Термодинамические свойства низкоразмерных ифрустрированных магнетиков в рамкахсамосогласованной спин-волновой теории тема автореферата и диссертации по физике, 01.04.07 ВАК РФ

РГб од

\

2 5 НОЯ Ш

Катании Андрей Александрович

Термодинамические свойства низкоразмерных и фрустрированиых магнетиков в рамках самосогласованной спин-волиовой теории

01.04.07 - физика твердого тела

Автореферат диссертации на соискание > *

ученой степени кандидата физико-математических наук '

Екатеринбург 1996

Работа выполнена в Институте физики металлов Уральского отделения Российской Академии Наук

Научный руководитель - доктор физико-математических наук

М.И. КАЦНЕЛЬСОН

Официальные оппоненты - доктор физико-математических наук

М.В.МЕДВЕДЕВ

доктор физико-математических наук Н.Г. БЕБЕНИН

Ведущая организация - Уральский государственный университет им. А.М.Горького

Защита состоится " "_ 1996 г. в

часов на

заседании диссертационного совета К.002.03.01 в Институте физики металлов УрО РАН по адресу: 620219 г. Екатеринбург ул. Софьи Ковалевской, 1§. ■ ' .

Автореферат разослан " " 1996 г.

Ученый секретарь ^^ кандидат физико-математических наук диссертационного ^ старший научный сотрудник

совета К002.03.01 ' В.Р.Галахов

Общая характерйстика работы

Актуальность темы. В связи с открытием ВТСП исследование низкоразмерных магнетиков представляет одно из актуальных и быстроразвивающихся направлений развития магнетизма. Это, в частности, относится и к локализованным магнетикам, описываемым моделью Гейзенберга.

Наряду со строгими методами (квантовый метод Монте-Карло, метод ренормгруппы) представляют интерес также простые приближенные методы. В частности, стандартная спин-волновая теория дает хорошие результаты при низких температурах. Однако с' повышением температуры роль взаимодействия спиновых воль, не учитываемого в рамках стандартной спин-волновой теории, становится существенной. Кроме того, последняя не продолжается на парамагнитную фазу. Предложенная в пионерских работах [1,2] самосогласованная спин-волновая теория (ССВТ) частично устраняет эти недостатки. Исходно эта теория была сформулирована для двумерных магнетиков, при этом ее результаты совпадают с результатами однопетлевого ренормгруппового анализа.

В то же время большинство экспериментальных систем обладают малым межслоевым обменом и/или анизотропией типа "легкая ось". В отличие от двумерных изотропных магнетиков в указанных системах наблюдается конечное значение температуры магнитного фазового перехода Ти. При этом ближний магнитный порядок наблюдается экспериментально вплоть до Т~ 2 Ги.

В связи с изучением ВТСП-соединений представляет интерес влияние допирования на магнитные свойства. При этом большое внимание уделяется исследованию фрустрированных систем, т.е. систем с подавленной намагниченностью. В рамках модели

Гейзенберга допирование может моделироваться введением взаимодействия между соседями, следующими за ближайшими. Хотя возможность моделирования допирования посредством введения конкурирующих обменных взаимодействий не очевидна, рассмотрение фрустрированных магнетиков представляет как теоретический, так и экспериментальный интерес.

Другой близкий вопрос - вопрос о влиянии примесей на магнитные свойства системы. Хотя в рамках модели Гейзенберга возможно лишь исследование влияния неподвижных примесных центров, рассмотрение этой проблемы также оправдано, поскольку такая ситуация реализуется экспериментально, например в случае Zn в ЬагСиО*. При малой концентрации неподвижных примесей их можно считать невзаимодействующими, что дает возможность совершить переход к однопримесной задаче.

В последнее время большой интерес привлечен также к исследованию нового класса магнитных материалов, проявляющих низкоразмерные свойства - магнитных пленок в 1-100 слоев, напыленных на немагнитную подложку. Магнитные свойства пленок существенно зависят от их толщины, а также от величины магнитной анизотропии.

Таким образом, очерчен круг задач, актуальных как с экспериментальной, так и с теоретической точки зрения, а также представляющих интерес для рассмотрения с помощью самосогласованной спин-волновой теории.

Пели работы.

1. Применение самосогласованной спин-волновой теории (ССВТ) к квазидвумерным магнетикам и двумерным магнетикам со слабой анизотропией типа "легкая ось", фрусгрированным магнетикам и к

неоднородным системам: магннтнйм пленкам и магнетикам со слабомагнитными примесями.

2. Исследование в рамках ССВТ роли квантовых флуктуации и величины ближнего магнитного порядка в указанных системах.

Научная новизна.

Предложено обобщение самосогласованной спин-волновой теории на квазидвумерные и слабоанизотропные двумерные магнетики, основанное на вариационном принципе Фейнмана-Пайерлса-Боголюбова и позволяющее избежать появления нефизических особенностей термодинамических величин в окрестности температуры Кюри (Нееля).

В рамках самосогласованной спин-волновой теории исследовано влияние взаимодействия спиновых волн на фазовые диаграммы фрустрированных систем.

Рассматривается применение самосогласованной спин-волновой теории к тонким магнитным пленкам и к задаче о слабомагнтной примеси в магнитной матрице. Найдено пространственное распределение намагниченности и параметров ближнего порядка в указанных системах.

Научная и практическая ценность.

Полученные в работе результаты для низкоразмерных систем могут быть полезны при анализе экспериментальных данных. В этом отношении особенно существенно исследованное в работе влияние перенормировки обменных взаимодействий на магнитные характеристики низкоразмерных систем.

С теоретической точки зрения, подробно исследованная в работе самосогласованная спин-волновая теория может служить основой для

более серьезных исследований роли флуктуаций в иизкоразмерных системах.

На защиту выносятся следующие положения:

1. Результаты исследования температурной зависимости параметров ближнего и дальнего порядка в квазидвумерных магнетиках и двумерных магнетиках со слабой анизотропией типа "легкая ось", а также асимптотические формулы для температур Кюри (Нееля) при малых величинах межслоевого обмена и анизотропии в этих случаях.

2. Результаты исследования зависимости подрешеточиой намагниченности фрустрированных антиферромагнетиков от величин обменных интегралов в первой и второй координационной сферах, а также фазовых диаграмм этих систем.

3. Исследование неоднородного распределения намагниченности и параметров ближнего порядка в ферромагнитных пленках и в окрестности слабомагнитной примеси, помещенной в магнитную матрицу.

Апробация реэульатов работы.

Результаты диссертации докладывались на семинарах в Институте Физики Металлов УрО РАН г. Екатеринбурга и на конференциях: Всесоюзной конференции по магнетизму (Ташкент, 1991), "Коуровка-94", Международной конференции по магнетизму (Варшава, 1995).

Публикации. Материал диссертации опубликован в 6 работах, список которых приводится в конце автореферата.

Структура и объем диссертации. Диссертация состоит из введения, четырех глав, заключения и списка литературы. Содержит 98 страниц, 30 рисунков и I таблицу. Список литературы включает 51 наименование.

Краткое содержание работы

Во введении обоснована актуальность темы, сформулирована цель и основные задачи работы, дана краткая характеристика основных результатов диссертации и сформулированы положения, выносимые на защиту.

Первая глава носит преимущественно вводный характер. В ней излагаются варианты построения самосогласованной спин-волиовои теории двумерных гейзенберговских магнетиков, предложенные в работах УовМока [I] и ТакаЬаБМ [2] и основанные на представлении швингеровских бозонов

£ (!)

.г,^ + = 2.9 (2)

и представлении Дайсона-Малеева

. 5г«/>;, = сгЯ/= Я-¿>;Л, (З)

соответственно. При этом для учета условий, ограничивающих число частиц: условия (2) в представлении швингеровских бозонов и дополнительного условия >= 0, вводимого в представлении

Дайсона-Малеева, вводится химический потенциал бозонов ¡л. В основе самосогласованной спин-волновой теории лежит расцепление чет верных форм в гамильтониане, образующихся после применения представлений (1) или (3), до квадратичных. Так, при использовании

представления Дайсона-Малеева в ферромагнитном случае вводятся средние у =<Ь*Ь1 >, где и - ближайшие соседи. После расцепления четверных по бозе-операторам членов гамильтониан принимает вид

к (4)

yk=2Jy(coskx+cosky)< Л'у, ц.

Уравнения для у и X имеют вид

к •'о I .

При Т = 0 уравнения (5) не имеют решений с Л > у0 (у„ в поскольку в этом случае № = 0. При Л = у0 спектр £\ становится бесщелевым; поскольку число бозоноч фиксировано условием 5=0, Э1р означает, что образуется конденсат:

\ л; + пид\„, (6)

где пь представляет из себя плотность конденсированных бозонов. При этом уравнения (5) приводят к результату

«в=у = 5, (Т = 0). (7).

При Т > 0 имеем Л > у0 и конденсат отсутствует. В этом случае

1-Лт

Л-У,, +JlC1, /с = -^—ех$(-ггХпв /27) (8)

Аналогично, для антиферромагнетика находим при Т=()

+^-1-г ^ ' —==55-0.1966. . (9) Л1 - ^¡п кх + бш^,)1

При Г>0 по-прежнему справедлив результат (8).

Вычисление корреляционных функций показывает, что пв определяе; (подрешегочнут ) намагниченность в основном состоянии, при лом найденный результат (9) совпадает с результатом стандартной снин-волновон теории. Величина ус определяет обратную

корреляционную длину. Результат (8) находятся в согласии с результатами однопетлевого ренормгруппового анализа [3].

Во второй главе рассматривается возможность обобщения изложенного в Главе 1 подхода на квазидвумерные магнетики и двумерные магнетики со слабой анизотропией типа "легкая ось". Для эгого используется формулировка ССВТ на основе вариационного принципа Фейнмана-Пайерлса-Боголюбова

(10)

Применение вариационного принципа позволяет освободиться от рада нефнзических особенностей, возникающих при непосредственном обобщении подхода Главы I на квазидвумерные и слабоанизотропные двумерные магнетики. Использование при этом представления Барьяхтара-Крнворучко-Яблонского

5Г = 6;, # = (25-ь;ь.)ь, -2(25+ !)с4*сД, Я-¿>;ь(-(25+1)0,4, • являющегося обобщенней использованного выше пред ста вланш Дайсона-Малеева, дает возможность произвести частичный учет не только динамического, но и кинематического взаимодействия спиновых волн. Здесь Ь,Ь* - операторы идеальных магнонов Дайсона Малеева, а с,с* - фериионные операторы, введетше для учета кинематического взаимодействия.

Пробный гамильтониан //„ выбирался в виде

с вариационным параметром £ определяющим перенормировку обменного взаимодействия. Гамильтониан (12) описывает систему невзаимодействующих бозонов и фермионов, отличаясь множителем £ от гамильтониана модели Гейзенберга в обычном спин-волновом приближении, и его использование в качестве пробного предполагает спин-волновой характер спиновой динамики в рассматриваемой области температур. В работе анализируется классический предел

га та

Рис. 1. Температурная зависимость намагниченности и параметра ближнего порядка квазидвумерных ферромагнетиков (5' = 1/2).

полученных уравнений (они отличаются от уравнений теории молекулярного поля на поправки, малые по //¡г), а также численно-исследуются температурные зависимости параметров ближнего и дальнего порядка при конечных значениях спина (см. Рис. 1).

В предельном случае малого межслоевого обмена могут быть получены аналитические выражения для намагниченности и величин температур Кюри (Нееля).

(А). Случай низких температур Т « J'. Имеем обычное сшш-волновое поведение намагниченности

5(0) - 5= — , ' АРМ

24 \ 8/

где <;(\> - функция Рнмана.

(Б). Случай не очень низких температур 5" | « Т « JS. Имеем, Т 2Т 4ж/5 /5

т т2 (14> 5(0)---1п-—™-г, АРМ,

где 5(0) и - соответствующие величины для антиферромагнетка с

квадратной решеткой при Т-0(для 8 = 1/2 5(0) = 0.3034 и 1.1571).

В частности, при 5 = 0 выражения (14) определяют значение Тк( в квантовом случае 1п(///) » 2я5:

с~1п(277/5)' " 1п(Г2 /852.//£,*) 1

При достаточно больших спийах (1 « 1п(//У) « 2л5) имеет место результат

"ЩггЧиУ V4

независимо от знаков обменных взаимодействий.

В Главе 2 исследуется также влияние анизотропии типа "легкая ось". В частности, показывается, что результаты (15), (16) справедливы также в пределе слабой анизотропии ц->0{г}- параметр анизотропии) с заменой J'/J -¿цЗ.

На рис. 2 приведены результаты сравнения численных расчетов с экспериментальными данными для КлМРч. ССВТ приводит к удовлетворительному согласию теории с экспериментом вплоть до Т ~

Ты/2, не используя при этом подгоночных параметров. В то же время в критической области Т 2 Гы / 2 расхождение экспериментальных данных с результатами расчета в рамках ССВТ становится существенным.

• т и

Рис. 2. Температурная зависимость намагниченности Кг№Г), (сплошная кривая - результат ССВТ, пунктир - результат сферической модели, точки - экспериментальные данные).

В заключение Главы II в рамках модели СР"' обсуждается . влияние флуктуационных эффектов на критические индексы. Указанная модель есть, по суш, континуальный предел антиферромагнитной 817(Ы) .модели. Самосогласованной спин-волновой теории соответствует предел N як Разложение по формально малому параметру Ш дает возможность найти поправки к ССВТ. Некоторые, результаты вычислений критических индексов в первом порядке по Ш приведены в Табл. I. В пространстве размерности с!=2+е полученные величины критических индексов совпадают с результатами, полученными с помощью

12

ренормгруппового анализа в двухпетлевом приближении. В то ж? время, поправки в пространстве размерности й — 3 при N - 2

ß ■ ' n

d=2+e

<1=3 K'N

Табл.1 Величины критических индексов в первом порядке по I/N.

Модели Гейзенберга соответствует N - 2.

(отвечающем модели Гейзенберга) слишком велики, так что критические индексы становятся отрицательными. Таким образом, рассмотрение поправок в рамках модели показывает, что

приближенйе среднего поля для бозе- и ферми-операторов является хорошей исходной точкой для исследования низкоразмерных систем. Однако с повышением размерности его применимость становится весьма ограниченной, а поправок в первом порядке по 1/N.оказывается недостаточно для устранения дефектов этого приближения.

В третьей главе рассматривается применение метода ССВТ к двух- и трехмерным магнетикам с конкурирующими обменными взаимодействиями. В двумерном антиферромагнетике с обменом между ближайшими и следующими за ними соседями происходит конкуренция фаз с волновыми векторами антиферромагнетизма <2=(я;/г) и Q=(x,0). На Рис. 3 представлены результаты вычисления намагниченности и энергии указанных фаз в зависимости от отношения обменных интегралов между ближайшими (J) и следующими (/) соседями. Как следует из рис. 3, в двумерном случае

решение, соответствующее фазе с <} = (ж.0) возникает раньше, чем фаза <2 = (к, к) теряет устойчивость и немагнитное спин-жидкостнре состояние не появляется в данном подходе. Тем не менее, указанная область сосуществования оказывается весьма узкой, особенно при малых значениях спина Б, а намагниченности фаз в этой области малы, так что влияние флуктуационных эффектов (учитываемых в рамках рассматриваемого подхода лишь частично) в указанной области может быть существенным.

Рис. 3. Намагниченность подрешетки и энергия двумерных фрустрированных магнетиков как функция отношения обменных интегралов З'/З.

В трехмерном случае конкурирующими являются фазы с <3=(/г,/г,я) и <}=(л;л;0). Область сосуществования указанных фаз весьма широка, так что появление спин-жидкостного состояния в этом случае по-видимому невозможно.

В четвертой главе подход ССВТ излагается в применении к магнитным пленкам и примесям.

Параметры порядка в указанных системах являются неоднородными величинами, и для правильного описания

термодинамики системы необходимо, вообще говоря, учитывать возмущение, распространяющееся по всему объему магнетика. Тем не менее, учитывая, что параметры ближнего порядка слабо (по сравнению с намагниченностью) изменяются в пространстве, а также являются непрерывными функциями температуры в точке фазового перехода, и в неоднородном случае удается построить удовлетворительные приближения, в которых учитывается возмущение параметров порядка лишь для небольшого числа узлов.

Результаты для распределения намагниченности в пленке существенно зависят от толщины пленки. При Ь > (7 / шах(Т,Нл))>/2 параметры ближнего порядка слабо меняются от слоя к слою. Формула для неоднородного распределения намагниченности имеет вид

•¿А' ц т—и\

1 + С05

+1)

+ (17)

где

= <?(Л - /,) + 2/ £0 - со*™) + НА. £■,=(25+!)(/,£+ 2/ Нл - (2,4-1)0+437) поле анизотропии, й и ц - константы одно- и двухионной анизотропии соответственно, - параметр ближнего,; порядка соответствующей однородной задачи.

Как следует из (17), при Т>НЛ возможны два режима. (11 Ь » (]т?/Т)м. В этом случае намагниченность в центре пленки 5сравняется ее трехмерному значению 5'0(Г). В то же время вблизи поверхности (Я,, « Ц имеем 1

При этом имеет место простой результат для изменения намагниченности от центра к краю пленки

_ 1 *

= 5~ 21^ ^С14г+ С°51(2Л" + '^Й^м.>+ (25+ №)' <18>

5с(7)-35(7)=|(7)5-53°(Т). (19)

(2) Основной вклад в намагниченность дает мода с п

- О, так что

Бс г 51 = 5-

7 -1и^-+(25+1)^Л).

4 л]БЬ Н.

(20)

Согласно (20) в случае V \а(Т/Нл) » 1 поправки к намагниченности велики, так что температура Кюри уменьшается до ее двумерного значения'

Тс~л5гЛ\п(ЛНл). (21)

Более полная информация может быть получена при численном анализе формулы (17). Численные расчеты выполнены для 8-1/2. //// = 10'. График зависимости намагниченности от номера слоя показан

044

042

Рис. 4. а) Намагниченность слоя как функция номера слоя пленки с ¿=20 (слева), б) Температура Кюри пленок различной толщины.

на рис. 4. Наиболее сильная зависимость имеет место у края пленки. На эюм же рисунке приведена зависимость температуры Кюри от толщины пленки. При малых I = 2+4 наблюдается резкий спад Тс.

Однако столь малые значения Ъ фактически лежат за пределами интервала I 2 (Jгr/T)"2 и рассматриваются другим способом (см. ниже).

В случае тонких пленок I « х(Т.Нл))т или, в более

сильной форме,

¿« <■/*'/7;.)'". (22) параметры ближнего порядка резко меняются от слоя к слою и необходимо их самосогласованное определение. Температурная зависимость намагниченности пленок сИ=2и£ = .? приведена на рис. 5. (для реальных пленок большие значения Ь не удовлетворяют условию (22)).

0.50 0.40 0.30 0.20 0.10 0.00

\\ ч

0.00 0.40 080 1.20

ТЛ1

Рис. 5. Намагниченность тонких пленок различной толщины.

Для сравнения на этом же рисунке представлены кривые намагниченности двумерного (I = /) и трехмерного (I да) матетнков. Увеличение числа слоев приводит к увеличению температуры Тг. Можно видеть также, что в' случае 1 = 3 намагниченности центрального и поверхностного слоев обращаются в

17

5

нуль приближенно при одной и той же температуре. Такое поведение не может быть получено в райках стандартной спин-волновой теории и свидетельствует о сильном влиянии динамического н кинематического взаимодействия спиновых волн на термодинамические величины. ■

Другая неоднородная задача, рассмотренная в Главе 4 - влияние слабосвязанных примесей на параметры ближнего и дальнего порядка в двумерных магнетиках. В случае слабой связи примеси с матрицей, как известно (4), стандартной спин-волновой теории недостаточно для правильного описания термодинамики системы уже при Т ~J',

ГТ~"[ ~ ППТ1 Т > '»1 ^ Г ТТЧ I

0« ом

-1—I

• I

Рис. 6. а) температурная -зависимость намагниченности примеси и умов первой координационной сферы (У/У = 0.15, Нл = 0.00М). SW • результат вычисления 5» в спин-волновом приближении, б) изменение намагниченности под влипшем примеси как функция расстояния до примеси.

Применение ССВТ к данной задаче во многом аналогично применению этой теории к рассмотрению тонких магнитных пленок. Результаты вычисления намагниченности примеси и узлов в первых семи координационных сферах представлены на рис. 6. Аналогично трехмерному случаю кривая намагниченности примеси имеет при

Т~ТГ12 участок с аномальной температурной зависимостью. Кривая спин-волновой теории такой особенностью не обладает, так что можно заключить, что указанная аномалия вызвана динамическим и кинематическим взаимодействием спиновых волн. Изменение намагниченности вокруг примеси быстро уменьшается с увеличением расстояния до примеси и фактически исчезает на расстоянии 6 координационных сфер.

03о

020

010

000

000

—г~ 020

0.40

ти

—I— о во

—I 080

Рис. Т. Корреляционная функция спина примеси со спинами ближайшрх соседей в двумерном изотропном ферро- (длинный пунктир) и антиферромагиетике (короткий пунктир). Сплошные кривые - корреляционные функции спинов на соседних узлах в однородном случае.

В двумерном изотропном магнетике, где дальний, порядок при конечных температурах отсутствует, могут быть определены только параметры ближнего порядка. Результаты численного расчета корреляционной функции спина примеси со спинами ближайших соседей для случая слабо связанной примеси (]'П = 0.15) в двумерных изотропных магнетиках показаны на рис. 7. Можно видеть, что

корреляции между спином примеси и спинами ближайших соседей уменьшаются с температурой более быстро, чем в матрице.

В Заключении суммируются основные результаты диссертации.

Основные результаты и выводы.

1. Самосогласованные спин-волновые теории позволяют качественно описать поведение параметров ближнего и дальнего магнитного порядка во всем температурном интервале, при этом вне критической области эти теории приводят также к хорошему количественному согласию с результатами других подходов и экспериментальны ми данными. В основе ССВТ лежит предположение о спин-волновой картине спектра возбуждений, при этом рассматриваемый подход оказывается существенным образом ориентированным на низкоразмерные системы.

2. Применение ССВТ к трехмерным магнетикам приводит к температурам Кюри Тс - 1.20J и Нееля Ты = ¡.ЗЗЛ, несколько превышающим результаты высокотемпературных разложений, но все же меньшим, чем в приближении молекулярного поля. При этом Тн > Тс вследствие квантовых флуктуаций. С уменьшением межплоскостного обмена /' величина Тм падает, обращаясь в нуль при /' = 0 в соответствие с теоремой Мермина-Вагнера. Для малых / '/3 найдены асимптотические выражения для температур Кюри(Нееля), справедливые с логарифмической точностью по малому параметру 7'//. При этом асимптотические выражения оказываются существенно различными для случая квантовых (2я5 « 1п Т/Л) и классических (2лг5 »

1п Г/]) спинов. Аналогичные результаты могут быть получены также, для слабой анизотропии типа "легкая ось".

3. Рассмотрены фрустрированные двух- и трехмерные системы с обменным взаимодействием между первыми и вторыми соседями. Как в двух- так и в трехмерном случаях показано, что при Т -0 имеются области сосуществования двух возможных фаз. В двумерном случае, однако, указанная область сосуществования оказывается, особенно при малых значениях спина весьма узкой, а намагниченности фаз в этой области малы, так что влияние флуктуационных эффектов (учитываемых в рамках рассматриваемого подхода лишь частично) в указанной области может быть существенным. В трехмерном случае введение обмена между вторыми соседями не приводит к столь серьезным последствиям.

4. В неоднородных системах благодаря слабому изменению параметров ближнего порядка в пространстве оказывается возможным построение удовлетворительных приближений, в которых изменение параметров ближнего порядка принимается во внимание- лишь на узлах, расположенных в непосредственной близости к неоднородности, В отличие от приближения Тябликова, где параметры возмущения пропорциональны намагниченности, этот метод оказывается применимым также выше температуры фазового перехода. В случаях сильных магнитных неодноредностей (случай очень -тонких пленок и слабомагнитной примеси) особенно существенным оказывается динамическое и кинематическое взаимодействие спиновых волн, не учитываемые в рамках стандартной спин-волновой теории.

Основные результаты диссертации отражены в следующих публикациях:

1А. Irkhin V.Yu., Katanin А.А. and Katsnelson M.I. "Short-range order above TN in quasi-two-dimensional Heisenberg antiferromagnets" It Phys. Lett. A, 1991,157, pp.295-298.

2A. Irkhin V.Yu., Katanin A.A. and Katsnelson M.I.."On the self-consistent spin-wave theory of frustrated Heisenberg antiferromagnets" //J. Phys. Cond. Matt., 1992, 4, pp.5227-5237.

ЗА. Irkhin V.Yu., Katanin A.A. and Katsnelson M.I. "On the self-consistent spin-wave theory of quasi-2D and anisotropic 2D magnets" // JMMM 1995,140-144, pp. 1695-1696.

4 А. Ирхин В.Ю., Катании A.A., Кацнельсон М.И. "Самосогласованные спин-волновые теории квазидвумерных гейзенберговских магнетиков" // ФММ, 1995, т.79вып. 1, стр. 65-79.

Цитируемая литература

1.YoshiokaD. "Boson mean field theory of the Square lattice Heisenberg model" Hi. Phys. Soc. Jpn, 1989, 58, №10, 3733-3745.

2. Takahashi M. "Modified spin-wave theory of a square lattice antiferromagnet" // Phys. Rev. B, 1989, 40, №6, p.2494-2501.

3. Chakravarty S, Halperin В. I. and Nelson D. R. "Two-dimenshional quantum Heisenberg antiferromagnets at low temperatures" // Phys. Rev. В., 1989, 39, №4, 2344-2371

4. Изюмов Ю.А., Медведев M.B. "Теория магнитоупорядоченных кристаллов с примесями" М., Наука, 1970.

Отпечатано на ротапринте ИФМ УрО РАН тираж 80 захаз N 120

объем 1 п.л.формат 60x84 1/16 620219 г.Екатеринбург ГСП-170 ул.С.Ковалевской, 18