Численные исследования неравновесного критического поведения структурно неупорядоченных систем тема автореферата и диссертации по физике, 01.04.02 ВАК РФ

На правах рукописи

Поспелов Евгений Анатольевич

ЧИСЛЕННЫЕ ИССЛЕДОВАНИЯ НЕРАВНОВЕСНОГО КРИТИЧЕСКОГО ПОВЕДЕНИЯ СТРУКТУРНО НЕУПОРЯДОЧЕННЫХ СИСТЕМ

01.04.02 - теоретическая физика

Автореферат диссертации на соискание ученой степени кандидата физико-математических наук

Омск-2014

¿¿КАЙ 2Щ

005548401

Работа выполнена на кафедре теоретической физики ФГБОУ ВПО «Омский государственный университет им. Ф.М. Достоевского».

Научный руководитель: доктор физико-математических наук,

профессор Прудников Владимир Васильевич.

Официальные оппоненты: Щур Лев Николаевич,

доктор физико-математических наук, профессор Институт теоретической физики им. Л.Д. Ландау РАН ведущий научный сотрудник Аплеснин Сергей Степанович, доктор физико-математических наук, профессор Институт физики им. Л.В. Киренского СО РАН ведущий научный сотрудник

Ведущая организация: Институт физики им. Х.И. Амирханова

ДагНЦ РАН, г. Махачкала.

Защита состоится " /7 "_2014 г. в К

II

часов на заседании диссер-

тационного совета Д 212.232.24 при Санкт-Петербургском государственном университете по адресу: 199004, г. Санкт-Петербург, Средний пр., В.О., д. 41/43, ауд. 304.

С диссертацией можно ознакомиться в библиотеке ФГБОУ ВПО Санкт-Петербургский государственный университет и на сайте http://spbu.ru/science/disser/soiskatelyu-uchjonoj-stepeni/dis-list/details/14/57

Автореферат разослан " _МаЛ_2014г.

Ученый секретарь диссертационного совета

д.ф.-м.н., профессор

Аксенова Елена Валентиновна

Общая характеристика работы

Актуальность темы

В реальных макроскопических системах всегда присутствуют те или иные дефекты. Структурные дефекты могут иметь различную природу и оказывать различное влияние на процессы, протекающие в твердых телах. Поэтому описание влияния дефектов структуры во всех возможных формах их проявления остается одной из актуальных и сложных проблем теории фазовых переходов и критических явлений.

Ренормгрупповой анализ с использованием г:-разложения [1] показал, что критическое поведение структурно неупорядоченных изингоподобных систем с точечными дефектами действительно характеризуется новым набором критических индексов, значения которых не зависят от концентрации точечных дефектов в области их малых концентраций. Однако сходимость асимптотических рядов е-разложения для систем с дефектами еще более слабая, чем для однородных. В то же время, остается актуальным вопрос о влиянии сильного разбавления спиновой системы немагнитными атомами примеси. Согласно теории перколяции, после увеличения концентрации дефектов выше некоторого порогового значения (порог примесной перколяции, для кубической решетки соответствует концентрации спинов « 0.69 (в приближении взаимодействия ближайших соседей)), примеси могут образовывать связанную структуру. Влияние этого примесного перколяционного порога до сих пор остается открытой проблемой.

В окрестности температуры Тс фазового перехода второго рода время релаксации является расходящейся величиной: ¿ге| ~ \Т — Тс\~ги. Таким образом, системы в критической точке не достигают равновесия в течение всего релаксационного процесса. В работах [2, 3] было проведено численное исследование методами Монте-Карло критической динамики трехмерной структурно неупорядоченной модели Изинга. В работе [2] получено значение динамического критического индекса г = 2.62, а в [3] - г = 2.35(2) в предположении его независимости от концентрации дефектов начиная от уровня слабого разбавления и вплоть до порога спиновой перколяции. Однако полученное значение критического показателя системы плохо согласуется с экспериментальным значением л = 2.18(10), полученным в работе (Яозоу N. е( а1., 1992) для слабо разбавленного изингоподобного магнетика Fco.yZ1iQ.1F2. В работе [4] было осуществлено теоретико-полевое описание критической эволюции трехмерной чистой и структурно неупорядоченной модели Изинга и получены значения г = 2.024(6) (чистая система) и г = 2.1792(13) (слабо неупорядоченная система), соответственно, в четырехпетлевом и трехпет-левом приближениях с применением к рядам теории различных методов сумми^'

рования, хорошо согласующиеся в рамках погрешностей с результатами экспериментального исследования. В работах Вакилова А.Н. и Прудникова В.В. [5, 6] на основе анализа результатов компьютерного моделирования критической динамики разбавленных магнетиков, была выдвинута гипотеза существования двух классов универсальности критического поведения неупорядоченных систем с различными значениями критических индексов для слабо и сильно неупорядоченных систем.

Другой особенностью поведения систем в критической области является их аномально медленная динамика. В связи с этим могут возникать необычные свойства их неравновесного поведения, проявляющиеся в случае, когда время релаксации системы к равновесному термодинамическому состоянию велико или недостижимо в течение времени экспериментального исследования. Особый интерес представляют эффекты старения и нарушение флуктуационно-диссипативной теоремы (ФДТ), обусловленные существованием двухвременных зависимостей для корреляционной функции и функции отклика от времени наблюдения и времени ожидания (промежуток времени от момента приготовления образца до момента времени измерения его свойств). Первоначально обнаруженные в сложных спин-стекольных системах [7, 8], данные особенности неравновесного поведения, как показали различные аналитические и численные исследования [9, 10], наблюдаются и в системах в окрестности точки фазового перехода второго рода, так как их критическая динамика характеризуется аномально большими временами релаксации. Введенное для спиновых стекол флуктуационно-диссипативное отношение (ФДО), связывающее двухвременные спиновые функцию отклика и корреляционную функцию, и обобщающее ФДТ на случай неравновесного поведения, становится новой универсальной характеристикой критического поведения.

Ренормгрупповые расчеты предельного ФДО Х°° в рамках метода е - разложения для диссипативной модели с несохраняющимся параметром порядка были проведены в работах [11, 12]. Были получены значения Xх = 0.429(6) для чистой системы в двухпетлевом приближении и Xх ~ 0.416 для слабо неупорядоченной модели в однопетлевом приближении. Проведенные исследования показали, что сложности выделения флуктуационных поправок в двухвременных зависимостях корреляционной функции и функции отклика не позволяют однозначно выявить характер влияния дефектов на для трехмерной модели Изинга. Целями настоящей диссертации являются

• исследование влияния немагнитных атомов примеси на критическое поведение изингоподобных спиновых систем посредством численного моделирования методами Монте-Карло трехмерной модели Изинга для случаев слабого и силь-

ного уровня разбавления.

• численное исследование методом коротковременной динамики процесса критической эволюции трехмерной неупорядоченной модели Изинга. Определение значений для независимых динамических в', г и статических /3, и критических индексов с учетом ведущих поправок к скейлингу.

• численное исследование эффектов старения в поведении однородной и структурно неупорядоченной трехмерной модели Изинга. Расчет и анализ двухвре-менных зависимостей корреляционной функции и функции отклика для различных значений времени ожидания.

• исследование нарушения флуктуационно-диссипативной теоремы для трехмерной структурно неупорядоченной модели Изинга. Расчет предельного флуктуационно-диссипативного отношения и выявление влияния структурного беспорядка на его значение.

Научная новизна результатов

1. Впервые выявлено существование двух универсальных динамических критических режимов со степенным временным изменением измеряемых величин в случае слабого разбавления системы. На раннем временном интервале реализуется неравновесное критическое поведение, соответствующее поведению однородной системы, и лишь затем, проходя через режим кроссоверного поведения, реализуется динамический режим критического поведения неупорядоченной системы.

2. Впервые определено асимптотическое значение неравновесного критического показателя 0' для структурно неупорядоченной модели Изинга с учетом ведущих поправок к скейлингу. Проведенные численные исследования показали, что неравновесное критическое поведение слабо и сильно неупорядоченных систем принадлежит к различным классам универсальности с не совпадающими в пределах погрешностей значениями динамических критических индексов в' и г.

3. Впервые осуществлено численное исследование эффектов старения в однородной и структурно неупорядоченной трехмерной модели Изинга в критической точке. Полученные результаты двухвременных зависимостей автокорреляционной функции и функции отклика доказывают существование эффектов старения в неравновесной эволюции трехмерной модели Изинга и что наличие структурного беспорядка приводит к усилению эффектов старения.

4. Впервые численно исследовано нарушение флуктуационно-диссипативной теоремы для однородной и структурно неупорядоченной модели Изинга.

5. Впервые в численном исследовании получены значения предельного ФДО Х°° для трехмерной модели Изинга. Полученные значения указывают на нарушение ФДТ в неравновесном критическом поведении чистых и структурно неупорядоченных систем, а также на то, что присутствие дефектов структуры приводит к увеличению значений .

Научная и практическая значимость работы Исследование влияния структурного беспорядка на критическое поведение различных систем представляет фундаментальный интерес с точки зрения теории фазовых переходов. Как правило, все реальные вещества содержат различные дефекты структуры, которые существенно влияют на их поведение в критической области. В то же время, аналитическое описание характеристик систем в случае сильного разбавления сопряжено со значительными трудностями, поэтому численное исследование остается одним из самых важных источников информации в теории критических явлений.

Экспериментальные исследования материалов в критической области предъявляют высокие требования как к чистоте исследуемых образцов, так и к условиям проведения экспериментов. Реальные вещества подвержены эффектам старения, которые проявляются тем сильнее, чем больше времени прошло с момента приготовления образца. Данные эффекты могут оказать существенное влияние на получаемые в экспериментальном исследовании результаты. В тоже время, численное исследование может дать важную информацию об этих явлениях.

Полученные в диссертации результаты вносят существенный вклад в развитие численных методов моделирования структурно неупорядоченных моделей, дают обоснование и развитие представлений теории критических явлений неупорядоченных систем, могут являться отправной точкой для последующих исследований в данной области физики.

Личный вклад диссертанта. Во всех совместных работах автором диссертации выполнена основная часть исследований. Разработаны программы моделирования неравновесного критического поведения трехмерной модели Изинга в коротковременном режиме и режиме старения, осуществлен анализ полученных результатов, проведено сопоставление с ранее полученными результатами других исследователей.

Основные положения выносимые на защиту.

1. Методика численного исследования неравновесного критического поведения трехмерной структурно неупорядоченной модели Изинга методом коротковре-

менной динамики и методика определения критических индексов с учетом ведущих поправок к скейлингу.

2. Наличие нескольких динамических этапов релаксации в поведении слабо неупорядоченной системы: временная область с характеристиками однородной системы, кроссоверная область и область влияния структурного беспорядка.

3. Возникновение нового класса универсальности сильно неупорядоченной трехмерной модели Изинга при спиновых концентрациях меньших порога примесной перколяции.

4. Численное доказательство существования эффектов старения в неравновесном критическом поведении трехмерной модели Изинга и доказательство влияния структурной неупорядоченности на эти явления, характеризующиеся усилением эффектов старения.

5. Численное подтверждение нарушения флуктуационно-диссипативной теоремы и расчет флуктуационно-диссипативного отношения для трехмерной структурно неупорядоченной модели Изинга. Выявление влияния структурного беспорядка на значения флуктуационно-диссипативного отношения в сравнении с чистой моделью.

Апробация работы. Основные результаты диссертационной работы докладывались и обсуждались на XI Всероссийской молодежной школе-семинаре по проблемам физики конденсированного состояния вещества (Екатеринбург, 2010), семинаре "Вычислительная физика: алгоритмы, методы и результаты" (Таруса, 2011), научно-практических конференциях "Молодежь третьего тысячелетия" (Омск, 2012, 2013), 55-й научной конференции МФТИ (Москва, 2012) и международной конференции "XXV IUPAP Conference on Computational Physics" (Москва, 2013), a также на научных семинарах кафедры теоретической физики ОмГУ.

Публикации. Основные результаты по теме диссертации изложены в 14 печатных изданиях, 6 из которых изданы в журналах рекомендованных ВАК, 1 статья -в ведущем международном журнале, 7 - в российских журналах, сборниках трудов и материалах конференций.

Объем и структура работы. Диссертация состоит из введения, четырех глав и заключения. Объем диссертации составляет 114 страниц, включая 31 рисунок и 12 таблиц. Список цитируемой литературы содержит 116 наименований.

Краткое содержание работы

Во введении обосновывается актуальность исследований, проводимых в рамках диссертационной работы, приводится обзор научной литературы по изучаемой проблеме, формируется цель, ставятся задачи исследования, сформулированы научная и практическая значимость работы.

В первой главе, носящей обзорный характер, в краткой форме излагаются основные идеи и методы, применяемые для численного исследования критических явлений.

В разделе 1.1 приведено описание критических индексов системы. Критические показатели системы связаны между собой известными соотношениями (равенства Фишера, Рашбрука, Гриффитса и др.), таким образом обычно достаточно двух статических и двух динамических показателей для определения полного набора критических индексов системы. Этот совокупный набор определяет понятие класса универсальности критического поведения различных систем. Говорят, что системы принадлежат к одному классу универсальности, если они имеют совпадающие в пределах погрешности наборы критических индексов. В этом случае их основные термодинамические функции демонстрируют одинаковое критическое поведение вблизи точки фазового перехода.

В разделе 1.2 дается определение модели Изинга, являющейся объектом исследования в данной диссертационной работе. Введено определение метода Монте-Карло, используемого в численной физике для статистического моделирования на ЭВМ систем со многими степенями свободы. Описаны примененные в диссертации алгоритмы односпиновых переворотов Метрополиса и тепловой бани, динамика которых в окрестности критической точки Тс наилучшим образом соответствует релаксационной динамике модели с несохраняющимся параметром порядка.

Раздел 1.3 посвящен особенностям влияния структурных дефектов на критическое поведение различных систем. В данной диссертации проводится исследование влияния некоррелированных (точечных) немагнитных примесей на критическую динамику ферромагнитной модели Изинга. Согласно критерию Харриса (Harris А.В., 1974), точечные дефекты влияют на критическое поведение системы только в том случае, когда теплоемкость бездефектной системы является расходящейся величиной. В этом случае проявляется новый класс универсальности критического поведения структурно неупорядоченных систем со значениями показателей, отличными от их значений для однородной системы. При описании фазового перехода второго рода данному критерию удовлетворяют только изингоподобные системы. Одним из актуальных вопросов теории фазовых переходов второго рода остается вопрос о критическом поведении систем с сильным разбавлением.

При значениях спиновой концентрации р меньших порога примесной перколя-ции р"пр, внутри спиновой системы возникают связанные примесные структуры, которые могут существенно повлиять на ее критическое поведение.

В разделе 1.4 приведены особенности критической релаксации на временах, далеких от состояния термодинамического равновесия. При исследовании неравновесного критического поведения ферромагнетика выделяют низкотемпературное и высокотемпературное начальные состояния системы. Первое из них соответствует основному состоянию системы при Т = Ос соноправленными спинами и характеризуется приведенной намагниченностью системы mo == 1. Высокотемпературное начальное состояние характеризуется сильной хаотизацией спинов с 777.о < 1 и соответствует парамагнитному состоянию системы.

На неравновесном этапе критической эволюции системы поведение ее автокорреляционной функции для параметра порядка характеризуется двухвременной зависимостью при t.,tw <Si tte\ (Janssen H.K., 1989)

С (i, tlu) = i j ddx [(S(x, t)S(x, tw)) - (S(x, t)) (S{x, 0))]. (1)

Для системы с высокотемпературным начальным состоянием поведение C(t,tw) в точке фазового перехода Т = Тс задается следующей скейлинговой зависимостью

С (t, tw) = (t - tw)a+l'd'z{t/tw)e-1fc{t/tw), (2)

где /с - конечная функция своего аргумента, а = (2—?;—z)/z, динамический показатель в = в' — z~1(2 — z — ■/]), d = 3 - размерность системы. Индекс 0' характеризует неравновесный начальный рост намагниченности m(t) = у J ddx (S(x,t)) ~ mote на временах t < fur ~ ttIq1^6 . в выражении (2) время t.w называют

временем ожидания, или возрастом системы. Оно задает время начала измерения характеристик системы. Под t — tw понимается время наблюдения, или время проведения эксперимента. В зависимости от соответствия времен наблюдения и ожидания, выделяют следующие режимы неравновесной критической эволюции:

1. Квазиравновесный режим t - tw -С tvl, C(t, tw) = C(t — tw);

2. Режим старения t — tw ~ tw, C(t,t.w) « Fc(t/tw);

3. Режим коротковременной динамики t — tw 2> tw, C(t,tw) ~ (t/t^.)0-1.

Особую важность в численных исследованиях приобрели режимы 2 и 3. Режим старения характеризуется замедлением релаксации системы при увеличении времени ожидания и нарушением флуктуационно-диссипативной теоремы.

На основе реномргруппового исследования третьего режима был развит метод коротковременной динамики (МКД). В его рамках осуществляется получение

и анализ временных зависимостей намагниченности, корреляционной функции и различных кумулянтов в предельном случаи tw —> 0. МКД дал новые способы одновременного получения как динамических, так и статических критических индексов, а также метод измерения критической температуры. По сравнению с другими методами вычисления равновесных характеристик, МКД отличается значительно меньшими временным затратами при численных расчетах на ЭВМ.

Во второй главе осуществлено численное исследование влияния точечных некоррелированных дефектов структуры на неравновесное критическое поведение слабо неупорядоченной трехмерной модели Изинга. Исследовано критическое поведение систем со спиновыми концентрациями р = 0.95 и 0.8.

В разделе 2.2 приведено описание особенностей МКД. Данный метод основан на существовании универсальной временной зависимости в поведении термодинамических характеристик на относительно малых макроскопических временах на этапе динамической эволюции, когда система еще не достигла состояния термодинамического равновесия. Так, для высоко- и низкотемпературного начальных состояний системы были получены временные зависимости для следующих характеристик системы:

тп0«1: m(t) ~ mot0', m™ (t) ~ , C(t)~ti~0'-

m0 = 1 m(t) ~ U2(t) ~ дт lnm(i) ~ i1/l/2.

Расчет и анализ временных зависимостей данных характеристик позволяет определить полный набор статических и динамических критических индексов моделируемой системы.

Раздел 2.3 посвящен описанию исследуемой модели и методике расчетов различных характеристик системы. Моделирование проводилось на кубической решетке с линейным размером L = 128 и наложенными периодическими граничными условиями. Гамильтониан неупорядоченной модели Изинга имеет вид

Я = - J piPjSiSj - ^PihiSi, (4)

<i,j> i

где J > 0 - интеграл обменного взаимодействия, Si - спин в узле г равный ±1, сумма < i.j > берется только по ближайшим соседям, hi - внешнее магнитное поле. Числа заполнения pi принимают значение 1, если в узле находится спин, и 0 - если немагнитный атом примеси. Моделирование проводилось с применением алгоритма Метрополиса при отсутствии внешнего магнитного поля. В случае высокотемпературного начального состояния определялись намагниченность m(t), ее второй момент m(2)(i) = [((^¿з Рг^(0)2)] и автокорреляционная

функция С{Ь). При моделировании из низкотемпературного начального состояния рассчитывались т?г(£), кумулянт = — 1 и логарифмическая производ-

ная намагниченности по температуре дт 1птп(£). Использовались известные критические температуры Тс(р = 0.95) = 4.26267(4) и Тс(р = 0.8) = 3.49948(18), определенные в работе [13].

В разделе 2.4 приведены результаты, полученные при моделировании динамики системы из низкотемпературного начального состояния.

В слабо неупорядоченных системах с р = 0.95;0.80, в отличии от поведения однородных систем, было выявлено два универсальных динамических режима со степенным временным изменением т{Ь), Г/г(£) и д 1пт(£), а именно: на раннем временном интервале I = [20. 200]МСЭ/н реализуется поведение, соответствующее поведению однородной системы, а лишь затем, проходя через режим кроссо-верного поведения, реализуется режим поведения неупорядоченной системы.

Для получения корректных значений критических показателей необходим учет ведущих поправок к скейлингу. Для этого исследуемые функции (т{1), ¡7г(£) и др.) аппроксимировались выражением

Х(г) = ^(А + ВГш/г), (5)

где А(р) и В(р) - неуниверсальные амплитуды, зависящие от исследуемой величины и спиновой концентрации, ш - критический индекс поправки к скейлингу.

С использованием временных зависимостей (4) и учета ведущей поправки к скейлингу (5) для системы с р = 0.95 были определены критические индексы г = 2.185(25), V = 0.668(14), /3 = 0.356(11) и и = 0.369(92), для системы с р = 0.80 - г = 2.208(32), и = 0.685(21), (5 = 0.348(11) иы = 0.404(110).

В разделе 2.5 проведено исследование влияния высокотемпературного начального состояния на неравновесное критическое поведение системы в случае присутствия структурного беспорядка.

При исследовании поведения т{Ь), С(£) и т(2)(£) были выделены два временных интервала универсального режима критического поведения: £ < 90 МСЭ/э, на котором поведение системы аналогично однородной модели, и £ > 100 МСЭ/в, на котором проявилось влияния структурной неупорядоченности. На первом этапе эволюции были вычислены значения критических показателей г = 2.065(14), в' — 0.106(2) и отношение ¡З/и = 0.534(6), значения которых хорошо соотносятся с полученными в работе [14] критическими индексами при исследовании однородной системы.

После проведения процедуры учета ведущей поправки к скейлингу на этапе

влияния структурного беспорядка, были получены значения критических показателей в' = 0.127(16), г = 2.191(21), P/v = 0.504(14) ии = 0.256(55).

В разделе 2.6 проведено сопоставление полученных в данной главе результатов с известными работами по аналитическому и численному исследованию критического поведения трехмерной неупорядоченной модели Изинга. Полученные при исследовании слабо неупорядоченных систем результаты демонстрируют хорошее согласие между собой для систем с концентрациями спинов р = 0.95 и 0.8, и в тоже время демонстрируют существенное отличие критических показателей от случая однородной модели Изинга.

Третья глава посвящена исследованию методом коротковременной динамики неравновесного критического поведения сильно неупорядоченной трехмерной модели Изинга при различных начальных состояниях как с то = 1, так и с то 1. Определены критические показатели для систем со спиновой концентрацией р = 0.6 и р = 0.5, лежащих ниже порога примесной перколяции.

В разделе 3.1 кратко сформулирована проблема примесного перколяционного порога, приведены текущие результаты других работ в этой области и поставлена основная задача исследования.

В разделе 3.2 описаны основные рассчитываемые величины и их временные зависимости в рамках МКД. Вместе с определением характеристик из (4), было про-

т-1 /.Ч r^2(t)imn = 0

ведено исследование кумулянта F2{t) = (m(t)[m > в котором используются данные об эволюции намагниченности из различных начальных состояний: то = 1 и то «С 1. Его степенная зависимость задается показателем z : F^ (t) ~ td/z. Раздел 3.3 посвящен основным деталям численного моделирования сильно неупорядоченных систем. Моделирование проводилось на трехмерной кубической решетке с линейным размером L = 128 с наложенными периодическими граничными условиями. Использовались критические температуры Тс(р = 0.5) = 1.84509(6) и Тс(р = 0.6) = 2.42413(9) [13].

В разделе 3.4 осуществлен расчет критических показателей системы при моделировании из высоко- и низкотемпературного начальных состояний для временных зависимостей характеристик системы, представленных в (3). При исследовании низкотемпературного начального состояния были получены значения критических показателей 2 = 2.560(41), и = 0.707(46), О = 0.354(30) и ш/z = 0.105(18) для системы с р = 0.6, и z = 2.655(55), и = 0.711(47), ¡3 = 0.314(28) и ш/z = 0.105(18) - для р = 0.5. Исследование высокотемпературного начального состояния позволило определить значения индексов в' = 0.194(41), z = 2.627(41) и отношений 0/v = 0.479(58), ш/z = 0.144(44) - для р = 0.6; 0' = 0.192(26), г = 2.647(49), 0/и = 0.430(53), ш/z = 0.144(44) - для р = 0.5.

В разделе 3.5 сформулированы основные выводы исследования сильно неупорядоченных систем. Осуществлено сопоставление полученных критических показателей для слабо и сильно неупорядоченных систем и показано их существенное отличие. Проведено сравнение полученных в диссертации результатов с результатами других работ. Показано, что сильно неупорядоченные системы демонстрируют новый класс универсальности критического поведения, отличный от классов универсальности однородных и слабо неупорядоченных систем.

В четвертой главе осуществлено исследование эффектов старения и нарушения ФДТ в неравновесном критическом поведении трехмерной модели Изинга.

Старение материалов характеризуется увеличением времени релаксации системы с увеличением "возраста" образца, т.е. времени прошедшего после его приготовления [8]. Эффекты старения проявляются в системах с аномально медленной динамикой. Примером подобных систем является ферромагнетик в точке фазового перехода второго рода. Эффекты старения выражаются в существовании двухвре-менных зависимостей корреляционной функции C(t,tw) и функции отклика на внешнее возмущение R(t,tw) при £,£„, <g; tIC\.

Другим интересным явлением, обнаруженным в системах с медленной динамикой, является нарушение флуктуационно-диссипативной теоремы (ФДТ). Обобщенная ФДТ связывает функции R(t,tu,) и C{t,tw):

Д(МШ) = —jr---(6)

где X(t.,tw) - флуктуационно-диссипативное отношение (ФДО). ФДТ утверждает, что в равновесном состоянии X(t > £ш » tlei) = 1. Предельное значение

Xх = lim lim X(t.tw) (7)

используется в качестве новой универсальной характеристики для неравновесного критического поведения различных систем.

В разделе 4.2 приведены основные детали моделирования. При исследовании эффектов старения рассчитывались автокорреляционная функция С (f., tw) и функция отклика R(t, tw). Асимптотические значения ФДО были вычислены двумя способами: с использованием внешнего случайного бимодального поля Iii = ±0.04 (4) и с использованием динамики тепловой бани. В первом случае Х°° может быть получено через функциональную зависимость обобщенной восприимчивости x(t,tw) = Т dt R(t,t ) от C{t,tw). При моделировании алгоритмом тепловой бани был осуществлен расчет функции отклика R(t,tw) в отсутствии

=10IX) =500 1 \.=25о ;

4 1 =500 '

5 t =250

(Ь) tw XS. : 50 250 (ЗУ ^SSfc 2i> (2) ^¿J 150 Щ 50 (!) .......1.50. ,

1000 10000 [-1 , MCS/s

l - MCS/s

Рис. 1 : Зависимость C{t,tw) (а)и R{f.,t.w) (b) для различных времен ожидания. (1) - р = 1, (2) - р = 0.8, (3) - р = 0.6

внешнего магнитного поля, которая выражается через специальную двухвремен-ную корреляционную функцию, и определены предельные значения Х°° с помощью выражений (6) - (7). В разделе 4.3 приведены детали расчета данных характеристик для исследуемых систем. Моделирование проводилось для трехмерной модели Изинга со спиновыми концентрациями р = 1.0,0.8 и 0.6. Было выбрано высокотемпературное начальное состояние с малой намагниченностью то <С 1. Расчеты проводились на временах наблюдения t — tw < 10000 MCS/s при соответствующих критических температурах [13].

Раздел 4.4 содержит результаты исследования эффектов старения и нарушения ФДТ в критическом поведении трехмерной неупорядоченной модели Изинга. На рис. 1 представлены зависимости автокорреляционной функции и функции отклика от времени наблюдения t - tw. В двухвременном поведении данных функций можно выделить несколько режимов. На этапе t — tw <SC tw отсутствует зависимость от времени ожидания C(t,tw) = C(t — tw), R(t,tw) = R(t — tw) и реализуется квазиравновесный режим. На достаточно больших временах наблюдения и ожидания, но сравнимых друг с другом t — tw ~ tw 1, в C(t,tw) и R(t,tw) проявляется зависимость от tw, характеризующая эффекты старения.

Было выявлено нарушение ФДТ в неравновесном критическом поведении модели Изинга с Х°° <1/2. При моделировании с применением внешнего магнитного поля были получены предельные значения ФДО Х°°(р = 1) = 0.391(12), Xх{р = 0.8) = 0.418(11) и Xх (р = 0.6) = 0.443(10), при использовании динамики тепловой бани - Х°°(р = 1) = 0.381(16), Xх(р = 0.8) = 0.413(10) и Хх(р = 0.6) = 0.446(10).

В разделе 4.5 сформулированы основные выводы проведенного в данной главе исследования. Осуществлено сравнение полученных результов с реномргрупповы-ми исследованиями [11, 12].

В заключении диссертации представлены основные результаты исследования,

которые состоят в следующем:

1. Проведено численное исследование влияния немагнитного случайно распределенного структурного беспорядка на критическое поведение трехмерной ферромагнитной модели Изинга в случаях слабого и сильного разбавления. В слабо неупорядоченных системах выявлено существование двух режимов универсального критического поведения.

2. Полученны значения динамических и статических критических индексов для слабо и сильно неупорядоченных систем с учетом ведущей поправки к скей-лингу. Сопоставление динамических критических индексов для двух классов систем позволяет сделать вывод о том, что их неравновесное критическое поведение принадлежит к различным классам универсальности. Полученные значения показателей находятся в хорошем согласии в пределах погрешностей моделирования с результатами ренормгруппового описания, результатами моделирования другими методами, а также согласуются с результатами экспериментальных исследований слабо неупорядоченных изинговских магнетиков.

3. Осуществлено численное исследование эффектов старения в неравновесном критическом поведении трехмерной модели Изинга при моделировании из высокотемпературного начального состояния mo 1 для случаев однородной (р = 1), слабо неупорядоченной (р = 0.8) и сильно неупорядоченной (р = 0.6) систем. Показано, что эффекты старения проявляются на этапе (t — tw) ~ tw » 1. На основе анализа двухвременного поведения автокорреляционной функции для данного временного этапа выявлено замедление релаксации системы с ростом времени ожидания tw.

4. Проведено численное исследование нарушения ФДТ в критическом поведении трехмерной модели Изинга. Получены предельные значения ФДО: Х°°(р = 1) = 0.381(16), Х°°(р = 0.8) = 0.413(10) и Xх (р = 0.6) = 0.446(10).

Основные результаты диссертации опубликованы в работах:

1. Prudnikov V.V., Prudnikov P.V., Krinitsin A.S., Vakilov A.N., Rychkov M.V., Pospelov E.A. Short-time dynamics and critical behavior of the three-dimensional site-diluted Ising model // Phys. Rev. E. - 2010. - Vol. 81. - P. 011130.

2. Прудников П.В., Прудников В.В., Поспелов Е.А. Расчет флуктуационно-диссипативного отношения для неравновесного критического поведения неупорядоченных систем // Письма в ЖЭТФ. - 2013. - Т. 98, вып. 10. - С. 693-699.

3. Прудников В. В., Прудников П. В., Поспелов Е. А. Численные исследования влияния дефектов структуры на эффекты старения и нарушения флуктуационно-диссипативной теоремы в неравновесном критическом поведении трехмерной модели Изинга // ЖЭТФ. - 2014. - Т. 145, вып. 3. - С. 462-471.

4. Прудников П.В., Прудников В.В., Поспелов Е.А. Компьютерное моделирование неравновесного критического поведения трехмерной модели Изинга // Компьютерные исследования и моделирование. - 2014. - Т. 6, вып. 1. - С. 119-129.

5. Прудников В.В., Прудников П.В., Вакилов А.Н., Поспелов Е.А., Питеримов А.Ю., Чабров A.B. Численные исследования неравновесной критической релаксации сильно неупорядоченной модели Изинга // Вестник Ом-го ун-та. - 2012. - Вып. 2. - С. 101-105.

6. Прудников В.В., Прудников П.В., Поспелов Е.А. Компьютерное моделирование эффектов старения в неравновесном критическом поведении структурно неупорядоченной модели Изинга // Вестник Ом-го ун-та. - 2013. - Вып. 2. - С. 87-91.

7. Прудников В.В., Прудников П.В., Поспелов Е.А. Численные Монте-Карло исследования эффектов старения и нарушения флуктуационно-диссипативной теоремы в неравновесном критическом поведении трехмерной неупорядоченной модели Изинга // Вестник Ом-го ун-та. - 2013. - Вып. 4 - С. 102-106.

Список литературы

[1] Фольк Р., Головач Ю., Яворский Т. // УФН. - 2003. - Т. 173. - С. 175.

[2] Parisi G., et al. // Phys. Rev. E. - 1999. - P. 5198.

[3] Hasenbusch M., et al. // J. Stat. Mech.: Theory Exp. - 2007. - P. 11009.

[4] Прудников В. В., Прудников П. В. и др. // ТМФ. - 2006. - Т. 147. - С. 137.

[5] Вакилов А.Н., Прудников В.В. // Письма в ЖЭТФ. - 1992. - Т. 55. - С. 709.

[6] Вакилов А.Н., Прудников В.В. // ЖЭТФ. - 1993. - Т. 103. - С. 962.

[7] N. Afzal, М. Pleimling // Phys. Rev. Е. - 2013. - V. 87. - P. 012114.

[8] Henkel M., Pleimling M. Non-equilibrium Phase Transitions. Volume 2: Ageing and Dynamical Scaling Far from Equilibrium. Heidelberg, Springer, 2010.

[9] Calabrese P., Gambassi A. // J. Phys. A. - 2005. - V. 38. - R133.

[10] Abriet S„ Karevski D. // Eur. Phys. J. B. - 2004. - V. 41. - P. 79.

[11] Calabrese P., Gambassi A. // Phys. Rev. E. - 2002. - V. 66. - P. 066101.

[12] Calabrese P., Gambassi A. // Phys. Rev. B. - 2002. - V. 66. - P. 212407.

[13] Прудников B.B., Прудников П.В., и др. // ЖЭТФ. - 2007. - Т. 132. - С. 417.

[14] Jaster А„ Mainville J., et al. // Phys. Rev. A. - 1999. - V. 32. - P. 1395.

Подписано в печать 08.04.2014. Формат бумаги 60x84/16. Печ. л. 1,0. Уч.-изд. л. 0,87. Тираж 100 экз. Заказ №80.

Отпечатано на полиграфической базе издательства ОмГУ. 644077, Омск-77, пр. Мира, 55а.

ФГБОУ ВПО «ОмГУ им. Ф.М. Достоевского»

04201459891

На правах рукописи УДК 530.1

Поспелов Евгений Анатольевич

Численные исследования неравновесного критического поведения структурно неупорядоченных систем

Специальность 01.04.02 — «Теоретическая физика»

Диссертация на соискание ученой степени кандидата физико-математических наук

Научный руководитель: доктор физ.-мат. наук, профессор Прудников В.В.

Омск - 2014

Содержание

Введение......................................................................4

1 Фазовые переходы и критические явления. Характеристики и свойства. Методы моделирования ....................................15

1.1 Критические индексы ................................................18

1.2 Модель Изинга........................................................21

1.2.1 Метод Монте-Карло ............................................23

1.2.2 Алгоритмы моделирования ....................................24

1.3 Влияние дефектов структуры........................................27

1.4 Особенности неравновесного критического поведения............33

2 Исследование неравновесной критической релаксации слабо неупорядоченной модели Изинга......................................37

2.1 Введение................................................................37

2.2 Метод коротковременной динамики ................................39

2.3 Модель и методика расчетов..........................................42

2.4 Исследование влияния низкотемпературного начального состояния на неравновесное критическое поведение системы..........44

2.4.1 Учет скейлинговых поправок..................................49

2.5 Исследование влияния высокотемпературного начального состояния на неравновесное критическое поведение системы ... 52

2.6 Анализ результатов и выводы........................................57

3 Численное моделирование сильно неупорядоченной модели Изинга......................................................................61

3.1 Введение................................................................61

3.2 Особенности моделирования сильно неупорядоченных систем . 62

3.3 Детали моделирования................................................64

3.4 Вычисление критических показателей сильно неупорядоченной модели Изинга........................................................65

3.4.1 Низкотемпературное начальное состояние....................65

3.4.2 Высокотемпературное начальное состояние..................69

3.5 Анализ результатов и выводы........................................74

4 Численное исследование эффектов старения в трехмерной модели Изинга................................................................77

4.1 Введение................................................................77

4.2 Особенности моделирования эффектов старения..................79

4.2.1 Расчет флуктуационно-диссипативного отношения. Метод пробного поля....................................................80

4.2.2 Расчет флуктуационно-диссипативного отношения. Использование динамики тепловой бани..........................81

4.3 Детали моделирования................................................85

4.4 Результаты исследования эффектов старения в трехмерной модели Изинга............................................................86

4.4.1 Эффекты старения в структурно неупорядоченной модели Изинга..............................................................86

4.4.2 Нарушение флуктуационно-диссипативной теоремы..........92

4.5 Анализ результатов и выводы.............:..............98

Заключение.................................101

Литература .................................104

Введение

Одной из наиболее интересных и актуальных задач физики конденсированного состояния остается проблема описания фазовых переходов второго рода и связанных с ними критических явлений [1-9]. По мере приближения к точке фазового перехода наблюдаются аномально большие и долгоживу-щие флуктуации некоторых термодинамических величин, характеризующиеся эффективно сильным взаимодействием между собой. Большой практический интерес к изучению фазовых переходов обусловлен тем, что вблизи критической точки даже незначительное изменение внешних условий может вызвать существенное изменение характеристик системы.

Строгое описание систем при фазовом переходе второго рода - задача чрезвычайно сложная. Выявленная общность свойств фазовых переходов в различных веществах позволила сформулировать принцип универсальности критических явлений и предложить модель, в основе которой лежит гипотеза масштабного подобия флуктуаций [3-6]. Развитые на основе этой гипотезы методы ренормализационной группы и теоретико-полевого описания позволили сделать значительный скачок в качественном понимании и количественном описании критических явлений [10-17]. Наряду с особенностями равновесных характеристик, в критической точке сингулярное поведение демонстрируют динамические корреляционные функции и функции отклика, что обусловлено аномально большими временами релаксации сильно флуктуирующих величин. Эти особенности значительно затрудняют описание критической динамики системы [18-23].

Большое влияние на критическое поведение макроскопических систем оказывает структурный беспорядок, обусловленный присутствием структурных примесей. В реальных материалах всегда присутствуют те или иные дефекты. Присутствие примесей, наличие в эффективном гамильтониане нескольких типов конкурирующих взаимодействий, задающих состояние

системы, играют важную роль в критическом поведении. Структурные дефекты могут иметь различную природу и оказывать различное влияние на процессы, протекающие в твердых телах, как то: индуцировать новые типы фазовых переходов, задавать новые классы универсальности критического поведения, модифицировать кинетические свойства систем и обуславливать низкочастотные особенности в динамике системы [2,24-28]. По этой причине описание влияния дефектов структуры во всех возможных формах их проявления остается одной из актуальных и сложных проблем теории фазовых переходов и критических явлений. Так, в ферромагнитном кристалле часть ячеек может быть занята атомами, имеющими нулевой магнитный момент. Если концентрация немагнитных атомов превышает определенную величину, ферромагнетизм полностью подавляется.

Одной из нерешенных задач теории критических явлений остается описание неравновесного критического поведения макроскопических систем, далеких от состояния равновесия. Это, прежде всего, относится к явлениям критической релаксации однородных и структурно неупорядоченных систем при фазовых переходах второго рода и фазовых переходах первого рода, близких ко второму. Критическое замедление времени релаксации и аномально большие времена корреляции различных состояний для данных систем приводят к реализации динамического скейлингового поведения даже когда системы находятся в состояниях, далеких от состояния термодинамического равновесия [29-32]. В настоящее время значительные усилия направлены на исследование поведения различных систем в окрестности точки фазового перехода [33-36].

Значительный интерес на неравновесном этапе эволюции представляют эффекты старения и нарушение флуктуационно-диссипативной теоремы, обусловленные существованием двухвременных зависимостей для корреляционной функции и функции отклика от времени наблюдения и времени ожидания (промежуток времени от момента приготовления образца до момента времени измерения его свойств). Первоначально эффекты старения были обнаружены в сложных спин-стекольных системах [37-41]. В то же время, данные особенности неравновесного поведения, как показали различные аналитические и численные исследования [42-47] , наблюдаются и в системах в окрестности точки фазового перехода второго рода, так

как их критическая динамика характеризуется аномально большими временами релаксации. Введенное ранее для спиновых стекол флуктуационно-диссипативное отношение, связывающее двухвременную спиновую функцию отклика и двухвременную корреляционную функцию и обобщающее флуктуационно-диссипативную теорему на случай неравновесного поведения, становится новой универсальной характеристикой для критического поведения различных систем. Проявление эффектов старения в неравновесной критической динамике было подтверждено в ходе различных экспериментальных исследований [48-52].

Наибольшего прогресса исследователи достигли при изучении влияния некоррелированных дефектов типа случайной локальной температуры на критическое поведение неупорядоченных систем. Ренормгрупповой анализ с использованием ¿-разложения [26], а затем более точного теоретико-полевого подхода показал, что критическое поведение структурно неупорядоченных изингоподобных систем со случайно распределенными (5-коррелированными) примесями действительно характеризуется новым набором статических критических индексов, значения которых не зависят от концентрации точечных дефектов в области их малых концентраций. Однако, сходимость асимптотических рядов ^-разложения для систем с дефектами еще более слабая, чем для однородных. В то же время, остается актуальным вопрос о влиянии сильного разбавления спиновой системы немагнитными атомами примеси. Согласно теории перколяции, после увеличения концентрации дефектов выше некоторого порогового значения (порог примесной перколяции, для кубической решетки соответствует концентрации спинов & 0.69 (в приближении взаимодействия ближайших соседей)), примеси могут образовывать связанную структуру. Влияние этого примесного перколяционного порога до сих пор остается открытой проблемой.

В последние десятилетия широкое распространение в теории критических явлений получили компьютерные методы моделирования как статического, так и динамического критического поведения различных систем, ставшие альтернативой физическим экспериментам [53-56]. Численные исследования основаны на использовании метода Монте-Карло и хорошо апробированы на большинстве модельных систем. Компьютерное моделирование дает возможность получения наглядной информации о росте

флуктуаций параметра порядка и замедлении процессов релаксации в магнетиках по мере приближения к температуре фазового перехода второго рода, о проявлении аномальных свойств в поведении теплоемкости, магнитной восприимчивости и корреляционных функций [57,58]. А при исследовании сильно неупорядоченных систем численное исследование оказывается единственной альтернативой реальному физическому эксперименту, поскольку методы ренормализационной группы оказываются справедливы только в области малых концентраций дефектов.

В окрестности температуры Тс фазового перехода второго рода время релаксации является расходящейся величиной: £ге1 ~ \Т — Тс\~где г и и -динамический и статический критические индексы. Таким образом, системы в критической точке не достигают равновесия в течение всего релаксационного процесса. Для чистых систем в работах [59,60] было проведено численное исследование методами Монте-Карло критической динамики трехмерной структурно неупорядоченной модели Изинга. В работе [59] получено значение динамического критического индекса г = 2.62, а в [60] -г = 2.35(2) в предположении его независимости от концентрации дефектов, начиная от уровня слабого разбавления и вплоть до порога спиновой перколяции. Однако, полученное значение критического показателя системы плохо согласуется с экспериментальным значением г = 2.18(10), полученным в работе [61] для слабо разбавленного изингоподобного магнетика Feo.9Zno.1F-2. В работе [62] было осуществлено теоретико-полевое описание критической эволюции трехмерной чистой и структурно неупорядоченной модели Изинга и получены значения г = 2.024(6) (чистая система) и г = 2.1792(13) (слабо неупорядоченная система), соответственно, в четы-рехпетлевом и шестипетлевом приближениях с применением к рядам теории различных методов суммирования. Полученные индексы хорошо согласуются в рамках погрешностей с результатами экспериментального исследования. В работах Вакилова и Прудникова [25], на основе анализа результатов компьютерного моделирования критической динамики разбавленных магнетиков, была выдвинута гипотеза существования двух классов универсальности критического поведения неупорядоченных систем с различными значениями критических индексов для слабо и сильно неупорядоченных систем. Для слабо неупорядоченных систем полученные значения индекса г

хорошо согласуются с результатами экспериментального и ренормгруппо-вого исследований.

Ренормгрупповые расчеты предельного флуктуационно-диссипативного отношения Х°° в рамках метода в - разложения для диссипативной модели с несохраняющимся параметром порядка были проведены в работах [45,46]. Были получены значения Х°° = 0.429(6) для чистой системы в двухпет-левом приближении и Х°° ~ 0.416 в однопетлевом приближении. Проведенные исследования показали, что сложности выделения флуктуационных поправок в двухвременных зависимостях корреляционной функции и функции отклика не позволяют однозначно выявить характер влияния дефектов на Х°° для структурно неупорядоченной и бездефектной моделей Изинга.

В связи с вышеизложенным, в диссертационной работе были поставлены следующие цели:

1. Исследование влияния немагнитных атомов примеси на критическое поведение изингоподобных спиновых систем посредством численного моделирования методами Монте-Карло трехмерной модели Изинга для случаев слабого и сильного уровня разбавления.

2. Численное исследование методом коротковременной динамики процесса критической эволюции трехмерной неупорядоченной модели Изинга. Определение значений для независимых динамических 0', г и статических /3, V критических индексов с учетом ведущих поправок к скейлин-гу.

3. Численное исследование эффектов старения в поведении однородной и структурно неупорядоченной трехмерной модели Изинга. Расчет и анализ двухвременных зависимостей корреляционной функции и функции отклика для различных значений времени ожидания.

4. Исследование нарушения флуктуационно-диссипативной теоремы в критическом поведении трехмерной структурно неупорядоченной модели Изинга. Расчет предельного флуктуационно-диссипативного отношения и выявление влияния структурного беспорядка на его значение.

Научная и практическая значимость работы.

Исследование влияния структурного беспорядка на критическое поведение различных систем представляет фундаментальный интерес с точки зрения теории фазовых переходов. Как правило, все реальные вещества содержат различные дефекты структуры, которые существенно влияют на их поведение в критической области. В то же время, аналитическое описание характеристик систем в случае сильного разбавления сопряжено со значительными трудностями, поэтому численное исследование остается одним из самых важных источников информации в теории критических явлений.

Экспериментальные исследования материалов в критической области предъявляют высокие требования как к чистоте исследуемых образцов, так и к условиям проведения экспериментов. Реальные вещества подвержены эффектам старения, которые проявляются тем сильнее, чем больше времени прошло с момента приготовления образца. Данные эффекты могут оказать существенное влияние на получаемые в экспериментальном исследовании результаты. Таким образом, численное исследование может дать важную информацию об этих явлениях.

В ходе исследования был разработан набор программ для ЭВМ, который может служить отправной точкой для исследования неравновесного критического поведения сложных спиновых систем со структурным беспорядком.

Полученные в диссертации результаты вносят существенный вклад в развитие численных методов моделирования структурно неупорядоченных моделей, дают обоснование и развитие представлений теории критических явлений неупорядоченных систем, могут являться отправной точкой для последующих исследований в данной области физики.

Вместе с этим, значимость диссертации определяют следующие положения, выносимые на защиту:

1. Методика численного исследования неравновесного критического поведения трехмерной структурно неупорядоченной модели Изинга методом коротковременной динамики и методика определения критических индексов с учетом ведущих поправок к скейлингу.

2. Наличие нескольких динамических этапов релаксации в поведении слабо неупорядоченной системы: временная область с характеристиками

однородной системы, кроссоверная область и область влияния структурного беспорядка.

3. Возникновение нового класса универсальности сильно неупорядоченной трехмерной модели Изинга при спиновых концентрациях меньших порога примесной перколяции.

4. Численное доказательство существования эффектов старения в неравновесном критическом поведении трехмерной модели Изинга и доказательство влияния структурной неупорядоченности на эти явления, характеризующиеся усилением эффектов старения.

5. Численное подтверждение нарушения флуктуационно-диссипативной теоремы и расчет флуктуационно-диссипативного отношения для трехмерной структурно неупорядоченной модели Изинга.

Основные результаты диссертации докладывались и обсуждались на XI Всероссийской молодежной школе-