Исследование влияния дефектов структуры и размерных эффектов на критическое поведение сложных спиновых систем тема автореферата и диссертации по физике, 01.04.02 ВАК РФ

Медведева, Мария Александровна АВТОР
кандидата физико-математических наук УЧЕНАЯ СТЕПЕНЬ
Омск МЕСТО ЗАЩИТЫ
2014 ГОД ЗАЩИТЫ
   
01.04.02 КОД ВАК РФ
Диссертация по физике на тему «Исследование влияния дефектов структуры и размерных эффектов на критическое поведение сложных спиновых систем»
 
Автореферат диссертации на тему "Исследование влияния дефектов структуры и размерных эффектов на критическое поведение сложных спиновых систем"

На правах рукописи

Медведева Мария Александровна

ИССЛЕДОВАНИЕ ВЛИЯНИЯ ДЕФЕКТОВ СТРУКТУРЫ И РАЗМЕРНЫХ ЭФФЕКТОВ НА КРИТИЧЕСКОЕ ПОВЕДЕНИЕ СЛОЖНЫХ СПИНОВЫХ СИСТЕМ

01.04.02 - теоретическая физика

Автореферат диссертации на соискание ученой степени кандидата физико-математических наук

005548402

22 ПАЙ 2314

Омск - 2014

005548402

Работа выполнена на кафедре теоретической физики ФГБОУ ВПО «Омский государственный университет им. Ф.М. Достоевского».

Научный руководитель: доктор физико-математических наук,

профессор Прудников Павел Владимирович.

Официальные оппоненты: Соколов Александр Иванович,

доктор физико-математических наук, профессор, Санкт-Петербургский государственный университет, профессор Щур Лев Николаевич,

доктор физико-математических наук, профессор, Институт теоретической физики им. Л.Д. Ландау РАН, ведущий научный сотрудник

Ведущая организация: Институт физики им. Х.И. Амирханова

ДагНЦ РАН, г. Махачкала.

Защита состоится

н

& 2014 г. в ^^и

часов на заседании диссер-

тационного совета Д 212.232.24 при Санкт-Петербургском государственном университете по адресу: 199004, г. Санкт-Петербург, Средний пр., В.О., д. 41/43, ауд. 304.

С диссертацией можно ознакомиться в библиотеке ФГБОУ ВПО Санкт-Петербургский государственный университет и на сайте http://spbu.ru/science/disser/soiskatelyu-uchjonoj-stepeni/dis-list/details/14/59

Автореферат разослан " — 2014 г.

Ученый секретарь

диссертационного совета д.ф.-м.н., профессор

Аксенова Елена Валентиновна

Общая характеристика работы

Актуальность темы

Особенности поведения макроскопических систем в окрестности температуры фазового перехода второго рода определяются сильным взаимодействием долго-живущих флуктуаций параметра порядка. Так, слабое возмущение в окрестности критической точки может вызывать аномально сильный отклик и приводить к новым физическим эффектам. В этом плане наиболее интересные явления возникают при рассмотрении влияния различных неравновесных начальных условий на аномально медленную релаксацию системы в критической области.

Реальные твердые тела содержат замороженные дефекты структуры, присутствие которых влияет на характеристики систем. В большинстве работ исследование ограничивается рассмотрением пространственно некоррелированных дефектов. В то же время вопрос о влиянии на критическое поведение эффектов корреляции дефектов значительно менее исследован. В рамках этой же проблемы можно поставить вопрос о влиянии на критическое поведение протяженных дефектов, таких как поверхности кристалла, дислокации или плоские дефекты структуры, возникающие, например, на границе зерен. Можно ожидать, что дальнодействующая корреляция в пространственном распределении дефектов может модифицировать критические свойства неупорядоченных систем.

В силу этого к моделям систем с дальнодействующей корреляцией дефектов существует несомненный интерес как с общетеоретической точки зрения выявления новых типов критического поведения, так и с точки зрения реальной возможности проявления дальнодействующей корреляции дефектов в полимерах [1], при переходе в сверхтекучее состояние 4Не в пористой среде - аэрогеле [2] и в неупорядоченных твердых телах с дефектами фракталоподобного типа.

В работе Вейнриба и Гальперина (\УетпЬ А., На1репп В.1., 1983) представлена модель изотропной неупорядоченной системы с дальнодействующей корреляцией дефектов. Было показано, что дефекты, обладающие свойством дальней пространственной корреляции, изменяют критическое поведение не только систем с однокомпонентным параметром порядка, как в случае точечных дефектов, но и систем с многокомпонентным параметром порядка. В работе [3] было осуществлено теоретико-полевое описание трехмерных систем с дальнодействующей корреляцией дефектов и было подтверждено ее влияние на критическое поведение таких систем. Однако ренормгрупповое описание не позволяет учесть влияние дефектов структуры высокой концентрации. Компьютерное моделирование позволяет провести исследование неупорядоченных систем в широком диапазоне концентраций дефектов структуры.

Понимание критических явлений в низкоразмерных структурах может быть достигнуто путем изучения тонких пленок. Исследование тонких пленок имеет большое технологическое значение в связи с применением в магнитных устройствах хранения данных [4]. Процессы магнитного упорядочения в тонких ферромагнитных пленках очень сложны из-за сильного влияния формы и кристаллографической анизотропии подложки. За последние годы появилось большое количество экспериментальных работ, посвященных исследованиям магнитных свойств низкоразмерных систем [5]. Тем не менее остались без ответа такие вещи, как тип магнитного упорядочения при низких температурах. В связи с этим компьютерное исследование модельных статистических систем имеет важное значение для описания свойств ультратонких магнитных пленок.

Цели работы

- исследование влияния дальнодействующей корреляции дефектов структуры на неравновесное поведение неупорядоченных систем при фазовом переходе второго рода посредством изучения трехмерной неупорядоченной модели Гейзенберга с линейными дефектами методом коротковременной динамики.

- численное исследование неравновесного критического поведения характеристик слабо и сильно неупорядоченной модели Гейзенберга с линейными дефектами с учетом влияния различных начальных состояний. Расчет универсальных критических показателей и сравнение с результатами теоретических расчетов.

- исследование равновесного критического поведения тонких магнитных пленок. Определение значений универсальных показателей, определяющих магнитное упорядочение в тонких пленках. Исследование перехода от двумерных к трехмерным критическим свойствам многослойных магнетиков с ростом толщины пленки.

Научная новизна результатов

1. Впервые осуществлено компьютерное моделирование неравновесного критического поведения трехмерной модели Гейзенберга с дальней пространственной корреляцией дефектов в коротковременном режиме. При исследовании критической релаксации модели из различных начальных состояний системы определены значения совокупности динамических и статических универсальных критических показателей при применении методики учета поправок к скейлингу. Полученные результаты позволяют сделать вывод о существенности влияния дальней пространственной корреляции дефектов на критическое поведение и о существовании различных классов универсального критического поведения для рассматриваемых систем, отвечающих областям слабой и сильной структурной неупорядоченности.

2. Впервые продемонстрировано при сопоставлении результатов компьютерного моделирования неравновесного критического поведения трехмерной модели

Гейзенберга с дальней пространственной корреляцией дефектов в коротковремен-ном режиме и ее равновесного критического поведения, что метод коротковремен-ной динамики может служить надежной альтернативой традиционным методам Монте-Карло не только при численных исследованиях однородных систем, но и систем со структурным беспорядком, обеспечивая при меньших машинных затратах получение более полной информации о критическом поведении структурно неупорядоченных систем.

3. Впервые проведено исследование равновесного критического поведения характеристик тонких ферромагнитных пленок посредством изучения анизотропной модели Гейзенберга, позволяющее определить значение температуры фазового перехода в зависимости от толщины пленки. Полученные результаты позволяют сделать вывод о существовании перехода от двумерных к трехмерным свойствам многослойных магнетиков с ростом толщины пленки.

Научная и практическая значимость работы

Научная значимость диссертации обусловлена необходимостью выявления влияния дальнодействующей корреляции структурных дефектов на критическое поведение спиновых систем и разработки методик анализа данных, получаемых при моделировании поведения систем.

Выявленное в результате проведенных расчетов существенное влияние дефектов структуры на характеристики критического поведения различных систем может найти применение при отработке методики и постановке реальных физических и компьютерных экспериментов, а также практическом использовании направленной модификации свойств материалов, испытывающих фазовые превращения, за счет их легирования, что служит научной основой для создания материалов с новыми, перспективными физико-химическими свойствами.

Личный вклад диссертанта. Личный вклад Медведевой М.А. состоит в непосредственном участии в разработке программ и алгоритмов моделирования, получении, обработке и интерпретации результатов, а также в их апробации и подготовке к публикации. Все результаты диссертации получены лично автором или в соавторстве.

Основные положения, выносимые на защиту

1. Методика численного исследования неравновесного критического поведения структурно неупорядоченной трехмерной модели Гейзенберга с дальней пространственной корреляцией дефектов в коротковременном режиме и методика определения значений универсальных критических показателей с учетом ведущих поправок к скейлингу.

2. Наличие нескольких этапов динамического развития слабо неупорядоченных

систем после микроскопического временного масштаба: области с характеристиками однородной системы, кроссоверной области и области, характеризующейся влиянием структурного беспорядка.

3. Подтверждение расширенного критерия Харриса о влиянии дефектов с дальней пространственной корреляцией на критическое поведение не только изингопо-добных систем, но и систем с многокомпонентным параметром порядка (на примере модели Гейзенберга).

4. Методика численного исследования равновесного критического поведения тонких магнитных пленок посредством изучения анизотропной модели Гейзенберга и методика расчета критических показателей.

Апробация работы

Основные результаты диссертационной работы докладывались и обсуждались на XI Всероссийской молодежной школе-семинаре по проблемам физики конденсированного состояния вещества (Екатеринбург, 2010), региональных научно-практических конференциях «Молодежь третьего тысячелетия» (Омск, 2011, 2012, 2013), Moscow International Symposium on Magnetism (MISM) (Moscow, 2011), Восемнадцатой Всероссийской научной конференции студентов-физиков и молодых ученых (ВНКСФ-18, Красноярск, 2012), VIII Международной научно-технической конференции «Динамика систем, механизмов и машин» (Омск, 2012), научно-практическом семинаре «Вычислительная физика и суперкомпьютерные технологии 2012» (Омск, 2012), «XXV IUPAP Conference on Computational Physics» (Moscow, 2013), а также на научных семинарах кафедры теоретической физики ОмГУ.

Публикации

Список публикаций автора по теме диссертации включает 12 статей и тезисов докладов, опубликованных в российских и иностранных журналах, сборниках трудов и материалах конференций, и 4 свидетельства о государственной регистрации программ для ЭВМ.

Структура и объем диссертации

Диссертация состоит из введения, четырех глав и заключения. Объем диссертации - 107 страниц машинописного текста, в том числе 38 рисунков, 6 таблиц и список цитируемой литературы из 102 наименований.

Краткое содержание работы

Во введении обоснована актуальность выбранной темы диссертационной работы и сформулированы основные цели исследований.

В первой главе, носящей обзорный характер, в краткой форме излагается со-

1

0.9 0.8 0.7 0.6 0.5 0.4

0.14 0.12 0.1 0.08 0.06

0.04

10 100 t, MCS/s 1°00 1000 t, MCS/s 100000

Рис. 1: Релаксация намагниченности из различных начальных состояний держание ряда концепций и методов, применяемых для описания критических явлений. Рассматривается влияние беспорядка с дальнодействующей корреляцией дефектов на критическое поведение систем. Представлен обзор существующих достижений в данной области.

Во второй главе осуществлено компьютерное моделирование равновесного и неравновесного критического поведения для слабо неупорядоченной трехмерной модели Гейзенберга с дальнодействующей корреляцией дефектов.

Наличие дефектов структуры приводит к смене динамики изотропного магнетика, описываемой моделью J, на релаксационную динамику модели А по классификации Гальперина-Хоенберга (Hohenberg P.C., Halperin B.I., 1977). Алгоритм Метрополиса с динамикой опрокидывания спина является разумным приближением к реальной динамике магнетика, соответствующей релаксационной модели А. Однако, согласно критерию Харриса критическое поведение модели Гейзенберга устойчиво относительно влияния точечного некоррелированного структурного беспорядка. В этом плане становится очень важным исследование влияния протяженных примесных структур на критическое поведение характеристик модели Гейзенберга.

Традиционное моделирование критического поведения методом Монте-Карло наталкивается на трудности, связанные в основном с явлением критического замедления, характеризующимся тем, что время релаксации системы, как и время корреляции состояний, неограниченно растет по мере приближения к критической температуре ттгг. тс,,\ ~ \ТС - T\~zlJ.

Для описания влияния неравновесных начальных условий на критическую динамику в работе (Janssen Н.К., Schaub В., Schmittmann В., 1989) в рамках ренорм-группового подхода был разработан метод коротковременной динамики (МКД). После микроскопически малого времени tmic для к-го момента намагниченности системы реализуется скейлинговая форма

mW(t,T,L,mQ) = b~kä^m^k) {t,/bz.. b1/l,r, L/b, bze'+ß'vm0), (1)

1.00

0.66

0.85

0.95

0.90

0.75

0.80

0.70

L=128

0.58

1.190 1.195 1.200y 1.205 1.210 1.215

1.140 1.160 1.180 1.200 1.220 1.240

Рис. 2: Температурная зависимость кумулянта Биндера U.i = (3 — {m(4))/(m(2>}2)/2 и отношения £/L для различных линейных размеров решетки

где L - линейный размер решетки, ß, и, z - критические индексы, 0' - новый независимый неравновесный критический индекс.

В работе (Janssen Н.К., Schaub В., Schmittmann В., 1989) на основе ренорм-группового анализа было показано, что если начальное состояние ферромагнитной системы характеризуется достаточно высокой степенью хаотизации спиновых переменных со значением относительной намагниченности, далеким от состояния насыщения (то -С 1), то в критической точке процесс релаксации системы из данного начального неравновесного состояния на макроскопически малых временах будет характеризоваться не уменьшением m(t) ~ (рис. 1а), а увеличением

намагниченности со временем по степенному закону m(t) ~ t° (рис. 16).

В данной главе диссертации рассматривается модель неупорядоченной спиновой системы на кубической решетке с линейным размером L и наложенными периодическими граничными условиями. Микроскопический гамильтониан неупорядоченной модели Гейзенберга записывается в виде

где Б, = (5*, , 5^) - это трехмерный единичный вектор в узле г, ,/ > 0 характеризует обменное взаимодействие ближайших спинов, носящее ферромагнитный характер, рг - случайные переменные, характеризующие замороженный структурный беспорядок в системе. Полагается, что дальнодействующие эффекты корреляции между точечными дефектами реализуются в виде случайно ориентированных линий с корреляционными характеристиками, спадающими по степенному закону д{х — у) ~ |х - у\"а с показателем а = 2.

Для определения критической температуры было осуществлено компьютерное моделирование системы в состоянии равновесия при различных температурах. Для снижения влияния эффектов критического замедления и корреляции различных спиновых конфигураций был применен однокластерный алгоритм Вольфа. Анали-

N

(2)

Таблица 1: Значения критических индексов для слабо неупорядоченной модели Гейзенберга с дальнодействующей корреляцией дефектов и сравнение их с другими результатами моделирования методом Монте-Карло (МК) и ренормгруппового подхода (РГ)

г в' p/u и ¡3 ы

то = 1, [8] то 1 2.257(61) 0.510(78) 0.770(74) 0.393(77) 0.786(45) 2.320(153) 0.453(26) 0.467(39) 0.553(77)

Prudnikov et al., 2000, [3] (РГ) Прудников и др., 2010, [9] (РГ) V. Blavats'ka et al., 2001, [1] (РГ) 2.264 0.482 0.798 0.362 2.291(29) 0.490(5) 0.766(17) 0.375(5) 0.88

Однородная система

Medvedeva et al., 2012, [8] (МК) Fernandes et al., 2006, [10] (МК) Chen et al., 1993, [11] (MK) 2.049(31) 0.510(10) 0.705(26) 0.360(9) 1.976(9) 0.482(3) 0.687(6) 0.361(2) 0.516(10) 0.705(3) 0.364(5)

зировались зависимости кумулянта Биндера 4-го порядка U4ÇT, L) и отношения l;/L(T. L) корреляционной длины Ç к L от температуры. По точкам пересечения графиков данных величин для различных размеров решетки (рис. 2) была определена критическая температура Тс = 1.197(2), где температура измеряется в единицах обменного интеграла.

При найденной критической температуре Тс = 1.197 было осуществлено численное исследование неравновесной критической динамики в коротковременном режиме для трехмерной слабо неупорядоченной модели Гейзенберга со спиновой концентрацией р = 0.80 с линейными дефектами. Было осуществлено моделирование критической релаксации системы из полностью упорядоченного начального состояния с начальной намагниченностью тп0 = 1. Показатель 1 /иг может быть определен, если продифференцировать ln m(t, т) по приведенной температуре дт lrim(i, т)|т=о ~ tl!uz. Для независимого определения динамического критического индекса л был исследован кумулянт ^(i, L) = rn~^n=0/{m{t, L))^Ja=1 ~ td!z, где d — 3 - размерность системы, L = 128 - линейный размер решетки.

Также было осуществлено моделирование критической эволюции системы из начальных неупорядоченных состояний с то 1. Согласно теории МКД, для этого режима можно получить следующие соотношения для временных зависимостей второго момента намагниченности m^(t) ~ tC2 и автокорреляционной функции A{t) ~ trc", где с2 = {d-2fi/v)/z, са = djz-О'. Используя данные зависимости, были определены показатели в', сг и са, а на их основе вычислялись критические

индексы р/и, г.

С учетом ведущих поправок к скейлингу были получены следующие значения критических индексов, приведенные в табл. 1. Полученные нами значения показателей демонстрируют сильное влияние дальнодействующей корреляции дефектов на критическое поведение систем, описываемых многокомпонентным параметром порядка. В результате широкий класс неупорядоченных систем может характеризоваться новым типом критического поведения.

В третьей главе было исследовано критическое поведение трехмерной сильно неупорядоченной модели Гейзенберга с концентрацией спинов р = 0.60. В большинстве работ проводится исследование слабо неупорядоченных систем с концентрацией спинов р = 0.80 и выше. Сопоставление результатов данных работ указывает на то, что системы с концентрацией спинов от р = 0.80 до р — 0.95 принадлежат к одному и тому же классу универсальности, т.е. критические индексы, описывающие поведение данных систем в критической точке, не меняются с изменением концентрации спинов в указанном диапазоне. Менее исследованными остаются сильно неупорядоченные системы с концентрацией спинов р < 0.69 вплоть до порога спиновой перколяции рс — 0.31. При теоретическом описании поведения таких систем уже нельзя считать концентрацию дефектов малой величиной. Что сильно затрудняет или даже делает невозможным их теоретическое описание.

Методика вычисления для расчета критической температуры с использованием кумулянтов Биндера и пересечения £,/Ь для слабо неупорядоченной модели Гейзенберга с концентрацией спинов р = 0.80 была отработана в работе [8] и показала хорошие и надежные результаты. Поэтому в данной главе диссертационной работы, для вычисления критической температуры Тс = 0.888(5) сильно неупорядоченной модели, применялась та же методика, но с кластерным алгоритмом, модифицированным для моделирования низкотемпературного поведения систем.

В критической области при Т —> Тс кумулянт V4 характеризуется скейлин-говой формой сШ^/йТ ~ Ь1^ и следовательно, по максимальному наклону кумулянтов, соответствующих различным Ь в пределе Ь —> оо, вблизи точки их пересечения можно определить критический индекс корреляционной длины V. Было получено значение индекса V = 0.758(10) для слабо неупорядоченной и V = 0.821(14) для сильно неупорядоченной модели Гейзенберга. В работе [11] получено значение критического индекса и = 0.7048(30) для однородной модели Гейзенберга.

При найденной критической температуре Тс = 0.888(5) было осуществлено численное исследование неравновесной критической динамики из начального

5.0

3.5 3.0 2.5 2.0 1.5 1.0 0.5 0.0

0 5 10 15 20 25 30 35 40

N

Рйс. 3: Фазовая диаграмма для тонких пленок (ФМ - ферромагнитная фаза, ПМ - парамагнитная фаза, ПФМ - планарный ферромагнетик)

упорядоченного состояния то = 1 в коротковременном режиме для трехмерной сильно неупорядоченной модели Гейзенберга с линейными дефектами с L = 64. Были исследованы временные зависимости кумулянта Биндера второго порядка U2{t) = rnS2>/гп2 - 1 ~ t.Alz и намагниченности m(t) ~ t,~s!vz.

С учетом ведущих поправок к скейлингу были получены следующие значения критических индексов ß/v = 0.946(48), 2 = 3.529(125). Сравнивая значения критических индексов для сильно и слабо неупорядоченной модели Гейзенберга, можно сделать вывод, что данные системы принадлежат к разным классам универсальности. Установлено, что сильно неупорядоченная модель Гейзенберга характеризуется более медленной динамикой.

В четвертой главе проводилось исследование тонких ферромагнитных пленок в рамках анизотропной модели Гейзенберга. Гамильтониан системы выбирался следующим образом (Binder К., Landau D.P., 1976):

я = -^Ек1 - + +<3>

где Si = (S?, Sf, SI) - это трехмерный единичный вектор в узле г, J > 0 характеризует обменное взаимодействие ближайших спинов, носящее ферромагнитный характер, Д - константа анизотропии (А = 0 - изотропная модель Гейзенберга, Д = 1 - модель Изинга). Выбор константы анизотропии для различных размеров пленки осуществлялся пропорционально температуре, соответствующей критической для пленок Ni(lll)/W(110) [5].

Для трехмерной анизотропной модели Гейзенберга с использованием алгоритма Свендсена-Ванга были исследованы температурные зависимости намагниченности m и ее составляющие: намагниченность ориентированная по нормали к плоскости пленки тг = ((1/^)^6'/) и намагниченность в плоскости пленки

1 -г ' • 11 111 IV :

ПМ 3D ИзиигТс=4.511

пм ТПФМ' Г

" ПМ I Ч: Г1М 2D Иташ-Т »2.269 -

У i ' ФМ ФМ 3D Гейзенберг ikt Т =1.443 ' ФМ1 : ФМ : 1 i, ), 1..,, ..........

0.3

0.2

0.1

30 Ывд р=0.325

Г

20ЬищР=0.125

2.5

2

2 2.0 <и

ч а:

= 1.5 и

8 1.0

к 0.5

с.

20 N

30

I С11(г-у/у+2рЛ< : I

г 1

{ 7=1-75 ;

\=1.00

1.5 2.0 2.5 3.0 3.5 4.0 4.5 5.0 5.5

N

Рис. 4: Зависимость критического индекса намагниченности ¡3 от толщины пленки

Рис. 5: Значения критических индексов для изингоподобных пленок с толщиной от N = 2 до N = 5

ти = {(гп2 + иф1/2) для различных размеров системы А= Ь х Ь х N, где Ь х Ь — число спинов в одном слое, N — толщина пленки (число слоев). Были исследованы пленки с линейным размерами Ь = 32, 48, 64 с числом слоев от Л^ = 1 до ТУ — 31 с периодическими граничными условиями в направлении плоскости пленки.

По положению максимума температурной зависимости магнитной восприимчивости Хт ~ [(т2)] — [(ш)]2 могут быть оценены значения критических температур Тс для различных размеров системы. Для пленок с числом слоев от N = 9 до N = 22 наблюдается два пика восприимчивости. В данной области был обнаружен спин ориентационный переход из фазы, в которой намагниченности выгоднее ориентироваться по нормали к плоскости пленки, в фазу, в которой намагниченность ориентирована вдоль пленки. В экспериментальных [13] и теоретических работах [14], посвященных исследованию однослойных магнетиков, предсказывается, что данный переход является слабым переходом первого рода.

В температурной области спин ориентационного перехода, соответствующей первому пику, были более детально исследованы зависимости намагниченности тпп и тпг, а также ориентационного параметра порядка Ох [12]. После анализа температурной зависимости восприимчивостей Хт(Т), Хо{Т) ~ [(О2)] — [(0~)\2 установлено, что первый пик соответствует спин ориентационному переходу, а второй пик соответствует фазовому переходу второго рода из ферромагнитной фазы в парамагнитную. Через координату точки пересечения кривых, задающих температурную зависимость кумулянта Биндера 4-го порядка Щ(Ь,Т), были уточнены значения температур фазового перехода второго рода из ферромагнитного состояния в парамагнитное. На рис. 3 приведены значения критических температур для различных размеров пленок. Сплошная линия соответствует переходу из ферромагнитного состояния в парамагнитное, пунктирная линия соответствует

спин ориентационному переходу.

В исследованиях, посвященным тонким пленкам [5], экспериментально наблюдается переход от двумерных к трехмерным критическим свойствам многослойных магнетиков с ростом толщины пленки. В данной главе диссертации была получена температурная зависимость намагниченности вблизи критической точки т ~ (Г,- — Т)0, из которой были определены значения критического индекса Р для различных размеров системы. Представленные на рис. 4 данные наглядно демонстрируют размерный переход от поведения двумерной модели Изинга к поведению трехмерной модели Гейзенберга с ростом толщины пленки. На рис. 5 представлены значения критических индексов, а также эффективная размерность с£ея, для пленок малой толщины, демонстрирующих критическое поведение двумерной модели Изинга с критическими показателями: /?=1/8,1/=1,7 = 7/4, а = 0.

В заключении сформулированы основные результаты и выводы диссертации. Основные результаты и выводы

1. Разработана методика численного исследования неравновесного критического поведения структурно неупорядоченной трехмерной модели Гейзенберга с дальней пространственной корреляцией дефектов в коротко временном режиме и методика определения значений универсальных критических показателей с учетом ведущих поправок к скейлингу.

2. Осуществлено компьютерное моделирование трехмерной модели Гейзенберга с дальнодействующей корреляцией дефектов различной концентрации. Были исследованы равновесные характеристики слабо (р = 0.8) и сильно (р = 0.6) неупорядоченной модели и были рассчитаны значения критических температур Тс(р = 0.8) = 1.197(2) и Тс{р = 0.6) = 0.888(5).

3. С использованием метода коротковременной динамики была исследована критическая релаксация трехмерной модели Гейзенберга с линейными дефектами из различных начальных состояний. Для слабо неупорядоченной трехмерной модели Гейзенберга со спиновой концентрацией р = 0.8 были получены значения динамических и статических критических индексов г = 2.257(61), ¡5 = 0.393(77), V = 0.770(74), ш = 0.786(45). Данные значения в пределах погрешностей находятся в хорошем согласии с теоретическими результатами.

4. Впервые было получено численное подтверждение о существовании влияния дальней пространственной корреляции дефектов на критическое поведение систем с трехкомпонентным параметром порядка. Для сильно неупорядоченной модели Гейзенберга с концентрацией спинов р = 0.6 были получены значения статических критических индексов и — 0.821(14), 3 = 0.777(53) и динамическо-

го критического индекса z = 3.529(125).

5. Показано, что слабо и сильно неупорядоченные модели Гейзенберга с даль-нодействующей корреляцией дефектов принадлежат к разным классам универсальности. Выявлено, что увеличение концентрации дефектов структуры с дальнодей-ствующей корреляцией приводит к существенному замедлению процессов критической релаксации по сравнению с однородными и слабо неупорядоченными системами.

6. Исследовано критическое поведение тонких магнитных пленок на основе анизотропной модели Гейзенберга. Выявлены размерные эффекты в поведении намагниченности и магнитной восприимчивости. Критическое поведение тонких пленок с толщиной N < 5, соответствует поведению двумерной модели Изинга. Критическое поведение пленок с 6 ^ Лг < 12 соответствует кроссоверной области от двумерных свойств к трехмерным. Для пленок с толщиной от N = 13 до N = 21 критический индекс ß соответствует трехмерной модели Изинга. Для пленок с толщиной N > 21 система демонстрирует критическое поведение трехмерной модели Гейзенберга. Впервые выявлен переход от двумерных к трехмерным свойствам многослойных магнетиков с ростом толщины пленки.

Основные результаты диссертации опубликованы в работах

Публикации в изданиях из списка ВАК:

1. Prudnikov P.V., Medvedeva М.А. Non-equilibrium critical relaxation of the 3D Heisenberg magnets with long-range correlated disorder. // Progress of Theoretical Physics. 2012. - Vol. 127. - No. 3. - P. 369 - 382.

2. Medvedeva M., Prudnikov P. Non-equilibrium critical relaxation of Heisenberg ferromagnets with long-range correlated defects. // Solid State Phenomena. 2012. - Vol. 190. - P. 39 - 42.

3. Прудников П.В., Медведева М.А. Неравновесное критическое поведение сильно неупорядоченных магнетиков с дальнодействующей корреляцией дефектов. // Физика низких температур, 2014. - Т. 40,- Вып. 5. - С. 570 - 579.

4. Prudnikov P. V., Medvedeva М.А. Monte Carlo simulation of critical properties of ultrathin anisotropic Heisenberg films. // Journal of Physics: Conference Series, 2014.

5. Prudnikov P.V., Elin A.S., Medvedeva M.A. Non-equilibrium critical behaviour of ultrathin magnetic and metamagnetic Ising films. // Journal of Physics: Conference Series, 2014.

6. Прудников П.В., Медведева М.А., Шакирзянов Ф.Р. Численное исследование неравновесной критической динамики структурно неупорядоченных систем с протяженными дефектами структуры вблизи температуры фазового перехода второго рода. II Известия Казанского государственного архитектурно-строительного университета. - 2012. - Вып. 3 (21). -С. 209 - 215.

7. Прудников П.В., Медведева М.А. Компьютерное моделирование критического поведения характеристик сильно неупорядоченной модели Гейзенберга с линейными дефектами. // Вестник Омского университета. - 2012. - Вып. 2. - С. 87-91.

8. Прудников П.В., Медведева М.А. Численное исследование влияния протяженных дефектов структуры на критическую релаксацию трехмерной модели Гейзенберга. // Вестник Омского университета. - 2011. - Вып. 2. - С. 88-92. .

9. Прудников П.В., Медведева М.А., Желтышев П.А. Численное исследование влияния эффектов корреляции дефектов структуры на критическую динамику модели Гейзенберга.

// Вестник Омского университета. - 2010. - Вып. 4. - С. 70-75.

10. Прудников П.В., Медведева М.А., Желтьппев П.А. Численное исследование неравновесного критического поведения трехмерной модели Гейзенберга с линейными дефектами. // Вестник Омского университета. - 2009. - Вып. 4. - С. 108-113.

11. Прудников П.В., Прудников В.В., Медведева М.А., Желтышев П.А. Компьютерное моделирование критического поведения трехмерной модели Гейзенберга с линейными дефектами методом коротковременной динамики. // Вестник Омского университета. - 2008. -Вып. 4. - С. 29-34.

Публикации в других изданиях:

12. Прудников П.В., Прудников В.В., Колесников В.Ю., Медведева М.А., Желтышев П.А. Численное исследование влияния протяженных дефектов структуры на критическое поведение трехмерных систем методом коротковременной динамики. // Труды Семинара по вычислительным технологиям в естественных науках. Вып. 1. Вычислительная физика / Под ред. Р. Р. Назирова,- М. Изд-во КДУ, 2009. - С. 264-278.

13. Прудников П.В., Медведева М.А., Желтышев П.А. Программа расчета характеристик неравновесной критической динамики неупорядоченной модели Гейзенберга с протяженными дефектами структуры с применением параллельных методов // Свидетельство о государственной регистрации программы для ЭВМ № 20116I4137. - 2011.

14. Прудников П.В., Медведева М.А. Программа численного моделирования на многопроцессорной вычислительной системе эффектов старения в неравновесном критическом поведении трехмерной модели Гейзенберга с дальнодействуюшей корреляцией дефектов // Свидетельство о государственной регистрации программы для ЭВМ № 2012661125. - 2012.

15. Прудников П.В., Прудников В.В., Медведева М.А. Программа моделирования на многопроцессорной вычислительной системе критических свойств ультратонких магнитных пленок на основе анизотропной модели Гейзенберга // Свидетельство о государственной регистрации программы для ЭВМ № 2012661126. - 2012.

16. Прудников П.В., Прудников В.В., Поспелов Е.А., Медведева М.А., Чабров A.B., Питеримов А.Ю. Программа расчета поправок к скейлингу критического поведения структурно неупорядоченных спиновых систем И Свидетельство о государственной регистрации программы для ЭВМ № 2013614924. - 2013.

Список литературы

[1] Blavats'ka V., С. von Ferber et al. // Phys. Rev. E. - 2001. - V. 64. - P. 041102.

[2] C. Vàsquez R. et al. // Phys. Rev. Lett. - 2003. - V. 90. - P. 170602.

[3] Prudnikov V. V., Prudnikov P. V. et al. // Phys. Rev. В. - 2000. - V. 62. - P. 8777.

[4] С. Chappert, A. Fert, F. Nguyen van Dau // Nature Mater. - 2007. - V. 6. - P. 813.

[5] Vaz C.A.F., Bland J.A.C., et al. // Rep. Prog. Phys. - 2008. - V. 71. - P. 056501.

[6] Albano E.V., Bab M.A., et al. // Rep. Prog. Phys. - 2011. - V. 74. - P. 026501.

[7] Ozeki Y. and Ito N. // J. Phys. A. - 2007. - V. 40. - P. R149.

[8] Prudnikov P.V., Medvedeva M.A. // Prog. Theor. Phys. - 2012. - V. 127. - P. 369.

[9] Прудников П.В., и др. // Вест. Ом. Ун-та. - 2010. - Вып. 2. - С. 62.

[10] Femandes H.A., et al. Hi. Stat. Mech. - 2006. - V. 10. - P. 10002.

[11] Chen K., Ferrenberg A.M., Landau D.P. // Phys. Rev. B. - 1993. - V. 48. - P. 3249.

[12] Ambrose M.C. and Stamps R.L. // Phys. Rev. B. - 2013. - V. 87. - P. 184417.

[13] Bordel С., Juraszek J., et al. // Phys. Rev. Lett. - 2012. - V. 109. - P. 117201.

[14] Carubelli M., Billoni O.V., et al. // Phys. Rev. B. - 2008. - V. 77. - P. 134417.

Подписано в печать 08.04.2014. Формат бумаги 60x84/16. Печ. л. 1,0. Уч.-изд. л. 0,84. Тираж 100 экз. Заказ №79.

Отпечатано на полиграфической базе издательства ОмГУ. 644077, Омск-77, пр. Мира, 55а.

 
Текст научной работы диссертации и автореферата по физике, кандидата физико-математических наук, Медведева, Мария Александровна, Омск

Федеральное государственное бюджетное образовательное учреждение высшего профессионального образования «Омский государственный университет им. Ф.М. Достоевского»

На правах рукописи

04201459945

Медведева Мария Александровна

ИССЛЕДОВАНИЕ ВЛИЯНИЯ ДЕФЕКТОВ СТРУКТУРЫ И РАЗМЕРНЫХ ЭФФЕКТОВ НА КРИТИЧЕСКОЕ ПОВЕДЕНИЕ СЛОЖНЫХ СПИНОВЫХ СИСТЕМ

01.04.02 - теоретическая физика

Диссертация на соискание ученой степени кандидата физико-математических наук

Научный руководитель: Прудников Павел Владимирович доктор физико-математических наук,

профессор.

Омск - 2014

Оглавление

Введение 4

1 Фазовые переходы и критические явления 13

1.1 Фазовые переходы ................................................13

1.2 Универсальность критического поведения......................15

1.3 Влияние дефектов структуры на критическое поведение ... 19

1.4 Низкоразмерные структуры......................................23

1.5 Основные методы и алгоритмы для моделирования неупорядоченных систем ..................................................25

1.5.1 Метод Монте-Карло. Алгоритм Метрополиса..............25

1.5.2 Кластерные алгоритмы......................................29

1.5.3 Модификация метода Монте-Карло для неупорядоченных систем....................................................32

1.5.4 Методика оценки погрешности измерений..................33

2 Численное исследование слабо неупорядоченной модели Гейзенберга с дальнодействующей корреляцией дефектов с учетом различных начальных состояний 35

Введение................................................................35

2.1 Описание модели..................................................40

2.2 Определение критической температуры слабо неупорядоченной модели Гейзенберга ..........................................42

2.3 Релаксация из полностью упорядоченного начального состояния ................................................................40

2.4 Эволюция из высокотемпературного начального состояния . 52

2.5 Основные результаты и выводы..................................61

3 Критическое поведение сильно неупорядоченных магнетиков с дальнодействующей корреляцией дефектов 63

Введение................................................................63

3.1 Равновесные характеристики сильно неупорядоченной модели Гейзенберга......................................................64

3.2 Исследование неравновесной критической релаксации сильно неупорядоченной модели Гейзенберга из начального низкотемпературного состояния......................................69

3.3 Исследование эффектов старения................................74

3.4 Основные результаты и выводы..................................77

4 Численное исследование критических свойств тонких

магнитных пленок 79

Введение................................................................79

4.1 Анизотропная модель Гейзенберга ..............................81

4.2 Спин ориентационный переход ..................................83

4.3 Размерные эффекты в критическом поведении тонких пленок 88

4.4 Основные результаты и выводы..................................94

Заключение 95

Литература 97

Введение

Особенности поведения макроскопических систем в окрестности температуры фазового перехода второго рода определяются сильным взаимодействием долгоживущих флуктуаций параметра порядка [1-4]. Так, слабое возмущение в окрестности критической точки может вызывать аномально сильный отклик и приводить к новым физическим эффектам. В этом плане, наиболее неожиданные явления возникают при рассмотрении влияния различных неравновесных начальных условий на аномально медленную релаксацию системы в критической области.

Реальные твердые тела содержат замороженные дефекты структуры, присутствие которых влияет на характеристики систем. В большинстве работ исследование ограничивается рассмотрением точечных, пространственно некоррелированных дефектов. В то же время, вопрос о влиянии на критическое поведение эффектов корреляции дефектов значительно менее исследован. Можно ожидать, что дальнодействующая корреляция в пространственном распределении дефектов может модифицировать критические свойства неупорядоченных систем.

Смещение исследований в современной физике твердого тела в область микромасштабов вызвало необходимость понимания тонких явлений связанных с наличием протяженных дефектов структуры типа дислокаций, границ зерен, примесных комплексов, поверхностей кристаллов и т.д. Все эти особенности представляют собой проявление пространственно скоррелированных неоднородностей.

В силу этого к моделям систем с дальнодействующей корреляцией дефектов существует несомненный интерес как с общетеоретической точки зрения выявления новых типов критического поведения, так и с точки зрения реальной возможности проявления дальнодействующей корреляции дефектов в полимерах [5], при переходе в сверхтекучее состояние 4Не

в пористой среде - аэрогеля [6], в ориентационных стеклах [7], в неупорядоченных твердых телах с дефектами фракталоподобного типа [8] и при описании дислокаций на поверхности [9].

Известно, что в критической точке наряду с особенностями равновесных характеристик сингулярное поведение демонстрируют кинетические коэффициенты и динамические функции отклика, что обусловлено аномально большими временами релаксации сильно флуктуирующих величин. Однако исследование динамических свойств критических флук-туаций сталкивается с трудностями более сложными, чем при описании равновесных характеристик. Это вызвано необходимостью учета взаимодействия флуктуаций параметра порядка с другими долгоживущими возбуждениями. Существенным достижением ренормгруппового подхода в исследовании статистических критических явлений явилось создание концепции классов универсальности критического поведения различных систем, характеризующихся сходными критическими свойствами. Описание динамических критических явлений в отличие от статических значительно сложнее, на что указывает существование большого числа моделей критической динамики с различным динамическим критическим поведением [10] при общих равновесных критических свойствах. В этом плане, динамическое критическое поведение модели Гейзенберга значительно менее изучено по сравнению с исследованиями статических свойств [11]. Модель Гейзенберга, описывающая важный класс изотропных магнетиков, является наиболее распространенной моделью при описании реальных магнетиков. Фактически, анизотропный вариант модели Гейзенберга используется для описания таких сплавов, как K2NiF4 [12], BaCo2(As04)2 [13], BaNi2(P04)2 [14], СоС12 - GIC [15] и Rb2CrCl4 [16].

При исследовании неравновесных свойств гейзенберговских магнетиков наличие дальнодействующей корреляции дефектов может привести к проявлению эффектов старения и нарушению флуктуационно-диссипативного отношения [17-^19].

В работе Вейнриба и Гальперина [20] представлена модель изотропной неупорядоченной системы с дальнодействующей корреляцией дефектов. Было показано, что дефекты, обладающие свойством дальней пространственной корреляции, изменяют критическое поведение не только

систем с однокомпонентным параметром порядка, как в случае точечных дефектов, но и систем с многокомпонентным параметром порядка. В работе [21] было осуществлено теоретико-полевое описание трехмерных систем с дальнодействующей корреляцией дефектов и было подтверждено ее влияние на критическое поведение таких систем. Однако ренормгруп-повое описание не позволяет учесть влияние дефектов структуры высокой концентрации. Компьютерное моделирование позволяет провести исследование неупорядоченных систем в широком диапазоне концентраций дефектов структуры.

Понимание критических явлений в низкоразмерных структурах может быть достигнуто путем изучения ультратонких пленок. Исследование тонких пленок имеет большое технологическое значение в связи с применением в магнитных устройствах хранения данных [22]. Процессы магнитного упорядочения в ультратонких ферромагнитных пленках очень сложны из-за сильного влияния формы и кристаллографической анизотропии подложки. За последние годы появилось большое количество экспериментальных работ, посвященных исследованиям магнитных свойств низкоразмерных систем [23]. Тем не менее остались без ответа такие вещи, как тип магнитного упорядочения при низких температурах. В связи с этим компьютерное исследование модельных статистических систем имеет важное значение для описания свойств ультратонких магнитных пленок.

В связи с выше изложенным целью настоящей диссертации является:

1. Исследование влияния дальнодействующей корреляции дефектов структуры на неравновесное поведение неупорядоченных систем при фазовом переходе второго рода посредством изучения трехмерной неупорядоченной модели Гейзенберга с линейными дефектами методом коротковременной динамики.

2. Численное исследование неравновесного критического поведения характеристик слабо и сильно неупорядоченной модели Гейзенберга с линейными дефектами с учетом влияния различных начальных состояний. Расчет универсальных критических показателей и сравнение с результатами теоретических расчетов.

3. Исследование равновесного критического поведения тонких магнитных пленок. Определение значений универсальных показателей, определяющих магнитное упорядочение в тонких пленках. Исследование перехода от двумерных к трехмерным критическим свойствам многослойных магнетиков с ростом толщины пленки.

Научная новизна результатов.

1. Впервые осуществлено компьютерное моделирование неравновесного критического поведения трехмерной модели Гейзенберга с дальней пространственной корреляцией дефектов в коротковременном режиме. При исследовании критической релаксации модели из различных начальных состояний системы определены значения совокупности динамических и статических универсальных критических показателей при применении методики учета поправок к скейлингу. Полученные результаты позволяют сделать вывод о существенности влияния дальней пространственной корреляции дефектов на критическое поведение и о существовании различных классов универсального критического поведения для рассматриваемых систем, отвечающих областям слабой и сильной структурной неупорядоченности.

2. Впервые продемонстрировано при сопоставлении результатов компьютерного моделирования неравновесного критического поведения трехмерной модели Гейзенберга с дальней пространственной корреляцией дефектов в коротковременном режиме и ее равновесного критического поведения, что метод коротковременной динамики может служить надежной альтернативой традиционным методам Монте-Карло не только при численных исследованиях однородных систем, но и систем со структурным беспорядком, обеспечивая при меньших машинных затратах получение более полной информации о критическом поведении структурно неупорядоченных систем.

3. Впервые проведено исследование равновесного критического поведения характеристик тонких ферромагнитных пленок посредством изучения анизотропной модели Гейзенберга, позволяющее определить значение температуры фазового перехода в зависимости от толщины пленки. Полученные результаты позволяют сделать вывод о существовании пере-

хода от двумерных к трехмерным свойствам многослойных магнетиков с ростом толщины пленки.

Научная и практическая значимость работы.

Научная значимость диссертации обусловлена необходимостью выявления влияния дальнодействующей корреляции структурных дефектов на критическое поведение спиновых систем и разработки методик анализа данных, получаемых при моделировании поведения систем.

Выявленное в результате проведенных расчетов существенное влияние дефектов структуры на характеристики критического поведения различных систем могут найти применение при отработке методики и постановке реальных физических и компьютерных экспериментов, а также практическом использовании направленной модификации свойств материалов, испытывающих фазовые превращения, за счет их легирования, что служит научной основой для создания материалов с новыми, перспективными физико-химическими свойствами.

Основные положения, выносимые на защиту.

1. Методика численного исследования неравновесного критического поведения структурно неупорядоченной трехмерной модели Гейзенберга с дальней пространственной корреляцией дефектов в коротковременном режиме и методика определения значений универсальных критических показателей с учетом ведущих поправок к скейлингу.

2. Наличие нескольких этапов динамического развития слабо неупорядоченных систем после микроскопического временного масштаба: области с характеристиками однородной системы, кроссоверной области и области, характеризующейся влиянием структурного беспорядка.

3. Подтверждение расширенного критерия Харриса о влиянии дефектов с дальней пространственной корреляцией на критическое поведение не только изингоподобных систем, но и систем с многокомпонентным параметром порядка (на примере модели Гейзенберга).

4. Методика численного исследования равновесного критического поведения тонких магнитных пленок посредством изучения анизотропной модели Гейзенберга и методика расчета критических показателей.

Апробация работы. Основные результаты диссертационной работы докладывались и обсуждались на XI Всероссийской молодежной школе-

семинаре по проблемам физики конденсированного состояния вещества (Екатеринбург, 2010), на региональных научно-практических конференциях «Молодежь третьего тысячелетия» (Омск, 2011, 2012, 2013), на Moscow International Symposium on Magnetism (MISM) (Moscow, 2011), на Восемнадцатой Всероссийской научной конференции студентов-физиков и молодых ученых (ВНКСФ-18, Красноярск, 2012), на VIII Международной научно-технической конференции «Динамика систем, механизмов и машин» (Омск, 2012), на научно-практическом семинаре «Вычислительная физика и суперкомпьютерные технологии 2012» (Омск, 2012), на «XXV IUPAP Conference on Computational Physics» (Moscow, 2013), a также на научных семинарах кафедры теоретической физики ОмГУ.

Публикации.

1. Prudnikov P.V., Medvedeva М.А. Non-equilibrium critical relaxation of the 3D Heisenberg magnets with long-range correlated disorder. // Progress of Theoretical Physics. - 2012. - Vol. 127. - No. 3. - P. 369 - 382.

2. Medvedeva M., Prudnikov P. Non-equilibrium critical relaxation of Heisenberg ferromagnets with long-range correlated defects. // Solid State Phenomena. - 2012. - Vol. 190. - P. 39 - 42.

3. Прудников П.В., Медведева М.А. Неравновесное критическое поведение сильно неупорядоченных магнетиков с дальнодействующей корреляцией дефектов. // Физика низких температур. - 2014. - Т. 40. - Вып. 5. - С. 570-579.

4. Prudnikov P.V., Medvedeva М.А. Monte Carlo simulation of critical properties of ultrathin anisotropic Heisenberg films. // Journal of Physics: Conference Series, - 2014. - V. 510. - P. 012024.

5. Prudnikov P.V., Elin A.S., Medvedeva M.A. Non-equilibrium critical behaviour of ultrathin magnetic and metamagnetic Ising films. // Journal of Physics: Conference Series, 2014. - V. 510. - P. 012018.

6. Прудников П.В., Прудников В.В., Колесников В.Ю., Медведева М.А., Желтышев П.А. Численное исследование влияния протяженных дефектов структуры на критическое поведение трехмерных систем методом коротковременной динамики. // Труды Семинара по вычислительным технологиям в естественных науках. Вып. 1. Вычислительная физика / Под ред. Р. Р. Назирова,- М. Изд-во КДУ, 2009. - С. 264-278.

7. Прудников П.В., Медведева М.А., Шакирзянов Ф.Р. Численное исследование неравновесной критической динамики структурно неупорядоченных систем с протяженными дефектами структуры вблизи температуры фазового перехода второго рода. // Известия Казанского государственного архитектурно-строительного университета. - 2012. - Вып. 3 (21). - С. 209 - 215.

8. Прудников П.В., Медведева М.А. Компьютерное моделирование критического поведения характеристик сильно неупорядоченной модели Гейзенберга с линейными дефектами. // Вестник Омского университета.

- 2012. - Вып. 2. - С. 87-91.

9. Прудников П.В., Медведева М.А. Численное исследование влияния протяженных дефектов структуры на критическую релаксацию трехмерной модели Гейзенберга. // Вестник Омского университета. - 2011. -Вып. 2. - С. 88-92.

10. Прудников П.В., Медведева М.А., Желтышев П.А. Численное исследование влияния эффектов корреляции дефектов структуры на критическую динамику модели Гейзенберга. // Вестник Омского университета. - 2010. - Вып. 4. - С. 70-75.

11. Прудников П.В., Медведева М.А., Желтышев П.А. Численное исследование неравновесного критического поведения трехмерной модели Гейзенберга с линейными дефектами. // Вестник Омского университета.

- 2009. - Вып. 4. - С. 108-113.

12. Прудников П.В., Прудников В.В., Медведева М.А., Желтышев П.А. Компьютерное моделирование критического поведения трехмерной модели Гейзенберга с линейными дефектами методом коротковременной динамики. // Вестник Омского университета. - 2008. - Вып. 4. - С. 29-34.

13. Прудников П.В., Медведева М.А., Желтышев П.А. Программа расчета характеристик неравновесной критической динамики неупорядоченной модели Гейзенберга с протяженными дефектами структуры с применением параллельных методов. // Свидетельство о государственной регистрации программы для ЭВМ № 2011614137. - 2011. - Патентообладатель: ГОУ ВПО ОмГУ им. Ф.М. Достоевского.

14. Прудников П.В., Медведева М.А. Программа численного моделирования на многопроцессорной вычислительной систе