Фазовые переходы и мультикритические явления в спиновых и калибровоных моделях тема автореферата и диссертации по физике, 01.04.02 ВАК РФ

РГЙ ОД

,ЕРЕВАНСКИЙ ФИЗИЧЕСКИЙ ИНСТИТУТ

9 ;) и .'л

На правах рукописи

ИЗМАИЛЯН НИКОЛАЙ ШАГЕНОВИЧ

ФАЗОВЫЕ ПЕРЕХОДЫ И МУЛЬТИКРИТИЧЕСКИЕ ЯВЛЕНИЯ В СПИНОВЫХ И КАЛИБРОВОЧНЫХ МОДЕЛЯХ (01.04.а?теоретическая Физика)

АВТОРЕФЕРАТ

диссертсции на соискание ученой степени кандидата Физико-математических наук

ЕРЕВАН-1993

Работа выполнена в Ереванской Физическом институте

Научный руководитель: - доктор физико - математических наук, ведущий научный сотрудник Ананикян Н.С.

Официальные оппоненты: - доктор физико - математических наук.

А. А. Киракосян (ЕрГУ, Ереван) кандидат физико - математических наук» Р.Г.Погосян (ЕрФИ, Ереван)

Ведущая организация: Институт теоретической и экспериментальной Физики (Москва)

Защита состоится 1993 года в 14 часов на

заседании специализированного советаД034.03.01 при Ереванском Физическом Институте (г. Ереван-36, ул. Бр-Алиханян, д.2).

С диссертацией можно ознакомиться в библиотеке Ереванского Физического института.

Автореферат разослан ^ 1993 года.

Ученый секретарь специализированного совета

кандидат физ.мат.наук В.А.Шахбазян

ОБЩАЯ ХАРАКТЕРИСТИКА РАБОТЫ

Актуальность темы-

Более ста лет изучаются «разовые переходы, как явления природы. Для ферромагнитных свойств металлов Изинг предложил спиновую систему, основанную на гсгэ симметрии. Онсагер впервые получил точное решение в двумерной модели Изинга при описании намагниченности и теплоемкости в окрестности критической точки. Он учел роль крупномасштабных флуктуация по мере приближения к критической точке. В 1932 году Поттсом выло сформулировано обобщенная модель Изинга. основанная на 2С 03 симметрии. Относительная простота модели наряду с богатыми критическими свойствами сделали ее основой для опробирования различных подходов при изучении фазовых переходов.

Использование решеточных формулировок значительно облегчает описание критических и мультикритических свойств системы. Решеточный подход заключается в зайене реальной системы на упрощенную идеализированную модель. Математически это вырожается в задании конкретного вида гамильтониана нсээ.

Первоначально решетки стали использоваться в статистической механики, желая смодулировать кристаллическую структуру твердых тел. Соответственно применялись решетки различных конфигураций и размерностей. При этом гамильтониан нсг> имеет глобальную симметрию ЖСР.. то есть гамильтоиан не меняется при повороте всех спинов одновременно на решетке, такие модели называются

из - сипметричные спиновые системы.

В 1УУ4 году Вильсон предложил решеточный подход для описания калибровочных теорий, суть которого в той. что гамильтониан имеет локальную симметрию. Он заключается в топ. что гамильтониан остается инвариантным при изменении локального калиоривочниго преобразования в любом узле. При этом, если в спиновых системах в качестве независимого параметра порядка используется локальная величг » - спонтанная намагниченность, то применять в калибровочных моделях ее аналог - намагниченность калибровочного поля - невозможно- Поэтому в калибровочных теориях на обычных решетках часто используют глобальные параметры порядка, такие как петля Вильсона - произведение нол..-вы>с переменных вдоль бесконечно большого замкнутого контура, лиоо петля Попякого - произведение полевых переменных вдоль покои прямой на решетке, замкнутой благодаря переодическим граничным условиям. Вильсоновскин коррелятор, хотя он удобен для описания фаз теории, является сложный математическим объектом-Если провести операторное разложение для вильсоновского коррелятора. то первый нетривиальный член разложения еудет

вакуумному среднему от классического действия поля Янга-Милса. Следует отметить еще одно'обстоятельство- Группы ZCC£> являются центрами неаеелевых групп SUCQ3. Идея а том. что центр калибровочной группы может играть важную роль в явлении удержания кварков выла высказана т'Хофтом и Маккои.

Модели, имеющие разные симметрии, и поэтому разной степени мультикритичности. подчиняются закону d*= 2 + 2/Сп-15, где d* -. высшая размерность, начиная с которой все идексы становятся

классическими, п- число независимых критических индексов- В ZCHD ;

I

Щ tt I

модели число п = 2 и d = -4, в 2C3D подели п = 3 и d = 3 и т-д-

пропорционален глюонному конденсату

то есть

л

zcaí симметричная модель в точке фэзоеого перехода второго рода соответствует д<р4-непрерывной модели теории поля. ZC 33-соответствует g непрерывной модели теории поля и т.д. при размерности вплоть до ^ •

Решения на решетк<-> Бете становятся существенными, потому что они. во-первых» учитывают взаимодействие ближайших соседей и.во-вторых.можно аналитически точно вычислисть макроскопические Физические величины- А решение на бесконечномерной решетке имеет такие же индексы вплоть до размерности а .

Рассматривал модель Изинга со спинои-1. 5люм. Эмери. Гриффите с Б'ЭГЭ показали методом среднего поля, что в этой модели существует трикритическая точка. Поэтому становится существенным изучение Б'ЗГ' - модели на решетке Бете-

В изучении калибровочных полей, как и спиновых систем, очень важную роль играют дуальные и самодуальные системы на решетках- При записи статистической суммы через топологические инварианты с числа Бетти з упрощается доказательство дуальности и самодуальности. В этой записи легко проводить высоко низкотемпературные и i'Q - разложения-

Zr'OO Tí M Матричные '^ПИЦМВН^ > ■!!'- Т"МЬ! !м;!1л|! '-"M'' ! :'; ! ' !':: Л ич "П1Г1М11Ч !ИГ! 1 -МП"! '.v:-v; il! •\>-.-и>- rft с л '.•■" т;: . ■ ;>-• :. i

.-mu:.и Грамши.-: ^¡ть^-рринагнегнкиь. растворов двух изотопов гелия, мультикомпонентных жидкостей, микроимульсий. расширенной модели Хаббарда, полимерных цепей - в которых есть мультикритические точки, zcqj симметричная модель применяется и для описания функциональных особенностей биополимеров, при изучении перехода спираль-клубок.

S

Целью работы является

-исследование трикритических явлении в БЭГ' модели на решетке Бете, нахождение А - линии фазового перехода второго рода, построение фазовых диаграмм.. вычисление критических индексов в трикритической точке;

г

-доказательство эквивалентности БЭГ модели на подпространстве констант обменного взаимодействия модели Изинга на шестиугольной

I

и Бете решетках;

Исследование мультикритических явлений в модели Изинга со спином - 3'2. нахождение Л' - поверхности фазовых переходов II рода.вычисление мультикритических индексов в трикритических и тетракритических точках.

Исследование двумерной модели Изинга со. спином - 3/2 ' на гексагональной решетке, нахождение Л - линии фазовых переходов II рода на подпространстве констант обменного взаимодействия.

-исследование гсс» калибровочных моделей, когда записывается статистическая сумма через топологические инварианты, нахождение в трехмерных калибровочных моделях при помощи 1/(1 - разложения критической температуры перехода, в четырехмерных калибровочных моделях нахождение скрытой теплоты фазового перехода;

Научная новизна '

Впервые построены рекурентные соотношения для БЭГ модели на решетке Бете, ^аналитически найдены X - линия, трикритическая точка. построены фазовые диаграммы. точно вычислены- в трикритической точке все индексы.

Доказано эквивалентность БЭГ модели на решетке Бете, модели Изинга со спином - 1/2 на определенном подпространстве констант ' обменного взаимодействия.

Впервые построены рекурентные соотношения для модели Изинга

со спином - 3/2 на решетке. Бете. аналитически точно найдены: свободная энергия. намагниченность. Л - поверхность, мультикритические точки, точно вычислены критические индексы в трикритических и тетракритнческих точках.

„ Впервые точно решена модель Изинга со спинпм - 3/2 на гексагональной решетке на подпространстве констант обменного взаимодействия, найдена X - линия фазовых переходов II рода.

Впервые записана статистическая сумма калибровочной модели через топологические инварианты с числа Бетти^> найдена для четырехмерной 2Сф симметричной калибровочной модели скрытая теплота фазового перехода в Ь'Ц - разложении и при помощи Паде апроксиманты найдены более высокие порядки для скрытой теплоты-

Все основные результаты .диссертации^ являются новыми и научно достоверными. Результаты теории согласуются с имеющимися экспериментапьными данными.

Научная и практическая ценность работы

Полученные в диссертации .результаты позволяют утверждать, что на решетке Бете можно аналитически'точно получить фазовые диаграммы для гссу симметричных спиновых моделей. Лля БЭГ модели проведено исследование с учетом взаимодействия ближайших соседей и найдена Л - линия, заканчивающаяся трикритической точкой.

Проведенное исследование для 2С0Э симметричных калибровочных моделей, когда статистическая сумма записывается через топологические инварианты, позволяет найти более высокие порядки скрытой теплоты перехода в 1/сг г разложении.

Исследована модель Изинга со спином - 3^2 на решетке Бете с богатыми критическими свойствами. Найдены точные выражения для свободной энергии и других термодинамических величин. Точно решена модель Изинга со спином 3'2 на гексагональной решетке в подпространстве констант обменного взаимодействия.

Полученные в диссертации результаты могут быть использован! при исследовании различных аспектов в статистической механике 1 квантовой теории поля.

На защиту выносятся следующий основные результаты: 1-Проведено исследование БЭГ модели на решетке Бете. Найдены аналитически точные выражения: свободной энергии. Л -линии фазовых переходов второго рода. заканчивающейся трикритической точкой. Вычисленью в трикритической точке все критические инксы оказались классическими- Приведены фазовые диаграммы при различных значениях дипольного и квадрупольного взаимодеисвий.

2. Показано, что иодель Изинга со спином -1/2 эквивалентна БЭГ модели на решетке Бете на определенном подпространстве констант взаимодействия.

3- На решетке Бете исследована модель Изинга со спином -3/2- Получены аналитические выражения для свободной энергии, намагниченности и других термодинамических величин. Найдены две

Л - поверхности фазовых переходов II рода. ограниченных

I

трикритическими линиями. На каждой трикритической линии найдены

4. Точно решена двумерная модель Изинга со спином 3/2 на гексагональной решетке. Найдена Л - линия фазовых переходов II рода-

5. Для калибровочных моделей приведена запись статистической суммы через топологические инварианты С числа

.БеттиЭ. В трехмерной калибровочной ноделе Поттса вычислена критическая температура перехода при помощи 1/<2 разложения- На четырехмерной калибровочной модели найдена .скрытая теплота

перехода с помощью 1/0 разложения."

Апробация работы.

Данные. полученные в диссертации. докладывались на теоретических 'семинарах ЕФИ. на советско - американской рабочей встрече СНор-Амберт. 1988. 1991Э.

Публикации. По результатам диссертации опубликованы 7 работ.

Обьем и структура работы. Диссертация состоит из введения, трех глав. заключения. списка литературы. изложена на 81 странице машинописного текста. Библиография содержит 100 наименований.

СОДЕРЖАНИЕ ДИССЕРТАЦИИ

Во Введении дается обзор современного состояния проблем, затронутых в диссертации. обсуждается их ' актуальность, .формулируются задачи исследования и приводится краткое описание основного содержания диссертации.

Глава I посвящена исследованию БЭГ модели на решетке Бете. Приведены 'разовые диаграммы и вычислены критические индексы.

В первом параграфе дана краткая характеристика решетки Бете и указаны ее основные отличия от стандартных решеток. Главное преимущество этой решетки заключается в возможности получения точнйх рекуррентных соотношений.

Во втором параграфе изучается БЭГ модель со спином - 1. Выводятся рекурвнтные соотношения и строятся фазовые диаграммы. В БЭГ модели на решетке Бете получается целая линия фазовых

переходов второго рода она называется А - линией- Л - линия оканчивается трикритической точкой. Ниже трикритической точки по температуре получается фазовый переход первого . рода. При достаточно оопьшоп К.--Г трикритическая точка исчезает С 3 -мое. К - квадрупольное взаимодействия}. Показано. что при К/Л >3.4231 трикритическая точка исчезает- Построены ряд фазовых диаграмм при различных значениях К/Л.

В третьей параграфе вычисляются все индексы в трикритической точке. 'Гак как существуют два внешних поля, то число независимых критических индексов равно трем. Поле Ь сопряжено намагниченности т = <3>, поле А сопряжено р = <32>, являющейся концентрацией в растворе изотопов гелия. Разложение велизи Л - линии по намагниченности т и по концентрации р имеет

ВИД:

Ь = Ь т3 + Ь т5 + Ост7;) 1 2

А-А, = А тг + А т"4 + ОСпЛ Л 1 г

В трикритической точке ь и равны нулю и поэтому 6{= 5

т ~ |Ь|' Р-РХ ~ |Ь|2'=, ()1 = 1/4. 1/2. р-?1 ~ |Д-ДЛ[Рг1.

В зависимости от температуры в трикритической точке можно

Я ~ Р2

получить ш - ]Т —Т )' и р-^ - 1Т—1 . где Р2 = 1 и (? = 1/2.

Таким образом на бесконечномерной реше.тке Бете получились, как и ожидалось, классические индексы.

В последнем параграфе этой главы при исследовании БЭГ модели на решетке Бете, при выполнении условия СехрКЗ соэЪЛ = 1 с(3 = 03, находим соответствие точному решению модели Иэ.ин^а-Попучается целая линия фазовых переходов второго рода, потому что есть второе внешнее'поле Л. Эта линия определяется условием-

(ЧапЬЛЗ = 2 + ехрСАЗ, где у+1 координационное число решетки Бете. Интересно отметить, что при А а 1п2су-1> нет фазовых переходов в БЭГ модели со

спином 1 при 0 = 0. Когда -<ю < Д < 1п£су-13, то мы имеем ц.елую линию фазовых переходов второго рода.

Г пава II посвящена исследованию мультикритических свойств модели Изинга со спином 3^2 на решетке Бете.

В первом параграфе этой главы дается определение модели Изинга со спином 3''2 на решетке Бете и ' выводятся точные рекуррентные соотношения. Статистическая сумма этой модели запишется в виде:

г -

<3>

- 4ДЗ* + Ь Э3 1 1 ,

3 1 Л

Решение модели осуществляется методом рекуррентных уравнений. После чего статистическая сумма приобретает вид:

ч

2П = £ ехр [ - 4Д^ - ^ ] [ д^ ] .

О

где 3 - значение спина в центральном узле. а д СБ 3

О ПО

определяется из рекуррентных соотношений д сэ э

СЭ Э = ) ГлБ Э + 16К5252 + ЬЗг'э3 + 1Х2МГ5 + Ч

П О / I 1 О 10 1 О V 1 о 10^

1

+ ЬЭ - ДДЭ2 + Ь Б3 1 Г д сгэ 1Ч .

11 5 1 ] [ п-1 1 J

и фактически является статистической суммой каждой отдельной ветви решетки Бете.

Введя обозначения:

д С-цугу п

д С-1/23

д С+3/2} _

д С-1/23

д С. -3/23

4 п

X = -

п д С-1/23

х* + 1

X - 1

X + 1

I » У/Х ,

получим после суммирования по три точных рекуррентных

соотношения, которые можно разрешить относительно Ь, Д. и Ьэ.

ехрС24ЬЗ>

27у Ц 2

1 - Г1 + [ й(сэ- с и) 4 0х(*э1 - 32и) ]

1 + 1х

С Й(сэ- Сги) " " Зги) ]

«(у.- с2) ~ РхСу ~ У)

»

«Су - с2) + рх^и - э^)

У

ехрС 1 еДз

ехрСбЬ 3

Г * ~ *У а ру сги)' - р-'х*[8а1 -

"и - " <Х2(у - с2)2- |Лс2(в1и -

Г1 + Ъх-!

у

1 - х1 С а(сэ~ <у0 - 0х - у) 3

[ а(са~ сги) + рх О5,1 - *2и) ]

а(с!и " сг) 4 0х 0." -<У - сг) - рх^и -

где

с « ехрС —8Ю сМ с « сЫ , с ■ ехрС72КЗ сЫ ,

1 I I 2 3 з

Б « ехрС —8КЭ 5Ы , в « 5Ы , х « ехрС72КЗ гЫ ,

1 I ' г г ' з з

с с - с 19 г

а - V«" ** ' Р

Для параметров порядка т » <э>, р » <2*>, 1 ■» <бэ> получаются следующие соотношения:

э

X + X

3

X - X

3

X + X

°Мсэ" czu)+'}is3t " s2u)^3CW(ciU - C2)43ßu(Siu - S t)

2m = x --:—

«(c3- c2u)+0txz(s3t - s2u)+oiu(ciu - c2)t^(S(u - s2t)

d(C3~C2U) _S2U) +9aU(CtU ~C2) -S2t )

Ci(c3-c2u) +i3t>!2(s3t -s2u) +öu(ciu -cj +/iuxZ(Siu -s2t) f

Ctt (c3-c2u) +ß(s3t -s2u) +27ÖU (cu -cj +27/?u (s^ -j^t)

4p =

81 = x

й(сэ-с2и) +ßtx (s3t -s2u) +0M(C1U -c2) -»ßux (s^u - s2t)

Во втором параграфе приводится вывод точного выражения для свободной энергии модели Изинга со спином 3/2 на решетке Бете.

Свободная энергия, приходящаяся на один, узел решетки, равна.

ln , f = - к Т lim -- . '

При заданной температуре Т она является'функцией Ь, А, н , т.е. Г = ^сь, А, ьо , а из рекуррентных уравнений видно, что внешние поля Ь, Д и являются функциями и, V, х. Используя рекуррентные соотношения, оказывается возможным получить Точное выражение для свободной энергии как функции и, V, х.

Г'квт * ^ 1п[ а(сз-с2и)+/}Ъхг(5з<.-*2и) + «и(с1и-с2) +

+ ^иХ^О-зД)] - 1/16 1п[а2(с1и-С2)2 -/?2хг(51и-521)2] + + 9/16 1п[ аг(рэ- с2и)2 - р2х2(5эЬ - 32и)г ] + у/8 1п и + + у/16 1п[1 - X2] - 9у/16 1п[1 - Ъ2х2] - 1п[ехрС9Ю Я/?]

- 1п 2.

При этом оказывается, что связь между свободной энергией на решетке Бете и свободной энергией на дереве Кейли имеет следующий вид :

Г - - г ■

Вв1Ьв а Сау1ву

В третьем параграфе исследуются критические свойства

«

.модели: Найдены две Л - поверхности фазовых переходов II рода, две трикритические линии, оканчивающихся в ■ тетракритических точках. В модели имеются три параметра порядка, сопряженных внешним полям: поле Ь сопряжено т » <Б> , поле А сопряжено р = - <52>. поле сопряжено 1 « <Б > .

Разложение вблизи Л -г поверхности по намагниченности имеет

вид:

24Ъ » н'ш3 + Н2Щ5 + н3т7 + ОС

Во всех точках Л .- поверхности, кроме трикритических, Н1 > о, .поэтому . мы имеем критический индекс 6 » 3' С « 7 |ь|1/3 э.

На трикритическои линии Н1 ■ о, а Н2 > О. Следовательно

критический индекс б1 »5.

В тетракритической точке н1 » н2 »о, Н3.> О и мы имеем критический индекс о * 7.

Аналогично йроводятся разложения по р и 1.

Таким образом на решетке Беге, .как и ожидалось» получились классические индексы.

Наконец в последнем параграфе этой . главы рассмотрена двумерная модель Изинга со спином 3/2 на гексагональной решетке. Гамильтониан этой системы запишется в виде:

-ЙН = г г л э.г. + к ^з2 + ь + М/гСБ^1 + 1- Д г б2

где а 1. ± 1. ■

Тогда можно получить эквивалентность модели со спином - 3/2 на

шестиугольной решетке подели Изинга со спином - 1/2

г аг СсозЬК у3*"2 2 СК Э

НопеусотпЪ X 1а1П9 I

Таким же образом можно поступить с моделями со спином - 3/2 на квадратной, треугольной. Кагоме и Бете решетках и показать их

эквивалентность модели Изинга со спиноп - 1/2' на некотором подпространств обменных констант и тем самым получить А - линию фазового перехода второго рода".

Глава ИХ посвящена исследованию ZCO - калибровочной модели. когда статистическая сумма записывается через топологические инварианты, и ' в трехмерных й в четырехмерных калибровочных моделях исследуются критические свойства.'

В первом параграфе этой главы дана краткая характеристика модели Поттса.

Во втором параграфе приводится запись статистической суммы через числа Бетти- При использовании чисел Бетти по модулю 2 они учитывают. • как ориентируемые, так и неориентируемые поверхности. При этом существенно используется запись для статистической суммы калибровочной модели. где суммирование/ по полевым переменным заминено суммированием по гиперподграф^м решетки. Рассмотрим Q - компонентную калибровочную модель Поттса - ZCQ3. Действие такой модели имеет вид: ■

„ Q

О Q ~ ** »234

pl

где К - температурно-подобный параметр, определяющий флуктуации калибровочных переменных определенных на ребрах решетки.

Статистическая сумма для калибровочной подели Поттса С2СС£> = = £ е- запишется в виде:

2=Г r«tvi Э

q ь ь R R » Н .1

<я.> pl t г а *

к «

где vre - 1 и суммирование ведется по всевозможным конфигурациям калибровочных переменных <£>. Эту сумму запишем в виде:

2CQ.V5 = Е QF-rCV+RzCV.

9 e^se

где суммирование ведется по всем гиперграфам о решетки S, F -полное число плакетов решетки <з, R^CG^ - второе число Бетти по модулю 2, rce 5 - число плакетов данного гиперграфа Gf. Представление статистической суммы в виде суммы по гиперграфам оказывается удобным при проведении низко -, высокотемпературных и 1'Q - разложений.

8о третьем параграфе при помощи l^Q разложения исследуется трехмерная калибровочная модель.которая дуальна спиновой модели. Сшивая свободную энергию для калибровочной и спиновой модели, можно получить критическую точку v^

13^24 = го а 4?

vc= q с1 ? z + 5 z 7 2 + —z - -

V . 82° +

Г где = - Q-* .

В последнем параграфе этой главы найдено выражение для скрытой .теплоты L и при помощи Паде апроксиманты она сраьниваетсяс методом Монте-Карло. Рассмотрим теперь критические явления в 2СДО - калибровочной модели Поттса С d = 4 5. Наличие ■разового перехода "конфайнмент" - "свободные заряды" в ZC CD -модели автоматически приводят к аналогичному фазовому переходу в SUC ДО - калибровочной теории. В зависимости от величины Q Фазовый переход может быть I или II рода. Фазовый переход будет I рода, если при этом выделяется скрытая теплота фазового перехода L:

'--[(trrX.t. С»т) h . L . ] т=тс

> О

где ь и низко - и высокотемпературные производные

свободной энергии в критической точке. Используя соотношение дуальности легко вычислить только высокотемпературное разложение, для свободной энергии. Дифференцируя свободную энергию по

мпературе в критической точке Cv = . получим для i-2VQCflf}v следующее разложение:

с

L=1 - 2х + 2х2 - 2хЭ - 6х4+ 54х5- 214х°+ 482х7 + + 162x° - 7е94х° + 42666--,0 + . . .

е х = 1-У<3. Здесь учтены все члены в разложении свободной ергии, дающие вклад в скрытую теплоту L вплоть до 10 порядка х включительно. Приведены результаты Паде апроксиманты для .рытой теплоты перехода при различных Q. Необходимо отметить, ■о полученные нами более высокие порядки Паде - апроксиманты, 'чше согласуются с данными полученные методом Йонте-Карло.

В Заключении перечисляются основные результаты, полученные диссертации.

Основные результаты диссертации опубликованы в работах:

Avakian A. R. , Ananikian N. S. , Izmail 1 an N. Sh. A spin-1 model

on the Bet.he lattice. Phys. Lett. , 109O, A1SO. p. 163-165. Ananikian N.S-,Avakian A. R. , I zmai 1 i an Ы. Sh. Phase diagrams and tricritical effects in the BEG model. - Physica, 1991. A172. p. 391 - 404. Ананикян H.С.,Измаилян H.Ш.,Щербаков P.P. Фазовый переход "порядок-порядок" в БЭГ модели,- ФТТ,1992.т.34.,N.11,с.3448-3451. '

Ananikyan М. S. .Izmailian N. Sh. Topological aspects of gauge and spin Potts model. - Phis. Lett. , 1985, V.B151, N. 3, p. 142 - 144.

Ананикян H.С..Измаилян Н.Ш. I/Q-expansions of spin and gauge Potts models. Lagrangian formulation. - Препринт ЕФИ -614C34D - 83.

Ананикян H.C., Измаилян Н.Ш. Топологические аспекты калибровочной модели Поттса и I/Q - разложение. - Препринт

ЕФИ - 1376С6Э -92.

Ананикян Н.С., Измаилян Н.Ш. Топологические аспекты калибровочной подели Поттса и I/Q - разложение. - ЯФ. 1993. т. 57, в.-4.

7. Ananikyan N.S. ,Izp\ailian N.Sh. .Lewis J.Т. Spin - 3/2 model In a honeycomb lattice: exactly solvable case. - preprint EFI -

Технический редактор А.С.Абрамян

Подписано в печать 21.04.93'г. Формат 60x84/16 Офсетная печать., Тираж 140 экз.

Зак.тип. № 121 I 1

Отпечатано в Ереванском физическом институте Ереван 36, ул.Братьев Алиханян,2