Инстантоны и топологические теории тема автореферата и диссертации по физике, 01.04.02 ВАК РФ

Федеральное Государственное Унитарное Предприятие Государственный Научный Центр Российской Федерации Институт Теоретической и Экспериментальной Физики им. А.И.АЛИХАНОВА

Лосев Андрей Семенович

Инстантоны и топологические теории

Специальность 01 04 02 - теоретическая физика

АВТОРЕФЕРАТ диссертации на соискание ученой степени

На правах рукописи УДК 539 1 01

доктора физико-математиче"""" —""

ооз

МОСКВА, 2007 г

003174181

Работа выполнена в ГНЦ РФ "Институт Теоретической и Экспериментальной Физики им А И Алиханова"

Официальные оппоненты

доктор физ -мат наук А А Белавин ( ИТФ им Ландау, г Черноголовка) доктор физ -мат наук А С Горский (ГНЦ РФ ИТЭФ, г Москва) доктор физ -мат наук И В Тютин (ФИАН им Лебедева,г Москва)

Ведущая организация

Математический институт им В А Стеклова РАН, г Москва

Защита состоится «30» октября 2007 года в 14 часов на заседании диссертационного совета д 201 002 01 по защите докторских диссертаций в конференц-зале ГНЦ РФ ИТЭФ по адресу г Москва,ул Б Черемушкинская, д 25

С диссертацией можно ознакомиться в библиотеке ИТЭФ

Автореферат разослан «27» сентября 2007 г

Ученый секретарь диссертационного совета

кандидат физико-математических наук ^ в В Васильев

1 Общая характеристика работы

1.1 Актуальность проблемы. Диссертация посвящена исследованию квантово-полевых систем, обладающих нечетными (фермионными) симметриями <2, такими, что тензор энергии-импульса точен по отношению к этим симметриям (с точностью до полной производной) Такие системы называют суперсимметричными, а при переопределении их связи с гравитацией (исключающей полную производную) - топологическими Типичными примерами таких систем являются суперсимметричная квантовая механика, двумерная суперсимметричная сигма-модель и четырехмерная суперсимметричная теория Янга-Миллса

Основная цель диссертации - исследование общих свойств топологических теорий как в секторе С) - замкнутых величин, так и вне его В диссертации топологическая теория рассматривается как полноценная квантовая теория поля, а не как тривиальная система, не имеющая динамических степеней свободы К таким системам применяются общие принципы квантовых теорий поля, при этом удается наблюдать и количественно изучить такие вопросы как спектр состояний, массы и кратности вырождения солито-нов, точное суммирование инстантонов в деформацию эффективной теории Впервые получено доказательство зеркальной симметрии как эквивалентности квантовых теорий поля Связь между низкоэнергетической теорией Зайберга-Виттена и теорией Дональд-сона проинтерпретирована как проявление четырехмерного аналога зеркальной симметрии и вычислены первые члены в разложении специальных координат на пространстве деформаций низкоэнергетических теорий

При исследовании квантовых теорий поля естественно возникали новые математические структуры и получали новую интерпретацию старые Так, были введены и изучены большая операда, фреклы и специальные контактные члены в двумерных и четырехмерных теориях, обобщение теории Морса, Громова-Виттена и Дональдсона вне топологического сектора, новый индекс в минимальных суперсимметричных теориях Была дана новая интерпретация теории примитивной формы Саито как предела Ходжевой суперсимметричной квантовой механики, определены уравнения антикоммутативности, коммутативности и ориентируемые уравнения ассоциативности, описана связь между ними

Понятие квантовой теории поля является центральным как в современной физике, так и в математике Как показывает эксперимент, стандартная модель является реально существующей калибровочной квантовой теорией поля, и ее теоретическое исследование требует углубления понимания этого понятия В особенности это относится к проблеме

квантовой гравитации, по-видимому, связанной с естественной ультрафиолетовой регуляризацией реально существующей теории

С точки зрения математики квантовая теория ноля является инспирированным физикой развитием таких областей как дифференциальная геометрия, алгебраическая геометрия, алгебраическая топология

Поэтому тема диссертации является актуальной, а решение поставленных в ней задач представляет безусловный интерес как для специалистов по теории интегрируемых систем, так и для широкого круга физиков-теоретиков, которые, так или иначе, используют изложенные результаты в приложениях к квантовой теории поля, физики элементарных частиц и теории струн

1.2. Цель и задачи работы. Целью диссертации является изучение топологических теорий в двух аспектах С одной стороны, изучаются связанные с ними математические структуры, в том числе инстантоны в разных размерностях С другой стороны, поскольку топологические теории можно рассматривать как твистованные суперсимметричные теории, их изучение позволяет получить информацию о свойствах последних, таких как массы и кратности вырождения солитонов или структура низкоэнергетического действия

Все это указывает на высокую эффективность применения современной геометрии вообще и топологических теорий в частности для изучения общих свойств суперсимметричных теорий

Основные результаты, выносимые на защиту

1 Показано что в инстантонном пределе гамильтониан суперсимметричной квантовой механики стремится к оператору, имеющему жорданову форму, в котором недиагональные элементы отвечают инстантонам

2 Введены новые (твисторные) переменные в двумерной сигма-модели, допускающие инстантонный предел (переход к системе первого порядка) Вычислена бета-функция в инстантонном пределе, показано, что она согласуется со стандартной

3 В инстантонном пределе суперсимметричной сигма-модели явно описано зеркальное преобразование, понимаемое как эквивалентность конформных теорий

4 Дана процедура (Ходжева струна) построения по специальной суперсимметричной квантовой механике решения уравнения ассоциативности Показано, что теория Саито примитивной формы является переходом к голоморфной части ростков вакуумных волновых функций в этой квантовой механике

5 Построен новый индекс, измеряющий (взвешенное со знаками) число солитонов в двумерной квантовой теории поля с минимальной суперсимметрией Показано, что он отличен от нуля только для жестких траекторий

6 Показано, что аномалия в центральном заряде в солитонном секторе в суперсимметричной теории выражает его через разность киральных конденсатов, что позволяет найти эту массу через инстантонные вычисления в топологических теориях

7 Показано, что инстантонные вычисления в линейной и нелинейной сигма-моделях отличаются на вклад точечных дефектов-фреклов (веснушек), которые в асимптотически свободных теориях проявляются в замене переменных на пространстве констант связи

8 Показано, 4io сравнение решения Зайберга-Виттена с теорией Дональдсона задает специальные координаты на пространстве деформаций алгебраических интегрируемых систем В простейшем случае SU(2) калибровочных теорий для простейшей нетривиальной деформации эти координаты найдены двумя способами, дающими один и тот же результат

Научная новизна и практическая значимость результатов. Все представленные на защиту результаты являются оригинальными разработками автора диссертации и новыми на момент их публикации Результаты опубликованы в ведущих российских и зарубежных журналах, докладывались на международных конференциях и представлены в их публикациях, они широко известны в научном сообществе и цитируются в работах других авторов в близких областях теоретической и математической физики Результаты, лежащие в основе диссертации, были опубликованы в 1993-2007 годах в работах [1-22]

Результаты о инстантонных теориях легли в основу инстантонного подхода к квантовой теории поля, отраженного в цикле работ с Н Некрасовым и Э Френкелем

Результаты о зеркальной симметрии представляют собой первое в мировой литературе описание зеркальной симметрии неквадратичных теорий как эквивалентности конформных теорий

Переход к твисторным переменным и вычисление в них бета-функции является первым примером рассмотрения ее как препятствия для решения гомотопического уравнения Маурера-Картана, что открывает новый взгляд на связь квантовой теории поля и гомологической алгебры

Задача о специальных координатах в деформации алгебраических интегрируемых системах впервые предлагает взгляд на решение Зайберга-Виттена как на четырехмерное обобщение зеркальной симметрии

Апробация диссертации. Результаты, полученные в диссертации, неоднократно докладывались и обсуждались на семинарах ИТЭФ, ФИАН, МИАН, ПОМИ и ИТФ им Л Д Ландау Результаты диссертации были также представлены автором на научных семинарах в Университетах Бонна (Германия), Утрехта (Голландия), Уппсалы (Швеция), Киото, Токио (Япония), Рима (Италия), Политехнической школе в Париже, Институте высших научных исследований (Бюр-сюр-Иветт, Франция), Института Филдса (Канада) Результаты были представлены на различных международных конференциях по различным областям теоретической и математической физики, в частности, на конференциях цикла STRINGS (разные года)

По результатам работы автор стал участником Танигучи Симпозиума 1996 года

Публикации. По материалам исследований, представленных в диссертации, опубликовано 22 работы, из них 14 в журналах из Списка ВАК

Структура и объем диссертации. Диссертация состоит из введения, девяти глав, заключения и списка литературы из 72 наименований Объем работы составляет 165 страниц

Содержание диссертации

Во введении дан обзор современного состояния М-теории и теории струн, очерчены основные понятия и методы, используемые в диссертации, приведена общая характеристика работы, а также описана ее структура по главам

В первой главе изучается инстантонный предел в квантовой механике Он достигается в формализме первого порядка

L^гp|l{3f + V^')-гтf + ^f^'p|J¡pv, (1)

где V72 - градиентное векторное поле

V" = дГМ (2)

При А —> оо лагранжиан упрощается

Ь-*Ьоо = гр„ (ж* + V) - гт/ (3)

и функциональный интеграл локализуется на конечномерное пространство модулей градиентных траекторий

В суперсимметричной модели кроме бозонных полей есть и фермионные

7гД;С) Фермионная часть лагранжиана равна

ь/егтг<т = гж11{г+д^ф,/) (4)

Простейшие наблюдаемые (называемые наблюдаемыми вычисления) отвечают функциям 0(х, ф) на 11ТХ, т е дифференциальным формам ет на X Их корреляторы получаются проще всего как интегралы по пространству модулей Ма,ь градиентных траекторий

«(01(«1) = [ е<ГО1Л Лев^ш» (5)

JмлЬ

Для гамильтоновой интерпретации инстантонного предела переопределим волновые функции

фнфт = Фел/, Ф Фои' = Ф*е~А/ (61

При этом стандартное эрмитово спаривание перейдет в

= у ф0"* д фш

Явная унитарность теряется, Фои4 ф (Фт)* Однако (для конечных А) мы всегда можем обратить это преобразование

Гамильтониан — ¿Д + Л||с^/||2 исходной квантовой механики переходит в

Я = Ьу - ^Д (7)

В пределе А —> оо он становится равным Д*, = Ьу, те производной Ли вдоль вектора V

При отсутствии инстантонов спектр гамильтониана равен сумме спектров суперсимметричных осцилляторов с частотой 1, расположенных в нулях векторного поля (для изолированных нулей), однако из-за инстантонных эффектов он приобретает жорданову форму Например, для векторного тюля, отвечающего стандартной функции высоты на двумерной сфере, легко вычисляется коррелятор двух наблюдаемых вычисления для функции к и два-формы ф

„{СО^СО^о^еЪ [ (8)

,/с*

Спектр можно восстановить, изучая зависимость коррелятора от I Пусть, к примеру,

л-та (9)

1 dz Adz

i + M5'

Тогда коррелятор (8) равняется

„<0k(0)0*(i)>o = е* + (j^a) (10)

Наивно мы бы ожидали i-зависимость в виде

ос{Он(0)ОфЦ))0 = e~tE° Ьо,аФоо,о (И)

а

где ha,а - формфактор (матричный элемент оператора h между вакуумом, отвечающим точке 0, и собственным состоянием гамильтониана с энергией Еа), при этом фоэ,а - формфактор для ф Наличие множителя t в (11) указывает, что гамильтониан не диагонализуем Он имеет жорданову форму

Мы получили жорданову форму, а не матрицу с малым внедиагональным элементом потому, что в нашей модели нет антиинстантонов Если бы они были, они бы дали вклад в матричный элемент под диагональю

Во второй главе мы рассмотрим N = (2,2) суперсимметричную сигма-модель с кэлеровым таргет-пространством М Она конформна, если метрика Риччи-нлоская, те многообразие - Калаби-Яо Но специальный предел (предел бесконечного обьема) определяет конформную сигма-модель для более широкого класса многообразий

В простейшем случае теория голоморфных отображений в CP1, может быть представлена как деформация цилиндрической сигма-модели с таргетом Сх понимаемым как

фактор C|2mZ Это свободная конформная теория с киральными полями Х(г),р{г), ф{г),тг(г), и их антикиральными партнерами

[ (Рг (рдцХ + рд^ + тгдёф + пдгЩ (13)

Js

Поле Х(г) отвечает линейной координате на С/2т2, и потому определено по модулю 2тг

Корреляторы в этой теории должны даваться интегралами по пространству голоморфных отображений 2 —* Сх Для компактных 3 все такие отображения являются постоянными Поэтому коррелятор сводится к интегралу по нулевой моде (т е по образу постоянного отображения Ф £ —* Сх )

Голоморфные отображения Е —> СР1 на языке этой свободной теории являются просто голоморфными отображениями Е\{гог±} —» С/2жг2 с логарифмическими особенностями в точках к/*, , ю^, где отображение ведет себя как ±log(z — и/*) Эти сингулярные точки отвечают нулям и полюсам ехрф, и в общем положении они различны Мы можем создать эти особенности поля Ф, вставляя в корреляционную функцию цилиндрической модели специальные поля Ф±(го*)

Определяющим свойством полей Ф±(ги) является то, что их операторное разложение с Х(г) выглядит как

Л"(г)Ф±(ад) = ±)о%(г - го)Ф±(ги) (14)

С помощью таких операторов в случае мирового листа 2 рода ноль мы получим

П 71

Ф(г) = с + ~ ~ ~ и,»~).

1=1 1=1

поскольку

Фф = {Х{х) П *+«) П *-«№(«>) - оЩоо)ф(^) )

1=1 г=1

Таким образом получаются все инстантоны СР1 сигма-модели Свойство (14) выполнено для следующих полей

Ф±(т,ш) = ехр J (р(г)ёг + ,

они являются голомортексами Вычисление корреляторов со вставками таких полей и интегрирование по положению точек вставки на мировом листе 2 эквивалентно деформации действия (13) возмущением

где Ф^ - когомологические потомки

Оказывается, знаменитая зеркальная симметрия становится естественной при описании нелинейной сигма-модели как компактификадии свободной

В случае CP1 до деформации у нас была свободная теория с таргет-пространством Сх Теория, Т-двойственная этой, оказывается сигма-моделью с цилиндрическим таргет-пространством К. х S1 с метрикой сигнатуры Минковского Пусть R и U - координаты на R и S1, соответственно При Т-двойственности локальные поля р и X усложняются, но сложные(нелокальные) поля типа голомортексов становятся локальными Мы делаем следующее преобразование

pdz + pdz = dU,

и голомортексы Ф± становятся просто экспоненциальными полями e¥'JJ Поле R совпадает с полем ^(Х + X) обычной теории Поэтому ен равно полю|е*|, модулю голоморфной координаты на пространстве CP1, которое компактифицирует таргет-пространство Сх Действие продеформированной дуальной теории принимает вид

[ d2z {dJJrkR + dzUdzR + пдгф + пдгф) + q112 / (etU + е^жШ^ (15) •¿Л" J Е J S

и связано со стандартным зеркальным действием аналитическим продолжением

В третьей главе мы рассматриваем двумерную конформную теорию с действием первого порядка

So = ¿7 £ <Fz(PldX' + КГ), (16)

где импульсы р,р-поля, являющиеся (1,0) и (0,1) формами, соответственно, а координаты X, X - скаляры, форма объема d?z = idz/\dz Действие free отвечает D/2-й тензорной степени с = 2 конформной теории первого порядка, в которой сомножители нумеруются так же, как и координаты комплексного пространства

г, г = 1, , D/2 Уравнения движения, вытекающие из free, дают следующее операторное разложение

а'51 - а '8\

Xl(zl)p,(zi)~—i-+ , (17)

Z\ — Z'l Z\ — ¿2,

(удобно сохранить явную зависимость от а'), и операторное разложение между самими полями X и р регулярно

Начнем с того, что возмутим теорию free следующим оператором

(18)

таким образом, действие будет равно

Sg = £ d?z(j>M' + Р;дХ1 - д«ргр3) (19)

На классическом уровне, подставляя вместо р,р их экстремальные значения, получим, что теория с действием fo эквивалентна

s=L <е^вхгдх]+в^дх"вх">

где /л, V могут быть как голоморфными, так и антиголоморфными индексами, a G, и В являются симметричной Римановой метрикой и антисимметричным полем Калба-Рамона, соответственно При этом в унитарной теории = — Sjj, или

= А* = — 9ik (21)

Заметим, что операторы vertex содержат обратную метрику д'3, являющуюся функцией голоморфных и антиголоморфных координат таргет-пространства, поэтому мы на самом деле рассматриваем теорию возмущений free вокруг бесконечной метрики (с бесконечным полем Калба-Рамона)

На квантовом уровне мы должны учесть меру интегрирования Для систем первого порядка fo она задается голоморфной формой старшей степени

П = Çl(X) = dX1 Л Л dXDV

После интегрирования по полям р

J[dp}[dp]e-S^X'X'^ ~ e-Spf,X]+ ¿fsd2zVhRlog^д (22)

мы приходим к стандартной сигма-модели phys, в которой мера задается невырожденной метрикой на таргет-пространстве Различие двух мер проявляется в появлении дилатон-ного члена ~ f cPz\fhR log у/д в действии Adil, возникающего из детерминанта ультралокального оператора

Теперь возмутим свободное действие free всеми возможными операторами размерности (1,1), те мы рассмотрим всевозможные эрмитовы метрики и эрмитовы два-формы 6, а также произвольные деформации почти комплексной структуры, задаваемой дифференциалами Вельтрами-^ и Полное продеформированное действие примет вид

s = ~ J êz{pMl + PidX' - дгЭргр-3 - PÎdXY, - йВзёр, - ьг3дхш'п (23)

Эти фоновые поля мы будем называть твисторными переменными Исключая импульсы, мы получим сигма-модель

§ = ~ j êzifl^ + В^дХ'дХ" + ~ J d2zVh№, (24)

при этом G, В и Ф теперь равны

Gsk = 9i3Pll4 + 9sk-bsi, Bsi = ~ Se» ~ bsh

G„ = -ЗуЙ - 9sîfil, G а = -gsjtf - я3/4,

Bm = 9s}iï, - 9цр?„ Bâ = g-v/4 - 9s}i4, Ф = logVfl (25)

Конформная инвариантность теории первого порядка, возмущенной оператором д'3РгРj, может нарушаться полюсом второго порядка в их операторном разложении Условие его зануления приводит к квадратичному уравнению

9г~}дгд-3дЙ-дг^д-3да = 0 (26)

Непосредственным (но длинным) вычислением показано, что описанные выше условия конформной инвариантности имеют в качестве следствия уравнения Эйнштейна , связанные с дилатоном и полем Калба-Рамона, а именно

в которых твисторные переменные <7,3 связаны с метрикой, полем В и дилатоном (С?, В, Ф) следующим образом

В четвертой главе объясняется, как и почему некоторая разновидность теории Ходжа (гармонической теории) приводит к системе факторизуемых отображений векторного пространства в когомологии пространства модулей кривых рода ноль с отмеченными точками (компактифицированного по Делиню-Мамфорду) В физике такая система отображений называется "обобщенными амплитудами в теории топологических струн"

В качестве следствия показано как элементы теории Примитивной формы К Саито (на основании которой можно строить решение для уравнений ассоциативности) естественным образом возникают в N = 2 суперсимметричной квантовой механике с суперпотенциалом (теория нулевых мод в двумерной теории поля Ландау-Гинзбурга), которая является одной из разновидностей теории Ходжа

В разделе 2 определяются "обобщенные амплитуды"топологической струны в роде ноль и показано, что они находятся во взаимнооднозначном соответствии с решениями уравнений ассоциативности, и поэтому на выходе предлагаемой конструкции (которая называется "Ходжевыми струнами") должны получаться решения этих уравнений

В разделах 3 и 4 содержатся мотивации конструкции, приходящие из теории топологических струн, основанные на процедуре интегрирования по положению отмеченной точки и на соответствии между локальными наблюдаемыми и состояниями (эти разделы частично содержат ответ на вопрос "почему?") Объясняется появление <2<?_-системы, состоящей из градуированного векторного пространства Я, нечетных операторов С} и (?_, четных коммутирующих ¿¡^-замкнутых операторов Фг (все операторы действуют в Я) и билинейного спаривания Она Я

Раздел 5 - аксиоматический (в нем дается определение и свойства абстрактной С^в-системы) Затем предъявлена процедура, стартующая с (^'--системы (Я, С}. С?_, Ф„ <>), имеющей ходжево свойство, спускающееся на когомологии спаривание и примитивный элемент, с помощью которой можно канонически построить решение уравнений ассоциативности

Конструкция состоит из двух шагов На первом шаге, сравнивая две плоские связности ("Ходжеву"связность и связность "Гаусса-Манипа") в расслоении <3(4) + zG- когомологий, мы строим плоскую связность со спектральным параметром (Vя -I- г_1С), известную в физике как Участь £ — Г уравнений

= + 2УМУ„Ф,

у^я^ - 2(4хФ)!!^" = О, 4(У,,Ф)2 - + Л+ -Я^Я""' = О,

(27)

(28) (29)

Сгк = 9гк, Вгк = Ф =

(30)

На втором шаге, с помощью примитивного элемента, мы строим специальные координаты на базе расслоения когомологий (как их исходно строил К Саито), и интерпретируем О как третью производную от решения ассоциативности

Этот раздел отвечает на вопрос "почему"и формально независим от предыдущих разделов

В разделе 6 мы описываем версию <ЗС_-системы, известной как N = 2 суперсимметричная квантовая механика типа Ландау-Гинзбурга

Мы начинаем раздел 7 с изложения основ теории примитивной формы К Саито в виде теории "хороших сечений"и на языке <2(?_-систем

Оказывается, что голоморфные части ростков гармонических форм из квантовой механики Ландау-Гинзбурга удовлетворяют двум из трех условий К Саито на хорошие сечения Таким образом, получается удивительный и неожиданный результат аксиомы Саито теории примитивной формы - это просто отражение ходжевой суперсимметричной квантовой механики в ростках сингулярности

В пятой главе уравнения коммутативности

дг№дг®1 ^ дт{г?адтЩ

исследуются в связи со специально приготовленным пространством таким же образом, как уравнения ассоциативности изучаются в связи с компактификацией Делиня-Мам-форда Мо,д' пространства комплексных структур на сфере с N отмеченными точками

Основным утверждением в теории уравнений ассоциативности является соответствие между решениями и факторизуемыми отображениями из Vм в когомологии М0,№ Первым нетривиальным следствием этого утверждения является существование тензорного произведения Концевича-Манина на решениях уравнений ассоциативности, индуцированного умножением в когомологиях М0,л'

В физике решения уравнений ассоциативности возникают в топологических теориях струн, т е в двумерных конформных теориях с фермионной (^-симметрии и с (^-точным тензором энергии-импульса

Пространство конформных топологических теорий обладает естественным тензорным произведением лагранжиан произведения является суммой лагранжианов, а симметрия - суммой С}-симметрий

Можно показать, что теория-произведение приводит к решению уравнения ассоциативности, которое дает произведение Концевича-Манина решений, отвечающих отдельным теориям

Пример 1 Сигма-модели типа А, которые приводят к инвариантам Громова-Виттена Теория-произведение двух теорий с таргет-пространствами - кэлеровыми многообразиями VI и А?2 является сигма-моделью типа А с таргет-пространством V] х У2

Пример 2 Теории Ландау-Гинзбурга, которые приводят к решениям уравнений ассоциативности, связанных с сингулярностями

Произведение теорий Ландау-Гинзбурга - это теория, в которой суперпотенциал равен сумме суперпотенциалов

Очевидной проблемой в исследовании топологических теорий является их относительная сложность - необходимо уметь вычислять корреляторы и интегрировать ответ

по пространству модулей, что можно сделать только в ряде специальных ситуаций с помощью разнообразных трюков

Однако для построения решения уравнений ассоциативности не понадобится знание всей теории - достаточно будет информации о ее подтеории (подсекторе)

В качестве такой подтеории рассматривается суперсимметричная квантовая механика на пространстве петель Причем в качестве гильбертова пространства мы ограничимся состояниями, инвариантными относительно постоянных вращений петли

В нем действуют гамильтониан Н, суперпартнер гамильтониана суперпартнер генератора постоянных сдвигов вдоль петли &'_ и пространство вертексных операторов, проинтегрированных вдоль петли

Ф» = У Ф %{р)йа (32)

Так как эти операторы возникают из конформной топологической теории, они удовлетворяют уравнениям

<г2 = й2_ = {<2,е-} = о, (зз)

а также

[Ф„Ф,] = [Ф„Р_,Ф,]1 = 0 (34)

Мы также ограничимся ходжевыми топологическими конформными теориями, в которых представление алгебры (33) распадается только на синглеты и квартеты

В предыдущей главе было показано, что если существует билинейное спаривание совместное с С} п (?_, такое, что Ф симметрично, и существует примитивный элемент в пространстве <3-когомологий, то можно реконструировать решение уравнений ассоциативности, так что специальные суперсимметричные квантовые механики можно рассматривать как подтеории

Но удивительно то, что такие квантовые механики можно рассматривать как самостоятельные когомологические теории, что они связаны с факторизуемыми отображениями в некоторое пространство модулей, и потому, в частности, обладают тензорным произведением типа Концевича-Манина

Оказывается, суперсимметричные квантовые механики задают операторно-значные факторизуемые отображения из V1* (где V - пространство операторов Ф ) в когомология пространства Ьм Неформально говоря, пространство является "сосисочной"компак-тификацией пространства N точек на цилиндре по модулю общих сдвигов и поворотов , те С*к/С* "Сосисочная"компактификация означает, что точки могут сталкиваться, но не могут уходить в воль или бесконечность Конфигурация, в которой к точек устремляются, скажем, в бесконечность, компактифицируется букетом из двух сфер, так что бесконечность первой сферы отождествляется с нулем второй сферы, при этом к точек размещаются на второй сфере, а N — к - на первой Повторение такой процедуры дает тело, напоминающее гирлянду сосисок, что объясняет название

Пусть дано пространство IV, и пусть отображения Б в когомологии /- у принимают значения в Еп(1(Ш) Факторизуемость означает, что, если сосиска является объединением двух сосисок и цикл С является произведением циклов С\ и Сч (где С\ - цикл на г-ой сосиске), то

8(Сг х Са) = (35)

где умножение в правой части (35) понимается как умножение в End(W)

Вычислены гомологии Ljv и показано, что для абстрактных векторных пространств V и W факторизуемые отображения из VN в H*(Lp¡) ® End(W) находятся во взаимнооднозначном соответствии с решениями уравнений коммутативности

Таким образом, на решениях уравнений коммутативности, возникающих из суперсимметричной квантовой механики возникает два тензорных произведения гомологическое, то есть индуцированное произведением в когомологиях пространства Lw, и физическое, индуцированное произведением суперсимметричных квантовых механик Показано, что они совпадают

В шестой главе мы изучаем суперсимметричные солитоны

Суперсимметрия объединяет бозоны и фермионы в мультиплеты состояний равной энергии Казалось бы, минимальные суперсимметричные мультиплеты состоят по меньшей мере из двух состояний - бозонного и фермионного Тем не менее, в случае БПС солитон в двумерных теориях является примером супермультиплета, состоящего ровно из одного состояния Оказывается, что этот солитон не является ни бозоном, ни фермио-ном - фермионная четность не определена в еолитонном секторе Это явление во многом похоже на появление дробного заряда в теории двумерных солитонов

Алгебра суперсимметрий в двумерных теориях (часто обозначаемая как N = {1,1}) состоит из двух суперзарядов Qa, (а = 1,2), тензора энергии-импульса Pt¡, (jí = 1,2) и центрального заряда Z,

{Qa > Qp} = 2 {^Рц + 75z)a;81 №a,PJ = [0«,z] = o (36)

где Qff — Qa{7°}ai3 и 7o = сг2, 71 = газ, 75 = ?7°71 = —tai - чисто мнимые матрицы 2x2 Центральный заряд не равен нулю в еолитонном секторе, и мы определим Z > 0 для солитона и 2. < 0 для антисолитона

В системе покоя солитона (P(i = (М, 0)) алгебра (36) имеет вид

Ql = M + Z, Ql = M-Z, {Qi,Q2} = 0 (37)

Для БПС солитонов Q2\ sol) = 0, откуда вытекает, что их масса М равна центральному заряда Z

Отсюда немедленно вытекает, что если Qi равно %/2£ (или — \/2£), то неприводимое представление супералгебры одномерно

Как было уже отмечено выше, в одномерном представлении оператор фермионной четности (—1)F не определен Обычно подразумевается, что (—1)^ существует На самом деле, на микроскопическом уровне мы начинаем с локальных теорий поля, в которых есть явное разделение полей на бозонные и фермионные Фермионная четность суперзарядов равна —1, что делает представление приводимым - состоящим из двух одномерных

Каким образом оператор (—1)F становится плохо определенным' Это происходит из-за граничных эффектов Технически это проявляется в том, что на фоне ВПС солитона имеется ровно одна нормируемая нулевая мода Другая фермионная нулевая мода (сосредоточенная на границе) появится, если мы поместим солитон в ящик с соответствующими граничными условиями

С точки зрения физических экспериментов, проводимых далеко от границы, ферми-онная четность (—1)^ нарушена, и мы наблюдаем одномерный мультиплет Это похоже на эффект появления дробного зарядя полный заряд, включающий границы, остается целым, но он не входит в локальные эксперименты, проводимые вдали от границ

Разрушение бозон-фермионной классификации для солитонов влечет, естественно, странные явления в статистике солитонов

Мы рассматриваем класс гибридных моделей, в которых наряду с суперпотенциалом У$(ф) есть еще и кривая метрика даь(Ф) на таргет-пространстве (эти модели - гибриды между сигматмоделями и моделями Ландау-Гинзбурга) Мы определим подкласс гибридных моделей, в котором не происходит укорочение супермультиплета Окажется, что явление укорочения мультиплета довольно редко встречается

Предлагается новый индекс, считающий такие короткие мультиплеты Напомним, что самый первый суперсимметричный индекс, Тг(—1)^, был введен Виттеном более двадцати пяти лет назад для подсчета числа суперсимметричных вакуумов

Примерно пятнадцать лет назад Вафа, Интриллигатор, Чекотти и Фендли предложили другой индекс, Тг^ (—1)'''], вычисляющий число укороченных мультиплетов в двумерных теориях с четырьмя суперзарядами, но индекс, считающий синглеты в двумерных теориях с двумя суперзарядами, до сих пор не встречался в литературе

Показано, что искомым индексом является выражение {Тг - оно зануляется

на длинных мультиплетах и равно 1 на коротких

Если значение этого индекса не равно нулю в теории с двумя суперзарядами, то укороченные мультиплеты с необходимостью существуют

В седьмой главе мы продолжаем изучение солитонов в суперсимметричных теориях

Суперсимметричные N = 2 двумерные сигма-модели с твистованной массой имеют несколько центральных зарядов и проявляют интересные свойства, похожие на свойства теории Зайберга-Виттена в четырех измерениях В 1983 году было установлено, что в некоторых случаях такие модели могут быть деформированы с помощью введения суперпотенциала В этой главе мы покажем, что такое введение суперпотенциала приводит к появлению центральных зарядов нового типа В результате N=2 суперсимметрия спонтанно нарушается до X = 1, в кажущемся противоречии с наивно понятой стандартной теоремой, якобы запрещающей такое поведение Более того, индекс Вит-тена оказывается непригоден для вычисления числа вакуумных состояний, поскольку он тождественно зануляется Индекс Вафы-Интриллигатора-Фендли-Чекотти (ВИФЧ), Гсиу = Тг 1)-р, который мог бы пригодится при счете вакуумов (а не БПС солитонов), так же не работает, поскольку модель не сохраняет стандартные фермионные заряды ( векторный и аксиальный)

Мы покажем, как новые индексы , ^2,1/2 и З2Д/4 справляются с этой проблемой Индекс 321/2 вычисляет число 1/2 БПС-насыщенных вакуумов, а За,1/4 вычисляет число 1/4 ВРЭ-насыщенных солитонов

В простейшем примере, содержащем твистованную массу и суперпотенциал, мы строим явные 1/4 БПС солитоны-кинки

В этой же главе представлен вывод аномалии в центральном заряде, при котором

{Як, <Ы = ~ Iйхдх (щ ,

{Яь,Яя} = ~ (38)

Хотя эти формулы получены для симметричных метрик, естественно высказать гипотезу, что они верны для общих кэлеровых многообразий

Как хорошо известно, суперсимметричные модели на однородных кэлеровых многообразиях имеют дискретное множество вакуумов, которые различаются вакуумными средними параметров порядка (К^ ФдФ^) и {Щ Ф^Фд)

Вакуумные средние параметров порядка могут быть вычислены в топологической теории через инстантонный счет Таким образом, центральные заряды (38) с помощью топологической теории определяют ВРС массы солитонов - частиц физической теории В восьмой главе сравниваются нелинейная и линейная сигма-моделм Сначала рассматривается N — 2 суперсимметричная сигма-модель (НЛСМ) с таргет-пространством V = А//О - кэлеровым фактором кэлерова векторного (аффинного) пространства (А,ш), на котором группа О действует сохраняя форму и Она имеет пространство модулей М БПС полевых конфигураций с конечным действием - инстантонов, представленных голоморфными отображениями Ф мирового листа о£ £ в V

Линейная калиброванную модель (ЛКСМ) состоит из киральных мультиплетов ф + А + , принимающих значение в афинном пространстве А, связанных с векторными мультиплетами А+ф+ +а, принимающими значение в алгебре Ли группы б Действие ЛКСМ содержит потенциальный член V = {¡л, ¿г), где ¡1 А —> 1ле*С отображение момента, а (,) - форма Киллинга (В-член)

При низких энергиях медленно меняющиеся полевые конфигурации локализованы вблизи нулей /г и поэтому описывают отображения в V = ¿¿-1(0)/(?

Однако можно рассмотреть БПС конфигурации - они удовлетворяют уравнениям

= дАф = 0, (39)

где е - калибровочная константа связи

Оказывается, что при стремлении калибровочной константы к нулю, инстантоны линейной модели существенно отличаются от инстантонов нелинейной Оказывается, что при этом площадь области на мировом листе, в которой линейная сигма-модель отличается от нелинейной, ( то есть не описывается как отображения в V) стремится к нулю, но различающие эти две модели БПС-конфигурации не исчезают Они отличаются на газ дефектов, которые названы веснушками, и учет вкладов этого газа приводит к различиям в инстантонном счете

В некоторые процессы, такие, как вычисление квантовых когомологий многообразий Фана, этот газ веснушек вклада не дает, но заведомо дает вклад в вычисление контактных членов наблюдаемых вычисления - и тем самым объясняет возникновение так называемой зеркальной замены параметров при зеркальной симметрии

В девятой главе сравниваются корреляторы в теориях Дональдсона и теории Зайберга-Виттена На первый взгляд, можно было бы просто наложить периодические граничные

условия и сравнивать теории на четырехмерном торе К сожалению, корреляционные функции БПС наблюдаемых практически нечувствительны к геометрии пространства модулей вакуумов, если число самодуальных 2-форм (на четырехмерном пространстве X) больше единицы, те если > 1 Требуются многообразия, на которых возможен инстантонный счет и при этом — 1 К таким многообразиям относятся поверхности Хирцербруха, из них простейшая

X = Я2 х Я2 Такие многообразия X не обладают ковариантно постоянными спинорами, и исходная суперсимметричная теория не имеет нечетных сохраняющихся зарядов - поэтому, следует изучить твистованную теорию В ней у нас больше свободы выбора, чем в исходной, в частности, она допускает предел, в котором функциональный интеграл сводится к интегралу по пространству модулей инстантонов Это пространство некомпактно, но оно может быть компактифицировано так, что на него естественно продолжаются физические наблюдаемые При описании инфракрасного предела теории информация о компактификации перейдет в специальный выбор контактных членов, отвечающих деформации теории Заметим, что вид этих контактных членов сильно ограничен соображениями электоромагнитной дуальности и величиной аномалии в духовом числе

N = 2 суперсимметричная теория Янга-Миллса с группой в содержит самовзаимодействующий векторный мультиплет, состоящий из калибровочного поля Аа, комплексного скаляра фа и пары Вейлевских фермионов \а,а в присоединенном представлении калибровочной группы В твистованной теории фермионы имеют разнообразные спины , но если мы интересуемся физическим вопросом в К4 (с эвклидовой сигнатурой), твиетованная модель не отличается от нетвистованной Отличие проявляется только в искривленном гравитационном фоне Твистованная теория всегда содержит по крайней мере один сохраняющийся суперзаряд квадрат которого - калибровочное преобразование с параметром ф Оператор действует на Гильбертовом пространстве теории и его квадрат равен нулю на физическом подпространстве калибровочно инвариантных состояний

Поля теории приведены в табл 1

Таблица 1 Состав полей теории

Поле 8Щ2)Ь х 5Щ2)в (7 заряд статистика <5 действие

А (1 1л 2' 0 В ■Ф

Ф (1 Ь \2> 2/ 1 Р ОаФ

Ф (0,0) 2 В 0

X (ОД) -1 Р Я

н (0,1) 0 В 1Ф,х1

V (0,0) -1 р [ф,ф]

Ф (0,0) -2 В V

Предлагается использовать простейшие представители классов когомологий, имеющие вид

о£> = Щ), 0« = о» = +

9 _2 дф°дф»Р * + 6 Наблюдаемые старшей степени равны

1 Я2Ф 1 Я3 Ф 1

©М = i + —_——_JF",#i/;<: + —_—_ihatibihcibd C401

Ua> 2 дф"дф» + 3' дфьдфЪдфс W W + 4' дф-дфьдф"дф^ 1 j

Они входят в эффективное действие Зайберга-Виттена, в котором все поля абелевы Вообще говоря, все действие можно представить как сумму 4-наблюдаемой, построенной по препотенциалу "У и Q-точиого члена Мы рассматриваем все наблюдаемые О у ' для всех У и р как деформации теории, добавляя их к действию следующим образом

4 „

5=£'т*'" Jx +w> д(р)>)л е«> (41)

где еа пробегает базис в группе когомологий Н*(Х, К) Оказывается, можно разложить T*'a5Fj, — где 7k пробегает пространство всех инвариантных полиномов

Инфракрасная теория также является твистованной суперсимметричной калибровочной теорией с абелевой калибровочной группой

Наблюдаемые О^щу ультрафиолетовой теории переходят в наблюдаемые инфракрасной теории Поскольку калибровочная группа инфракрасной теории является максимальным тором (расширенным вейлевской группой) ультрафиолетовой теории, имеется взаимно-однозначное соответствие калибровочно инвариантных функций ?иу иУщ

Теперь предположим, что два цикла Ср 6 НР(Х) и Ся е Hq(X) пересекаются Ср П Cq = 4 € JSJ,+9_4(X)

Сколь бы не была велика инфракрасная шкала, когда точки пересекаются, мы должны это рассматривать с точки зрения ультрафиолетовой теории Вклад малых расстояний приводит к появлению контактного члена

/ / ÖQ?UV * I öij>m / О^щ + / ®e№%uR (42)

Jap Ja Jeт Je Jcp+4-i

Главная проблема эффективного использования нгокоэнергетической теории состоит в определении контактных членов С(СР, Q)

Если в процесс входит 4-наблюдаемая, мы получаем счетное множество контактных функций С (У 1, , 3Y), которые удобно собрать в производящую функцию ¡У

оо

?(т) = ?о+J2Tl м (43)

к=1

где Тк~ параметры деформации, в дальнейшем называемые временами Члены первого порядка по временам в производящей функции 5" равны TkQ(7k) Одноконтактная функция 6((Рк) это сама функция Ук

Утверждается, что статсумма в теории с иеабелевой калибровочной группой (41) равна статсумме низкоэнергетической теории с абелевой калибровочной группой с действием

5= / З^а + 1р + Р, Тк'аеа) (44)

Jx

При этом функция 3*(Т) описывает деформации Г - инвариантного лагранжиана в комплексном векторном пространстве С2г, где Г - определенная дискретная подгруппа линейной симплектической группы, называемая группой электромагнитной дуальности низкоэнергетической теории

Рассмотрим вычисление (ехр /с, Огде Са - два циклы на четырехмерном многообразии X, которые могут пересекаться Раздутие точки пересечения циклов сводит эту задачу к задаче с непересекающимися циклами При этом рождается новый цикл на пространстве-времени, и в статсумме следует учитывать поток абелевого поля через него

Из этого рассуждения можно показать, что в теориях с Тт < 2 парный контактный член равен

Второй способ получить конгактный член 6(3*1, З^) состоит в рассмотрении столкновения 4 и О-наблюдаемых Рассмотрим ассимптотически свободную теорию с безмассовой материей Пусть О5! = «х является наблюдаемой, чей четвертый когомологический потомок является зарядом инстантона (квадратичный казимир) Вставка под кор-

tr «(4)

релятор е 'хи1 эквивалентна умножению коррелятора в секторе с инстантонным зарядом к на е2"1к Можно показать, что эта операция эквивалентна рескалированию полей Щ е а щ и а' е "I аг, где - веса однородных генераторов щ кольца инвариантных полиномов Это приводит

= (46)

Сравнивая (46) и (45) в случаях, когда это возможно, мы получаем интересное тождество, выделяющее семейство кривых Зайберга-Виттена и их обобщений среди всех кривых Для определенности рассмотрим 311 (Мс) теорию с фундаментальной безмассовой материей

дигдик д . . 1 ( гдик , \ , .

где Ы; - число гипермультиплетов материи, а' - А-периоды дифференциала х^ на кривой

N.

г + — = а^" - икхКа-к~1 * к=1

В Заключении сформулированы основные результаты, полученные в диссертации

1. Гамильтониан суперсимметричной квантовой механики стремится к оператору, имеющему жорданову форму, в котором недиагональные элементы отвечают инстантонам

2. Вычислена бета-функция в инстантонном пределе в твисторных переменных, показано, что она согласуется со стандартной

3. Описано зеркальное преобразование как эквивалентность конформных теорий

4. Показано, что теория Саито примитивной формы является переходом к голоморфной части ростков вакуумных волновых функций в суперсимметричной квантовой механике По суперсимметричной квантовой механике построено решение уравнений ассоциативности

5. Построен новый индекс, измеряющий (взвешенное со знаками) число солитонов в двумерной квантовой теории поля с минимальной суперсимметрией Показано, что он отличен от нуля только для жестких траекторий

6. Аномалия в центральном заряде в солитонном секторе в суперсимметричной теории выражена через разность киральных конденсатов

7. Показано, что вклад точечных дефектов-фреклов (веснушек) в инстантонные вычисления в ассимптотически свободных теориях проявляется в замене переменных на пространстве констант связи

8. Найдены специальные координаты на пространстве деформаций алгебраических интегрируемых систем в простейшем случае 6Т/ (2) калибровочных теорий

Публикации автора, включенные в диссертацию

[1] A Losev, Descendants constructed from matter field m topological Landau-Gmzburg theories coupled to topological gravity, ТМФ, 95 (1993) 307-316

[2] A Losev,I Polyubm, Gravitational descendants as generators of diffeomorphisms of the target space m topological Landau-Gmzburg gravity, Письма в ЖЭТФ, 58 (1993) 598602

[3] A Losev, On structure and open problems in topological theories coupled to topological gravity, ТМФ, 100 (1994) 104-112

[4] A Losev, I Polyubin, On connection between topological Landau-Gmzburg gravity and mtegrable systems, Int J Mod Phys , A10 (1995) 4161-4178

[5] A Losev, On "Hodge"toplogical strings at genus zero, Письма в ЖЭТФ, 65 (1997) 386-392

[6] A Losev, N Nekrasov, S Shatashvili, Issues in topological gauge theory, Nucl Phjs , B534 (1998) 549-611

[7] A Losev, N Nekrasov, S Shatashvili, Testing Seiberg-Witten solution, Strings, branes and dualities Proc of NATO ASI Cargese Conference, 1997 Dordrecht, Boston, Kluwer Academic Publishers, 1999, 359-372

[8] A Losev, Hodge strings and elements of К Saito's theory of primitive form, Topological Field Theory Primitive Form and Related Topics, Progress m Mathematics, v 160, Boston, Birkhauser, 1998, 305-337

[9J A Losev, New moduli spaces, commutativity equations and SQM, Quantization, Gauge Theory and Strings Proceedings of the International Conference Dedicated to the Memory of Professor Bfim Eradkin, Moscow, 2000, v 1, Sci World Publishing, 2001, 529-535

[10] A Losev, N Nekrasov, S Shatashvili, Freckled instantons m two-dimensions and four-dimensions, Class.Quant Grav , 17 (2000) 1181-1187

[11] A Losev, N Nekrasov, S Shatashvili, On four dimensional mirror symmetry, Fortsch Phys , 48 (2000) 163-166

[12] A Losev, M Shifman, Xmrui Hou BPS saturated sohtons m N=2 two-dimensional theories on RxS (domain walls m theories with compactified dimensions), Phys Rev , D61 (2000) 085005

[13] A Losev, Yu Машп, New moduli spaces of pointed curves and pencils of flat connections, Michigan Math J 48 (2000) 443-472

[14] A Losev,I Polyubin, On compatibility of tensor products on solitons to WDW Equation Письма в ЖЭТФ, 73 (2001) 59-63

[15] A Losev,М Shifman, A Vamshtem Counting supershort supermultiplets, Phys Lett, B522 (2001) 327-334

[16] A Losev,M Shifman, A Vamshtem Single state supermultiplet in 1+1 Dimensions, New J Phys 4 (2002) 21

[17] A Losev,M Shifman, N=2 sigma model with twisted mass and superpotential central charges and sohtons, Phys Rev , D68 (2003) 045006

[18] A Losev,I Polyubm, Commutativity equations and dressing transformation, Письма в ЖЭТФ, 77 (2003) 62-68

[19] A Losev, Yu Manm, Extended modular operad, Proc of the MPIM conference on Erobemus Manifolds Vieweg, 2004, Frobemus manifolds, E36 (2004) 181-211

[20] A Losev, N Nekrasov, S Shatashvih, The Freckled Instantons, The many faces of the superworld Yuri Golfand memorial volume, Singapore, World Scmtific, 2000, 453-475

[21] A Losev, I Polyubm, Topological quantum mechanics for physicists, Письма в ЖЭТФ, 82 (2005) 373-380

[22] A Losev,A Marshakov, A Zeitlm On first order formalism in string theory, Phys Lett, B633 (2006) 375-381

Подписано к печати 13 07 07 Формат 60x90 1/16

УслПечл 1,15 Уч-издл 0,73 Тираж 100 экз Заказ 534

Отпечатано в ИТЭФ, 117218, Москва, Б Черемушкинская, 25

0 Введение

0.1 Квантовая гравитация, струны, суперсимметрия и М-теория

0.2 Общая характеристика и структура работы.

1 Спектр в инстантонной квантовой механике

1.1 Инстантонный предел в квантовой механике.

1.1.1 Наблюдаемые в лагранжевой формулировке.

1.2 Гамильтонова интерпретация инстантонного предела.

1.2.1 Локальная теория: гармонический осциллятор

1.2.2 Пример глобальной теории: двумерная сфера.

1.2.3 Глобальная теория: проблемы и решения.

2 А-И-Б зеркальная симметрия

2.1 Инстантонный предел суперсимметричной сигма-модели.

2.2 Нелинейные сигма-модели как деформации свободных теорий

2.3 И-модель и зеркальная симметрия

3 Бета-функция в инстантонном пределе бозонной сигма-модели

3.1 Инстантонный предел бозонной сигма-модели.

3.2 Аномалия и поле дилатона при переходе к стандартным переменным

3.3 Твисторные переменные

3.4 Бета-функция для обратной эрмитовой метрики

4 Теория Саито как предел ходжевой теории струн

4.1 Введение и основные результаты.

4.2 Компактные топологические струны и уравнение ассоциативности

4.3 Амплитуды в конформных топологических теориях струн.

4.4 Интегрирование по положению отмеченных точек

4.5 QG--Cистема ходжевой струны.

4.5.1 Общие сведения о QG- системах.

4.5.2 Решения уравнений ассоциативности, построенные по QG--системы ходжевой струны.

4.6 Реализация Ландау-Гинзбурга ходжевой системы.

4.7 От системы Ландау-Гинзбурга к хорошему сечению К.Саито

4.7.1 QG- система К.Саито и условия на хорошее сечение

4.7.2 Стратегия сведения системы Ландау-Гинзбурга к теории Саито.

4.7.3 Отображения I и Hol, и условие (ii) на хорошее сечение

4.7.4 Высшие спаривания

5 Геометрия уравнений и тензорное произведение решений

5.1 Новые конфигурационные пространства и большая операда

5.2 Применение большой операды.

5.3 Топология пространств LN и уравнение коммутативности.

5.3.1 Топология пространств Lдг.

5.3.2 Пример: пространство L3.

5.3.3 Факторизуемые отображения и уравнения коммутативности

5.4 Решения уравнений коммутативности из суперсимметричной квантовой механики.

5.4.1 Определение суперсимметричной квантовой механики

5.4.2 Построение отображений Sn.

5.5 Совпадение гомологического и квантово-механического тензорных произведений на решениях уравнений коммутативности

5.6 Замена базы и одевающие преобразования для уравнений коммутативности

5.7 Гипотеза о равенстве гомологического и одевающего тензорных произведений.

5.8 Реконструкция решений уравнений ориентируемой ассоциативности из решений уравнений коммутативности.

5.9 Реконструкция решений уравнения ассоциативности.

6 Новый индекс в минимальной суперсимметрии

6.1 Введение

6.2 Гибридная модель.

6.3 Индекс TrQi.

6.4 TrQi как индекс оператора Дирака.

7 БПС конфигурации в сигма-модели с твистованной массой и аномалия

7.1 Введение

7.2 Сигма-модель и твистованная масса.

7.3 Введение суперпотенциала.

7.4 Супералгебра.

7.5 Вакуумы

7.6 Число вакуумов и кинков, или что заменяет индекс ВИФЧ

7.6.1 Резюме конструкции для = 1.

7.6.2 Число 1/2 БПС состояний в X = 2 суперсимметрии.

7.6.3 Число 1/4 БПС состояний в X = 2 суперсимметрии.

7.7 Пример: С* модель (родственник CP1).

7.8 Петлевые поправки

7.9 Аномалия

8 Двумерные инстантоны и фреклы

8.1 Кэлеров фактор.

8.2 Сравнение действий нелинейной и линейной калиброванной моделей

8.3 Инстантоны в линейной калиброванной модели.

8.4 Пример.

9 Контактные члены в теории Зайберга-Виттена

9.1 Введение и основные результаты

9.2 Микроскопические и макроскопические теории.

9.3 Мера на кулоновой ветке.

9.4 Низкоэнергетическая теория.

9.5 Вычисления контактного члена.

9.5.1 Два-наблюдаемые.

9.5.2 Контактный член 0-наблюдаемой и 4-наблюдаемой.

0.1 Квантовая гравитация, струны, суперсимметрия и М-теория

Грандиозные успехи физики фундаментальных взаимодействий в первые три четверти 20 века бесспорны. Их вершиной является стандартная модель фундаментальных взаимодействий. Тем не менее, стандартная модель оставила открытыми целый ряд фундаментальных вопросов, таких, как вопросы о фундаментальных степенях свободы (для которых наблюдаемая калибровочная теория является всего лишь эффективной), о великом объединении и о квантовании гравитации. Остались не до конца выясненными вопросы о непертур-бативной формулировке квантовой теории поля и о количественном описании конфайнмента.

В настоящее время одним из подходов к решению этих проблем является развитие М-теории.

Историческим и идеологическим предшественником М-теории является модель Калузы-Клейна (недостатки и достоинства которой близки недостаткам и достоинствам М-теории). Модель Калузы описывала 4-мерную гравитацию, связанную с электромагнитным полем как результат компактификации 5-мерной гравитации на окружность. Удивительным образом на первый взгляд разные теории оказывались объединенными единым принципом, и даже магнитный монополь в такой электродинамике существовал (монополь Гросса-Перри). Однако, неизбежным следствием этой модели являлось существование системы заряженных частиц, масса которых была пропорциональна заряду - это не наблюдается в природе и было сочтено феноменологически неприемлемым. Модель Клейна заменяла окружность на сферу и приводила уже к неабелевой калибровочной теории с группой 50 (3), связанной с гравитацией - это было первое появление теории Янга-Миллса, не получившее, впрочем, широкого резонанса.

В модели Калузы-Клейна феноменологическая составляющая приносится в жертву простоте и геометричности модели, идее объединения и единого пер-вопринципа. Эти модели рассматриваются как простейшие модели некоторого класса, который подлежит изучению. Вопрос о выборе феноменологически приемлемой модели данного класса откладывается на будущее.

Вторым предшественником М-теории являются дуальные резонансные модели. Проблемы теории сильных взаимодействий побудили заменить лагран-жевое описание теории на матрицу рассеяния. При развитии этих идей возникли как теория дуальных резонансных моделей, так и двумерные теории с интегрируемой ¿'-матрицей. Теория дуальных резонансных моделей была переосмыслена как теория струн (в которой взаимодействие переносится протяженными объектами, заменяющими традиционные частицы). В этой теории в течении нескольких лет были открыты гравитация, отсутствие ультрафиолетовых расходимостей и суперсимметрия. Отметим, что как и в случае с моделями Калузы-Клейна ценным считалось не феноменологическое согласие с экспериментом, а решение фундаментальных проблем квантовой теории поля, таких как нетривиальное объединение гравитации с материей и квантование без расходимостей.

Третьим предшественником М-теории стала теория двумерных конформных теорий, выводящая за рамки пертурбативного подхода в квантовой теории поля и являющаяся языком, на котором могут быть сформулированы и доказаны непертурбативные эквивалентности (дуальности) разных теорий.

Четвертым предшественником М-теории стали четырехмерные суперсимметричные теории и супергравитации, созданными Ю.А.Гольфандом, Е.П.Лих-тманом и Д.В.Волковым, В.П.Акуловым, соответственно. Следует отдельно отметить, что авторов к этим теориям привело не желание сократить старшие расходимости (это оказалось позднее), а желание геометрически объяснить существование фермионов как связностей в суперпространстве! Четырехмерные суперсимметричные теории могут обладать удивительными свойствами - они могут вообще не иметь ультрафиолетовых расходимостей, а калибровочные теории с разными калибровочными группами и разным составом полей материи могут быть (гипотетически) непертурбативно эквивалентными: дуальности Монтонена-Олива и Зайберга.

Представляется удивительным, что такие разные теории, как описанные выше, могли бы объединиться в единое целое, но именно это и произошло.

Предшественники М-теории объединились примерно следующим образом.

Суперсимметричные теории (как теории материи, так и супергравитации) можно рассматривать в разных размерностях. Максимальная теория - 11-мерная супергравитация. Теории с меньшим числом суперсимметрий и в пространстве меньшей размерности получаются из теорий с большим числом суперсимметрий в пространстве большей размерности при компактификации типа Калузы-Клейна, но на специальные многообразия - многообразия с ковариантно постоянными спинорами.

Если считать, что 11-мерная супергравитация содержит мембрану и 5-брану (протяженные объекты пространственных размерностей 2 и 5), то при компактификации Калузы на окружность получается теория суперструны в десяти-мерии, а струна возникает из мембраны, намотанной на окружность.

Если теорию струны компактифицировать на специальное многообразие -с ковариантно постоянным спинором, то на мировом листе струны возникнет двумерная конформная теория - сигма-модель с таргет пространством - специальным многообразием. Непертурбативные эквивалентности таких теорий связывают разные специальные многообразия - так называемая зеркальная (мир-рор) симметрия.

Если 11-мерную супергравитацию компактифицировать на двумерный тор, получится 9-мерная теория струн, уже обладающая дуальностью. Эта дуальность геометрически состоит всего лишь в перестановке образующих тора. Из этой фундаментальной дуальности могут быть выведены другие, в частности, дуальность Монтонена-Олива.

Таким образом, суперсимметричные теории, компактификация, суперструны и дуальности оказываются неразрывно связанными в современном понимании М-теории.

С самого начала в квантовой теории поля была проблема ультрафиолетовых расходимостей. Были предложены разные способы перенормировки, но все они сначала подразумевали некоторый тип ультрафиолетового обрезания для получения конечного регуляризованного ответа. До открытия суперсимметрии был предложен способ Паули-Вилларса, состоявший в добавлении в теорию специальных тяжелых полей противоположной статистики. Но это не отвечало на вопрос о взаимодействии этих полей между собой. Оказывается, конечные суперсимметричные теории решают в точности этот вопрос. А именно, для регуляризации (асимптотически свободной) четырехмерной калибровочной теории (или двумерной сигма-модели) дополним ее до конечной суперсимметричной теории (такая теория всегда существует). После чего мягко нарушим суперсимметрию, давая новым полям массу М. В полученной таким образом теории будут две фазы - исходная, с бегущей константой связи ниже энергии М, и регуляризованная, с фиксированной константой связи при энергиях выше М.

Теперь перенормировка сведется к выбору константы связи во второй фазе способом, зависящим от М так, чтобы поведение константы связи в первой фазе не менялось. Это и есть использование суперсимметричных теорий как непер-турбативного ультрафиолетового регулятора.

Особенностью суперсимметрии является сокращение вклада флуктуации бозонов и фермионов в функциональный интеграл на фоне конфигурации полей, сохраняющих часть суперсимметрий. Такие конфигурации называются БПС конфигурациями.

Первым важным классом БПС конфигураций являются инстантоны - конфигурации с конечным действием, сохраняющие часть суперсимметрий. Инстантоны в четырехмерных калибровочных теориях играют важную роль в проверке справедливости гипотез дуальности и построенных эффективных лагранжианов в теориях с расширенной суперсимметрией. Эффективное действие в таких теориях выражается через голоморфную функцию - препотенциал. Гипотезы дуальности предсказывают его вид, а инстантоиные вычисления дают члены его разложения в ряд. Сравнение этих подходов является тестом гипотез дуальности.

Вторым классом являются БПС солитоны. Функциональный интеграл на фоне такого солитона вычисляется точно, и, как следствие, мы точно знаем массу частицы в теории, даже если теория не интегрируемая. Представляется, что это точное знание окажется крайне важным при изучении двумерных взаимодействующих квантовых теорий поля, получаемых как суперсимметричные деформации суперсимметричных интегрируемых систем методом деформации Э-матрицы.

Инстантонный предел суперсимметричной квантовой теории поля является примером так называемых топологических теорий. Двумерные топологические теории могут рассматриваться как теории на мировой поверхности так называемой топологической струны. Тем самым возникают теории струн, похожие на теорию суперструн, но технически более простые, которые можно рассматривать как модельные примеры. Не исключено также, что и теория суперструн окажется эквивалентной теории топологических струн для некоторого специального таргет суперпространства.

0.2 Общая характеристика и структура работы

Работа посвящена исследованию инстантонного предела в квантовой теории поля, связанных с ним топологических теорий и топологических струн, а также приложениям полученных результатов к изучению суперсимметричных теорий.

Традиционный взгляд на квантовую теорию поля предполагает развивать теорию возмущений вблизи теории с квадратичным лагранжианом - свободной теории. При этом достаточно сложно учесть непертурбативные эффекты ( точно это сделать практически никогда не удается), описывающие нетривиальную топологию таргет пространства в сигма-модели или калибровочной группы в суперсимметричной теории. Роль непертурбативных явлений отчетливо проявляется в суперсимметричных теориях, в которых возникает вырождение пространства вакуумов и различные центральные заряды в алгебре суперсим-метрий, приводящие к появлению частиц - солитонов, массу которых можно установить точно.

В диссертации предлагается дополнить традиционный пертурбативный подход новым, в котором стартовая точка теории возмущений является точно решаемой инстантонной теорией, то есть такой, в которой корреляторы даются суммой конечномерных интегралов по пространствам модулей инстантонов. Чтобы перейти в инстантонную теорию, необходимо взять специальный предел в обычной квантовой теории поля, в котором константа связи стремится к нулю, но при этом тэта-угол, отвечающий за сумирование инстантонов и антиинстан-тонов, стремится к мнимой бесконечности. Тогда вклад анти-инстантонов будет подавлен, но вклад инстантонов - усилен. Он остается конечным в пределе, и теория становится вполне содержательной, что и будет продемонстрировано в настоящей работе.

Обычно этот предел разбирается в суперсимметричных теориях для того, чтобы в нем вычислять корреляторы специальных величин, не зависящих от перехода к этому пределу - так называемых топологических наблюдаемых. В самом деле, их корреляторы довольно просты - например, корреляторы простейших наблюдаемых этого вида не зависят от положения в пространстве-времени (что и обусловило их название). В рассматриваемой работе предлагается сделать акцент на вычислении всех корреляторов в этих теориях, выйти за пределы топологического сектора, и сделать это в инстантонном пределе.

Работа построена по принципу восхождения от простого к сложному, поэтому она начинается с изучения инстантонного предела в квантовой механике. Этому посвящена глава 1. Оказывается, что уже этот предел достаточно нетривиален, хотя и точно решаем. Мы описываем гамильтониан, пространство волновых функций и корреляторы, при этом гамильтониан приобретает жорданову форму с положительным целочисленным спектром.

В главе 2 мы изучаем инстантонный предел в двумерной суперсимметричной теории. Топологические корреляторы в этой теории известны как инварианты Громова-Виттена. В работе исследутся не только они, но вся теория в целом. В частности показано, что для торических таргет пространств ( простейшим из которых является двумерная сфера) можно имитировать инстантоны вставкой специальных операторов - голомортексов, и точно учесть вклад суммы по инстантонам, если рассматривать голомортексы как возмущения лагранжиана (переходя к двойственным переменным). Так построено первое доказательство зеркальной симметрии как эквивалентностей квантовых теорий поля, а не только их топологических секторов.

В главе 3 мы изучаем бета-функдию, отвечающую за нарушение конформной инвариантности в инстантонном пределе обычной бозонной сигма-модели. До перехода к инстантонному пределу бета-функция равна левой части уравнений движения в гравитации, отвечающей бозонной струне. Однако стандартные переменные - метрика и поле Калба-Рамона - стремятся к бесконечности в инстантонном пределе. Поэтому вводятся новые переменные, называемые тви-сторными, которые гладко описывают деформации теории в окрестности ин-стантонной точки. Для одной из твисторных переменных - обратной эрмитовой метрики - вычислена бета-функция, оказавшаяся крайне простой - квадратичной. Сравнение со стандартными переменными подтверждает справедливость этого вычисления.

Корреляторы в двумерных суперсимметричных инстантонных теориях образуют формы на пространстве модулей комплексных структур на римановых поверхностях. Интегралы от корреляторов специальных операторов, называемых вертексными, называются амплитудами в теории топологических струн типа А. Однако при преобразовании дуальности (например, при зеркальной дуальности, описанной в главе 2) двумерная инстантонная теория переходит просто в некоторую конформную суперсимметричную теорию поля. Соответственно, понятие амплитуды в теории топологической струны обобщается в произвольную теорию такого вида. Мы разбираем процедуру интегрирования по положению отмеченной точки, и находим, что в случае, когда пространство состояний теории обладает ходжевым свойством, эти амплитуды можно универсалыю вычислить. Они удовлетворяют системе квадратичных уравнений, называемых уравнениями ассоциативности, и мы показываем, что предложенная процедура вычисления амплитуд приводит к такому решению. Мы разбираем пример - теорию типа Ландау-Гинзбурга, а также показываем, что конструкции теории примитивной формы Саито, использованной для построения решений уравнений ассоциативности, следуют из суперсимметричной квантовой механики состояний переходом к голоморфным частям ростков вакуумных волновых функций в главе 4.

В главе 5 мы разбираем топологическую часть конструкции ходжевых струн, предложенной в главе 4, в частности, построена специальная система пространств Ь2\т. обобщающих пространства модулей комплексных структур на сфере с отмеченными точками. Показано, что их топология связана с уравнениями коммутативности (мы так называем ¿-часть уравнений Вафы-Чекотти) так же, как топология пространства модулей комплексных структур на сфере с уравнениями ассоциативности. Также построены решения уравнений коммутативности в терминах корреляторов ходжевой квантовой механики, и исследованы интегрируемые структуры уравнений коммутативности и гомологическое тензорное произведение на его решениях (отвечающее произведению гильбертовых пространств соответствующих квантовых механик). В завершение описана процедура реконструкции, строящая решение уравнений ассоциативности по решению уравнения коммутативности и примитивному элементу.

После дискурса в область топологии мы возвращаемся к теоретико-полевым сюжетам, а именно к исследованию солитонов в суперсимметричных теориях. В суперсимметричных теориях из-за суперсимметрии оказываются вычислимыми следующие важнейшие свойства солитонов - число БПС солитонов данного топологического типа и их масса. Обычно БПС солитоны, как и другие частицы суперсимметричной теории, образуют супермультиплеты. Но поскольку БПС солитоны зануляются половиной суперсимметрий теории, они образуют короткие мультиплеты. Такие мультиплеты бывают двух типов, и при деформации теории солитоны коротких мультиплетов противоположных типов могут образовывать так называемый длинный мультиплет - и перестанут быть БПС солитонами. Поэтому важным вопросом является вопрос об индексе, то есть о разности числа солитонов противоположных типов.

В главе 6 описывается новый индекс, считающий число коротких мультиплетов в минимальной суперсимметричной двумерной теории поля с компактным таргет пространством и суперпотенциалом. Оказывается, что он равен индексу оператора Дирака на пространстве модулей градиентных траекторий на таргет пространстве, на котором суперпотенциал является функцией Морса и равен нулю, если это пространство модулей не является точкой.

В главе 7 это исследование индекса продолжается в теориях с большим числом суперсимметрий, однако, наиболее интересными результатами тут являются построение модели со спонтанным нарушением расширенной суперсимметрии до нерасширенной и выражение аномалии в центральном заряде в алгебре суперсимметрий через интеграл от пространственной производной киральных полей. Последнее утверждение ценно тем, что оно позволяет выразить голоморфный центральный заряд через разность вакуумных средних киральных полей. Вакуумные средние киральных полей могут быть найдены переходом к инстантонной теории - они не меняются при этом переходе. Тем самым масса солитона в суперсимметричной теории оказывается выраженной через вычисления в инстантонной, что дает пример использования топологических теорий для получения физически интересных результатов.

В главах 8 и 9 мы обсуждаем контактные члены в инстантонных теориях поля. Знание контактных членов необходимо, например, для сравнения корреляторов в двойственных теориях как функций на пространстве модулей теорий. Этот вопрос о специальных координатах уже вставал в главах 4 и 5, и был решен алгебраически с помощью процедуры реконструкции.

В главе 8 мы возвращаемся к этому вопросу с микроскопической точки зрения, сравнивая корреляторы в линейной калиброванной и нелинейной двумерной сигма-моделях. Мы обнаруживаем, что при устремлении калибровочной константы связи к бесконечности эти модели становятся эквивалентны почти везде, и область пространства-времени, в которой они не эквивалентны, имеет стремящуюся к нулю площадь. Но вклад этой области, называемой фреклом, в коррелятор сводится к индуцированию контактных членов, что мы и показываем на примере.

В главе 9 мы переходим к вопросу о контактных членах в в существенно более сложной четырехмерной калибровочной теории. А именно, мы сравниваем теорию 4-мерных инстантонов в неабелевой калибровочной теории с эфектив-ной абелевой калибровочной теорией с нетривиальным препотенциалом. Мы изучаем контактный член два-наблюдаемых, проинтегрированных по пересекающимся в точке поверхностям. Оказывается, что с помощью раздутия точки пересечения этих поверхностей контактный член можно выразить через тэта-функцию, в которой матрица периодов задается эффективной константой связи низкоэнергетической калибровочной теории. Это вычисление в частном случае подтверждается рассуждениями, основанными на использовании выражений для размерности пространства модулей инстантонов.

10 Заключение

В заключении перечислим основные результаты, полученные в диссертации:

1. Описан инстантонный предел суперсимметричной квантовой механики в гамильтоновом формализме. Показано, что гамильтониан стремится к оператору, имеющему жорданову форму и неотрицательные собственные значения. Недиагональные элементы в жордановой форме отвечают инстантонам. Волновые функции стремятся к обобщенным функциям. Для притягивающей точки гамильтониана (являющегося морсовским векторным полем) - это производные дельта-функции, сосредоточенные в этой точке. Для отталкивающей точки -это полиномы.

2. Введены твисторные переменные в пространстве констант связи бозонной сигма-модели, являющиеся регулярными в инстантонном пределе, описан переход к ним от стандартных переменных. Вычислена однопетлевая бета-функция в инстантонном пределе в твисторных переменных. Показано, что она имеет простой вид (квадратична) по твисторной переменной, отвечающей обратной эрмитовой метрике. Показано, что при переходе к стандартным переменным воспроизводится уравнение движения гравитации с тензорным полем и дила-тоном.

3. Зеркальное соответствие между суперсимметричной инстантонной теорией и теорией с суперпотенциалом описано как эквивалентность конформных теорий. При этом инстантоны смоделированы в свободной теории как корреляторы специальных операторов (голомортексов). Найдено представление, в котором голомортексы являются локальными по полям.

Показано, что вклад газа голомортексов в точности совпадает с деформацией действия суперпотенциалом

4. Показано, как по суперсимметричной квантовой механике со свойством ходжа строится решение уравнения коммутативности. Предложена процедура реконструкции, строящая по решению уравнения коммутативности и примитивному элементу решение уравнения ассоциативности. Показано, что теория Саито примитивной формы возникает при переходе к голоморфной части ростков вакуумных волновых функций в суперсимметричной квантовой механике. Найдена система пространств, чьи когомологии связаны с решениями уравнений коммутативности, как когомологии пространства модулей комплексных структур связаны с решениями уравнений ассоциативности. Определено гомологическое тензорное произведение на решениях уравнений коммутативности. Построена процедура одевания, строящая нетривиальные решения уравнения коммутативности из нетривиальных. Высказана гипотеза, проверенная в нетривиальном частном случае, о совпадении гомологического тензорного произведения с тензорным произведением одевающих преобразований

5. Построен новый индекс, измеряющий (взвешенное со знаками) число со-литонов в двумерной квантовой теории поля с минимальной суперсимметрией. Показано, что он равен индексу оператора Дирака на редуцированном пространстве модулей солитонов и отличен от нуля только если это пространство является точкой.

6. Построена суперсимметричная теория, со спонтанным нарушением расширенной суперсимметрии до нерасширенной. Аномалия в центральном заряде в солитонном секторе в суперсимметричной теории выражена через разность киральных конденсатов.

Т. Показано, что вклад точечных дефектов-фреклов в инстантонные вычисления в асимптотически свободных теориях проявляется в замене переменных на пространстве констант связи.

8. Предложена процедура раздутия точки пересечения дивизоров, позволяющая выразить контактный член 2-наблюдаемых через вклад инстантонов в окрестности точки раздутия. Зануление этого вклада для базисных наблюдаемых позволяет представить контактный член наблюдаемых с малым духовым числом через логарифмическую производную тэта-функции. Показано, что для теории с группой в и (2) и наблюдаемой с минимальным духовым числом этот контактный член согласуется с выражением, полученным из соображений размерности пространства модулей инстантонов.

1. E.Witten, Supersymmetry and Morse theory, J.Diff.Geom., 17 (1982) 661-692

2. S.Cecotti, L.Girardello, A.Pasquinicci, Singularity Theory And N=2 Supersymmetry, Int.J.Mod.Phys., A6 (1991) 2427-2496

3. S.Cecotti, Geometry of N=2 Landau-Ginzburg families, Nucl.Phys., B355 (1991) 755-776

4. S.Cecotti, P.Fendley, K.A.Intriligator, C.Vafa, A New supersymmetric index, Nucl.Phys., B386 (1992) 405-452

5. P.Fendley, K.A.Intriligator, Scattering and thermodynamics of fractionally charged supersymmetric solitons, Nucl.Phys., B372, (1992) 533-558

6. S.Cecotti, C.Vafa, On classification of N=2 supersymmetric theories, Comm. Math.Phys., 158 (1993) 569-644

7. A.Losev, New moduli spaces, commutativity equations and SQM, Proc. of the Int.Conf. Dedicated to the Memory of Professor Efim Fradkin, Moscow, 2000, v.l, Sci.World Publishing (2001) 529-535

8. A.Losev, I.Polyubin, Topological quantum mechanics for physicists, Письма в ЖЭТФ, 82 (2005) 373-380

9. E.Witten, On The Structure Of The Topological Phase Of Two-Dimensional Gravity, Nucl.Phys., B340 (1990) 281-332

10. M.Kontsevich, Yu.Manin, Gromov-Witten classes, quantum cohomology, and enumerative geometry, Comm.Math.Phys., 164 (1994) 525-562

11. A.Losev, N.Nekrasov, S.Shatashvili, Issues in topological gauge theory, Nucl.Phys., B534 (1998) 549-611

12. A.Losev, N.Nekrasov, S.Shatashvili, Testing Seiberg-Witten solution, in Proc. of NATO ASI Cargese Conference, 1997. Dordrecht, Boston, Kluwer Academic Publishers (1999) 359-372

13. E.Frenkel, A.Losev, N.Nekrasov, Notes on instantons in topological field theory and beyond, Nucl.Phys.Proc.Suppl., B171 (2007) 215-230

14. K.Hori and C.Vafa, Mirror symmetry, hep-th/0002222

15. R.Dijkgraaf, E.Witten, Mean Field Theory, Topological Field Theory, And Multimatrix Models, Nucl.Phys., B342 (1990) 486-522

16. B.Dubrovin, Geometry of 2d topological field theories, Springer Lecture Notes in Math., 1620 (1996) 120-348

17. A.Givental, Quantum cohomology of flag manifolds and Toda lattices, Comm.Math.Phys., 168 (1995) 609-642

18. A.Losev, A.Marshakov, A.Zeitlin, On First Order Formalism in String Theory, Phys.Lett., B633 (2006) 375-381

19. E.Frenkel, A.Losev, Mirror symmetry in two steps: A-I-B, Comm.Math.Phys., 269 (2007) 39-86

20. S.Cecotti, C.Vafa, Topological antitopological fusion, Nucl.Phys., B367 (1991) 359-461

21. A.Losev, Hodge Strings and Elements of K.Saito's theory of primitive form, Topological Field Theory: Primitive Form and Related Topics, Progress in Mathematics, v. 160, Boston, Birkhauser (1998) 305-337

22. Quantum Fields and Strings: A Course for Mathematicians, Ed. P.Deligne et al., AMS/IAS, Providence, RI, 1999

23. A.Losev, On "Hodge"topological strings at genus zero, Письма в ЖЭТФ, 65 (1997) 386-392

24. B.Blok, A.Varchenko, Topological conformal field theories and the flat coordinates, Int.J.Mod.Phys., A7 (1992) 1467-1490

25. K.Saito, Period mapping associated to a primitive form, Publ.RIMS Kyoto Univ., 19 (1983) 1231-1264

26. K.Saito, The Higher Residue Pairings K/F (K) for a Family of Hypersurface Singular Points Proc.Symposia Pure Math., AMS, Areata, 40 (1983), Part 2, 441-463

27. E.Verlinde, H.Verlinde, A Solution Of Two-Dimensional Topological Quantum Gravity, Nucl.Phys., B348 (1991) 457-489

28. R.Dijkgraaf, E.Verlinde, H.Verlinde, Notes on topological string theory and 2D quantum gravity, Proc. of the Trieste Spring School 1990, World Scientific, (1991) 66 pp.

29. M.Bershadsky, S.Cecotti, H.Ooguri, C.Vafa, Кodaira-Spencer theory of gravity and exact results for quantum string amplitudes, Comm.Math.Phys., 165 (1994) 311-428

30. S.Keel, Intersection theory of moduli spaces of stable pointed curves of genus zero, Trans.AMS, 330 (1992) 545-574

31. A.Losev, Descendants constructed from matter field in topological Landau-Ginzburg theories coupled to topological gravity, ТМФ, 95 (1993) 595-603

32. A.Losev, I.Polyubin, On connection between topological Landau-Ginzburg gravity and integrable systems, Int.J.Mod.Phys., A10 (1995) 4161-4178

33. A.Losev, I.Polyubin, Gravitational descendants as generators of diffeomorphisms of the target space in topological Landau-Ginzburg gravity, Письма в ЖЭТФ, 58 (1993) 573-578

34. J.Distler, P.Nelson, Topological couplings and contact terms in 2-d field theory, Comm.Math.Phys., 138 (1991) 273-290

35. T.Eguchi et al, Topological strings, flat coordinates and gravitational descendants, Phys.Lett., B305 (1993) 235-241

36. R.Dijkgraaf, Introduction to Topological Field Theory, TASI 1992, Recent Directions in Particle Theory (1993) 689-743

37. A.Losev, On structure and open problems in topological theories coupled to topological gravity, ТМФ, 100 (1994) 879-885

38. A.Losev, Yu.Manin, New moduli spaces of pointed curves and pencils of flat connections, Michigan Math.J., 48 (2000) 443-472

39. A.Losev, Yu.Manin, Extended modular operad, Proc. of the MPIM conference on Frobenius Manifolds. Vieweg, 2004, Frobenius manifolds, E36 (2004) 181211

40. A.Losev, I.Polyubin, On Compatibility of Tensor Products on Solitons to WDVV Equation, Письма в ЖЭТФ, 73 (2001) 59-63

41. A.Losev, I.Polyubin, Commutativity equations and dressing transformation, Письма в ЖЭТФ, 77 (2003) 62-68

42. M.Kontsevieh, Yu.Manin Quantum Cohomology of the Product, Invent.Math., 124 (1996) 313-339

43. K.Behrend The product formula for Gromov-Witten invariants, alg-geom-9710014

44. M.Shifman, A.Vainshtein, M.Voloshin, Anomaly and quantum corrections to solitons in two-dimensional theories with minimal super symmetry, Phys.Rev., D59 (1999) 045016

45. A.Losev, M.A.Shifman, A.I.Vainshtein, Counting supershort supermultiplets, Phys.Lett., B522 (2001) 327-334

46. A.Losev, M.A.Shifman, A.I.Vainshtein, Single State Supermultiplet in 1+1 Dimensions, New J.Phys., 4 (2002) 21

47. B.de Wit, A.K.Tollsten, H.Nicolai, Locally supersymmetric D = 3 nonlinear sigma models, Nucl.Phys., B392 (1993) 3-38

48. E.Witten, Dynamical Breaking of Supersymmetry, Nucl.Phys., B188 (1981) 513-554

49. N.Dorey, The BPS spectra of two-dimensional supersymmetric gauge theories with twisted mass terms, JHEP, 9811 (1998) 005

50. L.Alvarez-Gaume, D.Z.Freedman, Potentials for the Supersymmetric Nonlinear Sigma Model, Comm.Math.Phys., 91 (1983) 87-101

51. E.A.Ivanov, S.O.Krivonos, A.I.Pashnev, Partial Supersymmetry Breaking In N=4 Supersymmetric Quantum Mechanics, Class.Quant.Grav., 8 (1991) 1940

52. A.Losev, M.A.Shifman, Reduced N — 2 quantum mechanics: Descendants of the Kahler geometries, Mod.Phys.Lett., A16 (2001) 2529-2543

53. X.Hou, A.Losev and M.A.Shifman, BPS saturated solitons in N = 2 two-dimensional theories on R x S (domain walls in theories with compactified dimensions), Phys.Rev., D61 (2000) 085005

54. A.Losev, M.Shifman, N=2 Sigma Model with Twisted Mass and Superpotential: Central Charges and Solitons, Phys.Rev., D68 (2003) 045006

55. S.J.Gates, Superspace Formulation Of New Nonlinear Sigma Models, Nucl.Phys., B238 (1984) 349-366

56. S.J.Gates, C.M.Hull, M.Rocek, Twisted Multiplets And New Super symmetric Nonlinear Sigma Models, Nucl.Phys., B248 (1984) 157-186

57. S.R.Coleman, There Are No Goldstone Bosons In Two-Dimensions, Comm.Math.Phys., 31 (1973) 259-264

58. G.Dvali, M.Shifman, Domain walls in strongly coupled theories, Phys.Lett., B396 (1997) 64-69

59. A.Kovner, M.Shifman, A.Smilga, Domain walls in supersymmetric Yang-Mills theories, Phys.Rev., D56 (1997) 7978

60. B.Chibisov and M.Shifman, BBS-saturated walls in supersymmetric theories, Phys.Rev., D56 (1997) 7990

61. S.Kobayashi, K.Nomizu, Foundations of Differential Geometry, Interscience Publishers, New York, 1963-1969, Vols. 1&2

62. D.Morrison, R.Plesser, Summing the instantons: Quantum cohomology and mirror symmetry in toric varieties, Nucl.Phys., B440 (1995) 279-354

63. A.Losev, N.Nekrasov, S.Shatashvili, The Freckled Instantons, The many faces of the superworld: Yury Golfand Memorial Volume, Singapore, World Scientific, 2000, 453-475

64. A.Losev, N.Nekrasov, S.Shatashvili, Freckled instantons in two-dimensions and four-dimensions, Class.Quant.Grav., 17 (2000) 1181-1187

65. M.Aganagic, C.Vafa, Perturbative derivation of mirror symmetry, hep-th/0209138

66. N.Seiberg, E.Witten, Electric magnetic duality, monopole condensation, and confinement in N=2 supersymmetric Yang-Mills theory, Nucl.Phys., B426 (1994) 19-52

67. R.Donagi, E.Witten, Supersymmetric Yang-Mills theory and integrable systems, Nucl. Phys., B460 (1996) 299-334

68. A.Gorsky et al, Integrability and Seiberg-Witten exact solution, Phys.Lett., B355 (1995) 466-474

69. G.Moore, E.Witten, Integration over the u plane in Donaldson theory, Adv.Theor.Math.Phys., 1 (1998) 298-387

70. A.Losev, N.Nekrasov, S.Shatashvili, On Four Dimensional Mirror Symmetry, Fortsch.Phys., 48 (2000) 163-166

71. E.Witten, On S duality in Abelian gauge theory, Selecta Math., 1 (1995) 383410

72. M.Matone, Instantons and recursion relations in N~2 SUSY gauge theory, Phys.Lett., B357 (1995) 342-348