Многопетлевой ренормгрупповой анализ критического поведения кубических и слабонеупорядоченных одноосных ферромагнетиков тема автореферата и диссертации по физике, 01.04.07 ВАК РФ

Введение.

Глава 1. Фазовые переходы в кубических и слабонеупорядоченных одноосных кристаллах.

1.1. Критическое поведение систем с «-компонентным параметром порядка и обобщенной кубической симметрией.

1.2. Критическая термодинамика слабонеупорядоченных одноосных ферромагнетиков.

1.3. Фазовые переходы в двумерной кубической модели с и-векторным параметром порядка.

Глава 2. Критическая термодинамика кубических и примесных одноосных кристаллов в пятипетлевом приближении.

2.1. Ренормгрупповые разложения для Р-функций и критических индексов.

2.2. Критическое поведение кубических ферромагнетиков. Граничная размерность параметра порядка.

2.3. Примесная фиксированная точка в пятипетлевом приближении.

2.4. Критические индексы трехмерной слабонеупорядоченной модели Изинга.

Глава 3. Нелинейные восприимчивости кубических и примесных одноосных ферромагнетиков в критической области.

3.1. Нелинейные восприимчивости и эффективные константы связи.

3.2. Ренормгрупповые разложения эффективных констант связи шестого порядка.

3.3. Универсальные значения высших вершин и нелинейная восприимчивость Х(6) в точке Кюри.

3.4. Нелинейная восприимчивость восьмого порядка и ее анизотропия.

3.5. Нелинейные восприимчивости слабонеупорядоченного одноосного ферромагнетика в критической области.

Глава 4. Критическое поведение двумерных систем с обобщенной кубической симметрией.

4.1. Фазовые переходы в двумерной и-векторной кубической модели.

• 4.2. Пятипетлевые разложения для Р-функций и критических индексов.

4.3. Критическая термодинамика двумерной кубической модели при п> 2.

4.4. Критическое поведение двумерной планарной (п — 2) кубической модели.

Критические явления в системах с нетривиальной симметрией активно изучаются уже несколько десятилетий. Основным рабочим инструментом теоретика, работающего в данной области, является метод теоретико-полевой ренормализационной группы. Метод ренормгруппы позволил предсказать принципиально новые явления, порождаемые взаимодействием критических флуктуаций, среди которых флуктуационная изотропизация системы в точке Кюри (асимптотическая симметрия), флуктуационная неустойчивость фазовых переходов второго рода, флуктуационное расщепление фазовых переходов. Техника ренормгруппы легла в основу нескольких итерационных схем, таких как с-разложение, 1/М-разложение и разложение по зарядам в пространстве физической размерности, которые позволили вычислить критические индексы основных трехмерных моделей фазовых переходов с рекордно высокой точностью.

До недавнего времени, однако, теоретическая информация, касающаяся критического поведения кубических ферромагнетиков и родственных им в математическом отношении слабонеупорядоченных одноосных кристаллов, исчерпывалась теми результатами, которые были получены в сравнительно невысоких порядках перенормированной теории возмущений. Конкретно, к концу XX века критическая термодинамика этих систем была изучена в одно-, двух-, трех- и четырехпетлевом приближениях. При этом было обнаружено, что с ростом порядка ренормгрупповых итераций заметно меняются не только количественные результаты (значения критических индексов, отношений критических амплитуд и т. п.), но и некоторые качественные предсказания теории. Так, например, в низших приближениях метода ренормгруппы кубические ферромагнетики с небольшой исходной анизотропией должны при подходе к точке Кюри становиться эффективно изотропными. В то же время ренормгрупповой анализ в трехпетлевом и четырехпетлевом приближениях выявил тенденцию этих материалов сохранять конечную магнитную анизотропию вплоть до Тс. Не вполне удовлетворительной оказалась и ситуация с ренормгрупповым расчетом критических параметров трехмерной слабонеупорядоченной модели Изинга. По мере роста порядка приближения координаты примесной фиксированной точки, описывающей поведение этой системы вблизи Тс, менялись нерегулярным образом, а критические индексы не обнаруживали тенденции к выходу на некоторые предельные (точные) значения. Кроме того, за весь период исследований обсуждаемых систем не было получено теоретической информации о критическом поведении их нелинейных восприимчивостей.

Очевидно, пролить свет на истинное положение дел, в том числе на степень согласия предсказаний теории с экспериментом, мог бы детальный многопетлевой анализ критической термодинамики кубических и одноосных слабонеупорядоченных ферромагнетиков. Такой анализ и составляет предмет настоящей диссертационной работы. Итак, в диссертации будут решены следующие основные задачи.

1. Вычисление ренормгрупповых функций трехмерной кубической модели с я-компонентным параметром порядка в пятипетлевом приближении. Пересуммирование полученных разложений методом Паде-Бореля-Леруа и нахождение пороговой размерности параметра порядка пс, служащей границей раздела между областями изотропного и анизотропного критического поведения. Определение характера критического поведения кубических ферромагнетиков (п = Ъ).

2. Построение в пятипетлевом приближении критической термодинамики трехмерной слабонеупорядоченной модели Изинга, в том числе нахождение координат примесной фиксированной точки уравнений ренормгруппы и вычисление критических индексов.

3. Нахождение методом теоретико-полевой ренормализационной группы нелинейных восприимчивостей х(6) и х(8) кубических ферромагнетиков в критической области, включающее в себя вычисление ренормгрупповых разложений для эффективных констант связи шестого порядка. Определение анизотропии нелинейных восприимчивостей в точке Кюри и предложение способа экспериментальной идентификации анизотропного критического поведения путем измерения этих восприимчивостей.

4. Вычисление нелинейных восприимчивостей Хд и Хб одноосных примесных ферромагнетиков вблизи точки Кюри и выяснение вопроса о том, насколько сильно влияют примеси на значения универсальных отношений ХьХ 2™? и ХьХ *™6 > включающих в себя обратный радиус корреляции m и линейную восприимчивость Предложение использовать эти отношения в качестве идентификаторов примесного критического поведения.

5. Исследование критической термодинамики двумерной «-векторной кубической модели в пятипетлевом ренормгрупповом приближении, в том числе вычисление критических индексов модели с п — 2 вдоль линии фиксированных точек, отвечающих различным значениям параметра анизотропии. Детальное сопоставление полученных предсказаний с точными результатами, известными для случаев п = 2, п = 0 и п > 2, и оценка эффективности метода теоретико-полевой ренормализационной группы применительно к двумерным анизотропным системам.

В результате решения перечисленных задач были сформулированы следующие научные положения, которые и выносятся на защиту:

1. Кубические ферромагнетики принадлежат к анизотропному классу универсальности с критическими индексами, очень мало отличающимися от индексов трехмерной модели Гейзенберга. Величина граничной размерности параметра порядка пс трехмерной кубической модели заключена в интервале 2.89-2.92.

2. Критические индексы одноосных слабонеупорядоченных ферромагнетиков, вычисленные в пятипетлевом приближении, имеют значения: = 1.325 ±0.003, Т] = 0.025 ±0.010, у = 0.671 ±0.005 а = -0.0125 ±0.0080, Р = 0.344 ±0.006.

Величины индексов малочувствительны к порядку приближения и положению примесной фиксированной точки, которое ощутимо меняется при переходе от четырехпетлевых к пятипетлевым разложениям для р-функций.

3. Вблизи точки Кюри относительные анизотропии нелинейных восприимчивостей %(4), %(6) и %(8) кубических ферромагнетиков равны соответственно 0.054 ± 0.012, 0.102 ± 0.02 и 0.144 ± 0.04, т. е. вполне доступны для обнаружения в физических и компьютерных экспериментах. Измерение этих восприимчивостей представляет собой эффективный способ идентификации анизотропного критического поведения.

4. Метод ренормализационной группы позволяет рассчитать с достаточно высокой точностью нелинейные восприимчивости и Хб одноосных слабонеупорядоченных ферромагнетиков. Универсальные отношения, содержащие %4 и у^, существенно (в 1.5-3 раза) отличаются от своих аналогов для чистых кристаллов, что позволяет использовать эти отношения в качестве идентификаторов примесного критического поведения.

5. Пятипетлевое приближение метода ренормализационной группы воспроизводит все наиболее характерные черты критического поведения двумерных систем с обобщенной кубической симметрией и позволяет найти критические индексы планарных {п = 2) анизотропных ферромагнетиков, плавно меняющиеся вдоль линии фазовых переходов второго рода.

Диссертация построена следующим образом. Первая глава представляет собой краткий обзор основных теоретических результатов, полученных до 2000 года в ходе ренормгруппового анализа кубических и примесных одноосных ферромагнетиков. Вторая глава посвящена вычислению критических индексов обсуждаемых систем и расчету граничной размерности параметра порядка пс в пятипетлевом приближении; она содержит решение задач 1 и 2 из приведенного выше перечня. В третьей главе исследуются нелинейные восприимчивости кубических кристаллов и трехмерной примесной модели Изинга, т. е. решены задачи 3 и 4. Четвертая глава содержит решение задачи 5 - в ней выполнен пятипетлевой ренормгрупповой анализ двумерной кубической модели для различных значений п. В Приложения вынесены алгоритмы вычисления тензорных сверток, отвечающих фейнмановским диаграммам с двумя, четырьмя и шестью внешними линиями, и данные соответствующих компьютерных расчетов. Основные результаты, полученные в диссертации, резюмированы в Заключении. Завершает диссертацию список использованной литературы.

Заключение

Итак, наиболее важные результаты, полученные в диссертационной работе, сводятся к следующему:

1. Впервые найдены ренормгрупповые функции трехмерной кубической модели с «-компонентным параметром порядка в пятипетлевом приближении. Получена надежная численная оценка граничной размерности параметра порядка пс и показано, что при Т —► Тс магнитная подсистема кубического кристалла имеет конечную анизотропию.

2. В пятипетлевом приближении вычислены критические индексы трехмерной примесной модели Изинга. Установлено, что координаты примесной фиксированной точки ощутимо меняются с ростом порядка ренормгруппового приближения, однако это практически не сказывается на численных значениях самих индексов.

3. Рассчитаны методом теоретико-полевой ренормализационной группы нелинейные восприимчивости х(4\ %(6) и %(8) кубических ферромагнетиков в критической области. Найдены относительные анизотропии нелинейных восприимчивостей в точке Кюри и предложен метод экспериментальной идентификации анизотропного критического поведения путем измерения этих восприимчивостей.

4. Вычислены нелинейные восприимчивости %4 и %б одноосных слабонеупорядоченных ферромагнетиков и выяснен вопрос о том, насколько сильно влияют примеси на значения универсальных отношений ХьХ 2™* и ХьХ . Как оказалось, эти отношения весьма существенно (в 1.5-3 раза) меняются под действием примесей, что делает их удобными идентификаторами примесного критического поведения.

5. Исследована критическая термодинамика двумерной кубической модели в пятипетлевом приближении. Найдены критические индексы для случая п = 2, плавно меняющиеся при изменении параметра анизотропии.

Проведено сопоставление результатов ренормгруппового анализа с точными результатами, известными для случаев п = 2, и = 0 и и > 2, и оценена эффективность метода теоретико-полевой ренормгруппы применительно к двумерным анизотропным системам.

Результаты диссертационной работы представлены в статьях [13, 23, 63, 64, 65, 76, 77] и отражены в докладах, сделанных на:

- Международной конференции «Фазовые переходы и нелинейные явления в конденсированных средах», Махачкала, 2000;

- V Международном семинаре «Магнитные фазовые переходы», Махачкала, 2002;

- XVI Всероссийской конференции по физике сегнетоэлектриков, Тверь, 2002;

- Итоговом семинаре по физике и астрономии по результатам конкурса грантов 2002 года для молодых ученых, ФТИ им. А. Ф. Иоффе, Санкт-Петербург, 2003.

- Школе "Физика конденсированного состояния" (XXXVIII Зимняя школа ПИЯФ), Гатчина, Санкт-Петербург, 2004.

- VI Международном семинаре «Магнитные фазовые переходы», Махачкала, 2004.

Автор выражает искреннюю признательность своему научному руководителю профессору Александру Ивановичу Соколову за многолетний труд по научной подготовке и непосредственное руководство написанием данной работы. Также приношу благодарности всем соавторам по научным статьям за плодотворную совместную работу и обмен опытом и научными результатами.

1. A. Aharony and М. Е. Fisher. "Critical Behavior of Magnets with Dipolar 1.teractions. I. Renormalization Group near Four Dimensions". Phys. Rev. B, 8,3323 (1973).

2. K. G. Wilson and M. E. Fisher. "Critical Exponents in 3.99 Dimensions". Phys. Rev. Lett. 28, 240 (1972).

3. D. J. Wallace. "Critical behaviour of anisotropic cubic systems". J. Phys. C, 6, 1390 (1973).

4. I. J. Ketley, D. J. Wallace. "A modified epsilon expansion for a Hamiltonian with cubic point-group symmetry". J. Phys. A, 6, 1667 (1973).

5. И. Ф. Люксютов, В. Л. Покровский. "Фазовые переходы первого рода в системах с кубической анизотропией'. Письма в ЖЭТФ, 21, 22 (1975).

6. A. Aharony. "Critical Behavior of Anisotropic Cubic Systems". Phys. Rev. B, 8, 4270(1973).

7. А. И. Соколов. "О фазовом переходе в трехмерной модели. Влияние кубической анизотропии". ФТТ, 19, 747 (1977).

8. К. Е. Newman and Е. К. Riedel. "Cubic JV-vector model and randomly dilute Ising model in general dimensions". Phys. Rev. B, 25, 264 (1982).

9. F. Ferer, J. P. Van Dyke, and W. J. Camp. "Effect of a cubic crystal field on the critical behavior of a 3D model with Heisenberg exchange coupling: A high-temperature series investigation". Phys. Rev. B, 23, 2367 (1981).

10. И. О. Майер, А. И. Соколов. "О критическом поведении кубических кристаллов при структурных фазовых переходах". Известия АН СССР, серия физическая, 51, 2103 (1987).

11. N. A. Shpot. "MN-model". Phys. Lett. A, 142, 474 (1989).

12. I. O. Mayer, A. I. Sokolov, and B. N. Shalaev. "Critical exponents for cubic and impure uniaxial crystals: Most accurate theoretical values". Ferroelectrics, 95, 93 (1989).

13. D. V. Pakhnin and A. I. Sokolov. "Five-loop renormalization-group expansions for the three-dimensional n-vector cubic model and critical exponents for impure Ising systems". Phys. Rev. B, 61, 15130 (2000).

14. J. M. Carmona, A. Pelissetto, and E. Vicari. 'W-component Ginzburg-Landau Hamiltonian with cubic anisotropy: A six-loop study". Phys. Rev. B, 61, 15136 (2000).

15. H. Kleinert and V. Schulte-Flohlinde. "Exact Five-Loop Renormalization Group Functions of (p4-Theory with 0(N)-Symmetric and Cubic Interactions. Critical Exponents up to e5". Phys. Lett. B, 342, 284 (1995).

16. H. Kleinert and S. Thorns. "Large-order behavior of a two-coupling-constant cp4 theory with cubic anisotropy". Phys. Rev. D, 52, 5926 (1995).

17. H. Kleinert, S. Thorns, and V. Schulte-Frohlinde. "Stability of a three-dimensional cubic fixed point in the two-coupling-constant cpA theory". Phys. Rev. B, 56, 14428 (1997).

18. B. N. Shalaev, S. A. Antonenko, and A. I. Sokolov. "Five-loop 4s-expansions for random Ising model and marginal spin dimensionality for cubic systems". Phys. Lett. A, 230, 105 (1997).

19. R. Folk, Yu. Holovatch, and T. Yavors'kii. "Effective and Asymptotic Critical Exponents of Weakly Diluted Quenched Ising Model: 3d Approach Versus e,/2-Expansion". Phys. Rev. B, 61, 15114 (2000).

20. R. Folk, Yu. Holovatch, and T. Yavors'kii. "Pseudo-£ expansion of six-loop renormalization-group functions of an anisotropic cubic model".

21. Phys. Rev. B, 62, 12195 (2000).

22. K. B. Varnashev. "Stability of a cubic fixed point in three dimensions: Critical exponents for generic N". Phys. Rev. B, 61, 14660 (2000).

23. A. Pelissetto and E. Vicari. "Critical Phenomena and Renormalization-Group Theory". Phys. Reports, 368, 549 (2002).

24. D. V. Pakhnin and A. I. Sokolov. "Critical exponents for three-dimensionalimpure Ising model in the five-loop approximation". Письма в ЖЭТФ, 71, 600 (2000).

25. А. В. Harris and Т. С. Lubensky. "Renormalization-Group Approach to the Critical Behavior of Random-Spin Models". Phys. Rev. Lett., 33, 1540 (1974).

26. Т. C. Lubensky. "Critical properties of random-spin models from the e expansion". Phys. Rev. B, 11, 3573 (1975).

27. Д. E. Хмельницкий. "Фазовый переход второго рода в неоднородных телах". ЖЭТФ, 68,1960 (1975).

28. Б. Н. Шалаев. "Фазовый переход в слабонеупорядоченном одноосном ферромагнетике". ЖЭТФ, 73, 2301 (1977).

29. С. Jayaprakash and Н. J. Katz. "Higher-order corrections to the em expansion of the critical behavior of the random Ising system". Phys. Rev. B, 16, 3987 (1977).

30. G. A. Baker, B. G. Nickel, and D. I. Meiron. "Critical indices from perturbation analysis of the Callan-Symanzik equation". Phys. Rev. B, 17, 1365 (1978).

31. J. C. Le Guillou and J. Zinn-Justin. "Critical exponents from field theory". Phys. Rev. B, 21, 3976 (1980).

32. S. A. Antonenko and A. I. Sokolov. "Critical exponents for a three-dimensional 0(n)-symmetric model with n > 3". Phys. Rev. E, 51, 1894 (1995).

33. C. Gutsfeld, J. Kuester, and G. Muenster. "Calculation of universal amplitude ratios in three-loop order". Nucl. Phys. B, 479, 654 (1996).

34. J. C. Le Guillou and J. Zinn-Justin. "3D Ising Model: The Scaling Equation of State". Nucl. Phys. B, 489, 626 (1997).

35. J. C. Le Guillou and J. Zinn-Justin. "Critical exponents of the TV-vector model". J. Phys. A: Math. Gen., 31, 8103 (1998).

36. А. И. Соколов. "Универсальные эффективные константы связи для обобщенной модели Гейзенберга". ФТТ, 40, 1284 (1998).

37. H. Kleinert. "Strong-coupling behavior of theories and critical exponents". Phys. Rev. D, 57, 2264 (1998).

38. H. Kleinert. "Critical exponents from seven-loop strong-coupling theory in three dimensions". Phys. Rev. D, 60, 085001 (1999).

39. F. Jasch and H. Kleinert. "Fast-Convergent Resummation Algorithm and Critical Exponents of p4 -Theory in Three Dimensions". J. Math. Phys., 42, 52 (2001).

40. A. I. Sokolov, E. V. Orlov, V. A. Ul'kov, and S. S. Kashtanov. "Universal critical coupling constants for the three-dimensional n-vector model from field theory". Phys. Rev. E, 60, 1344 (1999).

41. M. Stroesser, S. A. Larin, and V. Dohm. "Minimal renormalization without 8-expansion: Three-loop amplitude functions of the O(n) symmetric q>4 model in three dimensions below Tc". Nucl. Phys. B, 540, 654 (1999).

42. G. Jug. Phys. "Critical behavior of disordered spin systems in two and three dimensions". Phys. Rev. B, 27, 609 (1983).

43. А. И. Соколов, Б. H. Шалаев. "О критическом поведении модели Изинга с примесями". ФТТ, 23, 2058 (1981).

44. I. О. Mayer. "Critical exponents of the dilute Ising model from four-loop expansions". J. Phys. A, 22, 2815 (1989).

45. И. О. Майер, А. И. Соколов. "Критические индексы примесной модели Изинга". ФТТ, 26, 3454 (1984).

46. Н. А. Шпот. «Уравнение состояния для примесной модели Изинга». ЖЭТФ, 98, 1762(1990).

47. С. Bervillier and М. Shpot. "Universal amplitude combinations of the three-dimensional random Ising system". Phys. Rev. B, 46, 995 (1992).

48. I. Mayer. "Five-loop expansion for a universal combination of critical amplitudes of the 3D dilute Ising model". Physica A, 252, 450 (1998).

49. R. Folk, Yu. Holovatch, and T. Yavors'kii. "The correction-to-scaling exponent in dilute systems". Письма в ЖЭТФ, 69, 698 (1999).

50. J. V. Jose, L. P. Kadanoff, S. Kirkpatrick, and D. R. Nelson.

51. Renormalization, vortices, and symmetry-breaking perturbations in the two-dimensional planar model". Phys. Rev. B, 16, 1217 (1977).

52. B. N. Shalaev. "Critical behavior of the two-dimensional Ising model with random bonds". Phys. Reports, 237, 129 (1994).

53. P. Calabrese and A. Celi. "Critical behavior of the two-dimensional N-component Landau-Ginzburg Hamiltonian with cubic anisotropy". Phys. Rev. B, 66, 184410 (2002).

54. Б. H. Шалаев. "Корреляционная функция и восприимчивость двумерного ферромагнетика с кубической анизотропией". ФТТ, 31, 93 (1989).

55. VI. S. Dotsenko and Vik. S. Dotsenko. "Critical behaviour of the phase transition in the 2D Ising Model with impurities". Adv. Phys., 32, 129 (1983).

56. R. Folk, Yu. Holovatch, and T. Yavors'kii. "Effective and asymptotic critical exponents of a weakly diluted quenched Ising model: Three-dimensional approach versus Гг expansion". Phys. Rev. B, 61, 15114 (2000).

57. B. G. Nickel, in Phase Transitions, M. Levy, J. C. Le Guillou and J. ZinnJustin, Eds., Plenum, New York and London, 1982.

58. B. G. Nickel. "Confluent singularities in 3D continuum Ф4 theory: resolving critical point discrepancies". Physica A, 177, 189 (1991).

59. A. Pelissetto and E. Vicari. "Four-point renormalized coupling constant and Callan-Symanzik beta-function in O(N) models". Nucl. Phys. B, 519, 626 (1998).

60. E. В. Орлов, А. И. Соколов. "Критическая термодинамика двумерных систем в пятипетлевом ренормгрупповом приближении". ФТТ, 42, 2087 (2000).

61. P. Calabrese, М. Caselle, A. Celi, A. Pelissetto, and Е. Vicari. "Non-analyticity of the Callan-Symanzik beta-function of two-dimensional O(N) model". J. Phys. A, 33, 8155 (2000).

62. B. G. Nickel, D. I. Meiron, and G. A. Baker. Jr. "Compilation of 2-pt and 4-ptgraphs for continuous spin model". University of Guelph Report, 1977, unpublished.

63. S. A. Antonenko and A. I. Sokolov. "Phase transitions in anisotropic superconducting and magnetic systems with vector order parameters: Three-loop renormalization-group analysis". Phys. Rev. B, 49, 15901 (1994).

64. D. V. Pakhnin and A. I. Sokolov. "Renormalization group and nonlinear susceptibilities of cubic ferromagnet at criticality". Phys. Rev. B, 64, 094407 (2001).

65. D. V. Pakhnin, A. I. Sokolov. "How to distinguish between cubic and isotropic critical behaviors". J. Phys. Studies, 5, 279 (2001).

66. Д. В. Пахнин, А. И. Соколов, Б. H. Шалаев. "Нелинейные восприимчивости одноосного слабонеупорядоченного ферромагнетика в критической области". Письма в ЖЭТФ, 75, 459 (2002).

67. A. J1. Корженевский. "Связь свойств системы уравнений ренормализационной группы в задаче о фазовом переходе с симметрией гамильтониана". ЖЭТФ, 71, 1434(1976).

68. A. I. Sokolov, Е. V. Orlov, and V. A. Ul'kov. "Universal sextic effective interaction at criticality". Phys. Lett. A, 227, 255 (1997).

69. G. A. Baker, Jr. and P. Graves-Morris. «Pade Approximants», Addison-Wesley, Reading, MA, 1981.

70. A. Pelissetto and E. Vicari. "Effective potential in three-dimensional O(N) models". Nucl. Phys. B, 522, 605 (1998).

71. N. Tetradis and C. Wetterich. "Critical Exponents from the Effective Average Action". Nucl. Phys. B, 422, 541 (1994).

72. A. Pelissetto and E. Vicari. "Randomly dilute spin models: a six-loop fieldtheoretic study". Phys. Rev. B, 62, 6393 (2000).

73. M. Campostrini, A. Pelissetto, P. Rossi, et al. "Improved high-temperature expansion and critical equation of state of three-dimensional Ising-like systems". Phys. Rev. E, 60, 3526 (1999).

74. A. Aharony, in Phase Transitions and Critical Phenomena, ed. by C. Domb and J. Lebowitz. Academic Press, New York, vol. 6, 357, 1976.

75. A. B. Harris. "Effect of random defects on the critical behaviour of Ising model". J. Phys. C, 7, 1671 (1974).

76. G. S. Grest and M. Widom. 'W-color Ashkin-Teller model". Phys. Rev. B, 24, 6508(1981).

77. P. Calabrese, E. V. Orlov, D. V. Pakhnin, and A. I. Sokolov. "Critical behavior of two-dimensional cubic and MN models in the five-loop renormalization-group approximation". Phys. Rev. B, 70, 094425 (2004).

78. P. Calabrese, E. V. Orlov, D. V. Pakhnin, and A. I. Sokolov. "Critical thermodynamics of two-dimensional N-vector cubic model in the five-loop approximation". Cond. Mat. Phys., 8, 193 (2005).