Экстремальные свойства функций Ляпунова на устойчивых резонансных решениях в небесной механике тема автореферата и диссертации по астрономии, 01.03.01 ВАК РФ

РГ6 од

МОСКОВСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ УНИВЕРСИТЕТ имени М.ВЛОМОНОСОВА

механико-математический факультет

На правах рукописи УЛК 531.13/36

ШИНКИН Владимир Николаевич

ЭКСТРЕМАЛЬНЫЕ СВОЙСТВА ФУНКЦИЙ ЛЯПУНОВА НА УСТОЙЧИВЫХ РЕЗОНАНСНЫХ РЕШЕНИЯХ В НЕБЕСНОЙ МЕХАНИКЕ

Специальность: 01.03.01 - астрометрия и небе си ая ыехашпеа

Автореферат диссертации на соискание ученой степени доктора физико-математических наук

Москва 1993

Работа выполнена в Московском государственном университете имени М.ВЛомоносова на механико-математическом факультете.

Официальные оппоненты:

Доктор физико-математических наук,

профессор Е.А.Гребеников

Доктор физико-математических наук,

профессор Ю.А.Рябов

Доктор физико-математических наук,

профессор М.С.Яров-Яровой

; ¡. ч

Ведущее предприятие:

Институт теоретической астрономии Российской академии наук

Защита состоится -В- 05 " 199 ь г. в 14 час. на заседании специализированного совета Д 053.0551 при Московском государственном университете им. М.ВЛомоносова.

Адрес: 119899, Москва В-234, Университетский' проспект,' 13.

С диссертацией можно ознакомиться в библиотеке Государственного астрономического института им. П.К.Штернберга при МГУ (Москва, Университетский проспект, 13).

Автореферат разослан " 199 ^г.

Ученый секретарь специализированного совета, кандидат физ.-мат. наук

Л.Н.Бондаренко

ОБЩАЯ ХАРАКТЕРИСТИКА РАБОТЫ

Актуальность темы. Одной из фундаментальных проблем небесной механики является поиск и исследование устойчивых решений рассматриваемых задач. Такие решения представляют огромный пракгический интерес для изучения и освоения космического пространства. Многие научные результаты (Н.Г.Четаев, А.М.Молчанов, М.Овенден, А.Рой, Т.Фиджин, О.Графф, Дж.Хиллс и другие) показывают, что среди устойчивых орбит в небесной механике очень много резонансных (в том числе периодических и условно-периодических) орбит. Большое число резонансных соотношений в движениях больших планет, астероидов, спутников планет и частии колец Сатурна в Солнечной системе свидетельствует об их исключительной роли в судьбе последней.

Важной прикладной задачей небесной механики является планетная задача многих тел. За несколько столетий в общем случае задачи многих тел аналитически проинтегрированы только задача двух тел (И.Ньютон) и задача двух неподвижных центров (Л.Эйлер). Поэтому первым шагом качественного исследования задачи многих тел обычно является процедура осреднения исходных систем дифференциальных уравнений по быстрым переменным, которая может упростить исходную систему и понизить ее размерность. Однако в резонансном случае классические асимптотические методы интегрирования задач небесной механики сталкиваются с трудно преодолимой проблемой "малых знаменателей" (А.Н.Колмогоров, В.ИАрнольд, Ю.Мозер, А.И.Нейштадт, ЕА.Гребеников, ЮА.Рябов и другие), связанных с острой соизмеримостью средних движений небесных тел.

С другой стороны, число известных аналитически интегрируемых вариантов осредненной задачи треч тел даже з нерезонансном случае исчисляется единицами (ЖЛагранж, Г'.Хилл, НД.Моисеев, Е.П.Аксенов, МЛ.Вашковьяк и другие). Еще сложнее обстоит дело с резонансными случаями осредненных задач трех и многих тел. В настоящее время среди них наиболее подробно изучен резонансный случай осредненной ограниченной круговой задачи трех тел (8.Реггаг-Ме11о, Д.Непгагс!, А-ЬетаИге, ИА.Гераеимов и другие). Резонансный случай осредненных

неограниченной и ограниченной эллиптической задач трех тел аналитически исследован значительно меньше.

Пока основными методами исследования резонансного случая осреднснной задачи многих тел служат численные методы, так как общего аналитического метода построения их решений неизвестно. Однако применение численных методов в резонансном случае на большом интервале времени малоэффективно из-за наличия быстрых (в том числе резонансных) и медленных (вековых) переменных, которое приводит к быстрому нарастанию погрешности численного счета со временем, к необходимости выбора маленького шага интегрирования и к очень большому времени счета. Поэтому исключительно важными в небесной механике являются проблема обоснования процедуры осреднения многочастотных гамильтоновых систем при резонансе, проблема поиска их устойчивых резонансных, решений и проблема построения новых интегрируемых случаев осредненной задачи многих тел при резонансе.

Вышесказанное и определяет чрезвычайную актуальность обсуждаемых в диссертационной работе проблем.

Цель работы состоит в построении осредненных уравнений движения в задачах небесной механики вблизи резонансной поверхности; в поиске, аналитическом и численном исследовании свойств их устойчивых резонансных решений.

Объект и метолы исследования. Объектом исследования работы являются задачи небесной механики, описывающие поступательное и вращательное движение небесных тел - задачи движения спутника относительно центра масс, движущегося вблизи точки либрации задачи трех тел; задачи трех тел при двухчастотном резонансе первого и второго порядков и задачи многих тел при трехчастотном резонансе нулевого порядка.

Методы исследования состоят в использовании экстремальных свойств функций Ляпунова, постоянных на решениях исходной системы уравнений, условно-периодическим образом зависящих от времени и периодических по чаегги переменных, для поиска устойчивых резонансных

решений; в использовании канонических замен переменных для вывода осредненных уравнений движения тел вблизи резонансной поверхности; в использовании аналитических методов интегрирования нелинейных систем дифференциальных уравнений, имеющих дополнительные первые интегралы движения.

Научная потока и практическая ценность. Научная новизна работы состоит в аналитическом обосновании нового метода построения устойчивых резонансных решений с помощью их экстремальных свойств; в обосновании процедуры осреднения многочастотных гамильтоновых систем при резонансе с помощью метода Хори-Депри; в выводе и аналитическом интегрировании новых осредненных уравнений движения в задаче тре.х тел вблизи резонансной поверхности при двухчастотных резонансах первого и второго порядков и в задаче многих тел при трехчастотном резонансе нулевого порядка.

Практическая ценность работы состоит в реальной возможности использования полученных новых методов поиска устойчивых резонансных решений и аналитических результатов по оценке их области устойчивости при выборе траектории в различных космических проектах по изучению движения и физических свойств больших планет Солнечной системы, спутников планет, кольца астероидов и колец, Сатурна.

Апробация работы. Основные результаты работы докладывались на Всесоюзной конференции по асимптотическим методам _ в теории сингулярно-возмущенных уравнений (Алма-Ата, 1979); на конференциях молодых ученых ф-та вычислительной математики и кибернетики Моск. госуд. ун-та им. М.ВЛомоносова (1979-1982); на IX Международной конференции по нелинейным колебаниям (Киев, 1981); на всесоюзной конференции "Методы малого параметра и их приложение" (Минск, 1982); на IX Школе- по теории операторов в функциональных пространствах (Тернополь, 1984); на VI всесоюзной конференции "Качественная теория дифференциальных уравнений" (Иркутск, 1986); на III Уральской региональной конференции "Функционально-дифференциальные уравнения и их приложения" (Пермь, 1988); на всесоюзной конференции "Устойчивость и управление сложных систем"

(Казань, 1988); на республиканском научно-техническом семинаре "Машинные методы в задачах механики, устойчивости и управления" (Казань, 1990); на научном семинаре проф. М.М.Хапаева (ф-т ВМК МГУ, 1979-1991); на научном семинаре проф. ЕА.Гребеникова (ВЦ МГУ, 1979); на научном семинаре проф. С.А Ломова (МЭИ, 1980); на научном семинаре проф. А.П.Маркеева (МАИ, 1976); на научных семинарах Института физико-технических проблем (1980-1991); на научном семинаре проф.. В.В.Козлова (мех.-мат. ф-т МГУ, 1991-1992); на научном семинаре проф. В.ГуЦемина (мех.-мат. ф-т МГУ, 1991); на совете по небесной механике в ГАИШ им. П.К.Штернберга (1991-1992).

Публикации. Основные результаты диссертации опубликованы в научных статьях [1-16].

Объем и структура работы. Диссертационная работа состоит из введения, 6 глав, заключения и списка литературы (221 наименование), содержит 199 страниц машинописного текста, в том числе'17 рисунков.

СОДЕРЖАНИЕ РАБОТЫ

Во ввелеиин дается общая постановка и предыстория проблемы об устойчивости резонансных решений в небесной механике и кратко излагается содержание работы.

Первая глава диссертации посвящена исследованию на устойчивость резонансных решений условно-периодических по времени систем дифференциальных уравнений с помощью экстремальных свойств функций Ляпунова, постоянных на решениях исходной системы, условно-периодических по времени и периодических по части переменных. Рассмотрен метод построения таких функций Ляпунова в виде функционала типа среднего.

Проблема связи экстремальных свойств функционала среднего с существованием и устойчивостью резонансных решений имеет важное теоретическое и прикладное значение в задачах устойчивости по

A.МЛяпулову и методе осреднения НлМ.Крылова-Н.Н.Боголюбова. Еще в конце прошлого века А.Пуацкаре, изучая периодические решения гамильтоновых систем с малым параметром у. , показал, что достаточным условием их существования является экстремум среднего от возмущенной части гамильтониана, вычисляемого вдоль решений порождающей системы ^=0) . Связь устойчивых орбит с резонансными (в том числе периодическими и условно-периодическими) орбитами также отмечали многие другие ученые. НГ.Четаев выдвинул гипотезу "о квантовании устойчивых орбит в динамике'. А.М.Молчанов

сформулировал гипотезу о том, что "эволюционно зрелые колебательные системы неизбежно резонансны, а их строение задако, подооно квантовым системам, набором целых чисел". А.Рой и М.Овенден, изучая причину существования большого числа почти точных соизмеримостей в средних движениях больших планет и спутников в Солнечной системе, показали, что таких соизмеримостий наблюдается слишком много, чтобы их можно было считать случайными. Дж.Хиллс путем численного интегрирования показал, что планетные системы в результате взаимодействия их элементов стремятся прийти в квазиустойчивые состояния,' в которых периоды соседних орбит оказываются почти соизмеримыми. Развивая теорему А.Пуанкаре, Р.Басс получил абстрактную теорему, которую несколько лет позднее в 1974 г. М.Овенден применил к спутниковым системам и назвал "принципом наименьшего взаимодействия". Принцип М.Овендена связывает экстремальные свойства функционала среднего, вычисляемого вдоль истинного решения исходных систем от возмущающей функции, с устойчивыми резонансными решениями. Этот принцип хорошо согласуется с реальным движением резонансных спутников Урана и Юпитера.

В более позднем численном эксперименте 1976 г. это было сделано

B.В.Белецкчм и А.Н.Шляхтиным в задаче движения спутника относительно центра масс, движущегося по эллиптической орбите вокруг притягивающего центра. В работе 1980 г. В.В.Белецкого и Г.В.Касаткина эти результаты развивались длг. систем несколько более общих чем гамильтоновы (для систем с сохранением фазового объема) в дополнительном предположении, необходимым и достаточным условием выполнения которого является существование в области начальных

данных компакта положительной меры, отображающегося за период в самого себя. Условия существования такого компакта не обсуждались.

В работе В.В.Козлова 1982 г. было показано, что переставляя в определении среднего операции осреднения по времени и дифференцирования по начальным данным, можно придать результату А.Пуанкаре об обращении в ноль производной от среднего на траекториях невырожденных периодических движений содержательный смысл в случае, когда среднее разрывно или вообще неопределено.

В работе автора 1980 г. для периодических по времени систем обыкновенных дифференциальных уравнений было доказано, что среднее является функцией Ляпунова для решений, на которых достигаются его экстремальные свойства, а его экстремальные значения соответствуют устойчивым резонансным решениям. Для автономных по времени систем автором было доказано, что экстремальные свойства функции Ляпунова, построенной в виде функционала типа среднего, достигаются на орбитально устойчивых резонансных решениях.

В §1 даются общее математическое описание условно-периодических по времени систем дифференциальных уравнений, определения резонансносги и устойчивости их решений.

В §2 исследуется устойчивость резонансных решений условно-периодических по времени сна ом дифференциальных уравнений.

Для условно-периодических ш времени систем дифференциальных уравнений доказана теорема об устойчивости и резонансносги их решений, на которых достигаются экстремальные свойства функции Ляпунова, постоянной на решених.1 исходной системы, условно-периодической по времени и периодической по части переменных.

В §3 дано определение функционала среднего, вычисляемого от некоторой функции вдоль решений исходных систем дифференциальных уравнений.

Доказаны леммы о том, что функционал среднего, вычисляемый вдоль решений исходных систем, постоянен на решениях этих систем, условно-периодическим образом зависит от времени и периодичен по части переменных.

Рассмотрен вопрос о построения функции Ляпунова с помощью

б

Функционала среднего. Для случая существования функционала среднего доказано следствие, в котором функция Ляпунова строится в виде функционала среднего.

В §4 получены уравнения движения спутника относительно центра масс, движущегося вблизи треугольной и коллинеарной точки либрации задачи трех тел. С помощью экстремальных свойств функции Ляпунова, построенной в виде функционала среднего от силовой функции, найдены и исследованы на устойчивость резонансные движения спутника с произвольным эллипсоидом инерции.

Вторая глава диссертации посвящена исследованию устойчивости резонансных решений систем дифференциальных уравнений с малым параметром ц и потенциальными силами с помощью экстремальных свойств функционала среднего, вычисляемого вдоль решений порождающей системы (^=0).

Проблема связи экстремальных свойств такого функционала с существованием устойчивых резонансных решений исходных систем (м^О) изучалась в большом числе научных работ (А.Пуанкаре, М.Овенден, Т.Фиджин, О.Графф, И.И.Блелман, Б.ПЛавров, К.Г.Валеев и другие). Отличительной особенностью этого случая является то, что выбор осредняемой функции не может быть произвольным и зависит от формы записи исходной системы уравнений (уравнений Гамильтона, Лагранжа и так далее) и функций, с помощью которых эта форма записывается.

В §1 для гамильтоновых систем с мал мм параметром ц изучены свойства функционала среднего, вычисляемого вдоль решений порождающей системы {¡л =0). Рассмотрены новые свойства функционала среднего, связанные со скобкой Пуассона двух функций и первообразной исходной осредняемой функции. Доказана лемма о периодичности по времени и чаши переменных функционала среднего от первообразной периодической функции с нулевым средним.

В §2 исследуется устойчивость резонансных решений гамильтоновых систем с малым' параметром у. .

Доказана теорема об устойчивости и резонансности решений гамильтоновой системы с малым параметром р. , на которых достигаются экстремальные свойства некоторого функционала среднего, вычисляемого вдоль решений порождающей системы {у. =0).

С помощью варианта канонического преобразования Хори-Депри построено явное аналитическое выражение этого функционала по степеням малого параметра у. до членов порядка у? включительно. В первом приближении по малому параметру у этот функционал среднего равен функционалу среднего от возмущенной части функции Гамильтона исходной системы (у £0).

Доказано следствие о нахождении точных начальных значений устойчивых резонансных решений исходной системы с помощью экстремальных свойств этого функционала среднего.

Показана согласованность полученных результатов об устойчивости резонансных решений с экстремальным критерием АЛуанкаре о существовании периодических решений и "принципом наименьшего взаимодействия" М.Овендена для задачи многих тел.

В §3 исследована устойчивость резонансных решений уравнений Лагранжа второго рода с малым параметром у и потенциальными силами.

Доказана теорема об устойчивости и резонансносги решений исходной системы уравнений Лагранжа с малым параметром и. , на которых достигаются экстремальные свойства некоторого функционала среднего, вычисляемого вдоль решений порождающей системы [у =0).

Построено явное аналитическое выражение этого функционала по степеням малого параметра у до членов порядка включительно. В первом приближении по малому параметру у этот функционал среднего равен функционалу среднего от возмущенной части функции Лагранжа исходной системы {¡х =¿0).

Доказано следствие о нахождении точных начальных значений устойчивых резонансных решений исходной системы с помощью экстремальных свойств этого функционала среднего.

Проведено сравнение лолуенных результатов с результатами работ И.И.Блехмана, БЛЛаврова, К.Г.Валеева и других, предлагающих вычислять функционал среднего от всей функции Лагранжа,

В §4 исследована устойчивость решений систем с потенциальными силами и короткопериодическими по времени коэффициентами. Доказана теорема об устойчивости решений этих систем, на которых достигаются экстремальные свойства среднего по явно входящему времени от

некоторой функции. Построен явный аналитический вид этого среднего.

Третья глава диссертации посвящена обоснованию процедуры осреднения многочастотных гамильтоновых систем с малым параметром у. при резонансе с помощью метода Хори-Депри. Этот результат применен при осреднении в резонансном случае задачи многих тел.

- Получен гамильтониан осредненной задачи многих тел.

Разложение гамильтониана задачи многих тел в ряды Фурье по долготам планет, эксцентриситетам и наклонностям орбит планет содержит большое число нелинейных короткопериодических членов и непригодно для качественного исследования движения планет. Значительно упростить исходную задачу можно с помощью осредняющей замены переменных, уничтожающей в исходном гамильтониане короткопериодические члены. Различные схемы осреднения и их варианты в задаче многих тел предлагали многие выдающиеся механики прошлого (К.Гаус, КДелоне, Г.Хилл, П.Фату), а также известные ученые современности (НД.Моисеев, Н.Ф.Рейн, 5.Реггаг-Ме11о, КБатрБОп, В.Ма^еп и другие). Однако в резонансном случае, когда среднии движения планет имеют целочисленные соизмеримости между собой, осредненный гамильтониан разрывен по медленным переменным (пропорциональным корню га больших полуосей планет), а осредняющая замена переменных содержит "малые знаменатели". Поэтому осреднение многочастотных гамильтоновых систем при резонансе в небесной механике становиться проблематичным.

В §1 рассмотрен прием канонического непрерывного по медленным переменным осреднения многочастотных гамильтоновых систем, решения которых 'Застревают" в малой окрестности резонансной поверхности, с помощью метода Хори-Депри. Именно эта ситуация наблюдается в задаче многих тел при резонансе. Осреднение многочастотных систем, решения которых "не застревают" вблизи резонансных точек, рассматривалось в большом количестве работ (В.ИАрнольд, А.И.Нейштадт, ЕА.Гребеников, ЮАРябов, М.М.Хапаев, Н.И.Попова и другие) и связано с условиями на частоты порождающей системы, обеспечивающими быстрое "проскакивание" резонансных поверхностей.

В §2 доказаны леммы, позволяющие оценить малые знаменатели и малость части резонансных членов в осредненном гамильтониане.

Показано, что в задаче трех тел при резонансах первого и второго порядков между средними движениями планет предложенная схема осреднения дает относительную погрешность порядка 10~65. Отметим, что время существования Солнечной системы имеет порядок 5-109 лет, а отношение массы песчинки к массе Солнца имеет порядок ДО"40.

В §3 получен гамильтониан осредненной задачи многих тел вблизи резонансной поверхности до членов второго порядка по эксцентриситетам и наклонностям орбит включительно, дана оценка малости отброшенных членов.

В §4 получены оценки отклонения тел при их движении от резонансной поверхности в задаче многих тел. Рассмотрены случаи -неограниченная и ограниченная планетные задачи многих тел.

Четвертая глава диссертации посвящена исследованию устойчивости решений в неограниченной и ограниченной планетных задачах многих тел при трехчастотном резонансе нулевого порядка p:(-(p+q)):q. Острые трехчастотные резонансы наблюдаются в средних движениях астероидов, Юпитера и Сатурна; спутников Юпитера и Урана. Они играют важную роль в образовании десятков люков Кирквуда в поясе астероидов и сотен щелей з кольцах Сатурна.

В §1 с помощью второго приближения по малому параметру (равного v отношению суммы масс планет к массе центрального тела) метода Хори-Депри получены осредненные уравнения движения в неограниченной планетной задаче многих тел вблизи резонансной поверхности.

Доказана теорема об устойчивости их резонансных решений. Получены аналитическое условие либрации резонансной фазы, аналитические оценки на ширину области либрации больших полуосей и период либрации трехчастотной резонансной фазы. Результаты исследований применены к движению спутников Юпитера (Ио. Европа и Ганимед) и Урана (Миранда, Ариэль и Умбриэль).

В §2 получены осредненные уравнения движения в ограниченной планетной задаче многих тел вблизи резонансной поверхности и исследована их устойчивость. Результаты исследований применены к движению астероидов (Nyanza, Regina, Haidea, Valeska, Leuschneria, Pales,

iu

Chryseis и Franklina), находящихся с точностью до 5" в трехчасготном резонансе 1:(-3)2 с Юпитером и Сатурном.

В §3 получены оценки на величину возмущающих функций от центрального тела (например, Солнца) и от величины сжатия планеты, движущейся вокруг центрального тела, для случая движения спутника вокруг планеты.

Пятая глава диссертации посвящена исследованию устойчивости решений в неограниченной и ограниченной эллиптической планетных задачах трех тел при двухчастотном резонансе первого порядка j:(j+l).

Двухчастотные резонансы первого порядка играют особую роль среди всех резонансов в Солнечней системе. Они наиболее часто встречаются в движениях небесных тел и имеют самую большую область устойчивости. В Солнечной системе в резонансе 23 движутся большие планеты - Нептун и Плутон. Астероид Туле имеет резонанс первого порядка 3:4 с Юпитером. Астероиды группы Гильды (Hilda, Brouwer, Venusia и другие) имеют резонанс 23 с Юпитером. Резонанс 1 2 в средних движениях астероидов с Юпитером соответствует люку Кирквуда. В этом резонансе движутся астероиды группы Гекубы (Hecuba, Griqua, Mauritia и другие). Спутники Сатурна Мимас и Тефия, Энцелад и Диона движутся в резонансе 12, а Титан и Гиперион - в резонансе 23. Спутники Урана Умбршль и Титания движутся вблизи резонанса 1:2, а Титания и Оберон - вблизи р>езонанса 23. Щель Кассини в кольце Сатурна соответствует резонансу 12 со спутником Сатурна Мимасом.

Пока основными методами исследования задачи трех тел при резонансах первого и второго порядков являются численные методы. Отметим здесь работы S.Ferraz-Mello, LHenrard, A.Lemaitre, Y.Kozai, J.Wisdom, M.Sidlichovsky, J.Hills, M.Ovenden, A.Roy, ЕАХребеникова, ЮА.Рябова, С.В.Миронова, М.Н.Киоссы, МА.Вашковьяха. Ограниченная круговая задача трех тел подробно исследована И .А .Герасимовым.

В §1 получены осредненные уравнения движения тел вблизи резонансной поверхности в неограниченной планетной задаче трех тел, которые аналитически проинтегрированы в квадратурах. Аналитически исследована устойчивость движения тел около резонансной поверхности. Няйггена условно-периодическая зависимость осредненного движения тел

от времени с двухчастотным базисом. С помощью функционалов среднего, вычисленных в явном виде от эксцентрических переменных вдоль решений исходных систем, получены аналитические условия либрации резонансных фаз. Результаты исследования применены к резонансному движению больших планет - Нептуна и Плутона (резонанс 2 3).

В §2 получены осредненные уравнения и аналитически исследована устойчивость движения тел во внутреннем варианте ограниченной эллиптической планетной задачи трех тел при двухчастотном резонансе первого порядка. Результаты исследований применены к движению резонансных с Юпитером астероидов - Туле (резонанс 3:4), группы Гильды (Hilda, Brouwer, Venusia; резонанс 23) и группы Гекубы (Hecuba, Griqua, Mauritia; резонанс 12).

В §3 получены осредненные уравнения и аналитически исследована устойчивость движения тел во внешнем варианте ограниченной эллиптической планетной задачи трех тел при двухчастотном резонансе первого порядка.

Шестая глава диссертации посвящена исследованию устойчивости решений в неограниченной и ограниченной эллиптической планетных задачах трех тел при двухчастотном резонансе второго порядка j:(J +2).

В Солнечной системе двухчастотные резонансы второго порядка наблюдаются реже, чем двухчастотные резонансы первого порядка. Это объясняется тем, что область устойчивости при резонансе вгоро~о порядка на порядок меньше области устойчивости при резонансе первого порядка. Резонансы второго порядка 13 и 3:5 б средних движениях астероидов с Юпитером соответствуют люкам Кирквуда. В резонансе 13 с Юпитером движутся астероиды группы Гестии (Hestia, Alinda, Eulalia, Danubia и другие). Спутники Урана Умбргаль и Оберон движутся вблизи резонанса 13. Резонансы второго порядка 13 со спутниками Сатурна Мимас, Энцелад и Тефия соответствуют щелям в кольцах Сатурна.

В §1 получены осредненные уравнения движения в планетной задаче трех тел при двухчастотном резонансе второго порядка в случае, когда относительные скорости изменения эксцентриситетов и наклонностей орбит планет равны по порядку относительной скорости

изменения резонансной фазы. Уравнения движения не содержат малых параметров и могут быть численно проинтегрированы на больших интервалах времени (порядка 100 тысяч лет). Рассмотрены случаи -неограниченная планетная задача трех тел, внутренний и внешний варианты ограниченной эллиптической планетной задачи трех тел. Результаты исследований применены к резонансному движению астероидов группы Гестии (Hestia, Alinda, Eulalia, Danubia), движущихся в люке Кирквуда кольца астероидов в резонансе с Юпитером. Для кругового случая (e¡ =0) осредненной пространственной неограниченной планетной задачи трех тел, внешнего и внутреннего вариантов кругового случая (c¡ =е2=0) осредненной пространственной ограниченной планетной задачи трех тел, внешнего (е^Ю, ej #0) и внутреннего (ei/0, е2=0) вариантов осредненной плоской ограниченной круговой планетной задачи трех тел при резонансе второго порядка получены аналитические условия либрации резонансной фазы.

В §2 получены осредненные уравнения движения в планетной задаче трех тел при двухчастотном резонансе второго порядка в случае, когда относительные скорости изменения эксцентриситетов и наклонностей орбит планет много больше относительной скорости изменения резонансной фазы. Рассмотрены случаи - неограниченная планетная задача трех тел, внутренний и внешний варианты ограниченной эллиптической планетной задачи трех -тел. В этом случае гамильтониан ссредненных уравнений движения есть однородный полином второй степени относительно второй канонической системы элементов Пуанкаре, коэффициенты которого периодическим" образом зависят от времени. Поэтому структура и устойчивость решений могут быть аналитически исследованы с помощью теоремы Флоке для линейных систем с периодическими коэффициентами.

В §3 получены осредненные уравнения движения в планетной задаче трех тел при двухчастотном резонансе второго порядка в случае, когда относительные скорости изменения эксцентриситетов и наклонностей орбит планет много меньше относительной скорости юменения резонансной фазы. Рассмотрены случаи - неограниченная планетная задача трех тел, внутренний и внешний варианты ограниченной эллиптической планетной задачи трех тел. Получены

аналитические условия либрации резонансной фазы. Результаты исследований применены к движению больших планет (Нептун и Плутон, резонанс 23) и астероидов групп Гильды (резонанс 2:3), Гекубы (резонанс 1:2) и Гесгии (резонанс 1:3).

Заключение диссертации содержит перечисление новых научных результатов, полученных автором.

НА ЗАЩИТУ ВЫНОСЯТСЯ СЛЕДУЮЩИЕ НОВЫЕ НАУЧНЫЕ РЕЗУЛЬТАТЫ:

1. Вывод осредненных уравнений движения в неограниченной и ограниченной планетных задачах многих тел вблизи резонансной поверхности при трехчастотном резонансе нулевого порядка Р:(-(Р+Я))Ч.

Аналитическое исследование устойчивости их резонансных решений. Аналитическое условие либрации резонансной фазы. Аналитические оценки на ширину области либрации больших полуосей и период либрации трехчастотной резонансной фазы.

2. Вывод осредненных уравнений движения тел вблизи резонансной поверхности в неограниченной и ограниченной эллиптической планетных задачах трех тел при двухчастотном резонансе первого порядка .¡:(]+1).

Аналитическое интегрирование и квадратурах осредненных уравнений и исследование устойчивости движения тел вблизи резонансной поверхности. Доказательство условно-периодической зависимости осредненного движения тел от времени с двухчастотным базисом и аналитическое вычисление частот базиса. Аналитические условия либрации резонансных фаз.

3. Вывод осредненных уравнений движения в неограниченной и ограниченной эллиптической планетных задач трех тел при двухчастотном резон? нее второго порядка ¿С+2).

Аналитические условия либрации резонансной фазы для кругового случая (е1=е2=0) осредненной пространственной неограниченной планетной задачи трех тел, внешнего и внутреннего вариантов кругового случая (ех=е2=0) осредненной пространственной ограниченной планетной

задачи трех тел, внешнего (е| =0, е2#0) и внутреннего (е1#0, ет=0) вариантов осредненной плоской ограниченной круговой планетной задачи трех тел при резонансе второго порядка.

Вывод осредненных уравнений движения в неограниченной и ограниченной эллиптической планетных задачах трех тел при двухчастотчом резонансе второго порядка У-(]+2) в случае, когда относительные скорости изменения эксцентриситетов и наклонностей орбит планет много больше относительной скорости изменения резонансной фазы. Приведение гамильтониана осредненных уравнений движения к однородному полиному второй степени относительно второй канонической системы элементов Пуанкаре с периодическими по времени коэффициентами, структура и- устойчивость решений которых может быть аналитически исследована с помощью теоремы Флоке.

Вывод осредненных уравнений движения в неограниченной и Ч. ограниченной эллиптической планетных задачах трех теп при двухчастотном резонансе второго порядка .)Х]'+2) в случае, когда относительные скорости изменения эксцентриситетов и наклонностей орбит планет много меньше относительной скорости изменения резонансной фазы. Аналитические условия либрации резонансной фазы.

4. Новый непрерывный по медленным переменным прием осреднения многочастотных гамильтомовых систем вблизи резонансной поверхности в задачах небесной механики.

Оценки малых знаменателей и малости части резонансных членов в осредненном гамильтониане.

5. Теоремы об устойчивости и резонансности решений гамильтоновых систем (систем уравнений Лагранжа второго рода и систем с потенциальными силами и короткопернодическими по времени коэффициентами) с малым параметром ¡г (равного в задаче многих тел отношению суммы масс планет к массе центрального тела), на которых достигаются экстремальные свойства некоторого функционала среднего, вычисляемого вдоль решений порождающей системы ^¿=0). Гостуоение явного аналитического выражения этого функционала по степеням малого параметра ц .

6. Доказательство устойчивости и резонансности решений условно-периодических по времени систем дифференциальных уравнений, на

которых достигаются экстремальные свойства функции Ляпунова, постоянной на решениях исходной системы, условно-периодической по времени и периодической по части переменных.

Метод построения функции Ляпунова с помощью функционала типа среднего, вычисляемого вдоль решений исходных систем.

Вывод уравнений движения спутника относительно центра масс, движущегося вблизи треугольной и коллинеарной точки либрации задачи трех тел. Исследование устойчивости резонансных движений спутника с произвольным эллипсоидом инерции с помощью функционалов среднего от силовой функции исходной задачи.

ПУБЛИКАЦИИ ПО ТЕМЕ ДИССЕРТАЦИИ

1. Шинкин В.Н. Об одном способе исследования на устойчивость вторым обобщенным методом Ляпунова с помощью численного счета.// Вестник Моск. госуд. университета, 1980. Серия вычисл. матем. и киберн.. N0 1. С36-43.

2. Шинкин ВЛ. О гюпсге устойчивых резонансных режимов и их экстремальных свойствах.// Сб.: Прикладная математика и математическое обеспечение ЭВМ. - М.: МГУ, 1980. С.24-26.

3. Шинкин В.Н. О поиске устойчивых резонансных режимов с помощью их экстремальных свойств.// Вестник Моск. госуд. университета, 1981. Серия вычисл. матем. и киберн.. N2 2. С.23-29.

4. Шинкин В.Н. Об исследовании резонансных движений спутника относительно центра масс вблизи частных решений ограниченной задачи трех тел.// Сб.: Прикладная математика и математическое обеспечение ЭВМ. - М.: МГУ, 1981. С37-38.

5. Шинкин В.Н. Об исследовании устойчивости почти-периодических систем при резонансе четного порядка вторым обобщенным методом Ляпунова.// Сб.: Некоторые вопросы прикладной математики и программного обеспечения ЭВМ. -.М.: МГУ, 1982. С32-33.

6. Шинкин В.Н., Хапаев М.М. Об исследовании резонансных почти-периодических систем ' на устойчивость по части переменных.// Прикладная математика и механика, 198;''. Т.47. Вып.2. С.334-337.

7. Шинкин В.Н. Об исследовании движений спутника относительно

центра масс вблизи точки либрации.// IX Международная конференция по нелинейным колебаниям. • Киев: Наукова Думка, 1984. ТЗ. С303-305.

8. Шинкин ВН, Хапаев М.М. Экстремальные свойства функции Ляпунова на устойчивых резонансных режимах в многочастотном случае.// Дифференциальные уравнения, 1986. 722. N2 8. С.1463-1466.

9. Шинкин ВН. Об устойчивых многочасплных движениях спутника относительно центра масс, движущегося вблизи лагранжевой точки либрации.// Межвуз. сб.: Устойчивость и управление сложных систем. - Казань: КАИ, 1988. С.18-21.

10. Шинкин В Л. Об устойчивых резонансных поверхностях в задаче многих тел.// Сб.: Исследование динамических свойств распределенных сред. - М.: Институт физ.-техн. проблем АН СССР, 1989. С.82-86.

11. Шинхик ВН. Динамика движений в задаче трех тел при резонансе.// Сб.: Методы численного и математического моделирования многочасгичных систем. - М.: Институт физ.-техн. проблем АН СССР, 1989. С27-36.

12. Шинкин ВН. Динамика облических и эксцентрических переменных в задаче многих тел при резонансе.// Сб.: Прикладные аспекты анализа распределенных систем. - Мл Институт физ.-техн. проблем АН СССР, 1990. С.60-67.

13. Шинкин ВН. Критерий либрации в задаче трех тел при резонансе.// Межвуз. сб.: Устойчивость и управление. - Казань: КАИ, 1990. С20-26.

14. Шинкин ВН. Трехчастогный резонанс в планетной задаче многих тел.// Астрономический журнал, 1992. Т.69. < N2 3. С.649-654.

15. Шинкин ВН. Об интегрируемых случаях планетной задачи трех тел при резонансе первого порядка.// Космические исследования, 1992. Т30. Вып.4. С23-29.

16. Герасимов ИА, Шинкин ВН. Распространенность либрационных орбит во внешней части кольца астероидов.// Астрономический вестник, 1992. N0 б. С.79-83.