Исследование фазовых переходов и критических явлений в моделях Поттса с немагнитными примесями методами Монте-Карло тема автореферата и диссертации по физике, 01.04.07 ВАК РФ

На правах рукописи

ш

АТАЕВА ГУЛЬКИЗ ЯНВАРОВНА

ИССЛЕДОВАНИЕ ФАЗОВЫХ ПЕРЕХОДОВ И КРИТИЧЕСКИХ ЯВЛЕНИИ В МОДЕЛЯХ ПОТТСА С НЕМАГНИТНЫМИ ПРИМЕСЯМИ МЕТОДАМИ

МОНТЕ-КАРЛО

01.04.07 — физика конденсированного состояния

АВТОРЕФЕРАТ

диссертации на соискание ученой степени кандидата физико-математических наук

16 ЯНВ 2014

005544434

Махачкала, 2013

005544434

Работа выполнена в Федеральном государственном бюджетном учреждении науки Институт физики им. Х.И. Амирханова Дагестанского научного центра Российской академии наук.

Научный руководитель: член-корреспондент РАН,

доктор физико-математических наук, профессор Муртазаев Акай Курбанович

Официальные оппоненты: Бычков Игорь Валерьевич

доктор физико-математических наук, профессор, ФГБОУ ВПО «Челябинский государственный университет», кафедра радиофизики и электроники, заведующий кафедрой.

Магомедов Махач Насрутдинович

доктор физико-математических наук, главный научный сотрудник ФГБУН «Институт проблем геотермии» ДНЦ РАН.

Ведущая организация: ФГБОУ ВПО «Омский государственный

университет» им. Ф.М. Достоевского

Защита состоится «28» января 2014 г. в 1500 на заседании диссертационного совета Д002.095.01 при ФГБУН Институт физики им. Х.И. Амирханова ДНЦ РАН по адресу: 367003, Махачкала, ул. Ярагского, 94

Отзывы на автореферат просьба направлять по адресу: 367003, Махачкала, ул. М. Ярагского, 94,

ФГБУН Институт физики ДНЦ РАН, секретарю диссертационного совета.

С диссертацией можно ознакомиться в библиотеке Института физики ДНЦ РАН

Автореферат разослан «25» декабря 2013 г.

Ученый секретарь диссертационного совета,

кандидат физико-математических наук 'Мр^СГ Алиев A.M.

ОБЩАЯ ХАРАКТЕРИСТИКА РАБОТЫ

Актуальность темы. В современной физике растет интерес к изучению критических свойств спиновых систем содержащих примеси и другие дефекты структуры. [1,2]. После создания теории Л.Д. Ландау и разработки флуктуационной теории фазовых переходов, а затем уже и внедрения идей ренормализационной группы, с последующим решением большого количества технических вопросов, казалось, что современная теория статических фазовых переходов (ФП) и критических явлений (КЯ) построена и практически полностью завершила свое развитие. Сформировалось мнение, что в теории ФП едва ли можно ожидать новых качественных прорывов, и все, что остается - это все большее уточнение значений критических индексов. Но теоретические, и экспериментальные исследования критических явлений, в частности, в системах с вмороженным беспорядком, убедительно показывают, что наблюдаемые явления выходят далеко за рамки современной флуктуационной теории фазовых переходов [1]. И, по-видимому, сегодняшний этап характеризуется отсутствием достаточного количества надежно установленных научных фактов о характере и особенностях критического поведения систем с вмороженными немагнитными примесями.

Имеющиеся на сегодняшний день экспериментальные результаты не позволяют сформировать цельной и непротиворечивой картины критического поведения трехмерных примесных систем. Дело не только в том, что результаты экспериментальных исследований сильно зависят от метода и конкретного образца, но и от способа приготовления образца. Кроме того, практически нет экспериментальных исследований выполненных на основе единого методического подхода на сериях однотипных образцов при строго контролируемом содержании количества примесей. Практически во всех экспериментальных исследованиях серьезной и до сих пор не решенной проблемой остается проблема достижение асимптотического критического режима.

Что же можно сказать о теоретических исследованиях подобного рода систем?

Теоретические подходы в основном все основаны на использовании тех или иных схем вычислений в рамках теоретико-полевого ренормализационно-группового метода. Применимость этих схем для моделей с незначительной концентрацией вмороженных немагнитных примесей значительно сложнее, чем для чистых систем. А в области сильной неупорядоченности данные аналитические подходы вообще не работают. На этом фоне обнадеживающими представляются результаты и возможности исследования трехмерных спиновых систем с вмороженными немагнитными примесями методами Монте-Карло.

Таким образом, исследование ФП и КЯ, исходя из трехмерных микроскопических гамильтонианов для спиновых систем с немагнитными примесями, является важной и актуальной проблемой современной статистической физики спиновых систем.

Целью работы является исследование фазовых переходов и статических критических свойств моделей Поттса с вмороженными немагнитными примесями кластерными алгоритмами метода Монте-Карло. В рамках данного исследования решались следующие основные задачи:

1 Исследование методом Монте-Карло критических свойств трехмерной разбавленной модели Поттса с числом состояний спина д=3 в широкой области концентрации немагнитных примесей.

2 Определение типа фазовых переходов происходящих в системе в зависимости от концентрации немагнитных примесей. Определения закономерности влияния концентрации немагнитных примесей на характер и особенности критического поведения трехмерной модели Поттса с </=3.

3 Исследование высокоэффективным алгоритмом метода Монте-Карло статических критических свойств трехмерной модели Поттса с с/=4 с вмороженным беспорядком в виде немагнитных примесей.

4 Определение типа фазового перехода и влияния концентрации немагнитных примесей на фазовые переходы в модели Попса с д=3 и #=4. Исследование статических критических свойств систем.

5 Определение классов универсальности критического поведения трехмерных спиновых систем с вмороженным беспорядком и зависимости критических индексов от концентрации немагнитных примесей. Сопоставление полученных значений критических параметров с теоретическими и экспериментальными результатами.

Практическая ценность работы. Полученные в диссертации результаты по исследованию статических критических свойств в моделях Поттса с вмороженными немагнитными примесями представляют интерес для дальнейших исследований в теории магнетизма, физики фазовых переходов и статистической теории твердых тел. Разработанный комплекс программ для ЭВМ формирует базу, на основе которой возможны высокоточные исследования статических критических явлений в сложных спиновых системах с немагнитными примесями.

Обобщение одно-кластерного алгоритма Вольфа для исследования неупорядоченных систем показало, что кластерные алгоритмы являются весьма ценным инструментом при исследовании спиновых систем с беспорядком, и позволяют определять с высокой степенью точности критические параметры системы. Сопоставление результатов численных экспериментов с данными лабораторных исследований и теоретических предсказаний позволило определить особенности практического использования теории конечно-размерного скейлинга при исследовании спиновых систем с немагнитными примесями.

Экспериментальные результаты данной работы используются для чтения спецкурсов: «Исследование фазовых переходов и критических явлений методами Монте-Карло», «Компьютерное моделирование в физике», «Методы вычислительной физики в магнетизме», а часть программ для ЭВМ при

выполнении лабораторных работ по указанным спецкурсам в Дагестанском государственном университете.

Основные положения, выносимые на защиту:

1. Исследование статических критических и термодинамических свойств трехмерной модели Поттса с д=3 с вмороженными немагнитными примесями распределенных каноническим способом, используя кластерные алгоритмы метода Монте-Карло.

2. Определение закономерностей изменения критического поведения в зависимости от концентрации примесей и размеров системы в трехмерной модели Поттса с ¿/=3 с вмороженным беспорядком. Расчет основных статических критических индексов теплоемкости а, намагниченности Д восприимчивости у, критического индекса радиуса корреляции V при концентрации спиновр = 1.0; 0.95; 0.90; 0.80; 0.70; 0.65.

3. Доказательство изменения рода фазового перехода в Ъй модели Поттса с <7=3 при внесении немагнитных примесей.

4. Исследование в широком диапазоне температур кластерными алгоритмами метода Монте-Карло критических и термодинамических свойств трехмерной разбавленной модели Поттса с состоянием спина 4. Определение закономерностей изменения критических свойств 3(1 модели Поттса с <7=4 в зависимости от концентрации немагнитных примесей.

5. Расчет для модели Поттса с д=4 в сильно разбавленном режиме основных статических критических индексов.

6. Сложный комплекс компьютерных программ для ЭВМ, позволяющий исследовать статическое критическое поведение спиновых систем с вмороженным беспорядком.

7. Разработка методики исследования методом Монте-Карло критического поведения сложных спиновых систем с вмороженным немагнитным беспорядком.

Апробация работы. Основные результаты диссертации докладывались на следующих конференциях, симпозиумах, семинарах: Международной конференции «Фазовые переходы, критические и нелинейные явления в конденсированных средах». Махачкала: 2007, 2009, 2012; 12-ом международном симпозиуме «Порядок, беспорядок и свойства оксидов» ОБРО-12. Ростов-на-Дону - пос. Лоо, 17-22 сентября 2009; У-й международной конференции студентов и молодых ученых «Перспективы развития фундаментальных наук». Томск, 2009; Региональной школе-конференции для студентов, аспирантов и молодых ученых по математике, физике и химии. Уфа, 2009; Международной конференции «Фазовые переходы, критические и нелинейные явления в конденсированных средах». Махачкала, 2010; XXXIII Международной зимней школе физиков-теоретиков «Коуровка-2010». Екатеринбург, 2010; 13-м международном симпозиуме «Упорядочение в минералах и сплавах» ОМА-13. Ростов-на-Дону - пос. Лоо,

2010; 14-м международном симпозиуме «Упорядочение в минералах и сплавах» ОМА-14. Ростов-на-Дону - пос. JIoo, 2011; Moscow International Symposium on Magnetism «MISM». Moscow, 2011; Международной конференции «Инноватика-2011». Махачкала, 2011; V Всероссийская конференция «Физическая электроника» (Махачкала, 2008, 2010, 2012); XXI Международная конференция «Новое в магнетизме и магнитных материалах» (Москва, 2009, 2012 гг.); II Всероссийская школа-семинар молодых ученых, посвященной 55-летию создания Института физики и 105 - летию со дня рождения чл.-корр. АН СССР Х.И. Амирханова, (Махачкала, 2012 г).

Результаты работы обсуждались на научных семинарах лаборатории вычислительной физики и физики фазовых переходов и общеинститутских семинарах (Институт физики ДНЦ РАН).

Достоверность результатов обеспечивается строгой математической обоснованностью использованных численных методов, применением надежной теоретической базы для интерпретации полученных данных и сравнением с имеющимися в литературе данными других авторов.

Личный вклад автора. Все основные результаты получены автором лично или при его активном участии. Обработка результатов и постановка численных экспериментов проведена лично автором диссертации. Обсуждение результатов и подготовка публикаций выполнено совместно с соавторами.

Публикации. Основные результаты работы опубликованы в 33 работах. Список публикаций приведен в конце автореферата.

Структура и объем диссертации. Диссертация изложена на 124 страницах, состоит из введения, трех глав, заключения и списка цитированной литературы из 99 наименований, содержит 55 рисунков и 4 таблицы.

ОСНОВНОЕ СОДЕРЖАНИЕРАБОТЫ

Во введении обоснована актуальность выбранной темы диссертационной работы, сформулирована цель работы, приводятся основные положения, выносимые на защиту, дается краткая аннотация по главам.

В главе I дается описание методов Монте-Карло применительно к каноническому ансамблю.

В разделе 1.1 рассмотрен стандартный метод Монте-Карло применительно к каноническому ансамблю, а также практическая реализация процедуры Монте-Карло для систем с дискретным и непрерывным распределением состояний.

Раздел 1.2 посвящен описанию кластерных алгоритмов метода Монте-Карло. Показано, что эти алгоритмы, в отличие от стандартного, основаны на перевороте кластеров, содержащих большое количество спннов, что позволяет преодолеть проблему критического замедления, возникающую при использовании алгоритма Метрополиса.

В разделе 1.3 рассматриваются вопросы конфигурационного усреднения в системах с беспорядком, и, оценки погрешности метода Монте-Карло.

В главе II одно-кластерным алгоритмом Вольфа метода Монте-Карло исследуются статические критические и термодинамические свойства трехмерной модели Поттса с числом состояний спина ц~Ъ с вмороженными немагнитными примесями.

В разделе 2.1 рассматривается трехмерная модель Поттса с числом состояния спина д=3 разбавленная вмороженными немагнитными примесями. Гамильтониан исследуемой модели может быть представлен в следующем виде [3]:

Я = =1,2,3 (1)

^ '.У

где pi - случайные величины, которые могут так же, как и в модели Изинга с вмороженным беспорядком принимать два значения 0 и 1, = 1, если

5,и S(S,,SJ) = 0, если Лу.^.

Обзор результатов исследований неупорядоченной модели Поттса имеющихся к настоящему времени приведен в разделе 2.2. Известно, что в чистой модели Поттса с состоянием д>дс(ф наблюдается ФП первого рода, а ФП второго рода в случае д<дс(с1). Для двумерной модели Поттса величина дс(с/=2)=4 [4], в то время как для трехмерной модели дс{с1= 3)=2.45 [5]. Причем для дс(с1= 2)=4 наблюдается ФП второго рода, а для дс(е1=3)=2А5 - слабо выраженный ФП первого рода. К настоящему времени также известно, что присутствие вмороженного беспорядка в модели Поттса с состоянием д>дс может изменить порядок ФП. В работах [6, 7] строго было доказано, что для низкоразмерных систем й<2, описываемых моделью Поттса с д>дс(р[) наличие сколь угодно малой величины вмороженного беспорядка достаточно, чтобы изменить ФП первого рода на ФП второго рода. Исследования, проведенные на основе Ъс1 модели Поттса с д=4, в которой беспорядок реализован в виде вмороженных случайных ферромагнитных связей, выявило, что ниже концентрации ферромагнитных связей />«0.80 наблюдается ФП второго рода, а выше — первого рода [8].

Что касается трехмерной разбавленной модели Поттса с д=3, то критическое поведение этой модели с соблюдением единого методического подхода исследовано не достаточно полно, не установлен класс универсальности критического поведения, особенно когда беспорядок реализован в виде вмороженных немагнитных примесей каноническим способом.

Основные положения теории конечно-размерного скейлинга (КРС) изложены в разделе 2.3. Даются особенности определения различных статических критических индексов и критических температур.

Идеи, заложенные в теории КРС, позволяют экстраполировать МК результаты, для систем с конечными размерами к термодинамическому пределу. Согласно теории КРС, соотношения для теплоемкости, восприимчивости и спонтанной намагниченности обобщенные на случай неупорядоченных систем, и приходящих на один спин, имеют вид:

С = [С,(Г,1)]~Г/'С0(^"), (2)

(3)

« = (4)

где 1 = \Т-ТС\/ТС - приведенная температура, а, у, Р и V - статические критические индексы для систем с ¿ = связанные соотношениями гиперскейлинга [9]:

Г = Р(д-1), 3=* + 2~Т1, (2-П)У = Г, С1-2 + 7)

2 —а = с1у, 2-<х = 2р + у. (5)

Выражения (2) — (4) хорошо воспроизводят критическое поведение бесконечных систем при выполнении условий 1«1 и /.-»'я.

В разделе 2.4 представлены результаты исследования методом Монте-Карло критического поведения трехмерной разбавленной модели Поттса с числом состояния спина <7=3.

Расчеты проводились для образцов кубической формы с размерами ЬхЬхЬ; ¿-20 — 44 при концентрации спинов ¿>=1.0; 0.95; 0.90; 0.80; 0.70; 0.65. Для приведения исследуемых систем в состояние термодинамического равновесия отсекался участок Марковской цепи длиной ЗхЮ6 МК шагов/спин, что превосходило в десять и более раз неравновесный участок даже вблизи от критической точки Тс. Термодинамическое усреднение исследуемых параметров проводилось по марковской цепи длиной до 18x106 МК шагов/спин. Конфигурационное усреднение по ансамблю неупорядоченных систем с различной реализацией вмороженных немагнитных примесей проводилось по 1000 примесным конфигурациям.

Для наблюдения за температурным ходом теплоемкости С, и восприимчивости ^использовались следующие соотношения:

(6)

^(ЛХ)^)-^)2)], (7)

где -число магнитных узлов, 11— внутренняя энергия,

т — намагниченность системы, угловые скобки <...> означают термодинамическое усреднение, а квадратные [..^-конфигурационное.

Рис. 1. Температурная зависимость теплоемкости С для разбавленной трехмерной модели Поттса д=3-

—^~р=1.0 —о— р=0.95 —р=0.9 р=0.8 —*~р=0.7 —- р=0.65

3,0

kT/IJI

Рис. 2. Температурная зависимость восприимчивости х для разбавленной трехмерной модели Поттса q=3.

На рисунке 1 и 2 представлены характерные зависимости усредненных значений по примесным конфигурациям с различной реализацией вмороженных немагнитных примесей теплоемкости С, и восприимчивости % от температуры Г для систем с концентрацией магнитных узлов /5=1.0, 0.95, 0.90, 0.80, 0.70, 0.65. Здесь и далее погрешность данных не превышает размеры использованных символов на рисунках. Как видно из рисунка 1, наличие немагнитных примесей приводит к сглаживанию максимумов теплоемкости и их уменьшению с ростом концентрации немагнитных атомов с, где с=1-р, [10]. Отметим также, что в критической области восприимчивость (рис. 2) имеет

ярко выраженные максимумы при всех значениях концентраций р.

Для определения критической температуры использовался метод кумулянтов Биндера четвертого порядка [11]:

(m4(T,p;L))L

ч 0,6

0,4

0,2

0,0

\ о L20

А > в V L2S ' L36 ¡.44

0 6 Г"т \ Г = 1.6346

Р- 0.9

0.4 "Чч. i

0,2 5° „ » ■

1,6287 1,6343 1.6409 * vV

UL(T,P) = 1-

3tm2(T,p;L))

(8)

1,5

1,6

1,7

kT/IJI

где т — намагниченность системы с линейными размерами X. Для определения критической

температуры Тс для спиновых систем с вмороженными немагнитными примесями необходимо определить температурную зависимость

кумулянта [^¿(Г.р)] усредненного по примесным конфигурациям с различной степенью реализации беспорядка для нескольких размеров решетки (I/, Ь2, ..., !„)• Критическая температура Тс определяется как значение

Рис 3. Температурная зависимость кумулянтов Биндера IЛ. для трехмерной разбавленной модели Поттса с д=3 при р- 0.90.

температуры, при котором усредненное значение кумулянта не зависит от линейных размеров решетки

№ь (Гс, /;)] = [и 1г (Г„, р)] = ■■■ = [ик (Т., р)]. (9)

При расчете критических индексов восприимчивости у, и намагниченности /7 используются следующие выражения [11,12]:

Х~Ь/у, (10)

(11)

которые получаются из выражений (3) и (4) при Т=ТС. Эти соотношения позволяют легко определить у/V и /7/к На рисунке 4 представлена характерная зависимость восприимчивости от линейных размеров системы Ь в двойном логарифмическом масштабе при концентрации спинов р^0.90. В то же время, данные для теплоемкости по этой схеме описать не удается. Поэтому при определении критического индекса а на практике для масштабирования теплоемкости используется следующее выражение:

= = (12)

где А — некоторый коэффициент.

Для определения критического индекса V нами использовалось следующее выражение [11,12]:

[!'„]= +вь-), (13)

где gr - некоторая постоянная,, и=1, 2,3, 4.

1т" Е)

В качестве [Г„] могут выступать |У„] = —(£').

\т")

г

20 ...............—I

20 24 28 32 36 40 44

С

Рис. 4. Зависимость восприимчивости / от линейных размеров системы Ь для разбавленной трехмерной модели Поттса при Т=ТС ир=0.90.

«в I * г *ча Г-Г, р=0.9

1О0 : '

Ы 60

хВ

га 34 гв и м 4-5

I

Рис. 5. Зависимость [V,,] от линейных размеров системы Ь для разбавленной трехмерной модели Поттса q=3 при Т=ТС и /)=0.90.

На рисунке 5 показаны зависимости значений [У„] от линейных

размеров системы для разбавленной трехмерной модели Поттса при Т; Тс м р= 0.90. Как видно из рисунка, все использованные способы дают близкие значения для индекса у, что свидетельствует о высокой точности определения критического индекса радиуса корреляции V. Определенные таким образом значения критических индексов для различных значений р, полученные при соответствующем значении индекса радиуса корреляции \'(р), представлены в таблице ].

Таблица 1.

Критические индексы трехмерной модели Поттса ¿/=3 с вмороженными немагнитными примесями, определенные на

V квтс /Щ V а У Р аН-2у№-?=2

0.95 1.724 0.669(9) -0.001(2) 1.273(5) 0.364(6) 2.000

0.90 1.634(2) 0.671(9) -0.008(5) 1.275(5) 0.365(7) 1.997

0.80 1.449(2) 0.679(9) -0.018(6) 1.279(5) 0.372(7) 2.005

0.70 1.245(3) 0.684(9) -0.025(9) 1.281(6) 0.374(8) 2.004

0.65 1.127(3) 0.688(9) -0.027(9) 1.284(6) 0.376(8) 2.009

Таким образом, полученные значения критических индексов в результате тщательных исследований, проведенных с соблюдением единой методики, на трехмерной разбавленной модели Поттса с немагнитными примесями (распределенные каноническим способом) в широком интервале разбавлений с=\-р свидетельствуют:

1) При концентрациях спинов рЮ.95; 0.90; 0.80; 0.70; 0.65 в трехмерной разбавленной модели Поттса с числом состояний спина д=3 наблюдается фазовый переход второго рода, причем для чистой модели Поттса (р=1.0) наблюдается поведение характерное фазовому переходу первого рода.

2) Данные представленные в таблице свидетельствуют о том что,

численные значения критических индексов, рассчитанные в области фазового перехода второго рода, в пределах погрешности численного эксперимента достаточно хорошо согласуются друг с другом и подтверждают универсальность

критического поведения трехмерных разбавленных систем.

Нами также было проверено справедливость выполнения выражения (2) - (4) для трехмерной разбавленной модели Поттса с ц-Ъ при концентрации р=0.90. В частности, скейлинговая функция для

восприимчивости представлена на рисунке 6. Как видно из рисунка, все

Рис. 6. Конечно-размерное масштабирование восприимчивости % для трехмерной слабо разбавленной модели Поттса с а=3 при р—0.90.

данные достаточно хорошо укладываются на одну кривую. Таким образом, параметры системы в критической области определены правильно.

В главе III одно-кластерным алгоритмом Вольфа метода Монте-Карло исследуются статические критические и термодинамические свойства трехмерной модели Поттса с числом состояний спина q=4 с вмороженными немагнитными примесями.

В разделе 3.1 рассматривается трехмерная модель Поттса с числом состояния q=4 разбавленная вмороженными немагнитными примесями.

В разделе 3.2 дан обзор результатов исследований неупорядоченной модели Поттса имеющихся к настоящему времени. Что касается модели Поттса с числом состояний спина q=4 в которой вмороженный беспорядок внесен в виде немагнитных примесей, ситуация остается весьма запутанной. Достоверно известным фактом является лишь то, что в этой модели в чистом состоянии наблюдается ФП первого рода. В связи с тем, что эта модель может быть использована для описания наноструктур и сверхрешеток, исследование влияния примесей на их критические и термодинамические свойства имеет важное значение [13].

В разделе 3.3 представлены результаты исследования методом Монте-Карло критического поведения трехмерной разбавленной модели Поттса с числом состояния q=4.

Расчеты так же проводились для образцов кубической формы с размерами LxLxL; ¿=20-44 при концентрации спинов р=0.70 и 0.65. Для вывода системы в равновесное состояние вычислялось время релаксации х0 для всех систем с линейными размерами L. Усреднение проводилось по участку Марковской цепи длиной т=150т0 и по различным начальным конфигурациям. В случае р= 1.0 для усреднения использовалось 10 начальных конфигураций. Для систем с концентрациями р=0.70; 0.65 осуществлялось конфигурационное усреднение по 100 и 1000 различным конфигурациям соответственно, причем для каждой примесной конфигурации выполнялось усреднение по длине цепи т=18Ог0.

В качестве намагниченности т для разбавленной модели Поттса с

m 10

-я--1=44 —О—L=40 L=36 -V-- L=28 ■ ¥ L=24 «ü— L=20 p=0 65

состоянием q=4 следующее выражение

'N.

использовалось

g\ —ae 1 N

8]:

где Nm

N,

q-I

= max{jV,, N2, N3 в состоянии q= 1, N2 в состоянии q=2, N3

kT/UI

спинов спинов

спинов в состоянии q=3, N4

тЗ

(14)

число число число число

Рис. 7. Температурная зависимость намагниченности гп для трехмерной разбавленной модели Поттса с д=4 при р=0.65.

спинов в состоянии с[= 4,рЬ .

На рисунке 7 представлена характерная температурная зависимость намагниченности т для трехмерной

Ц.(Г,Р) 0,4

0,0

-0,4

• I 5 V > у-' . ..« -у—

«и —ш- |_=20

у 1 ▼ 28 '

V <* ---•— 32

» 36

I 40

р =0.90 '

1,44

1,53

1,62 кТ/1Л

Рис. 8. Температурная зависимость кумулянтов Биндера ГЛ. для трехмерной разбавленной модели Поттса с д=4 при р=0.90.

фазовые переходы первого отличительны ми оеобенностя ми: расходится и1тт(Т=Ттт,р)^>-<с при

модели Потгса с <7=4 с вмороженным беспорядком при концентрации спинов />=0.65. Как видно из рисунка наблюдается монотонное уменьшение величины т с ростом температуры.

Для определения критической температуры нами использовался

высокоточный метод кумулянтов Биндера четвертого порядка [11]. Кумулянты при всех значениях р рассчитывались по формуле (8), с учетом выражения намагниченности т для модели Поттса (14). В процессе расчета кумулянтов 11(I, Т) для каждой неупорядоченной спиновой системы с линейным размером Ь при концентрации спинов р проводилось усреднение по 1000 различным конфигурациям примесей. Следует отметить, что применение кумулянтов Биндера позволяет хорошо тестировать тип фазового перехода в системе. Так рода характеризуются следующими минимальная величина и,тш{Т = Т^п,р) I->оо, при этом кривые кумулянтов

характеризуются специфическим видом без взаимного пересечения. На рисунке 8 показана температурная зависимость кумулянтов Биндера для разбавленной модели Поттса с <7=4 при р=0.90. Как видно из рисунка для этой модели в слабо разбавленном режиме наблюдается поведение характерное для фазового перехода первого рода. В случае фазовых переходов второго рода кривые температурной зависимости кумулянтов имеют ярко выраженную точку пересечения. На рисунке 9 показана температурная зависимость кумулянтов Биндера для разбавленной модели Поттса с ¿7=4 при концентрации спинов р=0.70, здесь кривые кумулянтов по намагниченности имеют точку

пересечения, что характерно как было сказано выше для фазового перехода второго рода.

Для расчета критических индексов восприимчивости у, намагниченности Д теплоемкости а и индекса радиуса корреляции и у строились зависимости С, т, и У„ от Ь. Анализ данных, выполненный с использованием нелинейного метода наименьших квадратов, позволил определить отношения а/у, /?/V, у/у и 1Лл Затем, с использованием значений И полученных в рамках данного

13

1,06

1,10 1,16 к Т/1 Л

1,20

Рис. 9. Температурная зависимость кумулянтов Биндера Щ для трехмерной разбавленной модели Поттса с д=4 при /3=0.70.

исследования, определялись индексы а, /?и у.

Значения КИ для различных концентраций спинов р, полученные при соответствующем Цр), представлены в табл. 2.

Таблица 2. Критические индексы трехмерной разбавленной модели Поттса с состоянием <7=4, определенные на основе теории конечно-размерного скешинга.

Неупорядоченная модель Р квтс Щ V а Г Р

Поттс $=4 0.70 1,106 0,735(13» -0,131(11) 1,098(30) 0,502(24)

0.65 1,0222 0,745(13) -0,139(11) 1,133(30) 0,514(24)

Как видно из таблицы 2, полученные значения критических индексов достаточно хорошо согласуются друг с другом в пределах погрешности численного эксперимента. Полученные данные в результате тщательных исследований, проведенных с соблюдением единой методики, на трехмерной разбавленной модели Поттса с немагнитными примесями при (распределенные каноническим способом), свидетельствуют:

1. В модели Поггса с числом состояний спина <7=4 в отсутствие структурного беспорядка (р=1.0) и в области слабого разбавления (р= 0.90) наблюдается поведение, характерное для ФП первого рода.

2. Показано, что при внесении значительного количества примесей р= 0.70 и 0.65 в трехмерной разбавленной модели Поттса с числом состояний спина <7=4 наблюдается фазовый переход второго рода.

В заключении представлены обобщающие выводы по результатам диссертационной работы.

Основные результаты работы.

1. Для исследования статических критических свойств спиновых моделей с вмороженными немагнитными примесями был разработан комплекс программ для ЭВМ

2. Впервые в широком интервале температур и концентрации спинов /|=1.0; 0.95; 0.90; 0.80; 0.70; 0.65 выполнены высокоточные исследования критических и термодинамических свойств трехмерной модели Поттса при <7=3 и д=4 с примесями распределенными каноническим способом.

3. С использованием теории конечно-размерного скейлинга рассчитаны критические индексы теплоемкости а, намагниченности Д восприимчивости у и КИ радиуса корреляции г трехмерной модели Поттса разбавленной немагнитными примесями каноническим способом.

4. Высокоточным методом кумулянтов Биндера определены критические температуры для трехмерных неупорядоченных моделей Поттса с ц=Ъ и д=4 прир= 1.0; 0.95; 0.90; 0.80; 0.70; 0.65.

5. Разработана методологическая основа для изучения особенностей критического поведения и расчета критических параметров, сильно разбавленных спиновых систем, для которых многие надежные и проверенные на чистых моделях схемы аналитических подходов оказались непригодными.

6. Показано, что в трехмерной модели Поттса с состоянием <7=3 даже при незначительном наличии примесей при р= 0.95 наблюдается фазовый переход второго рода.

7. В модели Поттса с числом состояний спина q=4 в отсутствии структурного беспорядка при (/5=1.0) и в области слабого беспорядка (р>0.70) наблюдается поведение характерное для ФП первого рода.

8. При внесении значительного количества немагнитных примесей (р<0.70)меняется характер поведения фазового перехода с первого рода на фазовый переход второго рода.

Цитированная литература.

1. Доценко Вик.С. Критические явления в спиновых системах с беспорядком // УФН. - 1995г. - Т.165, вып.5. - С.481-528.

2. Фольк Р., Головач Ю., Яворский Т. Критические показатели трехмерной слабо разбавленной замороженной модели Изинга // УФН. - 2003. -Т.173,вып.2,- С. 175-200.

3. Ермилов А.Н. Аналитический метод исследования стохастической модели Поттса // Физика элементарных частиц и атомного ядра. - 1989.

- Т.20, вып.6. - С.1479-1544.

4. Loulidi М. Some analytical results on the bond diluted ^-state Potts model // Physica A. - 2000. - V.287. - P. 177-1 84.

5. Guttmann A.J., Enting l.G. Series studies of the Potts model: III. The 3-state model on the simple cubic lattice // J. Phys. A.: Math. Gen. - 1994. - V.27.

- P.5801-5812.

6. Aizenman M., Wehr J Rounding of first-order phase transitions in systems with quenched disorder // Phys. Rev. Lett. - 1989. - V.62, N.21. - P. 25032506.

7. Hui K., Berker A.N. Random-field mechanism in random-bond multicritical

systems//Phys. Rev. Lett. - 1989. - V.62, N.21. - P. 2507-2510.

8. Chatelain C„ Berche В., Janke W., Berche P.-E. Monte Carlo Study of Phase Transitions in the Bond-Diluted 3D 4-State Potts Model // Nuclear Physics В —2005. —V.719/3. — P. 275 — 320. -

9. Наташинский A.3., Покровский B.A. Флуктуационная теория фазовых переходов. — М.: Наука, 1982. — 380 с.

10.Heuer Н.-О. Monte Carlo simulation of strongly disordered Ising ferromagnets // Phys. Rev. B. - 1990. - V.42, N.10. - P.6476-6484.

11.Binder K., Luijten E. Monte Carlo tests of renormalization-group predictions for critical phenomena in Ising models // Phys. Reports.-2001.-V. 344, -P.179-253.

12.Landau D.P. Computer simulation studies of critical phenomena // Physica A. -1994.-V. 205, — P.41-65.

13.Sarfan S.A., P.S. Sahni, and G.S. Grest, //Phys. Rev. B28, 2693 (1983).

Публикации по теме диссертации

В гаданиях рекомендованных ВАК:

1. Муртазаев А.К., Бабаев А.Б., Азнаурова Г.Я. Исследование критического поведения трехмерной слабо разбавленной модели Поттса методом Монте-Карло // Известия РАН. Серия физическая. 2007. Т.71, №5. С.630-631.

2. Муртазаев А.К., Бабаев А.Б., Азнаурова Г.Я. Исследование влияния вмороженных немагнитных примесей на фазовые переходы в трехмерной модели Поттса // ФТТ. 2008. Т.50, вып.4. С.703-708.

3. Муртазаев А.К., Бабаев А.Б., Азнаурова Г.Я., Абуев Я.К. Фазовые переходы в трехмерной разбавленной модели Поттса // Вестник Дагестанского научного центра. 2008. №32. С.5-11.

4. Murtazaev А.К., Babaev A.B., Aznaurova G.Ya. Investigation of the Critical Properties in the 3D Site-Diluted Potts Model // Diffusion and Defect Data Pt.B: Solid State Phenomena. 2009. Vol. 152-153. P. 571-574.

5. Муртазаев A.K., Бабаев А.Б., Азнаурова Г.Я. Особенности фазовых переходов в трехмерных разбавленных структурах, описываемых моделью Поттса // ЖЭТФ. 2009. Т. 136, вып.З. С.516-520.

6. Муртазаев А.К., Бабаев А.Б., Азнаурова Г.Я. Особенности фазовых переходов в трехмерной разбавленной модели Поттса с числом состояний спина q=3 // Известия РАН. Серия физическая. 2010. Т.74, №5. С.720-721.

7. Муртазаев А.К., Бабаев А.Б., Азнаурова Г.Я., Муртазаева A.A. Исследование фазовых переходов в трехмерной примесной модели Поттса методами вычислительной физики // Вестник Дагестанского научного центра. 2010. №36. С. 5-8.

8. Муртазаев А.К., Бабаев А.Б., Азнаурова Г.Я. Влияние вмороженных немагнитных примесей на фазовые переходы в трехмерной разбавленной модели Поттса с числом состояний спина q=4 // Известия РАН. Серия физическая. 2011. Т.75, №5. С.723-725.

9. Murtazaev А.К., Babaev A.B., Aznaurova G.Ya. Phase Transitions in 3D Site-Diluted Potts Model with Spin States q=4 // Diffusion and Defect Data Pt. B: Solid State Phenomena. 2011. Vol. 168-169. P. 357-360

Ю.Муртазаев A.K., Бабаев А.Б., Атаева Г.Я. Фазовые переходы в двумерной ферромагнитной модели Поттса при q=3 на треугольной решетке // Физика низких температур. 2013. Т.39, вып.2. С. 194-198.

В других изданиях:

П.Муртазаев А.К., Бабаев А.Б., Шахмарданова Р.Н., Азнаурова Г. Я. Критическое поведение 3D модели Изинга с вмороженным беспорядком // Сборник трудов международной конференции «Фазовые переходы, критические и нелинейные явления в конденсированных средах». Махачкала, 2004. С.87-88.

12.Муртазаев А.К., Бабаев А.Б., Азнаурова Г.Я. Исследование критического поведения трехмерной разбавленной модели Поттса методом Монте-Карло // Сборник трудов международного симпозиума «Порядок, беспорядок и свойства оксидов» ODPO-9, V. II. Ростов-на-Дону - нос. JIoo, 2006. С.39-40.

13.Муртазаев А.К., Бабаев А.Б., Азнаурова Г.Я. Влияние вмороженных немагнитных примесей на фазовые переходы в трехмерной слабо

разбавленной модели Поттса // Сборник трудов международного симпозиума «Порядок, беспорядок и свойства оксидов» ODPO-10, V. И. Ростов-на-Дону - пос. JToo, 2007. С.206-208.

Н.Муртазаев А.К., Бабаев А.Б., Азнаурова Г.Я., Казимов Ф.К. Компьютерное моделирование фазовых превращений в 3D слабо разбавленной модели Поттса И Сборник трудов международной конференции «Фазовые переходы, критические и нелинейные явления в конденсированных средах». Махачкала, 2007. С.64-66.

15.Муртазаев А.К., Бабаев А.Б., Азнаурова Г.Я. Влияние вмороженных немагнитных примесей на фазовые переходы в трехмерной слабо разбавленной модели Поттса // Сборник трудов международного симпозиума «Упорядочение в Минералах и Сплавах» ОМА-11, Т. II. Ростов-на-Дону - пос. JIoo, 2008. С.77-79.

16.Murtazaev А.К., Babaev A.B., Aznaurova G.Ya. Investigation of the critical properties in the 3D site-diluted Potts model // MISM-2008: Book of Abstracts. Moscov, 2008. P. 527-528.

П.Муртазаев A.K., Бабаев А.Б., Азнаурова Г.Я. Исследование влияния вмороженных немагнитных примесей на фазовые переходы в трехмерной модели Поттса // Материалы V Всероссийской конференции по физической электронике - ФЭ - 2008. С.258-260.

18.Муртазаев А.К., Бабаев А.Б., Азнаурова Г.Я. Исследование влияния вмороженного беспорядка на фазовые переходы и критические явление в 3D разбавленной модели Поттса методом Монте-Карло // Труды V Международной конференции студентов и молодых ученых, Томск, 2008. С, 69-70.

19.Муртазаев А.К., Бабаев А.Б., Азнаурова Г.Я. Особенности фазовых переходов в трехмерной модели Поттса с вмороженным беспорядком // Сборник трудов XXI международной конференции «Новое в магнетизме и магнитных материалах». Москва, 2009. С.758-760.

20.Муртазаев А.К., Бабаев А.Б., Азнаурова Г.Я., Муртазаева A.A. Исследование критических явлений моделей разбавленных магнетиков методами Монте-Карло // Сборник трудов международной конференции «Фазовые переходы, критические и нелинейные явления в конденсированных средах». Махачкала, 2009. С.49-51.

21.Муртазаев А.К., Бабаев А.Б., Азнаурова Г.Я. Особенности фазовых переходов трехмерной разбавленной модели Поттса с числом состояний спина q=3 // Сборник трудов международного симпозиума «Упорядочение в Минералах и Сплавах» ОМА-12, Т. II. Ростов-на-Дону - пос. JIoo, 2009. С.68-70.

22.Муртазаев А.К., Бабаев А.Б., Азнаурова Г.Я. Фазовые переходы и критические явления в трехмерных разбавленных магнетиках // Минералогическая интервенция в микро- и наномир. Материалы Международного минералогического семинара, Сыктывкар, Республика Коми, Россия 2009. С.83-85.

23.Муртазаев А.К., Бабаев А.Б., Азнаурова Г.Я., Абуев Я.К. Исследование фазовых переходов в трехмерной разбавленной модели Поттса с числом

состояний спина q=3 // Межвузовский сборник научных трудов «Структурные и динамические эффекты в упорядоченных средах». Уфа, 2009. С.7-12.

24.Murtazaev А.К., Babaev A.B., Aznaurova G.Ya. Investigation of thermodynamical and critical properties in the 4Q site-diluted Potts model // Abstracts book EASTMAG-2010. Ekaterinburg, 2010. P.107.

25.Муртазаев A.K., Бабаев А.Б., Азнаурова Г.Я. Влияние вмороженных немагнитных примесей на фазовые переходы в трехмерной разбавленной модели Поттса с числом состояний спина Q=4 // Сборник трудов международного симпозиума «Порядок, беспорядок и свойства оксидов» ODPO-13, V. И. Ростов-на-Дону - пос. Лоо, 2010. С.35-37.

26.Murtazaev А.К., Babaev A.B., Aznaurova G.Ya. The investigation of phase transition in the three-dimensional site-diluted Potts model //MISM-2011: Book of Abstracts. Mos со v, 2011. P. 193.

27.Муртазаев A.K., Бабаев А.Б., Азнаурова Г.Я. Компьютерное моделирование фазовых переходов и критического поведения четырехвершинной модели Поттса // Сборник трудов международной конференции «Инноватика-2011». Ульяновск, 2011. С.22-23.

28.Муртазаев А.К., Бабаев А.Б., Азнаурова Г.Я., Абуев Я.К. Исследование фазовых переходов и критического поведения двумерной модели Поттса на треугольной решетке // Сборник трудов международной конференции «Инноватика-2011». Ульяновск, 2011. С.22-23.

29.. Бабаев А.Б, Муртазаев А.К., Атаева ГЛ. Гистограммный анализ данных для трехмерной разбавленной ферромагнитной модели Поттса // Кристаллическое и твердое некристаллическое состояние минерального вещества. Материалы минералогического семинара с международным участием. Институт геологии Коми НЦУрО РАН, Сыктывкар, 2012. С.12-13.

30.Муртазаев А.К., Бабаев А.Б., Атаева Г.Я. Исследование фазовых переходов в двумерной трехвершинной модели Поттса на треугольной решетке методами Монте-Карло // Сборник трудов II Всероссийской школы-семинара молодых ученых «Физика фазовых переходов», посвященной 55-летию создания Института физики и 105-летию со дня рождения члена корреспондента АН СССР Х.И. Амирханова. Махачкала, 2012. С. 177-179.

31.Муртазаев А.К., Бабаев А.Б., Атаева Г.Я. Исследование фазовых переходов в 2D ферромагнитной модели Поттса при q=3 на треугольной решетке // Сборник трудов XXII международной конференции «Новое в магнетизме и магнитных материалах». Астрахань, 2012. С.667-669.

32.Муртазаев А.К., Бабаев А.Б., Атаева Г.Я. Компьютерное моделирование фазовых переходов в двумерных структурах описываемых антиферромагнитной моделью Поттса на треугольной решетке // Материалы VII Всероссийской конференции «Физическая электроника». Махачкала, 2012. С.169-171.

33.Муртазаев А.К., Бабаев А.Б., Атаева Г.Я. Критические свойства двумерной трехвершинной модели Поттса на треугольной решетке // Материалы VII Всероссийской конференции «Физическая электроника». Махачкала, 2012. С.23 5-237.

Подписано в печать 23.12.2013 Тираж 100 экз. Бесплатно. Отпечатано в Институте физики Дагестанского НЦ РАН 367003, г. Махачкала, ул. М. Ярагского, 94

04201455940

На правах рукописи

АТАЕВА ГУЛЬКИЗ ЯНВАРОВНА

ИССЛЕДОВАНИЕ ФАЗОВЫХ ПЕРЕХОДОВ И КРИТИЧЕСКИХ ЯВЛЕНИЙ В МОДЕЛЯХ ПОТТСА С НЕМАГНИТНЫМИ ПРИМЕСЯМИ МЕТОДАМИ

МОНТЕ-КАРЛО

01.04.07 - физика конденсированного состояния

Диссертация на соискание ученой степени кандидата физико-математических наук

Научный руководитель: Член-корреспондент РАН, доктор физико-

математических наук, профессор Муртазаев Акай Курбанович

Махачкала, 2013

Оглавление. ВВЕДЕНИЕ.

ГЛАВА I. МЕТОДЫ ЧИСЛЕННОГО ЭКСПЕРИМЕНТА

§1.1 .Стандартные методы Монте-Карло....................................22

§1.2.Кластерные алгоритмы метода Монте-Карло........................29

§ 1.3.Конфигурационное усреднение.........................................34

ГЛАВА II. ТРЕХМЕРНАЯ МОДЕЛЬ ПОТТСА С ЧИСЛОМ СОСТОЯНИЙ СПИНА ? =3.

§2.1.Введение.....................................................................47

§2.2.Результаты экспериментальных и теоретических исследований трехмерной модели Поттса ц-Ъ с немагнитными примесями.............53

2.2.1. Результаты лабораторных экспериментов.......................53

2.3.2. Результаты теоретических исследований........................56

§2.3.Гипотеза конечно-размерного скейлинга......................................58

§2.4.Критическое поведение трехмерной разбавленной модели

Поттса д=3 на простой кубической решетке.

Результаты численного эксперимента...................................66

ГЛАВА III. ТРЕХМЕРНАЯ МОДЕЛЬ ПОТТСА С ЧИСЛОМ СОСТОЯНИЙ СПИНА q =4.

§3.1. Введение.....................................................................91

§3.2. Результаты экспериментальных и теоретических

исследований трехмерной модели Поттса q= 4 с немагнитными

примесями...................................................................95

3.2.1. Результаты лабораторных экспериментов.........................95

§3.3.Критическое поведение трехмерной разбавленной модели

Поттса q= 4 на простой кубической решетке.................................99

3.2.1. Результаты численного эксперимента...........................99

ЗАКЛЮЧЕНИЕ.........................................................................113

БИБЛИОГРАФИЯ.....................................................................117

ВВЕДЕНИЕ.

Фазовый переход - это сложное и многогранное явление. Существенный прогресс в качественном понимании непрерывных фазовых переходов, а так же в их количественном описании произошел благодаря теории Л.Д. Ландау и флуктуационной теории фазовых переходов [1]. Внедрение идей ренормализационной группы и е - разложения [2-4], предложенные Вильсоном, а так же гипотезы скейлинга [1,5], основы которой были заложены в 60-х годах сделало возможным количественный расчет критических параметров.

В построении общей микроскопической теории фазовых переходов важную роль играют точные аналитические решения, которые получены для весьма ограниченного числа решеточных моделей. В 1944 году- Л. Онсагером [6] было найдено точное решение для 2с1 модели Изинга. Полученные им результаты резко отличались от результатов предсказываемых теорией Ландау. Эксперименты на различных физических объектах так же показывали отличие критического поведения от результатов теории Ландау. Точное аналитическое решение имеют и некоторые другие модели [7]. В последние годы был разработан ряд интересных методов и подходов для решения некоторых низкоразмерных систем [8].

В определенный период, казалось, что современная теория фазовых переходов и статических критических явлений построена и практически полностью завершила свое развитие. До последних лет доминировало мнение, что в теории фазовых переходов едва ли можно ожидать новых качественных прорывов, и все что остается - это все большее уточнение значений критических индексов. Но теоретические, численные и экспериментальные исследования критических явлений в системах с вмороженным беспорядком убедительно показывают, что наблюдаемые

4

явления выходят далеко за рамки современной флуктуационной теории фазовых переходов. И, по-видимому, сегодняшний этап характеризуется отсутствием достаточного количества надёжно установленных научных фактов о характере и особенностях критического поведения неупорядоченных систем с вмороженным беспорядком [9].

При описании критических явлений в спиновых системах наиболее часто используемыми моделями являются модели первого приближения: модель Изинга, модель Гейзенберга, модель Поттса, ХУ-модель, и их различные модификации.

На основе этих моделей с помощью теоретических методов проведены исследования на различных типах решеток и пространственной размерности ё. Получена обширная информация о критическом поведении различных термодинамических и физических параметров в широком диапазоне температур и других физических параметров.

Исследования выполнены на решетках различного типа и пространственной размерности, а также при варьировании большого количества различных параметров.

В последние годы методами вычислительной физики (ВФ) успешно исследуется и критическая область с вычислением значений критических индексов (КИ) и критических амплитуд (КА), при этом достигаемая точность не только не уступает, но и зачастую превосходит лучшие результаты других методов [10, 11 12]. Необходимо отметить, что столь широкий спектр результатов был получен, с одной стороны, увеличением вычислительных мощностей современных ЭВМ, а с другой, на основе разработки мощных современных алгоритмов метода Монте-Карло (МК), специально разработанных для исследования критической области [13-16], гистограммных методов анализа данных [17] и на основе теории конечно -размерного скейлинга (КРС) для расчёта критических параметров [18-21].

Первоначально при изучении фазовых переходов второго рода обычно предполагалось, что рассматриваемые системы являются идеально однородными. В реальных образцах, однако, всегда присутствуют какие-либо дефекты, примеси и другие магнитные и структурные неоднородности. Поэтому, проблема влияния примесей и дефектов структуры на критическое поведение является важной как с теоретической, так и с практической точек зрения.

С другой стороны, центральной концепцией теории фазовых переходов и критических явлений является принцип универсальности, т.е. независимость термодинамических характеристик различных систем при фазовых переходах от различий в значениях мелкомасштабных параметров и разделение всех систем на не большое число классов универсальности в зависимости от пространственной размерности системы и симметрии его параметра порядка. В случае неупорядоченных систем до сих пор остался невыясненным вопрос: являются ли такие характеристики критического поведения как безразмерные амплитуды взаимодействия флуктуаций параметра порядка и критические показатели универсальными, т.е. независящими от концентрации дефектов структуры вплоть до порога перколяции, или существует линия фиксированных точек для значений амплитуд взаимодействия, определяющая непрерывное изменение критических показателей с концентрацией?

Современная теория классифицирует примеси, в зависимости от их распределения, в основном на расплавленные, вмороженные, коррелированные и градиентные [22]. Примеси называют расплавленными, если они находятся в термодинамическом равновесии с исходным веществом. Примеси называют вмороженными, если их можно рассматривать как фиксированные в некоторых положениях с распределением, обусловленным способом их внедрения в исходное вещество. Исследования показали, влияние вмороженных дефектов,

6

проявляющееся как случайное возмущение локальной температуры приводит к смене режима критического поведения, описываемого новым набором критических индексов. Это связано с тем, что присутствие точечных дефектов вызывает нарушение трансляционной инвариантности системы, что приводит к рассеянию критических флуктуаций на дефектах структуры и дополнительному взаимодействию флуктуаций параметра порядка посредством поля дефектов. В работе [23] сформулирован критерий, определяющий существенность влияния вмороженных примесей на критические явления, называемый обычно критерием Харриса. Согласно этому критерию слабый беспорядок влияет на критическое поведение только в тех случаях, когда критический индекс теплоемкости соответствующей чистой системы положителен, а> О (то есть, теплоемкость в точке перехода является расходящейся). В противоположном случае, когда а<О (то есть теплоемкость конечна в точке перехода), слабый беспорядок не влияет на критическое поведение. Это можно объяснить тем, что теплоемкость - линейный отклик на возмущение температуры. Если а>О, то при Т->ТС отклик неограниченно возрастает. При этом естественно ожидать существенное влияние примесей на критическое поведение. В соответствии с этим присутствие вмороженных точечных дефектов (например, примеси немагнитных атомов в ферро- или антиферромагнитных материалах) изменяет критические свойства систем, теплоёмкость которых в однородном состоянии испытывает расходимость в критической точке с показателем а>0. Как показали исследования [24-27] данному критерию удовлетворяют системы, гамильтониан которых изоморфен модели Изинга.

Отметим также, что в маргинальной ситуации, когда критический

индекс теплоемкости чистой системы а=О влияние беспорядка, вносимого

присутствием примесей, меняет логарифмическую расходимость

теплоемкости на двойную логарифмическую [9]. В качестве примера

7

подобных чистых спиновых систем, для которых критический индекс теплоемкости а равен нулю, можно привести, четырехмерную модель ф4 и двумерную модель Изинга. Однако вычисления показывают, что во всех подобных случаях, если теплоемкость чистой системы является логарифмически расходящейся в критической точке, то наличие слабого беспорядка оказывается существенным для критического поведения [9].

Ренормгрупповой подход с использованием е - разложения позволил получить значения критических индексов для неупорядоченных систем [28-30]. Вследствие плохой сходимости рядов е - разложения для систем содержащих вмороженные примеси был применён теоретико-полевой подход непосредственно в пространстве с1-3 [25,26,31], что позволило получить критические индексы в высоких порядках теории возмущений. С рекордной точностью в пятипетлевом приближении для слабонеупорядоченных систем критические индексы были получены в работе [32].

Экспериментальные исследования [33] показали хорошее согласие теоретических результатов для слабонеупорядоченных систем с беспорядком типа случайная температура с опытными данными. Однако по-прежнему многие вопросы здесь остаются открытыми. В частности меняется ли значения критических показателей в зависимости от концентрации примеси и возникает ли новая перколяционная фиксированная точка в системах с большой концентрацией примесных атомов. Однозначного ответа на данные вопросы пока не существует.

Таким образом, обращение к надежным и математически строго обоснованным различным вариантам метода Монте-Карло, в том числе и к мощным кластерным алгоритмам метода Монте-Карло [13-16, 34-43] является обоснованным и актуальным. Важным достоинством этих методов является то, что в ходе эксперимента все параметры исследуемой неупорядоченной системы находятся под строгим контролем

8

исследователя и, что особенно важно, количество и распределение примесей по образцу. Результаты, полученные этими методами, к настоящему времени не уступают по точности лучшим данным других методов, а иногда и превосходят их [42].

Сопоставление результатов компьютерного моделирования неупорядоченных систем с результатами ренормгруппового подхода позволяет проверить предсказание теории, а также выявить новые эффекты влияния вмороженного беспорядка в области сильной неупорядоченности системы, недоступной для аналитического подхода.

Следует отметить, что использование методов вычислительной физики требует создания довольно больших и сложных программ для ЭВМ, а также проведение большой предварительной методической работы. Почти все программы весьма специфичны, требуют от программиста большого опыта и внимательности и, как правило, не могут быть использованы для решения различных задач. Тем не менее, следует признать более чем оправданными те значительные усилия, которые затрачиваются на создания и отладку подобных программ: в результате удается оценить, в какой мере обоснованны те или иные микроскопические модели, теоретические методы и эмпирические аппроксимации [44].

Остановимся поподробнее на модели Поттса т.к. она используется для описания широкого ряда объектов и явлений в статистической механике и физике конденсированных сред и имеющую также приложения к задачам оптимизации. Модель Поттса представляет собой естественное обобщение модели Изинга. В модели Поттса каждый узел может находиться в одном из д>2 состояний, а энергия парного взаимодействия принимает одно значение, если взаимодействующие узлы находятся в одинаковых состояниях (безразлично в каких именно), и равно нулю, если

они находятся в разных состояниях (опять же все равно в каких именно). С учетом этих особенностей гамильтониан модели Поттса с примесями может быть представлен в виде:

Я = =1,2,3,Л,д (1)

^ '.У '

Теоретическое исследование данной модели чрезвычайно затруднено, в то время как различные подходы, основанные на методе Монте-Карло, являются весьма мощными средствами для получения численных данных о поведении такой неупорядоченной системы. Следует также отметить, что исследуемые модели описывают критическое поведение множества реальных физических систем. Это позволяет сравнивать результаты исследования методами МК не только с теоретическими предсказаниями, но и с данными лабораторных экспериментов.

В данной работе рассматриваются некоторые вопросы теории статических критических явлений и фазовых переходов в моделях с вмороженными немагнитными примесями. Объектами исследования является трехмерная модель Поттса с числом состояний q~Ъ и <?=4 с вмороженными немагнитными примесями. В рамках этой модели методами МК проведены исследования статических критических свойств как в однородном случае р= 1.0, так и с концентрацией спинов р=0.95; 0.90; 0.80; 0.70; 0.65.

Целью работы является исследование статических критических свойств трехмерных спиновых решеточных моделей с вмороженными немагнитными примесями кластерными алгоритмами метода Монте-Карло. В рамках данного исследования решались следующие основные задачи:

1 Исследование методом Монте-Карло критических свойств трехмерной разбавленной модели Поттса с числом состояний спина <7=3 в широкой области концентрации немагнитных примесей.

2 Определение типа фазовых переходов происходящих в системе в зависимости от концентрации немагнитных примесей. Определение закономерности влияния концентрации немагнитных примесей на характер и особенности критического поведения трехмерной модели Поттса с д=3.

3 Исследование высокоэффективным алгоритмом Вольфа метода Монте-Карло статических критических свойств трехмерной модели Поттса с д=4 с вмороженным беспорядком в виде немагнитных примесей.

4 Определение типа фазового перехода и влияния концентрации немагнитных примесей на фазовые переходы в модели Поттса с д=4. Исследование статических критических свойств этой модели.

5 Определение классов универсальности критического поведения трехмерных спиновых систем с вмороженным беспорядком и зависимости критических индексов от концентрации немагнитных примесей. Сопоставление полученных значений критических параметров с теоретическими и экспериментальными результатами.

Практическая ценность работы.

Полученные в диссертации результаты по исследованию статических критических свойств трехмерных спиновых систем с вмороженными немагнитными примесями представляют интерес для дальнейших исследований в теории магнетизма, физики фазовых переходов и статистической теории твердых тел. Разработанный комплекс программ для ЭВМ формирует базу, на основе которой возможны

высокоточные исследования статических критических явлений в сложных спиновых системах с немагнитными примесями.

Обобщение одно-кластерного алгоритма Вольфа для исследования неупорядоченных систем показало, что кластерные алгоритмы являются ценным инструментами при исследовании спиновых систем с беспорядком, и позволяют определять с высокой степенью точности критические параметры системы.

Научную новизну и значимость диссертации определяют основные положения, которые автор выносит на защиту:

1. Исследование статических критических и термодинамических свойств трехмерной модели Поттса с q-3 с вмороженными немагнитными примесями, распределенными каноническим способом, используя высокоэффективные алгоритмы метода Монте-Карло.

2. Определение закономерностей изменения критического поведения в зависимости от концентрации примесей и размеров системы трехмерной мо�