффузии на случай системы со случайной «замороженной» примесью и может описывать широкий круг явлений, таких как классическая электропроводность в присутствии распределенной случайным образом заряженной примеси [73], диффузия в жидкости со стационарным случайным полем скорости [74, 75], критическая динамика в системе с «замороженными» флуктуациями [76].

Асимптотические свойства диффузии в среде с корреляциями случайного поля на коротких расстояниях были изучены с помощью метода РГ как в случае изотропного поля скорости [77, 78], так и в случае анизотройного беспорядка (т.е. с независимыми безвихревой и бездивергентной частями случайного поля скорости) [74, 75, 76, 79]. Для того чтобы различать описанные модели с их «дальнодействующими» аналогами, описанными ниже, мы назовём их близкодействующими, несмотря на то, что в действительности ограничения, наложенные на поле скорости, приводят к дальнодействующим пространственным корреляциям. Было показано, что выше верхней критической размерности (1 > <1С — 2 в пределе больших времен имеет место нормальная диффузия, а при (I < 2 появляются следующие признаки появления аномальной диффузии: чисто бездивергентная составляющая поля скорости приводит к супердиффузному поведению; в случае, когда обе компоненты поля скорости ненулевые, диффузия остается нормальной при ё, = 2, а при с1 < 2 появляется субдиффузная аномалия, которая не зависит от относительной величины компонент; исчезновение РГ /^-функции [79, 80, 81, 82] в случае чисто безвихревого потока приводит к неуниверсальному субдиффузному поведению при в, = 2, а при й < 2 к режиму сильного беспорядка, который не может быть исследован с помощью теории возмущений ренормгруппового подхода.

Обобщение этой модели на случай со степенным коррелятором скорости (модель с дальнодействием) в случае изотропного потока было произведено в однопетлевом приближении, как специальный случай истинных случайных блужданий без самопересечений с дальнодействием [83] и в общем виде с точными результатами в виде некоторой теории возмущений [80, 81, 84]. Эти исследования раскрыли следующие свойства диффузного поведения в модели с дальнодействием. Диффузия остается нормальной при ё, > б,с = 2 + 2а, где а - степень, характеризующая, спад корреляций в импульсном представлении - 1/<?2а. При с1 < с1с могут проявляться различные признаки аномальной диффузии. Во-первых, в случае чисто поперечного поля скорости аномальная размерность времени связана с ¡3функцией таким образом, что уравнение на фиксированную точку определяет эту аномальную размерность точно во всех порядках теории возмущений [84]. Следует отметить, что эти результаты верны и для случая с короткодействием. Эта аномальная размерность соответствует супердиффузному поведению. Во-вторых, в общем случае (т.е. в присутствии как продольной, так и поперечной составляющих поля скорости) асимптотическое поведение этой модели контролируется фиксированной линией, а не фиксированной точкой уравнения РГ. Таким образом, аномальность диффузии неуниверсальна и зависит от относительной величины поперечной и продольной составляющих поля скорости: продольная стремится усилить диффузию, а поперечная ослабить. В-третьих, в чисто безвихревом потоке ситуация совпадает со случаем короткодействия: /^-функция исчезает, это приводит к неуниверсальному субдиффузному поведению при (I = 2-\-2а и непертурбативному режиму при с1 < 2 + 2а.

В данной работе мы рассматриваем случай анизотропного случайного поля скорости с дальнодействием с корреляциями, спадающими по степенному закону в импульсном пространстве 1/д2а. Формально случай а = О соответствует ситуации с короткодействием.

В модели Обухова-Крейчнана с «замороженным» полем скорости скорость выбирается гауссово-распределенной с нулевым средним и коррелятором, не зависящим от времени и имеющим вид: - х').

В настоящей диссертации при записи поля скорости мы будем опускать время: "У(х, £) —> \^(х).

Данная модель описывает диффузию в случайных средах [85, 39, 84], и имеет непосредственное отношение к проблеме развитой турбулентности (например, [86]). Также, эта модель описывает проблему случайных блужданий в случайных средах [87, 88, 89, 90, 91, 92].

В импульсном представлении коррелятор имеет степенной вид ([39, 84])

Ы^-Хт^-Ш^ + Х.Ш^ (24) а в координатном, соответственно, + , Р = <1/2 - а = 1 - е/2, (25)

2! " 2! " где (см. Приложение 1) 2^%^?(« + 1)(Лг(2а " 1} + Л£)' (26) „ - а л > +

Лу и Лх - поперечная и продольная константа связи импульсного представления. Параметр Аь определяет сжимаемость жидкости.

0.7. Структура диссертации

Целью данной работы является исследование асимптотик высоких порядков модели Обухова-Крейчнана с «замороженным» полем скорости.

В первой главе диссертации на основе простой динамической модели проведен анализ, позволяющий выбрать переменные наиболее удобные для расчетов методом инстантонного анализа в задачах динамики. Была исследована асимптотика высоких порядков «нульмерной» стохастической динамической модели. Основная часть главы посвящена вычислениям асимптотики высоких порядков функции отклика данной модели в переменных МБЯ-формализма. В последнем параграфе главы для сравнения на основе статьи [93] подобный анализ проведен в переменных Лагранжа. Данные расчеты показали, что при возможности введения в динамических задачах расчеты целесообразно выполнять в лагранжевом формализме.

В последующих главах проводится исследование асимптотик высоких порядков модели Обухова-Крейчнана с «замороженным» полем скорости в переменных Лагранжа.

Вычисление асимптотики высоких порядков квантово-полевых рядов впервые предложено в [61] и основывается на методе стационарной фазы в функциональном интеграле. При этом должен быть найден инстантон - решение уравнений стационарности. Однако, в настоящее время широко распространено утверждение, что для грубой оценки асимптотики высоких порядков достаточно знать лишь количество диаграмм в данном порядке теории возмущений (см.например, [85]).

В динамических полевых моделях, описывающих турбулентные явления, выяснение типа сходимости ряда сопряжено со значительными сложностями. Эти задачи не имеют статического предела, для которых проблема была решена [94],[95]. Как показано в [96],[72] в случае, когда удается ввести переменные Лагранжа, ситуация несколько упрощается. К таким случаям относится модель турбулентной диффузии Крейчнана. Асимптотика высоких порядков разложений здесь была вычислена [72] > и оказалось, что ряды имеют конечный радиус сходимости. Спецификой теории возмущений этой модели является то, что из-за дельтаобразного по времени коррелятора скорости многие диаграммы теории возмущений вымирают, так что количество диаграмм растет степенным образом и действительно определяет в каком-то смысле скорость сходимости ряда.

Во второй главе мы исследуем асимптотику высоких порядков для модели Обухова-Крейчнана с «замороженным» полем скорости, описывающей диффузию жидкости в стационарном случайном поле [39, 84, 85]. Коррелятор поля скорости здесь, в отличие от стандартной модели Крейчнана, не зависит от времени (а по координате ведет себя степенным образом), так что число диаграмм теории возмущений растет факториально.

Условие стационарности в данной модели - нелинейная система интегро-дифференциальных уравнений. Мы покажем, как строить семейство ее решений - семейство инстантонов, и предъявим в аналитическом виде один из них. Проведенный с помощью этого решения анализ указывает, что тип сходимости рядов теории возмущений определяется разнообразными факторами: исследуемым объектом, выбранным представлением (координатным или импульсным), видом коррелятора скорости, а вовсе не одним числом диаграмм. Мы обнаружили случаи, когда исследуемые ряды имеют конечный и даже бесконечный радиус сходимости.

Вообще говоря, для исследуемых уравнений стационарности априори неизвестной является не только единственность, но и сам факт существования решения. Нам удалось найти семейство решений данных уравнений с наиболее естественной для данной задачи симметрией, причем каждому представителю семейства соответствуют свои граничные условия. На самом деле, мы не можем ничего утверждать о возможности существования инстантонов с иной симметрией и об их вкладах в асимптотики высоких порядков. К сожалению, это замечание относится и к инстантонному анализу асимптотик высоких порядков разложений и для всех прочих моделей, включая «классическую» модель </?4.

Случай, когда коррелятор поля скорости не зависит не только от времени, но и от координаты, оказывается частным, точно решаемым случаем рассматриваемой задачи. Мы будем использовать его, чтобы проконтролировать правильность расчетов.

В третьей главе мы продолжаем исследование асимптотик высоких порядков модели Обухова-Крейчнана и переходим к вычислению асимптотик констант ренормировки этой модели. На основе найденного во второй главе инстантона, мы исследуем свойства рядов теории возмущений для констант ренормировки данной модели и показываем, что, несмотря на факториальный рост числа диаграмм, с ростом порядка ряда теории возмущений, их асимптотика высоких порядков растет существенно медленнее, а ряды оказываются сходящимися. Мы также приводим радиус сходимости упомянутых рядов.

В заключительной главе диссертации мы исследуем асимптотику сильной связи модели Обухова-Крейчнана с «замороженным» полем скорости. Интересным случаем данной модели является ситуация, когда коррелятор поля скорости выбран продольным (т.е. поле скорости потенциально). Как известно из [97], при этом /3 - функция уравнения РГ, оказывается, имеет тривиальный вид, и соответствующая ей инфракрасно (ИК) устойчивая фиксированная точка метода РГ отсутствует. В ИК асимптотике инвариантный заряд стремится к бесконечности, что требует рассмотрения предела сильной связи. На основе найденного инстантона нам удалось провести соответствующий анализ.

Основные результаты диссертации опубликованы в статьях [98, 99, 100, 101].

4.2. Выводы

Исследование асимптотик высоких порядков квантово-полевых разложений констант ренормировки в модели Обухова-Крейчнана с «замороженным» полем скорости было проведено с использованием инстантонно-го анализа. Результаты свидетельствуют, что разложения констант ренормировки и РГ-функций - коэффициентов уравнения ренормализационной группы, - имеют конечный радиус сходимости, несмотря на факториаль-ный рост числа диаграмм в высоких порядках разложения.

В данной модели инстантонный анализ позволил также определить асимптотику сильной связи константы ренормировки Zv, что позволило использовать уравнение ренормализационной группы для исследования ИК асимптотик корреляционных функций модели, в которой нет ИК устойчивой фиксированной точки.

V —» Сог^ = V ехр

ВЫНОСИМЫЕ НА ЗАЩИТУ ОСНОВНЫЕ ПОЛОЖЕНИЯ

ДИССЕРТАЦИИ

1. На примере простой динамической модели произведен анализ, позволяющий выбрать наиболее удобный тип полевых переменных для вычисления асимптотик высоких порядков динамических моделей.

2. Построено семейство инстантонов модели Обухова-Крейчнана с «замороженным» полем скорости и явно предъявлен один из них.

3. Опровергнуто широко распространенное утверждение о том, что тип сходимости ряда определяется числом диаграмм в высоких порядках теории возмущений. Показано, что тип сходимости зависит от выбранного представления и поведения коррелятора.

4. Вычислены асимптотики высоких порядков разложений констант ренормировки модели Обухова-Крейчнана.

5. Определена асимптотика сильной связи модели Обухова-Крейчнана с «замороженным» продольным полем скорости и вычислен «инвариантный» коэффициент диффузии.

1. Ландау Л. Д., Лившиц Е. М. Гидродинамика. — Москва: Наука, 1986.

2. Мопин А. С., Яглом А. М. Статистическая гидромеханика, ч.2. — Москва: Наука, 1967, 1996.

3. DeDominicis С., Martin Р. С. Energy spectra of certain randomly-stirred fluids // Phys. Rev. A 1979. - Jan. - Vol. 19, no. 1. — Pp. 419-422.

4. Frisch U. Turbulence: The Legacy of A.N. Kolmogorov. — Cambridge: University Press, 1995.

5. Аджемян Л., Антонов H., Васильев А. Проблема инфракрасных расходимостей и ренормгруппа в теории развитой турбулентности // Журн. эксп. и теор. физ.— 1989. — Т. 95. — С. 1272—1288.

6. Normal and anomalous scaling of the fourth-order correlation function I of a randomly advected passive scalar / M. Chertkov, G. Falkovich,

7. Kolokolov, V. Lebedev // Phys. Rev. E. — 1995.-Nov.- Vol. 52, no. 5.- Pp. 4924-4941.

8. Bernard D., Gawedzki K., Kupiainen A. Anomalous scaling in the n-point functions of a passive scalar // Phys. Rev. E.— 1996.— Sep. — Vol. 54, no. 3. Pp. 2564-2572.

9. Adzhemyan L. Т., Antonov N. V., Vasil'ev A. N. Renormalization group, operator product expansion, and anomalous scaling in a model of advected passive scalar // Phys. Rev. E.— 1998.— Aug. — Vol. 58, no. 2.— Pp. 1823-1835.

10. Calculation of the anomalous exponents in the rapid-change model of passive scalar advection to order e3 / L. T. Adzhemyan, N. V. Antonov,

11. V. A. Barinov et al. // Phys. Rev. E. — 2001.— Oct. — Vol. 64, no. 5.— P. 056306.

12. Антонов H., Борисенок С., Гирина В. Ренормализационная группа в теории развитой турбулентности, составные операторы канонической размерности восемь. // ТМФ. — 1996. — Т. 106. — С. 92—101.

13. Kraichnan R. Convection of a passive scalar by a quasi-uniform random straining field // J. Fluid. Mech.— 1974. — Vol. 64.- Pp. 737-762.

14. Fournier J.-D., Frisch U., Rose H. Infinite-dimensional turbulence // J. Phys. A: Math. Gen. 1978. - Vol. 11. - Pp. 187-198.

15. Yakhot V. Strong turbulence in d-dimensions // E-print LANL chao-dyn/9805027. 1998. - P. 10 p.

16. Frisch H., Schultz M. Turbulence effects in high dimensionality limit // Physica A: Stat. Theor. Phys.- 1994. — Vol. 211. — Pp. 37-42.

17. Runov A. On the field theoretical approach to the anomalous scaling in turbulence // E-print LANL chao-dyn/9906026. — 1996. — Vol. 211. — P. 4 p.

18. Adzhemyan L. Т., Antonov N. V., Runov A. V. Anomalous scaling, non-locality, and anisotropy in a model of the passively advected vector field // Phys. Rev. E. 2001. - Sep. — Vol. 64, no. 4. - P. 046310.

19. Колмогоров A. H. Локальная структура турбулентности в несжимаемой вязкой жидкости при очень больших числах рейнольдса // ДАН СССР. 1941. - Т. 30, № 4. - С. 299-303.

20. Адэюемян Л. Ц., Антонов Н. В., Васильев А. Н. Квантовополевая ренормализационная группа в теории развитой турбулентности // Успехи физических наук. — 1996. — Т. 166, К0- 12. — С. 1257-1284.

21. Falkovich G., Gawedzki K., Vergassola M. Particles and fields in fluid turbulence // Rev. Mod. Phys. — 2001. — Nov. — Vol. 73, no. 4. — Pp. 913975.

22. Паташинский A. 3., Покровский В. Л. Флуктуационная теория фазовых переходов. — Москва, Главная редакция физико-математической литературы: Наука, 1982.

23. Wilson К. G. Renormalization group and critical phenomena, i. renormal-ization group and the kadanoff scaling picture // Phys. Rev. B. — 1971. — Nov. Vol. 4, no. 9. - Pp. 3174-3183.

24. Wilson K. G. Feynman-graph expansion for critical exponents // Phys. Rev. Lett. 1972. - Feb. - Vol. 28, no. 9. - Pp. 548-551.

25. Stueckelberg E., Petermann A. La normalization des constantes dans la theorie des quanta // Helvetica Physica Acta. — 1953. — Vol. 26, no. 5. — ¡ P. 499.

26. Gell-Mann M., Low F. E. Quantum electrodynamics at small distances // Phys. to. 1954.-Sep.-Vol. 95, no. 5. - Pp. 1300-1312.

27. Боголюбов H., Ширков Д. // Докл. АН СССР. — 1955. Т. 29, № 2. -С. 203.

28. Боголюбов Н., Ширков Д. // Докл. АН СССР. 1955. - Т. 29, № 3. -С. 391.

29. Боголюбов Н., Ширков Д. // Жури, экспер. и теор. физ.— 1956. — Т. 30, № 1.-С. 77.

30. Bogoljubov N., Sirkov D. // Nuovo Cim.— 1956. — Vol. 3. — P. 845.

31. Овсянников Л. // Докл. АН СССР. 1956. - Т. 109, № 6. - С. 1112.

32. Callan C. G. Broken scale invariance in scalar field theory // Phys. Rev. D. 1970. - Oct. - Vol. 2, no. 8. - Pp. 1541-1547.

33. Symanzik K. Small distance behaviour in field theory and power counting // Communications in Mathematical Physics. — 1970. — Vol. 18. — Pp. 227-246,- 10.1007/BF01649434. http://dx.doi.org/10.1007/BF01649434.

34. Brezin E., Le Guillou J. C., Zinn-Justin J. Approach to scaling in renor-malized perturbation theory // Phys. Rev. D.— 1973. —Oct. — Vol. 8, no. 8. Pp. 2418-2430.

35. Brezin E., Le Guillou J. C., Zinn-Justin J.7 // Phase Transitions and Critical Phenomena. — 1976. — Vol. 6. — P. 114.

36. Hohenberg P. C., Halperin B. I. Theory of dynamic critical phenomena // Rev. Mod. Phys. 1977. - Jul. - Vol. 49, no. 3. - Pp. 435-479.

37. Martin P. C., Siggia E. D., Rose H. A. Statistical dynamics of classical systems // Phys. Rev. A. — 1973. — Jul. Vol. 8, no. 1. — Pp. 423-437.

38. Janssen H. On a lagrangean for classical field dynamics and renormaliza-tion group calculations of dynamical critical properties // Zeitschrift fur Physik B Condensed Matter. — 1976. — Vol. 23, no. 4. — Pp. 377-380.

39. Baush R., Janssen H., Wagner H. Renormalized field theory of critical dynamics // Zeitschrift fur Physik B Condensed Matter. — 1976. — Vol. 24, no. 1. Pp. 113-127.

40. Gevorkian Z., Lozovik Y. Classical diffusion in random fields with longrange correlationss // J. Phys. A: Math. Gen.— 1987.— Vol. 20.— Pp. L659-L664.

41. Honkonen J., Karjalainen E. Diffusion in a random medium with longrange correlations // J.Phys. A: Math. Gen. — 1988. — Vol. 21, no. 22. — Pp. 4217-4234.

42. Аджемян JI. Ц., Васильев А. Н., М. П. Ю. Ренормгрупповой подход в теории турбулентности: размерности составных операторов // ТМФ. 1983. - Т. 57, № 2. - С. 268—281.

43. Панасюк Г., Смирнов А., Сторонкин Б. // Вестн. ЛГУ.— 1984.— Т. 4, № 4. С. 108.

44. Wilson К. G. Quantum field theory models in less than 4 dimensions // Phys. Rev. D. - 1973. - May. - Vol. 7, no. 10. - Pp. 2911-2926.

45. Wilson K. G., Fisher M. E. Critical exponents in 3.99 dimensions // Phys. Rev. Lett. — 1972. Jan. - Vol. 28, no. 4. - Pp. 240-243.

46. Ma Ш. Современная теория критических явлений. — Москва: Мир, 1980.

47. Wegner F. J. Critical exponents in isotropic spin systems // Phys. Rev. B. 1972. - Sep. - Vol. 6, no. 5. - Pp. 1891-1893.

48. Stanley H. E. Spherical model as the limit of infinite spin dimensionality // Phys. Rev.- 1968. -Dec. -Vol. 176, no. 2.- Pp. 718-722.

49. Abe R. Expansion of a critical exponent in inverse powers of spin dimensionality // Progress of Theoretical Physics. — 1973. — Vol. 49, no. 1. — Pp. 113-128.

50. Abe R., Hikami S. Critical exponents and scaling relations in 1/n expansion // Progress of Theoretical Physics. — 1973.— Vol. 49, no. 2.— Pp. 442-452.

51. Brezin E., Wallace D. J. Critical behavior of a classical heisenberg ferro-magnet with many degrees of freedom // Phys. Rev. B. — 1973. — Mar. — Vol. 7, no. 5.- Pp. 1967-1974.

52. Ma S.-k. Scaling variables and dimensions // Phys. Rev. A. — 1974,— Nov. Vol. 10, no. 5. - Pp. 1818-1836.

53. Боголюбов H., Ширков Д. Введение в теорию квантованных полей.— Москва: Наука, 1976.

54. Speer Е. Generalized feynman amplitudes // Ann. of Math. Stud.— 1969. Vol. 62.

55. Васильев А., Налимов M. Аналог размерной регуляризации для расчета ренормгрупповых функций в l/n-разложении при произвольной размерности пространства // Теор. и мат. физ. — 1983. — Т. 55, № 2. С. 163—175.

56. Васильев А., Налимов М. cpN~x-модель: расчет аномальных размерностей и матриц смешивания в порядке 1 /п // Теор. и мат. физ.— 1983. Т. 56, № 1. - С. 15—30.

57. Васильев А., Налимов М., Хонконен Ю. 1/n-разложение: расчет аномальных размерностей и матриц смешивания в порядке 1/п для пхрматричной калибровочно-инвариантной сг-модели // Теор. и мат. физ. 1984. - Т. 58, № 2. - С. 169—183.

58. Налимов М. Регулярное разложение для расчета ренормгрупповых функций в теории с размерными константами взаимодействия / / Теор. и мат. физ. 1986. — Т. 68, № 2. - С. 210—224.

59. Dorogovtsev S. N. The critical behaviour of systems with correlated defects 11 J. Phys. A: Math. Gen.— 1984. —Aug.- Vol. 17, no. 12.— Pp. L677-L679.

60. Липатов JI. H. Расходимость ряда теории возмущений и квазиклассика // Журн. экспер. и теор. физики. — 1977. — Т. 72, № 2. — С. 411— 427.

61. Васильев А. Н. Квантовополевая ренормгруппа в теории критического поведения и стохастической динамике. — Санкт-Петербург: ПИЯФ, 1998.

62. Zinn-Justin J. Quantum Field Theory and Critical Phenomena. — Oxford: Oxford Univ. Press, 1989.

63. Obukhov A. M. // Izv. Akad. Nauk SSSR, Ser. Geogr. Geofiz.— 1949. -Vol. 13. - P. 58.

64. Kraichnan R. H. Small-scale structure of a scalar field convected by turbulence 11 Phys. Fluids. 1968.-Vol. 11, no. 5, — Pp. 945-953.

65. Kraichnan R. H. Anomalous scaling of a randomly advected passive scalar 11 Phys. Rev. Lett.— 1994, —Feb. — Vol. 72, no. 7.— Pp. 10161019.

66. Gawedzki K., Kupiainen A. Anomalous scaling of the passive scalar // Phys. Rev. Lett.- 1995. Nov. - Vol. 75, no. 21.- Pp. 3834-3837.

67. Plumir A. Determination of the three-point correlation function of a passive scalar in the presence of a mean gradient // Europhys. Lett. — 1997. — Mar. Vol. 37, no. 8. - Pp. 529-534.

68. Pumir A. Structure of the three-point correlation function of a passive scalar in the presence of a mean gradient // Phys. Rev. E. — 1998. — Mar. Vol. 57, no. 3. - Pp. 2914-2929.

69. Kraichnan R. H. Lagrangian-history closure approximation for turbulence // Physics of Fluids.— 1965.- Vol. 8, no. 4.- Pp. 575-598. http://link.aip.org/link/?PFL/8/575/l.

70. Balkovsky E., Lebedev V. Lagrangian instanton for the kraichnan model // Pis'ma v ZhETF. 1998. — Oct. - Vol. 68, no. 7. - Pp. 588-593.

71. Andreanov A. Yu., Komarova M. V., Nalimov M. Yu. Large-order asymptotes of the quantum-field expansion for the kraichnan model of passive 1 scalar advection // J.Phys. A: Math. Gen. — 2006.— Vol. 39, no. 25.—1. Pp. 7801-7813.

72. Derrida B., Luck J. M. Diffusion on a random lattice: Weak-disorder expansion in arbitrary dimension // Phys. Rev. B. — 1983. — Dec. — Vol. 28, no. 12. Pp. 7183-7190.

73. Aronovitz J. A., Nelson D. R. Anomalous diffusion in steady fluid flow through a porous medium // Phys. Rev. A. — 1984. — Oct. — Vol. 30, no. 4. Pp. 1948-1954.

74. Kravtsov V. E., Lerner I. V., I. Y. V. Random walks in media with constrained disorder // J. Phys. A: Math. Gen. — 1985. — Aug. — Vol. 18, no. 12. Pp. L703-L708.

75. Random walks in two-dimensional random environments with constrained drift forces / D. S. Fisher, D. Friedan, Z. Qiu et al. // Phys. Rev. A.— 1985.-Jun.- Vol. 31, no. 6.- Pp. 3841-3845.

76. Luck J. M. Diffusion in a random medium: A renormalization group approach // Nuclear Physics B. — 1983. — Vol. 225, no. 2. — Pp. 169 184. http://www.sciencedirect.com/science/article/B6TVC-4718JPS-F0/2/b49fba8fe0a4b0157308d0cf7b4b2cf7.

77. Fisher D. S. Random walks in random environments // Phys. Rev. A.— 1984. Aug. - Vol. 30, no. 2.- Pp. 960-964.

78. Anomalous diffusion in random media of any dimensionality / Bouchaud, J.P., Comtet, A., Georges, A., Le Doussal, P. // J. Phys. France.- 1987.- Vol. 48, no. 9,- Pp. 1445-1450. http: / / dx.doi.org/10.1051 /jphys:019870048090144500.

79. Bouchaud, J.P., Comtet, A., Georges, A. Erratum anomalous diffusion in random media of any dimensionality // J. Phys. France. — 1988. — Vol. 49, no. 2. - P. 369.

80. Honkonen J., Pis'mak Y. M., Vasil'ev A. N. Zero beta function for a model of diffusion in potential random field // Journal of Physics A: Mathematical and General— 1988.— Vol. 21, no. 17.— P. L835. http: //stacks.iop.org/0305-4470/21/i=17/a=004.

81. Peliti L., Yi- Cheng Z. Renormalisation of the long-range 'true' self-avoiding walk // Journal of Physics A: Mathematical and General.— 1985.— Vol. 18, no. 12.— P. L709. http://stacks.iop.org/0305-4470/18/i=12/a=004.

82. Honkonen J., Karjalainen E. Random walk in random environment with constrained long-range correlated drift forces // Physics Letters A. — 1988. Vol. 129, no. 5-6. - Pp. 333-338.

83. Steven A. 0., Victor Y. Analysis of the e-expansion in turbulence theory: Approximate renormalization group for diffusion of a passive scalar in a random velocity field // Journal of Scientific Computing. — 1999. — Vol. 14, no. 2. Pp. 147-178.

84. Bouchaud J. P., Georges A. Anomalous diffusion in disordered media: Statistical mechanisms, models and physical applications // Phys. Rep. — 1990. Vol. 195, no. 4-5. - P. 127.

85. Random walk in a random environment and 1/ noise / E. Marinari, G. Parisi, D. Ruelle, P. Windey // Phys. Rev. Lett.— 1983.-Apr. -Vol. 50, no. 17. Pp. 1223-1225.

86. On the interpretation of 1/f noise / E. Marinari, G. Parisi, D. Ruelle, P. Windey // Commun. Math. Phys. — 1983.- Vol. 89, no. 1.— Pp. 112.

87. Fisher D. S. Random walks in random environments // Phys. Rev. A. —1984. Aug. - Vol. 30, no. 2. - Pp. 960-964.

88. Random walks in two-dimensional random environments with constrained drift forces / D. S. Fisher, D. Friedan, Z. Qiu et al. // Phys. Rev. A.—1985. Jun. - Vol. 31, no. 6. - Pp. 3841-3845.

89. Kravtsov V. E., Lerner I. V., Yudson V. I. Random walks in media with constrained disorder // J.Phys. A: Math. Gen.— 1985.— Vol. 18, no. 12. P. L703.

90. Kravtsov V. E., Lerner I. V., Yudson V. I. Classical diffusion in media with weak disorder // Sov. Phys. JETP.~ 1986,— Vol. 64, no. 2.— P. 336.

91. Honkonen J., Komarova М. V., Nalimov М. Yu. Large-order asymptotes for dynamical models near equilibrium // Nucl.Phys. В. — 2005.— Vol. 707, no. 3. Pp. 493-508.

92. Honkonen J., Komarova M. V., Nalimov M. Yu. Instantons for dynamic models from b to h // Nucl. Phys. B. — 2005. — Vol. 714, no. 3. — Pp. 292306.

93. Chertkov M. Instanton for random advection // Phys. Rev. E. — 1997. — Mar. Vol. 55, no. 3. - Pp. 2722-2735.

94. Honkonen J., Pis'так Yu. M., Vasil'ev A. N. Zero beta function for a model of diffusion in potential random field // J. Phys. A: Math. Gen. — 1988.- Vol. 21, no. 17. Pp. L835-L841.

95. Кремнев И. С., Налимов М. Ю., Сергеев В. А. Инстантонный анализ в простой динамической модели: ломаные экстремали // Вести. С,-Петерб. ун-та. Сер. 4- Физика, химия — 2007. — Т. 4. — С. 30-37.

96. Комарова М. В., Кремнев И. С., Налимов М. Ю. Семейство инстан-тонов модели крейчнана с замороженным полем скорости // ТМФ. — 2009. Т. 158, № 2. - С. 200-213.

97. Комарова М. В., Кремнев И. С., Налимов М. Ю. Модель крейчнана с «замороженным» полем скорости: инстантонный анализ констант ренормировки и предела сильной связи // Вестн. С.-Петерб. ун-та. Сер. 4: Физика, химия. — 2009. — Т. 4. — С. 362-372.

98. Komarova М., Kremnev I., Nalimov М. Convergence of perturbation series for renormalization constants in kraichnan model with «frozen» velocity field // ArXiv e-prints. — 2009. — nov.

99. Balkovsky E., Lebedev V. Instanton for the kraichnan passive scalar problem // Phys. Rev. E. — 1998. — Nov. — Vol. 58, no. 5. Pp. 5776-5795.

100. Долганов P. А., Логинов H. А., Налимов M. Ю. Применимость ин-стантонного подхода для исследования асимптотик выскоких порядков разложений в модели крейчнана // Вестн. С.-Петерб. ун-та. Сер. 4: Физика, химия. — 2001.— Т. 3, № 20. — С. 97-102.

101. Honkonen J., Komarova М. V., Nalimov М. Yu. Large-order asymptotes for dynamic models // J.Phys. A: Math. Gen. — 2006. — Vol. 39, no. 25. — Pp. 7815-7824.

102. Makhankov V. G. On the existence of non-one-dimensional soliton-like solutions for some field theories // Phys. Lett. A. — 1977.— Vol. 61, no. 7.-Pp. 431-432.

103. Славнов А. А., Фаддеев JI. Д. Введение в квантовую теорию калибровочных полей. — Москва, Главная редакция физико-математической литературы: Наука, 1988.

104. Градштейп И. С., Рысисик И. М. Таблицы интегралов, сумм, рядов и произведений. — Москва: Государственное издательство физико-математической литературы, 1963.

105. Комарова М. В., Налимов М. Ю. Асимптотика старших порядков теории возмущений: константы ренормировки о(п)-симметричной теории фА в (4 — е)-разложении // ТМФ. — 2001. — Т. 126, № 3. — С. 409—426.

106. Emery V. J. Exactly solvable model for tricritical phenomena // Phys. Rev. B. 1975. - May. - Vol. 11, no. 9. - Pp. 3397-3405.

107. Edwards S. F., Anderson P. W. Theory of spin glasses // J. Phys. F: Met. Phys. 1975. - Vol. 5. - Pp. 965-974.

108. Ward B. Strongly coupled fields: I. green's functions // Preprint SLAC-PUB-1584. 1975. - 41 pp.

109. Арефьева И. Предел сильной связи для о(п) </?4-взаимодействия // ТМФ. 1976. - Nov. - Vol. 29, no. 2. - Pp. 147-153.

110. Казаков Д., Попов В. О суммировании расходящихся рядов теории возмущений в квантовой механике и теории поля // ЖЭТФ. — 2002. — Vol. 122, по. 4. Pp. 675-695.

111. Суслов И. Комментарии к статье д.и. казакова и в.с. попова // ЖЭТФ. 2002. - Vol. 122, по. 4. - Pp. 696-699.

112. Казаков Д., Попов В. Об асимптотике функции гелл-манна-лоу в квантовой теории поля // ЖЭТФ. — 2003. — Vol. 77, по. 9. Pp. 547551.

113. Суслов И. Расходящиеся ряды теории возмущений // ЖЭТФ.— 2005. Vol. 127, по. 6. - Pp. 1350-1402.

114. Kondo J. Resistance minimum in dilute magnetic alloys // Progress of Theoretical Physics.— 1964.— Vol. 32, no. 1.— Pp. 37-49. http://ptp.ipap.jp/link7PTP/32/37/.

115. Kazakov D. I., Shirkov О. V. Asymptotic series of quantum field theory and their summation // Fortschritte der Physik. — 1980. — Vol. 28, no. 8-9. Pp. 465-499.