Компьютерное моделирование методом Монте-Карло критического поведения неупорядоченных систем тема автореферата и диссертации по физике, 01.04.02 ВАК РФ

/

Омский Государственный Университет

На правах рукописи

МАРКОВ ОЛЕГ НИКОЛАЕВИЧ

КОМПЬЮТЕРНОЕ МОДЕЛИРОВАНИЕ МЕТОДОМ МОНТЕ-КАРЛО КРИТИЧЕСКОГО ПОВЕДЕНИЯ НЕУПОРЯДОЧЕННЫХ СИСТЕМ

Специальность 01.04.02 - теоретическая физика.

Диссертация на соискание ученой степени кандидата физико-математических наук

Научный руководитель - кандидат физико-математических наук,

доцент, Прудников В.В.

Омск - 1999

Содержание

Список рисунков 4

Список таблиц 7

Введение 8

1 Критические явления в неупорядоченных системах 16

1.1 Термодинамический потенциал в форме Гинзбурга-Ландау. Условия на параметры разложения при описании фазовых переходов второго рода ..............................................17

1.2 Критические индексы..............................................19

1.3 Метод ренорм-группы и ^разложения..........................21

1.4 Применение ренорм-группы в динамике ...............26

1.4.1 Непрерывная модель........................................26

1.4.2 Дискретная модель ........................................29

1.5 Влияние случайно распределенных примесей на критическое поведение............................................................33

2 Компьютерное моделирование критической динамики однородной и слабонеупорядоченной двумерной модели Изинга 39

2.1 Определение модели и основных принципов компьютерного моделирования критической динамики..........................41

2.2 Определение критического индекса 2 для однородной и слабонеупорядоченной двумерной модели Изинга..................44

2.3 Анализ результатов моделирования однородной и слабонеупорядоченной двумерной модели Изинга.............. 51

3 Компьютерное моделирование критической динамики сильнонеупорядоченной двумерной модели Изинга 54

3.1 Определение критического индекса 2 для сильнонеупорядоченной двумерной модели Изинга................ 56

3.2 Анализ результатов моделирования сильнонеупорядоченной двумерной модели Изинга..................... 62

4 Компьютерное моделирование критического поведения однородной и неупорядоченной антиферромагнитной модели Изинга 68

4.1 Определение модели, особенности критического поведения неупорядоченной антиферромагнитной модели Изинга и ее применение для изучения случайных полей............. 69

4.2 Методика компьютерного моделирования критического поведения антиферромагнитной модели Изинга........... 74

4.3 Результаты моделирования.................... 78

Заключение 83

Список цитируемой литературы 86

Список рисунков

2.1 Двумерная неупорядоченная модель Изинга. В каждом узле решетки находится спин или немагнитный атом примеси. Показана процедура блочного разбиения системы с линейным размером Ь и размером блока 6 = 2. Направление спинов в ре-нормированной системе размером Ь/Ь определяется наличием спинового протекания и направлением большинства спинов в блоке................................. 42

2.2 Изменение исходной т\ и перенормированных намагни-ченностей от времени для однородной двумерной ферромагнитной модели Изинга (Ь = 400)................. 46

2.3 Изменение исходной т\ и перенормированных пц^) намагни-ченностей от времени для неупорядоченной двумерной ферромагнитной модели Изинга (Ь = 400) с концентрацией спинов

р = 0.95............................... 47

2.4 Изменение исходной т\ и перенормированных ть(£) намагни-ченностей от времени для неупорядоченной двумерной ферромагнитной модели Изинга (Ь — 400) с концентрацией спинов

р = 0.9................................ 48

3.1 Изменение исходной т\ и перенормированных га&(£) намагни-ченностей от времени для неупорядоченной двумерной ферромагнитной модели Изинга (Ь = 400) с концентрацией спинов р = 0.85............................... 57

3.2 Изменение исходной mi и перенормированных rrib{t) намагни-ченностей от времени для неупорядоченной двумерной ферро-

магнитной модели Изинга (L = 400) с концентрацией спинов р = 0.80............................... 58

3.3 Изменение исходной т\ и перенормированных rrib(t) намагни-ченностей от времени для неупорядоченной двумерной ферромагнитной модели Изинга (L = 400) с концентрацией спинов

р = 0.75............................... 59

3.4 Изменение исходной mi и перенормированных m&(i) намагни-ченностей от времени для неупорядоченной двумерной ферромагнитной модели Изинга (L — 400) с концентрацией спинов

р = 0.70............................... 60

3.5 Зависимость динамического критического индекса z от концентрации спинов р в логарифмическом масштабе | Ы(р—рс)\. Прямая задает аппроксимацию зависимости z(jp) логарифмической функцией А' 11п(р — рс) | + В'............... 63

3.6 Изменение исходной т\ и перенормированных rrib{t) намагни-ченностей от времени для неупорядоченной двумерной ферромагнитной модели Изинга (L = 200) с концентрацией спинов

р = 0.80............................... 65

3.7 Изменение исходной mi и перенормированных rri^t) намагни-ченностей от времени для неупорядоченной двумерной ферромагнитной модели Изинга (L — 800) с концентрацией спинов

р = 0.80............................... 66

4.1 Антиферромагнитная модель Изинга со взаимодействием как ближайших, так и следующих за ближайшими соседями на простой кубической решетке, о, • - узлы, принадлежащие двум различным магнитным подрешеткам. Каждый спин, находящийся в узле (например 0), взаимодействует с 6-ю ближайшими (1) и 12-ю следующими за ближайшими соседями

(2 ).................................. 71

4.2 Температурная зависимость "шахматной" восприимчивости Х&д вдоль кривой фазовых переходов II рода для системы 183 с р = 0.95 для различных значений Л: (1) — к = 0, (2) —

/г = 2.0, (3) — к = 3.0....................... 75

4.3 Зависимость намагниченности М от величины магнитного поля 1г для системы 183 с р = 0.95 для ряда температур вблизи трикритической точки = 4.6: (1) — Т — 4.0, (2) — Т = 4.5,

(3) — Т = 4.6. Графики (1) и (3) смещены влево и вправо по

оси абсцисс соответственно на -1.0 и на +1.0.......... 77

4.4 Фазовая диаграмма антиферромагнитной модели Изинга: Д - р = 1.0 (однородная), + - р — 0.95, V - р = 0.8, * - трикри-тические точки........................... 80

Список таблиц

2.1 Значения динамического индекса гь и экстраполированные значения ^=00 для двумерной слабонеупорядоченной системы Изинга (Ь = 400) с различными концентрациями спинов р . . 50

3.1 Значения динамического индекса гь и экстраполированные значения гь=00 Для двумерной сильнонеупорядоченной системы Изинга (Ь = 400) с различными концентрациями спинов р................................... 61

4.1 Значения трикритических температур 7} и внешнего магнитного поля к/ для трехмерной неоднородной антиферромагнитной модели Изинга с различными линейными размерами Ь и концентрацией спинов р...................... 78

4.2 Значения "критических температур" ТС(Ь) для трехмерной неоднородной антиферромагнитной модели Изинга с различными линейными размерами Ь, величиной внешнего магнитного поля Н и концентрацией спинов р ............. 79

4.3 Значения критических температур ТС(Ь = оо) для трехмерной неоднородной антиферромагнитной модели Изинга с различными значениями внешнего магнитного поля к и концентрации спинов р.......................... 81

Введение

Проблема фазовых переходов и связанных с ними критических явлений в макроскопических системах является одной из наиболее интересных задач физики конденсированного состояния. Из ряда экспериментов известно, что по мере приближения к точке фазового перехода в веществе растут флуктуации некоторых термодинамических переменных. Эти флуктуации простираются на большие пространственные области и медленно затухают. С ростом флуктуаций в системе растет и их взаимодействие между собой. Любое слабое взаимодействие становится вблизи критической точки сильным, обуславливая математическую сложность описания явления.

Экспериментальные исследования показали интересную общность свойств фазовых переходов в различных веществах. Это позволило сформулировать принцип универсальности критических явлений [2, 50, 25, 19, 11, 12] и предложить модель, в основе которой лежала гипотеза масштабного подобия флуктуаций [23, 22, 68, 21]. Идеи использования метода ренормали-зационной группы и последующая их иллюстрация с помощью метода разложения по отклонению от размерности пространства четыре [104, 103, 3] позволили сделать еще несколько шагов в понимании фазовых переходов в их количественном описании.

В критической точке наряду с особенностями равновесных термодинамических переменных сингулярное поведение испытывают кинетические коэффициенты и динамические функции отклика. Однако, исследование динамических свойств критических флуктуаций сталкивается с трудностями более сложными, чем при описании равновесных свойств. Так, оказывается

существенным взаимодействие флуктуации параметра порядка с другими долгоживущими возбуждениями [52, 53, 54, 55, 71, 26, 10, 32].

Глубоко интересен вопрос о влиянии пространственных неоднородно-стей на критическое поведение. Неоднородность систем прежде всего связана с присутствием примесей. Рассеяние флуктуаций на примесях характеризуется специфическими законами сохранения. Особенно интересно влияние замороженных примесей, чье присутствие проявляется или как случайные возмущения локальной температуры для ферромагнитных и антиферромагнитных систем в отсутствие внешнего магнитного поля или как случайные магнитные поля для антиферромагнитных систем в однородном магнитном поле. Благодаря тому, что магнитное поле нарушает симметрию системы по отношению к изменению знаков спинов, статистические свойства этих неупорядоченных систем существенно отличаются.

Исследования показали [56], что в первом случае присутствие замороженных примесей изменяет свойства системы вблизи критической точки, если теплоемкость системы в однородном состоянии испытывает расходимость в критической точке с индексом а > 0. В противном случае присутствие примесей не сказывается на поведении магнетиков при критической температуре. Критерий справедлив как при описании равновесного, так и неравновесного критического поведения. Влияние беспорядка, вызванного присутствием примесей сильнее проявляется в динамике [51]. Данному критерию удовлетворяют только системы, эффективный гамильтониан которых вблизи критической точки изоморфен модели Изинга. Присутствие случайно распределенных точечных примесей особенно сильно проявляется в термодинамике систем вблизи трикритической точки, поскольку индекс теплоемкости при этом положителен и не мал — 1/2)- Изменения, которые может претерпеть динамика флуктуаций в трикритической точке неоднородной системы, по сравнению с однородной неизвестны, и несмотря на интенсивные теоретические и экспериментальные усилия в течение по-

следних двадцати лет [6], в настоящее время существует совсем немного надежно установленных фактов о поведении систем со случайными полями. В частности, природа фазового перехода в модели Изинга со случайными полями все еще остается мистической загадкой, а получаемые при моделировании таких систем результаты являются противоречивыми. По одним данным это фазовый переход I рода вплоть до очень низких значений случайного поля, по другим все-таки II рода [89, 105]. Практически единственным надежно установленным фактом является то, что верхняя критическая размерность для этого фазового перехода (размерность системы, выше которой критические явления описываются теорией среднего поля) равна шести [6], в отличие от однородных систем, где она равна четырем, а нижняя критическая размерность перехода (размерность системы, выше которой осуществляется дальнее упорядочение при температурах отличных от нуля) равна двум [41].

Ренормгрупповой анализ с использованием ^-разложения [79, 43] выявил, что критическое поведение примесных систем характеризуется новым набором критических индексов, значения которых не зависят от концентрации точечных примесей в области их малых концентраций. Однако, асимптотическая сходимость рядов ^-разложения для систем с примесями еще более слабая, чем для однородных. В работах [82, 66] проведен анализ равновесного, а в работе [28] — динамического критического поведения разбавленных магнетиков для двумерных систем.

По критической динамике разбавленных систем до сих пор очень немного экспериментальных работ, нет и достаточно обоснованных теоретических оценок динамического индекса 2 из-за плохой асимптотической сходимости рядов ^-разложения. Остался невыясненным и вопрос: являются ли критические индексы примесных систем универсальными, т.е. не зависящими от концентрации примесей вплоть до порога перколяции, или существует линия фиксированных точек, определяющая непрерывное изме-

нение критических индексов с концентрацией.

Особенный интерес для исследователей представляют неупорядоченные низкоразмерные магнетики, описываемые моделью Изинга. Из-за равенства нулю индекса теплоемкости а однородной модели влияние беспорядка, вносимого присутствием примеси, становится неопределенным. Детальное рассмотрение этого случая [92, 46] позволило прийти к выводу, что влияние примеси затрагивает только поведение теплоемкости, в то время как остальные термодинамические и корреляционные функции не изменяют своего критического поведения, за исключением появления логарифмических поправок. Теоретико-полевое рассмотрение релаксационного режима критической динамики неупорядоченных двумерных изинговски-подобных магнетиков показало [28], что оно не отличается от динамики однородной модели в области с сгтр < 1 - рс и характеризуется индексом £ = 2.277. Однако, нет достаточно ясного понимания процессов критической релаксации при больших концентрациях примесей, особенно, близких к порогу перколяции рс. В ряде работ [58, 57] были высказаны идеи нарушения при перколяционной концентрации спинов стандартной формы динамического скейлинга.

Как цели, так и средства науки начинают меняться в наш компьютерный век. Долгое время теоретическая физика стремилась к аналитическим решениям своих проблем. Это казалось едиственно возможным способом полного описания. Однако большой ряд важных и актуальных задач не допускает такого решения. Единственно возможным подходом явилось применение ЭВМ.

В данной работе в качестве метода исследования неупорядоченных магнитных систем используется метод Монте-Карло, который в настоящее время широко используется для решения различных задач физики, механики, химии, биологии, кибернетики. В приложении к физике метод Монте-Карло можно определить как метод исследования физического про-

цесса путем создания и эксплуатации стохастической модели, отражающей динамику данного процесса, поэтому в статистической физике с помощью метода Монте-Карло получены наиболее значительные достижения. Это связано с тем, что статистические закономерности макроскопических систем имеют прежде всего стохастическую природу, а метод Монте-Карло, используемый для прямого моделирования естественной вероятностной модели, позволяет довольно просто вычислить средние в каноническом ансамбле.

Компьютерный эксперимент позволяет получать информацию о свойствах лишь конкретных модельных систем, для которых заданы взаимодействия между частицами. В качестве такой модельной системы здесь использована модель Изинга, являющейся самой распространенной в статистической физике моделью. Модель Изинга находит применение при рассмотрении самых разнообразных систем, таких как магнитные системы (ферромагнетики, антиферромагнетики, ферримагнетики), классические жидкости, бинарные смеси и сплавы, адсорбция на поверхности и т.д. Наиболее часто модель Изинга используется при описании фазовых переходов [20, 80]. Именно задачи теории фазовых переходов и критических явлений являются той областью, в которой компьютерный эксперимент становится альтернативой реальному физическому эксперименту и зачастую единственно возможным способом получения достоверной информации.

Критическая динамика неупорядоченных двумерных систем для концентраций примесей близких к порогу перколяции рс ранее не изучалась методами Монте-Карло.

В связи с этим целью настоящей диссертации является:

1. Исследование критического релаксационного поведения однородной и неупорядоченной двумерной модели Изинга со случайно распределенными замороженными в узлах решетки немагнитными атомами примеси в широких интервалах их концентрации. В рамках данного исследования ставится

задача:

- определить динамический критический индекс г;

- определить функциональную зависимость динамического скейлин-гового поведения при высоких концентрациях примеси;

- провести сопоставление динамического критического поведения данной модели при различных значениях концентрации примеси.

2. Исследование критического поведения однородной и неупорядоченной антиферромагнитной модели Изинга со случайно распределенными замороженными в узлах решетки немагнитными атомами примеси на простой кубической решетке с учетом взаимодействия как ближайших соседей, так и следующих за ближайшими. В рамках данного исследования ставится задача:

- построить фазовую диаграмму данной модели при различных значениях концентрации примеси;

- определить параметры трик