Исследование критических свойств спиновых решеточных моделей с примесями методами Монте-Карло

Бабаев, Альберт Бабаевич

Исследование критических свойств спиновых решеточных моделей с примесями методами Монте-Карло тема автореферата и диссертации по физике, 01.04.07 ВАК РФ

Бабаев, Альберт Бабаевич АВТОР

кандидата физико-математических наук УЧЕНАЯ СТЕПЕНЬ

Махачкала МЕСТО ЗАЩИТЫ

2006 ГОД ЗАЩИТЫ

01.04.07 КОД ВАК РФ

Диссертация по физике на тему «Исследование критических свойств спиновых решеточных моделей с примесями методами Монте-Карло»

Автореферат диссертации на тему "Исследование критических свойств спиновых решеточных моделей с примесями методами Монте-Карло"

На правах рукописи

БАБАЕВ АЛЬБЕРТ БАБАЕВИЧ

ИССЛЕДОВАНИЕ КРИТИЧЕСКИХ СВОЙСТВ СПИНОВЫХ РЕШЕТОЧНЫХ МОДЕЛЕЙ С ПРИМЕСЯМИ МЕТОДАМИ МОНТЕ-КАРЛО

01.04.07 - физика конденсированного состояния

АВТОРЕФЕРАТ

диссертации на соискание ученой степени кандидата физико-математических наук

Махачкала, 2006

Работа выполнена в Институте физики Дагестанского научного центра РАН Научный руководитель:

Научный консультант:

Официальные оппоненты:

доктор физико-математических наук, профессор Муртазаев Акай Курбанович

член-корреспондент РАН, доктор физико-математических наук, профессор Камилов Ибрагимхан Камилович

доктор физико-математических наук, профессор Палчаев Дайр Каировнч

кандидат физико-математических наук Таскаев Сергей Валерьевич

Ведущая организация:

Омский государственный университет

Защита состоится «16» ноября 2006 г. в 1500 на заседании диссертационного совета Д002.095.01 при Институте физики ДагНЦ РАН по адресу: 367003, Махачкала, пр. Шамиля, 39 а

Отзывы на автореферат просьба направлять по адресу: 367003, Махачкала, ул. М. Ярагского, 94,

Институт физики ДагНЦ РАН, секретарю диссертационного совета.

С диссертацией можно ознакомиться в библиотеке Института физики ДагНЦ РАН

Автореферат разослан «13» октября 2006 г.

Ученый секретарь диссертационного совета,

доктор физико-математических наук Ж^&^Батдалов д.Б.

ОБЩАЯ ХАРАКТЕРИСТИКА РАБОТЫ

Актуальность темы. Изучение критических свойств спиновых систем содержащих примеси и другие дефекты структуры является одной из актуальных задач физики конденсированных сред [1,2]. После создания теории Л.Д. Ландау и разработки флуктуационной теории фазовых переходов, а затем уже и внедрения идей ренормализационной группы, с последующим решением большого количества технических вопросов, казалось бы, что современная теория статических фазовых переходов (ФП) и критических явлений (КЯ) построена и практически полностью завершила свое развитие. До последних лет доминировало мнение, что в теории ФП едва ли можно ожидать новых качественных прорывов, и все, что остается - это все большее уточнение значений критических индексов. Но теоретические, и экспериментальные исследования критических явлений, в частности, в системах со слабым вмороженным беспорядком, убедительно показывают, что наблюдаемые явления выходят далеко за рамки современной флуктуационной теории фазовых переходов [1]. И, по видимому, сегодняшний этап характеризуется отсутствием достаточного количества надежно установленных научных фактов о характере и особенностях критического поведения систем с вмороженными немагнитными примесями.

В работе [3] сформулирован критерий, определяющий существенность влияния вмороженных немагнитных примесей на критическое поведение, называемый обычно критерием Харриса. Согласно этому критерию слабый беспорядок влияет на критическое поведение только в тех случаях, когда теплоемкость соответствующей чистой системы испытывает расходимость в критической точке с показателем а>0. Данному критерию удовлетворяют только системы, эффективный гамильтониан которых вблизи критической точки изоморфен модели Изинга. Имеющиеся к настоящему времени экспериментальные результаты не позволяют сформировать цельной и непротиворечивой картины критического поведения трехмерных примесных систем. Дело не только в том, что результаты экспериментальных исследований сильно зависят от метода и конкретного образца, но и от способа приготовления образца. Кроме того, практически нет экспериментальных исследований выполненных на основе единого методического подхода на сериях однотипных образцов при строго контролируемом содержании количества примесей. Практически во всех экспериментальных исследованиях серьезной и до сих пор не решенной проблемой остается проблема достижение асимптотического критического режима.

Интересная ситуация сложилась и в плане чисто теоретических исследований. Теоретические подходы практически все основаны на использовании тех или иных схем вычислений в рамках теоретико полевого ренормализационно-группового метода. Ситуация с применимостью этих схем для моделей с незначительной концентрацией вмороженных немагнитных примесей значительно сложнее, чем для чистых систем. А в области сильной неупорядоченности данные аналитические подходы вообще не работают. На этом фоне обнадеживающими представляются результаты и возможности

исследования трехмерных спиновых систем с вмороженными немагнитными примесями методами Монте-Карло.

Таким образом, исследование ФП и КЯ, исходя из трехмерных микроскопических гамильтонианов для спиновых систем с немагнитными примесями, является важной и актуальной проблемой современной статистической физики спиновых систем.

Целью работы является исследование статических критических свойств трехмерных спиновых решеточных моделей с вмороженными немагнитными примесями кластерными алгоритмами метода Монте-Карло. В рамках данного исследования решались следующие основные задачи:

1. Разработка комплекса программ для ЭВМ, с помощью которого можно исследовать статические критические свойства спиновых моделей с вмороженными немагнитными примесями.

2. Разработка единой методики исследования статического критического поведения спиновых систем с вмороженным беспорядком на базе данных метода Монте-Карло.

3. Исследование термодинамических свойств трехмерной модели Изинга с вмороженными немагнитными примесями в широком диапазоне температур (включая критическую область), в зависимости от линейных размеров (¿) изучаемых систем при концентрации спинов р - 1.0,0.95,0.90,0.8,0.7,0.65,0.6.

4. Исследование высокоэффективным одно-кластерным алгоритмом метода Монте-Карло статических критических свойств трехмерной модели Изинга на кубической решетке с вмороженным беспорядком в виде немагнитных примесей. Определение с помощью теории конечно-размерного скейлинга статических критических индексов аг, Д у и V этой модели, а также закономерности их изменения от различных параметров, на основе единого методического подхода.

5. Исследование статических критических и термодинамических свойств трехмерной слабо разбавленной модели Поттса с <7=3 при концентрации спинов р=0.9; 0.8, в которой вмороженный беспорядок содержится в виде немагнитных примесей. Определение с помощью теории конечно-размерного скейлинга статических критических индексов а> Д /и гдля этой модели.

6. Проверка справедливости теории конечно-размерного скейлинга для моделей с вмороженными немагнитными примесями.

7. Определение классов универсальности критического поведения трехмерных спиновых систем с вмороженным беспорядком и зависимости критических индексов от концентрации немагнитных примесей.

Научная и практическая ценность работы. Полученные в диссертации результаты по исследованию статических критических свойств трехмерных 4

спиновых систем с вмороженными немагнитными примесями представляют интерес для дальнейших исследований в теории магнетизма, физики фазовых переходов и статистической теории твердых тел. Разработанный комплекс программ для ЭВМ формирует базу, на основе которой возможны высокоточные исследования статических критических явлений в сложных спиновых системах с немагнитными примесями.

Обобщение одно-кластерного алгоритма Вольфа для исследования неупорядоченных систем показало, что кластерные алгоритмы являются ценным инструментом при исследовании спиновых систем с беспорядком, и позволяют определять с высокой степенью точности критические параметры системы. Сопоставление результатов численных экспериментов с данными лабораторных исследований и теоретических предсказаний позволило определить особенности практического использования теории конечно-размерного скейлинга при исследовании трехмерного изинговского магнетика с немагнитными примесями.

Экспериментальные результаты данной работы используются для чтения спецкурсов: «Исследование фазовых переходов и критических явлений методами Монте-Карло», «Компьютерное моделирование в физике», «Методы вычислительной физики в магнетизме», а часть программ для ЭВМ при выполнении лабораторных работ по указанным спецкурсам в Дагестанском государственном университете.

Научную новизну и значимость диссертации определяют основные положения, которые автор выносит на защиту:

1. Исследование статических критических и термодинамических свойств трехмерной модели Изинга с вмороженными немагнитными примесями распределенных каноническим способом, используя одно-кластерный алгоритм метода Монте-Карло.

2. Расчет основных статических критических индексов теплоемкости а, намагниченности Д восприимчивости у, критического индекса радиуса корреляции V трехмерной модели Изинга с вмороженным беспорядком при концентрации спинов р = 1.0; 0.95; 0.90; 0.8; 0.7; 0.65; 0.6. Определение закономерностей их изменения в зависимости от концентрации примесей и размеров.

3. Предложение и подтверждение с помощью вычислительного эксперимента гипотезы о двух режимном характере критического поведения трехмерной примесной модели Изинга.

4. Определение типа фазового перехода в трехмерной слабо разбавленной модели Поттса с числом состояния <7=3.

5. Исследование в широком диапазоне температур одно-кластерным алгоритмом Вольфа метода Монте-Карло критических и термодинамических свойств трехмерной слабо разбавленной модели Поттса с состоянием <7=3 при концентрации спиновр=0.9 ир=0.8.

6. Сложный комплекс компьютерных программ для ЭВМ, позволяющий исследовать статическое критическое поведение спиновых систем с вмороженным беспорядком.

7. Создание единой методологической основы для изучения особенностей критического поведения и расчета критических параметров при исследовании сложных спиновых систем с вмороженным немагнитным беспорядком.

Апробация работы. Основные результаты диссертации докладывались на следующих конференциях, симпозиумах, семинарах: Международной конференции «Фазовые переходы и нелинейные явления в конденсированных средах» (Махачкала, 2002, 2004, 2005); Международная конференция по магнетизму 1СМ-2003 (Италия, Рим, 2003); Всероссийская школа-семинар молодых ученых «Физика фазовых переходов» (Махачкала, 2003); Международная конференция «Магнитные материалы» (Иркутск, 2003); ЕвроАзиатский симпозиум «Тенденции в магнетизме» БАЗТМАС-2004 (Красноярск, 2004); Секция "Магнетизм" научного совета РАН по физике конденсированных сред в отделении физических наук РАН, на научных семинарах ИФ ДагНЦ РАН и кафедры магнетизма и физики фазовых переходов Дагестанского государственного университета; Международная школа-семинар «Новые магнитные материалы микроэлектроники» НМММ-Х1Х и НМММ-ХХ (Москва, 2004, 2006); Международный симпозиум «Фазовые превращения в твердых растворах и сплавах» ОМА-2004 (Сочи, 2004); Московский международный симпозиум по магнетизму «М15М-2005» (Москва, 2005); Международный симпозиум «Порядок, беспорядок и свойства оксидов» СЮРО-2005 и 00р0-200б (Сочи, 2005; Ростов-на-Дону-пос. Лоо,2006); 34-е совещание по физике низких температур «НТ-34» (Ростов-на-Дону-пос. Лоо, 2006).

Публикации. Основные результаты работы опубликованы в 22 работах. Список публикаций приведен в конце автореферата.

Структура и объем диссертации. Диссертация изложена на 154 страницах, состоит из введения, трех глав, заключения и списка цитированной литературы из 154 наименований, содержит 51 рисунков и 5 таблиц.

Во введении обоснована актуальность выбранной темы диссертационной работы, сформулирована цель работы, приводятся основные положения, выносимые на защиту, дается краткая аннотация по главам.

В главе I дается описание классического метода Монте-Карло применительно к каноническому ансамблю.

В разделе 1.1 рассмотрен классический метод Монте-Карло применительно к каноническому ансамблю, а также практическая реализация процедуры Монте-Карло для систем с дискретным и непрерывным распределением состояний.

Раздел 1.2 посвящен описанию спиновых решеточных моделей, наиболее часто используемых при исследованиях кооперативных явлений в спиновых решеточных системах. Также приведен обзор некоторых результатов исследования этих моделей различными алгоритмами метода МК.

Классический алгоритм метода Монте-Карло, основанный на перевороте одного спина (алгоритм Метрополиса) рассмотрен в разделе 1.3.

Подробное описание кластерных алгоритмов метода Монте-Карло (одно-кластерный алгоритм Вольфа и много кластерный алгоритм Свендсена-Янга) приводится в разделе 1.4. Показано, что эти алгоритмы, в отличие от стандартного, основаны на перевороте кластеров, содержащих большое количество спинов, что позволяет преодолеть проблему критического замедления, возникающую при использовании алгоритма Метрополиса.

В разделе 1.5 рассматриваются различные виды граничных условий, применяемых для уменьшения погрешности, связанной с малостью исследуемой системы, возникающей при изучении систем, содержащих конечное число частиц.

Подробный анализ ошибок, возникающих при моделировании методом Монте-Карло дается в разделе 1.6. Рассматриваются вопросы, связанные с оценкой погрешности метода Монте-Карло.

В главе II одно-кластерным алгоритмом Вольфа метода Монте-Карло исследуются статические критические и термодинамические свойства трехмерной модели Изинга с вмороженными немагнитными примесями.

В разделе 2Л рассматривается критерий Харриса, который позволяет на качественном уровне предсказать, в каких случаях немагнитные примеси оказываются существенными для критического поведения, а в каких нет.

Микроскопические модели изинговских спиновых систем с вмороженными немагнитными примесями, наиболее часто используемые при проведении исследований критических явлений методами Монте-Карло в неупорядоченных системах рассматриваются в разделе 2.2. В частности, исследуемая в данной главе трехмерная модель Изинга с вмороженными немагнитными примесями описывается гамильтонианом:

"—^ЕрАРА. (О

£ и

где У - параметр обменного ферромагнитного взаимодействия между спинами, и Sj - изинговские спины, р,=\, если узел г занят магнитным атомом, и р,=0, если в узле / расположена немагнитная примесь.

Обсуждение результатов экспериментальных и теоретических исследований трехмерной модели Изинга разбавленной немагнитными примесями излагаются в разделе 2.3, Показано, что они посят противоречивый характер, и представлены причины несоответствия этих результатов.

Вопросы связанные с самоусреднением в спиновых системах с вмороженным беспорядком рассматривается в разделе 2.4.

В разделе 2.5 подробно рассмотрена методика исследования. Дается обобщение одно-кластерного алгоритма Вольфа для исследования трехмерной неупорядоченной модели Изинга с вмороженными немагнитными примесями.

Основные положения теории конечно-размерного скейлинга (КРС) изложены в разделе 2.6. Даются особенности определения различных статических критических индексов и критических температур.

Идеи, заложенные в теории КРС, позволяют экстраполировать МК результаты, для систем с конечными размерами к термодинамическому пределу. Согласно теории КРС, соотношения для теплоемкости, восприимчивости и спонтанной намагниченности обобщенные на случай неупорядоченных систем, и приходящих на один спин, имеют вид:

С = [С, (Г,1)] ~ Г/"С0 (2)

х=1х&М~и!*хо*1УуХ (3)

т = К (Г, £)] - \ (4)

где t = \Г-Te\fTt - приведенная температура, а, у> Р и V- статические критические индексы для систем с ¿ = «>, связанные соотношениями гиперскейлинга [4]:

г=№-1), з = (2=

(1-2 + 4

2-а = 2-а = 2/3 + у. (5)

Выражения (2) - (4) хорошо воспроизводят критическое поведение бесконечных систем при выполнении условий *«1 и Ь <ю.

В разделе 2.7 представлены результаты исследования методом Монте-Карло статических критических и термодинамических свойств трехмерной модели Изинга с немагнитными примесями на простой кубической решетке.

Расчеты проводились для систем кубической формы с периодическими граничными условиями (ПГУ) и с концентрацией спинов /7=1.0, 0.95, 0.9, 0.8, 0.7, 0.65, 0.6, Исследовались системы с линейными размерами ¿х£х£; £=20 — 60. Число спинов в исследуемых системах при этом составляло М=рЬ3. В рассматриваемых нами системах примеси распределялись каноническим способом, то есть фиксацией доли магнитных узлов. В наших вычислениях на ЭВМ генерировались марковские цепи в интервале от 8x106 до 20x106 МКшагов/спин. Для вывода системы /7=1.0 в состояние термодинамического равновесия отсекался неравновесный участок длиной 2х10б МКшагов/спин и осуществлялось усреднение по 10 различным начальным конфигурациям. (В данном случае 1МКшаг/спин — это один переворот кластера). Для приведения систем с концентрацией магнитных узлов р=0.95, 0.9, 0.8, 0.7, 0.65, 0.6 в равновесное состояние отсекались участки марковской цепи длиной соответственно, 1.5хЮб, 2х106, 3x10°, 4хЮб, 4.5x10б, 5хЮ6 МКшагов/спин, а усреднение выполнялось по 80 - 200 различным конфигурациям примесей.

Для наблюдения за температурным ходом теплоемкости С, и восприимчивости х использовались следующие соотношения:

(6) (7>

слfe 2,11,4 0,70,0

I » I 1

1 L*6O.p*1,0

I prnO.SS

' p*0.9

• p*0.8

i p*0.6s > -л

. . »

ПM

<t • tV

V , .

.y,» ! se;

J/Ut

квТЛЛ

Рис. /. Температурная зависимость теплоемкости С для разбавленной трехмерной модели Изинга.

Рис. 2. Температурная зависимость восприимчивости х для разбавленной трехмерной модели Изинга.

где N=pL3-число магнитных узлов, U- внутренняя энергия, m — намагниченность системы, угловые скобки <...> означают термодинамическое усреднение, а квадратные [..^-конфигурационное.

На рисунке I и 2 представлены характерные зависимости усредненных значений по примесным конфигурациям с различной реализацией вмороженных немагнитных примесей теплоемкости С, и восприимчивости х от температуры Т для систем с концентрацией магнитных узлов р=1.0, 0.95, 0.9, 0.8, 0.65, 0.6. Здесь и далее погрешность данных не превышает размеры использованных символов на рисунках. Как видно из рисунка 1, наличие немагнитных примесей приводит к сглаживанию максимумов теплоемкости и их уменьшению с ростом концентрации немагнитных атомов с, где с=1-р, что является характерной чертой разбавленных трехмерных изинговских магнетиков [5]. Отметим также, что в критической области восприимчивость (рис. 2) имеет ярко выраженные максимумы при всех значениях концентраций р.

Для определения критической температуры использовался метод кумулянтов Биндера четвертого порядка [6]:

о,

L 0,6

0,4

0,2

0,0

UL{T,p) = l-

{m\T,p-,L))L 3 (m^T.piL))^

(8)

2,1 2,4 2,7 3,0

3,3 kTU

Рис.3. Температурная зависимость кумулянтов Биндера Ui для системы с р=0.65

где т — намагниченность системы с линейными размерами Ь. Для определения критической температуры Тс для спиновых систем с вмороженными немагнитными

примесями необходимо определить температурную зависимость кумулянта [[/¿(7\р)] усредненного по примесным конфигурациям с различной реализацией беспорядка для нескольких размеров решетки (¿¡, £2, ■». ¿л)-

Критическая температура Тс определяется как значение температуры,

при котором усредненное значение кумулянта не зависит от линейных размеров решетки

IVи {Т., р)} = [и^ (Г., р)] = • • • = [иЬщ (Г., р)]. (9) Рассчитанные таким образом кумулянты для трехмерной неупорядоченной модели Изинга при концентрации спинов />=0.65 показаны на рисунке 3. Вставка на этом рисунке демонстрирует зависимость [С/£] от температуры в критической области. Как видно из рисунка использованный метод позволяет определить критическую температуру с высокой точностью.

При расчете критических индексов восприимчивости у, и намагниченности ¡5 используются следующие выражения [6,7]:

(10)

т - , (11)

которые получаются из выражений (3) и (4) при Т=ТС. Эти соотношения позволяют легко определить у/у и На рисунке 4 представлена характерная

зависимость восприимчивости от линейных размеров системы Ь в двойном логарифмическом

у/у^!,902(3)

Тс*3.4956

р'О.в

20 24 28 32 36 40 44 48 52 56 60

Рис. 4. Зависимость восприимчивости % от линейных размеров системы Ь для разбавленной трехмерной модели Изинга при ТшТсир=0.$.

36 ¿0 44 48 52 5660 I

Рис. 5. Зависимость [К.] от линейных размеров системы £ для разбавленной трехмерной модели Изинга при Т=Те и р=0.8.

масштабе при концентрации спинов /7=0.8. В то же время, данные для теплоемкости по этой схеме описать не удается. Поэтому при определении критического индекса а на практике для масштабирования теплоемкости используется

следующее выражение:

С^ (¿) = СМХ = (12)

где А — некоторый коэффициент.

Для определения критического индекса V нами использовалось следующее выражение [6,7]:

= +51-), (13)

где — некоторая постоянная, о- поправка к скейлингу, п= 1,2,3,4.

г , {т"Ь) ,

В качестве [У„] могут выступать [Уа ] = \—Л - (Е). На рисунке 5 показаны

(«">

зависимости значений [К] от линейных размеров системы для разбавленной трехмерной модели Изинга при Т=ТС и р=0.8. Как видно из рисунка, все использованные способы дают близкие значения для индекса V, что свидетельствует о высокой точности определения г. Определенные таким образом значения критических индексов для различных значений р, полученные при соответствующем значении индекса радиуса корреляции у(р), представлены в таблице 1.

Таблица I. Критические индексы трехмерной модели Изинга с вмороженными немагнитными примесями, определенные на основе теории конечно-размерного скейлинга.

р V а У 0

1.0 4.5106(6) 0.624(2) 0.108(2) 1.236(2) 0.322(2)

0.95 4.2591(4) 0.646(2) -0.010(2) 1.262(2) 0.306(3)

0.9 4.0079(8) 0.664(3) -0.014(3) 1.285(3) 0.308(3)

0.8 3.4956(6) 0.683(4) -0.016(3) 1.299(3) 0.310(3)

0.7 2.9682(8) 0.716(4) -0.087(4) 1.431(4) 0.341(4)

0.65 2.7028(9) 0.713(7) -0.091(5) 1.428(4) 0.343(4)

0.6 2.4173(9) 0,725(8) -0.093(6) 1.446(4) 0.349(4)

Как видно из таблицы 1, полученные значения КИ в результате тщательных исследований, проведенных с соблюдением единой методики, на трехмерной разбавленной модели Изинга с немагнитными примесями (распределенные каноническим способом) в широком интервале разбавлений с, с=\~р, свидетельствуют:

1) класс универсальности данной модели при малых концентрациях (р>0.8) примесей характеризуется новым набором КИ и этот набор КИ отличается от соответствующего для чистой модели Изинга (р=1.0);

2) сильно разбавленные системы (р<0.7) характеризуются другим набором КИ и образуют свой класс универсальности.,

Согласно теории КРС соотношения (2) - (4) снимают все эффекты, связанные с малостью системы. При правильно вычисленных значениях критических параметров, зависимости для намагниченности т, восприимчивости %, и теплоемкости С от скейлинговой переменной у = /Х,"" после масштабирования выражениями (2) - (4) должны укладываться на одну кривую.

На рисунке 6 представлена скейлинговая функция для восприимчивости сильно

неупорядоченной трехмерной

модели Изинга при р=0.65. Как видно из рисунка, все данные в пределах погрешности укладываются на одну кривую, что говорит о правильности определения

критических параметров.

В главе III одно-кластерным алгоритмом Вольфа метода Монте-

гис. о, г^онечио-ршмерноемасштаоироеание

, . _ Карло исследуется критическое и

восприимчивости у разбавленной трехмерной г ' г

модели Изинга прир=о.б5. термодинамическое поведение

трехмерной слабо разбавленной модели Потгса с числом состояния q=3 при концентрации спиновр-0.9 и 0.8.

В разделе 3.1 рассматривается трехмерная модель Поттса с числом состояния q=3 разбавленная вмороженными немагнитными примесями. Гамильтониан исследуемой модели может быть представлен в следующем виде [8]:

Я =1,2,3 (14)

1 и

где pi - случайные величины, которые могут так же, как и в модели Изинга с вмороженным беспорядком принимать два значения 0 и 1, S(S(,Sj) = 1, если S,=Sj

и S(St,SJ) = 0i если SptSj.

Обзор результатов исследований неупорядоченной модели Поттса имеющихся к настоящему времени приведен в разделе 3.2. Известно, что в чистой модели Поттса с состоянием q>qc{d) наблюдается ФП первого рода, а ФП второго рода в случае q<qc{d). Для двумерной модели Поттса величина q£d= 2)=4 [9], в то время как для трехмерной модели qc{d=3)=2A5 [10]. Причем для q£d=2)=4 наблюдается ФП второго рода, а для qc(d=3)=2A5 - слабо выраженный ФП первого рода. К настоящему времени также известно, что присутствие вмороженного беспорядка в модели Потгса с состоянием q>qc может изменить порядок ФП. В работах [11,12] строго было доказано, что для низкоразмерных систем dü2, описываемых моделью Поттса с q>qc(d) наличие сколь угодно малой величины вмороженного беспорядка достаточно, чтобы изменить ФП первого рода на ФП второго рода. Исследования, проведенные на основе 3d модели Поттса с q=4, в которой беспорядок реализован в виде вмороженных случайных ферромагнитных связей, выявило, что ниже концентрации ферромагнитных связей р*0.8 наблюдается ФП второго рода, а выше - первого рода [13].

Что касается трехмерной слабо разбавленной модели Потгса с <7=3, то критическое поведение этой модели с соблюдением единого методического подхода исследовано не достаточно полно, не установлен класс универсальности

0,063■ £20 £

• L28 3 ▼ L36

* L44 . '

0,042- * L4S

р-0.65 f 4

0,021 I \

1 Чг ,

0,000

tLv"

-40 -30 -20 -10 0 10 20 30 40

Dtirt А £ЛЛт.Л1.<.Л > 1 AMJt H* i ППв Л 111 |Л

критического поведения, особенно когда беспорядок реализован в виде вмороженных немагнитных примесей каноническим способом.

В разделе 3.3 дается обобщение одно-кластерного алгоритма Вольфа для исследования трехмерной слабо разбавленной модели Потгса.

В разделе 3.4 представлены результаты исследования методом Монте-Карло критического поведения трехмерной слабо разбавленной модели Поттса с числом состояния ¿7=3.

Расчеты проводились для образцов кубической формы с ПГУ и размерами LxLxL', L=20 — 44 при концентрации спинов р= 0.9 и 0.8. Для приведения исследуемых систем в состояние термодинамического равновесия отсекался участок Марковской цепи длиной 3x106 МК шагов/спин, что превосходило в десять и более раз неравновесный участок даже вблизи от критической точки Тс. Термодинамическое усреднение исследуемых параметров проводилось по марковской цепи длиной до 18x10б МК шагов/спин. Конфигурационное усреднение по ансамблю неупорядоченных систем с различной реализацией вмороженных немагнитных примесей проводилось по 200 примесным конфигурациям.

В качестве намагниченности m для разбавленной модели Поттса с состоянием q=3 использовалось следующее выражение [13]:

m =

<7-1

(15)

где N„

= тах{ЛГ)( ЛГ, }, - ЧИСЛО СПИНОВ В СОСТОЯНИИ <7=1, N2 - число спинов в

СОСТОЯНИИ ¿7=2, N3 - число спинов в состоянии <7=3, И=р1?.

На рисунке 7 представлена характерная температурная зависимость

намагниченности т для трехмерной слабо разбавленной модели Поттса с <7=3 при концентрации спинов р=0.9. Как видно из рисунка наблюдается монотонное уменьшение величины т с ростом температуры и заметное уменьшение высокотемпературных "хвостов" при увеличении линейного размера системы. На'рисунке 8 представлена зависимость восприимчивости х от температуры Т для трехмерной слабо разбавленной модели Поттса с #=3 при р=0.9 для систем с линейными размерами ¿=20; 28; 36; 44. Отметим, что в зависимости восприимчивости х от температуры для всех исследуемых нами систем проявляются четко выраженные максимумы, и эти максимумы в пределах погрешности приходят на одну температуру.

Рис. 7. Температурная зависимость намагниченности т для трехмерной слабо разбавленной модели Поттса с д=3 прир=0.9.

1,50

1,75

к ТАЛ

Рис. 8. Температурная зависимость восприимчивости х для трехмерной слабо разбавленной модели Поттса с д=3 при р=0.9.

Для определения критической температуры нами использовался высокоточный метод кумулянтов Биндера [6]. Сами кумулянты Биндера при р=0.9 и 0.8 рассчитывались по формуле (8), с учетом выражения намагниченности m для модели Поттса (15). В процессе расчета кумулянтов U(L, 7) для каждой неупорядоченной спиновой системы с линейным размером L при концентрации спинов р проводилось усреднение по 200 различным конфигурациям примесей. Следует отметить, что применение кумулянтов Биндера позволяет хорошо тестировать тип фазового перехода в системе. В случае фазовых переходов второго рода кривые температурной зависимости кумулянтов имеют ярко выраженную точку пересечения, что и продемонстрировано на вставке рисунка 9, в то время как в случае переходов первого рода, кривые кумулянтов характеризуются специфическим видом без взаимного пересечения. Определенные таким образом критические температуры приведены в таблице 2.

Анализ наших данных, выполненный на основе соотношений теории КРС (10—13), позволил определить значения основных критических индексов восприимчивости у,; намагниченности Д теплоемкости а и индекса радиуса корреляции удля трехмерной слабо разбавленной модели Потгса с q=3 при концентрации спинов р=0.9; 0.8. На рисунке 10 в двойном логарифмическом масштабе представлена зависимость параметра \У,\ для разбавленной модели Потгса от линейных размеров решетки L при р=0.9 и Т=ТС. Полученные таким образом значения критических индексов для систем с концентрацией спинов р=0.9 и 0.8 представлены в таблице 2.

Как видно из таблицы 2, полученные значения критических индексов достаточно хорошо согласуются друг с другом в пределах погрешности численного эксперимента для различных спиновых концентраций р=0.9 и р=0Я. Результаты для критического индекса радиуса корреляции v для трехмерной

Рис.9. Температурная зависимость кумулянтов Биндера для трехмерной слабо разбавленной модели Поттса с при р^0.9.

0,21

0,14 0,07 0,00

* ио > ив

* I*

* ¿44 р-О.»

Й 0 9

/к

40 „>"

Рис. 10. Зависимость [К„] от линейных размеров системы £ для трехмерной слабо разбавленной модели Поттса с д=3 при р=0.9.

Рис. II. Конечно-размерное масштабирование восприимчивости х трехмерной слабо разбавленной модели Поттса с <¡=3 при р=0.9.

слабо разбавленной модели Поттса с состоянием ц=Ъ при концентрациях р=0.9; 0.8 удовлетворяют соотношению 0.667 полученное в работе [14] для

неупорядоченных ¿-мерных систем и близки к значению 0.690(5) полученному в работе [15] для трехмерной неупорядоченной модели Поттса с ц=Ъ, в которой вмороженные немагнитные примеси внесены большим каноническим способом.

Нами также было проверено справедливость выполнения выражения (2) - (4) для трехмерной слабо разбавленной модели Поттса с ц=Ъ при концентрации р= 0.9. В частности, скейлинговая функция для восприимчивости представлена на рисунке 11. Как видно из рисунка, все данные достаточно хорошо укладываются на одну кривую. Таким образом, параметры системы в критической области определены правильно.

Таблица 2. Критические индексы трехмерной слабо разбавленной модели Поттса С состоянием д=3. определенные на основе теории конечно-размерного скейлинга.

Неупорядоченная модель Р квте/И У а Г Р

3(1 Потгс 0.9 1.634(6) 0.671(5) -0.008(5) 1.275(5) 0.365(5)

0.8 1.449(7) 0.679(5) -0.018(6) 1.279(5) 0.372(5)

Основные результаты работы.

1. Разработан комплекс программ для ЭВМ, с помощью которого можно исследовать статические критические свойства спиновых моделей с вмороженными немагнитными примесями.

2. Впервые в широком интервале температур и концентрации спинов р= 1.0; 0.95; 0.90; 0.8; 0.7; 0.65; 0.6 выполнены высокоточные исследования критических и термодинамических свойств трехмерной модели Изинга с вмороженными немагнитными примесями распределенными каноническим способом.

3. С использованием теории конечно-размерного скейлинга рассчитаны критические индексы теплоемкости а, намагниченности Д восприимчивости у и КИ радиуса корреляции V трехмерной модели Изинга разбавленной немагнитными примесями каноническим способом.

4. Выдвинута и с помощью вычислительного эксперимента подтверждена гипотеза о двух режимном характере критического поведения трехмерной примесной модели Изинга.

5. Высокоточным методом кумулянтов Биндера определены критические температуры для трехмерных неупорядоченных изинговских систем при р=0.95; 0.9; 0.8; 0.7; 0.65; 0.6, и для трехмерной слабо разбавленной модели Поттса с состоянием q=3 при р=0.9; 0.8.

6. Разработана единая методологическая основа для изучения особенностей критического поведения и расчета критических параметров, сильно разбавленных спиновых систем, для которых многие надежные и проверенные на чистых моделях схемы аналитических подходов оказались непригодными.

7. Впервые в широком интервале температур и при концентрациях спиновр=0.9 и р=0.8 исследованы статические критические и термодинамические свойства трехмерной слабо разбавленной модели Поттса с вмороженными немагнитными примесями, распределенные каноническим способом.

8. Показано, что при концентрации спинов р=0.9; 0.8 в трехмерной слабо разбавленной модели Поттса с состоянием q=3 наблюдается фазовый переход второго рода.

9. Исследования показали, что значения КИ для трехмерной слабо разбавленной модели Поттса, с состоянием q-Ъ при концентрации р=0.9 и 0.8, в пределах погрешности численного эксперимента, достаточно хорошо согласуются друг с другом и подтверждают универсальность критического поведения трехмерных слабо неупорядоченных систем.

Цитированная литература.

1. Доценко Вик.С. Критические явления в спиновых системах с беспорядком // УФН, - 1995г.-Т.165, вып.5.-С.481-528,

2. Фольк Р., Головач Ю., Яворский Т. Критические показатели трехмерной слабо разбавленной замороженной модели Изинга // УФН. - 2003. - T.I73, вып.2, — С. 175-200.

3. Harris В.А. Effect of random defects on the critical behaviour of Ising models // J. Phys. C: Solide State Phys. - 1974. - V.7, N,9. - P.1671-1692.

4. Паташинский A.3., Покровский B.A. Флуктуационная теория фазовых переходов. - М.: Наука, 1982. - 380 с.

5. Heuer Н.-О. Monte Carlo simulation of strongly disordered Ising ferromagnets // Phys. Rev. B. - 1990. - V.42, N.10. - P.6476-6484.

6. Binder K., Luijten E. Monte Carlo tests of renormalization-group predictions for critical phenomena in Ising models il Phys. Reports.-2001.-V. 344, — P.179-253.

7. Landau D.P. Computer simulation studies of critical phenomena // Physica A. — 1994.-V. 205, —P.41-65.

8. Ермилов A.H. Аналитический метод исследования стохастической модели Поттса // Физика элементарных частиц и атомного ядра. - 1989. - Т.20, вып.6. — С.1479-1544.

9. Loulidi M. Some analytical results on the bond diluted g-state Potts model // Physica A. - 2000. - V.287. - P. 177-184.

10.Guttmann A.J., Enting I.G. Series studies of the Potts model: III. The 3-state model on the simple cubic lattice If J. Phys, A.: Math, Gen. - 1994. - V.27. -P. 5801-5812.

11.Aizenman M., Wehr J Rounding of first-order phase transitions in systems with quenched disorder//Phys. Rev. Lett. - 1989. - V.62, N.21. - P. 2503-2506.

12.Hui K., Berker A.N. Random-field mechanism in random-bond multicritical systems // Phys. Rev. Lett. - 1989. - V.62, N.21. - P. 2507-2510.

13.Chatelain C., Berche В., Janke W., Berche P.-E. Monte Carlo Study of Phase Transitions in the Bond-Diluted 3D 4-State Potts Model // Nuclear Physics В - 2005. - V.719/3. - P. 275 - 320.

14.Сhayes J.T., Chayes L., Fisher D.S., Spencer T. Finite-Size Scaling and Correlation Lengths for Disordered Systems // Phys. Rev. Lett. - 1986. - V.57, N,24. - P. 2999-3002.

15.Ballesteros H.G., Ferna'ndez L.A., Mun~oz Sudupe A., Parisi G., Ruiz-Lorenzo J.J. Critical behavior in the site-diluted three-dimensional three-state Potts model // Phys. Rev. B. - 2000.— V.61, N.5. - P. 3215-3218.

Основные результаты диссертации опубликованы в следующих работах:

1. Муртазаев А.К., Камилов И.К., Бабаев А.Б. Критическое поведение трехмерной модели Изинга с вмороженным беспорядком на кубической решетке. // ЖЭТФ. - 2004. - Т.126, вып.6. - С. 1377-1383.

2. Муртазаев А.К., Камилов И.К., Бабаев А.Б. Влияние немагнитных примесей на критические свойства 3D модели Изинга. // Известия РАН. Серия физическая. - 2005. - Т.69, №4. - С.5 80-581.

3. Murtazaev А.К., Kamilov I,К., Babaev А.В. Critical properties of a 3D Ising model with quenched disorder. // Phys. Met. Met. - 2005. - V.99, Suppl, 1, - P. S31 - S33.

4. A.K. Murtazaev, I.K. Kamilov, A.B. Babaev. Critical behavior of spin systems with quenched disorder. // Journal of Magnetism and Magnetic Materials. - 2006. — V.300, Issue 1. - P. 538 - 541.

5. A.K. Муртазаев, И,К. Камилов, А.Б. Бабаев. Исследование трехмерной примесной модели Изинга методами вычислительной физики. // Вестник ДагНЦ. -2005. -№22. - С.11-15.

6. Муртазаев А.К., Бабаев А.Б. Исследование критических свойств трехмерной модели Изинга с замороженным беспорядком методами Монте-Карло // Труды международной конференции «Фазовые переходы, критические и нелинейные явления в конденсированных средах». - Махачкала, 2002. - С.70-72.

7. Murtazaev А.К., Kamilov I.K., Babaev А.В. The investigation of critical behavior of 3d weakly diluted Ising's model by Monte-Carlo method. // ICM-2003, International conference on magnetism, Abstract book. - Roma, Italy, 2003. - P. 524.

8. Муртазаев A.K., Бабаев А.Б. Влияние замороженных немагнитных примесей на фазовые переходы второго рода в трехмерной модели Изинга // Труды всероссийской школы-семинара молодых ученых «Физика фазовых переходов». - Махачкала, 2003. - С.141-145.

9. Муртазаев А.К., Камилов И.К., Бабаев А.Б. Компьютерное моделирование критического поведения неупорядоченной трехмерной модели Изинга. // Труды международной конференции «Магнитные материалы». - Иркутск:

2003.-С.116-117.

Ю.Муртазаев А.К., Камилов И.К., Бабаев А.Б. Компьютерное моделирование статического критического поведения трехмерной модели Изинга с примесями на простой кубической решетке. // Труды XIX международной школы-семинара «Новые магнитные материалы микроэлектроники». - Москва, 2004. -С.763-765.

11 .Муртазаев А.К., Камилов И.К., Бабаев А.Б. Влияние немагнитных примесей на критические свойства 3D модели Изинга. if Труды международного симпозиума «Фазовые превращения в твердых растворах и сплавах» ОМА-

2004.-Сочи, 2004, -С. 199-201.

12.Муртазаев А.К., Камилов И.К., Бабаев А.Б. Критические свойства спиновых систем с вмороженным беспорядком. И Труды международной конференции «Фазовые переходы, критические и нелинейные явления в конденсированных средах». - Махачкала, 2004. - С.7-9.

13.Муртазаев А.К., Бабаев А.Б., Шахмарданова Р.Н., Азнаурова Г. Критическое поведение 3D модели Изинга с вмороженным беспорядком. // Труды международной конференции «Фазовые переходы, критические и нелинейные явления в конденсированных средах». - Махачкала, 2004. - С.87 - 88.

14.Murtazaev А.К., Kamilov I.K., Babaev A.B. Critical properties of a 3D diluted quenched Ising model. // Abstracts book EASTMAG-2004. - Krasnoyarsk, 2004. -P.62.

15.Муртазаев A.K., Бабаев А.Б. Исследование критического поведения трехмерной модели Изинга с немагнитными примесями методом Монте-Карло. // Межвузовский сборник научных работ аспирантов. Махачкала, 2004. - С.53.

16.А.К. Murtazaev, I.K. Kamilov, A.B. Babaev. Critical behavior of spin systems with quenched disorder. // MISM-2005: Book of Abstracts. - Moscov, 2005, - P. 552553.

17.A.K. Муртазаев, А.Б. Бабаев. Исследование особенностей критических явлений в сильно неупорядоченных спиновых системах. // Труды международного симпозиума «Порядок, беспорядок и свойства оксидов» ODPO-2005. - Сочи,

2005.-С.12.

18.А.К. Муртазаев, И.К. Камилов, А.Б. Бабаев. Кроссоверные эффекты, конечно-размерный скейлинг и критические индексы сильно неупорядоченных спиновых систем. // Труды международной конференции «Фазовые переходы, критические и нелинейные явления в конденсированных средах». - Махачкала, 2005.-С.11-13.

19.Муртазаев А.К., Бабаев А.Б. Исследование фазовых переходов в слаборазбавленной 3D модели Поттса. // Межвузовский сборник научных работ аспирантов. Выпуск 3, Махачкала, 2006. - С.83-84.

20.Муртазаев А.К., Камилов И.К., Бабаев А.Б. Исследование критических свойств трехмерной слабо разбавленной модели Поттса. // Труды XX международной школы-семинара «Новые магнитные материалы микроэлектроники». — Москва, 2006. - С.928-930.

21.А.К. Муртазаев, А.Б. Бабаев, Г. Азнаурова. Исследование критического поведения трехмерной разбавленной модели Поттса методом Монте-Карло // Сборник трудов международного симпозиума «Порядок, беспорядок и свойства оксидов» ODPO-9, Т. II. - Ростов-на-Дону - пос. Лоо, 2006. - С.39-40.

22.А.К. Муртазаев, А.Б. Бабаев. Исследование критических и термодинамических свойств в неупорядоченных магнетиках методами вычислительной физики // Сборник трудов 34 совещания по физике низких температур» НТ-34, Т. I.-Ростов-на-Дону - пос. Лоо, 2006. - С.41.

Подписано в печать 12.10.2006 Тираж 100 экз. Бесплатно. Отпечатано в Институте физики Дагестанского НЦ РАН 367003, г. Махачкала, ул. М. Ярагского, 94

Содержание диссертации автор исследовательской работы: кандидата физико-математических наук, Бабаев, Альберт Бабаевич

ГЛАВА I. КЛАССИЧЕСКИЙ МЕТОД МОНТЕ-КАРЛО

§1.1. Классический метод Монте Карло.

§ 1.2. Модели спиновых систем, используемые при исследовании методом Монте-Карло.

§1.3. Классический алгоритм метода Монте-Карло.

§ 1.4. Кластерные алгоритмы метода Монте-Карло.

§1.5. Граничные условия.

§ 1.6. Анализ ошибок в методе Монте-Карло.

ГЛАВА II. ИССЛЕДОВАНИЕ СТАТИЧЕСКИХ КРИТИЧЕСКИХ И ТЕРМОДИНАМИЧЕСКИХ СВОЙСТВ ТРЕХМЕРНОЙ МОДЕЛИ ИЗИНГА С НЕМАГНИТНЫМИ ПРИМЕСЯМИ

§2.1, Критерий Харриса.

§ 2.2. Модели изинговских спиновых систем с вмороженными немагнитными примесями.

§ 2.3. Результаты экспериментальных и теоретических исследований трехмерной модели Изинга с немагнитными примесями

2.3.1. Результаты лабораторных экспериментов.

2.3.2. Результаты теоретических исследований.

§ 2.4. Проблема самоусреднения в спиновых системах с вмороженным беспорядком.

§2.5, Методика исследования.

§ 2.6. Теория конечно-размерного скейлинга.

§ 2.7. Статические критические и термодинамические свойства трехмерной модели Изинга с немагнитными примесями на простой кубической решетке. Результаты численного эксперимента.

§2.8. Распределение термодинамических параметров по ансамблю неупорядоченных систем.

ГЛАВА III. ИССЛЕДОВАНИЕ КРИТИЧЕСКОГО ПОВЕДЕНИЯ

ТРЕХМЕРНОЙ МОДЕЛИ ПОТТСА С НЕМАГНИТНЫМИ ПРИМЕСЯМИ

§3.1. Модель Поттса с вмороженными немагнитными примесями.

§ 3.2. Результаты исследований неупорядоченной модели Поттса.

§ 3.3. Кластерный алгоритм метода Монте-Карло.

§ 3.4. Критическое поведение трехмерной слабо разбавленной модели Поттса с q=3 на простой кубической решетке. Результаты численного эксперимента.

Введение диссертация по физике, на тему "Исследование критических свойств спиновых решеточных моделей с примесями методами Монте-Карло"

Исследование фазовых переходов (ФП) и критических явлений (КЯ) в однородных и неупорядоченных спиновых системах является одним из наиболее сложных и постоянно актуальных задач физики конденсированного состояния. В последние годы достигнут значительный прогресс в понимании проблемы фазовых переходов и критических явлений. Создание теории Л.Д. Ландау и разработка флуктуационной теории фазовых переходов [1], а затем уже и внедрения идей ренормализационной группы и г- разложения [2-4], предложенные Вильсоном, а также применения гипотезы подобия (скейлинг), основы которой были заложены в 60-х годах [1,5], с последующим решением большого количества технических вопросов, позволили достичь существенного прогресса в качественном понимании непрерывных фазовых переходов и в их количественном описании.

Существенный вклад в строгую количественную теорию кооперативных явлений в спиновых системах внесли также методы высоко- и низкотемпературных разложений [6,7]. Было показано, что критические индексы (КИ) не зависят от величины спина, если и зависят то настолько слабо, что этой зависимостью даже в хорошем приближении можно пренебречь [6]. Для критических явлений должны быть существенны лишь "глобальные" характеристики, такие как:

- размерность пространства (решетки),

- топология параметра порядка,

- симметрия Гамильтониана,

- радиус характерного взаимодействия.

В рамках одного класса универсальности для всех спиновых систем, испытывающих фазовый переход второго рода, критические индексы являются одинаковыми. В один и тот же класс универсальности попадают столь непохожие на первый взгляд системы, как жидкости, магнетики, сегнетоэлектрики, сверхпроводники и другие.

Для ряда решеточных моделей имеются^и исключения из этого ^ правила, среди которых можно упомянуть восьми вершинную и сферическую модели [8]. В частности, критическое поведение восьми вершинной модели не согласуется с гипотезой универсальности, поскольку значения индексов в ней зависят не только от размерности и природы взаимодействий, но и от величины параметров взаимодействий [8,9]. Однако в настоящее время предполагается, что подобные нарушения возможны лишь для некоторых весьма специальных классов гамильтонианов.

В свою очередь разбиение систем, демонстрирующих фазовые превращения самой различной природы, на классы универсальности равновесного и динамического критического поведения придало теории ФП и КЯ необычайную стройность. Изучение критического поведения неупорядоченных спиновых систем со случайно распределенными немагнитными примесями позволило расширить представление о факторах, влияющих на систематизацию по классам универсальности.

В построении общей микроскопической теории фазовых переходов играют важную роль точные аналитические решения, которые получены для весьма ограниченного числа решеточных моделей. В 1925 году Изинг нашел решение для случая одномерной цепочки (в цепочке фазовый переход происходит при 74)) [10]. В 1944 году Онзагер получил аналитическое решение для двухмерной модели Изинга в нулевом внешнем поле и доказал существование фазового перехода [11]. В последующем, 1952 году Берлин и Кац сформулировали и строго рассчитали так называемую сферическую модель [12]. Далее, наиболее существенным результатом в этом направлении было получение Либом [8] строгого решения для шести вершинной модели (модели типа льда).

Точное аналитическое решение имеют и некоторые другие модели [8]. В последние годы был разработан ряд интересных методов и подходов для решения некоторых низко размерных систем [13].

В определенный период, казалось, что современная теория статических фазовых переходов и критических явлений построена и практически полностью завершила свое развитие. До последних лет доминировало мнение, что в теории фазовых переходов едва ли можно ожидать новых качественных прорывов, и все что остается-это все большее уточнение значений критических индексов. Но теоретические, численные и экспериментальные исследования, критических явлений в системах с вмороженным беспорядком, убедительно показывают, что наблюдаемые явления выходят далеко за рамки современной флуктуационной теории фазовых переходов. И, по-видимому, сегодняшний этап характеризуется отсутствием достаточного количества надежно установленных научных фактов о характере и особенностях критического поведения неупорядоченных систем с вмороженным беспорядком [14].

При описании критических явлений в спиновых системах часто используемыми моделями являются модели первого приближения: модель Изинга, Гейзенберга, модель Поттса, XY-модель, и их различные модификации. На основе этих моделей с помощью теоретических методов, проведены исследования на различных типах решеток и пространственной размерности d. Получена обширная информация о критическом поведении различных термодинамических и физических параметров в широком диапазоне температур.

Необходимо отметить, что столь широкий спектр результатов был получен с одной стороны увеличением вычислительных мощностей современных ЭВМ, а с другой, на основе разработки мощных кластерных алгоритмов метода Монте-Карло (МК) специально разработанных для исследования критической области [15-18], гистограммных методов анализа данных [19] и на основе теории конечно-размерного скейлинга (КРС) для расчета критических параметров [20-23].

Первоначально при изучении фазовых переходов второго рода обычно предполагалось, что рассматриваемые системы являются идеально однородными. В реальных образцах, однако, всегда присутствуют какие-либо дефекты и примеси. Поэтому проблема влияния вмороженных дефектов структуры на критическое поведение является важной как с теоретической, так и с практической точек зрения.

В работе [24] сформулирован критерий, определяющий существенность влияния вмороженных немагнитных примесей на критическое поведение, называемый обычно критерием Харриса. Согласно этому критерию слабый беспорядок влияет на критическое поведение только .в тех случаях, когда теплоемкость соответствующей чистой системы испытывает расходимость в критической точке с показателем а>0. Данному критерию удовлетворяют только системы, эффективный гамильтониан которых вблизи критической точки изоморфен модели Изинга.

Исследование трехмерных микроскопических гамильтонианов неупорядоченных спиновых систем методами современной теоретической физики одна из труднейших задач. Теоретические подходы практически все основаны на использовании тех или иных схем вычислений в рамках теоретико-полевого подхода с использованием метода ренормализационной группы. Распространение данного метода на описание неравновесного поведения в работе [25, 26] позволило описать критическую динамику однородных и неупорядоченных систем. Тем не менее, ситуация с применимостью этих схем для неупорядоченных моделей с вмороженным беспорядком значительно сложнее, чем для чистых систем. Некоторые эффективные схемы вычислений, например, популярное 8-разложение вырождается в 4s - разложение, которое, на практике не пригодно для количественных расчетов [27, 28]. Более того, исходные ряды по константам связи оказываются не суммируемыми по Борелю [29]. Пересуммирование по новой процедуре типа Паде-Бореля проблему решает лишь частично. Имеется и ряд других серьезных трудностей.

Таким образом, обращение к надежным и математически строго обоснованным различным вариантам метода Монте-Карло, в том числе и к мощным кластерным алгоритмам метода Монте-Карло [15-18, 30-39] является обоснованным и актуальным. Важным достоинством этих методов является то, что в ходе эксперимента все параметры исследуемой неупорядоченной системы находятся под строгим контролем исследователя и, что особенно важно, количество и распределение примесей по образцу. Результаты, полученные этими методами, к настоящему времени не уступают по точности лучшим данным других методов, а иногда и превосходят их [38].

Сопоставление результатов компьютерного моделирования неупорядоченных систем с результатами ренормгруппового подхода позволяет проверить предсказания теории, а также выявить новые эффекты влияния вмороженного беспорядка в области сильной неупорядоченности системы, недоступной для аналитического подхода.

Следует отметить, что использование методов вычислительной физики требует создания довольно больших и сложных программ для ЭВМ, а также проведения большой предварительной методической работы. Почти все программы весьма специфичны, требуют от программиста большого опыта и внимательности и, как правило, не могут быть использованы для решения различных задач. Тем не менее, следует признать более чем оправданными те значительные усилия, которые затрачиваются на создание и отладку подобных программ: в результате удается оценить, в какой мере обоснованы те или иные микроскопические модели, теоретические методы и эмпирические аппроксимации [40].

В данной работе рассматриваются некоторые вопросы теории статических критических явлений и фазовых переходов моделях с вмороженными немагнитными примесями. Объектом исследования является классическая трехмерная модель Изинга с вмороженными немагнитными примесями на простой кубической решетке. Рассматриваемая неупорядоченная модель при слабом разбавлении немагнитными примесями трудно подается аналитическому описанию в области фазового перехода. В сильно разбавленном режиме для этой модели многие надежные и проверенные на чистых моделях схемы аналитических подходов оказались непригодными. В рамках этой модели методами вычислительной физики проведены исследования статических критических свойств как в однородном случае р-1.0, так и с концентрацией спиновр = 0.95; 0.9; 0.8; 0.7; 0.65; 0.6.

Имеющиеся в литературе на сегодняшний день экспериментальные [41-65] и теоретические результаты [27-29, 66-78] не только не позволяют сформировать цельной и непротиворечивой картины критического поведения трехмерных спиновых систем с примесями, но и во многом противоречат друг другу. Дело не только в том, что результаты экспериментальных исследований сильно зависят от метода и конкретного образца, но и от способа приготовления образца [41-65]. Кроме того, практически нет экспериментальных исследований, выполненных на основе единого методического подхода на сериях однотипных образцов при строго контролируемом содержании количества примесей.

Следовательно, использование методов вычислительной физики для проведения исследований этой неупорядоченной модели является оправданным [37, 79, 80].

Изменение критических показателей 3d неупорядоченной модели Изинга хорошо установлено в экспериментах [44-65] и теоретических исследованиях [66-78] и согласуется с совокупностью всех имеющихся данных. Однако до сих пор невыясненным остается вопрос: являются ли новые критические индексы данной модели универсальными, т.е. не зависящими от концентрации примесей вплоть до порога перколяции, или существует линия фиксированных точек, определяющая непрерывное изменение критических индексов с концентрацией.

Другим объектом исследования является трехмерная (3d) слабо разбавленная модель Поттса с числом состояния спина q=3. Известно, что в чистой модели Поттса с q>qc(d) наблюдается ФП первого рода, а для q<qc{d) ФП второго рода, в частности qc(d= 2)=4, ^(яКЗ)=2.45. Причем для qc(d= 2)=4 наблюдается ФП второго рода, а для qc(d-3)=2A5 - слабо выраженный ФП первого рода [81,82]. Внесение вмороженных немагнитных примесей в чистую модель Поттса для случая q>qc(d), смягчает ФП первого рода вплоть до ее смены на ФП второго рода [83]. В работах [84, 85] строго было доказано, что для низкоразмерных систем d<2, описываемых моделью Поттса с q>qc{d) наличие сколь угодно малой величины вмороженного беспорядка достаточно, чтобы изменить ФП первого рода на ФП второго рода.

Что касается трехмерных слабо разбавленных систем, описываемых моделью Поттса с q=3, то до сих пор критическое поведение этой модели с соблюдением единого методического подхода исследовано не достаточно полно, особенно когда беспорядок реализован в виде немагнитных примесей каноническим способом. Поэтому изучение критического поведения этой модели при каноническом способе разбавления немагнитных примесей представляет самостоятельный интерес.

Теоретическое исследование данной модели чрезвычайно затруднено, в то время как различные подходы, основанные на методе Монте-Карло, являются весьма мощными средствами для получения численных данных о поведении такой неупорядоченной системы. Таким образом, исследование ФП и КЯ, исходя из трехмерных микроскопических гамильтонианов для спиновых систем с немагнитными примесями, является важной и актуальной проблемой современной статистической физики спиновых систем. Следует также отметить, что исследуемые модели описывают критическое поведение множества реальных физических систем. Это позволяет сравнивать результаты исследования методами МК не только с теоретическими предсказаниями, но и с данными лабораторных экспериментов.

3. Исследование термодинамических свойств трехмерной модели Изинга с вмороженными немагнитными примесями в широком диапазоне температур (включая критическую область), в зависимости от линейных размеров (L) изучаемых систем при концентрации спинов р = 1.0, 0.95, 0.90, 0.8, 0.7, 0.65, 0.6.

4. Исследование высокоэффективным одно-кластерным алгоритмом метода Монте-Карло статических критических свойств трехмерной модели Изинга на кубической решетке с вмороженным беспорядком в виде немагнитных примесей. Определение с помощью теории конечно-размерного скейлинга статических критических индексов а, Д у и v этой модели, а также закономерности их изменения от различных параметров, на основе единого методического подхода.

5. Исследование статических критических и термодинамических свойств трехмерной слабо разбавленной модели Поттса с q-3 при концентрации спинов р-0.9; 0.8, в которой вмороженный беспорядок содержится в виде немагнитных примесей. Определение с помощью теории конечно-размерного скейлинга статических критических индексов а, Д у и удля этой модели.

Практическая ценность работы.

Полученные в диссертации результаты по исследованию статических критических свойств трехмерных спиновых систем с вмороженными немагнитными примесями представляют интерес для дальнейших исследований в теории магнетизма, физики фазовых переходов и статистической теории твердых тел. Разработанный комплекс программ для ЭВМ формирует базу, на основе которой возможны высокоточные исследования статических критических явлений в сложных спиновых системах с немагнитными примесями.

Научную новизну и значимость диссертации определяют основные положения, которые автор выносит на защиту:

2. Расчет основных статических критических индексов теплоемкости а, намагниченности Д восприимчивости у, критического индекса радиуса корреляции v трехмерной модели Изинга с вмороженным беспорядком при концентрации спинов р= 1.0; 0.95; 0.90; 0.8; 0.7; 0.65; 0.6.

Определение закономерностей их изменения в зависимости от концентрации примесей и размеров.

4. Определение типа фазового перехода в трехмерной слабо разбавленной модели Поттса с числом состояния q=3.

5. Исследование в широком диапазоне температур одно-кластерным алгоритмом Вольфа метода Монте-Карло критических и термодинамических свойств трехмерной слабо разбавленной модели Поттса с состоянием q=3 при концентрации спиновр=0.9 и£>=0.8.

Апробация работы. Основные результаты диссертации докладывались на следующих конференциях, симпозиумах, семинарах: Международной конференции «Фазовые переходы и нелинейные явления в конденсированных средах» (Махачкала, 2002, 2004, 2005); Международная конференция по магнетизму ICM-2003 (Италия, Рим, 2003); Всероссийская школа-семинар молодых ученых «Физика фазовых переходов» (Махачкала, 2003); Международная конференция «Магнитные материалы» (Иркутск, 2003); Евро-Азиатский симпозиум «Тенденции в магнетизме» EASTMAG-2004 (Красноярск, 2004); Секция "Магнетизм" научного совета РАН по физике конденсированных сред в отделении физических наук РАН, на научных семинарах ИФ ДагНЦ РАН и кафедры магнетизма и физики фазовых переходов Дагестанского государственного университета; Международная школа-семинар «Новые магнитные материалы микроэлектроники» HMMM-XIX и НМММ-ХХ (Москва, 2004, 2006); Международный симпозиум «Фазовые превращения в твердых растворах и сплавах» ОМА-2004 (Сочи, 2004); Московский международный симпозиум по магнетизму «MISM-2005» (Москва, 2005); Международный симпозиум «Порядок, беспорядок и свойства оксидов» ODPO-2005 и ODPO-2006 (Сочи, 2005; Ростов-на-Дону-пос. JIoo, 2006); 34-е совещание по физике низких температур «НТ-34» (Ростов-на-Дону-пос. JIoo, 2006).

Публикации.

2. Муртазаев А.К., Камилов И.К., Бабаев А.Б. Влияние немагнитных примесей на критические свойства 3D модели Изинга. // Известия РАН. Серия физическая. -2005. - 7.69, №4. - С.580-581.

3. Murtazaev А.К., Kamilov I.K., Babaev А.В. Critical properties of a 3D Ising model with quenched disorder. // Phys. Met. Met. - 2005. - V.99, Suppl. 1. - P. S31 - S33.

4. A.K. Murtazaev, I.K. Kamilov, A.B. Babaev. Critical behavior of spin systems with quenched disorder. // Journal of Magnetism and Magnetic Materials. - 2006. -V.300, Issue 1.-P 538-541.

5. A.K. Муртазаев, И.К. Камилов, А.Б. Бабаев. Исследование трехмерной примесной модели Изинга методами вычислительной физики. // Вестник ДагНЦ. - 2005. - №22. - С. 11-15.

6. Муртазаев А.К., Бабаев А.Б. Исследование критических свойств трехмерной модели Изинга с замороженным беспорядком методами Монте-Карло // Сборник трудов международной конференции «Фазовые переходы, критические и нелинейные явления в конденсированных средах». -Махачкала, 2002. - С.70-72.

8. Муртазаев A.K., Бабаев А.Б. Влияние замороженных немагнитных примесей на фазовые переходы второго рода в трехмерной модели Изинга // Сборник трудов всероссийской школы-семинара молодых ученых «Физика фазовых переходов». - Махачкала, 2003. - С.141-145.

9. Муртазаев А.К., Камилов И.К., Бабаев А.Б. Компьютерное моделирование критического поведения неупорядоченной трехмерной модели Изинга. // Труцы международной конференции «Магнитные материалы». - Иркутск: 2003. - С.116-117.

10. Муртазаев А.К., Камилов И.К., Бабаев А.Б. Компьютерное моделирование статического критического поведения трехмерной модели Изинга с примесями на простой кубической решетке. // Сборник трудов XIX международной школы-семинара «Новые магнитные материалы микроэлектроники». - Москва, 2004. - С.763-765.

11. Муртазаев А.К., Камилов И.К., Бабаев А.Б. Влияние немагнитных примесей на критические свойства 3D модели Изинга. // Сборник трудов международного симпозиума «Фазовые превращения в твердых растворах и сплавах» ОМА-2004. - Сочи, 2004. - С.199-201.

12. Муртазаев А.К., Камилов И.К., Бабаев А.Б. Критические свойства спиновых систем с вмороженным беспорядком. // Сборник трудов международной конференции «Фазовые переходы, критические и нелинейные явления в конденсированных средах». - Махачкала, 2004. - С.7-9.

13.Муртазаев А.К., Бабаев А.Б., Шахмарданова Р.Н., Азнаурова Г. Критическое поведение 3D модели Изинга с вмороженным беспорядком. // Сборник трудов международной конференции «Фазовые переходы, критические и нелинейные явления в конденсированных средах». - Махачкала, 2004. - С.87 - 88.

14.Murtazaev А.К., Kamilov I.K., Babaev А.В. Critical properties of a 3D diluted quenched Ising model. //Abstracts book EASTMAG-2004. - Krasnoyarsk, 2004. -P.62.

16. А.К. Murtazaev, I.K. Kamilov, А.В. Babaev. Critical behavior of spin systems with quenched disorder. //MISM-2005: Book of Abstracts. -Moscov, 2005. - P. 552-553.

17.A.K. Муртазаев, А.Б. Бабаев. Исследование особенностей критических явлений в сильно неупорядоченных спиновых системах. // Сборник трудов международного симпозиума «Порядок, беспорядок и свойства оксидов» ODPO-2005. - Сочи, 2005. - С.12.

18. А.К. Муртазаев, И.К. Камилов, А.Б. Бабаев. Кроссоверные эффекты, конечно-размерный скейлинг и критические индексы сильно неупорядоченных спиновых систем. // Сборник трудов международной конференции «Фазовые переходы, критические и нелинейные явления в конденсированных средах». -Махачкала, 2005. - С. 11-13.

19. Муртазаев А.К., Бабаев А.Б. Исследование фазовых переходов в слаборазбавленной 3D модели Поттса. // Межвузовский сборник научных работ аспирантов. Выпуск 3, Махачкала, 2006. - С.83-84.

20. Муртазаев А.К., Камилов И.К., Бабаев А.Б. Исследование критических свойств трехмерной слабо разбавленной модели Поттса. // Сборник трудов XX международной школы-семинара «Новые магнитные материалы микроэлектроники». - Москва, 2006. - С.928-930.

21.А.К. Муртазаев, А.Б. Бабаев, Г. Азнаурова. Исследование критического поведения трехмерной разбавленной модели Поттса методом Монте-Карло // Сборник трудов международного симпозиума «Порядок, беспорядок и свойства оксидов» ODPO-9, Т.П. - Ростов-на-Дону - пос. Лоо, 2006. - С.39-40.

22. А.К. Муртазаев, А.Б.Бабаев. Исследование критических и термодинамических свойств в неупорядоченных магнетиках методами вычислительной физики // Сборник трудов 34 совещания по физике низких температур» НТ-34, T.I.- Ростов-на-Дону - пос. Лоо, 2006. - С.41.

Диссертация состоит из введения, трех глав, заключения, и списка цитированной литературы.

Заключение диссертации по теме "Физика конденсированного состояния"

ЗАКЛЮЧЕНИЕ

В настоящей работе проведено исследование методами численного эксперимента статических критических свойств неупорядоченных спиновых систем с вмороженными немагнитными примесями. Впервые высокоэффективный одно-кластерный алгоритм Вольфа применен для исследования спиновых систем, в которых вмороженные немагнитные примеси реализованы каноническим способом.

С использованием метода Монте-Карло исследованы статические критические свойства трехмерной модели Изинга с вмороженными немагнитными примесями. На основе теории конечно-размерного скейлинга рассчитаны все основные статические критические индексы (КИ) этой модели как для однородного случая р= 1.0, так и при концентрации спинов р=0.95; 0.9; 0.8; 0.7; 0.65; 0.6. Показаны закономерности их изменения в зависимости от концентрации немагнитных примесей с, с-\-р. Установлены закономерности изменения термодинамических параметров от концентрации немагнитных примесей и размеров изучаемых систем.

Проведены высокоточные исследования для трехмерной слабо разбавленной модели Поттса с состоянием q=3 при р=0.9; 0.8. Показано, что для рассмотренной концентрации спинов, в этой модели наблюдается фазовый переход второго рода.

В связи с проблемами теории фазовых переходов и критических явлений в неупорядоченных спиновых системах определение характера критического поведения, и классов универсальности для разбавленных моделей, в которых возможны кроссоверные явления, исследование этих систем представляет огромный интерес.

Так как высокоэффективным одно-кластерным алгоритмом Вольфа впервые на основе единого методического подхода проведены исследования критических свойств спиновых моделей с вмороженными немагнитными примесями, то установленные при этом закономерности, а также подходы и методы, использованные при их исследовании и анализе данных, представляют также значительный методологический интерес.

Сложность рассматриваемых неупорядоченных моделей не дает возможности провести сколько-нибудь строгие аналитические расчеты и делает целесообразным применением методов вычислительной физики. Следует также отметить, что и для методов вычислительной физики упомянутые задачи являются достаточно сложными, и их решение потребовало большой предварительной методической работы и проведения значительного объема вычислений на ЭВМ.

Основные оригинальные результаты диссертационной работы могут быть сформулированы следующим образом:

2. Впервые в широком интервале температур и концентрации спинов /?=1.0; 0.95; 0.90; 0.8; 0.7; 0.65; 0.6 выполнены высокоточные исследования критических и термодинамических свойств трехмерной модели Изинга с вмороженными немагнитными примесями распределенными каноническим способом.

3. С использованием теории конечно-размерного скейлинга рассчитаны критические индексы теплоемкости а, намагниченности Д, восприимчивости у и КИ радиуса корреляции v трехмерной модели Изинга разбавленной немагнитными примесями каноническим способом.

5. Высокоточным методом кумулянтов Биндера определены критические температуры для трехмерных неупорядоченных изинговских систем при £>=0.95; 0.9; 0.8; 0.7; 0.65; 0.6, и для трехмерной слабо разбавленной модели Поттса с состоянием q=3 при р= 0.9; 0.8.

7. Впервые в широком интервале температур и при концентрации спинов р=0.9 и £>=0.8 исследованы статические критические и термодинамические свойства трехмерной слабо разбавленной модели Поттса с вмороженными немагнитными примесями, распределенные каноническим способом.

8. Показано, что при концентрации спинов £>=0.9; 0.8 в трехмерной слабо разбавленной модели Поттса с состоянием q-3 наблюдается фазовый переход второго рода.

9. Исследования показали, что значения КИ для трехмерной слабо разбавленной модели Поттса с состоянием q=3 при концентрации /7=0.9 и 0.8 в пределах погрешности численного эксперимента достаточно хорошо согласуются друг с другом и подтверждают универсальность критического поведения трехмерных слабо неупорядоченных систем.

В заключении хотелось бы выразить глубокую благодарность своему научному руководителю д. ф.-м. н., профессору Муртазаеву Акаю Курбановичу и научному консультанту член-корреспонденту РАН, д. ф.-м. н., профессору Камилову Ибрагимхану Камиловичу за предложенную тему исследования, постоянное внимание и благожелательный интерес к работе, полезные обсуждения полученных результатов и большую помощь, оказанную при выполнении настоящей работы.

Автор также глубоко признателен всем сотрудникам лаборатории «Вычислительной физики и физики фазовых переходов», принимавшим активное участие в обсуждении результатов работы.

Список источников диссертации и автореферата по физике, кандидата физико-математических наук, Бабаев, Альберт Бабаевич, Махачкала

1. Паташинский А.З., Покровский В.А. Флуктуационная теория фазовых переходов. - М.: Наука, 1982. - 380 с.

2. Вильсон К., Когут Д. Ренормализационная группа и ^-разложение / Пер. с англ. В.А. Загребного; Под ред. В.К. Федянина. М.: Мир, 1975.-256 с.

3. Паташинский А.З., Покровский В.А. Метод ренормализационной группы в теории фазовых переходов // УФН. 1977. - Т.121, вып.1.- С.55-96.

4. Ma Ш. Современная теория критических явлений / Пер. с англ.

5. A.Н. Ермилова, A.M. Курбатова; Под ред. Н.Н. Боголюбова (мл.),

6. B.К. Федянина. М.: Мир, 1980. - 298 с.

7. Kadanoff L.P. Scaling laws for Ising models near Tc // Physica. 1966.1. V:2. — P. 263-268.

8. Стенли Г. Фазовые переходы и критические явления / Пер. с англ. А.И. Мицека , Т.С. Шубиной; Под ред. С.В. Вонсовского. М.: Мир, 1973.-419 с.

9. Фишер М. Физика критического состояния / Пер.с англ. М.Ш. Гитермана. -М.: Мир, 1968.-221 с.

10. Бэкстер Р. Точно решаемые модели в статистической механике / Пер. с англ. Е.П. Вольского, Л.И. Дайхина; Под ред. A.M. Бродского. М.: Мир, 1985. - 486 с.

11. Парсонидж Н., Стейвли JI. Беспорядок в кристаллах / Пер. с англ. Ю.Н. Панченко, А.Ю. Пентина; Под ред. Т.Н. Жижина. М.: Мир, 1982.-434 с.

12. Ising Е. Beitrad zur theorie des ferromagnetismus // Z. Physik. 1925. -Bd.31, N. 3. - S.253-258.

13. Onsager L. Crystal statistics. 1: A two- dimensional model with an order-disorder transitions // Phys. Rev. 1944. - V.65. - P.l 17-149.

14. Berlin Т.Н., Kac M. The spherical model of a ferromagnet // Phys. Rev. 1952.-V.86, N. 6. -P.821-835.

15. Изюмов Ю.А., Скрябин Ю. H. Статистическая механика магнитоупорядочных систем. М.: Наука, 1987. - 264 с.

16. Доценко Вик.С. Критические явления в спиновых системах с беспорядком // УФН. 1995г. - Т.165, вып.5. - С.481-528.

17. Wolff U. Collective Monte Carlo Updating for spin systems // Phys. Lett. -1989. -V.62, N. 4. -P.361-364.

18. Barkema GT., Newman M.EJ. New Monte Carlo algorithm for classical spin systems//preprint cond-mat/9703179.

19. Loison D. Monte Carlo cluster algorithm for ferromagnetic Hamiltonians H^J^iSiSjf II Phys. Lett. A-1999. V.257. - P.83-87.

20. Муртазаев A.K., Камилов И.К., Магомедов M.A. Кластерные алгоритмы метода Монте-Карло, конечно-размерный скейлинг и критические индексы сложных решеточных моделей // ЖЭТФ. 2001. - Т. 120, вып.6. - С. 15351543.

21. Ferrenberg А.М., Swendsen R.H. Optimized Monte Carlo data analysis // Phys. Rev. Lett. 1989, - V.63, N. 12. - P.l 195-1198.

22. Ferdinand A.E., Fisher M.E. Bounded and inhomogeneous Ising models. I. Specific-heat anomaly of a finite lattice // Phys. Rev. -1969. V. 185, N. 2 - P.832-846.

23. Fisher M.E., Barber M.N. Scaling theory for finite-size effects in the critical region //Phys. Rev. Lett. -1972. -V. 28, N. 23. -P.1516-1519.

24. Barber M.N. Finite-size scaling. In: Phase transitions and critical phenomena, V.8, p. 1 (Academic press, New York, 1983).

25. Privman N. (Editor): Finite-size scaling and numerical simulation (Word scientific, Singapure, 1990).

26. Harris B.A. Effect of random defects on the critical behaviour of Ising models // J. Phys. C: Solide StatePhys.-1974.-'V,7,N.9.~P. 1671-1692.

27. Прудников B.B., Белим C.B., Иванов A.B., Осинцев Е.В., Федоренко А.А. Критическая динамика слабонеупорядоченных спиновых систем // ЖЭТФ. -1998.-Т. 114, вып.З. С.972-984.

28. Прудников В.В., Прудников П.В., Федоренко А.А. Мультикритическое поведение слабо неупорядоченных систем с двумя параметрами порядка // ЖЭТФ.-1999.-Т. 116, ВЫП.2.-С.611-619.

29. Folk R., Holovatch Yu., Yavors'kii Т. Effective and asymptotic critical exponents of a weakly diluted quenched Ising model: Three dimensional approach versus 4s expansion // Phys. Rev. B. 2000. - V.61, N.22. -P. 15114-15129.

30. Фольк P., Головач Ю., Яворский Т. Критические показатели трехмерной слабо разбавленной замороженной модели Изинга // УФН. 2003. - Т.173, вып.2. - С.175-200.

31. Bray AJ. Summability of perturbation expansions in disordered systems: Results for atoy model //Phys. Rev. B. -1987. V.36, N.4. -P.2212-2219.

32. Прудников B.B., Вакилов A.H. Компьютерное моделирование критической динамики разбавленных магнетиков // ЖЭТФ. 1993. - Т. 103, вып.З. -С.962-969.

33. Прудников В.В., Бородихин В.Н. Исследование неупорядоченной антиферромагнитной модели Изинга со случайными магнитными полями методом Монте-Карло // ЖЭТФ. 2005. - Т. 128, вып.2 (8). - С.337-343.

34. Heuer Н.-О. Monte Carlo simulation of strongly disordered Ising ferromagnets // Phys. Rev. B. -1990. V.42, N.10. - P.6476-6484.

35. Heuer H.-O. Critical crossover phenomena in disordered Ising systems // J. Phys. A. -1993. V.26, L333-L339.

36. Wiseman S., Domany E. Self-averaging, distribution of pseudocritical temperatures, and finite size scaling in critical disordered systems // Phys. Rev. E. -1998. V.58, N.3.-P.293 8-2951.

37. Ballesteros H.G, Fernandez L.A., Martin-Mayor V., Munoz Sudupe A. Critical exponents of the three-dimensional diluted Ising model // Phys. Rev. B. 1998. -V.58, N.5. - P.2740-2747.

38. Васильев O.B., Шур JIH. Универсальность отношения критических амплитуд восприимчивости двумерной модели Изинга с немагнитными примесями // ЖЭТФ. 2000. - Т. 117, вып.6. - С. 1110-1121.

39. Муртазаев А.К., Камилов И.К., Бабаев А.Б. Критическое поведение трехмерной модели Изинга с вмороженным беспорядком на кубической решетке // ЖЭТФ. 2004. - Т. 126, вып.6 (12).-С.1377-1383.

40. Камилов И.К., Муртазаев А.К., Алиев Х.А. Исследование фазовых переходов и критических явлений методами Монте-Карло // УФН. 1999. - Т.169, вп.7. - С.773-795.

41. Wiseman S., Domany Е. Lack of self-averaging in critical disordered systems // Phys. Rev. E. 1995. - V.52, N.4. - P. 3469-3484.

42. Муртазаев A.K. Исследование критических явлений в моделях реальных магнетиков методами вычислительной физики: Диссертация докт. физ.-мат. наук СПбГУ СПб., 1999. - 280с.

43. Hutchings М.Т., Schulhof М. P., Guggenheim Н. J. Critical Magnetic Neutron Scattering from Ferrous Fluoride // Phys. Rev. B. -1972. V.5, N. 1. - P. 154-168.

44. Hutchings M.T., Rainford B.D., Guggenheim HJ. Spin waves in antiferromagnetic FeF2 //J. Phys. C: Sol. St. Phys. -1970. V.3, N.2.-P. 307-322.

45. Heller P. Nuclear-Magnetic-Resonance Studies of Critical Phenomena in MnF2.1. Time-Average Properties // Phys. Rev. -1966. V.5, N.2. - P. 403^22.

46. Cowley R.A., Carneiro K. Critical properties of pure and random antiferromagnets: CoF2, Co/ZnF2 and KMn/NiF3 // J. Phys. C: Sol. St. Phys. -1980. V13, N.17. -P. 3281-3291.

47. Belanger D.P. et.al. // Jour. Magn. Magn. Mater. -1980. V. 15-18. - P. 807.

48. Dunlap R.A., Gottlieb A.M. Critical behavior of the site random Ising antiferromagnet MnUxZnx¥2 II Phys. Rev. B. 1981. - V.23, N.l 1. - P. 6106-6110.

49. Birgeneau R.J., Cowley R.A., Shirane G., Yoshizawa H., Belanger D.P., King A.R., Jaccarino V. Critical behavior of a site-diluted three-dimensional Ising magnet // Phys. Rev. B. 1983. - V.27, N.ll. - P. 6747-6753.

50. Gehring G.A. On the observation of critical indices of primary and secondary order parameters using birefringence // J. Phys. C: Sol. St. Phys. 1977. - V.10, N.4. - P. 531-542.

51. Belanger D.P., King A.R., Jaccarino V. Crossover from random-exchange to random-field critical behavior in Fe^Zni JF2 // Phys. Rev. B. 1986. - V.34, N.l. - P. 452 - 455.

52. Hastings J.M., Corliss L.M., Kunnmann W. Critical properties of pure and randomly dilute dysprosium aluminum garnet // Phys. Rev. B. -1985. V.31, N.5. - P. 2902 - 2907.

53. Mitchell W. Cowley R.A., Yoshizawa H., Boni P., Uemura Y.J., Birgeneau R.J. Critical behavior of the three-dimensional site-random Ising magnet: MnxZni.xF2 // Phys. Rev. B. 1986. - V.34, N.7. - P. 4719-4725.

54. Fishman S., Aharony A. Random field effects in disordered anisotropic antiferromagnets // J. Phys. C: Sol. St. Phys. 1979. - V.12, N.18. -P.L729-L733.

55. Cardy J.L. Random-field effects in site-disordered Ising antiferromagnets // Phys. Rev. В. 1984.-V.29,N.1.-P. 505-507.

56. Belanger D.P., Wang J., Slanic Z., Han S-J.5 Nicklow R.M., Lui M., Ramos C.A., Lederman D. Magnetic order in the random-field Isingfilm Feo.52Zno.48F2 // Phys. Rev. B. 1996. - V.54, N.5. - P. 3420 -3427.

57. Belanger D.P., Wang J., Slanic Z., Han S.-J., Nicklow R.M., Lui M., Ramos C.A., Lederman D. Neutron scattering study of the random field Ising film Feo.5Zno.5F2 // Jour. Magn. Magn. Mater. 1995. - N. 140-144. -P. 1549- 1550.

58. Barrett P.H. Static and dynamic critical phenomena in FeixZnxF2 // Phys. Rev. B. 1986. - V.34, N.5. - P. 3513 - 3515.

59. Wertheim G. K., Buchanan D.N.E. Temperature Dependence of the Fe57 hfs in FeF2 below the Neel Temperature // Phys. Rev. 1967. - V. 161, N.2. - P.478-482.

60. Rosov N., Kleinhammes A., Lidbjork P., Hohenemser C., Eibschutz M. Single-crystal Mossbauer measurement of the critical exponent beta in the random-exchange Ising system Feo.9Zno.1F2 // Phys. Rev. B. 1988. -V.37, N.7.-P. 3265-3274.

61. Ramos C.A., King A.R., Jaccarino V. Determination of the crossover exponent in the random-field system MnxZnixF2 // Phys. Rev. B. -1988. V.37, N.10. - P. 5483 - 5492.

62. Ferreira В., King A. R., Jaccarino V. Concentration dependence of the random-field-crossover scaling in Fe^Zni^F2 // Phys. Rev. B. 1991. -V.43,N.13.-P. 10797- 10802.

63. Belanger D.P., Slanic Z. The random field specific heat critical behavior at high magnetic concentration: Fe0.93Zn0.07F2 // Jour. Magn. Magn. Mater. 1995. - V.186, N.l-2. - P. 65-73.

64. Goldman A.I., Mohanty K., Shirane G, Horn P.M., Greene R.L., Peters C.J., Thurston T.R., Birgeneau R.J. Magnetic x-ray scattering measurements on MnF2 // Phys. Rev. B. -1987. V.36, N.10.-P. 5609-5612.

65. Thurston T.R., Peters C.J., Birgeneau R.J., Horn P.M. Synchrotron magnetic x-ray measurements of the order parameter in Mno.5Zno.5F2 // Phys. Rev. B. 1988. -V.37,N.16.- P. 9559-9563.

66. Fernandez-Baca J.A., Belanger D.P., Slanic Z. Random-field critical scattering at high magnetic concentration in the Ising antiferromagnet Fe0.93Zn0.07F2 // Jour. Magn. Magn. Mater. 1998. -N. 177-181. - P. 171 - 172.

67. Slanic Z., Belanger D.P., Fernandez-Baca J.A. Equilibrium Random-Field Ising Critical Scattering in the Antiferromagnet Fe0.93Zn0.07F2 // Phys. Rev. Lett. 1999. - V.82, N.2. - P. 426 - 429.

68. Pelissetto A., Vicari E. Critical phenomena and renormalization-group theory // Phys.Rep. 2002. - V.368. - P. 549-727.

69. Newman K.E., Eberhard K.R. Cubic TV-vector model and randomly dilute Ising model in general dimensions //Phys. Rev. B. -1982. V.25, N.l.-P. 264-280.

70. Grinstein G, Luther A. Application of the renormalization group to phase transitions in disordered systems // Phys. Rev. B. 1976. - V.13, N.3. - P. 13291343.

71. Соколов А.И., Шалаев Б.Н. О критическом поведении модели Изинга с примесями // ФТТ. -1981.-23, вып. 7. С.2058-2063.

72. Jug G Critical behavior of disordered spin systems in two and three dimensions // Phys. Rev. В. -1983.-V.27, N.l.-P. 609-612.

73. Майер И.О., Соколов А.И. Критические индексы примесной модели Изинга // ФТТ. -1984. Т.26, вып. 11 - С. 3454-3455.

74. Varnashev К. В. Stability of a cubic fixed point in three dimensions: Critical exponents for generic Nil Phys. Rev. B. -2000. Y.61, N.21. -P. 14660-14674.

75. Pakhnin D.V., Sokolov A.I. Critical exponents for three-dimensional impure Ising model in the five-loop approximation // Pis'ma v ZhETF. -2000. V.71, N. 10. - P. 600-605.

76. Janssen H.K., Oerding К., Sengespeick E. On the crossover to universal criticality in dilute Ising systems // J. Phys. A:Math. Gen. -1995. V.28, N.21. P. 6073-6085.

77. Pelissetto A., Vicari E. Randomly dilute spin models: A six-loop field-theoretic study // Phys. Rev. B. -1987. V.62, N. 10. - P. 6393-6409.

78. Folk R., Holovatch Yu., Yavors'kii T. The correction-to-scaling exponent in dilute systems //Pis'ma v ZhETF. -1999. V.69, N.10.-P. 698-703.

79. Brout R. Statistical Mechanical Theory of a Random Ferromagnetic System // Phys. Rev. 1959.-V.115, N.4.-P. 824-835.

80. Guida R, Zinn-Justin J Critical exponents of the TV-vector model // J. Phys. A. -1998. -V. 31, N.40. P. 8103-8121.

81. Муртазаев A.K., Камилов И.К., Бабаев А.Б. Влияние немагнитных примесей на критические свойства 3D модели Изинга // Известия РАН. Серия физическая. -2005. T.69,N.4. - С.580-581.

82. Murtazaev А.К., Kamilov I.K., Babaev А.В. Critical properties of a 3D Ising model with quenched disorder // Phys. Met. Met. 2005. - V.99, Suppl. 1, -P.S31-S33.

83. Loulidi M. Some analytical results on the bond diluted g-state Potts model // Physica A. 2000. - V.287. - P. 177-184.

84. Guttmann A. J., Enting I.G Series studies of the Potts model: Ш. The 3-state model on the simple cubic lattice // J. Phys. A.: Math. Gen. 1994. - V.27. -P. 5801-5812.

85. Chatelain C., Berche В., Janke W., Berche P.-E. Monte Carlo Study of Phase Transitions in the Bond-Diluted 3D 4-State Potts Model // Nuclear Physics В 2005. - V.719/3. - P. 275 - 320.

86. Aizenman M., Wehr J Rounding of first-order phase transitions in systems with quenched disorder//Phys. Rev. Lett. 1989. - V.62, N.21. - P. 2503-2506.

87. Hui K., Berker A.N. Random-field mechanism in random-bond multicritical systems//Phys. Rev. Lett. 1989. - V.62, N.21. - P. 2507-2510.

88. Биндер К. Методы Монте-Карло в статистической физике / Пер. с англ. В.Н. Новикова, К.К. Сабельфельда; Под. ред. Г.И. Марчука, Г. А. Михайлова. М.: Мир, 1982.-400 с.

89. Metropolis N., Rosenbluth W., Rosenbluth N. et al. Equation of state calculations by fast computing machines // Jour. Chem. Phys. 1953. - V.21, N. 6. - P. 1087 -1092.

90. Wood W.W., Parker F.R. Monte-Carlo equation of state of molecules interactions with the Lenard-Jones potential. I: A supercritical isoterm at about twice the critical temperature // Jour. Chem. Phys. -1957. V.27, N.3. - P. 720-733.

91. Вуд B.B. Исследование моделей простых жидкостей методом Монте-Карло // Физика простых жидкостей / Под ред. Х.М. Темперли, Д.С. Роулинсон, Т.С. Рашбрука.-М.: Мир, 1978.

92. Fosdik L.D. Studies of Monte Carlo method applied to the Ising lattice problem // Bull. Amer. Phys. Soc. -1957. V. 2, N. 4. - P. 239.

93. Landau D.P. Finite-size behavior of the Ising square lattice // Phys. Rev. B. -1976. -V. 13,N7.-P. 2997-3011.

94. Landau D.P. Finite-size behavior of the simple-cubic Ising lattice // Phys. Rev. B. -1976.-V. 14,N 1.-P. 255-262.

95. Binder K. Thermodynamics of finite spin systems // Phys. Stat. Sol. B. 1971. -V.46, N 2. - P. 567 - 577.

96. Landau D.P. Critical behavior of bbc Ising antiferromagnet in a magnetic field // Phys. Rev. B. -1977. -V. 16, N 9. -P. 4164 4170.

97. Hua L., Tucker J.W. Monte Carlo study of the anisotropic cubic spin-one Ising ferromagnet // Jour. Magn. and Magn. Mater. -1995. V.140-144, N 3. - P.1509 -1510.

98. Nagai O., Yamada Y., Nishino K., Miyatake Y. Monte Carlo studies of Ising ferromagnets and the Villain model in transverse fields // Phys. Rev. В. -1987. V. 35, N7.-P. 3425-3430.

99. Bidaux R., Boccara N. Order of phase transition in a three-dimensional Ising model with three-spin interactions // Phys. Rev. B. -1986. V. 34, N 7. - P. 4881 -4884.

100. Danino M. Ising lattices with four-spin interactions // Sol. Stat. Comm. 1984. -V.52,N 10.-P. 885-888.

101. Kerler W., Rehberg P. Cluster mechanisms in the fully frustrated Ising model // Phys. Rev. B. -1994. -V. 49, N 14. -P. 9688 9696.

102. Binder K., Landau D.P. Phase diagrams and critical behavior in Ising square lattices with nearest- and next-nearest-neighbor interactions // Phys. Rev. B. -1980. -V. 21, N 5. P. 1941 - 1962.

103. Ledue D., Landau D.P, Teillet J. Static critical behavior of the ferromagnetic Ising model on the quasiperiodic octagonal filing //Phys. Rev. B. 1995. -V. 51, N 18. -P. 12523-12530.

104. Buendia GM., Cardona R. Monte Carlo study of a mixed spin-3/2 and spin-1/2 Ising ferrimagnetic model // Phys. Rev. B. -1999. V. 59, N.10. - P. 6784 - 6789.

105. Binder K., Luijten E. Monte Carlo tests of renormalization-group predictions for critical phenomena in Ising models // Phys. Reports. 2001. - V. 344, - P. 179-253.

106. Муртазаев A.K. Исследование кооперативных явлений в решеточных моделях магнетиков и сегнетотоэлекгриков методами численного эксперимента: Диссертация канд. физ.-мат. наук ЛГУ им. А.А. Жданова. Л., 1987.-180с.

107. Binder К., Rouch Н., Wildpaner V. Monte Carlo calculation of the magnetization superparamagnetic particles // Phys. Chem. Sol. -1970. Y.31. - P. 391 - 397.

108. Фаворский И.А., Воронцов-Вельяминов П.Н., Камара Сейдуба, Рогциненко О.М., Громова Н.Б. Моделирование магнитных кластеров методом Монте-Карло. Киев: Препринт ИТФ АН УССР, ИГФ-85-93Р, 1985. - С. 23.

109. Peczak P., Ferrenberg А.М., Landau D.P. High-accuracy Monte Carlo study of the three-dimensional classical Heisenberg ferromagnet // Phys. Rev. B. 1991. -V.43, N. 7.-P.6087-6093.

110. Nijmeijer M.J.P., Weis JJ. Monte Carlo simulation of the ferromagnetic order-disorder transition in a Heisenberg fluid // Phys. Rev. E. 1996. - V.53, N. 1. -P. 591-600.

111. Potts R.B. Some generalized order-disorder transformations // Proc. Camb. Phil. Soc. 1952. - V.48, N.l. - P. 106 - 109.

112. Berker A.N., Ostlund S., Putnam F.A. Renormalisation-group treatment of a Potts lattice gas for krypton adsorbed into graphite // Phys. Rev. -1978. V.17, N. 9. - P. 3650 - 3655.

113. Sluckin T.J. A Potts model for the herringbone transition // Phys. A. -1988. V.21,N.6. - P. 1415 - 1424.

114. Mukamel D., Fisher M.E., Domany E. Magnetisation of cubic ferromagnets and the three-component Potts model // Phys. Rev. Lett. 1976. - V.37, N.10. - P. 565 - 568.

115. Barbara В., Rossignol M.F., Bak P. First-order transition and tricritical points in DyAl2; a realisation of the three-state Potts model // J. Phys. C. 1978. - V.ll, N.5. - P. L183 - L187.

116. Wu F.Y. The Potts model // Rev. Mod. Phys. 1982. - V.54, N.l. -P. 235 - 268.

117. Aharony A., Muller K.A., Berlinger W. Trigonal to tetragonal transition in stressed SrTi03-realisation of 3-state Potts model // Phys. Rev. Lett. -1977.-V.38, N.l.-P. 33-36.

118. Shchur L., Butera P., Berche B. Susceptibility amplitude ratio in the two-dimensional three-state Potts model // Nucl. Phys. B. 2002. -V.620. - P. 579-587.

119. Caselle M., Tateo R., Vinti S. Universal amplitude ratios in the 2D four-state Potts model // Nucl. Phys. B. 2002. - V.620. - P. 579587.

120. Wolfhard Janke, Ramon Villanova. Three-dimensional 3-state Potts model revisited with new techniques // Nuclear Physics В -1997. V.489. - P. 679 - 696.

121. Landau D.P. Computer simulation studies of critical phenomena // Physica A. -1994.-V. 205,-P. 41-65.

122. Brown F.R., Woch TJ. Overrelaxed heat-bath and Metropolis algorithms for accelerating pure gauge Monte Carlo calculations //Phys. Rev. Lett. -1987. V.58, N. 23.-P. 2394-2396.

123. Swendsen R.H., Wang J.-S. Replica Monte Carlo simulation of spin-glasses // Phys. Rev. Lett. 1986. - V.57, N. 21. - P. 2607-2609.

124. Hokushima K., Nemoto K. Exchange Monte Carlo method and application to spin glass simulations //Jour. Phys. Soc. Jap. 1996. - V.65, N. 6. - P.1604-1608.

125. Wang J-S., Swendsen R. H. Monte Carlo and high-temperature-expansion calculations of a spin-glass effective hamiltonial //Phys. Rev. B. -1988. V.38, N. 13.-P. 9086-9092.

126. Wang J-S., Swendsen R. H. Low-temperature properties of th±J Ising spin glass in two dimensions //Phys. Rev. B. -1988. V.38, N. 7. -P.4840-4844.

127. Campos PR.A., Onody R.N. Single-cluster algorithm for the site-bond-correlated Ising model //Phys. Rev. В. 1999-П-V.56, N. 22. -P. 14529-14531.

128. Замалин B.M., Норман Г.Э., Филинов B.C. Метод Монте-Карло в статистической термодинамике. М.: Наука, 1977. - 228 с.

129. Domb С. Term structure of series expansions for the Ising and classical vector models and dilute magnetism // J. Phys. C: Solide State Phys. 1972. - V.5, N. 12. -P.1399-1416.

130. Хмельницкий Д.Е. Фазовый переход второго рода в неоднородных телах // ЖЭТФ. -1975. Т. 68, вып. 5. - С.1960-1968.

131. Займан Дж. Модели беспорядка / Пер. с англ. B.JI. Бонч-Бруевича. М.: Мир, 1982.-С.540.

132. Fisher М.Е. Renormalization of Critical Exponents by Hidden Variables // Phys. Rev. -1968. V. 176, N. 1. - P.257-272.

133. Holcomb D.F., Rehr J.J. Percolation in Heavily Doped Semiconductors // Phys. Rev. -1969. V.183, N.3. -P.773-776.

134. Chayes J.T., Chayes L., Fisher D.S., Spencer T. Finite-Size Scaling and Correlation Lengths for Disordered Systems //Phys. Rev. Lett. 1986. - V.57, N.24. - P. 2999-3002.

135. Wang J.-S., Selke W., Dotsenco V.S., Andreichenko V.B. The critical behaviour of the two-dimensional dilute Ising model//Phys. A. 1990. - V. 164. - P. 221 -239.

136. Heuer H.-0. Crossover phenomena in disordered two-dimensional Ising systems: AMonte Carlo study//Phys. Rev. B. -1992. -V45, N.10.-P. 5691-5694.

137. Ballesteros H.G, Fernandez L.A., Martin-Mayor V., Munoz Sudupe A., Parisi G, Ruiz-Lorenzo J.J. Ising exponents in the two-dimensional site-diluted Ising model // J. Phys. A. -1997. V.30, P. 8379-8383.

138. Kim J.-K., Patrascioiu A. Critical behavior of the two-dimensional site-diluted Ising system // Phys. Rev. B. -1994. V.49, N.22. - P. 15764-15770.

139. S. Bastea, P.M. Duxbury. Ground state structure of random magnets // Phys. Rev. B. -1998. V.58, N.4.-P. 4261-4265.

140. Imry Y., Ma S. Random-Field Instability of the Ordered State of Continuous Symmetry // Phys. Rev. Lett. -1975. V.35, N.21. - P. 1399-1401.

141. Parisi G, Sourlas N. Random Magnetic Fields, Supersymmetry, and Negative Dimensions // Phys. Rev. Lett. -1979. V.43, N. 11. - P. 744-745.

142. Imbrie J.Z. Lower Critical Dimension of the Random-Field Ising Model // Phys. Rev. Lett. -1984.-V.53,N.18.-P. 1747-1750.r

143. Marques M .I., Gonzalo J. A., Iniguez J. Universality class of thermally diluted Ising systems at criticality // Phys. Rev. E. 2000. - V.62, N. 1. - P. 191-196.

144. Aharony A., Harris B. Absence of Self-Averaging and Universal Fluctuations in Random Systems near Critical Points // Phys. Rev. Lett. 1996. - V.77, N. 18. - P. 3700-3703.

145. Aharony A., Harris A.B. Wiseman S. Critical Disordered Systems with Constraints and the Inequality v > HdII Phys. Rev. Lett. -1998. V.81, N.2. - P. 252-255.

146. Marques M.I., Gonzalo J.A. Evolution of the universality class slightly diluted (0.8 <p< 1.0) Ising systems // Physica A. 2000. V.284, N. 1 - 4. - P. 187-194.

147. Aizenman M., Chayes T.T., Chayes L., Newman C.M. The phase boundary in dilute and random Ising and Potts ferromagnets // Physica A. -2000. V.287. - P. 177-184.

148. Marques M.C., Santos M.A. Mean-field renormalization group for the Potts model in a transverse field // J. Phys. C. 1986. - V.19, N.22. - P. L213-L221.

149. Fischer K.H. Spin glasses // Phys. Stat. Sol. B. 1983. V. 116, N.2. P. 357-414.

150. Fisher K.H. Spin glasses // Physica B&C. 1977. - V.86-88, Pt. 2. - P. 813-819.

151. Ермилов A.H. Аналитический метод исследования стохастической модели Поттса // Физика элементарных частиц и атомного ядра. 1989. - Т.20, вып.6. - С. 1479-1544.

152. Edwards S.F., Anderson P.W. Theory of spin glasses // J. Phys. F. 1975. -V.5, N.5. P. 965-964.

153. Sherrington D., Kirkpatrick S. Solvable model of a spin glass // Phys. Rev. Lett. 1975. - V.35, N.26. - P. 1792-1796.

154. Toulouse G. Theory of the frustration effect in spin glasses // Commun. Phys. 1977. - V.2, N.4. P. 115-119.

155. Miyazima S. A random Potts model with different number of Potts spin states //Progr. Theor. Phys. 1984. - V.71, N.6. - P. 1123-1128.

156. BallesterosH.G,FernandezL.A.,MunozSudupeA.,ParisiG,Ruiz-Lorenzo JJ. Critical behavior in the site-diluted three-dimensional three-state Potts model // Phys. Rev. B. -2000. V.61, N.5. - P. 3215-3218.