Исследование классических и квантовых моделей магнетиков методами Монте-Карло

Магомедов, Магомед Алиевич

Исследование классических и квантовых моделей магнетиков методами Монте-Карло тема автореферата и диссертации по физике, 01.04.07 ВАК РФ

Магомедов, Магомед Алиевич АВТОР

кандидата физико-математических наук УЧЕНАЯ СТЕПЕНЬ

Махачкала МЕСТО ЗАЩИТЫ

2004 ГОД ЗАЩИТЫ

01.04.07 КОД ВАК РФ

Диссертация по физике на тему «Исследование классических и квантовых моделей магнетиков методами Монте-Карло»

Автореферат диссертации на тему "Исследование классических и квантовых моделей магнетиков методами Монте-Карло"

На правах рукописи

МАГОМЕДОВ МАГОМЕД АЛИЕВИЧ

ИССЛЕДОВАНИЕ КЛАССИЧЕСКИХ И КВАНТОВЫХ МОДЕЛЕЙ МАГНЕТИКОВ МЕТОДАМИ МОНТЕ-КАРЛО

01.04.07 - физика конденсированного состояния

АВТОРЕФЕРАТ

диссертации на соискание ученой степени кандидата физико-математических наук

МАХАЧКАЛА, 2004

Работа выполнена в Институте физики Дагестанского научного центра РАН

Научные руководители: член-корреспондент РАН,

доктор физико-математических наук, профессор Камилов Ибрагимхан Камилович

доктор физико-математических наук, профессор Муртазаев Акай Курбанович

Официальные оппоненты: доктор физико-математических наук,

профессор Абдурахманов Аливерди Аллахверенович

кандидат физико-математических наук, профессор Коледов Виктор Викторович

Ведущая организация: Санкт-Петербургский государственный

университет

Защита состоится « 18 »_февраля_2004 г. в 14°° на

заседании диссертационного совета Д002.095.01 при Институте физики ДагНЦ РАН по адресу:

367003, Махачкала, пр. Шамиля, 39

Отзывы на автореферат просьба направлять по адресу: 367003, Махачкала, ул. М. Ярагского, 94,

Институт физики ДагНЦ РАН, секретарю диссертационного совета.

С диссертацией можно ознакомиться в библиотеке Института физики ДагНЦ РАН

Автореферат разослан « 17 » января 2004 г.

Ученый секретарь диссертационного совета, о

кандидат физико-математических наук Батдалов А.Б.

2004-4 26965

ОБЩАЯ ХАРАКТЕРИСТИКА РАБОТЫ

Актуальность темы. В последние годы достигнут значительный прогресс в понимании проблемы фазовых переходов (ФП) и критических явлений (КЯ). Наиболее плодотворными в построении теории ФП оказались методы ренормализационной группы и е- разложения, а также применение гипотезы скейлинга и универсальности [1,2]. При помощи этих методов удалось установить основные закономерности, наблюдающиеся в области фазового перехода, рассчитать значения критических индексов (КИ), а также получить соотношения между КИ. Идеи, лежащие в основе этих методов, внесли значительный вклад в наше понимание природы фазовых переходов и критических явлений.

Тем не менее, в теории конденсированного состояния на сегодняшний день не разработана строгая, последовательная микроскопическая теория фазовых переходов и критических явлений. К тому же, остается не до конца решенным вопрос о влиянии на результаты различных возмущающих факторов (таких как различного рода примеси, анизотропия, диполь-дипольное взаимодействие, многоспиновый обмен, учет колебаний решетки и т.д.) присущих реальным системам.

Строгое исследование реальных трехмерных систем на основе сложных микроскопических гамильтонианов методами современной теоретической физики - задача чрезвычайно сложная. В связи с этим на современном этапе значительно возрастает роль и актуальность методов вычислительной физики различных вариантов классического и квантового методов Монте-Карло, которые позволяют успешно исследовать критические свойства систем со сложными реалистичными гамильтонианами в широком диапазоне изменения внешних параметров [3-7].

В последнее время ФП и КЯ интенсивно исследуются методами вычислительной физики: методами Монте-Карло (МК). Эти методы оказались весьма эффективными в статистической физике, физике фазовых переходов, а также в ряде других самых разнообразных областей науки и техники (физики, механики, химии, биологии, социологии, кибернетики и т.д.).

Численные методы обладают рядом ценных преимуществ, связанных не только с их строгой математической обоснованностью и возможностью контроля за погрешностью в рамках самого метода, но и с тем, что данные численного эксперимента можно сопровождать «физической картиной» происходящих процессов и большим объемом детальной сопутствующей информации.

О значении, которое придается в настоящее время методам вычислительной физики, свидетельствует разработка специализированных ЭВМ и процессоров, строго ориентированных на эти методы и решение конкретных задач статистической механики и молекулярной физики [7].

В последние годы значительное внимание уделяется также исследованию численными методами низко-размерных (1с/ и 2с/) квантовых систем. С одной стороны этот интерес обусловлен тем, что низко размерные системы легче исследовать, чем системы более высоких размерностей. С другой стороны

РОС. НАЦИОНАЛЬНА)! | БИБЛИОТЕКА

узуау 1

интерес стимулируется большим количеством экспериментальных работ на квазиодномерных и квазидвумерных магнитных системах.

Следует отметить, что теоретическое исследование этих систем чрезвычайно затруднено, в то время как различные подходы, основанные на квантовом методе Монте-Карло, являются весьма мощными средствами для получения численных данных о поведении этих систем.

Из всего вышесказанного следует, что исследование критических свойств моделей реальных магнитных материалов, а также термодинамических свойств квантовых спиновых систем является важной и актуальной задачей современной статистической физики, теории фазовых переходов и критических явлений.

Целью работы является исследование статических критических свойств моделей реальных магнетиков кластерными алгоритмами метода Монте-Карло, а также квантовых спиновых систем высокоэффективными алгоритмами квантового метода Монте-Карло. В процессе выполнения работы решались следующие основные задачи:

1. Разработка комплекса программ для ЭВМ, с помощью которого можно исследовать статические критические свойства сложных моделей реальных магнетиков, а также квантовых спиновых систем;

2. Обобщение высокоэффективного одно-кластерного алгоритма Вульфа для исследования моделей, где несколько различных типов слабых релятивистских взаимодействий действуют одновременно на фоне друг друга, а также возможны кроссоверные явления;

3. Исследование высокоэффективными алгоритмами метода Монте-Карло статических критических свойств моделей реального ферромагнитного гадолиния (Сс1). Определение с помощью теории конечно-размерного скейлинга статических критических индексов а, Д у, г/ и »'моделей гадолиния;

4. Проверка справедливости теории конечно-размерного скейлинга для моделей, в которых могут наблюдаться кроссоверные явления;

5. Исследование термодинамических свойств квантовых спиновых систем с помощью высокоэффективных алгоритмов квантового метода Монте-Карло, основанных на формуле Сузуки-Троттера;

Практическая ценность работы.

Полученные в диссертации результаты по исследованию статических критических свойств моделей сложных реальных магнитных систем, а также квантовых спиновых систем, представляют интерес для дальнейших исследований в теории магнетизма, физики фазовых переходов и статистической теории твердых тел. Разработанный комплекс программ для ЭВМ формирует базу, на основе которой возможны высокоточные исследования статических критических явлений в моделях реальных магнетиков, а также квантовых спиновых систем.

Обобщение одно-кластерного алгоритма Вульфа для исследования сложных моделей реальных магнетиков показало, что кластерные алгоритмы являются ценным инструментом при исследовании сложных реалистичных систем и позволяют определять с высокой степенью точности критические параметры системы. Сопоставление результатов численных экспериментов с данными лабораторных исследований и теоретических предсказаний позволило определить особенности практического использования теории конечно-размерного скейлинга при исследовании моделей реальных магнитных материалов.

Проведенные высокоточные исследования квантовых решеточных спиновых систем петлевым (Loop algorithm (LA)) алгоритмом квантового метода Монте-Карло, основанного на формуле Сузуки-Троттера показало, что этот алгоритм является значительно более эффективным, по сравнению с другими (стандартный (World line algorithm (WLA)) и блок-спин-кластерный (Block-spin-cluster algorithm (BSCA)) алгоритмы) и позволяет проводить высокоточные исследования квантовых спиновых систем, содержащих большое число спинов (до 106 спинов), в низкотемпературной области. Таким образом, на основе квантового метода Монте-Карло создан пакет программ, который позволит в будущем исследовать модели реальных магнетиков с учетом квантового характера этих систем.

Экспериментальные результаты данной работы используются для чтения спецкурсов: «Исследование фазовых переходов и критических явлений методами Монте-Карло», «Компьютерное моделирование в физике», «Методы вычислительной физики в магнетизме», а часть программ для ЭВМ при выполнении лабораторных работ по указанным спецкурсам в Дагестанском государственном университете.

Научную новизну и значимость диссертации определяют основные положения, которые автор выносит на защиту:

1. Применение высокоэффективного одно-кластерного алгоритма Вульфа метода Монте-Карло для исследования моделей с кроссоверными переходами. Исследование статических критических свойств моделей реального ферромагнитного гадолиния (Gd) одно-кластерным алгоритмом метода Монте-Карло.

2. Определение основных статических критических индексов теплоемкости а, намагниченности Д восприимчивости у, индекса Фишера 77 и критического индекса радиуса корреляции v моделей гадолиния Демонстрация влияния на характер критического поведения гадолиния изотропных диполь-дипольных взаимодействий.

3. Применение теории конечно-размерного скейлинга для исследования критических свойств моделей реального ферромагнитного гадолиния.

ферромагнитной и антиферромагнитной моделей Гейзенберга, XY-модели, а также промежуточных квантовых XXZ - моделей.

5. Исследование в широком диапазоне температур высокоэффективным петлевым алгоритмом квантового метода Монте-Карло термодинамических свойств двумерных квантовых моделей: ферромагнитной и антиферромагнитной моделей Гейзенберга, XY-модели, а также промежуточных квантовых XXZ - моделей.

6. Сложный комплекс программ для ЭВМ, позволяющий проводить высокоточные исследования статических критических явлений в сложных моделях реальных магнетиков, а также термодинамические свойства квантовых спиновых систем.

2000); Международной конференции по вычислительной физике (Ахен, 2001); II всероссийской конференции по физической электронике ФЭ-2001 (Махачкала,

2001); XVIII международной школе-семинаре «Новые магнитные материалы микроэлектроники» (Москва, 2002); Международной конференции «Фазовые переходы, критические и нелинейные явления в конденсированных средах» (Махачкала, 2002); V международном семинаре «Магнитные фазовые переходы» (Махачкала, 2002); Международной конференции по магнетизму (Рим, Италия, 2003); II международной конференции по физике жидкостей (Киев, Украина, 2003); Международном симпозиуме ОМА-2003 (Сочи, 2003); Всероссийском семинаре по проблемам магнетизма LFCM-2003 (Астрахань, 2003); Всероссийской школе-семинаре «Физика фазовых переходов» (Махачкала, 2003).

Публикации. Основные результаты работы опубликованы в 25 работах. Список публикаций приведен в конце автореферата.

Структура и объем диссертации. Диссертация состоит из введения, четырех глав, заключения и списка цитированной литературы (155), изложенных на 152 страницах, содержит 59 рисунков и 6 таблиц.

Во введении обоснована актуальность темы, сформулирована цель работы, приводятся основные положения, выносимые на защиту, дается краткая аннотация по главам.

Глава I посвящена описанию классического метода Монте-Карло применительно к каноническому ансамблю.

В разделе 1.1 дается изложение классического метода Монте-Карло применительно к каноническому ансамблю.

Раздел 1.2 посвящен описанию моделей, наиболее часто используемых при исследованиях кооперативных явлений в решеточных системах. При таких исследованиях наиболее часто используется модель Изинга (для систем с

дискретным состоянием спинов) и модель Гейзенберга (с непрерывным распределением состояний). Эти модели и большое количество их различных модификаций интенсивно исследуются и методами МК.

В разделе 1 3 рассмотрен стандартный алгоритм метода Монте-Карло, основанный на перевороте одного спина (алгоритм Метрополиса). Показано, что при проведении исследований этим алгоритмом в критической области сталкиваются с серьезной проблемой так называемого «критического замедления».

В разделе 1.4 дано подробное описание кластерных алгоритмов метода Монте-Карло (одно-кластерный алгоритм Вульфа и много кластерный алгоритм Свендсена-Янга). Эти алгоритмы специально разрабатывались для высокоточных исследований в области фазового перехода и позволяют преодолеть проблему «критического замедления».

В разделе 1.5 рассматриваются различные виды граничных условий применяемых при изучении систем содержащих конечное число частиц.

В разделе 1.6 подробно анализируются ошибки, возникающие при моделировании методом Монте-Карло, и рассматриваются вопросы, связанные с оценкой погрешности метода Монте-Карло.

В главе II одно-кластерным алгоритмом Вульфа классического метода Монте-Карло исследуются статические критические свойства моделей реального ферромагнитного гадолиния (Gd).

Раздел 2.1 посвящен обсуждению литературных результатов экспериментального исследования критических свойств макрообразцов ферромагнитного гадолиния. Сравнение значений критических индексов, полученных по экспериментальным данным, с теоретическими показывает их противоречивость и невозможность однозначно определить характер критического поведения гадолиния.

В разделе 2.2 рассмотрены микроскопические модели ферромагнитного гадолиния, использованные при проведении исследований методом Монте-Карло. Предложенные модели учитывают все кристаллографические особенности реальных макрообразцов гадолиния (сферическое распределение электронной плотности и отсутствие орбитального момента, наличие слабой одноосной анизотропии и изотропных диполь-дипольных взаимодействий). Таким образом, гамильтониан модели гадолиния с учетом этих особенностей может быть представлен в следующем виде:

н!д|—1; (1)

1.1 I I

где первый член учитывает обменное взаимодействие каждого из ионов Gdi+ со всеми ближайшими соседями, параметр этого взаимодействия J > 0, второй -одно-ионную анизотропию, в рассматриваемой нами температурной области анизотропия соответствует типу «легкая ось», направление которой совпадает с гексагональной осью с, третий - изотропное диполь-дипольное взаимодействие.

Поскольку в литературе имеются сведения о дипольном характере критического поведения гадолиния, для выяснения степени влияния дипольных сил на характер критического поведения нами рассматривались две модели гадолиния:

Модель Г1 - (ДУИ = 1.41x1с4 и ЛУ|./| = 0);

Модель Г2 - (Ц^И = 1.41х10"4и Д/|7] = 1.35x10'3).

В разделе 2.3 подробно рассмотрен метод исследования. Дается обобщение одно-кластерного алгоритма Вульфа для исследования моделей реального ферромагнитного гадолиния. Рассмотрены вопросы, связанные с модификацией алгоритма в случае учета одноосной анизотропии и диполь-дипольных взаимодействий. Показано, что в этом случае алгоритм следует использовать в сочетании с другими алгоритмами (например, со стандартным алгоритмом Метрополиса).

В разделе 2.4 подробно изложены основные положения теории конечно-размерного скейлинга. Даются особенности определения различных статических критических индексов и критической температуры.

Идеи, заложенные в теории КРС, позволяют экстраполировать МК результаты, полученные для систем с конечными размерами к термодинамическому пределу. Согласно теории КРС, соотношения для теплоемкости, спонтанной намагниченности и восприимчивости, приходящих на один спин, имеют вид:

С(Г,1) = /.""С0 (//,'"'), (2)

т(Т,Ь) = ит"та ([1У"), (3)

Х(Т,Ь) = П»Хо№), (4)

где [Г - Г |/7]. - приведенная температура, а, ¡3, у и у- статические

критические индексы для систем с ¿ = со, связанные скейлинговыми соотношениями:

у = Р{8-\), 2-а = 2р + у, 5 =

2-а-у

(2-7 У = у, 2-а = (1у. (5)

Выражения (2) - (4) хорошо воспроизводят критическое поведение бесконечных систем при выполнении условий ¿«1 и £—><». Справедливость теории КРС для простых моделей была показана в целом ряде исследований.

В разделе 2.5 представлены результаты исследования методом Монте-Карло критических явлений в моделях гадолиния.

Расчеты проводились для образцов кубической формы с периодическими граничными условиями (ПГУ) и размерами Ьу-ЬхЬ; Ь = 8^-40. Число спинов N в исследуемых системах при этом составляло 512-^64000. На ЭВМ генерировались марковские цепи длиной до 5x107 МК шагов/спин. Для вывода

системы в равновесное состояние отсекались неравновесные участки марковской цепи длиной до 106 МК шагов/спин. Под одним МК шагом на спин в нашем случае понимается один МК шаг на спин кластерным алгоритмом, заключающийся во включении в кластер всех спинов системы в среднем один раз, и один МК шаг на спин стандартным алгоритмом Метрополиса, заключающийся в перевороте всех спинов системы в среднем один раз. В таком сочетании, на наш взгляд, достигается максимальная эффективность метода.

Для наблюдения за температурным ходом теплоемкости С, и восприимчивости X использовались следующие соотношения;

с^т^и*)-^)1), Х = (ш11т*)-(т)г),

(6) (7)

3.5 4.0

квт

Рис.1. Температурные зависимости теплоемкости С/кв и восприимчивости х для модели Г1

где К= \J\lksT, и - внутренняя энергия, т -намагниченность системы.

На рисунке 1 представлены зависимости теплоемкости С и восприимчивости х °т температуры для модели Г1. Отметим хорошо выраженные максимумы для систем всех размеров.

Для определения критической температуры использовался метод кумулянтов Биндера четвертого порядка [4,5,7]:

0.65

0.60

0.55

0.50

0.45

Рис.2. Зависимость Кумулянта от температуры квТ/[1\ для модели Г1.

и =1- — и

лт и

(8)

4 5

ЦТ!И

где т - намагниченность системы с линейными размерами Ь.

Рассчитанные таким

образом кумулянты С^ для модели Г1 показаны на рисунке 2. Вставка на этом рисунке демонстрирует зависимость VI от температуры в критической области. Как видно из рисунка использованный метод позволяет определить критическую температуру с высокой точностью.

При расчете критических индексов намагниченности р и восприимчивости /используются следующие выражения [3-5]:

т~ L

(9) (10)

которые получаются из (3) и (4) при Т= Тс. Эти соотношения позволяют легко определить р/у и у4 у (см. рис.3.), (следует отметить, что иногда критический индекс у определяют используя вместо %(ТС) значения %тах). В то же время, данные для теплоемкости по этой схеме описать не удается. Поэтому при определении

индекса а на масштабирования используется выражение:

практике для теплоемкости следующее

у.

Рис.3. Зависимость намагниченности т от линейных размеров L системы для модели Г1 при Т=ТС = 3.1762(5).

СааЩ = Сал(Ь=со)-а17-, (11)

где а - некоторый коэффициент.

Для определения

критического индекса у нами использовалось следующее

выражение [4, 5]:

Щ = aLVv(\+bL~"),

dp\ V ' ' I max

(12)

24 28 32 3640 L

Рис.4. Зависимость 5Ul /<Э/? и V„ от линейных размеров системы L для модели Г1 при Т = Тс = 3.1762.

где р= 1 /Т (обратная температура), Ь и со- некоторые постоянные.

Следует отметить, что такими же скейлинговыми свойствами обладают и производные от логарифма любой степени намагниченности [5]:

(и=1,2,3,4), (13)

где gy_ = Const.

На рисунке 4. показаны зависимости dUi/dp и V„ от линейных размеров системы L для модели Г1 (см. уравн. 12 и 13). Как видно из рисунка, все использованные способы дают близкие значения для индекса у, что свидетельствует о высокой точности определения у. Определенные таким образом критические параметры для моделей Г1 и Г2 приведены в таблице 1.

Таблица 1.

Значения критических параметров для моделей Г1 и Г2.

Критический параметр Модель Переменная

Г1 Г2

Тс 3.1762(5) 3.1765(5) uL

v 0.710(2) 0.691(2) ям v.

a/v -0.16347 -0.17063 с

а -0.116(2) -0.118(2)

ß/v 0.50808 0.50662 т

ß 0.361(2) 1.97164 0.350(2) 1.92330

y/v X

Y 1.399(4) 1.329(4)

y/v 1.95326 1.93484 Хтах

Y 1.387(4) 1.337(4)

y/v 1.98637 1.99630 Na

Y 1.410(4) 1.379(4)

Л 0.02(1) 0.02(1) NJN

Л 0.04(2) 0.02(2) NJL2

л 0.04(2) 0.04(2) r/L1

s' 4.880(4) 4.797(4)

* - индекс рассчитан из скейлингового соотношения 3= у!¡3+1

Согласно теории КРС соотношения (2) - (4) снимают все эффекты, связанные с малостью системы [3]. Таким образом, при правильно выбранных значениях критических параметров, зависимости для намагниченности, восприимчивости и теплоемкости от скейлинговой переменной х = ¡Ь1'" после

масштабирования выражениями (2) - (4) должны ложиться на одну кривую.

На рисунке 5. представлена скейлинговая функция для

восприимчивости. Как видно из рисунка, все данные ложатся на одни и те же кривые. Таким образом, параметры системы в критической области определены правильно.

Рис.5. Конечно-размерное масштабирование восприимчивости х для модели Г1.

В главе III дается изложение квантового метода Монте-Карло. В разделе 3.1 рассмотрены основы квантового метода Монте-Карло. К настоящему времени имеются два разных подхода к использованию процедуры МК в задачах такого рода- подход Хэндскомба и подход, основанный на формуле Сузуки-Троттера для разложения экспоненциального оператора [8]:

где т - целое положительное число (число Троттера).

Формула Сузуки-Троттера переводит любую ¿/-мерную квантовомеханическую систему в (с/ + 1) - мерную классическую общего типа. В данной работе нами рассматривается подход, основанный на формуле Сузуки-Троттера. На примере одномерной квантовой ХУ2-модели со спином 5= 1Л подробно изложен механизм перехода от с/- мерной квантовой спиновой системы к (</+1) - мерной классической изинговской системе с четырехспиновым взаимодействием.

В разделе 3.2 рассматривается стандартный алгоритм квантового метода Монте-Карло (\¥ЬА). Этот алгоритм является одним из самых простых в реализации, однако он неэффективен при проведении расчетов в низкотемпературной области, а также систем больших размеров.

В разделе 3.3 подробно изложен блок-спин-кластерный алгоритм квантового метода Монте-Карло (БЭСА). Этот алгоритм является своеобразным аналогом кластерных алгоритмов, используемых в классическом методе Монте-Карло.

В разделе 3.4 рассмотрен петлевой алгоритм (ЬА) квантового метода Монте-Карло, и базовые идеи, на которых основывается петлевой алгоритм. Петлевой алгоритм является одним из самых мощных алгоритмов квантового метода Монте-Карло. Он высокоэффективен при исследовании всех моделей и позволяет исследовать достаточно большие спиновые системы при низких температурах. Петлевой алгоритм также отличается простотой при программировании и легко модифицируется при исследовании систем различной размерности и конфигурации [6].

В Главе IV Петлевым алгоритмом квантового метода Монте-Карло исследуются термодинамические свойства одномерной (1с/) и двумерной (2с/) ХХ2 - модели со спином 5= '/2.

В разделе 4.1 даются результаты исследования одномерной ХХг-модели со спином 5= Уг.

Гамильтониан квантовой ХХ2-модели со спином 5= Уг может быть представлен в следующем виде [9]:

где У > О, А = 0, 1, и -1 для ХУ-модели, ферромагнитной модели Гейзенберга и антиферромагнитной модели Гейзенберга (с соответствующим унитарным

(14)

(15)

преобразованием) соответственно. Следует отметить, что в случае антиферромагнитной модели Гейзенберга напрямую применить формулу Сузуки-Троттера не удается из-за так называемой проблемы отрицательных статистических весов [9]. В случае двухподрешеточных систем эту проблему удается решить поворотом каждого второго спина (т.е. в одной из подрешеток) вокруг оси z на 180 градусов (S" -> -S' и S' ->-S'). В результате такого унитарного преобразования положительные веса остаются неизменными, а отрицательные веса меняют знак, не изменяясь по величине [9].

Расчеты проводились для

систем с линейными размерами 1x2т (Ь - линейные размеры системы в реальном направлении, т - число Троттера), при 1=128 и т = 16; 32; 64; и 128 соответственно. Таким образом, число спинов в системе равнялось N = ¿х2т = 4096; 8192; 16384 и 32768. На систему в обоих направлениях накладывались периодические граничные условия.

На рисунке 6. представлена зависимость энергии Е от температуры Т для одномерной антиферромагнитной модели

Гейзенберга (Ш АФМГ) при различных значениях числа Троттера т, а также значения, получаемые аппроксимацией (т —> со) по формуле:

Е[т) = Е(со)+а/т2 + Ь'т4. (16)

На этом рисунке приведены и теоретические данные, полученные диагонализацией гамильтониана (15) для цепочки конечных размеров (N<11) с последующей

экстраполяцией данных к (/V -»оо) [10]. Как видно из рисунка, наши результаты находятся в хорошем согласии с теоретическими данными.

Следует также отметить, что значения энергии и температуры на этом и последующих рисунках даны в относительных единицах (в единицах обменного интеграла [/[).

-0.40

-0.45

Bonner and Fisher [10]

т = 8

—*— т - 16

—□— т= 32

—А— m = 64

— m = 128

m -* да

-0.50 0.0

Рис.6. Температурная зависимость энергии Е при различных значениях т для М АФМГ (Л = -1).

Рис.7. Температурные зависимости теплоемкости С и восприимчивости % при различных значениях т для 1(1 АФМГ.

При аппроксимации термодинамических величин использовались значения с числом Троттера от = 32, 64 и 128. Как видно из рисунка, в высокотемпературной области ошибка, связанная с конечностью Троттеровского разбиения, не существенна. Однако с понижением температуры погрешность быстро увеличивается, и при малых значениях т наблюдаются достаточно сильные отклонения от точного значения, получаемого аппроксимацией (т -> со).

На рисунке 7. представлены температурные зависимости теплоемкости С и восприимчивости х Для антиферромагнитной модели Гейзенберга, и для сравнения теоретические данные [10].

В разделе 4.2 обсуждаются результаты исследования двумерной XXX-модели со спином 5= '/г.

Расчеты проводились для систем с линейными размерами ЬххЬух4т (Ьх и Ьу - линейные размеры системы в реальных направлениях), при Ьх = Ьу = 32 л т = 8; 16; 32; и 64. Таким образом, число спинов в системе равнялось N = 32768; 65536; 131072 и 262144. На систему во всех трех направлениях накладывались периодические граничные условия.

На рисунке 8. представлена зависимость энергии Е от ♦ ТакаИаэЫ [11]

температуры Г для различных г '- ЯизИЬгооке [12]

двумерных моделей (для различных значений Л), полученные при аппроксимации (т—> со) по формуле (16). Для двумерных квантовых систем при аппроксимации

термодинамических величин

использовались значения с числом Троттера т = 16, 32 и 64. Как видно из рисунка, при низких температурах значение энергии при изменении А от 1 к -1 значительно уменьшается. Это является следствием квантовых эффектов, которые приводят к тому, что энергия основного состояния для антиферромагнитной модели Гейзенберга оказывается ниже, чем для ферромагнитной модели Гейзенберга с тем же абсолютным значением Л.

На этом рисунке приведены и теоретические данные для антиферромагнитной модели Гейзенберга, полученные на основе модифицированной теории спиновых волн [11], и высокотемпературного разложения в ряды до девятого порядка [12]. Как видно из рисунка, наши результаты хорошо согласуются с теоретическими данными как в высокотемпературной, так и в низкотемпературной областях.

д = 1.00 Д = 0.50 Д = 0.00 Д =-0.50 Д =-1.00

Рис 8 Зависимость энергии Е от температуры Т для различных 2с! моделей при аппроксимации (т а>).

На рисунке 9. даны зависимости теплоемкости С от температуры Т для различных 2с1 моделей (при разных значениях Д), полученные при аппроксимации (ти —> <ю). Для сравнения мы приводим и теоретические данные для антиферромагнитной модели Гейзенберга, полученные на основе высокотемпературного разложения в ряды [12]. Как видно из рисунка, для всех моделей наблюдаются четко выраженные максимумы. Скачки в низкотемпературной области связаны с систематической ошибкой, возникающей из-за конечности числа Троттера.

1 ЯизЬЬгооке [12]

. А = 1.00

-О- Д = 0.50

—4— Д = 0.00

—О— Д = -0.50

д = -1.00

0.10 г

ТакаИаэЫ [11] РивЬЬгооке [12]

Рис.9 Температурная зависимость теплоемкости С для различных 2(1 моделей при (т —ю>).

Рис 10 Зависимость восприимчивости Х«прг от температуры Т при различных значениях т для 2с1 АФМГ (А = -1).

На рисунке 10. представлена температурная зависимость восприимчивости %,трг для антиферромагнитной модели Гейзенберга при различных значениях числа Троттера т, и значения, получаемые при аппроксимации (т —> со). На этом же рисунке приведены и теоретические данные, полученные на основе модифицированной теории спиновых волн [11], а также высокотемпературного разложения в ряды до десятого порядка [12]. Из этих рисунков хорошо видно, что квантовый метод Монте-Карло адекватно описывает квантовые спиновые системы в широкой температурной области.

Основные результаты работы.

1. На основе экспериментальных и теоретических данных сформированы микроскопические модели реального ферромагнитного гадолиния ((?£/).

2. Проведено обобщение высокоэффективного одно-кластерного алгоритма Вульфа для исследования моделей, где несколько различных типов слабых релятивистских взаимодействий действуют одновременно на фоне друг друга, а также возможны и кроссоверные явления.

3. Высокоэффективным одно-кластерным алгоритмом Вульфа метода Монте-Карло исследованы статические критические явления в моделях реального

ферромагнитного гадолиния. Рассчитаны статические критические индексы теплоемкости а, намагниченности Д восприимчивости у, а также индекс Фишера 7 и радиуса корреляции v моделей гадолиния.

4. Установлены классы универсальности моделей гадолиния. При этом показано, что на характер критического поведения гадолиния существенное влияние оказывают изотропные диполь-дипольные взаимодействия.

5. Показано, что теория конечно-размерного скейлинга применима для исследования критических свойств моделей с возможными крое северными эффектами.

6 Квантовым методом Монте-Карло исследованы термодинамические свойства квантовых спиновых систем. Проведены высокоточные исследования систем содержащих большое количество спинов (до 262144 спинов) в широком диапазоне температур, в том числе в низкотемпературной области, вплоть до температур -0.01 У.

7. Вычислены температурные зависимости основных термодинамических функций (энергии Е, теплоемкости С, восприимчивости х) одномерных ферромагнитных и антиферромагнитных моделей Гейзенберга и ХУ-модели со спином 5= Уг.

8. Вычислены температурные зависимости основных термодинамических функций (энергии Е, теплоемкости С, восприимчивости х) двумерных ферромагнитных и антиферромагнитных моделей Гейзенберга и ХУ-модели со спином £= Уг.

9. Разработан сложный комплекс программ для ЭВМ, позволяющий проводить высокоточные исследования статических критических явлений в сложных моделях реальных магнетиков, а также термодинамических свойств квантовых спиновых систем.

Цитированная литература.

1. Ма Ш. Современная теория критических явлений / Пер. с англ. А.Н. Ермилова, A.M. Курбатова; Под ред. Н.Н. Боголюбова (мл.), В К. Федянина. -М.: Мир, 1980.-298 с.

2. Паташинский А.З., Покровский В.А. Флуктуационная теория фазовых переходов. - М.: Наука, 1982. - 380 с.

3. Камилов И К., Муртазаев А.К., Алиев Х.К. Исследование фазовых переходов и критических явлений методами Монте-Карло // УФН. - 1999. -169,№7.-С. 773-795.

4. Landau D.P. Computer simulation studies of critical phenomena // Physica A.-1994,-V. 205,-P.41 -64.

5. Binder K., Luijten E. Monte Carlo tests of renormalization-group predictions for critical phenomena in Ising models // Phys. Reports.-200l.-V.344,-P. 179 -253.

6. Evertz H.G. The Loop Algorithm // Cond-mat/9707221.

7. Биндер К. Методы Монте-Карло в статистической физике / Пер. с англ. В.Н. Новикова, К.К. Сабельфельда; Под ред. Г.И. Марчука, Г.А. Михайлова. -М.: Мир, 1982.-400 с.

8. Suzuki М. Relationship between ¿/-Dimensional Quantal Spin Systems and (d+1)-Dimensional Ising System // Progr. Theor. Phys. - 1977. - V. 56, №5. -P. 1454-1469.

9. Okabe Y., Kikuchi M. Quantum Monte Carlo Simulation of the Spin 1/2 XXZ Model on the Square Lattice // J. Phys. Soc. Jpn. - 1988. - V.57, № 12. - P.4351 -4358.

10. Bonner J.C., Fisher M.E. Linear magnetic chains with anisotropic coupling // Phys. Rev. - 1964. - V. 135, № ЗА. - P. A640 - A658.

11. Takahashi M. Modified spin-wave theory of a square-lattice antiferromagnet // Phys. Rev. B. - 1989. - V. 40, № 4. - P. 2494-2501.

12. Rushbrooke G.S., Baker G.A., Wood Jr., and P.J. in Phase Transitions and Critical Phenomena, edited by Domb C. and Green M.S. (Academic, New York, 1974), Vol. 3, Chap. 5.

Основные результаты диссертации опубликованы в следующих работах:

1. Муртазаев А.К., Алиев Х.К., Хизриев К.Ш., Эмирасланова Л.Л., Магомедов М.А. Исследование реальных магнитных систем методами компьютерного моделирования. // Тезисы межгосударственной конференции СТ + SEE'97. Махачкала: 1997,- С.61 -63.

2. Муртазаев А.К., Магомедов М.А. Решеточные модели и современные алгоритмы метода Монте-Карло. // Материалы международной конференции «Фазовые переходы и нелинейные явления в конденсированных средах». Махачкала: 2000 - С.291 - 294.

3. Murtazaev А.К., Kamilov I.K., Magomedov М.А Monte-Carlo investigation of critical phenomena in models of real magnetics with crossovers. // Abstract of Europhysics Conference on Computational Physics, Aachen, Germany - 2001. -P. B-79.

4. Муртазаев A.K., Камилов И.К, Магомедов М.А. Исследование моделей реальных магнетиков современными алгоритмами метода Монте-Карло // Материалы II всероссийской конференции ФЭ-2001. Махачкала: 2001,— С.188-191.

5. Муртазаев А.К., Камилов И.К., Магомедов М.А. Кластерные алгоритмы метода Монте-Карло, конечно-размерный скейлинг и критические индексы сложных решеточных моделей. // ЖЭТФ. - 2001. - Т. 120, № 6. - С. 1535 -1543.

6. Murtazaev А.К., Kamilov I.K., Magomedov М.А., Khizriev K.Sh. Critical properties of model of a real magnetic Gd. // Phys. Met. Met. - 2001. - V.92, Suppl.l, - P. SI 10—SI 14.

7. Муртазаев А.К., Камилов И.К., Магомедов М.А. Расчет критического индекса радиуса корреляции для модели реального магнетика методом Монте-Карло. // Труды XVIII международной школы семинара «Новые магнитные материалы микроэлектроники». Москва: 2002 -С. 107-109.

8. Murtazaev А.К., Kamilov I.K., Magomedov М.А Monte-Carlo investigation of critical phenomena in models of real magnetics with crossovers //Comp. Phys. Comm. - 2002. - V. 147/1-2. - P. 447-450.

9. Муртазаев A.K., Камилов И.К., Магомедов М.А. Исследование критических свойств моделей гадолиния методом Монте-Карло. // Труды международной конференции «Фазовые переходы, критические и нелинейные явления в конденсированных средах». Махачкала: 2002. -С.62-65.

10. Муртазаев А.К, Камилов И.К., Магомедов М.А. Исследование одномерной XXZ модели современными алгоритмами квантового метода Монте-Карло. // Труды международной конференции «Фазовые переходы, критические и нелинейные явления в конденсированных средах». Махачкала: 2002,-С.73-76.

11. Муртазаев А.К., Камилов И.К., Магомедов М.А. Исследование двумерной модели Гейзенберга квантовым методом Монте-Карло. // Труды V международного семинара «Магнитные фазовые переходы». Махачкала:

2002. - С.29 - 31.

12. Murtazaev А.К., Kamilov I.K., Magomedov М.А. Abuev Ya.K. Quantum Monte- Carlo study of a two dimensional Heisenberg model. // Abstract of International Conference on Magnetism, Roma, Italy - 2003. - P. 525.

13. Магомедов M.А., Муртазаев A.K., Камилов И.К. Исследование двумерной модели Гейзенберга квантовым методом Монте-Карло. // Труды всероссийской школы-семинара «Физика фазовых переходов». Махачкала:

2003.-С.150- 153.

14. Магомедов М.А., Муртазаев А.К., Камилов И.К. Исследование квантовых спиновых систем методом Монте-Карло. // Труды всероссийской школы-семинара «Физика фазовых переходов». Махачкала: 2003. - С. 154 - 159.

15. Муртазаев А.К., Магомедов М.А., Камилов И.К. Критические свойства моделей реального ферромагнитного Gd. // Труды всероссийской школы-семинара «Физика фазовых переходов». Махачкала: 2003. - С.160 - 162.

16. Магомедов М.А., Муртазаев А.К., Камилов И.К. Исследование критических свойств модели антиферромагнетика MnF¡ методом Монте-Карло. // Труды всероссийской школы-семинара «Физика фазовых переходов». Махачкала: 2003. - С. 163 - 164.

17. Магомедов М.А., Муртазаев А.К. Исследование квантовых спиновых систем методами Монте-Карло. // Вестник молодых ученых Дагестана -2003, № 2. - С. 95 - 98.

18. Магомедов М.А., Муртазаев А.К. Исследование моделей реальных магнитных систем методами вычислительной физики. // Вестник молодых ученых Дагестана - 2003, № 2. - С. 98 - 100.

19. Муртазаев А.К., Камилов И.К., Магомедов М.А. Исследование двумерной модели Гейзенберга квантовым методом Монте-Карло. // Труды международного симпозиума ОМА-2003. Сочи: 2003.-С. 215-216.

20. Магомедов М.А., Муртазаев А.К. Исследование двумерной модели Гейзенберга квантовым методом Монте-Карло // Труды международного семинара по проблемам магнетизма в магнитных пленках, малых частицах и наноструктурных объектах. Астрахань: 2003. - С. 61 - 62.

21. Магомедов М.А., Муртазаев А.К. Исследование критических свойств моделей гадолиния методом Монте-Карло // Труды международного семинара по проблемам магнетизма в магнитных пленках, малых частицах и наноструктурных объектах. Астрахань: 2003. - С. 63 - 64.

22. Магомедов М.А., Муртазаев А.К., Камилов И.К. Статические критические свойства модели антиферромагнетика MnF2 // Материалы III всероссийской конференции ФЭ-2003. Махачкала: 2003.- С. 241- 243.

23. Магомедов М.А., Муртазаев А.К., Камилов И.К. Исследование двумерной XY-модели петлевым алгоритмом квантового метода Монте-Карло // Материалы III всероссийской конференции ФЭ-2003. Махачкала: 2003- С. 244 - 246.

24. Муртазаев А.К., Магомедов М.А., Камилов И.К. Исследование критических свойств моделей магнетиков методами вычислительной физики // Материалы III всероссийской конференции ФЭ-2003. Махачкала: 2003.-С. 251 -254.

25. Murtazaev А.К., Kamilov I.K., Magomedov М.А , Khizriev K.Sh. Critical behavior of models of a real magnetic Gd. // Abstract of П International Conference "Physics of liquid matter: modem problems" (PLMMP-2003), Kiev, Ukraine-2003.-P.66.

».1930

РНБ Русский фонд

2004-4 26965

Подписано в печать 14.01.2004 Тираж 100 экз. Бесплатно. Отпечатано в Институте физики Дагестанского НЦ РАН. 367003, г. Махачкала, ул. М Ярагского, 94.

Содержание диссертации автор исследовательской работы: кандидата физико-математических наук, Магомедов, Магомед Алиевич

ВВЕДЕНИЕ

ГЛАВА I. КЛАССИЧЕСКИЙ МЕТОД МОНТЕ-КАРЛО.

§ 1.1. Классический метод Монте-Карло

§ 1.2. Модели, используемые при исследованиях методом

Монте-Карло

§ 1.3. Стандартный алгоритм метода Монте-Карло

§ 1.4. Кластерные алгоритмы метода Монте-Карло

§ 1.5. Граничные условия

§ 1.6. Анализ ошибок в методе Монте-Карло

ГЛАВА И. ИССЛЕДОВАНИЕ СТАТИЧЕСКИХ КРИТИЧЕСКИХ СВОЙСТВ МОДЕЛЕЙ РЕАЛЬНОГО МАГНЕТИКА Gd.

§ 2.1. Гадолиний и его статические критические свойства.

Данные лабораторных экспериментов

§ 2.2. Микроскопические модели гадолиния

§ 2.3. Метод исследования

§ 2.4. Основные положения теории конечно - размерного скейлинга

§ 2.5. Статические критические свойства моделей гадолиния.

Результаты численного эксперимента

ГЛАВА III. ИССЛЕДОВАНИЕ КВАНТОВЫХ СПИНОВЫХ СИСТЕМ МЕТОДАМИ МОНТЕ-КАРЛО.

§3.1. Квантовый метод Монте-Карло

§ 3.2. Стандартный алгоритм квантового метода

Монте-Карло

§ 3.3. Блок-спин-кластерный алгоритм

§ 3.4. Петлевой (Loop) алгоритм

ГЛАВА IV. ИССЛЕДОВАНИЕ КВАНТОВОЙ XXZ-МОДЕЛИ СО СПИНОМ /2 МЕТОДОМ МОНТЕ-КАРЛО.

§ 4.2. Исследование одномерной XXZ- модели квантовым методом Монте-Карло

§ 4.3. Исследование двумерной XXZ - модели квантовым методом Монте-Карло

Введение диссертация по физике, на тему "Исследование классических и квантовых моделей магнетиков методами Монте-Карло"

Количественное описание фазовых переходов (ФП) и критических явлений (КЯ) в различных решеточных системах до сих пор остается одной из наиболее трудных задач современной теории конденсированного состояния. В последние годы достигнут значительный прогресс в понимании коллективных явлений в твердотельных системах. В построении теории фазовых переходов наиболее продуктивными оказались методы ренормализационной группы и е- разложения [1-4], а также применение гипотезы подобия (скейлинг), основы которой были заложены в 60-х годах [9]. Это позволило глубже понять особенности поведения термодинамических систем непосредственно в критической области, выявить многие общие принципы фазовых переходов, построить уравнения состояния, рассчитать значения критических индексов для многих решеточных систем и установить связь между ними.

Существенный вклад в строгую количественную теорию кооперативных явлений в решеточных системах внесли также методы высоко- и низкотемпературных разложений [6]. Было установлено, что критические индексы не зависят от величины спина (а если и зависят то настолько слабо, что этой зависимостью даже в хорошем приближении можно пренебречь [7]) и деталей микроскопического гамильтониана. Но сильно зависят от размерности d рассматриваемой системы и числа степенной свободы параметра порядка п. Эти закономерности позволили сформулировать гипотезу универсальности для статических критических явлений. В наиболее общем виде принцип универсальности может быть сформулирован следующим образом.

Критическое поведение системы зависит от: 1. размерности пространства (решетки),

2. от числа компонент параметра порядка,

3. симметрии Гамильтониана,

4. радиуса характерного взаимодействия.

Вследствие чего, в пределах одного класса универсальности для всех систем, претерпевающих фазовый переход второго рода, критические индексы являются одинаковыми. Таким образом, в один и тот же класс универсальности попадают столь непохожие на первый взгляд системы, как жидкости, магнетики, сверхпроводники, сегнетоэлектрики и другие. Отметим также, что из этого правила имеются и исключения, среди которых можно упомянуть восьми вершинную и сферическую модели [8].

Важную роль в построении общей микроскопической теории фазовых переходов играют точные аналитические решения, которые удалось получить лишь для весьма ограниченного числа решеточных моделей. В 1925 году Изинг нашел решение для случая одномерной цепочки (в цепочке фазовый переход происходит при Г=0) [9]. В 1944 году Онзагер получил аналитическое решение для двухмерной модели Изинга в нулевом внешнем поле [10]. И доказал существование фазового перехода. В 1952 году Берлин и Кац сформулировали и строго рассчитали так называемую сферическую модель [11]. Далее, наиболее интересным результатом в этом направлении было получение Либом [8] строго решения для шести вершинной модели (модели типа льда). Имеют точное решение и некоторые другие модели, в том числе и экзотические [8]. За последние годы получено решение некоторых низко размерных систем, для чего был разработан ряд интересных методов и подходов [12].

Тем не менее, несмотря на значительные успехи теории, «создание последовательной теории фазовых переходов второго рода и родственных им переходов с учетом отличий, характерных для различных превращений остается одной из центральных проблем физики конденсированного состояния» [13, 14].

Наиболее часто используемыми моделями при описании критических явлений в решеточных системах являются модели Изинга, Гейзенберга, XY-модель, модель Поттса, а также их различные модификации. В основном эти модели являются моделями первого приближения. На их основе, с помощью вышеупомянутых теоретических методов, получена обширная информация о поведении различных термодинамических величин в широком диапазоне температур и других физических параметров. Исследования выполнены на решетках различного типа и пространственной размерности, а также при варьировании большого количества различных параметров. В последние годы методами вычислительной физики (ВФ) успешно исследуется и критическая область с вычислением значений критических индексов (КИ) и критических амплитуд (КА), при этом достигаемая точность не только не уступает, но и зачастую превосходит лучшие результаты других методов [15-22].

Естественно, что столь впечатляющие результаты не могли быть обеспечены только лишь увеличением вычислительных мощностей современных ЭВМ, без использования некоторых дополнительных идей и методов. Среди которых в первую очередь необходимо отметить, с одной стороны, разработку мощных кластерных алгоритмов метода МК специально разработанных для исследования критической области [23-25] и гистограммных методов анализа данных [26-29], с другой -использование идей, заложенных в теории конечно-размерного скейлинга (КРС) для расчета критических параметров [30-35].

Центр тяжести теоретических исследований переместился теперь к изучению более реалистичных моделей, т.е. к учету многочисленных факторов, усложняющих фазовые переходы в реальных кристаллах и не учитываемых в рамках моделей первого приближения. Такими факторами являются эффекты, связанные с наличием различных типов анизотропии, диполь-дипольных сил, учет взаимодействия следующих за ближайшими соседей, и многоспиновых взаимодействий. Необходимо учитывать также и колебания решетки, и ряд других факторов. Учет таких факторов становиться особенно важными вблизи критических температур.

Строгое исследование трехмерных микроскопических гамильтонианов сложных реальных систем методами современной теоретической физики - задача чрезвычайно сложная. В связи с этим на современном этапе значительно возрастает роль и актуальность методов вычислительной физики - различных вариантов классического [15-17, 2026, 36, 37] и квантового [38-53] методов Монте-Карло, которые позволяют успешно исследовать критические свойства систем со сложными реалистичными гамильтонианами в широком диапазоне температур и других внешних параметров. Отметим также, что, с одной стороны, данные, получаемые с помощью методов вычислительной физики, можно рассматривать как «экспериментальные» и сравнивать их с различными аналитическими приближениями, а с другой стороны — как "теоретические" и сравнивать их с соответствующими экспериментами.

Следует отметить, что использование методов вычислительной физики требует создания довольно больших и сложных программ для ЭВМ, а также проведения большой предварительной методической работы. Почти все программы весьма специфичны, требуют от программиста большого опыта и внимательности и, как правило, не могут быть использованы для решения различных задач. Тем не менее, следует признать более чем оправданными те значительные усилия, которые затрачиваются на создание и отладку подобных программ: в результате удается оценить, в какой мере обоснованы те или иные микроскопические модели, теоретические методы и эмпирические аппроксимации [55].

В данной работе рассматриваются некоторые вопросы теории статических критических явлений и фазовых переходов в решеточных моделях реальных магнитных материалов. Объектом исследования является классическая трехмерная ферромагнитная модель Гейзенберга на плотноупакованной гексагональной решетке. Рассматриваемая модель трудно поддается аналитическому описанию, особенно в области фазового перехода. В рамках этой модели методами вычислительной физики проведены исследования критических свойств реального ферромагнитного гадолиния (Gd). Имеющие в литературе экспериментальные данные по критическим свойствам этого материала противоречивы и часто не согласуются как между собой, так и с теоретическими предсказаниями. Следовательно, использование методов вычислительной физики для проведения исследований этого материала представляется оправданным [56-58].

Другим объектом исследования являются квантовые спиновые системы. Высокоэффективным петлевым алгоритмом квантового метода Монте-Карло исследуются одно- и двумерные XXZ модели со спином S= V2. Теоретическое исследование этих систем чрезвычайно затруднено, в то время как различные подходы, основанные на квантовом методе Монте-Карло, являются весьма мощными средствами для получения численных данных о поведении этих систем [13].

Таким образом, исследование ФП и КЯ, исходя из трехмерных микроскопических гамильтонианов, является важной и актуальной проблемой современной статистической физики решеточных систем. Следует также отметить, что все исследуемые модели учитывают все наиболее существенные особенности кристаллов, в том числе и слабые релятивистские взаимодействия. Это позволяет сравнивать результаты исследования методами МК не только с теоретическими предсказаниями, но и с данными лабораторных экспериментов.

Целью работы является исследование статических критических свойств сложных реалистичных моделей реальных магнетиков кластерными алгоритмами метода Монте-Карло, а также квантовых спиновых систем высокоэффективными алгоритмами квантового метода Монте-Карло. В процессе выполнения работы решались следующие основные задачи:

1. Разработка комплекса программ для ЭВМ, с помощью которого можно исследовать статические критические свойства сложных моделей реальных магнетиков;

3. Исследование высокоэффективными алгоритмами метода Монте-Карло статических критических свойств моделей реального ферромагнитного гадолиния (Gd). Определение с помощью теории конечно-размерного скейлинга статических критических индексов а, Д у, t] и v моделей гадолиния, а также их зависимость от различных параметров;

4. Проверка справедливости теории конечно-размерного скейлинга на моделях, в которых могут наблюдаться кроссоверные явления;

5. Исследование термодинамических свойств квантовых спиновых систем с помощью высокоэффективных алгоритмов квантового метода Монте-Карло, основанного на формуле Сузуки-Троттера;

Практическая ценность работы.

Полученные в диссертации результаты по исследованию статических критических свойств сложных реальных магнитных систем, а также квантовых спиновых систем, представляют интерес для дальнейших исследований в теории магнетизма, физики фазовых переходов и статистической теории твердых тел. Разработанный комплекс программ для ЭВМ формирует базу, на основе которой возможны высокоточные исследования статических критических явлений в сложных моделях реальных магнетиков, а также квантовых спиновых систем.

Проведенные исследования квантовых решеточных спиновых систем петлевым алгоритмом квантового метода Монте-Карло, основанного на формуле Сузуки-Троттера показало, что этот алгоритм является значительно более эффективным, по сравнению с другими (стандартный (World Line) и блок-спин-кластерный алгоритмы).

Научную новизну и значимость диссертации определяют основные положения, которые автор выносит на защиту:

1. Применение высокоэффективного одно-кластерного алгоритма Вульфа метода Монте-Карло для исследования моделей с кроссоверными переходами. Исследование статических критических свойств моделей реального ферромагнитного гадолиния (Gd) используя одно-кластерный алгоритм метода Монте-Карло.

2. Определение основных статических критических индексов теплоемкости а, намагниченности Д восприимчивости у, индекса Фишера 77 и критического индекса радиуса корреляции v моделей гадолиния. Доказательство влияния на характер критического поведения гадолиния изотропных диполь-дипольных взаимодействий.

4. Исследование в широком диапазоне температур высокоэффективным петлевым алгоритмом квантового метода Монте-Карло термодинамических свойств одномерных квантовых моделей: ферромагнитной и антиферромагнитной моделей Гейзенберга, XY - модели, а также промежуточных квантовых XXZ — моделей.

Апробация работы. Основные результаты диссертации докладывались на следующих конференциях, совещаниях, семинарах: Межгосударственной конференции «Компьютерные технологии в науке, экономике и образовании», CT-SEE'97 (Махачкала, 1997); Международной конференции «Фазовые переходы и нелинейные явления в конденсированных средах» (Махачкала, 2000); Международной конференции по вычислительной физике (Ахен, Германия, 2001); II всероссийской конференции по физической электронике ФЭ-2001 (Махачкала, 2001); XVIII международной школе-семинаре «Новые магнитные материалы микроэлектроники» (Москва, 2002); Международной конференции «Фазовые переходы, критические и нелинейные явления в конденсированных средах» (Махачкала, 2002) V международном семинаре «Магнитные фазовые переходы» (Махачкала,

2002); Международной конференции по магнетизму (Рим, Италия, 2003); II международной конференции по физике жидкостей (Киев, Украина, 2003); Всероссийской школе-семинаре «Физика фазовых переходов» (Махачкала,

2003).

Публикации.

1. Муртазаев А.К., Алиев Х.К., Хизриев К.Ш., Эмирасланова JUL, Магомедов М.А. Исследование реальных магнитных систем методами компьютерного моделирования. // Тезисы межгосударственной конференции СТ + SEE'97. Махачкала: 1997.-С.61-63.

2. Муртазаев А.К., Магомедов М.А. Решеточные модели и современные алгоритмы метода Монте-Карло. // Материалы международной конференции

Фазовые переходы и нелинейные явления в конденсированных средах». Махачкала: 2000 - С.291.

4. Муртазаев A.K., Камилов И.К., Магомедов М.А. Исследование моделей реальных магнетиков современными алгоритмами метода Монте-Карло // Материалы II всероссийской конференции ФЭ-2001. Махачкала: 2001-С.188-191.

6. Murtazaev А.К., Kamilov I.K., Magomedov М.А., Khizriev K.Sh. Critical properties of model of a real magnetic Gd. // Phys. Met. Met. - 2001. - V.92, Suppl. 1,-P. SI 10—S114.

7. Муртазаев A.K., Камилов И.К., Магомедов М.А. Расчет критического индекса радиуса корреляции для модели реального магнетика методом Монте-Карло. // Труцы XVIII международной школы семинара «Новые магнитные материалы микроэлектроники». Москва: 2002.-С.107-109.

8. Murtazaev А.К., Kamilov I.K., Magomedov М.А Monte-Carlo investigation of critical phenomena in models of real magnetics with crossovers //Сотр.Phys.Comm.-2002.- V.147/1-2,- P.447-450.

9. Муртазаев A.K., Камилов И.К., Магомедов M.A. Исследование критических свойств моделей гадолиния методом Монте-Карло. // Труцы международной конференции «Фазовые переходы, критические и нелинейные явления в конденсированных средах». Махачкала: 2002. -С.62-65.

10. Муртазаев А.К., Камилов И.К., Магомедов М.А. Исследование одномерной XXZ модели современными алгоритмами квантового метода Монте-Карло. //

Труды международной конференции «Фазовые переходы, критические и нелинейные явления в конденсированных средах». Махачкала: 2002. - С.73 -76.

2002. - С.29-31.

12. Murtazaev А.К., Kamilov I.K., Magomedov М.А. Abuev Ya.K. Quantum Monte-Carlo study of a two dimensional Heisenberg model. // Abstract of Internetional Conference on Magnetism, Roma, Italy - 2003. - P. 525.

13. Магомедов M.A., Муртазаев A.K., Камилов И.К. Исследование двумерной модели Гейзенберга квантовым методом Монте-Карло. // Труды всероссийской школы-семинара «Физика фазовых переходов». Махачкала:

2003.-С.150-153.

16. Магомедов М.А., Муртазаев А.К., Камилов И.К. Исследование критических свойств модели антиферромагнетика MnF2 методом Монте-Карло. // Труды всероссийской школы-семинара «Физика фазовых переходов». Махачкала: 2003.-С.163-164.

21. Магомедов М.А., Муртазаев А.К. Исследование критических свойств моделей гадолиния методом Монте-Карло //Труды международного семинара по проблемам магнетизма в магнитных пленках, малых частицах и наноструктурных объектах. Астрахань: 2003. - С. 63-64.

22. Магомедов М.А., Муртазаев А.К., Камилов И.К. Статические критические свойства модели антиферромагнетика MnF2 И Материалы III всероссийской конференции ФЭ-2003. Махачкала: 2003-С. 241-243.

25. Murtazaev А.К., Kamilov I.K., Magomedov М.А., Khizriev K.Sh. Critical behavior of models of a real magnetic Gd. // Abstract of II International Conference "Physics of liquid matter: modern problems" (PLMMP-2003), Kiev, Ukraine -2003.-P.66.

Диссертация состоит из введения, четырех глав, заключения, и списка цитированной литературы.

Заключение диссертации по теме "Физика конденсированного состояния"

ЗАКЛЮЧЕНИЕ.

В настоящей работе проведено исследование моделей сложных магнитных материалов методами численного эксперимента. Впервые высокоэффективный одно-кластерный алгоритма Вульфа применен для исследования моделей, в которых два типа слабых релятивистских взаимодействия действуют одновременно на фоне друг друга. С использованием метода Монте-Карло исследованы статические критические свойства моделей реального ферромагнитного гадолиния Gd. На основе соотношений теории конечно-размерного скейлинга рассчитаны все основные статические критические индексы этих моделей. Установлен характер критического поведения гадолиния и показано, что он в значительной мере определяется изотропными диполь-дипольными взаимодействиями.

Проведены высокоточные исследования квантовых спиновых систем высокоэффективным петлевым алгоритмом квантового метода Монте-Карло, основанного на формуле Судзуки-Троттера. Вычислены температурные зависимости основных термодинамических величин для квантовой XXZ-модели со спином S= V2 в различных размерностях.

В связи с проблемами теории фазовых переходов и критических явлений определения характера критического поведения, и классов универсальности моделей сложных магнетиков, в которых возможны кроссоверные явления, исследование этих систем представляет огромный интерес.

Так как высокоэффективным одно-кластерным алгоритмом Вульфа впервые проведены исследования критических свойств комплекса сложных моделей, то установленные при этом закономерности, а также подходы и методы, использованные при их исследовании и анализе данных, представляют также значительный методологический интерес.

Сложность рассматриваемых моделей не дает возможности провести сколько-нибудь строгие аналитические расчеты и делает целесообразным применением методов вычислительной физики. Отметим также, что высокоточные исследования критических явлений в моделях столь сложных реальных магнитных материалов выполнены впервые. Следует также отметить, что и для методов вычислительной физики упомянутые задачи являются достаточно сложными, и их решение потребовало большой предварительной методической работы и проведения значительного объема вычислений на ЭВМ.

Основные оригинальные результаты диссертационной работы могут быть сформулированы следующим образом:

1. Разработан сложный комплекс программ для ЭВМ с использованием стандартного (алгоритм Метрополиса) и кластерных (многокластерный алгоритм Свендсена-Янга и однокластерный алгоритм Вульфа) алгоритмов классического метода Монте-Карло, а также стандартного (World Line Algorithm), блок-спин-кластерного (Block-Spin-Cluster Algorithm) и петлевого (Loop Algorithm) алгоритмов квантового метода Монте-Карло, позволяющий исследовать статические критические свойства классических и квантовых магнитных систем.

2. Впервые одно-кластерный алгоритм Вульфа применен для исследования моделей, в которых два типа слабых релятивистских взаимодействия действуют одновременно на фоне друг другу. Показана возможность и эффективность применения кластерных алгоритмов для исследования сложных решеточных систем, в которых возможны кроссоверные явления.

3. На основе экспериментальных и теоретических данных сформулированы микроскопические модели реального ферромагнетика гадолиния Gd. Рассчитаны статические критические индексы теплоемкости а, намагниченности f3 и восприимчивости у. Впервые с высокой точностью рассчитан также и критический индекс Фишера //.

4. Для моделей гадолиния рассчитан и критический индекс радиуса корреляции у. Показано, что в значительной степени точность определения индекса v зависит от правильности определения критической температуры Тс. Продемонстрирована высокая точность определения Тс, методом кумулянтов Биндера.

5. Изучен и установлен характер критического поведения гадолиния. Показано, что характер критического поведения гадолиния в значительной мере определяется изотропными диполь-дипольными взаимодействиями.

6. Проведены высокоточные исследования Id и 2d XXZ-модели со спином S= Уг высокоэффективным петлевым алгоритмом квантового метода Монте-Карло. Показано, что этот алгоритм намного более эффективен по сравнению с другими алгоритмами квантового метода Монте-Карло.

7. Вычислены температурные зависимости основных термодинамических функций (энергии Е, теплоемкости С, восприимчивости х) ^ и 2d ферромагнитных и антиферромагнитных моделей Гейзенберга и XY-модели.

В заключении хотелось бы выразить глубокую благодарность моим научным руководителям член-корреспонденту РАН, профессору Камилову Ибрагимхану Камиловичу и профессору Муртазаеву Акаю Курбановичу за предложенную тему исследования, постоянное внимание и благожелательный интерес к работе, полезные обсуждения результатов и большую помощь, оказанную при выполнении настоящей работы.

Автор также глубоко признателен всем сотрудникам лаборатории «Вычислительной физики и физики фазовых переходов», принимавшим активное участие в обсуждении результатов работы.

Список источников диссертации и автореферата по физике, кандидата физико-математических наук, Магомедов, Магомед Алиевич, Махачкала

1. Вильсон К., Когут Д. Ренормализационная группа и разложение / Пер. с англ. В.А. Загребного; Под ред. В.К. Федянина. - М.: Мир, 1975.-256 с.

2. Паташинский А.З., Покровский В.А. Метод ренормализационной группы в теории фазовых переходов // УФН. 1977. - Т. 121, вып.1. -С.55-96.

3. Паташинский А.З., Покровский В.А. Флуктуационная теория фазовых переходов. М.: Наука, 1982. - 380 с.

4. Ма Ш. Современная теория критических явлений / Пер. с ант. А.Н. Ермилова, A.M. Курбатова; Под ред. Н.Н. Боголюбова (мл.), В.К. Федянина. -М.: Мир, 1980.-298 с.

5. KadanofFL.P. Scaling laws for Ising models near Tc // Physica. 1966. - V.2. - P. 263-268.

6. Фишер M. Физика критического состояния / Пер.с англ. М.Ш. Гитермана. -М.: Мир, 1968.-221 с.

7. Стенли Г. Фазовые переходы и критические явления / Пер. с англ. А.И. Мицека, Т.С. Шубиной; Под ред. С.В. Вонсовского. М.: Мир, 1973.-419 с.

8. Бэкстер Р. Точно решаемые модели в статистической механике / Пер. с англ. Е.П. Вольского, Л.И. Дайхина; Под ред. A.M. Бродского. М.: Мир, 1985. -486 с.

9. Ising Е. Beitrad zur theorie des ferromagnetismus // Z. Physik. 1925. - Bd.31, №3.-S.253-258.

10. Onsager L. Crystal statistics. 1: A two- dimensional model with an order-disorder transitions // Phys. Rev. 1944. - V.65. - P.l 17-149.

11. Berlin Т.Н., Kac M. The spherical model of a ferromagnet // Phys. Rev. 1952. -V.86,№ 6.-P.821-835.

12. Изюмов Ю.А., Скрябин Ю. Н. Статистическая механика магнитоупорядочных систем. М.: Наука, 1987. - 264 с.

13. Камилов И.К., Муртазаев А.К., Алиев Х.К. Исследование фазовых переходов и критических явлений методами Монте-Карло // Успехи физических наук. 1999. -169, № 7. - С. 773-795.

14. Гинзбург B.JI. О физике и астрофизике. М.: Наука, 1985.-400 с.

15. Chen К., Ferrenberg A.M., Landau D.P. Static critical behavior of three-dimensional classical Heisenberg models: A high-resolution Monte Carlo study // Phys. Rev. В. 1993-1. - V.48, № 5. - P.3249-3256.

16. Binder K., Luijten E. Monte Carlo tests of renormalization-group predictions for critical phenomena in Ising models // Phys. Reports. 2001. - V. 344, - P. 179-253.

17. Landau D.P. Computer simulation studies of critical phenomena // Physica A.— 1994. V. 205, - P.41.

18. Peczak P., Ferrenberg A.M., Landau D.P. High-accuracy Monte Carlo study of the three-dimensional classical Heisenberg ferromagnet // Phys. Rev. B. 1991. -V.43, № 7. - P.6087-6093.

19. Mailhot A., Plumer M.L., Caille A. Finite-size scaling of the frustrated model on a hexagonal lattice // Phys. Rev. В. 1994-11. - V.50, № 10. - P.6854-6858.

20. Loison D. Monte Carlo cluster algorithm for ferromagnetic Hamiltonians Я=./1(ВД)3 // Phys. Lett. A- 1999. V.257. - P.83-87.

21. Caparica A.A., Bunker A., Landau D.P. Classical ferromagnet with double-exchange interaction: High-resolution Monte Carlo simulations // Phys. Rev. B. -2000-11. -V.62, № 14. P.9458-9462.

22. Antonenko S.A., Sokolov A.I. Critical exponents for a three-dimensional O(n) -symmetric model with n> 3 // Phys. Rev. E. 1995. - V. 51, № 3. - P. 1894-1898.

23. Swendsen R.H., Wang J. Sh. Nonuniversal critical dynamics in Monte Carlo simulations // Phys. Rev. Lett. - 1987. - V.58, № 2. - P.86-88.

24. Wolff U. Collective Monte Carlo Updating for spin systems // Phys. Lett. 1989. -V.62, № 4. - P.361-364.

25. Swendsen R.H., Wang J. Sh., Ferrenberg A.M. New Monte-Carlo methods for improved efficiency of computer simulations in statistical mechanics: In the Monte Carlo method in condensed matter physics. Ed. K. Binder (Springer, Berlin, 1992).

26. Ferrenberg A.M., Swendsen R.H. New Monte Carlo technique for studing phase transitions //Phys. Rev. Lett.- 1988.-V. 61,№23.-R2635-2638.

27. Ferrenbeig A.M., Swendsen R.H. Optimized Monte Carlo data analysis // Phys. Rev. Lett. 1989, - V.63, № 12. - P.l 195-1198.

28. Bowen P.B. et al. Improved Monte Carlo distribution // Phys. Rev. B. 1989. -V.40, № 10.-P.7439-7442.

29. Munger E.P., Novotny M.A. Reweiting in Monte Carlo and Monte Carlo renormalisation-group studies // Phys. Rev. В. 1991. - V.43, № 7. - P.5773-5783.

30. Ferdinand A.E., Fisher M.E. Bounded and inhomogeneous Ising models. I. Specific-heat anomaly of a finite lattice // Phys. Rev. 1969. - V. 185, № 2 - P.832-846.

31. Fisher M.E., Barber M.N. Scaling theory for finite-size effects in the critical region // Phys. Rev. Lett. 1972. - V. 28, № 23. - P. 1516-1519.

32. Barber M.N. Finite-size scaling. In: Phase transitions and critical phenomena, V.8, p.l (Academic press, New York, 1983).

33. Privman V., Fisher M.E. Universal critical amplitudies in finite-size scaling // Phys. Rev. B. 1984. - V.30, № 1. - P.322-327.

34. Privman N. (Editor): Finite-size scaling and numerical simulation (Word scientific, Singapure, 1990).

35. Фишер M. Теория сингупярностей в критической точке // Устойчивость и фазовые переходы / Пер. с англ. С.П. Малышенко, Е.Г. Скроцкой. М.: Мир, 1973.-С.373.

36. Holm С., Janke W. Critical exponents of the classical three-dimensional Heisenberg model: A single-cluster Monte Carlo study // Phys. Rev. 1993-1. -V.48, № 2. - P.936-950.

37. Sweeny M. Monte Carlo study of weighted percolation clusters relevant to the Potts models // Phys. Rev. 1983-1. - V.27,- P.4445.

38. Cullen John. J., Landau D. P. Monte Carlo studies of one-dimensional quantum Heisenberg and XY Models // Phys. Rev. 1983. - V.27, № 1. - P.297-313.

39. Okabe Y., Kikuchi M. Vectorized coding for Monte Carlo Simulation of the one-dimensional quantum spin system // Phys. Rev. B. 1986. - V.34, №11.- P.7896-7900.

40. Okabe Y, Kikuchi M. Cluster-Spin Quantum Monte Carlo Study of One-Dimensional Heisenberg Model // Jour. Phys. Soc. Jap. 1987. - V.56, № 6. -P. 1963-1973.

41. Chudnovsky V. Higher-Spin Cluster Algorithms: the Heisenberg Spin and U(l) Quantum Link Models // Nucl. Phys. B. 2000. - V.83-84, - P.688-690.

42. Synge Todo, Kiyoshi Kato Cluster algorithms for generaUS" quantum spin systems // Cond-mat/9911047.

43. Okabe Y., Kikuchi M. Quantum Monte Carlo Simulation of the Spin 1/2 XXZ Model on the Square Lattice // Jour. Phys. Soc. Jap. 1988. - V.57, № 12. -P.4351-4358.

44. Nonomura Y. New Quantum Monte Carlo Approach to Ground-State Phase Transition in Quantum Spin Systems // Jour. Phys. Soc. Jap. 1998. - V.67, № 1. -P.5-7.

45. Wiese U. -J., Ying H. -P. Blockspin cluster algorithms for quantum spin systems // Phys. Lett. A. 1992. - V.168, - P. 143-150.

46. Evertz H.G The Loop Algorithm // Cond-mat/9707221.

47. Kawashima N. Cluster algorithms for anisotropic quantum spin models // Cond-mat/9506075.

48. Kawashima N., Gubernatis J.E. Generalization of the Fortuin-Kasteleyn Transformation and Its Application to Quantum Spin Simulation // Jour. Stat. Phys. 1995. - V.80, - P. 169.

49. Syljuasen O.F. Loop algorithms for asymmetric Hamiltonians // Cond-mat/9907142.

50. Kawashima N., Gubernatis J.E., Evertz H.G Loop algorithms for quantum simulations of fermion models on lattices // Phys. Rev. B. -1994. V.50, - P.136.

51. Ying H-R, Chen R An updating scheme for the loop-cluster algorithm for the anisotropic Heisenberg antiferromagnet // Phys. Lett. A. 1995. - V.208, -P.356-360.

52. Beard В., Wiese U.-J. Simulation of Discrete Quantum System in Continuous Euclidean Time // Phys. Rev. Lett. 1996. - V.77, №25. - P.5130-5133.

53. Ammon В., Evertz H.G, Kawashima N. et all. Quantum Monte Carlo loop algorithm for the /-Jmodel // Phys. Rev. B. 1998-11. - V.58, №8. - P.4304-4319.

54. Биндер К. Методы Монте-Карло в статистической физике / Пер. с англ. В.Н. Новикова, К.К. Сабельфельда; Под. ред. Г.И. Марчука, Г. А. Михайлова. М.: Мир, 1982.-400 с.

55. Муртазаев А.К. Исследование критических явлений в моделях реальных магнетиков методами вычислительной физики: Диссертация докг. физ.-мат. наук СПбГУ- СПб., 1999.-280с.

56. Murtazaev А.К., Kamilov I.K., Magomedov М.А., Khizriev K.Sh. Critical properties of model of a real magnetic Gd. // Phys. Met. Met. 2001. - V.92, -P. S110-S114.

57. Муртазаев A.K., Камилов И.К., Магомедов M.A. Кластерные алгоритмы метода Монте-Карло, конечно-размерный скейлинг и критические индексы сложных решеточных моделей. // ЖЭТФ -2001.-120, №6. С. 1535-1543.

58. Murtazaev А.К., Kamilov I.K., Magomedov M.A. Monte-Carlo investigation of critical phenomena in models of real magnetics with crossovers. // Сотр. Phys. Commun. 2002. - V. 147. - P.447-450.

59. Metropolis N., Rosenbluth W., Rosenbluth N. et al. Equation of state calculations by fast computing machines //Jour. Chem. Phys. 1953. - V.21, № 6. - P. 10871092.

60. Wood W.W., Parker F.R. Monte-Carlo equation of state of molecules interactions with the Lenard-Jones potential. I: A supercritical isoterm at about twice the critical temperature // Jour. Chem. Phys. -1957. V.27, №3. - P. 720-733.

61. Вуц B.B. Исследование моделей простых жидкостей методом Монте-Карло // Физика простых жидкостей / Под ред. Х.М. Темперли, Д.С. Роулинсон, Т.С. Рашбрука. М.: Мир, 1978.

62. Fosdik L.D. Studies of Monte Carlo method applied to the Ising lattice problem // Bull. Amer. Phys. Soc. 1957. - V. 2, № 4. - P. 239.

63. Landau D.P. Finite-size behavior of the Ising square lattice // Phys. Rev. В. 1976. -V. 13, N7.-P. 2997-3011.

64. Landau D.P. Finite-size behavior of the simple-cubic Ising lattice // Phys. Rev. B. -1976. V. 14, N 1. - P. 255 - 262.

65. Landau D.P. Critical behavior of bbc Ising antiferromagnet in a magnetic field // Phys. Rev. В. 1977. - V. 16, N 9. - P. 4164 - 4170.

66. Binder K. Thermodynamics of finite spin systems // Phys. Stat. Sol. B. — 1971. — V.46, N 2. P. 567 - 577.

67. Landau D.P. Critical behavior of bbc Ising antiferromagnet in a magnetic field // Phys. Rev. В. 1977. - V. 16, N 9. - P. 4164 - 4170.

68. Hua L., Tucker J.W. Monte Carlo study of the anisotropic cubic spin-one Ising ferromagnet. // Jour. Magn. and Magn. Mater. 1995. - V.140-144, N 3. - P.l 509 -1510.

69. Aoyama Y., Chen W., Tanaka M. Monte Carlo studies on phase transitions of the two-dimensional S = 1 Ising model with biquadratic interaction //Jour. Phys. Soc. Jap. 1997. - V. 66, N 1. - P. 272 - 273.

70. Newman M.E.J., Barkema GT. Monte Carlo study of the random-field Ising model // Phys. Rev. E. 1996. - V. 53, N 1. - P. 393 - 404.

71. Gavlinski E.T., Kumar S., Grant M., Gunton J.D., Kaski K. Breakdown of self-similar scaling in the two-dimensional random-field Ising model: A Monte Carlo study // Phys. Rev. В. 1985. - V. 32. - P. 1575 - 1580.

72. Dekker С., Dikken B.J., Arts A.F.M. Monte Carlo investigation of diluted antiferromagnets in high magnetic fields // Sol. Stat. Com. 1985. - V.54, N 10. -P. 887-889.

73. Nagai O., Yamada Y., Nishino K., Miyatake Y. Monte Carlo studies of Ising ferromagnets and the Villain model in transverse fields // Phys. Rev. B. 1987. -V. 35, N7.-P. 3425-3430.

74. Bidaux R., Boccara N. Order of phase transition in a three-dimensional Ising model with three-spin interactions // Phys. Rev. В. -1986. V. 34, N 7. - P. 4881 -4884.

75. Danino M. Ising lattices with four-spin interactions // Sol. Stat. Comm. 1984. -V.52, N 10. - P. 885 - 888.

76. Coppersmith S.N. Low-temperature phase of a stacked triangular Ising antiferromagnet // Phys. Rev. В. 1985. - V. 32, N 3. - P. 1594 - 1594.

77. Kimel J.D., Black S., Carter P., Wang Y.L. Monte Carlo study of the antiferromagnetic two-dimensional Blume-Capel model // Phys. Rev. B. 1987. — V. 35, N7.-P. 3347-3353.

78. Kerler W., Rehberg P. Cluster mechanisms in the fully frustrated Ising model // Phys. Rev. В. 1994. - V. 49, N 14. - P. 9688 - 9696.

79. Binder K., Landau D.P. Phase diagrams and critical behavior in Ising square lattices with nearest- and next-nearest-neighbor interactions // Phys. Rev. B. -1980.-V. 21, N5.-P. 1941-1962.

80. Oitmaa J., Fernandez J.F. Phase transition in type-I fee Ising antiferromagnets // Phys. Rev. B. 1989. - V. 39, N 16B. - P. 11920 - 11927.

81. Hernandez L., Ceva H. "2+4" model: A Monte Carlo study // Phys. Rev. B. -1991.-V. 43, N 1. P. 698 - 704.

82. Ledue D., Landau D.P., Teillet J. Static critical behavior of the ferromagnetic Ising model on the quasiperiodic octagonal filing // Phys. Rev. B. 1995. - V. 51, N 18. -P. 12523-12530.

83. Janke W., Katoot M., Villanova R. Single-cluster Monte Carlo study of the Ising model on two-dimensional random lattices // Phys. Rev. B. 1994. - V. 49, N 14. -P. 9644-9657.

84. Buendia GM., Cardona R. Monte Carlo study of a mixed spin-3/2 and spin-1/2 Ising ferrimagnetic model // Phys. Rev. B. -1999. V. 59, №10. - P. 6784 - 6789.

85. Fisher M., Barber M.N. Scaling theory for finite-size effects in the critical region // Phys. Rev. Lett. 1972. - V. 28. - P. 1516 - 1519.

86. Barma M., Shastry B. S. Classical equivalents of one-dimensional quantum-mechanical systems // Phys. Rev. B. 1978. -V. 18, №7. - P. 3351 - 3359.

87. Suzuki M. Relationship between d-Dimensional Quantal Spin Systems and (d+ l)-Dimensional Ising System // Progr. Theor. Phys. 1977. - V. 56, №5. -P. 1454-1469.

88. Муртазаев A.K. Исследование кооперативных явлений в решеточных моделях магнетиков и сегнетотоэлектриков методами численного эксперимента: Диссертация канд. физ.-мат. наук ЛГУ им. А.А. Жданова. — Л., 1987.-180с.

89. Binder К., Rouch Н., Wildpaner V. Monte Carlo calculation of the magnetization superparamagnetic particles // Phys. Chem. Sol. 1970. - V.31. - P. 391 - 397.

90. Фаворский И.А., Воронцов-Вельяминов П.Н., Камара Сейдуба, Рощиненко О.М., Громова Н.Б. Моделирование магнитных кластеров методом Монте-Карло. Киев: Препринт ИТФ АН УССР, ИТФ-85-93Р, 1985. - С. 23.

91. Nijmeijer M.J.P., Weis J.J. Monte Carlo simulation of the ferromagnetic order-disorder transition in a Heisenberg fluid // Phys. Rev. E. 1996. - V. 53, N 1. - P. 591-600.

92. Муртазаев A.K. Моделирование малых магнитных частиц V2O3. // Математическое моделирование. 1992. - Т.4, № 9. - С. 114-120.

93. Муртазаев А. К., Фаворский И. А. Моделирование малых магнитных частиц Сг203 и Fe203. // Физика низких температур. 1993.- Т. 19, № 2. - С. 160-164.

94. Муртазаев А. К., Алиев Х.К., Камилов И. К., Хизриев К.Ш. Критическое поведение малых магнитных частиц СГ2О3. // Физика низких температур. -1998.- Т.24, № 5. С.462-467.

95. Goodman J., Sokal A.D. Multigrid Monte Carlo method for lattice field theories // Phys. Rev. Lett. 1986. - V.56, № 10. - P. 1015-1018.

96. Creutz M. Overrelaxation and Monte-Carlo simulation // Phys. Rev. D. 1987. -V. 36,№2.-P. 515-519.

97. Brown F.R., Woch T.J. Overrelaxed heat-bath and Metropolis algorithms for accelerating pure gauge Monte Carlo calculations //Phys. Rev. Lett. 1987. - V.58, №23. -P. 2394-2396.

98. Schmidt К. E. Using renormalization-group ideas in Monte Carlo sampling // Phys. Rev. Lett. 1983. - V.51, № 24. - P.2175-2178.

99. Campos P.R.A., Onody R.N. Single-cluster algorithm for the site-bond-correlated Ising model // Phys. Rev. B. 1999-11 - V.56, № 22. - P. 14529-14531.

100. Swendsen RH., Wang J.-S. Replica Monte Carlo simulation of spin-glasses // Phys. Rev. Lett. 1986. - V.57, № 21. - P. 2607-2609.

101. Hokushima K., Nemoto K. Exchange Monte Carlo method and application to spin glass simulations // Jour. Phys. Soc. Jap. 1996. - V.65, № 6. - P. 1604-1608.

102. Wang J-S., Swendsen R. H. Low-temperature properties of th±J Ising spin glass in two dimensions // Phys. Rev. B. 1988. - V.38, № 7. -P.4840-4844.

103. Wang J-S., Swendsen R H. Monte Carlo and high-temperature-expansion calculations of a spin-glass effective hamiltonial // Phys. Rev. B. 1988. - V.38, №13.-P. 9086-9092.

104. Wansleben S., Landau D.P. Monte Carlo investigation of critical dynamics in three-dimensional Ising model // Phys. Rev. B. 1991. - V.43, № 7. - P.6006-6014.

105. Kikuchi M., Ito N. // Jour. Phys. Soc. Jap. 1993. - V.62, - P.3052.

106. Wolff U. // Phys. Lett. A. 1989. - V.228, - P.379.

107. Bednarz G, Geldart D.J.W., Maiy Anne White. Heat capacity of gadolinium near the Curie temperature // Phys. Rev. В. 1993-1. - V.47, № 21. - P. 14247-14259.

108. Андрианов A.B., Бучельников В.Д., Васильев A.H. и др. Электромагнитное возбуждение ультразвука в гадолинии// ЖЭТФ. 1988. - Т.94, вып. 11. — С.277-288.

109. Белов К.П., Белянчикова М.А., Левитин Р.З., Никитин С.А. Редкоземельные ферро- и антиферромагнетики. М.: Наука, 1965. - 319с.

110. Вонсовский С.В. Магнетизм. М.: Наука, 1971. - 1032 с.

111. Белов К.П., Звездин А.К., Кадомцева A.M., Левитин Р.З. Ориентационные переходы в редкоземельных магнетиках. М.: Наука, 1979. - 320 с.

112. Gable J.W., Wolkon Е.О. Neutron diffraction study of the magnetic behaviour of Gadolinium//Phys. Rev.- 1968.-V.165,№2.-P.733-734.

113. Кучин B.M., Соменков B.A., Шильштейн С.Ш., Патрикеев Ю.Б. Нейтронографическое исследование монокристалла Gd // ЖЭТФ. 1968. -Т.55, вып. 4( 10). - С. 1241-1247.

114. Yang Т.Т. Anisotropy constants of gadolinium and cobalt // Jap. Jour. Appl. Phys. -1976. V. 15, № 2. - P.279-282.

115. Child R.H. Magnetic short-range order in Gd // Phys. Rev. B. 1978.-V. 18, № 3. -P. 1247-1252.

116. Chowdhuiy A.R., Collins GS., Hohenemser Ch. Static universality class implied by the critical exponents of Gd // Phys. Rev. B. 1986. -V.33, №9. - P.6231-6234.

117. Geldart D.J.W., Debell K., Cook J., Laubitz M.J. Dipole-dipole interactions and the critical resistivity of gadolinium // Phys. Rev. B. 1987. - V.35, №16. -P.8876-8879.

118. Vincentini-Missoni M., Joseph R.I., Green M.S., Sengers J.M.H.L. Scaled equation of state and critical exponents in magnets and fluids // Phys. Rev. B. -1970. V. 1, № 5. - P.2312-2331.

119. Lewis E.A.S. Heat capacity of gadolinium near the Curie point // Phys. Rev. B. -1970. V.l, №11. - P.4368-4377.

120. Simons D.S., Salamon M.B. Specific heat and resistivity of gadolinium near Curie point in external fields // Phys. Rev. В. 1974 - V. 10, № 11. - P.4680-4686.

121. Wantenaar GH.J., Campbell S.L., Chaplin D.N. et.al. High-temperature critical susceptibility of gadolinium // Phys. Rev. B. 1984. - V.29, № 3. - P.1419-1424.

122. Hargaves P., Dunlap R.A., Geldart D.J.W., Ritcey S.P. Critical magnetic susceptibility of gadolinium//Phys. Rev. В. 1988.-V.38,№4.-P.2862-2864.

123. Doleisi D.A., Swenson S.A. Experimental thermal expansivities for single-crystal Gadolinium metal near the Curie temperature// Phys. Rev. В. -1981. V.24, №11. -P.6326-6335.

124. Robinson K., Lanchester P.C. The critical thermal expansion of gadolinium // Phys. Lett. A. 1978. - V.64, №5. - P.467-469.

125. Molho P., Portosseill J.L. Magnetic histeresis near the Curie temperature of Gd // Jour. Magn. Magn. Mater. 1983. - V.31-34. - P1023-1024.

126. Saleh A.J., Saunders N.H. Transport and magnetic properties of gadolinium in the in the critical region // Jour. Magn. Magn. Mater. 1982. - V.29, № 1-3. P. 197202.

127. Heller P. Experimental investigations of critical phenomena// Rep. Prog. Phys. — 1967.-V.30.-P.731-826.

128. Grahem C.D. Some magnetic properties of single crystals // Jour. Appl. Phys. -1963. V.34. - P.l341 -1342.

129. Deschizeaux M.N., Develey G Equation magnetic detat du gadolinium av voisinage du point de Curie // Jour, de Phys. 1971. - V.32, № 2-3. - P. CI-648 -CI-649.

130. Алиев X.K., Камилов И.К., Омаров O.M. Статическое критическое поведение гадолиния//ЖЭТФ.- 1988.- Т.94,№11.-С.153-163.

131. Michael N. Barber, R.B. Pearson, Doug Toussaint Finite-size scaling in three-dimensional Ising model // Phys. Rev. B. 1985. - V.32, № 3. - P. 1720-1730.

132. Ferrenberg A.M., Landau D.P. Critical Behavior of the three-dimensional Ising model: A high-resolution Monte Carlo study // Phys. Rev. B. 1991-II. - V.44, № 10.-P.5081-5091.

133. Lyklema J.W. Quantum-Statistical Monte Carlo Method for Heisenberg Spins // Phys. Rev. Lett. 1982. - V.49, № 2. - P.88-90.

134. Lyklema J.W. Monte Carlo study of the one-dimensional quantum Heisenberg ferromagnet near T= 0 // Phys. Rev. В. -1983. V.27, № 5. - P.3108-3110.

135. Suzuki M. Transfer-matrix method and Monte Carlo simulation in quantum spin systems // Phys. Rev. В. 1985. - V.31, № 5. - P.2957-2965.

136. Sandvik A.W., Hamer C.J. Ground state parameters, finite-size scaling, and low-temperature properties of the two-dimensional 5=1/2 XY model // Cond-mat/9904220.

137. Fridkin V., Stroganov Yu., Zagier D. Finite Size XXZ Spin Chain with Anisotropy Parameter A= 1/2 // Jour. Stat. Phys. 2001. - V. 102, № 3. - P.781-794.

138. Hirata S, Nomura K. Phase diagram of 5=1/2 XXZ chain with next-nearest-neighbor interaction // Phys. Rev. B. 2000-11. - V.61, № 14. - P.9453-9456.

139. Reger J.D., Young A.P. Monte Carlo simulations of the spin-1/2 Heisenberg antiferromagnet on a square lattice // Phys. Rev. B. 1988. - V.37, № 10. -P.5978-5981.

140. Makivic M.S., Ding H.Q. Two-dimensional spin-1/2 Hesenberg antiferromagnet: A quantum Monte Carlo Study // Phys. Rev. В. -1991 -V.43, № 4.- P.3562-3574.

141. Harada K., Kawashima N. Kosterlitz-Thouless Transition of Quantum AT Model in Two Dimensions // Jour. Phys. Soc. Jap. 1998. - V.67, № 8. - P.2768-2776.

142. Harada K., Troyer M., Kawashima N. The Two-Dimensional 5=1 Quantum Heisenberg Antiferromagnet at Finite Temperatures // Jour. Phys. Soc. Jap. 1998. -V.67, №4.-P. 1130-1133.

143. Sandvik A.W. Classical percolation transition in the diluted two-dimensional 5= 1/2 Heisenberg antiferromagnet // Phys. Rev. B. 2002. - V.66. - P.24418-24434.

144. Handscomb D.C. The Monte Carlo method in quantum statistical mechanics // Proc. Camb. Phys. Soc. 1962. - V. 58, № 2. - P. 594-598.

145. Handscomb D.C. Monte Carlo method and the Heisenberg ferromagnet // Proc. Camb. Phys. Soc.- 1964.-V.60,№ l.-P. 115-121.

146. Lee D.H., Joannopoulos I.D., Negele I.W. Monte Carlo solution of antiferromagnetic quantum Heisenberg spin systems // Phys. Rev. B. 1984. -V. 30, №3.-P. 1599-1602.

147. Sandvik A.W., Kurkijarvi J. Quantum Monte-Carlo simulation method for spin systems//Phys. Rev. B. 1991. - V. 43, № 7. - P. 5950-5961.

148. Аплеснин C.C. Исследование 2D-модели Гейзенберга с S= 1/2 квантовым методом Монте-Карло // ФТГ. 1999. - Т.41, № 1. - С. 116-121.

149. Wiessler A. A note on the Monte Carlo simulation of one dimensional quantum spin systems // Phys. Lett. A - 1982. - V. 82, № 7. - P. 359.

150. Prokofev N.V., Svistunov B.V., Tupitsyn I.S. Exact, complete, and universal continuous-time worldline Monte Carlo approach to the statistics of discrete quantum systems // ЖЭТФ. 1998. - Т. 114, вып. 2(8) - С. 570-590.

151. Bonner J.C., Fisher M.E. Linear magnetic chains with anisotropic coupling // Phys. Rev.- 1964.-V. 135,№3A.-P.A640-A658.

152. De Jongh L.J., Miedema A.R. Experiments on simple magnetic model systems // Advances in Physics. 1974. - V. 23, № 1. - P. 1 -260.

153. Takahashi M. Modified spin-wave theory of a square-lattice antiferromagnet // Phys. Rev. B. 1989. - V. 40, № 4. - P. 2494-2501.

154. Rushbrooke GS., Baker GA., Wood Jr., and P.J. in Phase Transitions and Critical Phenomena, edited by Domb C. and Green M.S. (Academic, New York, 1974), Vol. 3, Chap. 5.

155. Sandvik A.W. Stochastic series expansion method with operator-loop update // Cond-mat/9902226.