Статистическая механика сильно неупорядоченных систем тема автореферата и диссертации по физике, 01.04.02 ВАК РФ

/го ^

АКАДЕМИЯ НАУК СССР ИНСТИТУТ ТЕОРЕТИЧЕСКОЙ ФИЗИКИ ИМЕНИ Л. Д. ЛАНДАУ

На правах рукописи

ФЕЙГЕЛЬМАН Михаил Викторович

УДК 538.9

СТАТИСТИЧЕСКАЯ МЕХАНИКА СИЛЬНО НЕУПОРЯДОЧЕННЫХ СИСТЕМ

(спиновые стекла и смежные вопросы)

01.04.02 — теоретическая и математическая физика

Диссертация на соискание ученой степени доктора физико-математических наук в форме научного доклада

Черноголовка — 1Й9Й

Работа выполнена в Институте теоретической физики имени Л. Д. Ландау АН СССР

Официальные оппоненты: доктор физ.-мат. наук С. В. Малеев доктор физ.-мат. наук С. А. Бразовский доктор физ.-мат. наук М. И. Каганов

Ведущая организация: Физический институт АН СССР

Защита состоится « » 199 г.

в часов на заседании специализированного совета

Д 002.41.01 по присуждению ученой степени доктора физико-математических наук при Институте теоретической физики им. Л. Д. Ландау АН СССР (142432, Московская область, Ногинский район, Черноголовка, ИТФ АН СССР)

С диссертацией можно ознакомиться в библиотеке ИТФ АН СССР

Диссертация разослана « » 1990 г.

Ученый секретарь специализированного совета доктор физ.-мат. наук

В. П. Минеев

Введение

Актуальность темы. Экспериментальные и теоретические исследования физики неупорядоченных магнитных сплавов привели в середине 70-х годов к открытию (Кгшеяла и Ыайдош, 1972) принципиально нового типа фазового состояния таких систем, которое получило название спинового стекла (Эдварде и Андерсон, 1975). Это состояние характеризуется прежде всего резким замедлением спиновой динамики (и полным ее замерзанием при нулевой тете»» ратуре), не сопровождающимся, однако, появлением какого-либо макроскопического магнитного упорядочения.

Возникающая при низких температурах магнитная "структура" спиновых стекол хаотична в пространстве и не описывается в тер» минах спонтанного нарушения симметрии. В этом отношении спиновые стекла аналогичны обычным стеклам (твердым телам без кристаллического порядка), что и выразилось в их названии. Существенное же отличие спиновых стекол состоит в том, что само происхождение такого низкотемпературного состояния качественно легко понять: оно возникает из-за конкуренции ферромагнитных и антиферромагнитных взаимодействий между спинами в неупорядоченном твердом магнитном сплаве. Существенное различие энергетических масштабов атомной диффузии и магнитной релаксации позволяет рассматривать поведение магнитной подсистемы при замороженной конфигурации атомов. Это облегчает проведение точных экспериментов по определению свойств магнитной подсистемы и, с другой стороны, позволяет с большей степенью определенности выбрать вид гамильтониана, описывающего магнитные взаимодействия при замороженном атомном беспорядке. Указанные обстоятельства обусловили быстрое развитие как экспериментальной, так и теоретической физики спиновых стекол. В результате этих исследований было экспериментально показано, что спиновое стекло представляет собой особую ниэхотемперагурную термодинамическую фазу, отделенную от парамагнитной фазовым переходом второго рода. Основным свойством этой фазы является сильно выраженная неэргодичность, то есть зависимость состояния системы от ее предыстории. Строго говоря, этил свойством обладают и обычные упорядоченные фазы (так, например, в изинговском ферромагнетика средний спин может-быть направлен "вверх" или "вниз", причем энергии этих

состояний совпадают). Однако, принципиальное отличие фазы спинового стекла состоит в том, что число различных, близких во энергии, метастабильных состояний термодинамически велико, причем они на переводятся одно в другое каким-либо преобразованием симметрии, С этим связано второе важнейшее свойство спиновых стекол - очень медленная релаксация неравновесных состояний, характеризуемая наличием бесконечно широкого спектра времен релаксации. Основным достижением теории спиновых стекол является детальное исследование (Паризи 1980, Сомполинский 1981) модели спинового стекла с бесконечным дальнодействием (Шеррингтон и Киркпатрик, 1975) (аналога модели Кври-Вейсса для ферромагнетиков). Было обнаружено, что эта модель имеет низкотемпературную фазу с сильной неэрголичностью и термодинамически большим числом метастабильных состояний, отдаленных друг от друга термодинамически высокими барьерами. Таким образом, появилась баг-зовая модель, описывающая наиболее фундаментальные свойства спиновых стекол. Однако, с самого начала было ясно, что эта модель по своей формулировке довольно далека от реального З-х-мерного спинового стекла. Поэтому одно из направлений развития теории и состояло в попытках исследования реалистических З-х-мерньк моделей спинового стекла и выяснения их отличий от модели Шерринг-тона-Киркпатрика (ШК). Эта задача до сих пор не макет считаться вполне решенной, хотя уже получен ряд весьма ценных результатов.

Второе важное направление связано с исследованием родствен* ных спиновым стеклам сильно неупорядоченных систем, обладающих той или иной степенью пространственной упорядоченности. Эти системы (напр., аморфные случайно-анизотропные ферромагнетики, вихревые ' решетки в неупорядоченных сверхпроводниках и др.) макроскопически эквивалентны спиновым стеклам в том смысле, что об» ладают теми же фундаментальными свойствами неэргодичности и медленной релаксации, С другой стороны, локально эти системы существенно отличаются от спиновых стекол, поскольку обладают достав точно протяженным ближним порядком, и микроскопические механизмы образования в них стекольного состояния заметно отличаются от таковых в спиновых стеклах.

Наконец, третье активно развивающееся направление, возникшее в 1982-83 г.г., связано с обобщением идей и методов теории

- 2 -

спиновых стекол на нефизические сложные системы с конкурирующими взаимодействия;.!!! и беспорядком. К таковым относятся статистические модели ассоциативной памяти (Хопфилд, 1982), модели предбиологической эволюции (Андерсон, 1983), статистические методы решения задач оптимизации (Киркпатрик и др., 1933).

Таким образом, к настоящему времени развитие теории спиновых стекол привело к развитию целого направления в статистической физике - теории сильно неупорядоченных систем. Под сильно неупорядоченными здесь понимаются системы с макроскопическим числом низколекащих метастабильных состояний, появляющихся из-за наличия конкурирующих взаимодействий и вмороженного беспорядка (в этом смысле разбавленные ферромагнетики, например, не я в.я я-« ются сильно неупорядоченными, поскольку здесь флуктуирует только величина, а не знак взаимодействия). В настоящее время происходит развитие различных, взаимодополняющих, методов теории сильнонеупорядоченных систем. Это позволяет, с одной стороны, реиать конкретные экспериментально поставленные задачи, а с другой - обнаруживать общие свойства весьма различных на первый взгляд систем, что поможет перейти к созданию единой теории сильно неупорядоченных систем. Среди развиваемых сейчас подходов следует отметить метод полевой ренормализационной группы, оперирующий с эффективным гамильтонианом неупорядоченной системы, полученным усреднением по беспорядку в исходной статистической суше ("метод реплик"); ренормализационную группу, использующую точные собственные функции линейного приближения; метод "матрицы переноса", весьма эффективный для одномерных задач. Кроме того, сохраняет свое значение и метод среднего поля, позволяющий полностью исследовать различные неупорядоченные системы в приближении, аналогичном модели ШК для спиновых стекол, и создать тем самым основу для более детального исследования этих систем.

Основные направления исследования. В настоящей диссертации содержатся результаты исследований по всем трем вышеупомянутым направлениям в теории сильно неупорядоченных систем. Первое из них представлено теорией фазового перехода в трехмерных спино- . вых стеклах. Для построения теории используется модель спинового стекла с большим, но конечным радиусом взаимодействия, позволяющая последовательно вывести эффективный гамильтониан медленных

- 3 -

переменных для спинового стекла в окрестности точки перехода, и затем провести процедуру ренормировки этого гамильтониана в базисе собственных функций линейного приближения.

Среди исследований второго направления следует отметить теорию трехмерных спиновых стекол с локальным ближним порядком, построенную на методе полевой ренорыгруппы в "репличном" представлении, теорию аморфных случайно анизотропных ферромагнетиков (использующую оба вышеупомянутых варианта ренормгруппы), и теории пиннинга волн зарядовой плотности, основанную на методе случайной трансферматрицы. Третье направление представлено исследованиями статистических моделей ассоциативной памяти, где использованы различные варианты метода среднего поля. Кроме того, в диссертации исследованы некоторые низкотемпературные свойства спиновых стекол, а также динамика границ в неупорядочеи-ных средах.

Научная ценность и новизна. Оригинальные результаты, представленные в диссертации, опубликованы в работах /1-24/, и могут быть кратко сформулированы следующим образом:

- построена диаграммная техника для усредненных гриновских функций спинового стекла вблизи фазового перехода, выполнено

разложение для критических индексов перехода, показана неустойчивость исследованного сценария фазового перехода в размерности пространства ;

- предложен оригинальный метод исследования трехмерного фазового перехода в спиновом стекле в модели с взаимодействием большого, но конечного радиуса, построена дискретная ренорм-группа в базисе собственных функций обменной матрицы, приводящая к представлению о критической иерархии мод, показано существование истинного фазового перехода, исследован вид критических аномалий нелинейной восприимчивости и времени релаксации;

- исследована аномальная долговременная релаксация спиновых стекол существенно выше точки фазового перехода;

- исследовано влияние дефектных обменных связей на затуха-, ние спиновых волн в ферромагнетиках; показано, что в системах с фрустрацией связей затухание длинноволновых возбуждений пропорционально их частоте;

- изучена модель одаомерного спинового стекла с осциллирую-

щим взаимодействием большого радиуса, выявлены медленные переменные, определяюгцие низкотемпературную релаксацию; показано, что фазовое пространство системы обладает фрактальной структурой;

- исследованы спиновые стекла с ближним порядком спирального типа, показано, что такие стекла должны образовываться в редкоземельных сплавах типа ^-х Ях Г К1 1 ^ ^ при малых концентрациях магнитных атомов X < Ю-'"; предсказано существование в таких системах низкотемпературной фазы, отличной от классического спинового стекла и исследованы ее свойства;

- исследованы двумерный и трехмерный слоистый вариант л'Т-модели ферромагнетика со слабой случайной анизотропией, в двумерном случав показано существование промежуточной фазы типа фазы Бсрезинского, а такке низкотемпературной "стекольной" фазы; для слоистой системы показана неустойчивость двумерного поведения относительно трехмеризации;

- показано существование низкотешературной фазы без дальнего порядка, но с конечной спиновой жесткостью в трехмерной X Т модели со слабой случайной анизотропией;

- исследована модель ферромагнетика с сильной случайной анизотропией, применимая к сплавам типа аморфного О1- Си_ ; показано существование фазового перехода в состояние спинового стекла с локальными ферромагнитными корреляциями, исследовано поведение восприимчивости и радиуса корреляции вблизи 1С ;

- предложен новый подход к исследованию одномерных вырожденных систем с беспорядком, представляющий собой синтез метода "матрицы переноса" и метода функций распределения для неупорядоченных систем;

- исследована проблема слабого пиннинга несоизмеримых волн зарядовой плотности (ВЗП) иа дефектах, вычислены низкочастотные асимптотики проводимости и плотности фазонных мод;

- исследован ганнинг ВЗП на рассеивающих вперед дефектах в присутствии потенциала соизмеримости, вычислено поведение диэлектрической восприимчивости пиннингованной ВЗП в зависимости от близости к порогу соизмеримости;

- исследована динамика плоской границы (доменной стенки, солитона), движущегося в неупорядоченной среде; найдена зависи-

- 5 -

кость критической силы срыва пиннинга от температуры и типа дефектов среда;

- методами теории спиновых стекол исследована фазовая диаграмма модели Хопфилда для ассоциативной распределенной памяти;

- с помощью метода динамического производящего функционала исследовано обобщение модели Хопфилда на случай асимметричных связей между "нейронами"; показано, что система сохраняет способность к работе в качестве ассоциативной памяти;

- предложен алгоритм записи иерархически организованных образов и исследована емкость соответствующей модели памяти;

- рассмотрена модель с одновременным взаимодейстием трех и более нейронов, позволяющая существенно увеличить емкость паг-мяти;

- исследована модель памяти с низким средним уровнем активности и большим числом запоминаемых образов.

Апробация работа.. Диссертация содержит результаты 24 работ, опубликованных в СССР и за рубежом. Работы докладывались на теоретических семинарах в ИТФ АН СССР, Ш АН СССР, СИАН СССР, ЛИЯ5 АН СССР, 5ТИ АН СССР, на Всесоюзной конференции по избранным вопросам физики твердого тела (Звенигород 1984), Всесоюзных симпозиумах по теоретической физике (Одесса 1979, 1961), Всесоюзных конференциях по физике низких температур (Таллинн 1984, Тбилиси 1986), Конференции стран СЭВ по физике низких темпера* тур (Варна, 1983), Международном семинаре ИТФ - НОРДЛТА (Москва, 1985), Советско-Индийской конференции по физике низких температур (Москва, 1986), Международной конференции по сложным системам (Будапешт, 1988). Широкий круг результатов, представленных в диссертация, содержится в обзоре /25/.

Основные -результаты настоящей диссертации получены в Институте теоретической физики им.Л.Д.Ландау АН СССР, частично в соавторстве с В.М.Винокуром, Бик.С.Доценко, Л.Б.Иоффе, М.Б.Ми-неевым, А.М.Цвеликом и М.В.Цодыксом.

Основное содержание

I. Фазовый переход в спиновом стекле /1-5/.

1.1. Диаграммная техника, разложение и нижняя критическая размерность. После обнаружения Эдвардсом и Андерсоном /26/ фазового перехода в состояние спинового стекла (характеризуемого ненудесш значением "стекольного" параметра порядка Ц. )

в приближении среднего поля, встал вопрос о характере этого перехода в более реалистических моделях с конечным радиусом взаимодействия. Этот вопрос обсуждался в работе /27/, где предложенный в /26/ метод реплик использовался для построения ренормали-зационной группы для эффективного гаыильтонина, и были найдены критические индексы стекольного фазового перехода в парамагнитной фазе для размерностей пространства Л-С-С , где £ считается малым (при с1> 6 сохраняются результаты теории среднего поля). Сами по себе эти результаты не позволяют получить информацию о свойствах и даже существовании аналогичного фазового перехода при ¿-3, поскольку не исключают возможности, что нижняя критическая размерность теории с!с (при с1<с!с фазовый переход, по определению, отсутствует) может оказаться больше 3. Для определения необходимо исследование влияния флуктуа-ций на свойства низкотемпературной фазы. Для изучения этого вопроса в работе /I/ была развита диаграммная техника для усредненных корреляционных функций ССгГ-^)--^,; » характеризующих фазовый переход в изинговском спиновом стекле. Гамильтониан имеет вид

ники Вакса-Ларкина-Пикина /28/, где узлы соответствуют одноточечным спиновым корреляторам, а связи - обменным интегралам Основной объект ДТ - корфункция ССГ"П<)- - возни-

кает в результате совместного усреднения двух диаграммных рядов' для спинового коррелятора ^ ч' ~ ^ ^ * Графическое представление затравочного коррелятора Сс(г) приведено на рис.1 -- это простая лестничная последовательность (которую далее будем

- 7 -

обозначать двойной линией)

Рис.1.

Аналитическое выражение, соответствующее рис.1, имеет вид:

СгЛк> "('" "МгО - (2)

I ; т- ; ^ J\k-o>

Поправки к érDÛÔ связаны с заменой одноточечного коррелятора [Ц на полную собственно-энергетическую часть 2? :

G (?)= - Л7) 'Ш)/г2)', где

Рис.2.

Суммирование поправок для 2/' с учетом тождества^

(справедливого при О , то есть при Г>£ )

приводит при cL= ô к паркетным уравнениям для коррелятора G и вершины - G"5 ("Г?.' Sj « % • Пример паркетного

Решение соответствующих паркетных уравнений имеет нуль-зарядный вид и может быть продолжено по размерности на £-£ . Получающиеся критические индексы совпадают с найденными в /27/. Нетривиальная ситуация возникает при построении аналогичной ДТ

- 8 -

для низкотемпературной фазы. Вычисление показывает, что при Т<ТС и без учета флуктуационкых поправок коррелятор ^ Ук2 , то есть имеются бесцелевые моды. В обычных фазовых переходах появление бесщелевых мод связано со спонтанным нарушением непрерывной симметрии (теорема Голдстоуна), и симметричные причины обуславливав слабость взаимодействия длинноволновых мягких мод. В спиновом стекле нет никаких симметричных причин для слабости взаимодействия мягких мод - затразочная вершина взаимодействия остается конечной при К -у о .В результате петлевые поправки типа показанной на рис.3 приводят к росту эффективного взаимодействия в инфракрасной области К1« ^'-02~~О В отличие от нуль-зарядной ситуации, имевшейся в критической области ¡с г »1Т-Х.1 , а области малых кг решение паркетных (при с!= б) уравнений приводит к ситуации инфракрасного полюса, т.е. взаимодействие мягких мод оказывается очень сильным и истинный вид коррелятора <3 ОО существенно отличается от затравочного (?с(к). Аналогичная структура решения уравнений ренормгруппы (РГ) сохраняется и в размерностях <1 в интервале 4 <-с1<. 6. Однако при с! = 4 уже сами диаграммы для собственно-энергетической части 2 начинают расходиться при К О , что, по-види-моиу, свидетельствует об изменении типа фазового перехода или вообще об его отсутствии при с! ^ 4. Для изучения этого вопроса в работах /2-4/ был разработан оригинальный подход, позволяющий работать непосредственно в размерности <£= 3, к изложению которого ш и переходим.

1.2. Эффективный гамильтониан для медленных переменных вблизи

В работе Таулесса, Андерсона и Палмера (ТАИ) /29/ была найдена свободная энергия спинового стекла с бесконечным радиусом взаимодействия (модель ШК /30/) как функционал локальных намагниченностей (^с ~

(здесь Уь - число компонент вектора ). Для трехмерного спи- 9 -

нового стекла с конечным, но большим радиусом взаимодействия (координационное число 2й* 1) функционал (3) используется для вывода эффективного гамильтониана медленных переменных вблизи точки фазового перехода. Центральным пунктом предложенного в par* ботах /2-4/ подхода является использование разложения поля наг-магниченности ^ по собственным функциям обменной мат«

рицы y.j :

, J7(4)

Существенными для фазового перехода медленными переменными являются амплитуды аЛ собственных мод с собственными значениями

Е* в окрестности "квазикрая" спектра - 2-С? У'\ В пре-

деле ¿г-'оо оказывается точным краем спектра , при-

чем все собственные функция с Е^б«** делокализованы .

При конечном спектр р (5) имеет экспоненциально убы— вающий "хвост" в области £л ^ L ~ ,

причем соответствующие локализованы. В области £с

находится граница между локализованными и делокализованными собственными функциями - порог локализации £с . Именно собственные мода йх с £л вблизи порога ответственны за критическое поведение трехмерного спинового стекла. Их эффективный гаг-мильтониан получается из функционала (3) исключением "быстрых" мод (с "энергиями" с^ в глубине спектра) и имеет вид

ч 74 z fe1- ч J2~ (Я/ у _ J iM- Q^y}

'J

(5)

где ~ 21 0.х Ч-'^О включает сумму только по собствен-

ным кодам в окрестности ив "хвосте". Эффективный гамиль-

тониан (5) является основой для анализа фазового перехода и построения дискретной РГ.

1.3. Иерархия взаимодействий и критическая иерархия мод.

В области приведенных температур Г соб-

ственные моды с > "с1- являются линейно неустойчивыми

вблизи л* - о , т.е. минимум М(АО достигается при йлг 4 О, При этом взаимодействие между такими локализованными модами очень мало в силу их экспоненциально малой плотности. Иначе говоря, в парамагнитной среде возникают отдельные кластеры коррелированных спинов. По мере понижения температуры плотность таких кластеров возрастает, а при 'С '4- ^ они занимают долю ~ I от общего объема системы, поэтому необходимо учитывать и взаимодействие между различными модами О а . Имеется два различных типа таких"взаимодейсгвий - "четные", т.е. зависящие только от абсолютных величин , '-V (напр. <Зл"аД Ч^^ и "нечетные", зависящие и от единичных векторов - с7"л /<зА (напр. ¿Г/^йу Е ^^)^(<■) ). Принципиально важное свойство спинового стекла с большим 2 - относительная малость "нечетных" взаимодействий, связанная с осциллирующим характером собственных функций Ч'х^ и большим радиусом их локализации: "нечетные" матричные элементы содержат малость по сравне-

нию с "четными". Это означает, что существует область приведенных температур "С ^ Т0 , где необходимо учитывать четные взаимодействия, но можно пренебречь нечетными. При понижении температуры вглубь этой области граница между линейно устойчивыми и неустойчивыми (последние будут далее именоваться конденсированными) модами на шкале (будем обозначать эту границу

с а ) приближается к порогу локализации £<_ , то есть пространственный размер образующихся "кластеров" коррелированных спинов резко возрастает. Здесь важно заметить, что термин "кластер" в действительности не вполне применим к локализованным модам вблизи порога локализации, поскольку каждая собственная функция

(с £с ) перекрывается со многими другими собст-

венными функциями того же типа, так что значение локальной намагниченности Иц, в данном узле зависит от большого числа амплитуд собственных мод с^ . Сильное пространственное пере— • крытие локализованных мод позволяет (в пренебрежении нечетными взаимодействиями) вывести уравнение самосогласования для зависимости от температуры Т" . Решение этого уравнения для случая

- II -

изинговских спинов имеет вид (при —'Г » тс ):

* I ; У- (6)

и О С.^,

где 0 - критический индекс теории локализации, определяющий рост объема локализации собственных функций ^ С ) при

1/Л ->(£>. . Решение типа (6)

имеет место, если 0 > 2, что подтверждается численными расчетами для случайной матрицы в трехмерной системе /31/. Как видно из (6), при понижении температуры (росте -"Г ) граница области конденсированных мод ¿'д асимптотически приближается к порогу локализации ч . Это приводит к росту нечетных взаимодействий, которые вызывают корреляцию между эффективными "спинами" - Ох /с1х , определяющими направления собственных амплитуд

0,Л (причем абсолютные величины 0,х определяются четными взаимодействиями и не зависят от нечетных). Эффективный гамильтониан взаимодействия "гиперспинов" ¿>л имеет тот же вид, что и исходный гамильтониан спинового стекла (I):

где матричные элементы 1х/^ случайны по знаку и величине, зависят от амплитуд конденсированных мод и растут с понижением температуры. При некоторой температуре

— Г - Г± ~ » Го (р<уз) (8)

взаимодействие (7) становится сильным, так что следует рассматривать проблему спин-стекольного разового перехода применительно к гамильтониану (7). Иначе говоря, проведено дискретное РГ преобразование от исходной модели спинового стекла к аналогичной .' ей модели для коллективных степеней свободы - гиперспинов Од . Единственным параметром, входящим в гамильтониан (I), является координационное число 2 » предполагавшееся большим. Для построения РГ преобразования необходимо найти связь между '¿- и эффективным координационным числом 2(Г,) , для гамильтониана (7) в критической области (т.е. при — 7 - Гу ). Как показано в работах /2,4/, эта связь имеет вид

^ = ^(Г,) ^ (9)

где показатель ^ > I (точное его значение определяется значениями индексов скейлинговой теории локализации, см. /32/, а также обзор /25/). Таким образом, исходное приближение г?»1 улучшается при РГ преобразовании, поэтому использованную процедуру можно с понижением температуры повторить, перейдя к гиперспинам второго уровня и т.д. Так образуется иерархия локализованных коллективных мод, число уровней которой растет с понижением температуры. Обозначим через Т^ температуру, при которой формируются гиперспины //-ого уровня иерархии. Последовательность Ты определяется рекуррентным соотношением /2,4/:

Т^с^-.тГ (10)

где ) ~ ^лм • ^ ростом Л/последователь-

ность Ты сходится к точке сгущения 71 . При "Т"-' ^ О число уровней иерархии стремится к бесконечности, а вместе с ним расходятся спин-стекольная восприимчивость Л„<г и время релаксации /2-4/. Это позволяет заключить, что является точкой фазового перехода в состояние спинового стекла. Подчеркнем необычный характер этого фазового перехода, отличающий его от до сих пор известных: вместо макроскопической конденсации в кал-куо-либо делокализозанную моду ш здесь имеем макроскопическое число локализованных мод, сильное взаимодействие которых приводит к "вырастанию" иерархии критических степеней свобода.

1.4. Аномальная релаксация в парамагнитной фазе.

Физические /32/ и численные /33/ эксперименты показывают, что спиновые стекла обладают аномальными динамическими свойствами и при' температурах существенно более высоких, чем темпера*-тура перехода 47- . В отличие от парамагнитной фазы упорядоченных магнетиков, где асимптотика функции автокорреляции СЮ^&ЫБ-кУ> при Т>7с имеет вид ^ «грС-^О ,

в спиновых стеклах при Т > Т^ убывает существенно медленнее. В частности, нередко наблюдается асимптотика типа "растянутой экспоненты":

его со чхрС-^У] ; ^ (II)

причем "нормальное" экспоненциальное поведение обнаруживается

- 13 -

лишь при температурах Т~> 4 где 10 существенно выше Т^. /33/. Физической причиной такого поведения являются флуктуации случайного обменного взаимодействия в пространстве, приводящего к появлению областей с локально повышенной температурой перехода. В таких областях кластеры сильно коррелированных спинов образуются при температурах, превышающих . Времена релакса*-ции таких кластеров велики, поэтому они вносят основной вклад в коррелятор С СО при больших "¿г . В работе /5/ асимптотика была вычислена для двух конкретных моделей спинового стекла: модели (I) с большим, но конечным координационным числом 2 , и для Рудерман-Киттелевского спинового стекла. В первом случае для вычисления С (¿г) удобно, как и в задаче о критическом поведении, использовать разложение поля намагниченности по собствен-

ным функциям <4^ (О обменной матриид . В области приведенных температур Т >;> Те основной вклад дают конденсированные моды , отвечающие глубоко локализованным собственным функциям. Взаимодействием между такими модами можно пренебречь, поэтому достаточно написать независимые уравнения движения для величин О-^ . Мы ограничимся здесь случаем изинговских спинов. Диссипативные уравнения движения для величин ^д могут быть записаны в виде

■X __(12)

Г ъ* ~ 0 ах

где Г - кинетический коэффициент, ланжевеновский тепло-

вой шум, а

есть зависящая только от ^л .--.сть эффективного гамильтониана (5), а - объем локализации собственной'

функции ФЛСО '(выражение (13) справедливо для мод с >5 Г ^ , вносящих главный вклад в долговременную релаксацию). Медленная релаксация связана с редкими активационными процессами изменения знака величин 0>, (для чего необходимо преодолевать высокий барьер свободной энергии л р (слЗ ) • Полное выражение для функции автокорреляции С И) имеет вид

СЮ - ^^Ю **РI- (14)

где р Я?"1) - плотность собственных состояний

с энергией £ . Можно показать, что л,Р(£)~ сч £11 , где Ог,-= С1, В результате из уравнения (14) следует степенной ■

закон релаксации: ^

С со ; (15)

Перейдем теперь к случаю гейзенберговского спинового'стекла с КККУ взаимодействием:

' ' : ' Л (г) - ^Ссг' (16)

и малой концентрацией магнитных моментов с . Температура фазового перехода в такой системе •'--;.: ; (17)

/где. Тр - ■ '*• энергия взаимодействия спинов, находящих-

ся на минимальном расстоянии а • В области температур Тс <" Т< 10 имеются локальные кластеры из N спинов, находящиеся друг от . друга на расстояниях Р- <. Г(Т) - г) '3 . Каждый такой кластер вносит вклад в релаксацию, вращаясь как целое с характерным временем ^ N . Вероятность найти такой кластер экспоненциаль-■ V но мала: Ргок (V) -схр [- и (у/с гЧт))] . В результате . : для функции корреляции С СО имеем

СОЬ) оо «,*р [- сеч* (с <ц £ )"г] (18)

Результат (18) справедлив при Т^ Т << 70 .

2. Спиновые стекла при низких температурах .

В этом разделе будут рассмотрены некоторые низкотемпературна свойства спиновых стекол, допускающие количественное иссле-. доаание вне рамок теории среднего-поля.

2.1. Динамика спиновых волн в системах с фрустрацией.

^ ' Как известно, длинноволновые спиновые волны в геПзенбгр-. * . говском ферромагнетике являются хорошо определенными возбуждениями,т.е. отношение Ук) /и) затухания к частоте стремится к нулю при уменьшении волнового вектора к!_ . Это свойство сохраняется и для неупорядоченных ферромагнетиков, если обменные интегралы флуктуируют только по величине, но не по знаку. Ситуа-

- 15 -

ция принципиально изменяется при наличии случайно распределенных антиферромагнитных обменных интегралов. Этот эффект наиболее удобно изучать на модели ферромагнетика с малой плотностью антиферромагнитных связей определенной величины, отвечающей' резонансному рассеянию магнонов /6/.

Для изотропного ферромагнетика на кубической решетке с взаимодействием ближайших соседей (величины = I) к резонасному рассеянию магнонов приводят антиферромагнитные связи величины -. На каждой такой связи формируется квазиуровень с энергией £с = с<3\ . При конечной плотности АШ

связей с > £о ферромагнитное состояние с максимальным моментом оказывается неустойчивым, и необходимо решать задачу типа модели Андерсона (в бозевском варианте) о взаимодействии обычных спиновых волн и магнонов, локализованных на АФМ связях. Невозможность двукратного заполнения одной дефектной связи из-за сильного отталкивания локализованных магнонов приводит к бозевскому варианту модели Хаббарда с амплитудой перескока дипольного типа:

(19)

где ХоТ , У,Г, У- операторы Хаббарда для локализованного

состояния на связи (Л «О , _ . Исследова-

£ ^ £ ^

ние гамильтониана (19) было проведено в работе /6/ в рамках ви-риального разложения /34/, применимого при выполнении условия |£в-бо| ^С > где СО - существенные частоты. В частности, . было показано, что в низкотемпературном пределе Гл магнитная восприимчивость системы конечна, а теплоемкость линейна по температуре:

у Со) ; С (т)~ ' • (£0)

Такое поведение является следствием наличия "двухуровневых систем": на каждой дефектной связи возможны состояния с ыагноншм числом заполнения О или I. Прямое вычисление плотности со-

стояний при низких энергиях приводит к результату

^Ссо) = . = } -Н , (21)

при Бозе-статистике возбуждений, что эквивалентно фермиевской системе с постоянной плотностью состояний у ~ ,

- 16 -

Рассеяние спиновых волн с импульсом ^ на локализованных магнонах приводит к их (волн) затуханию, которое имеет вид

- % (22)

где СОаС^) - затравочный спектр спиновых волн. Таким образом, при низких температурах Т £<, существует широкая область частот V £ со £о »в которой отношение затухания к частоте не зависит от частоты. При Т= 0 это отношение остается постоянным при <^0 : ^ ,

ЛЫ Ш- - Р ^ ,23)

и), IV 0

Такое поведение принципиально отличается от известного для изотропных ферромагнетиков и возникает из-за образования ка дефектных связях своеобразной подсистемы типа дипольного стекла из двухуровневых систем (эквивалентных спинам 1/2). До сих пор обсуждался весьма выделенный случай кШ связей вполне определенной величины. В более общем случае распределения величин ."7/ с характерной шириной Д^ с мы получили бы аналогичные результаты, отличающиеся лишь заменой с1//£„4 в (23) и других формулах на величину порядка с/д . Для сильно неупорядоченных систем типа спиновых стекол, где концентрация связей разных знаков порядка единица, отсюда следует качественный вывод: £ ~ 1 и затухание длинноволновых возбуждений имеет тот же порядок величины, что и их частота.

2.2. Одномерная модель спинового стекла - низкие температуры

Представление об иерархической структуре метастабильных состояний в спиновом стекле ниже является весьма распространенным, однако, основано оно главным образом на результатах исследования /35/ модели ШК /30/ с бесконечным радиусом взаимодействия, а также на качественных соображениях для систем с ко-роткодействием /36/, Поэтому представляет интерес количественное исследование хоти бы простейших моделей спиновых стекол с конечным радиусом взаимодействия, приводящих к аналогичным результатам. В работе /7/ была предложена и изучена одномерная модель изинговского спинового стекла с гамильтонианом

Н Д^-З)

'' 0 ' (24)

- 17 -

где спины расположены случайно с концентрацией Ссг р0 , причем радиус взаимодействия "Х- 1 велик: Эе^ С. . Это условие позволяет стартовать с приближения среднего поля и вывести эффективный гамильтониан для медленных степеней свободы, описывающих низкотемпературные релаксационные процессы:

где V&) - el СЦ" cos ф + (,) . Здесь ^. = if (к.) _ ^ зовая переменная, связанная с величиной среднего спина ffj выражением ръ - среднее значение сопряженной (¿азе у> амплитуды, определяемое не зависящими от медленной переменной ^р "массивными" степенями свободы ( J?o ^ при I о ). Разумеется, истинный фазовый переход в одномерной модели (24) отсутствует, однако условие позволяет рассматривать квазиравновесную термодинамику на масштабах времен -много меньших чем время разрушения амплитуды р одномерными флуктуациями. Гамильтониан (25) формально напоминает гамильтониан одномерной волны зарядовой плотности в поле дефектов (отличаясь, однако, видом потенциала 1/Ф9 ). Поэтому для исследования структуры низкотемпературных состояний можно применить метод "случайной трансфер-матрицы", разработанный в /16/ (см. раздел 5 настоящего текста). Основной объект такого подхода - свободная энергия полубеоконечной цепочки спинов (f) , зависящая от фазц If = (ft, на последнем спине S"* . Анализ рекурентно--го стохастического уравнения для функции в случае потенциала (25) показывает /7/, что при низких температурах / «Т„-С характерная £ k (ц> у представлена в виде суммы волн многих масштабов £от iv Т;Го до V ■ ), причем для характер-лой амплитуды ■ Ерр) волны масштаба ^ имеем соотношение

£f<p) <г*0~''А ФЩ ; '.'" (26) ■

Второе важное соотношение связывает ^ и пространственный масштаб X (<Р) , вдоль которого скорректирована волна масштаба Ф :

ХС<Р) - ОЧрср"* . (27)

физически соотношения (26-27) означают, что изменение спиновой конфигурации, связанное со сдвигом фазы +- Ф , имеет

характерный пространственный масштаб ХЧтО и характерную энергию СКФ") (изменяющуюся в интервале от Е^^ ~ "П^-,)*'1 до

- Ш

Таким образом, довольно простая модель (24) при низких температурах обладает широким распределением энергетических барьеров и, соответственно, времен релаксации. На масштабах времени Г"Ь ^ реализуется состояние "абсолютной

неэргодичности" /36/ (все переходы между "долинами" заморожены), при 1г ^ ^ ~ -Ь, сср(е^х/г^) разрешены все переходы; в наиболее интересной области ¿г. г «1 ±2. реализуется явление "эффективной неэргодичности" /36/, когда результаты термодинамических измерений медленно зависят от масштаба времени измерения (что характерно для трехмерных спиновых стекол). Более того, простой анализ скейлингового соотношения (26) показывает, что минимумы функций £.(<?) представляют собой фрактальное множество (вложенное в отрезок [9, ) с фрактальной размерностью ~ . Полное число минимумов £(т) на периоде (Р/1т ) растет с понижением температуры как

ИСт) -Ч^/гУ'з (при ^с « Г/Г, « 1 ), причем новые, более мелкие минимумы возникают путем расщепления старых. Минимумы £&) отвечают метастабильным состояниям спинор-вой системы, которые оказываются организованными иерархическим образом (сы. рис.4). Важно заметить, однако, что в данном случае иерархичность является более слабой, чем в модели Ж, и не означает строгой ультраметричности пространства метастабильных состояний. Скейлинговые оценки (26), (27) позволяют также вычислить динамический отклик в области эффективной неэргодичности. В частности, для мнимой части магнитной восприимчивости имеем

Ъ. рвау и {28)

3. Спиновые стекла со спиральным ближним порядком.

3.1. Постановка задачи и эффективный гамильтониан

Классический подход к теории спиновых стекол, следующий работе Эдвардса и Андерсона /26/, рассматривает состояние спиново-

Рис.4.

го стекла как полностью хаотическое в пространстве - вследствие быстро осциллирующего поведения обменных взаимодействий и случайного расположения магнитных моментов (среднее расстояние между спинами С много больше длины волны -осцилляций взаимодействия 2пУро ; длЯ нкКУ сплавов ра?/>/= ). В действительности, однако, это условие не всегда достаточно для полной хао-тизации магнитной структуры. При достаточно большом радиусе обменного взаимодействия образующаяся при низких температурах магнитная структура обладает ближним порядком спирального (для изинговских спинов - синусоидального) типа /8-10/. Для исследования таких структур удобно использовать гамильтониан (I) с обменным взаимодействием и'- — , Сурье-преобразование которого имеет вид ^

: . (29)

Здесь Э£. ^ - радиус взаимодействия, предполагающийся большим, так что координационное число

2 ^ С.^» 1- (30)

Взаимодействие (29) почти изотропно в пространстве: .

в простейшем приближении можно пренебречь анизотропией, соответствующий обменный интеграл имеет

вид , л )РР

ЯС^-КС^ге а;,Лг (31)

и является трехмерным аналогом взаимодействия (24). Физически взаимодействие типа (29) может возникать вследствие обмена пара-магнонами в металлах, близких к образованию волны спиновой плотности /37/. Такая ситуация, в частности, реализуется в разбавленных редкоземельных сплавах У|-хО-с1х с Х^I /38, II/.

Основным параметром, определяющим наличие локальных корреляций в системе с взаимодействием (29), является

У ■=■ ^ (32)

¿ЛГС.

При

Уъ I исследусмая система эквивалентна модели Эдвардсаг-Ан-дерсона, в то время кал при ^^ I необходимо учитывать корреляции между различными Зу } и при температурах Тс (^^сЮ'.^ возникает локальная спиральная структура (спины считаем классическими гейзенберговскими) вида

З^с^^+сЦ^ (зз)

где + ; Си<£> €?'аг) -* '' ^¿'(г) -комплекс-

ный вектор, задающий плоскость вращения спирали в спиновом пространстве (вектор нормали к этой плоскости п - СШ ,

\ ¿и^ I2" - амплитуда спиральной структуры

<= С7- Гс)/Т<_ ). В пренебрежении анизотропией взаимодействия (29) и без учета флуктуации концентрации спинов.,свободная энергия системы вырождена по отношению к направлению волнового вектора спирали (ЗГ, что приводит к сильно развитым флуктуациям фазовой переменной 1р(г_)/39/. Эффективный длинноволновый гамильтониан для полной фазы 0 (г) в "чистой" системе имеет вид

... <*>

функдея Грина фазовых флуктуаций

, что

приводит к логарифмической расходимости среднего «С в

трехмерной системе. Суммирование логарифмов методом ренормгруппы проведено в работе /40/; показано, что корреляционная функция

- 21 -

< §"со) Б огЪ> ^ <?*р С- (¿п. г)С/г_)

Пространственные флуктуации расположения спинов приводят к локальному_снятию вырождения по отношению к направлению волнового вектора 61 - С7 в, что выражается в появлении дополнительного члена в гамильтониане вида

Й^&гСг^^ -(35)

где -^т-^") представляет собой случайное векторное поле с малым радиусом корреляции. _

Наконец, учет анизотропного члена в (29) приводит к

появлению в эффективном фазовом гамильтониане члена

НЛ<9]- <36)

—. ^ I А

где - направление р , отвечающее максимуму ,

- ^Р-1/^>рх) • Взаимодействие (36) снимает выро-

ждение по направлениям ¿Г и подавляет длинноволновые флуктуации О . Аналогичную роль в случае достаточно сильной легкоплоскостной анизотропии, фиксирующей направление вектора /•£ , играет магнито-дапольное взаимодействие между спинами: минимум магнито-дипольной энергии отвечает колинеарным векторам О" и I? , соответствующий вклад в Н имеет вид

Нл [е) - - £ -ч $ а'г - ь-)г (37)

где - ^Стг /\ц[0 , - постоянная дипольного взаимодействия между спинами ^ .

3.2. РГ-анализ: разрушение дальнего порядка

Предполагая, что анизотропные члены Нмалы, начнем с исследования длинноволнового гамильтониана в виде Н (&] = ° Н0[1Э] * й*[6 } , Удобно использовать метод реплик /26/, позволяющий формально усреднить по вмороженному беспорядку до вьн числения статистической суммы. Возникающий репличный гамильтониан удобно записать в безразмерных переменных в виде

н щ=$в -

-1 Г (ШЩ

(38)

С.

где индексы нумеруют реплики, число которых. У устрем-

ляется к дулю в конце вычислений. Параметр измеряет силу тепловых флуктуаций, параметр (( X - степень беспорядка, затравочные значения А и В равны I. Затравочная функция Грика, отвечающая (38), имеет вид

- ^ * , ^ (39)

Аналитические выражения для поправок к параметрам А и В пропорциональны

где - инфракрасное обрезание. ¡Сак видно из (40), беспорядок приводит к появлению квадратичных инфракрасных расходимостей. Суммирование таких поправок проведено /9/ методом ¿~~<£ разложения (в размерности (А = 5 выражение (40) имело бы логарифмическую расходимость). В первом порядке по £1 ренормпрованные параметры 4(7? , (¿(у) имеют вид Д 0) соО) ,

) 00 1 ге/,/1 , что означает частичную изотропизацкю спектра флуктуаций. Дополнительные аргументы, приведенные в /9/, позволяют заключить, что в размерности с1 = 3 ренормированный спектр является в смысле размерностей изотропным, и функция Грина на малых импульсах р « ^ (р 4) ^ ¿Л имеет вид

гт- р, Эи . -х- 1 (41)

Сер) - [а (ркг1-* Жр*'1]'

где Д } 3 ~ __ . Вычисление пространственных

флуктуаций фазы ~(£&Ь>) ~ О с помощью ренормированного кор-

релятора (41) показывает, что локальный спиральный порядок полностью разрушен на болыдих масштабах. Соответствующая корреляционная длина ^ и в продольном к вектору <£ направлении есть

* ф- * ягчагг)-1 , (42)

в то время как поперечная корреляционная длина существенно меньше: . ,. . ...

3.3. Стекольный параметр порядка и магнитная восприимчивость /10/.

Величина параметра порядка Эдвардса-Андерсона уеу( - 7у (on определяется силой тепловых флуктуаций фал-

зы в окрестности спиральной структуры. В изотропном приближении (38) коррелятор фаз имеет вид (41), и ^ $ &/>) JV расходится степенным образом. Слабые■анизотропные взаимодействия (35), (36) обрезают эту расходимость, приводя к следующей зависимости параметра Эдвардса-Андерсона от температуры:

ei-E*(-> ' f (44)

гда n^Co.^fHfS's""

Здесь £д для гейзенберговских спинов, и £ = <?д + для

У Y спинов. Изложенные результаты применимы при £« , в

противном случае направление волнового вектора © фиксировано и сильные фазовые флуктуации отсутствуют.

Магнитный отклик системы является анизотропным, поскольку разрушение дальнего порядка спиральной структуры не сопровождается разрушением порядка по направлениям вектора нормали )ъ, Восприимчивость по отношению к параллельному полю Ltl (лежащему в плоскости (<?,, ) ) зависит от соотношения параметров П и ¿Г . Наиболее интересные результаты относятся к случаю уи/з се n«L* когда

^-ifciMiq/i-f.^-AW'"^]} мп

имеет максимум при C^l ~ "С* — Пs/" . В этой же точке имеет очень резкий максимум нелинейная восприимчивость %, ♦

= ©V'^j (47)"

где -fOc) м У14 при y^ I и fft)box~Z1/i при I.

Представляет интерес также температурное поведение дифференциальной магнитной восприимчивости 2 в зависимости от величины 1Ч . В окрестности /Г' ~ увеличение 1ц сначала приводит, вследствие (47), к уменьшению У-^) .

- 24 - ' '

В то же время при более низких температурах возникает нелинейный по (ги эффект, связанный с усилением разрушения спирального порядка в присутствии магнитного поля (однородное поле /ц, действует на разбавленную спиральную структуру подобно случайному полю в ферромагнетике). Поэтому с увеличением поля 1гц спектр фазовых флуктуация размягчается и величина параметра П растет. В результате этого уменьшается величина '/¿д и растет восприимчивость • Характерная величина поля к„ , необходимого для размягчения спектра фазовых флуктуащй, есть

10 с ^ЩУУ^ГьГ" (48)

Качественный вид зависимости У-нСГ^ при различных величинах К,, представлен на рис.5:

А^СтЛ.)

_ т

Т' . Т£

Рис.5.

3.4. Приложения теории: разбавленные сплавы на основе иттрия /II/.

Изложенная теория, по-видимому, непосредственно применима к разбавленным редкоземельным сплавам типа "Т/-х ^л » гДе

,ТЪ (\£0,01). Нейтронные эксперименты /41, 42/ на системе V- ^У-х с Х^ 1.5.10"^ указывают на существование упорядо-

- - 25 -

чекиой спиральной структуры с длиной волны -2СД,

При температурах выше и вплоть до Ч C~Q - г.г.ю") =

- б,& К) наблюдался узкий пик магнитного диффузного рассеяния, отвечающий наличию спиновых коррзляций с характерной длиной ^

- 300 А. Существование таких корреляций в парамагнитном состоянии является следствием косвенного обмена через парамагноны ит-трлевой матрицы, что должно приводить к взаимодействию типа (29) с длиной взаимодействия -зе~'-300 А. Данные для р. и ъч. позволяют оценить параметр теории }> (32) в зависимости от атомной концентрации магнитных ионов:

У^ / О"3 х"' (49)

Для радиусов корреляции структуры при низких температурах получим из (42), (43):

ел , Ki - I, T-io'ix сai (50)

Для использованных в /41,42/ концентраций измерявшийся радиус fi„ оказывается макроскопическим. Для обнаружения спинового стекла с локальным спиральным порядком наиболее интересно исследовать область концентраций X •* ЗЫО""3, причем следует измерять также и поперечный радиус корреляции . Заметим также, что аналогичный подход монет быть полезен и для некоторых НШУ-сплавов с умеренной концентрацией магнитных ионов /10, 38/.

4. Ферромагнетики со случайной анизотропией

4.1, ХУ модель со слабой анизотропией случайного знака

Хорошо известно /43/, что случайная анизотропия разрушает дальний порядок в гейзенберговских и планарных (ХУ) ферромагнетиках в размэрности пространства ¿<4. Вместе с тем возникает вопрос, существует ли какая-либо иная низкотемпературная фаза в таких системах и каковы ее свойства. В работах /12, 13/ этот вопрос изучается на примере ХУ ферромагнетика со случайной анизотропией вида «i.föto'Shif , где 1сй) ~0 , J&7 <Кх') — Д Six-x'J У - угол в спиновой плоскости ХУ, ib - порядок анизотропии. В работе /12/ рассмотрена двумерная задача с гамильтонианом

Н - tfiM^ ¿OocssnrfJ'x {5I)

Выражение (51) написано без учета вихрей, то. есть применимо при

т<т г

*г

^■г . Для последующего будет существенна окрестность температуры Т* - Мг-'- > поэтому пренебрежение вихрями возможно При п.3- 3. Для исследования статсумш с гамильтонианом (51) при температуре 7*1 ш используем хорошо известное соответствие между бозонами и фермионами в двумерном пространстве-времени /44/ и перейдем от модели (51) к эквивалентной ей модели Тирринга со случайной массой фермионоз:

Нр Н + ^ П + Л (52)

где ^ есть двухкомпонентное спинорное поле, С^Рч-)-^*^^-^ - - ~т~!>- • Теория (52) является логарифмически перенормируемой, паркетные уравнения для "зарядов" су и ° имеют вид

' ¡^-рГ- Ьп ' • (53)

Решение уравнений (53) существенно зависит от знака ^ . При Т>Т'

имеем

(54)

С ^

то есть беспорядок асимптотически не сущестсен, сохраняется фаза Берсзинского с несколько пониженной эффективной температурой. При Т4- Т* (%<,>&) решение уравнений (53) имеет "нуль-зарядную" асимптотику:

то есть эффективная температура на больших масштабах остается разной Т*, и, следовательно, на происходит фазового перехода в состояние спинового стекла. Качественно картина перенормировки температуры показана на рис,б:

Рис.5,

___ у

У

/м Парамагнитная

///1 фаза

Рис.7. т«. т7

27 -

В случае Ц = 1,2 формально определенное значение I Поэтому картина ренормировочных траекторий, начинающихся при Т ^ Т^ , имеет, по-видимому, вид, показанный на рис.7, что означает отсутствие всякого фазового перехода в такой системе.

В работе /13/ исследовано обобщение рассмотренной модели с П"5 3 на случай 3-х-мерной слоистой системы со слабым меж-слойкым взаимодействием вида

з (56)

о

где ^ - номер слоя. Эта модель также допускает фермионное представление, в котором межслойное взаимодействие (56) приобретает вид четырехфермионного взаимодействия:

J ^

Полный гамильтониан Нр + Нх также является логарифмически ренормируемым, однако в данном случае заряда , зави-

сят не только от логарифмической переменной ^ , но и от расстояния между слоями 1<--к\ , поэтому приходится использовать метод "быстрого паркета" /45,46/, приводящий к системе интегродиффе-ренциальшх уравнений на функции р) } £¿.6, Ч )

( - волновой вектор, сопряженный к (I -к) ). Как и в чисто двумерном случае, характер решения этой системы уравнений зависит от знака * При с о (Т>"г~*) "двумерное" решение (54) остается устойчивым, а межслойное взаимодействие слабым в пределе больших масштабов -»■«о . При ^.^о (т< г*) картина принципиально меняется. Решение типа (55) оказывается неустойчивым по отношению к межслойному взаимодействию (57), причем все заряда растут с ростом ^ . В го же'время решение типа "движущегося полюса" - •

¿Д?) "(У.Ср-Ъ)4 ' (58)

где ~ ^ — , характерное для ^уравнений быстрого пар-

• кета без"случайного" заряда , оказывается неустойчивым при

/ 0. Единственным возможным типом решения оказывается "стоячий полюс" .

7-1 <59>

соответствующий фазовому переходу в состояние типа спинового

стекла, нэ обладающего пространственными корреляциями .в направлении между слоями. Таким образом, в квазидвумерной модели ("с Т* является температурой стекольного перехода.

4.2. Трёхмерная ХУ модель со случайными осями анизотропии /14/.

Гамильтониан имеет вид И -1 ? -1) к№ (60)

и

где направления осей анизотропии о; случайны, а ее величина мала: ■ 3 ■ Качественный анализ типа Имри - Ма /43/ показывает, что при низких температурах Т<.<- 71 дальний порядок разрушается на масштабе L ^ 0^]>)г » а магнитная восприимчивость У. ^ (Р^У. С повышением температуры и приближением к

растет радиус корреляции Й.с флуктуаций амплитуды параметра порядка: у-^г/^ . На масштабах' спиновые конфигурации описываются длинноволновым фазовым гамильтонианом

ИОО - ^ ^№3л + Л*) (б1)

гвг.

где &(Г) ^ а-т/гсу ; ^л ~'/О , а^«* (см./47/). Для длины фазовой корреляции получаем

Магнитная восприимчивость (Т) 00 I- Ст) '

Результаты (£>2), (£3) справедливы при (когда

можно пренебречь влиянием беспорядка на критические флуктуации), то есть при (! - Т/г^) - Г^ , <гь2(^-2^)'' .

Вид особенностей в непосредственной окрестности 7с. исследовать пока не удалось.

4.3. Аморс^ые магнетики с сильной случайной анизотропией • /15/'

• Обсуждавшиеся выше результаты для ферромагнетиков со сп&-бой случайной анизотропией неприменимы для некоторых аморфных сплавов (напр. ВуСи, ВуШ, ), где энергия случайной анизотропии

- 29 -

сравнима с обменной энергией или дате больше ее. В настоящем разделе рассматривается аналог модели (60) для гейзенберговских классических спинов в случае сильной анизотропии I) ^Л > причем считается, что радиус обменного взаимодействия 36.7* велик, то есть ,

сэгГл»1 (64)

(это предположение необходимо для объяснения заметного роста магнитной восприимчивости и радиуса корреляции, наблюдаемых в зтих сплавах с понижением температуры /48/).

Условие "Ь^О позволяет считать спины ^ коллинеар-ныки осям ¿1 : С~ } с^ - +1 , поэтому задача ока-

зывается эквивалентной изинговской с эффективной матрицей взаимодействия —»

о (65)

Условие (64) позволяет провести стандартное преобразование- Хаб-барда-Стратоновича для статсуымы и перейти к функциональному интегралу по непрерывному векторному полю МСг) с гамильтонианом

где М(п) представляет собой усредненное по малому объему значение спина , {'хрО*)1^ - вмороженное поле осей случайной анизотропии. Вследствие условия (64) гамильтониан (66) для усредненного поля М (г) фактически эквивалентен гамильтониану ферромагнетика со слабой случайной анизотропией. С понижением температуры радиус корреляции Ц<.(С) и восприимчивость растут как в Кюри-Вейссовском ферромагнетике:

^кГ'т4'2 1 ^ (67)

вплоть до значения ^ - Г„ ^. При поле слу-

чайной анизотропии разрушает ферромагнитное критическое

поведение. Для исследования этой области в /15/ было использовано формальное приближение большого числа компонент спина I/ (в реальной задаче К!= 3). При этом должно быть выполнено условие

/V «■ ос3, поскольку в обратном пределе область ферромагнитных корреляций отсутствует и нааа система эквивалентна изинговскому спиновому стеклу с переменными (параметр Л/эг'/с аналоги- 30--

чен параметру У в теории спиновых стекол со спиральной структурой) .

Анализ модели (66) с проводится аналогично обсуждав-

шемуся в разделе I исследованию спинового стекла с большим координационным числом 2 . Векторное поло представляется в виде разложения по собственным функциям квадратичной части гамильтониана (65):

МЛСГ) - ^Ъ^Сг) (63)

Как и в случае спинового стекла с в области температур

¡XI ^"Со не происходит истинного фазового перехода, а имеется лишь сгояаоуегот парамагнитного поведения при Т ~Г0 к суперпарамагнитному при -т^ Г"» . Медленными переменны™ в суперпарамагнитной области являются амплитуды конденсированных мод с вблизи порога локализации. Рост длины локализации с понижением температуры не вызывает роста длины ферромагнитных корреляций, который не превышает

Юс ■я"' » г£л (68)

однако приводит к усилению взаимодействия между знаками амплитуд локализованных мод . В полной аналогии с изложенным в разделе 1.3 система изинговских переменных <5^ эквивалентна изинговскому спиновому стеклу с большим эффективным координационным ЧИСЛОМ 2/ •

Таким образом, фазовый переход в аморфном магнетике с ферромагнитным обменом и сильной случайной анизотропией относится к тому же классу универсальности, что и изинговские спиновые стекла (этот результат получен в пределе Л/»1, однако можно ожидать, что он справедлив и для А/ = 3; в то же врем случай 2 может оказаться особым из-за коммутативности группы симметрии 0(2) ). В то же время исследованная система обладает локальными ферромагнитными корреляциями довольно большого радиуса даже при длине взаимодействия эе~' незначительно большей среднего расстояния между спинами (см. (68)).

5. Примесный пиннинг волн зарядовой плотности и доменных границ

5.1. Метод случайной трансфер-матрицы для одномерных неупорядоченных систем /16, 17/ - 31 -

Задача о поведении одномерных структур в поле дефектов является одной из простейших нетривиальных проблем теории сильно неупорядоченных систем.

Количественный метод исследования таких систем удобно сформулировать на примере модели одномерного ХУ ферромагнетика в случайном поле:

Н М ^ I ^ ^-О (69)

— п и

где случайные вмороженные фазы о(я некоррелированы на разных узлах, а величина V считается малой: К« 3 . • Низколежащие состояния системы являются локальным минимумами энергии (69). Д-:я исследования свойств этих состояний полезно рассмотреть статистическую су;.ыу модели (69) при низких температурах Т~* 0. В теории упорядоченных одномерных систем известен метод трансфер-матрицы /49/, позволяющий свести вычисление статистической сум-кы к решению уравнения типа Иредингера для функции (р) - статистической суммы системы из К! переменных при фиксированном значении фазы У^Ч'л/ Б последнем узле. В случае неупорядоченной системы (69) такое уравнение Шредингера оказывается нсста?-ционарным; удобный метод его исследования состоит в переходе от статсуммы (И к свободной энергии £^6/) СуО , для

которой получается следующее рекуррентное уравнение:

О»)-£*(<*> = -^-/"^У т-

(70)

При выполнении условия V« 3 функция С<р) мало меняется при сдвиге на один шаг: « поэтому уравнение

(70) имеет смысл функционального уравнения Ланяевена с последним членом в качестве случайной силы. В дальнейшем мы ограничимся случаем очень низких температур и поэтому опустим второй член в (70). Введем величину , определяемую как положение минимума функции ЕЛ^:

и величину

определяющую "жесткость" системы по отношению к сдвигу фазы относительно минимума. Величина ^ играет роль локальной цели в спектре фазовых флуктуации, поэтому нас интересует, в первую очередь, функция распределения ^'(¡г) величии .Из уравнения (70) можно получить зацепляющуюся систему рекуррентных уравнений для величин Уд, ; Ри и всех высших производных

_ (3 . Качественный анализ этой системы урав-

нений показывает, что все величины р,^-1 имеют один порядок величины ,,

Л-р/У* (73)

поэтому получить функщю распределения в общем виде вряд

ли возможно. Дело, однако, упрощается, если нас интересуют асимптотики Л\г(р>) при р> ^ р>в или р. В первом случае оказывается возможным выполнить усреднение по всем ]Ъ(гг,:> с 1~п 3 и получить замкнутое уравнение на Га/(р) , решение которого имеет вид <

"Г£№.)*! (74,

При |Ъ удобно рассмотреть разложение функции (у) в ряд по Зурье-гармоникам. В результате оказывается, что при уз. <</3л амплитуды с6"} высших ( 2) гармоник малы по сравнению с , а функция распределения имеет вид /17/

(75)

Результаты (74), (75) были использованы /17/ для вычисления термодинамических величин, таких как энергия основного состояния и радиус корреляции

и^^иР^У* (76)

Однако, результаты (74), (75) относятся к распределению величины в последней точке одномерной системы. Для определения низкочастотных динамических свойств необходимо знать аналогичное распределение для величины -С^^/г^')/,,. где сы М ~ £^

- 23 -

- полная свободная энергия как функция фазы 93 в произвольной точке внутри систеш. Соответствующая функция распределения ~\л7(Я0 определяется путем сшивки решений для €<Sp) к £' (V) > полученных изложенным выше методом для правой и левой частей систеш. В результате для асимптотики функции получаем /17/:

WCfO - А } ß«^ ГА-О "7)

h Р>

формула (77) определяет плотность вероятности нахождения областей с локально пониженной энергией пиннинга.

5.2. Одномерная волна зарядовой плотности (ВЗП) в поле дефектов /16, 18, 19/.

Длинноволновый гамильтониан одномерной ВЗП имеет вид

hm-W 4* -

- V0COS hilf - Vbk)Ccs (Sx-Kf)J

(78)

Здесь (x) - потенциал примесей, рассеивающих электроны назад, VyT; v'b(*o ~ zl^ ') , Е - электрическое поле, l^i^J -потенциал рассеяния вперед, Vaccsm^f - потенциал соизмеримости, (т_ - параметр несоизмеримости. В простейшем случае V0 = 0 пин-нинг осуществляется только потенциалом рассеяния назад. Для свободной энергии S^éf) получается уравнение, аналогичное (70). Масштаб энергии пиннинга дается величиной

(79)

Уравнение для малых колебаний ВЗП вблизи локального минимума энергии имеет (при слабой диссипации) вид

(80)

где Ц - скорость фазонов. Плотность низколеяащих фазонных мод определяется плотностью областей с локально пониженной энергией пиннинга, причем локальная частота колебаний В результате для плотности состояний имеем

CJ^g ■ (81)

Для вычисления частотной проводимости 5~Си') следует заметить, что она отличается от р Си) присутствием матричного элемента, пропорционального длине ¿(си) локализованного состояния с частотой СО . Длина локализации фазона с частотой W не может быть меньше ; большие же длины локализации маловероятны,

поэтому по порядку величины получаем {'(¿ы) ~ . В результате для ) получаем

что совпадает с известной формулой Березинского J SO/ для частотной проводимости невзаимодействующих одномерных электронов. Понять смысл этого замечательного совпадения можно заметив /19/, что бозонный лагра!:чиан, соответствующий динамическому уравнению (80), эквивалентен лагранжиану модели Тирринга с дополнительным членом, описывающим рассеяние фермиоков назад, при сильном отталкивании между фермионаыи. Модель Березинского совпадает со свободным пределом этой модели Тирринга. Поэтому результат (82) означает, что отталкивание между фермионаыи не влияет на функциональную зависимость проводимости от частоты, изменяя лишь масштаб частоты локализации (при сильном отталкивании она много больше, чем в свободном пределе).

В случае, когда потенциал Ц/*) отсутствует, пиннинг возникает вследствие интерференции между потенциалом соизмеримости и случайным рассеянием вперед /18/ и зависит от степени несоизмеримости, определяемой параметром А. . В частности, в сильно несоизмеримом пределе характерная энергия пиннинга убывает:

fioQi) ; одновременно с этим растет диэлектричес-

кая восприимчивость 'Х(Ь) со bv/'i . Асимптотика функции распределения IV (J3) имеет унивзреальный вид (77), поотому результаты (81), (82) также применимы при наличии пиннинга на всех типах дефектов.

5.3. Динамика доменной границы в неупорядоченной среде ■ /20/.

Доменная граница в неупорядоченной среде представляет собой пример системы с большим числом возможных метастабильных состоя-кий. Медленная релаксация такой границы определяется распределением энергетических барьеров для переходов между метастабиль-ныии состояниями. Основным здесь является вопрос о существовании сколь угодно высоких энергетических барьеров. Этот вопрос может быть решен путем исследования динамики границы под действием большой (закритической) тянущей силы, когда скорость движения границы в главком приближении пропорциональна силе.

Рассмотрим динамику одномерной границы в двумерной неупорядоченной (при конечной температуре Т) среде. Уравнение движения имеет вид

■где - уравнение границы, ^ТГ, >0 ~ случайный потен-

циал, - ланаевсновский тепловой шум. В пределе

скорость границы 1Г- совпадает с Р . При конечном р

поправку к скорости можно найти по теории возмущений:

(84)

где K(C^J к) есть Фурье-образ коррелятора случайного потенциала , волновые-вектора \ и Я направлены вдоль и поперек 17 соответственно, а фактор ^Сь) ~ (тъ~кУП]

связан с тепловыми флуктуациями движущейся границы. Вычисление по формула (84) показывает, что при сколь угодно высоких температурах относительная поправка к скорости движения границы растет с уменьшением скорости:

Это означает, что при любых температурах область линейной зависимости ограничена снизу значением характерной критической силы

ВД - с.1 кЪ-Ч (86)

При ~ Fc. (Т) динамика границы оказывается нелинейной и связана с преодолением энергетических барьеров. Тот факт, что величина t^jLT) остается конечной при любых Т , показывает, что распределение энергетических барьероз между метастабильнымл состояниями неограничено со стороны высоких энергий. Аналогичный результат справедлив и для случая линейного объекта в трехмерной неупорядоченной среде, где, однако, критическая сила ) °° ^Х р (-c-onSi- T^J . При размерности среды ci > 3 поправки к скорости аналитичны, a F[_(T) = 0 при высоких температурах.

6. Статистические модели ассоциативной памяти /21-24/

Рассмотрим систему из большого числа однотипных элементов (которые для простоты будем считать двоичными, = + I), взаимодействукицих между собой таким образом, что система в целом имеет заданный набор из р метастабильшх состояний, характеризуемых средними значениями в каждом узле (/-1 = 1.. f> ^ ..>Jj. В таком случае всякое исходное состояние системы будет релаксировать к одному из заданных векторов _ то есть "вспоминать" записанный в ней "образ" на основе частичной информации, содержащейся в исходной конфигурации. Иначе говоря, такая система обладает свойствам! ассоциативной, распределенной (поскольку всякий образ записан во всей системе сразу) системы памяти. Один из простейших вариантов таких систем был предложен в работе /51/, положившей начало активному исследованию моделей памяти методами статистической физики. Предаоненная в /51/ модель имеет вид модели Изинга со взаимодействием

'J ^Д ^ (B7)

причем вектора-образы /■ считаются некоррелированными между

- 37 -

собой. Возникает вопрос: как велико может быть число образов р , для того чтобы стационарные состояния системы действительно соот^-ветствовали "записанным" векторам I Для решения этого во-

проса полезно обратить внимание на аналогию между моделью (87) и моделью спинового стекла со сродним ферромагнитным обменом /30/. Если.рассмотреть состояние системы, близкое, например, к вектору 5- > т0 первый член в сумме (67) будет создавать ло-

1 ! -ус>)

кальное поле п^ , скоррелпрованное по-знаку с , в то время как всс остальные создают случайные вмороженные поля, приводящие к отличию истинного стационарного состояния от записанного вектора . Состояние системы может быть описано в терминах параметра перекрытия

Гп = у? __(88)

и "стекольного" параметра порядка <| — Ф . Система урав-

нений для ги и р при низких температурах 7~ вполне аналогична

полученной в работе /30/: уу, =

I (89)

где р( — Р<;<_£ . Как известнс(^решение (89) имеет область неустойчивости относительно образования множества метастабильных состояний. Для системы (89) такая неустойчивость наступает при /21/ г*-

»5тг (90)

Таким образом, малая величина теплового шума I стабилизирует стационарные состояния системы, близкие к , в то время

как при Т = 0 каждое из них расщепляется на множество близких состояний.

Недостатком системы Хопфилда как модели нейронной сети является симметрия взаимодействия (87). фактически реальная нейронная сеть описывается динамическими уравнениями без детального баланса, поскольку действие одного нейрона на другой сугубо однонаправлено. Такое динамическое уравнение удобнее записать, считая непрерывными величинами:

где первый член с обеспечивает равенство I. Матрица

может быть получена из (87) случайным асимметричным разбавлением: - » ^у = О или I, Стационарные состояния системы (90) были исследованы /22,23/ методом динамического производящего функционала /53/ для случая <*!<< I. Оказалось, что асимметрия приводит к появлению динамической генерации шума (при внешнем шуме Т = 0). Вместо серии близких нс-тастабильных состояний симметричной системы здесь возникает единое динамическое стационарное состояние, связанное с блужданием в небольшой области фазового пространства в окрестности записанных векторов ^^ .

До сих пор обсуждались модели с запись» некоррелированных образов. В то же время представляет интерес возможность- записи коррелированных и иерархически организованных образов. Это оказывается возможным при незначительной модификации алгоритма за^-писи информации по сравнению с вариантом Хопфилда (87). Рассмотрим, в частности, случай двухуровневой иерархии, состоящей из "базовых" векторов ^^ , некоррелированных между собой, и их "сателлитов" ^^ . Каждый из "сателлитов" скоррелирован со своим базовым вектором:

Л' | к I- (91)

где С« I - концентрация узлов, в которых знаки базового вектора и сателлита различаются. Для записи системы векторов , достаточно выбрать матрицу взаимодействия в виде

^ -¿? I- +4н*)о/ч?;)]

где . Л - С0~с). Термодинамический анализ /23/ модели Изинга со взаимодействием (92) показывает, что максимальное число образов р , которые могут быть записаны в такой системе, примерно совпадает с таковым для модели Хопфилда с некоррелированными образами /54/.

Емкость системы памяти можно существенно повысить, если использовать непарные взаимодействия между элементами. Действительно, рассмотрим /23/ матрицу , отличающуюся от (92) наличием перед вторым членом в квадратных скобках множителей вида

^ — ^ X "¿г« » осуществляющих проектирование конфигурат-

ций на базовые вектора ^ * . Такие проекторы выключают

из рассмотрения детальную структуру всех классов (Я') , кроме одного, в окрестности которого находится в данный момент конфигурация {бТ}- • Это позволяет увеличить число записываемых образов до величины р ~ А/2" (ценой использования тройных взаимодействий ме:,\ду элементами).

Интересная возможность связана ташке с использованием альтернативно Я формы модели Хопфилда, построенной на переменных , принимающих значения 0,1. Такие переменные удобны при рассмотрении систем с низким уровнем активности, т.е. при среднем значении - а « 1. . Энергия такой системы имеет вид /24/

Н - ^ + б (93)

<} ■ к

При оптимальном подборе параметра & емкость такой системы

достигает теоретического предела /55/

, 1_

~ 2ск /£?яа/ (94)

Выводы

1. В трехмерном спиновом стекле с взаимодействием конечного радиуса происходит термодинамический фазовый переход, связанный с образованием бесконечной иерархии локализованных мод.

2. При низких температурах затухание длинноволновых возбуждений в спиновых стеклах пропорционально их частоте.

3. Одномерная модель спинового стекла обладает фрактальной структурой метастабильных состояний.

4. В разбавленных сплавах типа ОЛ х и им подобных возможно образование состояния спинового стекла с локальным спиральным порядком.

5. Низкотемпературное состояние аморфных магнетиков со случайными осями анизотропии представляет собой спиновое стекло с ближним ферромагнитным порядком.

6. Низкочастотная проводимость одномерных волн зарядовой плотности в условиях слабого пипнинга имеет универсальную асимптотику вида .

7. Доменная граница в двумерной неупорядоченной среде является неэргодической системой со сколь угодно высокими барьерами между мотастабильными состояниями.

8. Слабый тепловой шум стабилизирует распознавание образов в модели Хопфилда ассоциативной памяти.

9. Асимметричное обобщение модели Хопфилда имеет динамические стационарные состояния, близкие к записанным прообразам.

10. Незначительная модификация алгоритма Хопфилда позволяет создавать системы ассоциативной памяти с иерархической структурой.

Литература

1. М.В.Фейгельман, А.М.Цвелик "базовый переход в спиновом стекло", ЮИ 1979, 77, 2524.

2. М.V.Feigel'man, L.B.Ioffe "Hierarchical nature of spin glasses", J.Physique Lett. 1984, 45, L-475.

3. K.V.Peigel'man, L.B.Ioffe "Critical relaxation in 3D spin glasses", J.Physique Lett. 1985, 46, L-695-

4. Л.В.Иоффе, М.В.Фейгельман "Иерархическая структура спинового стекла Эдвардса-Андерсона", НЭТФ 1985, 89, 654.

5. K.V.Poigel 'пап, L.B.Ioffe "Relaxation in spin glasses far above the transition point", J.Physique 1986, 47, 363«

6. М.В.ОеЯгельман, А.М.Цвелик "Локализованные степени свободы в ферромагнетике с резонансными примесями", ЕЭТ5 1979, 76. 2249.

7. M.V.Feigel 'man, L.B.Ioffe '.'One-dimensional spin glas3 with long-range interaction", S.Phys.B 1993, 51, 237.

8. M.V.Feigel'man "Spin glass with long-range oscillating interaction", J.Phys.C 1933, 16, 6275.

9. Л.Б.Иоффе, М.В.Фейгельман "Низкотемпературная фаза изингов-ского спинового стекла", КЭТЗ 1983, 85, 1801.

10. Л.Б.Иоффе, М.В.Фейгсльман "Спиновое стекло со спиральным ближним порядком", ЮТФ 1985 , 88 , 604.

11. M.V.Peigel'man, L.B.Ioffe "Conment on the theory of helical magnetic structures in diluted alloys", Phys. Rev. Lett. 1987, 58, 1157.

12. Vik.S.Dotsenko, U.V.Peigel'man "2D random-axes XY magnet", J.Phys.С 1981, 14, L823.

13. Вик.С.Доценко, М.В.Фейгельман "ХУ модель со случайной анизо-• тропией", ЖЭТФ 1982,-83, 345. . .

14. Вик.С.Доценко, Ы.В.Оейгельман "Низкотемпературные свойства и фазовый переход в трехмерном магнетике со случайной анизотропией", Е5ТФ 1984, 86, 1544.

15. М.В.Оейгельман, М.В.Цоданс "Аморфные магнетики с сильной случайной анизотропией", ЕЭТФ 1986, 91, 955.

16. М.В.Фейгельман "Одномерная периодическая структура в слабом случайном потенциале", ЕЭТФ 1980, 79, 1095.

17. В.М.Винокур, М.Б.Минеев, М.В.Фейгельман "Одномерная спиновая цепочка в поле случайной анизотропии", КЭТ2 1931, 81, 2142.

18. ll.V.Feigel'rr.an, V.M.Vinoloir "Conductivity of 1-D ОМ at weak impurity pinning and the problem of localization in the presence of interactions", Fhy3.Iett. 1981, 8753.

19. K.V.Feigel'isan, V.K.Vinokur "Dielectric susceptibility and correlation length of one-dimensional CD'// in disordered syotems", Sol.St.Coram. 1933, 4j>, 595.

20. М.В.Фейгельман "0 распространении плоского фронта в неоднородной среде", ЖЭТЗ 1983, 85, 1851.

21. M.V.Feigel'nan, L.B.Ioffe "The statistical properties of the Hopfield model of memory", Europhys.Lett. 1986, 197.

22. Л.Б.Иоффе, М.В.Оейгельман "Асимметрия взаимодействий и иерар« хия образов в моделях ассоциативной памяти". Письма в НЭТО 1985, 44, 148.

23. M.V.Peigel'nan, L.B.Ioffe "The augmented models of associa-• tive memory: asymmetric interaction and hierarchy of patterns", Int.J.Mod.Phys. 1987, Bl, 51.

24. M.V.Peigel'nan, li.V.Tsodyks "The enhanced storage capacity in neural networks with low activity level", Europhys.Lett. 1988, 6, 101.

25. V.S.Dotsenko, ll.V.Feigel'man, L.B.Ioffe, Sov.Sci.Rev.A. Phys., 1989, .13, 3-249.

25. S.P.Edwards, i.W.Anderson J.Phys. 1975, £5, 965.

27. A.B.Harris, T.C.Xubensky, J.H.Chen Phys.Rev.Xett. 1976, ¿6, 415.

28. В.Г.Вакс, А.И.Ларкин, С.А.Пикин ЖЭТФ 1966, 51, 361.

29. D.J.Thouless, P.W.Anderson, R.G.Palmer Phil.Mag ' 1977,-^, 593.

30. D.Sherrington, S.Kirkpatrick Fhys.Rev.Lett. 1975, 1792.

31. L.B.Ioffe, I.R.Sagdeev Mod.Phys.Lett. 1988, 32, 755.

32. S.A.Abrahams, P.W.Anderson a.o. Phys.Rev.Lett. 1979, ¿2,673.

33. A.Ogielski, Phya.Rev. 1985, B32, 7334.

34. А.И.Ларкин, Д.Е.Хмельницкий ЯЗИ 1970, 58, 1789.

35. M.Mezard, 5.Parlai, M.A.Vira3oro "Spin glass theory and heyond", 1987, V/orld Scientifique - Singapore.

36. R.G.Palmer Adv.Phys. 1982, Ц, 669.

37. A.T/.Overhauser Phys.Rev.Lett. 1959, 4H.

38. J.A.Kydosh J.Appl.Phys. 1983, 63, 4357.

39. С.А.Бразовский 1ЭТ5 1975, 68, 175.

40. G.Grinstein, R.A.Pelcovits Phys.Rev. 19S1, B26, 915.

41. l.E.Sîenger et Ql. Phys.Rev.lett. 1986, ¿6, 1090.

42. J.A.Gotaas et al. J.Magn.Kagn.Lïat. 1986, 54-57. 93.

43. Y.Imry,.S.K.Ka Phys.Rev.Lett. 1975, ¿5, 1399.

44. S.Uandelstam Phys.Rev. 1975, £Ц, 3026.

45. Л.П.Горьков, И.Е.Дзялоиинский 2ЭТФ 1974, 67, 379.

46. С.П.Обухов ЮТ5 1977 , 72, 1051.

47. Р. J.ïiegner Phys.Rev. 1972, Вб, 1891.

48. В.ВагЪага, 3.Dieny Physioa, 1985, 130В, 245; J. de Phya. 1985, 46, 293.

49. D.J.Scalapino, M.Sears, R.A.Perrel Phys.Rev. 1972, Вб, 3409.

50. В.Л.Березинский ЕЭТЗ 1973, 65, 1251.

51. J.J.Hopiield, Proc.Matl.Acad.Soi. USA, 1982, 2554.

52. J.R.X. de Almeida, D.J.Thoulesa J.Phys. 1978, ДД, 983.

53. H.Sompolinsky, A.Zippelius Phys.Rev. 1982, B25, 6860.

54. D.Awit, H.Gutireund, H.Sorapolinsky Phys.Rev.Lett. 1985, ¿2, 1530.

55. E.Gardner Europhys. Lett. 1987, 481 j J.îhya. 1988, A21. 257.

////-,__Зак ^

Печатиомиожнгельиос производство ВНИЭСХ -