Об эволюции движений в осредненной задаче трех тел при резонансах тема автореферата и диссертации по механике, 01.02.01 ВАК РФ

МОСКОВСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ УНИВЕРСИТЕТ имени М.В.ЛОМОНОСОВА ыехвгако-матоматичвскнй факультет

РГ"Б ОД

На правах рукописи

ШИШШН Владимир Николаевич

ОВ ЭВОЛЮЦИИ ДВИЖЕНИЙ: В ОСРЕДНЕННОЙ ЗАДАЧЕ ТРЕХ ТЫ ПРИ РЕЗОНАНСА*

Специальность» 01.02.01 - теоретическая кехатка

Автореферат

диосартации на ооисканив уиной степени доктора физшсо-ыатематнчесюп няух

М о о к в а - 1995

Работа выполнена в Московском государственном институте стали и сплавов (технологический университет).

Офвциалыше оппоненты! Член-корреспондент РАН,

доктор физико-математических наук В.К.Адаланин Доктор физико-математических наук,

профессор В.Г.Да мин Доктор физико-математических наук,

профессор А.А.Хентов

Ведущее предприятие■ Институт теоретической астрономии РАН, г. Санкт-Петербург

Защита состоится "-£-"199&Г. в 16-00 час. на.заседании диссертационного совета Я 053.05.01 в Московском государственном университете им. М.В.Ломоносова по адресу; 119899, Москва, Воробьевы горы, МГУ, мех.-мат. ф-т, Главное здание, ауд. 16-10.

С диссертацией можно ознакомиться в библиотеке механико-математического факультета Московского государственного университета им. М.В.Ломоносова, '.Главное здание, 14 этаж.

Автореферат разослан

Ученый секретарь. диссертационного совета,

доктор физ.-мат. наук Д.В.Трещев

ОБЩАЯ ХАРАКТЕРИСТИКА РАБОТЫ

Актуальность тдиы. Одной иэ фундаментальных проблем небесной механики является поиск и исследование устойчивых решений исследуемых задач. Такие решения представляют огромный практический интерес для изучения и освоения космического пространства. Многие научные результаты СА.М.Молчанов, A.Roy, M.W.Qvenden, T.Feadgin, O.Graff, J.H.Hills и другие) показывают, что' устойчивыми орбитами в небесной механике будут резонансные (в том числе периодические и условно-периодические) орбиты. Большое число ' резонансных • соотношений в движениях больших планет, астероидов, спутников планет и частиц колец Сатурна в Солнечной системе свидетельствует об их исключительной роли в судьбе последней.

Важной прикладной задачей небесной механики является, планетная задача многих тел о движении N тел (планет) Pj,...,PN соответственно с массами m1,.,.,m(I относительно

дентального тела Р0 с массой т0 <п>к<<т0, к=1,Ю под действием сил взаимного тяготения. За несколько столетий в общем случае задачи многих тел проинтегрированы в квадратурах .только задача двух тел (И.Ньютон) и задача двух неподвижных центров СЛ.Эйлер). Поэтому первым шагом качественного исследования задачи многих тел (N^3) обычно является процедура осреднения короткопериодической части возмущающей функции, которая упрощает исходную задачу и понижает ее размерность.

С другой стороны, число известных интегрируемых в квадратурах вариантов осредненной задачи трех тел даже в нерезонансном случае исчисляется единицами (Ж.Лаг ран л, Г.Хипл, Н.Д.Моисеев, М.Л.Лидов, Б.П.Аксенов, М.А.Вошковьяк и другие). Здесь наиболее общим является результат К.Лвграняа, который проинтегрировал в квадратурах нереэонансную осредненную задачу трех тел с точность» до членов четвертых степеней по эксцентриситетам и наклонностям орбит планет. Намного сложнее обстоит дело с резонансными случаями • осредненной задачи трех тел. В настоящее время среди них наиболее подробно изучен резонансный случай осредненной

ограниченной круговой задачи трех тел (Б.Реггаа-Ме11о, И. Бе ззхп, Непгагс1, А. Ьетаз.Ъге, 3. На<и 2.с1етвЪг1ои и другие).. Резонансные случаи осредненных неограниченной и ограниченной эллиптической задач трех тел аналитически , исследованы очень слабо. Пока основными методами исследования осредненной задачи трех тел являются ~ численные методы, которые малоэффективны в резонансном случае на большом интервале времени. Поэтому целью работы является изучение исключительно важных в небесной механике проблем - проблемы аналитического- исследования эволюции движений в осредненной задаче трех тел при резонансах и проблемы построения новых интегрируемых резонансных случаев этой задачи с точностью до членов конечных степеней по эксцентриситетом и наклонностям орбит планет. Вышесказанное и определяет большую актуальность обсуждаемых в диссертационной работе проблем.

Объектом исследования работы являются осредленные задачи трех тел при двухчастотных резонансах первого, второго, третьего, четвертого и пятого порядков и осредненные задачи многих тел при трехчастотном резонансе нулевого порядка.

Методы исследования состоят в использовании канонических замен переменных для понижения степеней свободы исследуемых задач вблизи резонансной поверхности и методов интегрирования в квадратурах нелинейных дифференциальных уравнений, имеющих дополнительные первые интегралы движения.

Научная новизна работы состоит в получении новых случаев интегрирования в квадратурах уравнений движения в осредненной задаче трех тел при двухчастотных резонансах первого, второго, третьего, четвертого и пятого порядков и в осредненной задаче многих тел при трехчастотном резонансе нулевого порядка с точностью до членов конечных степеней по эксцентриситетам и наклонностям орбит планет.

. Практическая ценность работы состоит в реальной возможности использования полученных новых результатов при выборе траекторий в космических проектах по изучению движения и физических свойств больших планет Солнечной " системы, астероидов, спутников планет -и колец Сатурна и Урана.

Апробация работы. Основные результаты работы докладыва-

- г -

лись на конференциях молодых ученых ф-та Вычислительной математики и кибернетики Моск. госуд. . ун-та им. М.В.Ломоносова Сф-т ВНК МГУ, 1979-1982); на IX Международной конференции по нелинейным колебаниям (Киев, 1981);' на Всесоюзной конференции "Методы малого параметра и их приложение" (Минск, 1982); на VI Всесоюзной конференции "Качественная теория дифференциальных уравнений" (Иркутск, 1986); на III Всесоюзной конференции "Устойчивость и

управление сложных систем" (Казань, 1988); на Республиканском научно-техническом семинаре "Машинные методы . в задачах механики, устойчивости и управления" (Казань, 1990); на научном семинаре проф. М.М.Хапаева (ф-т ВМК МГУ, 1979-1993); на научном семинаре проф. А.П.Маркеева (МАИ, 1976); на научных семинарах Института физико-технических проблем (1980-1991); на координационном совете по небесной механике в ГАИШ им. П.К.Штернберга (1991-1993); на Первом Великолукском симпозиуме по прикладной небесной механике (Великие Луки, 1994); на научном семинаре акад. В.М.Матросова (ИПТ РАН, 1993); на научном семинаре проф. В.В.Козлова (ф-т Мех.-Мат. МГУ, 1991-1992); на научном семинаре акад. Т.М.Энеев»" и проф. В.В.Белецкого (ИПМ РАН, 1993); на научном семинаре проф. А-.Г.Сокольского (ИТА РАН, 1993,1995) с участием член-корр. РАН В.К.Абалакина; на научном семинаре проф. А.А.Хентова (ф-т ВМиК НГТУ, 1995); на научном семинаре проф. В.Г.Дэмина (ф-т Мех.-Мат. МГУ, 1991-1995); на научном семинаре ' проф. Ю.Ф.Голубева и В.В.Белецкого (ф-т Мех.-Мат. МГУ, 1995).

Публикации. Основные результаты диссертации опубликованы в научных статьях С1-22].

Объем и структуре работы. Работа состоит из введения, 7 глав, заключения и списка ' литературы (180 наименований), содержит 207 страниц текста, в том числе 18 рисунков.

СОДЕРЖАНИЕ РАБОТЫ

Во введения обосновывается актуальность проблемы, научная новизна и практическая ценность полученных результатов.

Пусть Хк,р1к,и1к,р2к' "гк " первая система канонических

элементов Пуанкаре * 1/2

Lk = (íW ■ Ak = + "k a nk(t - t0) + Mk0

+ n.

pik = w- (1 - 4)i/2) • "ik = - % • <»

. <>2k = V1 - 4)1/2(1 - cos V • u2k" - "k '"k "к^кФ-

H* = fm0mkPk . ^ = «у^/о^ . ^ = •«.„ «n^ + ...+ ^ .

где t - время, f - постоянная тяготения; m^ , e^ , a^ , , "k ' Лк • nk n ~ соответственно масса, эксцентриситет, большая полуось, угол наклона, долгота перицентра, долгота восходящего узла, среднее движение и средняя долгота к-ой планеты; Мк0 - значение средней аномалии при t=tQ . Обозначим sin CJ.o/2), где - угол найлона между орбитами

9 7 ? ? 1 У?

ГОШЮТ ?! И P2¡ (m1+m2>/m0<< 1, a^ag, с- (е^+е^+^+Ц) .

Введем функции 0\2 ~ ^ • если между телами и Р2 Наблюдается резонанс з-го порядка ¡O-в противном случае}. • Гамильтониан H осредненной задачи трех тел при резонансе з-го (з£3) порядна J: U+s) с точностью до членов четвертых степеней по эксцентриситетам и наклонностям орбит планет имеет вид (О-1. Leverrier, 1855)'

' H = Н° + + fj*2 + Р3)'0С1), (2)

Н®(Ь1 .Lg) = р2-0(1), P*2/«^!,2) + ív*2/(2^2L|>- {1 +

О 1 J+1 J

+ m^/niQ' 1/2'<512{а50 e^003^! ~ ni> 4 "yo^003<¥>1 " n2)ï+

+ 1/4- i«°e2 <,<>ef + 4«°^ + a2lele2cos '"l ~ V +

o J+2r 2 J+l

+ (aI72e^cos(»'1 - 2^) + ai82ele2coa~ n2* +

J n J+2 ¿ о

+ «j^e^eos (y^ ~ 2"2> + 4o<212e'l2oos " 2°2" 2tI12>)} + О j+3 , J+2 2

+ 1/8- <*i2{«240elcoa(¥,l " 3nl>,+ "гбО0!^003^! - 2VV*

. 3+1 9 J 3

+ а2вОв1е2соз<¥,1 " V 2V + aZ7Qe2a03 (l"l " 3n2> +

j + 3 9 2 '

+ 4a29oVi2cos<vï - -"Г 2V 2Й12> + j+2 9 2 + 4"300e2°l2CO3(v,l r. V 2V 2Н12)1}>' Где Vj^ = и+з)^2 ~ - аномалия Делоне.

Канонические уравнения движения для элементов Пуанкаре имеют вид О)

dLk/dt = -»Н/лхк, dxk/dt = - лн/л1,к, dplk/dt = к=1,2,

d"lk/dt = - J»H/«Plk, dP2k/dt - йН/«"2к, d"2k/dt = -

В диссертации доказано, что уравнения движения в осредненных неограниченной и ограниченной эллиптической задачах трех тел при резонансе з-го <з^5) порядка J:(J+s) с точностью до членов (s-t-l)-ro порядка по эксцентриситетам и наклонностям орбит планет могут быть приведены с помощью канонических замен переменных к системе с гамильтонианом Н„ = <о0Огуг A(Pg(J))1/Zcos <> , (4)

pg(j> = (j+i11)J"(j«12>Jl2 (J+r21)J21(J+i22)J22.

J11+-312+J21+J22S3! "О'^ЧГ00113^

где J^j-0 - целые числа, *> - резонансная Фаза, J -отклонение больших полуосей планет от резонансной поверхности (J+з)ng-Jn, т _ безразмерное время.

Переменная J удовлетворяет уравнению СИ. 14, 17, 213 d2J/dr2 - А2/2- a?gU)/»J - "0J(H0 - «0J2/2> = 0 , (5)

имеющему интеграл энергии Е, который может быть записан в виде (dJ/dT)2 = 2Е + A2Pg(J> + "0J2(H0 - "0J2/4> a f(J) . (6)

Уравнение (6) интегрируется в квадратурах . методом разделения переменных. При функция £ является полиномом четвертой степени по J . Поэтому в этом случае решение уравнения (6) может быть записано с помощью функций Вейерштрасса (Е.Т.Whittaker & G.H.Watson, 1927). •

Первая глава диссертации посвящена аналитическому исследованию эволюции движений в осредненных неограниченной (§5) и ограниченной эллиптической С§2,3) задачах трех тел при резонансе первого порядка (J + 1).

Получены осредненные уравнения движения в задаче трех тел вблизи резонансной поверхности при резонансе У- U+1) , которые проинтегрированы в квадратурах с помощью эллиптических функций с точностью до членов вторых степеней

по эксцентриситетам и наклонностям орбит планет. Исследована эволюция решений на Фазовой плоскости. Получены аналитические • условия либрации резонансных фаз.

Реаультаты исследований применены к движению больших .планет - Нептуна и Плутона (резонанс 2:3), а также к движению резонансных с Юпитером астероидов - Туле (резонанс 3:4), группы Гильды {резонанс 2:3) и группы Гекубы (резонанс 1:2).

Вторая глава диссертации посвящена аналитическому исследованию эволюции движений в осредненных неограниченной (§1) и ограниченной эллиптической (§2,3) задачах трех тел при резонансе второго порядка ■}: (3+2) и большом сжатии центральной планеты. Получены осредненные уравнения движения . тел вблизи резонансной поверхности, которые проинтегрированы в квадратурах с помощь» эллиптических функций с точностью до членов четвертых степеней по эксцентриситетам и наклонностям орбит планет. Исследована эволюция решений на фазовой плоскости.

Третья глава диссертации посвящена аналитическому исследованию эволюции движений в осредненной планетной задаче трех тел при резонансе второго порядка У- и+2> в случае сферической центральной планеты.

В {I для кругового случая (е^=е2=0) получены осредненные уравнения движения в пространственных неограниченной и ограниченной задачах трех тел при резонансе второго порядка, которые проинтегрированы в квадратурах с помощью эллиптических функций с точностью ■ до членов четвертых степеней по наклонностям орбит планет. Получены аналитические условия либрации резонансной фазы.

В 62 получены осредненные . уравнения движения в пространственных, неограниченной и ограниченной эллиптической задачах трех тел при резонансе второго порядка в случае, когда относительные' скорости изменения эксцентриситетов и наклонностей орбит планет много меньше относительной скорости изменения резонансной Фазы. . Полученм аналитические условия либрации резонансной фазы. Результат»! исследований применены к движению астероидов группы Гестии (реэонадс 1:3).-

Четвертая глава диссертации посвякз.'М аналитическому исс-

ледованию эволюции движений в осредненных неограниченной (§1) и ограниченной эллиптической (§2,3) задачах трех тел при резонансе третьего порядка (-5+3) с учетом сжатия центральной планеты. Получены осредненные уравнения движения тел вблизи резонансной поверхности, которые проинтегрированы в квадратурах с помощью эллиптических функций с точностью до членов четвертых степеней по эксцентриситетам и наклонностям орбит планет. Исследована эволюция решений на фазовой плоскости.

Пятая глава диссертации посвящена аналитическому исследованию эволюции движений в осредненных неограниченной (§1) и ограниченной эллиптической (§2,3) задачах трех тел при резонансе четвертого порядка и+4). Получены осредненные уравнения движения тел вблизи резонансной поверхности, которые проинтегрированы в квадратурах с помощью эллиптических функций с точностью до членов шестых степеней по эксцентриситетам и наклонностям орбит планет, йзследована эволюция решений на Фазовой плоскости.

Шестая глава диссертации посвящена аналитическому исследованию эволюции движений в осредненных неограниченной (§1) и ограниченной эллиптической (§2,3) задачах трех тел при резонансе пятого порядка Получены осредненные

уравнения движения тел вблизи резонансной поверхности, которые проинтегрированы в квадратурах с точностью до членов шестых степеней по эксцентриситетам и наклонностям орбит планет. Исследована эволюция решений на фазовой плоскости.

Седьмая глава диссертации посвящена исследованию эволюции решений в осредненных неограниченной (§1) и ограниченной (§2) задачах многих тел при трехчастотном резонансе нулевого порядка р. (-<р+з)): ч . Получены осредненные уравнения движения в неограниченной и ограниченной задачах многих тел вблизи резонансной поверхности. Исследована устойчивость резонансных решений. Получены аналитические условия либрации резонансной Фазы, аналитические оценки на ширину области либрации и период либрации резонансной фазы. Результаты исследований применены к движению спутников Юпитера (Ио,

Европа и Ганимед) и Урана (Миранда, Ариэль и Умбризль).

Заключение диссертации содержит перечисление новых научных результатов, полученных автором.

I

НА ЗАЩИТУ ВЫНОСЯТСЯ СЛЕДУЮЩИЕ НОВЫЕ НАУЧНЫЕ РЕЗУЛЬТАТЫ:

1. Интегрирование в квадратурах с точностью до членов вторых степеней по эксцентриситетам и наклонностям орбит планет уравнений движения в осредненной плоской неограниченной задаче трех тел при резонансе первого порядка 3: и+1) относительно больших полуосей, эксцентриситетов и резонансных фаз. Исследование устойчивости движения тел вблизи резонансной поверхности. Аналитические условия либрации резонансных фаз.

2. Интегрирование в квадратурах с помощью эллиптических функций с точностью до членов четвертых степеней по эксцентриситетам и наклонностям орбит планет уравнений движения в осредненных пространственных неограниченной и ограниченной эллиптической задачах трех тел при резонансе второго порядка (-1+2) и большом сжатии центральной планеты. Аналитические условия либрации резонансной фазы.

3. Интегрирование в квадратурах с помощью эллиптических функций с точностью до членов четвертых степеней по наклонностям орбит планет уравнений движения в круговом случае осредненных пространственных неограниченной и ограниченной задач трех тел при резонансе второго порядка и+2>. Исследование устойчивости движения тел вблизи резонансной поверхности. Аналитические условия либрации аномалии Делоне л осредненных пространственных неограниченной и ограниченной эллиптической задачах трех тел при резонансе второго порядка в случае, когда относительные скорости изменения эксцентриситетов и наклонностей орбит планет иного меньше относительной скорости изменения резонансной Фазы.

4. Интегрирование в квадратурах с помощью эллиптических функций с точностью до членов четвертых степеней по эксцентриситетам и наклонностям орбит планет уравнений движения в осредненных пространственных неограниченной и

ограниченной эллиптической задачах трех тел при резонансе третьего порядка .1: (3+3) с учетом сжатия центральной планеты. Аналитические условия либрации резонансной фазы.

5. Интегрирование в квадратурах с помощью эллиптических функций с точностью до членов шестых степеней по эксцентриситетам и наклонностям орбит планет -уравнений движения в осредненных пространственных неограниченной и ограниченной эллиптической задачах трех тел при резонансе четвертого порядка Л:(3+4) , Аналитические условия либрации резонансной фазы.

6. Интегрирование в квадратурах с точностью до членов шестых степеней по эксцентриситетам и наклонностям орбит планет уравнений движения в осредненных пространственных неограниченной и ограниченной эллиптической задачах трех тел при резонансе пятого порядка (3+5) . Аналитические условия либрации резонансной фазы.

7. Аналитические оценки на ширину области либрации больших полуосей и период либрации резонансной фазы в осредненных неограниченной и ограниченной задачах многих тел при трехчастотном резонансе нулевого порядка р:(-(р+ч)):ч Аналитические условия либрации резонансной фазы.

ПУБЛИКАЦИИ ПО ТЕМЕ ДИССЕРТАЦИИ

1. Шингсин В.Н. Об одном способе исследования на устойчивость вторым обобщенным методом Ляпунова с помощью численного счета.// Вестник Моск. госуд. унив-та, 1980. Серия Вычисл. матем. и киберн.. № 1. С.36-43.

2. 1Шнкин В.Н. О поиске устойчивых резонансных режимов и их экстремальных свойствах.// Прикладная математика и математическое обеспечение ЭВМ. - Ы.: МГУ, 1980. С.24-26.

3. Шинкин В.Н. О поиске устойчивых резонансных режимов с помощью их экстремальных свойств.// Вестник Моск. госуд. унив-та, 1981. Серия Вычисл. матем. и киберн.• № 2. С. 23-29.

4. Панкин В.Н. Об исследовании резонансных движений спутника относительно центра масс вблизи частных решений ограниченной задачи трех тел.// Прикл. математика и

. математическое обеспечение ЭВМ. - М.: МГУ» 1981. С.37-38.

5. Шинкин В.Н. Об исследовании устойчивости почти-периодических систем при резонансе четного порядка вторым обобщенным методом Ляпунова.// Некоторые вопросы прикладной матем. и программного обеспеч. ЭВМ. - М.: МГУ, 1982. С.32-33.

6. Панкин В.Н., Хапаев М.М. Об исследовании резонансных почти-периодических систем на устойчивость по части переменных.// Прикл. математика и механика, 1983. Т.47. Вып.2. С.334-337.

7. ЦЬшкин В.Н. Об исследовании движений спутника относительно . центра масс вблизи точки либрации.// IX Международная конференция по нелинейным колебаниям. - Киев: Наук. Думка, 1984. Т.З. С.303-305.

8. ИЬшкин В.Н., Хапаев М.М. Экстремальные свойсва функции . Ляпунова на устойчивых резонансных режимах в многочастотном

случае.// Дифференц. уравнения, 1986. Т.22. №8. С.1463-1466.

9. ЦЬшкин В.Н. Об устойчивых многочастотных движениях спутника относительно центра масс, движущегося вблизи лагранлевой точки либрации.// Устойчивость и управление сложных систем. - Казань: КАИ, 1988. С.18-21.

10. Шинкин В.Н. Критерий либрации в задаче трех тел при резонансе.// Устойчивость и управление. - Казань: КАИ, 1990. С. 20-26.

11. Шнкт В.Н. Об интегрируемых случаях планетной задачи трех тел при резонансе первого порядка.// Космич. исслед., 1992. Т.ЗО. Вып.4. С.455-461.

12. Панкин В.Н. Трехчастотный резонанс в планетной задаче многих тел.// Астрон. журн., 1992. Т.69. №3. С.649-654.

13. Шинкин 13.Н., Герасимов И. А. Распространенность либрационных орбит во внешней части кольца астероидов.// Астрон. вестник, 1992. Т.26. №6. С.79-83.

14. Шинкин В.Н. Бифуркации сепаратрис в осредненной планетной задаче трех тел при резонанса* первого и второго порядков.// Астрон. вестник, 1993. Т.27. №4. С.109-115.

15. 1Шнкин В.Н. Интегрируемые случаи осредненной пространственной ограниченной круговой задачи трех тел при резонансе

второго порядка.// Космич. исслед., 1994. Т.32. №3. С.124-127.

16. Shlnkin V.N. The integ'rable сазез of the planetary three-body problem at first-order resonance.// Celestial Mechanics and Dynamical Astronomy, 1993. V. 55. No.3. P.249-259.

17. ShinlUn V.N. Bifurcations of separatrlces in the averaged planar general three-body problem at first-order resonance.// Celestial Mechanics and Dynamical Astronomy, 1994. V.60. Ho. 4. P. 307-315.

18. Шинкин B.H. О либрации аномалии Делоне в неограниченной и ограниченной эллиптической задачах трех тел.// Космич. исслед., 1994. Т.32. №6. С.197-199.

19. Шинкин В.Н. Интегрируемые случаи осредненной плоской ограниченной эллиптической задачи трех тел при резонансе первого порядка.// Космич. исслед., 1995. Т.33. №1. С.111-112.

20. Шинкин В.Н, Осредненная плоская ограниченная эллиптическая задача трех тел при резонансе первого порядка.// Астрон. вестник, 1995. Т.29. №3.

21. Шинкин В.Н. Интегрируемые случаи неограниченной и ограниченной эллиптической пространственных задач трех тел при реэонансах высших порядков.// Космич. исслед., 1995. Т.33. )£3.

22. Шинкин В.Н. Спутниковый вариант задачи трех' тел при резонансах второго и третьего порядков.// Космич. исслед., 1995. Т.ЗЗ. №4.