Фазовые переходы в 2(о) спиновых и калибровочных системах тема автореферата и диссертации по физике, 01.04.02 ВАК РФ

ЕРЕВАНСКИЙ ФИЗИЧЕСКИЙ ИНСТИТУТ

На правах рукописи

АНАНИКЯН НЕРСЕС СИРЕКАНОВИЧ

ФАЗОВЫЕ ПЕРЕХОДЫ В 2СС£> СПИНОВЫХ И КАЛИБРОВОЧНЫХ СИСТЕМАХ С01.04.02-теоретическая физикаЭ

АВТОРЕФЕРАТ

диссертсции на соискание ученой степени доктора Физико-математических наук

ЕРЕВАН-1992

Работа выполнена в Ереванском физическом институте Официальные оппоненты: профессор, доктор фнэико-математических

наук Э. М.Каэарян С ЕрГУ, Ереван? доктор физико-математических наук ». П.Малакян СИФИ АН Армении!) доктор физико-математических наук А. Г. Седракян СЕрФИ. Ереван}

Ведущая организация: ХарьковскнЯ физико-технический институт

Защита состоится 24 ноября 1993 года в 14 часов на заседании специализированного совета Д 034. 03.01 при Ереванском физическом Институте Сг. Ереван-36. ул. Бр.Алиханян, д. 2?.

С диссертацией можно ознакомиться в библиотеке Ереванскогс физического института.

Автореферат разослан 22 октября

Ученый секретарь специализированного совета кандидат физ. мат. наук

1932 года.

В. А. Шахбазян

РОССИИ' ГО О 7 ¿У-''ГЧ\"<

ОБЩАЯ ХАРАКТЕРИСТИКА РАБОТЫ

Актуальность темы.

Более ста лет изучаются фазовые переходы, как зрлрнкя природы. Для ферромагнитных своястр металлов Иоинг предложил спиновую систему, оснопанную на '/Л симметрии. Онсаг^р впервые получил точное ретаение в двумерной модели при описании

намагниченности и теплоемкости в окрестности критической точки. Он учел роль крупномасштабных флуктуации по мере приближения к критической точке. В 1952 году Поттсом было сформулировано обобшенная модель Иэинга,основанная на ЕССО симметрии. (относительная простота модели наряду с богатыми критическими свойствами сделали ее основой для опробирования различии. подходов при изучении фаэозых переходов.

Использование решеточных формулировок значительно облегчает описание критических свойств системы. Решеточный подход заключается в замене реальной системы на упрощенную идеализированную модель. Математически это зыроасаетсч с задании конкретного вида гамильтониана НС 35.

Первоначально решетки стали' использоваться в статистической механики,желая смодулировать кристаллическую структуру твердых тел. Соответственно применялись- решетки различных конфигурации и раэмернсстеГ'. При этом гамильтониан НСЗ> имеет глобальную симметрию гею,то есть гамнльтоиан не меняется при повороте всех сг.ннов одновременно на решетке, такие модели называются

симметричные спиновые системы.

В 1974 году Вильсон предложил решеточные подход для описаия калибровочных теорий,суть которого в том,что гамильтониан имеет локальную симметрию- Он заключается в том,что гамильтониан остается инвариантным при изменении локального калибровочного преобразования в любом узле. При отвм, если в спиновых системах в качестве независимого параметра порядка используется локальная величина - спонтанная намагниченность,то применять в калибровочных моделях ее аналог - намагниченность калибровочного поля - невозможно. Поэтому в калибровочных теориях на обычных решетках часто используют глобальные параметры порядка, такие как петля Вильсона - произведение полевых переменных вдоль бесконечно большого замкнутого хонтура.либо петля Поляхого произведение полевых переменных вдоль некой прямой на решетке, замкнутой благодаря переодическим граничным

условиям. Вальсоновский коррелятор, хотя он удобен для описания фаз теории. является сложным математическим обьектом .Если провести операторное разложение для вильсоновского

коррелятора, то первый нетривиальный улен разложения будет пропорционален глюонному конденсату G^G^^ = ^ S^ то есть вакуумное среднее от классического действия поля Янга—Милса. Следует отметить еще одно обстоятельство. Группы ZCQ5 являются центрами неа беленых групп SUC '35. Ид&я о том, что центр колибровочнсй группы может играть важную роль в явлении удержания кварков былл высхаоана г'Хофтом и Макком.

Модели.имеющие разные симметрии," и поэтому разной степени мультикритичности, подчиняются закону d = 2 + где d -

высшая размерность, начиная с которой все идексы становятся классическими,п - число' независимых критических индексов. В. ZC23 мг>л»ли число п = 2 и d =4, в 2С35 модели п = 3 и d = 3 и т. д.

■ела со: тг-'^т-'т- г ry'"''' }'! 1 1 '--ли го-орч;;-' ллл.ч . .-'.'*,т - -

■оотгм^тстггу-^т - ' - .ч ; ^pi.r-н ¿т -од эли теории 'iл ■ • ;; "i . л. при гости *--vroTir Д'1 • ■ Ре-.иоии--ч i i а ji-;. '3T<t? E:iTf> с.r ?tci • 'Ггье: im , по тому что

•ни, ю-псрп! г<. учИТ ыг-^/С- пзакмо Слижаин'ил с--годе;; а

го-г?тсрых >: тч'кчр iho^ijth'-v? оч-:-; ъг плслчст^ м^хросхог:лчс-ск

•н^ичс-скио величины Л Hfi счсхе-чж -2тернон и гг.у имеет

лки^ ч^ инле>хсы гплоть до размерно от;: d .

Расч.' ~рчвг>я модель Изингэ .":о пине и - ± » Бляк, Змори . Гр'-'-р" Г БЭГ"> но:га 'jn г.ол?;» чгс в ::>7eh мо^г^лн су-

тр нчр'нич^с». - vi •• ^ ч, - ¿тому г-уч^'П^ Б1?Г - молили н^ е Е*.-те.

С^.обгг-'чная Г .-то . пс^с- роен? гол на г»ллкетач , пгорпл„от

H2,.riwrH4&c-f:y поучить рэочые фэоы в каллбрсь-счних системах С гоч-■лИмокт, де^.-ф^Ямоит, хиггсопо'сс* состояьиб* У.

В иоуч^нип калибровочных поло У*, как и ».пиковых систем, очень ажкую роль игрд>от дулльные и сэ модуальные системы на р&ше гках. ря ^писи '.тат;!сти1'гч суммы ч-с-рео топологические инэариантьз числа Бг^ттт-» > j^rpor.s1'-тсч стэо дуальности и самодуаль-

остн В ото-r: р^писи л ггко :-•£><:■£? о дргь вwi.;?емпературные, ниоко-емпер.чтурнме и разложение.

2X'Q} симметричнк? спиновые П'ггемь катли широкое- применение-ля описан?-?«! 4 низкотемпературных с по Петр сл&дую1чи.\ систем: класс нмоотролных антиферромагнетикогэ, растворов двух иэотспов гелия, ультикоипочентных леи л костей, м::кро!шульсий , расширенной модели аббарда, полимерных негт^Я - * в которых есть мультикрнтичесхи© очки. 2ССР симметричная модель применяется и для описания ункциональПых особенностей биополимеров. мрн изучении перехода пираль— клубок.

Це-ль кэ работу jar.■'ii'fi'Tcii_

-:6кл|-у"> ?hhp перехода второго рода при некз'лесом

магкчтном гке'-ком поло е- спиновой систем© модели Поттса, Н5:да*'л?ки? крнтпчесгнх индексов;

-1;ссл£-яог>.мч!е- трим нтнческих явлеиий в РЭГ мололи на решетка Беть-, ьг "сжденив >- - линии фазовогг перехода оторого рода, постро-^ше фаФ'сых диаграмм. вычисление критических гг.- 1.cf'r г 7pv!крт точке;

- л : те-яу ' тт-о с^квиьйлентнссти БЭГ юлрлл л модрли со ..nil!-;.: . 1 н*. • подпространстве комст«ит обменного гюаимодеист-

ккя u(.'«i'-.w Иоккга на шестиугольно« > и Бете решетках;

--ясслр,чое»пН1и=> критических явлении г- к ^либроеочных моделях Поттсй . пгстг'Ос-ниег фаос &ых диаграмм па ре>ин>тке Бете .вычисление ьритич^с1.< ¡;н.1(?ксоь к^члиброгочных систем- с учетом полей

>.!. 7r-inf;

-!лслб.«оРйНие 2СЮ калиб'роьочных моделей, когда записывается СТ.ЧТНСТИЧЕ.-С1 сумма чрр»?э топологические инварианты, нахождение 1' -трехмерных калиброЕ-очных моделях при помощи 1У О, - разложения крэтичиско» температуры пеое-хода.в четырехмерных калибровочных ысделях нахождение скрытой теплоты фазового перехода;

-построение эффективного потенциала, оэшюяшего от среднего классического деяствг.я. вычисление UChO сийметричнои модели Гросса~Невы-> г- рамках 1 УН разложения и приведение обобщенного зффь-.чтиьного потенииааа,на примере ангармоического осциллятора показана , что в раыках обобщенного эффективного потенциала можно получить н(?':'1г--ор<-тикоьоэ«ушенческис=' результаты;

-;;сследо»ание спиновой модели Поттса для описания перехода спираль-клубок в биополимерах.с учетом топологии замыкания водородных связей. рассмотрение полипептидноч цепи в растворителе

и еычесление макроскопических параметров.

Научная новизна

В диссертации вп^риы& доказано сулествован)»" фагового перехода второго рода в спиновой модели Погтс.з на реиогке Вг-^те при ненулевом магнитном внешнем поле. Вычи -лень все критические индексы.

Впервые построен'^ pt>K5'peHTHbii? соотношения для ЕЭГ модели на решв-тке Бете,аналитически наядени Л-линия, трикритическая точка. построены разовые диаграммы,точно вычислены в. трикритичоо.ей точк^ все индоксы.

Доказано эквивалентность БЭГ модели на решетке Бете, модели со спинсм - 3x2 на шестиугольной роще' модели Иоинга со спином - 1 на определенном подлространстЕ© констант обменного взаимодействия.

Построен;- обойденная решетка Б^те, состоящая из плакетов, для калибровочных теорий. получены фазовые диаграммы для ZCQi калибровочных теории и проведено сравнение с приближенными методами. Проведено исследование калибровочной модели Поттса с полями материи, построены фазовые диаграммы этой модели, найдены критические индексы.

Впервые записана статистическая сумма калибровочной модели через топологические инварианты Счисла Бетт.О. найдена для четырехмерной Z'. С£> симметричной калибровочной модели скрытая теплота фазового перехода в 1 •'Q - разложении и при помощи Паде апрокси-манты найдены более высокие порядки для скрытой теплоты.

Впервые выведен обобщенный эффективный потенциал.зависящим от вакуумного сре-Анего классического действия, проведено исследование модели Гросса-Невье,применена эта процедура для исследования ангармонического осциллятора и показано нг.т(->оретн-

КС'--Р~ОМуи;£НЧ£>СКа>* формулировка основного состояния.

Построена микроскопическая модель перехода спираль-клубок в биополимерах«оснстайная на спиновой модели Лоттса, вычислены феноменологические параметры порядка.

Научная и практическая ценность работы

Полученные диссертации результаты позволяют утверждать» что на решетке Бото мо.кно аналитически точно получить фазовые диаграммы длл НС симметричных спиновых ц калибровочных: моделей. Для БЭГ мелели проведено исследование с учетом вааимо-д.епстэи:' Сл и:*.а Псих с '/со дел и наедена X -линия, э а к а и ч иоа <с с:; а я с .ч трикритическои точкой

Лрсг,--,д^нное иссл'?до£?знис для 2СО снми^трлчных палибровоч-ны>: :ч •, у с г да заг.'лсьчьае тс и статистическая сумма череэ топе-

лсгич:--сян-"- г.чн:--. рпанть-; »поаноллет на кти Солее ь-^сокие порядки

Бьгвел ¿лнео уравнение обобщенье х-о аффективного потенциала р ^ '.'.ссл-.-дсвгть тэки^- г^а?-нъ:е аспекты теории, как яв-

лен; 2 дина кг} чес л ого н'-р'З' ц-енп.я симметрии и нетооретико-возмугген-

ГЬ-лучонныч? э диссертации результаты >/.сгу т Гыть и с пользованы при исследовании раэл:г-ны>: йслс-хтсз г- статистическом механике и квантезеп теории поля.

На защиту аиносятся слздуокИч основные результаты:

1. На обычной решетке Бете при произвольном координационном числе у точно рощена О-лоэицконная спиновая модель Поттса во внешнем магнитном поле. Получены выражения намагниченности, свободной энергии и других термодинамических функций. Интересной

особенностью рассматриваемой модели при ■ всех С&З оказалось наличие фазового перехода II рода при ненулевом внешнем поле. Критические индексы модели, вычисленные вблизи точки перехода имеют классические значения. Проведено сравнение с результатами других работ.

2. Проведено исследование ЕЭГ модели на решетке Бете . Найдены аналитически точные выражения: свободной энергии,X - линии фазовых переходов второго рода, заканчивающейся трихритической точкой. Вычислены® в трихритическоя точке все критичесхие ии-ксы оказались классическими. Приведены фазовые диаграммы при различных значениях дилольного и квадрулольного взаимодейсвий.

3. Показано, что модель Иэинга со спином - 1 /2 эквивалентна БЭГ модели на решетке Бете на определенном подпространстве констант взаимодействия. Та же эквивалентность получена на шестиугольной решетке со спином - 3x2.

4. Метод решетки Бете обобщен на калибровочные модели. Для этого введена специальная решетка, не содержащая замкнутых поверхностей - дерево Койли, построенная из ллакетов. Рассматриваемый подход можно считать обобщением Бете аппроксимации на случаи калибровочных теорий.

На обобщенной решетке Бете точно решена чисто калибровочная модель Поттса и исследованы ее критические свойства. При любой числе состояний С2 и в любой размерности в модели обнаружен только фазовый переход I рода. Показано, что метод Бете аппроксимации значительно превосходит в точности предсказания теорию среднего поля и вполне конкурирует с другими методами приближений.

3. Рассмотрено введение в теорию боэрнных полей материи. Точно решена 2.симметричная модель и построена ее фазовая диаграмма. Найдены две линии фазовых переходов I рода: конфайн-

ю

мент-хиггс и хиггс-хиггс. Первая линия заканчивается критической точкой фазового перехода II рода, так что фазы Хиггса и конфайнмента оказываются непрерывно связанными. Полученные результаты обобщены на случая калибровочной модели Поттса с полями материи при произвольно« 02:3. Для малых значений координационного числа решетки ^ существует только линия переходов I рода конфайнмент-хиггс, заканчивающаяся переходом IX рода.

е. Пр .¡видена для калибровочных моделей запись статисти-чоедок суммы через топологические инварианты С числа ВеттиЭ. В трехмерной калибровочной моделе Поттса вычислена критическая -емиература перехода при помощи 1 разложения. На четырехмерной калибровочной модели найдена скрытая теплота перехода с помощью - '2 разложения.

7. разработана методиха высших преобразований Лежандра, в которых наряду с п — точечными функциями Грина в качестве независимой переменной введена лоренц- и кэлибровочно-инвариант-ная скалярная величина - вакуумное среднее от классического действия. Построен эффективный потенциал ГСр.в.Н.^Э в нелинейных теориях четвертого порядка.

8. При помощи потенциала ' ГСр.в,Н,Ю исследована модель Гросса-Невы? и показана, что имеет место конденсация действия, т. е. нетрнвчальность вакуума теории. Этот факт является общим для асимптотически свободных теорий.

Э. Предложен новый метод суммирования бесконечной совокупности диаграмм, основанный на преобразовании Лезкандра по скалярному параметру Э. Преимущество этого метода суммирования демонстрируется на примере ангармонического осциллятора.

10. Применена спиновая модель Поттса для описания перехода -•пи*-,;, — — ---------------- • Ппгтпоен модельный гамильтониан

i^jí!.! cos >.".-.. • крескогкрг-кххк: параг-кгтрога. Учтено г»-.—

_Ллроблцн>1 ptigore»:.

Даннкэ, получяины«? л диссертации, докладывались на теоретических семинарах ЕСИ.на сесснчх отделения яд^рноя физики АН СССР С1GOO-18825 . предствлакы на между конференции ло физике высоких энергия ССОД, Медисон, 1S8CD, на международной симпозиуме по физике элементарных частиц САрвнтсхоол. 1СЕЖО, на

сог>«тско-амер!тансис>Л рабочей эстрач® СНор-Амберт, 1CS3, 1S83, 19Q1D, в Трудах III кенф. "Иссладозакия физических свойств !5!!о.тогг!ч-?скнк >«гал«*кул" С Прага - Братислава?, мвадународноп конференции по рапгэточкыа теориям о фнэнх» С Брайтон. 1983Э, II !Зсом1гр»ил конгресс по теории органич-эскоЯ химии С Кандид. Торонто, 1D905, представлялись на различны» хонфврэищш.

• Публикации. По рооу.-:» тлтгм днеее-ртаиил опубликован;...! работы.

и структура ргСот-;. Диссертация со-'-тоит кэ яве;»!'1-, гтятн r.-.t?».svcxiavr-tw :: r-л .-нт^ратуры. Она содержит 12Э ст; "гц tiaratKom'CKoro

_ Г?-з ~ -sfxmom даете л е.--5?ор современного состе-«'" i про:'." ■чтрснут!!^ П Д1!СС0рТ."1ЛГ":(.С^СуЖДаг»ТСЛ ИХ ЛХТуЛЛКН , фор : :•/■-

■ . i пссхахсоа t ■ ня ¡i прнэо*.«теч граткоо сииелнк* лсмогнег: Л " I' i-,i<! 1 .SIICCерт.7 !-•'■'«.

'" г I поеп..—r-m псс.-ч'.'.с'сташпо ил р-»сг>тк'> B-rrr» - -

; HTUySf j.f>rí*!íTÍ-?o>l ПО."4"» Л ПСГ моллл;;.

В первом параграфе строятся реку рентные соотношения для спиновой модели Поттса на решетке Бете. Из рехурентных соотношения приводятся выражения для свободной энергии Г, нама!—

ниченности т и критической температуры Т. Показано,что при

«

внешнем магнитном поле Ь и К =ЛхкТ есть' переход второго рода.

с с с

Он определяется:

а

т ¡2-0 + -/о*с

I у-1

1п1г-а + - / - 4гСС!-2:>2 - 1п2

1Г.С0-3 Э+С^Ч-ЗЭ

у-Х

с г-аз с у+1 > -/ о2су+1>г - о-гз2

В зтой теории получаются аналитически точные критические индексы 5 = 3,/? = 1/2 , сч = О, которые принято называть классическими. Это и следовало ожидать, так как решетка Беге является бесконечномерной, то ее размерность лежит выое высшей размерности о .

Во втором параграфе изучается БЭГ модель со спином - 1. Выводятся рекурентные соотношения и строятся фазовые диаграммы. В ЕЭГ модели на реаетке Бет© получается целая линия фазовых п&рехедоэ второго • рода она называется X-линией. X-линий оканчивается трихритичесхой точкой. Шиш три:«';, этической точки пс тсэмп^-р^т >-р& получается фаэе&ы'-г перехсд первого рода. Пр; дсстзтс'Ч-! 5 <лолыаом КхЛ трихрятич.- то>,кл исчезает С Л-диполь-ное, К—х^адрупольное . Г.о .ало, что при К/_Т>3. 423-

трякрнтичесгъя точка востро-..: >ы ряд фазовых диаграмм пр.

рас-л.ччных Гч пениях К Л.

В тр-г-"' гм п .фе? .;>м;!:я.-.лтся ьсе индексы э трихритичес

к-Гт точ- V Тзх ч. су-г . : дг*а > лоля, то числ

кезавуси' .< •: ■ ..г;:' рэьчо тр-зч. Поле Ь сопря^еь

К

ъ

ГС

намагниченности m = <S> , поле А сопряжено р = <S >, являющейся

концентрацией в растворе изотопов гелия. Разложение вблизи X -

линии по намагниченности ш и по концентрации р имеет вид:

h = h шЭ + h m5 + ОСш'э 1 2

Д-Д. = Д т2 + Д т4 + ОСпЛ \ 1 2

В трикрнтичесхоЯ точке Ь^ и А^ равны нулю и поэтому S

m - р-рх ~ |h|z'5, ßt = 1/4. р2 = 1/2. p-pt "

В зависимости от температуры в трикритичеекой точке можно /3

получить ш ~ | Т—Т^ | и p-pt ~ |Т-Т | , где (i^ = 1 и р = 1/2. Таким образом на бесконечномерной решетке Бег® получились, как и ожидалось, классические индексы.

В последнем параграфе этой главы при исследовании БЭГ модели на решетке Бете, при выполнении условия СехрЮ coshJ = 1 С /? = 05, находим соответствие точному решению модели Изинга. Получается тлелая линия фазовых переходов второго рода, потому что есть лт-^рое внешнее поле А. Эта линия определяется условием

2у CtanhJi = 2 + ехрСДЭ. гд^> ;->1 >•; — д|-яаиионное число рестетки Бете. Интересно отметить, что Пр" Д InSCv-l} нет фазовых переходов в БЭГ модели со сг.:::>сч ' пр" р - О. Когда — со i Д < 1п2С?—15, то мы имеем целую vmyr. тэзоь- гу переходов второго рода.

"Г -з- мс ? v :-т'.ч - тн со спиной — Э/2. Гамильтониан >той

■■' Г Г - 2 .' К L ir's3 + M/2CSS3 + ^S D 1 - Д Г S*

, ij IJ J IJj i

• - 1> L

где S - i +

i 2 2

Тогда можно п-лучить иквиэалентность модели со спином - 3/2 на шестиугольное решетке модели Изннга со спином - 1/2

- _________________ CK 5

Иог»б»у comb I Isiri<f I

Таким ..о D-^ ¿уем ко:сно поступит^ с -.с-",-i.vr.: со с .с . ^. - . нд квадратное, тг-еугольно.^, г.пгоме и Вето решетка и г;.„ ..т.. : ■ экэ1[йалент.чость KÍOAC----. ЬС*:, СО cm-.woií - i^tí: ■■-i.

некотором полп;-остр^.-.(с~ о cJ: >' :-: с;..: ■ . ■

X - ЛИНИЮ (J>50ODOrO переход;-?. птсссго ро/с.

Глава 13 посвягцс-нс ^ -. -. - ó;.:. ..с.:.„: модели,

как без полей материи, tccí 53 с ni.'.::..., ¿ccci • е.. cJowmeHi-юй решетке Боте, состоящей иа плакетоа. Прицелены срлссэксо диаграммы и вычислены критические индексы. Про^о^ено с ызтогом

среднего поля и методом Монте-Карло.

В первом параграфе зтой глгвн cnpsг-'-íc-ra ка-с.чбровочная модель Поттса на обобщенной рошгтяс- Ьгто к ии&эгелы рекуррентные соотношения. Тахже определено выражение для свободной анергии. Просте^со действие запишется в виде суи^лы по плакетам:

S = р ^ ReCTr Ц^З pl

r¿o U , -- U U, U, U - проиосгеденн'-- кг.А«Оро;.с»ц».ы»' пвр£ил)иьо.ч íA ij })с kL Xi

nioc,;, контура плакета, р ~ константа сьяз.(. ■Ггстистнчэская сумма модели имеет вид:

'¿ - ) fxp S.

. : ,. L',. ;., '::■:, ..;'C-.OJ ■ i: :s с. .. J,;;; плалог. ....

... cuyo с г- ■ :

üol.l

:¡oii онсг;гн

дГ 3(3

и описывает, таким образом. количество внутренней энергии, приходящейся на один плакет. Решение модели осуществляется методом рекуррентных уравнения. После чего статистическая сумма приобретает вид:

г = V ехрС/?6,,о Сд СиЪ]^[д Си°5 Зг1д сиЪ]^[д СиЪ]г / г 'и 1 2 Э «

и°

где первая экспонента - это вклад центрального плакета, -

статистическая сумма одноП ветви. Рассмотрим простейший случай 0=2. Введя обозначение:

д Си = -1Э

д Си = +13 п

получим, после суммирования по и1 , рекуррентную формулу:

х = У С х 3

П Г Г.-1

где

е'5х3?% Зх2^ ♦ Зе'У - 1-

У Сх./ЗЭ =

<3у + зЛ^ + + е^

Для средней грани получим:

х42; + вх2г + 1

Р = ¿>

х4^ + 4«Лс3г' + 6х2г + 4е'3/ + 1 Для свободной энергии получаем выражение:

Т = - 0 - 31г.|х2г/- 1| + ЭГ 1 1| +

1

- 1п|х3г-+1- Зх2г-+ 1|

Во втором параграфе исследуются фазовые диаграммы для чисто

калибровочной модели Потсса. Используя соотношения, полученные ' из рекуррентных уравнений, для средней калибровочно-инвариантной грани Р и свободной энергии Г, можно получить фазовый переход только первого рода.

Как и в спиновом случае, в силу эффективной бесконечномерности решетки ожидаем получить улучшение результатов с ростом размерности. Простая кубическая решетка может быть смоделирована в нашем подходе, если положить у — 3. Точность критических значений константы связи в сравнении с наиболее достоверными данными, полученными методом Монте-Карло, порядка 5%, что уже следует считать достаточно хорошим результатом. При этом совпадение улучшается с ростом О. В четырехмерна калибровочные модели Поттса самодуальны. Это позволяет точно определить точку фазового перехода:

Мы воспроизведем четырехмерную гиперкубическую решетку, положив у = 5, с! = 4. Результаты полученные в этом случае имеют точность порядка 0-1Я .

Наконец, в третьем параграфе рассмотрена калибровочная модель Поттса с полями материи. Включение полей материи является следующим закономерным шагом. Мы ограничимся лишь рассмотрением скалярных полей известных в физике как поля Хиггса с.

В единичной калибровке все поля априравниваются к единице, поэтому инвариантное действие модели запишется в виде:

где 6 - символ Кронекера.

Схематическая фазовая диаграмма модели:

аЭ Существуют три возможные фазы: конфайнмента, Хиггса и

1 7

оно^-од нь;:: :г1ри,тор, от дол р?н г! 1.1 о линями фазовых п^роходсс, Всо ЛИ1ШИ СООТЭОТСТЭуЮТ ф'лЭОЕЫМ переходам I родэ. тз} Линия флоо^ых гк?рй>ходоп, отл шлющая фазы конф; Хиггсэ, эзк^нчи.пле'ггя критич^кои тонкой- С •.^гэпгзого перехода II рола •

В кл' гг-гтнг- пир л истрл пс рад-; а мы б у .'«ом ь. г о к

называемое ''ср^днс-о р ^(?ро"

!

т - =а

<о. и>

.гдо'м ;ьсчнуо >.снс тапту сп-ои Э.

О = О

о

Дю логично г:;«1:утс -I ре '-. уррентны- ее г.т!;стс п^я д лл • э лпИ'р обо шеи модели Пот тс.х - ^олчни г» п-трг-м п р грз <?. Лс: пользу я яти ссот.чси': кг т мо хно лслучмть 1-рит;:чгс: -;у>- : .Г'Чку С

¿у-

тс ч»м н^лр —п ^ г:-него г>?рйхода м.г?но и-;ч;!сди п- хрити-

н} ? д х с /? }! э 1; р; :• ь ~ ^ с г г ^ *- с т ~ гд* 7 д з г: с ф т р м у л э:

1_ - I. с '' - '."О^

а индекс гч ;гэ рдоностн свсс5одных ^нг-ргиП:

г + - Г - се - в/*-" + ' -

где значения Г берутся на крирсг$ >0.1», а Г - на кривой

сссу:псстпоБ-лни<1. Опро» 1 пленные тл кия образом хрнтичзскне? индсксы

имэот классические окаченис:

о - (> — ¿УЕ, а - С

что и следовало ожидати в методе Бете аппроксимации.

Установление фазовых переходов II рода имеет важное значение в.решеточных моделях. Вблизи точек перехода, благодаря дальним корреляциям можно пренебречь эффектом решетки и воспроизвести непрерывную теорию поля.

Глава III посвячена исследованию 2.1 С£> - калибровочной модели, когда статистическая сумма записывается через

топологические инварианты и в трехмерных и в четырехмерных

\

калибровочных моделях исследуются критические свойства.

В первом параграфе приводится запись статистической суммы через числа Бетти. При использовании чисел Еетти по модулю £ они учитывают, <ак ориентируемые, так и неориентируемые? поверхности. При от ом гущ&стве-пн1 ■ используется запись для статистической суммы калибровочной. модели, где суммирование пе полевым переменным заменено суммирование»' по гипергодграфам решетки. Рассмотри:»; О. - компонентную калибровочную модель Поттса - /X С£> • Действие такой модели иьи-тет 511.1:

г

= ~ Я Е £ СБ Б К й :>"

О^4- 123*

р1 п-1

где К-температурно-подобный пзрг^етр, определяющий флуктуации калибровочных переменных Р , определенных на ребрах решетки. Статистическая сумма для калиброг-очноп мод-зли Поттса С2С0) = = £ е 3 запишется в виде:

2 = г ген уб

д " К Н В Я , 1

<В > р1 ±23*

I

где V = ек - 1 и суммирование ведется по всевозможным конфигурациям калибровочных переменных <К>. Эту сумму запишем в виде:

Г Г Г- ■> Г- ГС О' »ГС С У ^ СО.-Л = Г V I О I 2 1

9 С£6

где суммирование ведется по всем гиперграфаы ресетки о, Г -

полков чис.-.о плакетов решетки О, КЧО .< - второе число Б^г.ги ло> модуле 2, ГСС - число планетов данного гип^рграфа С( . Представление статистической суммы в виде суммы по гипер'Графам оказывается удойным при проведении низко-, высокотемпературных и 1 /О~раэлож<гний.

Во втором параграфе при помощи 1 /О. - разложения исследуется трэхм=рнад калгггГроеочкая модель,котор.зз дуальна спиновой модели. Сшивая свободную энергию для калибровочной и спиновой модели, можно получ.чть критическую точку V

с

л 1 э 2 * = 20 в 4 7

= ОСМг + 3 2 ~ 2 + 5~ 2 ~ 9 2 ~

„и } 985 г> - 82 + 'И" 2 + ' " *

В третьем параграфе этой главчл найдено выражение для скрытой теплоты Ь и при помощи Пале апроксичанты она сравнивается с методом Монте-Карло. Рассмотрим теперь критические явления в 2СС£> - калибровочной модели Поттса С с1 = 4 Наличие фазового

перехода "конфайнмент" - "свободные заряды" в 2ССР - модели автоматически приводят к аналогичному фазовому переходу в £исс£>-калибровочноя теории. Г зависимости от величины О фаэоэый переход мож<?т быть I или II рода. Фазовый переход будет I рода, если при этом выделяется скрытая теплота фа-эового перехода Ь:

> О

1--[(этХ. I. I. ]т=т

где 1 и (¿у)ь низко- и высокотемпературные производные

свободной энергии "в критической точке. Используя соотношение

дуальности легко вычислить только ¿зысолотемпературнос- р<зс.;о./.:. для свободной энергии. Лифференцируя свободную онерпио ¡-¡о тсмг; г -ратуре в критической точке С , получим для --¡2"/СС р: _„—

Л.у>~и; ГЛ.-Л-Гл-'С-ЛП^-

1.-? - г%: * -=ч-2 ■■ я-с3 - ех*-54х5-2:

где х = 1уУ0, Здесь учтены всь- члены в разложении свободкоя энергии, даг/йие вклад з скрытую -теплоту Ь вплоть до Ю перядпа по х включнгелько, Приведены результаты П.-»до апрохенманты для скрытой теплоты перехода при различных О. Необходимо огыеппь, что полученные нами более высокие порядки Паде-апродсиманты, лучше согласуются с данными полученные мете дом Монте-Карло.

Глава IV посвящена преобразованиям Лекандра в непрерывной теории поля и построению эффективного потенциала, зависящего, как от *п - точечных функции Грина. так и ст среднего классического действия.

В первом парахрафе преведены уравнения движение и итера-ционное решение обобщенного эффективного потенциала. Благодаря тому, что среднее классическое действие усть скаляр, удается проинтегрировать эффективный потенциал и тем самым найти его выражение вне теории возмущения.

Во втором параграфе исследуется ис>0 симметричная модель

Гросса-Невье. Она определяется действием: - _ -2 -

БСФЕ> = Ф Ю + -кфчф Э2

а ар р а а а

Применяя метод обобщенного эффективного потенциала, зависящего

от вакуумного среднего действия можно получить энергию

основного СОСТОЯНИЯ:

£Сф = з < о

9 уас

Последний формула указывает на то. что в модели Гросса— Невье имеет место конденсация действия я что основное состояние теории лежит ниже состояния, полученною по теории возмущения еСдЭ < О. Это выражение является, по-вцдимюыу. общим для асимптотических свободных теория и справедлива! дп квантовой хромодинамики. где можно связать величину глюаняюа конденсации С средней величины действия поля Янга-МиллсаЭ с константой модели мешков.

В третьем параграфе рассматривается ангармонический осциллятор и его основное состояние. Применяя метод обобщенного эффективного потенциала, зависящего от среднего классического дейсэия. можно получить союеное состояние ангармонического осциллятора. Анализ метода суммирования по скалярному параметру С среднее действие} приводит к следующим заключениям:

- в отличие от стандартной теории возмущений исчезла осцилляция кривых при переходе от низших порядков к более высоким;

- значительно увеличилась область применимости по X. С константа ангармонического взаимодействия} формул и улучшилась точность результатов;

- Наблюдается монотонная сходимость кривых к точной при увеличении порядка приближения.

В Главе V применена спиновая модель Поттса для описания переходов спираль-клубок в биополимерах.

В первом параграфе построен модельный гамильтониан, учитывающий топологию эамыхания водородных цепей. Рассмотрим полипептидную цепь достаточно большой ллины, чтобы ее можно было считать термодинамической системой. Конформации этой цепи определяются вращениями вокруг связей, присоединенных к асимметричному атому углерода. Набор углов вращения принимает О дискретных значений. Поставим каждой ларе углов вращения & соответствие спиновую переменную а , принимающую значения 1.2.....0,

причем с. =1 соответствует конформации, приводящей к а-спиральног: структуре. При этом, водородная связь образуется только при а = а = а - 1. При обраэвании а-спиральной структуры выде-

1-2 1.-1 I

ляется энергия и. Для такой модели можно написать гамильтониан на треугольной решетке вида

Н =-£ и 6 6 6

" С. . 1 С. , 1 £7,1

I 1-2 1-1 I

где спиновые переменные а^ определены в узлах решетки, ^сф символ Кронекера. а суммирование производится по всем узлам решетки. С таким гамильтонианом можно вычислить температуру Т перехода спираль-клубок:

Т = и/С к 1пС1+С£)Э

с

Во втором параграфе приведены состояния для макроскопических параметров. Для описания перехода спираль-клубок используется ряд макроскопических параметров и прежде всего, т. н. степень слиральности в. Резкость перехода может быть описана на языке интервала перехода, определяемого как:

ДТ = С аэ/этэ-1 т=т

с

Это выражение можно сравнить с полученным Зиммом и Брэггом

ДТ = СКТ* / № 2 оУг. с

с ев/э\о

v=v

Тогда: а - -с, где V = ехрСигкТЭ - 1.

гсу+1з

Последнее соотношение устанавливает связь феноменологического параметра кооперативности сг с микроскопической теорией.

В последнем параграфе рассмотрена лолилолтндная цепь в растворителе. Биополимеры функционируют в различных растворителях. Поэтому нужно в гамильтониан ввести дополнительные переменные, соответствующие образованию водородных связей с выделением энергии Е. Учет роли растворителя приводит к тому. что в некоторых полипептидах при повышении температуры происходит

переход иэ клубкообразного состояния в спиральное Свыстраива-ннеЗ .

В Заключении перечисляются основные результаты, полученные в диссертации.

Основные результаты диссертации опубликованы в работах-

1. Avakian A. R. . Anariikian Ы. S. . I г mai 11 an N. Sh. A spl n-1 model

on the Bethe lattice. Pbys.Lett. .1 990. A1 SO. p. 163-1 S3.

2. Ananikian N. S. .Avakian A. R. . I zmai 11 an N. Sh. Phase diagrams

and trlcrltical effects In the BEG model. - Physica.1991 ,A172. p. 391-404.

3. Ананикян H. С. , Саввиди Г. К. Поляризация вакуума инвариантными источниками. -ЯФ.1982.Т. 35,вып. 2,с. 464-472.

4. Ананикян Н. С. .Саввиди Г. К. Обобщенный эффективный потенциал

и его уравнения движения. -ЯФ.1980.т. 32. вып. SC 11 5 . с. 1 439-1 445.

5. Ананикян U.C. .Саввиди Г. К. Обобщенный эффективный потенциал

в нелинейных теориях четвертого порядка.-ТМФ, 1981 . т. 49, N. 1 . с. 20-35.

6. Ананикян Н. С. .Балаян Г. Л. .Саввиди Г. К. Метод суммирования

диаграмм с помояью преобразования Лежандра по скалярному параметру и его применение к ангармоническому осцилятору.-ЯФ.1983, т. 37, вып. 6, с. 1572-1578. 7 Ананикян Н. С. .Балаян Г. Л. Суммирование диаграмм с помощью

преобразования Лежандра по скалярному параметру. Высггие порядки. -Доклады АН Арм. ССР. 1983. т. 6. с. 32-33.

8. Ананикян Н. С. , Ахеян А. Э. .Тер-Арутюнян-Саввиди Н. Г. Бесконеч-

номерная калибровочная модель Лзинга. -ТМФ. 1 989, т. 78. с. 281-288.

9. Ananikyan N.S. . Akheyan A. Z. Phase transition in the infi-

ni te-di menti onal ZCQJ -symmetrl с models.-Proc. XX Int.Symp. Ahrenshoop, 1988, p. 74-80.

10. Ананихян H. С. .Иэманлян H. И. .Шербаков P.P. Фазовый переход

"порядок-порядок" в БЭГ модели. - Препринт ЕФИ-1329C24D-91.

11. Ананикян Н. С. Ахеян А. Э. Z калибровочная модель, с полями

2

материи на реветке Бете иэ плакетов. - ЯФ. 1989, т.50. в. 5. стр. 148S-1490.

12. Ананихян H. С. Ахеян А. 3. Калибровочная модель Поттса на

бесконечномерной решетке. - ЯФ. 1990, T.S1, в. 6. стр. 1770-177S.

13. Ананнкян Н. С. Ахеян А.Э. Калибровочная модель Поттса с

полями материи на решетке Бете из плакетов. - ЯФ, 1991, т. S3, в. 2. стр. 1143-1149.

14. Ananlkyan N. S. .Akheyan A.Z. The gauge Potts model on a ge-

neralized Bethe lattice.- J. of Phys.A.1992.v25.N.11.

15. Ananlkyan N. S. .Hairian Sh.A. » MaxnasaKl 1 sov E.G,.Morozov V.

Helix-Coil transition of Polypeptides in the microscopic approaches.- Biopolymers.lOSO.v. ЗО.р. 357-387. IS. Ananlkyan N. S. .Mamasahlisov £. C, -Morozov V. The Random Surface Model Describing theHelix-ColJl Transition in Polypeptides.-Z. Ph.Chem. .Leipzig.271 .C1SQD5 .3.p. 603-610.

17. Ананикян И. С. . АЯрян Q. А. .Мамасахлнеов Е. .Морозов В. Влияние

растворителя. конхурирух>шего за образование водородных связей с пептидными группами на переход спираль—клубок в полипепти— дах. - Биофизика.1989.т.34.с.384-388.

18. Ананикян И. С. . АЯрян П. А. .Морозов В. Решеточное приближение

микроскопической теории перехода спираль-клубок. - Биофизика. 1088.т. 311 .с. 388-390. 10. Ананихян Н-С. . АЯрян Ш.А. .Морозов В. Расчет параметров феноменологическое теории перехода спираль-клубок на основе микроскопической модели. - БиЬфюика.10В7,т. 32.с. 394-397. SO. Ananlkyan N.S..Izmailian N.Sh. Topological aspects of gauge and spin Potts siodel. ^Phys.Lett. .1965.V.B151.N.3.p. 142-144.

21. Ананихян H.C. .Иамаилян H. Ш. . IVQ-expansions of spin and ga-

uge Potts models. Lagrangfan formulation. -Препринт ЕФИ-B44C34D-83.

22. _Ананихян H. C. .Изманлян H. Ш. Топологические аспекты калибро-

вочной модели Поттса л IyQ-раалохение. — Препринт ЕФИ-1376С6Э-

Техническкя редахтор А. П. Абрамян

Подписано в печать 21.30.92 формат 60x84616

Офсетная печать. Тираж 110 экз.

Зах. тип N 058

Отпечатано в Ереванском физическом институте Ереван 3S. ул. Бр. Алиханян 2