Туннельные и многочастичные процессы в электрослабой теории и моделях теории поля тема автореферата и диссертации по физике, 01.04.02 ВАК РФ

На правах рукописи

Безруков Федор Леонидович

Туннельные и многочастичные процессы в электрослабой теории и моделях теории поля

01.04.02—теоретическая физика

АВТОРЕФЕРАТ диссертации на соискание ученой степени кандидата физико-математических наук

Москва-2003

На правах рукописи

Безруков Федор Леонидович

Туннельные и многочастичные процессы в электрослабой теории и моделях теории поля

01.04.02—теоретическая физика

АВТОРЕФЕРАТ диссертации на соискание ученой степени кандидата физико-математических наук

Москва-2003

Работа выполнена в Отделе теоретической физики Института ядерных исследований Российской академии наук

Научные руководители:

доктор физико-математических наук,

академик РАН В.А. Рудаков

профессор К. Ребби

Официальные оппоненты:

доктор физико-математических наук А. С. Горский

доктор физико-математических наук Д.И.Казаков

Ведущая организация:

Математический институт им. В.А.Стеклова Российской академии наук

Защита состоится « »__2003 г. в_час.

на заседании Диссертационного совета Д 002.119.01 Института ядерных исследований РАН (117312, Москва, просп. 60-летия Октября, д. 7а)

С диссертацией можно ознакомиться в библиотеке Института ядерных исследований РАН

Автореферат разослан « »_2003 г.

Ученый секретарь Диссертационного совета кандидат физико-математических наук

Б.А.Тулупов

РОС. НАЦИОНАЛЬНА* I

БИБЛИОТЕКА I

оэ

ОБЩАЯ ХАРАКТЕРИСТИКА РАБОТЫ

Актуальность проблемы. Стандартная модель фундаментальных взаимодействий в настоящий момент с высокой точностью описывает большинство наблюдаемых процессов в физике частиц во всем доступном существующим экспериментам диапазоне энергий. Большинство результатов, используемых для описания реальных физических процессов при высоких энергиях, получено в ней в рамках теории возмущений по малой константе связи. Благодаря малости констант связи в электрослабом секторе, и свойству асимптотической свободы квантовой хромодинамики, теория возмущений отлично подходит для описания многих процессов. Однако даже в пределе слабой связи существуют эффекты, не описываемые в рамках теории возмущений.

Одним из таких эффектов является возможность несохранения ферми-онного (барионного и лептонного) числа в электрослабой теории. Этот эффект связан с нетривиальной структурой вакуума калибровочных теорий: неабелевы калибровочные теории обладают счетным множеством физически эквивалентных вакуумов. В рамках теории возмущений существование различных вакуумов, и, соответственно, упомянутый эффект, незаметен. Однако, в полной квантовой теории возможны переходы между этими вакуумами, приводящие в теориях с фермионами к несохранению ферми-онных чисел.

Интересен вопрос, возможно ли наблюдать такие процессы экспериментально. В электрослабой теории соседние топологически различные вакуумы разделены потенциальным барьером конечной высоты. Классическое нестабильное решение статических уравнений движения, соответствующее вершине этого барьера (строго говоря, седловой точке между

вакуумами),— сфалерон — имеет в стандартной электрослабой модели энергию £5рн ~ Му/ачр, или, при стандартных значениях параметров, около 8 ТэВ. При энергиях, много меньших высоты барьера, процессы, описывающие переходы с изменением топологического числа, хорошо описываются в квазиклассическом приближении, которое приводит в данном случае к теории возмущений вокруг классического непертурбативного решения в евклидовом времени, интерполирующего между соседними вакуумами — инстантона. Соответственно, вероятности туннелирования подавлены экспоненциальным фактором вида ехр(—25|П31), где 5|ПЗ( — евклидово действие инстантона, обратно пропорциональное константе связи. В электрослабой теории действие инстантона = 4-7г/а^, что дает фактор подавления Ю-170. Это приводит к тому, что при низких энергиях такие процессы практически ненаблюдаемы.

Квантовомеханическая интуиция, основывающаяся на известной задаче о туннелировании через барьер в одномерной квантовой механике, подсказывает, что подавление может пропасть при энергии, равной высоте барьера. Это действительно происходит в процессах при высокой температуре, большой плотности фермионов, или при наличии тяжелых фермионов в начальном состоянии.

Вообще говоря, высота барьера, £5ри — 8 ТэВ относительно невелика, и сравнима с энергиями, достижимыми на будущих ускорителях. В связи с этим встает вопрос, сохраняется ли экспоненциальное подавление процессов с нарушением фермионных чисел в столкновениях частиц при энергиях, совпадающих с энергией сфалерона, и превышающих ее.

В работах Рингвальда и Эспинозы в 1990 году было замечено, что при низких энергиях амплитуды процессов 2 —> N с нарушением топологиче-

ского числа могут быть найдены с помощью теории возмущений на фоне инстантона. Было получено, что эти амплитуды в ведущем порядке растут с энергией степенным образом, а инклюзивное сечение растет экспоненци-

аЛЬН° ( Г 4/3 21 1

где Ео = \/бжМу/ау, причем оно насыщается конечным состоянием с большим (порядка \/ауг) числом частиц с относительно малыми энергиями. Дальнейшие исследования показали, что полное сечение имеет экспоненциальный вид

сты(Е) ~ ехр (-~Рис(Е/Е%Рь)\ , I )

где ау — слабая константа связи, а функция Рнв выражается в виде ряда по дробным степеням Е/Еф, и зависит от константы связи только неявным образом через Еф. Предэкспоненциальный множитель зависит от константы связи и энергии степенным образом и, следовательно, относительно мало существенен. Ряд теории возмущений на фоне инстантона для функции /т/сС^/Дцж) взрывается при Е > £5рь и, следовательно, анализ инстан-тонных процессов в самой интересной области высоких энергий требует применения непертурбативных методов.

Экспоненциальная форма полного сечения предполагает, что может существовать квазиклассический метод вычисления Ецс{Е/Еф) при любых энергиях, включая Е > Езри. Однако, как уже было замечено, начальное состояние, содержащее две частицы, не является квазиклассическим. Метод решения этой проблемы был "предложен Рубаковым, Тиняковым и Шоном в 1992 году. Метод основан на предположении об универсальности функции Енв(Е/Еьрь), то есть о том, что она не зависит от деталей начального со-

стояния, пока число частиц в нем не становится параметрически большим. Это предположение было проверено явными вычислениями в нескольких порядках теории возмущений по E/Espи в калибровочной теории а также в явно в квантовой механике с двумя степенями свободы). Состояние же с несколькими частицами можно рассматривать как предельный случай квазиклассического состояния с числом частиц N = $J/ay>, при стремлении параметра N к нулю. Для многочастичного начального состояния инклюзивное сечение перехода с изменением топологического числа имеет явно квазиклассическую форму

<r{E,N) ~ exp |-i^F(£/£sph,iV)| .

Функция же FuGiE/Esph), отвечающая двухчастичному сечению, получается в пределе N —► О,

lim F(E/Espb,N) = FHG(E/Esph). (2)

N—tO

Таким образом, можно косвенно вычислить функцию Fhc(E/Esph) квази-классически.

В рамках этого метода функции F(E/Espb,N) определяется действием на специальном решении классических уравнений поля на контуре в комплексном времени. Хотя для большинства реалистических моделей найти требуемые решения аналитически затруднительно, возможно, по крайней мере в принципе, получить эти решения численно. Кроме этого, можно приближенно решить эту задачу в пределе малых энергий и числа частиц.

Возможность применения численных методов в данной задаче была продемонстрирована на примере модельной теории поля, описывающей распад ложного вакуума. Однако применение этого метода при высоких энергиях

сталкивается с проблемой — решения граничной задачи, интерполирующие между различными топологическими вакуумами перестают существовать. Эта проблема была отмечена и при анализе распада ложного вакуума, и в модельной задаче квантовомеханического туннелирования в системе с двумя степенями свободы.

Основной задачей диссертации является вычисление показателя экспоненты F(E/ESPh,A0 и получение информации о FhgÍE/E^) в калибровочной теории с группой SU(2) и дублетом Хиггса, т.е. электрослабой теории с sin dw = 0.

В топологически тривиальном секторе в моделях со слабой связью при относительно невысоких энергиях также существуют процессы, плохо описываемые теорией возмущений. В этом случае возможны ситуации, когда в теории появляются конкурирующие малые (или большие) параметры. Примером является процесс с большим количеством частиц п в конечном состоянии, сравнимым с обратной константой связи А-1.

В обычной теории возмущений даже около топологически тривиального вакуума уже наивная оценка амплитуды дает факториальную зависимость л! от количества частиц в конечном состоянии, что снимает подавление, связанное с константой связи. В 1991 году Волошиным было найдено точное выражение для древесной амплитуды процесса рождения одной виртуальной частицей п реальных в теории (массу полагаем равной единице) при специальной кинематике: все частицы обладают нулевыми пространственными импульсами

Данный результат указывает на полную неприменимость обычной теории возмущений при п > А-1, поскольку входит в противоречие с унитарностью

теории.

Таким образом, для вычисления данных сечений необходим некоторый непертурбативный метод. Интерес представляет режим

где е = (£ — п)/п — средняя кинетическая энергия конечных частиц в системе центра масс. Существующие вычисления в рамках теории возмущений свидетельствуют о том, что в этом режиме полное сечение имеет экспоненциальный вид,

Это указывает на возможную применимость квазиклассического приближения.

В диссертации исследовано поведение функции Р(Ал, е) в древесном приближении при произвольных энергиях е.

Цель работы состоит в изучении процессов с нарушением барионного и лептонного чисел в столкновениях при высоких энергиях в стандартной электрослабой теории с помощью квазиклассических методов, а также в исследовании многочастичного рождения в теории Ау?4 на древесном уровне с помощью сингулярных классических решений.

Научная новизна и практическая ценность.

В диссертации впервые квазиклассический метод нахождения вероятности туннелирования в многочастичных столкновениях применен к калибровочной теории.

Обнаружено качественно новое свойство туннелирования при высоких энергиях — туннелирование на сфалерон. Для численного нахождения ре-

А —» 0 , Ап = йхе(1, е = Пхес!,

шений такого типа использовалась регуляризованная версия граничной задачи. Таким образом, впервые получены результаты для показателя экспоненты подавления туннельных процессов в 511(2) калибровочной теории с хиггсовским дублетом для энергий, достигающих и превышающих энергию сфалерона.

С помощью этих результатов получена оценка и ограничение на показатель экспоненты подавления сечений процессов с нарушением барионного числа. При этом выявлен новый факт, что экспонента подавления выпола-живается при энергии выше энергии сфалерона. Полученные результаты сильно ограничивают возможность обнаружения процессов с электрослабым нарушением барионного числа на будущих ускорителях и в космических лучах сверхвысоких энергий.

С помощью квазиклассической техники, связывающей сечения и сингулярные решения уравнений поля, численно исследованы древесные сечения многочастичного рождения при произвольных энергиях. Впервые исследована форма седловой поверхности сингулярности при средних энергиях (сравнимых с массой бозона). Полученное ограничение на древесные сечения является самым сильным на настоящий момент.

Апробация диссертации. Основные результаты, полученные в диссертации, были доложены в 1996-2003 гг. на научных семинарах ИЯИ РАН, на XXIV Зимней школе ИТЭФ (Снегири, 1996), на 37-ой Международной школе по субъядерной физике (Эриче, Италия, 1999г.), двух Международных школах «Частицы и космология» (Приэльбрусье, 2001 г. и 2003 г.), на Международном семинаре «КВАРКИ-96» (Ярославль, 1996г.).

Публикации. По результатам диссертации опубликовано 6 работ.

Объем работы. Диссертация состоит из Введения, трех глав основного

текста, Заключения и одного дополнения, содержит 124 страницы машинописного текста, в том числе 25 рисунков и список литературы из 97 наименований.

СОДЕРЖАНИЕ РАБОТЫ

Во Введении обсуждаются непертурбативные эффекты в теориях поля, связанные с нетривиальной структурой вакуума в электрослабой модели и многочастичными процессами. Обсуждается возможность применения квазиклассических методов для исследования таких процессов. Кратко изложено содержание диссертации.

В Главе 1 описана использовавшаяся при изучении переходов с нарушением топологического числа калибровочная модель, описан общий квазиклассический метод нахождения экспоненты подавления вероятности переходов, а также получено аналитическое решение соответствующей граничной задачи при низких энергиях. Кроме этого, описаны общие свойства решений граничной задачи в зависимости от параметров.

В разделе 1.1 описывается изучаемая модель — калибровочная теория с группой Би(2) и хиггсовским дублетом, соответствующая бозонному сектору стандартной электрослабой теории с нулевым углом смешивания ду = 0. Различные топологические вакуумы в модели характеризуются целым топологическим числом.

Далее выводится граничная за- А дача для нахождения показателя экспоненты инклюзивной вероятно- _ сти перехода между соседними то-

¡Т 2

11еГ

пологическими вакуумами для со- Рис у Контур в комплексном времени

стояния с определенной энергией и числом частиц в квазиклассическом приближении. Граничная задача формулируется на контуре в комплексном времени, изображенном на рис. 1, во всех внутренних точках которого должны удовлетворяться обычные уравнения поля (продолженные в комплексную область значений полей), граничные условия на конечном участке контура являются условием асимптотической действительности полей, а граничные условия при начальном времени связывают положительно- и отрицательно-частотные компоненты поля /й и

Инклюзивная вероятность туннелирования дается тогда выражением

где Бавсо — действие на контуре АВСЭ в пределе бесконечных начального и конечного времен, Е и N — энергия и число частиц в начальном состоянии, а Т и в — вспомогательные параметры, определяемые тем, что решение действительно имеет требуемую энергию и число частиц в начальном состоянии.

Заметим, что граничные условия на начальном участке контура сформулированы только для физических возбуждений поля. В случае калибровочной теории в калибровке Ао = 0 необходимо кроме них потребовать выполнения закона Гаусса и зафиксировать остаточную калибровочную инвариантность относительно йе зависящих от времени калибровочных преобразований.

При низких энергиях (и малых числах частиц) можно приближенно ре-

А = .

—/?(£, Ю = 21т Элвсо - N9-ЕТ,

аг

шить эту граничную задачу аналитически. Такое решение («0-инстантон») в виде цепочки инстантонов и антиинстантонов, соответственным образом модифицированных и помещенных в определенных местах на евклидовой оси времени, приведено в разделе 1.2.

С помощью этого решения в разделе 1.3 получена экспонента подавления вероятности топологических переходах при низких (но ненулевых) энергии и числе частиц. Особенно интересно приведенное в этом разделе сравнение с аналитическим результатом для вероятности топологических переходов в двухчастичных столкновениях, которое подтверждает гипотезу предельного перехода (2). Также важен анализ зависимости Г и Т от N при малых числах частиц, результаты которого используются в дальнейшем при экстраполяции численных данных в область N —>• 0.

В Главе 2 описывается численный подход к решению граничной задачи при любой энергии В ней приводятся результаты для большой области значений Е и Аг, вплоть до границы классически разрешенной области, и энергий в два раза превышающих энергию сфалерона. Описан метод получения туннелирующих на сфалерон решений при высокой энергии. С помощью экстраполяции в нулевые N получено ограничение и оценка подавления двухчастичного сечения процессов с нарушением барионного числа.

Раздел 2.1 описывает 0(3) симметричную форму полей, необходимую для получения задачи, пригодной для решения на современных компьютерах. Можно, однако, ожидать, что Б-волновой вклад является основным для определения экспоненты подавления.

Раздел 2.2 посвящен формулировке дискретной версии уравнений, пригодной для численного анализа. В подразделе 2.2.1 приведено решеточное

выражение для действия модели, варьирование которого по полевым переменным во внутренних узлах решетки приводит к уравнениям движения. Для формулировки граничных условий необходимо явно выделить физические и калибровочные моды в модели. Это удобнее и точнее делать численно в дискретизованной задаче, что описано в подразделе 2.2.2. Собственно граничные условия приведены в подразделе 2.2.3, включая 0-граничные условия, условия действительности в конечном состоянии, а также закон Гаусса и уравнения, фиксирующие остаточную калибровку (мы везде используем калибровку Ао = 0). Также описывается метод фиксации трансляционной инвариантности задачи вдоль действительного времени, который необходимо применять при численном решении задачи.

Раздел 2.3 описывает итеративную процедуру поиска решений.

В разделе 2.4 описаны решения граничной задачи при энергиях, меньших энергии сфалерона. Описан метод наглядного изображения решений, применявшийся для проверки топологических свойств решения. В подразделе 2.4.1 полученные результаты в пределе малых энергий сравниваются с-аналитическими результатами главы 1, что дает независимую проверку правильности численного решения задачи.

Раздел 2.5 посвящен проблеме, появляющейся при попытке найти решения с энергией, превышающей энергию сфалерона (строго говоря, некоторую зависящую от N энергию бифуркации £((№) > Еф). При таких энергиях существует несколько ветвей решений — одна из них обладает неправильными топологическими свойствами (начинается и заканчивается в одном и том же вакууме), и, соответственно, не дает вклада в вероятность туннелирования; а другая отвечает решениям, заканчивающимся вблизи сфалерона (который потом распадается классически на элементар-

ные возмущения над одним из вакуумов). Такие решения удовлетворяют условию действительности в конечном состоянии лишь асимптотически, и не могут быть непосредственно найдены численно. Для их поиска необходимо ввести регуляризацию, сводящуюся к добавлению мнимого члена к действию,

<55 = к 1<Н Iйг (ф(г)ф(г) - I)8 , где е — малый параметр, а ф — поле Хиггса. Полученные решения обладают правильными топологическими свойствами, а в пределе е —> О восстанавливается ответ исходной граничной задачи.

Ea.w/Mw

Рис. 2. Линии F(E, N) = const. На рисунке нанесены значения показателя экспоненты подавления —a^logu = 4wF. Энергия Е указана в единицах <*

Mw/ocw, число частиц N — в единицах 1/qw. Линия с подавлением О (F = 0) является границей классически разрешенной области. «Размытая» линия является приближенной границей классически разрешенной области, найденной с помощью надбарьерных вычислений Ребби и Синглтона.

В разделе 2.6 приводятся подробно численные результаты для вероятностей переходов с изменением топологического числа (рис. 2), объясняется выбор параметров решетки, описываются произведенные проверки численного метода.

14 12 ю

I 1

* 6

Ограничение на Высокоэнергетическое ограничение на Р^Е) Аналитическая оценка

N '••.. Ч \

\ Ч \ \ \ \ \ \ \ \ N \ \ •• \ \ \ \ ^ \ Ч \

»рЬ 10 Еаи/М1Г

100

Рис. 3. Ограничение снизу на показатель экспоненты подавления топологических переходов в двухчастичных столкновениях, штриховая и штрих-пунктирная линия. Пунктирная линия — аналитичесная оценка из работ Рингвальда и Хозе.

Разделы 2.7 и 2.8 посвящены получению ограничения и оценки экспоненты подавления топологических переходов индуцированных столкновениями частиц, соотвественно. Так как с помощью доступных компьютеров на даный момент представляется невозможным получить решения граничной задачи при достаточно низком Ы, в этих разделах применяются разные методы экстраполяции результатов в область N -* 0. При этом показано, что экспоненциальное подавление сохраняется, по крайней мере, вплоть до энергии порядка 250 ТэВ (рис. 3). Оценка же сечения (рис. 4) свидетель-

2

оценка

ограничение на Рщ/Ю

о

2 5 6 7 8

Еац/Муу

низкоэнергетическое аналитическое предсказание " виалнтический результат ____

О

Рис. 4. Оценка показателя экспоненты подавления топологических переходов в двухчастичных столкновениях Рцв(Е) (сплошная линия), ограничение снизу на РнвкЕ) (штриховая линия), аналитическое предсказание при низких энергиях (1) (редкая пунктирная линия) и аналитическая оцена работ Рингвальда и Хозе (пунктирная линия).

ствует о том, что до энергии сфалерона известные аналитические результаты являются очень хорошим приближением, но при энергиях больших сфалеронной подавление спадает очень медленно, что является следствием «туннелирования на сфалерон».

Глава 3 описывает применение квазиклассического метода к нахождению древесного сечения многочастичного рождения в теории А у4. С помощью описанного метода найдено сечение рождения п частиц со средней энергией е из одной виртуальной частицы с нулевым импульсом и энергией пе.

В разделе 3.1 выводится- общий формализм получения древесных сечений в теории поля с помощью сингулярных классических решений. Он сводится к нахождению решения евклидовых уравнений, сингулярных на

некоторой гиперповерхности, проходящей через начало координат, и убывающей при стремлении евклидова времени к бесконечности. Тогда вероятность рождения выражается через асимптоику решения на временной бесконечности, после экстремизации по всем поверхностям сингулярности.

В разделе 3.2 описанный метод выражен в терминах сферических мод в четырехмерном евклидовом пространстве. В разделе 3.3 найдено ограничение на многочастичное сечение. При этом мы ограничивались решениями с несколькими ненулевыми сферическими модами на бесконечности, что отвечает экстремизации по некоторому подклассу поверхностей сингулярности. Поверхность сингулярности, на которой достигается экстремум, не является сферической, что совпадает с аналитическими ожиданиями, основанными на результатах при больших энергиях. В разделе 3.4 производится сравнение численного ограничения с аналитической оценкой при низких энергиях, с ограничением при сверхвысоких энергиях, а также с ограничением, получаемым из непосредственного анализа диаграмм. Ограничение, полученное в данной диссертации, является самым сильным.

В Заключении перечислены основные результаты, полученные в диссертации.

Дополнение посвящено подробному описанию численного алгоритма решения системы уравнений, получающихся при дискретизации граничной задачи в главе 2. Применяется вариант алгоритма разбиений для решения трехдиагональных систем уравнений («divide-and-conquer» algorithm), позволяющий эффективно использовать параллельные вычисления, как на архитектурах с разделяемой .памятью, так и на вычислительных кластерах.

Для защиты выдвигаются следующие результаты, полученные в диссертации:

1. Сформулирован метод квазиклассического вычисления вероятностей туннелирования в калибровочных теориях поля, позволяющий исследовать процессы с фиксированной энергией и числом частиц в начальном состоянии. Метод реализован в виде компьютерного кода, эффективно решающего требуемую граничную задачу на параллельных суперкомпьютерах и компьютерных кластерах.

2. Обнаружено качественно новое поведение туннельных решений при энергиях, превышающих высоту барьера между калибровочными ва-куумами (энергию сфалерона): туннелирование происходит с образованием состояния около вершины барьера (сфалерона), которое за-

(

тем распадается классическим образом на элементарные возбуждения. Данный эффект не является специфическим для калибровочных теорий поля, а возникает при анализе туннелирования большинства систем со многими степенями свободы.

3. Найдена численно вероятность туннелирования в Би(2) модели с хиггсовским дублетом, отвечающим бозонному сектору электрослабой теории с углом смешивания вур = 0, для диапазона начальных энергий 0.2 < Е/Еф < 2, и числа частиц в начальном состоянии, большем N > 0.4тУ8р(,, где £5рЬ ~ 8 ТэВ — энергия сфалерона, Л4ри — 1-7/сцр — число частиц, образующихся при распаде сфалерона.

4. Путем экстраполяции результатов в физически интересную область малого числа частиц, соответствующую двухчастичным столкнове- * ниям, получено ограничение на вероятность процессов с нарушением фермионных чисел в электрослабой теории. На основе этих данных сделано заключение, что экспоненциальное подавление вероятности таких процессов присутствует, по крайней мере, до энергии

30£sph ~ 250 ТэВ.

5. Получена оценка на сечение процессов с нарушением барионного и лептонного чисел в столкновениях при высоких энергиях. Вплоть до энергии сфалерона полученная оценка хорошо воспроизводит существовавшие ранее аналитические результаты, полученные с помощью теории возмущений на инстантонном фоне. При энергии сфалерона поведение сечения радикально меняется, и при дальнейшем росте энергии подавление оказывается существенно сильнее, чем предсказывается аналитическими методами.

6. Получено аналитическое решение граничной задачи для процессов инстантонного типа в теории SU(2) при низких энергиях и числах частиц. Полученные результаты использованы для проверки численных расчетов, а также для подтверждения гипотезы о предельном переходе к двухчастичным столкновениям.

7. Произведен численный квазиклассический анализ процессов многочастичного рождения в теории Xtp4. Полученные результаты улучшают существующие аналитические ограничения на древесную вероятность многочастичного рождения.

Основные результаты диссертации опубликованы в работах:

1. F. L. Bezrukov, M. V. Libanov, S. V. Troitsky, 0(4) symmetric singular solutions and multiparticle cross-sections in фА theory at tree ievel. // -Mod. Phys. Lett. A -1995. -10. -p.2135-2141.

2. Ф. Л. Безруков. Использование классических сингулярных решений для вычисления сечений многочастичных процессов в теории поля. // -ТМФ. -1998. -115. -стр.358-372.

3. F. Bezrukov, С. Rebbi, V. Rubakov, P. Tinyakov. Instanton-Like Processes in Particle Collisions: a Numerical Study of the SU(2)-Higgs Theory below the Sphaleron Energy. // -Proc. Xl-th Int. School "Particles and Cosmology", Baksan valley 2001. -INR Moscow. -2003. -p.248-266.

4. Ф. Л. Безруков, Д. Г. Левков. 0-инстантоны в SU(2) теории с механизмом Хиггса. // направлено в ТМФ -hep-th/0303136.

5. F. Bezrukov, D. Levkov, С. Rebbi, V. Rubakov, P. Tinyakov, Semiclassical study of baryon and lepton number violation in high-energy electroweak collisions. // принято к печати в Phys. Rev. D -hep-ph/0304180.

6. F. Bezrukov, D. Levkov, С. Rebbi, V. Rubakov, P. Tinyakov, Suppression of baryon number violation in electroweak collisions: Numerical results. // направлено в Phys. Lett. В -hep-ph/0305300.

Ф-т 60x84/8. УЧ.-ИЗД.Л.1.0 Зак. N»21184 Тираж 100 экз. Бесплатно

Отпечатано на компьютерной издательской системе Издательский отдел Института ядерных исследований Российской Академии наук 117312, Москва, проспект 60-летия Октября, 7а

* -6 758

РНБ Русский фонд

2004-4 37427

Введение

Глава 1. Теория SU(2) с хиггсовским дублетом: аналитические результаты

1.1 Обзор задачи туннелирования.

1.2 0-инстантоны при низких энергиях . . . .-.

1.3 Вероятность процессов инстантонного типа при низких энергиях

Глава 2. SU(2) теория: численные результаты

2.1 Сведение к сферически симметричной задаче

2.2 Разностная форма граничной задачи.

2.2.1 Дискретизация действия.

2.2.2 Граничный член: разложение по собственным модам.

2.2.3 Граничные условия.

2.3 Поиск решений.

2.4 Решения при энергиях, меньших сфалеронной.

2.4.1 Сравнение с аналитическим результатом.

U 2.5 Переход через энергию сфалерона. 2.6 Численные результаты.

2.7 Ограничения на сечения двухчастичных столкновений.

2.8 Оценка двухчастичных инстантонных сечений.

J Глава 3. Многочастичные процессы в модели \(р

4 3.1 Связь сингулярных решений с сечениями в древесном приближении. Общий формализм.

3.2 Разложение по сферическим модам. j 3.3 Численное нахождение древесных сечений.

3.4 Сравнение численных и аналитических результатов.

Стандартная модель фундаментальных взаимодействий, являющаяся калибровочной теорией с группой SU(3)xSU(2)xU(l), в настоящий момент с высокой точностью описывает большинство наблюдаемых процессов в физике частиц во всем доступном существующим экспериментам диапазоне энергий. Большинство результатов, используемых для описания реальных физических процессов при высоких энергиях, получено в ней в рамках теории возмущений по малой константе связи. Благодаря малости констант связи в электрослабом секторе, и свойству асимптотической свободы квантовой хромодинамики, теория возмущений отлично подходит для описания многих процессов. Однако даже в пределе слабой связи существуют эффекты, не описываемые в рамках теории возмущений.

Одним из таких эффектов является возможность несохранения фер-мионного (барионного и лептонного) числа в электрослабой теории. Этот эффект связан с нетривиальной структурой вакуума калибровочных теорий: неабелевы калибровочные теории обладают счетным множеством физически эквивалентных вакуумов [1-4]. В рамках теории возмущений существование различных вакуумов, и, соответственно, упомянутый эффект, незаметен. Однако, в полной квантовой теории возможны переходы между этими вакуумами, приводящие в теориях с фермионами при учете аномалии Адлера-Белла-Джекива [5-7] к несохранению фермионных чисел [3, 4].

Интересен вопрос, возможно ли наблюдать такие процессы экспериментально. В электрослабой теории соседние топологически различные ваку-умы разделены потенциальным барьером конечной высоты [8, 9]. Классическое нестабильное решение статических уравнений движения, соответствующее вершине этого барьера (строго говоря, седловой точке между вакуумами),— сфалерон — имеет в стандартной электрослабой модели энергию £sph ~ Mw/olw, или, при стандартных значениях параметров, около 8 ТэВ. При энергиях, много меньших высоты барьера, процессы, описывающие переходы с изменением топологического числа, хорошо описываются в квазиклассическом приближении, которое приводит в данном случае к теории возмущений вокруг классического непертурбативного решения в евклидовом времени, интерполирующего между соседними вакуумами — инстантона [10, 11]. Соответственно, вероятности туннелирова-ния подавлены экспоненциальным фактором вида ехр(—25inst), где 5inst — евклидово действие инстантона. Sjnst обратно пропорционально константе связи, и, следовательно, туннельные процессы сильно подавлены в теориях со слабой связью. В частности, в электрослабой теории действие инстантона Sjnst = 47гчто дает фактор подавления Ю-170. Это приводит к тому, что при низких энергиях такие процессы практически ненаблюдаемы.

Квантовомеханическая интуиция, основывающаяся на известной задаче о туннелировании через барьер в одномерной квантовой механике, подсказывает, что подавление может пропасть при энергии, равной высоте барьера. Это действительно происходит в процессах при высокой температуре [12-20], большой плотности фермионов [21-25], или при наличии тяжелых фермионов в начальном состоянии [26-28].

Вообще говоря, высота барьера, £sph ^ 8 ТэВ относительно невелика, и сравнима с энергиями, достижимыми на будущих ускорителях. В связи с этим встает вопрос, сохраняется ли экспоненциальное подавление процессов с нарушением фермионных чисел в столкновениях частиц при энергиях, совпадающих с энергией сфалерона, и превышающих ее. В данной задаче одномерная квантовомеханическая аналогия перестает работать, из за наличия у рассматриваемой системы, в дополнение к туннельной координате, внутренних степеней свободы. Другими словами, характерный размер полевой конфигурации сфалерона много больше длины волны сталкивающихся частиц, и даже при высокой энергии переход с изменением топологического числа затруднен. В то же время, применение квазиклассической техники в этой задаче осложнено существенной неквазиклассич-ностью начального состояния.

В работах [29, 30] было замечено, что при низких энергиях амплитуды процессов 2 —► N с нарушением топологического числа могут быть найдены с помощью теории возмущений на фоне инстантона. Было получено, что эти амплитуды в ведущем порядке растут с энергией степенным образом, а инклюзивное сечение растет экспоненциально причем насыщается конечным состоянием с большим (порядка 1/aw7) числом частиц с относительно малыми энергиями [31-35]. Дальнейшие исследования [36-46] показали, что полное сечение имеет экспоненциальный вид где aw — слабая константа связи, а функция Fhg выражается в виде ряда по дробным степеням E/EsPh, и зависит от константы связи только неявным образом через £sph (см. также обзоры [47-49]). Предэкспоненциальи, следовательно, относительно мало существенен. Ряд теории возмущений ный множитель зависит от константы связи и энергии степенным образом на фоне инстантона для функции FHG(E/Esph) взрывается при Е > £sph, и, следовательно, анализ инстантонных процессов в самой интересной области высоких энергий требует применения непертурбативных методов1.

Экспоненциальная форма полного сечения предполагает, что может существовать квазиклассический метод вычисления Fhg{E/Es^) при любых энергиях, включая Е > £Sph- Однако, как уже было замечено, начальное состояние, содержащее две частицы, не является квазиклассическим. Метод решения этой проблемы был предложен в работах [50-53]. Метод основан на предположении об универсальности функции £//c(£/£sph), то есть о том, что она не зависит от деталей начального состояния, пока число частиц в нем не становится параметрически большим. Это предположение было проверено явными вычислениями в нескольких порядках теории возмущений по £/£sph в калибровочной теории [51, 54] а также в явно в квантовой мехенике с двумя степенями свободы [55, 56]). Состояние же с несколькими частицами можно рассматривать как предельный случай квазиклассического состояния с числом частиц N = N/aw, при стремлении параметра N к нулю. Для многочастичного начального состояния инклюзивное сечение перехода с изменением топологического числа имеет явно квазиклассическую форму

Функция же Ffjc(E/ESph), отвечающая двухчастичному сечению, получается в пределе N 0,

Функция Fhg в работе [47] была названа «функцией священного Грааля» из за многих безуспешных попыток найти ее. lim F(E/Esph,N) = FHC(E/Esph) .

1)

Таким образом, можно косвенно вычислить функцию Fhg(E/Esph) квази-классически.

В рамках этого метода функции F(E/E^,N) определяется действием на специальном решении классических уравнений поля на контуре в комплексном времени [52]. Хотя для большинства реалистических моделей найти требуемые решения аналитически затруднительно (единственный результат такого типа был получен в работе [57] в 1+1-мерной модели с потенциалом вида «яма с обрывом»), возможно, по крайней мере в принципе, получить эти решения численно. Кроме этого, можно приближенно решить эту задачу в пределе малых энергий и числа частиц.

В работе [52] было показано, что при низких энергиях можно приблизить решение граничной задачи (будем называть его 0-инстантоном) цепочкой инстантонов и антиинстантонов, соответственным образом модифицированных и помещенных в определенных местах на евклидовой оси времени. Хотя это приближение оправдано только при Е <§; £sph, приближенное решение такого вида дает общее представление о форме 0-инстантонов во всей области Е < £sph. Такое решение было проанализировано в в случае ненулевых N в работе [58] (см. раздел 1.2 настоящей диссертации).

Возможность применения численных методов в данной задаче была продемонстрирована на примере модельной теории поля, описывающей распад ложного вакуума, в работах [53, 59]. Однако применение этого метода при высоких энергиях сталкивается с проблемой — решения граничной задачи, интерполирующие между различными топологическими вакуумами перестают существовать. Эта проблема была отмечена и при анализе распада ложного вакуума [53], и в модельной задаче квантовомеханического тун-нелирования в системе с двумя степенями свободы [56].

Следует также отметить, что в работе [60] приводится непертурбатив-ный анализ классически разрешенных (надбарьерных) переходов с изменением топологического числа. Однако все решения, найденные в работе [60], являются конфигурациями с большим числом частиц в начальном состоянии, и не отвечают столкновению двух частиц.

В диссертации изучены топологические переходы в калибровочной теории с группой SU(2) и дублетом полей Хиггса. Эта модель соответствует бозонному сектору стандартной электрослабой модели при дуг = 0. Мы адаптировали квазиклассический метод нахождения вероятностей переходов с изменением топологического числа [50-53] для калибровочных теорий. При этом решается граничная задача для комплексифицированных классических уравнений поля на контуре в комплексном времени. В конечный момент времени поля действительны, что отвечает суммированию по конечным состояниям. В начальный момент на физические возбуждения полей накладываются специальные граничные условия (^-граничные условия) обеспечивающие проекцию на состояние с фиксированными числом частиц и энергией. Вместо граничных условий на нефизические возбуждения (имеющиеся в калибровке Ао = 0), накладывается условие фиксации калибровки и закон Гаусса. С помощью компьютерного кода, решающего эту граничную задачу, найдена экспонента подавления вероятностей топологических переходов при энергиях, меньших энергии сфалерона.

Однако при энергиях выше энергии сфалерона было обнаружено, что качественно меняется характер туннелирования — вместо туннелирова-ния в соседний вакуум, система туннелирует на сфалерон, и распадается на элементарные возбуждения классическим образом. Метод, регуляризу-ющий граничную задачу и позволяющий получить решения такого вида, был предложен в работе [61] в случае двумерной квантовой механики. В работе [62] этот метод был адаптирован к калибровочной теории поля (см. главу 2 настоящей диссертации). Полученные результаты покрывают область энергий, до Е ~ 2£sph- Однако непосредственно сами результаты для квазиклассического инклюзивного сечения не позволяют получить сечения топологических переходов в двухчастичных столкновениях, так как необходимо произвести предельный переход (1). Для этого производится экстраполяция полученных данных в N = 0. Два разных метода экстраполяции дают ограничение снизу на показатель экспоненты подавления Fhg{E/Esph). и оценку этого показателя. Сравнение результатов экстраполяции с существовавшими ранее аналитическими предсказаниями теории возмущений на фоне инстантона показывают, что вплоть до энергии сфа-лерона оба метода дают близкие результаты. Однако при более высоких энергиях численные результаты обнаруживают значительно более сильное подавление. Экстраполяция в область высоких энергий показывает, что по крайней мере до энергии 250 ТэВ сохраняется экспоненциальное подавление сечений.

Однако и в топологически тривиальном секторе в моделях со слабой связью при относительно невысоких энергиях существуют процессы, плохо описываемые теорией возмущений. В этом случае возможны ситуации, когда в теории появляются конкурирующие малые (или большие) параметры. Примером является процесс с большим количеством частиц п в конечном состоянии, сравнимым с обратной константой связи А-1.

В обычной теории возмущений даже около топологически тривиального вакуума уже наивная оценка амплитуды дает факториальную зависимость п\ от количества частиц в конечном состоянии, что снимает подавление, связанное с константой связи. На древесном уровне можно точно найти выражение для амплитуды процесса рождения одной виртуальной частицей п реальных в теории с лагранжианом

- - ^ <2) масса положена равной единице) при специальной кинематике: все частицы обладают нулевыми пространственными импульсами [63],

ATJn = п\ (^-J . (3)

Данный результат указывает на полную неприменимость обычной теории возмущений при п > Л-1, поскольку входит в противоречие с унитарностью теории.

Таким образом, для вычисления данных сечений необходим некоторый непертурбативный метод. Интерес представляет режим

Л —* 0 , Ап = fixed , е = fixed , (4) где е = (Е — п)/п — средняя кинетическая энергия конечных частиц в системе центра масс. Существующие пертурбативные вычисления [64, 65] свидетельствуют о том, что в этом режиме полное сечение имеет экспоненциальный вид, о-1-я ~ ехр е)^ • (5)

Это указывает на возможную применимость квазиклассического приближения. В работе [66] сформулирован метод получения экспоненты F(Xn,e) во всех петлях, сводящийся к решению классической граничной задачи в комплексном времени. При малых Ая оказывается достаточным решить чисто евклидовы уравнения с определенными граничными условиями. В обычной теории возмущений этот предел отвечает вкладу древесных диаграмм, что дает следующую зависимость от Л:

Отметим, что в пределах своей области применимости, т. е. при Хп I, эта зависимость дает экспоненциальное подавление сечения, если, конечно, функция f(s) не обращается в бесконечность. Но при росте \п функция Ftree(An,£) становится положительной, и подавление пропадает. Следовательно, в этом случае необходимо учитывать петлевые поправки в F(\n,s), которые имеют порядок (Лп)2 и выше (см. например [67]).

В работах [66, 68], была развита квазиклассическая техника для нахождения единственной неизвестной функции f(s) в (6). Древесное сечение в ней связывается с асимптотикой на бесконечности сингулярного решения уравнений поля в евклидовом четырехмерном пространстве. Гиперповерхность сингулярностей зависит от е и определяется в процессе вычислений.

В диссертации сингулярное решение уравнений находится численно для некоторого подкласса поверхностей сингулярности (или, строго говоря, для асимптотик решения на бесконечности, которые определяют поверхность сингулярности). С помощью вариационной процедуры Рэлея-Ритца получено ограничение снизу на Ftree. Полученное ограничение совпадает с аналитическим при низких энергиях. Однако при высоких энергиях оно усиливает все существующие аналитические ограничения на функцию F(s). Кроме этого, подтверждены аналитические предсказания несферичности (в четырехмерном смысле) седловой поверхности сингулярносей.

Диссертация состоит из введения, трех глав основного текста, заключения и дополнения.

Заключение

Сформулирован метод квазиклассического вычисления вероятностей туннелирования в калибровочных теориях поля, позволяющий исследовать процессы с фиксированной энергией и числом частиц в начальном состоянии. Метод реализован в виде компьютерного кода, эффективно решающего требуемую граничную задачу на параллельных суперкомпьютерах и компьютерных кластерах. Обнаружено качественно новое поведение туннельных решений при энергиях, превышающих высоту барьера между калибровочными ва-куумами (энергию сфалерона): туннелирование происходит с образованием состояния около вершины барьера (сфалерона), которое затем распадается классическим образом на элементарные возбуждения. Данный эффект не является специфическим для калибровочных теорий поля, а возникает при анализе туннелирования большинства систем со многими степенями свободы.

Найдена численно вероятность туннелирования в SU(2) модели с хиггсовским дублетом, отвечающим бозонному сектору электрослабой теории с углом смешивания = 0, для диапазона начальных энергий 0.2 < £/£Sph < 2, и числа частиц в начальном состоянии, большем N > 0.4Л4рь где £sph ~ 8 ТэВ — энергия сфалерона, A^ph ~ \.7/aw — число частиц, образующихся при распаде сфалерона. Путем экстраполяции результатов в физически интересную область малого числа частиц, соответствующую двухчастичным столкновениям, получено ограничение на вероятность процессов с нарушением фермионных чисел в электрослабой теории. На основе этих данных сделано заключение, что экспоненциальное подавление вероятности таких процессов присутствует, по крайней мере, до энергии 30£Sph ^ 250 ТэВ.

Получена оценка на сечение процессов с нарушением барионного и лептонного чисел в столкновениях при высоких энергиях. Вплоть до энергии сфалерона полученная оценка хорошо воспроизводит существовавшие ранее аналитические результаты, полученные с помощью теории возмущений на инстантонном фоне. При энергии сфалерона поведение сечения радикально меняется, и при дальнейшем росте энергии подавление оказывается существенно сильнее, чем предсказывается аналитическими методами.

Получено аналитическое решение граничной задачи для процессов инстантонного типа в теории SU(2) при низких энергиях и числах частиц. Полученные результаты использованы для проверки численных расчетов, а также для подтверждения гипотезы о предельном переходе к двухчастичным столкновениям.

Произведен численный квазиклассический анализ процессов многочастичного рождения в теории \<р4. Полученные результаты улучшают существующие аналитические ограничения на древесную вероятность многочастичного рождения.

1. J. Callan, Curtis G., R. F. Dashen, D. J. Gross. The structure of the gauge theory vacuum // -Phys. Lett. -1976. -B63. -p.334-340.

2. R. Jackiw, C. Rebbi. Vacuum periodicity in a Yang-Mills quantum theory // -Phys. Rev. Lett. -1976. -37. -p.172-175.

3. G. 4 Hooft. Symmetry breaking through Bell-Jackiw anomalies // -Phys. Rev. Lett. -1976. -37. -p.8-11.

4. G. 't Hooft. Computation of the quantum effects due to a four- dimensional pseudoparticle // -Phys. Rev. -1976. -D14. -p.3432-3450. erratum: ibid., -1978, -D18. -p.2199.

5. S. L. Adler. Axial vector vertex in spinor electrodynamics // -Phys. Rev. -1969. -177. -p.2426-2438.

6. J. S. Bell, R. Jackiw. A PCAC puzzle: л-0 —► 77 in the sigma model // -Nuovo Cim. -1969. -A60. -p.47-61.

7. W. A. Bardeen. Anomalous ward identities in spinor field theories // -Phys. Rev. -1969. -184. -p.1848-1857.

8. N. S. Manton. Topology in the Weinberg-Salam theory // -Phys. Rev. -1983. -D28. -p.2019.

9. F. R. Klinkhamer, N. S. Manton. A saddle point solution in the Weinberg-Salam theory // -Phys. Rev. -1984. -D30. -p.2212.

10. V. A. Kuzmin, V. A. Rubakov, М. Е. Shaposhnikov. On the anomalous electroweak baryon number nonconservation in the early universe // -Phys. Lett. -1985. -155B. -p.36.

11. P. Arnold, L. McLerran. Sphalerons, small fluctuations and baryon number violation in electroweak theory // -Phys. Rev. -1987. -D36. -p.581.

12. P. Arnold, L. McLerran. The sphaleron strikes back // -Phys. Rev. -1988. -D37. -p. 1020.

13. A. I. Bochkarev, M. E. Shaposhnikov. Anomalous fermion number nonconservation at high temperatures: Two-dimensional example // -Mod. Phys. Lett. -1987. -A2. -p.991.

14. S. Y. Khlebnikov, M. E. Shaposhnikov. The statistical theory of anomalous fermion number nonconservation // -Nucl. Phys. -1988. -B308. -p.885-912.

15. D. Y. Grigoriev, V. A. Rubakov, M. E. Shaposhnikov. Sphaleron transitions at finite temperatures: Numerical study in (l+l)-dimensions // -Phys. Lett. -1989. -B216. -p.172.

16. A. N. Kuznetsov, P. G. Tinyakov. Periodic instanton bifurcations and thermal transition rate // -Phys. Lett. -1997. -B406. -p.76-82.

17. K. L. Frost, L. G. Yaffe. From instantons to sphalerons: Time-dependent periodic solutions of SU(2)-Higgs theory // -Phys. Rev. -1999. -D60. -p.105021.

18. G. F. Bonini, S. Habib, E. Mottola, C. Rebbi, R. Singleton, P. G. Tinyakov. Periodic instantons in SU(2) Yang-Mills-Higgs theory // In Copenhagen 1998, Strong and electroweak matter. -1999. -p. 173-182.

19. V. A. Rubakov, A. N. Tavkhelidze. Stable anomalous states of superdense matter in gauge theories // -Phys. Lett. -1985. -B165. -p. 109-112.

20. V. A. Rubakov. On the electroweak theory at high fermion density // -Prog. Theor. Phys. -1986. -75. -p.366.

21. V. A. Matveev, V. A. Rubakov, A. N. Tavkhelidze, V. F. Tokarev. Nonconservation of the fermion number in a cold dense fermion medium in V-A gauge theories // -Theor. Math. Phys. -1986. -69. -p.961-976.

22. V. A. Matveev, V. A. Rubakov, A. N. Tavkhelidze, V. F. Tokarev. Fermion number nonconservation and cold neutral fermionic matter in (V-A) gauge theories // -Nucl. Phys. -1987. -B282. -p.700-726.

23. D. Diakonov, V. Y. Petrov. Instability of dense baryon matter and baryon number nonconservation at high-energies // -Phys. Lett. -1992. -B275. -p.459-464.

24. V. A. Rubakov. Electroweak nonconservation of the baryon number in the decay of heavy particles // -JETP Lett. -1985. -41. -p.266-268.

25. J. Ambjorn, V. A. Rubakov. Classical versus semiclassical electroweak decay of a techniskyrmion // -Nucl. Phys. -1985. -B256. -p.434.

26. V. A. Rubakov, В. E. Stern, P. G. Tinyakov. On the electroweak decay of a technibaryon in the soliton model // -Phys. Lett. -1985. -160B. -p.292.

27. A. Ringwald. High-energy breakdown of perturbation theory in the electroweak instanton sector // -Nucl. Phys. -1990. -B330. -p.l.

28. O. Espinosa. High-energy behavior of baryon and lepton number violating scattering amplitudes and breakdown of unitarity in the standard model // -Nucl. Phys. -1990. -B343. -p.310-340.

29. L. McLerran, A. Vainshtein, M. Voloshin. Electroweak interactions become strong at energy above approximately 10-TeV // -Phys. Rev. -1990. -D42. -p.171-179.

30. V. I. Zakharov. Classical corrections to instanton induced interactions // -Nucl. Phys. -1992. -B371. -p.637-658.

31. S. Y. Khlebnikov, V. A. Rubakov, P. G. Tinyakov. Instanton induced cross-section at high-energies: Leading order and beyond // -Mod. Phys. Lett. -1990. -A5. -p.1983-1992.

32. M. Porrati. Dispersion relations and finite size effects in high-energy electroweak interactions // -Nucl. Phys. -1990. -B347. -p.371-393.

33. S. Y. Khlebnikov, V. A. Rubakov, P. G. Tinyakov. Breakdown of semiclassical expansion in instanton sector at high-energies // -Nucl. Phys. -1990. -B347. -p.783-801.

34. S. Y. Khlebnikov, V. A. Rubakov, P. G. Tinyakov. Instanton induced cross-sections below the sphaleron // -Nucl. Phys. -1991. -B350. -p.441-473.

35. L. G. Yaffe. Scattering amplitudes in instanton backgrounds // In Santa Fe Workshop on Baryon Violation at the SSC, Santa Fe, NM, Apr 27-30, 1990. -1990. -p. 46-63.

36. P. B. Arnold, M. P. Mattis. Baryon violation at the SSC? Recent claims reexamined // -Phys. Rev. -1990. -D42. -p.1738-1743.

37. A. H. Mueller. First quantum corrections to gluon-gluon collisions in the j one instanton sector // -Nucl. Phys. -1991. -B348. -p.310-326.

38. A. H. Mueller. Leading power corrections to the semiclassical approximation for gauge meson collisions in the one instanton sector // -Nucl. Phys. -1991. -B353. -p.44-58.

39. M. B. Voloshin. Quantum corrections on high-energy lines to amplitudes induced by euclidean field solutions // -Nucl. Phys. -1991. -B359. -p.301-321.

40. S. Y. Khlebnikov, P. G. Tinyakov. Constraint dependence of the instanton calculations and exponentiation of hard soft corrections at high- energies // -Phys. Lett. -1991. -B269. -p.149-154.

41. P. B. Arnold, M. P. Mattis. Gauge propagator contribution to high-energy baryon number violation // -Mod. Phys. Lett. -1991. -A6. -p.2059-2068.

42. M. P. Mattis, L. D. McLerran, L. G. Yaffe. High-energy anomalous scattering: Is it semiclassical? // -Phys. Rev. -1992. -D45. -p.4294-4302.

43. A. H. Mueller. Baryon number violation in the one instanton sector: A classical procedure of calculation // -Nucl. Phys. -1992. -B381. -p.597-618.

44. X. Li, L. D. McLerran, M. B. Voloshin, R.-t. Wang. Corrections to high-energy particles interacting through an instanton as quantum fluctuations in the position of the instanton // -Phys. Rev. -1991. -D44. -p.2899-2915.

45. M. P. Mattis. The riddle of high-energy baryon number violation // -Phys. Rept. -1992. -214. -p.159-221.

46. P. G. Tinyakov. Instanton like transitions in high-energy collisions // -Int. J. Mod. Phys. -1993. -A8. -p.1823-1886.

47. V. A. Rubakov, M. E. Shaposhnikov. Electroweak baryon number non-conservation in the early universe and in high-energy collisions // -Usp. Fiz. Nauk. -1996. -166. -p.493-537.

48. V. A. Rubakov, P. G. Tinyakov. Towards the semiclassical calculability of high-energy instanton cross-sections // -Phys. Lett. -1992. -B279. -p.165-168.

49. P. G. Tinyakov. Multiparticle instanton induced processes and В violation in high-energy collisions // -Phys. Lett. -1992. -B284. -p.410-416.

50. V. A. Rubakov, D. Т. Son, P. G. Tinyakov. Classical boundary value problem for instanton transitions at high-energies // -Phys. Lett. -1992. -B287. -p.342.

51. A. N. Kuznetsov, P. G. Tinyakov. False vacuum decay induced by particle collisions // -Phys. Rev. -1997. -D56. -p. 1156-1169.

52. A. H. Mueller. Comparing two particle and multiparticle initiated processes in the one instanton sector // -Nucl. Phys. -1993. -B401. -p.93-115.

53. G. F. Bonini, A. G. Cohen, C. Rebbi, V. A. Rubakov. Tunneling of bound systems at finite energies: Complex paths through potential barriers // -quant-ph/9901062.

54. G. F. Bonini, A. G. Cohen, C. Rebbi, V. A. Rubakov. The semiclassical description of tunneling in scattering with multiple degrees of freedom // -Phys. Rev. -1999. -D60. -p.076004.

55. D. T. Son, V. A. Rubakov. Instanton like transitions at high-energies in (1+1)- dimensional scalar models // -Nucl. Phys. -1994. -B422. -p.195-226.

56. F. Bezrukov, D. Levkov. Theta-instantons in SU(2) Higgs theory // -hep-th/0303136.

57. A. N. Kuznetsov, P. G. Tinyakov. Numerical study of induced false vacuum decay at high- energies // -Mod. Phys. Lett. -1996. -All. -p.479-490.

58. C. Rebbi, R. Singleton. Computational study of baryon number violation in high- energy electroweak collisions // -Phys. Rev. -1996. -D54. -p.1020-1043.

59. F. Bezrukov, D. Levkov. Transmission through a potential barrier in quantum mechanics of multiple degrees of freedom: complex way to the top // -quant-ph/0301022.

60. F. Bezrukov, D. Levkov, C. Rebbi, V. Rubakov, P. Tinyakov. Semiclassical study of baryon and lepton number violation in high-energy electroweak collisions // -hep-ph/0304180.

61. M. B. Voloshin. On strong high-energy scattering in theories with weak coupling // -Phys. Rev. -1991. -D43. -p.1726-1734.

62. M. V. Libanov, V. A. Rubakov, D. T. Son, S. V. Troitsky. Exponentiation of multiparticle amplitudes in scalar theories // -Phys. Rev. -1994. -D50. -p.7553-7569.

63. M. V. Libanov, D. T. Son, S. V. Troitsky. Exponentiation of multiparticle amplitudes in scalar theories. 2. Universality of the exponent // -Phys. Rev. -1995. -D52. -p.3679-3687.

64. D. T. Son. Semiclassical approach for multiparticle production in scalar theories // -Nucl. Phys. -1996. -B477. -p.378-406.

65. M. В. Либанов, В. А. Рубаков, С. В. Троицкий. Многочастичные процессы и квазиклассика в бозонных теориях поля // -Физика элементарных частиц и атомного ядра. -1997. -28. -С.551-614.

66. V. A. Rubakov. Non-perturbative aspects of multiparticle production // In Proc. of the 2nd Rencontres du Vietnam, Ho Chi Minh City, Vietnam. -Gif-sur-Yvette: Editions Frontieres. -1995. -p. 435-448.

67. F. L. Bezrukov, M. V. Libanov, S. V. Troitsky. 0(4) symmetric singular solutions and multiparticle cross- sections in ф4 theory at tree level // -Mod. Phys. Lett. -1995. -A10. -p.2135-2141.

68. Ф. JI. Безруков. Использование классических сингулярных решений для вычисления сечений многочастичных процессов в теории поля // -ТМФ. -1998. -115. -С.358-372.

69. Ф. А. Березин. Метод вторичного квантования. -М.: Наука, 1986.

70. А. А. Славнов, Л. Д. Фаддеев. Введение в квантовую теорию калибровочных полей. -2-е издание. -М.: Наука, 1988.

71. Т. Akiba, Н. Kikuchi, Т. Yanagida. The free energy of the sphaleron in the Weinberg-Salam model // -Phys. Rev. -1989. -D40. -p.588.

72. S. Y. Khlebnikov, V. A. Rubakov, P. G. Tinyakov. Periodic instantons and scattering amplitudes // -Nucl. Phys. -1991. -B367. -p.334.

73. M. B. Voloshin. Catalyzed decay of false vacuum in four-dimensions // -Phys. Rev. -1994. -D49. -p.2014-2018.

74. I. Affleck. On constrained instantons // -Nucl. Phys. -1981. -B191. -p.429.

75. D. Forster. On the forces between instantons and anti-instantons // -Phys. Lett. -1977. -B66. -p.279.

76. J. Callan, Curtis G., R. F. Dashen, D. J. Gross. Toward a theory of the strong interactions // -Phys. Rev. -1978. -D17. -p.2717.

77. D. Diakonov, V. Y. Petrov. Instanton based vacuum from feynman variational principle // -Nucl. Phys. -1984. -B245. -p.259.

78. B. Ratra, L. G. Yaffe. Spherically symmetric classical solutions in SU(2) gauge theory with a higgs field // -Phys. Lett. -1988. -B205. -p.57.

79. Т. M. Gould, S. D. H. Hsu. Space-time symmetries and semiclassical amplitudes // -Mod. Phys. Lett. -1994. -A9. -p. 1589-1602.

80. P. Sikivie, L. Susskind, M. B. Voloshin, V. I. Zakharov. Isospin breaking in technicolor models // -Nucl. Phys. -1980. -B173. -p.189.

81. E. Farhi, J. Goldstone, A. Lue, K. Rajagopal. Collision induced decays of electroweak solitons: Ferrnion number violation with two and few initial particles // -Phys. Rev. -1996. -D54. -p.5336-5360.

82. A. Ringwald. Electroweak instantons / sphalerons at VLHC? // -Phys. Lett. -2003. -B555. -p.227-237.

83. A. Ringwald. From QCD instantons at HERA to electroweak B+L violation at VLHC // -hep-ph/0302112.

84. V. V. Khoze, A. Ringwald. Total cross-section for anomalous fermion number violation via dispersion relation // -Nucl. Phys. -1991. -B355. -p.351-368.

85. D. I. Diakonov, V. Y. Petrov // In Proc. XXVI LINP Winter School. LINP, Leningrad. -1991.

86. A. H. Mueller. On higher order semiclassical corrections to high-energy cross-sections in the one instanton sector // -Nucl. Phys. -1991. -B364. -p.109-126.

87. W. H. Press, S. A. Teukolsky, W. T. Vetterling, B. P. Flannery. Numerical recipes in C: the art of scientific computing. -Second edition. -Cambridge University Press, 1992.

88. F. L. Bezrukov, M. V. Libanov, D. T. Son, S. V. Troitsky. Singular classical solutions and tree multiparticle cross- sections in scalar theories // -hep-ph/9512342.

89. S. Fubini. A new approach to conformal invariant field theories // -Nuovo Cim. -1976. -34A. -p.521-566.

90. JI. H. Липатов^ Расходимость ряда теории возмущений и псевдочастицы // -Письма в ЖЭТФ. -1977. -25. -С.116-119.

91. S. Y. Khlebnikov. Semiclassical approach to multiparticle production // -Phys. Lett. -1992. -B282. -p.459.

92. M. B. Voloshin. Estimate of the onset of nonperturbative particle production at high-energy in a scalar theory // -Phys. Lett. -1992. -B293. -p.389-394.