Процессы инстантонного типа в столкновениях частиц высоких энергий тема автореферата и диссертации по физике, 01.04.02 ВАК РФ

- 3

:"'' '""' '! На правах рукописи

ТИНЯКОВ Петр Геннадиевич

ПРОЦЕССЫ ИНСТАНТОННОГО ТИПА В СТОЛКНОВЕНИЯХ ЧАСТИУ ВЫСОКИХ ЭНЕРГИЙ

(01.04.02 — теоретическая физика)

АВТОРЕФЕРАТ диссертации на соискание ученой степени доктора физико-математических наук

Москва-1998

На правах рукописи

ТИНЯКОВ Петр Геннадиевич

ПРОУЕССЫ ИНСТАНТОННОГО ТИПА В СТОЛКНОВЕНИЯХ ЧАСТИЦ ВЫСОКИХ ЭНЕРГИЙ

(01.04.02 — теоретическая физика)

АВТОРЕФЕРАТ

диссертации на соискание ученой степени доктора физико-математических наук

Москва-1998

Работа выполнена в Отделе теоретической физики Института яде! ных исследований РАН.

Официальные оппоненты:

доктор физико-математических доктор физико-математических, доктор физико-математических

наук И.Я.Арефьев

наук В.А.Кузьми

наук И. В.Тюти

Ведущая организация:

ГНЦ "Институт теоретической и экспериментальной физики"

Защита диссертации состоится 1998 г.

' ' часов на заседании Диссертационного совета Д 003.21.01 Ин статута ядерных исследований РАН (117312 Москва, проспект 60 летия Октября, дом 7а).

С диссертацией можно ознакомиться в библиотеке Института ядер ных исследований РАН.

Автореферат разослан »/У» М^/Щ^г 998 г.

Ученый секретарь Совета кандидат физико-математических наук

Б. А. Тулупо]

ОБЩАЯ ХАРАКТЕРИСТИКА РАБОТЫ

Актуальность проблемы. Одним из основных направлений соименной физики элементарных частиц является исследование не-:ртурбативных свойств квантовополевых моделей. Многие из этих юйств связаны с квантовым туннелированием, которое имеет ме-:о как в калибровочных теориях (инстантонные процессы), так и скалярных моделях (распад ложного вакуума). Наличие туннель-лх процессов является характерным свойством всех реалистиче-:их моделей теории поля; они играют важную роль как в физике [ементаршлх частиц, так и в теории образования и развития Все-, шной. Количественное изучение туннельных процессов при раз-1чных начальных условиях и разработка соответствующих мето->в представляет собой важную и актуальную задачу.

Цепь данной работы состоит в изучении процессов туннелиро-шия в моделях квантовой теории поля при высоких энергиях и »работке аналитических и численных методов вычисления веро-гаостей таких процессов.

Научная новизна. В работе впервые разработан формализм для шсания процессов инстантонного типа при невакуумном началь-т состоянии в случае, когда энергия начального состояния пара-етрически велика, Е ~ m/g2, где m — массовый масштаб теории g — малая константа связи. Построена теория возмущений для >гарифма вероятности туннелирования по параметру е = E/Esph,

где Елр/, представляет собой высоту барьера. На основании част ного суммирования ряда теории возмущений выдвинута гипсл об экспоненциальной форме полного сечения инстантонных про1 сов в столкновении двух частиц.

Предложено использовать зависимость ряда теории возмуще] для логарифма полного сечения от инстантонных коллективных ординат для изучения его общей структуры. Продемонстриров необходимость экспоненциации поправок, связанных с начальнь частицами, и тем самым подтверждена гипотеза об экспоненциа ной форме полного сечения.

' Впервые получено замкнутое выражение для вероятности м гочастичных инстантонных процессов и обоснована ее экспонен альная форма. Выполнены вычисления соответствующей веро ности в различных моделях при энергиях Е Езрн. Разрабо-квазиклассический метод вычисления вероятности многочасгичЕ инстантонных процессов, который сводит задачу к решению кл сических уравнений поля с определенными граничными условия:

Впервые предложен и реализован практический метод вычис вил вероятности процессов инстантонного типа в столкновеш двух частиц. Оценена вероятность индуцированного распада л( ного вакуума в модели ~\фА. Установлена экспоненциальная по вленность индуцированного распада ложного вакуума при энерп Е < ЮЕцрь и оценен подавляющий фактор при Е ~ .

Научная и практическая ценность. В диссертации разработ новый метод, позволяющий расчитывать (аналитически и числ

го) с экспоненциальной точностью вероятности туннельных пере-:одов при высоких энергиях в широком классе теоретико-полевых юделей. Этот метод может быть применен для вычисления сече-гай процессов с нарушением барионного числа в стандартной мо-1ели сильных, слабых и электромагнитных взаимодействий и ее >бобщениях. Возможно обобщение указанного метода для изучения шстантонных эффектов в квантовой хромодинамике, туннельных гроцессов, сопровождающих фазовые переходы в ранней Вселенной, i также туннельных процессов в физике твердого тела.

На защиту выносятся следующие основные результаты:

1. Разработан формализм для вычисления вероятностей процессов инстантонного типа, индуцированных столкновениями частиц с большой энергией. Выведено представление полного сечения в виде функционального интеграла, удобное для расчетов как по теории возмущений в поле инстантона, так и квазиклассическими методами.

2. Установлена экспоненциальная форма полных сечений указанных процессов в лидирующем инстантонном приближении в режиме E/Esph = const, д 0. Показано, что в этом режиме поправки, связанные с конечными частицами, также суммируются в экспоненту и приводят к сечению вида

Показано, что реальным параметром разложения в экспоне те является отношение Е/Е^. Вычислен лидирующий за! сящий от энергии вклад в функцию Е{Е/Езрь) в стандарта электрослабой теории. Выдвинута гипотеза об экспоаенциа; ной форме полного сечения инстантонных процессов с учет всех поправок,

а{Е) ~ ехр{~-Ена{Е/Езр/1)}.

3. Исследована зависимость ряда теории возмущений по Е/Е. от способа фиксации параметров нулевых мод инстантона. £ казана необходимость экспоненциации поправок, связаны* начальными частицами. Оценена величина соответствуют вкладов в функцию Ена{Е/Е^н) при Е/ЕарК < 1.

4. Получено замкнутое выражение для вероятности инстантс ных процессов, индуцированных многочастичными начальн ми состояниями с фиксированной энергией. Доказана ее э> поненциальная форма. Выполнены вычисления соответству щйх вероятностей ври энергии Е С Езрк в абелевой моде, Хиггса, в нарушенной Эи(2) калибровочной теории и в де мерной массивной 0(3) сигма-модели. Сформулирована ке зиклассическая процедура вычисления вероятности туннел рования при произвольных энергиях; выведена и решена п] низких энергиях граничная задача, определяющая доминир ющие конфигурации поля (периодические инстантоны).

5. Разработан метод численного расчета многочастичной вер ятности тункелирования при фиксированной энергии в обл

сти энергий Е < Еврн- Выполнены соответствующие расчеты в двумерной массивной 0(3) сигма-модели и найдена зависимость вероятности туннелирования от энергии.

Изучены общие свойства периодических инстантонов. Показано, что периодические инстантоны могут испытывать бифуркации при изменении периода. Установлена роль этих бифуркаций в процессах туннелирования при конечной температуре. Предсказано наличие таких бифуркаций в стандартной модели при Мн > АМу/.

'. Выдвинута гипотеза о связи между вероятностью инклюзивных инстантонных процессов с малым числом начальных частиц и полным сечением двухчастичного рассеяния в поле ин-стантона. На основе этой гипотезы предложен практический метод вычисления показателя экспоненты для полного сечения туннельных процессов в столкновениях высокоэнергичных частиц, основанный на применении квазиклассического приближения.

. Сформулирована и решена при низких энергиях граничная задача, определяющая вероятность туннелирования при фиксированных энергии и числе начальных частиц. Вычислена первая поправка в функцию Ецв{Е/Е^), связанная с начальными частицами. Приведены примеры точных решений уравнений поля в ненарушенной Эи(2)-калибровочной теории и модели А, обладающих требуемой структурой особенностей в плоскости комплексного времени.

9. Разработан метод численного решения граничной задачи, в< никающей при квазиклассическом вычислении вероятное процессов инстантонного типа при фиксированных энергш числе начальных частиц. Вычислена вероятность индуци{ ванного распада ложного вакуума в массивной модели —\ф области параметров 0.4 < Е[Еяр>1 < 3.5 и 0.25 < N/N3^ < Сделан вывод об экспоненциальном подавлении полного се1 ния распада ложного вакуума в столкновениях двух части! области энергий Е <, 10Еарн- Оценено экспоненциальное I давление полного сечения при Е ~

<7(ад~ехр{0.8-^(0)},

где а(0) = ехр{1/Л^(0)} — полное сечение распада ложне вакуума при нулевой энергии.

Апробация диссертации. Основные результаты, получении« диссертации, представлены в обзорных и приглашенных док; дах на Международных семинарах "Кварки-90" (Телави, 199 "Кварки-92" (Звенигород, 1992), "Кварки-94" (Владимир, 199 "Кварки-96" (Ярославль, 1996), на Международной школе по с] зике элементарных частиц и космологии "Частицы и космолод я" (Баксан, 1991 и 1995), на XXIV Зимней школе ИТЭФ (Моею 1996), на Международной конференции "Электрослабые взаимод« ствия и объединенные теории" (Лез Арк, 1996), на Международи конференции "Рабочее совещание по проблемам электрослабой к терии" (Копенгаген, 1991), доложены на теоретических семинар ИЯИ РАН, ИТЭФ, ФИАН, ЛИЯФ.

Публикации. По результатам диссертации опубликовано 18 ра-¡от, список которых приведен в конце автореферата.

Структура работы. Диссертация состоит из Введения, трех глав 'сновлого текста, Заключения и двух Приложений, содержит 208 траниц печатного текста, включая 29 рисунков, и список литера-чуры из 188 наименований.

Во Введении дается обоснование актуальности, новизны и ос-ювных целей работы. В теориях со слабой связью амплитуды провесов инстантонного типа при низких энергиях могут быть вы-шслены квазиклассическими методами и определяются действием га инстантонном решении. Обозначая через д константу связи, об-цее квазиклассическое выражение для амплитуды можно записать ! виде

•де 5о — классическое действие на решении. При параметрически ¡ольших энергиях, Е ~ Е,рь, где Еарн — энергия сфалерона, ха->актеризующая высоту барьера, амплитуды туннельных процес-:ов зависят экспоненциально как от энергии, так и от конкретного [ачального состояния, и формулу (1) необходимо модифицировать. )двим из наиболее интересных с физической точки зрения вопро-:ов, возникающих в этом контексте, является вопрос о вероятности гроцессов инстантонного типа в столкновениях высокоэнергичных

СОДЕРЖАНИЕ ДИССЕРТАЦИИ

(1)

частиц. Разработке методов вычисления этих вероятностей и священа диссертация.

Простейшая оценка сечения процесса —> пШ в элект

помощью вычисления евклидовой функции Грина в лидируюп инстантонном приближении и применения редукционных форм Для полного сечения сг(Е) эта оценка дает

Полученное выражение наводит на мысль о том, что при высоь энергиях полное сечение процессов инстантонного типа имеет в)

Вычисление полного сечения в экспоненциальном приближении а дится, таким образом, к вычислению единственной функции Ецв( Показатель экспоненты в (2) представляет собой первые два чле разложения Рна(Е/Е.,рЛ) при малых Е/Е&р^.

Дальнейшее продвижение возможно двумя путями. Можно в числить поправки к уравнению (2), которые оказываются подавле ными более высокими степенями Е/Еярь, и изучать общую струи ру получившегося ряда по Е/Е^ь, что сводится к анализу поправ к лидирующему инстантонному приближению. На этом пути уг ется в итоге обосновать уравнение (3), однако вычисление функц Енс{Е/Е£рЬ) в области Е/Е^ь, ~ 1 таким методом не представ* ется возможным.

В то же время, общий вид (3) предполагает существован квазиклассической процедуры вычисления функции РНС(Е/Е1 р,

слабой модели может быть получена традиционными методам]

Для этого необходимо найти конфигурации поля, доминирующие в

функциональном интеграле для полного сечения при высоких энер-

•иях. Одним из подходов к решению этой проблемы является изу-

„ (

¡ение вспомогательных величин — вероятностей процессов инстан-юнного типа с многочастичными начальными состояниями.

В диссертации развиваются оба подхода. В результате оказывайся возможным сформулировать практический метод вычисления функции F[iG(E/Esph) и, следовательно, сечений процессов инсганионного типа с экспоненциальной точностью, и провести соответ-.твуютцие вычисления в простейшей модели.

В первой главе рассматривается теория возмущений для вычи-. лепия вероятностей инстантонных процессов при энергиях Е <С

^sph•

В разделе 1.1 выводится выражение для основного объекта, ис-юльзующегося в дальнейшем, — производящего функционала для мплитуд в поле инстантона, который представляют собой матрич-[ый элемент S-матрицы между когерентными состояниями,

(b\S\a) = 5(6*. а)

= rlim !<1ф}<1ф4феу:р^В{{фг,а) + В;(фг,Ь') + idtL(<f>)} . (4)

¡десь В{(фг,а) и Bf^j, b") — граничные вклады, возникающие из олновых функций когерентных состояний,

+ jdk^M.c'^a^k),

Вг(ф}> Ъ*) = -\1<1к Ь*ъЫке^т> - ~ ¡ёкиьфМФЛ-к) +1йку/Ъ^&^ЪЬЬФЖ-к) .

Комплексные переменные ак и параметризуют банальное и : нечное когерентные состояния. Величина

дар да~р а-о

является производящей функцией для амплитуд двухчастичн< рассеяния в системе центра масс с энергией Е = 2шр. Полное се ние имеет вид

= ~ jdb*kdbk е/л^|5(Ь')|2 ,

5V.

где j — поток начальных частиц и V — пространственно-времеш объем.

В разделе 1.2 проводится систематическое разложение по в мущениям вокруг инстантона и выписываются соответствую!! фейнмановские правила. Выводится выражение для производят функционала S(b*,a),

_S(b*,a) ~ |й4ж0^(С)ехр{Г(Ь*,а)} ,

где £ — коллективные координаты инстантона (кроме трансляг и "эффективное действие" Г(Ь*,а) дается суммой всех связи диаграмм. В свою очередь, Г(Ь*,а) может быть разложено по тлям,

Г(Ь» = Ir(fr«)(ffb*>flfo) + Г1-11оар\дЬ*, да) + .....

Зсли flkj^k ~ 1 ¡0 (начальное и конечное состояния имеют число 1астиц порядка 1 /д2), то разложение (9) представляет собой разло-кение по д2 с лидирующим членом l/g2T^tTet\ В теориях со слабой ¡вязью этот вклад доминирует, и '

S{b*, а) ~ exp{lr^e'(g6*,ga)} . (10)

Таким образом устанавливается квазиклассическая форма много-шстпичных амплитуд в поле инстантона.

Показатель экспоненты в (10) представляет собой ряд по степе-[ям переменных и ак,

±l4tree>( gV ,да) = -\s0 + -Raa + -Rbb* д2 92 д 9

+ab'+ \aDaaa + aDobb''+ \b'Dbbb* + ... , (11)

де R(k) — вычет инстантонного поля, D(k, q) — вычет пропага--ора в поле инстантона на массовой оболочке и подразумеваются [нтегрирования по пространственным импульсам. Разложение по •озмущениям вокруг инстантона соответствует формальному ряду :о степеням переменных и а^.

В разделе 1.3 обсуждается полное сечение инстантонных провесов и проводится разделение поправок к лидирующему прибли-сению на мягкие (включающие только конечные частицы) и жест-ие (включающие как конечные, так и начальные частицы).

Раздел 1.4 посвящен вычислению полного сечения в лидирую-дем приближении. Выводится формула, выражающая полное сече-ие в лидирующем приближении через вычет инстантонного поля

на массовой оболочке,

Таким образом, в лидирующем порядке полное сечение всегда ил ет экспоненциальный вид. По формуле (12) проводится расчет пс ного сечения процесса IVIV —> пЦ^ в электрослабой теории и вы^ сляется правильный коэффициент в уравнении (2),

16тГ2/ 9/£ч4/ЗЧ

leading 72

где

Е0 = vbirMw/aw ~ Esph. (1

В разделе 1.5 изучаются поправки в полное сечение. Выводит общее выражение для полного сечения с учетом мягких поправс из которого немедленно следует его экспоненциальная форма в этс приближении. Показатель экспоненты, Р(3!,) (Е / Езрн). представл ется в виде формального ряда

& £

где параметр т* определяется из уравнения дР^"'1 ¡дт„ — 0. Дал показывается, что при определенных предположениях, выполня) щихся в практически интересных случаях, параметром разложен! в (15) в действительности является отношение Е/Е¡р/1 в некотор< степени. Для этого рассматривается относительная величина 7?/?

КОК вкладов и показывается, что их отношение по порядку величины равно

где р„ обозначает характерный размер инстантона, с1 — размерность пространства-времени ив — целое положительное число, характеризующее импульсную зависимость вычета пропагатора в конкретной модели. В нарушенной калибровочной Эи(2) теории <1 — 4 и в = 0, так что параметр разложения равен (/?,/т„)2 ~ (Е/Е0)2^. Последующие члены ряда подавлены более высокими степенями этого параметра.

Жесткие поправки также могут давать вклад в логарифм полного сечения. Поскольку замкнутого представления для них неизвестно, для того, чтобы убедиться в наличии таких вкладов, используется неявных метод, основанный на изучении зависимости мягких поправок от инстантонных коллективных координат. Эта зависимость проявляется в произволе, присутствующем в определении пропагатора в поле инстантона. В окончательном выражении для полного сечения произвол должен сокращаться, причем сокращение должно происходить в каждом порядке по Е/Еяр/1. Вклад мягких поправок, зависит от фиксации инстаптонных нуле-

вых мод через вычет пропагатора £>(£:, <7). Оценки показывают, что эта зависимость впервые появляется в порядке этом же порядке должны возникать вклады жестких поправок.

Глава 2 посвящена обсуждению квазиклассического подхода к вычислению вероятностей процессов инстантонного типа. Необходимость таких методов вытекает из неприменимости теории возму-

(16)

щений при энергиях Е > Espf¡. Квазиклассический подход основан на анализе многочастичных инстактонных процессов.

В разделе 2.1 рассматривается простейший случай многочастичных инстантонных процессов, когда фиксирована только энергия начального состояния. Вероятность туннелирования при фиксированной энергии определяется следующим образом,

P(E) = j:\(b\SPE\a)\2, (17)

Ь,а

где проектор Ре выделяет состояния с заданной энергией Е. Иными словами, Р(Е) представляет собой вероятность распада микроканонического ансамбля с энергией Е. Вероятность Р(Е) определяет скорость температурных переходов в некотором интервале температур.

Используя формулу (4), вероятность Р(Е) можно записать в виде двойного функционального интеграла,

Р(Е) = J dbdadtpdfp'd^d4? exp{-¿£(<e0 - Q - j a*ak - J b*kbk

+В{<к, ake¿fcí"^r0 + B{4>f, b'ke^T<) + iS(<j>) (18)

ake~'k^T') + ВЩ, bke~^Tr} ~ гЭД},

где штрихованные поля возникают из сопряженного матричного элемента, и полный пространственных импульс системы положен равным нулю. Перемасштабированием переменных интегрирования легко убедиться в том, что этот интеграл седловой, и

А

В

1тп ~Ь

гт/2

С

Б

А'

В'

—гт/2

Рис. 1: Контур в плоскости комплексного времени, на котором определены поля фиф'. Перечеркнутые кружки отмечают положение син-гулярностей.

где е = Е/Евр}1 ~ д2Е/т. Таким образом, вычисление Р(Е) сводится к решению соответствующих седловых уравнений.

Седловые уравнения в интеграле (18) представляют собой уравнения поля

с граничными условиями, которые сводятся к условиям равенства и действительности полей на оси действительного времени и действительности на прямой 1т{ = т/2. При этом поля ф ж ф' следует интерпретировать как определенные на контурах АВСБ и А'В'СБ в плоскости комплексного времени (см. рис. 1). Такая интерпретация

подсказана аналогией с одномерной квантовой механикой. Указанным граничным условиям удовлетворяет действительное решение евклидовых уравнений поля, имеющее точки поворота при £ = 0 и t = гт/2. Такое решение естественно назвать периодическим ин-стантоном (с периодом т). Вероятность Р(Е) определяется формулой

Р{Е) ~ ехр[Ет - 5(г)],

где S(t) - евклидово действие периодического инстантона за период, который связан с энергией соотношением

от

В существовании периодических инстантонов можно убедиться, рассмотрев предельные случаи высокой и низкой энергии. При Е ~ Esph периодический инстантон представляет собой сумму сфа-леронного поля и (почти гармонического) колебания в отрицательной моде сфалерона. При Е <?С E3ph периодический инстантон с хорошей точностью аппроксимируется бесконечной цепочкой равноотстоящих инстантонов и антиинстантонов, что аналогично приближению разреженного инстантонного газа. В качестве примеров этой конструкции в диссертации рассмотрена двумерная абелева модель Хиггса, нарушенная SU(2) калибровочная теория и двумерная 0(3) сигма-модель.

В разделе 2.2 конструкция периодического инстантона обобщается на случай, когда, помимо энергии, в начальном состоянии фиксированы значения каких-либо других операторов. Особый интерес представляет случай фиксированного числа частиц. Соответству-

ющая вероятность определяется как

P(£,n) = £Kb|SPBPn|a>|2. (20)

а,Ь

При числе частиц п ~ v/g1 эта вероятность имеет квазиклассический вид

P(£,n)~exp{ÍF(e,z,)j (21)

и может быть вычислена седловым образом. В то же время, Р(Е, п) ограничивает полное сечение двухчастичного рассеяния сверху. По построению, Р(Е, п) представляет собой вероятность туннелирова-ния, просуммированную по всем начальным состояниям с энергией Е и полным числом начальных частиц п. Каждое слагаемое положительно, и в сумме имеется, кроме всего прочего, вклад от начального состояния, представляющего собой две сталкивающиеся и л — 2 свободно распространяющиеся частицы, совпадающий с полным сечением двухчастичного рассеяния. Таким образом, величина Р(Е, п) ограничивает двухчастичное сечение сверху,

Р(Е,п) >а(Е)

и,следовательно,

F(€,v)>FeG(c). (22)

В частности, если вероятность Р(Е, и) при некотором п экспоненциально подавлена, то двухчастичное сечение также подавлено.

Естественно предположить, что в пределе г/ —> 0 вероятность Р(Е,п) и двухчастичное сечение совпадают с экспоненциальной точностью. Иначе говоря, должно выполняться равенство

FaG{e) = F{e, 0). (23)

Эта гипотеза подтверждается явными вычислениями в нескольких первых порядках теории возмущений вокруг инстантона. Таким образом, для вычисления двухчастичного сечения с экспоненциальной точностью достаточно найти и) при малых V.

При низких энергиях, функцию Р(е, р) можно вычислять по теории возмущений. Применение методов, развитых в первой главе, позволяет определить лидирующий вклад жестких поправок, который не удается найти другими способами,

При Е <С Ец суммарный вклад начальных частиц в экспоненту отрицательный, т.е. они приводят к усилению экспоненциального подавления сечения.

При произвольных энергиях функция Р{е,р) дается формулой

= п9 + ЕТ + 2Щ13лвс{Ф)}

1-ег

: I сИсшь^еФ^к) Кеф^—к) (25)

X + е-**.

1 + г +- _ e_¿ I dfcwkIm<k(k)lm<k(-fe).

Поле ф удовлетворяет следующей граничной задаче на контуре ABC,

Тф= °> <26>

Ыф(0,х) = Im^(0,a) = 0, (27)

/к = (28)

где /к и — частотные компоненты поля в асимптотической области А на контуре АВСО. Параметры в и г определяются из уравнений

„

— - П дт ~

Приведенная формулировка открывает путь для численного расчета функции и, тем самым,

В заключение раздела 2.2 приводятся примеры точных решений уравнений поля в чистой Би(2) калибровочной теории и модели АфА, имеющих требуемую структуру особенностей в плоскости комплексного времени.

В главе 3 представлены результаты численных расчетов вероятностей инстантонных процессов.

В разделе 3.1 проводится численный анализ периодических ин-стантонов. В качестве примера рассматривается двумерная 0(3) сигма-модель с нарушенной масштабной инвариантностью. Уравнения движения с граничными условиями решаются численно; вычисляется зависимость действия, периода и функции ^(е) от энергии. Интересным свойством этой модели является необычная зависимость периода от энергии, которая является следствием мягко нарушенной масштабной инвариантности: при уменьшении энергии период уменьшается и в пределе нулевых энергий стремится к нулю. При этом приближение разреженного инстантонного газа выполняется, поскольку характерный размер инстантонов стремится к нулю быстрее периода.

Хотя аналитически точные решения для периодических инстан-тонов неизвестны, часто можно воспользоваться непрерывностью по периоду для предсказания их качественного поведения. Можно выделить два общих типа поведения в зависимости от знака дЕ/дт, которые обозначим II и I, соответственно. Так, в 0(3) сигма-модели периодический инстантон относится к типу II (дЕ/дт > 0). То же самое можно сказать и про периодический инстантон в стандартной модели при низких энергиях. Примером типа I служит периодический инстантон в абелевой модели Хиггса, где его период растет с уменьшением энергии. Периодические инстантоны типа II не дают вклада в скорость переходов при конечной температуре.

При изменении энергии периодический инстантон может проходить через точки бифуркаций, в которых тип поведения изменяется. Примеры легко найти как в квантовой механике, так и в теории поля. Более того, в стандартной модели при М# > 4Му/ периодический инстантон также должен испытывать бифуркацию. Свойства периодических инстантонов вблизи бифуркаций, и, в частности, количество отрицательных мод, могут быть установлены из топологических соображений. Сфалерон, рассмотренный как периодическое решение с периодом т, испытывает бифуркацию при г = 27г/о>_, где и}- — частота его отрицательной моды; анализ этой точки позволяет моделыю-независимым образом убедиться в существовании периодического инстантона вблизи сфалерона.

В разделе 3.1 приводятся результаты численного расчета функции F(e, V) и оценка двухчастичного сечения для случая индуцированного распада ложного вакуума в модели, определяемой действи-

ем

5 - I (\д^фд»ф - ^тп2ф2 + , (29)

где А — положительная константа связи. Поведение функции Р(е, и) представлено на рисунке 2. Из этих данных и уравнения (22) сле-

0.0 1.0 2.0 3.0 4.0

Рис. 2: Линии F(t, и) = const. Величина F меняется от F — 0 для верхней (сплошной) линии до F = —0.6 для нижней с шагом 0.05 (в нормировке F{0,0) = -1). Линия, направленная от сфалерона (f = v = 1) к инстангону (е = v = 0) соответствует периодическим инстантонам.

дует, что полное двухчастичное сечение распада ложного вакуума экспоненциально подавлено при Е & 3.5Esph. Экстраполируя в область высоких энергий, можно оценить энергию Е», при которой экспоненциальное подавление сечения могло бы исчезнуть,

Е. > 10Esph.

Для оценки величины экспоненциального подавления при энергии порядка энергии сфалерона необходимо произвести экстрапо-

-р

0.0 0.2 0.4 0.6 0.8 1.0

Рис. 3: F(c, V) как функция V при фиксированном е. Цифрами указано значение е.

ляцию функции ^ на линию и = 0. На рис.3 представлена зависимость функции ^ от V для различных значений е ~ 1. Разны« кривые соответствуют с = 0.6,0.7,0.8,0.9,1.0,1.1,2.0 сверху вниз Производя экстраполяцию, получим

= 1) ~ 0.8

с точностью порядка 10%. Следовательно, мы заключаем, что при Е ~ ЕфЪ, инстантонное подавление уменьшается только на величину порядка 20%.

В заключительной части этого раздела проводится сравнение численных и аналитических результатов при низких энергиях, и исследуется зависимость численных данных от шага решетки.

В Заключении сформулированы основные результаты, полученные в диссертации.

В приложениях А и В приводятся наиболее существенные детали численных расчетов.

Основные результаты диссертации опубликованы в следующих работах:

1). Khlebnikov S. Yu., Rubakov V. A., Tinyakov P. G. Breakdown of semiclassical expansion, in instantoa sector at high-energies. // -Nucl. Phys. -1990. -B347 -p.783-801.

2). Khlebnikov S. Yu., Rubakov V. A., Tinyakov P. G. Instanten induced cross-section at high-energies: leading order and beyond. // -Mod. Phys. Lett. -1990. -A5. -p.1983-1992.

3). Khlebnikov S. Yu., Rubakov V. A., Tinyakov P. G. Instanton induced cross-sections below the sphaleron. // -Nucl. Phys. -1991. -B350. -p.441-473.

4). Khlebnikov S. Yu., Rubakov V. A., Tinyakov P. G. Periodic installions and scattering amplitudes. // -Nucl. Phys. -1991. -B367. -p.334-358.

5). Khlebnikov S. Yu., Tinyakov P. G. Constraint dependence of the instanton calculations and exponentiation of hard-soft corrections at high energies. // -Phys. Lett. -1991. -B269. -p.149-154.

6). Rubakov V. A., Tinyakov P. G. Towards the semiclassical cal-culability of high-energy instanton cross-sections. // -Phys. Lett. В -1992. -279. -p. 165-168.

7). Tinyakov P. G. Multiparticle instanton induced processes and

B violation in high-energy collisions. // -Phys. Lett. B -1992. -284. -p.410-416.

8). Rubakov V. A., Son D. T., Tinyakov P. G. Initial state independence of nonperturbative scattering through thin wall bubbles in (1+1)-dimensions. // -Phys. Lett. -1992. -B278. -p.279-283.

9). Rubakov V. A., Son D. T., Tinyakov P. G. Classical boundary value problem for instanton transitions at high energies. // -Phys. Lett. B -1992. -287. -p.342-348.

10). Rubakov V. A., Son D. T., Tinyakov P. G. An example of semiclassical instanton like scattering: (l+l)-dimensional sigma model. // -Nucl. Phys. -1993. -B404. -p.65-90.

11). Son D. T., Tinyakov P. G. Examples of semiclassical instanton like scattering: massless phi**4 and su(2) gauge theories. // -Nucl. Phys. -1994. -B415. -p.101-115.

12). Tinyakov P. G. Instanton-like transitions in high energy collisions. // -Int. J. Mod. Phys. A -1993. -8. -p.1823-1885.

13). Habib S., Mottola E., Tinyakov P. G. Winding number transitions at finite energy and temperature: an 0(3) model. // -Phys. Rev. D -1996. -54. -p.7774-7793.

14). Kuznetsov A.N., Tinyakov P. G. Numerical study of induced false vacuum decay at high energies. // -Mod. Phys. Lett. A -1996. -11. -p.479-490.

15). Kuznetsov A.N., Tinyakov P. G. False vacuum decay induced by particle collisions. // -Phys. Rev. D -1997. -56. -p.1156-1169.

16). Kuznetsov A.N., Tinyakov P. G. Periodic instanton bifurcations and thermal transition rate. // -Phys. Lett. -1997. -B406. -p.76-82.

17). Kuznetsov A.N., Tinyakov P. G. Tunneling induced by particle :ollisions. // -In: Proc. '96 Electroweak Interactions and Unified Theo-ies, XXXIst Rencontre de Moriond (Edition Frontieres) -1996. -p.455-162.

18). Tinyakov P. G. Semiclassical calculation of multiparticle cross ections: B violation and multiparticle production at high energies. // -In: Surveys in High Energy Physics, Proc. of the 24th ITEP Winter School, -1996. -v.10. -p.205-232.