Исследование плоской ограниченной эллиптической задачи трех тел в случае резонансов первого порядка тема автореферата и диссертации по астрономии, 01.03.01 ВАК РФ

/

МОСКОВСКИЙ ГОСУДАРСТВАНЫЙ УНИВЕРСИ! Ы имени М.В. ЛОМОНОСОВА

-РГБ од------------------

Г ' (»- -

На правах рукописи

РАКИТИНА Наталья Владимировна

УДК 521.13

ИССЛЕДОВАНИЕ ПЛОСКОЙ ОГРАНИЧЕННОЙ

ЭЛЛИПТИЧЕСКОЙ ЗАДАЧИ ТРЕХ ТЕЛ В СЛУЧАЕ РЕЗОНАНСОВ ПЕРВОГО ПОРЯДКА

Специальность 01.03.01 — Астрометрия и небесная механика

Автореферат диссертации на соискание ученой степени кандидата физико-математических наук

Москва — 1994

; Работа | выполнена на кафедре небесной механики, астрометрии и гравиметрии, МГУ им. М.В.! Ломоносова I |

" I

Официальные^оппоненты:

Доктор технических наук, (

■ профессор С.Н. Яшкин,

'.' • ' ' ' . ' ! ■ , ' Кандидат физико-математических наук, ' I ;

. ¡4 доцент Ю.Г. Марков |

У ! '' !■/■'■■

1 ' ' '. .1 * Ведущая организация: !

■■ ■ !■' ' ! ! ! ' 1 Институт прикладной математики им'. М.В. Келдыша

Защита' состоится " ^ё " ' ^_1995 г. в № час.

на заседании специализированного совета Московского государственного университета им. М.В. Ломоносова, шифр Д 053.05.51.

Адрес:! | 119899, Москва, В-234, Университетский проспект, дом 13 I

С диссертацией можно ознакомиться в библиотеке государственного астрономического института им. Е .К. Штернберга МГУ (Москва^ Университетский проспект, 13).

Автореферат разослан "

199,5 г.

Ученый секретарь , специализированного совета Г I канД.физ.-мат.наук

Л.Н. Бондарснко

' I-

I I

ОБЩАЯ ХАРАКТЕРИСТИКА РАБОТЫ

Ограниченная задача трех тел — одна из практически наиболее важных задач небесной механики. Она нашла разнообразные приложения в астрономии и астродинамике. Детально изучен частный случай задачи — ее круговой вариант. Эллиптическая задача в общем виде неинтегрируема в квадратурах. Одна из причин сложности анализа этой задачи кроется в неавтономности ее уравнений движения, поэтому традиционные методы исследования здесь далеко не всегда применимы. Один из методов ее исследования предполагает использование различных схем осреднения.

Классическая теория возмущений была разработана Л.Эйлером, П.Лапласом, Ю.Леверье.

Много работ выдающихся математиков и механиков посвящено исследованию этой задачи таких как П.Лаплас, Ш.Делоне, С.Ньюком, Ф.Тиссеран, А.Пуанкаре и др. Но и в настоящее время не найдены практически реализуемые общие аналитические решения задачи.

Динамическая картина распределения материи в Солнечной системе свидетельствует о явно выраженной ее "резонансной структуре". Наблюдается достаточно значительное число соизме-римостей между средними движениями планет (в том числе астероидов), спутников, а также между их вращательными и орбитальными движениями.

Наличие "малых знаменателей" препятствует построению для (неограниченно) больших интервалов времени точных реше-

ний уравнений небесной механики в виде сходящихся рядов классическими методами. В резонансном случае при "острой соизмеримости" средних движений п и п', возмущения содержат долгопериодические члены, а при точной соизмеримости и вековые члены.

После открытия П.Лапласом, исследовавшим "неправильности движения" в системе Солнце — Юпитер — Сатурн, эффекта "малых знаменателей" (а именно, обязательность учета гармоник "высокого порядка", амплитуда которых содержит "малый знаменатель") возникла необходимость в разработке специальных методов решения "резонансных задач" небесной механики. С одной стороны, эти методы были связаны с получением решений, достаточно точно описывающих реальные движения тел на ограниченном промежутке времени. С другой стороны, требовалась разработка качественных методов анализа решений уравнений движения небесных тел на неограниченном промежутке времени и построение сходящихся на бесконечном интервале времени рядов.

Таким образом, исследования ограниченной задачи трех тел в случае дополнительных предположений, чему посвящена данная работа, являются актуальными.

Цель работы. В рамках плоской ограниченной эллиптической задачи трех тел при резонансах первого порядка построить аналитическое решение уравнений движения пассивно гра-витирующего тела, исследовать стационарные решения, провести качественное исследование орбитальных элементов орбиты пассивно гравитирующего тела.

Методы исследования. Используются асимптотические методы и аппарат эллиптических функций.

Структура и объем работы. Диссертационная работа состоит из введения, трех глав, заключения, списка литературы из 63 наименований.

В введении приводятся обоснование актуальности темы, цель исследования, методы исследования, теоретическая и практическая ценность, новизна работы, положения, выносимые на защиту.

В первой главе рассматривается движение пассивно грави-тирующей точки Р под действием притяжения центральной точки Р0 и возмущающей Р' массы р, « 1. Центр прямоугольной

системы координат, ось ОХ которой направлена в перицентр орбиты I", совмещается с Р(г Большая полуось орбиты Р' прине-мается за единицу длины, массу Р0 — за единицу масс, а единицу измерения времени подбирается так, чтобы гравитационная постоянная была равна единице. Для кеплеровских элементов орбиты Р используются обычные обозначения, а элементы Р' отмечены штрихом. Предполагается, что в начальный момент времени выполняется равенство

где пи п' — средние движения Р и Р' соответственно, причем п> п' (внутренний вариант), а к — кратность резонанса (условие

СОДЕРЖАНИЕ РАБОТЫ

(1)

резонанса первого порядка).

После приведения уравнений движения к каноническому виду используется метод Цейпеля с точностью до величин первого порядка по ц (для небольших эксцентриситетов орбиты Р). После ряда канонических преобразований задача аналитического описания элементов орбиты Р свелась к интегрированию канонической системы

dx дН dy дН

— =-, — = -- (2)

dv ду dx дх

с гамильтонианом

Н = (х2 +у2)2 + А(х2 +у2) + Ях (3)

относительно переменных х, у, связанных с кеплеровскими элементами орбиты

д; = -Jlu cos v, у = л/2и sin v, (4)

f \2 2

2 и =

е

—со sa>+ N

кЕ

е • 2 + 7Tsm со,

п,

г

—sin«

y = (k + \)l'-k(co + l)-arctg- Е

е

N + —со $со Е

где А, В зависят от коэффициентов Лапласа и их производных, т = / — /0), константа В1 выражается через параметр ц и

кратность резонанса k, Е

эффициент Шубарта. 4

(* + 1) 11/6

"л/1+ М

, N - -Je' — ко-

Затем последовательно находятся решения системы (2) через эллиптические функции Вейерштрасса. В конце главы описан метод получения явных выражений для элементов орбиты Р.

Во второй главе главе исследуются частные решения системы (2) — стационарные решения, определяемые уравнениями

-- — -О 5

дх ду

или

4х3 + 2Ах + 5 = 0, у=о. (6)

Если дискриминант первого уравнения (6) А = -(8Л3 + 21 В2) больше нуля, то существуют три действительных решения (6); если А < 0 х2, х3 будут мнимыми комплексно-сопряженными

корнями. При А > 0 стационарные точки (Х2,0) и (х,,0) являются устойчивыми по Ляпунову, а точка (х3,0) — неустойчива; при А <0 точка (х,,0) устойчива по Ляпунову, точки (Х2,0) и (х3,0) — неустойчивы.

Ввиду явной независимости гамильтониана (4) от времени существует первый интеграл системы (2) вида

Н+ С = 0. (7)

Определение стационарных решений (2) и существование интеграла (7) непосредственно позволяет проводить построение фазовых траекторий, порождаемых этой системой. В зависимсти от значения С выделено 4 типа фазовых траекторий.

В данной главе получены явные выражения для эволюции стационарных решений элементов орбит и проведены каче-

ственные исследования орбитальных элементов.

В третьей главе полученные результаты применяются к конкретной системе: астероидам группы Гильды (соизмеримость 3:2 с Юпитером). Элементы орбит плоской составляющей группы Гильды были пересчитаны относительно плоскости орбиты Юпитера. В конце главы дана таблица, где приводятся результаты вычислений следующих эволюционных характеристик орбит астероидов: периодов изменения большой полуоси и эксцентриситета; пределов изменения большой полуоси и эксцентриситета за период (2Ш); векового движения линии апсид.

В заключении приведены основные результаты работы:

1) установлено аналитическое решение уравнений движения пассивно гравитирующего тела в плоской эллиптической ограниченной задаче трех тел при резонансах первого порядка;

2) проведена классификация типов решений;

3) исследованы стационарные решения и их устойчивость по Ляпунову;

4) проведены качественные исследования элементов орбиты пассивно гравитируюшего тела и получены явные выражения для их эволюции;

5) результаты аналитических исследований практически применены к астероидам группы Гильды (соизмеримость 3:2 с Юпитером).

Научная новизна работы состоит в том, что все перечисленные результаты впервые получены автором.

На защиту выносятся следующие положения:

1. Получение аналитического решения уравнений движения пассивно гравитирующего тела в плоской эллиптической ограниченной задаче трех тел при резонансах первого порядка.

2. Классификация типов решений.

3. Исследование стационарных решений и их устойчивости по Ляпунову.

4. Получение явных выражений для эволюции всех элементов орбит пассивно гравитируюшего тела.

АПРОБАЦИЯ РАБОТЫ

Все основные результаты работы неоднократно докладывались на ряде научных семинаров: семинар по классической механике при мех-мате МГУ, семинар кафедры астрономии МИИГАиК, семинар кафедры теоретической механики МФТИ, совет по небесной механике ГАИШ МГУ.

Основное содержание диссертации полностью отражено в пяти опубликованных работах:

1. Эволюция резонансных астероидных орбит I типа// Космические исследования, 1989, 1.21, вып.5, с.782—785 (соавтор И.А. Герасимов).

2. Устойчивость орбиг малых планет внешней части кольца астероидов// Вестник Моск. ун-та. Физ., астрон., 1990, т.31, № 3, с.72—75 (соавтор И.А. Герасимов).

3. Эволюция орбит резонансных объектов в случае эллиптической задачи трех тел// Космические исследования, 1991, т.29, вып.З, с.484—487 (соавтор И.А. Герасимов).

4. О коэффициенте Шубарта в задаче трех тел// АЦ АН РФ, 1994, № 1556, с.29-30.

5. Качественные исследования движений в ограниченной эллиптической задаче трех тел при соизмеримости первого порядка// Астрон. вестн., 1994, № 4—5, с. 186—200 (соавторы И.А. Герасимов, Б.Р. Мушаилов).

В работах [1,2,3,5] личный вклад диссертанта заключается в интерпретации аналитических решений и проведении численных расчетов на ЭВМ.