Численное исследование влияния дальнодействующей корреляции дефектов на критическое поведение спиновых систем тема автореферата и диссертации по физике, 01.04.02 ВАК РФ

На правах рукописи

Колесников Вячеслав Юрьевич

ЧИСЛЕННОЕ ИССЛЕДОВАНИЕ ВЛИЯНИЯ ДАЛЬНОДЕЙСТВУЮЩЕЙ КОРРЕЛЯЦИИ ДЕФЕКТОВ НА КРИТИЧЕСКОЕ ПОВЕДЕНИЕ СПИНОВЫХ СИСТЕМ

01.04.02 — теоретическая физика

Автореферат диссертации на соискание ученой степени кандидата физико-математических наук

2 6 НОЯ 2009

Омск - 2009

003484812

Работа выполнена на кафедре теоретической физики ГОУ ВПО «Омский государственный университет им. Ф.М. Достоевского».

Научный руководитель: доктор физико-математических наук,

профессор Прудников Владимир Васильевич.

Официальные оппоненты: доктор физико-математических наук,

профессор

Аплеснин Сергей Степанович,

доктор физико-математических наук, ведущий научный сотрудник; профессор Щур Лев Николаевич.

Ведущая организация: Институт физики им. Х.И. Армиханова ДагНЦ РАН, г. Махачкала.

Защита состоится декабря 2009 г. в

11*

часов на заседании диссертаци-

онного совета Д 212.179.04 при ГОУ ВПО «Омский государственный университет им. Ф.М. Достоевского »по адресу; 644077, г. Омск, пр. Мира, 55а.

С диссертацией можно ознакомиться в библиотеке ГОУ ВПО «Омский государственный университет им. Ф.М. Достоевского».

Автореферат разослан <М> ноября 2009 г.

Ученый секретарь

диссертационного совета Д 212.179.04

кандидат физико-математических наук

Вершинин Г.А.

Общая характеристика работы

Актуальность темы

Исследование критического поведения неупорядоченных систем представляет большой теоретический и экспериментальный интерес, поскольку большинство реальных твердых тел содержат замороженные дефекты структуры, присутствие которых влияет па характеристики систем. В частности, при фазовых переходах поведение таких систем может существенно меняться. В большинстве работ исследование ограничивается рассмотрением точечных дефектов низкой концентрации. Согласно критерию Харриса [1], такие дефекты изменяют критическое поведение только систем с расходящейся теплоемкостью (нзингоподобные магнетики). В то же время вопрос о влиянии на критическое поведение эффектов корреляции дефектов практически не исследован. В рамках этой же проблемы можно поставить вопрос о влиянии на критическое поведение протяженных дефектов (дислокаций, границ зерен), что еще больше приближает исследователей к описанию реальных материалов.

В работе [2] представлена модель изотропной неупорядоченной системы с даль-нодействующей корреляцией дефектов. Был получен критерий существенности ее влияния на критическое поведение систем и показано, что дефекты, обладающие свойством дальней пространственной корреляции, могут при определенных условиях изменять критическое поведение не только систем с однокомпонентным параметром порядка (модель Изинга), но и систем с двухкомпонентным (ХУ-модель) и трехкоыпонентным (модель Гейзенберга) параметром порядка. Также были получены значения статических критических индексов в однопетлевом приближении с использованием метода, двойного е, ¿-разложения. Однако существует ряд работ [3, 4], посвященных теоретико-полевому описанию однородных и неупорядоченных моделей, которые показывают существенное различие реального критического поведения и предсказаний однопетлевых приближений (особенно результатов е-разложения). В работе [5] было осуществлено теоретико-полевое описание критического поведения непосредственно трехмерных систем с дальнодействующей изотропной корреляцией дефектов в двухиетлевом приближении с последовательным применением для анализа рядов разложения методов суммирования и проведен расчет статических и динамического критических индексов для систем с различным числом компонент параметра порядка и различными значениями параметра корреляции. Было выявлено значительное отличие характеристик критического поведения систем с дальнодействующей корреляцией от аналогичных характеристик для однородных систем и систем с некоррелированными дефектами. Удалось установить, что получающаяся картина областей устойчивости различных типов критического поведения для одних и тех же параметров модели, существенно отличается от предсказываемых в работе [2].

Поэтому до сих пор остается открытой проблема проверки с помощью физического или компьютерного эксперимента результатов ренорыгруппового описания критического поведения систем с дальнодействующей корреляцией дефектов. Не ясно также, изменяются ли характеристики систем в зависимости от степени разбавления немагнитными атомами, или имеет место универсальное критическое по-

ведение во всем диапазоне концентраций примеси вплоть до порога перколяцин. Ренормгрупповое описание не дает ответа на этот вопрос, поскольку применимо лишь в области низких концентраций дефектов.

Цель работы

Целью настоящей диссертации является:

- исследование влияния дальнодействующей корреляции дефектов структуры на критическое поведение систем с различным числом компонент параметра порядка посредством численного изучения методами Монте-Карло ферромагнитных трехмерных моделей Изинга и XV.

- численное исследование неравновесного критического поведения трехмерных моделей Изинга п ХУ с линейными дефектами при спиновых концентрациях р = 0.80 и р = 0.60 методом коротковременной динамики при рассмотрении эволюции систем из разных начальных неравновесных состояний. Определение совокупности значений для независимых динамических г, в и статических V, /3 критических индексов с применением метода поправок к скейлингу. Сопоставление полученных значений критических индексов для слабо неупорядоченных систем с р = 0.80 с существующими результатами теоретико-полевых расчетов.

- численное исследование равновесного критического поведения трехмерной модели Изинга с линейными дефектами со спиновой концентрацией р = 0.80 традиционным методом Монте-Карло п определение совокупности статических критических индексов с применением метода поправок к скейлингу. Сопоставление полученных значений критических индексов со значениями аналогичных критических индексов, определенных методом коротковременной динамики.

Научная новизна результатов

1. Впервые осуществлено компьютерное моделирование неравновесного критического поведения трехмерных моделей Изинга и ХУ с дальней пространственной корреляцией дефектов в коротковременном режиме. При исследовании критической релаксации модели из различных начальных состояний системы определены значения совокупности динамических и статических критических индексов при применении методики учета поправок к скейлингу. Полученные результаты позволяют сделать вывод о существовании различных классов универсального критического поведения для рассматриваемых систем, отвечающих областям слабой и сильной структурной неупорядоченности.

2. Впервые получено численное подтверждение о существенности влияния дальней пространственной корреляции дефектов на критическое поведение не только изингоподобных систем, как в случае систем с некоррелированным структурным беспорядком, но и систем с многокомпонентным параметром порядка (на примере ХУ-моделн).

3. Впервые продемонстрировано при сопоставлении результатов компьютерного моделирования неравновесного критического поведения трехмерной модели Изинга с дальней пространственной корреляцией дефектов в коротковременном режиме и ее равновесного критического поведения, что метод коротковременной динамики может служить надежной альтернативой традиционным методам Мопте-Карло не только при численных исследованиях однородных систем, но и систем со структур-

ным беспорядком, обеспечивая при меньших машинных затратах получение более полной информации о критическом поведении структурно неупорядоченных систем.

Научная и практическая значимость работы

В настоящее время компьютерное моделирование различных систем становится альтернативой физическому эксперименту и зачастую единственно возможным способом получения достоверной информации. Для осуществления компьютерного моделирования применяются мощные вычислительные системы (суперкомпьютеры и вычислительные кластеры), непрерывно совершенствуемые год от года. Важной областью применения методов компьютерного моделирования является теория критического поведения сильно неупорядоченных систем, когда невозможно проведение аналитического описания.

Исследование влияния дефектов структуры и эффектов их корреляции является актуальным направлением современной физики конденсированного состояния, т.к. практически все реальные материалы содержат примеси и другие дефекты структуры. Далыюдействующая корреляция в пространственном распределении дефектов может модифицировать критические свойства неупорядоченных систем. На это указывают эксперименты по рассеянию нейтронов и рентгеновского излучения на. различных системах, находящихся в критических точках. В силу этого к моделям систем с далышдействующей корреляцией дефектов существует несомненный интерес как с общетеоретической точки зрения выявления новых типов критического поведения в неупорядоченных системах, так и с точки зрения реальной возможности проявления далыюдействующей корреляции дефектов в ориента-ционных стеклах [6], полимерах [7] и неупорядоченных твердых телах с дефектами фракталоподобного типа [8].

Полученные в диссертации результаты вносят существенный вклад в развитие численных методов применительно к неупорядоченным спиновым системам, а также дают обоснование и развитие представлений теории критических явлений неупорядоченных систем, являются отправной точкой для последующих исследований в данной области теоретической н вычислительной физики.

Основные положения, выносимые на защиту

1. Методика численного исследования неравновесного критического поведения структурно неупорядоченных трехмерных моделей Изинга и ХУ с дальней пространственной корреляцией дефектов в коротковременном режиме и методика определения значений критических индексов с учетом ведущих поправок к скейлингу.

2. Наличие нескольких этапов динамического развития слабо неупорядоченных систем после микроскопического временного масштаба: области с характеристиками однородной системы, кроссоверной области и области, характеризующейся влиянием структурного беспорядка.

3. Подтверждение расширенного критерия Харрнса о влиянии дефектов с дальней пространственной корреляцией на критическое поведение не только изингопо-добных систем, но и систем с многокомпонентным параметром порядка (на. примере ХУ-модели).

4. Возникновение при концентрациях спинов большей порога спиновой перколя-

цин двух классов универсального критического поведения, отвечающих слабой и сильной структурной неупорядоченности.

Апробация работы

Основные результаты диссертационной работы докладывались и обсуждались на III Международной конференции «Фундаментальные проблемы физики>(Казань, 2005), The 3-rd International Workshop Hangzhou 2006 on Simulational Physics (Hangzhou, 2006), Семинаре по вычислительным технологиям в естественных науках (Таруса, 2009), Международной конференции «Фазовые переходы, критические и нелинейные явления в конденсированных средах» (Махачкала. 2009), а также на научных семинарах кафедры теоретической физики ОмГУ.

Публикации

Список публикаций автора по теме диссертации включает 10 статей и тезисов докладов, опубликованных в российских и иностранных журналах, сборниках трудов и материалах конференций.

Структура и объем диссертации

Диссертация состоит из введения, четырех глав, и заключения. Объем диссертации - 108 страниц машинописного текста, в том числе 28 рисунков, 13 таблиц, и список цитируемой литературы из 108 наименований.

Краткое содержание работы

Во введении обоснована актуальность выбранной темы диссертационной работы и сформулированы основные цели исследований.

В первой главе, носящей обзорный характер, в краткой форме излагается содержание ряда концепций и методов, применяемых для описания критических явлений. Рассматривается влияние беспорядка с дальнодействующей корреляцией дефектов на критическое поведение систем. Представлен обзор существующих ренормгрупповых описаний и численных исследований в данной области.

Во второй главе осуществлено компьютерное моделирование как равновесного, так и неравновесного критического поведения для слабо неупорядоченной трехмерной модели Изинга с дальнодействующей корреляцией дефектов, определены для системы со спиновой концентрацией р = 0.8 значения критической температуры и критических индексов.

Рассматривается модель неупорядоченной спиновой системы в виде кубической решетки с линейным размером L и наложенными граничными условиями. Микроскопический гамильтониан неупорядоченной модели Изинга записывается в виде

где Зц - короткодействующее обменное взаимодействие между закрепленными в узлах решетки спинами <7;, принимающими значения ±1. Немагнитные атомы примеси образуют пустые узлы. Числа заполнения р, при этом принимают значения 0 или 1 и описывают распределение замороженных дефектов структуры с дальнодействующей изотропной пространственной корреляцией д(х—у) ~ \х—у\~а, описываемой моделью Всйнриба-Гальперина [2] с параметром корреляции а. В диссертации

(1)

(¿J)

была осуществлена численная реализация этой модели в виде системы линейных дефектов, характеризуемых а = 2. Для этого в заполненной сппнами трехмерной решетке "вычеркивались" линии, параллельные осям координат, до достижения заданной концентрации примесей Сгтр = 0.2. Для обеспечения изотропности в распределении линейных дефектов в решетке удалялось одинаковое число линий в каждом направлении при случайном положении линий в координатных плоскостях. Дополнительно накладывалось условие непересекаемости этих линейных дефектов, что позволяло гарантировать существование в системе единого протекающего спинового кластера. Физическое обоснование этого условия связано с тем фактом, что в реальных кристаллах дислокации, как линейные дефекты, распределяются в образце равномерно с вероятностью их пересечения, близкой к нулю. Условие непересекаемости линейных дефектов соответствует приближениям модели Вейнриба-Гальперина, поскольку их пересечение привело бы к дополнительным вершинам взаимодействия, которые отсутствуют в гамильтониане модели [2].

Для определения критической температуры было осуществлено компьютерное моделирование системы в состоянии равновесия при различных температурах. Для снижения влияния эффектов критического замедления и корреляции различных спиновых конфигураций был применен наиболее эффективный в этом смысле од-нокластерный алгоритм Вольфа. За один шаг Монте-Карло на спин (МСБ/б) принималось 5 переворотов кластера Вольфа. Процедуре установления термодинамического равновесия в системе отводилось 104 МСЭ/ц и 105 МСЭ/ё отводилось на статистическое усреднение вычисляемых характеристик системы при заданной примесной конфигурации. Для определения средних значений термодинамических и корреляционных функций наряду со статистическим усреднением применялось усреднение по различным примесным конфигурациям: по 15000 образцам для решеток с линейными размерами Ь = 16 и 32, а для решеток с Ь — 64 и 128 - по 10000 образцам. Анализировались зависимости кумулянта Биндера 4-го порядка Ь) и отношения £/Ь(Т, Ь) корреляционной длины £ к Ь от температуры

/ 2тхп

2

. (хи Яз,.)

где 5 = ^ = [(< Ф >}}/рЬ3, Ф = |£

I п=1

- координаты г-го узла трехмерной решетки. Скобки (...) означают статистическое усреднение по шагам Монте-Карло, а [...] - усреднение по различным реализациям распределения дефектов структуры в системе при заданной спиновой концентрации р. По точкам пересечения графиков данных величин для различных размеров решетки (рис. 1) была определена критическая температура Тс = 3.9281(1).

При найденной критической температуре было осуществлено численное исследование неравновесной критической динамики в коротковременном режиме для трехмерной слабо неупорядоченной модели Изпнга (со спиновой концентрацией

5МК

3,922 3,924 3,926 3,928 3,930 X

3,928

39Э0Т

Рис. 1: Зависимости кумулянта Бпндера 4-го порядка 1/4 (Г, £) (а) п отношения £/Ь(Т,Ь) (Ь) от температуры для различных размеров решетки

р = 0.8) с линейными дефектами. Было осуществлено моделирование критической релаксации системы из полностью упорядоченного начального состояния (с начальной намагниченностью то = 1), а также критической эволюции системы из начальных неупорядоченных состояний с то •С 1.

Для моделирования спиновых конфигураций в системе был применен алгоритм Метрополиса. В работе была исследована релаксационная динамика системы, описываемая моделью А в классификации моделей критической динамики, проведенной Хоэнбергом и Гальпериным [9]. Алгоритм Метрополиса, реализующий динамику односпшювых переворотов, наилучшим образом соответствует релаксационной модели А и позволяет провести сравнение получаемого в результате моделирования критической релаксации системы динамического критического индекса г с результатами теоретико-полевого описания [5] критической динамики модели А для трехмерных систем с дальнодействующей пространственной корреляцией дефектов структуры.

Традиционное моделирование критического поведения системы взаимодействующих частиц методом Монте-Карло наталкивается на трудности, связанные в основном с явлением критического замедления, характеризующимся тем, что время релаксации системы, как и время корреляции состояний, неограниченно растут по мере приближения к критической температуре и степенной характер их асимптотической зависимости от приведенной температуры определяется динамическим индексом г. Для структурно неупорядоченных систем эта проблема еще более существенна, т. к. их неравновесное критическое поведение определяется индексом г, принимающим большие значения, чем для однородных систем. Для уменьшения эффектов влияния критического замедления применяют кластерные алгоритмы Вольфа или Свендсена-Ванга, но эти алгоритмы столь существенно меняют динамику системы по сравнению с алгоритмом Метрополиса, что для получения информации о характеристиках критической динамики их применять нельзя. В связи с этим в работе был применен метод коротковременной динамики (МКД) для получения значений как динамического, так и статических критических индексов. Особенностью МКД является то, что информация об универсальном критическом поведении может быть получена на относительно малых макроскопических промежутках времени (от 1000 до 2000 МОЭ/э) на ранней стадии развития системы в критической точке или се окрестности.

МКД был обоснован результатами аналитических и численных исследований,

проведенных в работах [10, И]. Так, в работе [10] на основе ренормгруппового анализа было показано, что после микроскопически малого промежутка времени ¿т1С для к-го момента намагниченности системы реализуется обобщенно-однородная (скейлинговая) форма

г, Ь, тпо) = Ь-Щ'ММ ('Ь~Ч, 61Ат, Ь'1^ Ьх°т0) , (4)

где 4 - время, т = (Т — Тс)/Тс - приведенная температура, Ь - линейный размер решетки, 6 - произвольный масштабный фактор, 0, и, 2 - известные критические индексы, жо - новый независимый критический индекс, задающий скейлинговую размерность начального значения намагниченности то-

Для неупорядоченных систем вычисление осуществляется в виде

М{к)Ц) =

я ^ к

1=1

(5)

В работе проводилось усреднение вычисляемых величин по 3000 различным примесным конфигурациям.

Для начального состояния системы сто = 1 (спины ориентированы в одном направлении) и для решеток с достаточно большими линейными размерами Ь уравнение (4) для намагниченности (к = 1) при выборе фактора Ъ = принимает следующий вид:

МЦ,т) = Г3/итМ (м1/,/2т) ~ Г№г (1 + А^т + ООт2)) • (б)

В пределе г —♦ 0

МЦ) ~ ГН"". (7)

Другой определяемой в работе величиной является кумулянт Биндера., характеризуемый выражением

= (8) (л/(г))2

Конечномерный скейлпнговый анализ показывает, что в критической точке поведение кумулянта Биндера описывается степенным законом:

~ (9)

где (1 - размерность системы.

Продифференцировав обе части уравнения (6) по т, прп т = 0 получим еще одно соотношение (в дальнейшем называемое логарифмической производной намагниченности), описываемое степенной зависимостью от времени в критической точке:

г\ 1

1-111 М{ит)\ ~<1/1/г. (10)

дт 1т=0

В работе осуществлялось моделирование кубических решеток с размером Ь = 128 при критической температуре Тс = 3.9281. Временное поведение намагниченности и кумулянта Биндера исследовалось на временах до 1000 МСБ/з. С целью численного определения логарифмической производной намагниченности проводился расчет намагниченности для двух близких к Тс температур, т. е. для Т_ = 3.9250 и Т+ = 3.9310. На рис. 2 приведены итоговые зависимости намагниченности, кумулянта Биндера и логарифмической производной намагниченности от времени в двойном логарифмическом масштабе.

Анализ зависимости кумулянта II(£) показал, что во временном интервале [50,151 МСЭ/з, степенному характеру зависимости 11{€) соответствует значение динамического индекса г ~ 2.02, описывающее критическое поведение однородной модели Изинга [12], а влияние линейных дефектов начинает проявляться лишь на временах 4 > 400 МСЭ/б. Выявленные динамические кроссоверные явления учитывались также при анализе временных зависимостей намагниченности и ее логарифмической производной.

В диссертации был осуществлен учет поправок к асимптотической зависимости измеряемых величин за счет влияния конечности моделируемых систем, т. к. только учет данных поправок к скейлингу позволяет получать корректные значения критических индексов в термодинамическом пределе Ь —► оо. Для этого было использовано следующее выражение для временной зависимости наблюдаемых величии Х{Ь)\

Х(Ь) ~ «4 (1 + АХГ<"/*) , (И)

где Ах - неуниверсальные амплитуды, и) является хорошо известным критическим индексом поправки к скейлингу, а показатель 5 = — ¡5/иг в случае X = 6 = й/г в случае X = /7(4) и 6 = \/иг в случае X = дт 1п М(£). Теоретико-полевая оценка в двухпетлевом приближении для показателя и) модели Изинга дает значение и) = 0.8. При анализе полученных кривых показатель и> варьировался в интервале от 0.7 до 1.0. Для расчета значений критических индексов /З/^-г,

Таблица 1: Значения показателей /9/^2, 1/г/г, ¿¡х и минимальные значения среднеквадратичных погрешностей с аппроксимации при различных значениях критического индекса и>

ш а 1/1/2 а й/г а

0.7 0.2112 0.0100 0.556 0.0053 1.183 0.0100

0.8 0.2096 0.0088 0.559 0.0049 1.205 0.0100

0.9 0.2101 0.0093 0.553 0.0070 1.213 0.0099

1.0 0.2090 0.0095 0.558 0.0072 1.227 0.0098

в,/г, и ш/г на временном интервале, соответствующем влиянию структурного беспорядка, был использован метод наименьших квадратов для наилучшей аппроксимации значений А/(£), [/(¿) и дт1п М{€) выражением (11). По минимумам зависимостей погрешности аппроксимации <г от 5 и ш/г определялись значения соответствующих критических показателей. В таблице 1 приведены полученные итоговые значения критических показателей, соответствующие минимальным погрешностям процедуры аппроксимации (11), для различных значений показателя и.

Видно, что значения этих показателей слабо зависят от изменения си в рассмотренном интервале, но значение и) = 0.8 оказывается более предпочтительным, т.к. обеспечивает лучшую аппроксимацию полученных данных. На основе значений показателей были определены динамический критический индекс г = 2.489(21), статические критические индексы и = 0.719(22), 0 = 0.375(45). Сравнение этих значений критических индексов со значениями, вычисленными в работе [5] в рамках теоретико-полевого подхода, г = 2.495, и = 0.716, /9 = 0.350, показывает их хорошее согласие в пределах статистических погрешностей моделирования и аппроксимации.

Далее исследовалась критическая эволюция системы из начальных неупорядоченных состояний с то 1. Согласно теории МКД, для этого режима можно получить следующие соотношения для временных зависимостей намагниченности М(1), ее второго момента и автокорреляционной функции А(¿):

Используя данные зависимости, были определены показатели в, Сг и с„, а на их основе вычислялись критические индексы ¡З/у, г, хо- Чтобы вычислить значения критических индексов, для слабо неупорядоченной модели Изинга было реализовано компьютерное моделирование решетки с линейным размером Ь = 128 и спиновой концентрацией р = 0.80 при двух значениях начальной намагниченности то = 0.02 и то = 0.001 с последующей линейной аппроксимацией результатов к то = 0. Для одной примесной конфигурации проводилось 25 "прогонок" по 700 МСБ/э при температуре Тс = 3.9281. Средние значения вычисляемых термодинамических величин получались усреднением по 3000 различным примесным конфигурациям. На рис. 3-4 приведены графики временных зависимостей исследуемых величин в двойном логарифмическом масштабе, что позволяет по наклону линейных участков графиков определять соответствующие показатели.

Из рисунков видно, что на каждом графике могут быть выделены по два линейных участка: для временных интервалов от 10 до 70 МСБ/'з и от 100 до 650 МСЯ/б. Это связано с наблюдаемым явлением кроссовера, т. е. перехода от поведения, ха,-рактерного для однородной системы, к поведению неупорядоченной системы с линейными дефектами. Для каждого линейного участка исследуемых величин были

М{£) ~ = (ха -м(2)(г) ~ гс% с2 = (¿г - 2-)-;

V г

(14)

(13)

(12)

т0 = 0.02 (а) и т0 = 0.001 (Ь)

Таблица 2: Значения критических показателей для начального участка эволюции от 10 до 70 МСЭ/й в сравнении с. показателями однородной системы, а также значения для участка от 100 до 650 МСБ/в, соответствующие слабо неупорядоченной модели

участки Шо в С2 Си

г = 10 + 70 МСв/Б 0.02 0.086(12) 0.964(28) 1.384(26)

0.001 0.099(0) 0.973(19) 1.364(23)

0 0.101(10) 0.975(23) 1.363(26)

однородная, то = 0 |13| 0.108(2) 0.970(11) 1.362(19)

4 = 100 -4- 650 МСв/в 0.02 0.152(12) 0.812(21) 1.103(16)

0.001 0.149(10) 0.804(19) 1.047(12)

0 0.149(11) 0.801(20) 1.043(14)

определены степенные показатели при то = 0.02 и то — 0.001 с последующей их линейной аппроксимацией к то = 0. Для выделенных на графиках линейных участков, соответствующих поведению однородной системы, было проведено сравнение получаемых показателей с результатами работы [13]. Из табл. 2 видно, что значения наших показателей сопоставимы с соответствующими показателями однородной системы [13]. Для линейных участков, соответствующих критическому поведению системы с дефектами, также был осуществлен расчет соответствующих показателей, которые представлены в табл. 2.

При использовании соотношений, связывающих показатели 9, и са с критическими индексами, для модели Изинга с линейными дефектами и со спиновой концентрацией р — 0.80 были определены значения Р/и = 0.492(28), г — 2.517(32), Хо — 0.867(37). Сопоставление со значениями соответствующих критических индексов (З/р — 0.489 и г = 2.495, полученными в [5] с применением методов ренорм-группового описания, показывает их хорошее согласие в пределах статистических погрешностей численных исследований.

С целью проверки применимости метода коротковременной динамики для численного описания структурно неупорядоченных систем и полученных с его помо-

Рис. 4: Эволюция второго момента намагниченности (а, Ь) и автокорреляционной функции (с) в двойном логарифмичес ком мш штаГк' ил начальных состояний с т0 = 0.02 И то = 0.001

показателей а/и, 0/1/, у/и и V для различных значений и)

Таблица 3: Значения критических индексов, полученные при среднем значении и) = 0.76, а также значения, полученные с помощью МКД и теоретико-полевого описания

а 0 7 V

моделирование в равновесии -0.078(30) 0.362(20) 1.441(15) 0.710(10)

МКД -0.157(66) 0.375(40) 1.41(11) 0.719(22)

теоретико-полевое описание [5] -0.1048 0.3504 1.4453 0.7155

щью результатов в диссертации было реализовано также компьютерное моделирование трехмерной модели Изинга с линейными дефектами традиционными методами Монте-Карло в состоянии равновесия. Для моделирования использовался одно-кластерный алгоритм Вольфа. В состоянии равновесия при критической температуре Тс = 3.9281 был проведен расчет различных термодинамических и корреляционных функций, таких как намагниченность, восприимчивость, корреляционная длина, теплоемкость и кумулянт Биндера [/4, для решеток с линейными размерами Ь — 164-128 и спиновой концентрацией р = 0.80. Использование хорошо известных скейлинговых соотношений для рассматриваемых функций с учетом конечнораз-мерных скейлинговых поправок С(Ь) ~ 1 + аЬ~ш), М(Ь) ~ + ЬЬ~Ш),

х(Ь) ~ 1 + сЬ-ш), ~ Ь1/и{ 1 + спозволяет определить критические

индексы а, (3, 7, и и и с помощью статистической обработки данных моделирования. Для этого проводилась линейная аппроксимация зависимостей (ХЬ~д) от , где X - исследуемая функция, Д - соответствующий критический показатель. Затем исследовались графики зависимостей погрешности аппроксимации а функций ХЬ~А(Ь~Ы) при варьировании значений параметров Д и и>. На рис. 5 представлены зависимости а для теплоемкости, намагниченности, восприимчивости и производной кумулянта по температуре как функции соответствующих показателей а/у, Р/у, у/у и у для различных значений и.

По минимуму а определялись значения показателей. Минимум погрешности аппроксимации наблюдался при ш = 0.90 для а/и, и> = 0.65 для (З/у, и = 0.70 для у/1/, ш = 0.80 для у. Было взято среднее значение и — 0.76(5), при котором и были рассчитаны окончательные значения показателей. Для сравнения в табл. 3 приведены значения критических индексов, полученных с помощью компьютерного моделирования системы в равновесном состоянии, а также с помощью МКД н теоретико-полевых расчетов [5]. Полученные значения находятся в хорошем согласии в пределах погрешностей измерений с результатами применения метода корот-ковременной динамики и теоретико-полевого описания.

1.Н1 1.В62 1Л6Э 1.864 Т, Лкш Э.1В4 3,182 Т, Лк^ 3.200 1.443 1.448 Т, Лк^

Рис. 6: Зависимости кумулянтов Биндера I]4 от температуры для слабо неупорядоченной ХУ-модели (а), сильно неупорядоченных моделей Изинга (Ь) и ХУ (с) для решеток различных размеров Ь

В третьей главе осуществлено компьютерное моделирование слабо неупорядоченной трехмерной ХУ-модели с дальнодействующей корреляцией дефектов. С помощью метода кумулянтов Биндера определена критическая температура. Значения критических индексов получены с помощью МКД.

Трехмерная классическая ХУ-модель описывает критическое поведение многих физических систем: прежде всего, широкий класс сильно анизотропных магнетиков (с анизотропией типа "легкая плоскость"), а также сверхтекучего гелия АНе и сверхпроводников. Эта модель характеризуется гамильтонианом вида:

офЗД", (15)

Ы)

где <?,• = (с*, аУ) - плоский единичный вектор в узле г, сумма берется по всем ближайшим узлам решетки, р,- - случайные переменные, задающие распределение в решетке замороженных дефектов структуры с дальнодействующей пространственной корреляцией. Распределение линейных дефектов задается так же, как и для модели Изинга (см. гл. 2). Параметром порядка модели является средний модуль намагниченности:

м = у/м* + м*, мАу = ^ Е Л- (16)

г

Расчет критической температуры для трехмерной ХУ-системы с линейными дефектами со спиновой концентрацией р = 0.80 был проведен по методу кумулянтов Биндера. Использовался однокластерный алгоритм моделирования Вольфа. Для размеров решетки Ь = 32,64,128 усреднение осуществлялось, соответственно, по 2200. 2200, и 1830 примесным конфигурациям. Для каждой примесной конфигурации нужные величины усреднялись по 1000 МОБ/б (за один шаг - три переворота кластера). Для достижения равновесного состояния, проводилась термапизация, на которую отводилось 200 МСЭ/б. На рис. 6(а) приведены графики кумулянтов (2) для различных размеров решетки в диапазоне температур [1.861:1.8645] с шагом 0.00039. Из пересечения данных кривых было получено значение критической температуры: Тс = 1.8626(5).

Затем при рассчитанной критической температуре было проведено моделирование трехмерной ХУ-системы с линейными дефектами со спиновой концентрацией р = 0.80 методом коротковременной динамики. Для меньшего влияния конечности размера решетки моделируемой системы был взят максимально возможный с точки зрения временных затрат на вычисления размер решетки Ь = 128.

При исследовании критической релаксации системы для получения зависимостей намагниченности (7), ее логарифмической производной по температуре (10) и кумулянта Биндера 2-го порядка (9) от времени проводилось усреднение по 830 примесным конфигурациям и по 5 прогонкам для каждой примесной конфигурации. Рассматривался временной интервал t = 1 1000 MCS/s. Для вычисления логарифмической производной намапшченноетн были дополнительно получены данные по динамике намагниченности для двух температур, близких к критической: Т_ = 1.8502 и Т+ = 1.8749. Усреднение данных при Т± проводилось по 110 примесным конфигурациям и по 5 прогонкам для каждой конфигурации. На рис. 7 представлены временные зависимости исследуемых величин. Анализ данных зависимостей с учетом процедуры применения поправки к скейлингу позволил определить следующие значения для критических показателей ßjvz = 0.221(2), djz = 1.269(3) и l/vz = 0.55(4).

При исследовании критической эволюции системы из начальных неупорядоченных состояний с малой пли нулевой начальной намагниченностью то ставилось целью определение значений динамических критических индексов в и z, а также отношения статических критических индексов ßjv. Для расчета индекса в были получены зависимости намагниченности (12) от времени для различных малых значений начальной намагниченности то — 0.01, то = 0.0075 и шц = 0.005. Затем на основе полученных значений степенных показателей для различных то определялся индекс в, как асимптотическое значение в пределе то —■> 0. Для случая с то = 0.01 усреднение проводилось по 400 примесным конфигурациям и по 3 прогонкам для каждой примесной конфигурации; для для т0 = 0.0075 — по 300(3), для то = 0.005 - по 380(3) конфигурациям. При этом для каждой примесной конфигурации при реализации прогонок генерировались различные спиновые конфигурации, соответствующие заданному то. Для получения степенного поведения автокорреляционной функции (14) и второго момента намагниченности (13) расчеты проводились при то = 0.000001. Усреднение данных осуществлялось по 270 примесным конфигурациям и по 3 прогонкам для каждой прнмесной конфигурации. Исследование эволюции системы проводилось на временном интервале в 700 MCS/s. На рис. 8 показаны полученные зависимости рассматриваемых величин. На основе их анализа были получены значения критических показателей в = 0.374(14), d/z - 1.281(33) и ß/v = 0.534(35).

В табл. 4 представлены итоговые результаты, полученные с помощью МКД для XY-моделп с линейными дефектами для спиновой концентрации р = 0.80, а так-

(а)

Рис. 7: Усредненные значении намагниченности (а), ее логарифмической производной (Ь) и кумулянта Биндера (с) для слабо неупорядоченной ХУ-ыодели на временном интервале Ь = 1 — 1000 МСБ./з в двойном логарифмическом масштабе

Рис. 8: Эволюция намагниченности (а) из начальных состояний с то = 0.01, то = 0.0075 и то = 0.005, второго момента намагннченностн (Ь) и автокорреляционной функции (с) из начального состояния с то — 10~~6 в двойном логарифмическом масштабе

Таблица 4: Значения критических показателей для слабо неупорядоченной ХУ-модели с линейными дефектами, полученные из МКД,' в сравнении с результатами теоретико-полевых вычислений

z 0 V в

диссертация 2.358(25) 0.408(55) 0.78(6) 0.374(14)

работа [5| 2.365 0.37 0.76

же приведены значения критических индексов, полученные в [5] при теоретико-полевом описании модели. Видно хорошее согласие значений в пределах погрешностей.

В четвертой главе представлены результаты компьютерного моделирования трехмерных моделей Изинга и XY с линейными дефектами в области их сильной неупорядоченности (со спиновой концентрацией р = 0.60). Ставилось целью проверить, проявляется ли в критическом поведении систем с дальней пространственной корреляцией дефектов зависимость от их концентрации. В моделировании был также применен метод коротковременной динамики, хорошо зарекомендовавший себя при исследовании слабо неупорядоченных систем.

Для получения значений критических температур для сильно неупорядоченных моделей Изинга и XY было осуществлено вычисление равновесных значений кумулянта Биндера Щ (2). Из пересечения температурных зависимостей для решеток с размерами L = 64,96,128 (рис. 6(Ь,с)) были получены значения критических температур Тс = 3.1956(34) для модели Изинга, и Гс = 1.4455(5) для XY-модели. В этом случае для моделирования применялся однокластерный алгоритм Вольфа (25 переворотов кластера за MCS/s). Было использовано 5000 MCS/s для термалпза-ции и 50000 MCS/s для статистического усреднения по спиновым конфигурациям. Окончательные результаты были получены усреднением по 500 образцам с различными конфигурациями линейных дефектов.

Далее с помощью МКД была исследована релаксация модели Изинга с линейными дефектами и спиновой концентрацией р = 0.60 из полностью упорядоченного начального состояния с то — 1- Анализировались временные зависимости намагниченности (7). ее логарифмической производной по температуре (10) и кумулянта Биндера 2-го порядка (9). Результирующие кривые на временном интервале i = 1 т 2000 MCS/s были получены усреднением по 80 образцам с различными конфигурациями распределения линейных дефектов в решетке и по 25 прогонкам для каждого образца. Зависимость логарифмической производной намагниченности при критической температуре была получена на основе разностной схемы по двум кривым Mit) при температурах Т = 3.1956 и Т = 3.2180. На рис. 9 пред-

1 >е «о 1, мс.1 юоо 1 10 10Чмс»/» " МС1> 1кв

Рис. 9: Усредненные значения намагниченности (а), ее логарифмической производной (Ь) и кумулянта Биндера (с) для сильно неупорядоченной модели Изинга в двойном логарлфдшческоы масштабе

Рис. 10: Эволюция намагниченности из начальных состояний с различными то (а), второго момента намагниченности (Ь) и автокорреляционной функции (с) из начального состояния с то = 0 в двойном логарифмическом масштабе для сильно неупорядоченной модели Изпнга

ставлены полученные зависимости в двойном логарифмическом масштабе. Анализ данных зависимостей с применением процедуры учета поправок к скейлингу позволил рассчитать значения критических показателей: P/v — 0.396(52), z = 2.707(34), /3 = 0.420(97) и г/ = 1.061(155).

При исследовании эволюции системы из неупорядоченных состояний с то С 1 осуществлялся анализ временных зависимостей следующих величин: намагниченности M(t) (12), второго момента намагниченности M^{t) (13) и автокорреляционной функции A(t) (14). Используя данные зависимости, в диссертации определялись показатели в, с2 н са, а на их основе вычислялись критические индексы Р/и и .г. При расчете критического индекса в для сильно неупорядоченной модели Изинга было реализовано компьютерное моделирование решетки с линейным размером L = 128 и спиновой концентрацией р = 0.60 при двух значениях начальной намапшченностн то = 0.002 и то = 0.01 с последующей линейной аппроксимацией результатов к то = 0. Для расчета значений сг и са осуществлялось исследование эволюции системы из полностью неупорядоченных состояний с то = 0. Временные зависимости измеряемых величин изучались на временном интервале t — 1 1000 MCS/s при критической температуре Тс = 3.1956. Данные усреднялись по 30 различным примесным конфигурациям при 25 "прогонках" для каждой примесной конфигурации. На рис. 10 представлены итоговые зависимости измеряемых величин в двойном логарифмическом масштабе. Их анализ позволил определить значения показателей в = 0.210(19), с2 = 0.808(27) и са = 0.902(32), а на основе соотношений, связывающих показатели с критическими индексами, были определены зпачеиня p/v — 0.409(52), г = 2.699(90) для модели Изпнга с линейными дефектами при р = 0.60.

Сопоставление значений критических индексов, характеризующих неравновесное критическое поведение сильно неупорядоченной модели Изинга из ее различных начальных состояний, показывает их хорошее согласие в пределах погреш-

1 10 toe t, MC•/« ,MC « 100^ ис^ (ИО 1« 10» ti MCly, 1000

Рис.. 11: Усредненные значения намагниченности (а), ее логарифмической производной (Ъ) и кумулянт Биндера (с) для сильно неупорядоченной XY-модели в двойном логарифмическом масштабе

ностей. Итоговые усредненные значения критических индексов представлены в табл. 5.

Аналогичные исследования неравновесной критической динамики были осущест лены для сильно неупорядоченной XY-модели с линейными дефектами и со спиновой концентрацией р — 0.60. На первом этапе осуществлялось моделирование релаксации системы из полностью упорядоченного начального состояния с mo = 1. Результирующие кривые временной зависимости намагниченности (7) и кумулянта Биндера 2-го порядка (9) при критической температуре Тс = 1.4455(5) на временном интервале t = 1 -г- 3000 MCS s были получены усреднением по 200 образцам с различными конфигурациями распределения линейных дефектов в решетке и 25 прогонкам для каждого образца. Зависимость логарифмической производной намагниченности (10) при критической температуре была получена на основе разностной схемы по двум кривым М(t) при температурах Тс — 1.4455 и Т+ = 1.4600 на временном интервале t = 14-2000 MCS/s. На рис. 11 представлены полученные зависимости в двойном логарифмическом масштабе. Итоговые значения критических показателей: 0/v = 0.51(1), г = 2.589(52), /3 = 0.511(72) и v = 1.001(143) были получены при анализе временных зависимостей измеряемых величин с применением к ним процедуры учета поправок к скейлингу.

При исследовании эволюции сильно неупорядоченной ХУ-модели из начальных состояний с то «С 1 осуществлялся анализ временных зависимостей следующих величин: M(t) (12), M^(t) (13) и A(t) (14) при критической температуре Тс = 1.4455. Для определения критического индекса начальной эволюции в было реализовано компьютерное моделирование решетки с линейным размером L = 128 при трех значениях начальной намагниченности то = 0.004, то = 0.003 и то = 0.002 (рис.12(a)). Для каждой зависимости M(t) определялся показатель 6(то) с последующей линейной аппроксимацией в(т —► 0). Для расчета показателей С2 и са на основе зависимостей для второго момента намагниченности M^2\t) и автокорреляционной функции A(t) проводилось моделирование системы из начального состояния с то = 0. Временные зависимости получаемых величин изучались на временном интервале t = 1 ч- 2000 MCS/s. Данные усреднялись по 1300 различным примесным конфигурациям при 25 "прогонках" для каждой примесной

Таблица 5: Значения критических показателей для сильно неупорядоченной модели Илинга с линейными Д(ч}х:ктнми. полученные in МКД

iPM„ $ V в

2.703(48) 0.403(38) 0.420(97) 1.001(155) 0.210(19)

логарифмическом масштабе для сильно неупорядоченной ХУ-модели

Таблица 6: Значения критических показателей для сильно неупорядоченной ХУ-моделн с линейными дефектами, полученные из МКД

2-аи 0 V в

2.5й0(54) 0.537(25) 0.511(72) 1.001(143) 0.303(45)

конфигурации. На рис. 12 представлены итоговые временные зависимости вычисляемых величин в двойном логарифмическом масштабе.

Анализ данных зависимостей позволил определить значения показателей в = 0.393(45), С2 = 0.745(26) и са = 0.8016(26), а затем значения критических индексов р/у = 0.564(48) н 2 = 2.511(95). Сопоставление значений критических индексов, характеризующих неравновесное критическое поведение сильно неупорядоченной ХУ-модели из ее различных начальных состояний, показывает их согласие в пределах погрешностей. Итоговые усредненные значения критических индексов представлены в табл. 6.

Полученные результаты показывают, что наличие высокой концентрации дефектов с далыюдействующей корреляцией оказывает сильное влияние на критическое поведение как трехмерной модели Изинга, так и трехмерной ХУ-модели. Анализ временных зависимостей исследуемых величин не выявил при этом временных ре-жилюв, соответствующих критическому поведению однородной системы, как это было в случае неравновесного критического поведения слабо неупорядоченных систем. Критические индексы, вычисленные для сильно неупорядоченных систем, демонстрируют значения значительно отличающиеся от значений, полученных для систем при малых концентрациях дефектов.

В заключении сформулированы основные результаты и выводы диссертации.

Основные результаты и выводы

1. Осуществлено компьютерное моделирование равновесного критического поведения трехмерной слабо неупорядоченной (р = 0.80) ферромагнитной модели Изпнга с линейными дефектами. Получены значения набора статических критических индексов а, Р, у п и модели, индекс асимптотической поправки к екейлингу и, а также значение критической температуры Тс модели.

2. Впервые для исследования влияния структурного беспорядка с дальней пространственной корреляцией дефектов на критическое поведение спиновых систем был применен метод коротковременной динамики. В результате численного исследовании критической релаксации для слабо неупорядоченной (р = 0.80) трехмерной модели Изинга с линейными дефектами были определены значения совокупности динамических и статических критических индексов при применешш методики

учета поправок к скейлингу. Полученные значения критических индексов наход ся в хорошем согласии с результатами теоретико-полевого описания н результ тамн проведенного моделирования равновесного критического поведения модели. Сделан вывод, что метод коротковременной динамики может служить надежно альтернативой традиционным методом Монте-Карло не только при численных и( следованиях однородных систем, но и систем со структурным беспорядком, обе< печнвая при меньших машинных затратах получение более полной информации критическом поведении структурно неупорядоченных систем.

3. Впервые методом коротковременной динамики осуществлено численное исследование неравновесного критического поведения трехмерной слабо неупорядс ченной (р = 0.80) ферромагнитной XY-модели с линейными дефектами. О предел« ны значения совокупности динамических п статических критических индексов при применении методики учета поправок к скейлингу. Полученные значения критических индексов находятся в хорошем согласии с результатами теоретико-полевого описания. На примере исследования XY-модели впервые получено численное подтверждение о существенности влияния дальней пространственной корреляции дефектов на критическое поведение систем с многокомпонентным параметром порядка.

4. В отличие от результатов исследования неравновесного критического поведения однородных систем впервые выявлено наличие нескольких этапов динамического развития в эволюции слабо неупорядоченных систем после микроскопического временного масштаба: области с характеристиками однородной системы, кроссоверной области и области, характеризующейся влиянием структурного беспорядка.

5. Впервые осуществлено компьютерное моделирование неравновесной критической динамики трехмерных сильно неупорядоченных ферромагнитных модели Изинга и XY-модели с дальнодействующей корреляцией дефектов (спиновая концентрация р = 0.60) в коротковременном режиме. Полученные значения критических индексов позволяют сделать вывод о существовании различных классов универсального критического поведения для рассматриваемых систем, отвечающих областям слабой и сильной структурной неупорядоченности.

Основные результаты диссертации опубликованы в работах

1. Prudnikov V.V.. Prudnikov P.V., Dorofeev S.V., Kolesnikov V.Y. Monte Carlo studies of critical behaviour of systems with long-range correlated disorder // Condensed Matter Physics, 2005, v.8. N1 (41), p.213-224.

2. Prudnikov V.V.. Prudnikov P.V., Zheng В., Dorofeev S.V., Kolesnikov V.Y. Short-time critical dynamics of the three-dimensional systems with long-range correlated disorder // Progress of Theoretic Physics, 2007, v.117. N6, pp.073-901.

3. Прудников П.В.. Прудников В.В., Колесников В.Ю., Медведева М.А., Желтышев П.А. Численное исследование влияния протяженных дефектов структуры на критическое поведение трехмерных систем методом коротковременной динамики // Труды Семинара по вычислительным технологиям в естественных науках. Вып. 1. Вычислительная физика / Под ред. P.P. Назирова. - М.: Изд-во КДУ, 2009. - 288 е.; с.264-278.

4. Колесников В.Ю.. Прудников В.В. Монте-Карло исследования влияния дальноденствую-щеП корреляции дефектов на критическое поведение трехмерной XY-модели // Вестник Омского

университета, 2004, вып. 4, с.34-36.

5. Прз'дшгков В.В., Гергертд Е.А., Колесников В.Ю., Прудников П.В. Компьютерное моделирование критического поведения трехмерной XY-модсли с линейными дефектами методом ко-ротковременной динамики // Вестник Омского университета, 2007, вып.4, с.28-33.

6. Prudnikov V.V., Prudnikov P.V., Zheng В., Dorofeev S.V., Kolesnikov V.Y. Short-time critical dynamics of the three-dimensional systems with long-range correlated disorder // E-print, arXiv: cond-mat.diss-nn / 0709.0997, 2007, pp. 1-24.

7. Прудников B.B., Прудников П.В., Колесников В.Ю. Численное исследование неравновесного критического поведения сильно неупорядоченной трехмерной XY-модели с линейными дефектами ,// Вестник Омского университета, 2009, вып.2, с.57-62.

8. Дорофеев С.В., Колесников В.Ю., Прудников В.В., Прудников П.В. Исследование влияния альнодействующей кощю-ляции дефектов на критическое поведение систем методами компьютерного моделирования /'/ Тезисы докладов III Международной конференции < Фундаментальные проблемы физики»(13-18 июня 2005, г. Казань). Казань: Изд-во КГУ, 2005. с. 145.

9. Prudnikov V.V.. Prudnikov P.V., Zheng В., Dorofeev S.V.. Kolesnikov V.Y. Short-tiine critical dynamics of systems with long-range correlated disorder // Abstracts of The 3-rd International Workshop Hangzhou 2006 oil Siniulationai Physics, 2006, p. 14.

10. Колесников В.Ю., Прудников В.В., Прудников П.В. Компьютерное моделирование критического поведения ферромагнитных систем с линейными дефектами методом коротковремешюЛ динамики // Сборник трудов международной конференции «Фазовые переходы, критические и нелинейные явления в конденсированных средах»(7-10 сентября 2009, г. Махачкала). Махачкала: Изд-во Института физики ДагНЦ РАН, 2009. - 544с.; с.35-38.

Список литературы

[1] Harris А. В. // J. Phys. С. - 1974. - V. 7. - Р. 1671.

|2| Wi'iniib A., llalperin B.I. // Phys. Rev. В. - 1083. - V. 27. - P. 413.

13] Mayer I. О. // Journal of Physics. A. - 1989. - V. 22. - P. 2815.

|4| Прудпикои П. В.. Белим С. В.. Пианов А. В., Огшщгп Е.В., Федорсико А. А. // ЖЭТФ. - 1098. - Т. 114. - С. 972.

[5j Prudnikov V. v., Prudnikov P. V. and Fedorenko A. A. // Phys. Rev. B. - 2000. - V.62. - P. 8777. |0| Binder K., Rcgcr .1. D. // Adv. Phys. - 1002. - V. 41. - P. 547.

[7] Blavats'ka V., von Ferber C., Holovatcli Yu. // Phys. Rev. B. - 2001. - V. 64. - P. 041102. |8| Korzheiicvskii A. L., Luzhkov A. A., Schirmaclicr W. // Phys. Rev. B. - 1994. - V. 5(1. - P. 3GG1. [9| Hohenberg P.C., Kalperin B.l. // Rev. Mod. Phys. - 1077. - V. 49. - P. 435. |U1| .ImiKscn H. K., Scbmb В.. SdnniUmmm В. 11 Z. Phys. B. - 1989. - V. 73. - P. 539. [ll] Huse D. // Phys. Rev. B. - 1989. - V. 40. - P. 304. |12| Zheng B. // Int.. .1. Mod. Phys. B. - 1998. - V. 12. - P. 1419.

[13| .Taster A., Mainville J., Schulke L., Zheng B. // J. Pliys. A. - 19DD. - V. 32. - P. 1395. ]14| Kim .Т.К., tie Souza A. J. and Landau D.P. // Phys. Rev. E. - 1990. - V. 54. - P. 2291. (15) Wegner F. J. // Phys. Rev. B. - 1972. - V. 5. - P. 4529.

Подписано в печать 06.11.09 Формат 60x84/16. Бумага писчая. Оперативный способ печати. Усл. печ. л. 1,25. Тираж 100 экз. Заказ № 976.

Отпечатано в «Полиграфическом центре КАН» тел. (3812) 65-23-73. 644050, г. Омск, пр. Мира, 11А Лицензия ПЛД № 58-47 от 21.04.97

Введение.

Глава 1 Обзор методов исследования критического поведения спиновых систем с дальнодействующей корреляцией дефектов.

1.1 Основные представления теоретического описания критического поведения спиновых систем.

1.1.1 Фазовые переходы второго рода и критические явления.

1.1.2 Критические индексы.'.

1.1.3 Масштабная инвариантность и скейлинг.

1.1.4 Теоретическое описание неупорядоченных спиновых систем.

1.2 Результаты ренормгрупповых исследований влияния дальнодействующей корреляции дефектов на критическое поведение спиновых систем.

1.3 Результаты компьютерного моделирования спиновых систем с дальней пространственной корреляцией дефектов.

Глава 2 Компьютерное моделирование критического поведения трехмерной ферромагнитной модели Изинга с линейными дефектами в области слабой неупорядоченности.

2.1 Введение.

2.2 Модель и методы моделирования.

2.2.1 Метод коротковременной динамики.

2.2.2 Метод кумулянтов Биндера.

2.2.3 Особенности алгоритмов и анализа результатов моделирования структурно неупорядоченных систем.

2.3 Критическая коротко временная динамика трехмерной модели Изинга с линейными дефектами со спиновой концентрацией р=0.8.

2.3.1 Критическая релаксация из полностью упорядоченного начального состояния.

2.3.2 Критическая эволюция из начальных неупорядоченных состояний.

2.4 Расчет критических характеристик в состоянии равновесия.

2.5 Анализ результатов и выводы.

Глава 3 Компьютерное моделирование критического поведения трехмерной ферромагнитной XY-модели с линейными дефектами в области слабой неупорядоченности.

3.1 Введение.

3.2 Модель и методы моделирования.

3.3 Критическая коротковременная динамика трехмерной XY-модели с линейными дефектами со спиновой концентрацией р=0.8.

3.3.1 Критическая релаксация из полностью упорядоченного начального состояния.

3.3.2 Критическая эволюция из начальных неупорядоченных состояний.

3.4 Итоговые результаты компьютерного моделирования.

3.5 Анализ результатов и выводы.

Глава 4 Компьютерное моделирование критической динамики сильно неупорядоченных систем с линейными дефектами.

4.1 Введение.

4.2 Критическая коротковременная динамика трехмерной модели Изинга с линейными дефектами со спиновой концентрацией р=0.6.

4.2.1 Критическая релаксация из полностью упорядоченного начального состояния.

4.2.2 Критическая эволюция из начальных неупорядоченных состояний.

4.3 Критическая коротковременная динамика трехмерной XY-модели с линейными дефектами со спиновой концентрацией р=0.6.

4.3.1 Критическая релаксация из полностью упорядоченного начального состояния.

4.3.2 Критическая эволюция из начальных неупорядоченных состояний.

4.4 Анализ результатов и выводы.

В природе можно наблюдать большое разнообразие критических явлений и систем, испытывающих фазовые превращения. Кроме того, существуют синтезируемые в научно-исследовательских лабораториях различные материалы, обычно не встречающиеся в природе, но обладающие рядом интересных для практического использования структурных и физических характеристик. Как правило, эти необычные свойства приобретаются материалами при осуществлении в них фазовых переходов. Примером могут служить соединения, характеризующиеся высокотемпературной сверхпроводимостью. Поэтому изучение фазовых переходов и критических явлений в различных материалах имеет большой теоретический и практический интерес и является одной из наиболее сложных и неизменно актуальных задач статистической теории [1-9]. Наблюдаемые по мере приближения к точке фазового перехода аномально большие и долгоживущие флуктуации некоторых термодинамических переменных характеризуются эффективно сильным взаимодействием между собой. К настоящему времени для теоретического анализа поведения систем в критической области разработаны сложные методы ренормгруппо-вого и теоретико-полевого описания [2, 9-12]. Но эти исследования, в основном, связаны с упрощенным теоретическим описанием модельных систем Изинга, Гейзенберга и др. Многим реальным материалам присущи такие усложняющие теоретическое описание особенности, как анизотропия, наличие дефектов структуры, существование многоспинового обмена, диполь-дипольного взаимодействия, учет колебаний решетки и др. [5]. Строгое описание таких систем методами теоретической физики — задача чрезвычайно сложная. К тому же при таком описании, как и в случае других систем с сильным взаимодействием, неизбежно используются приближения. Поэтому данные теоретические методы исследования требуют своего обоснования путем сопоставления достигнутых результатов с результатами физического или компьютерного эксперимента.

Эти и некоторые другие факторы привели к тому, что в исследовании фазовых переходов и критических явлений сильно возросла роль численных экспериментов, в которых интенсивно используются методы Монте-Карло [14, 15]. Они были хорошо апробированы на большинстве модельных систем [16-22]. Результаты, полученные с помощью компьютерного моделирования, не уступают по точности другим экспериментальным и теоретическим методам, а иногда и превосходят их [23, 24]. Именно задачи фазовых переходов и критических явлений являются той областью, в которой компьютерный эксперимент становится альтернативой реальному физическому эксперименту. А зачастую, например, при описании свойств сильно неупорядоченных систем, это единственно возможный способ получения достоверной информации, поскольку описание ренормгрупповыми методами критического поведения структурно неупорядоченных систем оказывается справедливым лишь в области малых концентраций дефектов. Компьютерное моделирование критических явлений дает возможность получения наглядной информации о росте флуктуаций намагниченности и критическом замедлении процессов релаксации в магнетиках по мере приближения к температуре фазового перехода, о проявлении аномальных свойств в поведении теплоемкости и магнитной восприимчивости [25-27]. Для получения подобной информации из физического эксперимента потребовалось бы привлечение больших технических и финансовых средств, в то время как для осуществления компьютерного моделирования применяются суперкомпьютеры и кластерные вычислительные системы, непрерывно совершенствуемые год от года, и становящиеся все более доступными для исследователей.

В большинстве работ, посвященных изучению структурно неупорядоченных спиновых систем, исследование ограничивается рассмотрением низкой концентрации примесей, что позволяет считать дефекты структуры и создаваемые ими случайные поля гауссовски распределенными и пространственно некоррелированными (случай S -коррелированных или точечных дефектов [28]). Однако согласно критерию Харриса [29], такие дефекты влияют лишь на критическое поведение систем, характеризуемых однокомпонент-ным параметром порядка (сильно анизотропные одноосные (изингоподоб-ные) магнетики). А для неупорядоченных систем с параметром порядка, имеющим более одной компоненты (XY-магнетики, гейзенберговские магнетики), точечные дефекты не оказывают существенного влияния на универсальные характеристики их критического поведения. Однако можно поставить вопрос о влиянии на критическое поведение эффектов корреляции дефектов, который значительно менее изучен. Этой же области исследований принадлежит и проблема влияния на критическое поведение протяженных дефектов (таких как дислокации, границы зерен и т.д.). Можно ожидать, что дальнодействующая корреляция в пространственном распределении дефектов может модифицировать критические свойства неупорядоченных систем. Так, в реальных кристаллах при введении атома примеси вокруг него образуется поле структурных напряжений, посредством которых он как бы притягивает соседние примесные атомы. Это подтверждают эксперименты по рассеянию нейтронов и рентгеновского излучения в различных системах, находящихся вблизи критических точек. В работах [4, 5] показывается, что интенсивность отраженного пучка представляет собой суперпозицию двух конкурирующих составляющих, одна из которых зависит от корреляционной функции спинов и близка к теоретически предсказанной для данного материала, а другая определяется неупорядоченностью системы и зависит от пространственного распределения атомов примеси. Наличие второй составляющей можно объяснить тем, что дефекты, возникающие в кристалле, представляют собой устойчивые структуры — дислокации примесей, которые уже не образуют систему случайно распределенных точечных атомов (не являются S -коррелированными), а характеризуются квазидальним порядком. В силу этого, к моделям систем с дальнодействующей корреляцией дефектов существует несомненный интерес как с общетеоретической точки зрения выявления новых типов критического поведения в неупорядоченных системах, так и с точки зрения реальной возможности проявления дальнодействующей корреляции дефектов в ориентационных стеклах [30], полимерах [31] и неупорядоченных твердых телах с дефектами фракталоподобного типа [32].

Модель изотропной неупорядоченной системы с дальнодействующей корреляцией дефектов была предложена А. Вейнрибом и Б.И. Гальпериным в работе [33], где в рамках применения ренормгруппового подхода и метода £-разложения был получен критерий существенности влияния дальнодействующей корреляции дефектов на критическое поведение систем (расширенный критерий Харриса). Показано, что дефекты, обладающие свойством дальней пространственной корреляции, могут при определенных условиях изменять критическое поведение не только систем с однокомпонентным параметром порядка (модель Изинга), но и систем с двухкомпонентным (XY-модель) и трехкомпонентным (гейзенберговская модель) параметром порядка. В работе [34] было осуществлено теоретико-полевое описание критического поведения непосредственно трехмерных систем (без использования метода е-разложения) с дальнодействующей изотропной корреляцией дефектов в двухпетлевом приближении с последовательным применением для анализа рядов разложения методов суммирования и проведен расчет динамического и статических критических индексов для систем с различным числом компонент параметра порядка и различными значениями параметра корреляции. Было выявлено значительное отличие характеристик критического поведения систем с дальнодействующей корреляцией от аналогичных характеристик для однородных систем и систем с некоррелированными дефектами. Также удалось установить, что получающаяся картина областей устойчивости различных типов критического поведения для значений параметра корреляции, изменяющихся в интервале 2<а<3, существенно отличается от предсказываемых в работе [33].

Поэтому в диссертационной работе ставились следующие цели исследования: проверка предсказаний работы [34] с помощью численного эксперимента для систем, характеризуемых малыми концентрациями дефектов структуры, и расширение представлений теории о критическом поведении структурно неупорядоченных систем с эффектами дальнодействующей корреляции дефектов в область высокой концентрации дефектов, недоступной для аналитического ренормгруппового описания. Для этого было осуществлено численное описание методами Монте-Карло критического поведения систем с примесями немагнитных атомов в виде случайно распределенных линий (что соответствует параметру корреляции а = 2), т.е. с дефектами, обладающими квазидальним порядком. Исследовались структурно неупорядоченные трехмерные ферромагнитные модели Изинга и XY как в области низкой концентрации дефектов (со спиновой концентрацией /> = 0.80), так и в области их высокой концентрации с р = 0.60.

Существует ряд принципиальных трудностей, возникающих при моделировании критического поведения систем взаимодействующих частиц методом Монте-Карло. Они связаны, в основном, с явлением критического замедления, характеризующимся тем, что время релаксации системы, как и время корреляции состояний, неограниченно растут по мере приближения к критической температуре. При этом предсказываемый степенной характер их асимптотической зависимости от приведенной температуры определяется динамическим критическим индексом г. Для структурно неупорядоченных систем эта проблема еще более существенна, так как их неравновесное кри-- тическое поведение определяется индексом г, принимающим большие значения, чем для систем без дефектов [35]. Для уменьшения эффектов влияния критического замедления применяют кластерные алгоритмы Сведсена-Ванга [36] или Вольфа [37], но эти алгоритмы столь существенно меняют динамику системы, что для получения информации о характеристиках критической динамики их применять нельзя. В связи с этим в диссертационной работе был применен метод коротковременной динамики (МКД) для получения значений как динамического, так и статических критических индексов. Метод был обоснован результатами аналитических и численных исследований, проведенных в работах [38, 39]. Особенностью МКД является то, что информация об универсальном критическом поведении может быть получена на относительно малых макроскопических промежутках времени (от 1000 до 2000 шагов Монте-Карло на спин (MCS/s)) на ранней стадии развития системы в критической точке или ее окрестности. А значит время релаксации системы, как и время корреляции состояний, на этом этапе не успеют стать аномально большими. Поэтому в МКД не возникает проблемы критического замедления. В последние годы МКД был применен к исследованию критического поведения широкого ряда систем (см., например, обзор [40]), при этом получаемые результаты находятся в хорошем соответствии с результатами применения традиционных методов Монте-Карло.

Исследования показывают [41, 42], что МКД применительно к структурно неупорядоченным системам имеет некоторые особенности. Так, для слабо неупорядоченных моделей на малых временах эволюции системы (около 100 - 400 MCS/s) имеет место явление кроссовера от критического поведения, соответствующего однородной системе, к поведению систем со структурным беспорядком. Т.е. можно выделить несколько этапов динамического развития систем. Это приводит к усложнению анализа данных моделирования. Тем не менее, сравнение результатов, полученных с помощью МКД, с результатами применения традиционных равновесных методов Монте-Карло [42] показало хорошее согласие получаемых значений статических критических индексов. Это дает основание для применения метода коротко-временной динамики к исследованию критических динамических характеристик сильно неупорядоченных систем.

Заключение

В диссертационной работе методами компьютерного моделирования было осуществлено исследование влияния эффектов дальней пространственной корреляции немагнитных атомов примеси, распределенных в образцах в виде линейных дефектов структуры, на критическое поведение трехмерных ферромагнитных модельных спиновых систем.

Основными результатами работы являются следующие:

1. Осуществлено компьютерное моделирование равновесного критического поведения трехмерной слабо неупорядоченной (p = 0.S) ферромагнитной модели Изинга с линейными дефектами. Получены значения набора статических критических индексов а, Р, у и v модели, индекс асимптотической поправки к скейлингу а, а также значение критической температуры Тс модели.

2. Впервые для исследования влияния структурного беспорядка с дальней пространственной корреляцией дефектов на критическое поведение спиновых систем был применен метод коротковременной динамики. В результате численного исследовании критической релаксации для слабо неупорядоченной (р = 0.8) трехмерной модели Изинга с линейными дефектами были определены значения совокупности динамических и статических критических индексов при применении методики учета поправок к скейлингу. Полученные значения критических индексов находятся в хорошем согласии с результатами теоретико-полевого описания и результатами проведенного моделирования равновесного критического поведения модели. Сделан вывод, что метод коротковременной динамики может служить надежной альтернативой традиционным методам Монте-Карло не только при численных исследованиях однородных систем, но и систем со структурным беспорядком, обеспечивая при меньших машинных затратах получение более полной информации о критическом поведении структурно неупорядоченных систем.

3. Впервые методом коротковременной динамики осуществлено численное исследование неравновесного критического поведения трехмерной слабо неупорядоченной (/> = 0.8) ферромагнитной XY-модели с линейными дефектами. Определены значения совокупности динамических и статических критических индексов при применении методики учета поправок к скейлингу. Полученные значения критических индексов находятся в хорошем согласии с результатами теоретико-полевого описания. На примере исследования XY-модели впервые получено численное подтверждение о существенности влияния дальней пространственной корреляции дефектов на критическое поведение систем с многокомпонентным параметром порядка.

4. В отличие от результатов исследования неравновесного критического поведения однородных систем впервые выявлено наличие нескольких этапов динамического развития в эволюции слабо неупорядоченных систем после микроскопического временного масштаба: области с характеристиками однородной системы, кроссоверной области и области, характеризующейся влиянием структурного беспорядка.

5. Впервые осуществлено компьютерное моделирование неравновесной критической динамики трехмерных сильно неупорядоченных ферромагнитных модели Изинга и XY-модели с дальнодействующей корреляцией дефектов (спиновая концентрация р- 0 6) в коротковременном режиме. Полученные значения критических индексов позволяют сделать вывод о существовании различных классов универсального критического поведения для рассматриваемых систем, отвечающих областям слабой и сильной структурной неупорядоченности.

Полученные результаты подтверждают факт влияния дальней пространственной корреляции дефектов на критическое поведение спиновых систем с одно- и двухкомпонентным параметром порядка, а также вносят существенный вклад в развитие численных методов применительно к неупорядоченным спиновым системам, а также дают обоснование и развитие представлений теории критических явлений неупорядоченных систем, являются отправной точкой для последующих исследований в данной области теоретической и вычислительной физики.

1. Брус А., Каули Р. Структурные фазовые переходы. М.: Мир, 1984. 408 с.

2. Вильсон К., Когут Дж. Ренормализационная группа и е-разложение. М.: Мир, 1975.-256 с; УФН. 1985. Т. 146. №3. С. 459-491.

3. Изюмов Ю.А., Сыромятников В.И. Фазовые переходы и симметрия кристаллов. М.: Наука, 1984. 248 с.

4. Ландау Л.Д., Лифшиц Е.М. Статистическая физика. 3-е изд. М.: Наука, 1976.-584 с.

5. Ма Ш. Современная теория критических явлений. М.: Мир, 1980. — 298 с.

6. Паташинский А. 3., Покровский В. Л. Флуктуационная теория фазовых переходов. М.: Наука, 1982 383 с.

7. Райдер Л. Квантовая теория поля. М.: Мир, 1987. 512 с.

8. Стенли Г. Фазовые переходы и критические явления. М.: Мир, 1973. — 342 с.

9. Amit D. Field theory the renormalization group and critical phenomena. New York: Acad.press.: McGraw-Hill, 1978. 333 p.

10. Zinn-Justin J. Quantum field theory and critical phenomena. Oxford: Clarendon Press, 1996,- 1008 p.

11. Domb C.M., Green M. Phase Transitions and Critical Phenomena: Series Expansion for Lattice Models, Vol. 3. New York: Academic Press, 1974. 693 P

12. Domb C., Lebowitz J.L. Phase transitions and critical phenomena, Vol. 20. New York: Academic Press, 2001. 201 p.

13. Fisher M.E. The renormalization group and the theory of critical behavior 11 Rev. Mod. Phys. 1974. V. 46. № 4. P. 597-616.

14. Биндер К. Методы Монте-Карло в статистической физике. М.: Мир, 1982.-426 с.

15. Гулд X., Тобочник Я. Компьютерное моделирование в физике: В 2 ч. М.: Мир, 1992. 4.2.-400 с.

16. Камилов И. К., Муртазаев А. К., Алиев X. К. Исследование фазовых переходов и критических явлений методами Монте-Карло // УФН. 1999. Т. 169. №7. С.773-795.

17. Прудников В. В., Вакилов А. Н., Марков О. Н. Компьютерное моделирование фазовых переходов в однородных и неупорядоченных системах. Омск: ОмГУ, 2001.-85 с.

18. Прудников В. В., Вакилов А. Н., Прудников П. В. Фазовые переходы и методы их компьютерного моделирования. Москва: ФИЗМАТЛИТ, 2009.-224 с.

19. Selke W. and Shchur L.N. Critical Binder cumulant in two-dimensional anisotropic Ising models // J. Phys. A. 2005. V. 38. L739-L744.

20. Shchur L.N., Berche В., Butera P. High-precision determination of universal . amplitude ratios for the q=3 Potts model in 2d // Phys. Rev. B. 2008. V. 77. P.144410.

21. Аплеснин C.C. Исследование магнитных свойств слабовзаимодейст-вующих антиферромагнитных цепочек с альтернированным обменным взаимодействием со спином S=l/2 при помощи квантового метода Монте-Карло // ЖЭТФ. 2000. Т. 117. С. 218-226.

22. Аплеснин С.С. Неадиабатическое взаимодействие акустических фоно-нов со спинами S=l/2 в двумерной модели Гейзенберга // ЖЭТФ. 2003. Т. 124. С. 1080-1089.

23. Mouritsen O.G. Computer studies of phase transitions and critical phenomena. Berlin; Heidelberg: Springer, 1984. 329 p.

24. Landau D.P. Computer simulation studies of critical phenomena // Physica A: Statistical Mechanics and its Applications. 1994. V. 205. № 1-3. P. 41.

25. Selke W., Shchur L.N. and Vasilyev O.A. Specific heat of two-dimensional diluted magnets // Physica A. 1998. V. 259. pp. 388-396.

26. Васильев O.A., Щур Л.Н. Универсальность отношения критических амплитуд восприимчивости двумерной модели Изинга с немагнитными примесями//ЖЭТФ. 2000. Т. 117. С. 1110-1121.

27. Shchur L.N. and Vasilyev O.A. The critical amplitude ratio of the susceptibility in the random-site two-dimensional Ising model // Phys. Rev. E. 2002. V. 65. P. 016107.

28. Хмельницкий Д.Е. Фазовый переход второго рода в неоднородных телах //ЖЭТФ. 1975. Т. 68. № 5. с. 1960-1968.

29. Harris А.В. Effect of random defects on the critical behavior of Ising models // J. Phys. С 1974. V. 7. № 6. P. 1671-1692.

30. Binder K., Reger J.D. Theory of orientational glasses. Models, concepts, simulations // Advances in Physics. 1992 V. 41. P. 547-627.

31. Blavats'ka V., von Ferber C., Holovatch Yu. Polymers in long-range-correlated disorder // Phys. Rev. B. 2001. V. 64. P. 041102.

32. Korzhenevskii A.L., Luzhkov A.A., Schirmacher W. Critical behavior of crystals with long-range correlations caused by point defects with degenerate internal degrees of freedom // Phys. Rev. B. 1994. V. 50. № 6. P. 3661-3666.

33. Weinrib A., Halperin B.I. Critical phenomena in systems with long-range-correlated quenched disorder // Phys. Rev. B. 1983. V. 27. P. 413^127.

34. Prudnikov V. V., Prudnikov P. V. and Fedorenko A. A. Field-theory approach to critical behavior of systems with long-range correlated defects // Phys. Rev. B. 2000. V.62. P.8777-8786.

35. Oerding K. The dynamic critical exponent of dilute and pure Ising systems // J. Phys. A. 1995. V. 28. P. L639-L643.

36. Swendsen R.H., Wang J.-S. Nonuniversal critical dynamics in Monte Carlo simulations //Phys. Rev. Lett. 1987. V. 58. P. 86.

37. Wolf U. Collective Monte Carlo Updating for Spin Systems // Phys. Rev. Lett. 1989. V. 62. P. 361.

38. Huse D. Remanent magnetization decay at the spin-glass critical point: A new dynamic critical exponent for nonequilibrium autocorrelations // Phys. Rev. B. 1989. V. 40. P. 304.

39. Janssen H. K., Schaub B. Schmittmann B. New universal short-time scaling behaviour of critical relaxation process // Z. Phys. В Condensed Matter. 1989. V.73.P.539-549.

40. Zheng B. Monte Carlo simulations of short-time critical dynamics // Int. J. Mod. Phys.-B. 1998. V. 12. P. 1419.

41. Zheng G.-P., Li M. Effect of disorder on critical short-time dynamics // Phys. Rev. E. 2002. V. 65. P. 036130.

42. Prudnikov V.V., Prudnikov P.V., Dorofeev S.V., Kolesnikov V.Yu. Monte Carlo studies of critical behaviour of systems with long-range correlated diso-der // Condensed Matter Physics, 2005. V. 8. P. 213-224.

43. Ландау Л.Д. К теории фазовых переходов // ЖЭТФ. 1937. Т. 7. № 1. С. 19.

44. Доценко B.C. Критические явления в спиновых системах с беспорядком //УФН. 1995. Т. 165. №5. С.481-528.

45. Kadanoff L.P. Scaling Laws for Ising Models Near Tc // Physics. 1966. V.2. P.263.

46. Stauffer D. Violation of dynamical scaling for randomly dilute Ising ferro-magnets near percolation'threshold // Phys. Rev. Lett. 1975. V. 35. № 6. P. 394-397.

47. Nikolaou M., Wallin M., Weber H. Critical Scaling Properties at the Super-fluid Transition of 4He in Aerogel // Phys. Rev. Lett. 2006. V. 97. P. 225702.

48. Stauffer D. Scaling theory of percolation clusters // Physics Reports. 1979. V. 54. № l.P. 1-78.

49. Stauffer D. Introduction to percolation theory. London: Taylor & Fransis, 1985.-294 p.

50. Stinchcombe R.B. Dilute magnetism. Phase transitions and critical phenomena, ed. Domb C. and Lebowitz J.L. New York: Acad. Press., 1983. V. 7. P. 151-191.

51. Fisher M.E. Renormalization of critical exponent by hidden variables // Phys. Rev. 1968. V. 176. № 1. P. 257-272.

52. Дороговцев C.H. Критические свойства магнетиков с дислокациями и точечными примесями // ЖЭТФ. 1981. Т. 80. № 5. С. 2053-2067.

53. Boyanovsky D., Cardy J.L. Critical behavior of m-component magnets with correlated impurities // Phys. Rev. B. 1982. V. 26. № 1: P. 154-170.

54. Lubensky Т. C. Critical properties of random-spin models from of the e-expansion // Phys. Rev. B. 1975. V. 11. № 9. P. 3573-3580.

55. Birgeneau R.I., Cowley R.A., Shirane G., Yoshizawa H., Belanger D.P., King A.R., Jaccarino V. Critical behaviour of site-diluted three dimensional Ising magnet // Phys. Rev. B. 1983 V. 27. № 12. P. 6747-6757.

56. Thurston T.R., Peter С.J., Birgeneau R.J., Horn P.M. Critical behaviour of site-diluted three dimensional Ising magnet // Phys. Rev. B. 1988. V. 37. P. 9559-9563.

57. Korzhenevskii A.L., Luzhkov A.A., Heuer H.-O. Critical behaviour of systems with longe-range correlated quenched defects // Europhys.Lett. 1995. V. 32. P. 19-24.

58. Ballesteros H. G., Parisi G. Site-diluted three dimensional Ising Model with long-range correlated disorder // Phys. Rev. B. 1999. V. 60. P. 12912.

59. Guida R., Zinn-Justin J. Critical exponents of the N-vector model // Journal of Physics. A. 1998. V. 31. P. 8103.

60. Jug G. Critical behaviour of disordered spin systems in two and three dimensions //Phys. Rev. B. 1983. V. 27. № 1. P. 607-612.

61. Mayer I. O. Critical exponents of the dilute Ising model from four-loop expansion // Journal of Physics. A. 1989. V. 22. P. 2815-2823.

62. Прудников B.B., Белим C.B., Иванов A.B., Осинцев Е.В., Федоренко А.А. Критическая динамика слабо неупорядоченных спиновых систем // ЖЭТФ. 1998. Т. 114. № 3. С. 972.

63. Прудников В.В., Прудников П.В., Федоренко А.А. Теоретико-полевое описание мультикритического поведения систем с двумя параметрами порядка// Письма в ЖЭТФ. 1998. Т. 68. № 12. С. 900.

64. Prudnikov V.V., Prudnikov P.V., Zheng В., Dorofeev S.V., Kolesnikov V.Y. Short-time critical dynamics of systems with long-range correlated disorder //

65. Abstracts of The 3-rd International Workshop Hangzhou 2006 on Simula-tional Physics. 2006. P. 14.

66. Prudnikov V.V., Prudnikov P.V., Zheng В., Dorofeev S.V., Kolesnikov V.Y. Short-time critical dynamics of the three-dimensional systems with long-range correlated disorder // E-print arXiv: cond-mat.diss-nn / 0709.0997. 2007. P. 1-24.

67. Prudnikov V.V., Prudnikov P.V., Zheng В., Dorofeev S.V., Kolesnikov V.Y. Short-time critical dynamics of the three-dimensional systems with long-range correlated disorder // Progress of Theoretical Physics. 2007. V. 117. № 6. P. 973-991.

68. Lenz W. Beitrage zum Verstandnis der magnetischen Eigenschaften in festen Korpern // Physikalische Zeitschrift. 1920. V21. P. 613-615.

69. Ising E. Beitrag zur Theorie des Ferromagnetismus // Zeitschr. f. Physik. 1925. V. 31. P. 253-258.

70. Peierls R. On Ising's Model of Ferromagnetism // Proc. Cambridge Phil. Soc. 1936. V. 32. P. 477-481.

71. Kramers H.A. and Wannier G.H. Statistics of the Two-Dimensional Ferro-■ magnet. Part I. // Phys. Rev. 1941. V. 60. P. 252-262.

72. Onsager L. A two-dimensional model with an order-disorder transition // Phys. Rev. 1944. V. 65. № 1. P. 117-149.

73. Oerding K., Janssen H.K. Non-equilibrium Critical Relaxation with Coupling to a Conserved Density // J. Phys. A: Math. Gen. 1993. V. 26. P. 3369.

74. Oerding К., Janssen H.K. Non-equilibrium Critical Relaxation with Reversible Mode Coupling // J. Phys. A: Math. Gen. 1993. V. 26. P. 5295.

75. Oerding K., Janssen H.K. Non-equilibrium Relaxation at a Tricritical Point // J. Phys. A: Math. Gen. 1994. V. 27. P. 715.

76. Oerding K., Janssen H.K. Non-equilibrium Critical Relaxation in Dilute Ising systems // J. Phys. A: Math. Gen. 1995. V. 28. P. 4271.

77. Humayun K., Bray A. J. Non-equilibrium dynamics of the Ising model for T less-than/equal-to Tc // J- Phys. A: Math. Gen. 1991. V. 24. P. 1915.

78. Menyhard N. Domain-growth properties of a two-dimensional kinetic Ising model // J. Phys. A: Math. Gen. 1994. V. 27. P. 663.

79. Stauffer D. Kinetics of clusters in Ising models // Physica A: Statistical and Theoretical Physics. 1992. V. 186. P. 197.

80. Miinkel C., Heermann D.W., Adler J., Gofman M., Stauffer D. The dynamical critical exponent of the two-, three- and five-dimensional kinetic Ising model // Physica A: Statistical and Theoretical Physics. 1993. V. 193. P. 540.

81. Ito N. Non-equilibrium relaxation and interface energy of the Ising model // Physica A: Statistical and Theoretical Physics. 1993. V. 196. P. 591-600.

82. Li Z.B., Ritschel U. and Zheng B. Monte Carlo simulation of universal short-time behavior in critical relaxation // J. Phys. A: Math. Gen. 1994. V. 27. pp. 837-842.

83. Schiilke L. and Zheng B. The short-time dynamics of the critical Potts model // Phys. Lett. A. 1995. V. 204. pp. 295-298.

84. Grassberger P. Damage spreading and critical exponents for "model A" Ising dynamics // Physica A: Statistical and Theoretical Physics. 1995. V. 214. P. 547.

85. Zheng В., Schulz M. and Trimper S. Deterministic equations of motion and dynamic critical phenomena // Phys. Rev. Lett. 1999. V. 82. pp. 1891-1894.

86. Zhang J.B., Wang L., Gu D.W., Ying H.P. and Ji D.R. Monte Carlo study of critical scaling and universality in non-equilibrium short-time dynamics // Phys. Lett. A. 1999. V. 262. pp. 226-233.

87. Zheng В., Schulz M. and Trimper S. Dynamic simulations of the Kosterlitz-Thouless phase transition // Phys. Rev. E. 1999. V. 59. pp. 1351-1354.

88. Bray A. J., Briant A. J. and Jervis D. K. Breakdown of Scaling in the Non-equilibrium Critical Dynamics of the Two-Dimensional XY Model // Phys. Rev. Lett. 2000. V. 84. pp. 1503-1506.

89. Jensen L. M., Kim B. J. and Minnhagen P. Dynamic critical exponent of two-, three1, and four-dimensional XY models with relaxational and resistively shunted junction dynamics // Phys. Rev. B. 2000. V. 61. pp. 15412-15428.

90. Luo H. J., Schiilke L. and Zheng B. Dynamic Approach to the Fully Frustrated XY Model // Phys. Rev. Lett. 1998. V. 81. pp. 180-183.

91. Luo H. J., Schiilke L. and Zheng B. The critical exponent 0' in spin glasses // Mod. Phys. Lett. B. 1999. V. 13. P. 417.

92. Ying H. P. and Harada K. Short-time dynamics and magnetic critical behavior of the two-dimensional random-bond Potts model // Phys. Rev. E. 2000. V. 62. P. 174.

93. Ying H. P., Luo H. J., Schiilke L. and Zheng B. Dynamic Monte Carlo Study of the Two-Dimensional Quantum XY Model // Mod. Phys. Lett. B. 1998. V. 12. P. 1237. '

94. Janssen H. K., in From Phase Transition to Chaos, edited by GyDrgyi G., Kondor I., Sasvari L., and Tel Т., Topics in Modern Statistical Physics. Singapore: World Scientific, 1992. 68 p.

95. Schiilke L. Short-Time Critical Dynamics // arXiv: hep-lat/0007003. 2000. V.l.

96. Binder K. Finite size scaling analysis of ising model block distribution functions // Zeitschrift fiir Physik B: Condensed Matter. 1981. V. 43. № 1. P. 119.

97. Binder К. Critical Properties from Monte Carlo Coarse Graining and Renor-malization // Phys. Rev. Lett. V. 47. № 9. P. 693.

98. Ballesteros H. G., Fernandez L. A., Martin-Mayor V., Munoz Sudupe A. New universality class in three dimensions?: the antiferromagnetic RP2 model // Phys. Lett. B. 1996. V. 378. P. 207.

99. Иванов A.B., Прудников B.B., Федоренко A.A. Критическая динамика спиновых систем в четырехпетлевом приближении // Письма в ЖЭТФ. 1997. Т. 66. № 12. С. 793-798.

100. Jaster A., Mainville J, Schulke L., Zheng В. Short-time critical dynamics of the three-dimensional Ising model // J.Phys. A. 1999. V. 32. P. 1395.

101. Колесников В.Ю., Прудников B.B. Монте-Карло исследования влияния дальнодействующей корреляции дефектов на критическое поведение трехмерной XY-модели // Вестник Омского университета. 2004. Вып. 4. С. 34-36.

102. Прудников В.В., Гергертд Е.А., Колесников В.Ю., Прудников П.В. Компьютерное моделирование критического поведения трехмерной XY-модели с линейными дефектами методом коротковременной динамики // Вестник Омского университета, 2007. Вып. 4. С. 28-33.

103. Прудников В.В., Прудников П.В., Колесников В.Ю. Численное исследование неравновесного критического поведения сильно неупорядоченной трехмерной XY-модели с линейными дефектами // Вестник Омского университета. 2009. Вып. 2. С. 57-62.

104. Okano К., Schulke L., Yamagishi К. and Zheng В. Monte Carlo Simulation of the Short-time Behaviour of the Dynamic XY Model // arXiv: cond-mat/9705236. 1997. V.l.

105. Hasenbusch M., Torok T. High precision Monte Carlo study of the 3D XY-universality class // arXiv: cond-mat/9904408. 1999. V.l.

106. Barkema G. Т., Newman M. E. J. New Monte Carlo algorithms for classical spin systems // arXiv: cond-mat/9703179. 1997. V.l.

107. Gottlob A. P., Hasenbusch M. Critical Behaviour of the 3D XY-Model: A Monte Carlo Study// arXiv: cond-mat/9305020. 1993. V.l.