Определение классов универсальности спиновых систем с фрустрациями методами вычислительной физики тема автореферата и диссертации по физике, 01.04.07 ВАК РФ

На правах рукописи

РАМАЗАНОВ МАГОМЕДШЕЙХ КУРБАНОВИЧ

ОПРЕДЕЛЕНИЕ КЛАССОВ УНИВЕРСАЛЬНОСТИ СПИНОВЫХ СИСТЕМ С ФРУСТРАЦИЯМИ МЕТОДАМИ ВЫЧИСЛИТЕЛЬНОЙ ФИЗИКИ

01.04.07— физика конденсированного состояния

АВТОРЕФЕРАТ

диссертация на соискание ученой степени кандидата физико-математических наук

МАХАЧКАЛА, 2006

Работа выполнена в Институте физики Дагестанского научного центра РАН

Научный руководитель:

доктор физико-математических наук, профессор Муртазаев Акай Курбанович

Научный консультант;

член-корреспондент РАН, доктор физико-математических наук, профессор Камилов Ибрагим хан Камнлович

Официальные оппоненты:

доктор физико-математических наук, Бычков Игорь Валерьевич

кандидат физико-математических наук, Агаларов Агалар

Магомед »акиевич

Ведущая организация:

Башкирский университет

государствен н ы и

,00

Зашита состоится «16 »ноября 2006 г. в 17" на заседании диссертационного совета Д002.095.01 при Институте физики ДагНЦ РАН по адресу: 367003, Махачкала, пр. Шамиля, 39 а

Отзывы на автореферат просьба направлять по адресу: 36700.3, Махачкала, ул. М. Ярагского, 94,

Институт фюики ДагНЦ РАН, секретарю диссертационного совета.

С диссертацией можно ознакомиться в библиотеке Института физики ДагНЦ РАН

Автореферат разослан « 13» октября 2006 г.

Ученый секретарь диссертационного совета, - п й.

доктор физико-математических наук Батдалов А.Б.

ОБЩАЯ ХАРАКТЕРИСТИКА РАБОТЫ

Актуальность темы. В последние годы достигнут значительный прогресс в понимании проблемы фазовых переходов (ФП) и критических явлений (КЯ). Тем не менее, количественное описание ФП и КЯ в различных решеточных спиновых системах до сих пор остается одной из центральных задач современной теории конденсированного состояния. Современная теория ФП и КЯ в основном базируется на идеях, заложенных в гипотезе сксйлинга, универсальности и теории ренормализационной группы [1-2]. На их основе были получены большинство важнейших результатов современной теории ФП и КЯ. Установлены основные закономерности, наблюдающиеся в критической области, получены соотношения между критическими индексами (КИ) и критическими амплитудами (КА), построены уравнения состояния, рассчитаны значения КИ и КА. Идеи лежащие в основе всех этих предположений значительно обогатили наше понимание природы критических явлений. Тем не менее, строгой и последовательной микроскопической теории фазовых переходов второго рода и критических явлений на сегодняшний день не существует.

Особый интерес представляют исследования спиновых стекол и фрустрированных спиновых систем. Фрустрированные системы (ФС) во многом проявляют свойства, отличные от соответствующих нефрустрированных систем. Это отличие отражается в богатом разнообразии фаз и фазовых переходов, что обусловлено сильным вырождением и высокой чувствительностью ФС к различного рода возмущающим взаимодействиям. Кроме того, вопрос о существовании нового кирального класса универсальности критического поведения на многих решетках при изучении ФС до сих пор является дискуссионным. Многие важные физические свойства ФС сильно зависят от геометрии решетки (от степени фрустрации). Такая зависимость может привести к сужению классов универсальности критического поведения, и этот вопрос все еще недостаточно изучен [3-7].

Строгое исследование трехмерных микроскопических гамильтонианов сложных систем методами современной теоретической физики - задача чрезвычайно сложная. Это привело к тому, что ФП и КЯ интенсивно исследуются методами вычислительной физики (ВФ) - методами . МК и молекулярной динамики (МД) [7-10], которые позволяют успешно исследовать критические свойства систем со сложными реалистичными гамильтонианами в широком диапазоне температур и других внешних параметров.

Фрустрированные спиновые системы являются довольно сложными объектами для исследования даже методами МК. Для ФС характерна проблема многочисленных долин локальных минимумов энергии. Обычные методы МК плохо справляются с решением этой проблемы. Поэтому в последнее время разработано много новых вариантов алгоритмов метода МК. Для решения этой проблемы наиболее мощными и эффективными оказались репличные алгоритмы метода МК [11].

Таким образом, исследование критических и термодинамических свойств, в частности фрустрированных спиновых систем, исходя из

трехмерных микроскопических гамильтонианов, является важной и актуальной проблемой современной статистической физики решеточных систем, теории фазовых переходов и критических явлений.

Целью работы является исследование статических критических свойств моделей фрустрированных спиновых систем как стандартным, так и репличным алгоритмами метода Монте-Карло. В процессе выполнения работы решались следующие основные задачи:

1. Разработка комплекса программ для ЭВМ, с помощью которого можно исследовать статические критические свойства моделей с фрустрациями;

2. Исследование методом Монте-Карло статических критических свойств полностью фрустрированной модели Изинга на кубической решетке. Определение статических критических индексов теплоемкости а, намагниченности Д восприимчивости уу индекса Фишера ц и индекса радиуса корреляции и этой модели, как традиционными степенными функциями, так и на основе теории конечно-размерного скейлинга (КРС);

3. Исследование репличным алгоритмом метода Монте-Карло магнитных и киральных статических критических свойств Зс! фрустрированной антиферромагнитной модели Гейзенберга на слоистой треугольной решетке. Определение магнитных и киральных критических индексов а, Д А, % п. Ъ у* этой модели;

4. Исследование критического поведения и зависимости критических индексов 3 <1 фрустрированной модели Гейзенберга на слоистой треугольной решетке от величины межслойного обменного взаимодействия;

5. Проверка справедливости теории конечно-размерного скейлинга для фрустрированных моделей.

Практическая ценность работы.

Полученные в диссертации результаты по исследованию статических критических свойств фрустрированных спиновых моделей представляют интерес для дальнейших исследований в теории магнетизма, физики фазовых переходов и статистической теории конденсированного состояния. Разработанный комплекс программ для ЭВМ формирует базу, на основе которой возможны высокоточные исследования статических критических явлений в фрустрированных спиновых системах.

Использование репличного алгоритма метода МК для исследования моделей фрустрированных спиновых систем показало, что репличные алгоритмы являются ценным инструментом при исследовании ФС, позволяют определять с высокой степенью точности критические параметры системы и являются значительно более эффективными по сравнению с классическим алгоритмом (алгоритм Метрополиса). Эти алгоритмы успешно справляются с проблемой локальных энергетических минимумов, в решении которой другие

алгоритмы метода МК (стандартный алгоритм Метрополией одно-кластерный алгоритм Вульфа) оказались малоэффективными.

Экспериментальные результаты данной работы используются для чтения спецкурсов: «Исследование фазовых переходов и критических явлений методами Монте-Карло», «Компьютерное моделирование в физике», «Методы вычислительной физики в магнетизме», а часть программ для ЭВМ при выполнении лабораторных работ по указанным спецкурсам в Дагестанском государственном университете.

Научную новизну и значимость диссертации определяют основные положения, которые автор выносит на защиту:

1. Исследование критических свойств Зс! полностью фрустрированной модели Изинга на кубической решетке. Расчет статических критических индексов теплоемкости а, намагниченности Д восприимчивости у, индекса Фишера Т) и индекса радиуса корреляции уэтой модели.

2. Доказательство принадлежности 3с! полностью фрустрированной модели Изинга на простой кубической решетке к новому классу универсальности критического поведения.

3. Применение теории конечно-размерного скейлинга и решшчного алгоритма метода Монте-Карло для исследования статических критических свойств моделей фрустрированных спиновых систем,

4. Исследование магнитных и киральных статических критических свойств трехмерной фрустрированной антиферромагнитной модели Гейзенберга на слоистой треугольной решетке с использованием как классического алгоритма метода МК (алгоритм Метрополиса), так и высокоэффективного репличного алгоритма метода МК. Определение магнитных и киральных критических индексов теплоемкости а, восприимчивости у уь параметров порядка Д (Зк, индекса Фишера ц и радиуса корреляции V, V*.

5. Доказательство существования нового кирального класса универсальности критического поведения трехмерной фрустрированной антиферромагнитной модели Гейзенберга на слоистой треугольной решетке.

6. Исследование статических критических свойств Ъс1 фрустрированной антиферромагнитной модели Гейзенберга на слоистой треугольной решетке с переменным межслойным обменным взаимодействием. Расчет всех основных статических магнитных и киральных критических индексов.

7. Сложный комплекс программ для ЭВМ, позволяющий проводить высокоточные исследования статических критических явлений в моделях фрустрированных спиновых систем.

Апробация работы. Основные результаты диссертации докладывались на следующих конференциях, совещаниях, семинарах: II всероссийской конференции по физической электронике ФЭ-2001 (Махачкала, 2001); Международная школа-семинар «Новые магнитные материалы микроэлектроники» НМММ-ХУШ, НМММ-Х1Х, НМММ-ХХ (Москва, 2002,

2004, 2006); Международной конференции «Фазовые переходы, критические и нелинейные явления в конденсированных средах» (Махачкала, 2002, 2004, 2005); Международном симпозиуме «Порядок, беспорядок и свойства оксидов» ОМА-2003 (Сочи, 2003); Всероссийской школе-семинаре «Физика фазовых переходов» (Махачкала, 2003); II Байкальской международной конференции «Магнитные материалы» (Иркутск, 2003); XXX Международной зимней школе физиков-теоретиков «Коуровка-2004» (Екатеринбург, Челябинск, 2004); 9-м международном симпозиуме «Упорядочение в металлах и сплавах» ОМА-9 (Ростов-на-Дону - посЛоо, 2006).

Публикации. Основные результаты работы опубликованы в 17 работах. Список публикаций приведен в конце автореферата.

Струюура и объем диссертации. Диссертация состоит из введения, четырех глав, заключения и списка цитированной литературы (145), изложенных на 156 страницах, содержит 54 рисунка и 9 таблиц.

Во введении обоснована актуальность темы, сформулирована цель работы, приводятся основные положения, выносимые на защиту, дается краткая аннотация по главам.

В главе I дано изложение классического метода Монте-Карло применительно к каноническому ансамблю.

Рассмотрение классического метода МК применительно к каноническому ансамблю, а также практическая реализация процедуры Монте-Карло для систем с дискретным (модель Изинга) и непрерывным (модель Гейзенберга и XY-модель) распределением состояний приведено в разделе 1.1.

Раздел 1.2 посвящен описанию решеточных моделей, наиболее часто используемых при исследованиях кооперативных явлений в решеточных системах. Рассматриваются модели как с дискретными состояниями спинов (модель Изинга) так и с непрерывным распределением состояний спинов (модель Гейзенберга). Здесь также кратко описаны некоторые модели ФС.

Стандартный алгоритм метода Монте-Карло, основанный на перевороте одного спина (алгоритм Метрополиса) рассмотрен в разделе 1.3. Показано, что в критической области этот алгоритм сталкивается с проблемой так называемого «критического замедления».

Описание репличных алгоритмов метода МК (репличный обменный алгоритм (replica-exchange method), мультиканонический алгоритм (multicanonical algorithm), алгоритм расширенного ансамбля (method of expanded ensemble) и 1/А-выборочный алгоритм {Ifк - sampling)) дано в разделе 1.4, Эти алгоритмы, в отличие от стандартного алгоритма метода МК, позволяют преодолеть проблему многочисленных минимумов энергии, возникающую при исследовании ФС. Обсуждается эффективность этих алгоритмов при исследовании различных решеточных моделей спиновых стекол, белковых молекулярных соединений и биополимеров.

В разделе 1.5 рассмотрены различные виды граничных условий, применяемых для устранения погрешности, связанной с малостью исследуемой

системы, возникающей при изучении систем, содержащих конечное число частиц.

Подробный анализ ошибок, возникающих при моделировании методом Монте-Карло, приводится в разделе 1.6. Здесь также рассматриваются вопросы, связанные с оценкой погрешности метода МК.

В главе II дается обзор литературных результатов теоретических и экспериментальных исследований статических критических свойств фрустрированных спиновых систем.

Раздел 2.1 посвящен обсуждению природы спиновых стекол и фрустрированных спиновых систем.

Подробное рассмотрение параметра порядка спиновых стекол и фрустрированных спиновых систем приводится в разделе 2.2.

Рассмотрение некоторых моделей фрустрированных систем и обзор результатов этих моделей приводится в разделе 2.3.

Обзор результатов экспериментальных и численных исследований критических свойств антиферромагнетиков на треугольной решетке дается в разделе 2.4.

В главе III на основе стандартного алгоритма Метрополиса исследуются статические критические свойства полностью фрустрированной 3d модели Изинга на кубической решетке.

В разделе 3.1 подробно изложены основные положения теории конечно-размерного скейлинга. Даются особенности определения статических критических индексов и критической температуры.

Идеи, заложенные в теории КРС, позволяют экстраполировать МК результаты, полученные для систем с конечными размерами к термодинамическому пределу. Согласно теории КРС, соотношения для теплоемкости, спонтанной намагниченности и восприимчивости, приходящих на один спин имеют вид [7]:

где г=\Т-Тс\/Тс - приведенная температура, а, Д у, и у — статические критические индексы дпя системы с Ь-<*>, связанные скейлинговыми соотношениями:

m(T>L)"L'/m0(tL/')>

О) (2)

(3)

y = ß{$-1),

a + 2ß+y=2, (2 - tjy = у у

1-а-dv к

(4)

Уравнения (1) - (3) хорошо воспроизводят критическое поведение бесконечных систем при г« 1 и £ —> со.

Результаты исследования методом Монте-Карло термодинамических и критических свойств полностью фрустрированной Ъй модели Изинга на кубической решетке представлены в разделе 3.2.

Гамильтониан этой модели может быть представлен в следующем виде:

Н = , (5)

(и)

где а - изинговский спин, — обменное взаимодействие, 0 и для ферромагнитных и антиферромагнитных связей, соответственно.

Для исследования данной модели нами использовался классический алгоритм Метрополиса. Расчеты проводились для систем с периодическими граничными условиями (ПГУ) с линейными размерами ЬхЬхЬ=№, ¿=8+30. Число спинов N в моделируемых системах при этом составляло 512-^27000. Начальные конфигурации задавались таким образом, чтобы все спины были упорядочены вдоль оси г. Для вывода системы в состояние термодинамического равновесия отсекался неравновесный участок длиной 4.0x105 МКшагов/спин, что в несколько раз больше длины неравновесного участка. Усреднение термодинамических величин проводилось вдоль марковской цепи длиной до 10б МКшагов/спин.

Для наблюдения за температурным ходом поведения теплоемкости и восприимчивости нами использовались выражения [4,7]:

СЛВ2. о

С-^К1)^*)-^)1) (6)

X =

(7)

<аи:><»1)-И1'г<7Ь

(МК^т1), Т±ТС

где К = \}\!квТ, N - число частиц, С/внутренняя энергия, ш -подрешеточная намагниченность.

На рис. 1 представлены характерные зависимости

теплоемкости С от температуры для систем с линейными размерами ¿=8; 12; 20; 30, Отметим, что в зависимости теплоемкости С от температуры для всех систем вблизи критической температуры наблюдаются хорошо выраженные максимумы, которые увеличиваются с ростом числа спинов в системе, причем эти максимумы в пределах погрешности приходятся на одну и ту же температуру даже для систем с наименьшим значением Ь.

Для определения критической температуры Тс, нами использовался метод кумулянтов Биндера четвертого порядка [8,9]:

Рис. 1. Зависимость теплоемкости С/кв от температуры квТ/\^.

(«Л

Вместо параметра порядка т в формуле (8), нами использовалась величина равная

т = -| ? д: Г > где параметр порядка

Эдвардса-Андерсона определяется следующим образом:

К'')!•

" /«а

(9)

2*кТАА

Рис.2. Зависимость Кумулянта Биндера С/£ от температуры квТ/\1\,

здесь а указывает номер подрешетки.

Рассчитанные таким образом кумулянты С/£ показаны на рисунке 2. Вставка на этом рисунке демонстрирует зависимость С4 от температуры в критической области. Как видно из рисунка использованный метод позволяет определить критическую температуру с высокой точностью.

При расчете критических индексов намагниченности Д восприимчивости у и теплоемкости а используются следующие выражения [7,8]:

т ~ ,

7,1 -юо

г=гс

Г/У=2.1454 1.18(3)

(Ю) (И)

» .4 „ = = (12)

где а - некоторый коэффициент, которые получаются из (1) - (3) при Т~ Тс, Эти соотношения позволяют легко определить у!у и о/к (см.рис.3).

Для определения критического индекса радиуса корреляции у нами использовалось следующее выражение [9]:

Рис.3. Зависимость восприимчивости %з от линейных размеров системы Ь при Т= Т^

где gK = Const, а в качестве V„ может выступать:

K=&S-(E)An=W). (И)

Vя )

На рисунке 4 в двойном логарифмическом масштабе представлены характерные зависимости величины У„, от линейных размеров решетки L. Как видно из рисунка все данные ложатся на прямую, угол наклона кривой определяет значение 1 /к По этой схеме нами определены значения удля всех подрешеток. Вычисленное таким образом значение v было использовано для расчета ct, р и у. Значения индексов, полученные таким образом, представлены в таблице 1.

Таблица I.

Значения критических индексов а, Д у, vu tj.

Критический параметр Данные этой работы [12] |13] Нефрустрированная модель Изинга (см. ссылки в [7])

а 0.46(2) 0.33(5) 0.32(2) 0.108

0.21(2) - 0.25(2) 0.326

Г 1.18(3) - - 1.239

V 0.55(2) 0.55(2) 0.56(2) 0.631

V -0.15(5) -0.28(6) -0.10(2) 0.038

Тс 1.344(2) 1.355(2) 1.347(1) 4.5108

Из таблицы 1 видно, что полученные данные свидетельствуют о принадлежности полностью фрустрированной модели Изинга на кубической решетке к новому классу универсальности. По-видимому, критический индекс восприимчивости /для этой модели рассчитан впервые.

В главе IV эффективным репличным алгоритмом метода Монте-Карло исследуется магнитное и киральное статическое критическое поведение Ъс1 фрустрированной модели Гейзенберга на слоистой треугольной решетке.

В разделе 4.1 проводится исследование антиферромагнитной 3<1 модели Гейзенберга на слоистой треугольной решетке.

Антиферромагнитная Ъс1 модель Гейзенберга на слоистой треугольной решетке является фрустрированной магнитной системой. Эта модель может быть представлена в виде трехмерной решетки, которая состоит из двумерных

Рис.4. Зависимость Vj от линейных размеров системы L при Т—Тс.

треугольных слоев сложенных по ортогональной оси. Гамильтониан этой системы представлен выражением [5]:

Ы («)

(15)

где - трехкомпонентный единичный вектор $ = (57,57,5,*), J<0 и J'>0 -константы обменного взаимодействия.

Первый член в формуле (15) характеризует внутриплоскостное антиферромагнитное взаимодействие спинов, а второй - межплоскостное ферромагнитное.

Исследования проводились как классическим алгоритмом Метрополиса так и репличным обменным алгоритмом метода МК. Расчеты проводились для систем с ПГУ и с линейными размерами ¿.х£х£=Л^ ¿=9+30. Число спинов N в моделируемых системах при этом составляло 729+27000. Начальные конфигурации задавались таким образом, чтобы все спины были упорядочены вдоль оси 2. Для вывода системы в состояние термодинамического равновесия отсекался неравновесный участок длиной 4.0х 105 МКшагов/спин, что в несколько раз больше длины неравновесного участка. Усреднение термодинамических величин проводилось вдоль марковской цепи длиной до 106 МКшагов/спин.

Для наблюдения за темпералурным ходом поведения теплоемкости и восприимчивости нами использовались выражения (6) и (7).

На рисунке 5 представлены характерные зависимости

восприимчивости х от температуры для систем с линейными размерами ¿=9; 15; 24; 30. Отметим, что температурные зависимости восприимчивости х Для всех систем проявляют хорошо выраженные максимумы в критической области.

А для наблюдения за киральной восприимчивости нами

1600-

13»

МО-

«оо

о.

-'-1--- 1---г-•-1—

* -■— 1-9

г —•— [-13

—т - [_-зо

1 _

•••»« -«-«-♦ •-»-- * '

0,5

1,0

1,5

20

уи

Рис.5. Зависимость восприимчивости Хот температуры квТ/\*/\.

температурным ходом поведения использовалось выражение [4]:

Хы =

<Тк

(Ж)(«/), ГйГ,

где тк— киральный параметр порядка, Хк— киральная восприимчивость.

Параметр порядка системы т вычислялся по формуле [5]:

т = + мв + мс)А >

где МА> Ив и Мс - намагниченности трех подрешеток, соответственно.

Намагниченность подрешетки вычисляется следующим образом [5]:

(|Л?,0={Jsf^sf) ,г= А, В,С.

(18)

Для вычисления кирального параметра порядка системы ш* использовались следующие выражения [4, 6]:

mt =

(20)

тк

* N^t pi

Рис.б.Зависимость магнитного и кирального параметров порядка от температуры kBT/\J\.

где- компоненты вектора.

На рисунке б представлены характерные зависимости

магнитного m и кирального тк параметров порядка от температуры для системы с линейными размерами ¿=30.

Для определения магнитной критической температуры 7V, нами использовался метод кумулянтов Биндера Ul четвертого порядка [8,9], который определяется выражением (8). А для определения киральной критической температуры 7* использовался метод пересечения кумулянтов ("cumulant crossing") [4].

В разделе 4.2 представлены результаты исследования фрустрированной 3d модели Гейзенберга на слоистой треугольной решетке.

Для расчета статических магнитных критических индексов параметра порядка Д восприимчивости у и радиуса корреляции v использовались выражения (10,11,13,14).

А для определения статических киральных критических индексов намагниченности Д, восприимчивости и радиуса корреляции vk использовались следующие соотношения теории КРС [4, б].

тк сс

L %

Xt^l

У

А*

(21)

(22)

Уши=1<Кк8уя.

где в качестве У„к выступает:

(т*'Е) У ч

У1^-^} 2, 3,4). Vя* I

(23)

(24)

На основе этих выражений были определены Д Д, у, д, V и Для расчета критического индекса теплоемкости использовалось следующее выражение (12).

Эти соотношения позволяют легко определить 1/ц р/у, у{ц а/у, Рь/ук и уц/ Ук (см. рис.7). Определенные таким образом критические параметры для антиферромагнитной 3 <1 модели Гейзенберга на слоистой треугольной решетке приведены в таблице 2.

Как видно из таблицы 2, нами определен полный набор критических индексов для антиферромагнитной 3с1 фрустрнрованной модели Гейзенберга на слоистой треугольной решетке.

1»* <1.1»

■>1«

Т-Тк

«1«

ГУ*

<>.<1?

»1

Рис. 7Зависимость киральиого параметра порядка т* от линейных размеров системы Ь при Т=Ть

Таблица 2.

Значения критических параметров для модели Гейзенберга.

Данные Данные Метод МК Эксп-т Чистая

Крит-й этой раб. этой раб. (см. модель

пар-р (алг. (репличный [5] [4] ссылки (см.ссыл.

Метроп-са) алгоритм) вГ141) в [7])

ТИ 0.957(2) 0.956(1) 0.955(2) 0.9577(2) 1.443

п 0.955(2) 0.956(1) 0.958(2) 0.9577(2) * -

У 0.53(2) 0.57(1) 0.59(2) 0.586(8) 0.54(3) 0.706(9)

а 0.37(2) 0.40(1) 0.24(8) - 0,39(9) -0.117(2)

Р 0.26(2) 0.26(1) 0.30(2) 0.285(11) 0.25(1) 0.364(7)

У 1.11(2) 1.19(1) 1.17(7) 1.185(3) 1.10(5) 1.390(23)

И 0.60(2) 0.57(1) 0.60(2) 0.60(2) * -

А 0.45(2) 0.43(1) 0.55(2) 0.50(2) 0.44(2) -

Л 0.93(2) 0.79(1) 0.72(2) 0.82(2) 0.84(7) -

Я -0.10(5) -0.09(3) - - - 0.031(7)

Очевидно, что эти данные сильно отличаются от данных для нефрустрированной модели Гейзенберга и свидетельствуют о принадлежности

3 с! фрустрированной модели Гейзенберга на треугольной слоистой решетке к новому классу универсальности критического поведения.

В разделе 4,3 рассматриваются результаты полученные при исследовании фрустрированной модели Гейзенберга на слоистой треугольной решетке с переменным межслойным обменным взаимодействием. Проведены исследования критического поведения данной модели при различных значениях величины межслойного обменного взаимодействия Л=|ууу|.

Для наблюдения за температурным ходом поведения теплоемкости и восприимчивости нами использовались выражения (6) и (7).

Характерные температурные зависимости теплоемкости С и восприимчивости х Для системы с линейным размером ¿=24 и &=1; 0.5; 0.3; 0.1 представлены на рис.8 и 9. Отметим, что температурные зависимости теплоемкости С и восприимчивости х Для всех А дают хорошо выраженные максимумы в критической области. В наших экспериментах наблюдается увеличение максимумов С и х с уменьшением значения А, причем эти максимумы смешаются в сторону низких температур.

С*.4

Х751

Рис.8. Зависимость теплоемкости С/кв от температуры квТ/\^ для системы с 1*=24.

60-

45-

30-

15-

0- *»«*♦**

к-1

•к-0.5 -к-ОЭ •кЮ I

0,0

-г-

0,9

1.0

1,8

го ЧУ

Рис.9. Зависимость восприимчивости X от температуры квТ/\3\ для системы с Ь=24.

Вычислен набор основных статических критических магнитных и киральных индексов этой модели для различных значений величины межслойного обменного взаимодействия, используя соотношения теории КРС (10,11,13,14,21-24), по описанной выше схеме. Все значения критических параметров, вычисленные таким образом, для разных значений к приведены в таблице 3 и 4. Полученные данные показывают, что класс универсальности критического поведения для фрустрированной модели Гейзенберга на слоистой треугольной решетке с переменным межслойным обменным взаимодействием сохраняется для рассмотренных нами значений величины межплоскостного обменного взаимодействия.

Таблица 3.

Значения магнитных критических параметров для модели Гейзенберга для разных к.

к т„ V а Р У а+2Р+у=2

1 0.956(1) 0.59(2) 0.26(2) 0.27(2) 1.23(3) 2.03

0.8 0.872 0.60 0.24 0.26 1.26 2.02

0.7 0.829 0.61 0.22 0.28 1.29 2.07

0.6 0.783 0.59 0.22 0.29 1.22 2.02

0.4 0.677 0.60 0.24 0.27 1.27 2.05

0.3 0.619 0.60 0.26 0.29 1.23 2.07

0.1 0.468 0.59 0.24 0.28 1.17 1.97

Таблица 4.

Значения киральных критических параметров для модели Гейзенберга для разных к.

к тк Ук а А п сг+2Д +п=2

1 0.956(2) 0.59(2) 0.26(2) 0.43(2) 0.87(3) 1.99

0.8 0.872 0.60 0.24 0.42 0.96 2.04

0.7 0.829 0.61 0.22 0.48 0.96 2.14

0.6 0.783 0.59 0.22 0.46 0.85 1.99

0.4 0.677 0.60 0.24 0.43 0.90 2

0.3 0.619 0.60 0.26 0.48 0.81 2.03

0.1 0.468 0.59 0.24 0.47 0.82 2

Как видно из таблиц 3 и 4, для всех значений к с достаточно высокой точностью выполняются скейлинговые соотношения между КИ, что свидетельствует о точности критических индексов, вычисленных нами.

В заключении представлены обобщающие выводы по результатам диссертационной работы.

Основные результаты работы.

1. Проведено исследование критических свойств фрустрированной модели Изинга на кубической решетке. Рассчитаны статические критические индексы теплоемкости а, намагниченности Д восприимчивости у, индекс Фишера т} и индекс радиуса корреляции к Критический индекс восприимчивости упля этой модели рассчитан впервые.

2. Изучен и установлен характер критического поведения фрустрированной модели Изинга на кубической решетке. Показано, что эта модель принадлежит новому классу универсальности критического поведения.

3. Показана эффективность применения репличного алгоритма метода Монте-Карло для исследования фрустрированных систем.

4. Вычислены температурные зависимости основных термодинамических функций 3 d фрусгрированной модели Гейзенберга на слоистой треугольной решетке с использованием как классического алгоритма метода МК (алгоритм Метрополиса), так и высокоэффективного репличного алгоритма метода МК. Рассчитаны статические магнитные и киральные критические индексы теплоемкости а, восприимчивости уь параметров порядка Д Д, индекса Фишера т/ и радиуса корреляции v, v*.

5. Впервые рассчитан индекс Фишера r¡ для 3d фрусгрированной модели Гейзенберга на слоистой треугольной решетке.

6. Показано, что 3d фрустрированная антиферромагнитная модель Гейзенберга на слоистой треугольной решетке образует новый киральный класс универсальности критического поведения.

7. Проведены высокоточные исследования 3d фрусгрированной модели Гейзенберга на слоистой треугольной решетке с переменным межслойным обменным взаимодействием. Рассчитаны все основные статические магнитные и киральные критические индексы. Показано, что в изученном пределе критические индексы не меняются с изменением величины межслойного обменного взаимодействия.

8. Разработан сложный комплекс программ для ЭВМ с использованием стандартного (алгоритм Метрополиса) и репличного (репличный обменный алгоритм) алгоритмов классического метода Монте-Карло, позволяющий исследовать статические критические свойства моделей фрустрированных магнитных систем.

Цитированная литература.

1. Паташинскнй А.З., Покровский В.А. Флуктуационная теория фазовых переходов. - М.: Наука, 1982. - 380 с.

2. Ma Ш. Современная теория критических явлений / Пер. с англ. А.Н. Ермилова, А.М. Курбатова; Под ред. H.H. Боголюбова (мл.), В .К. Федянина. - М,: Мир, 1980. - 298 с.

3. Loison D., Sokolov A. I., Delamotte В., Antonenko S. A., Schotte К. D., Diep H. T. Critical behavior of frustrated systems; Monte Carlo simulations versus renormalization group // Письма в ЖЭТФ. - 2000. - V.72, N.6. - C.487-492.

4. Mailhot A., Plumer M.L., Caille A. Finite-size scaling of the frustrated model on a hexagonal lattice // Phys. Rev. B. - 1994-II. - V.50, N.10. - P.6854-6858.

5. Kawamura H. New Critical Behavior I-Heisenberg Antiferromagnet on the Layered-Triangular Lattice. // J. Phys. Soc. Jap. - 1987. - V.56, N.2. - P.474-491.

6. Kawamura H. Monte Carlo Study of Chiral Criticality -XY and Heisenberg Stacked- Triangular Antiferromagnets // J. Phys. Soc. Jap. - 1992. - V.61, N.4. -P.l 299-1325.

7. Камилов И.К., Муртазаев А.К., Алиев Х.К. Исследование фазовых переходов и критических явлений методами Монте-Карло // УФН. - 1999. -169, №7.-С. 773-795.

8. Landau D.P. Computer simulation studies of critical phenomena // Physica A. -

1994. —V. 205. — P.41 —64.

9. Binder K., Luijten E. Monte Carlo tests of renormalization-group predictions for critical phenomena in Ising models // Phys. Reports, - 2001. - V. 344. - P. 179253.

10. Биндер К. Методы Монте-Карло в статистической физике / Пер. с англ.

B.Н. Новикова, К.К. Сабельфельда; Под. ред. Г.И. Марчука, Г.А. Михайлова. - М.: Мир, 1982. - 400 с.

И. Mitsutake A., Sugita Y., Okamoto Y. Generalized-Ensemble Algorithms for Molecular Simulations of Biopolimers // preprint cond-mat/0012021.

12. Diep H, Т., Lallemand P., Nagai O. Critical properties of a simple cubic fully frustrated Ising lattice by Monte Carlo method // J. Phys. C. Solid State Phys.-1985. - V.18, N.5.- P. 1067-1078,

13. Bernardi L. W., Hukushima K., Takayama H. Fully frustrated Ising system on a 3D simple cubic lattice: revisited // J. Phys. A. Mathematical and General. -1999. - V.32, N. 10.- P.1787-1800.

14. Малеев С. В. Рассеяние поляризованных нейтронов в магнетиках // УФН. -2002. - Т. 172, № 6. - С. 630-646.

Основные результаты диссертации опубликованы в следующих работах:

1. Муртазаев А.К., Камилов И.К., Рамазанов М.К. Критические свойства трехмерной фрустрированной модели Изинга на кубической решетке. // ФТТ. - 2005. Т.47, №6. - С.1125-1129.

2. Муртазаев А.К., Камилов И.К., Рамазанов М.К. Статическое критическое поведение 3D фрустрированной модели Гейзенберга на слоистой треугольной решетке. // ФНТ. - 2006. Т.32, №3. - С.323-328.

3. Муртазаев А.К., Камилов И.К., Рамазанов М.К. Исследование критических свойств 3d фрустрированной модели Изинга методом Монте-Карло И Вестник Дагестанского научного центра - 2006. - Т.24. - С.5-10.

4. Муртазаев А.К., Рамазанов М.К. Определение класса универсальности фрустрированных систем методом Монте-Карло // Материалы II всероссийской конференции «ФЭ-2001». Махачкала: 2001.- С. 192.

5. Муртазаев А.К., Рамазанов М.К. Исследование критического поведения 3d фрустрированной модели Изинга методом Монте-Карло // Труды XVIII международной школы-семинара «Новые магнитные материалы микроэлектроники». Москва: 2002. — С.141-143.

6. Муртазаев А.К., Рамазанов М.К. Компьютерное моделирование критического поведения 3d фрустрированной модели Изинга // Труды международной конференции «Фазовые переходы, критические и нелинейные явления в конденсированных средах». Махачкала: 2002. —

C.50-53.

7. Муртазаев А.К., Камилов И.К., Рамазанов М.К. Исследование критических свойств 3(1 фрустрированной модели Изинга методом Монте-Карло // Труды международного симпозиума «Порядок, беспорядок и свойства оксидов» ОМА-2003. Сочи: 2003. - С.195-198.

8. Муртазаев А.К., Камилов И.К., Рамазанов М.К. Исследование критических свойств 3<1 фрустрированной модели Изинга кластерным алгоритмом метода Монте-Карло // Труды II Байкальской международной конференции «Магнитные материалы». Иркутск: 2003. - С.120-121.

9. Муртазаев А.К., Рамазанов М.К. Статические критические свойства 3(1 фрустрированной модели Изинга. // Труды всероссийской школы-семенара молодых ученых «Физика фазовых переходов». Махачкала: 2003. - С.165-168.

10. Муртазаев А.К., Камилов И.К., Рамазанов М.К. Критические свойства фрустрированной модели Изинга на кубической решетке. // Материалы XXX Международной зимней школы физиков-теоретиков «Коуровка-2004». Екатеринбург-Челябинск: 2004. -С.71-В.

11. Муртазаев А.К., Камилов И.К., Рамазанов М.К. Исследование статических критических свойств фрустрированной модели Изинга на кубической решетке методами Монте-Карло. // Труды XIX международной школы-семинара «Новые магнитные материалы микроэлектроники». Москва: 2004. — С.769-771.

12. Муртазаев А.К., Камилов И.К., Рамазанов М.К., Шахмарданова Э.Н. Критическое поведение фрустрированной модели Изинга. // Труды международной конференции «Фазовые переходы, критические и нелинейные явления в конденсированных средах». Махачкала: 2004. -С.52-55.

13. Муртазаев А.К., Камилов И.К., Рамазанов М.К. Исследование критических свойств фрустрированной модели Гейзенберга на треугольной решетке. // Труды международной конференции «Фазовые переходы, критические и нелинейные явления в конденсированных средах». Махачкала: 2005.- С.14-16.

14. Муртазаев А.К., Рамазанов М.К. Исследование критического поведения фрустрированной модели Гейзенберга методами Монте-Карло. // Межвузовский сборник научных работ аспирантов. Махачкала: 2006. В.З. -С.74.

15. Муртазаев А.К., Камилов И.К., Рамазанов М.К. Исследование фрустрированной модели Гейзенберга методами Монте-Карло. // Труды XX международной школы-семинара «Новые магнитные материалы микроэлектроники». Москва: 2006. — С.629-630.

16. Муртазаев А.К., Рамазанов М.К., Бадиев М.К. Исследование фрустрированной модели Гейзенберга с переменным межслойным обменным взаимодействием // 9-й международный симпозиум «Упорядочение в металлах и сплавах» ОМА-9, v. II. Росгов-на-Дону -посЛоо: 2006. - С.63-65.

17. Муртазаев А.К., Рамазанов М.К., Вахитов P.M. Компьютерное моделирование фрустрированной модели Гейзенберга на треугольной слоистой решетке // Современные информационные и компьютерные технологии в инженерно-научных исследованиях. Научно-исследовательская стажировка молодых ученых. Сборник материалов. Том П. Физика, Химия. Лекции и научные статьи. Уфа: РИЦ БашГУ, 2006. - 209 с. - ISBN. - С.59-68.

Подписано в печать 12.10.2006 Тираж 100 экз. Бесплатно. Отпечатано в Институте физики Дагестанского НЦ РАН. 367003, г. Махачкала, ул. М. Ярггского,94.

ВВЕДЕНИЕ

ГЛАВА I. МЕТОД МОНТЕ-КАРЛО.

§1.1. Классический метод Монте-Карло

§ 1.2. Модели, используемые при исследовании спиновых систем

§ 1.3. Стандартный алгоритм метода Монте-Карло

§ 1.4. Репличные алгоритмы метода Монте-Карло

§ 1.5. Граничные условия

§ 1.6. Анализ ошибок в методе Монте-Карло

ГЛАВА И. СТАТИЧЕСКИЕ КРИТИЧЕСКИЕ СВОЙСТВА ФРУСТРИРОВАННЫХ СПИНОВЫХ СИСТЕМ.

§ 2.1. Спиновые стекла и фрустрации

§ 2.2. Параметр порядка

§ 2.3. Модели фрустрированных систем

§ 2.4. Критические свойства антиферромагнетиков с треугольной решеткой

ГЛАВА III. СТАТИЧЕСКИЕ КРИТИЧЕСКИЕ СВОЙСТВА

ПОЛНОСТЬЮ ФРУСТРИРОВАННОЙ МОДЕЛИ ИЗИНГА НА КУБИЧЕСКОЙ РЕШЕТКЕ.

§3.1. Основные положения теории конечно-размерного скейлинга

§ 3.2. Статические критические свойства 3d фрустрированной модели Изинга на кубической решетке.

Результаты численного эксперимента

3.2.1. Анализ данных традиционными степенными функциями

3.2.2. Анализ данных на основе теории конечно-размерного скейлинга

ГЛАВА IV. КРИТИЧЕСКОЕ ПОВЕДЕНИЕ ТРЕХМЕРНОЙ

ФРУСТРИРОВАННОЙ МОДЕЛИ ГЕЙЗЕНБЕРГА НА СЛОИСТОЙ ТРЕУГОЛЬНОЙ РЕШЕТКЕ.

§ 4.1. Статические критические свойства фрустрированной модели Гейзенберга на слоистой треугольной решетке

§ 4.2. Анализ результатов численного эксперимента

§ 4.3. Критическое поведение фрустрированной модели Гейзенберга с переменным межслойным обменным взаимодействием

В последние годы достигнут значительный прогресс в понимании проблемы фазовых переходов (ФП) и критических явлений (КЯ). Тем не менее, количественное описание ФП и КЯ в различных решеточных спиновых системах до сих пор остается одной из центральных задач современной теории конденсированного состояния. Современная теория ФП и КЯ в основном базируется на идеях, заложенных в гипотезе скейлинга, универсальности, е- разложения и в теории ренормализационной группы [1-5]. На их основе были получены большинство важнейших результатов современной теории ФП и КЯ. Установлены основные закономерности, наблюдающиеся в критической области, получены соотношения между критическими индексами (КИ) и критическими амплитудами (КА), построены уравнения состояния, рассчитаны значения КИ и КА. Идеи лежащие в основе всех этих предположений значительно обогатили наше понимание природы критических явлений. Тем не менее, строгой и последовательной микроскопической теории фазовых переходов второго рода и критических явлений на сегодняшний день не существует [6].

Существенный вклад в строгую количественную теорию критических явлений в решеточных спиновых системах также внесли методы высоко- и низкотемпературных разложений [5,7].

На сегодняшний день установлено, что критические индексы не зависят от величины спина и деталей микроскопического гамильтониана, но сильно зависят от размерности d рассматриваемой системы и числа степеней свободы параметра порядка п. Согласно представлениям современной теории ФП и КЯ принцип универсальности может быть сформулирован следующим образом [1]:

Критическое поведение системы зависит от:

1. размерности пространства;

2. числа степеней свободы параметра порядка;

3. симметрии гамильтониана;

4. радиуса характерного взаимодействия.

В пределах одного класса универсальности для всех систем, претерпевающих фазовый переход второго рода, критические индексы являются одинаковыми. Таким образом, в один и тот же класс универсальности попадают столь непохожие на первый взгляд системы, как жидкости, магнетики, сверхпроводники, сегнетоэлектрики и другие. В то же время следует отметить, что класс универсальности фрустрированных систем (ФС) может зависеть не только от этих параметров [8-11].

В построении общей микроскопической теории фазовых переходов важную роль играют точные аналитические решения, которые удалось получить лишь для некоторых решеточных моделей. В 1925 году Изинг нашел решение для случая одномерной цепочки (в цепочке атомов фазовый переход происходит при Т= 0) [12]. В 1944 году Онзагер точно разрешил двухмерную проблему модели Изинга в нулевом внешнем поле [13] и доказал существование фазового перехода. В 1952 году Берлин и Кац сформулировали и строго рассчитали так называемую сферическую модель [14]. Далее, наиболее интересным результатом было получение Либом [15, 16] строгого решения для модели типа льда (шести вершинной у ' модели). Имеют точное решение и некоторые другие модели [17].

Несмотря на значительные успехи, создание последовательной теории фазовых переходов второго рода до сих пор остается одной из актуальных проблем физики конденсированного состояния [6, 18].

В основном при описании критических явлений в решеточных системах наиболее часто используются модели первого приближения. К таким моделям относятся: классическая модель Изинга, Гейзенберга, XY-модель, модель Поттса и т.д. На основе вышеупомянутых теоретических методов выполнены исследования моделей различных пространственных размерностей и типа решеток. Получена обширная информация о критическом и термодинамическом поведении данных моделей в широком температурном интервале. Количественное изучение непосредственно самой критической области методами Монте-Карло (МК) с вычислением значений КИ и КА стало возможно только в последние годы. Точность результатов, достигаемая при этом, не уступает лучшим данным других методов, а иногда и превосходит их [9,19-23].

Увеличению точности методов вычислительной физики (ВФ) сопутствуют [24-30]:

1. увеличение вычислительных мощностей современных ЭВМ;

2. разработка мощных высокоэффективных алгоритмов метода МК;

3. усовершенствование методов анализа данных;

4. использование теории конечно-размерного скейлинга (КРС) для расчета критических параметров.

В последние годы центр тяжести теоретических исследований переместился к изучению более реалистичных моделей с учетом многочисленных факторов, присущих реальным кристаллам и не учитываемых в рамках моделей первого приближения. К таким факторам относятся: анизотропия, примеси, диполь-дипольные взаимодействия, колебания решетки, фрустрации [8, 31,32].

Особый интерес представляют исследования спиновых стекол и фрустрированных спиновых систем. Проведенные экспериментальные и теоретические исследования установили, что ФС во многом проявляют свойства, отличные от соответствующих нефрустрированных систем. Это отличие отражается, прежде всего, в богатом разнообразии фаз и фазовых переходов, что обусловлено сильным вырождением и высокой чувствительностью фрустрированных систем к различного рода возмущающим взаимодействиям [33].

Вопрос о существовании нового кирального класса универсальности критического поведения на многих решетках при изучении фрустрированных систем до сих пор является дискуссионным. Многие важные физические свойства фрустрированных систем сильно зависят от геометрии решетки (от степени фрустрации). Такая зависимость может привести к сужению классов универсальности критического поведения, и этот вопрос все еще недостаточно изучен [8-11].

Большинство традиционных теоретических и экспериментальных методов исследования таких систем сталкиваются с серьезными трудностями при попытке вычислить критические параметры, определить особенности, характер и механизмы критического поведения таких систем [18, 34]. Следовательно, строгое исследование трехмерных микроскопических гамильтонианов сложных систем методами современной теоретической физики - задача чрезвычайно сложная.

Эти и некоторые другие причины привели к тому, что фазовые переходы и критические явления интенсивно исследуются методами вычислительной физики (ВФ) - методами МК и молекулярной динамики (МД) [19-21, 35-38], которые позволяют успешно исследовать критические свойства систем со сложными реалистичными гамильтонианами в широком диапазоне температур и других внешних параметров. Данные, получаемые с помощью методов ВФ, с одной стороны, можно рассматривать как «экспериментальные» и сравнивать их с различными аналитическими приближениями, а с другой стороны - как "теоретические" и сравнивать их с соответствующими экспериментами.

Одним из преимуществ методов численного эксперимента (ЧЭ) является то, что их применение не связано с малостью тех или иных параметров или другими трудностями, характерными для аналитических подходов. Погрешность контролируется в рамках самого метода. Анализ информации, полученная на основе этих методов, позволяет судить о термодинамических и кинетических свойствах системы, об ее структуре, дает совокупность характерных конфигураций или отрезок фазовой траектории. ЧЭ стал надежным и самостоятельным инструментом в исследовании молекулярных систем наряду с физическим экспериментом и аналитическими подходами [35, 39-41].

Использование методов вычислительной физики требует создания довольно больших и сложных программ для ЭВМ. Почти все программы весьма специфичны, требуют от программиста большого опыта и внимательности и, как правило, не могут быть использованы для решения различных задач. Тем не менее, в настоящее время методам вычислительной физики уделяется значительное внимание. Об этом свидетельствует разработка специализированных ЭВМ и процессоров, строго ориентированных на эти методы и решение конкретных задач статистической механики и молекулярной физики [35].

В данной работе рассматриваются некоторые вопросы теории статических критических явлений и фазовых переходов в фрустрированных спиновых системах. Объектом исследования является полностью фрустрированная модель Изинга на кубической решетке. Рассматриваемая модель сталкивается с серьезными трудностями при исследовании традиционными теоретическими методами, особенно в области фазового перехода. В рамках этой работы методами МК проведены исследования статических критических свойств полностью фрустрированной модели Изинга на кубической решетке. Экспериментальные и теоретические данные, имеющиеся в литературе по критическим свойствам этой модели противоречивы и часто не согласуются между собой. Таким образом, исследование ФП и К Я в этой модели целесообразно провести на основе методов ВФ [8-11, 18].

Другим объектом исследования является трехмерная фрустрированная модель Гейзенберга на слоистой треугольной решетке.

Интерес к этим моделям обусловлен следующими основными причинами.

Во-первых, при изучении ФС вопрос о существовании нового кирального класса универсальности на многих решетках, в частности, треугольных до сих пор является дискуссионным [9-11].

Во-вторых, многие важные физические свойства ФС сильно зависят от геометрии решетки (от степени фрустрации). Такая зависимость может привести к сужению классов универсальности критического поведения, и этот вопрос все еще недостаточно полно изучен [18].

В-третьих, первые попытки исследования этих моделей предпринимались в то время, когда мощности вычислительных машин и используемые алгоритмы метода МК не позволяли рассчитывать критические параметры с необходимой степенью точности.

Отметим также, что в литературе практически нет исследований 3d фрустрированной модели Гейзенберга на слоистой треугольной решетке с переменным межслойным обменным взаимодействием. До сих пор остается дискуссионным вопрос о зависимости критических индексов от изменения величины межслойного обменного взаимодействия.

Фрустрированные спиновые системы являются довольно сложными объектами для исследования даже методами МК. Как известно, вблизи критической точки метод МК сталкивается с проблемой "критического замедления". Кроме того, в ФС существует немаловажная проблема многочисленных долин локальных минимумов энергии. Обычные методы МК плохо справляются с решением этой проблемы. Поэтому в последнее время разработано много новых вариантов алгоритмов метода МК. Для решения этой проблемы наиболее мощными и эффективными оказались репличные алгоритмы метода МК [42].

Поэтому нами на основе репличного алгоритма исследовано статическое критическое поведение 3d фрустрированной модели Гейзенберга на слоистой треугольной решетке с переменным межслойным обменным взаимодействием.

Таким образом, исследование ФП и КЯ, в частности фрустрированных спиновых систем, исходя из трехмерных микроскопических гамильтонианов, является важной и актуальной проблемой современной статистической физики решеточных систем.

Целью работы является исследование статических критических свойств моделей фрустрированных спиновых систем как стандартным, так и репличным алгоритмами метода Монте-Карло. В процессе выполнения работы решались следующие основные задачи:

1. Разработка комплекса программ для ЭВМ, с помощью которого можно исследовать статические критические свойства моделей с фрустрациями;

2. Исследование методом Монте-Карло статических критических свойств полностью фрустрированной модели Изинга на кубической решетке. Определение статических критических индексов теплоемкости а, намагниченности Д, восприимчивости % индекса Фишера т] и индекса радиуса корреляции v этой модели, как традиционными степенными функциями, так и на основе теории конечно-размерного скейлинга (КРС);

3. Исследование репличным алгоритмом метода Монте-Карло магнитных и киральных статических критических свойств 3d фрустрированной антиферромагнитной модели Гейзенберга на слоистой треугольной решетке. Определение магнитных и киральных критических индексов а, Д Дс, у, д, г/, v и vk этой модели;

4. Исследование критического поведения и зависимости критических индексов 3d фрустрированной модели Гейзенберга на слоистой треугольной решетке от величины межслойного обменного взаимодействия;

5. Проверка справедливости теории конечно-размерного скейлинга для фрустрированных моделей.

Практическая ценность работы.

Полученные в диссертации результаты по исследованию статических критических свойств фрустрированных спиновых моделей представляют интерес для дальнейших исследований в теории магнетизма, физики фазовых переходов и статистической теории конденсированного состояния. Разработанный комплекс программ для ЭВМ формирует базу, на основе которой возможны высокоточные исследования статических критических явлений в фрустрированных спиновых системах.

Использование репличного алгоритма метода МК для исследования моделей фрустрированных спиновых систем показало, что репличные алгоритмы являются ценным инструментом при исследовании ФС, позволяют определять с высокой степенью точности критические параметры системы и являются значительно более эффективными по сравнению с классическим алгоритмом (алгоритм Метрополиса). Эти алгоритмы успешно справляются с проблемой локальных энергетических минимумов, в решении которой другие алгоритмы метода МК (стандартный алгоритм Метрополиса, одно-кластерный алгоритм Вульфа) оказались малоэффективными.

Экспериментальные результаты данной работы используются для чтения спецкурсов: «Исследование фазовых переходов и критических явлений методами Монте-Карло», «Компьютерное моделирование в физике», «Методы вычислительной физики в магнетизме», а часть программ для ЭВМ при выполнении лабораторных работ по указанным спецкурсам в Дагестанском государственном университете.

Научную новизну и значимость диссертации определяют основные положения, которые автор выносит на защиту:

1. Исследование критических свойств 3d полностью фрустрированной модели Изинга на кубической решетке. Расчет статических критических индексов теплоемкости а, намагниченности Д восприимчивости у, индекса Фишера 77 и индекса радиуса корреляции v этой модели. Доказательство принадлежности 3d полностью фрустрированной модели Изинга на простой кубической решетке к новому классу универсальности критического поведения.

2. Применение теории конечно-размерного скейлинга и репличного алгоритма метода Монте-Карло для исследования статических критических свойств моделей фрустрированных спиновых систем.

3. Исследование магнитных и киральных статических критических свойств 3d фрустрированной модели Гейзенберга на слоистой треугольной решетке на основе высокоэффективного репличного алгоритма метода МК. Расчет магнитных и киральных критических индексов теплоемкости а, восприимчивости у, ук, параметров порядка Д Д/с индекса Фишера ?] и радиуса корреляции v, vk.

4. Доказательство существования нового кирального класса универсальности критического поведения 3d фрустрированной модели Гейзенберга на слоистой треугольной решетке.

5. Исследование статических критических свойств 3d фрустрированной антиферромагнитной модели Гейзенберга на слоистой треугольной решетке с переменным межслойным обменным взаимодействием. Определение всех основных статических магнитных и киральных КИ.

6. Сложный комплекс программ для ЭВМ, позволяющий проводить высокоточные исследования статических критических явлений в моделях фрустрированных спиновых систем.

Апробация работы.

Основные результаты диссертации докладывались на следующих конференциях, совещаниях, семинарах: II всероссийской конференции по физической электронике ФЭ-2001 (Махачкала, 2001); XVIII международной школе-семинаре «Новые магнитные материалы микроэлектроники» (Москва, 2002); Международной конференции «Фазовые переходы, критические и нелинейные явления в конденсированных средах» (Махачкала, 2002); Международном симпозиуме «Порядок, беспорядок и свойства оксидов» ОМА-2003 (Сочи,

2003); Всероссийской школе-семинаре «Физика фазовых переходов» (Махачкала, 2003); II Байкальской международной конференции «Магнитные материалы» (Иркутск, 2003); XXX Международной зимней школе физиков-теоретиков «Коуровка-2004» (Екатеринбург, Челябинск,

2004); XIX международной школа-семинаре «Новые магнитные материалы микроэлектроники» (Москва, 2004); Международной конференции «Фазовые переходы, критические и нелинейные явления в конденсированных средах» (Махачкала, 2004); Международной конференции «Фазовые переходы, критические и нелинейные явления в конденсированных средах» (Махачкала, 2005); XX международной школа-семинаре «Новые магнитные материалы микроэлектроники» (Москва, 2006); 9-м международном симпозиуме «Упорядочение в металлах и сплавах» ОМА-9. (Ростов-на-Дону - пос.Лоо, 2006).

Публикации.

1. Муртазаев А.К., Рамазанов М.К. Определение класса универсальности фрустрированных систем методом Монте-Карло // Материалы II всероссийской конференции «ФЭ-2001». Махачкала: 2001 -С.192.

2. Муртазаев А.К., Рамазанов М.К. Исследование критического поведения 3d фрустрированной модели Изинга методом Монте-Карло // Труды XVIII международной школы-семинара «Новые магнитные материалы микроэлектроники». Москва: 2002. - С. 141-143.

3. Муртазаев А.К., Рамазанов М.К. Компьютерное моделирование критического поведения 3d фрустрированной модели Изинга // Труды международной конференции «Фазовые переходы, критические и нелинейные явления в конденсированных средах». Махачкала: 2002. -С.50-53.

4. Муртазаев А.К., Камилов И.К., Рамазанов М.К. Исследование критических свойств 3d фрустрированной модели Изинга методом Монте-Карло // Труды международного симпозиума «Порядок, беспорядок и свойства оксидов» ОМА-2003. Сочи: 2003. - С.195-198.

5. Муртазаев А.К., Камилов И.К., Рамазанов М.К. Исследование критических свойств 3d фрустрированной модели Изинга кластерным алгоритмом метода Монте-Карло // Труды II Байкальской международной конференции «Магнитные материалы». Иркутск: 2003.-С.120-121.

6. Муртазаев А.К., Рамазанов М.К. Статические критические свойства 3d фрустрированной модели Изинга. // Труды всероссийской школы-семенара молодых ученых «Физика фазовых переходов». Махачкала: 2003. - С.165-168.

7. Муртазаев А.К., Камилов И.К., Рамазанов М.К. Критические свойства фрустрированной модели Изинга на кубической решетке. // Материалы XXX Международной зимней школы физиков-теоретиков «Коуровка-2004». Екатеринбург - Челябинск: 2004. - С.71-В.

8. Муртазаев А.К., Камилов И.К., Рамазанов М.К. Исследование статических критических свойств фрустрированной модели Изинга на кубической решетке методами Монте-Карло. // Труды XIX международной школы-семинара «Новые магнитные материалы микроэлектроники». Москва: 2004. - С.769-771.

9. Муртазаев А.К., Камилов И.К., Рамазанов М.К., Шахмарданова Э.Н. Критическое поведение фрустрированной модели Изинга. // Труды международной конференции «Фазовые переходы, критические и нелинейные явления в конденсированных средах». Махачкала: 2004. -С.52-55.

10. Муртазаев А.К., Камилов И.К., Рамазанов М.К. Критические свойства трехмерной фрустрированной модели Изинга на кубической решетке. // ФТТ. - 2005. Т.47, №6. - С. 1125-1129.

11. Муртазаев А.К., Камилов И.К., Рамазанов М.К. Исследование критических свойств фрустрированной модели Гейзенберга на треугольной решетке. // Труды международной конференции «Фазовые переходы, критические и нелинейные явления в конденсированных средах». Махачкала: 2005 - С.14-16.

12. Муртазаев А.К., Камилов И.К., Рамазанов М.К. Статическое критическое поведение 3D фрустрированной модели Гейзенберга на слоистой треугольной решетке. // ФНТ. - 2006. Т.32, №3. - С.323-328.

13. Муртазаев А.К., Рамазанов М.К. Исследование критического поведения фрустрированной модели Гейзенберга методами Монте-Карло. // Межвузовский сборник научных работ аспирантов. Махачкала: 2006. В.З. - С.74.

14. Муртазаев А.К., Камилов И.К., Рамазанов М.К. Исследование фрустрированной модели Гейзенберга методами Монте-Карло. // Труды XX международной школы-семинара «Новые магнитные материалы микроэлектроники». Москва: 2006. - С.629-630.

15. Муртазаев А.К., Камилов И.К., Рамазанов М.К. Исследование критических свойств 3d фрустрированной модели Изинга методом Монте-Карло // Вестник ДагНЦ. - 2006. - Т.24. - С.5-10.

16. Муртазаев А.К., Рамазанов М.К., Бадиев М.К. Исследование фрустрированной модели Гейзенберга с переменным межслойным обменным взаимодействием // 9-й международный симпозиум «Упорядочение в металлах и сплавах» ОМА-9. Ростов-на-Дону -пос.Лоо:2006.-С.63-65.

17. Муртазаев А.К., Рамазанов М.К., Вахитов P.M. Компьютерное моделирование фрустрированной модели Гейзенберга на треугольной слоистой решетке // Современные информационные и компьютерные технологии в инженерно-научных исследованиях. Научно-исследовательская стажировка молодых ученых. Сборник материалов. Том II. Физика. Химия. Лекции и научные статьи. Уфа: РИЦ БашГУ, 2006. - 209 с. - ISBN. - С.59-68.

Диссертация состоит из введения, четырех глав, заключения, и списка цитированной литературы.

ЗАКЛЮЧЕНИЕ.

В настоящей работе проведено исследование термодинамического и критического поведения моделей фрустрированных магнитных систем методами численного эксперимента. На основе классического алгоритма Метрополиса исследована полностью фрустрированная модель Изинга на кубической решетке. Высокоэффективный репличный алгоритм метода МК также был применен для исследования моделей с фрустрациями. С использованием этого алгоритма исследованы статические критические свойства трехмерной модели Гейзенберга с фрустрациями на слоистой треугольной решетке. Вычислены температурные зависимости основных термодинамических величин для этих моделей. На основе соотношений теории конечно-размерного скейлинга рассчитаны все основные статические критические индексы этих моделей. Установлен характер критического поведения моделей фрустрированных систем и показано, что они образуют новый класс универсальности, отличный от соответствующих нефрустрированных моделей такого типа.

В связи с проблемами теории фазовых переходов и критических явлений определения характера критического поведения, и классов универсальности моделей с фрустрациями, исследование этих систем представляет огромный интерес.

Так исследования критических свойств фрустрированных моделей, проведенные высокоэффективным репличным алгоритмом и установленные при этом закономерности, а также подходы и методы, использованные при их исследовании и анализе данных, представляют также значительный методологический интерес.

Сложность рассматриваемых моделей не дает возможности провести строгие аналитические расчеты и делает целесообразным применение методов вычислительной физики. Следует отметить, что и методы вычислительной физики при исследовании фрустрированных систем сталкиваются с достаточными трудностями, и их исследование потребовало большой предварительной методической работы и проведения значительного объема вычислений на ЭВМ.

Основные оригинальные результаты диссертационной работы могут быть сформулированы следующим образом:

1. Проведено исследование критических свойств фрустрированной модели Изинга на кубической решетке. Рассчитаны статические критические индексы теплоемкости а, намагниченности Д, восприимчивости у, индекс Фишера г] и индекс радиуса корреляции v. Критический индекс восприимчивости у для этой модели рассчитан впервые.

2. Изучен и установлен характер критического поведения фрустрированной модели Изинга на кубической решетке. Показано, что эта модель принадлежит новому классу универсальности критического поведения.

3. Показана эффективность применения репличного алгоритма метода Монте-Карло для исследования фрустрированных систем.

4. Вычислены температурные зависимости основных термодинамических функций 3d фрустрированной модели Гейзенберга на слоистой треугольной решетке с использованием как классического алгоритма метода МК (алгоритм Метрополиса), так и высокоэффективного репличного алгоритма метода МК. Рассчитаны статические магнитные и киральные критические индексы теплоемкости а, восприимчивости у, ук, параметров порядка Д Д0 индекса Фишера г/ и радиуса корреляции v, 14.

5. Впервые рассчитан индекс Фишера г] для 3d фрустрированной модели Гейзенберга на слоистой треугольной решетке.

6. Показано, что 3d фрустрированная антиферромагнитная модель Гейзенберга на слоистой треугольной решетке образует новый киральный класс универсальности критического поведения.

7. Проведены высокоточные исследования 3d фрустрированной модели Гейзенберга на слоистой треугольной решетке с переменным межслойным обменным взаимодействием. Рассчитаны все основные статические магнитные и киральные критические индексы. Показано, что в изученном пределе критические индексы не меняются с изменением величины межслойного обменного взаимодействия.

8. Разработан сложный комплекс программ для ЭВМ с использованием стандартного (алгоритм Метрополиса) и репличного (репличный обменный алгоритм) алгоритмов классического метода Монте-Карло, позволяющий исследовать статические критические свойства моделей фрустрированных магнитных систем.

В заключении хотелось бы выразить глубокую благодарность моему научному руководителю профессору Муртазаеву Акаю Курбановичу и научному консультанту член-корреспонденту РАН, профессору Камилову Ибрагимхану Камиловичу за предложенную тему исследования, постоянное внимание и благожелательный интерес к работе, полезные обсуждения результатов и большую помощь, оказанную при выполнении настоящей работы.

Автор также глубоко признателен всем сотрудникам лаборатории вычислительной физики и физики фазовых переходов, принимавшим активное участие в обсуждении результатов работы.

1. Паташинский А.З., Покровский В.А. Флуктуационная теория фазовых переходов. - М.: Наука, 1982. - 380 с.

2. Паташинский А.З., Покровский В.А. Метод ренормализационной группы в теории фазовых переходов // УФН. 1977. - Т.121, вып.1. -С.55-96.

3. Ма Ш. Современная теория критических явлений / Пер. с англ. А.Н. Ермилова, A.M. Курбатова; Под ред. Н.Н. Боголюбова (мл.), В.К. Федянина. М.: Мир, 1980. - 298 с.

4. Вильсон К., Когут Д. Ренормализационная группа и разложение / Пер. с англ. В.А. Загребного; Под ред. В.К. Федянина. М.: Мир, 1975.-256 с.

5. Стенли Г. Фазовые переходы и критические явления / Пер. с англ. А.И. Мицека , Т.С. Шубиной; Под ред. С.В. Вонсовского. М.: Мир, 1973.-419 с.

6. Гинзбург B.JL О физике и астрофизике. М.: Наука, 1985. - 400 с.

7. Фишер М. Физика критического состояния / Пер.с англ. М.Ш. Гитермана. -М.: Мир, 1968.-221 с.

8. Loison D., Sokolov A. I., Delamotte В., Antonenko S. A., Schotte К. D., Diep H. Т. Critical behavior of frustrated systems: Monte Carlo simulations versus renormalization group // Письма в ЖЭТФ. 2000. - V.72, N.6. -C.487-492.

9. Mailhot A., Plumer M.L., Caille A. Finite-size scaling of the frustrated model on a hexagonal lattice // Phys. Rev. B. 1994-11. - V.50, N.10. -P.6854-6858.

10. Kawamura H. New Critical Behavior I-Heisenberg Antiferromagnet on the Layered-Triangular Lattice. // J. Phys. Soc. Jap. 1987. - V.56, N.2. -P.474-491.

11. Kawamura H. Monte Carlo Study of Chiral Criticality -XY and Heisenberg Stacked- Triangular Antiferromagnets // J. Phys. Soc. Jap. 1992. - V.61, N.4. - P.1299-1325.

12. Ising E. Beitrad zur theorie des ferromagnetismus // Z. Physik. 1925. -Bd.31, 3. - S.253-258.

13. Onsager L. Crystal statistics. 1: A two- dimensional model with an order-disorder transitions // Phys. Rev. 1944. - V.65, - P. 117-149.

14. Berlin Т.Н., Kac M. The spherical model of a ferromagnet // Phys. Rev. -1952. -V.86, N.6. P.821-835.

15. Lieb E.H. Residual entropy of square ice // Phys. Rev. 1967. - V.162, N.l. -P.162-172.

16. Lieb E.H. Exact solution of the F model of an antiferroelectric // Phys. Rev. Lett. 1967. - V. 18, N.24. - P.1046-1048.

17. Бэкстер P. Точно решаемые модели в статистической механике / Пер. с англ. Е.П. Вольского, Л.И. Дайхина; Под ред. A.M. Бродского. М.: Мир, 1985.-486 с.

18. Камилов И.К., Муртазаев А.К., Алиев Х.К. Исследование фазовых переходов и критических явлений методами Монте-Карло // УФН. -1999,- 169,№7.-С. 773-795.

19. Chen К., Ferrenberg A.M., Landau D.P. Static critical behavior of three-dimensional classical Heisenberg models: A high-resolution Monte Carlo study // Phys. Rev. B. 1993-1. - V.48, N. 5. - P.3249-3256.

20. Binder K., Luijten E. Monte Carlo tests of renormalization-group predictions for critical phenomena in Ising models // Phys. Reports. -2001.-V. 344. P.179-253.

21. Landau D.P. Computer simulation studies of critical phenomena // Physica A. 1994. - V. 205. - P.41 - 64.

22. Peczak P., Ferrenberg A.M., Landau D.P. High-accuracy Monte Carlo study of the three-dimensional classical Heisenberg ferromagnet // Phys. Rev. B. 1991. - V.43, N. 7. - P.6087-6093.

23. Antonenko S.A., Sokolov A.I. Critical exponents for a three-dimensional O(n) symmetric model with n>3 // Phys. Rev. E. - 1995. - V. 51, N. 3. -P. 1894-1898.

24. Swendsen R.H., Wang J. Sh. Nonuniversal critical dynamics in Monte Carlo simulations // Phys. Rev. Lett. - 1987. - V.58, N. 2. - P.86-88.

25. Wolff U. Collective Monte Carlo Updating for spin systems // Phys. Lett. -1989. V.62, N. 4. -P.361-364.

26. Ferrenberg A.M., Swendsen R.H. New Monte Carlo technique for studing phase transitions // Phys. Rev. Lett. 1988. - V. 61, N. 23. - P.2635-2638.

27. Ferrenberg A.M., Swendsen R.H. Optimized Monte Carlo data analysis // Phys. Rev. Lett. 1989, - V.63, N. 12. -P.l 195-1198.

28. Munger E.P., Novotny M.A. Reweiting in Monte Carlo and Monte Carlo renormalisation-group studies // Phys. Rev. B. 1991. - V.43, N. 7. -P.5773-5783.

29. Ferdinand A.E., Fisher M.E. Bounded and inhomogeneous Ising models. I. Specific-heat anomaly of a finite lattice // Phys. Rev. 1969. - V.185, N. 2 -P.832-846.

30. Fisher M.E., Barber M.N. Scaling theory for finite-size effects in the critical region // Phys. Rev. Lett. 1972. - V. 28, N. 23. - P. 1516-1519.

31. Фаворский И.А. Свойства малых сферических частиц с дипольным взаимодействием // ФТТ. 1980. Т.22, вып.7. - С.2222-2224.

32. Белоборов И.П., Гехт Р.С., Игнатченко В.А. Основное состояние в системах с дипольным взаимодействием // ЖЭТФ. 1983. - Т.84, №3. -С.1097-1110.

33. Гехт Р. С. Магнитные состояния и фазовые переходы во фрустрированных антиферромагнетиках с треугольной решеткой // УФН. 1989. - Т. 159, № 2. - С. 261-296.

34. Доценко Вик.С. Критические явления в спиновых системах с беспорядком // УФН. 1995. - 165, № 5. - С. 481-528.

35. Биндер К. Методы Монте-Карло в статистической физике / Пер. с англ. В.Н. Новикова, К.К. Сабельфельда; Под. ред. Г.И. Марчука, Г.А. Михайлова. М.: Мир, 1982. - 400 с.

36. Holm С., Janice W. Critical exponents of the classical three-dimensional Heisenberg model: A single-cluster Monte Carlo study // Phys. Rev. -1993-1. V.48, N. 2. - P.936-950.

37. Cullen John. J., Landau D. P. Monte Carlo studies of one-dimensional quantum Heisenberg and XY Models // Phys. Rev. 1983. - V.27, N. 1. -P.297-313.

38. Nonomura Y. New Quantum Monte Carlo Approach to Ground-State Phase Transition in Quantum Spin Systems // Jour. Phys. Soc. Jap. 1998. - V.67,N. 1.-P.5-7.

39. Крокстон К. Физика жидкого состояния / Пер. с англ. А.Г. Башкирова, И.В. Вдовиченко; Под ред. А.И. Осипова. -М.: Мир, 1978. 400 с.

40. Вуд В.В. Исследование моделей простых жидкостей методом Монте-Карло // Физика простых жидкостей / Под ред. Х.М. Темперли, Д.С. Роулинсон, Т.С. Рашбрука. М.: Мир, 1978.

41. Ермаков С. М., Михайлов Г.А. Статистическое моделирование. -М. : Мир, 1982.-292 с.

42. Mitsutake A., Sugita Y., Okamoto Y. Generalized-Ensemble Algorithms for Molecular Simulations of Biopolimers // preprint cond-mat/0012021.

43. Metropolis N., Rosenbluth W., Rosenbluth N. et al. Equation of state calculations by fast computing machines // Jour. Chem. Phys. 1953. -V.21, N. 6. -P.1087-1092.

44. Wood W.W., Parker F.R. Monte-Carlo equation of state of molecules interactions with the Lenard-Jones potential. I: A supercritical isoterm at about twice the critical temperature // Jour. Chem. Phys. -1957. V.27, N.3.-P. 720-733.

45. Изюмов Ю.А., Скрябин Ю. H. Статистическая механика магнитоупорядочных систем. М.: Наука, 1987. - 264 с.

46. Fosdik L.D. Studies of Monte Carlo method applied to the Ising lattice problem // Bull. Amer. Phys. Soc. 1957. - V. 2, N. 4. - P. 239.

47. Landau D.P. Finite-size behavior of the Ising square lattice // Phys. Rev. B. 1976. - V.13, N.7. - P. 2997 - 3011.

48. Landau D.P. Finite-size behavior of the simple-cubic Ising lattice // Phys. Rev. В. 1976. - V. 14, N. 1. - P. 255 - 262.

49. Landau D.P. Critical behavior of bbc Ising antiferromagnet in a magnetic field // Phys. Rev. B. 1977. -V.16, N.9. - P. 4164 - 4170.

50. Binder K. Thermodynamics of finite spin systems // Phys. Stat. Sol. B. -1971.-V.46,N.2.-P. 567-577.

51. Landau D.P. Critical behavior of bbc Ising antiferromagnet in a magnetic field // Phys. Rev. B. 1977. - V.16, N.9. - P. 4164 - 4170.

52. Hua L., Tucker J.W. Monte Carlo study of the anisotropic cubic spin-one Ising ferromagnet. // Jour. Magn. and Magn. Mater. 1995. - V.140-144, N. 3.-P.1509-1510.

53. Aoyama Y., Chen W., Tanaka M. Monte Carlo studies on phase transitions of the two-dimensional S = 1 Ising model with biquadratic interaction // Jour. Phys. Soc. Jap.- 1997.-V. 66, N. 1. P. 272 - 273.

54. Newman M.E.J., Barkema G.T. Monte Carlo study of the random-field Ising model //Phys. Rev. E. 1996. - V. 53, N. 1. - P. 393-404.

55. Gavlinski E.T., Kumar S., Grant M., Gunton J.D., Kaski K. Breakdown of self-similar scaling in the two-dimensional random-field Ising model: A Monte Carlo study // Phys. Rev. B. 1985. - V. 32. - P. 1575 - 1580.

56. Dekker С., Dikken B.J., Arts A.F.M. Monte Carlo investigation of diluted antiferromagnets in high magnetic fields // Sol. Stat. Com. 1985. - V.54, N. 10.-P. 887- 889.

57. Nagai 0., Yamada Y., Nishino K., Miyatake Y. Monte Carlo studies of Ising ferromagnets and the Villain model in transverse fields // Phys. Rev. B. 1987. - V. 35, N. 7. - P. 3425 - 3430.

58. Bidaux R., Boccara N. Order of phase transition in a three-dimensional Ising model with three-spin interactions // Phys. Rev. B. 1986. - V. 34, N. 7.-P. 4881 -4884.

59. Danino M. Ising lattices with four-spin interactions // Sol. Stat. Comm. -1984.- V.52,N. 10.-P. 885 -888.

60. Муртазаев A.K., Камилов И.К., Магомедов M.A. Кластерные алгоритмы метода Монте-Карло, конечно-размерный скейлинг и критические индексы сложных решеточных моделей. // ЖЭТФ 2001. - 120, №6. - С.1535-1543.

61. Coppersmith S.N. Low-temperature phase of a stacked triangular Ising antiferromagnet // Phys. Rev. B. 1985. - V. 32, N.3. - P. 1594 - 1594.

62. Kimel J.D., Black S., Carter P., Wang Y.L. Monte Carlo study of the antiferromagnetic two-dimensional Blume-Capel model // Phys. Rev. B. -1987. V. 35, N. 7. - P. 3347 - 3353.

63. Kerler W., Rehberg P. Cluster mechanisms in the fully frustrated Ising model // Phys. Rev. B. 1994. - V. 49, N. 14. - P. 9688 - 9696.

64. Муртазаев A.K., Камилов И.К., Рамазанов М.К. Критические свойства трехмерной фрустрированной модели Изинга на кубической решетке. // ФТТ. 2005. Т.47, №6. - С.1125-1129.

65. Binder К., Landau D.P. Phase diagrams and critical behavior in Ising square lattices with nearest- and next-nearest-neighbor interactions // Phys. Rev. B. 1980. - V. 21, N. 5. - P. 1941 - 1962.

66. Oitmaa J., Fernandez J.F. Phase transition in type-I fee Ising antiferromagnets // Phys. Rev. B. 1989. - V. 39, N. 16B. - P. 11920 -11927.

67. Hernandez L., Ceva H. "2+4" model: A Monte Carlo study // Phys. Rev. B. 1991. -V. 43, N. i.-P. 698-704.

68. Buendia G.M., Cardona R. Monte Carlo study of a mixed spin-3/2 and spin-1/2 Ising ferrimagnetic model // Phys. Rev. B. 1999. - V. 59, N.10. -P. 6784-6789.

69. Муртазаев A.K. Исследование кооперативных явлений в решеточных моделях магнетиков и сегнетотоэлектриков методами численного эксперимента: Диссертация канд. физ.-мат. наук ЛГУ им. А.А. Жданова.-Л., 1987,- 180с.

70. Binder К., Rouch Н., Wildpaner V. Monte Carlo calculation of the magnetization superparamagnetic particles // Phys. Chem. Sol. 1970. -V.31.-P. 391 -397.

71. Фаворский И.А., Воронцов-Вельяминов П.Н., Камара Сейдуба, Рощиненко О.М., Громова Н.Б. Моделирование магнитных кластеров методом Монте-Карло. Киев: Препринт ИТФ АН УССР, ИТФ-85-93Р, 1985.-С. 23.

72. Nijmeijer M.J.P., Weis J.J. Monte Carlo simulation of the ferromagnetic order-disorder transition in a Heisenberg fluid // Phys. Rev. E. 1996. -V.53,N. l.-P. 591 -600.

73. Murtazaev A.K., Kamilov I.K., Magomedov M.A., Khizriev K.Sh. Critical properties of model of a real magnetic Gd. // Phys. Met. Met. 2001. -V.92, - P. SI 10 - S114.

74. Murtazaev A.K., Kamilov I.K., Magomedov M.A. Monte-Carlo investigation of critical phenomena in models of real magnetics with crossovers. // Сотр. Phys. Commun. 2002. - V.147. - P.447-450.

75. Муртазаев А.К. Моделирование малых магнитных частиц V203. // Математическое моделирование. 1992. - Т.4, № 9. - С.114-120.

76. Муртазаев А. К., Фаворский И. А. Моделирование малых магнитных частиц Сг203 и Fe203. // ФНТ. 1993,- Т. 19, № 2. - С.160-164.

77. Муртазаев А. К., Алиев Х.К., Камилов И. К., Хизриев К.Ш. Критическое поведение малых магнитных частиц Сг203. // ФНТ. -1998. Т.24, № 5. - С.462-467.

78. Villain J. Spin glass with non-random interactions // J. Phys. C. Solid State Phys.- 1977.-V.10,N.10.-P.1717-1734.

79. Chui S. Т., Forgacs G., Hatch D. M. Ground state and the nature of a phase transition in a simple cubic fully frustrated Ising model // Phys. Rev. В -1982. V.25, N.ll. P.6952-6958.

80. Diep H. Т., Lallemand P., Nagai 0. Critical properties of a simple cubic fully frustrated Ising lattice by Monte Carlo method // J. Phys. C. Solid State Phys.- 1985. V.18, N.5.- P.1067-1078.

81. Bernardi L. W., Hukushima K., Takayama H. Fully frustrated Ising system on a 3D simple cubic lattice: revisited // J. Phys. A. Mathematical and General. 1999. - V.32, N.10.- P.1787-1800.

82. Loison D., Schotte K. D. First and second order transition in frustrated XY systems // preprint cond-mat/0001134.

83. Berker A. N., Grestand G. S., Soukoulis С. M., Blanckschtein D., Ma M. Orderings and renormalization-group flows of a stacked frustrated triangular system in three dimensions // J. Appl. Phys. 1984. - V.55, N.6. -P.2416-2418.

84. Olsson P. Monte Carlo study of the Villain version of the fully frustrated XY model // Phys. Rev. B. 1997-11. - V.55, N.6. - P.3585-3601.

85. Loison D. Monte Carlo cluster algorithm for ferromagnetic Hamiltonians H=JYiSiSjf II Phys. Lett. A 1999. - V.257. - P.83-87.

86. Sweeny M. Monte Carlo study of weighted percolation clusters relevant to the Potts models // Phys. Rev. 1983-1. - V.27 - P.4445.

87. Goodman J., Sokal A. D. Multigrid Monte Carlo method for lattice field theories // Phys. Rev. Lett. 1986. - V.56, N. 10. - P. 1015-1018.

88. Creutz M. Overrelaxation and Monte-Carlo simulation // Phys. Rev. D. -1987.-V. 36,N.2.-P. 515-519.

89. Schmidt К. E. Using renormalization-group ideas in Monte Carlo sampling //Phys. Rev. Lett. 1983.-V.51,N. 24. - P.2175-2178.

90. Swendsen R.H., Wang J.-S. Replica Monte Carlo simulation of spin-glasses //Phys. Rev. Lett. 1986. - V.57, N. 21. - P. 2607-2609.

91. Hukushima K., Nemoto K. Exchange Monte Carlo method and application to spin glass simulations // Jour. Phys. Soc. Jap. 1996. - V.65, N. 6. -P.1604-1608.

92. Wang J-S., Swendsen R. H. Low-temperature properties of th±J Ising spin glass in two dimensions // Phys. Rev. B. 1988. - V.38, N.7. -P.4840-4844.

93. Wang J-S., Swendsen R. H. Monte Carlo and high-temperature-expansion calculations of a spin-glass effective hamiltonial // Phys. Rev. B. 1988. -V.38,N.13.-P. 9086-9092.

94. Kandel D., Ben-Av R., Domany E. Cluster dynamics for folly frustrated systems // Phys. Rev. Lett. 1990. - V.65, N.8. - P.941-944.

95. Coddington P. D., Han L. On generalized cluster algorithms for frustrated spin models // preprint cond-mat/9402030.

96. Berg B. A., Neuhaus T. Multicanonical ensemble: A new approach to simulate first-order phase transitions // Phys. Rev. Lett. 1992. V.68, N.l. - P.9-12.

97. Hansmann U. H. E., Okamoto Y. Monte Carlo simulations in generalized ensemble: Multicanonical algorithm versus simulated tempering // Phys. Rev. E. 1996. V.54, N.l 1. -P.5863-5865.

98. Hesselbo В., Stinchcombe R. В. Monte Carlo Simulation and Global Optimization without Parameters // Phys. Rev. Lett. 1995. V.74, N.3. -P.2151-2155.

99. Barber M. N. Finite-size scaling. In: Phase transitions and critical phenomena, V.8, p.l (Academic press, New York, 1983).

100. Privman V., Fisher M. E. Universal critical amplitudies in finite-size scaling // Phys. Rev. B. 1984. - V.30, N. 1. - P.322-327.

101. Privman N. (Editor): Finite-size scaling and numerical simulation (Word scientific, Singapure, 1990).

102. Фишер M. Теория сингулярностей в критической точке // Устойчивость и фазовые переходы / Пер. с англ. С.П. Малышенко, Е.Г. Скроцкой. М.: Мир, 1973. - С.373.

103. Коренблит И. Я., Шендер Е. Ф. Спиновые стекла и неэргодичность // УФН. 1989. - Т. 157, № 2. - С. 267-310.

104. Rammal R., Toulouse G., Virasoro M. A. Ultrametricity for physicists // Rev. Mod. Phys. 1986. - V.58, N.3. - P.765-788.

105. Binder K., Young A. P. Spin glass: Experimental facts, theoretical concepts, and open questions // Rev. Mod. Phys. 1986. -V.58, N.4. -P.801-976.

106. Rowe J. M., Rush J. J., Hinks D. G., Susman S. Neutron Scattering Study of the Dynamics of (KCN)0.5 (KBr)0.5 // Phys. Rev. Lett. 1979. - V.43, N.16.-P.1158-1161.

107. Reich D. H., Rosenbaum T. F., Aeppli G., Guggenheim H. J. Ferromagnetism, glassiness, and metastability in a dilute dipolar-coupled magnet // Phys. Rev. B. 1986. - V.34, N.7. - P.4956-4958.

108. Edwards S. F., Anderson P.W. Theory of spin glasses // J. Phys. F.: Met. Phys. 1975. - V.5, N.5. - P.965-974.

109. Cannella V., Mydosh J. A. Magnetic Ordering in Gold-Iron Alloys // Phys. Rev. B. 1972. -V.6, N.ll. -P.4220-4237.

110. Ефимова Н. Н. Фрустрированиые состояния типа спинового стекла в разбавленных ферримагнитных оксидах // ФНТ. 2005. - Т.31, № 5. -С.513-529.

111. Toulouse G. Theory of the frustration effect in spin glasses. // Commun. Phys. 1977. - V.2, N.4. - P. 115-119.

112. Доценко В. С. Физика спин-стекольного состояния // УФН. 1993. -163, №6.-С. 1-37.

113. Parisi G. A sequence of approximated solutions to the S-K model for spin glasses // J. Phys. A: Mathematical and General. 1980. - V.13, N.4. -P.L115-L121.

114. Parisi G. Order Parameter for Spin-Glasses // Phys. Rev. Lett. 1983. V.50, N.24. -P.1946-1948.

115. Villain J. Two-level systems in a spin-glass model: II. Three-dimensional model and effect of a magnetic field // J. Phys. C: Solid State Phys. 1978. -V.11,N. 4. -P.745-752.

116. Fradkin E., Huberman B. A., Shenker S. H. Gauge symmetries in random magnetic systems // Phys. Rev. B. 1978. -V.18, N.9. - P.4789-4814.

117. Wannier G. H. Antiferromagnetism. The Triangular Ising Net // Phys. Rev. 1950. - V.79, N.2. - P.357-364.

118. Forgacs G. Ground-state correlations and universality in two-dimensional fully frustrated systems // Phys. Rev. B. 1980. - V.22, N.9. - P.4473-4480.

119. Danielian A. Low-Temperature Behavior of a Face-Centered Cubic Antiferromagnet // Phys. Rev. 1964. - V.133, N.5A. - P.A1344-A1349.

120. Slawny J. Low-temperature expansion for lattice systems with many ground states // Journal of Stat. Phys. 1979. - V.20, N.6. - P.711-717

121. Mackenzie N. D., Young A. P. Low-temperature series expansions for the FCC Ising antiferromagnet // J. Phys. C: Solid State Phys. 1981. - V.14, N.27. - P.3927-3934.

122. Phani M. К., Lebowitz J. L., Kalos M. H. Monte Carlo studies of an fee Ising antiferromagnet with nearest- and next-nearest-neighbor interactions // Phys. Rev. B. 1980. - V.21, N.9. - P.4027-4037.

123. Grest G. S., Gabl E. G. Monte Carlo Study of Spin-Glass Ordering on Dilute Frustrated Lattices // Phys. Rev. Lett. 1979. - V.43, N.16. -P.1182-1185.

124. Kirkpatrick S., in Disordered Systems and Localization, edited by C. Castellani, C. D. Castro, L. Peliti (Springer, Berlin, 1981), P.291.

125. Blankschtein D., Ma M., Berker A. N. Fully and partially frustrated simple-cubic Ising models: Landau-Ginzburg-Wilson theory // Phys. Rev. B. -1984.-V.30, N.3. -P.1362-1365.

126. Grest G. S. Fully and partially frustrated simple cubic Ising models: a Monte Carlo study // J. Phys. C: Solid State Phys. 1985. - V. 18, N.33. -P.6239-6246.

127. Anderico C. Z., Fernandez J. F., Streit T. S. Numerical study of the spin-glass transition in a dilute Ising model on a triangular lattice // Phys. Rev. B. 1982. - V.26, N.7. - P.3824-3830.

128. Kosterlitz J. M., Thouless D. J. Ordering, metastability, and phase transitions in two-dimensional systems // Journal of Physics C: Solid State Physics. 1973. -V.6, N.7. -P.l 181-1203.

129. Teitel S., Jayaprakash C. Phase transitions in frustrated two-dimensional XY models // Phys. Rev. B. 1983. - V.21, N.l. - P.598-601.

130. Alexander S., Pincus P. Phase transitions of some fully frustrated models // Journal of Physics A: Mathematical and General. 1980. - V.13, N.l. -P.263-273.

131. Fernandez J. F., Farak H. A., Poole C. P., Puma J. M. Monte Carlo study of a Heisenberg antiferromagnet on an fee lattice with and without dilution // Phys. Rev. B. 1983. - V.27, N.7. - P.4274-4280.

132. Kawamura H. Universality of phase transitions of frustrated antiferromagnets // J. Phys.: Condens. Matter. 1998. - V.10, N.22. -P.4707-4754.

133. Малеев С. В. Рассеяние поляризованных нейтронов в магнетиках // УФН. 2002. - Т. 172, № 6. - С. 630-646.

134. Plumer М. L., Mailhot A. Tricritical behavior of the frustrated XY antiferromagnet // Phys .Rev.B.-1994.-V.50,N.21.-P.16113-16116.

135. Wang J., Belanger D. P., Gaulin B. D. Specific-heat critical behavior of CsMnBr3 and holmium: Two tests of chiral universality // Phys. Rev. Lett. 1991. - V.66, N.24. - P.3195-3198.

136. Deutschmann R., Lohneysen H. von, Wosnitza J., Kremer R. K., Visser D. Critical behaviour in the specific heat of an antiferromagnet with chiral symmetry // Europhys. Lett. 1992. - V.17, N.7. - P.637-642.

137. Mason Т. E., Gaulin B. D., Collins M. F. Neutron scattering measurements of critical exponents in CsMnBr3: A Z2>= j antiferromagnet // Phys. Rev. B. 1989. - V.39, N.l. -P.586-590.

138. Kadowaki H., Shapiro S. M., Inami Т., Ajiro Y. New universality class of antiferromagnetic phase transition in cesium tribomomanganate // J. Phys. Soc. Jpn. 1988. - V.57, N.8. - P.2640-2643.

139. Ajiro Y., Nakashima Т., Unno Y., Kadowaki H., Mekata M., Achiwa N. New critical exponent /3 of the XY antiferromagnet on stacked triangular lattice, cesium tribromomanganate // J. Phys. Soc. Jpn. 1988. - V.57, N.8. -P.2648-2650.

140. Plakhty V. P., ICulda J., Visser D., Moskvin E. V., Wosnitza J. Chiral Critical Exponents of the Triangular-Lattice Antiferromagnet CsMnBr3 as Deteraiined by Polarized Neutron Scattering // J. Phys. Rev. Lett. 2000. -V.85, N. 18. -P.3942-3945.

141. Биндер К., Хеерман Д. В. Моделирование методом Монте-Карло в статистической физике / Пер. с англ. В.Н. Задкова. М.: Наука, 1995. - 144 с.

142. Камилов И. К., Алиев X. К. Статические критические явления в магнитоупорядоченных кристаллах. Махачкала: Изд-во ДНЦ РАН, 1993.-200 с.

143. Ferrenberg А. М., Landau D. P. Critical Behavior of the three-dimensional Ising model: A high-resolution Monte Carlo study // Phys. Rev. В. 1991-П. - V.44, N: 10.-P.5081-5091.

144. Муртазаев A.K., Камилов И.К., Рамазанов M.K. Статическое критическое поведение 3D фрустрированной модели Гейзенберга на слоистой треугольной решетке. // ФНТ. 2006. Т.32, №3. - С.323-328.