Многопетлевые расчеты динамических критических индексов методом ренормализационной группы тема автореферата и диссертации по физике, 01.04.02 ВАК РФ

Введение

1 Двухпетлевой расчет критических индексов в Н-модели критической динамики

1.1 Упрощенная ifo-модель.

1.2 Ренормировка и РГ-анализ i/o-модели.

1.3 Двухпетлевой расчет в схеме MS.

1.4 Сравнение с результатами расчета других авторов

2 Двухпетлевой расчет РГ-функций в теории развитой турбулентности

2.1 Модель

2.2 Расчет константы ренормировки.

2.2.1 Однопетлевое приближение.

2.2.2 Двухпетлевое приближение.

2.3 Расчет ренормгрупповых функций и индекса и.

2.4 Выражения для функций

3 РГ-анализ модели Крейчнана

3.1 Модель Крейчнана.

3.1.1 Квантово-полевая формулировка.

3.1.2 Аномальный скейлинг и составные операторы

3.2 Вычисление критических размерностей операторов . . 68 3.2.1 Скаляризация диаграмм.

3.2.2 3.2.

Свертки базовых тензорных структур Вычисление величин А{

4 Модель Крейчнана - аномальный скейлинг в трехпетлевом приближении

4.1 Вычисления в одно и двухпетлевом приближениях

4.1.1 Однопетлевое приближение.

4.1.2 Двухпетлевое приближение.

4.1.3 Вычисление двухпетлевых интегралов.

4.2 Трехпетлевое приближение

4.2.1 Скаляризация трехпетлевых диаграмм

4.2.2 Вычисление трехпетлевых интегралов и аномальных размерностей.

4.2.3 Угловые интегралы в трехпетлевых диаграммах

4.2.4 Интегралы по модулю в трехпетлевых диаграммах

4.2.5 Аномальный скейлинг при больших d.

4.3 Сходимость е-разложения, обратное ^-разложение

4.4 Коэффициенты А{ для трехпетлевых диаграмм

Метод ренормализационной группы (РГ), развитый первоначально в рамках квантовой теории поля в связи с потребностями физики элементарных частиц, был с успехом применен в начале 70-х годов в работах К.Вильсона и других в теории критических явлений для обоснования критической масштабной инвариантности (скейлинга) и вычисления универсальных характеристик критического поведения (критических индексов и скейлинговых функций) в форме е-разложений. Впоследствии он был обобщен на другие задачи, для которых характерен скейлинг в инфракрасной области: критическую динамику, случайные блуждания, физику полимеров и теорию развитой гидродинамической турбулентности.

Вычислительная эффективность метода РГ в теории критических явлений является общепризнанной — в задачах критической статики удалось продвинуться до четырех-пяти порядков теории возмущений, что, в свою очередь, позволило, проделав борелевские суммирования, достаточно точно предсказывать уже реальные значения индексов, а не просто говорить о формальном их разложении в ряд по бесконечно малому, но реально конечному параметру е.

В то же время, в динамических задачах дела обстоят не столь успешно. Наличие дополнительного измерения — времени (или частоты в Фурье представлении), не позволяет пользоваться методами расчетов, развитыми в критической статике, в результате чего, лишь в наиболее простой из известных моделей — модели А критической динамики [6], удалось довести точность вычислений до трехпетле-вого приближения. В более сложной модели критической динамики — так называемой /^-модели, описывающей динамику флуктуаций плотности в окрестности критической точки жидкость-пар, — разными авторами были произведены двухпетлевые расчеты динамических критических показателей [28, 46], однако, результаты этих работ противоречат друг другу и без дополнительных вычислений невозможно отдать предпочтения ни одной из работ.

Особое место в критической динамике занимает теория турбулентности, описывающая существенно неравновесный процесс. До последнего времени в РГ-теории турбулентности не удавалось продвинуться далее однопетлевого приближения. Больший прогресс был достигнут в смежной области, привлекающей в настоящее время большое внимание, — модели Крейчнана турбулентного переноса пассивной скалярной примеси. Благодаря относительной простоте этой модели, в ней впервые удалось обосновать специфичное для теории турбулентности явление аномального скейлинга, создать систематическую теорию возмущений для расчета соответствующих аномальных показателей и довести точность вычислений до двухпетлевой [11]. До этого в моделях развитой турбулентности имелся лишь сценарий возникновения аномального скейлинга, основанный на предположении о существовании бесконечных семейств опасных составных операторов, определяющих аномальные показатели. Найти же явно такие операторы не удавалось ввиду технической сложности анализа их критических размерностей.

Диссертационная работа посвящена многопетлевым расчетам критических индексов в задачах критической динамики. А именно, приводится двухпетлевой расчет индексов в модели Н критической динамики, двухпетлевой расчет в теории развитой турбулентности и трехпетлевой расчет показателей аномального скейлинга в модели Крейчнана турбулентного переноса пассивной скалярной примеси. Остановимся кратко на основной технической идее, позволившей значительно упростить эти расчеты.

Известно [6], что наиболее эффективной для расчетов, проводимых с помощью РГ, является схема MS (минимальных вычитаний), в которой константы ренормировки включают в себя только полюса по формальному малому параметру теории а коэффициенты при полюсах представляют собой числа. Поэтому, используя независимость константы ренормировки от "массы" — внешнего размерного параметра модели — можно вычислять диаграммы в "безмассовой" теории, то есть, положив этот параметр равным нулю. Инфракрасная (ИК) регуляризация в диаграммах при этом достигается за счет внешних импульсов диаграмм. Такой подход полностью оправдал себя в моделях критической статики, позволив, как уже было отмечено, дойти до четвертого-пятого порядков теории возмущений.

Однако, при переходе к динамике, стало понятно, что этот подход не всегда оправдывает себя. Дело в том, что дополнительные интегрирования по частотам (или временам), возникающие в динамике, коренным образом меняют подынтегральные выражения для диаграмм, в результате чего борьба идет уже не за явные аналитические решения, а просто за нахождение числовых значений при полюсах. В этом случае часто оказывается выгоднее в качестве параметра регуляризации оставлять в интегралах не векторные "внешние импульсы", а скалярный внешний параметр.

Преимущества такого варианта схемы MS, наиболее явно проявились при расчете двухпетлевых диаграмм в теории турбулентности [3, 4], где в вычислениях сначала была использована традиционно предлагаемая [1, 6] "безмассовая схема". Очень громоздкие и сложные в идеологическом плане вычисления интегралов по областям, которые пришлось проводить в этом случае, а также опыт расчета двухпетлевых диаграмм в iT-модели, где использовалась "массивная" регуляризация диаграмм с последующим вычислением их на нулевых импульсах, подсказали идею сделать аналогичную регуляризацию и для теории турбулентности.

В случае турбулентности дело сильно упрощается тем фактом, что зависимость в ней от "массового" параметра т (подробнее см. главу 2) осуществляется через произвольную (от явного вида которой теория не зависит) функцию h(m/k), которая должна удовлетворять равенству h(0) = 1 и обеспечивать ИК-сходимость соответствующих интегралов. В итоге, была выбрана простейшая h(rn/k) = 0(к — т), которая удовлетворяет этим условиям. В результате параметр регуляризации т оказался входящим лишь в пределы интегрирования вычисляемых величин. Этот факт существенно упростил вычисления. Повторно проведенные в новой схеме вычисления двухпетлево-го приближения в теории турбулентности дали те же результаты при существенном упрощении промежуточных вычислений.

В модели Крейчнана (главы 3,4) была использована та же схема вычислений, что позволило в этой модели добраться до трехпетлевого приближения для аномального скейлинга.

Ниже кратко поясняется структура работы.

В главе 1 приводится двухпетлевой расчет критических индексов в модели Н критической динамики и проводится сравнение результатов расчета с полученными ранее и противоречащими друг другу результатами [46] и [28]. Новые полученные данные говорят о том, что оба прежних ответа содержали ошибки [2, 8].

Глава 2 содержит описание двухпетлевого расчета индексов и; в теории турбулентности. В главе подробно описана вся процедура расчетов, и приведены, как числовые вклады отдельных диаграмм в константу ренормировки для d = 3, так и общие выражения, позволяющие найти константу ренормировки и значение индекса и для произвольного d > 2 [3, 9].

Последние две главы 3 и 4, полностью посвящены вычислению трехпетлевого приближения для показателей аномального скейлинга в модели Крейчнана перемешивания пассивной скалярной примеси [15, 16].

В третьей главе описывается РГ-анализ модели Крейчнана, обсуждается связь аномального скейлинга с критическими размерностями составных операторов, и дается общая схема трехпетлевых вычислений критических размерностей с перечислением всех необходимых для расчетов диаграмм.

Глава 4 посвящена непосредственно самому трехпетлевому расчету, а также подробному обсуждению вопросов сходимости е-разложения при реальных значениях параметра и возможным модификациям е-разложения для улучшения сходимости рядов и приближения к экспериментальным данным.

Заключение

В заключение приведем основные результаты, полученные в диссертации:

1. С двухпетлевой точностью рассчитаны критические индексы в iJ-модели критической динамики. Полученный ответ отличается от известных ранее результатов, что объясняется найденной в работе предшественников ошибкой.

2. В теории развитой турбулентности с двухпетлевой точностью вычислены ренормгрупповые функции и критический индекс ш.

3. В модели Крейчнана турбулентного переноса пассивной скалярной примеси методом РГ рассчитаны показатели аномального скей-линга с точностью до третьего порядка теории возмущений (третий порядок по г), включая анизотропный случай, что на два порядка превышает достигнутую ранее традиционными методами точность (первый порядок по е).

4. Исследовано поведение аномальных индексов в модели Крейчнана при размерности пространства d —> оо.

5. Исследованы свойства бг-разложения аномальных размерностей составных операторов в модели Крейчнана. Предложено несколько приемов для улучшения сходимости, в частности, обратное е-разложение.

6. Проведен сравнительный анализ данных, полученных для модели Крейчнана в рамках ^-разложения и экспериментальных данных.

7. Показано, что при наличии знания особенностей критических размерностей, рассматриваемых как функции от е, на комплексной плоскости, уже в третьем порядке теории возмущений можно модификацией рядов, явно выделяющей особенность, добиться в теоретических предсказаниях хорошего согласия с численным экспериментом.

Автор благодарит своего научного руководителя профессора JI. Ц. Аджемяна, профессора кафедры физики высоких энергий А. Н. Васильева, доцента кафедры физики высоких энергий Н. В. Антонова, а также всех сотрудников кафедры статистической физики за всестороннюю помощь и поддержку при работе над диссертацией.

1. Аджемян Л.Ц., Антонов Н.В., Васильев А.Н. Успехи физ. наук. 1996, Т.166, стр. 1257.

2. Аджемян Л.Ц., Васильев А.Н., Кабриц Ю.С., Компаниец М.В. ТМФ 119, N1, 1999, стр. 73.

3. Аджемян Л.Ц., Васильев А.Н., Кабриц Ю.С., Компаниец М.В. Вестн. С.-Петерб. ун-та. Сер. 4. 2000. Вып. 1(N 4), стр. 3.

4. Аджемян Л.Ц., Васильев А.И., Кабриц Ю.С., Компаниец М.В. Вестн. С.-Петерб. ун-та. Сер. 4. 2000. Вып. 3(N 20), стр. 136.

5. Васильев А.Н. Функциональные методы в квантовой теории поля и статистике. Изд. ЛГУ, Ленинград, 1976.

6. Васильев А.Н. Квантовополевая ренормгруппа в теории критического поведения и стохастической динамике. Изд. ПИЯФ, СПб, (1998).

7. Васильев АЛ. ТМФ 122, N3, 2000, стр. 385.

8. Кабриц Ю.С., Компаниец М.В. Тезисы докладов. Итоговый семинар по физике и астрономии победителей конкурса грантов 1998 г. для молодых ученых Санкт-Петербурга. ФТИ РАН СПб, 1999, стр. 9.

9. Кабриц Ю.С., Компаниец М.В. Тезисы докладов. Итоговый семинар по физике и астрономии по результатам конкурса грантов 1999 г. для молодых ученых Санкт-Петербурга. ФТИ РАН СПб, 2000, стр. 42.

10. Монин А.С.,Яглом A.M. Статистическая гидромеханика. СПб., 1996. Т.2.

11. L. Ts. Adzhemyan, N. V. Antonov, and A. N. Vasil'ev, Phys. Rev. E 58, 1823 (1998).

12. L. Ts. Adzhemyan and N. V. Antonov, Phys. Rev. E 58, 7381 (1998).

13. L. Ts. Adzhemyan, N. V. Antonov, and A. N. Vasil'ev, Theor. Math. Phys. 120, 1074 (1999).

14. N. Antonov, Phys. Rev. E 60, 6691 (1999), Physica D 144, 370 (2000).

15. L. Ts. Adzhemyan, N. V. Antonov, V. A. Barinov, Yu. S. Kabrits, and A. N. Vasil'ev, Phys. Rev. E 63, 025303(R) (2001).

16. L.Ts. Adzhemyan, N.V. Antonov, V.A. Barinov, Yu.S. Kabrits, and A.N. Vasil'ev. Phys. Rev. E64 056306 (2001).

17. L. Ts. Adzhemyan, N. V. Antonov, A. Mazzino, P. Muratore-Ginanneschi and A. V. Runov, e-print nlin.CD/0102017.

18. L. Ts. Adzhemyan, N. V. Antonov, and A. V. Runov, e-print nlin.CD/0104012.

19. L. Ts. Adzhemyan, N. V. Antonov, and A. N. Vasiliev, The Field Theoretic Renormalization Group in Fully Developed Turbulence (Gordon & Breach, London, 1999).

20. N. V. Antonov and J. Honkonen, Phys. Rev. E 63, 036302 (2001).

21. N. V. Antonov, A. Lanotte, and A. Mazzino, Phys. Rev. E 61, 6586 (2000).

22. I. Arad, V. L'vov, E. Podivilov, and I. Procaccia, Phys. Rev. E 62, 4901 (2000).

23. D. Beysens, A.Bourgou, G. Paladin. Phys.Rev. A. 1984. V. 30. P. 2686.

24. D. Beysens, G. Paladin, A.Bourgou. J. Phys.Lett. (Paris). 1983. V. 44. L649.

25. M. Chertkov, Phys. Rev. E 55, 2722 (1997);

26. E. Balkovsky and V. Lebedev, Phys. Rev. E 58, 5776 (1998).

27. M. Chertkov, G. Falkovich, I. Kolokolov, and V. Lebedev, Phys. Rev. E 52, 4924 (1995);

28. M. Chertkov and G. Falkovich, Phys. Rev. Lett. 76, 2706 (1996).

29. R. Dengler, F. Schwabl. Europhys.Lett. 1987. V. 4. P. 1233; R. Dengler, F. Schwabl. Z. Phys. B. 1987. B. 69. S. 327;

30. R. Folk, G. Moser. Phys.Rev .Lett. 1995. V. 75. P. 2706.

31. C. De Dominicis, L. Peliti. Phys. Rev. B. 1978. V. 18. P. 353.

32. В. Duplantier and A. Ludwig, Phys. Rev. Lett. 66, 247 (1991);

33. G. L. Eyink, Phys. Lett. A 172, 355 (1993); Phys. Rev. E 54, 1497 (1996).

34. A. L. Fairhall, 0. Gat, V. L'vov, and I. Procaccia, Phys. Rev. E 53, 3518 (1996).

35. G. Falkovich, K. Gaw§dzki, and M. Vergassola, e-print cond-mat/0105199.

36. U. Frisch, Turbulence: The Legacy of A. N. Kolmogorov (Cambridge University Press, Cambridge, 1995).

37. U. Frisch, J. D. Fournier and H. A. Rose, J. Phys. A: Math. Gen. 11, 187 (1978).

38. U. Frisch, A. Mazzino, and M. Vergassola, Phys. Rev. Lett. 80, 5532 (1998); Phys. Chem. Earth В 24, 945 (1999).

39. U. Frisch, A. Mazzino, A. Noullez, and M. Vergassola, Phys. Fluids 11, 2178 (1999).

40. P.C. Hohenberg, B.I. Halperin. Rev.Mod.Phys. 1977. Y. 49. P. 435.

41. K. Gawgdzki and A. Kupiainen, Phys. Rev. Lett. 75, 3834 (1995); D. Bernard, K. Gaw^dzki, and A. Kupiainen, Phys. Rev. E 54, 2564 (1996).

42. H. Kleinert, J. Neu, V. Shulte-Frohlinde, K.G. Chetyrkin, S.A. Larin. Phys .Lett. B. 1991. V. 272. P. 39; Erratum. 1993. V. 319. P. 545.

43. R. H. Kraichnan, Phys. Fluids 11, 945 (1968); Phys. Rev. Lett. 72, 1016 (1994); ibid. 78, 4922 (1997).

44. R. H. Kraichnan, J. Fluid. Mech. 64, 737 (1974).

45. A. Pumir, Europhys. Lett. 34, 25 (1996); ibid. 37, 529 (1997); Phys. Rev. E 57, 2914 (1998).

46. В. I. Shraiman and E. D. Siggia, Phys. Rev. Lett. 77, 2463 (1996); A. Pumir, В. I. Shraiman, and E. D. Siggia, Phys. Rev. E 55, R1263 (1997).

47. A. Mazzino and P. Muratore-Ginanneschi, Phys. Rev. E 63, 015302(R) (2001).

48. A. P. Prudnikov, Y. A. Brychkov, and О. I. Marichev, Integrals and Series (Gordon h Breach, New York, 1986), Vols. 1 and 2.

49. A. V. Runov, e-print chao-dyn/9906026.

50. E.D. Siggia, В.Г. Halperin, P.C. Hohenberg. Phys.Rev. B. 1976. V. 13. P. 2110.

51. K. R. Sreenivasan and R. A. Antonia, Annu. Rev. Fluid. Mech. 29 (1997) 435.

52. К. J. Wiese, J. Stat. Phys. 101, 843 (2000).

53. J. Zinn-Justin. Quantum Field Theory and Critical Phenomena. Clarendon, Oxford, 1989.