Исследование статистических моделей турбулентности и турбулентного переноса ренормгрупповыми методами тема автореферата и диссертации по физике, 01.04.02 ВАК РФ

САНКТ-ПЕТЕРБУРГСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ УНИВЕРСИТЕТ

На правах рукописи

Зом^цц 003474412

ГОЛЬДИН Павел Борисович

ИССЛЕДОВАНИЕ СТАТИСТИЧЕСКИХ МОДЕЛЕЙ ТУРБУЛЕНТНОСТИ И ТУРБУЛЕНТНОГО ПЕРЕНОСА РЕНОРМГРУППОВЫМИ МЕТОДАМИ

Специальность: 01.04.02 - теоретическая физика

Автореферат диссертации на соискание ученой степени кандидата физико-математических наук

2 5 ШЭ.Ч 2003

Санкт-Петербург 2009 г.

003474412

Работа выполнена на кафедре физики высоких энергий и элементарных частиц физического факультета Санкт-Петербургского государственного университета.

Научный руководитель:

доктор физ.-матем. наук, профессор

Антонов Николай Викторович

Официальные оппоненты:

доктор физ.-матем. наук, профессор

Налимов Михаил Юрьевич

кандидат физ.-матем. наук, доцент

Варнашёв Константин Борисович

Ведущая организация:

Санкт-Петербургское отделение Математического института им. В. А. Стеклова РАН

Защита состоится « 2009 г. в /о' часов на заседании совета Д.212.232.24 по

защите докторских и кандидатских диссертаций при Санкт-Петербургском государственном университете по адресу: 199034, Санкт-Петербург, Средний пр. В/О, д.41/43 с7(1

С диссертацией можно ознакомиться в библиотеке Санкт-Петербургского государственного университета

Автореферат разослан « » мая 2009 г.

Ученый секретарь диссертационного совета, доктор физ.-матем. наук, профессор

Щекин А.К.

Актуальность темы исследования

Как часто отмечается [1], теоретическое описание развитой турбулентности пока остается во многом нерешенной задачей. Большинство аналитических теорий турбулентности приходится рассматривать как полуфеноменологические модели в том смысле, что они не являются приближениями конечного порядка в некоторой регулярной теории возмущений по малому параметру для какой-либо последовательной микроскопической модели типа стохастического уравнения Навье -Стокса.

Одной из наиболее характерных открытых проблем остается исследование на основе такой микромодели отклонений от предсказаний классической феноменологической теории Колмогорова-Обухова, в особенности явлений перемежаемости и аномального скейлинга структурных функций турбулентного поля скорости. Одна из основных трудностей состоит в том, что обычная теория возмущений - разложение по нелинейности для стохастического уравнения Навье-Стокса - является фактически разложением по числу Рейнольдса, т.е. параметру, стремящемуся к бесконечности для развитой турбулентности.

Надежды на построение последовательной количественной теории турбулентности связываются с использованием методов квантовой теории поля, в особенности ренормализационной группы (РГ), ранее успешно примененной в теории фазовых переходов II рода для обоснования критического скейлинга и расчета соответствующих аномальных показателей в форме рядов по е = 4-с! - отклонению размерности пространства с! от верхней критической размерности (1 = 4, выше которой аномалии исчезают.

Важное отличие состоит в том, что для турбулентности верхней критической размерности не существует, параметр РГ-разложения е имеет другой смысл, и возможность использования простого е -разложения далеко не очевидна. Поэтому весьма многообещающей представляется идея построения теории возмущений по 1/с/, обратной размерности пространства, высказанная в различном контексте и в разной форме в ряде работ: [2-4]. Ожидается, что в пределе с1 -»со задача упростится и, возможно, окажется точно решаемой (например, аномальный скейлинг исчезнет и теория Колмогорова станет справедливой), так что ее можно будет использовать как нулевое приближение систематической теории возмущений с малым параметром 1 /с/ (добавим, что для реальной трехмерной турбулентности он действительно невелик: 1/^ = 1/3).

Как численные, так и натурные эксперименты показывают, что отклонения от предсказаний классической теории Колмогорова для пассивного скалярного поля (температуры, концентрации примеси) проявляются еще сильнее, чем для самой скорости [5]. В то же время, эта задача оказывается более доступной теоретическому анализу. Особое внимание в последнее десятилетие привлекала модель Обухова-Крейчнана, где был получен ряд точных результатов и впервые было построено систематическое разложение для аномальных показателей, подобное е -разложению критических индексов [5,6].

Тем самым, проблема турбулентного перемешивания, важная сама по себе, может рассматриваться и как отправная точка при изучении явлений перемежаемости и аномального скейлинга для развитой турбулентности в целом.

Цели работы

- исследование ряда статистических моделей развитой гидродинамической турбулентности и турбулентного переноса (конвекции) с помощью теоретико-полевых методов ренормгруппы, включая ренормировку составных полей (операторов), операторное разложение на малых расстояниях, а также специально разработанную технику вычисления многопетлевых диаграмм теории возмущений в динамических моделях;

- изучение высоких порядков е -разложения для стохастического уравнения Навье-Стокса, а

также

- изучение аномального сксйлинга в более сложных и реалистических, чем обычная модель Обухова-Крейчнана, задачах турбулентного переноса: учет сжимаемости жидкости и крупномасштабной анизотропии, турбулентный перенос векторного поля.

Научная новизна Основная новая идея данной работы - совмещение асимптотики d со с теоретико-полевым аппаратом ренормгруппы и е -разложением. Это позволило получить следующие ОСНОВНЫЕ РЕЗУЛЬТАТЫ ВЫНОСИМЫЕ НА ЗАЩИТУ:

1. Стохастическое уравнение Навье-Стокса с коррелятором случайной силы вида к*~(>~2s в пространстве d измерений исследовано с помощью метода ренормализационной группы в связи с проблемой построения разложения по lid и выхода за рамки стандартного £-разложения в теории развитой гидродинамической турбулентности. Показано, что число диаграмм теории возмущений для функции Грина в пределе больших d резко сокращается и разработана техника их аналитического вычисления. Практический расчет основных ингредиентов ренормгруппового подхода - константы ренормировки, ¡3 -функции, координаты неподвижной точки и

ультрафиолетового поправочного индекса со — впервые выполнен в порядке е3 (трехпетлевое приближение). На основе полученных результатов предложены гипотетические точные (т.е. вне рамок е -разложения) выражения для неподвижной точки и индекса со.

2. Парная корреляционная функция поля скорости для стохастического уравнения Навье-Стокса в пределе больших d впервые вычислена в третьем порядке разложения по е (двухпетлевое приближение). Вместе с полученными в п.1 результатами это позволило вычислить в третьем порядке £ -разложения константу Колмогорова СК в спектре энергии турбулентности и фактор асимметрии в асимптотике инерционного интервала.

3. Исследована модель турбулентного переноса пассивного поперечного векторного поля, в которой скорость турбулентной среды моделировалась статистическим ансамблем Обухова-Крейчнана. Показано, что аномальный скейлинг возникает как следствие существования в модели составных полей (операторов) с отрицательными критическим размерностями, причем ведущие члены асимптотик структурных функций определяются собственными числами матриц критических

размерностей семейств таких операторов специального вида. При с! то соответствующие матрицы критических размерностей могут быть найдены с помощью относительно простого алгоритма, что позволило вычислить их в главном порядке -разложения для структурных функций до порядка я = 28 включительно. Для высших структурных функций предложены явные эмпирические формулы, становящиеся практически точными с ростом п. Таким образом, дано полное описание аномального скейлинга для модели при всех л.

4. Для двух моделей турбулентного переноса пассивного скалярного поля, обобщающих модель Обухова-Крейчнана на случай присутствия сжимаемости и крупномасштабной анизотропии, в главном порядке -разложения вычислен бесконечный набор аномальных показателей, характеризущий поведение парной корреляционной функции в анизотропных секторах. В теоретико-полевой формулировке эти показатели отождествляются с критическими размерностями бесконечного семейства тензорных составных операторов, квадратичных по полю скорости. Сравнение с точными ответами, полученными с помощью метода нулевых мод, позволило получить точные выражения для этих размерностей и соответствующих констант ренормировки.

Практическая и теоретическая ценность

Полученные в диссертации результаты должны стимулировать дальнейшие попытки нахождения точных решений в моделях развитой турбулентности в пределе большого числа измерений и построения систематического 1 / с/ -разложения. Разработанные методы вычисления многопетлевых диаграмм могут быть использованы в других моделях турбулентности и турбулентного переноса, например в модели Бюргерса. Полученное представление для асимптотик структурных функций в виде суперпозиции большого числа степенных вкладов с близкими показателями должно учитываться при теоретическом описании экспериментальных данных.

Апробация работы

Материалы, вошедшие в диссертацию, докладывались на научном семинаре кафедры физики высоких энергий и элементарных частиц СПбГУ, Школе молодых ученых "Физика и прогресс" (СПбГУ, ноябрь 2008), Международном семинаре "Фоковские чтения: Проблемы современной физики" (декабрь 2008г., Санкт-Петербург) и Х1ЛП Зимней школе ПИЯФ (февраль 2009, Репино).

Публикации

По теме диссертации опубликовано четыре статьи в реферируемых журналах. Список публикаций приведен в конце автореферата.

Структура и объем работы Диссертация состоит из введения, 3 глав, заключения, приложения и списка цитируемой литературы, включающего 54 наименований. Объем диссертации 111 страниц, она содержит 21 рисунок.

ОСНОВНОЕ СОДЕРЖАНИЕ РАБОТЫ

Во введении сформулированы актуальность, цель и задачи работы, а также приведен обзор результатов в области применения методов ренормгруппы в теории критических явлений и стохастической динамике.

В первой главе метод ренормапизационной группы применяется для исследования стохастического уравнения Навье-Стокса в пространстве с/ измерений в связи с проблемой построения разложения по Ш и выхода за рамки стандартного г -разложения в теории развитой гидродинамической турбулентности. Обнаружено, что число диаграмм теории возмущений для функции Грина в пределе больших й резко сокращается и разработана техника их аналитического вычисления. Практический расчет основных ингредиентов ренормгруппового подхода - константы ренормировки,/?-функции, координаты неподвижной точки и ультрафиолетового поправочного индекса со - выполнен в порядке е3 (трехпетлевое приближение). На основе полученных результатов предложены гипотетические точные (т.е. не в форме е -разложений) выражения для неподвижной точки и индекса со.

В качестве микроскопической динамической модели развитой однородной изотропной турбулентности несжимаемой вязкой жидкости обычно выбирается стохастическое уравнение Навье-Стокса с внешней случайной силой

=^„Э2ц-8,Р + /, V, =д,+и1д, (1)

где и, - поперечное (в силу условия несжимаемости д,1>, = 0) поле скорости, Р и fl - давление и поперечная внешняя сила (все эти величины зависят от х = {(,х},) у0- кинематический коэффициент вязкости, д2 - лапласиан и V , - лагранжева производная. Для / предполагается гауссово распределение с нулевым средним и заданным коррелятором

</, (*)/,(*')>= (к V, (к )ехр [/к(х -X')]. (2)

где РДк) = д а -к,к]1к2 - поперечный проектор, й / (к )-некоторая функция модуля к = |к|

и параметров модели и с/ - размерность пространства х . Отсутствие корреляций во времени обеспечивает галилееву инвариантность стохастической задачи (1), (2).

Для использования стандартного аппарата РГ важно, чтобы функция с!г(к) имела степенную

асимптотику при больших к. Это условие обеспечивается выбором с); (£) в виде

с физическим значением е =2, отвечающем накачке энергии бесконечно большими вихрями.

Согласно общей теореме (см. например [3]) стохастическая задача (1), (2) эквивалентна теоретико-полевой модели удвоенного набора полей Ф = {у', у} с функционалом действия вида

5(ф) = и'/)иу72 + о'[-У, +е„д2]и (3)

где йи - коррелятор случайной силы и все необходимые интегрирования по х = {г,х| и суммирования по векторным индексам подразумеваются, например

и'(ид)и = jdt );,'.

Модели (3) отвечает стандартная фейнмановская диаграммная техника. Пропагаторы (линии в диаграммах) в представлении время-импульс (? - к) имеют вид

Ы'УА'% =0(/-/')ехр{-^2(,-/')Ь(к), („;(,>,;(,')>, = 0 ,

¿У (¡к

Взаимодействию в (11) отвечает тройная вершина - и'

(ид)и ~~ VУ-¡р¡и^ ! 1 с вершинным

множителем

где к - импульсный аргумент поля и'.

Удобно ввести новый параметр ("константу связи") соотношением

¿г „=А,<Ч\ (б)

так что gl¡ ос Л2' с УФ импульсным масштабом Л .Отсюда ясно, что модель (3) логарифмична (константа связи безразмерна) при е = 0 независимо от значения размерности пространства с!, так что УФ-расходимости имеют вид полюсов по е в корреляционных функциях полей Ф = {и, у'}.

Стандартный анализ размерностей, дополненный соображениями галилеевой инвариантности, показывает, что поверхностные УФ-расходимости в модели (3) возникают лишь в 1-неприводимой функции Грина {о'и), а устраняющий их контрчлен сводится к виду и'д2и. Введение такого контрчлена в действие (11) воспроизводится мультипликативной ренормировкой параметров и g0 с помощью единственной независимой константы ренормировки :

г^г;1 (й, = 8уо = gM2•v,). (7)

Здесь ц - ренормировочная масса (дополнительный произвольный параметр ренормированной модели), g и V - ренормированные аналоги затравочных параметров £„ и константы ренормировки в схеме минимальных вычитаний (М8), которую мы используем в дальнейшем в практических вычислениях. Ренормировки полей и ИК-масштаба т„ = т не требуется, то есть = 1 для всех Ф и 2т = 1. Ренормированное действие имеет вид

5(ф)=оВ„и72 + и'[-У, +угу621>, (8)

где амплитуда О0 в йи выражена через ренормированные параметры с помощью соотношений (7).

Обратимся к вычислению константы ренормировки 2У в (9) с точностью (трехпетлевое приближение) в пределе £?-»<». В общем случае константа 2Т, отвечающая некоторой 1-неприводимой функции Грина Г = (Ф...Ф) , может быть найдена из соотношения (см. например монографию [3])

гг=\-КЯ'Т, (9)

где Г есть функция Г, нормированная на единицу в нулевом порядке теории возмущений, К' -неполная К -операция, включающая вычитания на все подграфы, кроме последнего вычитания на саму диаграмму как целое, К - операция вычитания УФ-расходимости в данной ренормировочной схеме. Мы используем схему минималных вычитаний (М8), в которой К вычитает только полюса по е:

-I -I

К =

для любого ряда Лорана, а все константы ренормировки имеют вид "1 + только полюса по е", например,

г, + + . (10)

где коэффициенты апк зависят только от с!.

Единственная независимая константа ренормировки 2У в модели (8) определяется 1-неприводимой функцией (в переменных частота-импульс)

гд«,р)=(у>у}ыг=г(й),р)^(р)) (И)

где проектор Р^(р) = 8ц - /р2 возникает в силу поперечности полей и], и1. Тогда скалярный коэффициент Г(й>,р) в (11) дается соотношением

ф,р) = Г\. {со,р)Р0 (р)/(</ -1) = Г, /(«/ -1), (12)

в котором (¡У -1 ) = Рц (р) возникает от следа поперечного проектора.

Первое важное наблюдение состоит в том, что в любой диаграмме функции (11) число петель (равное числу независимых импульсов интегрирования) всегда равно числу линий (пропагаторов) типа (ии)0. Тем самым, можно приписать "чистые" импульсы интегрирования (которые для трехпетлевых диаграмм будут обозначаться к, q и 1) линиям . Импульсы, связанные с остающимися пропагаторами типа {¡->(/)0 будут тогда определенными линейными комбинациями импульсов интегрирования и внешнего импульса р.

Каждая линия {ои)0 привносит одно интегрирование по независимому "чистому" импульсу:

(13)

Так что вся зависимость от <1 приходиться от сверток в проекторах в пропогаторах и вершин.

8

Вершина в (5) явно симметрична по индексам у'я, то есть симметрична по отношению к двум присоединенным к ней полям и и,. Разобьем ее в сумму двух несимметричных частей

> к (И)

и новую несимметричную вершину = ikjSl, графически будем представлять в виде

Здесь перечеркнутый конец отвечает полю и', конец, помеченный жирной точкой, отвечает полю и, стоящему под знаком производной в выражении - и'{ид)и = и'У^ир,; векторные индексы этих

полей сворачиваются друг с другом. Остающийся конец (без точки и перечеркивания) отвечает второму полю и (без производной); его векторный индекс сворачивается с индексом производной. Импульс к есть аргумент поля.

Вклад диаграммы может выжить в пределе больших с! только если соответствующая ей величина Г„(й>,р) в числителе (12) ведет себя при с1со как Единственный возможный

источник таких вкладов - замкнутая цепочка 8 -символов вида

8„8п...8, ,5пё,,. (16)

Произведение типа (16) обязательно связано с цепочкой пропагаторов {и'и)0. начинающейся

в левой внешней вершине диаграммы и заканчивающейся в ее правой внешней вершине. Далее мы будем называть такую цепочку "хребтом" диаграммы.

Однако, хребет порождает нужный нам множитель только в том случае, когда ни на одно из входящих в него полей и не действует производная. Это означает, что все точки в вершинах, принадлежащих хребту, должны располагаться вне хребта, что однозначно фиксирует их расстановку и значительно сокращает их число.

Неисчезающие вклады возникают только если внешние моменты сворачиваются друг с другом через цепочку 8 -символов:

В диаграмме ей отвечает новая (т.е. отличная от хребта) цепочка пропагаторов, соединяющая внешние вершины, причем ровно с двумя размещенными на ней точками именно в этих внешних вершинах. Любая точка, помещенная на такой цепочке в некоторой внутренней вершине, означает свертку с импульсом интегрирования к, ч и тем самым разрывает цепочку ё-символов в (17). Такой "второй хребет" всегда имеет вид

К Ж4 (Н (<Н ■А°'и)о < 8)

то есть состоит из двух встречных цепочек смешанных пропагаторов (ии')0 и (и'о)0 (в общем случае с разным числом звеньев, в том числе и с нулевым), соединенных посередине единственным

пропагатором типа (ои)0. В простейшем случае однопетлевой диаграммы "второй хребет"

существует и состоит из одной линии (ии)0 ■

Отбрасывание заведомо исчезающих при с/ со диаграмм (с "неправильной" расстановкой точек на хребте или не имеющих второго хребта) приводит к впечатляющему сокращению количества остающихся диаграмм. В однопетлевом приближении, из четырех диаграмм остается одна, в двухпетлевом из 120 остается б, в трехпетлевом из 8160 остается 80. В остающихся диаграммах можно отбросить все скалярные произведения, так как они исчезают при с/ —> оо; остающиеся интегралы по модулям вычисляются аналитически.

Собирая вместе все нужные вклады с требуемыми коэффициентами, для константы

ренормировки (10) в трехпетлевом приближении получаем:

2„ + + (19)

8* {64е2 128 е ) 1,1536 с' 1024 г2 3072 е) с поправками порядка м" по константе связи u = gSd. Интересно отметить, что иррациональные числа (1п2 и л2), входящие в ответы для интегралов, выпадают из окончательного выражения для Z,, как результат вычитания подрасходимостей. Для аномальной размерности получаем

Г, (и) = -и + — иг+— иг+о(иЛ (20)

'у\ > 4 з2 512 V / >

а /7-функция находится из соотношенияе)~ + Решая уравнение /?(«.) = 0

итерациями по е, для координаты неподвижной точки находим

(21)

Поправочный показатель

со = /3'{и,)=2£ + ^е7 + ™е2+о(е4) (22)

завершает список трехпетлевых результатов.

Некоторое обобщение этой техники позволило вычислить в двухпетлевом приближении скейлинговую функцию парного коррелятора скорости, что вместе с результатами (19)-(21) позволило построить £ -разложение для константы Колмогорова в спектре энергии турбулентности и фактора асимметрии до третьего порядка включительно.

с^шътилу + г)^, , = -[32(2^ (23)

Ш = + ± + 0(О (24)

3 18 162 27 ;

Таким образом при больших с/ получаем Ск я —. Подстановка с! = 3 дает Ск к 1.94 и Ск а 1.50 в

с/

двух- и трехпетлевом приближение, в разумном согласие с экспериментом.

Во второй главе рассмотрены два стохастических уравнения, описывающие турбулентный перенос пассивного скалярного поля и обобщающие известную модель Обухова-Крейчнана на случай присутствия сжимаемости и крупномасштабной анизотропии. Парная корреляционная функция поля характеризуется в этом случае бесконечным набором показателей, которые ранее были найдены точно с помощью метода нулевых мод. В квантово-полевой формулировке эти показатели отождествляются с критическими размерностями бесконечного семейства тензорных составных операторов, а по ним найти соответствующие константы ренормировки.

Для случая сжимаемой жидкости существует два варианта уравнения, описывающего турбулентный перенос: пассивный перенос полей в[х) температуры или концентрации частиц примеси (общее название - "tracer") описывается уравнением

д,в+ {0,81)9 = v0d29 + f (25)

тогда как перенос поля плотности какой-либо сохраняющейся величины (например, плотности примеси) описывается уравнением вида

d,e + dXvfi) = v0d2e + f (26)

Здесь д, =8!St, д^д/дх,, >'„ - коэффициент температуропроводности или диффузии, 82 • лапласиан, а / = /(х) - искусственно вводимый гауссов шум с нулевым средним и парным коррелятором

{f{x)f{x')) = S{t-t')c{x), rsx-x' (27)

где функция С(г) заметно изменяется лишь на расстояниях порядка г = |r| - L , интегрального масштаба турбулентности. Вклад случайной силы поддерживает стационарное состояние и, если требуется, вносит крупномасштабную анизотропию. Конкретный вид функции С(г) несуществен.

В модели Обухова-Крейчнана поле v(x) выбирается гауссово-распределенным, с нулевым средним и коррелятором вида

{u,{x)oi{x,)) = S(t-t%J{r), (28)

где

КЛг)= D'.Q,(k)y"-e" ■ (29)

Стохастическая задача (25) эквивалентна квантово-полевой модели для системы трех полей Ф)=^е,в(1в,+в'[-д1 -(w,3,.)+r0a2]6i-iv d>. (30)

Предметом исследования является поведение корреляционных функций описанных выше стохастических задач (25)-(26) в инерционном интервале масштабов, определяемом неравенствами Л»1 /г »т. Нас будет интересовать одновременная парная корреляционная функция . Используя метод РГ или метод нулевых мод можно показать, что при Ar »1

функция Z)(r) не зависит от Л (или, эквивалентно, от v0), что с учетом соображений размерности приводит к представлению

Х)(г)=ДД-2Л'/(иг). (31)

Для простоты ограничимся случаем одноосной анизотропии, когда в задаче имеется выделенное направление, задаваемое единичным постоянным вектором п, входящим в функцию С(г) из (27) (этого достаточно, чтобы выявить все независимые показатели). В присутствии вектора п функция / из (31) может быть записана в виде

/(г)-¿/.о»'>•.(«)• "7-' (32)

где z - косинус угла между направлениями п и г, P,(z) - полиномы Гегенбауэра (d-мерное обобщение полиномов Лежандра) и /, = f,(mr)- коэффициентные функции. В инерционном интервале (т.е. при mr «1) они принимают степенной вид: /, °с (mr)1,.

Ведущий вклад в асимптотику тг->0 коэффициента f,(mr) в -разложении (32)

скейлинговой функции /(г) порождается оператором вида

(33)

Операция "Irp" отбирает неприводимую часть тензора, например

¡тр[в{х)д1д/в(х)}=в(х)51д/в(х)-^-в(х)д1в(х), (34)

а в общем случае вычитаемые члены обеспечивают исчезновение свертки получаемого неприводимого тензора типа (33) по любой паре его индексов.

Анализ показывает, что операторы (33) ренормируются мультипликативно: = с некоторыми константами ренормировки Z,. Их можно найти из условия ультрафиолетовой конечности 1-неприводимых функций Грина

Ш1,г = zr'^'^MOL s (35)

т.е. из условия отсутствия в них полюсов по г- в ренормированных переменных. Приведем

константу ренормировки Z, в схеме MS для модели типа tracer:

(J) (36

' Is d(d + 2l-2) V' Отсюда для показателя находим

/(/-!)(«-.)-

" (d + 2l-2)(d-1 + а) '

что согласуется с точным ответом, полученным с помощью метода нулевых мод. Это позволяет получить явный непертурбативный ответ для константы (36).

В третьей главе изучается аномальный скейлинг в модели турбулентного переноса векторного поля. Рассматривается стохастическое уравнение конвекции-диффузии для поперечного пассивного векторного поля в(х) = (вД/.х)} и турбулентного поперечного поля скорости у(х)= {^(г,х)} вида

УД + д,Р = V,Д0, + /,, V, = 3, + [и;8,) (38)

где Р(х) - давление, у0 - вязкость, Д - оператор Лапласа и /(х) - поперечная случайная сила, описывающая поступление энергии в систему от некоторого внешнего источника. Для нее выбирается гауссово распределение с нулевым средним и заданным коррелятором вида

{/,{*№)) = Жг*|х-х'| (39)

где Ь - интегральный (внешний) масштаб и - безразмерная функция, явный вид которой несуществен; требуется лишь конечность при г /1 0 и убывание при г / Ь ю.

Поле скорости также предполагается гауссово-распределенным с коррелятором вида

= оЖ'-'УщгРМ"" «рО*)- (4°)

Основным предметом исследования является поведение одновременных структурных функций

^(гИ^МЛ'.х'Г) (41)

в инерционном интервале, определенном неравенствами 1/Л «г «Ь~\/т. Здесь вг=0:г.1г • компонента пассивного поля вдоль направления г = х - х'. Величина (41) - аналог экспериментально измеряемых структурных функций для реальной развитой турбулентности.

Ультрафиолетовые расходимости, имеющие вид полюсов по £ в диаграммах теории возмущений, устраняются с помощью единственной независимой константы ренормировки коэффициента вязкости, для которой однопетлевое приближение дает точный ответ. Таким образом, модель является мультипликативно ренормируемой, причем соответствующие уравнения ренормгруппы при всех г/2 > 3 имеют инфракрасно-притягивающую неподвижную точку. Это позволяет получить для структурных функций в инфракрасной асимптотике (т.е. при Лг»1) аналогичное (31) скейлинговое представление

З.^Щ'г*"^™). (42)

в котором зависимость от ультрафиолетового масштаба Л исчезает в согласии со Второй гипотезой Колмогорова, а зависимость от внешнего масштаба т содержится в скейлинговых функциях (тг)' вид которых не определяется из самих уравнений ренормгруппы.

Инерционному интервалу отвечает дополнительное условие тг« 1. Как и в теории критического поведения, асимптотика скейлинговых функций в этой области определяется с помощью операторного разложения Вильсона и имеет вид:

4„(тг) = £ А{;]{тг\тг)"г. (43)

Суммирование в (43) идет по всевозможным ренормированным составным полям (в квантово-полевой терминологии - локальным составным операторам) с определенными критическими размерностями Дг , а коэффициентные функции А^(тг) аналитичны по (тг)2.

Критическая размерность Д произвольного оператора вида (Э$)2" в первом порядке е -разложения имеет вид ДгДДс/^ + О^2) с некоторым зависящим от с/ коэффициентом Первые члены его разложения по 11 й имеют вид

А^)=2к + Ьи1с1 + о{\/с12), где к - некоторое целое число, удовлетворяющее неравенствам 0<к<п, и Дп - числовой коэффициент, не зависящий от е к ё. При этом оказывается, что в первом порядке по Мё семейства с разными к "отщепляются" друг от друга, так что их можно рассматривать независимо. Очевидно, что при больших с! опасные операторы с Дп < 0 могут присутствовать лишь в

подсемействах с к = 0. Им соответствуют операторы (дв)1" строго определенного вида - именно, все операторы, в которых поля сворачиваются по векторным индексам только с полями, а производные - только с производными. Для данного п все такие операторы представляются в виде произведений

где кпк=п и фк - скалярный оператор, включающий 2к сомножителей дв и уже не

сводящийся к произведению. Такой объект всегда может быть представлен в виде л _ ф 'М'г'э'э-'кЬ

где

5 3 = д1 в д, в, д, в, д, в, д, д, 0Х ...д, в, д, в, Ренормировку семейств операторов типа (45) с различными п можно рассматривать независимо: в силу линейности исходной задачи операторы вида (д&)2" не примешиваются к операторам (дв)2к если п > к. Как показано в [7], искомый главный член двойного разложения по е и 1 /с! для матрицы смешивания семейства операторов типа (44) с некоторым заданным п имеет вид

Д = --Д + .„, (46)

с/

где многоточие обозначает поправки по степеням £ и 1/(/,а 4 ■ матрица с неотрицательными целочисленными элементами.

Все матрицы Д диагонализуемы, все их собственные числа вещественны и отличны от нуля. Для л = 28 имеется 3718 операторов вида (44), 2569 положительных собственных чисел и 1149

отрицательных. В силу соотношения (46) именно положительные собственные числа отвечают опасным операторам с отрицательными критическими размерностями и потому наиболее интересны. При этом максимальные по модулю положительные собственные числа для данного п определяют ведущий вклад в асимптотике структурной функции Sn в (42), (43).

Приведем все максимальные по модулю собственные числа A„('i) матриц Д для п от 2 до

28:

2,828; 9,67356; 20,617; 35,5888; 54,5717; 77,5602; 104,5518; 135,55; 170,54059; 209,5366; 252,5334; 299,53063; 350,52832; 405,53; 464,5246; 527,52308; 594,52175; 665,52055; 740,51949; 819,51852; 902,51765; 989,51686; 1080,5; 1175,5; 1274,5; 1377,5; 1484,5.

Собственные числа Я0(п), рассматриваемые как функция параметра п, обнаруживают интересные закономерности: они "укладываются" на плавную кривую, которая хорошо описывается простым аналитическим выражением:

Л0(п) = 2л2-Зп + 1/2 + О(1/п), (47)

причем поправка порядка очень мала уже для сравнительно небольших значений п.

Положительные собственные числа, следующие за максимальными, также хорошо ложатся на плавную кривую, следующие за ними образуют собственную ветвь и т.д. Все они описываются простыми явными формулами, которые быстро становятся практически точными с ростом п. Приведем их для нескольких следующих за (47) ветвей; А,(и)=2л2-7л + 7/2, Л2,,(п)=2П2-1Ь + 13,3, Л„(«) = 2и2-11/1 + 7,7,

A3J(n)=2n2-15n + 31,2, (48)

с поправками порядка 0(1/ п).

Итак, ведущий член асимптотики структурной функции в инерционном интервале имеет вид Sn{r) = D-0"r"^{mry-, Д„ =-(eld\2п2 -Зл + 1/2), имеются явные выражения и для поправочных показателей. Таким образом, получено полное описание аномального скейлинга для векторной модели при всех п.

В заключение сформулированы выносимые на защиту основные результаты диссертации.

Основное содержание диссертации изложено в следующих работах:

1. Антонов Н.В., Гольдин П.Б., Точные аномальные размерности составных операторов в модели Обухова-Крсйчнана. Теор. матем. физ. Т. 141. № 3. с. 455 - 468 (2004). (личный вклад 50%)

2. Adzhemyan L.Ts., Antonov N.V., Gol'din P.B., Kim T.L., Kompaniets M.V., Renormalization group in the infinite-dimensional turbulence: Third-order results. J. Phys. A: Math. Theor. Vol. 41. P. 495002. 25 p. (2008). (личный вклад 20%)

3. Аджемян Л.Ц., Антонов Н.В., Гольдин П.Б., Ким Т.Л., Компанией М.В., Ренормализационная группа в теории турбулентности: Трехпетлевое приближение при d -> °о ■ Теор. мат. физ. Т. 158. №

3. с. 460 - 477 (2009). (личный вклад 20%)

4. Аджемян Л.Ц., Антонов Н.В., Гольдин П.Б., Компанией М.В., Аномальный скейлинг в модели турбулентного переноса векторного поля: Высшие структурные функции. Вестник СПбУ. Сер. 4. Физика, Химия. Вып. 1. с. 56 - 67 (2009). (личный вклад 25%)

Список цитируемой литературы:

[1] Frisch U., Turbulence: The Legacy of A.N. Kolmogorov (Cambridge University Press, Cambridge, 1995)296 p.

[2] Fournier J.-D., Frisch U., Rose H.A., Infinite-dimensional turbulence. J. Phys. A: Math. Gen. 1978. Vol. II. P. 187-198.

[3] Yakhot V. Strong turbulence in d-dimensions. E-print LANL chao-dyn/9805027. 1998. 1 Op. [4] Frisch H.L., Schultz M. Turbulence effects in high dimensionality limit. Physica A: Stat. Theor. Phys. 1994. Vol. 211. P. 37--42.

[5] Falkovich G., Gawedzki K., Vergassola M., Particles and fields in fluid turbulence. Rev. Mod. Phys. 2001. Vol. 73. P. 913-975.

[6] Antonov N.V., Renormalization group, operator product expansion and anomalous scaling in models of turbulent advection. J. Phys. A: Math. Gen. 2006. Vol. 39. P. 7825-7865.

Подписано в печать; 20-05-2009 Тираж: 100 экз. Заказ № 620

Отпечатано в цифровой типографии АКГ-ХРКЕЗЭ 199155, Санкт-Петербург, ул. Уральская, д. 17 тел.: 331-33-22 www.art-xpress.ru

ВВЕДЕНИЕ.

Глава 1. РЕНОРМАЛИЗАЦИОННАЯ ГРУППА В ТЕОРИИ ТУРБУЛЕНТНОСТИ:

ТРЕХПЕТЛЕВОЕ ПРИБЛИЖЕНИЕ ПРИ d со.

1.1. Стохастическое уравнение Навье-Стокса.

Выбор коррелятора случайной силы

1.2. Ренормировка и уравнения РГ.

1.3. Вычисление констант ренормировки и РГ-функций в трехпетлевом приближении.

1.4. Парная корреляционная функция: двухпетлевое приближение.

1.5. Расчет константы Колмогорова.

Глава 2. АНОМАЛЬНЫЙ СКЕЙЛИНГ

В МОДЕЛИ ТУРБУЛЕНТНОГО

ПЕРЕНОСА.

2.1. Описание модели.

2.2. Квантово-полевая формулировка.

Точные уравнения для парного коррелятора.

2.3. Аномальные показатели для парного коррелятора: точные результаты.

2.4. Иерархия аномальных показателей и влияние сжимаемости.

2.5. Уравнения РГ.

2.6. Парная корреляционная функция.

Операторное разложение.

2.7. Вычисление аномальных размерностей

J7(<) операторов г в однопетлевом приближении.

2.8. Точные аномальные размерности ^/fe) и константы ренормировки 1.

Глава 3. АНОМАЛЬНЫЙ СКЕЙЛИНГ В МОДЕЛИ

ТУРБУЛЕНТНОГО ПЕРЕНОСА ВЕКТОРНОГО ПОЛЯ:

ВЫСШИЕ СТРУКТУРНЫЕ ФУНКЦИИ.

3.1. Описание модели.

3.2. Ренормгруппа, операторное разложение и аномальный скейлинг.

3.3. Размерности операторов при " ~.

Теоретическое описание развитой гидродинамической турбулентности часто называют последней нерешенной проблемой классической физики [38]. Одной из конкретных задач является обоснование в рамках микроскопической динамической модели явления аномального скейлинга для корреляционных функций поля скорости и вычисление соответствующих аномальных показателей в форме последовательной теории возмущений, подобной изветстным s- или 1/TV-разложениям критических индексов в теории критических явлений; см. например [54, 11].

Первая встречаемая здесь трудность состоит в том, что обычная теория возмущений - разложение по нелинейности для стохастического уравнения Навье-Стокса - является фактически разложением по числу Рейнольдса, т.е. параметру, стремящемуся к бесконечности для развитой турбулентности. Возникает необходимость каким-либо образом перестроить (пересуммировать) ряды обычной теории возмущений. Подобная проблема известна и в теории критического поведения, где она решается с помощью метода ренормализационной группы (РГ), что приводит к представлению критических индексов в виде рядов по параметру s = A-d- отклонению размерности пространства d от верхней критической размерности d=4, выше которой критическое поведение тривиализуется. Альтернативный подход основан на использовании уравнений самосогласования со скелетными диаграммами (бутстрап) и приводит к 1/TV-разложениям, где N - число компонент параметра порядка. Однако, применение этих методов к развитой турбулентности не привело до сих пор к окончательному решению проблемы аномального скейлинга.

Важное отличие состоит в том, что для турбулентности (а точнее говоря, для стохастического уравнения Навье-Стокса) не существует верхней критической размерности, и параметр разложения е в теоретикополевом РГ-подходе имеет совершенно иной физический смысл. Именно, корреляционная функция случайной силы, моделирующей "накачку" энергии в систему от внешнего источника, выбирается в степенном виде [34]: >«.* , (1.1) где к - волновое число. Подробное обсуждение этого выбора можно найти в [3, 11, 26]. Физическое значение в = 2 отвечает накачке вихрями бесконечно большого размера: (ff )°о S{k^). При этом размерность пространства d остается свободным параметром и может изменяться независимо от s . Общей чертой с моделями критического поведения является то, что предел ^->0 соответствует логарифмической (точно ренормируемой) теоретико-полевой модели, а ультрафиолетовые (УФ-) расходимости проявляются как полюса по в в диаграммах теории возмущений. По этой причине, мы используем тот же символ в и для стохастического уравнения Навье-Стокса; в литературе он иногда обозначается как в = у/2 [34].

Результаты РГ-подхода к модели (1.1) внутренне непротиворечивы и надежны при асимптотически малых с, тогда как возможность их экстраполяции к физическому (не малому) значению в - 2 далеко не очевидна. Разумеется, физическое значение в = 4 - d = 1 в теории критических явлений также отнюдь не мало. Но там нет конкретных оснований ожидать появления каких-либо качественных изменений в поведении системы при увеличении в из области малых значений £«1 к реальным конечным в~ 1, так что возможность такой экстраполяции обычно не подвергается сомнению.

Для стохастического уравнения Навье-Стокса с накачкой (1.1) ситуация заведомо более сложная. Новые качественные эффекты возникают с ростом с, и они легко могут быть потеряны, если s-разложение используется некритично или неосторожно. Один из них, возникающий при с >3/2, связан с известным явлением переноса турбулентных вихрей как целого вихрями существенно больших размеров. Это приводит к сильной зависимости корреляционных функций скорости от внешнего (интегрального) масштаба турбулентности L, исчезающей лишь в галилеево-инвариантных величинах (например, в одновременных структурных функциях). Другой ожидаемый эффект - переход (кроссовер) при некотором (пока неизвестном) значении г. от колмогоровского скейлинга (теории "К41") к т.н. аномальному скейлингу (мультискейлингу) - сингулярной зависимости галилеево-инвариантных корреляционных функций от масштаба L, характеризующейся бесконечным набором независимых показателей; см. например [38].

Подобные эффекты в РГ-подходе могут быть связаны с возникновением в соответствующих операторных разложениях т.н. опасных составных полей ("составных операторов" в квантово-полевой терминологии), имеющих отрицательные критические размерности [4]. В модели (1.1) таковыми оказываются все операторы вида о", степени поля скорости о, при £>3/2. Суммирование их вкладов в операторных разложениях, выполненное в [4], позволяет выйти за рамки простого s-разложения и дать адекватное описание вышеупомянутых эффектов переноса и связанных с ними сингулярностей при L-»oo; см. также [3, 26]. Чго касается аномального скейлинга в структурных функциях, то он, по-видимому, должен быть связан с существованием в модели (1.1) галилеево-инвариантных опасных операторов. Эта идея была успешно реализована в популярной модели Обухова-Крейкнана, описывающей турбулентное перемешивание пассивного скалярного поля (температуры, концентрации примеси и т.п.) "синтетическим" гауссовым полем скорости с заданным коррелятором вида ос S{t -/')/kd+r; см. обзор [35] и цитированную там литературу. Первоначально аномальные индексы в ней были вычислены в порядках 0(\/d) [33] и О (а- ) [31] в рамках т.н. метода нулевых мод (который можно рассматривать как некоторую разновидность метода уравнений самосогласования). В РГ-подходе к модели Обухова-Крейкнана, развитом в работе [25], аномальные показатели были отождествлены с размерностями опасных галилеево-инвариантных операторов, именно, степеней локальной скорости диссипации скалярных флуктуаций. Это позволило построить для них систематическое разложение по показателю s и выполнить практические вычисления в порядках s 2 [25] и s 3 [21]. Обсуждение РГ-подхода к проблеме аномального скейлинга в моделях турбулентного перемешивания и подробную библиографию можно найти в [28].

Однако, реализовать подобную программу для стохастической модели с накачкой (1.1) пока оказалось невозможным. Дело в том, что в отличие от модели Обухова-Крейкнана, критические размерности всех галилеево-инвариантных составных операторов при малых с в ней строго положительны. Если некоторые из них и становятся отрицательными при некоторых конечных значениях е ~ 1, этот факт нельзя надежно установить в рамках s -разложения, так как известны лишь один-два члена ряда пог и лишь для немногих операторов (несколько размерностей известно точно, но все они при s < 2 остаются положительными[7]). Подробное обсуждение этих вопросов и ссылки можно найти в [3, 11, 26]. Таким образом, возникает потребность в альтернативной (к s -разложению) теории возмущений. Предпринимавшиеся попытки ввести N "реплик'" поля скорости и построить 1 /N -разложение (см. например [46]) несовметимы с галилеевой инвариантностью и не могут быть признаны уд о в л етворител ьн ыми.

Гораздо более многообещающей представляется идея построения теории возмущений по 1UI, обратной размерности пространства, высказанная в различном контексте и в разной форме в ряде работ: [24, 36, 37, 42, 48, 51]. Ожидается [36], что в пределе с/-»оо задача упростится и, возможно, окажется точно решаемой (например, аномальный скейлинг исчезнет и теория К41 станет справедливой), так что ее можно будет использовать как нулевое приближение систематической теории возмущений с малым параметром 1 Id (добавим, что для реальной трехмерной турбулентности он действительно мал: Мd - 1/3 ).

Аргументы в пользу исчезновения аномального скейлинга при d = оо, основанные на некотором замыкании уравнений для корреляционных функций, были приведены в работе [51]. Ранее это было обнаружено для упоминавшейся выше модели Обухова-Крейкнана [42], причем в ней удается найти и аномальные показатели в порядке 0{VId) [33] (хотя построить систематическое разложение по 1 Id или хотя бы выполнить вычисление аномальных показателей в порядке о{[/ d2) пока не удалось).

Приводились, однако, и аргументы в пользу сохранения нетривиального скейлинга для развитой турбулентности в пределе бесконечного числа измерений [37]. Выполненный в [36] анализ диаграмм нестационарной теории возмущений для стохастического уравнения Навье-Стокса, как и ренормированной стационарной теории возмущений с одетыми линиями, не обнаружил каких-либо диаграмм или классов диаграмм, которые исчезали бы при оо. Не было найдено и каких-либо радикальных упрощений в самих диаграммах, которые позволили бы получить явное общее выражение для их суммы, как это удается сделать для ф(л)-симметричной модели критического поведения, где предел Л/" —> оо описывается в замкнутом виде точно-решаемой сферической моделью [54].

Ключевая идея данной работы - совмещение асимптотики d -»оо для модели (1.1) с аппаратом РГ и s -разложением. Ранее было замечено [24, 48], что переход к пределу больших d приводит к значительным упрощениям в ренормгрупповых вычислениях. Так, в очень важной работе [48] скейлинговые размерности всех составных операторов - степеней скорости локальной диссипации энергии - были вычислены в модели (1.1) в первом порядке по г. . Для конечных d эта задача оказывается чрезвычайно сложной из-за смешивания операторов при ренормировке, так что она не была полностью решена даже для простейшего случая квадрата оператора диссипации [7]. Найденные в [48] размерности положительны при с<2, монотонно убывают с ростом е и обращаются в нуль при физическом значении s~2, в согласии с аргументами работ [36, 51] о справедливости теории К41 для d = со. Поэтому вполне возможно, что поправки порядка к результату [48] окажутся отрицательными (степени скорости диссипации окажутся опасными операторами), так что аномальный скейлинг в модели (1.1) будет корректно обоснован в рамках двойного разложения по s и М d. (Напомним, что именно степени скорости диссипации ответственны за аномальный скейлинг в модели Обухова-Крейкнана [21, 25, 28]. Для векторного аналога модели Обухова-Крейкнана, где вычисления аномальных показателей оказываются весьма громоздкими уже в порядке 0(е) из-за смешивания составных операторов, дополнительное разложение по 1UI также приводит к существенным упрощениям [24].

В первой главе данной работе мы систематически исследуем предел больших d для стохастического уравнения Навье-Стокса в рамках РГ-подхода. Хотя нам и не удалось найти точное решение задачи при d = оо или построить аналог сферической модели, мы обнаружили радикальные упрощения в диаграммах функции Грина (функции отклика), что позволило вычислить основные ингредиенты РГ-теории - константу ренормировки, Р -функцию, координату неподвижной точки и ультрафиолетовый поправочный индекс - в третьем порядке s -разложения , (трехпетлевое приближение). Полученные результаты позволяют предложить гипотетические точные (т.е. без разложения по е ) выражения для этих величин. Мы полагаем, что эти результаты окажутся полезными в последующих попытках построения 1/ d -разложения для развитой гидродинамической турбулентности.

Во второй главе рассмотрены два стохастических уравнения, описывающие турбулентный перенос пассивного скалярного поля и обобщающие известную модель Обухова-Крейчнана на случай присутствия сжимаемости и крупномасштабной анизотропии. Парная корреляционная функция поля характеризуется в этом случае бесконечным набором показателей, которые ранее были найдены точно с помощью метода нулевых мод. В квантово-полевой формулировке эти показатели отождествляются с критическими размерностями бесконечного семейства тензорных составных операторов, а по ним найти соответствующие константы ренормировки.

В третьей главе рассматривается проблема аномального скейлинга для пассивного векторного поля, при этом турбулентная среда моделируется ансамблем Обухова-Крейчнана. С точки зрения физики, ее можно рассматривать как некоторую приближенную линеаризацию стохастического уравнения Навье-Стокса. Для векторного поля операторов одинаковой размерности и симметрии можно построить много, они смешиваются при ренормировке, так что асимптотика структурных функций определяется не индивидуальными операторами, а целыми семействами операторов. Ренормировка семейств составных операторов и вычисление соответствующих матриц критических размерностей — достаточно трудоемкая задача.

Модель пассивного векторного поля представляет особый интерес: в ней также присутствует проблема смешивания операторов, но теперь это не является непреодолимым препятствием: ведущие аномальные показатели определяются критическими размерностями операторов определенного типа, именно, (дв)2" (со всевозможными вариантами сверток по векторным индексам), причем операторы с данным значением п образуют семейства, ренормировку которых можно рассматривать независимо.

Мы рассмотрим проблему аномального скейлинга в модели пассивного векторного поля при dоо. Как и в случае скалярной модели Обухова—Крейчнан а, аномальные показатели при больших d убывают как 0(]/d), так что аномальный скейлинг при d = оо исчезает. При этом для нахождения всех отрицательных размерностей оказывается достаточным рассматривать некоторое подсемейство полного семейства (дв)2", а соответствующая матрица критических размерностей может быть построена с помощью определенного алгоритма. Это позволило явно найти все о грицательные критические размерности в семействах до п- 28 включительно в порядке 0(s); они определяют ведущие и поправочные аномальные показатели для структурных функций вплоть до <S28.

При больших п прямые вычисления становятся слишком трудоемкими, но в них и нет необходимости: полученные результаты позволяют предложить простые явные эмпирические выражения для ведущих и поправочных аномальных показателей, которые становятся практически точными для больших п. Таким образом, при d —> оо удается получить полное описание аномального скейлинга при всех п.

По теме диссертации опубликовано четыре статьи в реферируемых журналах:

1. Антонов Н.В., Гольдин П.Б., Точные аномальные размерности составных операторов в модели Обухова-Крейчнана. Теор. матем. физ. Т. 141. №3. с. 455-468 (2004).

2. Adzhemyan L.Ts., Antonov N.V., Gol'din P.B., Kim T.L., Kompaniets M.V., Renormalization group in the infinite-dimensional turbulence: Third-order results. J. Phys. A: Math. Theor. Vol. 41. P. 495002. 25 p. (2008).

3. Аджемян Л.Ц., Антонов H.B., Гольдин П.Б., Ким Т.Л., Компаниец М.В., Ренормализационная группа в теории турбулентности: Трехпетлевое приближение при d-> оо. Теор. мат. физ. Т. 158. № 3. с. 460 - 477 (2009).

4. Аджемян Л.Ц., Антонов Н.В., Гольдин П.Б., Компаниец М.В., Аномальный скейлинг в модели турбулентного переноса векторного поля: Высшие структурные функции. Вестник СПбУ. Сер. 4. Физика, Химия. Вып. 1. с. 56 - 67 (2009).

Рисунки собраны в приложении и пронумерованы подряд.

ЗАКЛЮЧЕНИЕ

Ключевая новая идея данной работы - совмещение асимптотики d -»со с теоретико-полевым аппаратом ренормгруппы и ^-разложением. Это позволило получить следующие новые результаты:

1. Стохастическое уравнение Навье-Стокса с коррелятором случайной силы вида k*~d~2e в пространстве d измерений исследовано с помощью метода ренормализационной группы в связи с проблемой построения разложения по Мd и выхода за рамки стандартного е -разложения в теории развитой гидродинамической турбулентности. Показано, что число диаграмм теории возмущений для функции Грина в пределе больших d резко сокращается и разработана техника их аналитического вычисления. Практический расчет основных ингредиентов ренормгруппового подхода ~ константы ренормировки, /?-функции, координаты неподвижной точки и . ультрафиолетового поправочного индекса со - впервые выполнен в порядке с3 (трехпетлевое приближение). На основе полученных результатов предложены гипотетические точные (т.е. вне рамок е -разложения) выражения для неподвижной точки и индекса со.

2. Парная корреляционная функция поля скорости для стохастического уравнения Навье-Стокса в пределе больших d впервые вычислена в третьем порядке разложения по s (двухпетлевое приближение). Вместе с полученными в п.1 результатами это позволило вычислить в в третьем порядке s -разложения константу Колмогорова Ск в спектре энергии турбулентности, и фактор асимметрии в асимптотике инерционного интервала.

3. Для двух моделей турбулентного переноса пассивного скалярного поля, обобщающих модель Обухова-Крейчнана на случай присутствия сжимаемости и крупномасштабной анизотропии, в главном порядке е-разложения вычислен бесконечный набор аномальных показателей, характеризущий поведение парной корреляционной функции в анизотропных секторах. В теоретико-полевой формулировке эти показатели отождествляются с критическими размерностями бесконечного семейства тензорных составных операторов, квадратичных по полю скорости. Сравнение с точными ответами, полученными с помощью метода нулевых мод, позволило получить точные выражения для этих размерностей и соответствующих констант ренормировки.

4. Исследована модель турбулентного переноса пассивного поперечного векторного поля, в которой скорость турбулентной среды моделировалась статистическим ансамблем Обухова-Крейчнана. Показано, что аномальный скейлинг возникает как следствие существования в модели составных полей (операторов) с отрицательными критическим размерностями, причем ведущие члены асимптотик структурных функций определяются собственными числами матриц критических размерностей семейств таких операторов специального вида. При d -»со соответствующие матрицы критических размерностей могут быть найдены с помощью относительно простого алгоритма, что позволило вычислить их в главном порядке s -разложения для структурных функций до порядка п = 28 включительно. Для высших структурных функций предложены явные эмпирические формулы, становящиеся практически точными с ростом п. Таким образом, дано полное описание аномального скейлинга для модели при всех п.

Полученные в диссертации результаты должны стимулировать дальнейшие попытки нахождения точных решений в моделях развитой турбулентности в пределе большого числа измерений и построения систематического разложения. . Разработанные методы вычисления многопетлевых диаграмм могут быть использованы в других моделях турбулентности и турбулентного переноса, например в модели Бюргерса. Полученное представление для асимптотик структурных функций в виде суперпозиции большого числа степенных вкладов с близкими показателями должно учитываться при теоретическом описании экспериментальных данных.

1. Аджемян JT. Ц., Антонов Н. В. // Ренормализацнонная группа в теории турбулентности: Точно-решаемая модель Гейзенберга. 1998. Т. 115. С. 245-262.

2. Аджемян JI. Ц., Антонов Н. В. // Теор. матем. физика. 1998. Т. 115. С.245.

3. Аджемян JI. Ц., Антонов Н. В., Васильев А. Н. Квантово-полевая ренормализацнонная группа в теории развитой турбулентности. // Успехи физ. наук. 1996. Т. 166. С. 1257-1284.

4. Аджемян JI. Ц., Антонов Н. В., Васильев А. Н. Проблема инфракрасных расходимостей и ренормгруппа в теории развитой турбулентности. //Журн. эксп. теор. физ. 1989. Т. 95, С. 1272-1288.

5. Аджемян J1. Ц., Антонов Н. В., Гольдин П. Б., Ким Т. JL, Компаниец М. В. Ренормализацнонная группа в теории турбулентности: Трехпетлевое приближение при d оо. // Теор. мат. физ. 2009. (принято к опубликованию).

6. Аджемян JI. Ц., Антонов Н. В., Гольдин П. Б., Компаниец М. В. Аномальный скейлинг в модели турбулентного переноса векторного поля: Высшие структурные функции. // Вестник СПбГУ. Сер. 4. Физика, Химия. Вып. 1. 2009. (принято к опубликованию).

7. Антонов Н. В., Борисенок С. В., Гирина В. И. Ренормализацнонная группа в теории развитой турбулентности. Составные операторы канонической размерности восемь. // Теор. мат. физ. 1996. Т. 106. С. 92101.

8. Антонов Н.В., Хонконен Ю.Р. // Вестн. Санкт-Петерб. ун-та. Сер. Физика, Химия. 2004. Вып. 1. С.00.

9. Васильев А. Н. Квантовополевая ренормгруппа в теории критического поведения и стохастической динамике. СПб: Изд-во ПИЯФ, 1998. 774 с.

10. Владимиров А. А. Метод вычисления ренормгрупповых функций в схеме размерной ренормировки. // Теор. матем. физ. 1980. Т. 43. С. 21 0217.

11. Дайсон Ф., Монтролл Э., Кац М., Фишер М. Устойчивость и фазовые переходы. М., Мир, 1973.

12. Монин А. С., Яглом А. М. Статистическая гидромеханика: В 2т. Т. 2. СПб: Гидрометеоиздат, 1996. 743 с.

13. Новиков С. В. Перенос пассивной векторной примеси турбулентным потоком. // Вестник СПбУ. Сер. 4 (Физика, химия). 2002. вып. 4. С. 7781.

14. Новиков С. В. Перенос пассивной векторной примеси двумерным турбулентным потоком. // Теор. матем. физ. 2003. Т. 136. С. 52-68.

15. Стенли Г. Фазовые переходы и критические явления. М., Мир, 1973.

16. Фишер М. Природа критического состояния. М., Мир, 1968.

17. Ширков Д.В.// ДАН СССР. 1982. Т.263. С.64; Теор. матем. физика. 1984. Т.60. С.218.

18. Adzhemyan L. Ts., Antonov N.V.// Phys. Rev. 1998. Vol. E58. P.7381.

19. Adzhemyan L. Ts., Antonov N. V., Barinov V. A., Kabrits Yu. S., Vasil'ev A. N. calculation of the anomalous exponents in the rapid-change model of passive scalar advection to order s3. // Phys. Rev. 2001. Vol. E64. P. 056306-(l)-056306-(28).

20. Adzhemyan L. Ts., Antonov N. V., Gol'din P. В., Kim T. L., Kompaniets M. V. Renormalization group in the infinite-dimensional turbulence: Third-order results. // J. Phys. A: Math. Theor. 2008. Vol. 41. P. 495002. 25 p.

21. Adzhemyan L. Ts., Antonov N. V., Kompaniets M. V., Vasil'ev A. N. Renormalization-group approach to the stochastic Navier-Stokes equation:

22. Two-loop approximation. // Int. J. Mod. Phys. 2003. Vol. В17. P. 21372170.

23. Adzhemyan L. Ts., Antonov N. V., Runov A. V. Anomalous scaling, nonlocality, and anisotropy in a model of the passively advected vector field. // Phys. Rev. 2001. Vol. E64. P. 046310-(l)-046310-(20).

24. Adzhemyan L. Ts., Antonov N. V., Vasil'ev A. N. Renormalization group, operator product expansion, and anomalous scaling in a model of advected passive scalar. // Phys. Rev. 1998 Vol. E 58. P. 1823-1835.

25. Adzhemyan L. Ts., Antonov N. V., Vasiliev A. N. The Field Theoretic Renormalization Group in Fully Developed Turbulence. London: Gordon & Breach, 1999. 202 p.

26. Adzhemyan L.Ts., Antonov N.V., Vasil'ev A.N.// Phys. Rev. 1998. Vol. E58. P. 1823; Теор. матем. физика. 1999. Т. 120. C.309.

27. Antonov N. V. Renormalization group, operator product expansion and anomalous scaling in models of turbulent advection. // J. Phys. A: Math. Gen. 2006. Vol. 39. P. 7825-7865.

28. Antonov N.V., Honkonen J.// Phys. Rev. 2001. Vol. E63. P.036302.

29. Arad I., Procaccia I. Spectrum of anisotropic exponents in hydrodynamic systems with pressure. // Phys. Rev. 2001 Vol. E 63. P. 056302-(l)-056302-(19).

30. Bernard D., Gawedzki K., Kupiainen A. Anomalous scaling in the N-point functions of a passive scalar. // Phys. Rev. 1996. Vol. E54. P. 2564-2572.

31. Chertkov M., Falkovich G. Anomalous scaling exponents of a white-advected passive scalar. // Phys. Rev. Lett. 1996. Vol. 76. P. 2706-2709.

32. Chertkov M., Falkovich G., Kolokolov I., Lebedev V. Normal and anomalous scaling of the fourth-order correlation function of a randomly advected passive scalar. // Phys. Rev. 1995. Vol. E52. P. 4924-4941.

33. De Dominicis C., Martin P. C. Energy spectra of certain randomly-stirred fluids. // Phys. Rev. 1979. Vol. A19. P. 419-422.

34. Falkovich G., Gawedzki K., Vergassola M. Particles and fields in fluid turbulence. //Rev. Mod. Phys. 2001. Vol. 73. P. 913-975.

35. Fournier J.-D., Frisch U., Rose H. A. Infinite-dimensional turbulence. 11 J. Phys. A: Math. Gen. 1978. Vol. 11. P. 187-198.

36. Frisch H. L., Schultz M. Turbulence effects in the high dimensionality limit. // Physica A: Stat. Theor. Phys. 1994. Vol. 211. P. 37-42.

37. Frisch U.: Turbulence: The Legacy of A. N. Kolmogorov, Cambridge: Cambridge University Press, 1995. 296 p.

38. Frisch U., Mazzino A., Noullez A., Vergassola M. // Phys. Fluids. 1999. Vol. 11. P. 2178.

39. Gawedzki K., Kupiainen A. Anomalous scaling of the passive scalar. // Phys. Rev. Lett. 1995. Vol. 75. P. 3834-3837.

40. Heisenberg W. Z. // Phys. 1948. V. 124. P.628.

41. Kraichnan R. H. Convection of a passive scalar by a quasi-uniform random straining field. // J. Fluid. Mech. 1974. Vol. 64. P. 737-762.

42. Lam S. H. On the RNG theory of turbulence. // Phys. Fluids. 1992. Vol. A 4. P. 1007-1017.

43. Lee T.D. // Phys. Rev. 1954. Vol. 95. P. 1329.

44. Mazzino A., Muratore Ginanneschi P. // Phys. Rev. 2001. Vol. E63. P.015302(R).

45. Мои C.-Yu., Weichman P. B. Multicomponent turbulence, the spherical limit, and non-Kolmogorov spectra. // Phys. Rev. 1995. Vol. E52. 37383796.

46. Novikov S. V. Anomalous scaling in two and three dimensions for a passive vectoradvection. //J. Phys. A: Math. Gen. 2006. Vol. 39. P. 8133-8140.

47. Runov A. V. On the field theoretical approach to the anomalous scaling in turbulence. // E-print LANL chao-dyn/9906026, 1999. 4 p.

48. Thirring W.// Ann. Phys. (N.Y.) 1958. Vol. 3. P.91.

49. Wilson K.G.// Phys. Rev. 1970. Vol. D2.P.1438.

50. Yakhot V. Strong turbulence in d-dimensions. // E-print LANL chao-dyn/9805027. 1998. 10 p.

51. Yakhot V., Orszag S. A. Renormalization group analysis of turbulence. // Phys. Rev. Lett. 1986. Vol. 57. P. 1722-1724.

52. Yakhot V., Orszag S. A. Renormalization group analysis of turbulence. I. Basic theory. // J. Sci. Сотр. 1986. Vol. 1. P. 3-51.

53. Zinn-Justin J. Quantum Field Theory and Critical Phenomena. Oxford: Clarendon, 1996. 1008 p.