Численное исследование критической динамики однородной и неупорядоченной двумерной XY-модели в низкотемпературной фазе методами Монте-Карло тема автореферата и диссертации по физике, 01.04.02 ВАК РФ

На правах рукописи

Алексеев Сергей Вячеславович

ЧИСЛЕННОЕ ИССЛЕДОВАНИЕ КРИТИЧЕСКОЙ ДИНАМИКИ

ОДНОРОДНОЙ И НЕУПОРЯДОЧЕННОЙ ДВУМЕРНОЙ ХУ-МОДЕЛИ В НИЗКОТЕМПЕРАТУРНОЙ ФАЗЕ МЕТОДАМИ

МОНТЕ-КАРЛО

01.04.02 - теоретическая физика

15 ш тг

Автореферат диссертации на соискание ученой степени кандидата физико-математических наук

Омск - 2012

005013224

Работа выполнена на кафедре теоретической физики ФГБОУ ВПО «Омски государственный университет им. Ф.М. Достоевского^.

Научный руководитель: доктор физико-математических наук,

доцент Прудников Павел Владимирович.

Официальные оппоненты: доктор физико-математических наук,

профессор, заведующий кафедрой физики Сибирского государственного аэрокосмического университета им. М.Ф. Решетнев Аплеснин Сергей Степанович;

доктор физико-математических наук, ведущий научный сотрудник Института неорганической химии им. A.B. Николаева СО РАН, Холопов Евгений Викентьевич

Ведущая организация: Институт физики им. Х.И. Амирханова ДагНЦ РАН, г. Махачкала.

Защита состоится 11 апреля 2012 г. в 16-30 часов на заседании диссертационного совета Д 212.179.04 при ФГБОУ ВПО <Омский государственный университет им. Ф.М. Достоевского»по адресу: 644077, г. Омск, пр. Мира, 55а.

С диссертацией можно ознакомиться в библиотеке ФГБОУ ВПО «Омский дарственный университет им. Ф.М. Достоевского».

Автореферат разослан «QL» марта 2012 г.

Ученый секретарь

диссертационного совета Д 212,179.04

кандидат физико-математических наук — Вершинин Г.А.

Общая характеристика работы

Актуальность темы

В последние годы исследование систем, характеризующихся медленной динамикой, вызывает значительный интерес как с теоретической, так и экспериментальной точек зрения. Это обусловлено предсказываемыми и наблюдаемыми в них свойствами старения при медленной эволюции систем и:з неравновесного начального состояния и нарушениями флуктуациоино-диссипативной теоремы [1]. Хорошо известными примерами подобных систем с медленной динамикой и эффектами старения являются такие комплексные неупорядоченные системы как стекла: ди-польные, металлические и спиновые. Однако, данные особенности неравновесного поведения, как показали различные аналитические и численные исследования, могут наблюдаться и в структурно однородных системах в критической точке или вблизи нее при фазовых переходах второго рода, так как критическая динамика таких систем характеризуется аномально большими временами релаксации. К системам с медленной динамикой относится и двумерная ХУ-модель при температурах ниже и равной температуре 7бкт фазового перехода Бсрсзинского-Костсрлица-Таулеса [2,3]. В последнее время особое внимание уделяется исследованию эффектов старения в низкоразмерных магнитных системах [4-7].

Большинство реальных систем содержат дефекты структуры, которые могут оказывать заметное влияние на поведение системы, в том числе и вблизи температуры фазового перехода. Из критерия Харриса следует, что наличие точечных замороженных дефектов структуры может существенно изменить критическое поведение системы, если без их присутствия теплоемкость системы расходилась вблизи критической точки. В противном случае, присутствие дефектов не влияет па характеристики системы за исключением такой неунивсрсальной величины как критическая температура, которая убывает с ростом концентрации дефектов и при пороговой концентрации, соответствующей порогу иерколяции системы, обращается в нуль. Согласно критерию Харриса предсказывается, что в двумерной ХУ-модели влияние дефектов структуры оказывается несущественным близи критической температуры Тбкт- В низкотемпературной фазе для Т < Тбкт, как показали аналитические и численные исследования равновесных свойств модели [8,9], наличие дефектов приводит к изменению значений показателей для равновесной корреляционной функции и к их концентрационной зависимости. Динамика структурно неупорядоченной двумерной ХУ-модели до сих пор не исследована.

Цель работы Целью настоящей диссертации является:

- численное исследование неравновесной динамики однородной двумерной ХУ-модели методами Монте-Карло в низкотемпературной области вплоть до температуры фазового перехода Березинского-Костерлица-Таулесса при эволюции системы из полностью упорядоченного состояния в рамках динамики Метрополиса и динамики Кавасаки.

- численное исследование неравновесной динамики структурно неупорядоченной

двумерной ХУ-модели для различных спиновых концентраций методами Монте-Карло в низкотемпературной области вплоть до температуры фазового переход Березинского-Костерлица-Таулесса при старте системы из различных неравновесных начальных состояний.

- численное исследование эффектов старения в однородной и структурно неупорядоченной двумерной ХУ-модели с целью выявления различных режимов времен ной зависимости автокорреляционной функции для различных значений времени ожидания.

- определение показателей степенной зависимости автокорреляционной функци однородной и структурно неупорядоченной двумерной ХУ-модели, а также пока зателей пространственной корреляционной функции.

- численное исследование температурной зависимости поперечной жесткости си стемы в квазиравновесном состоянии и сравнение с аналитическими результатами.

- численное исследование нарушения флуктуационно-диссипативной теоремь при эволюции системы из полностью упорядоченного начального состояния, а так же расчет значения асимптотического предела на больших временах наблюдения.

Научная новизна результатов

1. Впервые осуществлено компьютерное моделирование критического поведени двумерной ХУ-модели в области низких температур в рамках динамики Кавасаки и получены соответствующие показатели степенной зависимости автокорреляционной функции.

2. Впервые численно исследованы эффекты старения во всей низкотемпературной фазе, и получены подтверждения существования двух временных режимов в динамике системы.

3. Впервые численно исследованы эффекты старения в структурно неупорядоченных системах.

4. Впервые численно исследована температурная зависимость поперечной жесткости системы.

Научная и практическая значимость работы

К настоящему моменту экспериментально обнаружено и синтезировано большое число магнитных кристаллов, близких по свойствам к двумерным системам, фазовые переходы в которых обладают рядом необычных свойств [10]. Эти низкоразмерные магнитные системы характеризуются сильным взаимодействием магнитных ионов в плоскости и слабым межплоскостным взаимодействием. Термодинамические свойства таких систем характеризуются достаточно широким температурным интервалом, в котором проявляются только двумерные свойства этих систем, определяемых взаимодействием в магнитной ионной плоскости.

Исследование низкоразмерных систем представляет фундаментальный интерес с точки зрения теории фазовых переходов, согласно которой асимптотическое по-

ведение термодинамических и корреляционных функций вблизи температуры фазового перехода определяется главным образом размерностью системы и ее сим-метрийными свойствами, выраженными главным образом через число компонент параметра порядка - спонтанной намагниченности в ферромагнетиках.

В настоящее время компьютерный эксперимент может стать серьезным подспорьем для исследователя. Для компьютерного моделирования применяются мощные вычислительные кластеры, а также существенный вклад вносят алгоритмы параллельных вычислений. Важной областью применения методов компьютерного моделирования является теория критических явлений, в том числе и в структурно неупорядоченных системах, системах с медленной динамикой и сильно коррелированных системах, аналитическое описание которых невозможно без тс.х или иных приближений.

Реальные материалы подвержены так называемым «эффектам старения», проявление которых становится тем существеннее, чем больше времени прошло с момента приготовления образца. Данные эффекты оказывают заметное влияние на эксперименты с материалами. Поэтому исследование эффектов старения даст важную информацию.

Полученные в диссертации результаты вносят существенный вклад в исследование критического поведения двумерных систем, как однородных, так и содержащих дефекты структуры.

Личный вклад диссертанта

Разработаны алгоритмы и программы моделирования неравновесного поведения двумерной ХУ-модели, проанализированы полученные результаты, а также сопоставлены с ранее полученными результатами других исследователей, сделаны физические выводы.

Основные положения, выносимые на защиту

1. Методика и результаты численного исследования неравновесного критического поведения и эффектов старения в структурно неупорядоченной двумерной ХУ-модели;

2. Наличие различных температурных областей применимости алгоритма Мет-рополиса и алгоритма Кавасаки для описания динамики двумерной ХУ-модели;

3. Подтверждение существования в неравновесной динамике ХУ-модели эффектов старения при релаксации из начального упорядоченного состояния и двух различных временных режимов, характеризующихся двукратным изменением степенных показателей для автокорреляционной функции;

4. Сопоставление результатов численного определения температурной зависимости поперечной жесткости системы с аналитической зависимостью, полученной из решения самосогласованного уравнения, указывает на наличие дополнительных вкладов от нелинейных сиин-волновых эффектов и взаимодействия вихревых возбуждений;

5. Численное доказательство существования эффектов нарушения флуктуационн диссипативной теоремы в неравновесном поведении двумерной XY-модели;

6. Существенность влияния дефектов структуры на степенной характер релаксации двумерной XY-модели в низкотемпературной фазе на больших временах наблюдения при эволюции системы из различных неравновесных начальных состояний. Наличие трех динамических режимов в неравновесном поведении автокорреляционной функции.

Апробация работы

Основные результаты диссертационной работы докладывались и обсуждались на XXXIV и XXXV научно-практических конференциях «Молодежь третьего тысячелетия» (Омск, 2010, 2011) и международном симпозиуме «Moscow International Symposium on Magnetism» (Москва, 2011), а также на научных семинарах кафедры теоретической физики ОмГУ.

Публикации

Список публикаций автора по теме диссертации включает 10 статей и тезисов докладов, опубликованных в российских и иностранных журналах, сборниках, трудов и материалах конференций.

Структура и объем диссертации

Диссертация состоит из введения, четырех глав и заключения. Объем диссертации - 108 страниц машинописною текста, в том числе 29 рисунков, 8 таблиц и список цитируемой литературы из 127 наименований.

Краткое содержание работы

Во введении обоснована актуальность выбранной темы диссертационной работы и сформулированы основные цели исследований.

В первой главе, носящей обзорный характер, в краткой форме излагается содержание концепций и методов, применяемых для описания критических явлений. Рассматриваются особенности двумерных систем, эффекты старения, влияние дефектов структуры на критическое поведение систем.

Во второй главе осуществлено компьютерное моделирование однородной двумерной XY-модели в области низких температур в рамках динамики Метрополиса и динамики Кавасаки. Также была получена температурная зависимость поперечной жесткости системы.

Рассматривается модель спиновой системы в виде плоской решетки с линейным размером L и циклическими граничными условиями. В данной модели с каждым г-м узлом связан спин - единичный двумерный вектор

Si = (Six, Siy). (1)

Любая конкретная конфигурация системы задается набором векторов {Si,..., 5д для всех узлов решегки. В отсутствие внешних) магнитного поля изотропная мо-

дсль характеризуется гамильтонианом вида:

Я = -.7 ]Г (2)

<'0>

где 3 - интеграл обменного взаимодействия, а сумма берется по всем ближайшим соседям. В угловых переменных:

Я = -3 ^ - <р}), (3)

<г,]>

где ^ - фаза г-го спина, которая отсчитывастся от произвольной вертикальной оси против часовой стрелки.

Вид гамильтониана (3) указывает на сильную нелинейность системы, следствием которой является сущссгво-

п -х/ч^ вание наряду с обычными спиновыми волнами возбуж-«'■х/'" 1 у „ „

\ \«- ^ ✓ / х \ ч / / ^ денных состояний особой природы - вихрей и антивихрей

6 (рис. 1), количество которых растет с ростом температу-

ры.

Рис.1: Схематическое изоб- в й ХУ-МОДСЛИ, согласно ТСОрСМС Мсрмина

ражение вихря (а) и аити-

вихря (б) на примере дву- и Вагнера, спонтанная намагниченность отсутствует при мерного магнетика. т ф 0. Было показано [2], что спиновая корреляционная

функция спадая экспоненциально с расстоянием при высоких температурах при низких температурах Т < Тбкт характеризуется степенным поведением:

С(х — х') ~ ехр {—|ж — х'\ 1п(Т/./)} , Т»,/ (4)

С{х - х') ~ \х - х'\-Т/М, Т « .1 (5)

В точке фазового перехода имеется степенная зависимость от расстояния:

С(х-х')~\х-х'\-\ (6)

где г] = 1/4 - критический индекс Фишера, непрерывно зависящий от температуры. Наивысшая температурная точка, при которой экспоненциальное поведение корреляторов сменяется степенным, соответствует фазовому переходу Бсрсзинского-Костерлица-Таулеса, температура которого оценивается из соотношения: Тс » 3, Ниже этой температуры начинается спаривание вихревых возбуждений с образованием инстантонов. С учетом взаимодействия вихрей выражение для определения критической температуры запишется в виде:

Среднеквадратичное расстояние пары вихрь-антивихрь

(г2) = а2(Т — 7г)/(2Г — 7г), (8)

остается конечным при 7г/Т > 2. С повышением температуры это расстояние увеличивается и при Тс = 77г/2 становится бесконечным, т.е. происходит диссоциация. В этом и состоит переход Березинского-Костерлица-Таулеса, являющийся фазовым переходом второю рода. Температура данного перехода для двумерной ХУ-модели ?БКТ = 0,893 [11]. Критическое поведение двумерной ХУ-модели определяется следующими характеристиками корреляционной длины:

Гехр т>тс, (9)

( 00, Т < Тс.

В работе [12] в пренебрежении эффектами взаимодействия вихрей и при условии сохранения параметра порядка осуществлено аналитическое описание неравновесного поведения двумерной ХУ-модели в низкотемпературной фазе и проведено вычисление временной корреляционной функции. Предсказывается следующее неуниверсальное асимптотическое степенное поведение для корреляционной и автокорреляционной функций:

УД/2, (10)

где показатель Д = Т/(4тгр„(Т)) непрерывно зависит от температуры и называется масштабной размерностью. Динамика Метрополиеа переворотов отдельных спинов описывает диссипативные процессы в системе, сопровождающиеся релаксацией намагниченности (параметра порядка) из начального неравновесного отличного от нуля значения к равному нулю для двумерной ХУ-модели равновесному значению. Динамика Кавасаки характеризуется сохранением параметра порядка. В рамках динамической модели с несохраняющимся параметром порядка предсказывается следующее поведение автокорреляционной функции:

А(1 - *') ~ Ц - ¿')"л. (11)

Таким образом, ожидается двукратное различие показателей автокорреляционной функции, полученных в рамках динамики Метрополиеа и динамики Кавасаки.

В данной главе диссертации осуществлялось компьютерное моделирование двумерной ХУ-модели с линейным размером Ь = 256 в рамках различных динамических моделей с помощью алгоритмов Метрополиеа и Кавасаки с целью подтверждения теоретических предсказаний и выявления областей их применимости. Для исследования неравновесной динамики проводились измерения временной зависимости автокорреляционной функции:

= (12) где скобки (...) означают усреднение по различным статистическим прогонкам.

Гамильтониан модели с учетом ангармонических вкладов безвихревых флуктуации параметра порядка может быть записан в виде:

Н = рЛ £ [ф + а)-ф))2

(13)

<х,а>

где а - постоянная решетки, р., - поперечная жесткость системы, температурная зависимость которой определяется самосогласованным уравнением:

р.,=схр(-Г/4^.,)- (14)

При Т = 0 величина р3 = 1. При Т > ТБкт существует лишь решение р, = 0. Метод самосогласования приводит к выводу, что в точке фазового перехода жесткость системы принимает конечное значение [13].

В данной главе диссертации жесткость системы исследовалась в квазиравновесном состоянии при эволюции из полностью упорядоченного состояния с помощью алгоритма Метрополиса в течение времени 20000 шагов Монте-Карло на спин (МСБ/з), после чего проводились измерения величины ра с помощью следующего выражения:

4 ~ J ~

',3

+ а) - ф)У

(15)

Таблица 1: Температурная зависимость поперечной жесткости системы ря{Т)

Г/7 Рз(Т)

0,1 0,9872(181)

0,2 0,9735(140)

0,3 0,9589(211)

0,4 0,9432(272)

0,5 0,9213(290)

0,6 0,8869(300)

0,7 0,8180(281)

0,8 0,6977(319)

0,89 0,5580(380)

Температурная зависимость жесткости системы была иссследованиа в температурном интервале от Г/.1 = 0,1 до TБK^:/J = 0,89 с шагом = 0,1.

Для каждой температуры Т проводилось усреднение получаемых значений но 100 прогонкам. На рис. 2 представлен график полученной температурной зависимости в сравнении с аналитически полученной зависимостью [13]. Полученный график имеет вид, качественно согласующийся с графиком аналогичной температурной зависимости, полученной из решения самосогласованного уравнения (15) в [13]. Выявленные численные различия обусловлены наличием дополнительных вкладов от нелинейных спин-волновых эффектов и взаимодействием вихревых возбуждений. В табл. 1 представлены значения жесткости системы для всех исследуемых температур.

На рис. 3 представлены полученные температурные зависимости показателей Д для динамик Метрополиса и Кавасаки. На рис. 3(а) наблюдается качественное согласие температурной зависимости показателей автокорреляционной функции в динамике Метрополиса с графиком величины Д, полученным на основе р.,(Т), во всем интервале температур. График температурной зависимости показателей автокорреляционной функции в динамике Кавасаки (рис. 3(6)) в пределах погрешности совпадает с графиком величины Д, полученным на основе ря(Т)у в интервале

Р.(Т) 1,0

0,8

0,6

0,4

0,2

0,0

0,2

0,4 0,6 0,8 1,0

т/т

Рис. 2: Температурная зависимость поиере'шой жесткости системы, полученная численно, в сравнении с аналитически полученной зависимостью

Д = Т/(4пр5)

0,30-,

0,25 0,20 0,15 0,10 0,05

0,00

Д = Т/{8яра) 0,30

0,0

0,2

0,4

0.8 "Ш

та

Рис. 3: Сравнение показателей Д, полученных из температурного поведения автокорреляциошюй функции А(Т) (1) и показателей, найденных при числешюм исследовании температурной зависимости р,(Т) (2) для динамик Метрополиса (а) и Кавасаки (6), а также показателей Д (3), рассчитанных для р,(Т) на основе аналитического решения самосогласованного уравнения (15)

температур от Т)3 = 0,1 до Г/7 = 0,4. Таким образом, динамика Кавасаки правильно описывает поведение двумерной ХУ-модели в области низких температур, а динамика Метрополиса — во всей низкотемпературной фазе и вблизи критической температуры.

Поскольку вблизи критической точки происходит сильное взаимодействие вихрей и вследствие чего параметр порядка не является сохраняющейся величиной, следовательно, для правильного описания поведения двумерной ХУ-модели в критической области необходимо использовать алгоритм Метрополиса, задающего динамику системы с несохраняющимся параметром порядка, что подтверждается рис. 3. Динамику Кавасаки следует применять в области низких температур, где взаимодействием вихрей можно пренебречь.

В третьей главе проведено численное исследование эффектов старения при различных значениях времени ожидания посредством расчета временной зависимости автокорреляционной функции структурно однородной системы при старте из полностью упорядоченного состояния и состояния с малым значением намаг-

ничснности т0 « 1, а также проведено исследование нарушений флуктуационно-диссипативной теоремы.

Под процессом старения материалов понимают явление роста времени релаксации системы к состоянию равновесия с увеличением «возраста» материала, т.е. времени прошедшего после приготовления образца [14]. Явление старения проявляется математически прежде всего в двухврсменных характеристиках системы, таких как корреляционные функции и функции отклика. При неравновесных процессах эти функции зависят от двух переменных временной природы: Ь и £,„ и не только от их разницы, но и от каждой в отдельности. Причем эта зависимость сохраняется и при достаточно больших временах наблюдения t. Временная переменная и„ характеризует возраст образца, т.е. время, прошедшее после его приготовления, и называется временем ожидания. При явлении старения процесс релаксации системы как функции времени наблюдения Ь замедляется тем больше, чем больше время ожидания £ш.

Согласно работе [15], двухврсменная зависимость автокорреляционной функции для Т < Тбкт может быть представлена в следующей сксйлинговой форме:

Ч(Г)/4

(Ю)

1

tu!) —

(1+А)2

4А

(t - twy>™

для времен t — tw^> о2 , где а - ультра-фиолетовый параметр обрезания микроскопической природы, А = t/tw, rj(T) - критический индекс, связанный с поперечной жесткостью ps системы следующим соотношением:

В неравновесном поведении автокорреляционной функции можно выделить два временных режима. На временах t - tw « tw автокорреляционная функция ведет себя как:

(18)

Это соответствует квазиравновесному состоянию системы. На больших временах t - tw » tw наблюдается спадание автокорреляционной функции но степенному закону:

Переход между двумя режимами происходит при t - t,w ~ tw. Таким образом, временные зависимости автокорреляционной функции при различных временах ожидания не совмещаются. Это явление получило название эффекта старения системы [15], т.е. проявление се возраста при t > tw.

В данной главе диссертации эффекты старения исследовались для времен ожидания tw = 100,500,1000 MCS/s. Из полностью упорядоченного состояния система начинает свободно эволюционировать во времени в соответствии с алгоритмом Метрополиса до момента, равного времени ожидания tw, начиная с которого

Рис. 4: Временная зависимость автокорреляционной функции для времен ожидания ^ = 100 (1), („ = 500 (2), = 1000 (3) при температурах Т = 0,1 (а), Г = 0,5 (6), Т = 0,89 (в)

производился расчет автокорреляционной функции в течение времени наблюдения < —= 20000 МОЭ/э. На рис. 4 в двойном логарифмическом масштабе приведены полученные временные зависимости автокорреляционной функции для некоторых из исследуемых температур. На графиках наглядно видно наличие двух линейных участков, отражающих степенную временную зависимость автокорреляционной функции в соответствующих временных интервалах, а также кроссоверной области, в которой осуществляется переход от одного степенного режима к другому. Для количественной характеристики данных степенных режимов были введены показатели временной зависимости для автокорреляционной функции:

Л(г,г№) = (<-0~Лд, (20)

значения, которых вместе со статистическими погрешностями их определения приведены в табл. 2.

В качестве исследования на соответствие полученных значений показателей временной зависимости автокорреляционной функции может служить сопоставление с показателем статической корреляционной функции

С(х - х') ~ (х - х')~"(Т> (21)

для ряда температур с Т/3 ^ 0,89. Показатель для статической корреляционной функции эффективнее определять при исследовании размерной зависимости среднего квадрата намагниченности системы [16]:

{т2(Т,Ь))~Ь"№ (22)

Измерения проводились на решетках с линейными размерами Ь = 4,8,16,32,64 в низкотемпературной фазе вплоть до критической температуры. Полученные численные значения показателя г](Т), отражающие его температурную зависимость, со статистическими погрешностями их определения приведены в табл. 2.

В критической точке ТЬкт/^ = 0,89 для показателя получено значение г] = 0,248(4), что в пределах погрешности хорошо согласуется с точным теоретическим значением г]= 1/4. Сопоставление значений показателя т](Т) со значениями показателей временной зависимости автокорреляционной функции на разных временных этапах эволюции показывает, что для £ — <§; в пределах статистических

Таблица 2: Показатели корреляционной и автокорреляционной функций, полученные для различных значений температур Т, времеш! ожидания и асимптотических временных интервалов

77.7 1{Т) = 100 и, = 500 и, = 1000

[0;60] [1000;10000] [0;60) [1000;10000] [0;100] 110000,20000]

0,1 0,2 0,3 0,4 0,5 0,6 0,7 0,8 0,89 0,0161(6) 0,0334(5) 0,0522(4) 0,0716(6) 0,0938(7) 0,1161(10) 0,1456(11) 0,1805(10) 0,2480(40 0,0093(2) 0,0185(4) 0,0279(6) 0,0379(8) 0,0486(9) 0,0603(10) 0,0738(13) 0,0903(12) 0,1112(15) 0,0045(1) 0,0091(1) 0,0139(1) 0,0193(1) 0,0250(1) 0,0313(1) 0,0388(1) 0,0477(8) 0,0023(9) 0,0097(1) 0,0197(3) 0,0296(5) 0,0400(6) 0,0512(8) 0,0635(9) 0,0774(10) 0,0948(12) 0,1176(40) 0,0044(1) 0,0093(1) 0,0139(1) 0,0203(1) 0,0245(1) 0,0322(1) 0,0397(1) 0,0483(1) 0,0649(2) 0,0096(2) 0,0190(3) 0,0287(4) 0,0389(5) 0,0499(6) 0,0620(6) 0,0759(7) 0,0931(8) 0,1164(9) 0,0048(1) 0,0093(1) 0,0152(1) 0,0206(1) 0,0263(1) 0,0356(1) 0,0425(1) 0,0534(1) 0,0597(2)

Рис. 5: Временная зависимость автокорреляционной функции при старте системы из состояния с малым значением намагниченности та « 1 для времен ожидания = 100 (1), = 500 (2), = 1000 (3) при температурах Т = 0,1 (а), Т = 0,5 (6), Т = 0,89 (в)

погрешностей выполняется соответствие т)(Т)/2, как и предсказывалось соотношением (18), а для t - и » выполняется соответствие т?(Т')/4, характеризуемое зависимостью (19).

Также были проведены исследования эффектов старения при старте системы из состояния с малым значением намагниченности тп0 < 1 при тех же значениях времени ожидания. Полученные временные зависимости автокорреляционной функции представлены на рис. 5, а соответствующие степенные показатели Дл в табл. 3.

Из вида графиков на рис. 5 и значений Дл видно, что в структурно однородной системе при старте из высокотемпературного начального состояния с тп0 < 1 поведение автокорреляционной функции качественно отличается от случая старта из низкотемпературного начального состояния с тп0 = 1. В случае старта из состояния с т0 < 1 наблюдается рост времени релаксации с увеличением времени ожидания, в то время, как при старте из состояния с тпо = 1 - уменьшение. На начальных временных участках Ь - ~ показатели Дл для системы, эволюционирующей из начального состояния с % « 1, больше значений аналогичных показателей для системы с т0 = 1 примерно в 1,5 раза. В случае дальних временных участков г-Ь-ш » показатели Дл системы с тп0 < 1 превосходят аналогичные показатели для системы с т0 = 1 уже на 1-2 порядка.

Выявленные различия в неравновесном поведении системы, эволюционирующей

Таблица 3: Показатели для автокорреляционной функции, полученные для различных значений температур X, времени ожидания и асимптотических временных интервалов при старте системы из состояния с малой начальной намагниченностью то <к 1

ти = 100 К = 500 = 1000

[0;60] [1000;20000] [0;60] [5000;20000] [0;60| [1000;20000]

0,1 0,022(4) 0,430(8) 0,015(1) 0,432(3) 0,022(4) 0,430(8)

0,2 0,041(2) 0,461(3) 0,026(5) 0,457(8) 0,041(2) 0,461(3)

0,3 0,049(9) 0,473(1) 0,038(5) 0,464(3) 0,049(9) 0,473(1)

0,4 0,064(1) 0,484(1) 0,050(9) 0,461(8) 0,064(1) 0,484(1)

0,5 0,087(3) 0,492(1) 0,062(6) 0,475(1) 0,087(3) 0,492(1)

0,6 0,096(1) 0,499(3) 0,078(1) 0,479(7) 0,096(1) 0,499(3)

0,7 0,121(1) 0,503(2) 0,095(7) 0,481(6) 0,121(1) 0,503(2)

0,8 0,148(1) 0,514(9) 0,117(3) 0,489(8) 0,148(1) 0,514(9)

0,89 0,184(1) 0,612(3) 0,146(9) 0,614(7) 0,184(1) 0,612(3)

из разных начальных состояний, обусловлены тем, что при релаксации из низкотемпературного состояния с то < 1 роль в динамике высокоэнергетичных вихревых возбуждений является малой и динамика системы определяется только низкоэнер-гетичными спин-волновыми возбуждениями. При старте системы из высокотемпературного состояния с тп0 = 1 роль вихревых возбуждений и их взаимодействие является определяющей.

Флуктуационно-диссипативная теорема (ФДТ) - соотношение, устанавливающее связь между спектром флуктуации физических величин в равновесной дис-сипативной среде и её обобщёнными восприимчивостями, т.е. параметрами, характеризующими её реакцию на внешнее воздействие. Главной особенностью неравновесного поведения систем с медленной динамикой является нарушение трансляционной инвариантности во времени за счет долговременного влияния неравновесных начальных состояний таких систем. Это находит проявление прежде всего в двухвременных характеристиках системы, таких как корреляционные функции и функции отклика. Кроме эффектов старения неравновесное поведение систем с медленной динамикой характеризуется нарушением ФДТ [1], на применении следствий которой построены теоретические основы различных экспериментальных методов по рассеянию и поглощению излучения веществом. В состоянии равновесия ФДТ устанавливает связь корреляционной функции с сопряженной ей линейной функцией отклика:

причем временная зависимость данных функций реализуется через разность При неравновесном поведении систем обобщение ФДТ принимает вид:

= (24)

где фактор Х^,^) называется флуктуационно-диссипативным отношением и является мерой нарушения флуктуационно-диссипативной теоремы.

В последнее время усилия многих исследователей [1] были направлены на определение асимптотического значения для флуктуационно-диссипативного отношения

lim lim X(t, tw). (25)

tw~*oo i->oo

В работе [4] было сделано предположение, что асимптотическое значение X«, для флуктуационно-диссипативного отношения является универсальной величиной для систем, характеризующихся медленной динамикой. Функция отклика R(t, tw) спиновой системы на внешнее магнитное поле, приложенное к системе в момент времени tw, определяется соотношением:

R(t,tw)=^ J

däJ{S(x,t)) Sh(x,tw)

(26)

/i=0

Однако, линейная функция отклика, соответствующая данному определению, не может быть непосредственно измерена экспериментально или получена методами компьютерного моделирования. Более удобной величиной является интегральная характеристика - динамическая восприимчивость

t

X(t,tw) = j dt'A(t,t'). (27)

Методами Монте-Карло восприимчивость х(Мш) для двумерной системы может быть рассчитана на основе следующего соотношения:

= (28) i

где h - малое бимодальное магнитное поле, черта сверху обозначает процедуру усреднения по различным реализациям магнитного поля.

Для вычислений восприимчивости в данной диссертации использовалось значение h = 0,04. Для того, чтобы из восприимчивости системы выделить информацию о значениях флуктуационно-диссипативного отношения, необходимо на основе вычисленных временных t - tw зависимостей (для t > tw) для восприимчивости X(t, tw) и автокорреляционной функции A(t, tw) выразить Tx(t, tw) как функцию A(t,tw), представить в виде кривой и из ее асимптотической кривизны выделить значение

Х*=- lim Щ21, (29)

00 а-+о dA

которое и идентифицируется с Хм. На рис. 6 представлены полученные параметрические зависимости для Tx(t, tw) как функции A(t, tw) для различных температур и времен ожидания tw при релаксации системы из начального состояния с тй = 1. Штриховая прямая отображает соотношение между Tx(t,tw) и A(t,tw), соответствующее выполнению флуктуационно-диссииативной теоремы для t — tw -С tw

Tx(t.tJ

0,095 0,090 0,083 0,080 0,075 0,070 0,065 0,060

Tx(U„>

0,32 0,30 0,28 0,26 0.24 0,22 0,20 o.t а

A(UJ

0.74 0,76 0,78

A(t,l)

Рис. 6: Параметрическая зависимость воспр!шмчивости от автокорреляционной функции на временах ожидания <„ = 100 МСв/в (1) и (,„ = 500 МСЭ/в (2) для температур Т = 0,1 (а) и Т = 0,4 (б).

с Хоо = 1. Из рисунка видно, что для £ — £и, » наблюдается заметное отклонение от данной штриховой прямой с X= 1 и, следовательно, неравновесное поведение двумерной ХУ модели сопровождается эффектами нарушения флуктуационно-диссипативной теоремы и характеризуется, как показали расчеты, величиной Хм = 2,49(13) для времен I - »

В четвертой главе осуществлено компьютерное моделирование структурно неупорядоченной двумерной ХУ-модели в области низких температур в рамках динамики Метрополиса при различных значениях концентрации дефектов.

Гамильтониан структурно неупорядоченной двумерной ХУ-модели можно записать следующим образом:

H = -J^ (30)

<У>

где числа р; = 1, если в ьм узле решетки находится спин, и щ = 0, если в узле находится немагнитный атом.

Для локализации низкотемпературной фазы необходимо определить критическую температуру системы в зависимости от концентрации дефектов С5тр (или спиновой концентрации р = 1 - йшр). В работе [11] приведен способ определения критической температуры системы на основе анализа температурного поведения величины отношения корреляционных функций для решеток с различными линейными размерами Ь. Корреляционная функция задается выражением:

С (г) =< pipi+rSiSi+r > .

(31)

Тогда отношение корреляционных функций для решеток с различными L запишется в виде:

\{C{L/A))Y ^

где скобки < • • • > означают статистическое усреднение по прогонкам, а скобки [...]- по различным примесным конфигурациям. Для систем с линейными размерами L = 16,32,48 в данной главе диссертации было осуществлено определение корреляционного отношения (32) для спиновых концентраций р — 0,8 и р = 0,9. Усреднение проводилось по 10 прогонкам для каждой примесной конфигурации и

1.1 1,0 0,9 0.8 0,7 0,в 0,5

0,98 0,96 0,94 0,92 0,90

о,м

0,4

0.6

0.7

т

0,86

0,5

0,6

0,7

0,8 ТО

Таблица 4; Температуры пересечения графиков корреляционных отношений для спиновых концентраций р = 0,8 и р = 0,9.

¿1 - ¿2 16-32 16-48 32-48

р = 0,8 р = 0,9 0,495 0,670 0,486 0,678 0,473 0,690

Рис. 7: Корреляцжлшые отношения дня систем с линейными размерами Ь: 16 (1), 32 (2), 48 (3), дня спиновых концентраций р = 0,8 (а) и р = 0,9 (б).

по 50 примесным конфигурациям после эволюции системы в течение 10000 МСБ/й. Соответствующие графики температурной зависимости данных величин представлены на рис. 7.

В данном случае графики можно аппроксимировать прямыми линиями, так как в отличие от метода кумулянтов Биндера, графики имеют более монотонный вид. Но при этом сохраняется общая для этих методов характерная особенность, состоящая в том, что положение графиков, соответствующих Ь\ > , как бы инвертируются после точки пересечения - если до нее кривые Я{Ь{) > ЩЬ2), то после точки пересечения - ЩЬ^) < И(Ь2). Кроме того, кривые также имеют область (треугольник) пересечения в малой окрестности критической температуры.

В табл. 4 представлены значения температур пересечения корреляционных отношений для спиновых концентраций р = 0,8ир = 0,9. Для системы со спиновой концентрацией р = 0,8 получено значение критической температуры ТБКт = 0,485(4), для системы со спиновой концентрацией р = 0,9 - значение Твкт = 0,679(7). Видно, что наличие примесей в системе существенно понижает температуру фазового перехода.

Временная автокорреляционная функция структурно неупорядоченной ХУ-модели определяется следующим выражением:

(33)

Исследования автокорреляционной функции в данной диссертации проводились для спиновых концентраций р = 0,8; 0,85; 0,9; 0,95; 0.98 на временах ожидания ¿ш = 1000, и = 10000, = 50000 МСЗ/б при температурах Г/./ = 0,1 и Т/3 = 0,4. Общее время наблюдения £-£ш составляло от 30000 МСБ/э до 1000000 МСБ/й. Для каждой температуры Т проводилось усреднение получаемых значений по 100 прогонкам и 100 примесным конфигурациям.

На рис. 8 представлены в двойном логарифмическом масштабе графики времен-

Рис. 8: Поведение автокорреляционной функции при температуре Т/3 = 0,4, времени ожидания („, = 1000 для неупорядоченной системы с р = 0,98 (1) и однородной системы с р = 1 (2)

ной зависимости автокорреляционной функции для слабо неупорядоченной модели с р = 0,98 и однородной модели с р = 1 при температуре Т/.7 = 0,4 и времени ожидания £,„ = 1000 МСБ/б. Видно, что даже малая концентрация дефектов существенно меняет динамику системы.

В данной главе диссертации было получено численное подтверждение эффектов старения для однородной модели и, в частности, для Т/3 = 0,4 были получены значения показателей для автокорреляционной функции Да = 0,0389(5) для £ -и « ии = 1000 МСЭ/в и Дл = 0,0206(1) для £ - £ш » £,„ = 1000 МСЗ/й.

Для неупорядоченной системы с р = 0,98 на временах £ - £„, ~ £,„ наблюдается замораживание временной зависимости Л(£) и лишь на временах £ - £ш » £ш наблюдается степенное временное спадание А{Ь) с показателем Д^ = 0,0409(2). Данное значение показателя оказывается близким к значению показателя однородной системы т){Т)/2 для времен £-£„,«: £„,.

На рис. 9(а) представлен в двойном логарифмическом масштабе график полученной временной зависимости автокорреляционной функции при температуре Т/3 — 0.4 и времени ожидания £ш = 10000 МСБ/я для различных спиновых концентраций. Из графиков видно, что в поведении автокорреляционной функции для данных неупорядоченных систем можно выделить три динамических режима, соответствующих следующим временным интервалам: при £ — £„<£„ реализуется начальный режим замораживания временного поведения автокорреляционной функции, для которого ¿4(£, twi) аппроксимируется линейной зависимостью ^и) = 1 — а(£ — £№) > при £-£„;§> £„, осуществляется режим степенной релаксации на больших временах наблюдения с Л(£, £,„) ~ £~Л и при £ - £ш « £ш -промежуточный режим кроссоверного поведения. Также из этого рисунка видно, что с увеличением концентрации дефектов начало степенного режима поведения автокорреляционной функции сдвигается в область больших времен. При этом с ростом концентрации дефектов относительное изменение величины этого временного сдвига уменьшается.

На рис. 9(6) представлено в двойном логарифмическом масштабе поведение автокорреляционной функции при различных временах ожидания. Видно, что с увеличением времени ожидания £,„ процесс степенной релаксации в неупорядоченной двумерной ХУ-модели наступает раньше.

Рис. 9: Поведение автокорреляционной функции при следующих условиях: рис. (а) - температура Т = 0,4, время ожидания ^ = 10000 МСЭ/з для различных сшшовых концентраций р: 0,8 (1), 0,85 (2), 0,9 (3), 0,95 (4); рис. (б) - Т = 0,4, р = 0,9 для различных гш (МСЗ/в): 1000 (1), 10000 (2), 50000 (3); рис. (в) - = 10000, температура Т = 0,4 для различных р: 0,95 (1), 0,9 (2), 0,85 (3), 0,8 (4); температура Т = 0,1 для различных р: 0,95 (5), 0,9 (6), 0,85 (7), 0,8 (8)

На рис. 9(в) представлены в двойном логарифмическом масштабе кривые временных зависимостей автокорреляционной функции при температурах Т/7 = 0,1 и Г/У = 0,4 для всех рассмотренных в данной диссертации спиновых концентраций. Из приведенных графиков видно, что увеличение температуры заметно сокращает длительность начального интервала замораживания в поведении автокорреляционной функции, приводя к заметно болое раннему началу режима степенной релаксации, и существенно увеличивает значения показателя Ал(Т,р). Увеличение концентрации дефектов приводит также к увеличению значений показателя хотя концентрационное влияние на Ал{Т,р) значительно слабее температурного.

В работе [9] для структурно неупорядоченной двумерной ХУ-модели с малой концентрацией дефектов был проведен расчет показателя степенного убывания с расстоянием равновесной корреляционной функции С(г-г') с применением теории возмущения:

С (г, г') ~ |г-г'ГА, (34)

с использованием показателя Ас = ге (Т) = Т^кЗ для однородной модели при достаточно низких температурах, считая жесткость системы ра « 1. Влияние дефектов было представлено в виде корректирующего множителя Ас = г?.тР {Т,р) = т]рше{Т)а{р) с а(р), вычисленного в виде ряда по малой концентрации дефектов Сш,Р = 1 - р « 1 и имеющего вид а(р) и [1 + 2,73(1 - р) + 1,27(1 - р)2].

В отличие от работы [8], в которой влияние дефектов интерпретировалось через увеличение эффективной температуры системы с ростом их концентрации, физически более правильно влияние дефектов определять через их воздействие на величину жесткости системы, вводя для неупорядоченной модели показатель А с = г)1тр{Т,р) = Т/27гУра(Т, р) и считая, что с ростом концентрации дефектов жесткость системы уменьшается. В первой главе данной диссертации было осуществлено численное определение для однородной модели температурного поведения жесткости системы ра(Г,р = 1), которое показало монотонное убывание ря с повышением температуры.

В табл. 5 приведены рассчитанные значения показателя Ас для автокорреляционной функции на временах 4 — » для различных спиновых концентраций

A(U.)

A(t,t.)

A(t,tw)

100 1000 10000

t-tw, MCS/s

1000 10000

t-t_, MCS/s

1000 10000

t-t , MCS/s

Рис. 10: Временная зависимость автокорреляционной функции для структурно неупорядоченной системы с концентрацией спинов р = 0,8 при старте системы из состояния с то « 1 для времен ожидания

= 100 (1), = 500 (2), Ьу, = 1000 (3) для температур Г = 0,1 (а), Т = 0,3 (б) и Т = 0,49 (в) т'> а А(1,у 6 А(1,у

1004 10000

t-t, MCS/s

100Ф 10000

t-tw, MCS/s

100 1 000 10000

t-t,, MCS/s

Таблица 5: Значения показателя Лс для различных спиновых концентраций р на временах t — tw~S> tw

Рис. 11: Временная зависимость автокорреляционной функции для структруно неупорядоченной системы с концентрацией спипов р = 0,9 при старте системы из состояния с то <с 1 для времен ожидапия t,„ = 100 (1), t.w = 500 (2), i,„ = 1000 (3) для температур Т = 0,1 (а), Т = 0,4 (б) и Т = 0,68 (в)

р и температур T/J = 0,1 и T/J = 0,4. Данные значения подтверждают выявленную тенденцию влияния температуры и концентрации дефектов на характер степенной релаксации двумерной XY-модели в низкотемпературной фазе на больших временах наблюдения.

Также в данной главе диссертации для систем со спиновыми концентрациями р = 0,8 и р = 0,9 были проведены исследования эффектов старения при старте системы из состояния с малой намагниченностью. Низкотемпературная фаза была локализована с учетом полученных значений критической температуры для указанных концентраций.

На рис. 10 и 11 в двойном логарифмическом масштабе представлены полученные временные зависимости автокорреляционной функции для различных значений времени ожидания при некоторых исследуемых температурах, а соответствующие показатели Дл приведены в табл. 6 и 7.

В поведении автокорреляционной функции структурно неупорядоченной модели было выделено три различных динамических режима: режим замораживания при t - tw <С tw, на котором временное поведение автокорреляционной функции A(t,tw) аппроксимируется линейной зависимостью A(t,tw) =1 - a(t - tw), режим степенной релаксации с A(t, tw) ~ t~A при t - tw » tw и промежуточный режим кроссоверного поведения при t-twœtw. Режим замораживания связан с эффектами локализации пар вихрь-антивихрь на дефектах структуры и замедлении спи-

T/J = 0,1 T/J = 0,4

Р = 0,8 р = 0,85 р = 0,9 р = 0,95 0,0130(3) 0,0118(2) 0,0106(2) 0,0101(1) 0,0527(3) 0,0494(3) 0,0443(2) 0,0425(2)

Таблица 6: Показатели автокорреляционной функции для структурно неупорядоченной системы со спиновой концентрацией р = 0,8, полученные для различных значений температур Т, времени ожидания и асимптотических временных интервалов при старте системы из состояния с те « 1

= 100 = 500 ¿10 = 1000

[0;00| [5000;20000| [0;100] |5000;20000| [0;100] |1000;20000|

0,1 0,2 0,3 0,4 0,49 0,027(1) 0,049(1) 0,073(1) 0,102(1) 0,146(1) 0,482(1) 0,524(1) 0,590(1) 0,660(1) 0,790(1) 0,022(1) 0,042(1) 0,065(1) 0,093(1) 0,123(1) 0,439(1) 0,475(1) 0,541(1) 0,611(1) 0,727(1) 0,021(1) 0,041(1) 0,063(1) 0,090(1) 0,119(1) 0,405(1) 0,434(1) 0,496(1) 0,567(1) 0,693(1)

Таблица 7: Показатели автокорреляционной функции для структурно неупорядоченной системы со спиновой концентрацией р = 0,9, исшучешше для различных значений температур Т, времени ожидания и асимптотических временных интервалов при старте системы из состояния с тц <£ 1

Т13 = 100 = 500 = 1000

(0;60| 15000;20000] [0;100| [5000;20000| (0;100| [1000;20000)

ОД 0,024(1) 0,322(1) 0,017(1) 0,285(1) 0,016(1) 0,258(1)

0,2 0,041(1) 0,394(1) 0,032(1) 0,350(1) 0,031(1) 0,320(1)

0,3 0,059(1) 0,471(1) 0,049(1) 0,425(1) 0,047(1) 0,386(1)

0,4 0,080(1) 0,534(1) 0,067(1) 0,483(1) 0,064(1) 0,440(1)

0,5 0,103(1) 0,591(1) 0,088(1) 0,533(1) 0,084(1) 0,491(1)

0,6 0,133(1) 0,640(1) 0,113(1) 0,584(1) 0,109(1) 0,535(1)

0,68 0,162(1) 0,715(1) 0,140(1) 0,645(1) 0,135(1) 0,606(1)

новой диффузии на временах, удовлетворяющих неравенству ¿сш ^ Яшф, где Цц ~ (Г>/р,5(( —¿ш))1'2, Г - кинетический коэффициент спиновой диффузии, - среднее расстояние между дефектами. При степенном режиме релаксации показатель Ас характеризуется сильной температурной зависимостью Ас — Т/2тгЗр3(Т,р) и более слабой концентрационной зависимостью жесткости системы ря.

При старте из состояния ст0«1 показатели А а для системы с концентрацией спинов р = 0,8 превосходят аналогичные показатели для системы с концентрацией р = 0,9, как на временном интервале 4 - ~ так и на интервале £ - £ш » То есть в случае т0 < 1 наличие примесей в системе ускоряет динамику системы.

В заключении сформулированы основные результаты и выводы диссертации.

Основные результаты и выводы

1. Проведено численное исследование неравновесной динамики двумерной ХУ-модели в низкотемпературной фазе в рамках динамики Метрополиса и динамики Кавасаки. Установлено, что динамика Метрополиса правильно описывает неравновесное поведение двумерной ХУ-модели во всей низкотемпературной фазе и в критической области, а динамика Кавасаки - только в области очень низких температур, где можно пренебречь взаимодействием вихрей.

2. При исследовании эффектов старения в структурно однородной системе во всей низкотемпературной области выявлены два режима степенного поведения автокорреляционной функции. Для временного интервала £ - < в

пределах статистических погрешностей выполняется соответствие т)(Т)/2, а для £ - tw » tw выполняется соответствие т](Т)/4.

3. Установлено, что при старте из состояния с m0 1 поведение автокорреляционной функции качественно отличается от случая старта из упорядоченного состояния. В случае старта из состояния с тщ <С 1 наблюдается рост времени релаксации с увеличением времени ожидания, в то время, как при старте из состояния с rn0 = 1 - уменьшение. На начальных временных участках t-tw ~ t,„ показатели Дл для системы с m0 < 1, больше примерно в 1,5 раза значений аналогичных показателей для системы ст0 = 1.В случае дальних временных участков t — tw » tw показатели Дл системы с т0 С 1 превосходят аналогичные показатели для системы с то = 1 уже на 1-2 порядка. Эти различия обусловлены тем, что при релаксации из состояния сп>о « 1 роль в динамике высокоэнергетичных вихревых возбуждений является малой и динамика системы определяется только низкоэнергетичными спин-волновыми возбуждениями. При старте системы из состояния с тпо = 1 роль вихревых возбуждений и их взаимодействие является определяющей.

4. В критической точке Тбкт/J = 0,89 для показателя получено значение г\ = 0,248(4), что в пределах погрешности хорошо согласуется с точным теоретическим значением г\ = 1/4.

5. Установлено, что динамика неупорядоченной двумерной ХУ-модели существен но отличается от динамики однородной модели и становится более медленной. В поведении автокорреляционной функции модели было выделено три различных динамических режима. Показатели автокорреляционной функции являются неуниверсальными не только по отношению к изменению температуры, но и по отношению к изменению концентрации примесей в системе.

6. Неравновесное поведение двумерной ХУ-модели сопровождается эффектами нарушения флуктуационно-диссипативной теоремы и характеризуется величиной Хоо = 2,49(13) для времен t - tw » tw

Основные результаты диссертации опубликованы в работах

1. Прудников В.В., Алексеев C.B. Численное исследование неравновесного поведения двумерной XY-модели в низкотемпературной области // Вестник Омского госуниверситета. - 2006. - Вып. 4. - С. 27-30.

2. Прудников В.В., Прудников П.В., Алексеев C.B. Исследование температурной зависимости поперечной жесткости системы в двумерной XY-модели // Вестник Омского госуниверситета. - 2010. - Вып. 2. - С. 83-86.

3. Прудников В.В., Прудников П.В., Алексеев C.B. Исследование эффектов старения в двумерной XY-модели // Вестник Омского госуниверситета. - 2010. - Вып. 2. - С. 55-58.

4. Прудников В.В., Прудников П.В., Алексеев C.B. Исследование влияния дефектов структуры на динамику двумерной XY-модели в низкотемпературной фазе // Вестник Омского госуниверситета. - 2010. - Вып. 4. - С. 76-81.

5. Алексеев С.В. Исследование эффектов старения в двумерной XY-модели. // Сборник статей XXXIV региональной научно-практической конференции "Молодежь III тысячелетия". -Омск: Изд-во Ом. гос. ун-та, 2010. - С. GG-69.

6. Прудников В.В., Прудников П.В., Попов И.С., Алексеев С.В. Исследование эффектов старения и нарушения флуктуационно-дис.сипативиой теоремы в двумерной XY-модели при моделировании из начального состояния с малым значением намагниченности. // Вестник Омского госуниверситета. - 2011. - Вып. 4. - С. 55-00.

Т. Прудников П.В., Прудников В.В., Попов И.С., Алексеев С.В. Исследования эффектов старения и нарушения флуктуациошго-диссипативгюй теоремы в двумерной XY-модели методами Монте-Карло // Труды семинара "Вычислительные технологии в естественных науках. Вычислительная физика: алгоритмы, методы и результаты". Под ред. P.P. Назирова, JI.H. Щура. - М.: Изд-во "Ротапринт ИКИ РАН 2012. - С. 161-185. |Труды ИКИ РАН. Серия "Механика, управление и информатика". Вып. 6.] .

8. Алексеев С.В. Исследование эффектов старения в неупорядоченной двумерной XY-модели. // Сборник статей XXXV региональной научно-практической конференции "Молодежь III тысячелетия". - Омск: Изд-во Ом. гос. ун-та, 2011. - С. 53-56.

9. Alekseyev S.V., Prudnikov P.V., Prudnikov V.V. Ageing phenomena in two-dimensional XY-model. // Book of abstracts: Moscow International Symposium on Magnetism, August 21-15, 2011 - M.: МАКС Пресс, 2011. - 944 с. (на англ. яз.). - С. 450-451.

Список литературы

[1] Calabrese P., Gambassi А. // J. Phys. А. - 2005. - V.38. - P.R133.

[2] Березииский B.JI. Низкотемпературные свойства двумерных систем. Москва: ФИЗМАТЛИТ, 2007.

[3] Lei X.W., Zheng В. // Phys. Rev. Е. - 2007. - V. 75. - P. 040104.

[4] Godreche С. Luck J.-M. // J. Phys. Cond. Matt. - 2002. - V. 14. - P. 1589.

[5] Picone A., M. Henkel // Nucl. Phys. B. - 2004. - V. 688. - P. 217.

[6] Schehr G., Paul R. // Phys. Rev. E. - 2005. - V. 72. - P. 016105.

[7] Pleimling M., Gambassi A. // Phys. Rev. B. - 2005. - V. 71. - P. 180401(R).

[8] Berche В., Farinas-Sanchez A. I., Holovatch Yu., Paredes R. // Eur. Phys. J. B. - 2003. - V. 36. - P. 91.

[9] Kapikranian O., Berche В., Holovatch Yu. // Phys. Lett. A. - 2007. - V. 366. - P. 150-154.

[10] Liebig A., Korelis P. Т., Ahlberg M., Hjorvarsson B. // Phys. Rev. B. - 2011. - V. 84. - P. 024430.

[11] Tomita Y., Okabe Y. // Phys.Rev.B - 2002. - V. 65. - P. 184405; V. 66. - P. 180401

[12] Prudnikov V.V., Teitelbaum G.B. // Phys.Lett.A. - 1977 - V. 63. - P. 1-3.

[13] Патапганский A.3., Покровский В.Л. Флуктуациониая теория фазовых переходов. - М.: Наука, 1982.

[14] Henkel М., Pleimling М. Non-Equilibrium Phase Transitions. Volume 2: Ageing and Dynamical Scaling Far from Equilibrium. - Dordredit, Springer, 2010.

[15] Berthier L., Holdsworth P.C.W., Sellitto M. // J. Phys. A. - 2001. - V. 34. - P. 1805.

[16] Binder K., Landay D.P. // Phys.Rev.B. - 1976. - V. 13. - P. 1140.

Подписано в печать 29.02.12 Формат 60x84x16, бумага писчая. Оперативный способ печати. Усл. печ. л. 1,0. Тираж 100 экз., заказ №0112

Отпечатано в «Полиграфическом центре КАН» тел. (3812) 24-70-79, 8-904-585-98-84.

E-mail: pc_kan@mail.ru 644050, г. Омск, ул. Красный Путь, 30 Лицензия ПЛД № 58-47 от 21.04.97

Федеральное государственное бюджетное образовательное учреждение высшего профессионального образования Омский государственный университет им. Ф.М. Достоевского Кафедра теоретической физики

61 12-1/731

На правах рукописи

Алексеев Сергей Вячеславович

ЧИСЛЕННОЕ ИССЛЕДОВАНИЕ КРИТИЧЕСКОЙ ДИНАМИКИ ОДНОРОДНОЙ И НЕУПОРЯДОЧЕННОЙ ДВУМЕРНОЙ ХУ-МОДЕЛИ В НИЗКОТЕМПЕРАТУРНОЙ ФАЗЕ МЕТОДАМИ МОНТЕ-КАРЛО

01.04.02 - теоретическая физика

Диссертация на соискание ученой степени кандидата физико-математических наук

Научный руководитель доктор физ.-мат. наук, доцент Прудников П.В.

0мск-2012

Содержание

Введение 5

1 Критические явления и методы их описания 14

1.1 Фазовые переходы и критические явления ..................14

1.2 Критические индексы..........................................17

1.3 Масштабная инвариантность и скейлинг......................19

1.4 Особенности двумерных систем................................21

1.5 Особенности теоретического описания структурно неупорядоченных спиновых систем....................................26

2 Численное исследование однородной двумерной ХУ-модели в области низких температур 34

2.1 Двумерная ХУ-модель..........................................34

2.2 Динамика Метрополиса........................................36

2.3 Динамика Кавасаки............................................38

2.4 Исследование температурной зависимости поперечной жесткости системы ..................................................39

2.5 Результаты численного исследования однородной двумерной ХУ-модели в рамках различных динамик................41

2.6 Выводы..........................................................43

3 Численное исследование эффектов старения в однородной двумерной ХУ-модели и нарушения флуктуационно-диссипативной теоремы 44

3.1 Системы с медленной динамикой и эффекты старения . . 44

3.2 Флуктуационно-диссипативная теорема......................49

3.3 Результаты численного исследования эффектов старения с различными значениями времени ожидания ........ 52

3.3.1 Эволюция из полностью упорядоченного начального состояния........................ 52

3.3.2 Эволюция из начального состояния с малым значением намагниченности................. 57

3.4 Результаты численного исследования динамической восприимчивости и нарушения флуктуационно-диссипативной теоремы ............................... 64

3.5 Выводы............................. 71

4 Влияние структурного беспорядка на критическую динамику двумерной ХУ-модели 75

4.1 Особенности структурно неупорядоченных двумерных систем 75

4.2 Определение критической температуры структурно неупорядоченной двумерной ХУ-модели с различной концентрацией дефектов ......................... 78

4.3 Результаты численного исследования эффектов старения в структурно неупорядоченной двумерной ХУ-модели .... 80

4.3.1 Эволюция из полностью упорядоченного начального состояния........................ 80

4.3.2 Эволюция из начального состояния с малым значением намагниченности................. 86

4.4 Выводы............................. 86

Заключение 91

Литература 93

Введение.

Количественное и качественное описание фазовых переходов и критических явлений в различных системах представляет как теоретический, так и практический интерес и до сих пор остается одной из наиболее трудных и актуальных задач статистической физики [1-7]. В окрестности точки фазового перехода существует ряд особенностей, которые требуют особого подхода к их изучению. Некоторые термодинамические характеристики системы в этой точке испытывают аномально большие и долгоживущие во времени флуктуации, которые характеризуются сильным взаимодействием между собой. В построении теории фазовых переходов наиболее продуктивными оказались методы ренормгруппового и теоретико-полевого описания [1,8,9], е- разложения [1,4,5,10], а также применение гипотезы подобия (скейлинга). Это позволило глубже понять особенности поведения термодинамических систем непосредственно в критической области, выявить многие общие принципы фазовых переходов, построить уравнения состояния, рассчитать значения критических индексов для многих решеточных систем и установить связь между ними. Существенный вклад в строгую количественную теорию кооперативных явлений в решеточных системах внесли также методы высоко- и низкотемпературных разложений [11]. Установленные закономерности позволили сформулировать гипотезу универсальности для статических критических явлений: критическое поведение зависит от размерности пространства (решетки), числа компонент параметра порядка, симметрии гамильтониана и радиуса характерного взаимодействия. Вследствие чего, в пределах одного класса универсальности для всех систем, претерпевающих

фазовый переход второго рода, критические индексы являются одинаковыми. Важную роль в построении общей микроскопической теории фазовых переходов играют точные аналитические решения, которые удалось получить лишь для весьма ограниченного числа решеточных моделей. Ввиду того, что реальным материалам присущи такие особенности, как анизотропия, наличие дефектов структуры, существование многоспинового обмена, диполь-дипольного взаимодействия, колебания решетки [4], точное описание таких систем методами теоретической физики - задача чрезвычайно сложная. Поэтому в последнее время существенно возросла роль численных методов (в том числе и метода Монте-Карло) в решении решеточных моделей [12,13]. Эти методы были хорошо апробированы на большинстве модельных систем [14-20]. Сейчас компьютерный эксперимент может стать серьезным подспорьем для исследователя. Моделирование позволяет получать количественные характеристики для проверки теоретических расчетов с высокой степенью точности. Кроме того, вычислительные мощности современных компьютеров растут с каждым годом, что делает их еще более доступными для исследователей.

К настоящему моменту экспериментально обнаружено и синтезировано большое число магнитных кристаллов, близких по свойствам к двумерным системам, фазовые переходы в которых обладают рядом необычных свойств [21-25]. Эти низкоразмерные магнитные системы характеризуются сильным взаимодействием магнитных ионов в плоскости и слабым межплоскостным взаимодействием. Термодинамические свойства таких систем характеризуются достаточно широким температурным интервалом, в котором проявляются только двумерные свойства этих систем, определяемых взаимодействием в магнитной ионной плоскости. Иссле-

дование низкоразмерных систем представляет большой интерес с точки зрения теории фазовых переходов, согласно которой асимптотическое поведение термодинамических и корреляционных функций вблизи температуры фазового перехода определяется главным образом размерностью системы и ее симметрийными свойствами, выраженными главным образом через число компонент параметра порядка - спонтанной намагниченности в ферромагнетиках.

Еще в 70-х годах прошлого века было установлено, что плоские вырожденные системы, описываемые ХУ-моделью с двухкомпонентным параметром порядка, характеризуются особым типом фазового перехода. Особенностью этого фазового перехода является отсутствие дальнего порядка (спонтанной намагниченности) при всех конечных температурах, разрушаемого аномально большими поперечными флуктуациями спиновой плотности. Фазовый переход в таких системах связан со сменой асимптотик корреляционных функций: с экспоненциальной зависимости от расстояния в высокотемпературной фазе на степенную в низкотемпературной фазе, характеризуя сильно коррелированное состояние системы с эффективно бесконечным радиусом корреляции.

Существует ряд принципиальных трудностей, возникающих при моделировании критического поведения систем взаимодействующих частиц методом Монте-Карло. Они связаны, в основном, с явлением критического замедления, характеризующимся тем, что время релаксации системы, как и время корреляции состояний, неограниченно растут по мере приближения к критической температуре. При этом предсказываемый степенной характер их асимптотической зависимости от приведенной температуры определяется динамическим критическим индексом г. Для структурно

неупорядоченных систем эта проблема еще более существенна, так как их неравновесное критическое поведение определяется индексом г, принимающим большие значения, чем для систем без дефектов [26]. Для уменьшения эффектов влияния критического замедления применяют кластерные алгоритмы Сведсена-Ванга [27] или Вольфа [28], но эти алгоритмы столь существенно меняют динамику системы, что для получения информации о характеристиках критической динамики их применять нельзя.

В последнее время особое внимание уделяется исследованию систем, характеризующихся медленной динамикой. Это обусловлено предсказываемыми и наблюдаемыми в них свойствами старения при медленной эволюции систем из неравновесного начального состояния и нарушениями флуктуационно-диссипативной теоремы [29-40]. Хорошо известными примерами подобных систем с медленной динамикой и эффектами старения являются такие комплексные неупорядоченные системы как стекла: ди-польные, металлические, спиновые. Однако, данные особенности неравновесного поведения, как показали различные аналитические и численные исследования, могут наблюдаться и в структурно однородных системах в критической точке или вблизи нее при фазовых переходах второго рода, так как критическая динамика таких систем характеризуется аномально большими временами релаксации. К системам с медленной динамикой относится и двумерная ХУ-модель при температурах ниже и равной температуре фазового перехода [41]. Под процессом старения материалов понимают явление роста времени релаксации системы к состоянию равновесия с увеличением «возраста» материала, т.е. времени прошедшего после приготовления образца [42]. Явление старения проявляется математически прежде всего в двухвременных характеристиках системы, таких

как корреляционные функции и функции отклика.

Большинство реальных систем содержат дефекты структуры, которые могут оказывать заметное влияние на поведение системы, в том числе и вблизи температуры фазового перехода. Работа Харриса [43], посвященная изучению влияния эффектов «разбавления» спиновых систем немагнитными атомами примеси на их критическое поведение, стимулировала большое количество исследований в этой области. Из критерия, сформулированного Харрисом, следовало, что наличие дефектов такого типа может существенно изменить критическое поведение системы, если без их присутствия теплоемкость системы расходилась вблизи критической точки. В противном случае, присутствие дефектов не влияет на характеристики системы за исключением такой неуниверсальной величины как критическая температура, которая убывает с ростом концентрации дефектов и при пороговой концентрации, соответствующей порогу перко-ляции системы, обращается в нуль. Согласно критерию Харриса предсказывается, что в двумерной ХУ-модели влияние дефектов структуры оказывается несущественным близи критической температуры Тбкт- Однако в низкотемпературной фазе для Т < Тбкт, как показали аналитические и численные исследования равновесных свойств модели [44-46], наличие дефектов приводит к изменению значений показателей для равновесной корреляционной функции и к их концентрационной зависимости. Однако, динамика структурно неупорядоченной двумерной ХУ-модели до сих пор не исследована.

В связи с вышесказанным в диссертационной работе были поставлены следующие цели:

1. численное исследование неравновесной динамики однородной двумерной ХУ-модели методами Монте-Карло в низкотемпературной области вплоть до температуры фазового перехода Березинского-Костерлица-Таулесса при эволюции системы из полностью упорядоченного состояния в рамках динамики Метрополиса и динамики Кавасаки.

2. численное исследование неравновесной динамики структурно неупорядоченной двумерной ХУ-модели для различных спиновых концентраций методами Монте-Карло в низкотемпературной области вплоть до температуры фазового перехода Березинского-Костерлица-Таулесса при старте системы из различных неравновесных начальных состояний.

3. численное исследование эффектов старения в однородной и структурно неупорядоченной двумерной ХУ-модели с целью выявления различных режимов временной зависимости автокорреляционной функции для различных значений времени ожидания.

4. определение показателей степенной зависимости автокорреляционной функции однородной и структурно неупорядоченной двумерной ХУ-модели, а также показателей пространственной корреляционной функции.

к «о

5. численное исследование температурной зависимости поперечной жесткости системы в квазиравновесном состоянии и сравнение с аналитическими результатами.

6. численное исследование нарушения флуктуационно-диссипативной

теоремы при эволюции системы из полностью упорядоченного начального состояния, а также расчет значения асимптотического предела на больших временах наблюдения.

Для этого было проведено компьютерное моделирование однородной и структурно неупорядоченной систем с помощью методов Монте-Карло в области низких температур и в малой окрестности критической температуры.

Основные результаты диссертации опубликованы в работах [47-55].

Научная новизна результатов

1. Впервые осуществлено компьютерное моделирование критического поведения двумерной ХУ-модели в области низких температур в рамках динамики Кавасаки и получены соответствующие показатели степенной зависимости автокорреляционной функции.

2. Впервые численно исследованы эффекты старения во всей низкотемпературной фазе, и получены подтверждения существования двух временных режимов в динамике системы.

3. Впервые численно исследованы эффекты старения в структурно неупорядоченных системах.

4. Впервые численно исследована температурная зависимость поперечной жесткости системы.

Научная и практическая значимость работы

Полученные в диссертации результаты вносят существенный вклад в исследование критического поведения двумерных систем, как однородных, так и содержащих дефекты структуры.

Основные положения, выносимые на защиту

1. Методика и результаты численного исследования неравновесного критического поведения и эффектов старения в структурно неупорядоченной двумерной ХУ-модели;

2. Наличие различных температурных областей применимости алгоритма Метрополиса и алгоритма Кавасаки для описания динамики двумерной ХУ-модели;

3. Подтверждение существования в неравновесной динамике ХУ-модели эффектов старения при релаксации из начального упорядоченного состояния и двух различных временных режимов, характеризующихся двукратным изменением степенных показателей для автокорреляционной функции;

4. Сопоставление результатов численного определения температурной зависимости поперечной жесткости системы с аналитической зависимостью, полученной из решения самосогласованного уравнения, указывает на наличие дополнительных вкладов от нелинейных спин-волновых эффектов и взаимодействия вихревых возбуждений;

5. Численное доказательство существования эффектов нарушения флук-туационно-диссипативной теоремы в неравновесном поведении двумерной ХУ-модели;

6. Существенность влияния дефектов структуры на степенной характер релаксации двумерной ХУ-модели в низкотемпературной фазе на больших временах наблюдения при эволюции системы из различных

неравновесных начальных состояний. Наличие трех динамических режимов в неравновесном поведении автокорреляционной функции.

Апробация работы

Основные результаты диссертационной работы докладывались и обсуждались на XXXIV и XXXV научно-практических конференциях «Молодежь третьего тысячелетия» (Омск, 2010, 2011) и международном симпозиуме «Moscow International Symposium on Magnetism» (Москва, 2011), а также на научных семинарах кафедры теоретической физики ОмГУ.

1 Критические явления и методы их описания

1.1 Фазовые переходы и критические явления

Фаза - однородное состояние системы, когда свойства одинаковы для любого участка. Различные фазовые состояния разделяются границей, которую можно наблюдать непосредственно. Когда нарушаются внешние условия, то нарушается равновесие фаз, и вещество переходит из одной фазы в другую. Такое явление называется фазовым переходом. Все существующие в природе фазовые переходы делят на два класса - I и II рода. Фазовые переходы I рода (или скачкообразные) характеризуются разрывом первых производных химического потенциала р (Р, Т):

т.е. энтропия испытывает скачок, и появляется скрытая теплота перехода в новую фазу д12 = ТД5,

т.е. удельный объем также меняется скачком, следовательно и плотность вещества испытывает скачок Ар = рч — Р\- Со скачками энтропии и удельного объема связано скачкообразное изменение внутренней энергии Д£ = ТАЗ - РАу.

Фазовый переход, при котором происходит скачкооб�