Интегрируемые структуры в теории струн и суперсимметричных теориях поля тема автореферата и диссертации по физике, 01.04.02 ВАК РФ

/ / • « ! / ' /

/

Российская Академия Наук ИНСТИТУТ ТЕОРЕТИЧЕСКОЙ ФИЗИКИ им. Л.Д.Ландау РАН

На правах рукописи

ГУКОВ

Сергей Геннадиевич

ИНТЕГРИРУЕМЫЕ СТРУКТУРЫ В ТЕОРИИ

СТРУН

И СУПЕРСИММЕТРИЧНЫХ ТЕОРИЯХ ПОЛЯ

(Специальность 01.04.02 - теоретическая физика)

ДИССЕРТАЦИЯ

на соискание ученой степени кандидата физико-математических наук

Научный руководитель: к.ф.-м.н. И.В. Полюбин

Черноголовка - 1999

Оглавление

1 Введение 2

2 4(1 калибровочные теории и XXX спиновые цепочки 8

2.1 Простой пример: теория Янга-Миллса ................. 9

2.2 51(2) спиновые цепочки и их вырождения ............... 17

2.3 Произведение калибровочных групп ................... 22

2.4 Ультрафиолетово-конечные теории ..........................26

2.5 Возврат к чистой калибровочной теории ................ 29

3 Пятимерные теории и XX ^ спиновые цепочки 30

3.1 Спектральные кривые из струнных моделей............................31

3.2 Твистованые XXZ спиновые цепочки ........................37

3.3 Вырождение в релятивистскую цепочку Тоды . .......................39

3.4 ¿>£(р) спиновая цепочка .......................... 41

4 ХУ2 спиновые цепочки и теории в шести измерениях 43

5 Калибровочные теории и решение Зайберга-Виттена 47

5.1 Пертурбативный препотенциал ..................... 47

5.2 Точные ^-функции............................ . 53

6 Эллиптические модели 58

6.1 Суперсимметричные вакуумы............................................58

6.2 Вырождение в цепочку Тоды и два представления оператора Лакса 64

6.3 Новые теории - новые решения ............................67

6.4 " Теории поля" не имеющие Лагранжевой формулировки ....... 74

7 Заключение 77

1 Введение

Теория струн появилась в конце 60-х годов как попытка объяснения сильного взаимодействия кварков в нуклоне [1]. Пока не увенчавшись успехом в своей первоначальной цели, эта идея привела к созданию самостоятельной области теоретической и математической физики. Сейчас теория струн имеет приложения от черных дыр в общей теории относительности до Великого Объединения [2]. Действительно, все ранние попытки объединения взаимодействий в одну теорию нашли наилучшую реализацию в теории струн. Естественным образом включая в себя гравитацию, она является согласованной квантовой теорией. С другой стороны, при низких энергиях динамика струн сводится к действию Янга-Миллса, которое является необходимой составляющей при построении реалистичных моделей взаимодействия.

Многочисленные факты в Стандартной Модели указывают на то, что при высоких энергиях теория элементарных частиц обладает суперсимметрией. Следовательно, если реальные взаимодействия передаются струнами, то они также должны быть суперсимметричными. В отличии от обилия суперсимметричных теорий поля, известно только пять "различных" теорий суперструн, согласованное квантование которых возможно лишь в критической размерности 10. Мы будем обсуждать только теории струн с двумя 16-компонентными суперзарядами одинаковой (в теории ИВ) или разной (в теории ПА) киральности. Как мы теперь видим, задача построения реалистичных моделей состоит из двух частей: (а) получить четырехмерную теорию из 10 измерений и (б) нарушить суперсимметрию. Оба пункта решаются с помощью механизма компактификации дополнительных б измерений, предложенного Калуцей и Кляйном еще задолго до изобретения суперсимметрии. Существует множество компактификаций, которые дают сколь угодно близкое описание четырехмерного мира. Но, так как большинство интересующих нас вопросов (как, например, невылетание кварков) относится к режиму сильной связи, мы сталкиваемся с другой проблемой: чем больше нарушена суперсимметрия, тем меньше ограничений на динамику теории. По этой причине долгое время была известна только непертурбативная динамика (которая, к сожалению, тривиальна) калибровочных теорий с 16 суперзарядами.

Ситуация существенно изменилась около пяти лет назад, во время так называемой Второй Струнной Революции, когда было сделано много важных открытий в теории суперструн. Ключевую роль играют дуальности (для введения см. [3]). Например, пять "различных" теорий суперструн, о которых шла речь в предыдущем параграфе, на самом деле описывают просто разные точки на пространстве моду-

лей некоторой общей (М-)теории, так что из одной точки можно попасть в другую непрерывно меняя параметры. Более того, в некоторых случаях начальная и конечная теории физически эквивалентны, т.е. дуальны. Предполагая существование дуальности на основании косвенных аргументов, часто удается ответить на вопросы вне теории возмущений с помощью эквивалентного описания в более "удобной" области пространства модулей. Аналогией из статистической физики может служить дуальность Крамерса-Ванье, согласно которой теория на дуальной решетке определена при обратной температуре Т О ^ [4]. Предположив существование лишь одной особой точки, можно угадать точку фазового перехода Т = 1, где теория самодуальна.

Именно дуальность сильной-слабой связи в N = 2 калибровочных теориях легла в основу знаменитой работы Э.Виттена и Н.Зайберга [5]. В теориях с 8 действительными суперзарядами суперсимметрия еще не столь велика, чтобы динамика была полностью тривиальной, но, с другой стороны, достаточна для точного описания вакуума в теории. Например, калибровочные константы связи перенормируются только в одной петле. С помощью этого факта, а так же дуальности и симметрии теории, Виттену и Зайбергу удалось точно описать пространство модулей (и ВР5 состояний) в кулоновской фазе теории, где калибровочная группа спонтанно нарушена до максимальной абелевой подгруппы. Если ранг калибровочной группы равен г, то скалярные суперпартнеры фотонов параметризуют Кэлерово пространство модулей М. комплексной размерности г — 1. Основной результат [5, 6] состоит в том, что Л4 совпадает с пространством модулей алгебраических кривых рода (г — 1) — спектральных кривых некоторой классической интегрируемой системы, как было найдено позднее в работах [7, 8]. Далее исследования развивались в двух направлениях:

• поиск интегрируемых структур в теориях с 8 суперзарядами [9, 10, 11, 12, 13, 14, 15], обобщая результат Зайберга-Виттена;

• использование интегрируемости для вычисления непертурбативных эффектов в калибровочных теориях, см. например [16, 17, 18, 19].

Основная часть диссертации посвящена первому направлению, точнее систематическому подходу к поиску интегрируемых структур с помощью теории струн. В 1996 году в работах [20] и [21] были предложены два разных подхода к построению (и решению) АГ = 2 Ы калибровочных теории из теории суперструн типа ПА. Оба метода позволяют достаточно легко получить уравнение спектральной кривой: в первом случае - с помощью одиннадцатимерной М-теории, во втором -

с помощью локальной зеркальной симметрии многообразий Калаби-Яу 1. До некоторой степени, эти два метода были обобщены на пятимерные теории в статьях [22, 23, 24, 25]. Руководствуясь принципом, что все вакуумы в теории струн (следовательно, и в теории поля) с 8 суперзарядами имеют интегрируемую структуру, мы покажем эквивалентность подходов с помощью интегрируемых систем, В-бран в теории типа И и локальной (сингулярной) геометрии Калаби-Яу. Удобно представить общую картину в виде таблицы:

Интегрируемая Теория Поля Конфигурация Сингулярность

Система с 8 суперзарядами В-бран в Калаби-Яу

Цепочка Тоды Би(ЛГС) теория Рис. 2 (а). А\'с-1 в

с периодом АГС Янга-Миллса ПА теории

XXX ЯЦр) Ш=1 зи{кнс) Рис.4 Рис.5(6)

спиновая цепочка Ы теория в ПА теории

XX2 БЦр) п рк1\Би(кНс) Рис.6 Рис.5(6)

спиновая цепочка ос1 теория в М-теории

хуг бь(р) 6(1 калибровочная Рис.8 ?

спиновая цепочка теория

Системы Теории с тензорной Рис.10, 11 , 12 —

Хитчина материей

Основное утверждение состоит в том, что вышеперечисленные объекты (в одной строке таблицы) имеют одинаковое пространство модулей, которое совпадает с пространством модулей алгебраических кривых определенного рода. Поскольку не для всех интегрируемых систем удается описать одной фразой класс соответствующих объектов во 2-ом, 3-ем и 4-ом столбце таблицы, то зачастую мы приводим лишь типичные примеры, в то время как детали соответствия содержатся в основной части текста. В 3-ем столбце указаны ссылки на соответствующие рисунки.

Казалось бы, можно только удивляться тому, как низкоэнергетическое действие теории поля с бесконечным числом степеней свободы оказывается зависящим от конечного числа степеней свободы, и более того интегрируемым. На самом деле,

1 Обычная версия зеркальной симметрии предполагает, что компактные многообразия Калаби-Яу имеют партнеров с "зеркальными" числами Ходжа, так что комплексная структура исходного многообразия отображается в Кэлерову структуру партнера, и наоборот. В комплексной размерности 1 и 2 все многообразия Калаби-Яу (торы и КЗ) самозеркальны.

не следует забывать, что мы имеем дело с вакуумом, где нет никаких возбуждений. После этого конечность степеней свободы не выглядит столь удивительной 2. Только в последней главе мы приблизимся к "объяснению" интегрируемости в эллиптических N = 2 моделях с помощью теории струн, тогда как для исходных (рациональных) моделей Зайберга-Виттена интегрируемость действительно остается загадкой. Интегрируемость некоторой системы означает наличие большой группы симметрий. С другой стороны, теория струн обычно позволят "увидеть" только геометрические объекты, в данном случае — спектральную кривую. Важным шагом в "алгебраическом" направлении является следующее наблюдение [26]: каждой теории поля и струнной модели во второй строчке таблицы на стр.4 можно однозначно сопоставить колчан К. Более того, эквивалентные физичские модели, которые имеют одинаковую интегрируемую структуру, имеют одинаковый колчан. К сожалению, это лишь малая часть полной группы симметрии. Первый подраздел в следующей главе не случайно написан в этом духе, и рекомендуется как естественное продолжение введения.

Содержание диссертации повторяет структуру приведенной выше таблицы. Как правило, каждая глава посвящена определенному типу интегрируемых систем, их вырождениям и соответствующим моделям в теории поля и в теории струн.

Глава 2 посвящена наиболее хорошо изученному случаю калибровочных теорий в четырех измерениях. Ключевое наблюдение о соответствии XXX спиновых цепочек и Л/" = 2 конформных теорий с произведением калибровочных групп было сделано в статье [13]. Без струнных моделей [20] и [27] было бы достаточно сложно найти точное решение таких теорий для сколь угодно большой калибровочной группы. С другой стороны, представляя Л/* = 2 теории с помощью Б4-бран в теории типа ПА, квантовое пространство модулей четырехмерной теории можно получить из классического пространства модулей пятибраны в М-теории. Эффективность Б-бранных моделей обусловлена тем, что непертурбативные эффекты в теории поля соответствуют классической динамике в ПА/М теории. Аналогичная идея лежит в основе геометрического подхода [27], где калибровочная теория получается за счет компактификации ПА теории на сингулярное некомпактное многообразие Калаби-Яу. На этот раз непертурбативные эффекты становятся пертурбативными в геометрии зеркального многообразия Калаби-Яу. В качестве независимой проверки эквивалентности этих моделей и XXX магнетиков мы убедимся, что они имеют правильные вырождения в теории с материей в фундаментальном представлении калибровочной группы. В XXX системе это связано с нетривиальном

Аналогичная картина типична для сигма-моделей.

свойством спектральной кривой.

В главе 3 обсуждаются пятимерные теории поля (с одним компактным измерением), которые можно получить "поднимая" струнные конструкции на одну размерность выше. Геометрический подход [23, 24] соответствует компактифи-кации М-теории на такие же многообразия Калаби-Яу, которые обсуждались в главе 2. Поскольку геометрия в М-теории всегда классическая 3, мы ожидаем, что в пределе декомпактификации пятого измерения, препотенциал определяется классическим индексом пересечений. Это действительно так [24]. Пятимерные теории с 8 суперзарядами могут быть получены в пределе низких энергий из сетки (р, ^)-пятибран в теории типа ПВ [25]. В отличии от четырехмерного случая, геометрический подход оказывается более наглядным и прямым для получения спектральных кривых пятимерных теорий с произведением калибровочных групп [14, 28]. Эти спектральные кривые совпадают со спектральными кривыми XXZ спиновых цепочек [14].

Следуя логике в 4с? и 5(1 случаях, в главе 4 мы обсудим естественное предположение о том, что интегрируемая структура шестимерных калибровочных теорий описывается ХУ^ спиновыми цепочками [14]. Отсутствие геометрического подхода существенно ограничивает проверку этого предположения 4. Но, с другой стороны, это позволят по достоинству оценить 4с! и 5с1 струнные компактифика-циях. К сожалению, отсутствие вырождения в "эллиптическую систему Тоды" не позволяет полагаться на физическую интуицию.

Чтобы не усложнять изложение в главах 2, 3 и 4, мы отложили вычисление физических величин в теориях поля с 8 суперзарядами до главы 5, где обсуждаются применения найденных интегрируемых структур.

Глава 6 посвящена интегрируемым моделям типа Хитчина с эллиптической затравочной спектральной кривой Е. В этой части программа струнного "объяснения" интегрируемой структуры в теориях поля с 8 суперзарядами выполнена, пожалуй, наиболее полным образом. Дело в том, что интегрируемая структура строго следует из условия суперсимметрии струнных компактификаций на (дуальный) тор Е [33]. Эффективность предложенного метода будет продемонстрирована на примере новых калибровочных теорий, характерной чертой которых является наличие материи в тензорном представлении. Несмотря на то, что неко-

3Инстантонные поправки отсутствуют, так как в М-теории нет струн. При компактификации на окружность, в пределе теории ПА, мембраны на й1 становятся легкими струнами. Поэтому, при конечном радиусе Б1 инстантонные поправки, вообще говоря, не равны нулю.

4Б-бранные модели, предложенные в статьях [29, 30], позволяют проверить лишь совпадение дискретных параметров: аномалий и размерности пространства модулей.

торые теории не имеют даже микроскопического Лагранжиана, мы покажем как пространство модулей низкоэнергетической теории может быть получено с помощью теории струн [34].

В заключении (глава 7) мы подведем итоги и перечислим нерешенные задачи. Благодарности

Хотя многие эффекты в теории поля кажутся довольно абстрактными, часто их можно увидеть на эксперименте в физике твердого тела: спонтанное нарушение симметрии в фазовых переходах второго рода, дуальность в квантовом эффекте Холла, и т.д. Я благодарен своим первым учителям Е.А. Дорофееву, B.C. Доцен-ко, В.В. Лебедеву, П. Калугину, А.Ю. Китаеву, Н.Б. Копнину, В.Е. Кравцову, Е.А. Кузнецову, В.Г. Марихину, В.П. Минееву, А.Я. Паршину, М.В. Фейгельма-ну, Д. Цуи и Л.Н. Щуру, которые воспитали во мне дух школы Льва Давыдовича Ландау.

Я многому обязан И.В. Полюбину и А.Ю. Морозову, которые помогли мне сделать первые шаги в теории струн и позволили увидеть всю красоту точнорешае-мых систем.

Мне также приятно поблагодарить Э. Ахмедова, A.A. Белавина, А. Забродина, К. Зарембо, И.Р. Клебанова, И.М. Кричевера, М. Лашкевича, А. Левина, А. Лосева, А. Маршакова, А. Михайлова, Н. Некрасова, М.А. Олынанецкого, A.M. Полякова, Я. Пугая, А. Рослого, В. Рубцова, К. Селиванова, С. Харчева, С. Хорошкина, А. Червова, Л. Чехова и многих других за поддержку и интересные научные дискуссии. Я узнал много новых и интересных вещей на семинарах ИТФ, ИТЭФ и ИФП.

Несколько лет назад, когда струнные методы были еще не столь хорошо развиты, часто приходилось "угадывать" интегрируемую структуру, что требует хорошей физической интуиции. Ее мне помогли развить многочисленные беседы с А.Горским, А.Капустиным и А.Мироновым, совместно с которыми были получены многие результаты.

Я благодарен Е.С.Сусловой и А.Крапивину за помошь и техническую поддержку при подготовке текста.

Рис. 1: Интегрируемая структура эффективной теории поля может быть найдена при помощи связи с теорией струн.

2 4с1 калибровочные теории и XXX спиновые цепочки

Наиболее хорошо изученными примерами, где известна интегрируемая структура, являются N = 2 калибровочные теории в четырех измерениях. В данной главе будет показано, что низкоэнергетическая динамика теорий с достаточно общей калибровочной группой и материей в (би)фундаментальном представлении имеет интегрируемую структуру XXX спиновой цепочки 5. Этот результат обобщает решение Зайберга-Виттена [5, 6] на теории, Кулоновская ветвь которых имеет большую размерность, симметрию и структуру сингулярностей. В таких случаях практически невозможно получить метрику на пространстве модулей (спектральную кривую) из теоретико-полевых аргументов [5], и теория струн приходит на помощь. Ключевая идея состоит в представлении N = 2 теории поля в Кулонов-ской фазе как низкоэнерге�