Интегралы по траекториям на орбитах групп тема автореферата и диссертации по физике, 01.04.02 ВАК РФ

Введение

1 Когерентные состояния и интегралы по траекториям

1.1 Геометрия когерентных состояний.

1.2 Интегралы по траекториям.

1.3 Вычисление su(2) и sw(l, 1) интегралов по траекториям

2 SU(2) интеграл по траекториям в модели Гейзенберга

2.1 SU(2) интеграл для статсуммы.

2.2 Ферромагнетик Гейзенберга.

2.2.1 Теория среднего поля.

2.2.2 Спонтанная намагниченность и функции Грина

2.3 Геометрический вывод нелинейной сг-модели для ID антиферромагнетика Гейзенберга.

3 Квазиклассический пропагатор на многообразиях когерентных состояний

3.1 SU(2) (спиновый) пропагатор.

3.2 Калибровочная аномалия флуктуационного детерминанта и фаза Солари-Кочетова.

3.3 Квазиклассический пропагатор на орбитах ранга 1.

3.3.1 Другие схемы квантования.

4 Инстантонная техника для спинового пропагатора

4.1 Инстантонная формула для сдвига уровней

- 2

4.2 Туннелирование спинов.

4.2.1 Туннельный сдвиг уровня

4.2.2 LMG модель.

4.3 Туннелирование спинов в магнитных молекулах Feg

5 ?7(1|1) и SU(2\1) суперкогерентные состояния и интегралы по траекториям

5.1 £Д1|1) когерентные состояния и интеграл по траекториям для модели Джейнса-Каммингса.

5.2 Кэлеров суперпотенциал.

5.3 Когерентные состояния и интегралы по траекториям для 5М(2|1).

6 SZ7(2|1) интеграл по траекториям для t — J модели

6.1 Спин-зарядовые переменные в t — J модели.

Ричард Фейнман, явным образом сформулировавший в 1948 году концепцию квантовой амплитуды перехода для частицы в потенциале как интеграла по траекториям на конфигурационном пространстве, почти сразу же обратил внимание на то, что такая конструкция не допускает непосредственного обобщения на спин. В дальнейшем эта проблема всегда вызывала его живой интерес и рассматривалась им как задача первостепенной важности. В частности, в своей широко известной книге [1] Фейнман писал: path integrals suffer most grievously from a serious defect. They do not permit a discussion of spin operators . in a simple and lucid way. Nevertheless, spin is a simple and vital part of real quantum mechanical systems. It is a serious limitation that the half-integral spin of the electron does not find a simple and ready representation.

Первая серьезная попытка построить интеграл по траекториям для спина была предпринята Шульманом в 1968 году [2]. Однако он, по сути дела, решил задачу о квантовании классического волчка методом континуального интеграла, построив корректное выражение для пропагатора квантового волчка с учетом неодносвязности конфигурационного пространства последнего, Q = 50(3) = RP3. Существенной особенностью спина является, однако, то обстоятельство, что классическая динамика спина1 реализуется на фазовом многообразии - сфере 52 [3], и интеграл по траекториям для спинового пропагатора возникает как вариант геометрического квантования SU(2) орбиты в терминах su(2) когерентных состояний. Стандартный Фейнмановский интеграл по траекториям нельзя определить для спина естественным образом, так как сфера, будучи компактным многообразием, не является кокасательным расслоением, и тем самым, для спина не существует естественного перехода к конфигурационному представлению.

Выделенная роль su(2) когерентных состояний заключается в следующем. Группа SU(2) действует как группа канонических преобразований классического фазового пространства спина - сферы 52. Квантование спина в теоретико-групповом контексте можно рассматривать как переход к унитарно-неприводимым представлениям той же группы в Гильбертовом пространстве векторов, параметризуемых точками классического фазового многообразия. Система su(2) когерентных состояний задает базис в этом пространстве представлений.

С более общей точки зрения, интегралы по траекториям на орбитах групп могут рассматриваться как вариант геометрического (в терминах элементов симплектической геометрии орбиты) квантования классической динамики, реализуемой на классическом фазовом многообразии -орбите группы Ли G в коприсоединенном представлении. Естественным образом такая конструкция возникает, если гамильтониан системы выражается через генераторы группы G, образующие алгебру Lie(G). В частности, операторы спина замыкаются в алгебру su(2) :=Lie(SU(2)) относительно операции коммутирования.

В самом общем смысле, идея геометрического квантования состоит в конструировании квантовых объектов, исходя из геометрии классиче

1 Классический "спин" описывается наблюдаемыми jf, i = 1,2,3 на фазовом пространстве со скобкой Пуассона {Jf,Jf} = eijk-Ц1- Эти соотношения, как будет показано в §1.1, могут быть реализованы на 2-сфере, оснащенной канонической симплектической структурой. ских. А именно в случае, когда классическое фазовое пространство является G-однородным многообразием, ситуация выглядит следующим образом. Пусть G есть простая компактная группа Ли. Тогда G-однородное классическое фазовое пространство можно рассматривать как набор (M,W\G), где М обозначает четномерное гладкое многообразие, на котором задана невырожденная замкнутая 2-форма W, определяющая на М симплектическую геометрию: невырожденность означает, что с помощью обратной матрицы W~l можно определить на М скобку Пуассона, для которой тождество Якоби выполняется в силу замкнутости W : dW = 0. Поэтому на симплектическом многообразии всегда существует классическая механика.

Действие группы G на М предполагается транзитивным (связывает любые две точки М) и симплектическим (оставляет форму W инвариантной). Другими словами, G действует как группа канонических преобразований (M,W). Важным примером таких многообразий являются орбиты коприсоединенного представления группы в дуальном пространстве алгебры. На каждой такой орбите имеется естественная симплектическая структура- 2-форма Кириллова [4] - и ко-орбиты, таким образом, всегда четномерны. В действительности, любое G-однородноое Кэлерово компактное односвязное многообразие является орбитой в (ко)присоединенном представлении простой компактной группы Ли G [5].

Квантование ко-орбит сопоставляет классической системе (М, W; G) квантовый аналог (Я(М), [/(G)), где Гильбертово пространство %{М) строится из сечений одномерного комплексного расслоения над М, a U(G) обозначает унитарно-неприводимое представление G в Н(М). Такой подход известен как геометрическое квантование Кириллова-Костанта-Сурьо [4, б, 7]. С теоретико-групповой точки зрения, этот метод позволяет строить унитарно-неприводимые (вообще говоря, бесконечномерные) представления группы, исходя из одного специального конечномерного представления - коприсоединенного представления группы G на орбите. В некотором смысле молено сказать, что "классическая" геометрия - это геометрия фазового многообразия М, в то время как "квантовая" геометрия есть геометрия соответствующего комплексного одномерного расслоения над М.

Следует отметить, что стандартное квантование выглядит с геометрической точки зрения как квантование классической механики, заданной на кокасательном расслоении М = Т* Q, где Q есть конфигурационное многообразие. Хотя Q может быть в принципе компактным пространством, T*Q - всегда некомпактно и имеет бесконечный объем. Оказывается, что локальные координаты на T*Q можно "в целом" разделить на ql и У, где "координаты" ql есть максимальный набор вещественных коммутирующих переменных, а р3 сопряжены к ним относительно канонической скобки Пуассона. Квантовое Гильбертово пространство строится тогда из сечений одномерного расслоения над М, состоящих из квадратично интегрируемых функций только от координат: ф(дг).

Квантование классической механики на компактном многообразии представляет собой более сложную проблему, которая в общем случае не решена. Однако для компактных Кэлеровых (т.е. комплексных симплек-тических) многообразий, к которым относится и 2-сфера - классическое фазовое пространство спина - общий рецепт квантования известен и сводится к тому или иному варианту геометрического квантования. При этом заменой глобального разделения переменных на pi и ql служит задание некоторого интегрируемого лагранжева распределения (поляризации) на М. В частности, в комплексных координатах (z, z) на 2-сфере удобно ввести голоморфную V и антиголоморфную V поляризации, которые генерируются векторными полями djd2 и д/д?-, соответственно, так что VnP = {0}. Тогда квантовое Гильбертово пространство состоит из голоморфных функций ф(г) - сечений U(1) голоморфного расслоения.

Для G-однородных Кэлеровых многообразий, общая теория квантования была развита Березиным [8, 9] в терминах сопоставления операторам их символов и явным образом сформулирована для компактных групп G в работе [10]. В подходе Березина важную роль играет рассмотрение переполненных систем векторов Гильбертова пространства, которые параметризуются точками М и используются для описания соответствия " оператор о символ". Если рассматривать многообразия М как орбиты группы G', то такие системы следует отождествить с обобщенными когерентными состояниями в представлении U(G), введенные Переломовым [11]. Квантовая геометрия этих состояний как сечений главного U( 1) расслоения над М подробно обсуждается в §1.1. Если рассматривать (H(M),C/(G)) как квантовое Гильбертово пространство, то пропагатор квантовой системы в базисе обобщенных когерентных состояний можно представить в виде интеграла по траекториям на ко-орбите G, при этом ключевую роль играет свойство переполненности системы когерентных векторов.

Квантование в терминах интегралов по непрерывным траекториям на орбитах группы G или, как их еще называют, интегралов в представлении когерентных состояний, ассоциированных с Lie (С), является явной реализацией метода геометрического квантования G-однородных фазовых многообразий в квазиклассической области, соответствующей большим индексам представлений U(G). Стандартный Фейнмановский интеграл по траекториям на конфигурационном пространстве неудобен для исследования такого рода асимптотик, так как он не связан с представлениями U(G). Более того, как уже отмечалось выше, ряд физически интересных задач, например, проблема квантового описания su(2) спина, вообше не допускает осмысленной формулировки в терминах конфигурационного интеграла по траекториям.

Важно с самого начала подчеркнуть, что, вообще говоря, интеграл по траекториям определяется как предел некоторой дискретной аппроксимации на временной "решетке То есть сначала надо вычислить конеч-нократный интеграл, а затем перейти к пределу непрерывного времени.

Именно в таком подходе было построено квантование гамильтонова действия компактных групп на коприсоединенных орбитах в работе [12]. Следуя методу орбит Кириллова, такое квантование, по-существу, эквивалентно построению неприводимых унитарных представлений соответствующих групп. Хотя формально любой пропагатор в базисе когерентных состояний можно представить в форме интеграла по траекториям в дискретной аппроксимации на орбите соответствуюшей группы, с практической точки зрения такое представление имеет весьма ограниченное применение: явное выражение для квантовой амплитуды перехода можно получить лишь в простейших случаях, когда гамильтониан системы является элементом Картановской подалгебры. В общем же случае, скажем, билинейного по генераторам взаимодействия, вычисление многократных интегралов с нетривиальной мерой представляет безнадежно трудную проблему.

С другой стороны, формально переходя сначала к континуальному пределу, можно рассматривать интегралы по непрерывным траекториям на орбитах, что значительно упрощает вычисление интегралов, сводя его, по-существу, к решению систем дифференциальных уравнений и вычислению детерминантов дифференциальных операторов. Это существенно упрощает расчеты, и делает интерпретацию результатов более наглядной. Однако, на этом пути возникает ряд принципиальных трудностей, отсутствовавших в первом подходе. А именно, возникает проблема обоснования предельного перехода к непрерывному времени и описания класса траекторий, на которых сосредоточен интеграл. В принципе, аналогичная проблема существует и для Фейнмановского интеграла по траекториям на конфиругационном пространстве. Однако, для интегралов по непрерывным траекториям на орбитах групп как на G-однородых симплектических фазовых многообразиях возникают свои специфические проблемы, о которых будет подробно сказано ниже. Отметим только, что наивное представление спинового пропагатора как su(2) интеграла по непрерывным траекториям приводит даже для тривиальных точнорешаемых моделей к неправильным результатам. Вследствие этого, к концу 90-х годов среди математических физиков стало преобладать мнение, что интегралы в представлении когерентных состояний имеют смысл только лишь в дискретной аппроксимации. С другой стороны, перспектива расчета амплитуд каких-либо реальных процессов, например, туннелирования спинов, в дискретном представлении едва ли может вызвать большой энтузиазм.

Конечно, можно было бы попытаться формально представить, например, квантовый спин как некую Шредингеровскую "частицу" в эффективном потенциале и использовать затем для записи пропагатора стандартный Фейнмановский интеграл на конфигурационном пространстве. Однако, в силу того обстоятельства, что спин не обладает естественным конфигурационным пространством, получающееся уравнение Шре-дингераимеет "неестественный" вид: оказывается, что масса такой "частицы" зависит от координаты. Ясно, что такого рода задача далека от стандартных, хорошо определенных проблем квантовой механики, и конкретные расчеты в таком подходе оказываются неоправданно сложными [13].

Как уже отмечалось, наиболее естественным подходом является описание квантовой динамики спина в терминах su{2) интеграла по траекториям на SU{2) орбите - сфере S2, гомеоморфной в стереографической проекции комплексной проективной прямой CP1. Такой интеграл позволяет простым и эффективным способом исследовать квазиклассическое поведение квантовых спиновых систем, включая недавно экспериментально обнаруженное явление туннелирования спинов в магнитных кластерах Fes [14]. Именно в этом подходе получены основные результаты Диссертации, относящиеся к исследованию квазиклассики спиновых пропагато-ров и формулировки инстантонного приближения для спинов.

Что же касается исторического экскурса в проблему интегралов по непрерывным траекториям в представлении когерентных состояний, то здесь следует иметь в виду два обстоятельства. Во-первых, опять же спиновый интеграл по траекториям занимает главное место в исследованиях на эту тему, и, во-вторых, основные результаты, которые, собственно говоря, и определяют, что и каким образом, вычисляет su(2) интеграл по непрерывным траекториям, были получены в самое последнее время и составляют существенную часть содержания настоящей Диссертации. Поэтому, на наш взгляд, нет смысла подробно воспроизводить здесь уже не очень актуальные дискуссии на тему о статусе su(2) интеграла, и мы ограничимся лишь несколькими замечаниями.

Впервые su(2) интеграл был написан для спинового пропагатора на М — S2 в работе [15] и в комплексной реализации на CP1 - в [16], хотя сама идея о том, чтобы использовать соотношение полноты когерентных состояний для построения интеграла по траекториям, была выдвинута Клаудером значительно раньше [17]. В работах [15, 16] была допущена, однако, существенная неточность, которая затем автоматически воспроизводилась во многих последующих работах на эту тему. При переходе к непрерывному по времени действию были опущены внеинте-гральные члены и, вследствие этого, некорректно сформулированы граничные условия.2 В результате, уже на классическом уровне (без учета флуктуаций) уравнения стационарной фазы приводят к системе N дифференциальных уравнений (первого порядка по времени) с 2N граничными условиями. Такая система, вообще говоря, не имеет решения. В результате, интерпретация su{2) (спинового) интеграла по траекториям как амплитуды перехода между su(2) когерентными состояниями оказалась

2Внеинтегральные члены возникают вследствие того обстоятельства, что спиновый пропагатор описывает эволюцию системы между начальным и конечным состояниями, которые задаются различными поляризациями. Это утверждение справедливо для любых пропагато-ров в базисе обобщенных когерентных состояний. затруднительной даже с формальной точки зрения, безотносительно к тому, существует ли su(2) интеграл как интеграл по мере. Более того, непосредственные расчеты с таким действием приводят к неверным результатам уже для простейших точно решаемых моделей [18].

Вторая проблема, не связанная непосредственно с внеинтегральными членами и граничными условиями, заключается в том, что в квазиклассической области, где, собственно, и должен был бы использоваться непрерывный по времени спиновый интеграл, вычисленная с его помощью квазиклассика для пропагатора дает неверную предэкспоненту для спинового туннельного перехода [18, 19]. Эта проблема является более существенной и связана, как было выяснено совсем недавно, с характерной U( 1) калибровочной аномалией спинового флуктуационного детерминанта, отсутствующей в стандартном Фейнмановском конфигурационном интеграле по траекториям. Оказывается, что фиксирование U( 1) калибровки, необходимое для вычисления детерминанта, приводит к появлению дополнительной фазы - фазы Солари-Кочетова (СК) в предэкс-поненте квазиклассического пропагатора. Впервые эта фаза была получена Солари в работе [20] как результат вычисления дискретного спинового детерминанта. В работе автора [21] этот добавочный фактор был получен независимо при вычислении su(2) интеграла для непрерывного времени. Термин " СК фаза" был предложен в работе М. Стоуна и др. [22]. Именно СК фаза, как оказалось, необходима для корректного определения квазиклассической асимптотики спиновых пропагаторов.

Подчеркнем еще раз, что возникающие при "наивном" обращении с su(2) интегралом проблемы, привели, в конце концов, к тому, что спиновый интеграл по траекториям приобрел репутацию ненадежного метода исследований, имеющего якобы смысл только в дискретном (по времени) представлении. С другой стороны, какие-либо конкретные вычисления, например, расчет туннельного перехода в дискретном представлении оказываются неоправданно сложными. Эти же проблемы характерны для интеграла на произвольном многообразии М, параметризующим когерентные состояния, что, вообще говоря, поставило под сомнение саму концепцию континуального интеграла по непрерывным траекториям, ассоциированного с системой обобщенных когерентных состояний [23].

Такая точка зрения была до самого недавнего времени широко распространена, несмотря на то, что уже в конце 70-х годов Феликс Бере-зин получил корректное выражение для внеинтегральных членов в действии интеграла для некоторого частного случая. Он построил выражение для символа оператора эволюции как континуального интеграла по траекториям на кокасательном расслоении T*RN, параметризующем обычные Глауберовские когерентные состояния, ассоциированные с алгеброй Гейзенберга-Вейля [24]. Похожее представление было получено Л.Д. Фаддеевым [25].

В 1995 году автор получил формально корректное выражение для su(2) интеграла по траекториям для пропагатора на классическом фазовом пространстве спина - орбите CP1 - связав внеинтегральные члены с su(2) Кэлеровым потенциалом [21]. Впоследствии подобное представление было получено им и для интеграла на произвольном G-однородном Кэлеровом многообразии в терминах Кэлерова потенциала соответствующей орбиты [26]. В работе [21] была также впервые получена корректная квазиклассическая асимптотика для su(2) пропагатора, исходя из непрерывного представления для спинового интеграла по траекториям. Обобщение на общий случай было построено в работе [26]. И наконец, совсем недавно, на основе этих работ и исследований Стоуна и др. [22], su(2) интеграл по непрерывным траекториям был определен самосогласованным образом, что позволило в конечном итоге, построить с его помощью инстантонную теорию туннелирования спинов [27]. Таким образом, было показано, что спиновый интеграл по непрерывным траекториям является в действительности хорошо определенным в квазиклассической области объектом и эффективным средством исследования квантовых спиновых систем.

Диссертацию можно разделить на две части. Главы 1-4 посвящены исследованию квазиклассических пропагаторов, представленных интегралами по непрерывным траекториям на орбитах простых групп Ли. Основное внимание уделяется при этом исследованию наиболее важного для приложений su(2) (спинового) пропагатора. Показано, что характерная для спинового флуктуационного детерминанта U{ 1) калибровочная аномалия приводит к появлению в пропагаторе дополнительной СК фазы, которая имеет решающее значение для определения спинового интеграла по непрерывным траекториям самосогласованным образом, корректного вычисления его квазиклассической асимптотики и построения инстан-тонной техники для su(2) спинового пропагатора. В частности, оказывается, что СК фаза объясняет происхожденеи Вейлевского сдвига для спина j j + 1/2 и фиксирует значения внешнего магнитного поля, при которых происходит т.н. топологическое подавление спинового туннели-рования в магнитных молекулах Fes

Во второй части (главы 5-6) развитая техника обобщается на суперслучай: рассматриваются интегралы по траекториям на супермногообразиях - орбитах простейших супергрупп £7(111) и SU(2|1). Оказывается, что важная для физических приложений t— J модель сильнокоррелированных электронов описывается гамильтонианом, являющимся билинейной комбинацией 51/"(2|1) генераторов, и классическим фазовым многообразием для такой модели является суперсфера - 52'2 = SU(2|1)/?7(111). Важный момент состоит при этом в том, что характерный для данной модели и крайне чувствительный к аппроксимациям локальный констр-эйнт, запрещающий двукратное заполнение узлов электронами, учитывается в технике sw(2|l) интеграла автоматически. Полученные в этом направлении результаты обсуждаются в главе б.

Диссертация состоит из шести глав и заключения. В начале каждой главы дано краткое изложение изучаемой проблемы, а также результатов

- 14 и выводов, полученных в ней.

Результаты, представленные в Диссертации, докладывались на семинарах Лаборатории теоретической физики ОИЯИ, физфака МГУ, на семинарах в Университетах гг. Падуя и Неаполь (Италия), Эрланген и Фрайбург (Германия), Катовице и Краков (Польша), были предста-вленыны на V Международной конференции "Path Integrals from meV to MeV" (Дубна, 1996), на VI Международной конференции "Path Integrals from peV to TeV" (Флоренция, Италия, 1998), на XXIII Международном семинаре "Group Theoretical Methods in Physics" (Дубна, 2000), на VII Международной конференции "Path Integrals From Quarks to Galaxies" (Антверпен, Бельгия, 2002).

Заключение

В Диссертации получены следующие результаты:

• Квазиклассический пропагатор в базисе когерентных состояний, ассоциированных с простой алгеброй Ли Lie(G), представлен интегралом по непрерывным траекториям на орбите G с действием, содержащим дополнительную 1-форму, которая выражается через Кэлеров потенциал орбиты. Показано, что эта форма определяет внеинтегральные члены, согласованные с граничными условиями.

• Найдены замены переменных, позволяющие в замкнутом виде вычислять интегралы по траекториям для su(2) и s«(l, 1) пропагаторов в случае, когда квантовые гамильтонианы являются линейными комбинациями элементов соответствующих алгебр, с произвольными, зависящими от времени коэффициентами.

• Построен новый (не операторный) вариант диаграммной техники в среднем поле для su(2) ферромагнетика Гейзенберга, не использующий обобщенную теорему Вика для спиновых опрераторов, что позволяет существенным образом упростить вычисления и обобщить результаты на произвольные спины.

• Сформулирован геометрический вывод нелинейной cr-модели как эффективного низкоэнергетического действия для квантового 1D антиферромагнетика Гейзенберга. Этот подход основан на использовании (квантовой) геометрии su(2) когерентных состояний и допускает непосредственное обобщение на более сложные взаимодействия: показано, что эффективное длинноволновое действие для t — J модели в суперсимметричной (t = 2J) точке определяется свойствами только одной функции - SU(2|1) ковариантного Кэле-рова суперпотенциала.

Получена квазиклассическая асимптотика, включая предэкспоненту, для su(2) спинового пропагатора. Показано, что предэкспоненци-альный фактор содержит дополнительную фазу (фазу Солари-Ко-четова), которая не появляется при вычислении стандартного Фей-нмановского интеграла для частицы в потенциале. Эта фаза возникает вследствие характерной U(l) калибровочной аномалии спинового флуктуационного детерминанта и имеет решающее значение для восстановления статуса спинового интеграла как интеграла по непрерывным траекториям в квазиклассической области. Показано, что при учете СК фазы su(2) интеграл дает корректное выражение для пропагатора с точностью 0(1/j).

Квазиклассическая асимптотика получена для квантовых пропага-торов с гамильтонианами общего вида, построенными из генераторов простой компактной группы G, для представлений, определяемых максимально вырожденными G-орбитами ранга 1.

Сформулирована инстантонная техника для su(2) спинов, с помощью которой можно вычислять квазиклассические пропагаторы для спиновых систем со спонтанно нарушенной симметрией с той же степенью легкости и эффективности, как и в рамках стандартной инстантонной техники для Шредингеровской частицы в потенциале.

В рамках построенной инстантонной техники описано явление тун-нелирования спинов в магнитных молекулах Fe%. Аналитические расчеты полностью согласуются с результатами недавних (1999г.)

- 191 экспериментов. В частности найдены точные условия на значения внешнего магнитного поля, при которых происходит т.н. топологическое подавление туннелирования - эффект, не наблюдающийся в обычном туннелировании частицы в потенциале.

• Квантовые пропагаторы в базисе м(1|1) и .su(2|l) суперкогерентных состояний представлены интегралами по непрерывным траекториям на супермногообразиях - орбитах супергрупп U( 1|1) и SU(211). Показано, что внеинтегральные члены определяются соответствующими Кэлеровыми суперпотенциалами. Явно вычислен и(1|1) интеграл для статсуммы модели Джейнса-Каммингса.

• Техника su(2|l) интеграла по траекториям применена для исследования t—J модели сильнокоррелированных электронов. В связи с проблемой спин-зарядового разделения переменных показано, что t — J гамильтониан не сводится в общем случае к полиномиальной функции независимых спиновых и го лонных операторов.

1. Feynman R.P. and Hibbs A.R. - "Quantum Mechanics and Path 1.tegrals" (McGraw-Hill Book Co., New York, 1965), p.355.2 3 [45 67 8 [910 И

2. Schulman L. Phys. Rev., 1968, 176, 1558. Stone M. - Nucl. Phys., 1989, B314, 557.

3. Kirillov A.A. Geometric Quantization Dynamical Systems IV ed V I Arnold (Berlin: Springer, 1988), 137; Kirillov A.A. - Bulletin of the American Mathematical Society, 1999, 36, 433.

4. Borel A. Proc. Nat. Acad. Sci USA, 1954, 40, 1147.

5. Kostant B. Quantization and unitary representations, Lecture Notes on Mathematics, vol 170, (Berlin: Springer 1970), p.87.

6. Souriau J-M- Structure des Systems Dynamiques, (Paris: Dunod, 1970).

7. Березин Ф.А. Изв. АН СССР, сер. мат., 1974, 8, 1109.

8. Berezin F.A. Commun. Math. Phys., 1975, 40, 153.

9. Bar-Moshe D., and Marinov M.S. J. Phys. A27 (1994) 6287.

10. Переломов A.M. Обобщенные когерентные состояния и их применения, Наука, 1987.

11. Alekseev A., Faddeev L. and Shatashvili S.L. Journal of Jeometry and Physics, 1989, 5, 391.

12. Enz M. and Schilling R. J. Phys., 1986, C19, 1765.

13. Wernsdorfer W. and Sessoli R. 1999, Sience, 284, (1999) 133.

14. Klauder J.R. Phys. Rev., 1979, D19, 2349.

15. Kuratsuji H. and Suzuki T. J. Math. Phys., 1980, 21, 472.

16. Klauder J.R. Ann. Phys. (NY), 1960, 11, 123.

17. Kuratsuji H. and Mizobuchi Y. J. Math. Phys., 1981, 22, 757.

18. Garg A. and Kim G-H. Phys. Rev., 1992, B45 921.

19. Solari E.G. J. Mat. Phys. 27 (1987) 1097.

20. Kochetov E.A. J. Math. Phys., 1995, 36, 4667.

21. Stone M, Park K-S. and Garg A. J. Math. Phys., 2000, 41, 8025.

22. Shibata J. and Takagi S. Int. Journ. Mod. Phys., 1999, В13, 107.

23. Березин Ф.А. УФН, 1980, 132, 497; см. также - ТМФ, 1971, 6, 194.

24. Faddeev L.D. In: Les Houches Lectures. Session XX. - Amsterdam: Noth-Holland, 1976.

25. Kochetov E.A. J. Phys., 1998, A31, 4473.

26. Garg A., Kochetov E.A., Park K-S, and Stone M. cond-mat/0111139 (2001), to appear in J. Math. Phys.

27. Onofri E. J. Math. Phys., 1975, 16, 1087.

28. Wiegmann P.B. Nucl. Phys., 1989, B323, 311.

29. Gunaydin M. and Saclioglu C. Commun. Math. Phys., 1982, 87, 159.

30. Bars L. and Gunaydin M. Commun. Math. Phys., 1983, 91, 31.

31. Kochetov E.A. J. Phys., 1993, A26, 3489.

32. Bargmann V. Ann. Math., 1947, 48, 568.

33. Hillery M. and Zubairy M.S. Phys Rev, 1982, A26, 451.

34. Gerry C.C., Ma P.K. and Vrsay E.R. Phys Rev, 1989, A39, 668.

35. Gerry C.C. and Silverman S. J. Math. Phys., 1982, 23, 1995; ibid. 1987, 28, 2829.

36. Вейль Г. Теория групп и квантовая механика, М.: Наука, 1986.

37. Glauber R.J. Phys. Rev., 1963, 130, 2529; ibid., 1963, 131, 2766.

38. Yaffe L.G. Rev. Mod. Phys., 1982, 54, 407.

39. Bodmann В., Leschke H. and Warzel S. J. Math. Phys., 1999, 40, 2549; Daubechies L. and Klauder J.R. - J. Math. Phys., 1985, 26, 2239.

40. Kochetov E.A. J. Math. Phys., 1995, 36, 1666.

41. Helgason S. Differential Geometry, Lie Groups, and Symmetric Spaces, Academic, New York, 1978.

42. Faddeev L.D. and Slavnov A.A. Gauge Fields: Introduction to Quantum Theory, 1980, New York: Benjamin/Cummings.

43. Kochetov E.A. J. Phys., 2000, A33, 3523.

44. Ercolessi E., Morandi G., Napoli F., and Pieri P. J. Math. Phys., 1996, 37, 535.

45. Nielsen H.B., Rohrlich D. Nucl. Phys., 1988, B299, 471.

46. Wei J. and Norman E. J. Math. Phys., 1963, 4, 575.

47. Ellinas D. Phys. Rev., 1992, A45, 1822.

48. Kochetov E.A. Phys Lett, 1993, A180, 383.

49. Kochetov E.A. Laser Phys., 1994, 4, 136.

50. Gerry C.C. Phys. Rev., 1989, A39, 971.

51. Изюмов Ю.А., Кассан-оглы Ф.А., Скрябин Ю.Н. "Полевые методы в теории ферромагнетизма" (Москва, 1974)

52. Vaks V.G., Larkin A.I. and Pikin S.A. Sov. Phys. JETP, 1968, 26, 188.

53. Leibler S. and Orland H. Ann. Phys. (NY), 1981, 132, 277.

54. Wilcox R.M. J. Math. Phys., 1967, 8, 962.

55. Kolokolov I.V. Phys. Lett., 1986, A 114, 99.

56. Kolokolov I.V. and Podivilov E.V. Sov. Phys. JETP, 1989, 95, 211.

57. Manousakis E. Rev. Mod. Phys., 1991, 63, 1.

58. Kuratsuji H. "Path Integrals in the SU{2) Coherent State Representation and Related Topics" in A. Inomata, H. Kuratsuji and C.C. Gerry, "Path Integrals and Coherent States of SU(2) and 517(1,1)" (World Scientific Singapore, 1992)

59. Kochetov E.A. Phys. Rev., 1995, B52, 4402.

60. Kochetov E.A. and Yarunin V.S. Physica Scripta, 1995, 51, 46.

61. Васильев A.H. "Функциональные методы в квантовой теории поля и статистике", (Ленинградский ун-т, 1976); Gildenere Е. and Ра-trascioiu А. - Phys. Rev., 1977, 16D, 1802.

62. Anderson P.W. Phys. Rev., 1952, 86, 694.

63. Изюмов Ю.А. Скрябин Ю.Н. "Статистическая механика магнито-упорядоченных систем", (Москва "Наука", 1987).

64. Wiegmann Р.В. Phys. Rev. Lett., 1988, 60, 821.

65. Haldane F.D.M. Phys. Rev. Lett., 1983, 50, 1153.

66. Shankar R. Nucl. Phys., 1990, B330, 433.

67. Kochetov E.A. Я.Ф., 2001, 64, 2284.

68. Zhang S.C. Science, 1997, 275, 1089.

69. Zhang F.C. and Rice T.M. 1988, Phys. Rev., B37, 3759.

70. DeWitt B.S. Rev. Mod. Phys., 1957, 29, 377.

71. Van Vleck J.H. Proc. Natl. Acad. Sci., 1928, 14, 178.

72. Dowker J.S. J. Phys., 1970, A3, 451.

73. Marinov M.S. and Terent'ev M.V. Fortschr. Phys., 1979, 27, 511.

74. Duistermaat J.J. and Heckman G. Inv. Math., 1983, 69, 259.

75. Blau M., Keski-Vakkuri E. and Niemi A.J. Phys. Lett., 1990, B246, 92; Blau M. and Thompson G. - J. Math. Phys., 1995, 36, 2192.

76. Funahashi K., Kashiwa Т., Sakoda S., and Fujii K. J. Math. Phys., 1995, 36, 3232; Funahashi K., Kashiwa Т., Sakoda S., and Nima S. -Nucl. Phys., 1995, B453, 508.

77. Kochetov E.A. Quasiclassical dynamics in a generalized phase space: a path integral approach, Proceedings of the 5th International conferenceon on "Path integrals from meV to MeV", p. 107, (Dubna, 1996).

78. Levitan B.M. and Sargsian I.S. "Introduction to the Spectral Theory" (Moscow, 1970)

79. Keller J.B. Ann. Phys., 1958, 4, 180.

80. Vieira V.R., and Sacramento P.D. Nucl. Phys., 1995, B448, 331.

81. Bando M., Kuratomo Т., Maskawa Т., and Uehara S. Phys. Lett., 1984, B138, 94; Prog. Theor. Phys., 1984, 72, 313.

82. Bar-Moshe D., and Marinov M.S. 1995, Berezin quantization and unitary representations of Lie groups in Berezin Memorial ed R Dobrushin, M Shubin and A Vershik (American Mathematical Society Providence RI).

83. Bordemann M., Forger M., and Romer H. Commun. Math. Phys., 1986, 102, 605.

84. Tuynman G.M. J. Math. Phys., 1987, 28 573; ibid., 1987, 28 2829.

85. Weissman Y. J. Chem. Phys., 1982, 76, 4067.

86. Weissman Y. J. Phys., 1983, A16, 2693.

87. Miller W.H. Advances in Chemical Physics ed I Prigogine and S A Rice (New York: Wiley, 1974)

88. Chudnovsky E.M., Gunter L. Phys. Rev. Lett., 1988, 60, 661.

89. Loss D., Vincenzo D.P., Grinstein G. Phys. Rev. Lett., 1992, 69, 3232.91. von Delft J., and Henley C.L. Phys. Rev. Lett., 1992, 69, 3236.

90. Garg A. Europhys. Lett., 1993, 22, 205.

91. Belinicher V.I., Providencia C., and Providencia J. J. Phys., 1997, A30, 5633.

92. Coleman S. Aspects of Symmetry (New York: Cambridge University Press) (1985).

93. Felsager B. Geometry, particles and fields (Odense University Press) (1981).

94. Negele J.W., and Orland H. Quantum many-particle systems (Addison-Wesley) (1988) pp. 214-217.

95. Lowe M.B., Stone M. Nucl. Phys., 1978, B136, 177.

96. Collins J.C., Soper D.E. Annals of Physics, 1978, 112, 209.

97. Lipkin H.J., Meshkov N., Glick A.J. Nucl. Phys., 1965, 62, 188.

98. Garg A. J. Math. Phys., 1998, 39, 5166.

99. Caciuffo R., Amoretti G., Murani A., Sessoli R., Caneschi A., and Gatteschi D. Phys. Rev. Lett., 1998, 81, 4744.

100. Garg A. cond-mat preprint 0012157, (2000).

101. Garg A. Phys. Rev., 2001, B64, 094413.

102. Kochetov E., Yarunin V., and Zhuravlev M. Physica, 1998, C296, 298.

103. Buzano C., Rasetti M.G., and Rastello M.I. Phys. Rev. Lett., 1989, 62, 137.

104. D'Hoker E., and Vinet L. Commun. math. Phys., 1985, 97, 391.

105. Fatyga B.W., Kostelecky V.A., Nieto L.M., and Truax D.R. Phys. Rev., 1991, D43, 1403.

106. Balantekin A.B., Schmitt H.A., and Barrett B.R. J. Math. Phys., 1988, 29, 1634.

107. Balantekin A.B., Schmitt H.A., and Halse P. J. Math. Phys., 1989, 30, 274.

108. Scheunert M., Nahm W., and Rittenberg V. J. Math. Phys., 1977, 18, 155.

109. El Gradechi A.M. J. Math. Phys., 1993, 34, 5951; "Geometric Quantization of an Osp( 1|2) Orbit" Preprint CRM-1882 (1994); El Gradechi A.M., and Nieto L.M.- Commun. math. Phys., 1996, 175, 521.

110. Kochetov E.A. J. Phys., 1992, A25, 411.

111. Kochetov E.A. Phys. Lett., 1996, A217, 65.

112. Pelizzola A., and Topi C. Int. J. Mod. Phys., 1991, B5, 3073.

113. Schmitt H.A., and Mufti A. Phys. Lett., 1990, 148A, 139.

114. Liu X.M., and Wang S.J. J. Phys., 1994, 27A, L697.

115. Schmitt H.A., and Mufti A. J. Phys., 1991, 24A, L815; Cheng X., and Kuang L.M. - J. Phys., 1994, A27, L685.

116. Jaynes E.T. and Cummings F.W. Proc. IEEE, 1963, 51, 89.

117. Balantekin A.B., Bars I., and IachelooF. Nucl. Phys., 1981, A370, 284.120. de Crombrugghe M., and Rittenberg V. Ann. Phys., 1983, 151, 99.

118. Ohnuki Y., and Kashiwa T. Prog. Theor. Phys., 1978, 60, 548.

119. Soper D. Phys. Rev., 1978, D18, 4590.

120. Agarwal G.S., and Puri R.R. Phys. Rev., 1986, A33, 1757.

121. Kochetov E.A. Laser Phys., 1992, 2, 770.

122. Березин Ф.А. "Введение в алгебру и анализ с антикоммутирую-щими переменными", (Издательство МГУ, 1983).

123. Anderson P.W. Science, 1987, 235, 1196.

124. Kane C.L., Lee P.A. and Read N. Phys. Rev., 1989, B39, 6880.