Туннелирование в сильнокоррелированных системах тема автореферата и диссертации по механике, 01.02.04 ВАК РФ

ШИТОВ Андрей Владимирович

ТУННЕЛИРОВАНИЕ В СИЛЬНОКОРРЕЛИРОВАННЫХ

СИСТЕМАХ

01.04.02 - теоретическая физика

Диссертация на соискание ученой степени кандидата физико-математических наук

Черноголовка - 1999

Содержание

Введение 3

1 Квазиклассическое описание туннелирования 8

1.1 Связь туннельного тока с характеристиками электронной жидкости 8

1.2 Аномалия Альтшулера-Аронова........................................12

1.3 Качественный анализ....................................................13

1.4 Гидродинамическое действие........ ..............16

1.5 Вычисление вероятности туннелирования . .........................19

1.6 Квазиклассическая теория аномалии Аронова-Альтшулера-Ли . . 22

1.7 Пределы применимости квазиклассической теории.........26

1.8 Инфракрасная асимптотика функций Грина .............27

2 Приложения квазиклассической теории кулоновской аномалии 30

2.1 Взаимодействие между электродами..................30

2.2 Влияние магнитного поля........................34

2.3 Кулоновская аномалия в точке перехода металл-диэлектрик .... 34

2.4 Туннелирование в проволоку............................................36

2.5 Нуль-мерный предел квазиклассической теории...........37

2.6 Отклик на внезапное возмущение....................39

3 Туннелирование в край холловской жидкости 42

3.1 Краевые состояния в квантовом эффекте Холла...........42

3.2 Теория композитных фермионов....................46

3.3 Край холловской жидкости в теории композитных фермионов ... 48

3.4 Транспортные явления в теории композитных фермионов.....49

3.5 Эффективное действие ..................................................50

3.6 Туннелирование в объем................................................51

3.7 Туннелирование в край холловской жидкости............53

3.8 Учет нелокальности взаимодействия ...............................58

3.9 Учет пространственной дисперсии......................................63

Заключение 68

Введение

Туннелирование электронов изучается в физике конденсированного состояния довольно давно, с середины 60-х годов. Туннельные измерения дают информацию о спектре квазичастиц, которую трудно получить другими методами. Дело в том, что в системе взаимодействующих электронов заряд переносится не самими электронами, а квазичастицами, которые обычно представляют собой электрон и экранирующее его облако. При этом с точки зрения транспортных свойств квазичастицы ведут себя подобно электронам. Таким образом, система как бы "скрывает" информацию о взаимодействии. При туннельных же измерениях из системы вырываются не квазичастицы, а электроны. Поэтому туннелирование позволяет измерить, в какой мере квазичастицы электронной жидкости похожи на обычные электроны.

Эффекты взаимодействия в туннельном токе обычно проявляются как разного рода аномалии при малой разности потенциалов V между электродами туннельного контакта. Обычно оказывается, что туннельный ток подавляется при V = 0. Наиболее ярким примером является подавление туннельного тока, если один из электродов туннельного контакта является сверхпроводником. Поскольку электроны в сверхпроводнике связаны в куперовские пары, а при туннелировании эти пары приходится разрывать, туннельный ток отсутствует, если напряжение на туннельном контакте меньше А0/е, где А0 — энергетическая щель в системе. Другими примерами являются кулоновская аномалия Альтшулера-Аронова-Ли [1] и кулоновская щель Эфроса-Шкловского [2].

Теория кулоновской аномалии в неупорядоченных металлах была создана Альтшулером, Ароновым и Ли [1, 3]. В этой теории аномалия рассматривается как малая сингулярная поправка к большой туннельной проводимости. В этом случае аномалию можно исследовать методами диаграммной техники. Было показано, что в случае трехмерного образца кулоновское взаимодействие действительно приводит к малой поправке к туннельному току. Эта малая поправка, однако, сингулярно зависит от напряжения V (она пропорциональна у/У) и потому ее можно выделить экспериментально. Более интересная ситуация возникает в случае туннелирования в тонкую пленку. В этом случае поправка к туннельной проводимости логарифмически зависит от напряжения и расходится при малых напряжениях. Тем не менее, поскольку эта расходимость довольно слабая, теория возмущений применима при не слишком малых напряжениях. Теория Альтшулера-Аронова-Ли была подвергнута тщательной экс-

периментальной проверке [3]-[5]. Было показано, что теория хорошо описывает аномалию в трехмерном случае и согласуется с экспериментальными данными по туннелированию в тонкие пленки при не слишком малых напряжениях. В то же время в [4] наблюдались весьма заметные отклонения от пертурбативного результата при малых напряжениях.

При туннелировании же в тонкую проволоку поправка оказывается велика в довольно широкой области напряжений V < е/НАкр1, где А —площадь поперечного сечения проволоки, I — длина свободного пробега электронов, а кр — фермиевский волновой вектор. Таким образом, теория возмущений оказывается неприменимой к туннелированию в тонкие пленки и проволоки при низких напряжениях.

В последнее десятилетие возрос интерес к ферми-системам, в которых эффекты взаимодействия приводят к качественному изменению поведения электронной жидкости. В обычных металлах поведение электронной системы, как правило, можно понять, пользуясь теорией ферми-жидкости Ландау. Эта теория утверждает что эффекты взаимодействия несущественны для понимания свойств ферми- систем, то есть что ферми системы устроены относительно просто и универсально. Интересно выяснить, в каких случаях картина, описываемая теорией Ландау, нарушается. Наиболее интересны при этом с теоретической точки зрения системы, в которых взаимодействие между квазичастицами описывается эффективным калибровочным полем [6].

В настоящее время удалось реализовать несколько ферми-систем с необычными свойствами. К ним относятся электроны в двумерных квантовых ямах [7, 8], [10]—[12], электронная жидкость вблизи перехода металл-изолятор[13], электроны в сильном магнитном поле [9, 14] (дробный квантовый эффект Холла), электроны в квантовых точках [15], краевые состояния в квантовом эффекте Холла [16, 17, 18]. Особый интерес представляет двумерная электронная жидкость в сильном магнитном поле, потому что из-за сильного вырождения уровней Ландау именно межэлектронное взаимодействие определяет поведение этой системы.

Оказалось, что электронная жидкость в этих системах сильно отличается от обычной ферми-жидкости. В туннельной плотности состояний упомянутых систем присутствуют очень сильные аномалии, которые не могут рассматриваться как малые поправки. Фактически, туннельная проводимость полностью исчезает при нулевом напряжении и нулевой температуре. Например, при туннелировании электронов в двумерную электронную жидкость в магнитном поле с фактором заполнения и = 1/2 туннельная проводимость (7(У) описывается при малых напряжениях формулой (?(У) ~ ехр (—У^/У). Такое поведение означает почти жесткую щель в туннельном токе. При туннелировании в край такой системы ток оказывается степенной функцией напряжения: I ~ Vй. где а > 1.

Возможно, следует добавить в приведенный выше список высокотемпературные сверхпроводники, в которых протекание тока между двумерными слоями происходит посредством туннелирования. Сопротивление высокотемпера-

турных сверхпроводников в нормальной фазе в направлении, перпендикулярном слоям, оказывается аномально зависящим от температуры [19]. Возможно, что это еще один пример нетривиального поведения туннельной плотности состояний.

Итак, аномалии в туннельной плотности состояний при низких энергиях — это довольно общее явление. Величина аномалии может в какой-то степени служить мерой отличия системы от ферми-жидкости. Системы, в которых аномалия сильна, представляют значительный теоретический интерес. Поэтому представляется желательным развитие непертурбативного подхода к задачам о вычислении туннельного тока.

Попытки объяснить аномалию при туннелировании в ферми-систему в сильном магнитном поле предпринимались различными авторами [20]—[27]. Все эти работы имеют общую черту: в них строится некоторая микроскопическая модель системы, после чего туннельная аномалия исследуется в рамках этой модели. Однако тот факт, что различные модели приводят к качественно сходным результатам, приводит к предположению о том, что существует некоторое универсальное, не зависящее от микромодели явление, из-за которого возникает туннельная аномалия.

В настоящей работе предлагается квазиклассический подход к задаче о туннелировании электронов во взаимодействующую жидкость, основанный на разделении туннелирования на два этапа: одночастичный и многочастичный. Быстрый одночастичный этап представляет собой обычный акт туннелирования электрона через барьер, происходящий за время порядка классического времени пролета через барьер. На этом этапе взаимодействие между частицами жидкости несущественно. После того, как этот этап завершается, потенциальная энергия системы оказывается довольно большой и по порядку величины равна е2/о, где а — среднее межэлектронное расстояние. Поскольку энергия тун-нелирующего электрона мала по сравнению с этой величиной, то система по окончании первого этапа оказывается в классически запрещенной области, и, следовательно, процесс туннелирования не завершен. Для того, чтобы попасть в классически разрешенную область, система должна понизить потенциальную энергию. Для этого нужно произвести перераспределение заряда. "Размазав" протуннелировавший заряд по достаточно большой области, можно сделать потенциальную энергию как угодно малой.

Это перераспределение заряда происходит на втором этапе туннелирования. На этом этапе мы имеем дело с медленным движением электронной жидкости, при котором добавленный в систему заряд растекается по большой области. При этом происходит образование квазичастичного облака вокруг электрона. На многочастичном этапе взаимодействие играет основную роль. Если энергия туннелирующего электрона мала, а транспортные процессы в жидкости достаточно медленные, то многочастичный этап продолжается долго. В тех случаях, когда действие, накапливающееся на многочастичном этапе, велико, именно многочастичный этап определяет вероятность туннелирования и аномальную

зависимость туннельного тока от напряжения.

Мы будем рассматривать многочастичный этап квазиклассически. Качественные оценки показывают, что в ряде интересных случаев многочастичный этап включает в себя движение электронов в большой по сравнению с длиной свободного пробега области пространства. Такой процесс можно описать макроскопическими уравнениями движения с точной функцией линейного отклика. Таким образом, предлагаемая теория не опирается на конкретные микроскопические модели переноса заряда в системе. В результате удается описывать туннелирование в различных системах в рамках единого подхода.

Работа состоит из настоящего введения, трех глав и заключения. Основные идеи теории сформулированы в Главе 1. В ней приводятся основные сведения о стандартных способах описания туннелирования электронов и об аномалии Альтшулера-Аронова-Ли, качественно анализируется физика этого явления и вводится представление о двух этапах туннелирования. Затем выводится гидродинамическое действие для флуктуаций тока и заряда. Далее формулируется квазиклассический метод вычисления туннельного тока из гидродинамических уравнений и показывается, как он связан со стандартным формализмом теории многих тел. Метод применяется к кулоновской аномалии Альтшулера-Аронова. Выводится непертурбативная формула для туннельной проводимости, которая сравнивается с экспериментом. Обсуждаются пределы применимости теории.

В Главе 2 обсуждаются различные приложения теории: учет взаимодействия между электродами туннельного контакта, влияние магнитного поля на кулоновскую аномалию, туннелирование в одномерную проволоку, туннелирование в неупорядоченный проводник вблизи перехода металл-диэлектрик, нульмерный предел теории. Демонстрируется, что квазиклассическая теория позволяет единообразно описать туннелирование электронов в различных системах.

В Главе 3 развитая теория применяется к более сложной электронной системе — к электронной жидкости в сильном магнитном поле. Наиболее интересно рассматривать туннелирование в край такой системы, потому что именно там и происходят транспортные процессы. В отличие от рассмотренного ранее случая грязного металла, квазичастицы такой жидкости весьма сильно отличаются от электронов. Поэтому анализ туннелирования в такую систему оказывается невозможен без учета сложной структуры квазичастицы. Мы используем для этого теорию композитных фермионов. В начале главы дается краткое изложение существующих теорий края холловской жидкости. Затем излагаются основные положения теории композитных фермионов. С помощью этой теории задача о туннелировании в холловскую жидкость сводится к задаче о тунне-лировании в систему с фиктивным черн-саймоновским калибровочным полем. Показано, что при туннелировании рождается вихрь калибровочного поля, и что это уменьшает вероятность туннелирования. Далее решается задача о туннелировании в край сжимаемой холловской жидкости в рамках простой модели с точечным взаимодействием и локальной проводимостью. Показано, что при этом вольт-амперная характеристика туннельного контакта является степен-

ной, причем показатель степени плавно зависит от фактора заполнения жидкости. Таким образом, латтинжеровское поведение краевых состояний не связано с несжимаемостью жидкости. Более существенным оказывается то, что в хол-ловской жидкости холловское сопротивление больше омического. Полученный туннельный показатель а (определяемый соотношением / ~ Vе*) совпадает с предсказаниями существующих теорий края.

Теоретические предсказания сравниваются с результатами эксперимента [17]. Как и предсказывается теорией, туннельный показатель а является плавной функцией фактора заполнения. Однако имеется сильные количественные различия между предсказаниями теории и результатами эксперимента.

Далее в Главе 3 обсуждается справедливость допущений использованной модели. Для этого задача о туннелировании решается с учетом нелокальности взаимодействия. Возникающее при этом интегральное уравнение решается методом Винера-Хопфа. Показано, что учет нелокальности не меняет результаты качественно.

Поскольку обычно квантовый эффект Холла наблюдается в чистых образцах, представляет интерес также случай баллистического переноса заряда. Эта ситуация рассматривается в конце Главы 3. Выводится сингулярное интегральное уравнение, определяющее растекание туннелирующего заряда, которое затем решается численно. Полученный ответ согласуется с результатом простой модели. Таким образом, расхождение с экспериментом не может объясняться нелокальностью взаимодействия или баллистическим переносом заряда. Можно предположить, что расхождение с экспериментом из-за того, что инфракрасное поведение, описываемое квазиклассической теорией, реализуется на слишком малых энергиях, недоступных в эксперименте. Возможно также, что теория композитных фермионов неприменима вблизи края холловской жидкости.

В Заключении перечисляются основные результаты работы.

Глава 1

Квазиклассическое описание туннелирования

1.1 Связь туннельного тока с характеристиками электронной жидкости

Типичный эксперимент по туннелированию электронов выглядит следующим образом. Два проводника разделяются непроводящим туннельным барьером (например, пленкой окисла, см. рис. 1.1). Затем между ними прикладывается разность потенциалов V. Поскольку, согласно квантовой механике, электроны могут туннелировать через барьер из одного проводника в другой, то в системе должен возникнуть ток /, который легко измерить. В туннельном эксперименте измеряется вольт-амперная характеристика туннельного контакта.

Чтобы получить представление о том, какие характеристики электронной системы можно таким образом измерить, полезно вначале рассмотреть задачу о невзаимодействующих электронах. Тогда туннельный ток найти довольно просто. Пусть Трр/ — матричный элемент, связывающий состояние с импульсом р слева с состоянием с импульсом р' справа. Согласно "золотому правилу" Фер-

I V

Рис. 1.1: Принципиальная схема туннельного эксперимента

Рис. 1.2: Распределение электронов по энергиям при туннелировании.

ми, вероятность перехода электрона с импульсом р слева направо в состояние с импульсом р' есть

2тг

Wp^p' = -jr- |Трр/| ¿(бр - Ср/ - еУ) .

(1.1)

Если к системе не приложено напряжение, то, очевидно, ферми-газы электронов по обеим сторонам барьера находятся при равных химических потенциалах. Если же между металлами приложено напряжение У, то химпотенциал